Indici di Dispersione o di Variabilità:Indici di Dispersione o di Variabilità:RangeRange e DIQe DIQ

Non basta la conoscenza di quale è la posizione media dei dati statistici, serve anche conoscere quale è la variabilità dei dati raccolti attorno al valore medio.Allo scopo di introducono gli indici di variabilità. Essi devono possedere le seguenti caratteristiche di massima:•Essere nulli in caso di variabilità nulla (tutti i dati statistici costanti)•Essere positivi in caso di variabilità•Essere crescenti all’aumentare della variabilità de i dati

Def. Campo di Variabilità (Range) 1)min()max( xxxxS nii −=−=(ultimo caso se valido se i dati

1

Solitamente di indici di variabilità si basano sugli scarti rispetto ad un indice di posizione che è solitamente individuato dalla media aritmetica dei dati statistici. Ricordiamo, dunque, che lo scarto del dato xi rispetto alla media M è dato da si=xi-M

Def. Campo di Variabilità (Range)E’ dato da max(xi)-min(xi)

1)min()max( xxxxS nii −=−= valido se i dati sono ordinati)

Def. Differenza InterQuartile 13 QQ −

Box PlotBox PlotE’ una sintesi grafica che consente di individuare il valore centrale e di capire quale sia la dispersione del collettivo statistico.

max31min ,,,, xQmedianaQxPer determinare un box-plot servono:

Esso è così costituito:• Retta su cui situare i valori•Box con estremi Q1 e Q3 (Differenze InterQuartile): all’interno del box sono contenute il 50% delle informazioni•Una linea verticale all’interno del box indica il valore della mediana•Linee estrema sinistra con lunghezza da x_min a Q : da x_min a Q sono contenute il

2

•Linee estrema sinistra con lunghezza da x_min a Q1: da x_min a Q1 sono contenute il 25% delle informazioni•Linee estrema destra con lunghezza da Q3 a x_max : da Q3 a x_max sono contenute il restante 25% delle informazioni

Classificazione delle OsservazioniClassificazione delle OsservazioniRecinto Interno.

]*5,1;*5,1[ 31 DIQQDIQQ +−

Le osservazioni fuori al Recinto Interno sono dette DISTANTI (outside)

Recinto Esterno.

]*3;*3[ 31 DIQQDIQQ +−

Le osservazioni fuori al Recinto Esterno sono dette MOLTO DISTANTI (far out)

3

Le osservazioni fuori al Recinto Esterno sono dette MOLTO DISTANTI (far out)

Es. Osservazioni (-3,10,11,13,15,17,18,19,25,48)

Mediana = 16Q1=11 Q3=19 DIQ=8Recinto Interno [11-1,5*8;19+1,5*8]=[-1;31] -> -3,48 sono osservazioni anomale (distanti)

Indici di Dispersione o di Variabilità:Indici di Dispersione o di Variabilità:Differenze MedieDifferenze Medie

2

1,

n

xx

D

n

jiji∑

=

−=

Es.

4

x_i 1 3 4 6 11 somme1 1 0 2 3 5 10 203 3 2 0 1 3 8 144 4 3 1 0 2 7 136 6 5 3 2 0 5 1511 11 10 8 7 5 0 30

92D= 3,68

Scarto Semplice Medio Assoluto. Varianza.Scarto Semplice Medio Assoluto. Varianza.Def. Scarto Semplice Medio AssolutoE’ la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla media

n

Mx

n

sS

n

ii

n

ii

M

∑∑==

−== 11

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

M

f

sfS

1

1oppure

Def. Varianza sulla Popolazione

5

Def. Varianza sulla PopolazioneE’ la media aritmetica degli scarti (dalla media aritmetica) al quadrato

( )n

s

n

MxX

n

ii

n

ii ∑∑

== =−

= 1

2

1

2

2 )(σ

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= =−

= k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

f

sf

f

MxfX

1

1

2

1

1

2

2 )(σ

oppure

Varianza. Devianza.Varianza. Devianza.Def. Varianza sul Campione

( )11

)( 1

2

1

2

2

−=

−

−=

∑∑==

n

s

n

MxX

n

ii

n

ii

σ ( )

