TEOREMA DEL MINMax EE l'CX IR Supponiamo

che sia data una classe di sottoinsiemi

ti A EX compatti Aaa

A EX è un compatto ebordo

Supponiamo inoltre che

Max E I dAo

o C inf Max Ela LAET mea

Invarianza se Ae T e y è un'analogia chelascia fisso il bordo Ao allora planet

Allora c è un livello asintoticamente critico per te

Dissi Seguire la traccia della dimostrazione del

teorema del linking

ossefie.ch Abbiamo e infmaxsjpeljf.no2 Non è necessario che AEM sianocompatti In

principio basta che siano chiusi yla.IE TE la proprietà di invarianza analogica può essere

ristretta ad un sottoinsieme delle possibili analogie

a cui appartenga il flusso ott associato all'equazione

differenziale astratta

OI CoI

time y è un'omofobia dell'identità in X de

y Xx10,7 X continua e t.c.ql.p.ttIl X omologia in

HA A ftp.M Ittita IaA noi interessano in particolare le analogie fango le

quali E sia monotono non crescente cioe

tastes ecycu.biz EquitàNotazioni

ne Ecate due o Nacka dueX distante ar

E fa Erich Eadie Ecuba EffieacttukbflEDEFRM.EE

Supponiamo che te l'ex RI e valga la condizione

di Este Dato 2 0 I E so Ee oro esiste

ye IlE E undici tale che

gE 1 E E u N ke

Osservazione

Nacka

DÈIeera

Dimostrazione

F Usiamo la condizione di Palais somale perdimostrare

Dato 1 o A E so Asso

Idee has tt ne EII.IN ke

Per assurdo a Tao t.c.J.sn o Zen o

June ELI Nick con Ida Elisa

un n è allora una successione di CISL ammette

un foto limite è Elaine e date o

Trek mette distante linoleumKd 2T

assurdoNacka

iÈ

Riprendiamo il filo della dimostrazione del lemma di

Deformazione 1 Consideriamo la funzione cutoff1 C E 2 s ETE

His csaid0 s C 22

Introduciamo una seconda funzione cutoff 21

7 Cui e

ENNE

1 nelNacka

4,4 siano di classe e

Finery Eire 4dm DEINOEMI

È Flatsorare

quota

proprietà salienti

Fini read1 se ne e Nacka

CSai altrove

Il flash E I8

Il flusso è globalmente definito e integro per

un tempo F 22

Nacka

ÌÈAltamirao ne È e disfatta ke zar A te ore

dj eccettui1 tesoro

Ìn e 28

oppure a te lord te disfatta ke ar

me allora Il FILE che implica

discorsini ÈH e sa

se abbiamo scelto feltre a E come

all'inizio

discoteca ke e discoteca ottusi

dist État ke E rt 21 32 E

X Hilbert eeetcx.IR

CATEGORIA Di LUSTERNIK.SCtNiRElMAN

Si tratta di un invariante ossotopico Sia X uno

spazio topologico e sia A EXin

Diciamo che A è o nullandopico

se a pe Illa plaid pAttenzione A può essere contrattile in e non esserlo

in X EX sottospazio topologico Esempio la sfera

Seer e contrattile in Tam ma non è contrattile

in sé

catenaDefine dico che catxcas.ie A e chiuso

1e k è il più piccolo numero di aperti Ai contratti

li con cui posso ricoprire A Se A non ammette

ricoprimenti finiti di aperti contrattili diremo che la

sua categoria è infinita CatoXosservazione Se A e contrattile cotta 1

Se A non è contrattile cotta

PROPRIETÀ della categoria da dimostrare per esercizio

li Cat a o a p

ci monotonia A EB catalasecatalpa

lini sub additività catfAUBJ.cat lAI catdB

civ supervarianza A è chiuso yc.gl X

catalase cat plaita continuità se ogni punto di X ammette un intornocontrattile allora Se A è compatto in

7 N intorno di A cat.CN latta

ESEMPIO Cat sa 1 Cat sa 3Di pitto

È una conseguenza del teorema diBrouwer esercizio

relativamente facilesi

Per esempio ER i Nikita sono interni

che hanno categoria 2 in Rito

Attenzione a chi è X per non banalizzaretutto

Per noi sarà un sottolivello del funzionale E

TEOREMA Supponiamo Ee IR e supponiamo

che a ber catebebz.ie Supponiamo

che CPS cab Allora E ha almeno

tre punti critici a livelli b se inferno

osservazione Il teorema si estende facilmente alle

varietà M.se catena le allora ogni funzione

l'CM R ha almeno le pii critici volendo

est ad ogni livello Se M è una varietà

compatta Cosa vale ad ogni livello

corollario se N è una varietà compatta allora

ogni EEl'CN RI ha almeno caffe pe critici

YCats 2 Gatti htt

5 Nu

Dimostrazione del teorema usando un argomento di

mimma

I AE Eb a compatto corteoAz è

I fa e È compatto nonvado

I 1 AE Eb compattinon contrattili inEb

cateto a 22

I a c E compatti contestate le

IE t.ie EI

ci inf Max Ehe p no se igf E a

Aeri dea

Ca ECz E E crea lo

Passo successivo dimostriamo che i ci sono livelli

critici per te Possiamo usare il primo lemma di

Nondeformazione se Kei p e vale CPS Cité un

livello asintoticamente critico ti omologia

y ebxso.is Ètale che g

E 1 E E fai e

sufficientementepiccolo Lemme di deformazione 1

Dato questo caso a Age I tre Max Ehe EEUta

perché ci IIf la 1 Bce è compatto a sua volata

Ho che Bae perché catebcqlA.si e calzolai i

proprietà di sapervarianza della categoria

Bse e Max EEN E ci E inUe

contraddizione con l'estremalità dici

Abbiamo trovato tre livelli critici ESE tace

Se Cat c ho finito Se no devo

esaminare il caso ci cit G a

2 passo Supponiamo che 7 hai zitti ie te

Ci Ci Cit Cig

Allora dimostra che cateto ke 2 htt

In particolare questo implica che lei è un insieme

infinito se ogni poeta ammette un intorno contrattile

Usiamo il lemma di deformazione 2 supponendo per

assurdo cateto ke eh Allora possiamo sceglier

soffi piccolo perche catebCNCK.DE h

Sicuramente esiste A e T.it te Max Ehe e GiàE meaCi E

Prendo A e lo deformo secondo il lemma di

deformazione in un Bee E UN KD

Bee B U B con B e B2 compatti e

Bse e e Bae Nacka

catefbs.jo i 1 perché B EEmjec.ci

cat Ba ecatCNgrlkc.IE hoE

catefbs.IE ith 1 assurdo perchesubodditività

GatesCbs z catalase 2 ith tein

supervarianza

Perché cat a 22 a non è finito

sei ogni insiemee finito è contrattile

fme