Informatica Grafica a.a. 2012-2013 DICGIM – University of Palermo Dipartimento di Ingegneria...

Informatica Grafica a.a. 2012-2013

DICGIM – University of Palermo

Dipartimento di Ingegneria Chimica, Gestionale, Informatica e Meccanica

Curve e superfici parametriche

Roberto Pirrone

24 ottobre 2012



Sommario

Generalità sulle curve parametricheVincoli geometrici e funzioni di blending

Curve di Hermite

Curve di Bézier

Curve B-splineCurve NURBS

Superfici ParametricheSuperfici di Hermite di Bézier e NURBS

24 ottobre 2012



Curve parametriche

Una curva parametrica è definita come una terna di funzioni di un parametro Q(u)=[x(u),y(u),z(u)] che fa da ascissa curvilinea lungo la curva stessa.

Una superficie è definita in termini di una coppia di parametri che stabiliscono un sistema di coordinate curvilinee sulla superficie stessa:

Q(u,v)= [x(u,v), y(u,v),z(u,v)]

24 ottobre 2012



Curve parametriche24 ottobre 2012

In ogni segmento il parametro varia in [0,1]



Curve parametriche

le tre funzioni del parametro sono di norma scelte come funzioni cubiche.

Tale scelta deriva dalla proprietà delle cubiche di rappresentare curve non planari

3 è il minimo grado polinomiale che ci consente di rappresentare curve nello spazio

le curve quadratiche necessitano di 3 coefficienti e quindi sono planari.

24 ottobre 2012



Curve parametriche

Le cubiche sono facilmente controllabili, mentre polinomi di grado superiore presentano delle oscillazioni che sono difficili da controllare in termini del parametro.

Infine, dipendendo da 4 parametri, ci consentono di specificarle a partire da 4 punti di controllo o dagli estremi e dalle tangenti degli estremi.

24 ottobre 2012



Curve parametriche24 ottobre 2012



Gradi di continuità

Curve complesse sono costituite dalla successione di più segmenti

Il grado di continuità definisce il modo con cui due curve si toccano

Continuità geometrica• G0 le curve si toccano• G1 le curve hanno gradiente in u con la stessa direzione e

verso

Continuità parametrica Cn:• le derivate in u nel punto di giunzione sono uguali fino

all’ordine n

24 ottobre 2012



Gradi di continuità24 ottobre 2012



Rappresentazione con polinomi di blending

Una curva parametrica Q(u) può essere specificata dalla conoscenza di 4 vincoli geometrici Pi=[pix,piy,piz] i=0,…,3 posti nell’intorno della curva

I vincoli possono rappresentare• Punti di passaggio• Tangenti negli estremi• Punti di controllo esterni che influenzano la curvatura locale

di Q(u)• Un mix dei precedenti

La scelta dei vincoli da luogo a diverse famiglie di curve

24 ottobre 2012



Rappresentazione con polinomi di blending24 ottobre 2012

Polinomi di blending



Curve di Bézier24 ottobre 2012



Algoritmo di De Casteljeau

Consente la valutazione della curva nel punto di ascissa curvilinea u0.

Si basa su uno schema ricorsivo di valutazione del punto Q(u0) a partire dai punti di controllo Pi.

24 ottobre 2012



Proprietà delle curve di Bézier

Le curve di Bézier sono tali che per ogni valore di u la somma dei polinomi di blending è sempre 1.

I Bi(u) si comportano come le coordinate baricentriche quindi il punto generico della curva Q(u) si trova sempre all’interno della chiusura convessa dei punti di controllo Pi.

24 ottobre 2012



Proprietà delle curve di Bézier24 ottobre 2012

Chiusura convessa di n punti: il minimo poligono convesso che li raccorda tutti come vertici



Proprietà delle curve di Bézier24 ottobre 2012



Congiunzione di più segmenti di Bézier24 ottobre 2012

Condizione di continuità:S3-S2=k(R1-R0)



Congiunzione di più segmenti di Bézier24 ottobre 2012



Curve di Hermite24 ottobre 2012



Relazione tra curve di Bézier e di Hermite24 ottobre 2012

Nella formulazione di Hermite le curve parametriche non sono vincolate a giacere nella chiusura convessa dei punti di controllo



Curve B-spline24 ottobre 2012

Possono essere:

- Uniformi rispetto a u- Non Uniformi rispetto a u- Razionali

(NURBS: Non-Uniform Rational B-Spline)



Proprietà delle B-spline uniformi

Il segmento B-spline uniformeNon passa per i punti di controllo e giace nella loro chiusura convessa