11

)(

1

1

2

1

1

2

2

−

=

−

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

f

sf

f

MxfXσ

oppure

Def. Devianza

6

Def. Devianza

( ) ∑∑==

=−=n

ii

n

ii sMxXDev

1

2

1

2)(

Scarto Quadratico Medio (Deviazione Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard)Standard)

Def. Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard) sulla Popolazione

( )n

s

n

MxX

n

ii

n

ii ∑∑

== =−

= 1

2

1

2

)(σ

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= =−

= k

ii

n

iii

k

ii

k

iii

f

sf

f

MxfX

1

1

2

1

1

2

)(σoppure

Def. Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard) sul Ca mpione

7

( )11

)( 1

2

1

2

−=

−

−=

∑∑==

n

s

n

MxX

n

ii

n

ii

σoppure

( )

11

)(

1

1

2

1

1

2

−

=

−

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=k

ii

n

iii

k

ii

k

iii

f

sf

f

MxfXσ

Def. Coefficiente di Variabilità

M

X )(σ (Può anche essere espresso in forma percentuale)

Indici di dispersione: esempiIndici di dispersione: esempiEs. Excel (disp_01): dati semplici

x_i s_i |s_i| s_i^2

1 -7 7 49

5 -3 3 9

7 -1 1 1

12 4 4 16

15 7 7 49

Totali 0 22 124

Media M= 8

Numero n = 5

8

Numero n = 5

Var_Pop 24,800000

Dev_St_Pop 4,979960

Var_Camp 31,000000 varianza corretta

Dev_St_Camp 5,567764 deviazione standard corretta

Scarto semplice 4,400000

Funzioni Excel 4,979960 =DEV.ST.POP(B3:B7)

5,567764 =DEV.ST(B3:B7)

124,000000 =DEV.Q(B3:B7)somma scarti al quadrato

24,800000 =VAR.POP(B3:B7)

31,000000 =VAR(B3:B7)

Indici di dispersione: esempiIndici di dispersione: esempiEs. Excel (disp_02): dati con frequenze

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i |s_i| |s_i|*f_i s_i^2 s_i^2*f_i

1 8 8 -1,72 -13,76 1,72 13,76 2,9584 23,6672

2 12 24 -0,72 -8,64 0,72 8,64 0,5184 6,2208

3 20 60 0,28 5,6 0,28 5,6 0,0784 1,568

4 6 24 1,28 7,68 1,28 7,68 1,6384 9,8304

5 4 20 2,28 9,12 2,28 9,12 5,1984 20,7936

Totali 50 136 1,4 0 6,28 44,8 10,392 62,08

9

Totali 50 136 1,4 0 6,28 44,8 10,392 62,08

Media M= 2,72

Var_Pop 1,241600

Dev_St_Pop 1,114271

Var_Camp 1,266939 varianza corretta

Dev_St_Camp 1,125584 deviazione standard correttaScarto semplice 0,896000

Indici di dispersione: esempiIndici di dispersione: esempiEs. Excel (disp_03) : classi

se le classi non hanno tutte la stessa ampiezza, co me peso si utilizzano le frequenze diviso l'ampiezz a della classe

classe x_i Ampiezza f_i p_i=f_i/Ampiezza x_i*p_i s_i s_i*p _i |s_i| |s_i|*p_i s_i^2 s_i^2*p_i

[0,2] 1,0 2 3 1,50 1,50 -18,40 -27,60 18,40 27,60 338,67 508,01

[3,10] 6,5 7 54 7,71 50,14 -12,90 -99,54 12,90 99,54 166,49 1284,33

[11,100] 55,5 89 150 1,69 93,54 36,10 60,84 36,10 60,84 1302,99 2196,05

[101,500] 300,5 399 65 0,16 48,95 281,10 45,79 281,10 45,79 79015,51 12872,20

[501,1000] 750,5 499 14 0,03 21,06 731,10 20,51 731,10 20,51 534502,80 14996,07

10

[501,1000] 750,5 499 14 0,03 21,06 731,10 20,51 731,10 20,51 534502,80 14996,07

Totali 1.114,00 11,09 215,19 1.016,98 0,00 1.079,60 254,28 615.326,46 31.856,67

Media M= 19,40

Var_Pop 2.872,39

Dev_St_Pop 53,59

Var_Camp 3.157,05 varianza corretta

Dev_St_Camp 56,19 deviazione standard corretta

Scarto semplice 22,93

Proprietà della VarianzaProprietà della VarianzaProprietà 1: )()( XVarcXVar =+

Dim.

