Indicerosso/logaritmi.pdf · 4 CAPITOLO 1. PRECURSORI 1 α 2 β 3 γ 4 δ 5 ε 6 stigma 7 ζ 8 η 9...

Indice

1 Precursori 31.1 La legge degli esponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Il peso dei calcoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 John Napier 232.1 Cenni biografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 L’opera matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Che cosa e un logaritmo neperiano? . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Questioni di priorita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Henry Briggs 513.1 La vita e l’incontro con Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 I logaritmi di Briggs nell’Arithmetica Logarithmica . . . . . . . 543.3 Omaggio a Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 L’algoritmo della radice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Schemi alle differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 Metodi di interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7 Il metodo radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8 Fonti dei metodi di Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.9 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Fine dell’eta pioneristica 1094.1 Keplero e la diffusione dei logaritmi in Germania . . . . . . . . 1094.2 Cavalieri ed i logaritmi in Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.3 Juan Caramuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.4 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5 I logaritmi e la geometria 1415.1 Le proprieta logaritmiche dell’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Costruzione geometrica dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.3 Torricelli e la curva logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4 Huygens e la curva logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

1

2 INDICE

5.5 Testi Originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6 Gli sviluppi in serie 2076.1 I logaritmi visti da Pietro Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2 La Logarithmotechnia di Nicolaus Mercator . . . . . . . . . . . 2106.3 La serie di Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.4 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.5 La restaurazione di Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.6 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7 Logaritmi dei numeri negativi 2557.1 Il carteggio Leibniz-J. Bernoulli I (1712-1713) . . . . . . . . . 2557.2 Il carteggio tra Johann Bernoulli I ed Eulero (1727-1729) . . 2747.3 Eulero legge il carteggio Leibniz-Bernoulli . . . . . . . . . . 2817.4 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8 I logaritmi dei numeri complessi in Eulero 3038.1 Quanti logaritmi ha un numero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.2 La relazione ii = e−π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.3 I logaritmi nei manuali di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.4 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9 L’irrazionalita di e da Eulero a Hermite 3379.1 Eulero e l’irrazionalita di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.2 Lambert e l’irrazionalita di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.3 Liouville e l’irrazionalita di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519.4 Hermite e l’irrazionalita di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3549.5 Testi Originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

10 La trigonometria iperbolica 35910.1 La trigonometria iperbolica di Vincenzo Riccati . . . . . . . . . 35910.2 La trigonometria iperbolica di Lambert . . . . . . . . . . . . . . 36510.3 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Capitolo 1

Precursori

1.1 La legge degli esponenti

L’osservazione del legame esistente tra progressioni aritmetiche e geometriche sipuo prendere come segnale precursore della scoperta dei logaritmi. Infatti, seam = a0 q

m ed an = a0 qn sono due termini di una progressione geometrica, il

loro prodotto occupa la posizione m+ n nella progressione: al prodotto tra aned am corrisponde la somma degli esponenti—ad una progressione geometricane corrisponde una aritmetica—e proprio la riduzione di prodotti in somme e laproprieta che ha decretato il grande successo dei logaritmi. Il primo ad osservarela legge degli esponenti fu Archimede di Siracusa (287(?)-212 a.C.) che ne famenzione in un’opera interessante per molti aspetti, l’Arenario (ΨAMMITHΣ).L’opera e importante per la storia della matematica e per quella dell’astrono-mia. L’aspetto matematico saliente e l’indagine sulla possibilita di esprimerenumeri interi qualsiasi utilizzando il sistema non posizionale in uso presso igreci. Quest’ultima precisazione e doverosa perche agli occhi dei moderni ilproblema appare futile, dal momento che aggiungendo un numero qualsivogliadi zero a destra di un gruppo di cifre significative, ovvero ricorrendo a notazioneesponenziale, e possibile esprimere un numero grande a piacere. Il sistema di nu-merazione in uso all’epoca diArchimede era alfabetico e poggiava sulle seguenticorrispondenze:

3

4 CAPITOLO 1. PRECURSORI

1 α 2 β3 γ 4 δ5 ε 6 stigma7 ζ 8 η9 ϑ 10 ι20 κ 30 λ40 µ 50 ν60 ξ 70 o80 π 90 coppa100 % 200 σ300 τ 400 υ500 ϕ 600 χ700 ψ 800 ω900 sampi 1000 ′α

e proseguiva per i numeri superiori a mille anteponendo un pedice ad una lettera:cosı 2000 si rappresentava come ′β. La miriade 10000 =′ ι era indicata con laletteraM ed i suoi multipli mediante una notazione del tipoMβ = 20000,Mγ =30000 (si vedano le sezioni §§32-43 di [1] per ulteriori dettagli). Il problema sucui e incentrato l’Arenario viene enunciato nei termini seguenti da Archimede

Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero [dei granelli] della sabbia siainfinito in quantita: dico non solo quello [dei granelli di sabbia] che sono in-torno a Siracusa e nel resto della Sicilia, ma anche quello [dei granelli di sabbia]che sono in ogni regione, sia abitata sia non abitata. Vi sono poi alcuni cheritengono che quel numero non sia infinito, ma che non si possa nominare unnumero che superi la sua quantita. E chiaro che se coloro che cosı pensano sirappresentassero un volume di sabbia di grandezza tale quale quella della Terra,avendo riempito tutti i mari e tutte le depressioni fino a raggiungere l’altezzadelle piu alte montagne, molto meno comprenderebbero che si possa nominareun numero che superi tale quantita. Ma io tentero di mostrarti, per mezzo didimostrazioni geometriche che tu potrai seguire, che, dei numeri da noi denom-inati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, alcuni superano non soltantoil numero [dei granelli] della sabbia aventi [nell’insieme] grandezza uguale allaTerra riempita come abbiamo detto, ma anche della grandezza uguale al cosmo[intero]. (Archimede, Arenario, p.446 di [2])

Come primo passo,Archimede stima l’estensione del cosmo servendosi dellateoria eliocentrica di Aristarco di Samo e giunge ad affermare che il diametrod del cosmo e inferiore a 10000 volte il diametro della Terra e pertanto inferiorea “cento miriadi di miriadi” di stadi1 ([2], p. 456), ovvero poiche la miriade′ι = 10000, si ha d < 1010 stadi. A seguire, Archimede suppone che in un semedi papavero non vi siano piu di 10000 granelli di sabbia e che il diametro di unseme di papavero sia 1/40 del dito. Giunto a questo punto, egli espone il suo

1Esistevano vari tipi di stadio, nell’antica Grecia. Pur essendo uno stadio pari a 600 piedi,poco meno di 200 metri, l’equivalente in metri poteva subire delle variazioni a seconda delluogo.

1.1. LA LEGGE DEGLI ESPONENTI 5

metodo per esprimere numeri sempre piu grandi con un sistema di numerazionenon posizionale. Con il sistema in uso, era possibile nominare numeri fino allamiriade di miriadi, cioe 108. Archimede chiama numeri primi o del primoperiodo quelli compresi tra 1 e 108, escludendo quest’ultimo che diventa l’unitadei numeri del secondo periodo i quali vanno da 108 fino alla miriade di miriadidi unita del secondo periodo e dunque fino a 108 · 108 = 1016, con il qualeiniziano i numeri del terzo periodo e cosı via ad infinitum. Appare chiaro, tral’altro, che Archimede non nutre dubbi sul fatto che la successione dei numerinaturali sia infinita potenzialmente, per usare categorie aristoteliche [3].

Il passo piu importante per i nostri scopi e il seguente

Se dei numeri son posti in proporzione continuata a partire dall’unita, e se[il numero] che vien dopo l’unita e 10, i primi otto di essi, compresa l’unita,saranno tra quelli che sono stati chiamati numeri “primi”, e altri otto dopo diessi [saranno] tra quelli che sono stati chiamati numeri “secondi” (....) E anchecio che segue e utile a conoscersi. Se dei numeri in proporzione continuatavengon moltiplicati tra loro, appartenendo alla stessa proporzione, il prodottosara nella stessa proporzione, e distera dal maggiore dei numeri che vengonomoltiplicati tra loro di quanto il piu piccolo di detti numeri dista dall’unita dellaproporzione; e rispetto all’unita [avra un certo numero d’ordine] minore di unaunita [della somma] dei numeri d’ordine dei numeri che si moltiplicano tra loro.(Archimede, Arenario, pp.460–461 di [2])

Numeri a, b, c, d, etc. si dicono in proporzione continuata se

a : b = b : c = c : d = d : ....

cioe se il rapporto tra due numeri consecutivi e costante. E chiaro che, posto1/q := a/b, le proporzioni continuate sono progressioni geometriche di ragioneq e termine iniziale a. Quanto Archimede ha enunciato nel passaggio ora ci-tato e l’osservazione che anzitutto 1, 10, 100,...10k formano una proporzionecontinuata e, soprattutto, il riconoscimento della legge degli esponenti per cui,al prodotto tra potenze della proporzione corrisponde la somma degli esponenti.Questo risultato, dimostrato da Archimede in generale, da una parte consentedi trovare in 1063, cioe l’ottavo dei numeri dell’ottavo periodo, un’approssi-mazione per eccesso del numero di granelli di sabbia contenuti nella sfera dellestelle fisse. D’altra parte, fa capire come Archimede avesse intuito l’idea fon-damentale che sta dietro alla definizione di logaritmo, vale a dire la possibilita ditrasformare moltiplicazioni in somme. La dimostrazione di Archimede procedesecondo queste linee

Siano infatti A, B, C, D, E, F , G, H, I, K, L alcuni numeri in proporzionecontinuata a partire dall’unita e sia A l’unita: si moltiplichi D per H e il prodot-to sia W . Si prenda dunque nella proporzione [il termine] L distante da H ditanti [posti] quanti D dista dall’unita: si deve dimostrare che W e uguale adL. Poiche dunque in numeri proporzionali D dista da A quanto L da H, si haD : A = L : H. Ma D e il prodotto di D per A, quindi L = H ×D cosicche siha L = W . E dunque chiaro che il prodotto e [un termine] della proporzione,


e che dista, dal maggiore dei numeri che si moltiplicano, tanti [posti] quanti ilminore [di quei numeri] dista dall’unita. Ed e manifesto che [il prodotto con-siderato] dista dall’unita per un [posto] in meno [della somma] delle distanzedall’unita di D, H; infatti i [numeri] A, B, C, D, E, F , G, H sono tanti quan-ti [posti] H dista dall’unita, e quelli I, K, L sono uno in meno di quanti [posti]D dista dall’unita, poiche aggiunto H sono altrettanti. (Archimede, Arenario,pp.461–462 di [2])

L’osservazione di Archimede sulla legge degli esponenti non sembra averdato origine ad ulteriori indagini sull’argomento nell’antichita e verra trattatapiu volte nel XV e XVI secolo, prima cioe della nascita di Nepero. In effetti,il legame tra progressioni aritmetiche e geometriche era espresso da SeverinoBoezio (480-524 ca.) nella Mensa Pythagorica, opera molto diffusa nel Medio-evo ed e conosciuto a diversi scrittori rinascimentali (per un elenco, si veda p.82di [5]). Un chiaro enunciato della legge degli esponenti si trova nella Tripartyen la Science des Nombres scritto da Nicholas Chuquet nel 1484. Quest’operarappresenta in certa misura una sintesi tra i due livelli, accademico e vernaco-lare, in cui la matematica si divideva a seconda delle necessita dell’utente. Lamatematica vernacolare e ad uso soprattutto di commercianti ed e attenta aproblemi di calcolo, piu che a problemi di concetto come nella matematica diderivazione accademica (cf. Capitolo II di [6]). Questa matematica minore hain effetti prodotto opere di grande interesse quali il Liber Abaci di LeonardoPisano detto Fibonacci (1175 ca-1250) che diede grande impulso all’impiegoin Occidente del sistema di numerazione posizionale di derivazione indo-arabicache era stato introdotto forse da Gerberto (940 ca-1003), maestro dell’Imper-atore Ottone III e poi papa con il nome di Silvestro II. Ecco alcuni passidella Triparty dedicati alla legge degli esponenti.

E utile considerare piu numeri proporzionali che, a partire da 1 formino unordinamento continuato come 1.2.4.8.16.32 ecc. o .1.3.9.27 ecc. E poi utilesapere che 1. rappresenta ed e al posto dei numeri con denominazione 0/2.rappresenta ed e nel posto dei primi con denominazione .1./ 4 e nel posto deisecondi che hanno denominazione 2.2 Ed 8 e nel posto dei terzi. 16 in quellodei quarti.2(Chuquet, Triparty, p. 84 di [5])

Similmente, il prodotto di .4. che e il secondo numero per .8. che e il terzonumero da .32. che e il quinto numero..... In questa considerazione si manifes-ta un segreto proprio dei numeri proporzionali. Cioe che moltiplicando per sestesso un numero della proporzione se ne ottiene un altro avente denominazionedoppia. Ad esempio, moltiplicando .8. qui e terzo per se stesso si ottiene .64.che e sesto. E moltiplicando per se stesso .16. che e quarto si ottiene 256.che e ottavo. E moltiplicando .128. che e settimo della proporzione per .512

2Il convient poser pluszs nobres pporcionalz comancans a 1. constituez en ordonnancecontinuee come 1.2.4.8.16.32 etc. ou .1.3.9.27. etc. Mantenant conuient scauoir que. 1.represente et est ou lieu des nombres dot ler denoinaon est .0. /2. represent et est ou lieu despremiers dont leur denomiacion est .1./4. tient le lieu des secondz dont leur denomiacion est.2. Et .8. est ou lieu des tiers. 16. tient la place des quartz.


che e il nono termine si ottiene 65536 che e il sedicesimo termine.3(Chuquet,Triparty, p. 84 di [5])

Riportiamo questo altro esempio, utile per comprendere la notazione impie-gata all’epoca, e per molto tempo ancora, per individuare la parte frazionariadi un numero

I termini di una qualche proporzione continuata siano ordinati in modo da in-iziare a contare il termine successivo ad 1. come il primo e quello successivocome secondo e cosı via per gli altri. Con questo ordinamento i numeri hannola proprieta che moltiplicandone due tra di loro se ne ottiene un altro della pro-porzione il cui ordine e la somma degli ordini dei fattori. Un altro esempio conla proporzione superbiparziente.

1· 23 1

2· 79 24· 1727 37· 5881 4

12· 209243 521· 316729 6

Moltiplicando 4· 1727 che e il terzo termine superbiparziente per se stesso si trovail sesto termine, 21· 316729 . Moltiplicando il secondo termine 2· 79 per il terzo, 4· 1727 ,si trova 12· 209243 che e il quinto. Perche 2 e 3 sommati fanno 5. E cosı anche pergli altri termini.4 (Chuquet, Triparty, Parte I, p. 420 di [7], pp. 67-68 di [6])

3Semblement qui multiplie .4. qui est nombre second par .8. qui est nombre tiers montent.32. qui est nombre quint.....En ceste consideration est maifeste vng secret qui est es nombrespporcionalz. Cest que qui multiple vng nombre pporcional en soy Il en viet le nombre dudouble de sa denominiacion come qui ml’tiplie .8. qui est tiers en soy Il en vient .64. quiest sixe. Et .16. qui est quart multiplie en soy. Il en doit venir 256. qui est huyte. Et quimultiplie .128. qui est le .7e. pporcional par .512 qui est le 9e. Il en doit venir 65536 qui estle 16e.

4Tous nomres proporcionalz constituez ordonneement en quelque proporcion que ce soitcommancant toutesfoiz a 1 et comptant cellui qui vient Immediatemmt apres, 1. pour lepremier et celui dap’s pour le second et consequentement les aultres. Telz nombres ainsiordonnez ont telle prope’te que... qui multiplie lung diceulx par lung des aultres et quiadiouste les deux ordres esquelz sont situez les deux nombres multipliez. Il treuve le lieu ondoit estre situe le nombre venu de la multiplicacion cest a dire qu’il trevue le quantisiemenombre ceste multiplicacion doit produire...Aultre exemple a la proporcion superbiparciens.

1· 23

1

2· 79

2

4· 1727

3

7· 5881

4

12· 209243

5

21· 316729

6

Qui multiplie 4· 1727

qui est le 3e superbiparciens en soy Il treuve le 6e superbiparciens qui est

21· 316729

. Ou qui multiplie le 2e superbiparciens qui est 2· 79par le 3e qui est 4· 17

27lon trouuera

12· 209243

qui est le 5e. Car 2 et 3 Joinetz ensemble font 5. Et ainsi des ault’s superparciens etsemblablement sea aultres especes conuient entendre...


Il termine superbiparziente (superbiparciens) con cui Chuquet indica laprogressione geometrica fa riferimento alla classificazione dei rapporti introdottada Nicomaco di Gerasa (I sec. d.C.) nell’Introductio Arithmeticae.

Testo 1.1 (Erasmo Erizio) , Musica Speculativa), 1498. Originale 1.3 Visono quindi cinque generi di proporzioni, cioe a dire multipla, superparticolare,superparziente e questi tre sono generi semplici. Inoltre vi sono la proporzionemultipla superparticolare e la multipla superparziente che sono due generi com-posti. (...) Una proporzione e detta multipla quando il numero maggiore con-tiene il minore esattamente un numero intero di volte: come il due contienel’unita due volte per cui e una proporzione doppia. Il quattro contiene l’u-nita quattro volte per cui la proporzione e quadrupla, ed il tre contiene l’unitatre volte, ecc. La proporzione e superparticolare quando il numero maggiorecontiene il minore una volta ed una qualche sua parte. Ne sono esempi leproporzioni sesquialtera, sesquiterza, sesquiquarta, sesquiquinta, ecc. La pro-porzione e sesquialtera quando il numero maggiore contiene il minore una voltapiu la meta dell’unita, come tre sta a due. La proporzione e sesquiterza quandoil numero maggiore contiene il minore una volta piu la sua terza parte comequattro sta a tre. La proporzione e superparziente quando il numero maggiorecontiene il minore una volta ed alcune sue parti e si hanno la proporzione su-perbiparziente, supertriparziente. La superbiparziente si ha quando il numeromaggiore contiene il minore una volta piu due sue parti, come cinque a tre.Poiche il cinque contiene il tre una volta con due terzi. La supertriparziente siha quando il numero maggiore contiene il minore una volta piu tre sue parti,come sette sta a quattro, infatti il sette contiene il quattro una volta piu tre quar-ti. La proporzione multipla superparticolare si ha quando il numero maggiorecontiene il minore un certo numero di volte piu una certa parte, e si distingue tradoppia sesquialtera, tripla sesquialtera, tripla sesquiterza. La proporzione doppiasesquialtera si ha quando il maggiore contiene il minore due volte piu una partesu due, come cinque sta a due, dal momento che il cinque contiene il due duevolte piu la meta dell’intero. La proporzione e multipla superparziente quando ilnumero piu grande contiene il piu piccolo un certo numero di volte piu un certonumero di parti. Ne sono esempi la proporzione doppia supebiparziente, doppiasupertriparziente, ecc. La doppia superbiparziente si ha quando il numero mag-giore contiene l’altro due volte piu due parti, come otto a tre dal momento cheotto contiene tre due volte piu due terzi, e cosı negli altri casi. La proporzionesi riconosce in questo modo. Se allora sono assegnati due numeri arbitrari, sesono uguali a due a due, si tratta di una proporzione di uguaglianza, come duesta a due, tre sta a tre. Se al contrario fossero diversi, si divida il maggioreper il minore, il quoziente da il nome alla proporzione. Ad esempio, dividendo.8. per .3. si ottiene il quoziente .2. con due terzi e di tratta pertanto di unaproporzione superbiparziente. Cosı se divido 6 per 2 il quoziente e tre e non c’eresto per cui la proporzione e tripla. E cosı via si ripete l’operazione in tutti itipi di qualsiasi genere,

Dunque il rapporto tra due numeri naturali a e b, con a > b, puo appartenerea cinque distinte famiglie: multiplex (multiplo), quando a e un multiplo intero


di b: a = nb dove n e un intero; superparticular (superparticolare) se ab = 1+ 1

b ,; superpartiens (superparziente) se a

b = 1 + mb , dove m e un intero variabile

tra 2 e b− 1; multiplex superparticular (multiplo superparticolare) quando ab =

k+ 1b , con k > 1 intero; infine, multiplex superpartiens (multiplo superparziente)

quando ab = k + m

b . Cosı la progressione indicata da Chuquet nel testo haragione 5

3 . La notazione 1· 23 indica il numero avente parte intera 1 e parte

frazionaria 23 , cioe 1 · 2

3 = 1+ 23 = 5

3 . Cosı 7 · 5881 = 7+ 5881 = 625

81 =(

53

)4. Si nota

pertanto come la notazione decimale venga impiegata solo per la parte intera,mentre la parte frazionaria non ha una potenza di 10 a denominatore.

Benche terminata nel 1484, non si e a conoscenza di alcun esemplare a stam-pa della Triparty che diverra nota quando Estienne de la Roche attingera apiene mani da essa nella sua Larismethique, pubblicata nel 1520. Proprio lascarsa circolazione della Triparty e la causa dell’influenza limitata che essa es-ercito nel XVI secolo. Diversa fu la sorte dellaKunstliche Rechnung di ChristophRudolff (1500 ca-1546 ca) del 1526 dove viene espressa la legge degli espo-nenti, illustrata da diversi esempi. All’opera di Rudolff attinsero ampiamenteApiano (Peter Bienewitz, 1495-1552) e Gemma Rainer (Regnier) o Gem-ma di Frisia (1508-1555), autore di un diffuso libro di testo, l’ ArithmeticaePracticae Methodus, che conobbe sessanta edizioni tra il 1540 ed il 1601. In taleopera l’autore esprime in questi termini la legge degli esponenti riferendosi allatabella

3 9 27 81 243 7290 1 2 3 4 5

Se infatti moltiplicherai tra di loro due di questi numeri e dividerai il risultatoper il primo si otterra un numero da collocare nella posizione che indicano i duefattori5 (Gemma di Frisia, Arithmeticae Practicae Methodus, p.85 di [5])

Un deciso passo in avanti si ha con la pubblicazione della Arithmetica Integradi Michael Stifel (1487 ca-1567). Qui si trova enunciata la legge degli esponentinei termini gia incontrati piu volte:

Tutto cio che la progressione aritmetica opera attraverso l’addizione e la sot-trazione, la progressione geometrica lo opera con moltiplicazione e divisione.come mostra pienamente il lib. 1. al capitolo sulle progressioni geometriche.Vedi pertanto

0 1 2 3 4 5 6 7 81 2 4 8 16 32 64 128 256

Cosı come (nella riga superiore) 3 e 5 sommati danno 8, cosı (nella riga inferi-ore) 8 e 32 moltiplicati danno 256. E poi 3 l’esponente di otto, 5 l’esponente di32 ed 8 e l’esponente del numero 256. Allo stesso modo, come nella riga supe-

5Si enim duos quoscunque ex his numeris inuicem multiplicaueris, productumque perprimum diviseris, producetur numerus eo loco ponendus que duo facta indicabunt.


riore per sottrazione di 3 da 7, resta 4, cosı nella riga inferiore dalla divisionedi 128 per 8, si ottiene 16. 6(Stifel, Arithmetica Integra, pp. 85-86 di [5])

Osserviamo [5] che Stifel chiama 5 l’esponente di 32, non l’esponente dellabase 2, come diremmo oggi. Nell’opera di Stifel la legge degli esponenti eespressa anche per esponenti negativi, come dimostra il passo seguente:

Come sopra l’unita vengono disposti numeri interi e sotto l’unita le sue parti,e come sopra 1 vengono disposti numeri interi e sotto 1 vengono poste le sueparti o frazioni: cosı sopra lo 0 e posta l’unita con gli interi e sotto lo 0 sonodisposti numeri con segno. Cio che appare ben rappresentato nella progressionedei numeri naturali quando viene legata alla progressione (geometrica). Maillustriamo questa speculazione con un esempio.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 618

14

12 1 2 4 8 16 32 64

(Stifel, Arithmetica Integra, p. 421 di [7]). 7

Di importanza ancor maggiore sono gli enunciati delle corrispondenze traoperazioni su potenze ed operazioni su esponenti.

1. Nelle progressioni aritmetiche l’addizione corrisponde alla moltiplicazionein quelle geometriche. Come, in questa progressione aritmetica, 3.7.11.15 lasomma dei termini estremi e uguale alla somma dei termini medi ed entrambedanno 18. Cosı in questa [progressione] geometrica, 3.6.12.24. il prodotto degliestremi e uguale al prodotto dei medi ed entrambi danno 72 e cosı si potrebberofare infiniti altri esempi.

2. La sottrazione nelle [progressioni] aritmetiche corrisponde alla divisionenelle geometriche....

3. La moltiplicazione semplice (cioe di un numero per un numero) quandosia eseguita in una [progressione] aritmetica, corrisponde alla moltiplicazione diun numero per se stesso nelle progressioni geometriche. Cosı alla moltiplicazione

6Qualiacumque facit Arithmetica progressio additione, et subtractione, talis facit progressioGeometrica multiplicatione et diuisione. ut plene ostend lib. 1. capite de geomet. progress.Vide ergo

0 1 2 3 4 5 6 7 81 2 4 8 16 32 64 128 256

Sicut ex additione (in superiore ordine) 3 ad 5 fiunt 8, sic (in inferiore ordine) ex multiplicatione8 in 32 fiunt 256. Est autem 3 exponens ipsius octonarij, et 5 est exponens 32 et 8 est exponensnumeri 256. Item sicut in ordine superiori, ex subtractione 3 de 7, remanent 4, ita in inferioriordine ex diuisione 128 per 8, fiunt 16.

7Sicut supra unitatem ponuntur numeri integri, et infra unitatem finguntur minutiae uni-tatis, et sicut supra unum ponuntur integra, et infra unum ponuntur minuta seu fracta: sicsupra 0 ponitur unitas cum numeris, et infra 0 fingitur unitas cum numeris. Id quod pul-chre reprœsentari videtur in progressione numerorum naturali, dum seruit progressioni. Sedostendenda est ista speculatio per exemplum.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 618

14

12

1 2 4 8 16 32 64


per due in progressioni aritmetiche corrisponde la moltiplicazione quadrata inquelle geometriche....

4. La divisione eseguita in progressioni aritmetiche corrisponde alle es-trazioni di radici nelle progressioni geometriche. 8(Stifel, Arithmetica Integra,p. 86 di [5])

La Arithmetica Integra ebbe larga diffusione ed era ritenuta un classico anco-ra ai tempi di Nepero che puo dunque esserne stato influenzato piu o meno di-rettamente. Sembra accertato che l’opera di Stifel influenzo lo svizzero Burgiche introdusse i logaritmi indipendentemente da Nepero.

Quanto all’Italia, a Venezia nel 1494 viene pubblicata la Summa de Arith-metica, Geometria, Proportioni et Proportionalita del francescano Luca Paci-oli (1445-1514) che, benche posteriore di un decennio rispetto alla Triparty,puo essere considerata a buon diritto il primo trattato a stampa di algebra.

La Summa contiene un problema sull’interesse composto la cui risoluzionesi lega ai logaritmi in modo intrigante.

A voler sapere ogni quantita a tanto per 100 l’anno, in quanti anni saratornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale semprepartirai per l’interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sara raddoppiato.Esempio: Quando l’interesse e a 6 per 100 l’anno, dico che si parta 72 per 6;ne vien 12, e in 12 anni sara raddoppiato il capitale. (Pacioli, Summa deArithmetica in [8], p.163)

Cio che incuriosisce nella soluzione di Pacioli e il ruolo, per cosı dire, univer-sale giocato dal numero 72. Per cercare di comprenderne il significato, GiovanniVacca osserva in [8] che la soluzione del problema richiede di determinare ilnumero x che soddisfa l’equazione

(

1 +r

100

)x

= 2

una volta che si sia assunto unitario il capitale iniziale e si sia indicato con ril tasso annuo di interesse. Ora, passando ai logaritmi naturali e supponendor piccolo rispetto a 100 cosı da render lecita l’approssimazione ln(1 + x) ≈ xabbiamo

x =100 ln 2

r

e 72 rappresenta una stima —non molto accurata, in verita—di 100 ln 2. Iltesto di Pacioli e molto ellittico ed il metodo seguito per ottenere il numero 72

81. Additio in Arithmeticis progressionibus respondet multiplicationi in Geometricis. Vt,sicut in hac Arithmetica progressione, 3.7.11.15 duo termini extremi additi, faciunt quantummedij ad se additi, utrobisque enim fiunt 18. Sic in hac Geometrica, 3.6.12.24. duo extremiinter se multiplicati, faciunt quantum medij inter se multiplicati, utrobisque enim fiunt 72 etsic de infinitis alijs exemplis.

2. Subtractio in Arithmeticis, respondet in Geometricis diuisioni...3. Multiplicatio simplex (id est, numeri in numerum) quae fit in Arithmeticis, respon-

det multiplicationi in se, quae fit in geometricis. Vt duplatio in Arithmeticis respondet inGeometricis multiplicationi quadratae....

4. Diuisio in Arithmeticis progressionibus, respondet extractionibus radicum inprogressionibus Geometricis.


non trovo spiegazione nemmeno tra allievi di Pacioli come Niccolo Tartaglia(1499-1557).

Tartaglia si limita a riportare la legge degli esponenti nel suo GeneralTrattato de’ Numeri, et Misure (1556) ma non introduce, a differenza di Stifel,gli esponenti negativi: in definitiva non vi e progresso rispetto a quanto notodall’Arenario di Archimede.

E se ben te aricordi, di sopra ti ho detto qualmente il numero, considera-to secondo se, non e dignita, ma solamente capo e principio di dette dignita, sicome che anchora la vnita, considerata secondo se, non e numero, ma solamenteprincipio del numero, adonque non essendo di nulla dignita il numero, gli dare-mo per suo segno .0. come che in margine si vede, e perche la .cosa. e la primadignita, gli daremo per suo segno .1. Et perche il censo, e la seconda dignita, glidaremo per suo segno .2. Et cosı il cubo, e la terza dignita, gli daremo per suosegno .3. et cosı anchora per il ce.ce. e la quarta dignita, gli daremo per suosegno .4. e cosı senza che piu oltre mi estenda andaremo procedendo di mano inmano nelle altre, come che in margine si vede annotato perfin alla 29 dignita,li quali segni de’ numeri sono situati nella continua progressione arithmetica, ele dignita sono situate nella continua proporzionalita geometrica, Et se ben tearicordi nel 8o libro della 2a parte a carte 131, fu dichiarito nel primo Corol-lario della 8a, che al multiplicare delle geometrice proportionalita, corrispondeil summare delle arithmetice, E per tanto al multiplicare vna dignita in vn’altra(che sono nella proporzionalita geometrica) corrisponde il sommar di lor segni(che sono nella progressione, ouer proportionalita arithmetica). (Tartaglia,General Trattato, pp.564–565 di [9])

Se Stifel riuscı ad estendere la legge degli esponenti anche a numeri neg-ativi, e nella Triparty di Chuquet che vediamo enunciato un problema (il N.94), quello della botte, in cui l’idea di logaritmo viene sfiorata.

Una botte si svuota ogni giorno di 1/10 della sua capacita; dopo quanto temposi sara svuotata per meta?9(Chuquet, Triparty, p. 16 di [10])

Oltre all’enunciato del problema, e interessante osservare la presentazionedella soluzione convenzionale che fa ricorso alla regola del tre. Dopo aver cal-colato che che alla fine del sesto giorno la botte contiene 0.531 del contenutoiniziale e che al termine del settimo giorno contiene 0.477 del contenuto iniziale,fatta l’ipotesi che la velocita di fuoriuscita sia costante nel corso del settimogiorno, egli trova la soluzione 6 · 31441

531441 giorni che commenta in questi termini

Di questo procedimento i piu saranno contenti. Tuttavia sembra verosimileche si debba cercare un numero proporzionale compreso tra 6 e 7 giorni che, peril momento, ci e sconosciuto.10 (Chuquet, Triparty, p. 17 di [10]).

L’insoddisfazione di Chuquet puo forse nascere, come suggerisce Naux—[10], p.17 —dall’ aver compreso che la proporzionalita importante nel testo

9Un tonneau se vide chaque jour de 1/10e de sa capacite; au bout de combien de tempssera-t-il a moitie vide?

10Et de cette maniere de faire, plusieurs sont contents. Toutefois, il semble pour le vrayque entre 6 jours et 7 jours, l’on doit chercher un certain nombre proportionnel, lequel, pourle moment, nous est inconnu.

1.2. IL PESO DEI CALCOLI 13

non e quella che si riferisce al contenuto residuo nella botte, quanto quella chesi riferisce al tempo impiegato da una data frazione di liquido ad uscire dallabotte. Se cosı fosse, Chuquet sarebbe andato molto vicino all’idea di logaritmoche un secolo piu tardi sara formalizzata con successo da Nepero.

Da osservare e anche che Chuquet presenta due varianti nella soluzione delproblema della botte [6]. In una prima versione, suggerisce di assumere che labotte abbia una capacita molto elevata, cosı da poter con facilita sottrarre datale numero senza eccessiva fatica la decima parte. In concreto, egli suggeriscedi prendere il valore 10000000. Nella seconda versione, inficiata da un erroreconcettuale che non viene evidenziato dal risultato, la capacita e assunta uni-taria. L’idea di prendere numeri molto grandi per effettuare molte divisionisenza l’ingombro della parte decimale, per cui la notazione era problematicaall’epoca, e molto vicina alla prassi seguita in trigonometria dove si prendevanocerchi goniometrici di raggio molto grande, cosı da avere funzioni trigonomet-riche che, pur dipendendo dal raggio, fossero accurate e non richiedessero lanotazione decimale per la parte frazionaria.

1.2 Il peso dei calcoli

Sin qui abbiamo visto diversi matematici afferrare il significato della legge degliesponenti ed il legame tra progressioni aritmetiche e geometriche. Tale leggepero viene percepita come un’ammirabile ed anche misteriosa proprieta dei nu-meri, ma non si traduce in uno strumento utile ai fini pratici. La motivazionealla base della scoperta dei logaritmi ed anche il motivo del loro successo fu laricerca di efficienti strumenti di calcolo in grado di alleggerire il pesante fardellodi cui erano gravati gli astronomi del tempo i quali, per poter predire il corsodei pianeti, si dovevano confrontare con grandi difficolta di calcolo quali l’effet-tuazione di moltiplicazioni e divisioni tra numeri con molte cifre, estrazioni diradici quadrate e cubiche. Allo scopo di alleviare gli oneri derivanti dai calcoli,molte tavole numeriche erano state approntate, cosı come procedimenti approssi-mati per eseguire prodotti ed il ricorso a strumenti meccanici. In questa sezionevogliamo percorrere gli sforzi compiuti in questa direzione, concentrandoci suidecenni che precedettero la scoperta di Nepero.

L’algoritmo di estrazione della radice quadrata e molto oneroso dal puntodi vista computazionale. L’astronomo Giovanni Antonio Magini (1550-1617)include nell’opera De Planis Triangulis, pubblicata a Venezia nel 1592 un capito-lo dal titolo Tavola Tetragonica dove propone una tavola contenente i quadratidi tutti gli interi compresi tra 1 ed 11000. Nelle intenzioni dell’autore, essadovrebbe portare aiuto nella risoluzione dei triangoli rettangoli:

Se questa tavola fosse stata pubblicata in quel tempo, avrebbe allontanato da se lanoia ed il sacrificio nel calcolo di quelle tavole.11(Magini, De planis Triangulis,p. 2 di [11])

11Si eo tempore nostra haec tabula edita fuisset, facile eum supputandi tabulas illas etmolestiam et impensam fuisse aversaturum.


Per capirne l’utilizzo, seguiamo l’esempio riportato da Naux (p.6 di [11])che propone di trovare il valore numerico di

√43. Attraverso la Tavola Tetrag-

onica si osserva che (6557)2 = 42 994 249 da cui, dividendo ambo i menbri per106 si ottiene (6.557)2 = 42.994 249 per cui 6.557 viene assunto come valoreapprossimato di

√43, un valore vicino all’approssimazione 6.5574 presente in

tavole moderne e certamente molto piu accurato di 6.972, valore ottenuto dallaformula approssimata

√

x2 + a ' x+a

2x.

Un altro tipo di tavole elementari e quella pubblicata da Hervart von Hohen-burg (?-1625) nel 1610. La tavola contiene tutti i prodotti del tipo n×m, conn ed m interi variabili entrambi tra 1 e 999. Ogni pagina delle tavole contienei multipli di n secondo tutti i numeri interi tra 1 e 999. Nella tabella seguenteriportiamo una sintesi della pagina dedicata ad n = 999

0 ... 100 ... 900 ...1 999 ... 100899 ... 900099 ...2 1998 ... 101898 ... 901098 ...3 2997 ... 102897 ... 902097 ...

L’elemento MN contiene il risultato di 999× (M +N). Cosı nell’esempio quiriportato, nella terza riga della colonna corrisponedente al numero 100 leggiamo999× (100 + 3) = 102897. Per illustrare l’impiego di tale tavola supponiamo divoler calcolare il prodotto tra 461 235 987 e 789 654 ([10], p.30). Raggruppandole cifre a gruppi di tre si ottengono della tavole i valori 645 498 = 654 × 987,153 690 = 654× 235, 301 494 = 654× 461 e cosı via. Il risultato dell’operazionesi ottiene sommando i prodotti parziali, posizionati correttamente come quiillustrato:

461 235 987789 654645 498

153 690301 494

778 743185 415

363 729364 216 842 078 498

Il vantaggio delle tavole di von Hohenburg ammonta a ridurre moltiplicazioniad addizioni, con un non indifferente guadagno di tempo.

Un interessante sistema per semplificare, approssimandola, la moltiplicazionetra due numeri venne proposto da Johannes Kepler (Keplero, 1571-1630)nel 1623. La proposta di Keplero poggia sull’osservazione, riproposta qui intermini moderni, che se si moltiplicano tra loro numeri dotati di un certo numerodi cifre significative dopo quella delle unita, la loro moltiplicazione ne conterraun numero maggiore. Poiche le cifre significative in eccesso non aggiungononulla alla correttezza del risultato, al contrario il loro inserimento e incoerente,


Keplero propose uno schema che illustriamo sulla moltiplicazione di 4062051×1163818, da intendersi in realta come il prodotto tra due seni espressi con unaprecisione di 7 cifre decimali: 0.4062051× 0.1163818 [10].

4062051116381840620514062052437231218632504032

4727487

Il procedimento e il seguente. Si moltiplica il moltiplicando per la cifra piu asinistra del moltiplicatore, ottenendo il primo numero sotto la barra. Si ripete lastessa operazione per la seconda cifra del moltiplicatore, trascurando la molti-plicazione per l’ultima cifra del moltiplicando, in quanto questo non da luogo ariporto e dunque introduce un errore sull’ottava cifra decimale. Si procede diseguito moltiplicando la k-esima cifra del moltiplicatore per il moltiplicando incui sono trascurate le ultime k − 1 cifre ma si include solo l’eventuale riporto.Cosı 6, terza cifra del moltiplicatore, viene moltiplicata per 40620, moltiplican-do senza le ultime due cifre, ma tenendo conto solo del riporto: 3. L’errore chesi commette in questo caso e inferiore a 10−8.

Una via diversa fu battuta da John Napier (Nepero, 1550-1617) nellaRabdologia, opera pubblicata nel 1617 e destinata alla semplificazione delle op-erazioni elementari. Il procedimento di Nepero consiste nel costruire un certonumero di parallelepipedi (virgulae numeratrices) o bastoncini suddivisi in ri-quadri nei quali sono riportati i multipli di uno degli interi da 1 a 9. All’internodi ciascun riquadro il multiplo e riportato come in figura 1.1, con la cifra delledecine sopra il segmento di diagonale del quadrato riservato al numero e con lacifra delle unita al di sotto.

Sulla faccia opposta del bastoncino compaiono i multipli del complemento a9 del numero riportato sulla prima faccia.

Per comprendere l’uso dei bastoncini di Nepero, consideriamo come vieneeffettuato il prodotto tra 357 e 249. Si dispongono i tre bastoncini corrispondential 3, al 5 ed al 7 come illustrato in figura 1.2 e si considerano le righe dove sonoriportati i multipli secondo 2, 4 e 9. In ciascuna riga, si procede a sommare indiagonale le cifre presenti. Nella riga corrispondente a 2 si ottiene, partendo dadestra 714 = 357 × 2; nella quarta riga si ottiene 1428 = 357 × 4 e nella nona3213 = 357 × 9. Sommando i numeri ricavati, con l’accortezza di utilizzare ilseguente allineamento, che tiene conto della diverso valore posizionale delle cifre


6

1

2

1

8

2

4

3

0

3

6

4

2

4

8

5

4

Figura 1.1: Bastoncino di Nepero corrispondente al numero 6.

di 249, si ottiene il risultato corretto 88893.

3 2 1 31 4 2 87 1 48 8 8 9 3

Il seguente estratto dalla Rabdologia ci da un’idea dello stile di Nepero,sempre attento a chiarire con esempi le regole generali enunciate.

Testo 1.2 (Nepero, Rabdologia [12], pp.16–17. Originale 1.4) Forma gra-zie ai bastoncini (seguendo la prima regola di questo secondo) uno dei due nu-meri da moltiplicare (preferibilmente il maggiore): scrivi l’altro fattore sullacarta e traccia una linea sotto di esso. A questo punto, sotto una qualsiasi dellecifre su carta, sia scritto il multiplo [corrispondente] trovato con i bastoncini,che quella cifra indica come quotumo: in modo che le cifre piu a destra di ognimultiplo o quelle piu a sinistra uguagliate trasversalmente o in modo obliquouna con l’altra si susseguano in quell’ordine con cui si susseguono le cifre chele indicano; una volta disposti i multipli in questo modo, li si sommi in modo


3

0

6

0

9

1

2

1

5

1

8

2

1

2

4

2

7

5

1

0

1

5

2

0

2

5

3

0

3

5

4

0

4

5

7

1

4

2

1

2

8

3

5

4

2

4

9

5

6

6

3

2

4

9

Figura 1.2: Calcolo di 357× 249 utilizzando i bastoncini di Nepero. I numeriin rosso contengono i multipli secondo 2, 4, 9 di 3,5,7. Sommati in diagonaleforniscono i prodotti parziali 357× 2 = 714, 357× 4 = 1428 e 357× 9 = 3213.

aritmetico; si otterra il risultato della moltiplicazione. Ad esempio si consideril’anno del Signore 1615 da moltiplicare per 365. Si componga il primo numerotra i bastoncini ed il secondo sia scritto sulla carta, come qui a fianco. Tab-ulati il triplo, il sestuplo ed il quintuplo, le cifre vanno riportate nell’ordinecon cui sono riportati i numeri 3,6,5, come indicato dai quotumi. Pertanto iltriplo del numero 1615 ottenuto dai bastoncini, che e 4845; il sestuplo, che e9690 ed il quintuplo, 8075, vengano scritti trasversalemente o sotto i loro quo-tumi 3, 6, 5, o iniziando sotto di essi rispettivamente, come nel primo schemao terminando sotto di essi, come nel secondo. Infatti cio non ha importanzapurche le cifre piu a sinistra uguagliate si susseguano nello stesso ordine degliindici o quotumi sopraddetti. Disposti questi multipli con tale ordine, sianosommati aritmeticamente e si ottiene il numero cercato 589475, risultato dellamoltiplicazione.

I due allineamenti cui fa riferimento Nepero nel frammento ora riportatosono i seguenti

3 6 5

4 8 4 59 6 9 0

8 0 7 5

5 8 9 4 7 5

Nepero ha reso meccanica una tecnica di moltiplicazione nota da tempo,la moltiplicazione a graticcio o a gelosia, dalla struttura degli scuri in uso a


Venezia, in quanto furono proprio i mercanti veneziani ad importare questatecnica in occidente. Grazie all’uso dei bastoncini, Nepero ha ridotto l’oneredi moltiplicare due numeri a quello, molto meno gravoso, di sommarli.

Uno strumento sistematico utilizzato in trigonometria per la riduzione diprodotti a somme e costituito dalle formule di prostaferesi, scoperte dall’as-tronomo arabo Ebn-Jounis (950-1009) ed utilizzate per primo nel mondo lati-no dall’astronomo danese Ticho Brahe (1546-1601), presso cui lavoro comeassistente Keplero. La tipica formula di prostaferesi

sinα cosβ =1

2[sin(α+ β) + sin(α− β)]

evidenzia l’economia di calcolo apportata, vista la possibilita di ridurre la molti-plicazione tra due numeri a molte cifre “decimali”—7 o 8 in genere— all’ad-dizione di due numeri. Non e chiaro se Brahe abbia riscoperto le formule diprostaferesi, oppure se ne sia giunto a conoscenza da uno dei numerosi con-tatti che l’occidente ebbe con il mondo arabo. E certo che egli non si curoaffatto di divulgare la notizia, quanto piuttosto di custodirla gelosamente, vis-to il vantaggio di posizione che gli offriva rispetto agli altri astronomi. Fusolo nel 1611 che le formule di prostaferesi comparvero a stampa in un’operadell’astronomo ed orientalista tedesco Jakob Christmann (1554-1613) sotto ilnome di “Prostapheresi Werneriana” dal nome del sacerdote tedesco JohannesWerner (1468-1528).

E interessante riportare un estratto dell’opera diChristmann come riprodot-to da Naux per comprendere come venivano enunciate le formule all’epoca

Somma e sottrai la latitudine della stella alla massima declinazione del sole:e di entrambi gli archi, la somma e la differenza, prendi il seno. Aggiungi ilseno minore al maggiore; la loro somma divisa per due da il secondo numeronella regola delle proporzioni. Come primo numero nella regola delle proporzioniconsidera il seno totale.12 (cf. p. 31 di [10]).

Per il seguito della storia, e bene soffermarsi alquanto su alcuni punti. Anz-itutto occorre capire che cosa e il sinus totus. In termini moderni sarebbesin π

2 = 1, cioe il massimo assoluto della funzione seno. All’epoca pero non si uti-lizzava la circonferenza trigonometrica di raggio unitario, in quanto questo rendele funzioni trigonometriche seno e coseno numeri inferiori all’unita per i quali,come gia ricordato piu volte, non esisteva una notazione comoda. Si preferivaallora lavorare su un cerchio di raggio molto grande, tipicamente R = 107 cos-

icche, ad esempio, sin π4 = R

√22 = 7071067... diventa un numero a sette cifre e

la potenza di 10 scelta per il valore di R diventa il grado di accuratezza con cuile funzioni trigonometriche sono valutate.

Il secondo punto importante e che le regole trigonometriche–piana o sferica–venivano enunciate in termini di Proporzioni, come nell’esempio seguente:

12Latitudinem stellae adde et subtrahe maximae solis declinatio: et utriusque arcus, tamcompositi, quam residui accipe sinuum. Sinu minorem adde majori; et semissis agregati dabitsecundum numerum in regula proportionum. Pro primum autem numero regulae propotionisadhibe sinum totum

1.3. TESTI ORIGINALI 19

Trovare la declinazione del sole, assegnate la massima obliquita dell’eclitticae la distanza del sole dall’equinozio piu vicino. Come il seno totale sta al senodella distanza dall’equinozio piu vicino, cosı il seno della massima obliquita. Alseno della declinazione richiesta.13 (cf. p.31 di [10]).

Tradotto in termini piu formali,

R

seno della distanza=

seno della obliquita massima

seno della declinazione incognita

da cui, posto a := seno della distanza, b := seno della obliquita massima edx := seno della declinazione incognita vediamo che x = ab/R e dunque le for-mule di prostaferesi, riducendo il prodotto ab ad una somma, consentivano unalleggerimento notevole dei calcoli, almeno quando le proporzioni hanno il senototale come primo termine e presentano solo la funzione trigonometrica senonegli altri termini. Una generalizzazione dell’approccio alle formule di prostafer-esi tale da renderle efficaci quando queste condizioni non si presentavano fuintrodotto da dal gesuita tedesco Cristhoph Clavius (1538-1612) e rappresen-tano il contributo piu elevato alla semplificazione dei calcoli trigonometrici primadell’avvento dei logaritmi.

1.3 Testi originali

Testo 1.3 (Erasmo Erizio, Musica Speculativa, 1498) Sunt ergo quinque gen-era proportionum, scilicet, Multiplex, Superparticulare, Superpartiens, et haectria sunt simplicia, genera. Dehinc multiplex superparticulare, et multiplexsuperpartiens, et haec duo sunt composita. (...) Multiplex est quando maiornumerus continet minorem numerum multotiens praecise. ut binarius continetunitatem bis. quare proportio dupla. Quaternarius vnitatem quater, quareQuadrupla, et Ternarius ter, et cetera. Superparticulare vero est quando maiornumerus continet minorem semel, et aliquam eius partem. Cuius species sunt,sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta, sesquiquinta, et cetera. Sesquialteraest, quando maior numerus continet minorem semel, et alteram eius partem,scilicet medietatem, ut tria ad duo. Sesquitertia vero, quando maior numeruscontinet minorem semel, et eius tertiam partem, ut quatuor ad tria. Superpar-tiens est quando maior numerus continet minorem semel, et aliquas eius partes,cuius species sunt superbipartiens, supertripartiens. Superbipartiens species est,quando maior numerus continet minorem semel, et duas eius partes, ut quinquead tria. Quoniam Quinarius continet ternarium semel cum duabus tertijs. Su-pertripartiens est, quando maior numerus continet minorem semel cum tribuseius partibus, sicut septem ad quatuor, nam septem continet in se quaternar-ium semel cum tribus quartis. Multiplex superparticulare est quando maiornumerus continet minorem multotiens, cum aliqua parte, Cuius species suntdupla sesquialtera, dupla sesquitertia, Tripla sesquialtera, Tripla sesquitertia.

13Dates maxima obliquitate Eclipticae, et distantia Solis a proximo Aequinoctio, invenireejus declinationem. Ut sinus totus. Ad sinum distantiae a proximo aequinoctio, ita Sinusmaximae obliquitatis. Ad sinum declinationis quaesitae.


Dupla sesquialtera est, quando maior numerus continet minorem bis, et alterameius partem, sicut quinque ad duo, quia quinarius continet Binarium bis cumuna medietate. Multiplex superpartiens est, quando maior numerus continetminorem multotiens cum aliquibus partibus. Cuius species sunt, dupla super-bipartiens, Dupla supertripartiens, et cetera. uel tripla superbipartiens, triplasupertripartiens. Dupla superbipartiens est quando maior numerus comprehen-dit minorem bis, cum duabus partibus, ut octo, ad tria. Quia octo comprehendittria bis cum duabus tertijs, et sic de singulis speciebus fiat operatio. Et cognosc-itur proportio hoc modo. Nam si propositi sunt quot libet numeri, si fuerintadinuicem aequales, erit proportio aequalitatis, ut dicendo, duo, et duo, tria, ettria. Si uero fuerin inaequales, Diuidatur maior per minorem, et Quotiens estdenominatio proportionis, ut si diuiserimus .8. per .3. erit quotiens .2. cumduabus tertijs. Quare erit proportio dupla superbipartiens. Item si diuisero .6.per .2. proueniunt tria in Quotiente. ergo proportio tripla. et sic fiat operatioin omni specie cuiuslibet generis.

Testo 1.4 (Nepero, Rabdologia [12], pp.16–17) Numerorum itaque invicemmultiplicandorum alterutrum (praesertim maiorem) inter Virgulas (per primamsecundi hujus) constitue: alterum in charta scribe, ducta infra illum linea.Deinde sub qualibet figura chartae, scribatur multiplum illud inter Virgulasrepertum, quod figura illa tamquam quotumus denominat: ita ut dextimae om-nium multiplorum notae, vel sinistimae aequatae decussatim seu oblique alteraalteram eo ordine sequantur, quo figurae illae denominantes illa; sic dispositamultipla Arithmetice addantur; proveniet multiplicationis productum. Ut sitannus Domini 1615 per 365 multiplicandus. Numerus ille in tabulam redigatur,hic in charta statuatur ut a margine. Tabulati numeri triplum, sextuplum etquintuplum ordine sumenda esse figurae numeri in charta scripti 3,6,5, tamquamquotumi indicant. Triplum itaque numeri 1615 quod e Virgulis scribitur est4845; sextuplum quod est 9690, et quintuplum, 8075, decussatim scribantur subsuis quotumis 3, 6, 5, sive sub eis respective incipiendo, ut in primo Schemate,sive desinendo, ut in secundo. Non enim refert, modo sinistimae figurae ae-quatae eodem ordine decussatim progrediantur, quo dicti indices seu quotumi.His multiplis ita ordine dispositis, addentur eadem Arithmetice, et proveniet589475, numerus optatus, et ex multiplicatione productus.

Bibliografia

[1] F. Cajori: History of Mathematical Notations I. Notations in ElementaryMathematics. Open Court, La Salle, Illinois (U.S.A.), (1974); ristampadell’originale pubblicato nel 1928 dalla stessa casa editrice.

[2] Archimede Opere, a cura di Attilio Frajese. UTET, Torino (1974).

[3] P. Delsedime: L’infini numerique dans l’Arenaire d’Archimede. Arch. Hist.Exact Sciences 6, 345–359, (1970).

[4] C.G. Knott (curatore): Napier Tercentenary Memorial Volume Longmans,Londra, (1915).

[5] D.E. Smith: The law of exponents in the works of the sixteenth century.In [4], pp. 81-91.

[6] G. Flegg, C. Hay, B. Moss: Nicholas Chuquet, Renaissance Mathematician.D. Reidel, Dordrecht, (1984).

[7] A. Aubry: Les logarithmes avant Neper. L’Enseignement Mathem. 8, 417–432, (1906).

[8] G. Vacca: The first Napierian logarithm calculated before Napier. In [4],pp. 163-164.

[9] A. Marre: Notice sur Nicolas Chuquet et son Triparty en la Science desNombres. Bull. Bibl. e di St. d. Sc. Mat. e Fis. (Boncompagni) 13, 555–659;693–814, (1880).

[10] C. Naux: Histoire des Logarithmes de Neper a Euler. Tome I. La decouvertedes logarithmes et le calcul des premieres tables. Blanchard, Parigi, (1966).

[11] I. A. Magini: De Planis Triangulis. Liber Unicus. Ciotti, Venezia, (1592).

[12] I. Neper: Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas. Fac-similedell’originale del 1617, O. Zeller, Osnabruck, (1966).

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22 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 2

John Napier

2.1 Cenni biografici

John Napier (Nepero), primo dei tre figli di Archibald e Janet Bothwellnacque nel 1550 a Merchiston, nei pressi di Edimburgo, ed ivi morı il 3 o 4 aprile1617 [2, 3]. Apparteneva ad una nobile famiglia scozzese le cui origini risalivanoal XIV secolo ed i cui membri avevano ricoperto incarichi prestigiosi nella pub-blica amministrazione dalla prima meta del XV secolo. Nel 1438 AlexandreNapier, sindaco (provost) di Edimburgo, acquisto la tenuta di Merchiston daGiacomo I. Nel 1563 John, settimo discendente in linea diretta di Alexandrerimase orfano di madre ed il padre, che era responsabile della Zecca di Stato,si risposo con Elisabeth Mowbray nel 1571 da cui ebbe altri dieci figli con iquali John avrebbe avuto attriti in seguito, circa l’eredita paterna. Nell’annodella morte della madre, John inizio gli studi universitari a St. Andrews, pressoil St. Salvator College. Non e chiaro se egli abbia terminato gli studi ma pareplausibile che abbia trascorso dei periodi di studio all’estero. Nepero ebbe duemogli: la prima, Elisabeth Stirling, sposata sul finire del 1572 o all’inizio del1573, morı nel 1579 lasciandogli due figli. Dal secondo matrimonio con AgnesChisholm nacquero altri dieci figli.

Il primo interesse di Nepero fu lo studio della teologia. Si trovo coinvoltonelle aspre polemiche tra cattolici e protestanti presbiteriani e fu un accesosostenitore della causa della chiesa riformata scozzese, guidata da John Knox.Il suo temperamento forte e la sincera fede lo spinsero a scrivere nel 1593 un testodi commento all’Apocalisse di S. Giovanni Apostolo dal titolo A Plaine Dis-covery of the Whole Revelation of St. John nella quale la vena polemica controil papato raggiungeva il suo culmine quando Nepero cercava di mostrare comeBabilonia, la grande, la madre delle prostituzioni e delle abominazioni della ter-ra (Ap. 17, 5) fosse da identificare con Roma, sede del papato, responsabile deltraviamento della genuina fede cristiana. Benche fosse un argomento diffuso incampo protestante, il metodo di indagine adottato rende l’impianto del trattatosimile a quello di un testo di matematica, con assiomi che poggiano sulla sacra

23

24 CAPITOLO 2. JOHN NAPIER

pagina analizzata con gli strumenti della logica deduttiva (cfr. [4], pp.36-37).Il volume ebbe una eco molto vasta, al punto che, dalla prima pubblicazione al1645, ne apparvero cinque edizioni in inglese, mentre tre edizioni in olandesefurono date alle stampe tra il 1600 ed il 1607, nove in francese tra il 1602 ed il1607 e quattro in tedesco, tra il 1611 ed il 1627. Presso i suoi contemporaneiNepero ebbe ampio riconoscimento come teologo prima che come matematico.Bisogna anche considerare che il commento all’Apocalisse di Nepero fu datoalle stampe in un periodo tumultuoso per la storia di Scozia, nel momento incui sembrava prossima l’invasione del paese da parte delle truppe di FilippoII di Spagna, che si prefiggeva di conquistare l’intera isola britannica. Il par-tito protestante fece pressione perche Giacomo VI si decidesse in favore delprotestantesimo, ma l’atteggiamento opportunista di quest’ultimo che miravaalla conquista del trono inglese con l’aiuto di protestanti o cattolici, non im-portava, forse fu alla base del cambiamento di interessi che porto Nepero aprivilegiare gli studi matematici, verso i quali aveva gia manifestato attitudineprima del 1600, tanto che un tal John Strene, nell’introduzione del suo Deverborum significatione ne parla come di un

Gentleman of singular judgement leerning especially in mathematic sciences.([4], p.36).

2.2 L’opera matematica

L’opera matematica di Nepero e quantitativamente limitata, essendo compostada quattro brevi monografie, due delle quali apparse postume e due pubblicatenei suoi ultimi anni di vita. Le opere non collegate ai logaritmi sono il tratta-to De Arte Logistica, pubblicato postumo nel 1839 sulla base della trascrizioneeffettuata da Robert Napier, il figlio di John che curo l’eredita scientifica delpadre, e la Rabdologia, pubblicata nel 1617. I logaritmi formano l’oggetto dellaMirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, pubblicata nel 1614, e della Mirifi-ci Logarithmorum Canonis Constructio, pubblicata da Robert Napier postumanel 1619. Prima di addentrarci in queste ultime opere, diamo un cenno al con-tenuto degli altri trattati. Il De Arte Logistica tratta di matematica elementaree si compone di due parti, la prima delle quali formata da tre libri: De Com-putationibus, in 8 capitoli, che occupa 26 pagine; De Logistica Arithmetica, in15 capitoli svolti in 55 pagine ed il capitolo incompleto De Logistica Geometricache si sviluppa in sole 6 pagine. La seconda parte consta di due libri, il primo deiquali e articolato in 17 capitoli che si snodano per 25 pagine ed e intitolato DeNominata Algebrae parte mentre il secondo, dal titolo De positiva sive cossicaalgebrae parte e incompleto ed e formato da 46 pagine suddivise in 10 capitoli(cfr. [5], p.146). Tra i vari temi esposti nel trattato, ricordiamo un metodo perapprossimare radici quadrate basato sulle disuguaglianze

a+b

2a+ 1≤√

a2 + b ≤ a+b

2a

2.2. L’OPERA MATEMATICA 25

valide per numeri a e b positivi. Inoltre, va rilevata una certa familiarita diNepero con i numeri immaginari, introdotti nel De Logistica Geometrica (perun resoconto piu dettagliato rimandiamo il lettore a [5]).

Abbiamo gia fatto cenno nel Capitolo 1 alla Rabdologia per la costruzionedei bastoncini od ossa di Nepero destinati ad automatizzare diversi passaggiintermedi nelle operazioni elementari. Oltre alla moltiplicazione gia accenna-ta, i bastoncini sono applicati per semplificare divisioni ed estrazioni di radici,quadrate o cubiche. Non possiamo addentrarci in una descrizione piu appro-fondita dell’opera, ma ci limitiamo a segnalare due aspetti importanti. Il primoriguarda l’introduzione del punto di separazione tra parte intera e parte deci-male di un numero. Nel Capitolo IV del primo Libro Nepero, ottenuto comerisultato di una divisione il numero 1993 118

432 , aggiunge la seguente Admonitiopro Decimali Arithmetica

In verita, qualora non piacciano queste frazioni, in cui capitano denominatoridiversi, per la difficolta di operare con loro e siano piu congeniali le altre icui denominatori sono sempre parti decime, centesime, millesime, ecc. che ildottissimo matematico Simon Stevin nella sua ARITMETICA Decimale indicain questo modo e chiama 1 le prime, 2 le seconde, 3 le terze: poiche questefrazioni danno la stessa facilita di operare propria dei numeri interi potrai,terminata la divisione comune e delimitato il risultato con un punto o una virgola(come qui a margine), aggiungere al dividendo, o uno zero per i decimali o dueper i centesimi e tre per i millesimi, o altri ancora di seguito, a piacere: eripetendo con essi il procedimendo di sopra, come nell’esempio di prima ripetutoqui (cui abbiamo aggiunto tre zeri) si otterra il quoziente 1993,273 che significa:1993 interi e 273 millesimi, o 273

1000 , o (da Stevino) 1993, 2’ 7” 3”’.1 (Nepero,Rabdologia, pp. 21-22)

Notiamo che nell’originale compare la parola cyphra che traduce l’arabo sifrcon cui si indicava lo zero e che il punto o virgola di separazione decimale trovaposto nella accezione attuale. La notazione di Nepero, tuttavia, non riuscı a farbreccia ed occorrera ancora piu di un secolo prima che trovi completa accoglien-za. L’oscillazione tra punto o virgola di separazione (periodis aut commatibus),sarebbe rimasta a lungo anche quando, nel XVIII secolo, la notazione decimaleera ormai universalmente adottata. Cosı in generale il punto di separazionetra parte intera e decimale di un numero rimase nell’uso dei paesi anglosassoni,mentre l’uso della virgola separatrice prevalse in Europa continentale: dapprimain Germania, Francia e Spagna e, con piu fatica, in Belgio ed Italia. Riman-

1Verum si displiceant hae fractiones, quibus accidunt diversi denominatores, propter diffi-cultatem operandi per eas, et magis arrideant aliae, quarum denominatores sunt semper partesdecimae, centesimae, millesimae, etc. quas doctissimus ille Mathematicus Simon Stevinus insua Decimali ARITHMETICA sic notat, et nominat 1, primas, 2 secundas, 3 tertias: quiain his fractionibus eadem est facilitas operandi quae est integrorum numerorum, poteris postfinitam vulgarem divisionem, et periodis aut commatibus terminatam, (ut hic in margine)adiicere dividendo, aut reliquiis unam cyphram pro decimis, duas pro centesimis, et tres promillesimis, aut plures deinceps ad libitum: et cum his procedere operando ut supra, velutiin superiore exemplo hic repetito (cui tres cyphras adiecimus) fiet quotiens 1993,273: quisignificat 1993 integra: et 273 millesimas partes, seu 273

1000, seu (ex Stevino) 1993, 2’ 7” 3”’.


diamo il lettore interessato ad approfondire questi aspetti sulle notazioni allamonografia di Florian Cajori [6], §§276− 289.

