INTRODUZIONE AI DISPOSITIVI ELETTRONICI

Appunti delle prime lezioni del corso di

Elettronica I

Prof. Marco SAMPIETRO

Anno 2001/02

Politecnico di MilanoFacoltà di Ingegneria

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INTRODUZIONE ALLA FISICA DEI SEMICONDUTTORI

La grande maggioranza dei dispositivi a stato solido utili zzati negli apparatielettronici odierni è fabbricata con un tipo particolare di materiale, chiamato "materialesemiconduttore". Il silicio, ben noto a tutti, ne è il principale esponente.

Nelle prime lezioni, propedeutiche alla comprensione del funzionamento dei dispositivielettronici utili zzati nei circuiti , ci proponiamo di capire sinteticamente:

- che cosa significhi "materiale semiconduttore",- quali proprietà manifestino questi materiali ,- in quali modi e sotto quali condizioni è possibile un passaggio di corrente al loro

interno.

3

RAPPRESENTAZIONE DEGLI ATOMI ISOLATI

Prima di passare allo studio del sili cio (Z=14)1, conviene richiamare alcuni sempliciconcetti di fisica utili ad una chiara, benchè elementare, comprensione del comportamento deimateriali elettronici, utili zzando un elemento molto più semplice: l'atomo di idrogeno.

ATOMO DI IDROGENO ISOLATO

L'elettrone, che sente l'attrazione Coulombiana del nucleo, può avere solamente bendeterminate energie (o, meglio, differenze di energia rispetto ad un li vello di riferimento, presoconvenzionalmente come quello dell 'elettrone libero):

[ ]En

eVn = −136

2

.

con n =1,2,3...= identificatore del li vello energetico (propriamente detto numero quanticoprincipale). A lato è riportata una rappresentazione schematica dei li velli energetici in un atomodi idrogeno.Ad ogni li vello corrispondono piùdisposizioni spaziali degli elettronirappresentate dai numeri quantici l(ampiezza del momento della quantitàdi moto: l=0: simmetria sferica; l=1:simmetria lobata; ecc.) ed m(componente assiale di detto momento)e visualizzabili con dei sottolivelli . Conriferimento ad atomi a più elettroniinoltre, non più di due elettroni con lastessa disposizione spaziale possonooccupare lo stesso sottolivello purchèuno abbia spin opposto all 'altro(Principio di esclusione di Pauli). Ognisottolivello, detto anche stato, ècaratterizzato quindi dai 4 numeriquantici n, l, m, spin.

L'unità di misura dell 'energia comoda in elettronica èl' elettronVolt, eV :

1 eV=1.6.10-19 joules

Ai fini del corso è utile notare che l'ordine di grandezza delladistanza tra li velli energetici è, al più, di qualche elettronVolt.

Alla temperatura dello zero assoluto (T=0K) l'elettrone occupa il li vello energetico più vicino alnucleo. Fornendo energia all 'elettrone (ad esempio scaldando) almeno pari alla differenza con illi vello successivo, esso può passare da un li vello ad un altro.

1 Z è detto numero atomico. Esso caratterizza gli atomi ed indica il numero di protoni presenti nel nucleo.In un atomo neutro, esso fornisce evidentemente anche il numero di elettroni.

E 1= - 13.6eV

E 2= - 3.4eV

E 3= - 1.5eV

E 4= - 0.8 5eV .

E = 0eV

+ N ucleo

4

GENERICO ATOMO ISOLATO

Se si prendesse un nucleo con Z protoni ed un solo elettrone, quest'ultimo si disporrebbe suorbite definite da li velli energetici pari a :

[ ]En

Z eVn = −136

22.

In un normale atomo neutro, invece, la presenza anche di Z elettroni rende il calcolodell 'energia dei li velli un problema complesso, dominio della meccanica quantistica, in cuigiuoca un ruolo essenziale l'effetto di schermaggio della carica del nucleo da parte deglielettroni più interni.Nel caso del silicio (Z=14), l'analisi porta ad un risultato relativamente semplice da visualizzarenei suoi aspetti più importanti.Dieci dei 14 elettroni occupano tutti ili velli energetici disponibili più vicinial nucleo, caratterizzati dai numeriquantici n=1 (2 li velli ) ed n=2 (8livelli ). I legami con il nucleo sono perquesti elettroni così forti che essi nonvengono sostanzialmente perturbatidalle normali reazioni chimiche o dalleforze tra atomi contigui in strutture apiù atomi.I rimanenti 4 elettroni del sili cio,invece, occupano solo 4 stati tra quellidisponibili caratterizzati dal numeroquantico n=3. Essi sono debolmenteattratti dal campo del loro proprionucleo perchè più lontani e perchè la carica positi va di quest'ultimo è in parte schermata daglialtri 10 elettroni. Questi 4 elettroni sono chiamati elettroni di valenza e partecipanoattivamente ai legami con altri atomi.

L'ordine di grandezza delle dimensioni di unatomo è l' Angstrom:

1Å=10-10m=10-8cm=10-4µm,10Å=1nm.

n = 1

n = 2

n = 38 stati possi b i l ioc cupati da 4 e -

8 stati possi b i l ioc cupati da 8 e -

2 stati possi b i l ioc cupati da 2 e - . .

...... ..

... .

1 4 +

5

RAPPRESENTAZIONE DEGLI ATOMI IN UN CRISTALLO

MODELLO DI RAPPRESENTAZIONE A BANDE DI ENERGIA

Avvicinando due atomi identici:- i li velli energetici più interni (vicini al nucleo) vengono pochissimo perturbati dalle

normali forze interatomiche;- i li velli energetici più esterni, invece, interagiscono significativamente uno con l'altro.Poichè non è possibile che l'elettrone di un atomo e quello dell 'altro, aventi la stessa energia elo stesso spin quando lontani tra loro, stiano su uno stesso li vello energetico quando vicini (→Principio di esclusione di Pauli), i li velli equivalenti di ogni singolo atomo non si unificano inun li vello unico ma si appaiano con una piccola differenza di energia tra loro. Con N atomi,ogni li vello energetico originale si divide in N differenti li velli vicinissimi, formando unabanda di livelli energetici, che potrà alloggiare fino a N elettroni. Le bande possono essere,come nel caso dei li velli i n un atomo singolo, separate tra di loro da un intervallo di energia incui gli elettroni anche in un cristallo non possono stare (intervallo proibito o energy gap, Eg),oppure venire a contatto con le bande contigue creando bande ancora più larghe.

+

N l ivell i

N l ivell i

N l ivell i

Natom i

⇒ ⇒

In particolare, quando si forma un cristallo di Si, i li velli energetici più interni (i 2 staticontrassegnati dal numero quantico n=1 e gli 8 contrassegnati da n=2) descrivono orbite cosìpiccole che praticamente non interagiscono con le corrispondenti degli atomi vicini. I li vellienergetici più esterni invece (quelli contrassegnati dal numero quantico n=3, occupatiparzialmente dai 4 elettroni di valenza) interagiscono fortemente: 4 di essi danno luogo a 4bande che si sovrappongono tra di loro a formare una grande banda chiamata "banda divalenza" che può alloggiare 4N elettroni. Gli altri li velli danno luogo anch'essi a bande che sisovrappongono a formare un'unica grande banda detta "banda di conduzione". Le due bandesono separate da un intervallo Eg in cui non ci sono li velli possibili per l'elettrone (band gap)

di 1.1eV2.

B an da dicon d uzione

B an da di valenza

Ec

Ev

B an d gap

V alori di energia che gl i elettroni possono averebenchè sem pre legati covalentem ente

Poichè gli elettroni effettivamente a disposizione sono 4N e tendono ad occupare i li vellia minima energia, cioè quelli più vicini al nucleo, normalmente si ha che la banda di valenza è

2 I li velli energetici inferiori a quelli che hanno dato luogo alla banda di valenza non verranno piùmenzionati nel seguito perchè, essendo completamente piene di elettroni, attraverso di esse non è possibilepassaggio di corrente, come verrà chiarito più avanti.I li velli energetici superiori a quelli che hanno dato origine alla banda di conduzione corrispondenti alleorbite più esterne, interagiscono a tal punto da formare una banda larghissima continua fino al li vello E∞.

