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PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

A) OBJETIVO:

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.

B) EQUIPO:

- Una barra metálica de longitud L con huecos (Ver figura 1.a)- Un soporte de madera con cuchilla.- Dos mordazas simples.- Un cronometro digital.- Una regla milimetrada.

C) FUNDAMENTO TEÓRICO:

PÉNDULO FÍSICO

Un péndulo físico es un cuerpo rígido de masa m que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa (Ver figura 1.b). Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es Io, se separa de su posición de equilibrio un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador τo asociado a la fuerza gravitacional mg, le producirá un movimiento oscilatorio cuya ecuación es:

Τo = Io θ”

Con la aproximación de pequeñas oscilaciones senθ =θ, la ecuación dinámica rotacional anterior puede escribirse en la forma:

θ”+ ω2 θ= 0

Determinación del momento de inercia de un cuerpo usando un péndulo físico.

Según el teorema de los ejes paralelo (teorema de Steiner), el momento de inercia respecto de su centro de masa, Icm, y el momento de inercia respecto de un nuevo eje paralelo al primero y separado de aquel por una distancia y, están relacionados por:

I(y) = Icm + M . y2 ……..ec. 2

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Figura 1.a

Donde M es la masa del cuerpo. Si ponemos al objeto a oscilar alrededor de un punto de suspensión O, su período será:

….ec.1

La posición del centro de masa del cuerpo puede determinarse con relativa facilidad. Si el objeto es plano, basta suspenderlo de dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensión.La intersección de dichas rectas determina el centro de masa. Esto significa que para un objeto plano el valor de y puede determinarse por medición directa. Si el objeto es simétrico, la simetría indica la ubicación del centro de masa.

D) PROCEDIMIENTO:

1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples.

2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad (CG) de la barra. (Ver figura 2.a)

3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla (Ver figura 2.b) y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (cuando mas 15º), tome nota del tiempo en que emplea en 10 oscilaciones y mida también la distancia l (distancia de CG a O).

4. Repetir esta operación dos veces más.

5. Mida las mediciones de la barra y su masa.

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Figura 2.a

E) CÁLCULO Y RESULTADOS:

1.-Llene la tabla 1 con las siguientes características.Solucion

Tabla 1Numero de hueco

l (cm.) t1 (s) t2 (s) t3 (s)# de

oscilacionesPeriodo T

(Promedio).1 50,8 17,04 17,01 17,02 10 1,7022 45,8 16,62 16,65 16,64 10 1,6643 40,8 16,31 16,26 16,28 10 1,6284 35,8 16,15 16,19 16,20 10 1,6185 30,8 16,11 16,08 16,13 10 1,6126 25,8 16,31 16,33 16,32 10 1,6327 20,8 16,91 16,88 16,93 10 1,6918 15,8 9,07 9,01 9,03 5 1,8079 10,8 10,51 10,53 10,54 5 2,10510 5,8 13,82 13,86 13,87 5 2,77

2.a) Grafique T vs. l ,( T en el eje vertical y l en el eje horizontal)

X Y XY X2 X2Y X3 X4

50,8 1,702 86,462 2580,64 4392,2493 131096,512

6659702,81

45,8 1,664 76,211 2097,64 3490,473 96071,912 4400093,57

40,8 1,628 66,422 1664,64 2710,0339 67917,312 2771026,33

35,8 1,618 57,924 1281,64 2073,6935 45882,712 1642601,09

30,8 1,612 49,650 948,64 1529,2077 29218,112 899917,85

25,8 1,632 42,106 665,64 1086,3245 17173,512 443076,61

20,8 1,691 35,173 432,64 731,59424 8998,912 187177,37

15,8 1,807 28,551 249,64 451,09948 3944,312 62320,1296

10,8 2,105 22,734 116,64 245,5272 1259,712 13604,8896

5,8 2,77 16,066 33,64 93,1828 195,112 1131,6496

283 18,23 481,2982 10071,4 16803,38556

401758,12 17080652,3

Realizando un ajuste cuadrático

18,23 = a(10) + b(283) + c(10071,4) 481,2982 = a(283) + b(10071,4) + c(401758,12) 16803,38556 = a(10071,4) + b(401758,12) + c(17080652,3)

5

a = 3.0211 b= - 0.0856 c = 0.0012

Ecuación: 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211

Grafico l vs. T

b) A partir de la ec. (1), con Il dada por la ec. (2), encuentre el valor de l donde el periodo es mínimo.