Le opere che hanno costituito un autentico breakthrough ed hanno assicura-to a Nepero un posto di prima grandezza nella storia della matematica sonole monografie in cui introduce i logaritmi, la Mirifici Logarithmorum CanonisDescriptio e la Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio. Nepero lavoro ailogaritmi per circa venti anni, prima che la teoria assumesse l’aspetto definitivopresentato in queste opere pubblicate quando egli era prossimo alla morte o ad-dirittura postume. La lunga gestazione della teoria dei logaritmi e testimoniatada due documenti. In una lettera del 1594, Keplero informa Ticho Brahedi aver saputo da uno scozzese—verosimilmente Thomas Craig, amico del-la famiglia di Nepero—che c’erano speranze per una notevole semplificazionedelle procedure di calcolo in uso in astronomia (cfr. p. 13 di [7]). Il secondodocumento si trova nell’epistola dedicatoria della Rabdologia dove Nepero sirivolge al destinatario della dedica, Alexander Seton, in questi termini

O illustrissimo signore, mi sono sempre sforzato al meglio delle forze e del-l’ingegno di eliminare la difficolta e la lunghezza del calcolo, la cui noiosita riescespesso a respingere molti dallo studio della Matematica. E a questo scopo negliscorsi anni ho curato l’edizione del canone dei Logaritmi elaborato da tanto tempoche, lasciati da parte i numeri naturali e le operazioni che per loro tramite ri-escono piuttosto difficili, le sostituisce con facili ed altrettanto valide addizioni,sottrazioni, divisioni per due e per tre. Di questi logaritmi abbiamo trovatoun’altra specie molto piu utile ed abbiamo deciso di rendere noto un metodo perottenerli insieme a regole d’uso (se Dio ci concedera una vita abbastanza lunga eun buono stato di salute): tuttavia, a causa della salute inferma, abbiamo lasci-ato il calcolo di un nuovo canone ad un uomo versato in questo genere di studio:in primo luogo al dottissimo Sig. Henry Briggs, pubblico professore di Geome-tria a Londra e mio carissimo amico da molto tempo.2 (Nepero, Rabdologia,pp.1-2 di [8].)

L’espressione qui sottolineata (nell’originale: a me longo tempore elabora-tum) testimonia la lunga gestazione dei logaritmi. Il brano appena riportato einteressante per l’accenno al progressivo deteriorarsi della salute di Nepero—soffriva di gotta—che gli impedı di migliorare il sistema di logaritmi trovatoe per il riferimento ad Henry Briggs (1561-1630) che raccolse per cosı dire iltestimone ed alla cui opera dedicheremo il prossimo capitolo.

2Difficultatem et prolixitatem calculi (Vir Illustrissime) cujus taedium plurimos astudio Mathematum deterrere solet, ego semper pro viribus, et ingenii modulo cona-tus sum e medio tollere. Atque hoc mihi fine proposito, Logarithmorum canonema me longo tempore elaboratum superioribus annis edendum curavi, qui rejectis naturalibusnumeris, et operationibus quae per eos fiunt, difficilioribus, alios substituit idem praestantesper faciles additiones, subtractiones, bipartitiones, et tripartitiones. Quorum quidem Loga-rithmorum speciem aliam multo prestantiorem nunc etiam invenimus, et creandi methodum,una cum eorum usu (si Deus longiorem vitae et valetudinis usuram concesserit) evulgare sta-tuimus: ipsam autem novi canonis supputationem, ob infirmam corporis nostri valetudinem,viris in hoc studii genere versatis reliquimus: imprimis vero doctissimo viro D. Henrico BriggioLondini publico Geometriae professori et amico mihi longe charissimo

2.2. L’OPERA MATEMATICA 27

La Descriptio e un’opera snella, formata da 57 pagine di testo e 90 di tavole.Nepero spiega l’idea di logaritmo, ne illustra le proprieta e le applicazioni allarisoluzione dei triangoli sferici, mentre nelle tavole fornisce i logaritmi per ilseno degli angoli da 0 sino a 90, ad intervalli di un minuto di arco e conuna precisione di sette od otto cifre. In ogni pagina sono appaiati, per un datoarco, il logaritmo del suo seno e del suo coseno, nonche la loro differenza, valea dire il logaritmo della tangente trigonometrica dell’angolo. La Descriptio noncontiene peraltro alcuna indicazione sul metodo seguito daNepero per costruirele tavole. La motivazione esposta in una Admonitio al termine del Capitolo IIdella Descriptio e che in questo modo gli invidiosi non possono denigrare letavole, mentre chi vuole trarne profitto ha abbastanza elementi per apprezzarele potenzialita del metodo.

Lascio ad un tempo piu opportuno l’esposizione della teoria alla costruzione edall’uso dei logaritmi che ho omesso qui affinche la si possa gustare di piu dopoaverne apprezzato l’uso e l’utilita o la si seppellisca in silenzio se questi nonsaranno apprezzati. Mi sono affrettato a sottoporre queste [le applicazioni] algiudizio ed alla censura degli eruditi prima del resto [la teoria] per il timore diesporla alle critiche malevole degli invidiosi.3 (Nepero, Descriptio, p. 296 di[9])

Nepero e consapevole della facilita con cui gli errori possono annidarsi nellacompilazione delle tavole soprattutto quando, come nel suo caso, il compilatorenon disponga di controlli fatti da altri.

Daro forse a breve, a Dio piacendo, la motivazione ed il modo o per emendarequesto canone o per costruirne daccapo un altro migliore, in modo che possavenire alla luce piu limato ed accurato grazie alla diligenza di piu compilatori,rispetto a quanto pote scaturire dall’opera di uno solo.4 (Nepero, Descriptio,riportato a p. 187 di [10])

Il metodo seguito per ottenere le tavole e spiegato nei dettagli nella Con-structio, pubblicata postuma da Robert Napier nel 1619. Come stesura, laConstructio precede la Descriptio come e anche dimostrato dal fatto che i loga-ritmi sono chiamati numeri artificiales nella Constructio e non come logarithmi,espressione che ricorre in tutta la Descriptio.

Pertanto (o lettore benevolo) in questo libretto tu trovi spiegata in ogni dettagliola dottrina necessaria alla costruzione dei logaritmi (che questo trattato chiamaqui numeri artificiali dal momento che mio padre lo aveva scritto un certo nu-mero di anni prima di coniare il termine logaritmo).5 (Robert Napier, p.4 di[11])

3In tempus magis idoneum doctrinam constructionis logarithmorum transilientem ad eo-rum usum properare, ut praelibatis prius usu et rei utilitate cetera aut magis placeant posthacedenda, aut minus saltem displiceant, silentio sepulta. Praestolari enim eruditorum de hisjudicium et censuram, priusquam cetera, in lucem temere prolata, lividorum detractioniexponantur.

4Dabo fortasse brevi (Deo aspirante) rationem ac methodum aut hunc canonem emendandi,aut emendatiorem de novo condendi, ut ita plurium Logistarum diligentia, limatior tandemet accuratior, quam unius opera fieri potuit, in lucem prodeat.

5Habes igitur (Lector benevole) in hoc libello, doctrinam constructionis Logarithmorum(quos hic numeros artificiales appellat hunc etiam tractatum, ante inventam Logarithmorum


2.3 Che cosa e un logaritmo neperiano?

Il titolo di questa sezione non vuol essere una oziosa provocazione ma richia-ma un lavoro [12] in cui Raymond Ayoub ricostruı la strategia di Neperoper definire i logaritmi, mostrandone la distanza, per definizione e proprieta,dai logaritmi come li conosciamo oggi. Qual e l’origine del termine logaritmo?Nepero non ne parla e vi sono due scuole di pensiero. La prima ha origine conKeplero, che traduce logaritmo con misura di rapporti (αριϑµoς των λoγως),e viene ripresa da Nicoluas Mercator all’inizio della Logarithmotechnia, doveleggiamo

La parola logaritmo e un vocabolo composto, formato da ragione e numero, comese fosse il numero di ragioni; cio che si accorda bene con la realta.6 (Mercator,Logarithmotechnia p. 1 [13])

La seconda interpretazione risale ad un lavoro di Matzka del 1860 chefa risalire il termine logaritmo all’accostamento di λoγιστικoς αριϑµoς doveλoγιστικoς fa riferimento alla logistica che gia ai tempi di Platone designavala scienza del calcolo, per distinguerla dall’aritmetica o teoria dei numeri [14].

Per quanto criticata, la prima definizione appare naturale pensando allaragione delle progressioni aritmetiche e geometriche che sono alla base dellacostruzione di Nepero.

Per comprendere il senso della definizione, occorre esaminare in dettaglio ilprocedimento di Nepero. Nella Descriptio, la teoria dei logaritmi occupa pochepagine e si articola attraverso una successione di definizioni e corollari, come quiillustrato.

Testo 2.1 (Descriptio, in [9] pp.295-296. Originale 2.2) Def. 1. Si diceche una linea cresce in modo uniforme quando un punto che la descrive si spostadi spazi uguali in tempi uguali.

Cor. Pertanto occorre che quantita equidifferenti vengano prodotte da questoincremento in tempi equidifferenti.

Def. 2. Si dice che una linea decresce proporzionalmente in una piu brevequando un punto che si muove su di essa stacca in tempi uguali dei segmentiche sono in proporzione continuata con i segmenti da cui sono staccati.

Cor. Pertanto segue che questo incremento deve lasciare, in tempi uguali,segmenti proporzionali nello stesso rapporto.

Def. 3. Le quantita irrazionali (surdae) ovvero non esprimibili tramite unnumero si dicono essere definite da numeri alquanto vicini quando sono definiteda numeri grandi (numeris majusculis) che differiscono dai veri valori degliirrazionali al piu per un’unita.

Def. 4. Due moti sono detti sincroni quando hanno luogo nello stesso tempoed insieme.

vocem, apud se pro aliquot annos conscriptam habuerat) copiosissime explicata.6Logarithmus composito vocabulo dicitur a ratione et numero, quasi rationum numerus;

id quod plane cum re consentit.

2.3. CHE COSA E UN LOGARITMO NEPERIANO? 29

Def. 5. Dal momento che e possibile un moto piu veloce ed uno piu lento diun moto arbitrario, ne consegue che e possibile assegnare un moto con la stessavelocita (aequiveloce) di un moto assegnato.

Def. 6. Cosı il logaritmo di un seno qualunque e quel numero che definiscequanto meglio possibile la linea che cresce in modo uniforme, mentre la lineadel seno totale decresce in modo proporzionale fino a quel seno, nell’ipotesi chei due moti siano sincroni ed inizialmente equiveloci.

Cor. Da cio segue che il logaritmo del seno totale 10000000 e nullo o 0, edancora che i logaritmi di tutti i numeri maggiori del seno totale sono minori dizero.

Prop. 1. I logaritmi di numeri o quantita proporzionali sono equidifferenti.Propp. 2 & 3. Dati tre numeri in proporzione, il doppio del logaritmo del

secondo o medio, diminuito del (logaritmo del) primo e uguale al (logaritmo del)terzo, e il doppio (del logaritmo) del secondo e uguale alla somma (dei logaritmi)degli estremi.

Propp. 4 & 5. Dati quattro numeri in proporzione, la somma dei logaritmidel secondo e del terzo termine, diminuita del (logaritmo del) primo, e uguale(al logaritmo del) quarto, e la somma (dei logaritmi) dei medi e uguale allasomma (dei logaritmi) degli estremi.

Prop. 6. Il triplo del logaritmo di uno qualsiasi dei medi di quattro numeri inproporzione continuata e uguale alla somma (del logaritmo) dell’estremo lontanoe del doppio (del logaritmo) dell’estremo vicino.

La Definizione 3 merita un commento. Le quantitates surdae sono i numeriirrazionali. L’aggettivo surdus e la traduzione del greco αλoγoς impiegata negliElementi di Euclide ( 325 A.C.- 265 A.C). Nepero afferma che i numeri ir-razionali possono essere stimati (definiri) con numeri grandi (numeri majusculi)che differiscano tra loro per un’unita. Nella spiegazione allegata egli considera

il sinus totus pari a R = 10000000 e stima il seno di 45, cioe R√22 , ricorrendo

ai grandi numeri 7071067 e 7071068 che differiscono per un’unita.La definizione dei logaritmi e cinematica e poggia su due moti, il primo dei

quali (Definizione 1) e uniforme. Nella Constructio, Nepero parla di moto acrescita aritmetica:

Crescere in modo aritmetico significa aumentare della stessa quantita in tempiuguali.

Si consideri allora una semiretta spiccata dal punto fisso b verso d sulla qualesi muova, da b a d un punto a, con legge tale che in intervalli di tempo ugualivengano percorsi uguali spazi che sono b1, 12, 23, 34, 45, &c. Affermo chel’incremento b1, b2, b3, b4, b5, &c. e detto aritmetico. Tradotto in numeri,siano b1 10 :, b2 20 :, b3 30 :, b4 40 :, b5 50. Dico che 10, 20, 30, 40, 50, &c.crescono in modo aritmetico: perche si vede che crescono di dieci in intervallitemporali uguali. (Nepero, Constructio [11], §23, p.12.)7

7Arithmetice crescere, est aequalibus temporibus aequali semper quantitate augeri.Ut ex puncto b fixo versus d, infinite producatur linea: in qua, ex b versus d procedat

punctus a, movens ea lege, ut aequalibus temporis momentis aequalibus feratur spatiis: quaesint b1, 12, 23, 34, 45, &c. Dico hoc incrementum per b1, b2, b3, b4, b5, &c. Arithmeticum


b 1

a

2

a

3

a

4 5 6 7 8 9 10 d

Figura 2.1: Il moto aritmetico introdotto da Nepero.

La natura del secondo moto utilizzato da Nepero e chiarita nel seguentepassaggio8

Decrescere in modo geometrico significa diminuire in tempi uguali di una partesempre proporzionale, dapprima a tutta la quantita e in seguito alle parti viavia rimanenti.

Sia dunque TS il segmento del seno totale su cui si muove il punto G, da Tad 1 verso S, e la distanza da T ad 1 sia, ad esempio, la decima parte di TS.Nello stesso tempo impiegato per spostarsi da T in 1, G si muove da 1 in 2,con (il segmento 12) che e la decima parte di 1S: e da 2 a 3, decima parte di2S: e ad 3 a 4, decima parte di 3S, & cosı via. Affermo che i seni TS, 1S, 2S,3S, 4S, &c. sono detti decrescere in modo geometrico, perche diminuiscono intempi uguali di quantita diverse ma simili in proporzione. In numeri, sia TS,10000000: 1S, 9000000: 2S, 8100000: 3S, 7290000, 4S, 6561000, &c. Dicoche questi valori di seni, che diminuiscono in proporzione simile in tempi uguali,decrescono in modo geometrico.9(Nepero, Constructio [11], §24, pp.12-13)

T1

G

2

G

3

G

4 5 6S

Figura 2.2: Il moto geometrico introdotto da Nepero.

Come anche chiarito dall’esempio numerico, in questo moto il mobile Gdescrive, in un dato intervallo di tempo, distanze che stanno in rapporto costantecon la distanza che resta da percorrere sul segmento finito ST . Dunque, se inun certo intervallo temporale viene percorso T 1 = (1/10)TS, nell’intervallo

dici. In numeris autem sint b1 10 :, b2 20 :, b3 30 :, b4 40 :, b5 50. Dico 10, 20, 30, 40, 50,&c. arithmetice crescere: quia aequalibus momentis aequali numero denarij semper augeriintelliguntur.

8Nel libro De Triplici Motu (1509) il portoghese Alvaro Thomas aveva suddiviso un seg-mento in parti che rappresentavano i termini di una progressione geometrica. Nepero nonmenziona pero questo testo.

9Geometrice decrescere, est aequalibus temporibus quantitatem primo totam, inde aliamatque aliam eius partem superstitem, simili semper proportionali parte diminui.

Ut sit linea sinus totius TS, in hoc moveatur punctus G, a T in 1 versus S, quantoquetempore defertur a T in 1, quae sit (exempli gratia) decima pars TS: tanto idem G temporemoveatur ab 1 in 2, quae sit decima pars 1S: & a 2 in 3, quae sit decima pars 2S: et a 3 in4, quae sit decima pars 3S, & sic de caeteris. Dico hos sinus TS, 1S, 2S, 3S, 4S, &c. diciGeometrice decrescere: quia inaequalibus spatiis proportione similibus & tempore aequalibusdiminuuntur. In numeris sit TS, 10000000: 1S, 9000000: 2S, 8100000: 3S, 7290000, 4S,6561000, &c. Dico hos sinuum numeros, aequalibus temporibus simili proportione diminutos,dici Geometrice decrescere.


temporale successivo viene percorso 12 = (1/10)1S, quindi 23 = (1/10)2S e cosıvia. Da questa definizione, Nepero deduce che la velocita di G in un punto diTS e proporzionale alla distanza di G da S.

Da cio segue che un punto mobile il quale, muovendosi in modo geometrico siavvicini ad un punto fisso, ha le velocita proporzionali alle distanze dal puntofisso.

Facendo riferimento allo schema precedente, dico che quando il punto mobilein modo geometrico G e in T , ha velocita proporzionale alla distanza TS equando G e in 1, ha velocita proporzionale ad 1S e quando e in 2, ha velocitaproporzionale a 2S, cosı via. E quale e la proporzione delle distanze TS, 1S, 2S,3S, 4S, ecc. tra loro, tale sara anche la proporzione delle velocita di G nei puntiT , 1,2,3,4, ecc. tra loro. Infatti un punto sara piu o meno veloce a seconda chesia visto descrivere uno spazio piu o meno lungo in tempi uguali. E necessariodunque che, quale la ragione del moto, tale sia anche quella delle velocita: ma intempi uguali la ragione del moto—T 1, 12, 23, 34, 45, ecc.— e tale quale quelladelle distanze TS, 1S, 2S, 3S, 4S, ecc.; e tale e anche quella delle velocita diG nei punti T , 1, 2, 3, 4, ecc, come volevasi dimostrare. Che poi il rapportodei processi T 1, 12, 23, 34, 45, &c. coincida con quello delle distanze TS,1S, 2S, 3S, 4S, ecc. e evidente perche le differenze di quantita in proporzionecontinuata fanno parte della medesima proporzione. Ma queste distanze (peripotesi) sono in proporzione continuata e dunque lo sono le differenze per cuie chiaro che il moto e le distanze fanno parte di una medesima proporzionecontinuata.10(Nepero, Constructio (§25, p.13 di [11])

Chiamiamo V 1, V 2, V 3 le velocita medie del mobile G nei tratti T 1, 12, 23,percorsi da G in uno stesso intervallo ∆. Indichiamo con β < 1 il valore comuneai rapporti

T 1

TS=

12

1S=

23

2S= ... = β .

Allora deve essere

V 1 =T 1

∆= β

TS

∆= βV0

10Unde punctus mobilis Geometrice ad fixum accedens, velocitates suas prout distantias, afixo proportionatas habet.

Ut reperito praecedenti Schemate, dico quum mobilis punctus geometricus G est in T , eiusvelocitas est ut distantia TS: & quum G est in 1, eius velocitas est ut 1S: & quum in 2,eius velocitas est ut 2S, & sic de caeteris. Atque ita quae est proportio distantiarum TS,1S, 2S, 3S, 4S, &c. adinvicem, ea etiam erit proportio velocitatum G in punctis T , 1,2,3,4,&c. adinvicem. Nam magis minusve velox punctus arguitur, prout magis minusve longe subaequalibus temporibus ferri conspicitur. Qualis itaque processus ratio, talem etiam & veloc-itatum esse necesse est: at talis est sub aequalibus temporibus ratio processuum T1, 12, 23,34, 45, &c. qualis distantiarum TS, 1S, 2S, 3S, 4S, &c. invicem; talis etiam est velocitatumG in punctis T , 1, 2, 3, 4, &c. quod erat demonstrandum. At quod processuum T1, 12, 23,34, 45, &c. talis fit ratio, qualis distantiarum TS, 1S, 2S, 3S, 4S, &c. patet: quia quanti-tatum proportionaliter continuatarum differentiae etiam in eadem proportione continuantur.At hae distantiae (per hypothesim) proportionaliter continuantur, & illi processus sunt harumdifferentiae: quare eadem processus qua distantias ratione continuari certum est.


dove abbiamo posto, per semplicita, V0 := TS∆ . Seguendo le prescrizioni di

Nepero si ha

V 2 =12

∆= β

1S

∆= β

TS − T 1

∆= βV0(1 − β) = V 1(1− β)

ed ancora

V 3 = 23∆ = β 2S

∆ = β TS−T1−12∆ = β TS−βTS−β1S

∆ = β TS−βTS−β(TS−T1)∆ =

β TS−βTS−β(1−β)TS∆ = βV0(1− β)2 = (1− β)2V 1

dimostrando dunque che le velocita medie formano una progressione geometricadi ragione 1 − β. E agevole verificare che anche i segmenti TS, 1S, 2S, ecc.hanno la stessa proprieta. Questo risultato viene estrapolato da Nepero allevelocita istantanee, risultato tanto migliore quanto piu e fitta la partizione 1, 2,3,...del segmento ST , cioe quanto piu piccolo viene preso il rapporto β in quantoin tal caso il moto e ben approssimato da un moto uniforme.

Definiti i moti di a e G, Nepero definisce il logaritmo (numerus artificialisnella Constructio) di un seno, cioe di un segmento di lunghezza inferiore a TS(sinus totus).

Il numero artificiale di un dato seno e quello che cresce in modo aritmeticocon velocita costante pari a quella con cui il seno totale inizia a decrescere inmodo geometrico ed in un tempo pari a quello necessario affinche il seno totaledecresca fino al valore assegnato.

Sia il segmento TS pari al seno totale e dS il seno assegnato: il punto g simuova in certi intervalli geometricamente da T verso d. Sia bi una semirettainfinita verso i su cui il punto a si muova aritmeticamente partendo da b, conla stessa velocita che g aveva inizialmente in T ; e si supponga che nel medesimointervallo temporale a si muova dal punto fisso b verso i fino a raggiungere ilpunto c: il numero che misura il segmento bc e detto numero artificiale del senoassegnato dS.11 (Nepero, Constructio (§26, p.14 di [11])

La definizione di Nepero si chiarisce anche con la Figura 2.3. Egli consideradue punti g ed a mobili su due rette parallele. Il mobile g si trova all’istanteiniziale t = 0 in un punto T di un segmento TS di lunghezza r pari al raggiodella circonferenza trigonometrica di riferimento: r = 107. All’istante t = 0 g eanimato da velocita v0. Il moto di g e geometrico per cui si svolge con velocitaistantanea proporzionale alla distanza di g dall’estremo S. All’istante t = 0 ilpunto a si trova in b con la stessa velocita v0 di g, ma il suo moto successivoe aritmetico, cioe uniforme. Detto c il punto raggiunto da a quando g si trova

11Numerus artificialis sinus dati est qui Arithmetice crevit tanta semper velocitate, quantasinus totus incepit Geometrice decrescere tantoque tempore, quanto sinus totus in sinum illumdatum decrevit.

Sit sinus totus linea TS, sinus datus in eadem linea dS: certis quibusdam momentis movea-tur g Geometrice a T in d. Sitque alia linea bi versus i infinita, in qua ex b moveatur aArithmetice, eadem velocitate qua g primo cum erat in T ; totidemque temporis momentisprocedat a ex b fixo versus i usque in c punctum: dicetur numerus metiens bc lineam numerusartificialis sinus dS dati.


b

a a

c i

G G

d ST

Figura 2.3: La definizione neperiana di logaritmo.

in d, allora Nepero definisce bc come il logaritmo del seno dS. Cambiandonotazione, se y := bc ed x := dS

y := nl (x) (2.1)

dove nl indica il logaritmo neperiano e si e introdotta questa notazione mutuatada [10] per distinguere questa funzione dal logaritmo naturale ln che viene a volteerroneamente detto neperiano.

Dalla definizione di logaritmo (2.1) segue che

nl (r) = 0 (2.2)

dal momento che quando d ≡ T c ≡ b e dunque y = 0.

Pertanto il numero artificiale del seno totale e zero.

Infatti dallo Schema, quando g e in T cosicche ha distanza da S pari al senototale, il punto aritmetico a che parte da b, non si e ancora mosso. Per cui, perdefinizione di distanza, zero e il numero artificiale del seno totale.12 (Nepero,Constructio §27, p.14 di [11])

Nel sistema adottato da Nepero si ha pertanto nl 107 = 0 e gia da questofatto si arguisce che nlx 6= ln x. Ancora, dalla definizione segue che, se x1 < x2,allora nlx1 > nlx2 [15].

La differenza di due numeri artificiali va aggiunta al numero artificiale del mag-giore tra i due seni per ottenere il numero artificiale del minore: e va sottrattadal numero artificiale del seno minore per ottenere il numero artificiale del senomaggiore.

Cio segue dal fatto che i numeri artificiali crescono al diminuire del seno eche il numero artificiale di un seno piu grande e piu piccolo mentre e piu grandequello di un seno minore.13 (Nepero, Constructio §35, pp.16-17 di [11])

12Unde sinus totius nihil est pro artificiali.Nam ex Schemate, cum g est in T faciens suam distantiam ab S sinum totum, punctus

Arithmeticus a incipiens in b, nusquam inde processit. Unde ex definitione distantiae, sinustotius nullus erit artificialis.

13Duorum artificialium differentia, addenda est ad artificialem maioris sinus eorundem, uthabeas artificialem minoris: & subtrahenda ab artificialis minoris sinus, ut habeas artificialemmaioris.

Necessario hoc fit, siquidem crescunt artificiales decrescentibus sinibus atque minor estartificialis maioris sinus, & maior minoris.


Un’altra importante proprieta algebrica dei logaritmi neperiani afferma chese x1 : x2 = x3 : x4 allora

nl (x1)− nl (x2) = nl (x3)− nl (x4) (2.3)

Cosı i numeri artificiali di seni proporzionali sono equidifferenti.Cio segue necessariamente dalle definizioni di numeri artificiali e dei moti:

infatti, grazie ad esse, un incremento aritmetico uniforme corrisponde ad undecremento geometrico in proporzione simile: concludiamo necessariamente chea seni proporzionali corrispondono sia numeri artificiali equidifferenti che ter-mini di numeri.14 (§35, pp.16-17 di [11])

Nepero e molto sbrigativo ed afferma che si tratta di una conseguenzadiretta della definizione dei moti geometrico ed aritmetico posta alla base dellacostruzione dei logaritmi. Infatti, si tratta di mostrare che il tempo impiegatodal punto g per passare dalla posizione a distanza x1 da S a quella distantex2 da S e lo stesso impiegato per passare dal punto a distanza x3 a quelloa distanza x4 da S. Che sia questo il caso si dimostra osservando che, dettoλ := x1/x3 = x2/x4, le velocita vi di g quando e a distanza xi da S sonotali che v1/v3 = v2/v4. Ora, prese due successioni di punti z0 = x1 < z1 <z2 < ... < zn = x2 e w0 = x3 < w1 < w2 < ... < wn = x4 tali chez0/w0 = z1/w1 = z2/w2 = zn/wn = λ deduciamo che le velocita di g in punticorrispondenti delle suddivisioni stanno sempre nello stesso rapporto che inoltrecoincide con il rapporto tra le distanze percorse. Infittendo la partizione, siricava che il tempo di percorrenza di un generico intervallo [zi, zi+1] coincidecon il tempo di percorrenza di [wi, wi+1] e dunque si giunge alla tesi.

Poiche ab : a = b : 1 concludiamo da (2.3) che

nl (ab) = nl (a) + nl (b)− nl (1) (2.4)

e poiche nl (1) 6= 0 otteniamo che il logaritmo (neperiano) di un prodotto non ela somma dei logaritmi (neperiani) dei fattori.

Allora, qual e il legame tra logaritmo neperiano e logaritmo naturale diun dato numero positivo x? La cinematica di g e descritta dall’equazionedifferenziale ([12], [10], p.5 di [16])

x ≡ dx

dt= −kx (2.5)

dove la costante k si determina imponendo le condizioni iniziali x(0) = r ex(0) = v0 per cui k = v0/r. D’altra parte e

dy

dt= v0 (2.6)

14Similiter proportionatorum sinuum sunt aequi-differentes artificiales.Consequitur hoc necessario definitiones artificialium & motuum: Nam cum per eas, Ge-

ometrico decremento similiter proportionato, respondet Arithmeticum incrementum aequalesemper: necessario similiter proportionatis sinibus, respondere aequi-differentes artificiales &numeros, & numerorum terminos concludimus.


per cui risultady

dx= − r

x

e per integrazione

y(x) = nlx = r(ln r − ln x) = ln( r

x

)r

= r log 1e

x

r(2.7)

che mostra il legame tra i logaritmi concepiti da Nepero con i logaritmi nel-la base 1/e. Bisogna ricordare che il concetto di base e estraneo al modo incui Nepero ha introdotto i logaritmi e lo restera fino all’inizio del Settecentoquando Leibniz, Johann Bernoulli e poi, con maggior chiarezza, Eulerodefiniranno il logaritmo nel modo cui noi siamo abituati, come funzione inver-sa dell’esponenziale. Occorre anche sottolineare quanto fosse scarso il bagagliotecnico cui poteva attingere Nepero. Non vi era alcuna formalizzazione delconcetto di funzione—eppure egli se ne serve implicitamente— ne gli strumentidel calcolo differenziale erano noti e ciononostante egli fu in grado, per altravia, di integrare un’equazione differenziale e di ottenere stime per i logaritmianaloghe al teorema del valor medio.

L’equazione (2.7) mostra che

nl (1) = r ln r = 7× 107 ln 10 = 161 180 957 .

Ora, presi due numeri n ed x [10] abbiamo

nl (x)− nl (nx) = nl (1)− nl (n) (2.8)

cosicche, per passare da nl (x) a nl (nx) e sufficiente sottrarre la quantita nl (1)−nl (n) da nl (x). Il caso piu importante di questa formula si ha prendendo n = 10,cosicche

nl (x)− nl (10x) = nl (1)− nl (10) : (2.9)

preso x = 10r−1 abbiamo, grazie a (2.2),

nl (1)− nl (10) = nl (10r−1) =: νr .

Esercizio 2.1 Mostrare che

nl (10kx) = nl (x) − kνr

e

nl (10−kx) = nl (x) + kνr ,

dove k e un intero maggiore di 1.

Esercizio 2.2 Servendosi delle proprieta elementari dei logaritmi neperiani,dimostrare che

nl (rab) = nl (ra) + nl (rb).


Esercizio 2.3 Utilizzando l’induzione su n ∈ N mostrare che

nl (rcn) = nnl (rc) .

Esercizio 2.4 Sfruttando la progressione 1 : x = x : x2 = x2 : x3 = ...,mostrare che

nl (xn) = nnl (x) − (n− 1)nl (1).

Dal fatto che 1 :√x =

√x : x, ricavare che

nl (x12 ) =

1

2[nl (x) + nl (1)] .

Esercizio 2.5 Servendosi dell’esercizio precedente e scrivendo qn = xm mostrareche

nl (xmn ) =

m

nnl (x) +

n−m

nnl (1) .

Esercizio 2.6 Mostrare la Proposizione 6 della Descriptio: dati quattro numeriin progressione continuata a : b = b : c = c : d, allora

3nl (b) = 2nl (a) + nl (d) e 3nl (c) = 2nl (d) + nl (a) .

Come emerge dagli esercizi, avere nl (1) 6= 0 e di impaccio nelle formulelogaritmiche, anche le piu elementari. Inoltre, in questo modo il logaritmoneperiano non e un omomorfismo da R+ dotato dell’operazione di prodotto inR dotato dell’operazione di addizione. Il motivo per cui Nepero si attennea tale regola va ricercato nelle applicazioni alla trigonometria che egli aveva dimira. Come gia notato nel capitolo 1, le identita trigonometriche erano propostecome proporzioni e le funzioni trigonometriche erano in realta segmenti per cuila funzione seno di un angolo α era in realta pari a r sinα. Una relazione deltipo a = c sinα, posto Sinα := r sinα e moltiplicati ambo i membri per rdiventa Sinα : a = r : c e, passando ai logaritmi, si vede che, grazie a (2.2),nl (Sinα) = nl (a)−nl (c): lo svantaggio di avere nl (1) 6= 0 e in parte compensatodall’avere nl (r) = 0.

Le proprieta elencate sopra consentono di determinare i logaritmi di moltinumeri ma per avere delle tavole accurate occorre avere regole di interpolazionesufficientemente precise. Per questo, Nepero si serve di due coppie di disug-uaglianze che permettono di stimare sia nl (x), sia la differenza dei logaritmi didue numeri x ed y > x. In termini moderni tali disuguaglianze si esprimonocome

(r − x) < nl (x) < r( r

x− 1)

(2.10)

er

y(y − x) < nl (x)− nl (y) <

r

x(y − x) . (2.11)

Ecco come Nepero enuncia e dimostra la stima (2.10).

Da qui segue anche che il numero artificiale di un seno arbitrario assegnato emaggiore della differenza tra il seno totale ed il seno assegnato e minore della


differenza tra il seno totale ed una quantita maggiore di esso di un rapportouguale a quello tra il seno totale e quello assegnato. Queste differenze sonodette estremi artificiali.

Come si vede dallo schema precedente, si prolunghi il segmento ST in ooltre T in modo che So stia ad ST come ST sta a dS. Dico che il numeroartificiale bc del seno dS e maggiore di Td, e minore di oT . Infatti, nel temponecessario a g per muoversi da o in T , g si sposta anche da T in d (per 24)perche oT sta ad oS come Td sta a TS e nel medesimo tempo a si sposta da bin c, per definizione di numero artificiale: Cosı i segmenti oT , Td e bc vengonodescritti nello stesso tempo. Ma siccome g ha velocita nei punti tra T ed o chee maggiore della velocita in T e minore di quella nei punti tra T e d, mentrela velocita di g in T coincide con quella di a (per 26), segue pertanto che ilsegmento oT che g descrive velocemente e il maggiore: il segmento Td che gdescrive lentamente e il minore: ed il segmento bc (che il punto a descrive nelsuo moto intermedio nello stesso intervallo di tempo) risulta compreso tra i dueprecedenti, come occorreva dimostrare. Pertanto oT e detto estremo maggiore eTd estremo minore del numero artificiale individuato15(Nepero, Constructio,§28, pp.14-15 di [11])

o

c

a

g g

T

g

dS

b i

Figura 2.4: Schema geometrico per ottenere la stima (2.10).

Consideriamo dunque il moto di g sul segmento TS e del suo corrispondentea su bi. Nepero considera un punto o a sinistra di T tale che

So : TS = TS : dS, (2.12)

cosicche, per quanto mostrato in precedenza, il tempo impiegato a percorrereil segmento oT coincide sia con quello richiesto per percorrere il segmento Tdsia con il tempo che occorre ad a per passare da b a c. Ora, poiche la velocita

15Hinc etiam sequitur, quod cujuslibet dati sinus numerus artificialis, major est differentiainter sinum totum & sinum datum & minor differentia quae est inter sinum totum, & quan-titatem eo majorem in eadem ratione, quae est sinus totius ad datum. Atque hae differentiaedicuntur ideo termini artificiales.

Ut reperito praecedenti Schemate, protractaq; linea ST ultra T in o, ita ut So se habeat adTS ut TS ad dS. Dico sinus dS numerum artificialem bc, majorem esse quam Td, & minoremquam oT . Quanto enim tempore g ab o in T fertur, tanto & g a T in d feretur (per 24) quia oTest tanta pars oS, quanta Td est ad lineae TS, tantoque tempore (per definitione artificialis)feretur & a a b in c: Ita ut oT , Td, & bc sunt aequalium temporum processus. At quia ginter T & o movens, velocior est quam in T , & inter T , & d tardior, in T autem g aequi veloxest atque a (per 26). Sequetur processum oT quem g iam velox facit, maiorem esse: & Tdprocessum quem g tardus facit, minorem esse: & bc processum (quem punctus a mediocri suomoto totidem etiam temporis momentis perficit) medium quoddam esse inter utrumque, quoderat demostrandum. Numeri itaque artificialis quem bc designat, dicitur oT terminus maior,& Td terminus minor.


del punto g in ogni punto di oT e maggiore di v0 e minore di v0 nei punti delsegmento Td, mentre il punto a si muove con moto uniforme di velocita v0,abbiamo Td < bc < oT e dunque, poiche la proprieta dello scomporre applicataa (2.12) implica

oT =Td · TSdS

,

abbiamo

Td = TS − dS = r − x < bc = nl (x) < oT =r(r − x)

x

che e appunto la stima (2.10) . La stima (2.11) e la sua dimostrazione vengonocosı presentate da Nepero:

La differenza di due numeri artificiali e compresa tra due termini tali che: ilseno totale sta al termine maggiore come il seno minore corrispondente a questinumeri artificiali sta alla differenza dei seni; il seno totale sta al termine mi-nore come il seno piu grande corrispondente ai due numeri artificiali sta alladifferenza dei seni.

Sia ST il seno totale, dS il piu grande dei due seni ed eS il piu piccolo. Siconsideri un punto V oltre ST tale che ST sta a TV come il seno minore eSsta alla differenza de dei due seni. Si prenda poi all’interno del segmento TS unpunto c la cui distanza Tc sia tale che ST sta a Tc come il seno maggiore dS staalla differenza de dei due seni. Dico che la differenza dei numeri artificiali checorrispondono ai seni dS ed eS e limitata superiormente da V T ed inferiormenteda Tc. Infatti, poiche per ipotesi eS sta a de come ST sta a V T e dS sta a decome ST sta a Tc: allora, per le proprieta (delle proporzioni) si traggono dueconclusioni: Dapprima che V S sta a ST come lo stesso ST sta a cS. In secondoluogo che il rapporto tra ST e cS e simile al rapporto tra dS ed eS. E pertanto(per 36) la differenza dei numeri artificiali corrispondenti ai seni dS ed eS euguale alla differenza dei numeri artificiali corrispondenti al seno totale ST edal seno cS. Ma questa differenza (per 34) e il numero artificiale dello stessoseno cS: e questo numero artificiale (per 28) e compreso tra il termine maggioreV T e quello minore Tc: poiche per la prima conclusione gia menzionata V S,che e maggiore del seno totale, sta al seno totale ST come lo stesso ST sta a cS,ne segue necessariamente che la differenza dei numeri artificiali corrispondentiai seni dS ed eS e limitata superiormente da V T ed inferiormente da Tc, comedovevasi dimostrare.16(Nepero, Constructio, §40, p. 19 di [11])

16Duorum artificialium differentia, est inter duos terminos, ad quorum maiorem se habet si-nus totus, ut eorum artificialium minor sinus ad sinuum differentiam: & ad minorem terminumse habet sinus totus, ut artificialium sinus maior ad sinuum differentiam.

Sit sinus totus TS, sinus duo dati dS major, & eS minor: ultra ST signetur puncto Vdistantia TV , ea lege, ut ST se habeat ad TV , ut eS minor sinus ad de differentiam sinuum.Deinde citra T versus S, signetur puncto c distantia Tc ea lege, ut TS se habeat ad Tc ut dSsinus major ad de differentiam sinuum. Dico differentiam artificialium respondentium sinibusdS & eS, constitui inter terminos V T majorem, & Tc minorem. Nam quia ex hypothesi,ut eS ad de ita TS ad V T ; & ut dS ad de, ita TS ad Tc se habent: ideo etiam ex natura(proportionalium) sequuntur duae conclusiones: Primo, quod V S se habet ad TS, ut idemTS ad cS. Secundo, quod similis est ratio TS ad cS, rationi quae est dS ad eS. Et propterea


V cT d e S

Figura 2.5: Schema geometrico per ottenere la stima (2.11).

In formule, Nepero considera sul segmento TS un punto V a sinistra di Te tale che

TS

V T=eS

de(2.13)

ed un punto c interno a TS tale che

TS

Tc=dS

de. (2.14)

La proprieta del comporre applicata alla proporzione (2.13) e quella dello scom-porre applicata ad (2.14) forniscono

V S

TS=dS

eS=TS

cS(2.15)

da cui discende per (2.3)

nl (dS)− nl (eS) = nl (TS)− nl (cS)

ovvero, per (2.2),

nl (cS) = nl (eS)− nl (dS)

e dunque, applicando la stima (2.10),

Tc = TS − cS < nl (cS) = nl (eS)− nl (dS) < TSTc

cS= V T

dove nell’ultimo passaggio si e applicata ancora la proprieta dello scomporrealla (2.15): l’asserto segue ponendo x := eS e y := dS.

Per costruire e rendere fruibili le tavole logaritmiche, Nepero ha seguitouna strategia in quattro passi.

1. Scegliere dei numeri di riferimento;

2. determinare il logaritmo di ogni numero scelto al passo 1;

3. determinare il logaritmo di numeri intermedi;

4. stabilire come trovare il logaritmo di numeri che non rientrano nella tavola.

(per 36) differentia artificialium respondentium sinibus dS et eS, aequalis est differentiaeartificialium respondentium sinui toto TS & sinui cS. At haec differentia (per 34) est artificialisipsius sinus cS: et hic artificialis inter terminos V T majorem & Tc minorem (per 28 pos.)includitur: quia per primam conclusionem jam dictam V S major sinu toto se habet ad sinumtotum TS, ut idem TS ad cS. Unde necessario differentia artificialium respondentium sinibusdS et eS, constituitur inter terminos V T majorem et Tc minorem, quod erat demonstrandum.


Perche una tavola sia utile, deve essere molto fitta, cosı da ridurre l’errorecoinvolto nei processi di interpolazione. Per raggiungere l’obiettivo, Neperoconsidera numeri an in progressione geometrica di ragione molto vicina ad 1.Partendo da a0 = r = 107 egli introduce la progressione

an = r(1 − 10−7)n = r(1 − 1

r)n . (2.16)

La scelta della ragione non e casuale in quanto consente di facilitare il calcolodei termini: il termine an si ottiene sottraendo ad an−1 il numero ottenutospostando la virgola decimale di quest’ultimo di sette posti.

a1 10 000 000. 000 000 0a2 9 999 999. 000 000 0a3 9 999 998. 000 000 1a4 9 999 997. 000 000 3a5 9 999 996. 000 000 6... ... ... ... ... ... ...

a100 9 999 900. 000 495 0

In tabella sono mostrati i primi 5 ed il centesimo termine della progressione.

Si ottengono facilmente solo quelle progressioni geometriche che hanno originesottraendo la parte facile di un numero dal numero iniziale.

Con parti facili di un numero intendiamo le parti qualsiasi aventi denom-inazioni formate dall’unita e da un numero arbitrario di zeri: queste parti siottengono gettando via tante cifre del numero principale quanti sono gli zerinella denominazione.

Cosı le parti decima, centesima, millesima, 10000a, 100000a, 1000000a ,10000000a , sono dette facili perche la parte decima di un numero qualsiasi siottiene cancellandone l’ultima cifra; la parte centesima cancellandone le ultimedue, la parte millesima cancellandone le ultime tre e cosı via, sempre cancellandotante cifre quanti sono gli zeri nella denominazione della parte.

(...) Da cio segue che, tolti sette zeri dal seno totale e sottratta dunque daesso e da tutti gli altri numeri ottenuti la 10000000a parte, si possono ottenerein modo molto semplice i cento termini di una progressione geometrica la cuiragione e il rapporto tra il seno totale ed il seno che differisce da quello totaleper un’unita, cioe tra 10000000 & 9999999; chiamiamo prima Tavola questaserie di numeri proporzionali.17(Nepero, Constructio §§13-14; 16, pp. 8-9 di[11]

17Solo Geometricae illae progressiones facile continuantur, quae per subtractionem facilispartis numeri a numero toto oriuntur.

Partes numeri faciles dicimus, partes quaslibet cuius denominationes unitate & cyphrisquotcunque notantur: habentur autem hae partes, reiiciendo tot figuras ultimas principalisnumeri, quod sunt cyphrae in denominatore.

Ut partes decima, centesima, millesima, 10000a , 100000a, 1000000a , 10000000a , facilesdicuntur, quia cujuslibet numeri decima pars habetur delendo eius ultimam figuram; centesimaduas ultimas, millesima tres ultimas figuras, & sic de caeteris, semper delendo tot figuras quot


Come chiariremo tra poco, Nepero deve passare da r ad r/2 per costruireuna tavola sufficientemente accurata. Ora, il valore di n cui corrisponde an = r

2nella progressione (2.16) si ottiene risolvendo l’equazione in n

1

2= (1− 1

r)n

e poiche r = 107, si ha n ≈ 7 · 106 che comporterebbe una mole di calcoliproibitiva. Astutamente Nepero si servı di alcuni stratagemmi con cui, a pattodi perdere un po’ di precisione, erano sufficienti 1599 numeri per formare latabella. Nepero infatti osservo che a100 ' r(1 − 10−5), come peraltro seguedallo sviluppo (1 − x)n ' 1− nx, applicato alla progressione appena costruita.Egli costruisce una seconda progressione di ragione pari a 10−5,

bn = r(1 − 10−5)n n = 1, ...50 ,

alcuni termini della quale sono qui riportati

b1 9 999 900. 000 000 0b2 9 999 800. 001 000 0b3 9 999 700. 002 999 9... ... ... ... ... ... ...b48 9 995 201. 127 827 1b49 9 995 101. 175 815 8b50 9 995 001. 224 804 0

In questa seconda tavola, Nepero commise un errore di calcolo che inficio leg-germente la precisione delle tavole. Egli, pur avvedendosi dell’errore e segna-landolo non riuscı a porvi rimedio, visto il progressivo deteriorarsi dello stato disalute. Saranno altri, come Keplero, ad emendare le tavole. L’ultima tabellaausiliaria e una matrice i cui elementi cm,n hanno valori

cm,n := r

(

1− 1

2000

)m(

1− 1

100

)n−1

dove gli interi m ed n assumono i valori 1 ≤ m ≤ 21 ed 1 ≤ n ≤ 69. La primacolonna dove n = 1 contiene dunque una progressione geometrica il cui primotermine

c1,1 = r

(

1− 1

2000

)

' b50

e circa uguale all’ultimo termine della progressione bn mentre l’elemento

c21,1 = r

(

1− 1

2000

)21

' r(1 − 10−2)

sunt cyphrae in denominatione partis.(...) Hinc sequitur, si a sinu toto septem cyphris aucto, caeterisque inde ortis suam

10000000am partem subtraxeris, continuari possunt quam facillime centum numeri, in eaproportione Geometrica, quae est inter sinum totum & sinum eo minorem unitate, scilicet10000000 & 9999999; hancque seriem proportionalium primam Tabulam nominamus.


che conclude la colonna appartiene con buona approssimazione alla progressionecm,2 che occupa la seconda colonna. In una parola, sia le righe che le colonnedi cm,n sono progressioni geometriche le cui ragioni sono calibrate in modoche l’ultimo termine considerato in una progressione appartenga, con buonaapprossimazione, alla progressione che occupa la colonna adiacente. L’ultimotermine e

c21,69 = r

(

1− 1

2000

)21(

1− 1

100

)68

' r

(

1− 1

100

)69

' r

2

per cui Nepero e riuscito a percorrere l’intervallo (r/2, r) in un numero ra-gionevole di passi e con questo egli ha superato un ostacolo formidabile allacostruzione del Canone Logaritmico.

Per procedere, egli si serve della stima (2.10). Gia sappiamo, per costruzione,che nl (r) = 0. Detta c = 10−7 = 1

r la ragione della prima progressione costruitada Nepero, (2.10) fornisce la stima

1 ≤ nl [r(1 − c)] ≤ 1

1− c' 1 + c = 1.0000001 .

Come regola generale, Nepero prende la media aritmetica dei limiti ottenuticome valore del logaritmo cercato; pertanto

nl (r(1 − c)) = 1.00000005.

Per procedere, Nepero utilizza la proprieta (2.3) dei logaritmi di numeri inprogressione geometrica e puo ricavare

nl [r(1 − c)2] = 2nl [r(1 − c)] = 1.00000010

e cosı via fino ad ottenere nl [r(1 − c)100] = 100.000005.Terminato il calcolo dei logaritmi per i numeri della prima tabella, si richiama

il fatto che il primo termine della seconda tabella b1 = 9999900 e in realtaprossimo all’ultimo numero a100 = 9999900.000495 della prima tabella, di cuisono noti i logaritmi. Servendosi allora di (2.11) si puo mostrare che

nl (b1) ' nl (a100) + 0.000495 = 100.0005 .

A questo punto, il procedimento seguito da Nepero per determinare nl (an)viene ripreso daccapo e si ottengono i logaritmi neperiani per gli elementi bn.Arrivato a determinare nl (b50) = 50·nl (b1) = 5000.025,Nepero si accorge che ilmetodo di interpolazione usato in precedenza porterebbe a perdite di precisionesempre maggiori, visto che aumentando la distanza tra i numeri x ed y coinvoltinella stima (2.11), diminuisce l’accuratezza con cui e nota la differenza tra i lorologaritmi. Per porre rimedio egli determina un numero z tale che

r

z=b50c1,1

: (2.17)

2.4. QUESTIONI DI PRIORITA 43

poiche b50 e c1,1 non sono comunque molto distanti tra loro, il valore di z =9999998.77458342 e prossimo a r ed il suo logaritmo, nl (z) = 1.2254166, si puoottenere grazie a (2.11) ed ai logaritmi dei numeri della prima tabella. A questopunto, applicando (2.3) alla proporzione (2.17) si ottiene

nl (c1,1) = nl (b50) + nl (z) = 5001.250 .

Iterando la procedura e possibile ottenere la tavola radicale contenente i loga-ritmi delle progressioni geometriche introdotte da Nepero. Osserviamo che ilogaritmi trovati in questo modo sono corretti alla quinta cifra decimale, preci-sione davvero notevole se si pensa allo scarsita di mezzi di calcolo e delle esiguetecniche matematiche a disposizione.

Resta da completare la tavola per comprendere anche i numeri esterni all’in-tervallo [r/2, r]. Per questo, preso un numero x ∈ (r/4, r/2), cosicche 2x > r/2,si osserva che, essendo

r/2

x=

r

2x,

grazie a (2.3) si puo concludere che

nl (x) = nl (r

2) + nl (2x)

e poiche, al piu per interpolazione, nl ( r2 ) ed nl (2x) sono noti, il problema ditrovare i logaritmi di numeri in x ∈ (r/4, r/2) e risolto ed iterando la procedurasugli intervalli del tipo ( r

2k, r2k+1 ) si puo procedere ad infittire la tabella di nl (x)

per x piccoli.

2.4 Questioni di priorita

Spesso accade nella storia della scienza di incontrare discussioni interminabilio polemiche anche aspre su questioni di priorita, cioe su chi possa vedersi ri-conosciuto il diritto di paternita di un’idea. Non sono problemi facili da risol-vere anche perche spesso accade che per i problemi di punta vi siano piu studiosiche lavorano indipendentemente su un argomento giungendo praticamente nellostesso momento alle stesse conclusioni o a conclusioni confrontabili. I logaritmifanno eccezione perche solo raramente si e messa in discussione la priorita diNepero. I tentativi fatti per ridimensionare il ruolo di Nepero come padredei logaritmi sono sostanzialmente tre e sono stati confutati da Cajori in [17].In ognuno dei casi considerati si cerco di mostrare che qualcun altro prima diNepero aveva introdotto i logaritmi e che egli avrebbe lavorato su materialegia sgrezzato. Come precursori sono stati proposti tre nomi: il matematicoinglese Edward Wright (1559-1615), l’astronomo danese Christen SørensenLongberg (Longomontanus) (1562-1647) e l’inventore svizzero Jobst Burgi(1552-1632).

Il nome di Wright venne avanzato da Benjamin Martin che nell’operaSystems of Logarithms (1772) affermava di disporre di prove secondo cui fu


Wright e non Nepero ad aver calcolato le prime tavole logaritmiche. L’operadi Wright cui Martin si riferisce e il Certaine Errors in Navigation Correct-ed del 1599 dove Wright volle correggere un errore nella rappresentazione diGerhard Mercator (1512-1594) in cui i meridiani sono segmenti di retta percui l’arco di parallelo compreso tra due meridiani appare piu lungo del dovu-to causando errori nel posizionamento di un punto sulla superficie sferica. Perovviare al problema occorre introdurre un fattore di dilatazione negli archi dimeridiano che si ottiene moltiplicando la lunghezza dell’arco per la secante dellalatitudine ed ottenendo cosı i meridiani nautici. Poiche la correzione e locale,per apportarla occorre in verita calcolare l’integrale

r

∫ ϑ

0

secα dα = r ln tanϑ

2

e dunque una tavola di f(ϑ) :=∫ ϑ

0 secα dα puo essere vista come tavola log-aritmica. Secondo la ricostruzione di Edmund Halley [18], l’analogia sembraessere stata notata per la prima volta da Henry Bond in aggiunta alla NorwoodsEpitome of Navigation. La dimostrazione proposta sembro di tale difficolta cheNicolaus Mercator18 propose di assegnare una somma di denaro a chi fosseriuscito nell’impresa di dimostrarla od anche di provarne la falsita con un con-troesempio. Una nuova dimostrazione fu proposta da James Gregory nelleExercitationes Geometricae del 1668,

non senza una lunga serie di deduzioni e la complicazione delle proporzioni, acausa delle quali l’evidenza della dimostrazione si perde ed il lettore e esaustoancor prima di essere arrivato in fondo.19 (cfr. p.203 di [18])

Halley a sua volta propose in [18] un metodo semplificato e generale permostrare l’analogia. Detto questo, la pretesa priorita di Wright non puo es-sere sostenuta perche, come argomenta Cajori in [17], egli non si pose affattoil problema di semplificare con la sua tabella le operazioni di moltiplicazione,divisione e le estrazioni di radici ma solo di correggere un errore presente innavigazione: in un certo senso egli realizzo una tavola logaritmica senza render-sene conto. La miglior prova dell’infondatezza delle affermazioni di Martin eil fatto che Wright tradusse la Descriptio in inglese ed aiuto cosı la diffusionedell’opera di Nepero, senza arrogarsi alcun merito.

Ancora piu fragile e la pretesa attribuzione a Longomontano che poggiasu un inaccurato resoconto di un tal Anthony Woods secondo cui Neperoavrebbe appreso da Craig che in Danimarca era stato messo a punto, pare daLongomontano, un algoritmo per evitare i lunghi calcoli in astronomia legatia moltiplicazioni e divisioni. Alla richiesta di maggiori chiarimenti avanzatada Nepero, Craig avrebbe risposto di non saper molto dell’invenzione se nonche faceva ricorso a numeri in proporzione (proportionable numbers). Su questa

18Da non confondere con Gerhardt, da cui prende il nome la proiezione. Parleremo piu alungo di Nicolaus Mercator nel Capitolo 6.

19not without a long train of Consequences and Complication of Proportions, whereby theevidence of the Demonstration is in a great measure lost, and the Reader wearied before heattains it.

2.4. QUESTIONI DI PRIORITA 45

informazione Nepero lavoro presentando a Craig, alcune settimane dopo laprima visita, una bozza della Descriptio. Il racconto non e abbastanza chiaro peressere preso sul serio in quanto le parole di Craig potevano applicarsi tanto ailogaritmi quanto alle formule di prostaferesi che erano utilizzate da Brahe e daisuoi collaboratori, tra i quali figura proprio Longomontano. Come ulterioreconfutazione si puo opporre il fatto che Longomontano sopravvisse trentaanni a Nepero, un tempo sufficiente per avanzare diritti di priorita, cosa cheinvece non si verifico.

L’attribuzione a Burgi merita piu attenzione perche egli pubblico nel 1620a Praga le Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen. Burgi e un per-sonaggio singolare, nato a Lichtensteig nel cantone di San Gallo in Svizzeranel 1552. Della sua formazione non si sa molto. E certo che non conoscesseil latino, il che contribuı ad ostacolare la diffusione della sua opera sui logarit-mi, redatta in tedesco; la sua fama e legata all’ eccellente abilita manuale, alledoti di astronomo e, soprattutto al talento nel costruire orologi astronomici chegli procuro un posto alle corti di Praga e di Cassel dove si trovava nel 1579 aservizio di Guglielmo IV, langravio di Assia, come assistente dell’astronomoRothman che ne parla in una lettera a Brahe come di un nuovo Archimede.L’abilita matematica di Burgi e attestata da Keplero che ne certifica il deci-sivo contributo per venire a capo di un problema di trigonometria che lo avevamolto impegnato. Certamente le Progress Tabulen restano un’opera enigmaticadi Burgi, fin dal frontespizio che reca scritto

Die ganze rote zahl 230 270 022

Die ganze schwarze Zahl 1000 000 000

Su due colonne Burgi riporta i numeri rossi del tipo 10N a cui affianca i nu-meri neri, posti in progressione geometrica del tipo 108(1+10−4)N : si tratta ineffetti di una tabella di antilogaritmi in quanto concepita per trovare un numeroa partire dal suo logaritmo. Vi sono elementi che lasciano pensare ad un proced-imento simile a quello seguito da Nepero ma cio che influı negativamente sulladiffusione delle Tabulen fu l’assenza di ogni spiegazione (unterricht) del modo incui le tavole erano state ottenute, contrariamente a quanto promesso all’inizio.Tali spiegazioni furono trovate fortuitamente solo nel 1856 da Gieswald, unprofessore di liceo di Danzica che trovo il manoscritto di Burgi in una bib-lioteca cittadina. Ora, sembra certo che anche Burgi abbia dedicato molti annia completare le tavole: una stima possibile e fornita da Beniamin Bramer,cognato di Burgi con il quale lavoro negli anni 1603-1611, che afferma comeproprio in quegli anni Burgi stesse lavorando alle Tabulen. La seconda testi-monianza viene da Keplero che nell’introduzione alle Tabulae Rudolphinae del1627 afferma

Se non ti sembra opinabile dedurre, dallo stesso principio caratteristico dei log-aritmi, una specie di numero adatta al calcolo, a cui viene assegnato un log-aritmo, eccoti il vertice di una logistica antica che svolge il compito in modomolto piu agevole: questo vertice della logistica era stato introdotti da Job-st Burgi molti anni prima della pubblicazione di Nepero. Tuttavia quest’uomo,


custode ed assassino dei propri segreti, uccise il feto nel grembo non pubblicandoi risultati ottenuti.20 (Keplero, Tabulae Rudolphinae. Cfr. p.102 di [17])

Il periodo sottolineato evidenzia come Burgi avesse lavorato alle sue tavoleprima del 1614 ma cio non e sufficiente per attribuire a lui la priorita perche,come visto in precedenza, vi sono documenti che mostrano come anche Neperoabbia lavorato per lungo tempo alle tavole prima di pubblicare la Descriptio. Eperaltro difficile supporre che uno dei due autori abbia proceduto alla stesuradelle tavole dopo aver preso visione del lavoro dell’altro. Sembra equilibrato ilgiudizio di Cajori che, a chiusura di [17], concede che Burgi abbia scoperto ilogaritmi indipendentemente da Nepero. Tuttavia, la mancata pubblicazionedelle istruzioni per comprendere le tavole gli ha fatto perdere ogni influenza sullavoro di matematici ed astronomi delle generazioni successive, lasciando dunquecampo libero a Nepero come responsabile di un mutamento epocale che ha seg-nato la storia della matematica. Concludiamo con un paio di osservazioni sulsistema logaritmico proposto da Burgi. Anzitutto, mentre la funzione nl (x)e decrescente, l’analoga funzione logaritmica di Burgi e crescente [15], vistol’uso di una progressione geometrica con ragione leggermente maggiore dell’u-nita. Una seconda osservazione riguarda le fonti di Burgi. Dalla lettura delleistruzioni portate alla luce da Gieswald emerge che Burgi fosse a conoscen-za dell’Arithmetica Integra di Stiefel da cui trasse l’ispirazione necessaria perescogitare il proprio sistema di logaritmi.

2.5 Testi originali

Testo 2.2 (Nepero Descriptio, in [9] pp.295-296) Definitio 1. Linea aequalitercrescere dicitur, quum punctus eam describens aequalibus momentis per ae-qualia intervalla progreditur.

Corollarium. Unde hoc incremento quantitates aequidifferentes temporibusaequidifferentibus produci est necesse.

Definitio 2. Linea proportionaliter in breviorem decrescere dicitur, quumpunctus eam transcurrens aequalibus momentis segmenta abscindit ejusdemcontinuo rationis ad lineas, a quibus abscinduntur.

Corollarium. Unde hoc aequalibus momentis decremento ejusdem etiamrationis proportionales lineas relinqui est necesse.

Definitio 3. Quantitates surdae seu numero inexplicabiles numeris quamproxime definiri dicuntur, quum numeris majusculis, qui a veris surdarum val-oribus unitate non differant, definiuntur.

Definitio 4. Synchroni motus sunt, qui simul et eodem tempore fiunt.Definitio 5. Quum quolibet motu et tardior et velocior dari possit, sequetur

necessario, cuique motui aequivelocem dari posse.

20Sin opinabile tibi est, ex ipso logarithmi characteristico principio arguere speciemlogisticam numeri, cui assignatur logarithmus, ecce tibi apices logisticae antiquae,qui praestant hoc longe commodius: qui etiam apices logistici Justo Byrgiomultis annis ante editionem Neperianam viam praeiverunt ad hos ipsissimos logarithmos. Et-si homo cunctator et secretorum suorum custos foetum in partu destituit, non ad usus publicuseducavit.


Definitio 6. Logarithmus ergo cujusque sinus est numerus, quam proximedefiniens linea, quae aequaliter crevit, interea dum sinus totius linea proportion-aliter in sinum illum decrevit, existente utroque motu synchrono atque initioaequiveloce.

Corollarium. Unde sinus totius 10000000 Nullum seu 0 est logarithmus, etper consequens numerorum majorum sinu toto logarithmi sunt nihilo minoris.

Propositio 1. Proportionalium numerorum aut quantitatum aequidifferentessunt logarithmi.

Propositiones 2 & 3. Ex trium proportionalium logarithmis duplum secun-di seu medii, minutum primo, aequatur tertio, et duplum secundi aequaturaggregato extremorum.

Propositiones 4 & 5. Ex quatuor proportionalium logarithmis aggregatumsecundi et tertii, minutum primo, aequatur quarto, et aggregatum mediorumaequatur aggregato extremorum.

Propositio 6. Ex quatuor continue proportionalium logarithmis triplumalterutrius mediorum aequatur aggregato extremi remoti et dupli vicini.

Bibliografia


[2] P. Hume Brown: John Napier of Merchiston. In [1], pp. 33-51.

[3] G.A. Gibson: Napier and the invention of logarithms. In The Handbook ofthe Napier Tercentenary Exhibition on Modern Instruments and Methodsof Calculation, edito da E.M. Horsburgh, ristampa del 1982 di TomashPublisheres, S. Francisco pp. 1-16.


[5] J.E.A. Steggall: A short account of the treatise ‘De Arte Logistica’. In [1],pp. 145-161.


[7] E.W. Hobson: John Napier and the Invention of Logarithms, 1614Cambridge University Press (1914).

[8] I. Neper: Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas. Fac-similedell’originale del 1617, O. Zeller, Osnabruck, (1966).

[9] J. Kepler: Johannis Kepleri astronomi Opera Omnia, Vol VII, a cura diCh. Frisch. Heyder & Zimmer, Francoforte, (1868).

[10] J.W.L. Glaisher: On early tables of logarithms and the early history oflogarithms. Quart. J. Pure Appl. Math. 48, 151–192, (1920).

[11] I. Neper: Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio; et Eorum ad Nat-urales ipsorum numeros habitudines; Una cum Appendice de alia EaquePrestantiore Logarithmorum Specie Condenda. B. Vincent, Lione, (1620).

[12] R. Ayoub: What is a Napierian logarithm? Amer. Math. Monthly 100,351–364, (1993).