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praticamente tutta piena di elettroni e che la banda di conduzione è praticamente vuota dielettroni. Effettivamente, solo alla temperatura di 0K tutti gli elettroni stanno nella banda divalenza e nessuno in quella di conduzione. A temperature maggiori, alcuni elettroni acquisiconoenergia suff iciente per superare il gap proibito e portarsi in banda di conduzione, la qualequindi si riempie sempre di più con l'aumentare della temperatura3.La rappresentazione delle bande, come nella figura precedente, in funzione della posizionespaziale enfatizza il fatto che un elettrone nella banda non è più associato ad un ben definitoatomo ma semplicemente al cristallo. Infatti gli elettroni sono tutti uguali e possono passare daun li vello ad un altro all ’ interno della banda, ognuno di questi essendo figlio di un differenteatomo.

MODELLO DI RAPPRESENTAZIONE A LEGAMI

Gli atomi in un cristallo possono anche essere rappresentati in modo da conservarel'informazione spaziale. Questa dipende dal tipo e dal numero di legami che si instaurano traatomi contigui.Nel caso del Si, i 4 elettroni di valenza danno luogo a 4 legami covalenti con 4 altri atomi di Siprimi vicini. La disposizione nello spazio di questi legami è perfettamente simmetrica, con gliatomi disposti ai vertici di un tetraedro.Tetraedri contigui si legano a formare il cristallo. Per comodità si è soliti definire la cellaunitaria di un cristallo come quella disposizione primaria cubica di pochi atomi, ripetendo laquale nelle tre dimensioni dello spazio si ottiene la struttura cristalli na macroscopica. Nel casodel Si, la più usata è la seguente:

In molti casi una rappresentazione bidimensionale del cristallo è più comoda di unarappresentazione tridimensionale. Essa può consistere semplicemente nella proiezione sul piano

3Il valore di Eg dipende dal tipo di materiale. Più sono vicini gli atomi nel reticolo maggiore èl'interazione tra i loro singoli li velli e quindi più larghe sono le bande, riducendo così il gap.Per ragioni analoghe il gap di elementi ad alto Z è minore perchè le orbite elettroniche, molto grandi,interagiscono molto determinando una separazione dei li velli maggiore e quindi bande più larghe:

C (Z=6) Eg≅6 eVSi (Z=14) Eg=1.12 eVGe (Z=32) Eg=0.67 eV

Inoltre Eg varia anche con la temperatura perchè questa condiziona la distanza tra gli atomi in un cristallo.

λ=5.43 Å

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della disposizione spaziale vera tridimensionale. Nel caso del sili cio, essa dà luogo allasemplice struttura a scacchiera con quattro legami ad angolo retto.

Si Si

Si Si Si

Si

Si

Si Si

Il disegno bidimensionale visualizza bene come ogni atomo di Si spartisca i suoi 4 elettroni divalenza ognuno con uno dei 4 atomi primi vicini. Ogni cerchio rappresenta il nucleo ed i 10elettroni più interni di ogni atomo, i palli ni scuri rappresentano gli elettroni di valenza, ognilinea rappresenta il l egame covalente con un ben definito atomo contiguo. Le linee che sidipartono da ogni cerchio sono otto perchè ogni atomo rende disponibile i suoi 4 elettroni divalenza ma anche riceve un elettrone di valenza da ognuno degli atomi vicini.Questa visualizzazione del cristallo è di gran lunga la più utili zzata nella discussione elementaredelle proprietà dei cristalli semiconduttori perchè, benchè la vera disposizione cristallograficasia persa, purtuttavia sono mantenute la maggior parte delle informazioni fisico-chimiche diinteresse sui legami. Senza contare che la disposizione bidimensionale è incomparabilmente piùfacile da disegnare sul foglio!.

Esercizio In base alla conoscenza della cella unitaria, calcolare quanti atomi al cm3 sonopresenti in un cristallo di silicio.

Partendo dalla dimensione della cella (a=5.43Å) e dal numero di atomi checontiene (8), è immediato calcolare la densita di atomi di sili cio pari a

5x1022 atomi/cm3.

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I PORTATORI DELLA CORRENTE NEI SEMICONDUTTORI : ELETTRONI eLACUNE

A T=0K tutti i 4 elettroni di valenza del Si sono impegnati a formare legami covalenticon i 4 atomi primi vicini. Non esistono elettroni li beri per condurre elettricità ed il cristallo sicomporta da isolante. In altri termini tutti gli elettroni sono posti, nel diagramma energetico,nella banda di valenza e nessuno sta nella banda di conduzione.

A T>0K, gli atomi acquisiscono energia termica ed alcuni legami si spezzano dandoluogo a degli elettroni li beri. Nella rappresentazione a bande questo equivale ad eccitare unelettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione. Un elettrone libero (nel modello alegami) equivale ad un elettrone nella banda di conduzione. L'entità dell 'energia necessaria perrompere il l egame covalente è proprio Eg.Dove prima stava l'elettrone si crea una mancanza dell ’elettrone di legame, chiamato lacuna.Essa può essere, alternativamente, visualizzata come mancanza di un elettrone nella banda divalenza.Il processo di creazione contemporanea di un elettrone libero e di una lacuna equivale ad unaionizzazione dell 'atomo, benchè nel suo complesso il cristallo rimanga neutro.

Si Si

Si Si Si

Si

Si

Si Si

L acuna, ossia mancanza di un elettrone di l egame del l 'atomo di Si

Elettrone che ha rotto il l egamecovalente ed è li bero di muoversitra gl i atomi del cr i stall o

.o

Contem poraneacreazionedi un elettronee di una lacuna

CONDUZIONE DELL'ELETTRONE

Applicando un campo elettrico dall 'esterno gli elettroni li beri acquistano una quantità di motonetta nella direzione dettata dal campo e danno luogo ad una corrente, che chiamiamo correntedi elettroni in banda di conduzione.

CONDUZIONE DELLA LACUNA

Un elettrone di valenza vicino al legame rotto può saltare nella posizione della lacuna, poichè lanuova posizione è per l’elettrone energeticamente identica alla sua attuale. Infatti lascerebbe unlegame covalente con un atomo di sili cio per andare a saturare un legame covalente con un altroatomo di sili cio. Questo spostamento fa sparire la lacuna nella posizione da cui era partitol'elettrone di conduzione ma fa nascere una lacuna attorno all 'atomo da cui è partito l'elettronedi valenza. Essendo le lacune indistinguibili , il fenomeno equivale allo spostamento netto dellalacuna in direzione opposta a quello dell 'elettrone di valenza.Quando viene applicato un campo elettrico dall 'esterno al cristallo, è mediamente favorito lospostamento dell 'elettrone di valenza nella direzione dettata dal campo (come per l'elettrone di

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conduzione) e conseguentemente si può dire che la lacuna si sposta nella direzione opposta.L'elettrone che ha originato la lacuna non interviene nel processo di movimento di quest'ultima,

e va per la sua strada in maniera indipendente dalle lacune4.

4 Le lacune hanno significato solo in connessione con le bande nei solidi. Esse non sono entità separate.Non si può parlare di lacune libere o ad esempio di un cannone di lacune come invece si parla di uncannone di elettroni, che è il tubo a raggi catodici di un televisore.

Si Si

Si Si Si

Si

Si

Si Si

o

U n el ettrone di val enza puòoccupare l a posi zi one dell a l acuna...

Si Si

Si Si Si

Si

Si

Si Si

o

... l i berando una l acunanell 'atom o da cui prov i ene.

Riassumendo:In un semiconduttore la conduzione di carica è realizzata contemporaneamente edindipendentemente dagli:- elettroni li beri (o di conduzione) che si muovono "tra" gli atomi e quindi "tra" i legami

covalenti che gli atomi di Si stabili scono tra di loro nel cristallo. Essa è rappresentata comeuna corrente di elettroni nella banda di conduzione.