( ) ( ) )(1

)(1

)( 22 XVarcMcxn

cXmcxn

cXVari

ii

i =−−+=+−+=+ ∑∑

Proprietà 2: )()( 2 XVarkkXVar =

11

Dim.

( ) ( ) ( ) )(11

)(1

)( 22222 XVarkMxkn

kMkxn

kXmkxn

kXVari

ii

ii

i =−=−=−= ∑∑∑

Proprietà 3: )()( 2 XVarkckXVar =+

Proprietà della VarianzaProprietà della VarianzaProprietà 4: [ ]22 )()()( XmXmXVar −=

Dim.

( ) ( )=+−=−= ∑∑i

iii

i MMxxn

Mxn

XVar 222 211

)(

=+−=

+−= ∑∑ ∑∑ 2222 21

21

MMMxn

MxMxn i

ii ii

ii

12

[ ]2222 )()()( XmXmMXm +=−=

Proprietà della VarianzaProprietà della Varianza

Es . Excel Var_01x_i s_i |s_i| s_i^2 x_i^21 -7 7 49 15 -3 3 9 257 -1 1 1 4912 4 4 16 14415 7 7 49 225

Totali 0 22 124 444

13

Media M= 8

Numero n = 5

Var_Pop 24,800000

Dev_St_Pop 4,979960

Var_Camp 31,000000 varianza corretta

Dev_St_Camp 5,567764 deviazione standard corretta

Scarto semplice 4,400000

Nuovo Conto Var_Pop

Var_Pop 24,800000

Variabile StandardizzataVariabile Standardizzata

)(X

MXT

σ−=

Data una variabile statistica X che possiede una media aritmetica M con deviazione standard σ, si definisce Variabile Statistica Standardizzata T la seguente:

Proprietà:0)( =Tm 1)( =Tσ

Dim.

14

Dim.

( ) ∑∑∑∑

==−=−==i

ii

ii

iii

sn

Mxn

Mx

nn

tTm 0

111)(

σσσPoiché la somma degli scarti è nulla

( )1

)(

)(

)(

1

)(

11))((

)(2

22

22

22

2

2 ===−==−

=∑

∑∑∑

X

X

n

s

XX

Mx

nt

nn

TmtT i

i

i

i

ii

ii

σσ

σσσ

ConcentrazioneConcentrazione

Reddito Annuo

Numero Persone

Centro Classe

Freq. Rel.Freq. Rel. Cumulate

F_i

Intensità x_i*f_i

Intensità Relative

Intensità Rel. Cum.

Q_i

0-10 15 5 0,15 0,15 75 0,032328 0,032328

10-20 39 15 0,39 0,54 585 0,252155 0,284483

20-30 18 25 0,18 0,72 450 0,193966 0,478448

30-40 12 35 0,12 0,84 420 0,181034 0,659483

Es . Excel Conc

15

40-50 9 45 0,09 0,93 405 0,174569 0,834052

50-60 7 55 0,07 1 385 0,165948 1

totali 100 1 2320 1

ConcentrazioneConcentrazioneEs . Curva di Concentrazione

0,2

0,4

0,6

0,8

1Freq. Rel. Cumulate

Intensità Rel. Cum.

