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GRUPPO MAT06 – Dip. Matematica, Università di Milano - Probabilità e Statistica per le Scuole Medie - SILSIS - 2007

1Lezione 7 - Indici statstici : media, moda, mediana, varianza

INDICI STATISTICI

MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA



Principali Indici Statistici

MODA

MEDIANA

MEDIA

SCARTO QUADRATICO MEDIO

VARIANZA

RANGE

ASIMMETRIA (SKEWNESS)

CURTOSI ( KURTOSIS)

di posizione

di forma

INDICEdi dispersione

{{{



INDICI DI POSIZIONE

X

Frequenza

ModaMediana

Media

MODA E' definita come il valore che ha la frequenza più alta.

E' quel valore al di sotto del quale cadono la metà dei valori campionari.MEDIANA

Consentono di valutare l’ordine di grandezza delle manifestazioni e servono per localizzare la distribuzione, ovvero individuare attorno a quale valore del carattere si accentra la distribuzione stessa.

Sono espressi nella stessa unità di misura con cui si estrinseca il fenomeno



INDICI DI POSIZIONE

X

Frequenza

ModaMediana

Media

MEDIA AritmeticaE' quel valore che corrisponde alla somma di tutti i valori diviso il numero dei valori stessi.

Rappresenta il valore che sostituito a ciascun xi lascia invariata la intensitàtotale (somma)

dove:Xi = esito i-ma misura - n = numero dei dati (taglia del campione)

XX

n

ii

n

= =∑

1



NELLA CURVA NORMALE (simmetrica)

MEDIA= MODA = MEDIANA

densita' di probabilita'

x

f(x)

0

40

80

120

160

200

240

280

moda=mediana=media

MODA E MEDIA sono indici di posizione, poiché la loro variazione sposta appunto la posizione della curva (verso destra o verso sinistra) in funzione del segno della variazione.

media=2.06moda=0.1

mediana=0.45

n.os

serv

az.

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

<= 1,345(1,345;2,69]

(2,69;4,035](4,035;5,38]

(5,38;6,726](6,726;8,071]

(8,071;9,416]



ESEMPIO 1

Numero di componenti familiari

Media = 4.5 > 4 = mediana=moda

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,000 3,000 5,000 7,000 9,000 11,000

media

media

moda

Ci sono più osservazioni alla sinistra della media

La distribuzione è più concentrata alla sinistra della mediaMA

la coda è più lunga a destra

Frequenze relative componenti nucleo familiare

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

stud

enti.

xls

utili

zzo

stru

men

to d

i ana

lisi:

stat

istic

a de

scri

ttiva



ESEMPIO 2

altezza

stud

enti.

xls

utili

zzo

stru

men

to d

i ana

lisi:

stat

istic

a de

scri

ttiva

media = 169 > 168 = mediana>Moda=160

Ci sono più osservazioni alla sinistra della media

La distribuzione è più concentrata alla sinistra della mediae

la coda è più lunga a destra

altezza - ampiezza = 1 cm

0

50

100

150

200

250

300

146

149

152

155

158

161

164

167

170

173

176

179

182

185

188

191

194

altezza - ampiezza=3cm

050

100150200250300350400450

150

153

156

159

162

165

168

171

174

177

180

183

186

189

192

195

198



MISURE DI DISPERSIONE

RANGE (Campo di variazione)

SCARTO MEDIO ASSOLUTO

VARIANZA (Media degli Scarti al Quadrato)

VARIANZA CAMPIONARIA(Calcolata da Excel)

DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA

xmax -xmin

COEFFICIENTE DI VARIAZIONEXCV σ

=

=2s

=2σ

=s



Media uguale

Deviazione Standard Diversa

l’importanza della varianza

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0ExpectedNormal

CHI1

Upper Boundaries (x <= boundary)

No of obs

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Media uguale (2) e Varianza diversa 0,34 e 7,68 rispettivamente



ESEMPI 1-2

Calcolare1.range2. Scostamento medio assoluto3. varianza4.scarto quadratico medio5. Coefficiente di variazione

Componenti familiari e altezza

stud

enti.

xls

utili

zzo

stru

men

to d

i ana

lisi:

stat

istic

a de

scri

ttiva



ESEMPIO 3

Media > mediana == moda

Più osservazioni a sinistra della media

Dev. Stand. piccola rispetto al range

Non c’è molta dispersione



Frequenze età

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

19-20 20-21 21-22 22-23 23-24 24-25 25-27 27-33 33-50 >50

Ci si aspetta una distribuzione, con una lunga coda a destra e la maggior parte della distribuzione concentrata a sinistra con un picco intorno alla media=mediana.



I dati raggruppati

…e se non abbiamo a disposizione i dati grezzi, ma solo le distribuzioni di frequenza? Come determiniamo gli indici di sintesi?

NUMERO DI FIGLI

xi

FREQUENZA

fi

0 51 62 153 134 45 36 39 1

Totale 50

Tabella: Distribuzione di frequenza del numero di figli di 50 famiglie di una comunità

Tabella: Distribuzione delle etàdi 169 soggetti

CLASSE DIVALORI

FREQUENZACLASSE

fi10-19 420-29 6630-39 4740-49 3650-59 1260-69 4

Totale 169

Caso discretoCaso raggruppamento per classi



Caso discreto : LA MEDIA PONDERATA

= n

taglia del campione

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

f

fmx

1

1

Somma degli elementi del campione

NUMERO DI FIGLI

xi

FREQUENZA

fi

0 51 62 153 134 45 36 39 1

Totale 50

Tabella: Distribuzione di frequenza del numero di figli di 50 famiglie di una comunità

ESEMPIO:

66.21...65

196150

1

1 =+++

×++×+×==

∑

∑

=

= Kk

ii

k

iii

f

fmx



LA MEDIA PER DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI

= n

taglia del campione

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

f

fmx

1

1

Somma degli elementi del campione

ESEMPIO:

im valore centrale della classe i-ma

if Frequenza della classe i-ma

C LASSE DI VA LOR I

V A LO RE CEN TRA LE C LA SSE

m i

FREQUENZA C LASSE

f i

m i f i

10-19 14.5 4 58.0 20-29 24.5 66 1617.0 30-39 35.5 47 1621.5 40-49 44.5 36 1602.0 50-59 54.5 12 654.0 60-69 64.5 4 258.0

Totale 169 5810.5

48.34169

5.5810

1

1 ===

∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

fmx



LA VARIANZA PER DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI

ESEMPIO:

im valore centrale della classe i-ma

if Frequenza della classe i-ma

CLASSE DIVALORI

VALORE CENTRALECLASSE

m i

FREQUENZACLASSE

fi(m i - x) (m i - x)2

(m i - x)2fi

10-19 14.5 4 -19.88 395.2144 1580.857620-29 24.5 66 -9.88 97.6144 6442.550430-39 35.5 47 .12 .0144 .676840-49 44.5 36 10.18 102.4144 3686.918450-59 54.5 12 20.12 404.2144 4857.772860-69 64.5 4 30.12 907.2144 3628.8576

Totale 169 20197.6336

1

)(

1

1

2

2

−

−=

∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

fxms

224.120168

6336.20197

1

)(

1

1

2

2 =−=−

−=

∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

fxms

= n - 1

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