- elettroni di valenza che si muovono "lungo" i legami covalenti che tengono uniti gli atomi diSi. Quest'ultimo meccanismo di trasporto è normalmente visualizzato dallo spostamento, indirezione opposta, delle rispettive lacune. Essa è quindi rappresentata come una corrente dilacune nella banda di valenza.

La corrente prodotta dal moto degli elettroni di valenza deve sommarsi a quella degli elettronidi conduzione, perchè hanno lo stesso segno e sono sottoposti allo stesso campo. La correntedegli elettroni di valenza può anche essere espressa come moto delle corrispondenti lacune,purchè queste siano immaginate avere carica positi va (in modulo uguale a quelladell 'elettrone) perchè muoventesi in senso opposto.

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o X

E

.

Flusso di elettroni di con d uzione: Je = (-) |q| (+ )v = -qv

Flusso di elettroni di valenza : Jva = (-) |q| (+ )v = -qv

espresso com e m oto dell e lacu ne: Jh = (+ ) |q| ( -)v = -qv⇓

carica opposta di segnoed uguale in valore ...

... che si m uove nel verso opp osto.

Gli elettroni li beri e le lacune sono anche chiamati portatori della corrente.

Data la loro diversa natura, ci si aspetta che gli elettroni di conduzione e gli elettroni di valenza(d'ora in avanti chiamate solo lacune) abbiano in generale differenti mobilit à (→pg.26).

I PORTATORI COME PARTICELLE LIBERE

Quando gli elettroni sono in banda di conduzione o le lacune sono in banda di valenza, ècomodo considerarli , agli effetti del moto, come particelle libere e farle sottostare alle leggifisiche delle particelle libere. Per fare in modo che i risultati ottenuti con tale sempli ficazionesiano in ottimo accordo con la realtà sperimentale si è pensato di concentrare gli effetti delreticolo nella costante dielettrica del materiale εsi = ε0 εr ≅ 10-12 [F/cm] e nel valore della massadei portatori. Questa massa "di comodo" viene chiamata massa efficace (m*

n per gli elettroni,m*

p per le lacune) dei portatori nel cristallo e differisce dalla massa dell ’elettrone libero nelvuoto mo.La descrizione classica dei fenomeni di conduzione dei portatori con il solo buon uso dellamassa eff icace m* n e m* p permette di giungere a conclusioni suff icientemente accurate delfunzionamento dei dispositi vi elettronici. Solo per interpretazioni raff inate di alcunicomportamenti particolari dei dispositi vi una trattazione quantistica rigorosa è necessaria.

POSSIBILI CONFIGURAZIONI DI BANDE

Il modello a bande, introdotto per un semiconduttore, può essere esteso anche agli altrimateriali . Ciò che rende i materiali differenti è l'entità del gap di energia.

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Isolante

..... ...

B anda diconduzi one

B anda dival enza

Eg > 3ev

La banda di valenza tutta occupata è molto distante dalla banda diconduzione. Aff ichè un elettrone riesca a passare dalla prima allaseconda è necessario fornire una energia almeno pari al gap.Questa energia, negli i solanti, è ben maggiore della energiatermica degli elettroni, per cui la transizione è altamenteimprobabile (diamante: Eg≅6eV). In termini di legami, gli atomisono interessati da legami tanto forti che diff icilmente vengonorotti per mettere in libertà un elettrone che possa trasportarecorrente.Nella banda di valenza piena non è possibile la conduzioneperchè gli elettroni possono solo scambiarsi tra di loro leposizioni ma non dare luogo ad un flusso netto di carica. Unottimo isolante, utili zzatissimo nella costruzione dei dispositi vielettronici, è l’ossido di sili cio, SiO2, il cui gap vale Eg≅8eV.

Semiconduttore

...

.

...B anda di

conduzi one

B anda dival enza

0.2 < Eg < 2 eV

La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine(0.2<Eg<2eV) per cui non è impensabile fornire ad un elettrone divalenza una quantità di energia che gli permetta di raggiungere laconduzione. Nella rappresentazione a legami, questo equivale adire che il l egame covalente può, con relativa facilit à, venirespezzato ed il suo elettrone diventare libero e quindi capace dicondurre corrente.

Metallo

.. .. ...B an da dico n d uzi o ne

B an da dival enz a

La banda di valenza si sovrappone alla banda di conduzione. Glielettroni possono occupare facilmente uno qualsiasi dei li velli equindi ritrovarsi associati ad un qualsiasi atomo. Questaabbondanza di portatori li beri di muoversi fa dei metalli degliottimi conduttori di corrente.

E' importante notare che la classificazione in metalli , semiconduttori e isolanti dipendestrettamente dalla temperatura a cui si stà studiando il fenomeno. Un materiale che manifestaproprietà isolanti a temperatura ambiente (T=300K), può diventare semiconduttore atemperature mediamente elevate ed addirittura conduttore a temperature elevatissime (se nonsubisce alterazioni chimiche o di stato). Viceversa un conduttore a temperatura ambiente puòrisultare un ottimo isolante a temperature criogeniche. Il sili cio ad esempio manifesta consempre maggior diff icoltà le sue proprietà di semiconduttore a temperature inferiori a 170K.

I MATERIALI SEMICONDUTTORI

I materiali semiconduttori sono costituiti dagli elementi che stanno nella IV colonna dellatabella periodica o da composti degli elementi a cavallo di questa.

III IV VB (Z=5) C (Z=6) N (Z=7)

Al (Z=13) Si (Z=14) P (Z=15)Ga (Z=31) Ge (Z=32) As (Z=33)

Di gran lunga il più utili zzato è il sili cio. Esso sta esattamente sotto il carbonio nella tabellaperiodica, e da questo mutua molte proprietà, come ad esempio il ti po di legame tra gli atomi(covalente) e la disposizione cristallografica (tetraedro).

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Il sili cio è comunissimo in natura. Esso non è però presente sotto forma di elemento puro, madeve essere ottenuto industrialmente a partire dai molti composti che lo contengono, come lasili ce (SiO2) ed i sili cati (Si+O+altri elementi).La fortuna del Si è anche legata alla facilit à di realizzarvi un ossido dalle ottime proprietàisolanti, l’ossido di Si (SiO2), e dall ’essere compatibile con un ottimo conduttore comel’alluminio.

Altri materiali semiconduttori utili zzati in elettronica sono:- germanio- i composti di 2 elementi delle colonne III- V : GaAs, InP...- i composti di 3 (ternari) o di 4 (quaternari) elementi : GaAlAs, GaInAsP....- i composti II-VI : CdTe ...

Eccetto che per l' arseniuro di galli o (GaAs) con il quale sono realizzati i transistori utili zzati neicircuiti operanti a frequenze molto elevate (>1GHz), gli altri materiali trovano impiego inapplicazioni specifiche e costose, nella maggior parte dei casi nell ' ambito della optoelettronica.

Nota ai DIAGRAMMI A BANDE

I diagrammi a bande hanno sull ' asse verticale crescente l' energia degli elettroni.Quando un elettrone aumenta la sua energia, esso assume una posizione più elevatanel diagramma a bande. Ad esempio si è visto che si passa dalla banda di valenza(che sta sotto) alla banda di conduzione (che sta sopra) quando si forniscesuff iciente energia all ' elettrone.Quando viceversa aumenta l' energia di una lacuna si intende dire che aumental' energia degli elettroni della banda di valenza, che pertanto assumeranno posizionipiù elevate nel diagramma a bande. La lacuna, cioè la mancanza dell ’elettrone,quindi si sposta verso il basso.

.E c

E v

Il li vello più basso nella banda di conduzione (Ec) indica l' energia di un elettronedi conduzione a riposo, cioè la sua energia potenziale. Il li vello più alto dellabanda di valenza (Ev) indica, corrispondentemente, l' energia potenziale dellalacuna.L' energia cinetica dell ' elettrone o della lacuna è data dalla distanza tra la loroenergia e, rispettivamente, Ec o Ev.