49

50 BIBLIOGRAFIA

[13] N. Mercator: Logarithmotechnia. Fac-simile dell’edizione pubblicata aLondra nel 1668. G. Olms, Hildesheim, (1975).

[14] A. Aubry: Les logarithmes avant Neper. L’Enseignement Mathem. 8, 417–432, (1906).

[15] F. Cajori: History of the exponential and logarithmic concepts. I. FromNapier to Liebnitz and John Bernoulli I. Amer. Math. Monthly 20, 5–14;35–38, (1913).

[16] H.H. Goldstine: A History of Numerical Analysis From the 16th Throughthe 19th Century. Springer, New-York, (1977).

[17] [C15] F. Cajori: Algebra in Napier days and alleged prior inventions oflogarithms. In [1], pp. 93-109.

[18] [H95] E. Halley: An easie demonstration of the analogy of the logarithmicktangents to the meridional line or sum of the secants: with various methodsfor computing the same to the utmost exactness. Phil. Trans. 19, 202–214,(1695-1697),.

Capitolo 3

Henry Briggs

3.1 La vita e l’incontro con Nepero

Se Nepero fu un matematico dilettante, il continuatore della sua opera fu in-vece di estrazione accademica. Si tratta del matematico inglese Henry Briggs(1561-1630). Inizio gli studi a Warleywood nello Yorkshire, suo paese natale, perpoi perfezionarli a Cambridge, presso il St.John’s College dove ottenne il titolodi Batchelor of Arts nel 1581 e quello di Master of Arts nel 1585. Negli anniuniversitari paleso la sua predisposizione per gli studi matematici che coltivonegli anni della sua permanenza a Cambridge come examiner, lecturer ed in-fine reader fino al marzo 1596 quando divenne il primo professore di geometriapresso il Gresham College di Londra, fondato da appena due anni. Del suolavoro in questi anni resta una tavola per trovare l’altezza del polo nota la decli-nazione magnetica. Da una lettera dell’agosto 1610 indirizzata all’arcivescovodi Armagh, James Usher, sappiamo che Briggs era impegnato su problemiastronomici: engaged in the subject of the eclipses.

L’incontro con Nepero o, meglio, con i suoi logaritmi, avvenne nel 1615 ese ne ha notizia dall’altra lettera superstite del carteggio tra Briggs e Usher.In essa Briggs scrive

Con i suoi nuovi ed ammirabili logaritmi, Nepero, signore di Merchiston, miha impegnato anima e corpo. Spero di incontrarlo la prossima estate, a Diopiacendo, perche non ho mai letto un libro che mi sia piaciuto piu di questo emi abbia fatto meravigliare di piu.1 (cfr. p.2 di [1])

L’incontro tra Briggs e Nepero avvenne nell’estate del 1615 quando Brig-gs, libero da impegni accademici, pote recarsi in Scozia. L’esito dell’incontro fuuna sorta di passaggio di consegne tra Nepero che ormai sentiva venir meno leforze e Briggs che ereditava l’onere di perfezionare la scoperta di Nepero. Ineffetti, ad entrambi era balenata l’opportunita di una modifica del sistema origi-

1Naper, lord of Markinston, hath set my head and hands a work with his new and admirablelogarithms. I hope to see him this summer, if it please God, for I never saw a book, whichpleased me better, and made me more wonder.

51

52 CAPITOLO 3. HENRY BRIGGS

nario per eliminare l’ingombrante termine nl (1) = 161 180 957 che compariva unpo’ dovunque. Abbiamo gia riportato (§2.2) il brano dell’introduzione alla Rab-dologia in cui Nepero parla di questo passaggio di consegne e, soprattutto, incui allude ad una Logarithmorum speciem aliam multo prestantiorem, destinataa soppiantare quella presentata nella Descriptio. Per capire di cosa si trat-ta, integriamo questo passo con l’indirizzo al lettore contenuto nell’ArithmeticaLogarithmica di Briggs

Non c’e da sorprendersi che questi logaritmi siano diversi da quelli che l’illu-strissimo signor Barone di Merchiston pubblico nel suo Canon mirifici. Infatti,mentre ne stavo spiegando la dottrina agli uditori delle mie lezioni pubbliche aLondra presso il Gresham College, compresi che sarebbe stato molto piu agevolese, fermo restando il valore 0 per il logaritmo del seno totale (come nel Canonmirifici),si fosse attribuito il valore 10000000000 al logaritmo della decima partedel seno totale, cioe al seno di 5 gradi, 44 primi, 21 secondi e scrissi a talproposito all’autore stesso (Nepero) e non appena nel corso dell’anno sono statolibero dagli impegni didattici, mi sono recato ad Edimburgo dove sono statoaccolto da lui in modo estremamente cordiale e mi sono trattenuto per un meseintero. Mentre stavamo discutendo del cambiamento da apportare ai logaritmi,disse che anche lui lo riteneva opportuno e che lo avrebbe desiderato operare:quelli di cui aveva curato l’edizione erano destinati ad essere sostituiti da altripiu comodi cui avrebbe lavorato compatibilmente con gli impegni e lo stato disalute. Egli riteneva di dover apportare questo cambiamento: che 0 fosse illogaritmo dell’unita e 10000000000 quello del seno totale: proposta che nonpotei far altro che riconoscere come di gran lunga la piu comoda.

Abbandonati dunque quelli che avevo gia preparato, su suo consiglio iniziai apensare seriamente al loro calcolo: l’estate successiva ho nuovamente raggiuntoEdimburgo per mostrargli i logaritmi contenuti in quest’opera. Mi sarei recatoda lui molto volentieri l’estate successiva per la terza volta, se Dio avesse volutolasciarlo ancora in vita.2(Briggs, Arithmetica Logarithmica, in [2], p.168.)

Questo passo di Briggs e interessante perche testimonia una prima modificaapportata ai logaritmi neperiani che e alla base della tavola pubblicata da Brig-

2Quod Logarithmi isti diversi sunt ab iis, quos Clarissimus vir Baro Merchistonii in suoedidit Canone mirifico, non est quod mireris. Ego enim cum meis auditoribus Londini, publicein Collegio Greshamensi, horum doctrinam explicarem; animadverti multo futurum commod-ius, si Logarithmus Sinus totius servaretur 0 (ut in Canone mirifico) Logarithmus autem partisdecimae ejusdem sinus totius, nempe sinus 5 graduum, 44, m, 21, s. esset 10000000000 atqueea de re scripsi statim ad ipsum authorem, et quamprimum per anni tempus, et vacatione apublico docendi munere licuit, profectus sum Edinburgum; ubi humanissime ab eo acceptushaesi per integrum mensem. Cum autem inter nos de horum mutatione sermo haberetur; illese idem dudum sensisse, et cupivisse dicebat: veruntamen istos, quos jam paraverat edendoscurasse, donec alios, si per negotia et valetudinem liceret, magis commodos confecisset. Istamautem mutationem ita faciendam censebat, ut 0 esset Logarithmus unitatis, et 10000000000sinus totius: quod ego longe commodissimum esse non potui non agnoscere.

Coepi igitur ejus hortatu, rejectis illis quos antea paraveram, de horum calculo serio cogitare:et sequenti aestate iterum profectus Edinburgum, horum quos hic exhibeo praecipuos, illi os-tendi. Idem etiam tertia aestate libentissime facturus, si Deus illum nobis tamdiu superstitemesse voluisset.

3.1. LA VITA E L’INCONTRO CON NEPERO 53

gs nel 1617 sotto il titolo di Logarithmorum Chilias Prima3. Dal passo emergeanche che Briggs riconosce come superiore la proposta di Nepero di consid-erare 0 come logaritmo dell’unita al punto da fargli prendere la risoluzione diinterrompere il calcolo dei logaritmi con lo schema seguito fino a quel momen-to. In cosa consiste la prima modifica operata da Briggs? Per comprenderlo,torniamo alla costruzione di Nepero e supponiamo [2] che all’istante inizialei punti g ed a non abbiano la stessa velocita ma che abbiano velocita v0 e v1,rispettivamente. Riprendendo le considerazioni svolte in 2.3, le equazioni dimoto dei punti P e Q sono

dx

dt= −v0

rx e

dy

dt= v1

da cui seguedy

dx= −v1

v0

r

x

per cui la nuova funzione logaritmica y(x) = bl 1(x) introdotta da Briggs e

bl 1(x) = −kr ln(x) + c

dove si e posto k := v1/v0 e c e la costante di integrazione. I vincoli imposti daBriggs alla funzione bl 1(x) sono

bl 1(r) = 0 e bl 1(r

10) = 1010

che richiedono c = kr ln(r) e −kr ln(r/10) + c = 1010 da cui si ottiene

bl 1(x) =1010

ln(10)ln(

r

x) = 1010 log(

r

x)

dove log(x) indica il logaritmo decimale comunemente usato e, nell’ultimo pas-saggio, si e fatto uso della formula per il cambiamento di base. In questo sistema,dove r = 1010, bl 1(1) = 10 · 1010 = 1011 e proprio qui risiede la semplificazionerispetto al lavoro originale di Nepero perche ora, quando e necessario aggiun-gere o togliere bl 1(1), e sufficiente aumentare o diminuire di 1 la undicesimacifra, partendo da destra, un bel vantaggio rispetto all’aggiunta di 161180957.

Nel 1619 Sir Henry Savil Rettore (Warden) del Merton College di Oxfordfinanzio due cattedre ad Oxford in astronomia e in geometria. La prima fu as-segnata a Bainbridge mentre la seconda fu offerta a Briggs che, accettando,divenne il primo professore di geometria ad Oxford. Briggs sostituı proprioSavil che aveva tenuto parte di un ciclo di lezioni sugli Elementi di Euclidee prese servizio l’8 gennaio 1620, proseguendo l’esposizione degli Elementi dalpunto in cui l’aveva lasciata Savil. Egli mantenne ancora l’incarico al Gresham

3E questa una tavola contenente i logaritmi dei primi mille numeri, come afferma il titolostesso, visto che chilias deriva dal greco χιλιας, in numero di mille.


College fino alle dimissioni presentate il successivo 25 luglio. Stabilitosi al Mer-ton College, Briggs pubblico nel 1622 un breve trattato sul passaggio a Nord-Ovest dal titolo Northwest Passage to the South Sea, a mostrare il grande inter-esse per i problemi di navigazione, cruciali in un periodo di grande espansioneper l’Inghilterra. Nel 1624 viene pubblicata l’Arithmetica Logarithmica, dovetroviamo il contributo piu importante di Briggs allo sviluppo dei logaritmi. Eun’opera articolata meta della quale –i primi sedici capitoli– sono interamentededicati alla definizione di logaritmo ed alla spiegazione del metodo seguito daBriggs nella compilazione delle tavole, mentre i restanti sedici capitoli sonodedicati alle applicazioni, soprattutto in geometria, pur trovando spazio altriargomenti come, ad esempio, i numeri di Fibonacci. Il lungo sottotitolo dell’-opera indica che Briggs ha calcolato 30000 logaritmi con 14 cifre decimali pergli interi da 1 a 20000 e per quelli tra 90000 e 100000, promettendo non solo difornire indicazioni su come completare le tavole ma anche fornendo il volonterosocompilatore della carta opportunamente suddivisa in colonne atte allo scopo. Ilcompletamento della tabella avvenne per altra via in quanto l’olandese Adri-aan Vlacq (1600 ca.-1664) coadiuvato da Ezechiel de Decker (1603-1647)lo porto a termine pubblicando le tavole nel 1628. All’autore di quest’operache saccheggia e rimaneggia l’Arithmetica Logarithmica—al punto che Brucene parla come di una edizione pirata—va riconosciuto il merito di aver com-pletato il lavoro iniziato da Briggs che pero ebbe a lamentarsi del fatto cheVlacq ridusse da 14 a 10 le cifre significative dei logaritmi. Sorge la domandasu perche Briggs non abbia completato egli stesso il lavoro, coordinato magarida colleghi. In effetti egli si era predisposto all’imponente compito coinvolgendoPell e Warner, ma Vlacq fu piu rapido e tolse a Briggs l’onere. Fatto stache Briggs fornisce nel capitolo XII dell’Arithmetica indicazioni dettagliate sucome procedere nel processo di interpolazione, quasi a volere “appaltare” l’im-presa (giova ricordare che nel 1624 Briggs aveva gia compiuto i 60 anni) perdedicare le energie residue ad un altro progetto che gli stava a cuore, quellodi approfondire le applicazioni dei logaritmi alla trigonometria sferica e a cuiintendeva dedicare un’opera in due libri, il De Docrtina Triangulorum, del qualecompleto solo il primo mentre il secondo venne scritto da Henry Gellibrande pubblicato da Vlacq a Gouda sotto il titolo di Trigonometria Britannica.Briggs morı il 26 gennaio 1630 al Merton College dove venne sepolto, nel corodella cappella.

3.2 I logaritmi di Briggs nell’Arithmetica Log-

arithmica

Esaminiamo in dettaglio la struttura dell’opera principale di Briggs sui logar-itmi seguendo la versione commentata da Ian Bruce [1] che, oltre a riportarel’originale in latino ne offre una traduzione inglese moderno e fornisce per ognunodei trentadue capitoli una sinossi corredata da una serie di note e commenti.Come accennato in precedenza, la parte dedicata alla definizione dei logaritmi e

3.2. I LOGARITMI DIBRIGGSNELL’ARITHMETICA LOGARITHMICA55

all’analisi delle tecniche per ottenere le tavole occupa i capitoli I-XVI, mentre icapitoli successivi sono dedicati alle applicazioni. In questa sezione ci concentri-amo sui primi quattro capitoli che contengono gli elementi della teoria. Il primocapitolo contiene la definizione di logaritmo, in stile neperiano4

I logaritmi sono numeri che, associati a numeri proporzionali, mantengonouguali differenze.5 (AL Cap. I, in [1], p.1-8)

Parafrasando un poco, i logaritmi costituiscono una progressione aritmeticaposta in corrispondenza ad una geometrica. Come Nepero, anche Briggsillustra definizioni e proposizioni con esempi che, tra l’altro, a volte fungonoda surrogato di dimostrazione. In questo caso Briggs illustra il concetto dilogaritmo con la tabella seguente dove accanto ai numeri della forma 2n (n =0, 1, ...7) compaiono quattro diversi sistemi di logaritmi, alcuni dei quali (colonneA− C) sono crescenti mentre uno e decrescente (colonna D):

A B C D1 1 5 5 352 2 6 8 324 3 7 11 298 4 8 14 2616 5 9 17 2332 6 10 20 2064 7 11 23 17128 8 12 26 14

numeri Logar. Logar. Logar. Logar.

propor-

tionales

Come puoi qui vedere, si possono associare come logaritmi i numeri indicaticon A, B, C, oppure D. O ancora degli altri, a patto di conservare questaproprieta, cioe che le differenze dei logaritmi, vuoi crescenti vuoi decrescenti,si mantengano uguali ogni volta che i numeri cui essi sono associati sono inproporzione. Per questo non e sconveniente riferirsi ai logaritmi come a deicompagni equidifferenti di numeri proporzionali.6 (AL Cap. I, in [1], p.1-8)

Alla definizione Briggs aggiunge due lemmi elementari, validi per tutti isistemi di logaritmi ammissibili.

Lemma primo. Se sono assegnati numeri arbitrari ma che crescono o decresconouniformemente, le loro differenze sono proporzionali ai loro intervalli.7 (ALCap. I, in [1], p.1-8)

4In tutte le citazioni indichero l’Arithmetica Logaritmica con la sigla AL. Oltre che al testodi Bruce mi sono servito della versione di Vlacq [3] del 1628.

5Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant differentias.6Poterunt ijs pro Logarithmis adjungi numeri insigniti A, vel B, vel C, vel D, ut hic vides.

Vel alij, modo hoc unicum servetur, ut Logarithmorum, una crescentium vel decrescentiumdifferentiae sint aequales, quoties numeri quibus sunt adjuncti sunt proportionales. Ut nonincommode Logarithmi dici possint, numerorum proportionalium comites aequidifferentes.

7Lemma primum. Si quotlibet numeri statuantur aequaliter crescentes vel decrescenteseorum differentiae sunt intervallis eorundem proportionales.


Come abitudine del tempo, all’enunciato non segue una dimostrazione for-male, quanto uno o piu esempi convincenti che servono ad aprire la mente dellettore. In questo caso, Briggs si riferisce alla tabella precedente e nota

Cosı si consideri il primo, il terzo e l’ottavo dei numeri indicati con D: 35.29.14.Tra il primo ed il terzo vi sono due intervalli, tra il terzo e l’ottavo ve ne sonocinque. Dico che la differenza tra il primo ed il terzo, cioe 6, sta alla differenza15 tra il terzo e l’ottavo, come due sta a cinque.8 (AL Cap. I, in [1], p.1-8)

All’esempio segue poi una applicazione che riportiamo per esteso per renderconto del modo di procedere in un’epoca in cui le notazioni sintetiche cui siamoabituati erano solo agli inizi 9

Pertanto, siano assegnati i logaritmi di due elementi qualsiasi di una serie di nu-meri in progressione continuata; potremo trovare il logaritmo di un qualsivogliaelemento della progressione. E infatti assegnata la differenza di questi numerie del terzo da uno qualsiasi dei primi due; e allora assegnata la differenza deilogaritmi assegnati. Dati infatti due intervalli e la differenza dei logaritmi asseg-nati, sara possibile trovare l’altra differenza proporzionale dei logaritmi asseg-nato ed incognito. Siano ad esempio assegnati i numeri in proporzione continua4.6.9.131

2 .2014 .30

38 e siano 060206 e 095424 i logaritmi del primo e del terzo

numero dato, cosicche la loro differenza e 035218. E richiesto il logaritmo delsesto numero della progressione, 30 3

8 . Gli intervalli noti tra il primo ed il terzonumero assegnato sono due, mentre sono tre gli intervalli tra il terzo ed il ses-to; la differenza nota dei logaritmi e 035218 ed il quarto numero proporzionalerichiesto, 0528273, e la differenza dei logaritmi cercata che, sommata al loga-ritmo assegnato del terzo numero della serie, fornisce 148251 come logaritmorichiesto del sesto numero della serie.10 (AL Cap. I, in [1], p.1-8)

Il capitolo si chiude con un secondo lemma elementare

Lemma secondo. Dati quattro numeri con la proprieta che il primo supera ilsecondo della stessa quantita di cui il terzo supera il quarto, allora la sommadel primo e del quarto e uguale alla somma del secondo e del terzo, e viceversa.

8Ut in numeris D signatis sumantur primus, tertius & octavus, 35.29.14. Inter primum &tertium sunt duo intervalla, inter tertium & octavum sunt quinque intervalla. Aio differentiamprimi & tertij 6, esse ad differentiam tertij & octavi 15, ut duo ad quinque.

9I valori numerici dei logaritmi utilizzati in questo esempio provengono dalla tabella rica-vata da Briggs. Lo zero iniziale e la caratteristica e in notazione moderna andrebbe scritto0.60206.

10Idcirco in serie numerorum continue proportionalium, datis duorum quorumcunque Log-arithmis; poterimus alterius cuiusvis Logarithmum invenire. Datur enim horum numeroruminter se intervallum & tertij ab horum alterutro, datur etiam datorum Logarithmorum dif-ferentia. Datis ergo duobus intervallis & Logarithmorum datorum differentia, altera dati &quaesiti Logarithmorum differentia proportionalis inventa erit. Ut sunto 4.6.9.13 1

2.20 1

4.30 3

8continue proportionales, & sint Logarithmi primi & tertij numeri dati, & 060206, & 095424,eorum differentia 035218. Quaeritur Logarithmus numeri 30 3

8, sexti nempe datorum. Da-

ta intervalla inter primum numerum & tertium sunt duo, inter tertium & sextum tria; dataLogarithmorum differentia 035218, quartus quaesitus numerus proportionalis 0528273 est dif-ferentia Logarithmorum quaesita, quae tertij numeri dato Logarithmo adiecta, dat 148251Logarithmum sexti numeri quaesitum.


Cosı nei numeri 9.5.15.11 la somma sia dei medi che degli estremi e 20.11 (ALCap. I, in [1], p.1-9)

Nel Capitolo II, intitolato Logarithmus unitatis sit 0, Briggs seleziona tra ipossibili sistemi logaritmici quelli che gli appaiono come piu convenienti, cioe adire quelli che hanno zero come logaritmo dell’unita.

Benche sia lecito adattare piu specie di logaritmi agli stessi numeri in questomodo, tuttavia ve ne e una che e piu comoda di tutte e consiste nel porre ugualea zero il logaritmo dell’unita.12 (AL Cap. II, in [1], p.2-6)

Una prima conseguenza di questa scelta e che il logaritmo coincide od eproporzionale all’esponente (index ) n che compete ad un numero della formaqn in una progressione geometrica.

Come logaritmi di un numero qualsiasi si possono utilizzare sia i numeri chevengono detti Indici, (...) sia numeri proporzionali a questi indici comuni.13

(AL Cap. II, in [1], p.2-6)Le conseguenze principali della scelta di Briggs riguardano le proprieta

algebriche dei logaritmi cosı ottenuti che, finalmente, trasformano prodotti insomme:

Il logaritmo del prodotto e uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.14 (ALCap. II, in [1], p.2-6)

La dimostrazione poggia sulla proporzione

1 : y = x : xy

da cui segue, per la definizione di logaritmo, che

bl (1)− bl (y) = bl (x) − bl (xy)

e, siccome bl (1) = 0, si ha effettivamente

bl (xy) = bl (x) + bl (y) :

Il logaritmo del prodotto di due numeri e uguale alla somma dei logaritmi deifattori. Infatti, per la proprieta della moltiplicazione, il rapporto tra l’unitaed il moltiplicatore e sempre uguale a quello tra moltiplicando e prodotto, dal-la definizione di logaritmo segue che i logaritmi di numeri proporzionali sonoequidifferenti: e evidente in virtu del secondo lemma che i logaritmi del primoe quarto termine cioe l’unita ed il prodotto uguagliano i logaritmi del secondo e

11Lemma secundum. Si e quatuor numeris, quantum primus superat secundum tantundemtertius superet quartum: erit summa primi & quarti, aequalis summae secundi & tertij: &contra. vt 9.5.15.11 summa tam mediorum quam extremorum est 20.

12Licet autem possimus Logarithmorum plures species ijsdem numeris ad hunc modumaptare, erit tamen commodissimum unica tantum uti specie, eaque quae cyphram ponit proLogarithmo unitatis.

13Omnium numerorum Logarithmos esse, vel eos numeros qui Indices appellantur, (...) velhisce usitatis Indicibus proportionales

14Logarithmum facti aequari Logarithmis facientium


del terzo, cioe del moltiplicando e del moltiplicatore. E siccome il logaritmo del-l’unita e zero, e evidente che il logaritmo del solo prodotto e uguale ai logaritmidei fattori.15 (AL Cap. II, in [1], p.2-6)

Alla dimostrazione verbale ora riportata fa seguito, come d’abitudine, unesempio numerico che convinca il lettore. Di seguito, Briggs enuncia l’esten-sione della regola al caso di prodotti formati da piu di due fattori. Ripetendol’argomento usato per il prodotto, Briggs dimostra l’analoga proprieta per ladivisione

Il logaritmo del dividendo e uguale al logaritmo del divisore piu quello del quo-to.16(AL Cap. II, in [1], p.2-7)

Per individuare un sistema di logaritmi in modo univoco occorre fissare ilvalore del logaritmo di un numero distinto dall’unita. E questo l’obiettivo delCapitolo III dove, per comodita, Briggs fissa come riferimento il numero 10cui attribuisce il valore 1,00000,00000,0000 (lo zero e ripetuto 14 volte) percontenere nell’intervallo [0, 1] un numero molto grande di medi proporzionali emantenere una grande precisione nei risultati.

Assegnato il valore al logaritmo dell’unita, il passo successivo e la ricerca di unaltro numero di uso molto frequente e sommamente necessario, ed attribuiamogliun logaritmo comodo che sia ad un tempo molto facile da descrivere ogni voltache serve e da tenere a mente. Nessun numero sembra piu indicato allo scopoche il dieci, il cui logaritmo sia 1,00000,00000,0000. I numeri principali sonocosı l’unita ed il dieci ed i loro logaritmi 0 e 1,00000,00000,0000. La sceltadi questi quattro numeri non e guidata da alcuna necessita ma dall’arbitrio;ne da essa ci si attende la certezza delle operazioni aritmetiche quanto la lorosemplicita. (...) I logaritmi rimanenti (per decidere i quali non e lecito adalcuno agire secondo arbitrio) vanno tutti adattati a questi primi affinche ci siaconsenso dall’inizio alla fine, obbediscano alle stesse leggi e siano coerenti conquesti ogni volta che l’utilizzo lo richiede.17 (AL Cap. III, in [1], p.3-5)

A questo punto, pertanto, non ci sono altri gradi di liberta da giocare edoccorre determinare i logaritmi dei numeri restanti di cui Briggs da un sag-

15Logarithmum facti aequari Logarithmis facientium. Cum enim ex multiplicationis lege,eadem semper sit ratio Unitatis ad Multiplicantem, quae est Multiplicati ad Factum, & ex ipsaLogarithmorum definitione constet, proportionalium Logarithmos esse aequidifferentes: patetper secundum Lemma, Logarithmos primi & quarti, id est unitatis & facti, aequari Logarithmissecundi & tertij, id est, multiplicantis et multiplicati. Et cum unitatis Logarithmus sit 0,manifestum est facti solius Logarithmum, aequari Logarithmis facientium.

16Logarithmum divisi aequari logarithmis divisoris & quoti.17Unitatis Logarithmo constituto, proximum est ut alium quaeramus numerum, cuius usus

est frequentissimus & maxime necessarius, eique tribuamus Logarithmum aliquem commod-um, qui facillime & describi quoties opus fuerit & memoria teneri poterit. Ex omnibus autemnumeris, nullis videtur Denario prestantior, aut huic negotio accommodatur, cuius Logarith-mus esto 1,00000,00000,0000. Sunto igitur numeri praecipui Unitatis et Denarius, eorumqueLogarithmi 0, & 1,00000,00000,0000. Primos autem hosce quatuor statuimus, non necessitatealiqua adducti, sed pro arbitrio; nec operationum Arithmeticarum certitudinem spectantes(....) sed facilitatem. Reliqui Logarithmi (cum in ijs costituendis non sit integrum quicquamagere pro arbitrio) sunt omnes hisce primis ita aptandi ut summo consensu a principio adfinem usque, ijsdem legibus obtemperent, eundemque quoties usus postulat effectum dent.


gio calcolando i logaritmi di potenze–intere e decimali– di 10 che sono numerirazionali, proponendo la seguente tabella

A B A C B1 0 1 1 010 100000 ``. 10 177827941 025000100 200000 `. 10 316227766 0500001000 300000 ``. 1000 562341325 07500010000 400000 10 10 100000

``. 100000 177827941 125000`. 1000 316227766 150000`` .1000000 562341325 175000100 100 200000

dove nelle colonne indicate con A compaiono numeri in progressione geometrica(nella prima colonna la ragione e 10, nella seconda e 4

√10), in quelle indicate

con B i rispettivi logaritmi espressi da numeri razionali18 ed nella colonna Ccompaiono gli allineamenti decimali di quelli espressi in colonna A. La tabellamostrata e interessante per due aspetti notazionali. Anzitutto, la notazione`. n per indicare la radice quadrata di un numero n. La ` sta per latus conallusione al fatto che se n e l’area di un quadrato, la sua radice quadrata nerappresenta appunto il lato. Il simbolo

√n comparira nell’edizione di Vlacq

ma era stato introdotto in precedenza da Rudolff ([1] §148). Similmente ``. nsignifica 4

√n. L’altro aspetto interessante e la notazione per la parte decimale

dei numeri di colonna B che e sottolineata: 177827941 equivale a 17,7827941.Vediamo dunque un esempio della difficolta che la notazione neperiana ebbe adimporsi. Infine, Briggs nota che i numeri che non stanno in una progressionegeometrica comprendente 1 e 10 debbono avere logaritmi irrazionali che possonoessere approssimati bene quanto si voglia da numeri razionali.

Tutti gli altri numeri che non appartengono a questa progressione geometrica(alla quale appartengono i due numeri dati, l’unita ed il dieci) hanno logaritmiirrazionali che non possono essere espressi accuratamente ne da numeri interine dalle loro parti che sono dette frazioni. Benche pero non conosciamo ac-curatamente tali numeri, potremo trovarne altri vicini a loro quanto vogliamo,se manteniamo per certo che tra i razionali e gli irrazionali non vi sia nulla.19

(AL Cap. III, in [1], p.3-5)Il Capitolo IV e molto breve e contiene la definizione di caratteristica, la

parte intera del logaritmo di un numero n, che si ottiene diminuendo di unaunita il numero di cifre (notae) della parte intera di n.

18Si ricordi che Briggs omette spesso il segno di separazione tra la parte intera e quelladecimale.

19Reliqui omnes numeri qui in huiusmodi aliquam continue proportionalium serium (inqua dati duo numeri Unitatis & Denarius siti sunt) cadere non possunt, habent Logarithmosirrationales, qui neque in numeris integri neque in partibus quas fractiones appellant accurateexprimi poterunt. Licet autem eos accuratos habere non possimus, poterimus tamen eosinvenire adeo veris propinquos, ut si usum spectemus inter rationales & irrationales nihilintersit.


Ma di tutti i logaritmi, i fondamentali sono quelli attribuiti all’unita ed al diecie subito dopo vanno considerati quelli associati i termini associati alla progres-sione geometrica di ragione dieci che contiene i primi due numeri, cioe il cento,il mille, ecc. i quali sono formati solo da zero a parte la prima cifra verso sin-istra, che potremo chiamare caratteristica che indica di quanti posti il numerointero avanza oltre al luogo delle unita. (...) La caratteristica di uno e tutti inumeri che hanno parte intera composta da una cifra e nulla. La caratteristicadi dieci e di tutti i numeri la cui parte intera e composta da due cifre e pari aduno; per i numeri da cento a mille e 2, da mille a diecimila e 3 e cosı via conla caratteristica che cresce sempre con il numero di cifre significative prima diquella delle unita.20 (AL Cap. IV, in [1], p.4-2)

3.3 Omaggio a Nepero

Con il Capitolo V entriamo nel vivo della costruzione delle tavole logaritmiche.Qui Briggs rende omaggio al grande amico Nepero presentando il metodo peril calcolo dei logaritmi decimali di piccoli numeri primi che questi usava e cheBriggs aveva gia esposto nell’Appendice della Constructio da lui curata. Sitratta di un capitolo a se stante, che non verra richiamato in seguito e che tes-timonia la maestria adoperata per raggiungere l’obiettivo. Anzitutto, Briggsespone per exempla cinque lemmi sulle proprieta degli esponenti di potenze conla stessa base. Il primo lemma riguarda la proprieta associativa degli esponenti.Presi due interi distinti m ed n > m ed un numero positivo a diverso da 1, laprogressione 1, a, a2, ...., am...an.... contiene le sottoprogressioni 1, am, a2m, .... e1, an, a2n, .... ed il termine n-esimo della prima coincide con il termine m-esimodella seconda.

Lemma primo. Se da una progressione geometrica A di termine iniziale pariall’unita si considerano due numeri qualsiasi C = 8 e D = 32 insieme ai loroindici 3 e 5; e se si formano altre due progressioni geometriche E ed F ancoradi termine iniziale pari all’unita e termine immediatamente successivo pari ainumeri suddetti C e D, proseguendo fino al termine di posto pari a 3 (l’indicedi C nella serie assegnata A) nella progressione F e similmente fino al terminedi ordine 5, pari all’indice di D, nella progressione E; i termini cosı ottenuti inE ed F sono uguali. (....)21

20Logarithmorum autem omnium praecipui sunt ij qui Vnitati tribuuntur & Denario, istisvero proximi ijs numeris debentur qui in decupla ratione continuantur, nempe Centenario,Millenario, &c., qui omnes cyphris tantum describuntur praeter primam notam versum sin-istram, quam Characteristicam appellare poterimus, quae nobis indicet quot notis numerusinteger progreditur ultra locum Vnitatis. (...) Vnitatis nempe & omnium integrorum quiunica nota scribi poterunt (...) Characteristica est cyphra. Denarij vero & reliquorum usquead Centenarium qui duabus notis sunt descripti Characteristica est 1, a Centenario vero adMillenarium 2 a Millenario ad decies mille 3, & sic deinceps, crescente semper Characteristicapro numero locorum ultra locum Vnitatis.

21Lemma Primum. Si e serie numerorum ab unitate continue proportionalium A, sumaturduo quolibet numeri C 8 & D 32, & eorum Indices 3 & 5; & instituantur duae aliae continueproportionalium series E & F , in quibus dicti numeri C & D proximo ab unitate loco ponantur,& continuentur utraque series donec 3 (Index numeri C in data serie A) respondeat continue

3.3. OMAGGIO A NEPERO 61

Q A B P E M F N0 1 0 0 1 0 1 0

2 1 8 1 32 14 2 64 2 1024 2

C 8 3 1 512 3 32768 316 4 4096 4

1 D 32 5 32768 564 6 2128 7256 8512 9 3

2 1024 102048 114096 12 48192 13

A: prima progressione geometrica assegnata22

B: indici della stessa serie23

E: seconda progressione geometrica.24

M: valori degli indici della medesima, coincidenti con quelli in P .25

F: terza progressione, i cui indici N sono uguali a quelli in Q.26 (AL Cap. V,in [1], p.5-12)

Il secondo lemma sostanzialmente dice che il numero di divisioni per a cuibisogna sottoporre un numero am per arrivare ad 1 e m.

Lemma secondo. Data una progressione geometrica di termine iniziale pari aduno, e si divida un suo termine per la ragione tutte le volte possibili: il numero didivisioni sara l’indice del dividendo e mostrera la distanza del numero assegnatodall’unita ovvero il numero di intervalli compresi tra l’unita ed il dividendo. Siadato ad esempio il numero 729 e sia tre la ragione della progressione di cuifa parte. La ragione 3 divide 729 successivamente sei volte ed i quoti saranno243.81.27.9.3.1. L’indice del numero dato sara 6.27 (AL Cap. V, in [1], p.5-12)

Il confronto di questo passo con l’originale in nota ci permette di osservareche la parola latus indica la ragione della progressione, mentre prima indicava laradice quadrata di un numero. Il successivo lemma e in realta un’applicazionedei due precedenti e viene cosı enunciato

facto in serie F; & eodem modo 5 Index numeri D respondeat continue facto in serie E; erunthi facti in utraque E & F aequales. (...)

22A: series prima continue proportionalium data.23B indices eiusdem seriei.24E series secunda continue proportionalium.25M Indices eiusdem, quibus aequantur P .26F series tertia, cuius indices N, ijsque aequales Q27Lemma secundum. Si numerus quilibet in serie numerorum ab Unitate continue propor-

tionalium, dividatur continue per suum latus quoties fieri poterit: divisionum numerus eritIndex divisi, ostendens dati numeri ab unitate distantiam, vel numerum intervallorum interUnitatem & divisum. Ut esto datus numerus 729, eiusque latus datum sit 3, hic latus con-tinue dividet datum numerum sexis, eruntque quoti 243.81.27.9.3.1. erit igitur 6. Index datinumeri.


Lemma terzo. Dati due numeri appartenenti alla stessa progressione geomet-rica e l’indice di uno di essi: trovare l’indice dell’altro, ovvero la sua distanzadall’unita.28 (AL Cap. V, in [1], p.5-12)

In altri termini, dati due numeri N ed M = am appartenenti alla medesimaprogressione geometrica di ragione a, trovare l’esponente x tale che N = ax.Briggs considera il numero N e lo moltiplica per se stesso m volte, ottenendoamx = (am)x che viene poi diviso successivamente per am fino ad arrivare ad 1:grazie al lemma secondo, il numero di divisioni necessarie e proprio x. A questopunto, Briggs enuncia la proprieta am · an = am+n come modo per trovaretermini arbitrari di una progressione geometrica senza elencarli tutti.

Se si moltiplicano tra loro due termini appartenenti ad una progressione ge-ometrica di termine iniziale pari all’unita, il prodotto apparterra alla stessaprogressione ed avra indice pari alla somma degli indici dei termini dati.29 (ALCap. V, in [1], p.5-13)

Di contenuto differente e il quinto ed ultimo lemma che si pone il problema ditrovare il numero di cifre di cui e composto il prodotto di due numeri assegnati,senza effettuare il calcolo. Briggs afferma che tale numero e la somma dellecifre che compongono i fattori o, al piu, questo numero meno 1 circostanzaquesta che puo presentarsi quando il prodotto delle due cifre piu a sinistra e unnumero ad una cifra.

Il numero delle cifre che compongono il prodotto di due numeri e pari alla sommadelle cifre di entrambi i fattori. E possibile che cio non sia vero quando ilprodotto delle prime cifre verso sinistra dei due fattori sia composto da unacifra soltanto. Quando cio succede, il numero delle cifre del prodotto e inferioredi un’unita alla somma delle cifre dei fattori. Cosı se 68 viene moltiplicatoper 26 il prodotto 1768 e composto da quattro cifre, cioe tante quante sonocomplessivamente nei fattori. Se pero 14 moltiplica 68, il prodotto 952 e formatoda tre cifre benche il numero totale di cifre dei fattori sia quattro come nel casoprecedente.30 (AL Cap. V, in [1], p.5-13)

Terminata questa fase di “riscaldamento” Briggs espone il primo metodoper trovare il logaritmo di un numero qualsivoglia. In concreto, egli trova bl (2).L’idea del metodo e la seguente. Il logaritmo di 2 e l’indice che compete a 2in una progressione geometrica costruita a partire dall’unita e che contiene 10con indice (esponente) pari a 1014: in altre parole, vengono inseriti tra 1 e 101014 − 1 medi proporzionali. Per applicare il lemma terzo, si costruisce unaprogressione ausiliaria di ragione 2 (il numero il cui indice occorre determinare)

28Lemma Tertium. Datis duobus numeris in eadem continue proportionalium serie positis,una cum Indice alterius datorum: reliqui Indicem vel distantiam ab unitatem invenire

29In serie numerorum ab unitate continue proportionalium, si numerus quilibet alterummultiplicet, factus in eadem serie continuata erit: eiusque Index erit aggregatum Indicumdatorum.

30Quot sunt notae in utroque factore, totidem erunt in facto. Nisi forte factus a primisnotis versus sinistram in utroque factore, unica nota exprimi poterit. Hoc quoties contigerit,numerus notarum in facto, unitate superatur a numeris notarum in factoribus. Ut si 68 mul-tiplicentur per 26, factus 1768 notis scribitur quatuor: totidem scilicet quot insunt factoribus.At si 14 multiplicent 68, factus 952 tribus scribitur notis, licet in his factoribus, non minusquam in illis, sint quatuor notae.

3.3. OMAGGIO A NEPERO 63

fino al termine 21014

(l’indice di 10 nella progressione di partenza). L’impresaappare disperata, ma Briggs, servendosi del quarto lemma, osserva che non enecessario determinare l’intera serie, bensı solo alcuni termini che comprendano i

numeri della forma 210k

. Egli determina pertanto le potenze di 2 corrispondentiagli indici 2, 4, 8, 10 giungendo a 1024 = 210 e formando la prima tetrade.A questo punto egli procede per tetradi calcolando 220, 240 = (220

2

), 280 =

(2203

) e 2100 = (2203 · 220) e cosı via sino ad ottenere 210

14

. Anche con questasemplificazione che riduce a 57 il numero di potenze da calcolare, il traguardosembra ancora molto lontano. Briggs osserva che in effetti non serve conosceretutte le cifre di tutti gli elementi delle tetradi ma occorre conoscerne abbastanzaper essere certi del numero di cifre di cui 210

14

e composto, cioe per saperese vale o meno nell’eccezione enunciata al lemma quinto. Che cosa indica ilnumero di cifre di cui e composto 210

14

? Non e altro che 1 piu il numero didivisioni per 10 che occorre effettuare per ottenere un numero compreso tra 1e 10. Poiche 2 e primo, il suo logaritmo e irrazionale ed infatti, nel processo didivisione successiva per 10 non si arriva ad 1, ma ad un numero compreso tra 1e 10. Dunque, anteponendo la caratteristica 0 e a meno di un errore sull’ultimacifra decimale, Briggs ha determinato l’indice del numero 2 nella progressioneoriginaria, cioe bl (2). Seguiamo il procedimento di Briggs nell’originale

Testo 3.1 (Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. V.) in [1], pp.5-13,5-14.Originale 3.9 Supponiamo che tutti i numeri possibili siano inseriti in un’unicaprogressione geometrica e che gli indici loro associati siano proprio gli stessilogaritmi che noi cerchiamo e da questa progressione infinita si prendano duenumeri il primo dei quali sia il dieci, con indice pari a 1,00000,00000,0000:il secondo sia il due (o un altro numero a piacere) di cui l’indice e incognitoe deve essere determinato. Oltre a questa prima progressione che chiamiamoserie infinita, da cui abbiamo estratto questi due numeri, per il terzo lemma oc-corre formare una seconda serie per moltiplicazione del due con se stesso e coni prodotti via via ottenuti. Questa serie deve essere continuata finche l’indicedell’ultimo fattore coincide con l’indice del dieci nella prima serie infinita. Perevitare pero la noia veramente insuperabile di un numero cosı grande di moltipli-cazioni, omessa, grazie alle proprieta delle progressioni geometriche, la maggiorparte dei numeri intermedi, per il Lemma quarto di questo capitolo, ricerchi-amo i fattori principali ed i loro indici, finche si trovi l’ultimo termine cercatoed il suo indice. Non sara poi necessario scriverlo interamente, ma occorre scri-vere soltanto un numero sufficiente delle sue cifre contate a partire da sinistra,troncando ed omettendo le altre: in modo che per il Lemma quinto sia noto ilnumero complessivo delle cifre che compongono il prodotto, se volessimo scriver-lo per intero. Moltiplicando il due per se stesso si ottiene quattro, con indice2. Il quattro, moltiplicato per se stesso da 16, con indice 4. Il 16 moltiplicatoancora per se stesso da 256, con indice 8, che, moltiplicato per 4 da 1024, ilcui indice 10 coincide con la somma degli indici dei fattori. Le cifre che com-pongono quest’ultimo prodotto sono 4 come si puo ottenere per semplicissimaapplicazione dei lemmi quarto e quinto appena esposti. Come si vede anche diseguito:


1 02 14 2 1

16 4 2 prima Tetrade256 8 3

1024 10 410,48576 20 7

109,95116,27776 40 13 seconda Tetrade12089,25819,61463 80 2512676,50600,22823 100 3116069,38044,25899 200 6125822,49878,08685 400 121 terza Tetrade66680,14432,87940 800 24110715,08607,18618 1000 30211481,30695,27407 2000 60313182,04093,43051 4000 1205 quarta Tetrade17376,62031,93695 8000 240919950,63116,87912 10000 3011

Indici Numero di cifre

Questi quattro numeri 4.16.256.1024. formano la prima Tetrade. Occorre oraformare un’altra tetrade il cui primo numero sia il risultato della moltiplicazionedell’ultimo numero della tetrade precedente per se stesso. Il secondo termine eancora il quadrato del primo ed il terzo il quadrato del secondo; il quarto ele-mento invece si ottiene moltiplicando tra loro il primo ed il terzo elemento dellatetrade. Ed i quattro indici di questi numeri sono 20.40.80.100. Nel primo ter-mine della tetrade vi sono sette cifre, nel secondo 13, nel terzo 25, nel quarto31. Procedo in questo modo con le altre tetradi fino a quando il quarto elementodi una tetrade non abbia indice 1,00000,00000,0000. Il numero delle cifre diquesto quarto elemento sara 30102,99956,6399. E cosı abbiamo circa cinquan-tasette numeri principali da disporre nella seconda serie. Il primo di questi, chee la radice e la ragione degli altri, e il due. L’ultimo ha invece lo stesso indiceche avevamo assegnato nella prima serie infinita al numero dieci.

Per il Lemma secondo potrebbe essere descritta una terza serie se solo conosces-simo l’ultimo termine della seconda serie che infatti coincide con l’ultimo ter-mine di questa terza serie, per il Lemma primo. Tuttavia e noto il numerodi cifre di quest’ultimo elemento di entrambe le serie che supera di un’unitasoltanto l’indice di questo termine nella terza serie e del due nella prima se-rie infinita. Infatti, per trovare questo indice nella terza serie occorre divideresuccessivamente l’ultimo temine per il numero assegnato dieci, di cui era anchenoto l’indice. Se il dieci divide un numero qualsiasi, il quoto sara la decimaparte del dividendo e coincide con questo, dopo che ne sia stata eliminata unacifra (come 4357 diviso per 10 da 435 come quoto) e quindi il numero di quotio di divisioni sara inferiore di uno soltanto al numero di cifre che compongonoil dividendo ed il numero di quoti mostra anche la distanza del dividendo dal-l’unita ovvero l’indice del dividendo in questa terza serie, che poi coincide con

3.4. L’ALGORITMO DELLA RADICE QUADRATA 65

l’indice che occorre attribuire nella prima serie infinita al termine che e la ra-gione della seconda, cioe il due. Abbiamo dunque ottenuto il logaritmo del dueche cercavamo, cioe 30102,99956,6398.

3.4 L’algoritmo della radice quadrata

I capitoli VI e VII presentano un metodo alternativo per trovare i logaritmidi numeri del tipo 10

12n —cioe dei numeri ottenuti per iterata estrazione della

radice quadrata a partire da 10 (Capitolo VI)—e dei numeri primi elementari(Capitolo VII). L’algoritmo qui presentato, come pure le tecniche numeriche piusofisticate introdotte nei capitoli successivi, sono contributi piu interessanti diBriggs.

Il capitolo VI si apre con la definizione di medio omogeneo tra due numeri.Precisamente,

Ricerchiamo dunque, tra gli elementi di una progressione geometrica che com-prenda molti termini tra l’unita ed il dieci, alcuni elementi principali che potremochiamare medi continui, dal momento che ciascuno di loro e medio omogeneotra il numero che lo segue nella progressione e l’unita.31 (AL Cap. V, in [1],p.6-11)

Cosı partendo da 2, si costruisce la successione 1,2,4,16,256,... in cui og-ni termine e medio proporzionale (medius homogeneus) tra l’unita ed il numerosuccessivo. Detto questo, Briggs calcola le radici quadrate successive di 10, cioetrova i numeri della forma 10

12n fermandosi ad n = 54. Come gia sottolineato

nella sezione precedente, tutti questi numeri hanno logaritmi razionali, cias-cuno dei quali si ottiene per bisezione da quello precedente. E impressionanteil numero di cifre decimali, 32, con cui le radici quadrate vengono calcolate,soprattutto se si tiene conto della noiosita del metodo di completamento deiquadrati seguito da Briggs. Al crescere di n, Briggs osserva non solo che inumeri 10

12n tendono ad 1 —cosa gia nota a Nepero— ma che, quando dopo

l’unita vi sono circa 15 zero, le rimanenti cifre di due numeri successivi hannorapporto molto vicino ad 1/2. Formalmente, se

1012n = 1 +An e 10

1

2n+1 = 1 +An+1

alloraAn+1

An' 1

2.

D’altra parte, se si pone

`n = bl (101

2n ) e `n+1 = bl (101

2n+1 )

per costruzione si ha anche`n+1

`n=

1

2

31Quaerantur idcirco e satis magna continue proportionalium serie, inter Unitatem & Denar-ium, aliquot praecipui, quos appellare poterimus continue Medios; quia eorum quilibet estmedius homogeneus inter unitatem & numerum in eadem serie ab unitate proxime remotiorem.


e si puo concludere che, per n sufficientemente grande (n ≥ 51), vale con ottimaapprossimazione la proporzione

An+1

An=`n+1

`n.

Briggs estende questa proprieta a numeri non della forma 1012n purche cadano

nella regione dove la proporzione e valida, vale a dire purche siano piu piccoli

di 101

251 . Seguiamo ora l’originale di Briggs partendo col riprodurre la tabelladove sono riportate alcune delle radici quadrate calcolate

Testo 3.2 (Briggs, Arithmetica Logarithmica.) Cap. VI, in [1], pp.6-11,6-12.Originale 3.10

D E

Medi continui tra dieci e l’unita Logaritmi Razionali10 1,000

1 31622,77660,16837,93319,98893,54 0,50

2 17782,79410,03892,28011,97304,13 0,25

3 13335,21432,16332,40256,65389,308 0,125

4 11547,81984,68945,81796,61918,213 0,0625

5 10746,07828,32131,74972,13817,6538 0,03125

6 10366,32928,43769,79972,90627,3131 0,015625

7 10181,51721,71818,18414,73723,8144 0,00781,25

- —————- —————

- —————- —————

- —————- —————

50 10000,00000,00000,204510638912051946 0,00000,00000,00000,88817,84197,00125,23233,89053

51 10000,00000,00000,102255319456025921 L 0,00000,00000,00000,44408,92098,50062,61616,94526

52 10000,00000,00000,051127659728012947 M 0,00000,00000,00000,22204,46049,25031,30808,47263

53 10000,00000,00000,025563829864006470 N 0,00000,00000,00000,11102,23024,62515,65404,23631

54 10000,00000,00000,012781914932003235 P 0,00000,00000,00000,05551,11512,31257,82702,11815

Si cerchino dunque cosı i medi continui tra il dieci e l’unita, il primo dei qualisara32 ` .10, cioe 316227766016837933199889354, vale a dire la radice quadratadi dieci od il medio proporzionale tra 10 & 1. Cerco quindi la radice quadrata del-la radice quadrata appena trovata, cioe ``. .10: 177827941003892280119730413,in terzo luogo mi spingo a considerare la radice quadrata di questa radice,```. .10: 133352143216332402566538931, e procedo allo stesso modo finche laserie dei medi continui, comprendendo il dieci, contenga cinquantacinque nu-meri diversi che puoi vedere indicati con la lettera D, insieme ai loro logaritmiche sono indicati con la lettera E.Il piu piccolo dei numeri che sono medi continui e10000, 00000, 00000, 01278, 19149, 32003, 23441, 65, il cui logaritmo si ottiene perbisezione grazie all’assioma 2 Cap. 2 e vale

0, 00000, 00000, 00000, 05551, 11512, 31257, 82702, 11815, 83. Dall’assioma 2del Cap. 2 e evidente che il logaritmo della radice di un numero e la meta

32Si ricordi che ` .n ≡ √n


del logaritmo che e assegnato al quadrato del numero di partenza, in quantodalla moltiplicazione di una radice quadrata per se stessa si ottiene il numeroal quadrato. E dunque ciascuno di questi logaritmi e il doppio di quello deltermine immediatamente successivo. Quando le cifre significative che vengonoaggiunte all’unita sono precedute da quindici zero, sono la meta delle cifre delnumero precedente; e cio si verifica sia per i medi continui che per i logaritmi:questi logaritmi decrescono sempre nella stessa proporzione dei numeri ai qualicorrispondono. E quindi, se questi numeri diminuiscono fino al punto in cuiquindici zero si trovano dopo l’unita, le restanti cifre significative aggiunte dopogli zero mostreranno i logaritmi veri o una loro ottima approssimazione graziealla regola aurea di proporzionalita che, affinche tutto sia piu chiaro, assegna inumeri in proporzione continua insieme ai loro logaritmi tra quelli che cadononella zona compresa tra i numeri LMN & P: conservato quel rapporto tra inumeri piu vicini che c’e tra l’unita e P, il piu piccolo dei medi continui, checrescono quasi allo stesso modo dei loro logaritmi secondo il rapporto delle lorodistanze, in forza della definizione. Quindi, se capita di considerare un numerotanto piccolo da essere compreso nella regione tra l’unita ed L, il suo logaritmo sitrovera facilmente grazie ad una proporzione, anche se esso non appartiene allaserie di medi proporzionali. Poiche i logaritmi di numeri cosı piccoli crescono odecrescono con un rapporto pari a quello delle cifre significative che sono situatesubito dopo gli zero. Sia dato ad esempio il numero X 10000,00000,00000,01.Dico che questi quattro numeri sono proporzionali

12781, 91493, 20032, 34416, 5 Cifre significative dopo quindici zero1−−−−−−−− −−−− da aggiungere all’unita

55511, 15123, 12578, 27021, 18158 Cifre significative dopo la caratteristica (che e zero)43429, 44819, 03251, 804 ed altri sedici zero da scrivere nei logaritmi.

Numeri in progressione geometrica maggiori dell’unita Logaritmi

1 Unita 0,00000

P 10000,00000,00000,01278,19149,32003,23442 0,00000,00000,00000,05551,11512,31257,82702,12

N 10000,00000,00000,02556,38298,64006,47047 0,00000,00000,00000,11102,23024,62515,65404,24

10000,00000,00000,03834,57447,96009,70815 0,00000,00000,00000,16653,34536,93773,48106,35

M 10000,00000,00000,05112,76597,28012,94747 0,00000,00000,00000,22204,46049,25031,30808,47

1,0000,00000,00000,06390,95746,60016,18842 0,00000,00000,00000,27755,57561,56289,13510,59

1,0000,00000,00000,07669,14895,92019,43101 0,00000,00000,00000,33306,69703,87546,96212,71

1,0000,00000,00000,08947,34045,24022,67523 0,00000,00000,00000,38857,80586,18804,78914,83

L 10000,00000,00000,10225,53194,56025,92108 0,00000,00000,00000,44408,92098,50062,61616,95

X 10000,00000,00000,01 0,00000,00000,00000,04342,94481,90325,1804

Cosı il logaritmo del numero assegnato X e 0,00000,00000,00000,04342,94481,90325,1804.La prima cifra di questi numeri proporzionali e l’unita, tutte le altre cifre, siazero che significative, ci esprimono il numeratore delle parti da aggiungere all’u-nita, il denominatore delle quali e la stessa unita, e degli zero uguali in numeroa quelle cifre note. Il numero X non e annoverato tra questi numeri proporzion-ali: tuttavia credo di aver trovato in modo piuttosto preciso il suo logaritmo;poiche i logaritmi che vanno cercati con la regola delle proporzioni si trovano in


modo piu semplice che usando qualsiasi altro metodo. Mentre gli altri logaritmidi questi numeri proporzionali non possono essere trovati se non con il ricorsoa moltiplicazione e divisione, qui e stata sufficiente la sola moltiplicazione perraggiungere lo scopo.

Notiamo che Briggs legge i rapporti nella forma denominatore/numeratoree che la tabella riportata qui sopra e un arricchimento della precedente in quan-to sono stati aggiunti numeri che cadono tra P ed L ma che non fanno partedella progressione precedente, bensı di una nuova progressione di ragione P .Poiche cadono nella regione in cui vale la regola di proporzionalita per il calcolodei logaritmi, e possibile calcolare questi ultimi solo con divisioni e moltipli-cazioni. Astutamente Briggs prende il numero X che ha solo l’unita dopo 16zeri consecutivi, cosicche nel calcolo del logaritmo e risparmiato il ricorso alladivisione. Bruce [1] fa notare come Briggs sia incappato in un errore—cheper fortuna non danneggia la precisione delle tavole—nel calcolo di 4

√10 e che le

circa 30 cifre con cui Briggs calcolo le radici quadrate (a mano, val la pena disottolineare) sono molte piu del necessario, anche per mantenere una precisionedi 14 o 15 cifre per i logaritmi. Si resta comunque ammirati dalla costanza concui Briggs ha affrontato un lavoro che agli inizi doveva apparire un’impresadisperata.

L’algoritmo di calcolo dei logaritmi attraverso estrazioni di radici quadratediventa efficace per il calcolo dei logaritmi dei numeri primi che Briggs affrontanel Capitolo VII, concentrandosi su bl (2). La strategia e la seguente: attraversoestrazioni quadrate successive di 2, arrivare nella regione della tabella ausiliariacostruita in precedenza in cui si puo far uso della regola di proporzionalita.Per questo egli usa una piccola astuzia, cosı da risparmiare alcune estrazioni diradice. Invece di partire da 2 egli dapprima cerca una potenza di due che abbia1 per prima cifra, seguita da quanti piu zero possibili. In questo caso la sceltacade su

a = 1, 024 =210

103

che e gia sufficientemente vicina all’unita. A partire da a, dopo 47 estrazionidi radice si arriva al numero b = 247

√a che giace nella zona L-P della tabella

ricavata al Capitolo VI e di cui si conosce il logaritmo dopo una proporzione.Determinato bl (b), per definizione di logaritmo si ha

bl (a) = 247bl (b)

e da qui si deduce, con le regole elementari ricavate al Capitolo III, l’espressionedi bl (2).

Testo 3.3 (Briggs, Arithmetica Logarithmica) Cap. VII, in [1], pp.7-8,7-9.Originale 3.11 Tra il numero dato (di cui si chiede il logaritmo) e l’unita siinseriscano tanti medi proporzionali (come nel capitolo precedente) fino al puntoin cui si trova un numero cosı piccolo che l’unita precede quindici zero a cuifanno seguito una o piu cifre significative. Quindi (come abbiamo mostrato alla


fine del capitolo precedente) queste cifre significative ci daranno il logaritmocercato dell’ultimo medio proporzionale trovato, grazie alla regola aurea.

Ora, nella prima serie di medi proporzionali abbiamo ottenuto il logaritmodell’ultimo dei medi proporzionali per bisezione successiva operata a partire dallogaritmo noto del primo numero: qui, al contrario, moltiplicando per due illogaritmo dell’ultimo dei medi proporzionali, otterremo quello del penultimo eallo stesso modo quello di tutti gli altri fino ad arrivare al logaritmo richiestodel primo numero assegnato. (...)

Anche questo metodo e piuttosto noioso e ci siamo sforzati di ridurne lanoiosita almeno in qualche parte. Infatti, abbiamo appreso in precedenza che,assegnati i logaritmi di due elementi qualsiasi di una serie di medi proporzionali,e possibile trovare il logaritmo di un altro elemento qualsivoglia, la cui posizionenella serie sia nota: per il Lemma I, cap. 1 il logaritmo del dividendo e uguale al-la somma del logaritmo del divisore e del quoto; per l’assioma 3, cap. 3 potremorimpiazzare il numero dato con un altro un po’ piu comodo, trovato il logaritmodel quale, quello del numero dato si otterra nella maniera che ora illustriamo.Si moltiplichi il numero assegnato per se stesso e per i prodotti cosı ottenutifinche non si trovi un numero A che abbia la prima cifra pari all’unita, seguitada uno o piu zero. Si divida questo numero per un altro formato dall’unita e datanti zero quante erano le cifre oltre all’unita del dividendo: e a questo puntosi inseriscano medi proporzionali tra questo quoto e l’unita, fino a raggiungerequei termini che abbiamo prima assegnato vicino alla lettera L. Questi mediproporzionali poi sono in numero minore e piu facili da trovare di quelli che sisarebbero dovuti trovare tra 2 e l’unita. Illustriamo tutto cio con un esempio.Si debba trovare il logaritmo di due: a partire dal due si formi la progressionegeometrica di ragione due fino ad ottenere 1024 (A) che, diviso per 1000 (B)dara come quoto 1024, il cui logaritmo, una volta trovato, sommato a quello deldivisore dara il logaritmo del dividendo A, 1024 per l’assioma 3, cap. 3. Ladecima parte di questo logaritmo sara il logaritmo richiesto del numero due, peril Lemma 1, cap. 1.

Si determini quindi la radice quadrata del quoto appena trovato e le radiciquadrate successive fino a giungere alla quarantasettesima che e33

1, 00000, 00000, 00000, 016851605705394977

il cui logaritmo si puo ottenere grazie alla regola aurea in quanto esso giaceentro i limiti della regione indicata con L; tale logaritmo vale

0, 00000, 00000, 00000, 07318, 55936, 90623, 9336.

Abbiamo ora un certo numero, 47, di medi proporzionali compresi tra l’u-nita e 1024, il piu piccolo dei quali e piu vicino all’unita sia il primo. Il suologaritmo si trova nel modo illustrato alla fine del Capitolo sesto. Moltiplicatolosuccessivamente per due si ottiene il logaritmo del quoto 1024. Dal logaritmo ot-tenuto occorre cercare quello di un numero piu lontano, saltando alcuni termini

33A questo punto segue una tabella con alcune delle 47 radici quadrate di 1,024.


intermedi; si consideri la serie di numeri in progressione geometrica di termineiniziale pari all’unita e ragione due insieme agli indici comuni che sono ugualial numero di intervalli compresi tra il logaritmo dato e quello richiesto; moltipli-cando questo numero per il logaritmo dato, si ottiene quello cercato. Cosı se sicerca il logaritmo del numero piu vicino all’unita si moltiplichi per due (poichevi e un solo intervallo); se si cerca quello del secondo, si moltiplichi per quattro;se quello del decimo, si moltiplichi per 1024, che ha indice 10: se si cerca ilquarantasettesimo, il fattore moltiplicativo sara 140737488355328.

Similmente, Briggs calcola bl (6) ricorrendo al numero ausiliario 10077696= 69/107.

Quella presentata ora e la prima decisa ed originale semplificazione al metododi Nepero da Briggs, ma poggia ancora su uno strumento di calcolo assai te-dioso e soggetto a frequenti errori. Vedremo tra poco come l’ingegno di Briggssi adoperi a semplificare l’algoritmo della radice quadrata.

3.5 Schemi alle differenze finite

Con il capitolo VIII dell’Arithmetica Logarithmica che ci apprestiamo ad esam-inare, Briggs prende di petto la semplificazione dell’algoritmo basato sull’es-trazione di un gran numero di radici quadrate, con un’elevata precisione. Loschema iterativo qui presentato da Briggs si basa sul concetto di differenze(differentiae) di ordine successivo tra due quantita. Nel corso del calcolo dellasuccessione di radici quadrate di numeri rn prossimi ad 1 intrapreso nei duecapitoli precedenti, Briggs si rende conto (§IV di [5]) che, posto rn = 1 + An,la quantita

Bn :=1

2An−1 −An

risulta molto piccola. Non solo, ma procedendo in modo iterativo, egli osservoche

Cn :=1

4Bn−1 −Bn

e ancora piu piccola e cosı via, induttivamente, che

∆kn :=

1

2k∆k−1

n−1 −∆kn

diminuisce sempre piu fino ad essere trascurabile rispetto alla precisione fissataper il calcolo dei logaritmi: Briggs ha intuito che limk→∞ ∆k

n = 0, anche senzanotarlo in questi termini. Nel linguaggio di Briggs, gli An sono le differen-ze prime (differentiae primae) mentre le ∆k+1

n sono dette differenze di ordinek + 1 (differentiae secundae, tertiae, etc.). Ecco come egli esprime tutto cio,considerando la successione di radice quadrate impiegate nel calcolo di bl (6).Ed in questo modo potremo trovare il logaritmo di un numero scelto a piaceregrazie all’inserzione di medi proporzionali che ci sono forniti in modo piuttostofaticoso tramite il calcolo di radici quadrate successive. Mostrero ora come sia

3.5. SCHEMI ALLE DIFFERENZE FINITE 71

pero possibile ridurre la noiosita di una cosı grande fatica ricorrendo alle dif-ferenze, servendomi per questo degli stessi medi proporzionali che avevo indicatocon la lettera A e grazie ai quali abbiamo trovato il logaritmo di sei. La pri-ma cifra verso sinistra di questi numeri e l’unita; le altre esprimono le partida aggiungere all’unita: come abbiamo ricordato sopra, alla fine del Capitolosesto. Chiamo differenza prima queste parti aggiunte all’unita: differenza, siintende, tra il numero assegnato e l’unita. I numeri collocati subito dopo A,sono le meta delle differenze prime dei termini immediatamente precedenti: essisono indicati come 1

2A. Da queste meta bisogna sottrarre le differenze primesoprascritte, ed i risultati di queste operazioni vengono scritti sotto, indicati conla lettera B e sono detti differenze seconde. I numeri che sono collocati sotto Bsono le quarte parti delle differenze seconde immediatamente precedenti e sonoindicate con 1

4B. Se da questi vengono tolti i numeri B si ottengono le dif-ferenze terze C che, sottratte dalle parti ottave delle differenze terze precedentiindicate con C danno le differenze quarte D. Allo stesso modo si determinanole differenze quinte E, le seste F, le settime G, ecc.: le differenze quinte E siottengono togliendo le differenze quarte D dalle parti sedicesime delle differenzequarte precedenti: e le differenze quinte E dalle parti trentaduesime delle dif-ferenze quinte precedenti: e le differenze seste F dalle parti sessantaquattresimedelle differenze seste precedenti, etc.