E’ uniforme nel parametro • passando dal segmento Qi(u) al segmento

successivo Qi+1(u) Δiu=1, ui=0,1,2,…

• Knot: il valore ui ad ogni punto di giunzione

• Il segmento i-esimo è comunque valutato per 0 ≤ u ≤ 1

24 ottobre 2012



Proprietà delle B-spline uniformi

Ogni segmento di curva Qi(u) dipende da 4 punti di controllo Pi-3, Pi-2, Pi-1, Pi

parzialmente condivisi con i 3 segmenti precedenti

In generale, una curva è un insieme di m-2 segmenti Q3, Q4, …, Qm dipendenti da m+1 punti di controllo P0, P1,…, Pm con m>=3

24 ottobre 2012



Proprietà delle B-spline uniformi24 ottobre 2012




Le funzioni di blending Bi(u) sono identicamente traslate lungo l’asse del parametro di intervallo in intervallo formando delle “funzioni di base” che si estendono su quattro intervalli

Per m-2 segmenti sono necessari m+5 knot




Vettore uniforme dei knot:[0,1,2,3,4]



Molteplicità dei punti di controllo24 ottobre 2012

La molteplicità tripla di un punto di controllo estremo forza il passaggio della curva per il punto stesso




La molteplicità doppia di un punto di controllo non estremo “attrae” il segmento creando una forte curvatura locale




La molteplicità tripla di un punto di controllo non estremo forza il passaggio della curva per il punto stesso creando una discontinuità



B-spline non uniformi24 ottobre 2012

Il vettore dei knot può avere delle molteplicità, modificando la forma della funzione di base

[0,1,2,3,4]

[0,1,1,2,3]

[0,1,1,1,2]

[0,1,1,1,1]




Al crescere della molteplicità di ui, i [∈ k,k+4] accade che:

ui ≡ ui+1

Il segmento Qi(u) si

annulla

bi-k(u) si annulla

Bk(u) cambia la sua

forma




La molteplicità influenza molte funzioni di base:

Es. [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3] 6 Bi(u)

0 0 0 0 1 B0(u)

0 0 0 1 2 B1(u)

0 0 1 2 3 B2(u)

0 1 2 3 3 B3(u)

1 2 3 3 3 B4(u)

2 3 3 3 3 B5(u)



Molteplicità dei knot24 ottobre 2012




Q4 si annulla e si crea un flesso perché Q3 e Q5 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse




Q5 si annulla e si crea una cuspide perché Q3 e Q6 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse che condividono solo P3




Q6 si annulla e si crea una discontinuità perché Q3 e Q7 debbono giacere nelle rispettive chiusure convesse che sono completamente disgiunte



Calcolo ricorsivo delle funzioni di base24 ottobre 2012

Il calcolo è valido per B-spline uniformi e non di qualsiasi ordine.Le cubiche corrispondono all’ordine 4 cioè sono influenzate da 4 knot ciascuna.



Curve razionali

Una curva razionale R(u) n-dimensionale si ottiene attraverso una trasformazione proiettiva di tipo prospettico da una curva Q(u) definita in uno spazio in n+1 dimensioni

Il processo di riduzione delle coordinate è quello di omogeneizzazione

I punti della curva in Rn+1 si dividono per l’ultima coordinata

Le funzioni del parametro in Rn divengono così delle funzioni razionali

24 ottobre 2012



Curve di Bézier razionali24 ottobre 2012



Condizioni di controllo delle curve razionali

Le curve razionali possono essere controllate modificando i Pi e/o i wi

(a) i punti di R(u) si muovono parallelamente alla direzione di spostamento di Pi

(b) i punti di R(u) si muovono lungo raggi proiettori a partire dal punto di controllo cui è associato il peso• Ad es. wi≡1 i=0,1,2,3 genera un arco di circonferenza

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NURBS

Non-Uniform Rational B-SplinesSi controllano:• Muovendo i punti di controllo• Variando la molteplicità dei knot• Modificando i pesi wi

Hanno le stesse proprietà geometriche ed analitiche delle B-spline non razionali

24 ottobre 2012



Superfici parametriche

Sono l’estensione delle curve a due coordinate locali (u,v)

Si devono intendere come costruite “accostando” tra loro curve parametriche in v a passi costanti in u lungo l’andamento di una curva in u o viceversa

24 ottobre 2012



Superfici di Bézier24 ottobre 2012

16 punti di controllo




Effetto della modifica dei punti di controllo



Continuità delle superfici di Bézier24 ottobre 2012

S(u,v)R(u,v)



Superfici B-spline

Necessitano di 16 punti di controllo, come nel caso precedente, che modulano 16 funzioni di base bi-variate

Sono necessari 8 knot per ogni patch lungo entrambe le coordinate (u,v)