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QUANTI SONO GLI ELETT RONI DI CONDUZIONE E LE LACUNE IN UNSEMICONDUTTORE INTRINSECO ?

In un semiconduttore intr inseco (cioè estremamente puro, con una percentuale insignificantedi altri elementi contaminanti, per cui le caratteristiche fisiche del cristallo dipendonounicamente dal semiconduttore utili zzato) all 'equili brio termico, i portatori sono dovuti allagenerazione di coppie elettrone-lacuna per eccitazione termica degli atomi di semiconduttore.La densità di elettroni, n [elettroni/cm3], è quindi uguale alla densità di lacune, p [lacune/cm3]:

n = p = ni

dove ni è chiamata densità di por tator i intr inseca. Essa dipende dalla temperatura T, cioèdall ’energia disponibile per ionizzare l’atomo di semiconduttore, e dal valore di Eg, cioè dallaforza del legame.

Nel sili cio5 :

ni = 1.45.1010 [portatori/cm3] a T=300K

Il valore di ni, benchè grande in assoluto, è piccolo rispetto al numero di legami che sisarebbero potuti rompere ( ≅ 5.1022 cm-3).

5 Nel germanio, ad esempio, sarebbe ni=2.5.1013 [cm-3] a T=300K. La differenza è dovuta quasiesclusivamente al differente Eg. Si noti quindi che, alla temperatura ambiente, il sili cio contiene menoportatori intrinseci generati termicamente del germanio. Questo fatto si rivelerà un vantaggio per il Si.

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COME SI PUO' VARIARE LA CONCENTRAZIONE DI n e p ?

Il numero di portatori in un semiconduttore (elettroni e/o lacune) NON può essereaumentato semplicemente aggiungendone dall 'esterno perchè verrebbe a mancare la neutralitàdi carica nel cristallo e nascerebbero delle grandi forze elettriche di reazione.La soluzione consiste nell 'incorporare nel cristallo, in sostituzione ad alcuni atomi di Si, atomineutri di altri elementi. Il processo tecnologico che realizza questa operazione è dettodrogaggio del semiconduttore. Vediamo in particolare gli effetti di questa operazione.

DROGANTI DEL V GRUPPO

Gli elementi del V gruppo della tabella periodica hanno 5 elettroni neili velli più esterni. Quando uno di questi atomi prende il posto di unatomo di sili cio, un elettrone non partecipa al legame covalente con i 4atomi di Si vicini. Questo elettrone è quindi poco vincolato al cristallo, e l'energia per liberarlodal suo atomo è molto minore di quella necessaria per rompere un legame covalente. La solaagitazione termica rende, in genere, la ionizzazione dell 'atomo di drogante possibile. Per il P nelSi, l'energia è di soli 44meV contro 1.1eV e già a T≅150K sono tutti ionizzati. Poichè questa èl’energia per rendere libero un elettrone, in un diagramma a bande il li vello energetico

dell ’elettrone legato al fosforo stà 44meV sotto la banda di conduzione6.

6 Il tratteggio nell 'indicare il li vello energetico degli atomi di drogante all 'interno del gap del Si sottolineail fatto che gli atomi di drogante sono sparsi e non interagiscono tra di loro. I loro elettroni, inoltre,quando legati, stanno in una ben determinata posizione del cristallo e non sono delocalizzati nello spazio.

Si Si

Si Si

Si

Si

Si Si

P+

El ettrone f aci l m ente l i berabil e

E c

E v

Eg = 1.1 eV

44 m eV

. .

Localmente, associato all 'atomo di drogante ionizzato, si ha una carica positi va, globalmentecompensata, in qualche punto del cristallo, dal suo elettrone libero. Il cristallo, nel suocomplesso, rimane quindi neutro.Gli elementi del V gruppo, per la loro capacità di li berare un elettrone, sono detti donor i. Ilnumero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donor i, ND [atomi/cm3].La ionizzazione del drogante donore non genera una lacuna. Infatti non c'è nessun elettronelegato vicino per il quale sia indifferente stare dove già è oppure andare ad occupare il l egame

P fosforoAs arsenicoSb antimonio

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lasciato libero dal quinto elettrone del donore. Questo infatti, abbiamo detto, è di natura bendiversa da un legame covalente ed, energeticamente parlando, ad una energia ben maggiore.Con l'inserimento nel cristallo semiconduttore di atomi donori si può pertanto selettivamenteaggiungere un numero voluto di elettroni li beri disponibili alla conduzione senza aggiungere uncorrispondente numero di lacune.

I semiconduttori drogati con elementi del V gruppo sono chiamati semiconduttori di tipo ndove i portatori maggioritari sono gli elettroni, ed i portatori minoritari sono le lacune. Inparticolare ci saranno:- elettroni e lacune, generate termicamente dalla rottura di alcuni legami covalenti del

sili cio,- elettroni generati dalla ionizzazione di tutti (a T ambiente) gli atomi di drogante.

DROGANTI DEL III GRUPPO

Gli elementi del III gruppo della tabella periodica hanno solo 3elettroni nei li velli più esterni. Quando uno di questi atomi prende ilposto di un atomo di sili cio, i 3 elettroni di valenza saturano 3 dei 4legami covalenti con gli atomi di Si vicini. Il quarto legame non saturato esercita una grandeforza sugli elettroni vicini impegnati nel legame covalente tra atomi di Si. In termini energetici,per gli elettroni di legame è relativamente indifferente mantenere la loro posizione o cambiarlaed andare a colmare il l egame mancante associato al drogante. In realtà c'è una piccoladifferenza tra la forza del legame non saturato dovuto alla presenza dell 'atomo di drogante equella del legame non saturato di un atomo di sili cio. Privato dell ’elettrone, l'atomo di Sisarebbe carico positi vamente ed eserciterebbe una azione maggiore sull 'elettrone di quanto nonpossa fare il boro che invece è neutro. Tuttavia le forze elettrostatiche in un cristallo sono moltoinferiori rispetto a quelle di legame e la differenza è molto piccola. Nel caso del B nel Si,l'energia in più che bisogna fornire all 'elettrone che è legato covalentemente al Si aff inchè vadaad occupare il l egame associato al boro, è di soli 45meV. La sola energia termica presente nelcristallo alla temperatura ambiente è suff iciente per ionizzare tutti gli atomi di drogante. Comeconseguenza di questo scambio, si è creata una lacuna nel semiconduttore, cioè un legamecovalente non saturato associato ad un atomo di Si.

Si Si

Si Si

Si

Si

Si Si

B

l egam e m ancante f aci l m entecol m abil e da un e- di Si adi acente

E c

Ev

Eg = 1.1 eV45 m eV

. .

B boroAl alluminioGa galli o

Localmente, associato all 'atomo di drogante, si ha una carica negativa (e si parla di ionizzazionedell 'atomo di drogante), globalmente compensata, in qualche punto del Si, dalla lacuna creata.Il cristallo, nel suo complesso, rimane quindi sempre neutro.Gli elementi del III gruppo, per la loro capacità di prendere un elettrone e liberare così una bucanel cristallo, sono detti accettor i. Il numero di accettori per unità di volume è detta densità diaccettor i, NA [atomi/cm3].Con l'inserimento nel semiconduttore di atomi accettori in sostituzione di alcuni atomi di Si, sipuò pertanto selettivamente aggiungere un numero voluto di lacune libere disponibili allaconduzione senza aggiungere un corrispondente numero di elettroni.I semiconduttori di questo tipo sono chiamati semiconduttor i di tipo p dove i por tator imaggior itar i sono le lacune, ed i por tator i minor itar i sono gli elettroni. In particolare siavranno:- elettroni e lacune generate termicamente dalla rottura di alcuni legami covalenti del

sili cio,- lacune generate dalla ionizzazione di tutti (a T ambiente) gli atomi di drogante.

Esercizio Cosa succede se si droga con una uguale quantità di donori e di accettori unpezzo di semiconduttore?

In questo caso, in cui NA=ND, gli elettroni li berati dal donore saturano i legamiliberi degli accettori. Non si ha pertanto nè un aumento di elettroni di conduzionenè un aumento di lacune. Il materiale è come se fosse intrinseco ed è chiamatosemiconduttore compensato.