Tutte queste differenze si ottengono molto facilmente dalla serie dei mediproporzionali, pero il loro utilizzo non porta molto lontano per quei numeri lacui differenza prima valga la centesima o la millesima parte dell’unita. Sonoinfatti troppo numerose ed alcune di loro sono troppo faticose da ottenere. Tut-tavia, quando la cifra delle unita, collocata dapprima al primo posto e seguitada tre o piu zero, queste differenze potranno ridurre una grande parte del lavoroassegnato.34(Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. VIII. In [1], pp.8-7)

E interessante come Briggs segnali l’inefficacia del metodo quando le dif-

34Atque ad hunc modum, cuiuscunque numeri propositi Logarithmum, per continue Mediosinvenire poterimus, quos nobis lateris quadrati inventio suppediat satis laboriose. Huius autemtanti laboris molestia minuetur plurimum per differentias, modum in his ipsis Medijs osten-dam, quos A litera notavi & quorum ope Senarii Logarithmum invenimus. Horum numerorumprima nota versum sinistram, designat Unitatem; reliquae exprimunt partes Unitati adijcien-das: ut supra ad finem sexti Capitis monuimus. Has partes Unitati adjectas, appello Dif-ferentiam primam: Differentiam scilicet dati numeri supra unitatem. Proximi numeri infraA positi, sunt semisses Differentiarum primarum proxime praecedentium: & notatur 1

2A.

Ex istis semissibus auferendae sunt Differentiae primae superscriptae, scribanturque numerireliqui inferius, qui notari litera B, appellantur Differentiae Secundae. Numeri autem infraB positi sunt quadrantes differentiarum secundarum proxime precedentium: & notantur 1

4B.

E quibus numeri B ablati reliquunt Differentias tertias C & hae tertiae ablatae ex octavisprecedentium tertiarum notatis C reliquunt Differentias quartas D. Eodem modo inveniunturquintae Differentiae E, sextae F, septimae G, &c. ablatis quartis D e decimis sextis quartarumpraecedentium: quintis E, e tricesimis secundis quintarum: & sextis F, e sexagesimis quartissextarum, &c.

Hae omnes differentiae habentur facillime e continuata serie numerorum continue Medio-rum, earum autem usus non multum conducit, in numeris quorum Differentia prima, valetcentesimam aut millesimam partem Unitatis. Sunt enim & nimis multae & earum aliquaenimis operosae. Verum cum Unitatis notam primo loco positam, tres vel plures cyphraeproxime sequantur, poterunt hae Differentiae magnam suscepti laboris partem minuere.


ferenze prime non sono sufficientemente piccole. Occorre ora un procedimentoche permetta di calcolare le differenze senza dover prima conoscere tutte leradici quadrate successive. Per raggiungere lo scopo Briggs opera, a tuttigli effetti, un troncamento di uno sviluppo in serie. Egli parte da un numerorn = 1 + An = 1 + α, con α sufficientemente piccolo. Allora rn−1 = (1 + α)2,rn−2 = (1 + α)4, e cosı via. La differenza prima al livello n e

An = α ,

mentre la differenza seconda e

Bn =1

2An−1 −An =

1

2[(1 + α)2 − 1]− α =

1

2α2 =

1

2(2) ,

dove nell’ultimo passaggio si e adoperata la stessa notazione circolare introdottada Rafael Bombelli (1526 ca.-1573) ed impiegata da Briggs. La differenzaterza e

Cn =1

4Bn−1−Bn =

1

412[(1+α)4−1−[(1+α)2−1]]−1

2α2 =

1

2α3+

1

8α4 =

1

2(3)+

1

8(4)

e cosı via, la differenza quarta al livello n e data da

Dn = 18Cn−1 − Cn = 1

8 [14Bn−2 −Bn−1]− [ 14Bn−1 −Bn] =

= 132 [

12An−3 −An−2]− 1

8 [12An−2 −An−1]− [ 12α

3 + 18α

4] =132 [

12 [(1 + α)8 − 1− [(1 + α)4 − 1]]− 1

8 [12 [(1 + α)4 − 1]− [(1 + α)2]− 1]− [ 12α

3 + 18α

4] == 7

8α4 + 7

8α5 + 7

16α6 + 1

8α7 + 1

64α8 = 7

8 (4) +78 (5) +

716 (6) +

18 (7) +

164 (8) .

In questo modo Briggs ottiene le differenze fino al decimo ordine in terminidi α e delle sue potenze con esponente fino a 10. Esiste uno stretto legame trail procedimento seguito da Briggs per il calcolo delle differenze e lo sviluppoin serie di

√1 + α che sara ottenuto da Newton oltre 40 anni dopo [6]. Infatti

Briggs sviluppa le differenze di ordine superiore in termini della differenzaprima, per cui

√1 + α = 1 +An+1 = 1 + 1

2An −Bn+1 = 1 + 12An − 1

4Bn + Cn+1 + ....= 1 + 1

2An − 14Bn + 1

8Cn − 116Dn + 1

32En − 164Fn + .... =

= 1 + 12α− 1

8α2 + 1

8 (12α

3 + 18α

4)− 116 (

78α

4 + 78α

5 + 716α

6 + 18α

7 + 164α

8)++ 1

32 (218 α

5 + 7α6 + 17516 α

7 + 218 α

8 + ...)= 1 + 1

2α− 18α

2 + 116α

3 − 5128α

4 + 7256α

5 + ...

che rappresenta proprio i primi termini dello sviluppo in serie di√1 + α.

Sara possibile trovare queste differenze per un numero assegnato a piacere, anchequando non siano noti i medi proporzionali. Infatti, se si moltiplica la differenzadi un dato numero dall’unita per se stessa e per i suoi prodotti un certo numerodi volte, in modo da ottenere alcune delle potenze di queste differenze, cioe


il quadrato, il cubo, il biquadrato, ecc., la differenza seconda sara la meta delquadrato e le altre si otterranno secondo quanto vedi qui di seguito.35

Secunda 12 (2)

Tertia 12 (3) + 1

8 (4)

Quarta 78 (4) + 7

8 (5) + 716 (6) + 1

8 (7) + 164 (8)

Quinta 2 58 (5) + 7 (6) + 10 15

16 (7) + 12 69128 (8) + 11 11

64 (9) + 1953 285512 (10)

Sexta 13 916 (6) + 81 3

8 (7) + 296 87128 (8) + 834 43

128 (9) + 1953 285512 (10)

Septima 122 116 (7) + 1510 67

128 (8) + 11475 72128 (9) + 68372 29

2048 (10)

Octava 1937 95128 (8) + 47151 93

128 (9) + 706845 14938192 (10)

Nona 54902 89128 (9) + 2558465 23587

32768 (10)

Decima 2805527 (10)

(AL Cap. VIII, in [1], p.8-8)Seguiamo l’argomento presentato da Bruce [1] e da Goldstine [7] per

capire come Briggs si servı di questo schema per evitare il ricorso ad un numerotroppo grande di estrazioni di radici quadrate. Supponiamo che siano staticalcolati i termini da 1 +An ad 1 +An+5 con le estrazioni di radice quadrata edi volere usare le differenze finite per trovare il termine 1+An+6 =

√

1 +An+5.Costruiamo le differenze secondo questo schema, basato sull’esempio di Briggsche esamineremo tra poco.

Diff. 2a Diff. 3a Diff. 4a Diff. 5a Diff. 6a

1 + An - - - - -

1 + An+1 Bn+1 =An2

− An+1 - - - -

1 + An+2 Bn+2 =An+1

2− An+2 Cn+2 =

Bn+14

− Bn+2 - - -

1 + An+3 Bn+3 =An+2

2− An+3 Cn+3 =

Bn+24

− Bn+3 Dn+3 =Cn+2

8− Cn+3 - -

1 + An+4 Bn+4 =An+3

2− An+4 Cn+4 =

Bn+34

− Bn+4 Dn+4 =Cn+3

8− Cn+4 En+4 =

Dn+316

− Dn+4 -

1 + An+5 Bn+5 =An+4

2− An+5 Cn+5 =

Bn+44

− Bn+5 Dn+5 =Cn+4

8− Cn+5 En+5 =

Dn+416

− Dn+5 Fn+5 =En+4

32− En+5

1 + An+6 An+6 =An+5

2− Bn+6 Bn+6 =

Bn+54

− Cn+6 Cn+6 =Cn+5

8− Dn+6 Dn+6 =

Dn+516

− En+6 En+6 =En+5

32

1 + An+7 An+7 =An+6

2− Bn+7 Bn+7 =

Bn+64

− Cn+6 Cn+7 =Cn+6

8− Dn+7 Dn+7 =

Dn+616

− En+7 En+7 =En+6

32

Briggs determina le differenze al livello n + 5 fino a quando ne trova unanulla, nell’esempio da discutere la differenza sesta Fn+5 ' 0. Se si supponeche anche Fn+6 ' 0 si ha En+6 ' 1

32En+5, che e noto in quanto si conosce dallivello n + 5 che En+5 ' 1

32En+4. A questo punto, l’algoritmo viene applicato

35Poterunt etiam hae differentiae inveniri pro dato quolibet numero, licet continue Medijnulli dati fuerint. Nam si dati numeri differentia supra unitatem, seipsam suosque factosaliquoties multiplicet, ut ejusdem differentiae aliquot potestates habeantur, nempe Quadratus,Cubus, Biquadratus, &c. erit Differentia secunda semissis Quadrati, reliquae etiam ut hicvides


a ritroso, fino a determinare An+6 e viene iterato ai passaggi successivi, connotevole riduzione dei calcoli.

Il prossimo passo dell’Arithmetica Logarithmica fa riferimento al calcolo deltermine 1 + A10 nella successione formata a partire da 1.0077696 = 69/107

utilizzata nel calcolo di bl (6).

Testo 3.4 (Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. VIII) In [1], pp.8-9. Orig-inale 3.12.

38 10000,15116,46599,90567,29504,88 1 +A9

15116,58025,28288,79823,97 A8/211425,54992,70108,02 B9

† 11425,54992,70108,02 B8/417271,19788,93 C9

17271,65478,36 C8/845689,43 D9

45691,50 D8/162,07 E9

2,07 E8/3237 65 E10/32

2855,589 D9/162855,524 D10

2158,89973,616 C9/82158,87118,092 C10

2856,34430,37579,775 B9/42856,32271,50461,683 B10

7558,23299,95283,64752,440 A9/27558,20443,63012,14290,767 A10

10000,07558,20443,63012,14290,767 1 +A10

Come vediamo nell’esempio riportato in cui i numeri medi proporzionali for-niscono queste differenze tramite divisioni e sottrazioni, fino a giungere al segno†. Successivamente, sono queste differenze a generare i medi proporzionali: in-fatti 65, parte trentaduesima del numero E 207, sottratta dal numero 2855589,che e la parte sedicesima del numero D 4568943, da 2855524 come numero D,ovvero come differenza quarta. Questa stessa differenza quarta D, sottratta dal-la parte ottava del numero C precedente, da la stessa differenza terza la quale,sottratta dalla quarta parte del numero B superiore, da la stessa (differenza sec-onda) B. E questa B, sottratta dalla meta del numero A precedente da la stessa(differenza prima) che, sommata all’unita e il medio proporzionale richiesto10000, 07558, 20443, 63012, 14290, 760. Grazie a queste differenze troveremo al-lo stesso modo tutti i medi proporzionali successivi, continuando fino al puntoin cui tutte le differenze a poco a poco vengono meno fuorche le prime le quali,quando mancheranno le altre, saranno proprio uguali alle meta delle differenzeprime precedenti. In verita, le differenze rimaste sono da trattare con la regolaaurea, come sopra.


Ottenuto in modo efficiente un grande numero di radici quadrate successive,Briggs passa a calcolare i logaritmi dei numeri primi maggiori di cinque, ri-correndo anche qui ad un ingegnoso procedimento che egli espone nel CapitoloIX per i primi minori di 100. Supponiamo noti i logaritmi dei numeri primiinferiori al numero p primo di cui si vuole trovare il logaritmo. Si prendano trenumeri consecutivi a, b, c tali che: 1) uno dei tre abbia p come fattore e 2) tuttigli altri numeri primi coinvolti nella scomposizione di a, b, c siano inferiori a p edunque si possa supporre noto il loro logaritmo. I tre numeri trovati soddisfano,per evidenti proprieta algebriche, la relazione

b2 = ac+ 1

per cui il quoziente b2/ac e della forma

b2

ac= 1 +

1

ac

e dunque adatto ad applicare lo schema messo a punto nei capitoli precedenti.Determinato il logaritmo di tale quoziente e poi possibile risalire al logaritmodi p, sfruttando le proprieta elementari dei logaritmi.

Testo 3.5 (Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. IX.) p.9-5 di [1]. Orig-inale 3.13 Dopo aver trovato i logaritmi di questi numeri: 1.2.3.5.10 e, grazie agliassiomi 1 e 2. del Cap. 2, quelli di tutti i numeri ottenuti per moltiplicazione odivisione di questi, restano da ottenere i logaritmi degli altri numeri primi la cuiricerca sara quasi come prima, pero alquanto semplificata. Si prendano infattidue numeri composti, il maggiore dei quali supera di un’unita il minore; ed il pri-mo sia il prodotto del numero dato (di cui si cerca il logaritmo) o per se stesso oper un numero il cui logaritmo sia noto. E per ottenere due numeri composti diquesto tipo in modo piu semplice, si prenda come primo numero proprio quellodi cui si cerca il logaritmo con i due successivi, uno minore e l’altro maggiore,che sono sempre numeri composti. Oppure, al posto del primo, si prenda unsuo multiplo con due numeri successivi, o entrambi maggiori o minori, oppureuno maggiore ed uno minore, il modo tale che il medio di questi tre numeri,moltiplicato per se stesso dia per risultato un numero che supera di un’unita ilprodotto dei due numeri estremi, in virtu del 5 libro degli Elementi di Euclide,p.2. Si divida allora il prodotto maggiore per il minore e, con l’inserzione di me-di proporzionale tra il quoto e l’unita si determini il logaritmo del quoto, comemostrato prima al Capitolo 7. Ad Esempio: il quadrato di sette (di cui si cercail logaritmo), 49, moltiplicato per se stesso da 2401; mentre il prodotto dei duenumeri ad esso piu vicini, 48 e 50 e 2400. Se quest’ultimo divide il maggiore, ilquoto sara 100041/23 o 100041666666666666667; il quarantaquattresimo di medicompresi tra il quoto appena ottenuto e l’unita e

10000,00000,00000,00236,79824,90433,36405 ed ha logaritmo0,00000,00000,00000,01028,40172,88387,29715 che, raddoppiato quarantaquat-

tro volte, ovvero moltiplicato per 17592186044416 dara per risultato0.00018,09183,45421,30, pari al logaritmo del quoto 100041666666666666667

che, sommato al logaritmo del divisore 2400, dara il logaritmo del dividendo2401 la cui settima parte e il logaritmo di sette che si ricercava.


Briggs mostra diverse scomposizioni del tipo di quella appena indicata peril calcolo di bl (7), senza pero mai precisare come abbia ottenuto i numeri a, b, c.Seguendo Bruce, appare plausibile che abbia attinto a tavole di scomposizioniin numeri primi (p.9-4 di [1]).

Il Capitolo X spiega le regole per il calcolo delle frazioni (Partes), proprieod improprie: nel primo caso Briggs afferma che il logaritmo e negativo (de-fectivus), nel secondo caso e positivo (abundans). Di questo capitolo riportiamosolo un breve passaggio in cui, esaminando la progressione geometrica di ragione10 contenente i numeri 125

1000 (A), 125100 (B), 1 (C), 1 25

100 (D) e 12 510 (E) Briggs os-

serva che, log D− log E = log A− log B benche B e D siano molto piu distantitra loro di quanto non lo siano A e B. Briggs ha chiaro il principio generaleche e alla base delle scale logaritmiche il cui scopo e comprimere i dati moltolontani e dilatare quelli molto piccoli. A proposito, ricordiamo che la primascala logaritmica venne introdotta nel 1620 da Edmund Gunter (1581-1626),professore di astronomia al Gresham College [8].

La distanza tra C e D pero e molto minore di quella tra D ed E; ciononostante,se la distanza del logaritmo di B, che e minore di 0, viene sommata alla dis-tanza (del logaritmo) di D, che e maggiore di 0, la distanza complessiva tra (ilogaritmi) di B e D, uguagliera la distanza tra (i logaritmi) di D ed E, o di Bed A. I logaritmi negativi di numeri minori di 1 cambiano caratteristica allostesso modo dei logaritmi positivi. Infatti, dall’unita al dieci la caratteristica e0, da dieci a cento e 1, da cento a mille 2, e cosı via, come abbiamo mostratoal Cap. 4. Allo stesso modo nei logaritmi negativi: tra l’unita ed un decimo lacaratteristica e zero, tra un decimo ed un centesimo 1, tra un centesimo ed unmillesimo e 2, ecc.36 (AL Cap. X, p.10-5,10-5 di [1])

3.6 Metodi di interpolazione

Le tavole logaritmiche di Briggs ottenute grazie ai metodi riassunti nelle sezioniprecedenti coprono gli interi da 1 a 20000 e quelli da 90000 a 100000. Egli af-fronta nei Capitoli XI-XIV il problema di come ottenere espressioni accurateper i logaritmi di numeri che non compaiono nelle tavole o, al contrario, datoun logaritmo non reperibile nelle tavole, risalire ad un accurato valore per l’an-tilogaritmo. Dal punto di vista matematico, il problema che si pone a Briggse quello di maneggiare il comportamento non lineare della funzione logaritmoche viene espresso in termini di differenze da Briggs in questi termini

Tuttavia questa parte proporzionale ottenuta per mezzo di queste differenze none del tutto corretta; ma si discosta sempre un pochino dal valore vero che noi

36Distantia autem inter C & D multo minor est quam inter D & E; veruntamen, si dis-tantia Logarithmi B, infra constitutum terminum 0; addatur distantiae D, supra eundem,tota distantia inter B & D, aequabitur distantiae inter D & E, vel inter B & A. Isti autempartium Logarithmi Defectivi, Characteristicam mutant eodem modo quo Abundantes. Namab Unitate ad Decem Characteristica est 0, a Decem ad Centum, 1. a Cento ad Millem, 2.& sic Deinceps, ut cap. 4 ostendimus. Eodem modo in Defectivis: ab Unitatem ad partemDecimam, 0. a parte Decima ad Centesimam, 1. a Centesima ad Millesimam, 2. &.

3.6. METODI DI INTERPOLAZIONE 77

cerchiamo. Infatti, anche se i numeri assoluti crescono in modo uniforme, ilogaritmi hanno incrementi minori laddove hanno valori maggiori: se occorreaumentare il logaritmo di un numero di poco inferiore al posto di un numeroassoluto con l’ausilio della parte proporzionale, la parte ottenuta con l’aggiuntadella differenza sara sempre minore del dovuto. Al contrario, se si ricerca ilnumero assoluto corrispondente ad un assegnato logaritmo, con l’aggiunta dellaparte proporzionale lo si trovera sempre di poco maggiore. Lo stesso problema siriscontra per Seni, Tangenti e Secanti; e lo stesso in tutte le tavole numeriche,dove le differenze sono da una parte uguali, diverse dall’altra.37 (AL Cap. XI,p.11-8 di [1])

E dunque chiaro che il problema non si pone per i logaritmi soltanto mache e comune alle funzioni trigonometriche, alla cui tabulazione Briggs dedicomolto lavoro. In questa sezione esaminiamo tre metodi proposti da Briggs perovviare all’inconveniente, in ordine crescente di raffinamento. Il Capitolo XIha come titolo programmatico Numerum in Chiliadibus repertum, per partemproportionalem emendare: si tratta dunque, noto il logaritmo di un numero,di approssimarne l’antilogaritmo. L’osservazione basilare per comprendere lastrategia di Briggs e che l’interpolazione lineare e buona nelle ultime migliaiatabulate. Sfruttando le proprieta elementari della funzione logaritmo, Briggsriduce il margine di errore nel calcolo dell’antilogaritmo di x calcolando l’an-tilogaritmo di un altro numero, legato ad x, che cade molto vicino a 100000dove l’interpolazione lineare e suscettibile di piccoli errori. Seguiamo l’esempiodiscusso da Briggs ed illustrato da Bruce [1]. Si vuole trovare il valore nu-merico di

√1200 = a, ricorrendo alle sole tavole. Anzitutto si nota che bl (1200)

e noto e che dunque lo e anche bl (√1200) = 1

2bl (1200). Per prima cosa Briggstoglie la caratteristica ad a, riducendolo ad un numero compreso tra 1 e 10: nelcaso specifico, egli considera a/10. Di questo numero egli definisce il comple-mento aritmetico come quel numero b il cui logaritmo e il complemento ad 1 dibl (a/10). Dalle proprieta elementari dei logaritmi e pertanto ab/10 = 10. Sicerca nella tabella un numero c il cui logaritmo, privato della caratteristica, sialeggermente inferiore a bl (b): nell’esempio riportato, c = 2866. In questo modo,il numero ac/104 e di poco inferiore a 10 per cui ac e prossimo a 105 e si possonodeterminare dalla tabella due numeri consecutivi h ed h + 1 (qui h = 99973)tali che

bl (h) < bl (ac) < bl (h+ 1) .

Se il comportamento del logaritmo in questa regione e circa lineare, allora si

37Ista autem pars proportionalis, quae per has acquiritur differentias, non est absoluteperfecta; sed semper aliquantulum recedit ab ea quam quaerimus accurata veritate. Cumenim numeri absoluti crescant aequaliter, Logarithmi autem quo sunt maiores eo minorahabent incrementa: si pro numero absoluto, Logarithmus numeri proxime minoris, sit perpartem proportionalem augendus, pars illa per differentiam interjectam quaesita, erit semperminor quam oportuit. Contra autem, si pro Logarithmo dato quaeratur numerus absolutus,is per partem proportionalem auctus erit iusto maior. Idem accidit incommodi in Sinubus,Tangentibus, Secantibus; omninoque in omnibus tabulis numerorum, ubi differentiae ex alteraparte aequales, ex reliqua inequales.


puo scrivere la proporzione

bl (h+ 1)− bl (h)

1=

bl (ac)− bl (h)

ac− h

che puo essere risolta in termini di ac e dunque di a. Il risultato ottenuto epreciso fino alla decima cifra decimale.

Si tolga la caratteristica dal logaritmo assegnato (di cui si cerca il numero asso-luto) che non puo cambiare in alcun modo il numero richiesto ma solo spostarload un grado piu alto e piu lontano dall’unita, poi lo si sottragga dal logarit-mo di dieci, pari ad 1,00000,00000,0000. Non e sconveniente chiamare il nu-mero rimasto il complemento aritmetico del precedente. Cerchiamo nelle tavolequest’ultimo numero (dopo avergli aggiunta una caratteristica che abbiamo vistoin precedenza essere estremamente utile) e si prenda il logaritmo che meglio loapprossima per difetto e lo si aggiunga al logaritmo dato (il cui numero assolutoe stato messo da parte per tempo). Il risultato cadra necessariamente nell’ulti-mo migliaio, dal quale occorre prendere il corrispondente numero assoluto chepotremo correggere con l’uso della parte proporzionale. Si divida questo numeroper il numero messo prima da parte; il quoto sara il numero corrispondente allogaritmo assegnato che cercavamo all’inizio.38 (AL Cap. XI, p.11-8 di [1])

Per evitare l’imbarazzo di una difficile divisione per un numero di quattrocifre come c, Briggs prepara una tavola in cui sono contenuti diversi numeria quattro cifre con una fattorizzazione semplice e scelti in modo che le loromantisse (parti decimali) coprano in modo pressoche uniforme l’intervallo (0, 1).In questo modo, la divisione finale viene spezzata in divisioni successive connumeri ad una cifra soltanto.

Nel capitolo XII, Briggs presenta uno schema di interpolazione piu raffinatoche funziona egregiamente per i numeri da 1 a 20000 e da 90000 a 100000 compre-si nelle tavole. Il problema che da il titolo al capitolo, omesso da Vlacq nell’edi-zione del 1628, e Siano dati due numeri successivi con i loro logaritmi: trovarnealtri nove equidistanti compresi tra quelli assegnati e determinarne i logaritmi.39

In termini moderni, Briggs utilizza la formula di Newton troncata al terzoordine per una funzione f(x):

f(x+a) = f(a)+∆f(a)x+1

2∆2f(a)x(x−1)+

1

3!∆3f(a)x(x−1)(x−2)+... (3.1)

38Datus Logarithmus (cuius numerus absolutus quaeritur) in primis deponat Character-isticam (quae numerum quaesitum nullo modo mutare potest, sed tantum promovere ingradum altiorem & ab Unitatem loco remotiorem) deinde auferatur e Logarithmo Denarij1,00000,00000,0000. Reliquus non incommode vocare poterit complementum Arithmeticum.Hunc reliquum (addita prius Characteristica quae nobis visa fuerit commodissima), quaeramusinter Chiliades, sumaturque Logarithmus proxime minor & (numero eiusdem absoluto ad tem-pus seposito) addatur dato Logarithmo. Totus incidet necessario in ultimam Chiliadem, in quasumendus est numerus absolutus eidem congruens quem per partem proportionalem adjectamemendare poterimus. Hunc numerum inventum & emendatum, dividat prior numerus anteasepositus; quotus erit numerus dato Logarithmo congruens, quem in primis quaerabamus.

39Datis duobus numeris proximis, una cum eorum Logarithmis: invenire alios novemaequidistantes, inter eosdem & eorum Logarithmos invenire.


dove x ∈ (0, 1), ∆f(a) := f(a+ 1)− f(a) e la differenza prima, mentre ∆kf(a)sono le differenze successive, definite con procedimento ricorsivo. Il metodo eefficace se le differenze seconde sono pressoche costanti. Nel primo esempioBriggs considera incrementi nella forma x = i/10, con i = 1, 2, ..., 9 e prendedue numeri consecutivi 91235 e 91236 i cui logaritmi hanno differenza primaC = 47601, 4799 e differenze seconde entrambe uguali a D = 5217. L’algoritmoproposto da Briggs (senza che siano fornite spiegazioni) impone di formareil prodotto di D per 45, togliere le ultime tre cifre ed aggiungere a C/10 perottenere bl (a + x), con x = 1/10. Applichiamo l’equazione (3.1) prendendoquesto valore di x e troncando al secondo ordine

bl (a+1

10) = bl (a) +

C

10+

9

200D = bl (a) +

C

10+

45

1000D

che spiega la comparsa del valore 45 con la preferenza per le frazioni decimali.Per calcolare bl (a+ 2

10 ) Briggs puo scrivere

bl (a+2

10) = bl (a) +

2C

10+

16

200D = bl (a+

1

10) +

C

10+

35

1000D

e questo spiega l’algoritmo proposto: formare il prodotto tra D e 35, privatodelle ultime tre cifre. Successivamente,

bl (a+3

10) = bl (a) +

3C

10+

21

200D = bl (a+

2

10) +

C

10+

25

1000D ,

bl (a+4

10) = bl (a) +

4C

10+

24

200D = bl (a+

3

10) +

C

10+

15

1000D ,

bl (a+5

10) = bl (a) +

5C

10+

25

200D = bl (a+

4

10) +

C

10+

5

1000D

e, da questo punto in poi, lo schema si ripete in modo simmetrico

bl (a+6

10) = bl (a) +

6C

10+

24

200D = bl (a+

2

10) +

C

10− 5

1000D ,

bl (a+7

10) = bl (a+

6

10) +

C

10− 15

1000D ,

bl (a+8

10) = bl (a+

7

10) +

C

10− 25

1000D ,

bl (a+9

10) = bl (a+

8

10) +

C

10− 35

1000D

e

bl (a+ 1) = bl (a+9

10) +

C

10− 45

1000D .

Se le differenze seconde sono leggermente diverse tra loro, Briggs ne assumela media aritmetica come valore per D. Qualora si voglia conoscere un solovalore intermedio, e piu utile usare lo schema precedente esprimendo bl (a +i10 ) in termini di bl (a) e non di bl (a + i−1

10 ). Si spiega in questo modo la


nuova successione di numeri 45, 80, 105, 120, 125 cheBriggs pone a fattore diD.Infine, il metodo e applicato all’algoritmo presentato nel capitolo XI per trovarecon maggior precisione le parti proporzionali. Infatti, una volta ingabbiato actra due numeri consecutivi h ed h + 1 nell’ultimo migliaio di numeri tabulati,si calcola la differenza prima ∆h := bl (h + 1) − bl (h) e la differenza prima∆ac := bl (ac) − bl (h) e si determina l’intero n prossimo alla soluzione y dellaproporzione

∆h : ∆ac = 10 : y ,

individuando l’intervallo di ampiezza 1/10 ove cade ac. A questo punto, loschema alle differenze ora esposto viene applicato per ottenere il logaritmo cer-cato. Gli estratti che seguono si riferiscono nell’ordine ai tre problemi appenaillustrati.

Si considerino due numeri consecutivi A con i loro logaritmi B insieme alledifferenze prime C e seconde D. Se le differenze seconde sono uguali, se nemoltiplichi una per i numeri contenuti nella tabella E che sono associati aiprimi dieci numeri naturali: dai prodotti si eliminino le ultime tre cifre e sicombini il risultato alla decima parte della differenza prima compresa (tra i duenumeri A), aggiungendola per i primi cinque numeri, sottraendola per gli altri:i numeri ottenuti sono le differenze dei logaritmi che, sommate al logaritmo piupiccolo secondo la loro posizione danno i logaritmi cercati come vedi qui: sianodati i numeri 91235.91236. e la differenza prima 47601,479940

E47602,0016 C 1. 45 prodotti91235 A 4,96016,14763,8639 B 5217 D 2. 35 da aggiungere

47601,4799 C 3. 2591236 A 4,96016,62365,3438 B 5217 D 4. 15

47600,9582 C 5. 56. 5 prodotti7. 15 da sottrarre8. 259. 3510. 45

40Sumantur duo numeri proximi A & eorum Logarithmi B, una cum eorum differentiisprimis C, & secundis D. Si differentiae secundae sint aequales, multiplicetur eorum altera pernumeros in abaco E, decem primis numeris adiunctos: facti autem F G H I K demptis tribusultimis notis, pro primis quinque addantur, pro totidem reliquis auferantur parti decimaedifferentiae primae C interiectae: toti & reliqui erunt differentiae Logarithmorum; quae datominori Logarithmo, suo ordine continue additae, dabunt Logarithmos quaesitos, ut hic vides.Sunto dati numeri 91235.91236. differentia prima 47601,4799


Num. Ass. Logaritmi prodotti 5217 fattore

912350 4,96016,14763,8639 F—234| 765 454760,1715 C+F G—182| 595 35

912351 4,96016,19524,0354 H–130| 425 254760,1662 C+G I—78|255 15

912352 4,96016,24284,2016 K—26|085 5

4760,1610 C+H 47601479|9 110C

912353 4,96016,29044,3626 47601714|7 C+F4760,1558 C+I 47601662|5 C+G

912354 4,96016,33804,5184 47601610|3 C+H4760,1506 C+K 47601558|2 C+I

912355 4,96016,38564,6690 47601506|0 C+K4760,1454 C-K 47601453|8 C-K

912356 4,96016,43324,8144 47601401|6 C-I4760,1402 C-I 47601349|5 C-H

912357 4,96016,48084,9546 47601297|3 C-G4760,1350 C-H 47601245|1 C-F

912358 4,96016,52845,08964760,1297 C-G

912359 4,96016,57605,21934760,1245 C-F

912360 4,96016,62365,3438

(AL Cap. XII, p.12-9,12-10 di [1])Si vuole ora trovare bl (96157) noti bl (96150) e bl (96160), saltando i passaggi

intermedi.

Se desideri trovare solo uno (di questi logaritmi) omettendo gli altri (procedicosı): moltiplica per un numero minore di dieci, associato al numero A, ladifferenza prima C e moltiplica il numero associato (ad A) nella tabella E41.per la differenza seconda; somma i prodotti omettendo la cifra piu a destra nelprimo e le tre cifre piu a destra nel secondo: il risultato finale, sommato allogaritmo assegnato, dara il logaritmo cercato. Ad esempio, se volessi sapere ilvalore del logaritmo del numero 96157, moltiplico la differenza data 4516608416per 7 ottenendo 31616258912 e poi moltiplicherei la differenza seconda 469721per il numero 105 che si trova in corrispondenza del 7 nella tabella E. Tolte letre ultime cifre al prodotto 49320|705, e sommatolo al prodotto precedente dacui ho omesso l’ultima cifra, 3161625891, ottengo 3161675212 che sommato allogaritmo dato dara il logaritmo cercato 3,98298,09053,2662.42 (AL Cap. XII,p.12-10,12-11 di [1])

41Si tratta di una tabella che contiene i coefficienti 45,80,105,120,125,120,105,80,45 per iquali occorre moltiplicare la differenza seconda in funzione dell’intervallo decimale occupatodal numero di cui si cerca il logaritmo

42Quod si horum aliquem invenire cupias, reliquis omissis: numerus denario minor, numeroA adiectus, multiplicet datam differentiam C & numerus eidem adiunctus in abaco E, multi-plicet differentiam secundam, & demptis hinc tribus, illinc unica nota, addantur facti: totusdato Logarithmo additus, dabit Logarithmum quaesitum. Ut si scire velim quis sit Loga-rithmus numeri 96157, data differentia 4516608416 multiplicetur per 7 factus 31616258912,deinde 105 situs e regione numeri 7 in abaco E, multiplicet differentiam secundam 469721,factus 49320| 705 ablatis tribus notis ultimis, addatur priori facto, cui unica nota detractafuerit 3161625891, totus 3161675212 addatur dato Logarithmo totus 3,98298,09053,2662 erit


Infine, ecco come Briggs combina la tecnica di interpolazione per trovareparti proporzionali piu accurate di quelle trovate nel precedente capitolo.

E questo modo consente di ottenere una parte proporzionale sufficientementeaccurata. Infatti, dopo aver trasferito il logaritmo assegnato dalla sua posizioneall’ultimo o penultimo migliaio, secondo le regole insegnate nel capitolo prece-dente, potremo aggiungere la prima cifra della parte proporzionale al numeroassoluto trovato nella tabella e trovare il logaritmo di questo numero grazie almetodo appena esposto, insieme alla differenza tra questo ed il numero imme-diatamente successivo. Questa differenza fornira la parte proporzionale cercatacon estrema precisione, come possiamo vedere grazie ad un unico esempio. Sivoglia trovare il valore della radice quadrata di 147. Il logaritmo del numero da-to e 2,16731,73347,4814, la cui meta, 1,08365,86673,7409, e il logaritmo dellaradice cercata.43

Logaritmi√147 1,08365,86673,7409 dato

8192 0,91338,99436,3175 prossimo al complementoN.N 0,99704,86110,0584 totale

31548,5329 differenza99322 0,99704,54561,5255

43725,6897 differenza99323 0,99704,98287,2152

Fin qui, secondo le regole del Cap. XI che hanno fornito il numero 7 da associareal numero 99322 trovato nelle tavole; le altre si possono trovare secondo quelleche subito le precedono.

4372531548

differenze date

107 richiesta

(AL Cap. XII, p.12-11 di [1])I metodi di interpolazione piu raffinati sono presentati nel Capitolo XIII

dove Briggs deve trovare i logaritmi di quattro numeri equidistanti e compresitra due numeri tabulari, separati di cinque unita, di cui sono noti i logaritmi.Briggs presenta ancora un lavoro di sub-tabulazione ma questa volta il compitoe piu arduo in quanto sono note le differenze di numeri ben separati tra loro: in

Logarithmus quaesitus.43Atque hic modus partem proportionalem inveniet satis accuratam. Cum enim secundum

ea quae superiori capite tradebantur, Logarithmum datum transtulimus, a loco proportio inultimam vel penultimam Chiliadem, poterimus primam partis proportionalis notam, numeroabsoluto in Chiliade reperto adijcere, & numeri aucti Logarithmum per proxime precedenti-am invenire, una cum differentia inter eundem & proxime maiorem. Haec differentiam dabitpartem proportionalem quam quaerimus accuratissimam huius rei unicum videamus exem-plum. Quaeratur latus numeri 147. Dati Logarithmus est 2,16731,73347,4814, huius semissis,1,08365,86673,7409 est Logarithmus quaesiti lateris. Hucusque per praecepta Cap. XI quaedederunt notam 7, numero 99322 in abaco reperto adijciendam, reliqua quaerantur secundumea quae proxime praecesserunt.


pratica si possono conoscere le differenze bl (a+5)−bl (a) e le successive, mentreoccorre estrapolare le differenze del tipo bl (a+1)−bl (a) e le successive. Comedi consueto, Briggs fornisce la ricetta, senza indicare il fondamento teorico sucui poggia ed in effetti, data l’assenza di un adeguato formalismo, resta ancorada capire come Briggs sia riuscito ad ottenere gli schemi qui enunciati. Percomprendere i testi, seguiamo le ricostruzioni di Goldstine [7] e Bruce [1].Iniziamo con il definire l’operatore di scorrimento a destra E come

Ef(a) := f(a+ 1)

e di scorrimento a sinistra

E−1f(a) = f(a− 1) :

la notazione e appropriata in quanto E−1Ef(a) = EE−1f(a) = f(a). Ingenerale

Enf(a) = f(a+ n) .

Grazie a questo operatore e possibile scrivere la differenza

∆f(a) := f(a+ 1)− f(a)

come

∆f(a) = (E − I)f(a)

dove I e l’identita. Similmente, le differenze di ordine superiore si possonoscrivere come applicazioni successive di E − I ad f(a):

∆2f(a) := ∆[∆f(a)] = f(a+2)−2f(a+1)+f(a) = (E−I)2f(a), ∆nf(a) = (E−I)nf(a) .

E anche utile introdurre l’operatore

∆11f(a) := E∆f(a) = f(a+ 2)− f(a+ 1)

ed, in generale,

∆nkf(a) = Ek∆nf(a) .

Osserviamo a margine che gli operatori E e ∆ commutano: ∆Ef(a) = E∆f(a).Infine, occorre considerare le differenze medie (differentiae mediae)

m∆f(a) :=f(a+m)− f(a)

m.

L’obiettivo di Briggs e quello di risalire alle differenze ∆n partendo dalle dif-ferenze medie m∆n

k . Negli esempi discussi in questo capitolo, m = 5 od m = 3.Con calcoli diretti si verifica che

(E + E−1 − 2I)f(a) = ∆2−1f(a) (3.2)

(E2 + E−2 − 2I)f(a) = (∆4−2 + 4∆2

−1)f(a) (3.3)


da cui possiamo estrarre un legame tra differenze medie e differenze semplici.Infatti,

5∆1f(a) = f(a+5)−f(a)

5 = (E5−I)5 f(a) = (E−I)(E4+E3+E2+E+I)

5 f(a) =

= (E−I)E2(E2+E+I+E−1+E−2)5 f(a) = 1

5∆12(∆

4−2 + 5∆2

−1 + 5I)f(a) = (15∆5 +∆3

1 +∆12)f(a)

che puo essere risolta in termini di ∆1f(a), dopo aver moltiplicato ambo imembri a sinistra per E−2:

∆(1)f(a) = (5∆1−2 −

1

5∆5

−2 −∆3−1)f(a)

dove, seguendo Bruce, si e scritta la differenza prima come ∆(1)f(a), dove leparentesi indicano che tale differenza e correzione della differenza media.

Procedendo in modo analogo si puo mostrare che

5∆2 = (

1

5∆5 +∆3

1 +∆12)

2f(a) = (∆24 + 2∆4

3 +7

5∆6

2 +2

5∆8

1 +1

25∆10)f(a)

da cui si ottiene il valore corretto della differenza prima

∆(2)4 f(a) = (5∆

2 − 2∆43 +

7

5∆6

2 +2

5∆8

1 +1

25∆10)f(a) .

Briggs porto avanti questo schema di correzioni fino a calcolare le differenzeventesime corrette. A guardare le ultime formule ottenute, si puo pensare chei risultati siano inutili, in quanto nei membri di destra compaiono differenzesemplici che non sono note. Ora, occorre notare che le correzioni all’ordine k diuna differenza coinvolgono le differenze all’ordine k+2 che rapidamente cadonoal di sotto della soglia di precisione—peraltro notevole— richiesta da Briggs.Ad esempio, nel caso illustrato da Briggs egli osserva che le differenze mediequarte e quinte non vanno corrette in quanto le differenze medie seste e settimesi annullano ed e lecito porre ∆(5) = ∆5 e ∆(4) = ∆4. E proprio la possibilita diassumere le differenze medie come differenze corrette, almeno da un certo ordinein poi, che rende funzionale il metodo di Briggs che, per cosı dire, funziona“a ritroso”, cominciando a produrre le correzioni agli ordini piu alti e via via ascalare. Seguiamo ora per passi l’esposizione di Briggs.

Si considerino le differenze prime, seconde, terze, quarte, ecc. dei logaritmiassegnati e si dividano le prime per 5, le seconde per 25, le terze per 125, ecc.cioe con divisori che crescono ogni volta di un fattore 5: i quoti sono dettidifferenze medie prime, seconde, terze, ecc. Meglio ancora, invece di dividere,si moltiplichino le differenze prime per due, le seconde per quattro, le terzeper otto, ecc. per poi eliminare una cifra nel primo di questi prodotti, due nelsecondo, tre nel terzo, ecc. Questi prodotti che sono uguali ai quoti precedentisono le differenze medie prime, seconde, terze, ecc. Siano dati allora questi


logaritmi insieme alle loro differenze prime, seconde, terze, quarte, quinte chesono ottenute grazie per sottrazione dal logaritmo dato.44

quintae quartae tertiae secundae primae logarithmi numeri absoluti

1151695 1027916413378138 242719568 33253,10371,71106 2115

75 1143557 1025489217698063 241576011 33263,35860,92875 2120

75 1135494 1023073457587988 240440517 33273,58934,38633 2125

1127506 102066905241

Nella posizione successiva si trovano le differenze medie cercate: la prima ot-tenuta moltiplicando la differenza data per due ed eliminata una cifra dal prodot-to. Le altre si ottengono se si moltiplicano quelle date per 4.8.16.32. ecc. (ALCap. XIII, p.13-17 di [1])

Qui Briggs definisce le differenze medie spiegando come trovarle a partiredalle differenze qui tabulate. Notiamo che egli definisce

5∆1 =

f(a+ 5)− f(a)

5= 2

f(a+ 5)− f(a)

10

che spiega la prescrizione di moltiplicare le differenze per 2 e poi trascurarel’ultima cifra a destra. Nella tabella riportata qui sopra, compaiono le differenzef(a + 5) − f(a) e le successive prima della normalizzazione all’ampiezza (5)dell’intervallo che viene riportata nella seguente tabella

44Sumantur differentiae primae, secundae, tertiae, quartae, & c. datorum Logarithmo-rum;& dividantur primae per 5, secundae per 25, tertiae per 125, & c.; divisoribus quintuplaratione crescentibus: quoti appellantur differentiae mediae, primae, secundae, tertiae, &. Velpotius loco divisionis, fiat multiplicatio datarum primarum per binarium, secundarum perquaternarium, tertiarum per octonarium, &. amputaris unica nota in factis a primis, duabusin proximis, tribus in tertiis, &c. hi facti qui sunt illis quotis aequales, erunt differentiaemediae primae, secundae, tertiae, &. ut sunto dati hi Logarithmi una cum eorum differentiisprimis, secundis, tertiis, quadratis, quintis, quas ipsi dati Logarithmi per subductionem osten-dunt. Proximo in loco sunt differentiae mediae quaerendae, per multiplicationem, primarumdatarum per binarium, facti dempta nota unica erunt primae. Reliquae mediae fiunt si datasmultiplicent 4.8.16.32. &c.


Differentiae mediae

primae

20558328267 |420509784353 |820461469151 |620413381048 |2

per 2

secundae

9708782 | 729663040 | 449617620 | 68

per 4

tertiae

9213 | 5609148 | 4569083 | 9529020 | 048

per 8

quartae

13 | 020812 | 900812 | 7808

per 16

quintae

| 02400| 02400 per 32

Ora Briggs fornisce senza alcuna spiegazione la tabella cruciale, quella pereffettuare le correzioni

Ed in questo modo tutte le differenze sono corrette e disposte, per assolvere illoro compito, allo stesso modo in cui dovremmo fare se vi fossero piu specie didifferenze, a partire da quelle piu lontane e piccole. La seguente tabella indicaquante vanno tolte per ciascuna specie:

20

19

18 18(20)

17 17(19)

16 16(18) 123 1 (20)15 15(17) 108 0 (19)

14 14(16) 93 9 (18) 400 4 (20)13 13(15) 80 6 (17) 317 2 (19)

12 12(14) 68 4 (16) 246 4 (18) 629 64 (20)11 11(13) 57 2 (15) 187 0 (17) 431 20 (19)

10 10(12) 47 0 (14) 138 0 (16) 283 80 (18) 434 40 (20)9 9(11) 37 8 (13) 98 4 (15) 177 84 (17) 236 88 (19)

8 8(10) 29 6 (12) 67 2 (14) 104 72 (16) 118 72 (18) 111 248 (20)7 7(9) 22 4 (11) 43 4 (13) 53 20 (17) 36 680 (19)

6 6(8) 16 2 (10) 26 0 (12) 27 60 (14) 20 40 (16) 10 760 (18) 4 080 (20)5 5(7) 11 0 (9) 14 0 (11) 11 40 (13) 6 20 (15) 2 280 (17) 500 (19)

4 4(6) 6 8 (8) 6 4 (10) 3 64 (12)3 3(5) 3 6 (7) 2 2 (9) 7 2 (11) 1 2 (13) 008 (15)

2 2(4) 1 4 (6) 4 (8) 04 (10)1 1(3) 2 (5)

A B C D E F G H I

I numeri posti nella colonna A indicano le differenze medie prime, seconde,terze, ecc. fino alle ventesime. Invece i numeri nelle colonne BCD mostranoquante e quali differenze corrette vanno tolte dalle differenze medie poste nellacolonna A corrispondente alla medesima linea. Ad esempio: dalla differenzamedia sesta, bisogna togliere 6 differenze ottave corrette; 16 2

10 differenze decime,26 differenze dodicesime, ecc. Similmente dalla differenza media prima occorretogliere una differenza terza corretta e 1

5 differenze quinte.45 (AL Cap. XIII,p.13-18, 13-19 di [1])

45Atque ad hunc modum sunt omnes differentiae correctae, & ad suum munus exequendumparatae eodem modo uti deberemus si plures fuissent differentiarum species, incipiendo a min-

3.7. IL METODO RADICALE 87

Ottenuto lo schema per le correzioni delle differenze medie, Briggs richia-ma l’attenzione del lettore sulla necessita di ordinare bene le differenze, al postoopportuno, per evitare confusioni. Questo denso capitolo si chiude con la spie-gazione delle correzioni da apportare alle differenze nel caso si abbiano i valoridi una funzione f per punti distanti tra loro tre anziche cinque unita e con unmetodo per completare la tabella dei logaritmi, usando quelle gia a disposizioneche coprono i primi 20000 numeri e quelli da 90000 a 100000. Cosı per sub-tabulare i logaritmi di numeri nel 21-esimo migliaio, come 20000, 20005, ecc. esufficiente osservare che 20000 = 4000 × 5, 20005 = 4001 × 5, e cosı via e chedalle differenze ottenute per i logaritmi di 4000, 4001, 4002,..., si ottengono ledifferenze medie nel 21 migliaio.

Se hai bisogno di aggiungere un altro migliaio oltre a questi, ad esempio il ven-tunesimo, prendi la quinta parte del migliaio da cui stai per iniziare: il primonumero e 20000; si prendono i logaritmi della quinta parte, 4000, e dei duecentonumeri successivi che, aggiunti ordinatamente al logaritmo di cinque daranno ilogaritmi dei numeri nel migliaio richiesto, spaziati di cinque unita: cioe 20000,20005, 20010, 20015 le cui differenze prime coincidono con quelle trovare tra iduecento numeri presi nel quinto migliaio.46 (AL Cap. XIII, p.13-20 di [1])

3.7 Il metodo radicale

Lo scopo del Capitolo XIV dell’Arithmetica Logarithmica e affermato nel titoloDato cuicunque Logarithmo numerum absolutum convenientem invenire & con-tra ed il metodo proposto da Briggs, perfezionato a piu riprese, e passato allastoria come metodo radicale. Briggs suppone dapprima di voler trovare unnumero N il cui logaritmo e noto ma non si trova nella tavola. Per questo eglicerca il numero tabulato N0 < N piu vicino possibile ad N , calcola

bl (N)− bl (N0) = bl (N

N0) = r1

e determina un numero della forma 1+ q1, con q1 ∈ [10−k, 10−k+1) e k ≥ 1 taleche bl (1 + q1) sia uguale o di poco inferiore a r1 e calcola la differenza

bl (N

N0)− bl (1 + q1) = bl (

N

N0(1 + q1)) = r2 < r1

imis & remotissimis. Quot autem in unaquaque specie sint auferendae, indicat haec subjectatabella: (...) Numeri in columna A positi, designant differentias medias, primas, secundas,tertias, &c. usque ad vicesimam. Numeri vero in columnis BCD &c. ostendunt quot & qualesdifferentiae correctae auferendae ab illis differentiis mediis, quae in columna A in eadem cumillis linea sitae sunt. Exempli causa: a differentia media sexta, auferendae sunt differentiaecorrectae octavae 6; decime 16 2

10, duodecimae 26, &c. Eodem modo e differentia prima media

auferendae sunt differentiae correctae tertia 1 & quinque 15.

46Si Chiliadem aliam istis adijciendam censes, puta vicesimam primam, sumenda est parsquinta illius a quo initium sumpturus es: primus numerus erit 20000, cuius pars quinta 4000,huius Logarithmo & ducentis proximis, sigillatim addatur Logarithmus quinarij, summae eruntLogarithmi, quini cuiusque numeri, per totam Chiliadem: nempe 20000, 20005, 20010, 20015& horum autem differentiae primae sunt illae ipsae quae in Chiliade quinta, intra illos ducentosLogarithmos inveniuntur.


ed itera la procedura cercando un numero della forma (1 + q2), con q2 almenoun ordine di grandezza minore di q1 e tale che bl (1 + q2) ≤ r2 e definisce

bl (N

N0(1 + q1))− bl (1 + q2) = bl (

N

N0(1 + q1)(1 + q2)) = r3 < r2

fino a quando non arriva al passo n in cui

bl (N

N0(1 + q1)(1 + q2) · ·(1 + qn)) = 0

o comunque inferiore al grado di precisione richiesto. A questo punto e chiaroche deve essere

N

N0(1 + q1)(1 + q2) · ·(1 + qn)= 1

e dunque

N = N0(1 + q1)(1 + q2) · ·(1 + qn) .

Ecco nel seguito il passo corrispondente dell’Arithmetica Logarithmica.

Testo 3.6 (Briggs, Arithmetica Logarithmica Cap. XIV) p.14-6 di [1]. Orig-inale 3.14 Abbiamo mostrato al Cap. XI come un numero trovato nella Tabellapossa essere accresciuto con il ricorso alla parte proporzionale al punto che l’er-rore sia raramente prima della dodicesima cifra47. Mostrero ora, grazie allatabella che segue, come sia possibile trovare un numero vero da determinare so-lo con il ricorso a sottrazione e moltiplicazione: a condizione che sia un numerorazionale da poter descrivere con un numero di cifre non superiore a quattordici.

I numeri contenuti in questa tabella si distinguono in Novenari. Quelli asinistra sono numeri interi ad una cifra e certe parti dell’unita: nella regionedi destra vi sono i corrispondenti logaritmi. I primi nove numeri sono numeriad una cifra e sono indicati con la lettera A: I nove numeri successivi, indicaticon la lettera B sono unita e parti decimali di unita; come 11, 12, 13, ecc. Inove successivi, indicati con la lettera C, sono unita e sue parti centesime. Ecosı via, i nove numeri indicati con D sono l’unita e sue parti millesime, quelliindicati con E sono (unita con) parti decimillesime, ecc. Per trovare, per mez-zo di questi numeri, il numero assoluto corrispondente ad un dato logaritmo,si procede in questo modo. Sia assegnato il logaritmo 3,66067,57883,3852. Dopoaver tolto la caratteristica, si sottragga il logaritmo di tre, tratto dal primo Nove-nario, 0,47712,12547,19662: restera 0,18355,45336,18858 da cui si potra sottrarre illogaritmo di 14 che la tabella contiene nel secondo Novenario e quindi occorresottrarre il logaritmo di 109 che si trova nel Novenario successivo e si ottienezero. Affermo che il numero cercato e ottenuto per moltiplicazione successiva diquesti tre numeri: 3, 14, 109, cioe 4578. L’operazione per esteso appare cosı.

47Nell’edizione di Vlacq, che ha lavorato con due cifre decimali in meno di Briggs, si parladi locum decimum, ovvero della decima cifra decimale.

3.7. IL METODO RADICALE 89

0,66067,57883,3852 logaritmo dato 14 moltiplicando0,47712,12547,19662 - - - 3 3 moltiplicatore0,18355,45336,18858 resto 42 prodotto0,14612,80356,78238 - - -14 42 moltiplicando0,03742,64979,40620 resto 109 moltiplicatore0,03742,64979,40622 - - -109 3780,00000,00000,00000 42

4578 prodotto

I novenarii cui Briggs fa riferimento sono contenuti in una tabella ausiliariadove sono riportati i logaritmi dei numeri da 1 a 9 (primo novenario), da 1, 1 =1 110 a 1, 9 = 1 9

10 (secondo novenario), da 1,01 a 1,09, da 1,001 a 1,009, e cosıvia a gruppi di nove fino a giungere a 1 9

109 = 1, 000000009.Nella seconda parte del capitolo, Briggs risolve il problema opposto, cioe

assegnato un numero non appartenente alle tavole, trovarne il logaritmo: Datocuilibet numero absoluto, Logarithmum congruum invenire. Il procedimento eanalogo al precedente. Preso il numeroN , se ne trova un altroN0 il cui logaritmoe presente nella tabella e tale che N/N0 ha 1 per parte intera. Posto

N −N0 = r1

si determina un numero q1 nella forma k/10m tale che

r1 = q1N0 + r2 > r2

per cuiN −N0 = q1N0 + r2

e dunqueN = N0(1 + q1) + r2 .

La procedura viene iterata cercando un altro numero q2 tale che

r2 = q2N0(1 + q1) + r3 > r3

in modo cheN = N0(1 + q1)(1 + q2) + r3

e cosı via fino al punto che o rn = 0, o esso e minore di un prefissato livello ditolleranza. A questo punto

N = N0(1 + q1)(1 + q2) · · · (1 + qn)

e, poiche sono noti i logaritmi dei fattori a destra, sara ottenibile anche bl (N).

Testo 3.7 (Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. XIV) pp.14-7, 14-8 di [1].Originale 3.15.

Abbiamo prima mostrato come si debba trovare un numero assoluto cor-rispondente ad un dato logaritmo; grazie alla sottrazione dei logaritmi compresinella tabella precedente e per moltiplicazione successiva dei numeri posti nella


regione: ora, al contrario, occorre mostrare come trovare il logaritmo corrispon-dente ad un numero assegnato; con il ricorso alla divisione del numero dato e lasomma dei logaritmi corrsipondenti ai quoti. Se il numero dato e composto danon piu di cinque cifre, il suo logaritmo si trova nelle tavole. Se le cifre sono dipiu, si consideri il numero formato solo dalle prime quattro cifre (...) che dividail numero assegnato in modo che, sottratto il divisore dal dividendo una volta,il prodotto del divisore per il quoto trovato sia aggiunto sempre al divisore: siaggiungano al logaritmo dato quelli che si trovano nella tabella in corrisponden-za dei quoti particolari: il risultato finale sara il logaritmo del numero dato. Adesempio, se il numero dato e 3041851528656, lo divido per 3041 che sottraggodal dividendo annotando 1 nel quoto: rimarra 851528656. Quindi procedo edopo tre zero metto due nel quoto e sottraggo dal dividendo il prodotto di dueper il divisore dato, scrivendo al di sotto il resto. Dopo aggiungo al divisore ilmedesimo prodotto e divido il resto per il risultato dell’addizione; sottraendo ilprodotto dal dividendo ed aggiungendo lo stesso al divisore: come prima, puoivedere qui lo svolgimento completo dell’operazione.

A. 3041— divisore dato 3041851528656 (1000286082 primo prodotto 3041

C. 30416082 divisore aumentato 851528656243328656 secondo prodotto 6082— primo prodotto

E. 3041851528656 divisore aumentato 243328656243328656 secondo prodotto

LogaritmiA. del divisore 3041 348301642014413B. del secondo quoto 10002 0000086850211648C. del divisore aumentato 3483103270355778D. del terzo quoto 100008 0000034742168882E. del divisore aumentato di nuovo 3483138012524660

La dimostrazione di tutte queste operazioni va ricercata nel capitolo due. In-fatti sia A il divisore dato, B il secondo quoto, C i fattori del divisore aumentato:quest’ultimo e distinto dal divisore dato e non e improprio chiamarlo divisoresecondo. Il suo logaritmo e pari (alla somma) dei logaritmi di A e B. Per 3 ilterzo assioma del cap. 2 il secondo divisore gioca lo stesso ruolo, dividendo ilnumero complessivo e trovando il terzo quoto. Infatti, benche moltiplichi soltan-to l’ultima cifra del quoto e solo il prodotto con questo venga sottratto dal resto,tuttavia comprendiamo che occorre anche sottrarre il prodotto dalla cifra delleunita nella sottrazione precedente la determinazione dell’ultimo quoto: pertantoil logaritmo di quest’ultimo quoto D viene aggiunto al logaritmo del secondo di-visore C, il risultato sara il logaritmo del divisore E nuovamente aumentato: ecoincide con quello del dividendo. Questa divisione e l’incremento del divisoreprocede sino a quando il prodotto dei fattori sia uguale al dividendo assegnato edi cui si cerca il logaritmo.

Con quest’ultimo stratagemma di calcolo termina la parte principale dellaArithmetica Logarithmica: Fin qui cio che riguarda la formazione e le proprieta

3.8. FONTI DEI METODI DI BRIGGS 91

dei logaritmi. Seguono certi esempi del loro uso48. I restanti capitoli sonodedicati alle applicazioni ma non li esaminiamo, volgendo piuttosto l’attenzioneallo studio delle fonti di Briggs.

3.8 Fonti dei metodi di Briggs

In mancanza di riferimenti bibliografici che consentano di risalire alle fonti diBriggs, si pone il problema di sapere se tutti i metodi numerici esposti nel-l’Arithmetica Logarithmica siano originali oppure se egli sia debitore ad altri.Ci occupiamo in questa sezione delle possibili fonti per il metodo radicale e pergli schemi alle differenze. La fonte del metodo radicale si trova nell’Appen-dice aggiunta alla ristampa del 1618 della traduzione inglese della Descriptiodi Nepero completata a Londra nel 1616 da Edward Wright con il titolo ADescription of the Admirable Table of Logarithms. La traduzione fu inviata aNepero che la approvo. Poco dopo Wright morı ed il compito di porre manoalla stampa passo al figlio Samuel. L’edizione del 1616 contiene una prefazionedi Briggs che curo anche la spiegazione di una tavola ausiliaria da usare pertrovare le parti proporzionali e che era stata introdotta da Edward Wrightsenza spiegazione alcuna. Va osservato che il numero di cifre decimali era statoridotto a sei nella traduzione, una in meno rispetto all’originale di Nepero.La prima ristampa apparve nel 1618 e rispetto all’edizione di due anni primacontiene un nuovo frontespizio e un’Appendice di sedici pagine dal titolo AnAppendix to the Logarithmes, shewing the practise of the Calculation of Tri-angles, and also a new and ready way for the exact finding out of such linesand Logarithmes as are not precisely to be found in the Canon. L’Appendice eanonima ed apparve naturale attribuirla a Briggs che, dopo tutto, aveva giadato altri contributi all’edizione del 1616. Il primo a mettere in discussionel’attribuzione a Briggs nel 1865 fu Augustus De Morgan (1806-1871) chela attribuı a William Oughtred (1574-1660) per le notazioni trigonometricheutilizzate.

Hutton attribuisce la nuova appendice a Briggs che aveva scritto nella vecchiaversione. Sono propenso ad attribuirla ad Oughtred, che non si era ancoramanifestato come uno scrittore di matematica, ma viveva in campagna comerettore di Albury. La mia motivazione e che la nuova appendice contiene questeabbreviazioni per il seno e per la tangente (s e t) che Oughtred utilizzo in seguitonel suo libro sulla trigonometria (1657) e che Briggs non utilizzo, come nessunodegli altri scrittori contemporanei che sono riuscito a trovare. 49 (p. 147 di [9]).

48Hactenus de creatione & affectonibus Logarithmorum. Sequuntur quaedam ad eorumusum spectantia

49The new appendix is attributed by Hutton to Briggs, who had written in the old part. Iam inclined to attribute it to Oughtred, who had not then come forward as a mathematicalwriter, but was living in the country as rector of Aldbury [Albury]. And my reason is thatthe new appendix contains those abbreviations for sine and tangent (s and t) which Oughtredafterwards (1657) used in his work on Trigonometry, and which Briggs did not use, nor anyother of their day that I can find.


La ricostruzione di De Morgan venne messa in dubbio nel 1918 da Glaish-er [9] che osservo come la stessa notazione per le funzioni trigonometriche erastata utilizzata anche da Richard Norwood nella sua Trigonometrie del 1631.Nonostante questo, Glaisher propende per l’attribuzione della Appendix adOughtred fornendo una serie di motivazioni stringenti, basate su un’attentalettura del testo. Anzitutto, nell’appendice le moltiplicazioni sono indicate conil simbolo × ovvero con x, che e proprio la notazione introdotta da Oughtredsia nella Clavis Mathematicarum del 1631 sia nel Circle of Proportion del 1632.Nel primo testo egli si esprime in questi termini

La moltiplicazione delle specie collega entrambe le grandezze proposte con unpunto od il segno × interposto: oppure piu grandezze senza alcun segno, se legrandezze vengono indicate da una sola lettera.50 (Oughtred, Clavis, p.7. In[9], p.161)

La seconda motivazione addotta da Glaisher riguarda la parola cathetusper indicare il lato di un triangolo rettangolo perpendicolare al lato assuntocome base: cateto traduce il greco καθετoς , perpendicolare, gia adoperato daEuclide. Inoltre, nella Appendix i vertici dei triangoli rettangoli sono indicatisecondo la seguente convenzione

Converra avere sott’occhio in ogni calcolo un triangolo , descritto secondo questaconvenzione: se e un triangolo rettangolo, indichiamolo con le lettere A.B.C: inmodo che A sia sempre l’angolo retto; B l’angolo (opposto) alla base B.A eC l’angolo (opposto) al cateto CA. Ma se si tratta di un triangolo scaleno, losi indichi con le lettere BCD. BD e la base e C l’angolo opposto; da questovertice partono i lati CB e CD. Il triangolo puo essere suddiviso in due triangolirettangoli ABC ed ADC da un cateto o perpendicolare CA. 51 (Appendix, in [9],p.162)

Tale convenzione va confrontata con questo passo della Trigonometria (1657)di Oughtred

Un triangolo rettangolo si indica con le lettere ABC in modo che A indichisempre l’angolo retto, BA la base, CA il cateto, BC l’ipotenusa: B l’angolo allabase, C l’angolo al cateto. Un triangolo scaleno si indica con le lettere BCD inmodo che il cateto condotto da C lo divida in due triangoli (rettangoli) aventi ilcateto CA in comune.52 (Oughtred, Trigonometria, p.2. In [9], p.163)

50Multiplicatio speciosa connectit utramque magnitudinem propositam cum nota in vel ×:vel plerumque absque nota, si magnitudines denotentur unica litera

51It will bee convenient in every calculation, to have in your view a triangle, describedaccording to the present occasion: and if it bee a right angled triangle, to note it with theletters A.B.C: so that A may bee always the right angle; B the angle at the Base B. A and Cthe angle at the Cathetus CA. But if it be an obliquangle triangle, to note it with the lettersBCD. BD being the base, and C the angle opposed thereto; the sides whereof shall be CB andCD. for so, out of the angle C. the triangle may be divided by a Cathetus or perpendicularCA into two right angled triangles, ABC & ADC.