0 0

0,15 0,032328

0,54 0,284483

0,72 0,478448

Retta di Equidistribuzione

Qi

16

0

0,2

0 0,5 1

0,84 0,659483

0,93 0,834052

1 1

Curva di Concentrazione

Fi

Area di Concentrazione

Def. Rapporto di concentrazione

massima area

ioneconcentraz di area=R2

1massima area =

ConcentrazioneConcentrazioneEs . Curva di Concentrazione

0,2

0,4

0,6

0,8

1Qi

Area di Concentrazione

massima area

ioneconcentraz di area=R

10 ≤≤ RR=0 concentrazione nulla

(� Equidistribuzione)

Curva di equidistribuzione

17

0

0,2

0 0,5 1Fi

(� Equidistribuzione)

R=1 concentrazione massima

( )( )

+−−= −−∑ iii

ii QQFF 1112

1ioneconcentraz di area

( )( )iii

ii QQFF +−−= −−∑ 111R

Ottenuta con i trapezi rettangoli

Curva di Lorenz

ConcentrazioneConcentrazione

18

MomentiMomentiDef. Momento di ordine k della variabile statistica X

∑=

=n

i

kik x

nm

1

1

Def. Momento Centrale di ordine k della variabile statistica X

( )∑∑ −==n

kn

k Mxs11µ

19

( )∑∑==

−==i

ki

i

kik Mx

ns

n 11

11µ

Nota:01 =µ 2

2 σµ =

Indici di Forma: Asimmetria (Indici di Forma: Asimmetria ( skewnessskewness ))Def. Asimmetria (SKEW)

La Shew misura l’asimmetria della distribuzione dei dati rispetto alla media:

=

=

−

−=

= ∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=33

1

32/3

1

2

1

3

2/3

1

2

1

3

)(1

)(1

)(1

1

1

σµn

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

tn

Mxn

Mxn

sn

sn

SKEW

20

Skew = 0 Distribuzione statistica simmetrica

Skew < 0 Distribuzione statistica asimmetrica : maggi or contributo dei dati statistici minori della media rispetto alla distrib uzione simmetrica

Skew > 0 Distribuzione statistica asimmetrica : maggi or contributo dei dati statistici maggiori della media rispetto alla distr ibuzione simmetrica

Indici di Forma: Asimmetria (Indici di Forma: Asimmetria ( skewnessskewness ))

21

Med.=Mediana

Indici di Forma: Asimmetria (skew=0)Indici di Forma: Asimmetria (skew=0)Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i

1 1 1 -4,5 -4,5 20,25 20,25 -91,125 -91,125 410,0625 410,0625

2 2 4 -3,5 -7 12,25 24,5 -42,875 -85,75 150,0625 300,125

3 3 9 -2,5 -7,5 6,25 18,75 -15,625 -46,875 39,0625 117,1875

4 4 16 -1,5 -6 2,25 9 -3,375 -13,5 5,0625 20,25

22

4 4 16 -1,5 -6 2,25 9 -3,375 -13,5 5,0625 20,25

5 5 25 -0,5 -2,5 0,25 1,25 -0,125 -0,625 0,0625 0,3125

6 5 30 0,5 2,5 0,25 1,25 0,125 0,625 0,0625 0,3125

7 4 28 1,5 6 2,25 9 3,375 13,5 5,0625 20,25

8 3 24 2,5 7,5 6,25 18,75 15,625 46,875 39,0625 117,1875

9 2 18 3,5 7 12,25 24,5 42,875 85,75 150,0625 300,125

10 1 10 4,5 4,5 20,25 20,25 91,125 91,125 410,0625 410,0625

totali 30 165 0 0 82,5 147,5 0 0 1208,625 1695,875

Media 5,5 SD_Pop 2,217356 Skew 0 Curtosi 2,338466

0123456

0 5 10 15

Indici di Forma: Asimmetria (Indici di Forma: Asimmetria ( skewskew <0)<0)Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i