E c

E v° ° ° °Se entrambi i droganti sono presenti ma NA≠ND, il numero ed il ti po di portatoridisponibili per la conduzione è determinato dal drogante prevalente ed equivalealla differenza |NA-ND| tra le densità di drogante.

Lo sviluppo dell 'elettronica si basa sulla capacità di produrre sili cio cristalli no conuna elevatissima purezza. Si arriva fino ad avere nel cristallo meno di 1012

atomi/cm3 di altri elementi, cioè un li vello di impurezze di

∼1 atomo su 1010 atomi !!!

Con nessun altro materiale si arriva a tanto.

In elettronica si tende a purificare il più possibile il sili cio e poi a introdurre idroganti voluti. La posizione dei droganti nel reticolo in sostituzione degli atomidel Si è casuale.Le concentrazioni di drogante sono comunque piccole rispetto alla densità del Si:

densità di atomi di Si : 5.1022 atomi/cm3

densità di atomi di drogante: 1012 ≤ NA, ND ≤ 1019 atomi/cm3

17

COME SI DISTRIBUISCONO IN ENERGIA I PORTATORI PRESENTI NELSEMICONDUTTORE ?

La distribuzione dei portatori nelle rispettive bande di energia è ricavata moltipli candotra loro la distribuzione degli stati disponibili nella banda per la probabilit à che questi sianooccupati.In particolare, per calcolare n(E) si moltipli cano tra loro:

- la funzione che definisce la probabilit à che un elettrone abbia una certa energia ad unadata temperatura, f(E)

- la funzione che fornisce la densità dei li velli energetici occupabili nella banda diconduzione alle varie energie, gc(E):

n(E) = f(E) . gc(E)

Per calcolare p(E) si moltipli cano tra loro:

- la funzione che definisce la probabilit à che una lacuna abbia una certa energia,equivalente alla probabilit à che un elettrone NON abbia quella energia, [1-f(E)]

- la funzione che fornisce la densità dei li velli energetici occupabili nella banda divalenza alle varie energie, gv(E)

p(E) = [1-f(E)] . gv(E)

Il numero complessivo di portatori all ’ interno delle rispettive bande non sarà altro chel' integrale delle distribuzioni nelle rispettive bande:

n f E g E dEcEc

= ⋅+∞∫ ( ) ( ) [ ]p f E g E dEv

Ev= − ⋅−∞∫ 1 ( ) ( )

CALCOLO DI f(E) E g(E)

Se, invece di prendere in esame gli elettroni nel semiconduttore, si studiasse ad esempio ladistribuzione in energia delle molecole di un gas perfetto (cioè un sistema di par ticelle noninteragenti tra loro) all ' equili brio termico, la probabilit à che una molecola occupi uno stato acui compete una energia E sarebbe data dalla distr ibuzione di probabili tà di Maxwell -Boltzmann:

f E eE

kT( ) =−

γ

dove k è la costante di Boltzmann, T è la temperatura assoluta, con kT=25meV a T=300K e γè una costante tale per cui la distribuzione delle molecole, dei portatori integrata su tutte lepossibili energie, dia il numero totale di molecole effettivamente presenti nel gas.La relazione di Boltzmann ci dice tra l’altro che:- fissata la temperatura, la probabilit à che un li vello energetico E sia occupato da una

particella del gas decresce esponenzialmente all ' aumentare della energia in esame;- a basse temperature solamente i li velli a bassa energia sono occupati ed al li mite, allo

zero assoluto, solamente il li vello a più bassa energia è occupato da tutti i portatoripresenti;

18

- all 'aumentare della temperatura è sempre più grande la probabilit à che una particellaabbia una energia E fissata.

La legge di distribuzione di Maxwell -Boltzmann non si adatta però a rappresentarerigorosamente il sistema costituito dagli elettroni nel cristallo semiconduttore all 'equili briotermico perchè non è vero che gli elettroni nel cristallo siano particelle non interagenti. Esseinfatti sottostanno al vincolo, sintetizzato dal principio di esclusione di Pauli , di non poteroccupare in più di due (e solo se di spin opposto) lo stesso li vello energetico. La trattazione diquesto caso specifico, oggetto di altri corsi, porta a ricavare una differente distribuzione diprobabilit à di occupazione di uno stato energetico da parte di un elettrone nel semiconduttore,rispetto al caso precedente di particelle non interagenti. La nuova distribuzione, chiamatadistribuzione di Fermi-Dirac, ha la seguente espressione:

f E

eE E

kTf

( ) =+

−

1

1

dove Ef, detto livello di Fermi (o energia di Fermi), è un li vello energeticoconvenzionalmente preso come riferimento, avente il significato fisico di quella energia a cuicorrisponde una probabilit à ½ di trovare un elettrone.

f (E )1

E

0 1/2

T = 0 K

E f

f (E )1

E

0 1/2

T > 0 K

E f

T bassa

T alt a

Alla temperatura dello zero assoluto (T=0K) tutti gli stati con energia inferiore a Ef sonooccupati mentre è nulla la probabilit à che un elettrone si trovi in uno stato con energia superioread Ef. A differenza di quanto accade con la distribuzione di Maxwell -Boltzmann, a T=0K sonooccupati molti li velli , tutti quelli fino ad E=Ef proprio in conseguenza del principio diesclusione di Pauli .All 'aumentare della temperatura, aumenta la probabilit à che un elettrone occupi un li velloenergetico superiore ad Ef e, corrispondentemente, che alcuni stati ad energia inferiore ad Ef

siano vuoti. Il li vello energetico Ef ha comunque sempre probabilit à ½ di essere occupato da unelettrone.Si noti che quando (E-Ef)>3kT, la distribuzione di Fermi si può sempli ficare nella:

f E eE E

kTf

( ) ≅−

−

che mostra come le code della distribuzione di Fermi siano degli esponenziali decrescenti edabbiano quindi la stessa dipendenza di una distribuzione di Boltzmann. Questo interessanterisultato indica che una particella con energia ben maggiore di Ef (E-Ef > 100 meV) ha unaprobabilit à non più condizionata dal principio di esclusione di Pauli di occupare un certolivello energetico. L'energia è così alta infatti che poche sono le particelle che possonooccupare gli stati lì presenti per cui poco importa che gli stati possono essere, ognuno,occupato solamente da un solo elettrone.

18

Anche la coda ad energie inferiori a Ef ha andamento esponenziale. Infatti:

1 11

1 1

− = −+

=+

≅−

−

−

−

f E

e

e

e

eE E

kT

E E

kT

E E

kT

E E

kTf

f

f

f

( )

e quindi anche la distribuzione energetica delle lacune ha sostanzialmente una dipendenza allaBoltzmann.

Le distribuzioni di Boltzmann o di Fermi rappresentano unicamente delle probabilit à dioccupazione di uno stato energetico. Per ricavare la distribuzione effettiva in energia deiportatori bisogna conoscere anche la quantità (densità) degli stati occupabili , g(E).Nell 'introdurre il modello a bande per il Si abbiamo detto che ogni banda contiene un numerodi li velli energetici dell 'ordine di quattro volte il numero di atomi del cristallo. Oraaccenniamo a come questi li velli siano distribuiti i n energia all 'interno delle due bande, quelladi valenza e quella di conduzione. Il problema, squisitamente di meccanica quantistica, porta

alle seguenti distribuzioni paraboliche7della densità dei li velli energetici esistenti nelle bandedi conduzione e di valenza di un semiconduttore come il sili cio. All 'interno del gap di energia,evidentemente, g(E)=0.