52Triangulum rectangulum notatur literis ABC, ut A semper sit Angulus Rectus, BA Basis,CA Cathetus, BC Hypotenusa: B angulus ad Basem, C angulus ad Cathetum. Triangu-lum vero Obliquangulum notetur literis BCD, ut Catheto ex C ducta, in bina Triangula,communem Cathetum CA habentia, dispescatur.


Come si vede, il passo di Oughtred e la versione latina del testo inglesedell’Appendix. Un terzo indizio e l’uso della parola ingredient per indicare glielementi di un triangolo che entrano in un problema specifico, sia come dati checome incognite da determinare. Anche qui, seguendo l’indagine di Glaishersembra che questo uso di ingredient sia comune all’Appendix ed alla Trigonome-trie di Oughtred. Infine, l’uso di trattini e cerchi nelle figure per indicare idati e le incognite di un problema, rispettivamente (Figura 3.1). Nell’Appendix,

B D

C

Figura 3.1: Notazioni adoperate nell’Appendix. Nel triangolo BCD i trattiniindicano i dati del problema (CB, BD e l’angolo in B) mentre i cerchi indicanole incognite da determinare (gli angoli in C e D).

la spiegazione della notazione e la seguente

Descritto cosı il triangolo, indicate i suoi elementi assegnati con un trattino e glielementi da trovare con un cerchio. Come nella figura dove, dati l’angolo B ed idue lati BC e CD, occorre trovare l’angolo D compreso tra di loro.53 (Appendix,in [9], p.165)

Nel Circles of Proportion Oughtred scrive

Quando occorre risolvere un triangolo dato con l’uso della trigonometria, indi-cate i suoi elementi (lati od angoli) assegnati con una piccola linea che tagli quel-l’elemento; indicate l’incognita da determinare con un cerchietto.54 (Oughtred,Circles of Proportion, p.96. In [9], p.165)

Al di la della somiglianza tra i due passi, va notato che questa notazionefu utilizzata da altri autori oltre ad Oughtred, come Richard Delamainenell’Appendice alla Grammeologia del 1631 o John Wells nella Sciographia del1635, ma non e mai stata impiegata da Briggs nella Arithmetica Logarithmica.

A parte questi dettagli sull’attribuzione, e interessante vedere la forma delmetodo radicale qui presentata.

Testo 3.8 (Appendix) cfr. pp.141-143 di [9]. Originale 3.16.

53Having thus described your triangle, note the parts thereof given with a right line, & thepart sought with a circle. As in the figure we are by the angle B. and the two sides BD andCD to finde out the angle D intercepted bewteene them.

54When any triangle is given to be resolved by Trigonometrie, note the parts thereof (eithersides or angles) which are given and knowne, with a little line drawne crosse each such part:and note the unknowne part which is sought for with a little circle.


Segue ora il modo di trovare quei seni e logaritmi che non sono presentiesattamente nel canone: il fondamento di questo lavoro e che, dal momento chei seni ed i logaritmi contenuti nel canone sono uguali almeno finche il seno siriduce a 980000 circa ed il logaritmo cresce fino circa a 20200055. Da cio segueche se riusciamo con un mezzo qualsiasi a ridurre un logaritmo grande in mododa renderlo minore di 20200056 o ad accrescere un seno di per se piccolo, finoal punto da renderlo maggiore di 980000, possiamo ottenere la differenza daaggiungere o sottrarre piu rapidamente, senza il ricorso ad alcuna proporzione.Allo scopo, ho inventato e costruito la seguente Tavola che consiste di due parti;la prima e formata da seni assoluti, la seconda da parti decime e centesime.

La Tavola

Sin. Logarith. Sin. Logarith. Sine. Logarithme1 000000 100 4605168 10000 92103372 693146 200 5298314 20000 98034833 1098612 300 5703780 30000 103089494 1386294 400 5991462 40000 105966315 1609437 500 6214605 50000 108197746 1791758 600 6396925 60000 110020957 1945909 700 6551077 70000 111562468 2079441 800 6684609 80000 112897789 2197223 900 6802391 90000 11407560

10 2302584 1000 6907753 100000 1151292120 2995730 2000 7600899 200000 1220606730 3401196 3000 8006365 300000 1261153340 3688878 4000 8294047 400000 1289921550 3911021 5000 8517090 500000 1312235860 4094342 6000 8699511 600000 1330467970 4248493 7000 8853662 700000 1345883080 4382025 8000 8987194 800000 1359236290 4499807 9000 9104976 900000 13710144

Supplemento della Tavola per parti decime e centesime.

Sin. Logarith. Sin. Logarith. Sine. Logarithme11 95311 17 530628 104 3922212 182321 18 587786 105 4879013 262364 19 641853 106 5826914 336473 101 9951 107 6765915 405465 102 19803 108 7696216 470004 103 29560 109 86177

Per trovare il logaritmo di un seno o numero arbitrario con l’ausilio di questatavola: si moltiplichi il numero dato per quel seno nella prima parte della Tavola

55E un refuso tipografico, il numero corretto e 2020056Si veda la nota precedente


che lo avvicina maggiormente a 1000000 e se il prodotto e inferiore a 980000,lo si moltiplichi per una delle parti centesime. (Notate che moltiplicare per ladecima o centesima parte non e altro che spostare di una o due posizioni indietroil prodotto formato dall’ultima cifra della parte stessa.) Dopo aver reso il numeroassegnato maggiore di 980000, cercatene il logaritmo nel canone, operazione chepotrete svolgere con molta facilita tramite la sola aggiunta o sottrazione delladifferenza, come vi indichera la ragione. Infine, aggiungete a questo logaritmotrovato nel canone i logaritmi del seno e delle parti per cui lo avete moltiplicato,come riportati nella Tabella collaterale: la somma di tutti questi sara il logaritmodel seno o numero proposto: a mo’ di esempio, voglio determinare il logaritmodi 257.

257 × 3000771000 x 12 too little.1542925200 x 108: yet too little.74016

999216

In virtu del canone il logaritmo di questo numero si determina a prima vistae vale 784. Aggiungiamo i logaritmi della tabella che corrispondono a 3000, 12,108 ed otterremo 8266432 come valore vero del logaritmo di 257.

784800636518232176962

8266432

(Appendix, cfr. pp.141-143 di [9])

Lo scopo del procedimento e quello di trasformare il numero di cui si cerca illogaritmo neperiano attraverso moltiplicazioni successive che facciano cadere ilprodotto nella regione tra 980000 ed 1000000 dove le variazioni dei logaritmi co-incidono con quelle dei seni corrispondenti e pertanto il loro valore si determinaat first view. I logaritmi riportati nella tavola ausiliaria non sono pero neperiani,in quanto il logaritmo di 1 e 0. Chiamiamo [9] λ la funzione logaritmo riportatanella tavola. Ricostruiamo dunque l’algoritmo illustrato dall’esempio proposto,dove si vuol trovare nl (257). Dapprima si forma il prodotto

257× 3000× 1.2× 1.08 = 999216 :

Infatti, moltiplicato 257× 3000 = 771000 per 12, il risultato viene incolonnatoin modo si moltiplichi effettivamente per 1.2 e lo stesso per 108. Si asserisce che

nl (257) = nl (999216) + λ(3000) + λ(1.2) + λ(1.08).

i logaritmi nel supplemento alla tabella, tengono in considerazione il valore ef-fettivo dell’argomento: λ(11),...λ(19) sono inferiori al valore di λ(2) nella tabella


principale ed indicano λ(1.1),...λ(1.9). Ora, dalla regola del prodotto (2.4) validaper la funzione nl

nl (x) + nl (y) = nl (xy) + nl (1) ,

seguw che, se b = aα1α2α3, allora

nl (a) = nl (b) + [nl (1)− nl (α1)] + [nl (1)− nl (α2)] + [nl (1)− nl (α3)]

che e compatibile con l’algoritmo dell’Appendix se

λ(x) := nl (1)− nl (x) . (3.4)

Pertanto, possiamo concludere con Glaisher che nell’Appendix e utilizzato ilmetodo radicale cosı come un metodo per eliminare lo scomodo addendo nl (1)dalle formule dei prodotti, dal momento che, dalla definizione di λ, si ricava

λ(xy) = λ(x) + λ(y) .

Il confronto tra le equazioni (2.7) e (3.4) mostra che i logaritmi nell’appendicesono in realta λ(x) = r ln(x) cosı che si puo affermare, con Glaisher, chel’Appendix contiene la prima vera tavola di logaritmi naturali o, come diciamooggi, nella base e. In questo senso, l’anonimo autore—William Oughtred sediamo credito alla ricostruzione esposta sopra—avrebbe anticipato di un an-no John Speidell che pubblico nel 1619 l’opera New Logarithmes dove egliemenda i logaritmi di Nepero per facilitarne l’impiego a persone non avvezzea maneggiare numeri negativi. Nel frontespizio di quest’opera leggiamo [10]

New Logarithmes.The First invention whereof, was, by the Honourable Lo: Iohn Nepair Baron ofMarchiston, and printed at Edinburg in Scotland, Anno: 1614. In whose usewas and is required the knowledge of Algebraicall Addition and Subtraction,

according to + and -These being extracted from and out of them (they being first ouerseene,corrected, and amended) require not at all any skill in Algebra, or Cossike

numbers, but may be used by euery one that can onely adde and subtract, inwhole numbers, according to the common or vulgar Arithmeticke, without any

consideration or respect of + and -

(cfr. p. 36 di [10])Il procedimento di Speidell e molto semplice in quanto egli sottrae nl (x)

da 108 ed omette le ultime due cifre decimali. Se si tiene presente l’equazione(2.7) nel caso r = 107 si vede che il logaritmo di Speidell sl (x) di un numerox e

sl (x) = 107(10 + ln(x′))

dove x′ = x/107. E pero improprio vedere i logaritmi di Speidell come logar-itmi in una base fissa. Va poi detto che l’opera di Speidell non sembra averemolto influenzato la comunita scientifica, a dispetto delle otto edizioni che sisono succedute fino al 1628.


Se l’Appendix di Oughtred puo aver fornito l’ispirazione a Briggs nell’e-laborazione del metodo radicale, la fonte di parte degli schemi alle differenze erintracciabile negli scritti di Thomas Harriot (1560-1621) cui dobbiamo, tral’altro, l’introduzione dei simboli di > e < per maggiore o minore. L’operadi Harriot non esercito in genere una grande influenza, soprattutto per letravagliate vicende politiche degli ultimi anni di Elisabetta I. Egli aveva ac-compagnato come consulente scientifico Sir Walter Raleigh nella spedizione inVirginia e quando quest’ultimo, perso il favore della regina, venne impiccato,Harriot godette la protezione di Henry Percy conte di Northumberland chegli garantı una ragguardevole pensione annua di 300 sterline fino a quando ilconte venne imprigionato nella torre di Londra dal successore di Elisabetta,Giacomo I. Il deteriorarsi delle condizioni di salute impedı poi ad Harriotdi curare la pubblicazione dei risultati ottenuti, che rimasero sotto forma dimanoscritto. La formula di interpolazione utilizzata da Harriot e esprimibile,in formalismo moderno, come (§1.5 di [7])

f

(

x− k

n

)

= f(x)+k

n∆ f(x)+

1

2!(k

n)(k

n−1)∆2 f(x)+...+

1

5!(k

n)(k

n−1)···(k

n−4)∆5 f(x) .

Di questa formula egli fornisce applicazioni per produrre delle subtabulazioni.Non vi e traccia di relazioni dirette tra Harriot e Briggs, considerato il fattoche quando quest’ultimo giunse ad Oxford, la salute diHarriot era gia compro-messa. Non vi sono dunque elementi sufficienti per ipotizzare una dipendenzadi Briggs da Harriot e dobbiamo limitarci a prendere atto dell’esistenza diprocedimenti numerici simili portati avanti pressoche in parallelo.

3.9 Testi originali

Testo 3.9 [Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. V.]in [1], pp.5-13,5-14Ponamus omnes quotquot sunt numeros, in unica serie numerum ab unitatecontinue proportionalium esse descriptos, & Indices iisdem appositos esse hosipsos quos quaerimus Logarithmos atque ex hac infinita serie, sumantur duo nu-meri, quorum primus sit Denarius, cuius Index est 1,00000,00000,0000: reliquussit Binarius (vel alius quilibet) cuius Index ignoratur & quaeritur. Praeterhanc primam seriem quam appellamus infinitam, e qua desumpti sunt hi duonumeri, secunda series per tertium Lemma institui debet per continuam molti-plicationem Binarii in seipsum & in factos a seipso. Et continuanda est haecseries, donec Index ultimi facti, aequaetur Denarii Indici dato in prima illa se-rie infinita. Verum ut insuperabile illud tot multiplicationum taedium vitetur,plurimis intermediis numeris omissis, secundum continue proportionalium leges,per quartum Lemma huius capitis, praecipui facti quaerantur, una cum eorumIndicibus, donec ultimus factus quaesitus cum suo indice inventus fuerit. Quemintegrum adscribere non erit necessarium, sed tantum aliquot notas versus sin-istram, amputatis & abjectis reliquis: ita tamen ut per quintum Lemma, notussit numerus omnium notarum, quibus totus factus, si integer poneretur describi


debuit. Ductus igitur binarius in seipsum facit quatuor, cuius Index 2. Quater-narius in seipsum facit 16, cuius Index 4. 16 item in seipsum facit 256, cuiusindex 8, deinde hic factus ductus in 4 facit 1024, cuius Index 10 aequatur In-dicibus facentium. Notae autem in hoc facto ultimo sunt 4 quae omnia suntmanifestissima per quartum & quintum Lemmata proxime praecedentia. ut hicvides:

1 02 14 2 1

16 4 2 Tetras prima256 8 3

1024 10 410,48576 20 7

109,95116,27776 40 13 Tetras secunda12089,25819,61463 80 2512676,50600,22823 100 3116069,38044,25899 200 6125822,49878,08685 400 121 Tetras tertia66680,14432,87940 800 24110715,08607,18618 1000 30211481,30695,27407 2000 60313182,04093,43051 4000 1205 Tetras quarta17376,62031,93695 8000 240919950,63116,87912 10000 3011

Indices Numerus notarum

Isti autem quatuor numeri 4.16.256.1024. constituunt Tetradem primam. Deindealia Tetras instituenda est, cuius primus numerus sit multiplicatione ultimi nu-meri Tetradis praecedentis in seipsum. Secundus item est quadratus primi, &tertius secundi; quartus autem sit per multiplicationem primi, huius Tetradisin tertium. Atque horum quatuor Indices sunt 20.40.80.100. Sunt autem inhorum primo notae septem, in secundo 13, in tertio 25, in quarto 31. Eo-dem modo reliquas Tetradas absolvo donec ultimae Tetradis numerus quartushabeat indicem 1,00000,00000,0000. Numerus autem notarum in eodem quartoerit 30102,99956,6399. Atque ad hunc modum habemus circiter quinquagintaseptem praecipuos numeros in serie secunda ponendos. Horum primus, qui la-tus est et radix reliquorum, est binarius. Ultimus autem habet eundem Indicemquem in prima illa serie infinita Denario assignavimus.

Tertia series per secundum lemma describi potuisset integra, si haberemus ulti-mum factum secundae seriei, qui omnino aequalis est ultimo facto huius tertiaeseriei per primum Lemma. Numerus autem notarum in hoc ultimo utriusqueseriei notus est, idemque Indicem huius facti in tertia serie, & Binarii in illaprima serie infinita, superat tantum unitatem. Nam ut hunc Indicem in tertiaserie inveniamus, continue dividendus est ultimus factus per Denarium datumnumerum, cuius Index etiam datus fuit. Quod si denarius quemlibet diviserit,


Quotus erit pars decima divisi, id est idem plane cum diviso, dempta tamenunica nota (ut 4357 divisi per 10 dant quotum 435) idcirco numerus quotorumvel divisionum, unitate tantum minor erit numero notarum in diviso, quotorumautem numerus ostendit distantiam divisi ab Unitate, vel eiusdem divisi Indicemin hac tertia serie: qui idem est cum illo Indice in prima illa serie infinita, quilateri secundae seriei, id est Binario debet adscribi. Quique est idem ille quemquerimus Binarii Logarithmus, nempe 30102,99956,6398.

Testo 3.10 [Briggs, Arithmetica Logarithmica.]Cap. VI, in [1], pp.6-11,6-12.

D E

Numeri continue Medij Denarium & Unitatem. Logarithmi Rationales10 1,000

1 31622,77660,16837,93319,98893,54 0,50

2 17782,79410,03892,28011,97304,13 0,25

3 13335,21432,16332,40256,65389,308 0,125

4 11547,81984,68945,81796,61918,213 0,0625

5 10746,07828,32131,74972,13817,6538 0,03125

6 10366,32928,43769,79972,90627,3131 0,015625

7 10181,51721,71818,18414,73723,8144 0,00781,25

- —————- —————

- —————- —————

- —————- —————

50 10000,00000,00000,204510638912051946 0,00000,00000,00000,88817,84197,00125,23233,89053

51 10000,00000,00000,102255319456025921 L 0,00000,00000,00000,44408,92098,50062,61616,94526

52 10000,00000,00000,051127659728012947 M 0,00000,00000,00000,22204,46049,25031,30808,47263

53 10000,00000,00000,025563829864006470 N 0,00000,00000,00000,11102,23024,62515,65404,23631

54 10000,00000,00000,012781914932003235 P 0,00000,00000,00000,05551,11512,31257,82702,11815

Quaerantur autem huiusmodi Continue Medii inter Denarium & Unitatem,quorum primus erit57 ` .10, nempe 316227766016837933199889354, id est la-tus denarii, vel medius proportionalis inter 10 & 1. Deinde quaero latus laterisnuperrime inventi, id est ``. .10: 177827941003892280119730413, tertio pergo in-vestigare latus istius lateris, ```. .10: 133352143216332402566538931, eodemqueservato operationis modo progredior, donec tota series continue mediorum, Unacum Denario, contineat numeros distinctos quinquaginta quinque, quos videssignari litera D: quibus e regione locantur logarithmi rationales iisdem conve-nientes, signati E.Numerorum continue mediorum minimus est10000, 00000, 00000, 01278, 19149, 32003, 23441, 65, huius Logarithmus bisecan-do inventus est 0, 00000, 00000, 00000, 05551, 11512, 31257, 82702, 11815, 83. Pa-tuit enim per 2. ax. c. 2 Logarithmorum Lateris, dimidium esse illius Loga-rithmi qui quadrato tribuitur58, quia ex multiplicatione lateris in seipsum sitQuadratus. & idcirco quilibet horum logarithmorum duplus est proxime mi-noris. Cum autem notae significativae, quae unitati post quindecim cyphras

57Si ricordi che ` .n ≡ √n

58Si tratta della regola bl (xy) = bl (x) + bl (y).


sunt adjectae, sint dimidiae notarum proxime praecedentium; tam in continuemediis, quam in Logarithmis: ipsi Logarithmi proportionem eandem decrescen-do servare videntur, quam illi numeri quibus sunt adjuncti. & idcirco, si quinumeri, eo usque decreverint, ut post unitatem cyphrae quindecim in proximolocatae fuerint, reliquae notae significativae post cyphras adjectae, veros Log-arithmos vel veris proximos nobis exhibebunt, per proportionis illam aureamregulam quae omnia ut fiant magis manifesta, numeros aliquot continue pro-portionales una cum suis Logarithmis adscribere visum est, ex illis qui suntproximi numeris LMN & P: ea inter proximos servata ratione, quae est Unitatisad P, minimum e continue mediis, qui omnes fere crescunt aequaliter, pro ra-tione distantiae inter se quod eorum etiam logarithmi ex definitionis vi faceretenentur. Idcirco, si contigerit dati numerum adeo exiguum, ut intra Unitatem& numerum L locati debeat, licet non sit ullo modo censendus in numero pro-portionalium erit tamen eius Logarithmus inventus facilis, per proportionalisregulam. Cum in his numeris adeo exiguis crescant aut decrescant Logarith-mi pro ratione notarum significativarum, quae proximo post cyphras loco sitaesunt. Ut sit datus numerus X 10000,00000,00000,01. Aio hos quatuor numerosesse proportionales

12781, 91493, 20032, 34416, 5 Notae significativae post quindecim cyphras1−−−−−−−− −−−− unitati adijciendae

55511, 15123, 12578, 27021, 18158 Notae significativae post Characteristica (quae est cyphra)43429, 44819, 03251, 804 & alias sexdecim cyphras in Logarithmis scribendae.

Numeri continue proportionales supra unitatem Logarithmi

1 Unitas 0,00000P 10000,00000,00000,01278,19149,32003,23442 0,00000,00000,00000,05551,11512,31257,82702,12N 10000,00000,00000,02556,38298,64006,47047 0,00000,00000,00000,11102,23024,62515,65404,24

10000,00000,00000,03834,57447,96009,70815 0,00000,00000,00000,16653,34536,93773,48106,35M 10000,00000,00000,05112,76597,28012,94747 0,00000,00000,00000,22204,46049,25031,30808,47

1,0000,00000,00000,06390,95746,60016,18842 0,00000,00000,00000,27755,57561,56289,13510,591,0000,00000,00000,07669,14895,92019,43101 0,00000,00000,00000,33306,69703,87546,96212,711,0000,00000,00000,08947,34045,24022,67523 0,00000,00000,00000,38857,80586,18804,78914,83

L 10000,00000,00000,10225,53194,56025,92108 0,00000,00000,00000,44408,92098,50062,61616,95

X 10000,00000,00000,01 0,00000,00000,00000,04342,94481,90325,1804

Est igitur numeri X dati Logarithmus 0,00000,00000,00000,04342,94481,90325,1804.Horum numerorum proportionalium prima nota est unitas, reliquae omnes no-tae subsequentes, tam cyphrae quam significativae, exprimunt nobis Numera-torem partium unitati adijciendarum, quarum Denominator est illa ipsa unitas,& cyphrae, reliquis illis notis numero aequales. Numerus X non est inter hosproportionales numerandus: eius tamen Logarithmum diligentius exprimendumputavi; quia Logarithmi, qui per proportionis regulam quaerendi sunt, huiusope facilius inveniantur quam alterius cujusvis. Cum reliqui horum proportion-alium Logarithmi, nihil possint sine multiplicatione & divisione, hic autem solamultiplicatione totum negotium absolvit.


Testo 3.11 [Briggs, Arithmetica Logarithmica]Cap. VII, in [1], pp.7-8,7-9. Inter datum numerum (cuius Logarithmus quaeritur) & unitatem, quaer-antur continue medij, (ut in superiore capite) donec tandem inveniamus nu-merum adeo exiguum, ut Unitas praecedat quindecim cyphras, quas totidemvel plures notae significativae sequantur. Deinde (ut ad finem precedentis capi-tis ostendimus) hae notae significativae, per proportionis regulam dabunt nobisquaesitum logarithmum, illius numeri medii ultimo inventi.

In priore autem illa continue mediorum serie, a primi numeri Logarithmodato, bisecando devenimus ad ultimi medii Logarithmorum quaesitum: hic con-tra, duplicando ultimi medii Logarithmorum inventum, penultimi Logarithmumassequemur: eodemque modo reliquorum omnium; donec tandem dati priminumeri quaesitum Logarithmum nacti simus. (...)

Atque his modus etiam in se habet molestiae plus satis, nos autem eamconabimur aliqua ex parte minuere. Cum enim antea accepimus, in continue pro-portionalibus, datis duorum quorumlibet Logarithmis, posse alterius cuiusvis,cuius situs a datis notus erit, Logarithmum inveniri: per Lemma I. cap. 1 &Logarithmum divisi, aequari Logarithmis divisoris & quoti, per 3. ax. cap.3 poterimus, loco dati numeri, alium substituere commodiorem, cuius Loga-rithmus inventus, dati etiam numeri Logarithmorum ostendet ad hunc modum.Multiplicetur datus numerus in seipsum, & in factos a seipso, donec inveniaturnumerus A, cuius prima nota versus sinistram sit Unitas, quam proximo in locosequatur cyphra una aut plures: deinde ille numerus dividatur, per numerumqui describitur per unitatis notam & tot cyphras quot fuerint notae in dividen-do praeter Unitatem: tandemque inter quotum hunc & Unitatem quaeranturnumeri continue medij, donec ad illos terminos pervenerimus, quos supra assig-navimus, iuxta numerum L. Isti autem medii sunt & numero pauciores, & inven-tu faciliores, quam illi qui quaerabantur inter datum numerum 2 & Unitatem.Quae omnia sunt exemplo illustranda. Quaerendus esto Logarithmum Binarii:fiat per multiplicationiem Binarii, series continue proportionalium donec inve-niatur 1024 . A si dividatur per 1000 .B. quotus erit 1024, cuius Logarithmusubi inventus fuerit, additus Logarithmo divisoris, dabit Logarithmum numeri Adivisi 1024. per 3 ax. cap. 3 huius autem Logarithmi pars decima per Lemma1. cap. 1 erit Logarithmus Binarii quaesitus.

Quaerantur idcirco latus quoti inventi, reliquique; continue medij, usque dumpervenerimus ad quadragesimum septimum medium, inter datum quotorum &Unitatem qui est 1,00000,00000,00000,016851605705394977 qui cum intra lim-ites superius constitutos iuxta L situs sit, eius Logarithmus per auream regulaminvenitur 0,00000,00000,00000,07318,55936,90623,9336.

Hic habemus aliquot e continue mediis inter Unitatem & 1024, totus eorum

numerus est 47, quorum minimus & unitati proximus sit primus. Huius Logarithmus

invenitur eo modo qui traditur ad finem sexti Capitis. Reliquos vero inveniemus du-

plicando hunc inventum, reliquosque per continuam duplicationem inventos, donec ad

ipsius quoti 1024. Logarithmum perventum fuerit vel, si visum fuerit, omissis aliquot

intermedij, remotioris alicuius Logarithmum quaerere; fiat series numerorum ab uni-

tate continue proportionalium in ratione dupla, quibus adjungantur Indices vulgares

& sumatur numerus, situs e regione Indicis illius, qui aequatur numero intervallorum


inter datum Logarithmum & quaesitum, is numerus multiplicet datum Logarithmum;

factus erit Logarithmus quesitus. Ut si proximus quaeratur Logarithmus (quia unicum

est intervallum) binarius multiplicet; si secundus a dato quaternarius; si decimus a da-

to, multiplicet 1024, quia huius numeri Index est 10: si quadragesimus septimus a

dato, factor erit 140737488355328.

Testo 3.12 [Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. VIII]In [1], pp.8-9

38 10000,15116,46599,90567,29504,88 1 +A9

15116,58025,28288,79823,97 A8/211425,54992,70108,02 B9

† 11425,54992,70108,02 B8/417271,19788,93 C9

17271,65478,36 C8/845689,43 D9

45691,50 D8/162,07 E9

2,07 E8/3237 65 E10/32

2855,589 D9/162855,524 D10

2158,89973,616 C9/82158,87118,092 C10

2856,34430,37579,775 B9/42856,32271,50461,683 B10

7558,23299,95283,64752,440 A9/27558,20443,63012,14290,767 A10

10000,07558,20443,63012,14290,767 1 +A10

Uti in exemplo adscripto videmus, in quo numeri continue Medij, istas nobisper Divisionem & Subductionem ministrant Differentias, donec perventum sitad †. Postea vero, hae Differentiae pariunt ipsos continue medios: nam 65, parstricesima secunda numeri E 207, ablata e numero 2855589, parte decima sextanumeri D 4568943, relinquit 2855524 numerum D, vel differentiam quartam. Ea-dem haec differentia quarta D, ablata e parte octava C prioris, relinquit ipsamDifferentiam tertiam C, quae ablata e quadrante superioris B, relinquit ipsamB. Atque eadem B, ablata e semisse prioris A, relinquit ipsam A quae adjectaUnitati, est medius quaesitus 10000, 07558, 20443, 63012, 14290, 760. Eodemmo-do reliquos omnes Medios subsequentes per hujusmodi Differentias inveniemus,progrediendo donec tandem omnes differentiae paulatim deficiant praeter pri-mas, quae cum reliquae defecerint, omnino aequabuntur semissibus primarumpraecedentium. Reliqua vero sunt peragenda per proportionalis regulam: utsupra.

Testo 3.13 [Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. IX.]p.9-5 di [1]. Postinventos Logarithmos horum numerorum 1.2.3.5.10 & per 1.& 2. ax. cap. 2.


omnium ex mutua multiplicatione vel divisione provenientium: resta ut reliquo-rum primorum Logarithmos quaeramus, quorum investigatio fere erit quae an-tea, aliquanto tamen facilior. Sumantur enim duo numeri compositi, quorummaior minorem unitate tantum superat; & sit primus, factus a dato (cujus Log-arithmus quaeritur) ducto vel in seipsum, vel in numerum cuius Logarithmusdatus erit: secundi vero Logarithmus sit datus. Atque ut huiusmodi duos com-positos facilius consequamur, sumatur primus ille cuius Logarithmus quaeritur,cum duobus utrinque proximis, qui semper sunt compositi. Vel loco primi,sumatur multiplus ejusdem, cum duobus utrinque, vel ex altera parte proximis,horum medius in seipsum ductus, facit numerum unitate supearantem factum acircumpositis, per 5. p.2 lib Eucl. Factus autem minor majorem dividat, & percontinue medios inter quotum & Unitatem, quaeratur Logarithmus quoti, utantea Capite 7 ostendimus. Exempli gratia: Quadratus Septenarii (cujus Log-arithmus quaeritur) 49 in seipsum ductus facit 2401; factus autem ab utrinqueproximis 48 & 50 est 2400. Hic si majorem dividat, quotus erit 100041/23 vel100041666666666666667, inter quem et Unitatem, minimus quadraginta quatuorMediorum est

10000,00000,00000,00236,79824,90433,36405, cujus Logarithmus

0,00000,00000,00000,01028,40172,88387,29715, qui quadragies quater dupli-catus, vel ductus in 17592186044416 dabit

0.00018,09183,45421,30 Logarithmum quoti 100041666666666666667, qui ad-ditus Logarithmo Divisoris 2400, dabit Logarithmum Divisi 2401, cuius parsquarta est Logarithmus Septenarii quaesitus.

Testo 3.14 (Briggs, Arithmetica Logarithmica Cap. XIV) p.14-6 di [1]. Os-tendimus Cap. XI quomodo numerus inter Chiliadas repertus, per partem pro-portionalem augeri possit, ut vix errori sit locus intra locum duodecimum59.Nunc ostendam quomodo ope huius in proximo sequentis tabellae, per solamsubductionem & multiplicationem numerus verus quaesitus inveniri possit: simodo sit numerus rationalis, & quatuordecim aut paucioribus notis describipoterit.

Numeri qui hac tabella continentur, distinguntur per Novenarios. Qui sunt asinistris, sunt Unitates & unitatis aliquot particulae: a dextris e regione siti sunteorum Logarithmi. Primi novem sunt Unitates, & signantur litera A: proximinovem signati litera B, sunt Unitates & unitatum partes decimae; ut 11, 12, 13,&c. Proximi novem signati litera C sunt Unitates & centesimae. Reliquae Nove-narii deinceps similiter, D millesimas adijciunt unitati. E decies millesimas, &c.Horum ope, dato Logarithmo invenitur numerus conveniens absolutus ad huncmodum. Esto datus Logarithmus 3,66067,57883,3852. Ab hoc (ubi Characteris-ticam deposuerit) Logarithmus Ternarii 0,47712,12547,19662, e primo Novenariodesumptus auferatur, restabit 0,18355,45336,18858: a quo auferri poterit Loga-rithmus 14 quem tabella haec exhibet in secundo Novenario, deinde in proximoNovenario Logarithmus 109 auferendus est, & restabit nihil. Aio continue factus

59Nell’edizione di Vlacq, che ha lavorato con due cifre decimali in meno di Briggs, si parladi locum decimum.


ab his tribus 3, 14, 109, nempe 4578 esse numerum quaesitum. Tota operatiosic se habet.

0,66067,57883,3852 logarithmus datus 14 multiplicandus0,47712,12547,19662 - - - 3 3 multiplicator0,18355,45336,18858 reliquus 42 factus0,14612,80356,78238 - - -14 42 multiplicandus0,03742,64979,40620 reliquus 109 multiplicator0,03742,64979,40622 - - -109 3780,00000,00000,00000 42

4578 factus

Testo 3.15 [Briggs, Arithmetica Logarithmica, Cap. XIV.] pp.14-7, 14-8 di[1]. Superius ostendimus, quomodo dato Logarithmo numerus conveniens abso-lutus sit inveniendus; per subductionem Logarithmorum in praecedente tabulacomprehensorum & continuam multiplicationem numerorum e regione posito-rum: hic contra ostendendum, quomodo dato numero Logarithmus convenienssit quaerendus; per dati divisionem, & Logarithmorum quotis respondentiumadditionem. Si datus numerus quinque tantum notis scribatur, eius Logarith-mus inter Chiliadas descriptur habetur. Sin pluribus; sumatur numerus primisquatuor tantum notis comprehensus (...). Is datum numerum ita dividat, utpostquam divisorem semel subduxeris e dividendo, factus a divisore ducto inquotum inventum, additur semper divisori: quotorum autem particularium intabella reperti Logarithmi, addantur divisoris primi Logarithmo: totus erit datinumeri quaesitus Log. Ut si datus numerus 3041851528656, hunc numerum di-vido per 3041, quem subduco e numero dividendo, adnotans in quoto 1: restabit851528656. Deinde pergo & post tres cyphras pono 2 in quoto, & factum a 2 indatum divisorem subduco a dividendo, subscribens reliquum. Postea eundemfactum addo divisori & per eundem auctum, reliquum divido; factum auferense dividendo, & eundem addens divisori: ut antea Totius operationis modum hiccernere poteris

A. 3041— divisor datus 3041851528656 (1000286082 factus primus 3041

C. 30416082 divisor auctus 851528656243328656 factus secundus 6082— factus primus

E. 3041851528656 divisor auctus 243328656243328656 factus secundus

LogarithmiA. Divisoris 3041 348301642014413B. Quoti secundi 10002 0000086850211648C. Divisoris aucti 3483103270355778D. Quoti Tertij 100008 0000034742168882E. Divisoris aucti denuo 3483138012524660

Horum omnium demostratio petenda est e capite secundo. Sunt enim Divi-sor datus A, & Quotus secundus B, factores Divisoris aucti C: qui alius est a


divisore dato, & non injuria appellari poterit divisor secundus. Ejusque Loga-rithmus aequatur Logarithmis A & B. Per 3 ax. cap 2 deinde secundus divisoridem negotium suscipit, dividens totum datum numerum, & inveniens quotumtertium 100008. Nam licet ultima quoti nota multiplicet tantummodo, & fac-tus ad eodem, solus auferatur e reliquo, tamen intelligimus factum ab unitatisnota etiam auferri, in ea divisione quae hujus ultimi quoti inventionem praeces-sit: idcirco si hujus ultimi quoti D Logarithmus, addatur Logarithmo divisorissecundi C, totus erit Logarithmus divisoris denuo aucti E: id est ipsius dividen-di. Progreditur enim haec divisio, ejusque augendo divisorem, donec accessionefactorum tandem fiat aequalis ipsi dividendo dato, cuius Logarithmus quaeritur.

Testo 3.16 (Appendix) cfr. pp.141-143 di [9].Now followeth the way of finding out such sines and logarithmes, as are notin the canon precisely to be had: the ground of which worke is, because thedifferences of the sines and logarithmes in this canon, are equall so farre untillthe sine decreases about 980000. and the logarithme increase about 20200060.Wherefore if wee shall by any art bring the logarithme, being it selfe great, thatit may be less then 20200061, or the sine being it self little, that it may beegreater then 980000. we may have the difference to bee added, or subtracted,most readily without any proportion. For the performance whereof, I haveinvented and framed this Table following: which consisteth of two parts; theformer being of absolute sines, the latter of tenth and hundreth parts.

The Table

Sin. Logarith. Sin. Logarith. Sine. Logarithme1 000000 100 4605168 10000 92103372 693146 200 5298314 20000 98034833 1098612 300 5703780 30000 103089494 1386294 400 5991462 40000 105966315 1609437 500 6214605 50000 108197746 1791758 600 6396925 60000 110020957 1945909 700 6551077 70000 111562468 2079441 800 6684609 80000 112897789 2197223 900 6802391 90000 11407560

10 2302584 1000 6907753 100000 1151292120 2995730 2000 7600899 200000 1220606730 3401196 3000 8006365 300000 1261153340 3688878 4000 8294047 400000 1289921550 3911021 5000 8517090 500000 1312235860 4094342 6000 8699511 600000 1330467970 4248493 7000 8853662 700000 1345883080 4382025 8000 8987194 800000 1359236290 4499807 9000 9104976 900000 13710144

60E un refuso tipografico, il numero corretto e 2020061Si veda la nota precedente


The supplement of the Table for tenth and hundreth parts.

Sin. Logarith. Sin. Logarith. Sine. Logarithme11 95311 17 530628 104 3922212 182321 18 587786 105 4879013 262364 19 641853 106 5826914 336473 101 9951 107 6765915 405465 102 19803 108 7696216 470004 103 29560 109 86177

To finde out the Logarithme of any sine or number whatsoever by helpe of thisTable. Multiply the number given by that sine in the former part of this Tablewhich you find will bring it nerest unto 1000000 and if you finde the productlesse, then 980000. multiply the same product by one of the hunderd parts.(Note that the multiplying by tenths and hundreth parts, is nothing else but toset the product made by the latter figure of the same partes one or two placesbackward.) Then having thus brought your number given to exceed 980000.seeke the logarithme of it in the canon, which you shal most easily finde onelyby adding or subtracting the difference, as your own reason shal direct you.Lastly, to this Logarithme found out by the canon, adde the logarithms of theTable collaterall to the sine & parts wherewith you multiplyed, and the summeof all shall be the logarithme of the sine or number proposed: as for example, Iwould have the logarithme of 257.

257 × 3000771000 x 12 too little.1542925200 x 108: yet too little.74016

999216

the logarithme of this by the canon at the first view appareth to be 784. untothis adde the logarithmes of the table colaterall to 3000. & 12. & 108. and soshal you have 8266432 for the true logarithme of 257.

784800636518232176962

8266432

Bibliografia

[1] I. Bruce: Briggs’ Arithmetica Logarithmica, Intro-ductory Chapter. Appunti disponibili sul sito webhttp://www.17centurymaths.com/contents/albriggs.html (2006).

[2] J.W.L. Glaisher: On early tables of logarithms and the early history oflogarithms. Quart. J. Pure Appl. Math. 48, 151–192, (1920).

[3] H. Briggs: Arithmetica Logarithmica, Editio Secunda aucta per AdrianumVlacq Goudanum (1628). Ristampa anastatica, Georg Olms, Hildesheim(1976).


[5] D.T. Whiteside: Patterns of mathematical thought in the later SeventeenthCentury. Arch. Hist. Exact Sciences 1, 179–388, (1960-1962).

[6] D.T. Whiteside: Henry Briggs: The binomial theorem anticipated. Math.Gazette 45, 9–12, (1964).

[7] H.H. Goldstine: A History of Numerical Analysis From the 16th Throughthe 19th Century. Springer, New-York, (1977).

[8] F. Cajori: A History of the Logarithmic Slide Rule and Allied Instruments.Astragal, Mendham, New Jersey (U.S.A.), (1994); ristampa dell’originalepubblicato nel 1910 dalla Chelsea Publishing Company, New York.

[9] J.W.L. Glaisher: The earliest use of the radix method for calculating loga-rithms, with historical notices relating to the contributions of Oughtred andothers to mathematical notation. Quart. J. Pure Appl. Math. 46, 125–197,(1918).

[10] F. Cajori: Notes on the History of Logarithms, Abhand. Gesch. Math.,33–39, (1899).

107

108 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 4

Fine dell’eta pioneristica

4.1 Keplero e la diffusione dei logaritmi in Ger-

mania

I logaritmi si diffusero rapidamente in tutta Europa in quanto venivano a ri-solvere seri problemi di calcolo in astronomia. Tra i piu entusiasti sosteni-tori dell’opera di Nepero troviamo l’astronomo Johannes Kepler (Keplero1571-1630) che, ignaro della morte di Nepero, gli indirizzo una lettera elo-giativa datata agosto 1619. Oltre ad essere un utente di tavole logaritmiche,Keplero scrisse sui logaritmi, componendo le Chiliades Logarithmorum (Mar-burgo, 1624), che contiene 1036 logaritmi di numeri N nella forma 105 ln(105/N)ed il Supplementum chiliadis Logarithmorum (Marburgo, 1625) che contiene es-empi illustrativi del metodo. Le Tabulae Rudolphinae (Ulm, 1627) contengonodue tavole logaritmiche: la prima—Heptacosias logarithmorum logisticorum—ha 700 logaritmi che si possono esprimere come − ln(x), con argomento x in for-ma sessagesimale. La seconda tavola e il Canon Logaritmhorum et Antilogarith-morum ad Singula semicirculi Scrupula che riporta i logaritmi −105 ln(sin(x)),ad intervalli di 1’ per x.

Nella lettera a Nepero, Keplero confida di aver utilizzato da tempo unprocedimento che conduceva a risultati coerenti con quelli ottenuti da Neperoanche se sotto l’ipotesi restrittiva che l’argomento del logaritmo fosse lontanodall’angolo retto: Non funziona se non quando l’arco differisce sensibilmente daquello retto.1:

Quell’esercizio di numeri svolto da te in generale e di cui io utilizzavo gia famolti anni una piccola parte, mi ero proposto di farlo diventare parte di tavole.2

(cfr. p. 130 di [1])Keplero non accenna al modo in cui ha ottenuto le tavole, ne spiega il loro

utilizzo. Sappiamo che egli venne a conoscenza delle tavole neperiane a Praga nel

1locum non esse, nisi ubi arcus a rectis sensibile differt2Generale factum ab te exercitium illud numerorum cuius ego particulam exiguam iam a

multis annis in usu habebam, tabularum partem face proposueram

109

110 CAPITOLO 4. FINE DELL’ETA PIONERISTICA

1617, senza pero poterle studiare. L’anno successivo lesse il Cursus MathematiciPratici di Beniamin Ursinus dove le tavole di Nepero erano riprodotte edi logaritmi applicati alla soluzione di vari problemi di trigonometria sferica.Questo testo rianimo la curiosita di Keplero che riuscı, grazie anche alla primalettura della Descriptio, a riottenere i logaritmi neperiani in modo autonomo,visto che la Constructio era appena stata stampata in Scozia eKeplero affermanelle sue lettere di averla consultata solo nel 1621, anche perche in quegli anni eraassorbito dalla stesura dell’Harmonices Mundi (1619), dove figurano le celebrileggi sul moto dei pianeti. Una svolta si ha quando il maestro di Keplero,Michael Maestlin, astronomo a Tubinga, che aveva guadagnato Galileo allateoria copernicana, gli scrive una lettera, datata 2 marzo 1620, dove esprimetutte le sue perplessita di fronte all’opera di Nepero confessando la propriaincapacita a riprodurre le dimostrazioni. La risposta di Keplero mostra come,al contrario, egli all’epoca avesse il pieno controllo della teoria neperiana, tantoda riprodurne i risultati per una via diversa che fa riferimento al metodo dibisezione e dunque assomiglia nello spirito all’approccio di Briggs.

La spinta decisiva che oriento il lavoro di Keplero nella stesura delle Chil-iades venne da un viaggio intrapreso in Germania del Nord l’anno 1621, in cuirimase colpito dallo scetticismo nei confronti dei logaritmi che i colleghi astrono-mi nutrivano. Le critiche essenziali riguardavano gli argomenti cinematici postida Nepero a fondamento della sua costruzione, (la cui scivolosita e inadatta3)per concludere che si trattava di uno strumento di calcolo sospetto, privo di unsolido sostrato teorico e dunque da evitare: (e pericoloso) utilizzare una forma dicalcolo come legittima senza una dimostrazione4. Keplero, entusiasta sosten-itore dell’uso dei logaritmi si sentı in dovere di fornirne una legittimazione agliocchi dei colleghi: Mi basto questo perche elaborassi subito una qualche formarudimentale di dimostrazione legittima5. Nel 1622 le Chiliades Logarithmorumfurono inviate aMaestlin perche le correggessema l’anziano maestro tergiversoa lungo prima di restituirle, dopo ripetute richieste dell’autore, nel 1623. Filip-po, langravio di Assia, ne curo a sue spese la stampa nel 1624. La parte teoricadell’opera—Demonstratio Structurae Logarithmorum—(pp. 322-345 di [2]) con-tiene un certo numero di postulati, uno schema per il calcolo di log 7 e trentaproposizioni che, nelle intenzioni di Keplero dovrebbero stabilire su un solidofondamento i logaritmi neperiani. I postulati di Keplero sono di stile euclideo,basato sulla teoria delle proporzioni. Il primo ostacolo e proprio stabilire lamisura m di un rapporto che non e semplicemente il confronto tra grandezzeriferite ad un’unita di misura comune, ma una relazione tra le grandezze medes-ime. Il valore numerico di m = a/b = c/d = e/f , la cui esistenza e postulata daKeplero, porta alla definizione di logaritmo.

Postulato I. Misurare ovvero esprimere tutti i rapporti uguali tra loro con una

3cuius lubricitas et fluxibilitas inepta esset4sine demonstratione legitimi formam calculi in usum recipere5Haec, mihi, causa fuit, statim tunc concipiendi rudimentum aliquod Demonstrationis

legitimae

4.1. KEPLERO E LA DIFFUSIONE DEI LOGARITMI IN GERMANIA111

stessa quantita, qualunque sia la natura dei due termini di uno e dell’altro.6 (p.322 di [2])

Keplero antepone al calcolo di log 7 due assiomi ed una proposizione cheprecisano le proprieta elementari delle proporzioni continue.

Assioma I. Se sono date delle quantita arbitrarie dello stesso genere che si suc-cedono una con l’altra in un ordine qualsiasi, come ad esempio se si succedonoin ordine di grandezza, si capisce che il rapporto dei termini estremi e compostoda tutti i rapporti intermedi delle coppie e delle coppie vicine o, cio che e lostesso, un rapporto diminuisce all’aumentare del termine minore o al diminuiredel maggiore, mentre cresce in caso contrario.7 (p. 322 di [2])

In termini formali, presa la proporzione continua

a : b = b : c = c : d = d : e = e : f = ...

si vuole trovare il rapporto a : f degli estremi. La ricetta corretta di Kepleroe

a

f=a

b

b

c

c

d

d

e

e

f.

Questo rapporto aumenta al crescere del termine maggiore o al diminuire di quel-lo minore. Il medio proporzionale b tra due termini a e c divide la proporzionea : c in due proporzioni uguali: a : b = b : c

Proposizione I. Il medio proporzionale tra due termini ne divide il rapporto indue rapporti uguali tra loro.8 (p. 322 di [2])

In questa parte elementareKeplero sente il bisogno di enunciare un assiomail cui contenuto e il seguente: dato un numero n di quantita arbitrarie dispostein ordine crescente, il rapporto formato daglle grandezze estreme viene divisodalle n− 2 interne in n− 1 = (n− 2) + 1 parti.

Assioma II. Date delle quantita qualsiasi, poste in ordine crescente, il rapportoformato dalle estreme viene diviso da quelle intermedie in un numero di partiche supera di un’unita il numero dei rapporti intermedi.9 (p. 322 di [2])

Con il secondo postulato, Keplero intende affermare la possibilita di di-videre un rapporto in un numero arbitrario di parti. L’esempio presentato el’inserzione di trenta medi proporzionali tra 10 e 7.

Postulato II. E possibile dividere un rapporto tra due termini assegnati arbitrariin un numero arbitrario di parti (come accade per le parti innumerevoli di una

6Omnes proportiones inter se aequales, quacunque varietate binorum unius et binorumalterius terminorum, eadem quantitate metiri seu exprimere.

7Si fuerint quantitates quotcunque ejusdem generis, quocunque ordine sibi invicem succe-dentes, ut si ordine magnitudinis sibi invicem succedant, proportio extremarum compositaesse intellegitur ex omnibus proportionibus intermediis binarum et binarum inter se vici-narum, seu quod eodem redit, proportio minuitur aucto minori termino vel diminuto majori,augetur rationibus contrariis.

8Medium proportionale inter duos termini dividit proportionem terminorum in duasproportiones inter se aequales.

9Si fuerint quantitates quotcunque, crescentes ordine proportio extremarum divisa est perintermedias in partes una plures, quam sunt intermediae, divisionem facientes.


progressione geometrica di ragione 12) fino al punto che le parti ottenute siano

minori di una quantita assegnata.10. (p. 322 di [2])Nell’esempio, Keplero suddivide il rapporto 10 : 7 in 1073741824 = 230

parti eguali, in modo che la differenza tra 10 ed il termine successivo della pro-porzione e molto piccola. Il passo seguente e in realta un arbitrio, in quantoKe-plero assume come misura del rapporto piu piccolo (minimo) della proporzioneinfittita la differenza (excessum) dei suoi termini:

m(a

b

)

:= |a− b| .

Per quanto arbitraria sia questa definizione, essa e di sapore logaritmico perche,presi quattro numeri a > b > c > d, dalle identita

a

b

b

c

c

d=a

d

e(a− b) + (b − c) + (c− d) = (a− d)

si vede che

m(a

b) +m(

b

c) +m(

c

d) = m(

a

d)

che corrisponde all’identita

log

(

a

b

b

c

c

d

)

= log(a

b

)

+ log

(

b

c

)

+ log( c

d

)

.

Postulato III. E possibile assegnare o misurare con una quantita arbitrariail minimo elemento di una proporzione, minuscolo quanto si vuole, come adesempio tramite la differenza dei termini di questo elemento.11 (p. 324 di [2])

Nel commento all’esempio discusso in precedenza, Keplero torna su questadefinizione. Introdotti i 30 medi proporzionali tra 7 e 10, il termine che precede10 e 9.9999999966782056900 e Keplero prende 0.0000000033217943100 = 10−9.9999999966782056900 come misura del rapporto 10 : 9.9999999966782056900.

Keplero torna a proposizioni generali sulle proporzioni continue che enun-ciamo per completezza senza proporre la dimostrazione. La Proposizione IIafferma semplicemente che, se a : b = b : c, allora a : b = (a− b) : (b− c)Proposizione II. Assegnati tre termini di una proporzione continuata, il rapportotra il primo ed il secondo, ovvero del secondo con il terzo, coincide con il rapportotra la differenza dei primi due termini e la differenza degli ultimi due.12 (p. 324di [2])

10Proportionem inter datos duos terminos quoscunque dividere in partes quotcunque (ut inpartes numero continue multiplici progressionis binariae) et eo usque, donec partes orianturminores quantitate proposita

11Minimum proportionis elementum, quantulum pro minimo placuerit, metiri seu signareper quantitatem quamcunque, ut per excessum terminorum hujus elementi.

12Cum fuerint tres continue proportionales, quae est proportio primae ad secundam, velsecundae ad tertiam, eadem est proportio differentiae priorum ad differentiam posteriorum.


Applicando questa proposizione alla proporzione continua a : b = b : c = c :d = d : e... si ottengono le proporzioni

a

b=a− b

b− c

b

c=b− c

c− d

c

d=c− d

d− e

che, composte, forniscono a : d = (a − b) : (d − e). Se gli elementi a, b, c, d, esono posti in ordine crescente, anche le differenze tra termini successivi b − a,c− b, d− c, e− d sono crescenti.

Proposizione III. Date un certo numero di quantita in proporzione continua, ladifferenza piu piccola compete al rapporto con i termini minori, quella massimaa quello con i termini maggiori.13 (p. 324 di [2])

Come conseguenza, se si prende d− e come misura di d/e, la misura di a− bdi a/b (a, b < d, e) risultera minore di d − e benche, stante la proporzionecontinua, la misura dovrebbe essere comune a tutti i rapporti.Proposizione IV. Date un certo numero di quantita in proporzione continua, sesi prende come misura comune la differenza tra i termini maggiori, le differenzedi due qualsiasi altre quantita successive saranno minori della corretta misuradella proporzione di cui fanno parte.14 (p. 324 di [2])

Viceversa, la misura che compete a rapporti come a/b per il fatto di far partedi una proporzione continua e piu grande della differenza tra i suoi termini |a−b|.Proposizione V. Se si assume in una proporzione continua la differenza tra itermini piu grandi come misura del loro rapporto, tutti i rapporti restanti trail massimo ed uno qualsiasi dei minori rimasti avranno una misura maggioredella differenza dei termini che li compongono.15 (pp. 324-325 di [2])

Cosı, se nella sequenza di numeri in proporzione continua 1000, 900, 810,729 si prende m(1000/900) = 100, si ha m(900/810) = 90 < 100. Inoltre, ilrapporto composto 1000/729 dovrebbe avere misura 300, in quanto vi sono duemedi proporzionali inseriti tra 729 e 1000. Al contrario, la differenza dei terminie solo 271 (p. 325 di [2]).

Un problema simile si incontra se si decide di prendere come misura dellaproporzione continua a : b = b : c = c : d = d : e = e : f = ... la differenzaf − c tra termini non contigui e di attribuire ai rapporti c : d = d : e = e : fmisura pari a (f − c)/3. In realta, alcuni rapporti avranno misura minore edaltri maggiore di quella stabilita.Proposizione VI. Se si assume come misura di una proporzione continua la dif-ferenza tra il termine piu grande ed uno dei termini minori che non lo seguonoimmediatamente, le proporzioni formate dal termine piu grande e da un ter-mine maggiore di quello adottato in precedenza avranno una misura minore

13Cum fuerint aliquot quantitates in proportione continua, minimarum minima estdifferentia, maximarum maxima.

14Cum fuerint aliquot quantitates in proportione continua: si differentia maximarum statu-itur mensura proportionis illarum, differentiae quarumcunque duarum deinceps erunt minoresmensura proportionis illarum justa.

15In continue proportionalibus si differentia maximarum statuitur mensura proportionisillarum, omnes reliquae proportiones, quae sunt inter maximam et unamquamlibet reliquarumminorum, sortientur mensuras majores differentiis suorum terminorum


della differenza dei loro termini; quelle proporzioni che invece tra il terminemaggiore ed un termine maggiore di quello scelto in precedenza, daranno unamisura maggiore della differenza dei suoi termini.16 (p. 325 di [2])

Nella successiva Proposizione VII, Keplero ribadisce la definizione di pro-porzione continua, in vista della caratterizzazione dei rapporti contenuta nellaProposizione VIII.

Proposizione VII. Se si dispone un certo numero di quantita in ordine di grandez-za, in modo che le proporzioni formate da due termini successivi siano tra lorouguali, le stesse quantita formeranno una proporzione continua.17 (p. 325 di[2])

Nella Proposizione VIII si afferma che, inserendo tra due numeri qualsiasi ae b altri numeri che non appartengono ad una proporzione continua contenentea e b, allora il rapporto a/b non viene diviso in parti aventi una misura comune.

Proposizione VIII. Se si dispone un numero qualsiasi di quantita una dopo l’al-tra in ordine di grandezza e le grandezze intermedie non appartengono ad al-cuna proporzione continua, prolungata effettivamente o idealmente con l’inter-posizione dei termini omessi, allora tali proporzioni intermedie non dividonoquella dei termini estremi in parti commensurabili.18 (pp. 326-327 di [2])

Se si vogliono inserire k medi proporzionali razionali (effabiles) tra numerirazionali della forma α(an) e α(bn) (ejusdem speciei figurativae), allora k = n−1.

Proposizione IX. Quando due lunghezze razionali non stanno tra loro come duenumeri della stessa specie figurativa, cioe come due quadrati o due cubi, alloratra quelle lunghezze non cadono altre lunghezze razionali se non nel numerostabilito dalla specie medesima, cioe una tra due quadrati, due tra dei cubi, tretra due biquadrati, ecc.19 (p. 327 di [2])

Come ovvio corollario, se n = 1 allora k = 0, come precisato dalla Propo-sizione X.

Proposizione X. Se le due quantita estreme di un certo numero di quantitarazionali, disposte in ordine di grandezza, non stanno tra loro come due quadratio due cubi o due altri della medesima specie, allora nessuna delle proporzioni

16In continue proportionalibus si differentia maximae et unius minorum non deinceps se-quentis statuitur mensura proportionis illarum, reliquae proportiones, quae quidem sunt in-ter maximam et unam prius ascita majorem, sortientur mensuram minorem differentia suo-rum terminorum; quae vero proportiones sunt inter quantitatem maximam et unamquam-libet, prius ascita minorem, nanciscentur mensuram majorem, quam est differentia suorumterminorum.

17Si quantitates aliquot ordine magnitudine deinceps collocentur, binae deincepsproportiones aequales facientes, ipsae quantitates continue proportionales erunt.

18Si quantitates quaecunque deinceps collocentur ordine magnitudinis, quarum quae in-termediae non sint inter proportionales medias proportionis cujuscunque, sive actu continu-atae, sive potestate continuandae interpositione omissarum: intermediae tales proportionemextremarum non dividunt in commensurabilia.

19Cum duae longitudines effabiles non fuerint ad invicem, ut duo numeri ejusdem specieifigurativae, v. c. duo quadrati aut duo cubi: non cadent inter illas longitudines aliae effabilesmediae proportionales numero tot, quot ipsa species postulat, v.c. quadrati unam, cubi duas,biquadrati tres etc.


intermedie divide quella assegnata in parti commensurabili.20 (pp. 327-328 di[2])

Con la Proposizione XI entrano in scena le progressioni aritmetiche e Ke-plero mostra che una progressione aritmetica di termini razionali non puo farparte di una proporzione continua di numeri razionali.

Proposizione XI Tutte le proporzioni ordinate in successione che sono formateda termini razionali che differiscono tra loro di una quantita costante, sono traloro incommensurabili.21 (p. 328 di [2])

La Proposizione XII estende il contenuto della Proposizione VI al caso dinumeri qualsiasi, posti in ordine crescente:

Proposizione XII Se delle quantita qualsiasi vengono disposte una accanto al-l’altra in ordine di grandezza e si definisce come misura della proporzione ladifferenza tra le quantita maggiori, allora la differenza tra qualsiasi altra cop-pia di grandezze di quelle date sara minore della misura della proporzione dicui fa parte; e se si assume come misura della proporzione la differenza delledue quantita piu piccole, allora le altre differenze saranno maggiori della misuradella proporzione di cui fanno parte.22 (p. 328 di [2])

Keplero si riconduce al caso esaminato nella Prop. VI inserendo un numeroarbitrariamente grande di medi proporzionali tra i numeri proposti.

Corollario. Benche la misura di una proporzione superi la differenza tra i terminimaggiori, il rapporto tra questa misura e questa differenza sara piu piccolo delrapporto tra la misura successiva e la sua differenza, quando il rapporto deitermini proporzionali e lo stesso.23 (p. 329 di [2])

Prese infatti delle quantita a > b > c > .... si costruisca una progressionegeometrica di ragione q = 1− ε e siano n i medi proporzionali inseriti tra a e b ek quelli inseriti tra b e c. La misura della progressione costruita e aε in quantoil termine che segue a e aq = (1 − ε)a. La misura di a/b e pari a quella dellaprogressione per il numero di medi inseriti tra a e b, dunque m(a/b) = naε.D’altra parte la misura di b/c e m(b/c) = kaε. Quanto alle differenze a − b eb− c si ha a− b = a(1− qn) ' anε e b− c = b(1− qk) ' bkε = akεq−n Pertanto

m(a : b) : m(b : c) = n/k ≤ (a− b) : (b− c) = (n/k)qn .

Si conclude pertantom(a : b)

a− b≤ m(b : c)

b− c, (4.1)

20Si ex aliquot quantitatibus effabilibus, ordine magnitudinis invicem sequentibus, duaeextremae non fuerint ad invicem ut duo numeri quadrati aut duo cubi aut duo alii ejusdemspeciei, intermediarum nulla dividet proportionem in commensurabilia.

21Omnes proportiones deinceps ordinatae, quae sunt inter terminos effabiles, aequalitatearithmetica se invicem excedentes, inter se sunt incommensurabiles.

22Si quantitates quaecunque deinceps collocentur ordine magnitudinis, proportionis verointer maximas mensura statuatur differentia inter eas, differentia inter quascunque alias expositis minor erit mensura suae proportionis; et si proportionis inter minimas mensura statu-atur differentia minimarum, differentiae reliquae erunt majores mensura proportionis suorumterminorum.

23Quodsi superet mensura proportionis inter maximas differentiam earum, hujus mensuraead hanc differentiam proportio minor erit quam sequentis mensurae ad differentiam suam,cum proportionalium eadem sit ratio.


risultato che sara ripreso nella Proposizione XXIII per ottenere stime logarit-miche.

Con le Proposizioni XIV e XV Keplero deduce alcune stime sulla misuradi rapporti. Nella Prop. XIV, Keplero mostra che, se a− b = b− c, a > b > c,allora m(a : c) > 2m(a : b).Proposizione XIV Se tre quantita sono ordinate in successione e la differenzatra due termimi (successivi) e costante, il rapporto tra le quantita estreme emaggiore del rapporto doppio delle quantita maggiori.24 (p. 329 di [2])

A N M D

B I E

C F

Figura 4.1: Lo schema della dimostrazione della Proposizione XIV delleChiliades Logarithmorum di Keplero.

Disposti tre segmenti AD, BE ed FC in ordine decrescente di lunghezza(Fig. 4.1), sia DM l’eccesso di AD su BE e EI =MN = DM l’eccesso di BEsu FC, occorre mostrare che la proporzione AD : CF e maggiore del doppiodel rapporto tra AD e BE. Misurato il rapporto AD : BE con DM , la misuradi BE : CF sara maggiore della differenza EI = DM tra BE e CF . AlloraDM = m(AD : BE) < m(BE : CF ). Poiche AD : CF = (AD : BE) · (BE :CF ) si ha anche m(AD : CF ) = m(AD : BE)+m(BE : CF ) > 2m(AD : BE).

La Proposizione XV confronta un rapporto con quello ottenuto sottraendola meta del termine maggiore dal numeratore e dal denominatore.

Proposizione XV. Se da entrambe le quantita che formano un rapporto si sottraela meta della quantita maggiore, allora le quantita residue formano un rapportomaggiore del doppio del precedente.25 (p. 329 di [2])

L’illustrazione e in verita un gioco formale un po’ artificioso. Kepleroconsidera il rapporto 10 : 9 ai cui termini sottrae 5 = 10 : 2 ottenendo 5 : 4 chee equivalente a 10 : 8 che ha differenza tra i termini pari a 2, il doppio delladifferenza tra i termini 10 : 9 del rapporto di partenza.

