Introduzione a MATLAB - Elettrotecnica a... · Introduzione a MATLAB ... Adottiamo il metodo...

Introduzione a MATLABIntroduzione a MATLAB

Università degli Studi di Napoli Federico IICdL Ing. Elettrica

Corso di Laboratorio di Circuiti Elettrici

Dr. Carlo PetrarcaDipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Napoli FEDERICO II

Parte 4Parte 4

Anno Accademico 2009-2010 Introduzione a MATLAB – Parte 4

Numeri complessiIn MATLAB è possibile fare operazioni con numeri complessi

L’unità immaginaria (√-1) “i” oppure “j” è assegnata per default

>> ians =

0 + 1.0000i

Attenzione perchè, se si assegna un valore diverso a questevariabili, esse perdono il loro valore di default!!

>> i=5;>> ii =

5

2


Operazioni con i numeri complessi

>> x=5+i*4x =

5.0000 + 4.0000i

Assegnazione (forma cartesiana o algebrica): x=5+i4

Coniugato:>> conj(x)ans =

5.0000 - 4.0000i

Parte reale e parte immaginaria:>> real(x)ans =

5 >> imag(x)ans =

43


Operazioni con i numeri complessi

>> y=8*exp(i*pi/6)y =

6.9282 + 4.0000i

Assegnazione (forma esponenziale o polare): y=8ei(π/6)

Modulo:>> abs(y)ans =

8

Argomento (in radianti):

>> angle(y)ans =

0.5236

4


Esercizi con i numeri complessi1. Convertire i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella polare

5

j355 −j43+ j66 −−

2. Convertire i seguenti numeri dalla forma polare a quella algebrica

6/je6 π 4/je27 π− 3/2je10 π

3. Eseguire le seguenti operazioni:

( )( )j64j37 +− ( ) ( )j31/j42 −+ ( ) ( )jj +−+ 532


Esercizi con i numeri complessi4. Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore

6

5. Dati i seguenti fasori:

6/1 10 πjeV = 6/

2 10 πjeV −= 3/3 5 πjeV =

rappresentare su grafico le tensioni corrispondenti ai fasori

21 VV + 21 VV − 31 VV −

utilizzando la seguente trasformazione fasoriale:

( ) ( )αα +=⇔= tVtveVV Mj

M 500sin

( ) ; 4

sin50 Atti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πω ( ) ; 3

cos210 Atti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πω ( ) ; 4

cos250 Atti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πω


EsercizioLa rete di figura è a regime sinusoidale. Ricavare l’intensità di correntenell’induttore, tracciarne il grafico in un intervallo di tempo pari a 2 volte ilperiodo T, calcolare la potenza media erogata dal generatore di tensione e1

L

R1

C

+- e1(t)

A

B

+-

R2

e2(t) il(t)

( ) ( ) ( )s

rad800 ; 6

sin50 ; sin40 ;4.0 ;2 ;5 2121 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −====Ω== ωπωω VtteAttemFCmHLRR

7


Adottiamo il metodo simbolico:

ZL

ZR1

ZC

+- E1

A

B

IL

IE1

+-

ZR2

E2

IE2

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=++

1LE1

2LE2

LE2E1

EIIEII

0III

LCR

LCR

ZZZZZZ

1

2E risolviamo il sistema:

8


% Assegnazione datiR1=5;R2=5;L=2e-3;C=0.4e-3;w=800;E1=40*exp(j*0);E2=50*exp(-j*pi/6);ZR1=R1; ZR2=R2;XL=w*L; ZL=j*XL;XC=1/(w*C); ZC=-j*XC;

% Scrittura sistema di equazioni% Matrice A dei coeff. delle incogniteA=[1 1 1;0 ZR2 -(ZC+ZL);ZR1 0 -(ZC+ZL)];% Vettore colonna dei termini notiNoti=[0;E2;E1];

Assegniamo i dati del problema:

Scriviamo il sistema da risolvere:

9


I=inv(A)*Noti;% Calcolo del fasore della corrente ILIL=I(3);% Valore massimo di ILILmax=abs(IL)% Fase di ILILfase=angle(IL)

Ricaviamo la corrente iL(t)

% Calcolo della potenza complessa erogata da E1IE1=I(1);PcE1=0.5*E1*conj(IE1);% Potenza media erogata da E1PE1=real(PcE1)

Ricaviamo la potenza media erogata da E1

PE1=137 W

iL(t)=14.8 sin(800t-2.88) A

10


% Tracciamo il grafico di iL(t)% Calcolo del periodoT=2*pi/w;% Definizione dell'asse dei tempit=[0:T/100:2*T];% Calcolo della il(t)iL=ILmax*sin(w.*t+ILfase);% Grafico di iL(t)plot(t,iL);xlabel('tempo [s]');ylabel('corrente [A]');title('Corrente nell''induttore');

Grafico di iL(t):

11


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-15

-10

-5

0

5

10

15

tempo [s]

corr

ente

[A

]

Corrente nell'induttore

Grafico della corrente nell’induttore:

12


Metodo sistematicoLa matrice di incidenza completa AC definisce univocamente il grafo della rete

Dato un grafo orientato con N nodi e L lati la matrice AC ha N righe e L colonne e il generico elemento aik della matrice di incidenza completa è così definito:

1 se il lato k esce dal nodo i1 se il lato k entra nel nodo i

0 se il lato k non interessa il nodo iika

+⎧⎪= −⎨⎪⎩

13


[ ] =CA I 0

111 12 1

221 22 2

1 2

0.. ..

0.. ..

.. 0.. .. ..

.. 0.. ..