7Le parabole hanno diversa curvatura, perchè diversi sono γ1 e γ2. Essi infatti contengono delle costantifisiche e le masse eff icaci, rispettivamente, dell 'elettrone e della lacuna. Va detto, e con un poco diimbarazzo, che per fare sì che i conti utili zzanti g(E) vengano conformi a quelli raff inati fatti con lameccanica quantistica, si è dovuto qui introdurre dei valori di massa eff icace diversi da quelli usati per ilcalcolo del moto delle particelle!

g E E E per E E

g E E E per E E

c c c

v v v

( )

( )

= − ≥

= − ≤

γ

γ1

2

E

E

E

0 g(E)

÷√E - Ev

÷√E - E c

v

c

La distribuzione in energia dei portatori è visualizzabile in forma grafica con l'aiuto dellafigura seguente.A seconda di come sono reciprocamente posizionate in energia g(E) ed f(E), cioè di dove èposto il riferimento del li vello di Fermi Ef all 'interno del gap creato da g(E), si hannodistribuzioni di portatori differenti.Quando Ef è posto a metà del gap, le distribuzioni nella banda di valenza e nella banda diconduzione sono praticamente uguali , indicando un numero uguale di lacune e di elettroni diconduzione. Per quanto già sappiamo, ci aspettiamo che questa situazione sia quella cherappresenta un semiconduttore intrinseco.Quando Ef viene avvicinato ad Ec, l'integrale della distribuzione nella banda di conduzione èben maggiore di quello della banda di valenza, indicando una maggiore presenza di elettroni diconduzione rispetto alle lacune. Questa situazione ci aspettiamo che rappresenti il caso di unmateriale di tipo n. Viceversa, se Ef viene avvicinato ad Ev, l'integrale della distribuzionedella banda di valenza ha il sopravvento, indicando un materiale di tipo p.Si noti che, in tutti i casi, a causa della veloce discesa a zero di f(E) data dalle sue codeesponenziali , le distribuzioni spaziali dei portatori sono molto raccolte nelle vicinanze di Eced Ev.

E

E v

cf (E )

E

E f

g (E )c

g (E )v

E

E v

c

g (E )c

g (E )v

f (E )

[ 1-f (E ) ] [ 1-f (E ) ]

E f

E

E v

c

f (E )

E f

g (E )c

g (E )v

E

E v

c

lacu ne[ 1-f (E ) ]

E f

E

E v

cf (E )

E f

g (E )c

g (E )v

E

E v

c

[ 1-f (E ) ]

E f

el ettroni

19

QUALE E’ LA RELAZIONE TRA LA DENSITA’ DEI PORTATORI E LAPOSIZIONE DEL L IVELL O DI FERMI ?

E’ naturale a questo punto voler calcolare la quantità totale dei portatori li beri nellerispettive bande in funzione della posizione del li vello di Fermi all ’ interno del gap. Nel casodegli elettroni il calcolo si sviluppa nel seguente modo:

n f E g E dE e E E dE e e E E d E E

e kT) eE E

kTd

E E

kTe kT)

c

E E

kTcEE

E E

kT

E E

kTc c

E E

kT

E E

kT c cE E

kT

f

cc

c c f

c f c c f

= ≅ − = − −

=− −

=

−−

∞∞ −−

−−

∞

−−

−−

∞ −−

∫∫ ∫

∫

( ) ( ) ( )

( ( ) (

γ γ

γ γ α

1 1 0

1

3

20 1

3

21

α1 è il valore numerico dell ' integrale definito8. Si ottiene così:

n N ec

E E

kTc f

=−

−

dove [ ]N kT) cm aT Kc = ≅ ⋅ =−γ α1

3

21

19 332 10 300( .

In maniera analoga, il calcolo di p porta alla seguente espressione della densità di lacune nellabanda di valenza:

p N ev

E E

kTf v

=−

−

dove [ ]N kT) cm a T Kv = ≅ ⋅ =−γ α2

3

22

19 32 10 300(

Queste due formule permettono di ricavare, nota la posizione di Ef nel gap, la concentrazionedei due portatori; oppure nota la concentrazione di uno dei due portatori, la posizione di Ef ela concentrazione dell ' altro portatore.E' interessante fare un ulteriore commento a queste espressioni. Nc può essere visto come ilnumero "equivalente" dei li velli occupabili nella banda di conduzione, concentrati tutti nellaposizione energetica ad Ec. Questi stati sono solo in parte occupati e la probabilit à dioccupazione è regolata dalla statistica di Boltzmann espressa dal termine esponenziale. Adesempio, degli 3.2.1019 stati occupabili , ne sono effettivamente occupati un numero minore indipendenza da quanto il li vello inferiore della banda di conduzione Ec dista dal li vello diFermi Ef. Tanto più alto è il drogaggio, tanto più Ef è vicino ad Ec, quindi Ec-Ef è piccola.

8Poichè nell ' integrando si è sostituita la distribuzione di Fermi con quella di Boltzmann, tutti i risultati cheda questo calcolo derivano sono validi fintanto che questa ipotesi è valida, cioè fintanto che il li vello diFermi Ef si trova all ' interno del gap e distante da Ec o da Ev di più di ≈3kT in modo da poter usare solo lacoda esponenziale. Quando ciò non si verifica, perchè il semiconduttore è molto drogato (ND,NA>1019

atomi/cm3), si dice che il semiconduttore è degenere. In questo caso, bisognerebbe rifare tutti i contiutili zzando la distribuzione di Fermi f(E). Nella pratica, molto raramente si incontrano casi in cui ciò sianecessario.

20

Esercizio Dove si colloca esattamente Ef in un semiconduttore intrinseco ?

La posizione del livello di Fermi di un semiconduttore intrinseco, indicato conEi, è ottenuta ricordando che vale in questo caso la relazione n = p. Quindi:

N e N e

N

N

e

e

eN

N

E E

kT

E

kT

c

E E

kTv

E E

kT

c

v

E E

kT

E E

kT

E E E E

kT c

v

c v f

c f f v

f v

c f

c f f v

−−

−−

−−

−−

−− − +

=

= = ⇒ =+

−ln 2

da cui si ottiene:

E EE E kT N

Nf ic v c

v

= =+

−2 2

ln

A parte quindi il piccolissimo scarto di ∼6meV alla temperatura ambiente, in unsemiconduttore intrinseco il livello di Fermi si trova praticamente al centro delgap.

E c

E v

E Ef i=

La corrispondente densità di portatori può allora essere espressaindifferentemente da

n N e oppure n N ei c

E E

kTi v

E E

kTc i i v

= =−

−−

−

In alternativa all 'espressione prima trovata delle densità di portatori, se ne usa spesso un'altraaltrettanto comoda, ottenuta dalla prima con una semplicissima elaborazione. Per gli n:

n N e N e N e ec

E E

kTc

E E E E

kTc

E E

kT

E E

kTc f c i i f c i f i

= = =−

−−

− + −−

− −

Riconoscendo l'espressione di ni, si perviene a:

n n ei

E E

kTf i

=−

In maniera analoga per i p si perviene alla espressione:

p n ei

E E

kTi f

=−

Il vantaggio di queste due espressioni rispetto alle due prima introdotte è che basta ricordarsiuna sola costante, ni, invece di due, Nc e Nv, e calcolare una sola differenza di energia |Ef-Ei|.

21

LEGGE DI AZIONE DI MASSA

E' interessante notare che se si considera un determinato semiconduttore drogato all ’equili briotermico, e si moltipli cano tra loro le concentrazioni dei portatori, si ottiene:

n p ni⋅ = 2

Questa utili ssima relazione, chiamata anche legge di azione di massa, ci dice che in unsemiconduttore il prodotto tra la concentrazione dei maggioritari e quella dei minoritari ècostante per cui quando si aumenta il numero di elettroni mediante l’aggiunta di atomi donoricontemporaneamente diminuisce la concentrazione delle lacune. Nota l'una è immediatamentecalcolabile l'altra.L'espressione di ni, il cui valore a temperatura ambiente era già stato introdotto (→pg.13), puòessere facilmente ricavata nel seguente modo:

n p n N N e n N N ei c v

E E

kTi c v

E

kTc v G

⋅ = = ⇒ =−

−−2 2

Limiti di rigorosa validità delle relazioni

Tutta la trattazione fin qui svolta, è utile ricordarlo, vale fintanto cheil semiconduttore è:- non degenere. Infatti nel ricavare n e p si è usata la distribuzione diBoltzmann invece di quella di Fermi;- all 'equili brio termico, perchè è in queste condizioni che vengonodefinite ed hanno validità le distribuzioni usate.