La Proposizione XVI stabilisce l’incommensurabilita di parti arbitrarie diproporzioni tra loro incommensurabili e chiude l’introduzione alla costruzionevera e propria delle tavole logaritmiche.

Proposizione XVI. La parti qualsiasi di proporzioni incommensurabili sono pureincommensurabili tra se.26 (p. 330 di [2])

Sinora abbiamo vistoKeplero lottare per introdurre un’appropriata misuradi un rapporto e scontrarsi contro molte difficolta che, in sintesi, si riassumono

24Si quantitates tres ordinentur deinceps, aequalibus differentiis invicem excedentes:proportio inter extremas est major quam dupla proportionis maximarum.

25Si duae quantitates proportionem constituerint, dimidium vero quantitatis majoris de-matur de quantitate utraque, residuae quantitates proportionem constituent majorem duplaprioris

26Incommensurabilium proportionum partes aliquotae sunt inter se incommensurabiles.


dicendo che, quando il numeratore ed il denominatore di proporzioni equivalentisono molto distanti tra loro, la misura m(a/b) di un rapporto oscilla in manierasignificativa. Queste oscillazioni possono essere ridotte sotto una soglia di toller-anza stabilita a priori inserendo un numero molto grande di medi proporzionalitra due numeri assegnati a e b, con a > b. In questo modo, detta ε 1 ladifferenza tra il termine a e quello immediatamente precedente, la misura delrapporto a/(a−ε) e ε e le oscillazioni subite percorrendo a ritroso la progressionegeometrica fino al termine b sono trascurabili. La misura di a/b e data da Nε,dove N e il numero di parti in cui e stato suddiviso il rapporto a/b. Per ottenereuna misura pressoche costante di un rapporto a/c, dove c < b occorre infittireopportunamente la divisione. Seguiamo un estratto del tormentato commentoalla Proposizione XVII in cui Keplero applica questo procedimento prendendoa = 1000 e variando b a ritroso sugli interi tra 999 e 500.

Testo 4.1 (Kepler, Chiliades Logarithmorum.) pp. 331-332 di [2]. Originale4.7 Si cerchi allora il medio proporzionale tra 1000 e 999. Esso dividera ilrapporto dei due termini in parti uguali (prop. 1); si cerchi in secondo luogoun altro medio proporzionale tra il medio appena trovato e mille, cosicche lamedia precedente e da intendersi circondata da altri due medi proporzionali deiquali pero e necessario studiare solo quello vicino a 1000. Il rapporto vienedunque diviso in quattro parti grazie a questi tre medi (come nell’assioma 2).Cosı un terzo medio proporzionale tra quello appena trovato e mille la dividerain 8 parti, un quarto in 16 e via discorrendo (post. 2) in 32, 64, 128, 256,512,1024, cio che accade nella decima divisione. E pertanto questo studio hastabilito in questo numero di 1024 le particole minori dell’eccesso in quantoil rapporto lo contiene meno di 1000 volte mentre qui vengono stabilite 1024particole. Pertanto, questa 1024a particola contiene come misura la differenzadel suo termine minore ovvero del decimo medio proporzionale a partire daltermine maggiore 1000, per il postulato 3.

Otteniamo una suddivisione simile del rapporto tra 1000 e 998. Questo einfatti incommensurabile al precedente tra 1000 e 999 dal momento che, perla prop. 11, il rapporto tra 999 e 998 e incommensurabile rispetto a quellatra 1000 e 999, perche i termini corrispondenti differiscono di una unita ma ilrapporto tra 1000 ad 998 e formato da quelli che sono tra loro incommensurabili(ass. 1). Ora, quando una quantita e suddivisa in parti incommensurabili, laquantita e incommensurabile ai singoli (Eucl. X. 17). Ora, questo rapporto tra1000 e 998 e maggiore del doppio del rapporto di prima tra 1000 e 999, comeindicato in quanto allegato al precedente punto 14. Pertanto, la 1024a partedi questo (rapporto) e maggiore del doppio del minimo elemento del (rapporto)precedente; si bisechi pertanto, cosicche si ottengano 1024 parti dell’intero graziealla ricerca dell’undicesimo medio proporzionale. Allora questo elemento saracirca uguale all’elemento piu piccolo precedente, restando tuttavia maggiore eincommensurabile rispetto ad esso per la precedente Proposizione 16.

Se dunque quell’elemento ha ricevuto come misura la differenza dei suoitermini, gia questo elemento della proporzione, di certo maggiore dell’altro, avrauna misura maggiore della differenza dei suoi termini (prop 12.) E parimenti,


se la differenza dei termini dell’elemento precedente viene moltiplicata (per sestessa) 1024 volte per ottenere la misura del rapporto tra 1000 e 999, allora ladifferenza dei termini dell’elemento successivo, moltiplicata (per se stessa) 2048volte, sara ancora minore della misura della proporzione tra 1000 e 998.

Se tuttavia consideriamo l’entita di questa differenza, essa e del tutto trascur-abile ed impercepibile nei calcoli. Poiche infatti il rapporto tra 1000 e 999 e statosuddiviso in piu di 1000 parti e si e presa come misura di un elemento tantopiccolo la differenza dei termini 1000000 et 999999, cioe 1, il rapporto vicino tra999999 e 999998, maggiore del precedente (prop. 12) e sin qui certamente mi-nore, avra una misura che a stento superera la prima differenza dei termini dellasua milionesima parte e pertanto il rapporto composto tra 1000000 e 999998 emaggiore di due volte il rapporto di prima per poco piu di due milionesimi dellaparte precedente. Ma gia l’elemento del secondo rapporto tra 1000 e 998, sta-bilito in precedenza, non e in alcun modo maggiore del doppio dell’elemento delprimo rapporto: proprio per questo se ne sono formate 2048 parti, anziche 1024,cosı che questa parte fosse pressoche uguale alla precedente.

Questo processo di infittimento viene proseguito fino al rapporto 1000:500.Per i numeri inferiori si osserva che, ad esempio 1000 : 499 = (1000 : 998)/(1000 :500) sicche si e ricondotti a rapporti gia considerati in precedenza.

Ottenuta una soddisfacente misura di un rapporto,Keplero ne puo mostrarele proprieta algebriche elementari. Cosı, (Prop. XVIII) se e noto il rapportotra 1000 ed un numero A, sono noti i rapporti tra 1000 ed i termini di una pro-porzione continua basata su A. Infatti, se A : B = B : C = C : D = D : E...,tutti i rapporti avranno la stessa misura. Poiche le misure di rapporti sonoadditive rispetto alla composizione di proporzioni, m(A : C) = m[(A : B)(B :C)] = 2m(A : B), visto che si tratta di una proporzione continua.

Proposizione XVIII. Noto il rapporto tra un numero qualsiasi ed il primo, 1000,si conoscono subito anche quelli tra gli altri numeri della stessa proporzionecontinua e lo stesso primo numero 1000.

Sia nota la misura del rapporto tra A e B e si abbia che A sta a B comeB sta a C come C sta a D come D sta ad E. Pertanto (postul. 1) le misuredi queste singole proporzioni saranno uguali a quella nota tra A e B. Ora, ilrapporto tra A e C si compone dei due rapporti tra A e B e tra B e C (Ass. 1),per cui anche la misura del rapporto tra A e C si ottiene sommando le misuredei rapporti tra A e B e tra B e C, cioe il doppio della misura del rapporto traA e B da quella del rapporto tra A e C, il triplo quello del rapporto tra A e D,il quadruplo quella del rapporto tra A ed E.27 (p. 332 di [2])

27Cognita proportione numeri cujuscunque ad primum 1000, simul cognoscitur etiamnumerorum reliquorum continuae ejusdem proportionis ad eundem primum 1000 proportio.

Nota sit mensura proportionis inter A et B, et sit ut A ad B sic B ad C et C ad D et D adE. Erunt igitur aequales mensurae proportionum harum singularum ei, quae est primo nota Aad B (postul. 1). Jam vero proportio A ad C componetur ex duarum proportionum A ad B etB ad C (Ax. 1), quare et mensura proportionis A ad C componetur ex duarum proportionumA ad B et B ad C mensuris, id est mensura ipsius A ad B duplicata dat mensuram ipsius Aad C, triplicata ipsius A ad D, quadruplicata ipsius A ad E.


Nella Proposizione XIX si tratta il caso in cui A = 1000 e sono note le misurem(A : B) ed m(A : C) come il fatto che A : B = C : D. Allora si conosce anchem(A : D). Infatti, m(A : B) = m(C : D) e poiche A : D = (A : C)(C : D) siha m(A : D) = m(A : C) +m(C : D) = m(A : C) +m(A : B), in virtu dellaproporzione A : B = C : D.

Proposizione XIX. Noto il rapporto tra un numero e 1000 e se altri numeristanno tra loro nel medesimo rapporto, noto il rapporto di uno di questi con1000, si conosce anche il rapporto dell’altro con 1000.

Poniamo A = 1000 e supponiamo di conoscere il rapporto tra A e B. Sappi-amo anche che A sta a B come C sta a D e conosciamo la misura del rapportotra A e C: affermo che e nota anche la misura del rapporto tra A e D. Infatti,dalla conoscenza della misura del rapporto tra A e B si conosce anche quelladel rapporto tra C e D che e uguale al primo (postul. 1); e poi anche nota lamisura del rapporto di A con C ed il rapporto tra A e D che e composto deirapporti di A con C e di C con D (ass. 1) ha una misura che e la somma diquelle dei rapporti tra A e C e tra C e D, quest’ultima uguale alla misura traA e B.28 (pp. 332-333 di [2])

Con un procedimento simile, Keplero mostra nella Proposizione XX che,noti quattro numeri in proporzione tra loro, se si conoscono le misure dei rappor-ti tra 1000 e tre dei numeri coinvolti nella proporzione di partenza, allora e notaanche la misura del rapporto tra 1000 ed il quarto termine della proporzione.

Proposizione XX. Quando un primo numero sta ad un secondo come un terzosta ad un quarto e sono noti i rapporti tra 1000 e tre dei numeri precedenti,allora e noto anche il rapporto tra 1000 ed il quarto numero.29 (p. 333 di [2])

Finalmente, Keplero definisce ora il logaritmo di un rapporto 1000/b conb < 1000: e la misura del rapporto 1000/b, cioe Nε. Keplero interpretal’origine della parola logaritmo come numero (αριϑµoς) che indica il rapporto(λoγoν) tra 1000 ed il numero di cui si calcola il logaritmo.

Definizione. La misura di un qualunque rapporto tra 1000 ed un numero minore,come definita in precedenza viene espressa da un numero che viene associatoa questo numero tabulare minore ed e detto logaritmo di quest’ultimo, cioe ilnumero (αριϑµoς), che indica il rapporto (λoγoν) con 1000 del numero cui siassocia il logaritmo.30 (pp. 333-334 di [2])

28Cognita proportione numeri ad primum 1000, si duo alii in eadem inter se proportionefuerint, eorum unius proportione ad 1000 cognita, noscetur etiam reliqui proportio ad eundem1000.

Sit A 1000 et nota mensura proportionis A ad B. Sit vero A ad B sic C ad D et sit notamensura proportionis A ad C: dico etiam innotescere mensuram proportionis A ad D. Quiaenim nota est mensura ipsius A ad B proportionis, nota etiam erit ipsius C ad D proportionis,ut quae illi ponitur aequalis (postul. 1); nota vero est etiam A ad C, et A ad D est compositaex A ad C et C ad D (ax. 1), quare etiam mensura ipsius A ad D componetur ex mensuraipsius A ad C ut ex mensura ipsius C ad D, id est ipsius A ad B.

29Quando fuerint ut primus ad secundum sic tertius ad quartum, notae vero fuerintproportiones ipsius 1000 ad tres priores, innotescet etiam proportio ejusdem 1000 ad quartum.

30Mensura cujuslibet proportionis inter 1000 et numerum eo minorem, ut est definita insuperioribus, expressa numero, apponatur ad hunc numerum minorem in Chiliade dicaturqueLogarithmus ejus, h. e. numerus (αριϑµoς), indicans proportionem (λoγoν), quam habet ad


Con la Proposizione XXI inizia una serie di stime che coinvolgono i logaritmidi funzioni trigonometriche.

Proposizione XXI Se il primo numero e il semidiametro del cerchio ovvero ilseno totale: ogni numero ad esso inferiore, come il coseno di un qualche arco,ha un logaritmo che e maggiore della freccia dell’arco stesso ma minore delladifferenza tra la secante dell’arco rispetto al raggio o semidiametro, con l’ec-cezione dell’unico arco che e circa uguale al semidiametro e che per ipotesi halogaritmo uguale alla freccia dell’arco.31 (p.334 di [2])

AD C

F

B

E

G

K

I

α

β

Figura 4.2: Lo schema della dimostrazione delle Proposizioni XXI e XXVIIIdelle Chiliades Logarithmorum di Keplero.

Se ricordiamo che il coseno dell’arco α e da intendere come R cosα nellatrigonometria dell’epoca e che la freccia (sagitta) dell’arco e R(1 − cosα), laproposizione si puo tradurre nelle disuguaglianze (Figura 4.2)

R(1− cosβ) < kl (R cosβ) < R(secβ − 1) , (4.2)

dove kl (a) indica il logaritmo kepleriano di un numero.Per la dimostrazione, Keplero si serve di un angolo ausiliario α << 1 in

modo che sia lecito assumere CD = AD−AC come logaritmo di AC = R cosα,in quanto AD ' AC. Come primo passo introduce un angolo β tale che

AD : AC = AC : AB cioe R : R cosα = R cosα : R cosβ . (4.3)

Poiche DC = klAC = m(

ACAD

)

, la misura di AB/AD, supera AD −AB = DBe dunque

kl (R cosβ) = kl (AB) = m

(

AB

AD

)

> AD −AB = BD = R(1− cosβ) (4.4)

1000 numerus ille, cui logarithmus apponitur.31Si primus numerus sit semidiameter circuli seu sinus totus: omnis numerus minor, ut sinus

complementi alicujus arcus, logarithmum habet majorem sagitta arcus, minorem vero excessusecantis arcus supra radium seu semidiametrum, excepto unico proximo post semidiametrumquia illius logarithmus ex hypothesi est aequalis sagittae.


che mostra la prima disuguaglianza di (4.2). Come passo successivo, Ke-plero dimostra la seconda disuguaglianza di (4.2) per l’angolo α per il qualesi puo porre CD = R(1 − cosα) = kl (R cosα). Per similitudine tra i triangolirettangoli ADG ed ACI si ha anche

CA : AD = IA : AG = AD : AG (4.5)

e dunque AD e medio proporzionale tra CA ed AG: per la Proposizione II allorae anche CA : AD = (AD − CA) : (AG − AD) = CD : IG. Poiche CA < ADe anche DC < IG, cioe kl (R cosα) < R(secα − 1). Per l’angolo β occorremostrare che klAB = kl (R cosβ) < EF = R(secβ − 1). Ripetendo lo stessoargomento che ha condotto a (4.5) si mostra che

BA : AD = AD : AF ; (4.6)

d’altro canto, la proporzione (4.3) si puo rileggere come

R : R secα = R secα : R sec β cioe AE(= AD) : AG(= AK) = AG(= AK) : AF(4.7)

dove Keplero ha staccato su AF un segmento AK = AG = R secα. Dalleproporzioni (4.3), (4.5) (con AG = AK) e (4.7) si puo dunque formare laproporzione continua

AB : AC = AC : AD = AD : AK = AK : AF , (4.8)

che puo essere prolungata grazie alla Proposizione II ottenendo

AB : AC = AC : AD = AD : AK = AK : AF = CB : CD = EK(= IG) : KF ,(4.9)

Poiche DC < IG per quanto mostrato sopra, dalla (4.9) segue anche KE =IG < KF per cui EF = KE + FK = IG + FK > 2IG > 2CD. In virtu di(4.3), della legge di composizione della misura di un rapporto e del Postulato Isi ha che

klAB = m(

ABAD

)

= m(

ABAC

)

+m(

ACAD

)

= 2m(

ACAD

)

= 2kl (AC) == 2CD < EF = R(secβ − 1)

che completa la dimostrazione. Di seguito riportiamo l’originale di Keplero

Testo 4.2 (Keplero, Chiliades Logarithmorum) (p.334 di [2]). Originale 4.8Sia A il centro del cerchio, AD il semidiametro, DI e DE gli archi di seni

IC ed EB, cosicche il seno dei complementi sono CA e BA e le frecce degli archiCD e BD. Sia inoltre che AD sta ad AC come AC ad AB. Prolungati gli archioltre gli estremi I ed E fino ai segmenti tangenti DG e DF , siano AG ed AFle secanti degli archi e si tolga da AF un segmento AK uguale ad AG; infine,sia CD la misura del rapporto tra AC ed AD preso come arbitrario elementominimo. Dico che la misura del rapporto tra AB ed AD, cioe il logaritmo delmedesimo BA e maggiore di BD ma minore di EF . Che sia maggiore di BD e


stato mostrato in precedenza alla prop. 12; che poi le misure di questi rapportisiano minori di IG ed EF si mostra in questo modo. Partiamo da CA: nelmomento in cui si prende come logaritmo di CA la stessa freccia CD, comecompete al piu piccolo elemento di un rapporto, si ha che CD e minore di IG.Come infatti CA sta ad AD cosı IA, cioe DA, sta ad AG, poiche DG, CI sonoparallele. Dunque AD e medio proporzionale tra CA ed AG; pertanto CA staad AD come la differenza tra CA ed AD (cioe CD) sta alla differenza deglielementi successivi AG ed DA (cioe al segmento IG). CA e pero minore diAD, e dunque CD e minore di IG. CD e pero il logaritmo dello stesso CA,coseno dell’arco ID ed IG e la differenza tra la secante ed il suo arco e pertantoil logaritmo e minore di questa differenza.

Passando a BA, occorre mostrare che il suo logaritmo e maggiore di BD masi mantiene anche minore dello stesso EF . Nuovamente pertanto AD e medioproporzionale tra BA ed AF e poiche per ipotesi BA sta ad AC come AC staad AD, si ha anche che EA sta ad AG oppure ad AK come AK oppure GAsta ad AF . Le quantita AB, AC, AD, AK od AG ed AF appartengono dunquead una proporzione continua di cui fanno parte anche BC, CD, IG. Ora, CDe minore di IG, come mostrato in precedenza, pertanto IG oppure EK saraminore di KF , e dunque l’intero EF e maggiore del doppio dello stesso IG e amaggiore ragione EF sara maggiore del doppio del segmento minore CD. Mala misura del rapporto tra BA ed AD, o logaritmo di AB, e piu del doppio diquella del rapporto tra lo stesso BA ed AC (prop. 1) che e esattamente il doppiodel logaritmo dello stesso CD (postul. 1): dunque il logaritmo dello stesso BAsupera l’eccesso EF della secante (sul raggio) ed era gia maggiore della frecciaBD: come ci eravamo proposti.

Con tecniche simili, nella Proposizione XXII troviamo dimostrata la disug-uaglianza

2kl (R cosα) < R(secα− cosα)

che viene enunciata in questi termini

Proposizione XXII Sotto le medesime ipotesi, la freccia dell’arco sommata all’ec-cesso della secante (sul raggio) e maggiore del doppio del logaritmo corrispon-dente al coseno dell’arco.32 (p.334 di [2])

Anche qui la dimostrazione e divisa in due parti, la prima dedicata ad angoliα piccoli, la seconda al caso generale. Nel primo caso, poiche kl (R cosα) =CD < IG si ha che IG + CD > 2kl (R cosα), come era da dimostrare, visto ilsignificato di CD ed IG. Nel caso generale occorre far vedere che

2klAB < EF +BD (4.10)

partendo dalle proporzioni (4.3), (4.6). In particolare, poiche in una proporzionex4 : x3 = x2 : x1 in cui x4 > x3 > x2 > x1 per la proprieta dello scomporre si hax4 : (x4−x3) = x2 : (x2−x1), segue che (x4−x3)/(x2−x1) = x4/x2 > 1 e quindi

32Iisdem positis, sagitta arcus cum excessu secantis superat duplum logarithmi ad sinumcomplementi apponendi.


x4+x1 > x2+x3: la somma degli estremi supera quella dei medi. Applicando ilrisultato alla proporzione (4.8), riletta nella formaAB : AC = AG(= AK) : AF ,si ha AB+AF > AC+AG mentre da (4.6) segue AB+AF > 2AD. Poiche da(4.9) BC : CD = IG : KF , allora segue BC +KF > CD + IG > 2CD. Comemostrato nella Proposizione XXI, EF > 2FK e da (4.3) si ha AB : AC = AC :AD per cui AB +AD > AC +AC ovvero AB +AD −AC = AB +CD > ACe quindi DC > CB. In definitiva e dunque DB > 2BC per cui EF + DB >2(BC +KF ) > 4CD = 2klAB, cioe la tesi.

Testo 4.3 (Keplero, Chiliades Logarithmorum) (pp. 334-335 di [2]). Origi-nale 4.9.

Si consideri dapprima un coseno molto grande, come AC oppure una pro-porzione continua divisa in molte parti con molti medi proporzionali, in modoche la differenza CD ovvero la freccia dell’arco ID sia proprio la misura arbi-traria del rapporto, cioe sia CD il logaritmo dello stesso CA. Ma IG e maggioredi CD e dunque la somma della differenza IG tra secante e raggio con la frecciaCD e maggiore del doppio dello stesso CD.

Si consideri poi un segmento che appartiene alla stessa proporzione contin-ua, come AB, e condotta la perpendicolare ad esso in B fino ad incontrare lacirconferenza in E ed uniti A con E e prolungato DG sino ad F in modo cheEF e l’eccesso della secante (sul raggio) e BD la freccia del medesimo arco ED.Dico che la somma di EF e BD supera il doppio del logaritmo da assegnare adBA ovvero della misura del rapporto tra BA ed AD.

Poiche BA sta ad AD come DA sta ad AF e CA e medio proporzionale traBA ed AD, allora BA sta AC come GA sta ad AF , e dunque (Eucl. V. 25)la somma di BA ed AF e maggiore di quella tra CA ed AG ovvero BA sta adAD come DA sta ad AF per cui la somma di BA ed AF e maggiore dei duemedi DA, AD. Dunque come BA sta ad AC cosı anche BC sta ad CD ed IGsta a KF (prop. 2), e dunque anche la somma di BC e KF e maggiore dellasomma di CD ed IG che pero e maggiore del doppio dello stesso CD e quindila somma di BC ed KF e a maggior ragione piu grande del doppio di CD, ecosı BD ed EF sono piu del quadruplo di CD che pero e la misura del rapportotra BA ed AD (postul. 1) e dunque la somma di BD ed EF supera il doppiodel logaritmo dello stesso BA cioe la misura del rapporto tra BA ed AD.

Come illustrazione, Keplero considera il seno 99970.1490 cui corrispondeil valore 29.8510 della freccia e quello 25.8599 per la differenza tra la secante(R secα) ed il sinus totus R. Presa 29.8555, media aritmetica di questi valori,segue la stima 25.8510 < klR cosα < 29.8555, a differenza del valore 29.86indicato da Nepero.

Con la Proposizione XXIII, Keplero lega le proporzioni formate da terminisuccessivi di una progressione aritmetica e quelle delle loro misure.

Proposizione XXIII Se tre quantita poste in ordine crescente hanno la stessadifferenza, la misura del rapporto tra la maggiore e la mediana e quella dell’altro


rapporto tra la mediana e la minore formano un rapporto maggiore di quello trai maggiori e minore di quello tra i minori.33 (p. 335 di [2])

A H C DB L

η β γ δ λ

Figura 4.3: Lo schema della dimostrazione delle Proposizioni XXIII e XXIVdelle Chiliades Logarithmorum di Keplero.

In altre parole (Figura 4.3), se AD > AC > AH sono le tre grandezze inprogressione aritmetica cosicche DC = AD − AC e CH = AC − AH sono traloro uguali, se si indica m(DA : AC) con un segmento δγ ed m(CA : AH) conil segmento γη, allora

AD

AC<γη

δγ<AC

AH.

La dimostrazione e diretta, ma piuttosto articolata per lo stile verboso dell’e-poca. Si introduca AB tale che

DA : AC = AC : AB = DC : CB , (4.11)

dove l’ultima uguaglianza discende dalla Prop. II. Da DA > AC segue ancheCD(= CH) > CB, cosicche BH = CH − CB > 0. L’uguaglianza di rapporti(4.11) implica che δγ = m(DA : AC) = m(AC : AB) e poiche CA : AH =(CA : AD)(AD : AH) si ha che γη = m(CA : AH) > m(CA : AD) = δγ. Presoγβ = γδ, βη = γη− γβ e la misura di BA : AH . Grazie al Corollario alla Prop.XII, si ha anche (γβ : CB) < (βη : BH) ovvero

βη

γβ=βη

γδ>BH

CB

e, applicando la proprieta del comporre, che conserva il verso della disuguaglian-za,

γη

γβ=γη

γδ>CH

BC=CD

CB=DA

AC,

che mostra la prima delle (4.11). Quanto all’altra disuguaglianza, il procedi-mento e simile. Si introduce AL tale che

HA : AC = CA : AL (= HC : CL) (4.12)

e poiche AC > AH deve essere CL > HC = DC. Detta ηγ = m(HA : AC) =m(AC : AL) = γλ, poiche CA : AD = (CA : AL)(AL : AD) la misura γδ di

33Si tres quantitates invicem successerint, aequalibus excessibus differentes, mensura propor-tionis inter maximam et mediam cum mensura alterius inter mediam et minimam constituetproportionem, majorem quidem proportione majorum, minorem vero proportionem minorum.


CA : AD e inferiore a γλ e la differenza δλ = γλ− γδ e la misura di DA : AL.Poiche DA > CA e AL > DA, per il corollario alla Prop. XII si ha

δλ

γλ=δλ

γη<DL

CL

ovveroγλ

δλ=γη

δλ>CL

DL(4.13)

e dunque, per la proprieta dello scomporre

γδ

λγ>CD

LC=HC

LC=AH

AC

che dimostra l’asserto in quanto ηγ = γλ.

Testo 4.4 (Keplero, Chiliades Logarithmorum) (pp. 335-336 di [2]). Origi-nale 4.10. Siano date 3 quantita AD, AC, AH, che hanno differenze DC e CHuguali ed il segmento δγ sia poi pari alla misura del rapporto DA : AC mentre ilsegmento γη sia la misura del rapporto CA : AH. Affermo che il rapporto dellostesso δγ e di γη e maggiore del rapporto tra lo stesso CA ed AD e minore delrapporto tra lo stesso HA ed AC. Si supponga allora che DA stia ad AC comeCA sta ad AB; pertanto DA sta ad AC come DC sta a CB (Prop. 2) ma DAe piu lungo di AC e dunque DC deve essere piu lungo di CB ed anche CH epiu lungo di CB con differenza BH. Dal momento che i rapporti tra DA ed ACe tra CA ed AB sono uguali (prop. 1), allora la misura dello stesso rapporto traDA ed AC che e il segmento δγ sara anche la misura del rapporto tra CA ed AB(postul. 1). E siccome il rapporto tra CA ad AH e composto dai rapporti traCA ed AB e tra BA ed AH, il rapporto tra CA ed AH sara dunque maggioredel rapporto tra DA ed AC che e poi uguale al rapporto tra CA ed AB per cuianche la sua misura γη sara maggiore di γδ. Si tolga da γη un segmento γβ,uguale a γδ cosicche la differenza βη sara misura del rapporto restante tra BAed AH. Tuttavia il rapporto tra γβ ed CB sara minore di quello tra βη e BH(prop. 12. coroll.), cioe βη e maggiore rispetto a βγ o γδ piu di quanto HBlo sia rispetto a BC. Componendo dunque i termini, da una parte γβ e βη perottenere γη, dall’altra CB e BH per ottenere CH, γη superera γβ ovvero γδche e uguale a quest’ultimo piu di quanto CH superi CB. Pertanto il rapportotra δγ e γη e maggiore di quello tra BC e CH, cioe CD. Poiche poi BC sta aCD come CA sta ad AD (prop. 2), il rapporto tra δγ e γη e maggiore di quellotra CA ed AD. Ma δγ e γη sono misure, la prima del rapporto tra i terminimaggiori DA ed AC, la seconda del rapporto tra i termini minori CA ed AH.Cosı il rapporto tra le misure e maggiore di quello tra i termini minori.

Nuovamente si abbia HA sta ad AC come CA sta ad AL: dunque HA staad AC come HC sta ad CL (prop. 2). Ma HA e piu corto di AC, per cuiHC, cioe DC e piu corto di CL, con differenza DL. Siccome i rapporti traHA ed AC e tra CA ed AL sono uguali, rappresentata con il segmento ηγ lamisura tra HA ed AC, anche il rapporto tra CA ed AL avra misura ugualead ηγ (postul. 1), rappresentata da γλ. Ora la misura del rapporto tra CA ed


AD, rappresentata da γδ era minore, per cui γδ e minore di γλ. Pertanto ladifferenza δλ sara misura del rapporto tra DA ed AL, aggiunto al rapporto traCA ed AD. E poiche DA ed AL sono rispettivamente piu lunghi di CA ed ADne segue (prop. 12. coroll.) che δλ e inferiore a λγ o a γη, piu di quanto DL losia rispetto ad LC, e il segmento restante γδ supera γλ o γη piu di quanto CDo HC superi CL. E dal momento che un rapporto diminuisce all’aumentare deltermine minore (ax. 1), e minore il rapporto tra δγ e γη, misure di rapportiuno dei quali formato tra il termine maggiore ed il medio, l’altro tra il medio edil minore, rispetto al rapporto tra i termini minori.

Nella Proposizione XXIV si dimostra che

γη

δγ<

√

AH

AD,

dove ηγ = m(HA/AC) e δγ = m(CA/AD).

Proposizione XXIV Il suddetto rapporto tra due misure e minore di meta delrapporto tra i termini estremi.34 (p. 336 di [2])

Come prima, la differenza tra AH ed AC coincide con quella tra AD ed AC,cosicche AC e medio aritmetico tra AH ed AD. Detto AV il medio geometricotra AH ed AD si pone

δγ = m(CA/AD) ≥ CD e γυ = m(AC/AV )

cosı che

δυ = δγ+γυ = m

(

AC

AV

AV

AD

)

= m(AD/AV ) = m(AV/AH) = ηυ = m(DV/V H) .

Applicando due volte il Corollario alla Proposizione XII si ha

δυ

V H=

υη

V H≥ γυ

CV≥ γδ

CD

e poiche ηδ = ηυ + υδ = ηγ + γδ = m(AD/AH), si ha anche

ηδ

HD≥ γυ

CV

e siccome DV +HV = DH , DV −HV = DC+CV −HV = HC+CV −HV =2CV mentre ηγ−γδ = υγ+ηυ−γδ = υγ+δυ−γδ = 2υγ l’ultima disuguaglianzasi puo porre nella forma

ηγ + γδ

ηγ − γδ≥ DV +HV

DV −HV

ovvero (a+ b) : (a− b) ≥ (c+d) : (c−d) che impone a/b < c/d o, in questo caso

ηγ

γδ≤ DV

HV=DA

AV=

√

DA

AH.

34Dicta proportio inter duas mensuras est minor dimidia proportione inter terminosextremos.


Testo 4.5 (Keplero, Chiliades Logarithmorum) (pp. 336-337 di [2]). Origi-nale 4.11 Si considerino due medie dei termini estremi, come AH ed AD vistiprima: la media aritmetica AC e quella geometrica AV . Sia δγ la misura delrapporto tra DA ed AC o uguale allo stesso DC od anche maggiore (postul. 3)e si aggiunga a δγ un altro segmento γυ che rappresenti la misura esatta delrapporto tra CA ed AV , cosicche l’intero segmento δυ misuri il rapporto tra DAed AV ; pertanto la misura del rapporto residuo tra V A ed AH risultera ugualeal segmento δυ (postul. 1. e prop. 1); indichiamola con υη. Poiche dunqueδγ o e uguale a DC o gli e maggiore, il rapporto tra γυ e CV sara maggioredel rapporto tra γδ e CD ed il rapporto del terzo segmento υη con V H saranuovamente maggiore di quello del secondo segmento γυ con CV e, per compo-sizione, il rapporto dell’intero segmento ηδ con HD superera quello tra le partiυγ e V C. Permutando i termini dunque il rapporto tra l’intero segmento ηδ,termine maggiore a sinistra nella proporzione, sta ad υγ termine maggiore adestra nella proporzione come l’intero HD, termine minore nel primo rapporto,sta a V C, termine minore nel secondo. Ma l’intero ηδ e formato dai terminiηγ e γδ a cui differenza e γυ; similmente CH e formato dai termini DV e V Hla cui differenza e V C, pertanto il rapporto dei termini ηγ e γδ messi insiemesara maggiore rispetto alla differenza γυ piu di quanto il rapporto di DV e V Hrispetto alla loro differenza V C. E pero noto e segue anche dal corollario allaprop. 13 che, all’aumentare del rapporto tra la somma di due termini e la lorodifferenza diminuisce di nuovo il rapporto dei termini posti poiche il rapportodi termini proporzionali e lo stesso. Cosı il rapporto tra ηγ e γδ e minore diquello tra DV e V H. Ma il rapporto tra DV e V H e uguale a quello tra DAed AV (prop. 2), che pero e la meta di quella tra DA ad AH (prop. 1), per cuiil rapporto tra ηγ e γδ, misure dei rapporti tra HA ed AC e tra CA ed AD eminore della meta del rapporto tra HA ed AD.

Grazie ai risultati ottenuti nelle Prop. XXIII ed XXIV, Keplero ottienedelle stime sui logaritmi che vengono enunciate nelle Proposizioni XXV e XXVI.Dapprima, presi due interi consecutivi n ed n+ 1 Keplero mostra che

1000/(n+ 1)[oppure 1000/√

n(n+ 1)] ≤ m(n/n+ 1)/m(1000/999)≤ 1000/n

che puo essere riletta in termini di logaritmi perchem(n/n+1) = kl (n)−kl (n+1).

Proposizione XXV Se 1000 numeri disposti uno dopo l’altro secondo l’ordinenaturale, differenti l’uno dall’altro di una unita, se ne prenda una coppia, cosıordinati, come se formassero i termini di uno certo rapporto: la misura di questorapporto stara alla misura del rapporto tra i due termini maggiori del migliaioin un rapporto maggiore rispetto a quello tra lo stesso 1000 ed il maggiore deitermini considerati ma minore di quello tra lo stesso 1000 ed il minore dei ter-mini considerati ed anche minore del rapporto tra 1000 ed il medio proporzionaletra i termini considerati.35 (pp. 337-338 di [2])

35Si numeri 1000 succedant invicem ordine naturali, bini differentes unitate, suscipiantur


Successivamente egli mostra che

1000

n+ 1≤ kl (n)− kl (n+ 1) ≤ 1000

n

Proposizione XXVI La differenza di due logaritmi corrispondenti a numeri suc-cessivi sta alla differenza di questi numeri in un rapporto maggiore di quellotra lo stesso 1000 ed il numero maggiore ma minore del rapporto tra 1000 ed ilnumero minore.36 (p. 339 di [2])

La Proposizione XXVII contiene un articolato confronto tra logaritmi diarchi prossimi al sinus totus ed opportune funzioni trigonometriche dell’arcostesso. Si prendano infatti AD pari al sinus totus ed AC = AD cosα, AB =AD cosβ in modo che DC = AD − AC = CB = AC − AB per cui, in virtu diquanto mostrato prima,

BA

AC>CA

ADe dunque m(

BA

AC) > m(

CA

AD)

che puo essere riletta in termini di logaritmi osservando che m(CAAD ) = AD −

AC = CD:kl (AB) − kl (AC) ≥ CD .

Se δγ = kl (AC) e γβ = kl (AB) e FA = AD secβ, GA = AD secα, (Figura4.2) Keplero afferma che

√GA · FAAD

≥ FA

AD≥ βγ

γδ≥ GA

AD.

A tal scopo, egli applica la Prop. XXV per concludere che

DA

AB>βγ

γδ

e poiche√FA·GAAD ≥ FA

AD = DAAB , segue la prima delle disuguaglianze proposte.

Allo stesso modo, si ragiona a partire dalla Prop. XXV per mostrare la secondadisuguaglianza.

Testo 4.6 (Keplero, Chiliades Logarithmorum) (pp. 339-340 di [2]). Origi-nale 4.12.

Proposizione XXVII. Se i numeri si succedono uno dopo l’altro secondo l’or-dine naturale, due successivi differendo di un’unita, si associno a ciascuno i

vero bini quicunque, deinceps ordinati, tamquam termini proportionis alicujus: erit hujusproportionis mensura ad mensuram proportionis inter duos maximos chiliadis in proportionemajore quidem, quam quantam habet maximus ipse 1000 ad majorem ex terminis susceptis,minore vero, quam quantam habet idem 1000 ad minorem ex susceptis, minore etiam, quamquantam habet 1000 ad medium proportionale inter susceptos.

36Differentia binorum logarithmorum, qui sunt adscripti ad numeros deinceps, est ad eorun-dem numerorum differentiam in proportione majori quidem, quam est 1000 ad numerorummajorem, minore vero, quam idem 1000 est ad numerorum minorem.


logaritmi, indici o misure dei rapporti che quei numeri assoluti ed interi hannocon il piu grande di loro, 1000; gli incrementi o differenze di questi logaritmistanno al logaritmo dell’elemento minimo delle proporzioni come le secanti degliarchi ai quali competono come coseni le coppie di numeri assoluti stanno al nu-mero massimo ovvero al raggio del cerchio, dimodoche, considerata la differenzatra i logaritmi di due numeri, dalle rispettive secanti la minore formi un rap-porto minore con il raggio di quello tra la differenza proposta con la prima ditutte, e la maggiore formi un rapporto maggiore e similmente anche con il medioproporzionale tra le secanti.

Nello schema della prop. 21. si prendano le differenze uguali DC e CB deinumeri assoluti DA, CA, BA, il piu grande dei quali sia AD. E poiche DCe CB sono uguali, il rapporto tra i termini minori BA ed AC e maggiore diquello tra i termini maggiori CA ed AD (prop. 13. coroll.). Dunque la misuradel rapporto tra BA ed AC supera quella del rapporto tra CA ed AD, cioe ladifferenza dei logaritmi corrispondenti agli stessi numeri assoluti CA e BA emaggiore del primo logaritmo rappresentato attraverso CD. Sia δγ il logaritmoproprio di CA e γβ, dalla stessa parte del segmento, sia il logaritmo di BA ed aCA corrisponda poi la secante GA ed a BA la secante FA: dico che il rapportotra βγ e γδ e maggiore di quello tra GA ed AD ma minore sia del rapporto traFA ed AD che del medio proporzionale tra FA ed GA. Infatti (prop. 25) ilrapporto tra DA ed AB e maggiore di quello tra βγ e γδ, anche DA e maggioredel medio tra BA ed AD ma il rapporto tra FA ed AD e uguale a quello tra DAed AB poiche DA e medio proporzionale tra BA ed AF , cosı pure il rapportodel medio geometrico di FA e GA con BA e uguale al rapporto37 tra DA ed ilmedio geometrico tra DA ed AB. Dunque il rapporto tra FA ed AD e anchemaggiore di quello tra βγ e γδ. Cosı (per la medesima ragione) il rapporto traDA ed AC ed anche quello tra GA ed AD sono minori di quello tra βγ e γδ.

Keplero chiude l’esame della struttura dei logaritmi con tre proposizioniche affermano l’irrazionalita dei logaritmi ed il fatto che numeri maggiori del si-nus totus hanno logaritmi negativi (Proposizioni XXVIII-XXX). ComeNepero,anche Keplero si serve delle disuguaglianze mostrate nelle Proposizioni XXIIIe XXVII per trovare relazioni approssimate atte a costruire le tavole. Nel Sup-plementum, Keplero aggiungera molti esempi esplicativi nello stile di Neperoe Briggs e rendera loro il giusto omaggio che era mancato nelle Chiliades. Leopere di Keplero sui logaritmi non sono molto interessanti, soprattutto seconfrontate con la sua produzione in campo astronomico. Tuttavia esse nonsolo contribuirono alla diffusione dei logaritmi in Germania, ma esercitaronouna certa influenza nel modo di definire i logaritmi che si troveranno in autoriposteriori.

37In realta, mi pare che la proporzione si legga√FA ·GA : AD = AD :

√AB ·AC.


4.2 Cavalieri ed i logaritmi in Italia

La diffusione dei logaritmi in Italia avvenne ad opera di Bonaventura Cava-lieri (1598-1647) appartenente all’ordine dei Gesuati.38 Egli era stato allievodi Galileo che lo aveva raccomandato per la cattedra di Matematica all’uni-versita di Bologna, che tenne dal 1629 fino alla morte. Il nome di Cavalieri elegato alla sua opera piu celebre, la Geometria Indivisibilibus Continuorum del1635 dove getto le basi del calcolo integrale moderno. Dei logaritmiCavalieri sioccupo in due opere, il Directorium generale uranometricum in quo trigonome-triae logarithmicae fundamenta, ac regulae demonstrantur, astronomiaeque fun-damenta supputationes ad solam fere vulgarem additionem reducuntur del 1632e la Centuria di varii problemi per dimostrare l’vso, e la facilita de’ logaritminella gnomica, astronomia, geografia, altimetria, pianimetria, stereometria, &aritmetica prattica del 1639. Seguendo l’esempio di Nepero, nel DirectoriumCavalieri intende porre i logaritmi al servizio dell’astronomia anche se l’at-tenzione principale e per la trigonometria sferica mentre i logaritmi figurano inquanto utile strumento di calcolo. Nell’opera, scritta su sollecitazione di amicie per ovviare alla difficolta di reperire in Italia le opere di Nepero e Brig-gs, Cavalieri dimostra di possedere appieno la teoria. Possiamo osservareche Cavalieri, come Keplero, fosse alle prese con la misura di un rappor-to quando le grandezze coinvolte non sono una il multiplo dell’altra: mentredefinire 6/2 era chiaro, associare un numero a 7/3 appariva piu spinoso, an-che per la confusione esistente tra valore esatto ed approssimato di un numero.La via intrapresa da Cavalieri per associare in ogni caso un valore numericoad un rapporto e originale perche poggia proprio sulla definizione di logarit-mo. L’osservazione di partenza e che, presa una progressione geometrica come8, 4, 2, 1, dall’uguaglianza dei rapporti

8

4=

4

2=

2

1

e dalla definizione di logaritmo segue che

log 8− log 4 = log 4− log 2 = log 2− log 1 = costante

e si puo dunque prendere come valore comune ai rapporti che formano la progres-sione geometrica questo valore costante. Questo precedimento si puo ripetereanche per la progressione

7

3=

14

6=

21

9= ...

ed assumere come misura del rapporto 7/3 il numero

log 7− log 3 = log 14− log 6 = costante .

38Non e un errore di stampa. L’ordine dei Gesuati era un movimento di impegno laicalefondato intorno al 1360 dal banchiere senese Giovanni Colombini che, convertitosi, fondoquesto movimento che ebbe come carisma la cura dei malati e dei poveri, predicando il Vangeloe seguendo uno stile di vita semplice. Ebbero il periodo di maggior sviluppo nel ’400 per poideclinare lentamente, fino ad essere soppressi come ordine da papa Clemente IX, nel 1668.

4.2. CAVALIERI ED I LOGARITMI IN ITALIA 131

Il Directorium contiene due tavole logaritmiche, nella prima delle quali egliriporta i logaritmi del seno di un arco, della tangente, della secante e del seno-verso39 sinus verso, pari a (1 − cosα), attribuendo nomi diversi ai logaritmi aseconda della funzione trigonometrica cui si riferiscono. Il nome logaritmo e aattribuito a quello del seno di un arco mentre il logaritmo della tangente e dettomesologaritmo 40 e quello del seno-verso, versilogaritmo.

La Centuria e, fedelmente al titolo, un centone di problemi di vario genereche richiedono l’applicazione dei logaritmi. I problemi, molto numerosi, sonoripetitivi e l’opera non meriterebbe grande attenzione se non fosse per un prob-lema, il n 92, che propone di trovare log(a ± b), dati due numeri a e b < a dicui sono noti i logaritmi, senza fare intervenire a ± b. In termini moderni, la

A DC

F

B

ϕ

Figura 4.4: I logaritmi di addizione introdotti da Cavalieri.

regola di Cavalieri per log(a + b) si traduce definendo un angolo ausiliare ψtale che [3]

sinψ :=b

a

ed osservando che, per le formule di bisezione, si ha

log sin

[

1

2

(π

2+ ψ

)

]

= log

√

1− cos(

π2 + ψ

)

2= log

√

1 + sinψ

2=

1

2[log(1 + sinψ)− log 2]

da cui, ricordando la definizione di ψ, otteniamo

log(a+ b) = log a+ log 2 + 2 log sin

[

1

2

(π

2+ ψ

)

]

.

Similmente, introducendo un altro angolo ausiliare ϕ tale che

sinϕ :=

√

b

2a

poiche

log cos 2ϕ = log(1− 2 sin2 ϕ) = log

(

1− b

a

)

= log(a− b)− log a

39E la freccia gia incontrata in Keplero.40Termine gia usato da Keplero.


segue la formula cercata

log(a− b) = log a+ log cos 2ϕ .

Per quest’ultima formula, seguiamo l’argomento geometrico originale di Cava-lieri che poggia sulla costruzione qui rappresentata [4] (Figura 4.4).

Costruito un semicerchio di raggio BD = a si prenda il segmento CD = bcosicche per il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo ADF si ha

FD2 = DC × AD = 2ab grazie a cui e possibile risalire all’angolo DAF = ϕ

il cui seno e proprio sinϕ =√

b/2a. D’altra parte FBD = 2ϕ e dal triangolorettangolo CBF si ha BC = BF cos 2ϕ ovvero

a− b = a cos 2ϕ

da cui, passando ai logaritmi, segue la tesi. I logaritmi cosı introdotti daCavalieri saranno ritrovati molto piu tardi, nel 1802, da Giuseppe ZecchiniLeonelli (1776-1847) ed infine da Carl Friederich Gauss (1777-1855) nel 1812[5] da cui prenderanno il nome di logaritmi gaussiani, alternativo a quello dilogaritmi di addizione o sottrazione.

4.3 Juan Caramuel

Chiudiamo questo capitolo sulla transizione tra l’eta della scoperta dei logar-itmi ed il periodo in cui i logaritmi si accostano alla geometria attraverso laquadratura dell’iperbole, con un cenno al benedettino spagnolo Juan Cara-muel y Lobkowitz (1606-1682) nato in Spagna e morto a Vigevano, cittadella quale fu vescovo. Caramuel fu un grande erudito, versato in varie dis-cipline, dalla matematica alle lingue ed all’architettura. Per la matematica,egli e ricordato per aver esplorato la possibilita ed i vantaggi di notazioni po-sizionali in base diversa da 10. La sua opera matematica principale sono i duevolumi della Mathesis Biceps Vetus et Nova, pubblicati nel 1670 a Campagna(Salerno), citta della quale fu pure vescovo. Affascinato dai logaritmi, al puntoda scrivere che Logarithmica est Musa Mathematici Parnassi decima (p.798 di[6]), egli si pose il problema di sintetizzare i logaritmi di Briggs con quellidi Nepero proponendo un sistema alternativo—che indichiamo come clx—delquale costruı anche una tavola per i primi mille numeri interi. Dalle sue tabellesi ricava che cl1010 = 0, cl109 = 1 e che, in generale

cl10x = 10− x .

In effetti, un confronto piu dettagliato delle tavole di Caramuel rivela che, perogni numero a positivo

cla = 10− log10 a

cosicche va perduta la proprieta dei logaritmi di Briggs di trasformare prodottiin somme in quanto

cl(ab) = cl(a) + cl(b)− 10 .


4.4 Testi originali

Testo 4.7 [Kepler, Chiliades Logarithmorum.] pp. 331-332 di [2]. Quaer-atur igitur medium proportionale inter 1000 et 999. Id secabit proportionemterminorum in aequales duas partes (prop. 1); quaeratur secundo inter hancinventam mediam et 1000 alia media proportionalis, ut ita prior media intel-ligatur circumdata duabus medii proportionalibus aliis, quarum tamen unumsolum versus terminum 1000 investigatione opus est. Per has igitur tres medias(ut est in ax. 2) secabitur proportio in partes 4. Sic proportionalis tertia interprius inventam et 1000 secabit in partes 8, quarta in 16 et sic consequenter(post. 2) in 32, 64, 128, 256, 512,1024, quod fit actu decimo. Hic itaque numero1024 certo constituit particulas proportionis 1000 ad 999 minores supra inves-tigatio excessu, quia proportio capit hujus excessus minus quam 1000, hic veroconstituuntur 1024 particulae. Hic igitur particula 1024ta capiat loco mensuraedifferentiam termini sui minoris seu mediae proportionalis decimae a terminomajore 1000 per postulatum 3.

Pergimus ad similem sectionem proportionis inter 1000 et 998. Haec igiturest incommensurabilis priori 1000 et 999; nam per prop. 11. proportio 999 ad998 est incommensurabilis proportioni 1000 ad 999, qui termini bini differuntunitate aequaliter, sed proportio 1000 ad 998 componitur ex illis inter se incom-mensurabilibus (ax. 1). Cum vero totum in incommensurabilia secatur, ipsumsingulis est incommensurabile (Eucl. X. 17). Est vero haec proportio 1000 ad998 major quam dupla prioris 1000 ad 999 excessu incommensurabili, ut supraallegatione praemissae 14. indicatum. Pars igitur ejus 1024ta plus quam duplomajor est minimo elemento prioris; bisecetur igitur, ut totius fiant partes 1024per inquisitionem undecimae proportionalis. Tunc sane elementum hoc ejus eritproxime aequale elemento minimo prioris, majus tamen illo etiamnum et illiincommensurabile per 16. praemissam.

Si ergo illud accepit mensuram differentiam suorum terminorum, hoc jamelementum proportionis, quippe majus illo, mensuram habebit majorem differ-entia suorum terminorum (prop 12.) Ac proinde, si prioris elementi terminorumdifferentia multiplicetur 1024les pro mensura proportionis inter 1000 et 999, tuncposterioris elementi terminorum differentia, multiplicata 2048les, adhuc minorerit mensura proportionis inter 1000 et 998.

Veruntamen si attendamus ad quantitatem hujus defectus, illa est omninosubtilissima et nulla calculi diligentia observabilis. Quia enim proportio inter1000 et 999 secta est in particulas plus quam 1000, et elementi tam parvi men-sura constituta est differentia terminorum 1000000 et 999999, sc. 1, et minoradhuc certe proportio proxima inter 999999 et 999998, major priori (prop. 12),mensuram habebit, quae excedat terminorum differentiam primam vix milliesmillesima sui, ac proinde composita proportio 1000000 ad 999998 major est du-pla prioris vix milles millesima prioris particula. At jam elementum secundaeproportionis inter 1000 et 998, in superioribus constitutum, nequaquam est ma-jus duplo prioris proportionis elemento, sed ob id ipsum factae sunt partes non1024, sed 2048, ut esset pars ista proxime aequalis priori.


Testo 4.8 [Keplero, Chiliades Logarithmorum] (p.334 di [2]). Sit A centrumcirculi, AD semidiameter, DI, DE arcus eorumque sinus IC, EB, sinus verocomplementorum sint CA, BA, sagittae CD, BD. Sit autem ut AD ad AC sicAC ad AB. Amplius sint eorundem arcuum secantes AG, AF , per terminosI, E in tangentes DG, DF educti, et ipsi AG aequalis abscindatur ab AF ,quae sit AK; denique sit CD mensura proportionis AC ad AD, ut minimielementi arbitrarii. Dico, mensuram proportionis AB ad AD, h.e. logarithmumipsius BA majorem esse quam BD, minorem vero quam EF . Quod major sitquam BD, demonstratum est supra prop. 12; quod vero minores sint mensuraeproportionum harum IG et EF , sic probatur. Primum de CA: cum ipsa CDsagitta, utpote in minimo proportionum elemento, ponatur esse logarithmusipsius CA, CD sane est minor quam IG. Ut enim CA ad AD sic IA, h.e. DAad AG, quia DG, CI parallelae. Est igitur AD media proportionalis inter CA,AG; ut igitur CA ad AD sic differentia CA, AD (h.e. CD) ad differentiamsequentem AG et DA (h.e. IG). Sed CA est minor quam AD, ergo et CD estminor quam IG. Sed CD est logarithmus ipsius CA, sinus complementi arcusID, et IG est excessus secantis ejusdem arcus, ergo logarithmus minor est hocexcessu.

Transeamus ad BA, cujus logarithmus major est quam BD, demonstrandumest, illum non esse tanto majorem ipsa BD, quin interim maneat minor ipso EF .Rursum igitur AD est media proportionalis inter BA et AF , et quia posita estut BA ad AC sic AC ad AD, quare etiam ut EA ad AG vel AK sic AK vel GAad AF . Sunt igitur continue proportionales istae AB, AC, AD, AK vel AG etAF . In eadem igitur proportione sunt etiam BC, CD, IG. Minor vero est CDquam IG, ut prius ostensum, minor igitur erit etiam IG vel EK quam KF ,tota igitur EF major est quam dupla ipsius IG, multo magis igitur EF majorerit quam dupla ipsius CD minoris. At proportionis inter BA et AD, ut quaedupla est ipsius BA ad AC (prop. 1), mensura seu logarithmus ipsius BA estpraecise duplus ipsius CD (postul. 1): minor est ergo logarithmus ipsius BAexcessu secantis EF , erat autem major sagitta BD: patet ergo propositum.

Testo 4.9 [Keplero, Chiliades Logarithmorum] (pp. 334-335 di [2])Sit enim primo sinus complementi longissimus aut longissima mediarum pro-

portionalium, quibus aliqua proportio dividitur in partes arbitrario numero mul-tas, sic ut ejus, v.c. AC, residuum CD seu sagitta arcus ID sit ipsissima mensu-ra arbitraria proportionis CD, logarithmus igitur ipsius CA est CD. At IG estmajor ipsa CD, juncti igitur excessus secantis IG et sagitta CD plus efficiunt,quam duplum ipsius CD.

Sit deinde alia quaecunque minor linea proportionis continuae, ut AB, etducta ex B perpendiculari in circumferentiam E connexisque A, E et D, Gcontinuatis in F , sit EF excessus secantis et BD sagitta ejusdem arcus ED.Dico junctos EF et BD facere plus quam duplum logarithmi ad BA apponendiseu mensurae ipsius BA, AD proportionis.

Quia est ut BA ad AD sic DA ad AF et CA media proportionalis inter BA,AD, ut igitur BA ad AC sic GA ad AF , quare (Eucl. V. 25) BA, AF junctaesunt longiores quam junctis CA, AG, sive quia ut BA ad AD sic DA ad AF ,


quare BA, AF junctae superant DA, AD duas medias. Ut vero BA ad ACsic etiam BC ad CD et IG ad KF (prop. 2), quare etiam BC et KF junctaesuperant CD et IG junctas. At CD, IG plus sunt quam duplum ipsius CD,ergo BC, KF junctae multo plus sunt quam duplum ipsius CD, et sic BD, EFplus sunt quam quadruplum ipsius CD. Sed duplum ipsius CD est logarithmusseu mensura proportionis BA ad AD (postul. 1), ergo BD, EF junctae plussunt quam duplum logarithmi ipsius BA seu mensurae proportionis BA, AD.

Testo 4.10 [Kepler, Chiliades Logarithmorum](pp. 335-336 di [2]). Sint 3quantitates AD, AC, AH , aequalibus excessibus DC, CH , sit autem mensuraproportionis DA : AC linea δγ, mensura vero proportionis CA : AH linea γη.Dico proportionem ipsius δγ ad γη majorem quidem esse proportione ipsius CAad AD, minorem vero proportione ipsius HA ad AC. Fiat enim ut DA ad ACsic CA ad AB; ut igitur DA ad AC sic DC ad CB (Prop. 2), sed longior estDA quam AC, longior igitur DC quam CB, longior igitur et CH quam CB,differentia BH . Cum igitur aequales sint proportiones DA ad AC et CA adAB (prop. 1), mensura vero ipsius DA ad AC sit linea δγ, habebit et CA adAB mensuram aequalem ipsi δγ (postul. 1). Et cum proportio CA ad AH sitcomposita ex proportione CA ad AB et proportione BA ad AH , major igiturerit proportio CA ad AH quam proportio DA ad AC, aequalis ipsi CA ad AB,major igitur etiam mensura ejus γη quam γδ. Abscindatur a γη aequalis ipsi γδ,quae sit γβ, residua igitur βη mensura erit residuae proportionis BA ad AH .Erit autem proportio γβ ad CB minor quam βη ad BH (prop. 12. coroll.), idest major est βη respectu βγ vel γδ, quam HB respectu BC. Compositis igiturterminis, illic γβ et βη in γη, hic CB et BH in CH , major erit γη respectu γβvel ejus aequalis γδ, quam CH respectu CB. Major igitur est proportio interδγ et γη quam inter BC et CH , id est CD. Ut vero BC ad CD sic CA ad AD(prop. 2), major igitur proportio inter δγ et γη quam inter CA et AD. Sed δγet γη sunt mensurae, illa quidem proportionis inter DA et AC majores, haecvero proportionis inter CA et AH minores. Ergo proportio mensurarum majorest proportione terminorum minorum.

Rursum fiat ut HA ad AC sic CA ad AL: ut igitur HA ad AC sic HCad CL (prop. 2). Sed brevior est HA quam AC, brevior igitur HC, h.e. DCquam CL, differentia DL. Cum igitur aequales sint proportiones HA ad AC etCA ad AL, mensura vero ipsius HA ad AC sit linea ηγ, habebit et CA ad ALmensuram aequalem ipsi ηγ (postul. 1); esto γλ. Minor vero erat proportionisCA ad AD mensura, puta γδ, minor igitur est γδ quam γλ. Excessus igitur δλerit mensura proportionis inter DA et AL, appositae ad proportionem inter CAet AD. Et quia termini DA, AL sunt longiores quam CA, AD, quare (prop.12. coroll.) minor est δλ respectu λγ vel γη, quam DL respectu LC, majorigitur residua γδ respectu γλ vel γη, quam CD vel HC respectu CL. Et quiaproportio minuitur aucto minori termino (ax. 1), minor igitur est proportiointer δγ et γη, mensuras proportionum, quarum unam facit major terminuscum medio, alteram medius cum minimo, quam inter terminos minores.

Testo 4.11 [Keplero, Chiliades Logarithmorum](pp. 336-337 di [2]) Sint en-im termini extremi, ut prius AH, AD media duo, arithmeticum AC, geomet-


ricum AV ; sit proportionis DA ad AC mensura δγ, vel aequalis ipsi DC veletiam major (postul. 3), et applicetur ipsi δγ alia γυ, quae sit mensura jus-ta proportionis CA ad AV , ut sic tota δυ mensuret proportionem DA ad AV ;residuae igitur proportionis V A ad AH mensura erit priori δυ aequalis (postul.1. et prop. 1); sit ea υη. Quia igitur δγ est vel aequalis vel major quam DC,sequentis γυ proportio ad CV erit major quam proportio ipsius γδ ad CD, ettertiae υη proportio ad V H rursum erit major quam secundae γυ ad secundamCV , et per compositionem totius ηδ ad totam HD major erit proportio, quampartis υγ ad partem V C. Permutatim igitur major erit proportio totius ηδ, ter-mini majoris in priori, ad υγ terminem majorem in posteriori, quam totius HD,termini minoris in priori proportione ad V C, terminum minorem in posteriori.Sed tota ηδ constat ex terminis ηγ et γδ, quorum differentia γυ; similiter CHconstat ex terminis DV et V H quorum differentia V C, major igitur erit propor-tio terminorum ηγ, γδ junctorum ad suam differentiam γυ, quam terminorumDV , V H ad differentiam V C. At vero aucta proportione summae terminorumad suam differentiam, minuitur ipsorum inter se terminorum seorsim positorumproportio, per prop. 13. coroll. et communem notitiam, quod proportionaliumeadem sit ratio. Minor est itaque proportio inter ηγ et γδ, quam inter DV etV H. Sed proportio DV ad V H est aequalis proportioni DA ad AV (prop. 2),haec vero DA ad AV proportio est dimidia ipsius DA ad AH (prop. 1), minorest ergo proportio inter ηγ, γδ, mensuras proportionum HA ad AC et CA adAD, quam dimidia inter terminos HA, AD.

Testo 4.12 [Keplero, Chiliades Logarithmorum](pp. 339-340 di [2]). Propo-sitio XXVII. Si numeri succedant invicem ordine naturali, bini deinceps differ-entes unitate, ad singulos vero apponantur logarithmi, indices seu mensurae pro-portionum, quas constituunt absoluti illi et rotundi numeri cum eorum maximo1000, incrementa seu differentiae horum logarithmorum se habent ad logarith-mum elementi minimi proportionum, sicut secantes ipsi toti arcuum, quorumcomplementis absoluti bini numeri ut sinus competunt, sese habent ad numerummaximum seu radium circuli, sic ut ex duobus secantibus duorum numerorum,inter quorum logarithmos differentia proponitur, minor quidem minorem consti-tuat proportionem cum radio, quam differentia proposita cum omnium prima,major majorem etiam medium proportionale inter secantes majorem itidem.

In schemate prop. 21. sint aequales DC, CB, differentiae numerorum ab-solutorum DA, CA, BA, quorum maximus AD. Et quia DC, CB aequales,major igitur est proportio BA et AC terminorum minorum, minor CA et ADmajorum (prop. 13. coroll.). Major igitur est mensura proportionis BA ad ACquam proportionis CA ad AD, h.e. differentia logarithmorum, ipsis CA et BAabsolutis respondentium, est major primo logarithmo per CD repraesentato. Sitδγ logarithmus ipsius CA, et γβ in easdem lineae partes sit logarithmus ipsiusBA et respondeat ipsi CA secans GA et ipsi BA secans FA: dico, proportionemβγ ad γδ majorem esse quam proportionem GA ad AD, minorem vero quamFA ad AD, minorem etiam quam medium proportionale inter FA et GA. Nam(prop. 25) major est proportio DA ad AB quam βγ ad γδ, major etiam DAad medium inter BA et AD; sed FA ad AD proportio aequalis est proportioni


DA ad AB quia DA est medium proportionale inter BA et AF , sic etiam mediigeometrici inter FA et GA ad BA proportio aequalis est proportioni DA admedium geometricum inter DA et AB. Major igitur etiam FA ad AD, quamβγ ad γδ. Sic (per eandem) minor est DA ad AC et sic etiam GA ad AD quamβγ ad γδ.

Bibliografia


[2] J. Kepler: Johannis Kepleri astronomi Opera Omnia, Vol VII, A cura diCh. Frisch. Heyder & Zimmer, Francoforte, (1868).

[3] F. Palladino, S. Siroli: Angoli Linee Stelle. Origini e Sviluppo dellaTrigonometria. Aracne, Roma, (2004).

[4] C. Naux: Histoire des Logarithmes de Neper a Euler. Tome II. La pro-motion des logarithmes au rang de valeur analytique. Blanchard, Parigi,(1971).

[5] C.F. Gauss: Tafel zur bequemern berechnung des logarithmen der summeoder differenz zweier grossen, welche selbst nur durch ihre logarith-men gegeben sind. , Monatliche Correspondenz. (1812), in C.F. GaussGesammelte Werke vol III, pp.244-246. Kaestner, Gottingen (1876).

