Curve parametriche affini

Indice

0 Presentazione

1 Integrazione generalizzata

2 Equazioni differenziali: primi elementi

3 Curve parametriche affini

4 Topologia degli spazi affini

5 Calcolo differenziale negli spazi affini

6 Varietà differenziali affini

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Curve parametriche affini

Sistemi di coordinate alternativi alle cartesianenel piano e nello spazio tridimensionale

Anziché le solite cartesiane, può essere utile usare altre coordinate...

Polari (piano)

(x, y) ! (!, ")

x = ! cos " ; y = ! sin "

(! > 0 ; "# < " < #)

Es.: {! = r} = circonferenza

Cilindriche (spazio)

(x, y, z) ! (!, ", z)

x = ! cos " ; y = ! sin " ; z = z

(! > 0 ; "# < " < # ; z # R)

Es.: {! = r, 0 < z < h} = cilindro

Sferiche (spazio)

(x, y, z) ! (!, ", $)

x = ! cos " sin $ ; y = ! sin " sin $ ; z = ! cos $

(! > 0 ; "# < " < # ; 0 < $ < #)

Es.: {! = r, 0 < $ < !2 } = emisfero nord

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Curve parametriche affini

Curve parametriche

Cos’è una curva parametrica? È il moto virtuale di un punto in Rn:ovvero una funzione ! : I ! Rn, ove I è un intervallo di R.

!(t) = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) (t è detto parametro, in un moto vero è il tempo)

Circonferenza in R2

! : [0, 1] ! R2,

!(t) = (r cos 2"t , r sin 2"t)

Curva piana singolare

! : ["2, 2] ! R2,

!(t) = (t2, t(t2 " 2))

Retta in R3 (bisettrice z = 0)

! : R ! R3,

!(t) = (t ,"t , 0)

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Curve parametriche affini

Curva, sostegno, parametrizzazioni

Terminologia canonica : ! : I ! Rn è la curva,la sua immagine C = !(I) " Rn è il sostegno della curva.

Terminologia usuale: il sottoinsieme C " Rn è detto curva (affine),una funzione ! : I ! Rn con !(I) = C è detta parametrizzazione di C.(In un moto vero: C è la traiettoria, e !(t) la legge oraria di percorrenza della traiettoria.)

Una stessa curva può avere molte diverse parametrizzazioni !

Semicirconferenza in R2

!1 : [0, 12 ] ! R2, !1(t) = (r cos 2"t , r sin 2"t)

Semicirconferenza in R2

!2 : ["r , r ] ! R2, !2(x) = (x ,p

r2 " x2)

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Curve parametriche affini

Due famiglie importanti di curve parametriche

Curva-grafico in Rn: una curva C ! Rn grafico di funzione ! : I " Rn"1 ad es.della coordinata xn ! " : I " Rn, "k (t) = !k (t) (per k < n) e "n(t) = t .

Curva piana in forma polare: nella forma # = #($) (distanza dal polo in funz.dell’argomento) ! "($) = (x($), y($)) = (#($) cos $, #($) sin $).

• y = f (x), x # I ! % : I % R2, %(t) = (t, f (t))

• x = g(y), y # J ! % : J % R2, %(t) = (g(t), t)

• Elica cilindrica : (x, y) = (3 cos z, 3 sin z), z # R !

% : R % R3, %(t) = (3 cos t, 3 sin t, t)

• Spirale di Archimede : !(") = ", " # I = [0, 234 #] !

% : I % R2, %(") = (" cos ", " sin ")

• Cardioide : !(") = 2(1 + cos "), " # J = [0, 2#] !

% : J % R2, %(") = (!(") cos ", !(") sin ")

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Curve parametriche affini

Cosa fare con le curve parametriche?

Data una curva C " Rn con una parametrizzazione ! : I ! Rn ...la retta tangente a C in x0 = !(t0) è data dal vettore !#(t0)(In un moto vero: !$(t0) è il vettore velocità, tangente alla traiettoria)

data f : C ! R, si definirà un integrale curvilineo!

C f dsche generalizza quello già noto. Ad esempio:quando f $ 1, l’integrale calcolerà la lunghezza di C;se C è una curva materiale, opportune scelte di f daranno il baricentro di C o i suoimomenti d’inerzia rispetto a vari assi di rotazione.

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