22

COME CALCOLARE IL NUMERO DEI PORTATORI I N UN SEMICONDUTTOREDROGATO ?

Le espressioni appena trovate pongono in relazione la densità dei portatori, n o p, con laposizione del li vello di Fermi Ef all 'interno del gap ma ancora nulla dicono del loro valoreassoluto. Per fare questo ultimo passo si deve calcolare la densità dei portatori disponibili i nbase al valore del drogaggio.In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è nulla (condizione

di neutrali tà della car ica)9 perchè il drogante ionizzato è compensato dal suo portatore.Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi sicuramente valida a temperaturaambiente), le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli i oni degliatomi donori ND. Le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni li beri, n, edegli atomi accettori ionizzati NA. La condizione di neutralità di carica si traduce in:

q (p+ND-n-NA) = 0 → p-n = NA-ND

Ricordando la legge di azione di massa np=ni2 si ha

pN N N N

nA D A Di=

−+

−

+

2 2

2

2

nN N N N

nD A D Ai=

−+

−

+

2 2

2

2

Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante, laconcentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente disponibili . Si ritrovaquantitativamente quanto già noto qualitativamente, cioè che p e n dipendono da:- quantità netta di drogante, |NA-ND|;- portatori generati termicamente, ni.

Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento (|NA-ND|>ni), sihanno i seguenti casi sempli ficati:

semiconduttore di tipo p : N NA D> ⇒ ≅ ≅p N nn

NAi

A

2

semiconduttore di tipo n : N ND A> ⇒ ≅ ≅n N pn

NDi

D

2

In entrambi i casi la densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densità didrogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di massa. Nella praticacostruttiva dei dispositi vi elettronici si è quasi sempre in questa situazione, essendo i li velli didrogaggio normalmente utili zzati pari a 1014÷1018 [cm-3] contro un valore di ni=1.45.1010

[cm-3].

9La neutralità di carica non è disturbata dalla generazione ottica o termica perchè i portatori vengonogenerati o ricombinati in coppie, senza alterare la carica totale. La neutralità di carica è invece disturbatanelle regioni di semiconduttore dove si ha un campo elettrico, o applicato dall 'esterno o prodottointernamente con un drogaggio ad esempio non uniforme, come vedremo meglio in seguito.

23

In base a quanto visto dovrebbe risultare chiaro il seguente grafico che mostra l'andamento conla temperatura della concentrazione dei portatori in un semiconduttore drogato n (ad esempioND=1016 cm-3). A temperature molto basse (T<100K) la concentrazione di portatori èbassissima perchè pochi sono quelli generati termicamente e gli atomi di drogante non si sonoancora ionizzati.Nell 'intervallo di temperatura tra 150K÷600K, la concentrazione di portatori maggioritaricoincide praticamente con quella dei droganti poichè questi sono tutti ionizzati. All 'aumentaredella temperatura ai portatori maggioritari dati dal drogante si aggiungono, in quantità semprecrescenti, coppie elettrone-lacuna generati termicamente. Quando queste diventano prevalentirispetto ai portatori n forniti dal drogante (T>650÷700K), il materiale può di nuovo essereconsiderato intrinseco.

n

n i

T (K )3 0 0 6 0 0

n/N D

1

2

DOVE SI COLLOCA Ef IN UN SEMICONDUTTORE DROGATO ?

Noti i valori di densità dei portatori maggioritari e minoritari, è immediato calcolare laposizione del li vello di Fermi all 'interno del gap. Dalle relazioni esponenziali prima introdottesi ricava:

E E kTn

noppure E E kT

p

nf ii

f ii

= + = −ln ln

Poichè il li vello di Fermi in un semiconduttore all 'equili brio è unico, è indifferente usare l'una ol'altra espressione. Se infatti si sostituisce alla prima n=ni

2/p, si ottiene la seconda e viceversa.

Usare, nel definire un semiconduttore drogato, il valore del li vello di Fermi oppure il valore diconcentrazione dei portatori è equivalente e dettato di volta in volta da ragioni di convenienza odi chiarezza. Ad esempio, il li vello di Fermi è a volte preferito perchè la presenza del logaritmoriporta enormi variazioni di n o p a piccole variazioni di Ef, più comode da usare nei calcoli neiprogrammi di simulazione.

24

COME SI PUO' FARE SCORRERE CORRENTE NEI SEMICONDUTTORI ?

CORRENTE DI CONDUZIONE o DI DERIVA

La corrente di conduzione (o di deriva) nasce perchè le cariche mobili , elettroni e lacune,sentono una forza quando poste in un campo elettrico E.

Agli effetti del moto nel cristallo, come già detto, si considerano gli elettroni e le lacune comeparticelle libere, in cui gli effetti del potenziale periodico del reticolo ideale di sili cio sonocompletamente tenuti in conto dalla massa eff icace che si attribuisce loro. Solo gli scostamentidalla pura periodicità del reticolo determinano delle forze deflettenti sul moto delle particelle.Le due principali cause di distorsione dalla periodicità sono legate a:1) vibrazioni termiche del reticolo cristalli no;2) presenza degli atomi di drogante ionizzato in sostituzione di alcuni atomi di sili cio.Queste forze deflettenti agiscono con continuità ed a lungo raggio. Tuttavia è molto comodorappresentare il moto delle particelle come soggette ad urti secchi, in corrispondenza dei qualila velocità si annulla e la nuova direzione è completamente casuale.Se si applica un campo elettrico, la particella tra un urto e l'altro viene accelerata dalla forza:

& &

&

F qE m a= = ∗

subendo una accelerazione pari a

&

&

aqE

m= ∗ .

Se l'intervallo medio tra un urto e l'altro è τc, la velocità media del portatore è di

&

&

vq

mEc≅ ∗

τ

A causa quindi delle continue interazioni, la presenza di una forza sui portatori non dà luogo aduna accellerazione costante ma ad una velocità costante, come in un moto viscoso.Il fattore di proporzionalità tra velocità e campo elettrico è chiamato mobili tà, µ [cm2/Vs] delportatore:

&

&

v E= µ .

La mobilit à può essere vista come un indice della facilit à con cui i portatori si muovono nelcristallo. Un aumento del numero di colli sioni, e quindi una diminuzione del tempo medio τc tradi esse, diminuirebbe il valore della mobilit à. Il valore di riferimento tipico per la mobilit à deglielettroni e delle lacune nel sili cio, valido per i normali li velli di drogaggio (1014÷1017 [cm-3])

ed alla temperatuta ambiente10 è:

µ µn p

cm

Vs

cm

Vs≅ ≅1300 4 00

2 2

10 Alla temperatura ambiente, l'interazione principale del portatore è con le vibrazioni termiche delcristallo. Per drogaggi maggiori di 1017 [cm-3] le interazioni con i droganti ionizzati iniziano a prevaleree la mobilit à decresce. Ad esempio con NA, ND≅1018 [cm-3] si ha µn≅400 e µp≅200. La mobilit à inoltrediminuisce all 'aumentare della temperatura in maniera più o meno evidente in funzione di quanto leinterazioni con il cristallo sono prevalenti rispetto a quelle con le impurezze ionizzate.

25

Ciò che interessa per la comprensione dei dispositi vi elettronici non è tanto il percorso di motodi un singolo portatore quanto il comportamento nel suo complesso di un gran numero diportatori soggetti ad un gran numero di interazioni. Questo può essere visualizzato come ilcomportamento di gruppo di tutti i portatori in giuoco, aventi ognuno la velocità costante primadefinita e muoventesi parallelamente (se lacune) o antiparallelamente (se elettroni) al campoelettrico esterno applicato. In analogia ai flussi di fluidi viscosi, quindi, la corrente, definitacome la quantità di carica trasportata attraverso una sezione S (normale al moto delle carichestesse) nell 'unità di tempo, può essere espressa da:

I = qnvnS + qpvpS

o, introducendo la densità di corrente, J [A/cm2], come la corrente che attraversa una sezionedi un cm2 di semiconduttore, da:

J = qnvn + qpvp

La densità di corrente di deriva è quindi

J = Jn + Jp = q ( nµn + p µp ) E

I contributi delle lacune e degli elettroni si sommano perchè lo stesso campo produce flussi indirezioni opposte di portatori con cariche opposte.