8x8 knot per ogni patch

Le 16 funzioni di base hanno il loro picco nel quadrilatero centrale di questo reticolo

24 ottobre 2012



Superfici B-spline24 ottobre 2012



Superfici B-spline24 ottobre 2012

Il patch è confinato all’interno dei quattro punti centrali di controllo e non li interpola



Triplicando una riga di punti di controllo lungo un edge a u costante non si ottiene interpolazione

24 ottobre 2012

Superfici B-spline



Triplicando una riga di punti di controllo sia lungo un edge a u costante sia lungo un edge a v costante si ottiene interpolazione dei soli vertici collineari

24 ottobre 2012

Superfici B-spline



Triplicando una riga ed una colonna interna di punti di controllo in cui quello centrale sia stato alzato si ottengono creste

Punti di controllo collineari danno luogo a creste più accentuate

24 ottobre 2012

Superfici B-spline



Modellazione con superfici parametriche

Caso di una sezione circolareIl problema è la determinazione dei Pij che determinano la superficie a partire da un profilo 2D noto

I punti del profilo dovranno essere “modulati” dai punti che definiscono la sezione circolare

Si costruisce solo un quarto della superficie e poi si opera per simmetria

La sezione circolare con Bézier si può costruire con i punti T00={0,1,0}, T10={c,1,0}, T20={1,c,0}, T30={1,0,0}, c 0,552 ≃

24 ottobre 2012



Modellazione con superfici parametriche24 ottobre 2012

I punti Pij (i=0,…,3 j=cost) si ottengono scalando i punti Ti0 di rj nel piano (x,y) e imponendo la quarta coordinata pari a zj Pij={rjTi0x, rjTi0y, zj}




La sezione trasversale viene interpolata tra il profilo iniziale e quello finale:

Q(u,v)=Q(u,0)(1-r(v))+Q(u,1)r(v), r(0)=0, r(1)=1



Controllo delle superfici durante la modellazione24 ottobre 2012

Per garantire la continuità in una mesh di patch è necessario che ogni estremo venga mosso collinearmente con i suoi otto vicini in mododa rendere continue le derivate Qu, Qv e Quv



Disegno dei poliedri di controllo

Si possono implementare due strategie

Controllo fine per raffinamento della griglia dei punti di controllo• Si ottiene maggior precisione per realizzare

deformazioni locali della superficie

Controllo globale attraverso la deformazione dei punti di controllo “annegati” in uno spazio parametrico controllato da una ipersuperficie di Bézier

24 ottobre 2012



Controllo fine24 ottobre 2012

Le deformazioni vengono confinate ai nuovi patch definiti per inserzione dei Rij



Controllo globale

Si consideri una curva Q(t) controllata da quattro punti Pi:

I punti possono essere pensati come appartenenti ad uno spazio bivariato (u,v) che variano in [0..1]

Se definiamo una griglia complanare di punti di controllo Rij in (u,v) questi definiscono un patch di Bézier planare

La curva Q(t) appartiene interamente allo spazio così definito e, se modifichiamo i punti di controllo Rij sempre in modo complanare, questo induce una deformazione nei punti Pi e quindi, globalmente in Q(t)

Nel caso 3D la superficie viene annegata in un iperspazio trivariato di Bézier

24 ottobre 2012



Controllo globale24 ottobre 2012



Fitting di superfici

Il fitting di curve o superfici con B-spline è importante in CG

Modellazione di nuvole di punti acquisiti con range finder

Interpolazione “dolce” di traiettorie nell’animazione

Si procederà ad interpolare curve B-spline a u costante e a v costante creando una mesh di curve

La mesh di curve viene trasformata in una sequenza di patch di Bézier più semplici da controllare

24 ottobre 2012



Fitting di superfici24 ottobre 2012




Il sistema precedente ha m-1 equazioni e m+1 incognite

Si risolve aggiungendo altri due punti di controllo da interpolare

L’interpolazione avviene separatamente lungo u e lungo v dando luogo ad una rete di punti di controllo B-spline Qi

24 ottobre 2012




La conversione B-spline Bézier avviene trasformando i soli punti di controllo attraverso le matrici di base

La forma analitica delle superfici in funzione di u e v è la stessa

[P0 P1 P2 P3]=BB-1BS[Q0 Q1 Q2 Q3]

Per ogni quadrupla di punti di controllo B-spline Qk,…,Qk+3 si genera una quadrupla di punti Bézier eliminando Qk ed inserendo Qk+4

Così si generano i punti di controllo sui contorni delle patch: quelli interni si costruiscono sulla base di vincoli di continuità tra le superfici

24 ottobre 2012



Fitting di superfici24 ottobre 2012

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