Solución:

El periodo mínimo se da en el hueco 5 donde T= 1,612 (s)

Entonces de la ec. (2) Il = IG + Ml2

De datos se tiene: IG= 0.2068 , M=1.97 Kg, l = 0.308 m

Il = 0.2068 + (1.97) (0.358)2 = 0,459 kg.m2

Entonces:

Hallando el valor de l con Il dada por la ec. (2) En la ec. (1) T= 2π (Il / Mgl)1/2

. l = 4π2 Il / T2Mg = 4π2 (0.459) / (1.612)2(1.97) (9.8) = 0.361 m

c) Compare el valor de l obtenido en (b) con el que se obtiene de la grafica en (a).

De la ecuación: F(X) = 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211

Derivando y hallando mínimos: F1 = 0.0024X - 0.0856 = 0

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X = 35.67 cm = 0.357 mSe puede apreciar que existe una diferencia de 0,004 m o sea 0,4 cm. Donde en (a) la distancia es menor que en (b)

d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia?

De: T= 2π (Il / Mgl)1/2 = 2π [0.459 / (1.97) (9,8) (0.361)]1/2 = 1,612 s

e) De su grafico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos.

Para resolver esta pregunta nos basamos en la ecuación de la línea de tendencia de los puntos obtenidos en el experimento, siendo esta:

y = 0,001x2 – 0,080x + 2,928

Donde “y” es el periodo T, asumiendo un periodo de 1,612 s

1,612 = 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211 0 = 0.0012X2 - 0.0856X + 1.4091

Aplicando: para una ec. ax2+bx+c =0 sus raíces son: -b ± (b 2 – 4ac) 1/2 2a Entonces x1 = 45.559 cm y x2 = 25.774 cm

Por tanto para los puntos 45.559 y 25.774 su periodo será el mismo, o sea 1,612 (s)

3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de Il y llene la Tabla 2 con las siguientes características.

Solución:

Utilizando para cada hueco la siguiente fórmula: Il = T2Mg l / 4π2

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Tabla 2

# de huecos

Eje de oscilación,l (cm)

(Periodo)2

T2(s2)

Momento de inercia Il

g/cm2L2(cm2)

1 50,8 2,897 72037,04 2580,642 45,8 2,769 62079,06 2097,643 40,8 2,650 52934,89 1664,644 35,8 2,618 45878,91 1281,645 30,8 2,599 39179,04 948,646 25,8 2,663 33638,22 665,647 20,8 2,859 29115,45 432,648 15,8 3,265 25254,94 249,649 10,8 4,431 23426,15 116,6410 5,8 7,673 21785,15 33,64

4.-Haga el grafico Il vs. l2, y ajústelo cuando los puntos estén muy dispersos.

X Y XY X2

2580,64 7203703,65 185901658 6659702,812097,64 6207906,06 130219521 4400093,571664,64 5293488,56 88117527,

92771026,33

1281,64 4587890,83 58800244,1

1642601,09

948,64 3917904,14 37166805,8

899917,85

665,64 3363822,17 22390945,9

443076,61

432,64 2911545,39 12596510 187177,37249,64 2525494,38 6304644,1

762320,1296

116,64 2342615,27 2732426,45

13604,8896

33,64 2178514,96 732852,432

1131,6496

10071,4 40532885,41 544963135 17080652,3

Realizando un ajuste lineal:

40532885,41 = a(10) + b(10071,4)

544963135 = a(10071,4) + b(17080652,3)

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a = 2068139.93 b= 1971.08 Ecuación: 1971.08X + 2068139.93

Grafico Il vs. l2

5.-Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine IG y M.

Solución:

Comparando al ecuación (2), Il = IG + Ml2, con la ecuación obtenida del grafico Il vs. l2 con el respectivo ajuste, Il = 1971.08 L2 + 2068139.93 se obtienen los valores de:

IG =2068139.93 g.cm2

M =1971.08 g

6.-Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud L y ancho b, IG =M (L2 + b2)/12. ¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿Qué puede decir acerca de la masa?

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Solución:Datos obtenidos experimentalmente: M ex. = 1970g L =111cm B =3,75cmRemplazando en la formula analítica:

IG =M (L2 + b2)/12 IG = 2025006.094 g.cm2

Halando el error experimental para el IG:

%E = (2068139.93 – 2025006.094 ) x 100 = 2.13 % aproximadamente. 2025006.094

El error obtenido fue debido a que la formula analítica no considerar los huecos que tenia la barra sino considera que esta fuese uniforme.

En cuanto a la masa M el valor obtenido mediante la grafica es muy próximo al valor real medido experimentalmente. M =1970 g (experimental) M =1971.08 g (por ajuste) %E = 0,055 %

7) Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor de aula que asigne el numero de hueco.