In un materiale di tipo p (p>>n) J ≅ Jp = qpµpE

In un materiale di tipo n (n>>p) J ≅ Jn = qnµnE

⇒ la corrente di deriva è portata essenzialmente dai maggioritari.

Non si venga ingannati a pensare che in assenza di campo elettrico i portatori nel cristallostiano fermi. Il moto di deriva dei portatori come risposta al campo elettrico esterno deve essereinfatti immaginato sovrapposto ad un moto di agitazione termica dei portatori sempre presente.Quest'ultimo avviene in tutte le direzioni in maniera casuale per cui mediato su di un grannumero di portatori dà una corrente netta nulla J=0. La velocità media dei portatori peragitazione termica può essere stimata assimilando il portatore libero di muoversi nelle tredimensioni ad una molecola di un gas ideale, la cui energia è quindi:

E = 1

2

3

2102 7m v kT v

cm

sn p∗ = ⇒ ≅, a T=300K.

Essa è detta velocità termica per distinguerla da quella impartita dal campo elettrico esterno,che è invece dell 'ordine di (con µ ≅103 e E≅102÷103):

v Ecm

sn p n p, ,= ≅ ÷µ 10 105 6

Il moto dei portatori è pertanto prevalentemente determinato dagli effetti termici. La velocitàmedia di gruppo dovuta alla deriva può essere vista come una piccolissima tendenza di motonella direzione del campo sovrapposta ad un gran moto dovuto alla agitazione termica. Essa

26

produce comunque un grande flusso netto grazie alla grande popolazione di portatori

interessata11.

Esercizio Confrontando la mobilit à degli elettroni nel sili cio con quella nel rame si scopreche la prima è molto maggiore della seconda:

µ µn Si n Cu

cm

Vs

cm

Vs≅ >> ≅1300 35

2 2

Perchè allora i metalli sono migliori conduttori dei semiconduttori ?

Perchè ci sono più portatori disponibili a muoversi:n

Cu= densità degli atomi ≅1023 [cm-3]

nSi

=densità dei droganti ≅1014÷1018 [cm-3].

Riprendendo l'espressione della densità di correnteJ = Jn + Jp = q ( nµn + p µp ) E

si definisce conducibili tà, σ , del semiconduttore il fattore di proporzionalità tra il campoelettrico E e la densità di corrente J:

σ µ µ= +q n pn p( )

Il suo reciproco è chiamato resistività, ρ , del materiale:

ρµ µ

=+

⋅1

q n pcm

n p( )Ω

Essa corrisponde ad una resistenza normalizzata, indipendente dalle dimensioni del materiale.Da questa si giunge alla resistenza di un blocchetto di materiale lungo L e di sezione S tramitela:

RL

S= ρ Ω

Nella pratica, avendo a che fare con materiali di tipo n o di tipo p, l'espressione della mobilit à siriduce, rispettivamente, a:

ρµ

ρµ

≅ ≅1 1

qnper materiale

qpper materiale p

n p

n,

La densità di corrente di deriva può quindi essere espressa in forma sintetica come:

J E E= =σρ1

Essa corrisponde, in una forma indipendente dalle dimensioni del materiale, alla legge di Ohm:

IV

R=

11 Queste considerazioni portano a considerare l'intervallo di tempo medio tra le colli sioni, τc,indipendente dal campo elettrico esterno applicato e determinato quasi esclusivamente dalla agitazionetermica. Questo è vero nel sili cio fino a campi elettrici dell 'ordine di 105 V/cm.

27

CORRENTE DI DIFFUSIONE

Se, per qualunque ragione, la densità dei portatori nel semiconduttore non è uniforme, si attivaun trasferimento netto di portatori dalla regione a più alta densità alla regione a più bassadensità. Questo trasferimento è chiamato moto di diffusione. Essa avviene grazie al fatto che ilmovimento termico dei singoli portatori è casuale ed equiprobabile in tutte le direzioni:

A lt a densit àdi por tator i

B assa densit àdi por tator i .

. . . .... . ...

.... ... ... . ..

... . .. ... . ..

... . ..... . ..

..

.. . ... .. . ..

. ..

. ... ... .. . ..

. . . .... ...

. .... .

. . . .... ...

. .... .. . . .... ..

.. .... .

. . . .... ...

. .... . .

.. . ... .... . . .... . .

...

. ..

.. .. .... ..

.

. . .... .. ....

.... ..

. . . .... . ...

.. ..

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Se si considera una superficie ideale che separa due zone con differenti densità di portatori,mediamente ci sono più movimenti casuali che attraversano la sezione da sinistra a destra(perchè ci sono più portatori a sinistra) che viceversa.Il problema è del tutto analogo al moto di diffusione delle molecole nei gas, sintetizzatoquantitativamente nella legge di Fick dei gas. Quindi anche nel caso dei semiconduttori, il

flusso di particelle12 è proporzionale al gradiente della loro distribuzione tramite ilcoefficiente di diffusione, D,:

n(x )

x

dndx

0

_

Jn

p(x )

x

dpdx

0

Jp

+

J qDn

xn n= ∂∂

J qDp

xp p= − ∂∂

La densità di corrente di diffusione è quindi

J = Jn + Jp = q ( Dn grad(n) - Dp grad(p) )

I segni dei due addendi sono opposti perchè lo stesso gradiente produce flussi nella stessadirezione e quindi correnti opposte.

La corrente di diffusione può essere portata indifferentemente dai maggioritari o dai minoritaripurchè presentino un gradiente di concentrazione. Vedremo nel seguito che sarà interessantesoprattutto come corrente dei minoritari.

12I portatori sono considerati non interagenti tra loro perchè rispetto agli atomi del cristallo (5.1022 cm-3),essi sono pochissimi (1014÷1018 cm-3), quindi molto "lontani" l'uno dall 'altro e schermati dal Si.

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In generale in un semiconduttore sono compresenti:- campi elettrici,- gradienti di concentrazione dei portatori,

e quindi le correnti sono date dalla sovrapposizione dei due effetti prima analizzati. Nel caso dianalisi unidimensionale dei dispositi vi esse diventano:

J q nE qDn

x

J q pE qDp

x

n n n

p p p

= +

= −

µ ∂∂

µ ∂∂

Poichè sia il processo di diffusione che quello di deriva dipendono dalle stesse colli sionicasuali dei portatori con il reticolo e con le impurezze ionizzate, ci aspettiamo che µ e D sianocollegati. Effettivamente si può dimostrare che tra i due coeff icienti vale la seguente relazione,detta relazione di Einstein :

µ µn

n

p

p thD D

q

kT V= = = 1

NUMERI CHE È UTILE RICORDARE

Carica dell 'elettrone (e della lacuna) q = 1.6 . 10-19 [C]Numero atomico del sili cio Z = 14Densità degli atomi di sili cio nel cristallo 5 . 1022 [atomi/cm3]Gap di energia nel sili cio a T ambiente Eg = 1.12 eVEnergia termica a T ambiente kT = 25 meVTensione termica a T ambiente kT/q = 25 mVDensità di portatori intrinseca a T ambiente ni = 1.45 . 1010 [cm-3]Mobilit à degli elettroni nel Si (T=300K) µn ≅ 1300 [cm2/Vs]Mobilit à delle lacune nel Si (T=300K) µp ≅ 400 [cm2/Vs]Velocità termica di un portatore (T=300K) vn,p ≅ 107 [cm/s]Costante dielettrica del Si εsi ≅ 10-12 [F/cm]Coeff iciente di diffusione per gli elettroni nel Si (T=300K) Dn ≅ 32 [cm2/s]Coeff iciente di diffusione per le lacune nel Si (T=300K) Dp ≅ 12 [cm2/s]