[6] J. Caramuel y Lobkowitz: Mathesis Biceps: Vetus et Nova, Campagna(Salerno) (1670).

139

140 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 5

I logaritmi e la geometria

Il legame tra i logaritmi naturali e l’area sottesa dall’iperbole e condensato nelnoto risultato di calcolo integrale

∫ x1

x0

1

xdx = ln(x1)− ln(x0), (x0, x1 > 0 . (5.1)

In questo capitolo esaminiamo la scoperta del legame tra logaritmi e quadraturadell’iperbole considerando l’opera di tre matematici del XVII secolo: i gesuitiGregorio di S. Vincenzo (1584-1667) ed Alfonso Antonio De Sarasa (1618-1667) e Christiaan Huygens (1629-1695). Procederemo ad illustrare lo studiodella curva logaritmica negli scritti di Evangelista Torricelli e di Huygens.

5.1 Le proprieta logaritmiche dell’iperbole

Lo studio delle sezioni coniche e uno dei rami della geometria piu antichi, tantoche gia nel III secolo avanti Cristo Apollonio di Perga (262 a.C.- 190 a.C.)compose un trattato esauriente sull’argomento. Con la riscoperta dei classicimatematici dell’antica Grecia, lo studio delle sezioni coniche riprende slancionel ’600 ed un trattato sulle coniche—e su molto altro—particolarmente impor-tante e l’Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni pubblicatoad Anversa nel 1647 e scritto dal gesuita belga Gregorio di S. Vincenzo.L’Opus Geometricum e la sola opera a stampa di questo allievo di Clavius aRoma che si trasferı alla volta di Anversa nel 1612, anno della morte del maestro.Grande ammiratore di Galileo, Gregorio ricoprı incarichi di insegnamentopresso i collegi gesuiti ad Anversa tra il 1617 ed il 1620 ed a Lovanio, tra il1621 ed il 1625. Dopo un soggiorno a Praga che occupo il periodo tra il 1628ed il 1631, Gregorio si stabilı definitivamente a Gand fino alla morte. Anchese l’Opus Geometricum venne pubblicato nel 1647, studi basati su manoscritticonservati a Bruxelles hanno permesso di concludere che buona parte dell’operadi Gregorio venne scritta prima del 1625. Si tratta di un’osservazione im-portante per valutare appieno l’originalita della sua opera, visto che a quella

141

142 CAPITOLO 5. I LOGARITMI E LA GEOMETRIA

data non erano state ancora pubblicate ne la Geometria indivisibilibus di Cav-alieri, ne la Geometrie di Descartes, stampate rispettivamente nel 1635 enel 1637. Il trattato di Gregorio attiro subito l’attenzione degli studiosi pervia di quel riferimento alla quadratura del cerchio, problema aperto da secoli,che Gregorio sosteneva aver finalmente risolto. Il sogno di Gregorio svanıpresto: subito dopo la pubblicazione dell’Opus Geometricum, Descartes crit-ico la soluzione in una lettera indirizzata a padre MarinMersenne (1588-1648),il monaco francese che intratteneva corrispondenza con i maggiori filosofi e stu-diosi dell’epoca riuscendo ad operare come divulgatore delle scoperte in tuttala comunita scientifica. Altri matematici come Auzout e Roberval feceropervenire a Mersenne le loro critiche e riserve sulla quadratura di Grego-rio. Poco prima di morire, nel 1648 Mersenne pubblico un opuscolo dal titoloReflexiones Physico-mathematicae in cui, dichiarando di non riuscire a trovareerrori negli argomenti di Gregorio, proponeva un problema che ai suoi occhirisultava difficile quanto la quadratura del cerchio:

Date tre grandezze qualsiasi, razionali od irrazionali e dati due dei loro logaritmi,trovare il logaritmo della terza grandezza in modo geometrico.1 (p. 3 di [1])

Ci occuperemo diffusamente tra poco del problema di Mersenne, non primadi aver descritto il contenuto dell’Opus Geometricum e la sua rilevanza per lastoria dei logaritmi. Anzitutto, si tratta di un libro mastodontico di circa 1400pagine in folio. L’errore compiuto nella quadratura del cerchio, evidenziato conchiarezza da Huygens nel 1651 ha contribuito ad alimentare la cattiva fama deltesto che, tra l’altro, non ha avuto altre edizioni dopo quella del 1647. Questostato di cose sorprende perche fu lo stesso Huygens a raccomandare la letturadell’Opus Geometricum al giovane Leibniz in una lettera del 1673, lodando lenumerose e brillanti idee presenti nel testo e ponendo i risultati di Gregorio alivello del metodo per trovare i massimi ed i minimi di Fermat e della geometriaanalitica di Descartes. In effetti, l’Opus Geometricum va ricordato almenoper due risultati importanti. Il secondo dei dieci libri di cui si compone l’operae interamente dedicato alle progressioni geometriche e la prima parte di questolibro e occupata dalla soluzione del celebre paradosso di Zenone su Achille ela tartatuga. Gregorio fu il primo a studiare il paradosso utilizzando unaserie geometrica, riuscendo a calcolare la distanza che Achille deve percorrereper raggiungere la tartaruga ed il tempo necessario perche cio accada. Il suoprocesso di divisione di segmenti ad infinitum, si discosta dai procedimenti diArchimede e consente di parlare propriamente per la prima volta di una seriegeometrica, formata da infiniti termini [2].

Per i nostri scopi e pero piu interessante il libro VI dell’Opus Geometricum,intitolato De Hyperbola che contiene la proposizione 109 (Fig. 5.1)

Proposizione CIX Siano AB ed AC gli asintoti di un’iperbole (equilatera) DEF.Si suddivida AC in modo che AG, AH, AI, AK ed AC formino una progressionegeometrica. Si traccino i segmenti DG, EH, LI, MK ed FC paralleli (aequidis-

1Datis tribus quibuscumque magnitudinibus, rationalibus vel irrationalibus, datisqueduarum ex illis Logarithmis, tertiae Logarithmum Geometrice invenire.

5.1. LE PROPRIETA LOGARITMICHE DELL’IPERBOLE 143

A

B

G

D

H

E

I

L

K

M

C

F

Figura 5.1: Lo schema per la dimostrazione della Prop. CIX dell’OpusGeometricum di Gregorio di S. Vincenzo.

tantes) all’asintoto AB. I trapezi curvilinei (segmenta) DH, EI, LK ed MC sonoequivalenti.2 (p.405 di [3])

Si tratta di una proprieta logaritmica in quanto, dal fatto che

AG

AH=AH

AI=

AI

AK=AK

AC= ...

segue che le le aree DGEH, DGIL, DGMK, DGFC,...ecc. formano una progres-sione aritmetica.

Tra i risultati utilizzati da Gregorio nella dimostrazione richiamiamo l’e-quivalenza dei rettangoli aventi un vertice nel centro dell’iperbole, quello oppos-to sull’iperbole e due lati lungo gli asintoti, proprieta gia nota ad Apollonio.Piu articolato e il teorema che si trova nel Libro II De Progressionibus, allaproposizione 116.

Siano date due quantita AB e CD e si divida AB in E e G in modo tale cheAE non sia minore della meta di AB ed EG non sia minore della meta di EB;si divida allo stesso modo CD nei punti F ed H e siano AE, EG, CF ed FHproporzionali e cio sia sempre possibile. Dico che l’intera AB sta all’intera CDcome AE sta a CF.3 (Opus Geometricum, Liber II, p.119 )4

2Sint AB, AC asymptoti hyperbolae DEF : divisaque AC, ut AG, AH, AI, AK, ACcontinue sint proportionales, ponantur GD, EH, LI, MK, FC, ipsi AB aequidistantes. DicoHD, IE, KL, CM segmenta esse aequalia.

3Sint duae quantitates AB, CD; sitque AB divisa in E & G, ita ut AE, sit non minordimidio AB & EG non minor dimidio EB; eodem modo divisa sit CD in F & H, sintque AE,EG; CF, FH proportionales: & hoc semper fieri possit. Dico totam AB esse ad totam CD, utest AE ad CF.

4La traduzione in inglese del primo libro e di parte del secondo acura di Ian Bruce e attualmente disponibile in rete all’indirizzo webhttp://www.17centurymaths.com/contents/gregoriuscontents.html


In termini moderni [3], assegnate due grandezze positive X ed Y , si consid-erino le successioni decrescenti x1, x2,...xn ed y1, y2,...yn tali che il rapportoxn/yn = α. Si supponga (cfr. pp. 16-17 di [4]) inoltre che

Rn := X − (x1 + x2 + ...xn) > xn+1 >1

2[X − (x1 + x2 + ...xn)] =

Rn

2

e che

Y − (y1 + y2 + ...yn) > yn+1 >1

2[Y − (y1 + y2 + ...yn)] :

allora X/Y = α. Si tratta, in effetti di un passaggio al limite perche possiamoconcludere dalla disuguaglianza Rn > xn+1 > Rn/2 che

Rn+1 = Rn − xn+1 <Rn

2

cosicche limn→+∞Rn = 0 e dunque

X =

∞∑

n=1

xn

e, in modo simile,

Y =

∞∑

n=1

yn

per cui, siccome yn = αxn possiamo concludere che Y = αX . Questo argomen-to, usato nel caso α = 1 sara usato ripetutamente nel corso della proposizione109 e di quelle collegate. Un altro risultato adoperato da Gregorio e la pro-prieta che, presa la corda DG congiungente due punti di uno stesso ramo diiperbole equilatera e considerato il diametro relativo, cioe la retta passante peril centro dell’iperbole che biseca DG, esso taglia l’iperbole nel punto E le cuicoordinate sono medie geometriche di quelle dei punti assegnati D e G.

Esercizio 5.1 Dimostrare quest’ultima proprieta.

Avvicinandoci all’obiettivo di mostrare la proposizione 109, incontriamo leproposizioni 106-108 che affermano, nell’ordine (Figg. 5.2-5.3)

Proposizione CVI Siano AB ed AC gli asintoti di una iperbole (equilatera) DEG.Sia AE il diametro corrispondente alla corda DG (Fig. 5.2). Tracciati DE edEG, i segmenti convessi DIE e GLE sono equivalenti.5

Proposizione CVII Sotto le stesse condizioni, siano DB, EF e GH segmentiparalleli ad uno degli asintoti Fig. 5.2). I segmenti concavi BDFE e GHFEsono equivalenti.6


A

D

G

B

H

E

I

L

O

N

C

F

Figura 5.2: Lo schema per la dimostrazione delle Prop. CVI-CVII dell’OpusGeometricum di Gregorio di S. Vincenzo.

Proposizione CVIII Siano AB ed AC gli asintoti di una iperbole equilatera DEFFig. 5.3). Siano DH, EG, FC segmenti paralleli ad AB ed in progressionegeometrica. Allora il segmento DHGE e equivalente al segmento EGCF.7

Le proposizioni 106 e 108 danno in effetti lo stesso risultato che viene rias-sunto nella proposizione 109. La dimostrazione della proposizione 106 procedeper via geometrica. Staccata la corda DG, si considera il diametro ad essaconiugato che interseca l’iperbole in E le cui coordinate, diremmo oggi, sonomedie geometriche delle coordinate di D e G. Inoltre, la retta tangente in Eall’iperbole e parallela alla corda DG (lo si dimostri per esercizio). Pertanto(Prop. CII), tra tutti i triangoli di base DG e vertice sull’arco di iperbole DG,triangolo DEG ha area massima. Si dividano ora le corde DE ed EG in partiuguali e siano N ed O i rispettivi punti medi. I diametri AN ed AO intersecanol’iperbole in I ed L le cui coordinate sono, rispettivamente, le medie geometrichedelle coordinate di D ed E e di E e G. Riprendendo lo stesso argomento di prima,tra tutti i triangoli che hanno base DE (EG) e vertice restante sull’iperbole, iltriangolo DIE (ELG) ha area massima. Tali triangoli sono equivalenti (Prop.CIII) e la loro area (Prop. CIV) supera meta di quella del segmento convessoDIE (ELG).8 A questo punto il procedimento viene ripetuto ad infinitum in

5Sint AB, AC asymptoti hyperbolae DEG, positaque ad diametrum AE ordinatim DG:ducantur DE, EG. Dico segmenta convexa DIE, GLE aequari.

6Iisdem positis: ponantur DB, EF , GH asymptotorum uni aequidistantes: Dico segmentaduo concava BDFE, GHFE inter se aequari.

7Sint AB, AC asymptoti hyperbolae DEF , & in continua sint analogia DH, EG, FCasymptoto AB aequidistantes. Dico segmentum DHGE, aequari segmento EGCF .

8Per rendersi conto di cio, si tracci la tangente all’iperbole ad esempio in I, che e parallela a


A

D

G

B

H

E

I

L

P

N

C

O

FQ

M

K

Figura 5.3: Lo schema per la dimostrazione della Prop. CVIII dell’OpusGeometricum di Gregorio di S. Vincenzo.

modo che, dalla proposizione 116 del Libro II nel caso α = 1 segue l’asserto.

Nella proposizione 108, si costruiscono i segmenti LI ed MK in modo che(Fig. 5.3)

HD

LI=

LI

EG=

EG

MK=MK

FC

e dunque, poiche anche le coordinate restanti formeranno una progressionegeometrica, per la proprieta fondamentale delle iperboli equilatere, si ha anche

AH

AI=

AI

AG=AG

AK=AK

AC. (5.2)

Se applichiamo ai primi due termini della proporzione (5.2) la proprieta delloscomporre, concludiamo che

AH

HI=AI

IG

ma poiche E ed L appartengono all’iperbole equilatera deve essere

AI

AG=EG

LI

DE e si consideri il rettangolo costruito su ED e limitato da tale tangente che ha area maggioredel segmento convesso DIE e area doppia rispetto al triangolo DIE, da cui segue l’asserto.


e dunque, poiche da (5.2) e anche AHAI = AI

AG

HI

IG=EG

LI

che, interpretata nella forma HI · LI = IG · EG dimostra l’equivalenza deirettangoli di vertici opposti L,H e di quello con vertici opposti E,I. Anche quiil procedimento viene iterato, ottenendo l’equivalenza dei rettangoli FK, MG,EI, LH. Ne segue che i rettangoli sottratti al segmento concavo EGHD sonoequivalenti a quelli sottratti al segmento FCGE. Ripetendo il procedimento adinfinitum ed applicando ancora la Prop. 116 (Libro II) si ottiene la tesi, a pattoche le aree dei rettangoli superino la meta dell’area del segmento convesso da cuivengono sottratti. Gregorio non verifica questa proprieta, certo del risultatogia mostrato per via geometrica nella Prop. 106. Il fatto e che in questo casola disuguaglianza non e sempre vera in quanto equivarrebbe a richiedere, pernumeri b > a > 0

lnb

a< 2

√

a

b

che e vera solamente quando il rapporto b/a non e troppo superiore ad 1.L’argomento di Gregorio e dunque valido solo da un certo punto in poi [3].

Gregorio non nota esplicitamente la proprieta logaritmica dell’iperbole,ma la enuncia in termini di passaggio da progressioni geometriche a progres-sioni aritmetiche. Questo legame viene invece sfruttato da De Sarasa nellasua risposta a Mersenne che si divide in due parti, la prima dedicata ai logar-itmi, la seconda alla difesa del metodo di Gregorio per quadrare il cerchio. Percomprendere la prima parte occorre precisare il senso del quesito di Mersenneriportato sopra, in particolare il significato dei termini logarithmi e geometrice.Il primo termine va spiegato perche come visto nei capitoli precedenti, all’epocaerano gia stati proposti diversi sistemi logaritmici che differivano per la sceltadel numero cui attribuire logaritmo nullo. Dalla risposta di De Sarasa, basatasulla trasformazione di progressioni geometriche in aritmetiche, si e portati aconcludere che il termine logaritmo vada preso nel senso precisato da Briggs: Ilogaritmi sono numeri che, associati a numeri in proporzione, conservano sem-pre la stessa differenza. Ora, da una progressione geometrica del tipo Aqn siassocia la progressione aritmetica a+nd per formare un sistema logaritmico cheresta completamente individuato quando vengono assegnati i parametri a e d,ovvero i logaritmi di A e Aq. Individuato cosı il sistema logaritmico, occorretrovare il logaritmo del terzo numero e dunque il problema di Mersenne hasenso. Quanto al termine geometrice, occorre osservare che De Sarasa lo uti-lizza nel duplice senso di costruzioni geometriche e di rigore geometrico, in sensoeuclideo. Riferito ai logaritmi questo rimanda alle Chiliades Logaritmorum diKeplero, costruite con l’intento di legittimare i logaritmi di Nepero inseren-doli nei classici schemi euclidei. In effetti, il testo di De Sarasa riecheggiain molti punti il lavoro di Keplero senza peraltro citarlo. Sembra pertantolecito che questo tipo di rigore fosse richiseto da Mersenne nel proporre ilsuo problema. Il testo di De Sarasa [5] Solutio problematis a R.P. Marino


Mersenno minimo propositi del 1649 colleziona una serie di risultati dell’OpusGeometricum—Proposizioni 1 e 3—e, dopo uno scholion dedicato alla naturadei logaritmi ed al loro rapporto con l’area sottesa dall’iperbole equilatera, passaa risolvere il problema di Mersenne nelle proposizioni 4-10.

Nella Proposizione 1 De Sarasa richiama il fatto che, se le ascisse deipunti su un’iperbole equilatera formano una progressione geometrica, anche leordinate sono in progressione geometrica di ugual ragione ma, mentre una ecrescente, l’altra e decrescente. La Proposizione 2 si rifa alle Proposizioni 125 e129 del Libro VI di Gregorio. Riferendoci alla Fig. 5.3, egli afferma che

Detti AB ed AC gli asintoti dell’iperbola DLEMF, si considerino i segmentiDH, LI, FC paralleli all’asintoto AB che limitano i segmenti iperbolici DHLI edLIFC. Il numero di volte in cui il rapporto DH/IL e contenuto nel rapportoIL/FC coincide con il numero di volte in cui l’area del segmento iperbolicoDHLI e contenuta nel segmento LIFC.

In termini moderni, sia xD = a, xL = ar ed xF = arn+1. Allora da

xLxD

= r =DH

ILe

xFxL

= rn =FC

IL=

(

DH

IL

)n

segue chen · area(DHLI) = area(LIFC) ,

come si verifica dalla relazione (5.1). In effetti, la dimostrazione si articola indue parti a seconda che le aree siano commensurabili (Prop. 125 dell’OpusGeometricum) o incommensurabili (Prop. 129 dell’Opus Geometricum). Inquest’ultimo caso la dimostrazione seguita dice qualche cosa in piu, visto cheDe Sarasa mostra come n volte l’area del segmento iperbolico delimitato dallerette x = a ed x = ar sia minore dell’area delimitata tra le rette x = ar edx = as se e solo se rn+1 < s.

Infine, nella Proposizione 3 De Sarasa combina le Proposizioni 109 e 130del Libro VI dell’Opus Geometricum, la seconda delle quali e l’inverso dellaprima. In definitiva, con questa Proposizione De Sarasa dimostra che se leascisse dei punti di un’iperbole equilatera sono in progressione geometrica, learee dei corrispondenti segmenti iperbolici formano una progressione aritmeticae viceversa.

A questo punto si innesta uno scholion in cui De Sarasa illustra la naturadei logaritmi e la loro relazione con le aree sottese da un ramo di iperbole (Figura5.3).

Si consideri la successione di grandezze O, P, Q, S, T, in proporzione continua,i cui logaritmi siano i numeri 6, 7, 8, 9, 10, etc. Questi numeri differisconotra loro per una quantita costante, come richiesto dalla natura dei logaritmi. Siconsideri ancora una certa iperbole DEF di asintoti AB ed AC e si costruiscanoi segmenti FC, MK, EG, LI, DH, etc. paralleli all’asintoto AB e lunghi rispet-tivamente quanto O, P, Q, S, T, cosa possibile in virtu del primo corollario inquesto libro.

Ora, per la Proposizione 3, tutte le aree MC, EK, LG, DI sono uguali traloro. Allora, proseguendo nella proporzione continua di rapporto MK/FC cosı


da risultare proporzionale allo stesso XZ9 che, per il primo corollario, appartienealla medesima iperbole, l’area XH sara uguale alle aree DI, LG, etc. e pertantol’area iperbolica XC superera quella CD di una quantita pari all’eccesso dell’areaDC rispetto all’area LC. Ancora, l’area iperbolica LC supera l’area EC dellostesso ammontare, e cosı via per le altre. Ne consegue che, al posto dei numeri6,7,8,9,10,11, etc. possiamo adottare le quantita iperboliche XC, DC, LC, EC,MC come logaritmi delle grandezze O, P, Q, R, S, T, o meglio le quantitaMC, EC, LC, DC, XC o ancora, se non si vuole fare riferimento all’iperbole,quantita che eccedano le une sulle altre di una stessa quantita come i numerilogaritmici adottati in partenza. Per questo motivo, si vede che la natura deilogaritmi, con la sua continuazione ed eccesso dei termini si adatta perfettamenteall’iperbole, cosı che, al posto dei numeri, si possono prendere parti dell’iperboleod il rapporto assegnato dei segmenti. (De Sarasa, p. 11 di [1])

Il legame tra logaritmi ed area di segmenti iperbolici opportunamente sceltie dunque reso esplicito. Inoltre, e chiaro a De Sarasa che e possibile assegnaresistemi logaritmici distinti a partire da una medesima iperbole. A questo punto,De Sarasa inizia l’attacco al problema di Mersenne, ispirandosi a risultatipresenti nelle Chiliades Logarithmorum di Keplero. Nella Proposizione 4 eglimira a stabilire sotto quali condizioni una progressione geometrica che non con-tiene un certo numero a possa essere infittita in modo che la nuova progressionelo comprenda.

Assegnata una successione di segmenti A, B, C, D, E, etc. in proporzionecontinua secondo il rapporto A/B. Inoltre, sia dato un segmento F arbitrario.Occorre mostrare se F possa figurare in una progressione con rapporti A:B:C,prolungata da una delle parti secondo il rapporto B:A [se F e] maggiore [di B]o secondo il rapporto B:C [se F e] minore. (De Sarasa, p. 11 di [1])

Di seguito, nella Proposizione 5, De Sarasa sottolinea come una progres-sione geometrica di primo termine a e ragione r possa essere inclusa in un’infinitadi altre progressioni geometriche di ragioni

√r, 3

√r, 5

√r, 100

√r e cosı via (cfr.

Prop. IX in [6]) Nella Proposizione 6, De Sarasa si basa sulla Proposizione 2per mostrare che se due aree di segmenti iperbolici adiacenti sono incommen-surabili, allora i tre segmenti che li delimitano non appartengono ad una stessaprogressione geometrica. Nelle successive Proposizioni 7 ed 8, egli considera ilcaso opposto in cui i segmenti iperbolici adiacenti sono commensurabili e dunquei tre segmenti che li delimitano appartengono ad una stessa progressione geo-metrica. A conclusione di queste tre proposizioni, De Sarasa riesce a stabiliresotto quali condizioni tre segmenti assegnati appartengono ad una medesimaprogressione geometrica: cio accade se e solo se le aree dei segmenti iperbolicilimitati dai segmenti di partenza sono commensurabili, il che fornisce il crite-rio (Proposizione 9) per rispondere al quesito contenuto nella Proposizione 4.In un nuovo scholion, De Sarasa puo cosı affermare quando il problema diMersenne e ben posto

Da qui risulta ancora piu evidente che il problema di trovare, date tre grandezzeed i logaritmi di due di queste, il logaritmo della terza in modo geometrico non

9e un altro segmento verticale, posto tra DH e l’asintoto AC.


e stato ben formulato da Mersenne; e una richiesta che chiaramente confliggecon la natura dei logaritmi che non puo essere sempre essere rispettata senzarestrizioni.10 (De Sarasa, p. 12 di [1])

In questo passaggio si evidenzia la natura discreta dei logaritmi intesi daDe Sarasa, rispetto al processo continuo di Nepero, in quanto la risposta alquesito di Mersenne viene subordinata alla possibilita di includere o meno tretermini nella medesima progressione geometrica.

Il passo finale, spiegato nella Proposizione 10, consiste nel risolvere il prob-lema di Mersenne, quando cio e possibile. In termini algebrici, assegnati

log(ARI) = i = a+Id log(ARJ) = j = a+Jd e log(ARK) = k = a+Kd

si tratta di ottenere k in funzione di i, j, I, J,K dalla proporzione

k − j

j − i=K − J

J − I.

Sorge naturalmente una domanda: si puo considerare De Sarasa come coluiche introdusse i logaritmi naturali? La risposta, seguendo Burn [1] e negativa,perche mancano alcuni requisiti. Ad esempio, occorre impiegare un sistemalogaritmico in cui log(1) = 0; inoltre, i logaritmi debbono essere definiti sulcontinuo e che l’iperbole deve essere del tipo y = 1/x, in quanto un’iperboledella forma y = a/x con a > 0 ma a 6= 1 porta ad introdurre un sistema dilogaritmi la cui base e diversa da e.

5.2 Costruzione geometrica dei logaritmi

Se con De Sarasa il legame tra logaritmi ed area sottesa da un arco di iperboleviene reso esplicito, e Christiaan Huygens che riesce a sfruttare la geometriadell’iperbole per calcolare i logaritmi briggsiani. Tale Regula ad inveniendoslogarithmos fu ritrovata nel 1868 da Joseph Bertrand tra i registri dei pro-cessi verbali dell’Academie des Sciences di Parigi ed era stata comunicata daHuygens all’assemblea nel 1666, senza presentarne il fondamento. Bertrandriteneva difficile che Huygens avesse potuto ottenere tale risultato senza farricorso allo sviluppo in serie di Mercator, ma cio appariva problematico inquanto lo sviluppo venne pubblicato solo nel 1668 e fu proprio Huygens adarne notizia all’Academie. In realta, egli aveva scritto il Fondamentum regulaenostrae ad inveniendos logarithmos nell’agosto del 1661, come anche si evinceda un riferimento fatto in una lettera che Huygens indirizzo a Robert Morete datata 1 agosto 1661.

Huygens si rivela un attento lettore dell’Opus Geometricum di Gregoriodi S. Vincenzo di cui cita alcuni teoremi relativi alla quadratura dell’iperbole.Come d’abitudine, riassumiamo i tratti salienti della tecnica di Huygens basan-doci sul confronto con il testo originale. Egli prende un’iperbole equilatera di

10Atque hinc patet ulterius non recte Problema a Mersenno fuisse propositum, Datis tribusmagnitudinibus, datisque duarum Logarithmis, tertiae Logarithmum Geometrice invenire;planeque contra naturam Logarithmorum id peti, quod absolute semper exhiberi non potest.

5.2. COSTRUZIONE GEOMETRICA DEI LOGARITMI 151

equazione, diremmo oggi, xy = q2 e considera su di essa i punti A ed E tali che(Figura 5.4) AB = 10 ed ED = 1 ed il punto F dell’iperbole tale che FG = 2per illustrare il calcolo del logaritmo (briggsiano) di 2.

C

S

B

A

N

O

G

F

K

H

M

L

D

E

Figura 5.4: Iperbole equilatera per la determinazione geometrica di log 2proposta da Huygens.

Sia FAE un’iperbole i cui asintoti SC e CD formano un angolo retto e si consideriil segmento AB parallelo ad SC e distante da esso 10 parti delle quali ED e unaed FG due. Pertanto, tante volte lo spazio ABDE contiene lo spazio FGDE,altrettante il rapporto di AB con ED contiene il rapporto tra FG ed ED, secondoquanto trovato da Gregorio di S. Vincenzo. In altre parole la differenza dellogaritmo del numero AB e di quello del numero ED contiene tante volte ladifferenza tra il logaritmo di FG e quello di ED (quante il rapporto di AB conED contiene il rapporto tra FG ed ED). Tuttavia il logaritmo di AB e noto eposto pari ad 10000000000 ed il logaritmo dell’unita ED e 0. Dunque e nota ladifferenza del logaritmo di entrambi, cioe 10000... che coincide evidentementecon il logaritmo di AB.

Pertanto, se e noto il rapporto tra lo spazio ABDE e lo spazio FGDE, saranota la differenza del logaritmo di FG con quello di ED e pertanto sara noto illogaritmo di FG.11 (p. 452 di [7])

11Sit FAE hyperbole cujus asymptoti SC, CD rectum angulum comprehendentes, sitqueAB aequidistans SC partium 10, qualium ED 1, et FG 2, siquidem volo invenire logarithmumnumeri 2. Quoties igitur spatium ABDE continet spatium FGDE, toties ratio AB ad EDcontinet rationem FG ad ED, per inventa Gregij a S. Vincentio. Hoc est toties excessuslogarithmi numeri AB supra logarithmum numeri ED continet excessum logarithmi numeriFG supra logarithmum numeri ED. Notus autem est logarithmus numeri AB quem ponimusesse 10000000000 et logarithm. numeri ED sive 1, qui est 0. Ergo excessus logarithmi utriusquenotus est nempe 10000&c. idem videlicet qui logar. numeri AB.

Si ergo noscatur quam rationem habeat spatium ABDE ad spatium FGDE, notus eritexcessus logarithmi numeri FG supra logar. numeri ED, adeoque logarithmus numeri FG.


In termini moderni, dette A1 = A(ABDE) ed A2 = A(FGDE) le areesottese dall’iperbole e limitate dall’asintoto CD e dai segmenti AB, FG ed ED,e posto ρ = A1/A2 abbiamo

ρ =log AB

ED

log FGED

(5.3)

cioe a direAB

ED=

(

FG

ED

)ρ

dove abbiamo usato il simbolo di logaritmo decimale perche, trattandosi dirapporti di aree, il particolare sistema logaritmico utilizzato non ha importanza,visto che si puo sempre passare da un sistema ad un altro utilizzando la formuladel cambiamento di base: il fattore di conversione si semplifica nel rapporto.Huygens sceglie i logaritmi di Briggs a dieci cifre decimali, secondo la versionediVlacq. La strategia diHuygens e di trovare un rapporto tra aree iperbolicheper dedurre il logaritmo richiesto.

Per trovare il rapporto degli spazi menzionati li divido entrambi in due partiuguali determinando dapprima il medio proporzionale tra i segmenti estremicome NO, medio tra AB ed ED, che divide in due parti uguali la regione ABDE.Di nuovo biseco le meta che giacciono verso ED ed ugualmente le meta di questecontinuando finche richiesto dalla precisione che si vuole nel logaritmo richiesto.Si consideri ad esempio lo spazio HKDE determinato dopo 5 bisezioni e chedunque e la trentaduesima parte della regione ABDE e, similmente, si considerila regione LD ottenuta dopo la quinta bisezione della regione FD e pertanto suatrentaduesima parte. Dunuqe, il rapporto tra le regioni HD ed LD, una voltadeterminato, fornisce il rapporto tra ABDE ed FGDE.12 (p. 453 di [7])

In questo passaggioHuygens nota il fatto, gia discusso nella Sezione 5.1, cheil punto di un arco di iperbole le cui coordinate sono medie geometriche dellecoordinate di altri due punti sull’iperbole P1P2, biseca l’area di un segmentoiperbolico P1P2. Questa operazione puo essere iterata e Huygens considerail settore HD (indicato con le lettere di vertici opposti) ottenuto per cinquebisezioni da ABDE ed il settore LD, ottenuto nello stesso modo da FGDE. Echiaro allora che il rapporto tra le aree di HD ed LD e ancora pari a ρ. Il motivodi questa bisezione ed il suo legame con il grado di precisione richiesto nelladeterminazione del logaritmo diverranno chiari piu avanti. Huygens procedeanalizzando la geometria dell’arco HE, come riportato in figura.

Le regioni HD ed LD si trovano separatamente in questo modo. Consideriamola regione HD [Fig. 2]. Si determini PQ, media proporzionale tra HK ed ED e si

12Ad inquirendam rationem dictorum spatiorum divido utrumque bifariam primo quod sitinveniendo mediam proportionalem inter lineas extremas, veluti inter AB, ED constituta mediaNO, ea bifariam dividet spatium ABDE. Rursus medietates quae versus ED eadem rationebiseco, et harum medietates denuo atque id aliquoties continuo, prout accurate logarithmuminvenire lubet. Ponatur exempli gratia HKDE spatium per 5am bisectionem inventum esse,ideoque 32mam partem spatij ABDE, ac similiter spatium LD ex 5ta bisectione spatij FDortum esse, ac proinde 32mam partem dicti spatij FD. Si igitur nota sit ratio spatij HD adspatium LD, ea erit ipsa ratio spatij ABDE ad FGDE.


T

γ

ψK Q S D

E

δO

∆Rλ

PYZ

X

H

V

ω

Π

Σϕ

θ

[Fig.2]

Figura 5.5: La determinazione geometrica di log 2.

conduca dal centro T dell’iperbole una retta TPR che necessariamente taglieraHE in R dividendola in due parti uguali e da R si tracci RS. Parimenti sianoXR∆ ed Y PO parallele all’asintoto TD cosicche il rettangolo XD e equivalenteal trapezio HKDE e necessariamente il rettangolo XO e equivalente al triangoloHPE. Infatti, poiche Pθ e il doppio di Pλ, il triangolo PHθ sara equivalente alrettangolo PX ed il triangolo PEθ sara equivalente al rettangolo P∆. Occorrepero sottrarre la porzione iperbolica HPE dal trapezio HKDE ovvero dal ret-tangolo XD per ottenere la regione HKDEP la cui area si puo determinare inmodo approssimato grazie ad un nostro teorema sulla quadratura dell’iperbole.13

(pp. 453-454 di [7])

Riassumiamo le proprieta geometriche qui invocate da Huygens. Anzitut-to, vi e il fatto, gia discusso in precedenza, che la retta condotta dal verticedell’iperbole al punto P biseca la corda HE in R. Da cio segue l’uguaglianza deitriangoli rettangoli HRX ed R∆E e dunque l’equivalenza tra il trapezio HKDEed il rettangolo XKD∆. La proprieta della retta XR∆ parallela all’asintoto TD

di bisecare l’angolo HRT si verifica facilmente per via analitica ed Huygens nepropone una dimostrazione sintetica in calce al Fondamentum. Ora, il triangoloPHθ ed il rettangolo PX hanno ugual altezza PY = Xλ e la base Pθ del trian-golo e doppia della base Pλ del rettangolo, da cui si deduce la loro equivalenza esimilmente per il triangolo PEθ ed il rettangolo P∆. La portio hyperbolae HPEe la regione delimitata dalla corda HE e dall’arco iperbolico HPE: sottraen-done l’area da quella del trapezio HKDE, ovvero del rettangolo XD per quantoappena dimostrato, si ottiene l’area mistilinea riercata HKDEP . A questopunto, Huygens si riferisce a risultati di un’opera precedente, Theoremata de

13Spatia HD et LD separatim inveniuntur hoc modo. Sumamus spatium HD [Fig. 2].Inter HK, ED media constituatur PQ et a centro hyp. T ducatur recta TPR, quae rectam HEnecessario bifariam secabit in R unde ducatur RS. Item XR∆, Y PO parallelae TD asymptoto,sit igitur XD æqu. trapetio HKDE, et necessario XO ≡ triangulo HPE. Nam quia Pθdupla Pλ erit ∆mPHθ æqu. PX et ∆mPEθ æqu. P∆. Auferenda autem est portiohyperbolae HPE a trapetio HKDE sive a XD ut habeatur spatium HKDEP quae portioper nostra theoremata de quadr. hyperbolae sic proxime invenitur.


quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro [8]in cui egli era riuscito dapprima a dimostrare, sulla scorta di classici risultati diArchimede, come il centro di massa di una porzione di una conica, delimitatodalla conica medesima e da una corda, giace sul diametro coniugato alla corda,cioe sulla retta passante per il centro della conica che biseca la corda.14 In se-guito, con il Teorema VI Huygens riuscı a mostrare che, detto V il centro dimassa di un settore di iperbole, vale la seguente proporzione

areah(HPE)

areat(HPE)=

23 (2TP + PR)

TV

dove T , R e P hanno lo stesso significato della Figura 5.5, areah(HPE) e l’areadel segmento iperbolico HPE ed areat(HPE) e l’area del triangolo HPE inscrit-to nel settore, con ugual base ed uguale altezza15. Questa relazione e esatta,ma in assenza di un teorema che consenta di individuare la distanza del centrodi massa di una porzione di iperbole sul diametro, Huygens usa il risultatodi Archimede per i segmenti parabolici in virtu del quale il centro di massadi un settore parabolico bisecato dal diametro (l’asse) di una parabola dividel’altezza del segmento in due parti che stanno tra loro nel rapporto 2 a 3. Eproprio la sostituzione locale di un arco di iperbole con uno di parabola cherende la formula per i logaritmi approssimata, con un grado di approssimazionetanto migliore quanto maggiore e il numero di bisezioni dello spazio iperbolicoABDE. Ecco come procede Huygens.

Sia RV = 25RP cosı che V sara vicino al centro di gravita della porzione HPE.

Percio, VT sta ai 23 dell’intero RTP, come il triangolo HPE sta alla porzione

HPE, cioe, se VT sta a 23RTP allora PR sta ad Rω ed il triangolo ωE e

circa equivalente alla porzione HPE o, tracciata VΠ parallela ad X∆, ΠS staai 2

3RSΣ come RΣ sta ad Rϕ e, tracciando Zϕδ, il rettangolo Xδ equivale allaporzione HPE e cosı il rettangolo ZD e equivalente alla regione cercata HKDE.Dati allora HK, ED e e la loro media PQ, sara anche assegnato il segmentoϕS da tracciare in KD per ottenere il rettangolo ZD. Se ora HK e chiamatoa, ED e detto d, PQ e b =

√ad, RS = 1

2a + 12d, ΣR = 1

2a + 12d − b i cui

14Precisamente, si tratta del Teorema IV: Portionis hyperboles, ellipsis & circuli, centrumgravitatis est in portionis diametro (p. 295 di [8])

15Nell’originale, il Teorema VI e formulato in questi termini Omnis hyperboles portio adtriangulum inscriptum, eandem cum ipsa basin habentem eandemque altitudinem, hanc habetrationem; quam subsesquialtera duarum, lateris transversi & diametri portionis, ad eam quaeex centro sectionis ducitur ad portionis centrum gravitatis. (p.305 di [8]) Ogni porzioneiperbolica sta al triangolo in essa inscritto di ugual base ed altezza come i due terzi dellasomma del lato trasverso e del diametro della porzione stanno alla distanza del centro digravita della porzione dal centro dell’iperbole


35 ≡ ΣΠ = 3

10a+310d− 3

5b.16

ΠS)(

310a+

310d+

25b)

sta ad 23RSΣ

(

13a+

13d+

23b)

come RΣ(

12a+

12d− b

)

sta ad Rϕ(

16aa−

13 bb+

16dd

310a+

310 d+

25 b

)

dove ho posto bb = ad.

da RS 12a+

12d Sϕ

193 bb− 1

6aa−16dd+2ab+2db

3a+3d+4b cioe 100ad81a+81d+108b+

2027b− 1

18a− 118d = Sϕ

da moltiplicare per KD.Facciamo ordine in questa parte cruciale del metodo di Huygens. Anzitutto

c’e l’uguaglianza RV = (2/5)RP che traduce proprio la sostituzione dell’arcodi iperbole con un arco di parabola per il quale il centro di massa V soddis-fa la proporzione RV : PV = 2 : 3 da cui, per applicazione della regola delcomporre, segue RV : RP = 2 : 5, come asserito da Huygens. Fatta ques-ta approssimazione, egli applica il Teorema VI di [8]. Notiamo la scritturaRTP = RT + TP = 2TP + PR impiegata in questo contesto. A questo punto,Huygens introduce un punto ω su TR tale che V T : 2

3RTP = PR : Rω. Ora,poiche i triangoli HPE ed HωE hanno la stessa base, le loro aree stanno nelrapporto delle corrispondenti altezze che, a loro volta, stanno proprio nel rappor-to PR : Rω. Pertanto Huygens conclude che, nei limiti dell’approssimazioneadottata, l’area del segmento iperbolico coincide con quella del triangolo HωE.Tracciate le parallele all’asintoto TD passanti per V e per ω, siano Π e ϕ lerispettive intersezioni con RS. Il teorema di Talete permette di trasformarela proporzione V T : 2

3RTP = PR : Rω in ΠS : 23RSΣ = RΣ : Rϕ Da tut-

to questo Huygens conclude che il rettangolo Xδ e equivalente alla porzionedi iperbole HPE. Infatti17, sappiamo che area h(HPE) = areat (HωE) che asua volta coincide con ωR

TRareat (HTE) in quanto i due triangoli hanno la basein comune. Ora, il trapezio HKDE, che gia sappiamo essere equivalente alrettangolo XD, e anche equivalente al triangolo HTE, dal momento che i tri-angoli rettangoli HTK ed ETD sono equivalenti perche hanno i vertici H ed Esull’iperbole. Dunque, in definitiva

area h(HPE) ≡ ωR

TRXD = Xδ .

Pertanto, la porzione di spazio iperbolico HKDE, ottenuta togliendo area h(HPE)al trapezio HKED e equivalente, per differenza, al rettangolo ZD. La parte sin-tetica del procedimento si e conclusa con l’equivalenza (approssimata) area h(HKED) =areaZD e nel resto del frammento vi e l’espressione analitica del segmento Sϕ

16Sit RV = 25RP , jam V erit proxime centr. gr. portionis HPE. Unde sicut VT ad 2

3totius

RTP ita ∆mHPE ad portionem HPE, hoc est, si ut VT ad 23RTP ita fiat PR ad Rω erit

∆mHωE aequale proxime portioni HPE, vel ducta V Π parall. X∆, si ut ΠS ad 23RSΣ ita

fiat RΣ ad Rϕ ducaturque Zϕδ, erit Xδ ≡ portioni HPE, ideoque ZD ≡ spatio HKDEquaesito. Datis autem HK, ED et inter ipsas media PQ, data erit ϕS ducenda in KD uthabeatur ZD. Veluti si HK vocetur a, ED voc. d, PQ voc. b =

√ad, sit RS = 1

2a + 1

2d,

ΣR = 12a+ 1

2d− b cuius 3

5≡ ΣΠ = 3

10a+ 3

10d− 3

5b.

17Con il pedice h indico aree di segmenti iperbolici, con r e t aree di rettangoli e triangoli,rispettivamente.


da moltiplicare per KD, al fine di ricavare l’area del rettangolo ZD. Osserviamoa margine la notazione aa per indicare a2, e cosı via per le altre quantita.

A questo punto, si applica lo stesso algoritmo di bisezione all’area iper-bolica LD che richiede solo alcune sostituzioni formali. Si trova l’altezza n che,moltiplicata per MD fornisce l’area del rettangolo equivalente all’area iperbolicaLD.

Similmente, date LM = f [Fig. 1], ED = d ed il loro medio proporzionaleg =

√fd si determina l’altezza da condurre in MD destinata a produrre un

rettangolo circa equivalente alla regione LD; dico che questa altezza e pari a100fd

81f+81d+108g +2027g− 1

18f − 118d, sostituite soltanto a con f e b con g nei termini

determinati per la quantita Sϕ [Fig.2].Si chiami p l’altezza Sϕ ed n l’altra altezza da tracciare in MD [Fig. 1].

Sia poi qq il quadrato dell’iperbole γψ [Fig. 2]. Sia pertanto KD = qqd − qq

a . e[Fig.1] MD = qq

f − qqd . Dunque il rapporto tra la regione HD e la regione LD

sara lo stesso del prodotto di p con qqd − qq

a con il prodotto di n con qqd − qq

f . Ma

il rapporto tra qqd − qq

a e qqd − qq

f coincide con quello tra a−da ed f−d

f o di a− d

ad a− adf . Pertanto il rapporto della regione HD con la regione LD coincidera

con quello tra il prodotto di p ed a− d ed i prodotto di n ed a− adf .

Per trovare i logaritmi dei numeri primi dall’uno al cento, si indichi con dl’unita e sia AB = 10. Dunque occorre determinare una sola volta il prodottotra p ed a − d, cioe il numero che esprime la regione HD (porzione nota dellospazio ABDE) per trovare i logaritmi di tutti i numeri primi inferiori a cento;Il prodotto di p ed a − d sta a quello tra n ed a − ad

f cosı il logaritmo di dieci

(che coincide con la differenza tra il logaritmo di dieci e quello dell’unita) staal logaritmo del numero proposto in quanto anche qui esso coincide con la suadifferenza con il logaritmo dell’unita che vale 0.

Dopo cinque estrazioni di radice da 10 si trova 10746078283213, cioe a.La sesta radice ottenuta da 10 e 10366329284377, che coincide con b. L’unita10000000000000 e d. Si trova cosı Sϕ o p, per a − d = 77324248946607 che eil numero da trovare una sola volta, come abbiamo detto.18 (pp. 455-456 di [7])

18Similiter data LM = f [Fig.1] et ED = d, interque ipsas media pror.i = g =√fd,

invenietur altitudo ducenda in MD, daturaque sic rectangulum aequale proxime spatio LD;ea inquam altitudo invenietur 100fd

81f+81d+108g+ 20

27g − 1

18f − 1

18d mutatis nempe tantum a in

f et b in g, in terminis qui inventi sunt pro quantitate Sϕ [Fig.2].Vocetur altitudo Sϕ, p. Et altera quam dixi ducendam in MD [Fig.1] vocetur n. Quadratum

vero hyperbolae γψ [Fig. 2] sit qq. Sit igitur KD = qqd

− qqa. Et [Fig.1] MD = qq

f− qq

d.

Itaque ratio spatij HD ad spatium LD erit ea quae p in qqd

− qqa

ad n in qqd

− qqf. Sed ratio

qqd

− qqa

ad qqd

− qqf

est eadem quae a−da

ad f−df

sive a− d ad a− adf. Ergo ratio spatij HD

ad spatium LD erit ea quae p in a− d ad n in a− adf.

Ad inveniendos logarithmos numerorum primorum ab unitate ad centenarium, d sit unitas,AB = 10. Itaque p in a − d, hoc est, numerus exprimens spatium HD (quod pars nota estspatij ABDE) semel tantum inveniendus est ad logarithmos omnium mumerorum primoruminfra centenarium reperiendos; imo ad omnes omnino. Sicut p in a− d ad n in a− ad

fita erit

logarithmus denarij (quia idem quoque est excessus logarithmi denarij supra logar.m unitatis)ad logar.m numeri propositi quia hic quoque excessus est logarithmi numeri propositi supralogarithmum unitatis qui est 0.

5.3. TORRICELLI E LA CURVA LOGARITMICA 157

Determinata per analogia la quantita n = 100fd81f+81d+108g + 20

27g − 118f − 1

18d,occorre trovare le basi KD ed MD dei rettangoli equivalenti ai segmenti di iper-bole interessati. Per far questo, Huygens si serve dell’equazione dell’iperbolexy = q2 = qq, (q2 e detto quadratum hyperbolae). Visto che le ordinate di K,Me D sono pari rispettivamente ad a, f e d, le espressioni per KD ed MD seguonosubito e dunque si ha il rapporto

area(LD)

area(MD)=

p(a− d)

n(a− adf )

= ρ ,

dove ρ e stato introdotto nell’equazione (5.3) e si puo esprimere in terminilogaritmici come

p(a− d)

n(a− adf )

=log(AB) − log(ED)

log(FG)− log(ED).

Se ora, seguendo Huygens, poniamo ED = 1, AB = 10 ed FG = β ricaviamo

log(β) =n(a− ad

f )

p(a− d)=

100fd81f+81d+108g + 20

27g − 118f − 1

18d

100ad81a+81d+108b +

2027b− 1

18a− 118d

×a− ad

f

a− d

che fornisce la regola cercata. Nel resto del testo, Huygens trova i valori di a e bservendosi di estrazioni successive di radici quadrate di 10. Il metodo, applicatoalla ricerca di log 2 fornisce un risultato corretto fino alla decima cifra decimalecome annuncera all’Academie nel 1668 [9], senza pero spiegare i dettagli delmetodo. Con il lavoro di Huygens, l’analogia tra aree iperboliche e logaritmiacquista una importante valenza applicativa, in quanto fornisce la base di unmetodo accurato per trovare i logaritmi.

5.3 Torricelli e la curva logaritmica

I primi a trattare la curva logaritmica furono Evangelista Torricelli (1608-1647) ed ancora Christiaan Huygens. Cronologicamente l’onore di avere stu-diato per primo la curva logaritmica, determinandone le principali proprieta,spetta a Torricelli nella De hemihyperbole Logarithmica la cui stesura informa manoscritta va fatta risalire al 1644, anno in cui in una lettera inviata aMichelangelo Ricci e datata 24 agosto, Torricelli si esprime in questi termini

Quella linea che io chiamavo mezza iperbola non e affatto nuova invenzione,come credo che ella avra conosciuto subito, ma viene autorizzata dal nome diun grand’autore e da una invenzione grandissima nelle matematiche. Parlo diNepero e de’ logaritmi dell’una e dell’altra specie, la nascita de’ quali con le lorproprieta e dimostrazioni si scorgono manifestamente in quella linea. In sommaquei due moti, uno aritmetico e l’altro geometrico che da Nepero non furonconsiderati se non separatamente l’uno dall’altro, da me sono stati contemplati

Radix quae quinto extrabitur ex 10 est 10746078283213, haec est a. Radix quae sextoextrahitur ex 10 est 10366329284377, haec est b. unitas 10000000000000, est d. Hinc inveniturSϕ sive p, in a− d = 77324248946607 qui est numerus, semel tantum inveniendus ut diximus.


unitamente, e ne ho cavato una speculazione di geometria, dove che egli nonandava rintracciando altro che una pratica aritmetica. (pp.78-79 di [10])

La memoria di Torricelli, insieme ad altre, non venne divulgata che duesecoli e mezzo dopo da Gino Loria [10] e venne inclusa nella successiva raccoltadi opere complete [11]. Cio si spiega con la prematura morte di Torricelliil quale, sentendo venir meno le forze, aveva affidato la pubblicazione delleopere matematiche inedite a Bonaventura Cavalieri e a Michelangelo Ricci(1619-1682) i quali pero non riuscirono a mantenere l’impegno: il primo per lamorte sopraggiunta sempre nel 1647, il secondo perche assorbito dagli impegniecclesiastici: diverra cardinale nel 1681. Huygens presento le proprieta salientidella curva logaritmica nella chiusa del Discours de la cause de la pesanteurdel 1690, pubblicato in appendice al Traite de la Lumiere, in cui egli avverteperaltro che l’invenzione della curva va fatta risalire ad altri: La si puo chiamarecurva logaritmica o logistica dal momento che non ha ancora un nome, benchepiu persone debbano averla considerata.19. Non e chiaro se Huygens si riferissea Torricelli o a James Gregory che aveva pubblicato nel 1667 a Padovala Geometriae pars universalis in cui parla della curva logaritmica. E possibileche sia Huygens che Gregory fossero a conoscenza di una qualche forma deirisultati di Torricelli, soprattuto Gregory che soggiorno in Italia.

La memoria di Torricelli che riproduciamo in originale, e notevole perchedetermina le proprieta della sottotangente20 alla curva logaritmica, nonche laquadratura della porzione di piano delimitata dalla curva stessa, da due retteparallele all’asse delle ordinate e dall’asse delle ascisse e, infine, l’espressionedel volume del solido ottenuto per rotazione completa della curva attorno alproprio unico asintoto. Torricelli inizia enunciando le proprieta qualitativedella curva ed i teoremi principali da lui mostrati per poi costruire la curva perpunti.E una certa linea ABC che per la sua definizione possiede un grande e moltodiffuso interesse in geometria, una curva che non ha termine da entrambe leparti e possiede un solo asintoto HD (da cio le abbiamo assegnato il nome disemiperbole) verso il quale sempre tende senza mai raggiungerlo; essa ha la parteconvessa rivolta sempre dalla stessa parte, cioe rivolta all’asintoto. Daremo poiquesta definizione, se i Teoremi saranno graditi.

Teor. I. Se si considera su questa linea un punto arbitrario A, da cui sitraccia la tangente AE, mentre AH e perpendicolare all’asintoto: ne risulterauna figura piana ABFH, compresa tra la curva, il suo asintoto e la retta AH,e equivalente al doppio del triangolo AEH. Se poi si considera un altro puntoarbitrario C da cui si traccia CD perpendicolare all’asintoto e CI parallela adesso, il quadrilatero misto ACDH sara equivalente al doppio del triangolo AIH.

Teor. II. Se poi l’intera figura viene fatta ruotare attorno all’asintoto HD, ilsolido acuto di lunghezza infinita, ottenuto per rotazione della semiperbole, che

19Nuncupari potest Logarithmica aut Logistica, nondum enim quantum nomen, licet eamcum plures observaverint

20Dato un arco di curva, si tracci la tangente al grafico di questa in un suo punto P .Sull’asse delle ascisse si considerino il punto A avente la stessa ascissa di P e l’intersezione Qdella tangente alla curva in P . Il segmento AQ e la sottotangente alla curva in P .


e equivalente a 3/2 del cono ottenuto per rotazione del triangolo AEH attornoall’asse HE.21(Torricelli, De Hemihyperbolae logarithmica, p. 80 di [10], pp.337-338 di [11])

A

B

C

DEH

F

I

Figura 5.6: La semiperbole di Torricelli.

La definizione della curva logaritmica e data nei termini seguenti:

Se c’e una linea ABC che tagli tutte le rette perpendicolari a DE ed equidistantitra loro in segmenti che formano una progressione geometrica, chiamo quellalinea ABC semiperbole, visto che ha una sola retta per asintoto.22 (pp. 80-81di [10], p. 338 di [11])

Dunque la curva di Torricelli realizza la corrispondenza tra progressioniaritmetiche e geometriche che e alla base della definizione neperiana di logar-itmo. In termini moderni, Torricelli ha definito la curva x = loga y, ovveroy = ax. La costruzione della curva per punti segue la definizione appena data.

21Est quaedam Linea ABC, celeberrimam habens, et in Geometria frequentissimam pas-sionem pro definitione, quae quidem curva ex utraque parte caret fine, unicamque habetasymptoton HD (hinc est quod eam Hemhiperbolam nominavimus) ad quam semper acced-it et numquam cum ea convenit; habetque convexum universum ad easdem semper partes,nempe versus asymptoton. Dabimus aliquando ipsam definitionem, si Theoremata placuerint.

Theor.a p.us. Si huiusmodi lineae sumatur punctum quodlibet A, ex equo AE sit tangens,AH vero ad asymptoton perpendicularis: erit universa figura plana ABFH, quae sub lineacurva, eiusque asymptoto et recta AH comprehenditur, dupla trianguli AEH. Si vero sumaturquodlibet punctum aliud C, ex quo CD ad asymptoton sit erecta, CI vero parallela, eritquadrilineum mixtum ACDH duplum trianguli AIH.

Theor.a 2m. At si universa figura convertatur circa asymptoton HD erit solidum acutumsine fine longum, factum ex revolutione semhyperbolae sesquialterum coni qui a trianguloAEH describitur circa axem HE.

22Si fuerit quaedam linea ABC quae omnes rectas perpendiculares ad lineam DE equalibusintervallis inter se distantes secet in continua proportione Geometrica, lineam illam ABCHemihyperbolam voco, rectam vero de eius asymptoton quae quidem unica erit.


La spiegazione della figura sara semplice: si consideri una retta DE illimitatada ambo le parti su cui ci prendono due punti D ed E arbitrari. Si traccinodue segmenti perpendicolari DA ed EC. Diviso in due parti uguali il segmentoDE in F, si tracci la perpendicolare FB media (geometrica) tra DA ed EC ebisecate ancora le parti ottenute in G ed M, si traccino GH ed MN entrambi mediproporzionali tra i segmenti adiacenti. E si proceda in questa suddivisione tantevolte quanto si vuole; in seguito si tracci per i punti estremi trovati ALHBNCuna curva che chiamiamo semiperbole per la somiglianza e perche ha un soloasintoto.23 (pp. 81 di [10], p. 338 di [11])

A

B

C

EFD I M

H

N

G

L

Figura 5.7: La costruzione per punti della semiperbole.

Si tratta di un processo di bisezione del segmento arbitrario DE in cui ad ognipunto della suddivisione corrisponde un’ordinata che e la media geometrica delleordinate dei punti adiacenti nella successione. La discussione procede illustrandocome sia possibile descrivere le due specie di logaritmi (utraque species), quellicrescenti e quelli decrescenti, attraverso questa curva.

Si sarebbe potuto chiamare la semiperbole anche curva logaritmica o neperiana.Infatti per suo mezzo si possono vedere entrambi i tipi di logaritmi e le loroproprieta.

Si consideri infatti la semiperbole ABCDEFGH di asintoto IL. Certamentenon e possibile assegnare ne un’ordinata minima ne un’ordinata massima per cui

23Descriptio figurae facilis erit: ponatur recta linea DE sine fine longa ex utraque parte. Inea sumantur duo puncti quolibet D, E. Erigantur duae perpendiculares inaequales DA et EC.Cum recta DE bifariam in F erigatur perpendicularis FB media inter DA, EC sectisque iterumpartibus bifariam in G et M erigatur GH, MN utraque media inter proximas. Atque haecdivisio fiat quotiescumque libuerit; denique per extrema puncta reperta ALHBNC ducaturlinea quam hemihyperbolam appellamus, ob similitudinem unicamque quam tantum habetasymptoton.


un valore immenso od esiguo assegnato alla lunghezza di un segmento coincideracon una delle ordinate della curva.

Si scelga dunque un’ordinata LH come unita e si consideri un suo multiploqualsiasi LM come valore massimo della tavola e, completato il rettangolo ILMA,dai singoli punti HNOP ecc. si traccino delle rette parallele all’asintoto. Fattoquesto sia pari a zero il logaritmo dell’unita LH. Il logaritmo di LN, cioe delnumero due, sara NG, del tre LO sara OF, del quattro sara PE e cosı via finola numero piu grande della tabella LM il cui logaritmo e MA. L’altro tipo dilogaritmi e formato dai complementi di questi appena spiegati.

L

O

P

H

N

M

U

I

Q

R

T

S

A

B

C

D

E

F

G

Figura 5.8: Diversi sistemi logaritmici descritti dalla stessa semiperbole.

Cosı il logaritmo del numero assoluto IA sara zero, quello del numero IQsara QB e quello di IR sara RC, quello di IS sara SD, ecc. In questo modol’unita IT avra il logaritmo piu grande TH. Da cio e evidente che se e datoun solo tipo di logaritmo, non importa quale, per tutti i numeri, l’altro tiposi costruisce grazie soltanto a sottrazione, sottraendo evidentemente i singolilogaritmi. Ne e importante da quale numero viene effettuata la divisione: la sipuo eseguire a partire dal numero che e uguale al piu grande dei logaritmi daticome a partire da un numero a piacere minore del piu grande. Infatti il valore el’efficacia dei logaritmi risiede unicamente nelle loro differenze.24(Torricelli,

24Poterat appellari etiam linea logarithmica sive Neperiana. Utramque enim speciemlogarithmorum eorumque affectiones statim videndas offert.


De Hemyperbole logarithmica, pp. 81-82 di [10], pp. 338-339 di [11])Qui Torricelli costruisce due sistemi logaritmici, usando la stessa curva.

Il primo e alla Briggs in quanto, fissata l’unita HL, il corrispondente logaritmoe nullo. Chiamiamo log(1) questo sistema logaritmico e sia ML = n×HL. Perquesto sistema vale la regola di trasformazione di prodotti in somma. Il secondosistema, che denotiamo con log(2), e neperiano con sinus totus pari ad AI. Illegame tra i due sistemi logaritmici segue dalle prescrizioni di Torricelli chepone

log(2)(IQ) = QB = IL−BU = log(1)(ML)− log(1)(UL) = log(1)(n

n− 1)

ed, in generale

log(2)(n− k) = log(1)(n

n− k) .

Dopo aver illustrato queste proprieta generali, Torricelli dimostra unrisultato sui plurirettangoli circoscritti ad un arco di semiperbole, aventi basicoincidenti ed altezza in progressione geometrica (continuata proportione) cheforma il perno delle dimostrazioni dei teoremi annunciati all’inizio della memo-ria.

Si costruiscano un certo numero di rettangoli AB, CD, ecc, l’ultimo dei quali siaEF, tutti con basi uguali le prime delle quali siano GB e BD. Supponiamo poiche questi rettangoli formino tra loro una progressione geometrica. Da ogni ret-tangolo si tolga sempre quello successivo fino ad EF da cui si toglie un rettangoloIF uguale a quello che seguirebbe nella progressione dei rettangoli AB, CD sela si continuasse. Fatto questo, si prolunghi MI in O e si prolunghi il segmentoAC fino al punto P di intersezione con MO e, tracciata la perpendicolare PQRpassante per P, si completi il rettangolo AGQR. Dico che il rettangolo AGQRe equivalente all’unione di tutti i rettangoli AB, CD, VS, TY, EF. Infatti, l’u-nione di tutte le differenze AC, CV, VT, TE, EM e equivalente al rettangoloAK come di dimostra, in un modo consueto tra i matematici. Il rettangolo MEe uguale ad EZ, e, aggiunto il rettangolo in comune ET, ME ed ET insieme

Posita enim hemihyperbola ABCDEFGH cuius asymptotos IL. Certum est neque minimam,neque maximam applicatarum dari posse, ergo proposita quacumque sive exigua sive immensalinea recta erit quaedam ex applicatis propositae lineae aequalis.

Ponatur ergo quaedam applicata LH pro unitate, et LM ipsius multiplex quantumcumquelibuerit pro maximo absoluto Tabulae, completoque rectangolo ILMA, ducantur ex singulispunctis HNOP etc. rectae ad asymptoton parallelae. His peractis erit unitatis LH logarith-mus nullus. Binarij vero LN logarithmus erit NG, ternarij autem LO erit logarithmus OF,quaternarij erit PE et sic semper usque ad maximum tabulae numerum LM cuius logarithmusest MA. Altera vero species logarithmorum erunt complementa illorum qui iam explicati sunt.Nempe maximi numeri absoluti IA erit logarithmus nullus, numeri vero IQ logarithmus eritQB, et numeri IR logarithmus erit RC, et numeri IS erit logarithmus SD, etc. Unitas tandemIT logarithmum habebit omnium maximum TH. Hinc manifestum est data una tantum exeodem semper numero specie logarithmorum quaecumque sit alium construi posse per solamsubtractionem subtrahendo scilicet singulos logarithmos. Neque quicquam refert ex quonamnumero subtractionem instituas. Potest et subductio fieri sive ex numero qui aequalis sitmaximo datorum logarithmorum; sive ex maiori quantum libuerit. Virtus enim et efficacialogarithmorum in solis eorum differentiis constitit.


sono equivalenti allo stesso IT o allo stesso TX, e se si aggiunge il rettangoloin comune TV, allora ME, ET, TV saranno uguali a VZ o ancora a VK ed ag-giunto il rettangolo in comune VC, i rettangoli ME, ET, TV, VC insieme sonouguali allo stesso CX ovvero a CO ed aggiunto il rettangolo in comune CA, tuttii rettangoli ME, ET, TV, VC, CA insieme saranno uguali allo stesso AK.