Entonces de: l = 4π2 Il / T2Mg

Para el hueco # 5 su “l” será:

l = 4π2 (0.39) / (2,599) (1,97) (9,8) = 0,24 m

8) Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2)-Para la relación (1):

En un péndulo físico, el cuerpo esta desplazado un ángulo “ө” de la posición de equilibrio, la distancia de “O” (punto de apoyo) al centro de gravedad es l, siendo su masa M.Cuando el cuerpo se desplaza causa un momento de torsión que por teoría se sabe que es:

г = + (mg) (lsen ө)

Donde será negativo si el momento de torsión es horario y será positivo si es antihorario.

Entonces como “ө” es pequeño podemos considerar: sen ө = өPor lo que se considera un movimiento aproximadamente armónico simple.

г = (mgl) (ө)

La ecuación de movimiento es ∑г = Iα …..Por tanto.

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(mgl) = Iα = Id 2 ө d 2 ө = mgl ө dt2 dt2 I

Por tanto la frecuencia está dada por: w = (mgl /I)1/2, entonces el periodo es:

T = 2π (I/ mgl)1/2

-Para la relación (2):

Se sabe q un cuerpo tiene un número ilimitado de puntos por el cual se podría tomar un eje y hacerlo girar entonces supongamos que tenemos un cuerpo en el eje xy donde su centro de masa esta en el punto “0” que tiene como eje de giro z:

yi --------------------------------------mi

yi-b a P xi- a d b x O xi

El momento de inercia que pasa por el centro de masa (en el punto 0) es:

Icm = ∑mi( xi2 + yi

2)

Entonces el momento de inercia alrededor del eje paralelo que pasa por P es:

Ip = ∑mi [(xi-a) 2 + (yi-b) 2]

Desarrollando la ecuación, queda:

Ip = ∑mi( xi2 + yi

2) – 2a∑mi xi – 2b∑mi yi + (a 2+ b) 2∑mi

Obs.: 2a∑mi xi y 2b∑mi yi se anulan porque son proporcionales a xcm y ycm que son cero porque se toman desde el origen.

Por tanto: Ip = ∑mi( xi2 + yi

2) + (a 2+ b) 2∑mi = Icm + Md2

F) CONCLUSIONES:

En el experimento hallar el momento de inercia respecto de algún hueco resulta más fácil usando la ecu. (1) que la ecu.(2).

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A medida que nos aproximamos al hueco que se encuentra en el centro de la barra el periodo no experimenta una línea recta de descenso o de ascenso sino una curva.

El método para hallar el IG y mediante la grafica fue bueno ya que se obtuvo un error experimental muy pequeño.

Obtenemos un período mínimo cuando el eje de giro se encuentra entre el hueco 5 y 6, a partir de estas empieza a aumentar.

Como el error es mínimo podemos concluir que el cálculo del momento de inercia y el periodo son casi exactas si se realiza un experimento técnicamente bien hecho.

G) OBSERVACIONES:

La amplitud de oscilación en el experimento disminuye con el paso del tiempo debido a que existe un a fuerza de fricción en contra del movimiento.

Se puede decir que cuando medimos el momento de inercia de la barra con huecos esta se aproxima al valor del momento de inercia de la barra, por lo tanto se puede considerar nula el momento de inercia de los huecos.

-Se observa que para los tres agujeros mas cercanos al centro de gravedad solo de ha considerado 10 oscilaciones en vez de veinte debido a que la amplitud cada vez tiende a cero.

Durante la confección del grafico, ser precisos fue costoso por la poca precisión de la regla milimetrada, así como la dificultad del observador para centrar la posición

Para el cálculo del periodo fue complicado lograr que el péndulo oscilara de forma unidimensional, la placa se movía en forma dispareja (no solo oscilaba de derecha a izquierda, sino que también de atrás hacia delante)

H) RECOMENDACIONES:

Al momento que oscila el péndulo se debe verificar que la barra este en un plano vertical.

Se puede hacer uso de un nivel, para verificar que la línea que une el centro de gravedad con el punto de giro sea perpendicular, con la línea horizontal que contiene el punto de giro.

Se debe tomar en cuenta que para que el movimiento de la barra sea un MAS el ángulo se oscilación sea menor a 15 grados.

I) BIBLIOGRAFIA:

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Alonso, M y Finn, E. Física vol.1. Mexico. Addison-Wesley Iberoamericana.1986.

Manual de laboratorio de física general,, facultad de ciencias, pag 67, 68,69,

Resnick-Halliday. Fisica Parte 1. Editorial Continental. Año 1974.

Sears Semandky, fisica universitaria, volumen I, edición XI, editorial Pearson, México 2004 pag 476-498.

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