1 1 1 -5,51852 -5,51852 30,45405 30,45405 -168,061 -168,061 927,449 927,44896

2 1 2 -4,51852 -4,51852 20,41701 20,41701 -92,2546 -92,2546 416,8543 416,85428

3 1 3 -3,51852 -3,51852 12,37997 12,37997 -43,5592 -43,5592 153,2637 153,26372

4 1 4 -2,51852 -2,51852 6,342936 6,342936 -15,9748 -15,9748 40,23283 40,232831

23

4 1 4 -2,51852 -2,51852 6,342936 6,342936 -15,9748 -15,9748 40,23283 40,232831

5 2 10 -1,51852 -3,03704 2,305898 4,611797 -3,50155 -7,0031 5,317168 10,634336

6 4 24 -0,51852 -2,07407 0,268861 1,075446 -0,13941 -0,55764 0,072286 0,2891459

7 8 56 0,481481 3,851852 0,231824 1,854595 0,111619 0,892953 0,053743 0,4299405

8 6 48 1,481481 8,888889 2,194787 13,16872 3,251537 19,50922 4,817092 28,90255

9 2 18 2,481481 4,962963 6,15775 12,3155 15,28034 30,56069 37,91789 75,835779

10 1 10 3,481481 3,481481 12,12071 12,12071 42,19804 42,19804 146,9117 146,91169

totali 27 176 -10,1852 1,15E-14 92,8738 114,7407 -262,649 -234,25 1732,89 1800,8032

Media 6,518519 SD_Pop 2,06147 Skew -0,99034 Curtosi 3,6931311

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

Indici di Forma: Asimmetria (Indici di Forma: Asimmetria ( skewskew >0)>0)Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i

1 1 1 -3,48148 -3,48148 12,12071 12,12071 -42,198 -42,198 146,9117 146,91169

2 2 4 -2,48148 -4,96296 6,15775 12,3155 -15,2803 -30,5607 37,91789 75,835779

3 6 18 -1,48148 -8,88889 2,194787 13,16872 -3,25154 -19,5092 4,817092 28,90255

4 8 32 -0,48148 -3,85185 0,231824 1,854595 -0,11162 -0,89295 0,053743 0,4299405

24

4 8 32 -0,48148 -3,85185 0,231824 1,854595 -0,11162 -0,89295 0,053743 0,4299405

5 4 20 0,518519 2,074074 0,268861 1,075446 0,13941 0,557639 0,072286 0,2891459

6 2 12 1,518519 3,037037 2,305898 4,611797 3,50155 7,003099 5,317168 10,634336

7 1 7 2,518519 2,518519 6,342936 6,342936 15,9748 15,9748 40,23283 40,232831

8 1 8 3,518519 3,518519 12,37997 12,37997 43,55916 43,55916 153,2637 153,26372

9 1 9 4,518519 4,518519 20,41701 20,41701 92,25464 92,25464 416,8543 416,85428

10 1 10 5,518519 5,518519 30,45405 30,45405 168,0612 168,0612 927,449 927,44896

totali 27 121 10,18519 -8,9E-15 92,8738 114,7407 262,6492 234,2497 1732,89 1800,8032

Media 4,481481 SD_Pop 2,06147 Skew 0,99034 Curtosi 3,6931311

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

Indici di Forma: Indici di Forma: CurtosiCurtosiDef. Curtosi (Coefficiente di Curtosi)

La Curtosi misura il peso relativo della code della distribuzione rispetto alla parte centrale. (il confronto avviene relativamente ad una distribuzione gaussiana) :

=

=

−

−=

= ∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=44

1

42

1

2

1

4

2

1

2

1

4

)(1

)(1

)(1

1

1

σµn

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

tn

Mxn

Mxn

sn

sn

Curtosi

25

centrale. (il confronto avviene relativamente ad una distribuzione gaussiana) :

Curtosi = 3 Distribuzione Mesocurtica/Normocurtica /Nor male (Gaussiana o simile)

Curtosi < 3 (code leggere) Distribuzione Leptocurtica /IperNormale (più appuntita di una Gaussiana)

Curtosi > 3 (code pesanti) Distribuzione Platicurtica /IpoNormale (piatta, meno appuntita di una gaussiana)

E’ poco significativa per campioni poco numerosi

Indici di Forma: Indici di Forma: CurtosiCurtosi

26

K=3 K<3 K>3

Indici di Forma: Indici di Forma: CurtosiCurtosi

K=3 Normale

K<3 IperNormale

27

K>3 IpoNormale