0

L

L

ii ik

N N NLL

ia a a

ia a a

a aa a a

i

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

Indicato con I il vettore colonna delle correnti di lato,la matricedi incidenza completa ci permette di scrivere in forma compatta

matriciale le LKC a tutti gli N nodi della rete:

Eliminando una qualsiasi delle N equazioni ai nodi, le (N-1)equazioni rimanenti sono linearmente indipendenti.

14


La matrice che si ottiene dalla matrice di incidenza completa eliminando la generica k-esima riga è la matrice di incidenza ridotta A

Le (N-1) equazioni indipendenti esprimenti la LKC verranno pertanto espresse in forma matriciale come:

[ ] =A I 0

Per la LKT, basta ricordare che essa è identicamente soddisfatta se si esprimono le tensioni di lato in funzione dei potenziali nodali. Per semplicità è opportuno fissare un nodo a potenziale zero di riferimento. La scelta piùsemplice è quella di adottare come nodo di riferimento il nodo k-esimo per il quale non si è scritta la LKC

15


[ ] T =A v V

Detto V il vettore delle tensioni di lato e v il vettore degli (N-1)potenziali nodali, è possibile scrivere la relazione:

In conclusione le equazioni topologiche della rete sono:

[ ] [ ] e T v = =A V A I 0

Per completare il sistema di equazioni non rimane ora che esprimere le caratteristiche di lato

16


Al fine di rendere sistematica e automatizzata le scrittura delle equazioni di lato è necessario che le equazioni caratteristiche assumano la forma più generale possibile

Per bipoli controllabili in tensione, ci viene incontro il teorema del generatore equivalente di Norton

J k

Gk

I k

Vkk k k kI J G V= +

17


In simboli matriciali, le caratteristiche di lato possonoessere espresse dalla relazione:

[ ] = +I J G V

in cui il vettore J di dimensione L è rappresentativo dei generatori di corrente e la matrice G è detta matrice della conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (Gii≠0) di dimensione L×L.

Moltiplichiamo a sinistra l’espressione per la matrice A:

[ ] [ ] [ ][ ] = +A I A J A G V

18


[ ] [ ][ ] = −A J A G V

[ ] [ ][ ][ ] T= −A J A G A v

[ ] [ ][ ][ ]T=NG A G A

[ ] =NJ A J

[ ] = −N NJ G v

Per la LKC si ha:

Utilizzando i potenziali nodali otteniamo:

da cui:

è la matrice conduttanza di nodo

è il vettore delle correnti impresse di nodo

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[ ] 1−= − N Nv G J

Il vettore incognito dei potenziali di nodo si ottiene da:

Proprietà della matrice GN:

1. Il termine diagonale gii è la somma delle conduttanze di tutti i lati collegati al nodo i, ed è detta autoconduttanzadel nodo i;

2. Il termine gik è la cosiddetta mutua ammettenza tra il nodo i ed il nodo k; essa è l’opposto della somma di tutte le conduttanze di tutti i lati che collegano il nodo i al nodo k.

20


Il generico elemento JN (i) del vettore JN è pari alla somma algebrica delle correnti impresse nel nodo i. Le correnti sono pesate con il segno + se il riferimento di corrente è entrante nel nodo i, altrimenti sono pesate con il segno -.

Proprietà del vettore JN:

[ ] T =A v V

[ ] = +I J G V

Noto il vettore dei potenziali di nodo, si ricavano le tensioni di lato:

E, infine, anche le correnti:

21


R1 R2

R4

+-

E4

R3

J5J6

R5

I

IIIII

IV

J6

I

IIIIIIV

R1

J1

R2

J2

R4J4

R5

J5

R3

J3

EsercizioRisolvere con Matlab la rete di figura:

22


1) Trasformare ogni lato nel suo equivalente di Norton2) Assegnare i dati del problema3) Scrivere la matrice di incidenza Ac e A4) Scrivere la matrice delle conduttanze di lato G5) Scrivere il vettore delle correnti impresse di lato J6) Ricavare la matrice delle conduttanze di nodo GN7) Ricavare il vettore delle correnti impresse di nodo JN

8) Risolvere il sistema:

9) Ricavare le tensioni di lato:

10) Ricavare le correnti di lato:

Procedere secondo i seguenti passi:

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[ ] 1−= − N Nv G J

[ ] T =A v V

[ ] = +I J G V


% Forma matriciale delle equazioni nei potenziali ai nodiclear all; clc;

N=4; %numero di nodiL=6; % numero di lati

% resistenze di latoR1=10;R2=5;R3=8;R4=10;R5=5;

% sorgentiJ5=10;J6=4;E=100;

% Matrice di incidenza completa AcAc=[-1 1 0 -1 0 0;0 -1 -1 0 -1 0; 0 0 0 1 1 -1; 1 0 1 0 0 1];

24


% Matrice di incidenza ridotta AA=Ac(1:N-1,1:L);

% Matrice delle conduttanze di lato GG=zeros(L,L);G(1,1)=1/R1;G(2,2)=1/R2;G(3,3)=1/R3;G(4,4)=1/R4;G(5,5)=1/R5;G(6,6)=0;

% Vettore delle correnti impresse di lato JJ=zeros(L,1);J(1,1)=0;J(2,1)=0;J(3,1)=0;J(4,1)=E/R4;J(5,1)=J5;J(6,1)=J6;

25


% Matrice delle conduttanze di nodo GnGn=A*G*A';

% Vettore delle correnti impresse di nodo JnJn=A*J;

%%%%%%%% RISOLUZIONE DEL SISTEMA %%%%%%%%%%%%%%

% Vettore dei potenziali di nodo vv=-inv(Gn)*Jn;

% Vettore delle tensioni di latoV=A'*v;

% vettore delle correnti di latoI=J+G*V;

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