Ora, i rettangoli AB, CD, VS ecc. formano una proporzione continua percui AB sta a BH come CD sta ad DL e, invertendo il rapporto, BA sta ad ACcome DC sta a CV. E cio e vero sempre, fino all’ultimo rapporto. Dunque peril n. 12 del quinto libro di Euclide tutti i rettangoli AB, CD, VS, TY, EF,stanno a tutte le differenze AC, CV, VT, TE, EM, ovvero all’unico rettangoloAK, come ognuno dei primi sta ad ognuno dei secondi, cioe come BA sta ad ACe, permutando i termini, tutti i predetti rettangoli stanno a BA come AK staad AC, ovvero come OA sta ad AH, cioe come PO sta a CH o, ancora, come ilrettangolo AGQR sta al rettangolo BA. Dunque il rettangolo AGQR e equiva-lente a tutti i predetti rettangoli, come si doveva dimostrare.25(Torricelli DeHemhyperbole logarithmica, pp. 82-83 di [10], pp. 339-340 di [11])

Servendoci della figura, ricostruiamo gli argomenti di Torricelli. Eglianzitutto considera una successione di rettangoli AB, CD, VS, TY, EF, etc.aventi tutti ugual base ed altezze in progressione geometrica, cosicche i verticiA,C,V,T,E,M stanno su un arco di semiperbole. Ad ogni rettangolo (alla suaarea, meglio) viene sottratto il successivo: cosı togliendo CD da AB si resta conil rettangolo AC e, di seguito, con i rettangoli CV, VT, TE, EM, quest’ultimoottenuto sottraendo dal rettangolo EF quello che occuperebbe il posto successivonella progressione, se questa venisse prolungata. Condotta la parallela MOall’asintoto GF che interseca in K il segmento BC ed in P la retta passanteper A e C, Torricelli mostra che l’area del rettangolo AGQR e uguale allasomma delle aree dei rettangoli AB, CD,...,EF. Dapprima egli osserva che lasomma delle aree di EM, TE, VT, CV ed AC, e uguale a quella del rettangolo

25Ponantur quotcumque rectangula AB, CD, etc. quorum ultimum sit EF, super basibusdeinceps aequalibus constituta quorum primae sint GB, BD. Sint praedicta rectangula in Geo-metrica continuata proportione inter se. Auferanturque semper sequens a praecedenti, nempead ultimum EF, ex quo auferatur IF aequale ei quod sequeretur in progressione rectangulorumAB, CD, si continuaretur ulterius. His peractis producatur MI in O iunctaque AC et pro-ducta, conveniat cum MO in P et ducta per P perpendiculari QPR compleatur rectangulumAGQR. Dico rectangulum AGQR omnibus positis rectangulis AB, CD, VS, TY, EF aequaleesse. Omnes enim differentiae AC, CV, VT, TE, EM simul sumptae aequales sunt rectanguloAK, quod quidem ostenditur more solito apud Geometras usitato hoc modo. RectangulumME aequale est ipsi EZ, sumptoque communi ET erunt ME, ET aequalia ipsi IT, sive ipsi VKsumptoque communi TV, erunt ME, ET, TV aequalia ipsi VZ, sive ipsi VK sumptoque com-muni VC, erunt ME, ET, TV, VC aequalia ipsi CX sive ipsi CO, et sumpto tandem communiCA erunt omnia ME, ET, TV, VC, CA aequalia ipsi AK.

Iam rectangula AB, CD, VS etc. sunt in continua proportione, ergo AB ad BH est ut CDad DL, et per conversionem rationis BA ad AC erit ut DC ad CV. Et hoc verum erit semperusque ad ultimum. Ergo per 12 quinti Euclidis omnia rectangula AB, CD, VS, TY, EF, adomnes differentias AC, CV, VT, TE, EM, sive ad unicum rectangulum AK, erunt ut unumad unum, hoc est ut BA ad AC et permutando omnia praedicta rectangula ad BA erunt utAK ad AC, sive ut recta OA ad AH, nempe ut PO ad CH sive ut rectangulum AGQR adrectangulum BA. Propterea aequale est rectangulum AGQR omnibus praedictis rectangulis.Quod erat demostrandum.


A R

HC

LV

T

M

G B D

K

Y

O

SQ F

X

E

P Z I

Figura 5.9: La costruzione geometrica usata per dimostrare il primo teoremasulla semiperbole.

AK. Sfruttando il fatto che tutti i rettangoli della successione AB, CD,...EFhanno ugual base ed altezze in progressione geometrica, dall’uguaglianza di BCe GH, VD ed LB, ecc. segue che

A(AB)

A(CD)=A(CD)

A(V S)= ... ossia

A(AB)

A(BH)=A(CD)

A(DL)= ...

e, dalla proprieta dello scomporre (conversio rationis), segue ancora

A(AB)

A(AC)=A(CD)

A(CV )= ... = k

per tutti i rettangoli e dunque

k =A(AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪ EF )A(AC ∪ CV ∪ V T ∪ TE ∪ EM)

=A(AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪ EF )

A(AK),

vista l’equivalenza di AK con AC∪CV ∪V T∪TE∪EM . Pertanto, permutandoi medi nella proporzione

A(AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪ EF )A(AK)

=A(AB)

A(AC)


si ottieneA(AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪EF )

A(AB)=A(AK)

A(AC)=AO

AH,

stante l’uguaglianza delle basi AK ed HC. Per similitudine dei triangoli AOP

ed ACH si prosegue con AOAH = OP

HC = A(AQ)A(AB) da cui segue

A(AQ) = A(AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪ EF ) .

Se all’area del plurirettangolo circoscritto AB ∪ CD ∪ V S ∪ TY ∪ EF e delrettangolo AGQR si sottrae quella del rettangolo AK si ottiene l’equivalenzatra l’area del plurirettangolo inscritto CG∪V B∪TD∪ES ∪MY e quella dellognomone OBR, formato dai rettangoli KR ed OQ. Questa equivalenza e oggettodi un corollario, che sara utilizzato in seguito.

Abbiamo gia dimostrato che il rettangolo AGQR e equivalente a tutti i rettangoliAB, CD, VS, TY, EF. Se allora si sottraggono le quantita equivalenti, da unaparte il rettangolo AK, dall’altra tutte le differenze ACVTEM, si ottiene che lognomone residuo OBR sara uguale a tutti i rettangoli CG, VB, TD, ES, MY.26

(p. 83 di [10], p. 340 di [11])Torricelli ora dimostra come, tracciata una tangente alla curva logarit-

mica, sia in realta possibile tracciare tutte le tangenti alla curva stessa. Questorisultato, che egli chiama Propagatio tangentium in hemihyperbola, e ottenutodimostrando, per assurdo, che la sottotangente alla semiperbole e costante.

Data una sola tangente, si conoscono tutte le altre. Infatti sia AD la sola tan-gente nota alla semiperbole e si consideri l’ordinata AB e l’asintoto BC. Presoun punto arbitrario E e condotta l’ordinata EF si consideri il segmento CFuguale a BD. Dico che EC e tangente [alla semiperbole]. Se infatti non lo fos-se ci sarebbe un’altra linea EI tangente. Si tracci per E la retta EO parallelaall’asintoto e si congiunga L con B.

Ora l’intera figura piana AVB e equivalente al doppio del triangolo ADB.Tolto il quadrilatero mistilineo AEFB che, per la dimostrazione gia scritta, edoppio del triangolo ALB, la figura restante illimitata EVF sara doppia deltriangolo residuo BLD ovvero del triangolo FEC che ha la stessa base ed ecompreso tra le stesse parallele. Ma se si assume EI tangente [alla semiperbole]ed EF e l’ordinata di E, da quanto dimostrato l’intera figura piana EVF saradoppia del triangolo FEI e dunque i triangoli FEC e FEI saranno uguali, cioche e assurdo. Dunque proprio EC e tangente. Come dovevasi, ecc...Da cio sipuo arguire a quale solido sia equivalente il tronco di solido acuto.27 (pp. 83-84di [10], pp. 340-341 di [11])

26Ostendimus iam rectangulum AGQR aequale esse omnibus rectangulis AB, CD, VS, TY,EF. Si ergo aequalia demantur nempe rectangulum AK, omnesque differentiae ACVTEM,reliquus gnomon OBR aequalis erit omnibus rectangulis CG, VB, TD, ES, MY.

27Data unica Tangente dantur omnes. Esto Hemihyperbola cuius data sit Tangens unica ADet per A sit applicata AB, asymptotos vero BC. Sumpto deinde quolibet puncto E appliceturEF, et ipsi BD ponatur aequalis FC. Dico EC tangens esse. Nam nisi sit tangens, erit tangensaliqua alia linea, puto EI. Ducatur ex E recta EO parallela asymptoto, et iungatur LB.

Iam tota universa figura plana AVB dupla est totius trianguli ADB. Ablatum etiam quadri-


V

E

A

BC

OL

D F I

Figura 5.10: La costruzione geometrica usata per dimostrare la costanza dellasottotangente della semiperbole.

L’argomento di Torricelli e dunque il seguente. Tracciata la tangente ADin A alla semiperbole e preso su quest’ultima un punto arbitrario E, si stacchi ilsegmento EF ortogonale all’asintoto BC e si riporti su quest’ultimo il segmentoFC congruente a BD. Il teorema e dimostrato se si fa vedere che EC e tangentealla semiperbole. Per assurdo, Torricelli suppone che sia EI la tangente in Ee traccia la parallela EO all’asintoto BC che interseca la tangente AD in A nelpunto L. A questo punto, Torricelli asserisce che l’area della figura piana de-limitata dall’arco infinito AV di semiperbole, da AB e dall’asintoto, e il doppio diquella del triangolo ADB. In effetti, Torricelli non ha mostrato sinora questorisultato che si puo ottenere prendendo, nella dimostrazione precedente (Figura5.9), segmenti GB, BD, DS, etc. sempre piu piccoli: al limite, quando la loroampiezza tende a zero ed F tende all’infinito, OM si confonde con l’asintoto GF,la secante AC con la tangente in A alla semiperbole, il punto P con il punto Q edil plurirettangolo circoscritto con l’area compresa tra l’arco illimitato AF , AGe l’asintoto. Similmente, il rettangolo AGQR e equivalente al doppio del trian-golo AGD, da cui segue l’asserto di Torricelli. Questo teorema sara ripreso edimostrato in seguito. Un simile richiamo vale anche per l’equivalenza asserita

lineum AEFB duplum est (ex demonstratione iam scripta) trianguli ALB, ergo reliqua figurasine fine longa EVF dupla erit reliqui trianguli BLD, sive trianguli FEC, sunt enim in basi-bus aequalibus et inter easdem parallelas. Sed cum EI ponatur tangens, et EF applicata eriteadem universa figura plana EVF ex demonstratis dupla trianguli FEI, propterea triangulaFEC, FEI aequalia erunt. Quod est absurdum. Erit ergo ipsa EC tangens. Quod erat etc...Ex hoc elici potest cuinam aequale sit frustum solidi acuti.


tra il quadrilatero mistilineo ABFE ed il doppio del triangolo ALB. Accettatiquesti risultati, per differenza si ha che l’area della porzione illimitata EVF edoppia del triangolo BLD, ovvero di EFC, ad esso equivalente. D’altra parte,se si suppone EI tangente alla semiperbole, lo stesso argomento ora utilizzatopermette di concludere che AVF ha area doppia del triangolo FEI che dunquerisulterebbe equivalente al triangolo FEC, il che e assurdo.

Servendosi del teorema 2 enunciato all’inizio della memoria, Torricellienuncia una proposizione sul volume del solido generato per rotazione dell’arcoABFE di semiperbole attorno al suo asintoto che e i 3/2 della differenza tra ivolumi dei coni ABD ed OBD. Inoltre, egli mostra come dedurre rapporti divolumi da rapporti di segmenti che appartengono alla semiperbole.

Si ruoti la figura precedente (Fig. 5.10) attorno all’asintoto. L’intero solidoottenuto dalla figura AVB sara equivalente a tre mezzi del cono ADB; infatti,il solido sottratto ottenuto da EVF e equivalente a tre mezzi del cono ottenutoda ECF poiche EC e tangente ovvero a tre mezzi del cono ottenuto da OBDche equivale al precedente; pertanto il tronco residuo ottenuto da ABFE saraequivalente ai tre mezzi di cio che resta del cono ottenuto da ABD, una voltache sia stato eliminato il cono ODB.

Per misurare il solido attorno all’asintoto in un altro modo. Siano egualiintervalli ABCDE ecc. e siano 3 segmenti FD, GD, ID, in proporzione continuacome pure i segmenti HE, LE, ME, ecc. Dico che OIM e una linea logaritmicaovvero una semiperbole.

Poiche il segmento di retta ID sta ad ME come il rettangolo FDI sta adHEM e come, poiche l’altezza e la stessa, il quadrato di GD sta a quello di LE.E cio accade sempre. Pertanto le rette ID ed ME stanno tra loro come i quadratidi GD ed LE e dunque sono in proporzione continua; e la linea sara logaritmica.E i cerchi stanno alle linee come il solido al piano.28 (p. 84 di [10], pp. 341-342di [11])

Nella seconda parte del frammento riportato, Torricelli costruisce, susegmenti di ugual lunghezza come FD ed HE, una progressione geometrica percui

FD

GD=GD

IDe

HE

LE=

LE

ME

da cui segue l’equivalenza del rettangolo FDI di lati FD e DI con il quadratodi lato GD e del rettangolo HEM di lati HE ed ME con il quadrato di lato LE.

28Convertatur retroscripta figura circa asymptoton. Et erit solidum universum factum afigura AVB sesquialterum coni ADB; ablatum vero solidum ex EVF sesquialterum est coniex ECF ob tangentem EC, sive coni ex ODB qui idem est; ergo reliquum frustum quod fit exABFE aequale erit [sesquialtero] reliquo coni ADB dempto cono ODB.

Per misurare il solido circa asymptoton alio modo. Siano eguali intervalli ABCDE etc. etsiano 3 continue FD, GD, ID, item HE, LE, ME, etc. dico che OIM e una linea logaritmicaovero semiperbole.

Poiche recta ID ad ME est ut FDI ad HEM ob aequalem altitudinem nempe est quadra-tum GD ad LE. Et hoc semper. Ergo rectae ID, ME sunt ut quadratum GD, LE. Ergo eruntcontinuae; et linea erit logarithmica. Eruntque circuli ut linee, nemper solidum ut planum.


G

EA

B C

O

L

M

H

D

F

I

Figura 5.11: Generazione di una curva logaritmica a partire da un’altra curvalogaritmica.

Poiche i predetti rettangoli hanno uguali altezze HE=FD

ID

ME=

(

GD

LE

)2

e se la curva OGL e logaritmica, anche OIM lo sara. Inoltre, il rapporto tra learee dei cerchi generati da GD ed LE e pari al rapporto lineare ID/ME, mentrei volumi dei cilindri generati per rotazione dei rettangoli GC ed LD attorno adAE stanno nel rapporto delle aree dei rettangoli IC ed MD.

Torricelli determina ora con il metodo di esaustione che l’area del quadri-latero misto CADE (Fig. 5.12) e equivalente a quella del rettangolo CAHM, ilcui lato MH giace sulla parallela a CA passante per l’intersezione L tra il seg-mento EF, parallelo all’asintoto AD e la tangente alla semiperbole in C. Ladimostrazione si articola in due parti: nella prima si suppone che CAHM ab-bia area minore del quadrilatero misto CADE, nella seconda si suppone siamaggiore, ricadendo in un assurdo in entrambi i casi e dunque dimostran-


do l’equivalenza. Esaminiamo il testo corrispondente al primo argomento diTorricelli.

Sia data una semiperbole il cui solo asintoto (Fig. 5.12) sia AD, l’ordinatapiu grande AC e CL sia tangente e si consideri una ordinata ulteriore qualsi-asi, come DE, e si tracci la parallela EF all’asintoto che interseca la tangentein L. Dopo di che si tracci la retta verticale HLM passante per L. Dico che ilquadrilatero misto CADE compreso tra l’iperbole, l’asintoto e le due rette ver-ticali e equivalente al rettangolo CAHM. Se infatti cosı non fosse, il rettangoloCAHM avrebbe area o minore o maggiore del quadrilatero misto summenziona-to. Iniziamo a supporre, se possibile, che sia minore e si consideri il rettangoloMHPN minore della differenza tra il rettangolo ed il quadrilatero misto, cosı chel’intero rettangolo CAPN sara minore del quadrilatero misto CADE. Si consid-eri la congiungente CO, che intersechera la semiperbole dal momento che CLe l’ultima delle rette tracciate da C che non intersecano (la semiperbole) e siaZ il punto di intersezione da cui si tracci ZY parallela all’asintoto; Si bisechiallora AD e si proceda con bisezioni successive fino a che non determiniamo unasezione AQ che sia minore di ZY; fatto questo, si divida l’intero AD in partiuguali allo stesso AQ e si assumano queste singole parti come lati di altrettantirettangoli circoscritti al quadrilatero misto CADE; sia CAQB il primo di questirettangoli il cui lato QB tagli l’iperbole in I. Si tracci CI che certamente giacetra i segmenti di retta CL e CZ e che interseca LO nel punto V da cui si tracciala retta verticale RVT. Ora, la figura rettilinea circoscritta al quadrilatero mistoCADE, che e formata da rettangoli di uguale altezza il primo dei quali e CAQB,e equivalente al rettangolo CART; pertanto e minore del rettangolo CAPN chea sua volte era minore del quadrilatero misto CADE, da cui segue che la figu-ra circoscritta deve essere a maggior ragione piu piccola del suo quadrilateromisto a cui e circostritta; dunque l’intero e minore di una sua parte, che eassurdo.29(Torricelli, De hemihyperbole logarithmica, pp. 84-85 di [10], pp.342-343 di [11].)

29Esto hyperbola monoasymptota (Fig. 5.12) cuius asymptotos AD, maxima applicata AC,tangens vero CL, et sumatur quaelibet alia applicata, puta DE, ducaturque EF parallelaasymptoto, et occurrent tangenti in L. His peractis applicatur per L recta HLM. Dico quadri-lineum mixtum CADE contentum sub hyperbola, asymptoto, duabus applicatis, aequale esserectangulo CAHM. Nisi enim ita sit erit rectangulum CAHM vel minus vel majus praedictoquadrilineo mixto. Sit primum, si possibile est, minus, et ponatur rectangulum MHPN minusdefectu quo rectangulum deficit a quadrilineo mixto, et erit totum rectangulum CAPN ad-huc minus praedicto quadrilineo mixto CADE. Jungatur recta CO, quae omnino secans erit,cum CL sit ultima inclinatarum ex puncto C, et non secantium secet ergo in Z, et agaturZY parallela asymptoto; tum secetur AD bifariam, eiusque partes iterum bifariam, atque hocfiat semper donec veniamus ad aliquam sectionem puta AQ minorem quam sit ZY; quo fac-to secetur tota AD in partes aequales ipsi AQ, statuanturque singulae partes pro lateribustotidem rectangulorum circa quadrilaterum mixtum CADE descriptorum; et sit ex huiusmodirectangulis primum CAQB cuius latus QB secet hyperbolam in I. Ducatur CI quae omninocadet intra rectas CL, CZ, occurratque ipsi LO in puncto V et applicetur RVT. Iam figu-ra rectilinea circumscripta circa quadrilaterum mixtum CADE, quae constat ex rectangulisaeque altis quorum primum est CAGB (Si legga CAQB), aequalis est rectangulo CART; ergominor est rectangulo CAPN rectangulorum vero CAPN minus erat quadrilineo mixto CADE,ergo multo magis figura circumscripta minor erit suo quadrilineo cui circumscribitur; nempetotum sua parte minus erit. Quod est absurdum.


Dunque Torricelli suppone A(CAHM) < A(CADE) e giustappone aCAHM un rettangolo MHPN di area tale che CAPN sia ancora di area piupiccola rispetto al quadrilatero misto CADE. Detta O l’intersezione di NP con

F

H

M

E

I

C

AD

Y

L V O

Q

B T

R

Z

P

N

Figura 5.12: Metodo di esaustione. Impossibilita che il rettangolo CAHM abbiaarea minore del segmento di semiperbole CADE.

EF, CO deve tagliare la semiperbole in Z. Si bisechi piu volte AD fino a deter-minare un punto Q tale che AQ < Y Z, dove YZ e parallela all’asintoto. Senzamenzionarlo, Torricelli ha anche bisogno di supporre AQ > AH affinche lasecante CI tagli EF in un punto interno al LO. Dai punti equidistanti di suddi-visione di AD ottenuti a partire da Q, si traccino rettangoli circoscritti a CADE,il primo dei quali e CAQB, il cui lato QB taglia la semiperbole in I. La retta CIinterseca EF in V da cui si traccia la parallela RT a CA. Per quanto prima di-mostrato, il rettangolo CART e equivalente alla somma delle aree dei rettangolicircoscritti appena determinati. Poiche FV < FO, il rettangolo CART ha areainferiore al rettangolo CAPN che, a sua volta, e stato preso di area inferiore alquadrilatero misto CADE. Di qui l’assurdo che una figura circoscritta a CADEha area piu piccola di CADE.

Vediamo ora come Torricelli escluda il caso (Fig. 5.13) A(CAHM) >A(CADE).

Si consideri lo stesso quadrilatero misto CADE, CL il segmento di tangente ela retta verticale HM passante per L tale da formare il rettangolo CAHM. Abbi-amo appena mostrato nella prima parte che il rettangolo CAHM non e inferioreal quadrilatero CADE. Supponiamo possibile che il rettangolo CAHM sia mag-giore del quadrilatero misto CADE e si tolga dall’intero rettangolo CAHM un


certo rettangolo CAPN minore della differenza di cui l’intero rettangolo superail quadrilatero misto; ed il rettangolo restante NPHM sara ancora maggiore delquadrilatero misto CADE. Si bisechi AD piu volte procedendo finche si ottengaun certo segmento AQ minore di AP. Infatti, si comprende allora che l’interoAD e stato suddiviso in parti uguali allo stesso AQ ciascuna delle quali vienepresa come lato di altrettanti rettangoli inscritti nel quadrilatero misto e dotatidella stessa altezza e dal primo di essi, YAQI, si tracci CI prolungato fino aV da cui si traccia il segmento verticale RVT. Il rettangolo NPHM e gia percostruzione maggiore del quadrilatero misto CADE per cui lo stesso rettangoloNPHM sara molto maggiore della figura inscritta nel quadrilatero misto forma-ta da rettangoli con la medesima altezza, il primo dei quali e YAQI. Ma questafigura inscritta e equivalente allo gnomone FRB; pertanto il rettangolo NPHMrisulterebbe maggiore dello gromone FRB, ovvero una parte sarebbe maggiore delsuo intero. Cio che e assurdo.30(Torricelli, De Hemhyperbole logarithmica,pp. 85-86 di [10], pp. 343-344 di [11]).

La dimostrazione e ancora condotta per assurdo, mostrando una contrad-dizione se si suppone che A(CAHM) > A(CADE). Se cosı fosse, sarebbepossibile togliere da CAHM un rettangolo CAPN in modo che il rettangoloresiduo NPHM sia ancora di area superiore al quadrilatero misto CADE. Sibisechi allora AD tante volte quanto necessario perche il primo segmento dellapartizione sia AQ < AP e si costruiscano sui segmenti della partizione i ret-tangoli inscritti a CADE. Il lato IQ del primo rettangolo inscritto interseca lasemiperbole in I e sia V l’intersezione della retta CI con il segmento EF, par-allelo all’asintoto. Condotta la retta RT passante per V, ortogonale ad AD, lognomone FRB formato dai rettangoli FR e BV e, per quanto gia dimostrato,equivalente all’unione dei rettangoli inscritti, il primo dei quali e YAQI. Dunqueabbiamo

A(FRB) = A(rettangoli inscritti) < A(CADE) < A(NPHM)

che e assurdo, in quanto il rettangolo NPHM e sottoinsieme dello gnomone FRB.Dopo la dimostrazione di un breve lemma sulle parabole che pero non rien-

tra negli argomenti successivi e che dunque omettiamo, Torricelli affronta ladimostrazione del secondo teorema enunciato in apertura, sull’equivalenza tra

30Sit idem quadrilaterum mixtum CADE tangens CL, et per punctum L applicata HMquae faciat rectangulum CAHM. Ostendimus iam in prima parte rectangulum CAHM nonesse minus quadrilineo mixto CADE. Sit ergo, si possibile est, rectangulum CAHM maiusquadrilineo mixto CADE, auferatur a toto rectangulo CAHM rectangulum aliquod CAPNminus excessu quo totum rectangulum superat quadrilineum mixtum; et erit reliquum rect-angulum NPHM adhuc maius quadrilineo mixto CADE. Secetur recta AD bifariam, atqueiterum bifariam, et hoc fiat semper, donec veniamus ad segmentum aliquod AQ minus quamsit AP. Tunc enim intelligatur tota recta AD secta in partes aequales ipsi AQ, quae sin-gulae statuantur latera totidem rectangulorum intra quadrilineum mixtum inscriptorum, etaequales altitudines habentium, et sit ex huiusmodi rectangulis primum YAQI ducaturque CIet producatur usque in V, et per V applicetur RVT. Iam rectangulum NPHM maius est perconstructionem quadrilineo mixto CADE, ergo idem rectangulum NPHM multo maius eritquam figura intra quadrilineum inscripta ex rectangulis aeque altis constans, quorum primumest YAQI. Sed huiusmodi figura inscripta aequalis est gnomoni FRB; propterea rectangulumNPHM maius erit gnomone FRB, nempe pars maior erit suo toto. Quod est absurdum.


F

H

M

E

I

C

AD

Y

L V

P

N T

RQ

B

Figura 5.13: Metodo di esaustione. Impossibilita che il rettangolo CAHM abbiaarea maggiore del segmento di semiperbole CADE.

il solido ottenuto per rotazione della semiperbole attorno al proprio asintoto ed3/2 del cono generato per rotazione del triangolo CAD (Figura 5.14) attornoall’asintoto, CD essendo la tangente alla semiperbole in C. Ora, in realta Tor-ricelli dimostra l’equivalenza tra il solido illimitato ed il cilindro di base ACed altezza AE = AD/2, il che e la stessa cosa. Anche qui la dimostrazione espezzata in due parti e segue un andamento analogo a quella riportata sopra.

Testo 5.1 (Torricelli, De Hemhyperbole logarithmica) (pp. 87-88 di [10],pp. 344-346 di [11]). Originale 5.3.

Sia data un’iperbole ad un solo asintoto (Fig. 5.14), di asintoto AB, massimaordinata AC, tangente CD e si bisechi AD nel punto E e venga completato ilrettangolo CAE. Dico che il solido iperbolico che si estende all’infinito ottenutoper rotazione attorno all’asse AB e equivalente al cilindro ottenuto per rotazionedel rettangolo ACFE attorno allo stesso asse. Se cosı non fosse infatti, il solidoiperbolico avrebbe volume maggiore o minore di quello del cilindro ottenuto daAF.

Iniziamo col supporre che il solido iperbolico abbia, se possibile, volume mag-giore del cilindro generato da AF. Pertanto il cilindro ottenuto da AF saraminore del solido suddetto: se si considera il cilindro ottenuto da EH che siaminore della differenza tra i volumi, il cilindro ottenuto dall’intero AH saraancora di volume inferiore rispetto al solido iperbolico. Si tracci attorno al di-ametro AF una parabola passante per il punto C. E evidente che questa parabolae l’iperbole debbono intersecarsi in un altro punto oltre allo stesso C. Se dunque


GB e un qualsiasi segmento minore di GA ed uniamo B con C, certamente unaqualche parte della parabola cadra oltre la retta CB verso il punto N in quantoGB e minore di GA e dunque CB e una secante. Dal momento pero che CDe tangente all’iperbole, cioe e l’ultima delle secanti, la retta CB intersecheracertamente la stessa iperbole ed una parte del segmento della stessa cadra dallaparte di A. E allora certo che la parabola e l’iperbole non debbono intersecarsisoltanto in C, ma anche in un altro punto che chiamiamo I. Si traccino alloraper I la retta verticale LIN, la secante CIB e la parallela IM all’asintoto AB. Siimmagini allora una figura circoscritta all’intera semiperbole e formata da par-allelogrammi di uguale altezza, il primo dei quali sia CALN mentre il secondosara uguale allo stesso MALI; si consideri allora il solido ottenuto per rotazionedell’intera figura attorno all’asse AB cosı che dai rettangoli si ottengono cilindridi uguale altezza e circoscritti al nostro solido iperbolico, il primo del quali e ilcilindro ottenuto da CALN mentre il secondo e il cilindro ottenuto da MALI.E tutti questi infiniti cilindri formeranno una proporzione continua; e la primadifferenza sara il solido a forma di bracciale ottenuto per rotazione attorno adAB del rettangolo CMIN. Ora il cilindro ottenuto da CAGH sta al cilindro ot-tenuto da NLGH—che ha la stessa base—come l’altezza AG sta all’altezza GL.Ovvero come il quadrato di CA sta al quadrato di IL, a causa della parabola, eancora come il cerchio di raggio CA sta a quello di raggio IL, ovvero come ilcilindro ottenuto da CALN sta a quello ottenuto da MALI. Pertanto, permu-tando i termini della proporzione, il cilindro ottenuto da CAGH sta a quelloottenuto da CALN, che e il primo termine della progressione geometrica, comeil cilindro ottenuto da CALN, primo termine, sta alla differenza tra i cilindriformati da CALN e da MALI, che e la prima differenza della progressione. Per-tanto il cilindro ottenuto da CAGH e equivalente all’unione di tutti i termini,cioe all’intera figura formata da cilindri di eguale altezza e circoscritta al solido.Ma lo stesso cilindro ottenuto da AH era minore del solido iperbolico per cuioccorre che il solido iperbolico abbia volume maggiore di una figura che e ad essocircoscritta, cioe una parte deve superare l’intero corrispondente. Cosa assurda.

La dimostrazione procede al modo consueto, supponendo che il solido gener-ato dalla rotazione della semiperbole attorno ad AB abbia volume maggiore delcilindro generato per rotazione del rettangolo AF attorno ad AB. Si aggiungead AF un ulteriore rettangolo EH in modo che il cilindro generato per rotazionedi AH abbia ancora volume inferiore al solido iperbolico. A queso punto Tor-ricelli traccia una parabola passsante per C e G ed avente vertice in G cosıche AG ne e un diametro (in realta l’asse) e determina sull’asintoto un punto Btale che GA > GB. Senza ricorrere a rappresentazione cartesiana della parabo-la, Torricelli mostra che la semiperbole e la parabola ora tracciata debbonointersecarsi in un punto I distinto da C. Infatti, la retta CB non puo essere tan-gente alla parabola in quanto GA > GB, per costruzione31. Ne consegue che

31Per convincersi di cio prendiamo la parabola y = x2 e consideriamo la retta tangente nelsuo punto P0 ≡ (x0, x20) di equazione y− x20 = 2x0(x− x0) che interseca l’asse della parabolanel punto Q ≡ (0,−x20). Pertanto il vertice (0, 0) e il punto medio del segmento PQ, dove Pe la proiezione di P0 sull’asse della parabola: tradotto nel linguaggio di Torricelli, se CB


parte della parabola si trova nel semipiano delimitato da CB, contenente il pun-to N . D’altra parte, poiche CD e tangente alla semiperbole in C, CB la taglia inqualche altro punto e dunque vi saranno punti della semiperbole che giacciononel semipiano generato da CB, contenente A. Per continuita si conclude che laparabola e la semiperbole si intersecano in un punto I diverso da C. Condottala parallela LN ad AC passante per I e la parallela IM all’asintoto, si consideral’unione di tutti i rettangoli di base uguale ad AL circoscritti alla semiperboleed i cui primi elementi sono CALN ed un cilindro equivalente a MALI. I cilindrigenerati dai rettangoli circoscritti per rotazione attorno ad AB hanno ugualialtezze e basi in progressione geometrica, per la proprieta della semiperbole;dunque anche i volumi dei cilindri circoscritti al solido iperbolico sono in pro-gressione geometrica ed i primi termini sono V(CALN) e V(MALI). Ora, poichei rettangoli CAGH e NLGH hanno ugual altezza, i solidi ottenuti dalla lororotazione attorno ad AB stanno in un rapporto pari ad AG/GL = (AC/IL)2,visto che C ed I stanno sulla stessa parabola di vertice G. Ma (AC/IL)2 e ancheil rapporto tra le aree dei cerchi di raggio AC ed IL cosı come tra i volumi deicilindri CALN ed MALI. Si conclude pertanto che

V (CAGH)

V (NLGH)=V (CALN)

V (MALI)

e dunque, per proprieta dello scomporre,

V (CAGH)

V (CALN)=V (CALN)

V (CMIN)

dove l’ultimo termine e il volume della corona cilindrica ottenuta per rotazionedel rettangolo CMIN attorno ad AB. Ora, poiche V (CALN) = V0 e V (MALI) =kV0 sono i primi termini di una progressione geometrica, si e dimostrato, informule, che

V (CAGH) =V (CALN)2

V (CMIN)= V0

1

1− k= V0 ·

( ∞∑

n=0

kn

)

,

cioe che il cilindro CAGH e equivalente al multicilindro circoscritto al solidoiperbolico e dunque ha volume maggiore del solido iperbolico stesso, il che con-trasta con l’ipotesi iniziale. Resta da invalidare l’ipotesi opposta, V (hyp.) <V (CAEF ). Torricelli ripete lo schema appena visto.

Si ammetta poi come possibile che il solido iperbolico abbia volume minore delcilindro generato da CAEF (Fig. 5.14). Si tagli un qualsiasi cilindretto, adesempio quello generato da CALN, che abbia volume minore della differenzatra il cilindro generato da CAEF ed il solido iperbolico. Immaginiamo poi duefigure composte da un numero infinito di cilindri di uguale altezza, la primacircoscritta al solido iperbolico ed avente come primo cilindro quello generato

fosse tangente alla parabola, si avrebbe GA = GB. E chiaro che per una retta secante si haGA > GB.


E

C

A

N

L

F

G

H

D B

IM

Figura 5.14: Volume del solido di rotazione generato da una curva logaritmicacon la costruzione della parabola ausiliaria.

da CALN; l’altra inscritta nel medesimo solido ed avente come primo cilindroquello ottenuto da MALI. E evidente che la differenza tra queste due figuree equivalente al cilindro generato da CALN e dunque inferiore alla differenzatra i volumi del solido iperbolico ed il cilindro generato da CAEF. Dunque ladifferenza tra la figura circoscritta e lo stesso solido iperbolico sara molto minoredella differenza tra questo stesso solido ed il cilindro generato da CAEF: perciose la aggiungiamo allo stesso solido iperbolico otterremo che la stessa figuracircoscritta e ancora minore del cilindro generato da CAEF. Immaginiamo oradi tracciare una parabola passante per i punti C ed I di ordinate XA ed IL econ vertice in G. Dalla precedente dimostrazione segue che il cilindro generatoda CAGH e equivalente all’intera figura circoscritta e dunque che il cilindrogenerato da CAGH e minore del cilindro generato da CAEF, cioe che l’intero econtenuto in una sua parte. Cio che e assurdo.

Resta da mostrare che il diametro della parabola, cioe la retta AG e certa-mente maggiore di AE cosicche il cilindro generato da CAGH sia sempre comeun certo intero ed il cilindro generato da CAEF come una parte. La retta CIBintersechi la parabola, per cui AG e maggiore di GB. Dunque AG e maggioredella meta di AB e a maggior ragione e piu della meta di AD, cioe maggiore diAE. Come volevasi ecc.32 (pp. 88-89 di [10], pp. 346-347 di [11])

32Ponatur deinde solidum hyperbolicum minus cylindro ex CAEF facto si possibile est. Se-cetur cylindrulus aliquis, puta ex CALN minor defectu quo solidum hyperbolicum deficit a


Si parte dall’ipotesi che sia V (hyp.) < V (CAEF ) e si considera un cilindroCALN tale che

V (CALN) < V (CAEF ) − V (hyp.)

e si costruisce la famiglia di pluricilindri circoscritti, di uguale altezza, il cuiprimo termine e il cilindro generato dal rettangolo CALN, cosı come la famigliadi cilindri inscritti, sempre con la stessa altezza, il cui primo termine e il cilindrogenerato da MALI. Se V ed V sono i volumi dei solidi circoscritto ed inscritto,rispettivamente, abbiamo

V − V = V (CALN) < V (CAEF ) − V (hyp.)

e dunqueV < V + V (hyp.)− V < V (CAEF ) .

Tracciata la parabola con vertice in un punto G dell’asintoto della semiperbolee detta I la sua intersezione con la semiperbole medesima, per quanto visto inprecedenza il cilindro generato da CAGH e equivalente al plurirettangolo circo-scritto alla semiperbole e costruito come nella parte diretta della dimostrazione.Si perviene cosı all’assurdo che

V (CAGH) = V < V (CAEF )

mentre CAGH contiene CAEF. Resta da convincersi che in effetti AG > AE,in modo che sia garantito il fatto che V (CAGH) > V (CAEF ); cio segue os-servando che la retta CIB interseca la parabola e dunque, come osservato nellanota 15, AG > AB/2 > AD/2 = AE.

5.4 Huygens e la curva logaritmica

Poiche le ricerche di Torricelli sulla curva logaritmica rimasero inedite finoal 1900, parve che Huygens fosse stato il primo ad aver concepito l’idea di tale

cylindro ex CAEF. Deinde concipiamus duas figuras ex infinitis numero cylindris aequealtiscompositas, altera nempe circumscriptam solido hyperbolico, et primus ipsius cylindrus sitqui ex CALN: altera vero inscriptam intra idem solidum, et sit primus ipsius cylindrus quiex MALI. Manifestum est universam differentiam quae est inter predictas duas figuras ae-qualem esse cylindro ex CALN facto, hoc est minorem esse defectu quo solidum hyperbolicumdeficit a cylindro ex CAEF facto. Ergo differentia quae est inter circumscriptam figuram etsolidum ipsum hyperbolicum multo minor erit defectu ipsius solidi a cylindro ex CAEF facto:quamobrem si addamus eam ipsi solido hyperbolico, conflabimus ipsam figuram circumscrip-tam adhuc minorem cylindro ex CAEF facto. Concipiamus iam per puncta C et I transireparabolam cuius ordinatim applicatae datae sunt CA, IL et ipsa sibi verticem faciat in G.Certum est ex praecedente demonstratione cylindrum ex CAGH aequalem esse universae fig-urae circumscriptae ergo et cylindrus ex CAGH minor erit cylindro ex CAEF, nempe totumminus erit sua parte. Quod est absurdum. —Equalitas ergo patet.

Remanet ostendendum quod diameter parabolae, nempe recta AG omnino maior esse debeatquam AE ut cylindrus ex CAGH semper sit veluti quoddam totum, et cylindrus ex CAEFveluti pars. —Recta CIB ferat parabolam, ergo AG maior est etiam quam GB. Ergo AG plusest quam dimidium rectae AB, et multo magis plus quam dimidium rectae AD, nempe maiorquam AE. Quod erat etc.

5.4. HUYGENS E LA CURVA LOGARITMICA 177

curva. Ora, come gia detto, Huygens espose la teoria della curva logaritmicacon le sue proprieta salienti nel Discours sur la Cause de la Pesanteur del 1690ma le dimostrazioni furono ritrovate in un manoscritto [7]—pubblicato per laprima volta da Uylenbroek nell’opera Christiani Hugenii Allorumque SaeculiXVII Virorum Celebrium Exercitationes Mathematicae et Philosophicae, datato10 settembre 1661 e dunque contemporaneo alle ricerche sui logaritmi attraversolo studio dell’iperbole equilatera cui abbiamo dedicato la Sezione 5.2. Molte sonole somiglianze con l’inedito torricelliano da noi esaminato sopra, a cominciaredalla costruzione per punti. In effetti, egli si serve di una progressione geomet-rica di ragione 2 e dunque traccia il profilo di y = k2x. Molto simili, quandonon coincidenti, sono i risultati sulla costanza della sottotangente alla curvalogaritmica ed i teoremi sulle aree delimitate da porzioni di curva logaritmica,finite od infinite. Limitiamoci a segnalare le novita principali dell’approccio diHuygens. La prima e l’impiego della curva logaritmica per inserire in modo ge-ometrico un numero arbitrario di medi proporzionali tra due numeri assegnati.Riferendosi alla Figura 5.15 Huygens si esprime dicendo che

Possiede poi delle proprieta notevoli. In primo luogo per trovare un numero ar-bitrario di medi proporzionali tra due termini assegnati. Siano dati, ad esempio,PR e QR. Si determinino dei segmenti verticali ST e VX uguali ai precedenti eche terminano sulla curva e si divida l’intervallo TX di cui essi distano in unnumero di parti uguali pari a quello dei medi cercati aumentato di uno. Se cosıcerchiamo due medi, occorrera dividere in tre parti e dai punti ∆ e Z della suddi-visione si traccino segmenti verticali ∆Γ, ZY che saranno i due medi cercati traST e VX, cioe QR. Cio si dimostra facilmente in quanto, per le proprieta dellacurva tra XV e TS cade una serie infinita di medi proporzionali ed il loro nu-mero tra XV e ZY e lo stesso che tra ZY e ∆Γ e tra ∆Γ e TS; dico questo percheXZ, Z∆ e ∆T sono uguali e quegli innumerevoli medi proporzionali distano tradi loro sempre dello stesso intervallo.33 (p.461 di [12])

Riportati i segmenti PR e QR pari alle grandezze entro cui inserire gli nmedi proporzionali sull’asse LR (nell’esempio n = 2), si trovano i punti S e Vdella curva logaritmica le cui ordinate ST e VX sono uguali a PR e QR. Occorrea questo punto dividere il segmento TX in n + 1 parti uguali: tre in questocaso. Dai punti ∆ e Z della suddivisione si innalzano le perpendicolari allacurva logaritmica e, per la definizione di quest’ultima, i segmenti ∆Γ e ZY sonoi medi proporzionali richiesti.

Vediamo ora alcuni teoremi di Huygens sul rapporto tra aree di segmentiiperbolici

33Habet autem proprietates insignes. Primo ad inveniendas quotcunque medias propor-tionales inter duas datas. Sint ex. gr. PR, QR. Statuantur ad curvam perpendiculares ijsaequales ST, VX, et intervallum TX quo inter se distant dividatur in partes aequales unaplures quam quot medias quaerimus. Veluti si duas, oportet dividi in tres partes, ut hincpunctis ∆Z, e quibus eductae ad lineam perpendiculares ∆Γ, ZY erunt mediae duae quae-sitae inter ST, VX sive PR, QR. Quod facile demonstratur quia inter XV, TS cadit seriesinfinita proportionalium ex natura lineae, earumque totidem inter XV, ZY quot inter ZY,∆Γ, ac inter ∆Γ, TS; totidem inquam, quia partes XZ, Z∆, ∆T sunt aequales, innumeraequeillae proportionales aequalibus intervallis a se mutuo distant.


L

P

Q

R

S

ΓΘ

Λ Y

Π V

I

H

GO

FKM

ALBNCDEXZ∆T

Ω

[Fig.1]

Figura 5.15: Teoremi di Huygens sulla curva logaritmica.

Due regioni di spazio qualunque delimitate da coppie di rette perpendicolari trac-ciate alla stessa distanza come sono le regioni TSΓ∆, Y ZXV stanno tra loronello stesso rapporto che intercorre tra la perpendicolare maggiore di una diesse e la perpendicolare maggiore dell’altra o nel rapporto tra le perpendicolariminori, come si dimostra molto facilmente.34 (p.462 di [12])

Questo teorema, non dimostrato, afferma (Fig. 5.15)

A(TSΓ∆)

A(Y ZXV )=TS

Y Z=

Γ∆

XV:

la seconda uguaglianza e una conseguenza dell’uguaglianza tra T∆ = log(ST )−log(Γ∆) e ZX = log(Y Z)− log(V X). La prima uguaglianza si ottiene suddivi-dendo i segmenti T∆ e ZX in tante parti uguali cosicche, per la prima parte delteorema, tutti i rettangoli circoscritti alla curva logaritmica di ugual base lungo isegmenti T∆ e ZX hanno aree che stanno tra loro nel rapporto TS

Y Z = Γ∆XV . Con-

fondendo le porzioni sottese dalla curva logaritmica con questi plurirettangoli,si ottiene il risultato. Da cio Huygens deduce il seguente teorema, applicazionedi proprieta elementari delle proporzioni:

La regione di spazio delimitata da due perpendicolari qualsiasi sta alla regioneadiacente che si estende all’infinito come la differenza tra le perpendicolari

34Spatia duo quaevis a binis perpendicularibus intercepta quae aequalibus intervallis distantut sunt spatia TSΓ∆, Y ZXV , eam inter se rationem habent quam major unius perpend.is admaiorem perpendem alterius vel quam minor ad minorem facillime demonstratur.


sta alla perpendicolare minore. Cosı lo spazio ST∆Γ sta allo spazio infinitoΓHKΩ∆ come SΘ sta a Γ∆. Se infatti a partire da segmenti di lunghezzauguale allo stesso T∆ si tracciano delle perpendicolari YZ, VX, IE, ecc. all’in-finito, per quanto visto prima la regione ST∆Γ sta alla regione ΓZ come STsta a ΓΛ, cioe come SΘ sta a ΓΛ, poiche SΓ, Γ∆, Y Z sono proporzionali; dinuovo, ΓZ ad Y X come ΓΛ sta ad Y Π. Pertanto la regione S∆ sta ad Y Xcome SΘ sta ad YΠ; e procedendo si avra che la regione S∆ sta a tutte le re-gioni ΓZ, Y X, ecc. all’infinito come SΘ sta a tutti ΓΛ, Y Π ecc. che, messiinsieme danno proprio Γ∆. Dunque, ecc.35 (p.462 di [12])

La logica della dimostrazione e la seguente. Dal teorema precedente

A(ST∆Γ)

A(Γ∆Y Z)=ST

Γ∆

e, siccome i segmenti T∆, ∆Z, ZX , ecc. sono uguali, per la definizione di curvalogaritmica si ha anche

ST

Γ∆=

Γ∆

Y Z

e dunque, per proprieta dello scomporre,

ST

SΘ=

Γ∆

ΛΓovvero

ST

Γ∆=SΘ

ΛΓ

da cui segueA(ST∆Γ)

A(Γ∆Y Z)=SΘ

ΓΛ

e via discorrendo per tutte le coppie di intervalli costruiti. Con questo risultato,si ha che

A(ST∆Γ)

A(Γ∆Y Z)=SΘ

ΓΛ,

A(ST∆Γ)

A(Y ZXV )=SΘ

Y Π....

per cui, invertendo tutte le proporzioni e sommando si ha

A(ST∆Γ)

A(ΓHKΩ∆)=SΘ

Γ∆

che prova il teorema.Una diretta applicazione dei risultati ottenuti permette di dimostrare il

teorema seguente

Le regioni delimitate da due segmenti di perpendicolare come CE [Fig. 2] e GNstanno tra loro nello stesso rapporto tra le differenze delle perpendicolari, cioe

35Spatium quodvis a binis perp.bus interceptum est ad spatium deinceps decrescens in in-finitum ut differentia perpendicularium ad perpendem minorem. Sic spatium ST∆Γ est adspatium infinitum ΓHKΩ∆ ut SΘ ad Γ∆. Si enim aequalibus intervallis ipsi T∆ constituan-tur perpendiculares Y Z, V X, IE, &c. in infinitum. Quia spatium ST∆Γ ad spatium ΓZ utST ad ΓΛ per praeced.m hoc est ut SΘ ad ΓΛ quia tres SΓ, Γ∆, Y Z sunt prop.es; Et rursusspatium ΓZ ad Y X sicut ΓΛ ad Y Π. Ideoque spatium S∆ ad Y X sicut SΘ ad YΠ; atque itaporro, Erit proinde spatium S∆ ad omnia spatia ΓZ, Y X, &c. in infinitum ut SΘ ad omnesΓΛ, YΠ &c. quae simul efficiunt ipsam Γ∆. Ergo &c.


come CH sta a GL. Condotta infatti GK parallela ad AB, poiche per quantoappena visto la regione CE sta alla regione infinita DEA come CH sta ad HBe similmente la regione DF sta alla regione infinita GFA come DK sta a KE,invertendo e componendo, la regione infinita GFA unita alla regione DF, cioela regione infinita DEA, sta alla regione DF come DE, ovvero HB, sta a DK,da cui si deduce che la regione CE sta alla regione DF come CH sta a GL, comesi doveva dimostrare.36 (pp.462-463 di [12])

Anche qui si tratta di applicare proprieta delle proporzioni. Per quanto

ANFEB

M

G

L

K

H

C

D[Fig.2]

Figura 5.16: Teoremi di Huygens sulla curva logaritmica.

dimostrato appena prima

A(CBED)

A(DEA)=CH

HB=CH

DEe

A(DEFG)

A(GFA)=DK

KE

36Spatia quaevis duo a duabus perpend.bus intercepta ut CE [Fig.2], GN sunt inter se sicutperpendicularium differentiae, hoc est hic ut CH ad GL, ducatur enim et GK parall. AB.

Quia ergo per praeced. spatium CE est ad spatium infinitum DEA ut CH ad HB.Spatiumque similiter DF ad spatium infinitum GFA ut DK ad KE, Et invertendo et com-ponendo spatium infinitum GFA una cum spatio DF, hoc est spatium infinitum DEA adspatium DF ut DE sive HB ad DK, Erit ex aequo spatium CE ad spatium DF ut CH ad GL.quod erat ost.


ed ancora, per la proprieta del comporre,

A(DEA)

A(DEFG)=HB

DKda cui

A(CBED)

A(DEFG)=CH

DK.

Con argomento simile si mostra che

A(DEFG)

A(GFNM)=DK

GL

e dunque si giunge al risultato cercato

A(CBED)

A(GFMN)=CH

GL.

A questo punto Huygens passa a mostrare la costanza della sottotangente conun procedimento un po’ diverso rispetto a quello adoperato da Torricelli eche poggia sulla convessita della curva logaritmica.

Se la curva logaritmica e tangente ad una retta e a partire dal punto di tangenzasi traccia la perpendicolare all’asintoto, la lunghezza del segmento sull’asintotodelimitato dalla perpendicolare tracciata e dall’intercetta sulla tangente e semprela stessa.

Siano [Fig. 3] AE e BF tangenti ed AC e BD le perpendicolari all’asintotoa partire dai punti A e B: dico che i segmenti CE e DF sono uguali. O ancormeglio; sia AE tangente e si prenda DF uguale allo stesso CE; dico che ancheFB e tangente in B.

Infatti, si consideri su BF un punto O distinto da B, da cui si conduca laperpendicolare POQ e, preso un segmento CS uguale a DQ e dalla stessa parte,si tracci la perpendicolare SHG che taglia in H la tangente AE e la curva in G.Dunque GS sara maggiore di HS. Tuttavia AC sta ad HS, cioe CE sta ad SE oancora DF sta a QF come BD sta ad OQ. Invertendo la proporzione, HS sta adAC come OQ sta a BD. Tuttavia AC sta a GS come BD sta a PQ, visto che CSe DQ sono uguali. Pertanto si conclude che HS sta a GS come OQ sta a PQ.Ora, GS era maggiore di HS per cui anche PQ sara maggiore di OQ. Segue dacio che il punto O si trova dalla parte convessa della curva AB. Al medesimomodo si dimostra che un punto N, preso dall’altra parte rispetto a B, cade nellaparte convessa della curva AB. Dunque la retta NBOF la tocca in B, come sidoveva dimostrare.37 (p.463 di [12])

37Si curvam linea recta contigat et a puncto contactus in asymptoton perpendicularisducatur; erit pars asymptoti inter perpendicularem et tangentem intercepta, eidem semperlineae rectae aequalis.

Sint hic [Fig. 3] tangentes AE, BF, et a punctis A, B, perpendiculares in asymptoton, AC,BD, dico partes CE, DF esse aequales. Vel potius sic; sit AE tangens, sitque ipsi CE aequalisDF; dico et FB tangentem esse in B.

Sumatur enim in recta BF quodlibet punctum praeter B, ut O, per quod ducatur perpendic-ularis POQ, et, sumta ipsi DQ aequali CS in eandem partem, erigatur perpendicularis SHG,secans tangentem AE in H, curvam vero in G. Erit itaque GS major quam HS. Est autemut AC ad HS hoc est ut CE ad SE, sive ut DF ad QF, ita BD ad OQ. Et invertendo est HS


A

E

B

F

P

QDCT S

O

H

G

M

N

R

[Fig.3]

Figura 5.17: L’invarianza della sottotangente mostrata da Huygens.

Lo spunto di partenza e ancora quello di Torricelli: si mostra che seDF=CE e se la retta AE e tangente alla curva logaritmica in A, allora BD etangente in B. Per raggiungere lo scopo, si prende un punto O su BF, distintodagli estremi, si traccia il segmento PQ passante per O, ortogonale all’asintotoe si riporta CS=DQ. Il segmento SHG, parallelo a PQ, taglia la curva in G,la tangente AE in H e, vista la convessita della curva, deve essere GS > HS.D’altra parte, per similitudine dei triangoli ACE ed HSE, si ha AC : HS =CE : SE = DF : QF , per costruzione. Ancora, per similitudine tra BDF eOQF , DF : QF = BD : OQ e dunque, in definitiva, HS : AC = OQ : BD.Poiche i segmenti CS e DQ sono uguali, per le proprieta della curva logaritmicasegue AC : GS = BD : PQ che, combinata con la proporzione precedente,consente di concludere che HS : GS = OQ : PQ. Ora, visto che GS > HS,deve essere anche PQ > OQ da cui segue, data l’arbitrarieta di O, che tuttoil segmento BF sta dalla parte convessa della curva AB. Similmente si puoconcludere per i punti N posti a sinistra di B ed ottenere che la retta BF hasolo il punto B in comune con la curva logaritmica e dunque e tangente in B.

Torricelli aveva dimostrato come costruire tutte le tangenti nota unatangente alla semiperbole ma non aveva dato indicazioni su come tracciare latangente di riferimento. Questo problema viene risolto da Huygens in questitermini (Fig. 5.18).

ad AC ita OQ ad BD. Set ut AC ad GS ita est BD ad PQ, propter intervalla aequalia CS,DQ. Ergo ex aequo erit ut HS ad GS ita OQ ad PQ. Erat autem GS major quam HS, ergoet PQ major quam OQ. Unde apparet punctum O esse a parte convexa curvae AB. Eodemmodo autem et punctum N sumtum ab altera parte puncti B ostendetur cadere ad partemconvexam curvae AB. Ergo tangit eam recta NBOF in puncto B. quod erat dem.


A

E

B

F

P

QDCT S

O

H

G

M

N

R

V X

Y

[Fig.3]

Figura 5.18: Determinazione geometrica di log10 e.

Ritengo che non sia possibile trovare con un procedimento geometrico la lunghez-za del segmento CE ovvero di DF grazie al quale sarebbe possibile tracciare latangente in un punto qualsiasi, ma che sia possibile approssimarla bene quantosi vuole grazie ai logaritmi. Se infatti consideriamo un triangolo minimo AVX,il cui lato AX possa ritenersi parte sia della curva AB che della tangente AE edassumiamo che i segmenti di perpendicolare AC ed XY siano due numeri conuna differenza minima, come 100000 e 99999, allora VX o CY, sara pari alladifferenza dei logaritmi di questi numeri che in questo caso e 43430, come siottiene dalle tavole. Se allora AV che e 1 sta a VX 43430 allora AC 100000sta a CE, 4343000000, dal momento che la differenza tra i logaritmi dei numeri100000 e 99999 e 43430, mentre il logaritmo di due e 3010299957. Il segmentoche corrisponde al logaritmo di due si ottiene facilmente considerando due seg-menti verticali compresi tra la curva e l’asintoto uno dei quali e doppio dell’altro,come GS ed MR: allora il segmento SR corrisponde al logaritmo di due. Pertan-to come 30102 sta a 43430 cioe circa 3 sta a 41

3 cosı SR sta all’altro segmentoCE oppure DF che abbiamo chiamato latus rectum della curva. Questo poisi puo determinare con maggior accuratezza se, invece di considerare i numeri100000 et 99999, lo si ricerca con i numeri 1 ed 1 1

100000000000000000 , trovando CE434294481903251804 mentre il logaritmo di due e 301029995663981195. L’usodi questo latus rectum sara chiaro in seguito.38( Huygens, pp.463-464 di [7])

38Longitudo lineae CE vel DF cujus ope tangens in quovis puncto duci posset, non potestratione ulla geometrica, ut puto, inveniri sed ex logarithmis quamlibet proxime. Nam siconsideremus triangulum minimum AVX, cujus latus AX tam curvae AB quam tangentisAE portio censendum est, et perpendiculares AC, XY duos numeros esse putemus minimoquodam excessu inter sese superantes, ut 100000 et 99999. Erit VX vel CY, logarithmorum


La costruzione di Huygens si traduce formalmente come segue. Si consid-erino due punti A ed X sulla curva logaritmica tali che le loro ordinate AC ed XYsiano in un rapporto prossimo ad 1: nell’esempio numerico, come 100000 : 99999,ma in generale sono due numeri del tipo b e b(1− ε) con ε 1. Pertanto

V X = CY = log(AC)− log(XY ) = log1

(1− ε)

che vale 43430(4342923104 ·10−6) nell’esempio considerato. Per similitudine deitriangoli AVX ed ACE si ottiene

CE = V XAC

AV= 4343000000(0.4342923104) .

D’altra parte e semplice trovare due punti S ed R sull’asintoto della curva taliche SR sia il log 2: e sufficiente determinare due punti G ed M sulla curvalogaritmica di ordinate GS = 2MR. Poiche log 2 ' 30102(0.3010299957) si puodire che SR : CE = 3 : 4 1

3 che permette di risalire al valore di CE, noto SR. Ilvalore numerico di CE e tanto piu preciso quanto piu vicino ad 1 e il rapportoin cui stanno AC ed XY.

Qual e il significato del numero trovato da Huygens? Prendiamo la curvay = ax e determiniamo l’equazione della sua tangente tracciata da A ≡ (x0, a

x0).Osservato che ax = ex ln a e posto M := ln a abbiamo y′(x) = Max e dunquel’equazione della tangente in A e

y − ax0 =Max0(x− x0) .

Posto y = 0, l’ascissa xE di E soddisfa

xE − x0 = − 1

M

che mostra analiticamente la costanza della sottotangente. D’altra parte, usandole formule per il cambiamento di base nei logaritmi, si conclude che

− 1

M= − log e

log a:

preso a = 1/10, la costruzione della sottotangente consente di determinarelog e = 0.4342944818. Huygens ha dunque determinato geometricamente illogaritmo decimale della base dei logaritmi naturali.

ipsorum differentia quae inter istos est 43430, ut patet ex tabulis. Jam si igitur fiat utAV quae est 1 ad VX 43430 ita AC 100000 ad CE, 4343000000, qualium nempe differentiainter logarithmos numerorum 100000 et 99999 est 43430, qualiumque logarithmus binarij est3010299957. linea autem quae referat logarithmum binarij facile invenitur, applicando tantumduas perpendiculares inter curvam et asymptoton quarum altera sit alterius dupla velut GS,MR, nam SR intervallum referet logarithmum binarij. Ergo si fiat ut 30102 ad 43430 hoc estproxime ut 3 ad 4 1

3ita SR ad aliam ea erit linea CE vel DF, quam latus rectum curvae huius

appellabimus. Invenitur autem adhuc accuratius si loco numerorum 100000 et 99999, quaeriturper numeros 1 et 1 1

100000000000000000, sit enim CE 434294481903251804 qualium logarithmus

binarij est 301029995663981195. Patebit autem usus hujus lateris recti in sequentibus.


Huygens si occupa ora della quadratura di settori limitati dalla curva loga-ritmica, dal suo asintoto e da una coppia di rette perpendicolari ad esso. Anchequi, le sue dimostrazioni sono varianti di quelle di Torricelli ed evitano lariduzione all’assurdo.

LO

YR

ΛM

ΠT

N C

X Z

D

HFB

A Q S VE G

K

[Fig.4]

Figura 5.19: La quadratura di un settore delimitato dalla curva logaritmica.

Se da un punto A qualsiasi della curva [Fig. 4] si traccia la perpendicolare ABall’asintoto, dico che il rettangolo ABFE determinato da AB e dal latus rectumBF e equivalente alla regione infinita compresa tra la curva, la perpendicolareAB e l’asintoto BZ.

Si consideri anzitutto un rettangolo AH avente AB per lato ed area mag-giore di AF. Dico che questo rettangolo e anche maggiore della regione infinitasummenzionata. Tracciate infattti le diagonali AF ed AH in entrambi i rettan-goli, AF deve essere tangente alla curva in A, dal momento che BF e ugualeal latus rectum. Dunque una certa parte AK del segmento AH cade dentro laparte concava della curva. Si divida AH in un certo numero di parti uguali neipunti L, M, N, in modo che una qualsiasi di queste parti sia minore di AK. Isegmenti tracciati per i punti della suddivisione parallelamente ad AB dividonoil rettangolo AH in rettangoli uguali come AR, QT ecc. Dagli stessi punti sitraccino segmenti paralleli all’asintoto come LO, MΛ, NC, e dai punti dove essiincontrano la curva AC, si traccino delle perpendicolari all’asintoto come OY,ΛΠ e CZ cosicche le regioni comprese tra due qualsiasi di esse, come AOY B,OΛΠY , ΛCZΠ siano uguali tra loro ed anche all’ultima regione illimitata CZD,come mostrato in precedenza in quanto le differenze tra le due perpendicolari che


delimitano gli spazi predetti sono uguali per costruzione. Ora in verita e lecitosupporre il rettangolo AR maggiore della regione AOYB, che ne e una parte,dal momento che necessariamente OY giace tra AB ed LR. Dunque anche ilrettangolo SR sara maggiore della regione OY ΠΛ che e a sua volta equivalentead AOY B. Il rettangolo VT sara poi maggiore della regione ΛΠZC e cosı viatutti i singoli rettangoli, se ce ne sono di piu, sono maggiori degli spazi seguentifino al rettangolo VH che e maggiore dell’ultima regione infinita CZD. Pertan-to tutti i rettangoli insieme superano tutte le altre regioni; cioe, il rettangoloABHG sara maggiore della regione ABDC.39(Huygens, pp.464-465 di [12]).

Segnaliamo le varianti rispetto alle argomentazioni di Torricelli. Anzi-tutto, Huygens formalmente non ricorre all’ipotesi per assurdo in quanto dap-prima mostra che ogni rettangolo che contiene quello ABFE avente per latil’ordinata iniziale ed il latus rectum ha area maggiore del segmento illimitatoABD. In seguito, mostrera che rettangoli contenuti in ABFE hanno area mi-nore del segmento ABD. Il primo passo consiste nel prendere un rettangoloABHG ⊇ ABFE e tracciare le diagonali AF ed AH, delle quali la prima etangente alla curva logaritmica in A, la seconda e secante in un punto K. SuAH si determinano tre punti L, M, N tali che AL = LM = MN < AK e siconducono a partire da essi le parallele all’asintoto BZ che tagliano la curvarispettivamente in O, Λ e C. Poiche per costruzione le differenze tra le perpen-dicolari che delimitano gli spazi mistilinei AOYB, OΛΠY e ACZΠ sono uguali,gli spazi predetti sono equivalenti tra loro ed allo spazio infinito CZD (cfr. p.182). Inoltre, sempre per costruzione, O giace alla sinistra di QR per cui il ret-tangolo AR ha area maggiore dello spazio mistilineo AOYB. Il rettangolo SR,equivalente al rettangolo AR, ha a sua volta area superiore rispetto allo spaziomistilineo OΛΠY che e equivalente ad AOYB. Similmente, il rettangolo VTsupera lo spazio mistilineo ΛCZΠ ed, infine, VH ha area superiore allo spazioillimitato CZD, da cui segue la tesi. Per completare la dimostrazione, Huygens

39Si a puncto quolibet in curva sumpto ut A [Fig. 4] demittatur in asymptoton perpendicu-laris, AB, dico rectangulum quoddam ab AB et latere recto BF comprehensum nempe ABFEaequari spatio infinito inter curvam, perpendicularem AB et asymptoto BZ interjecto.

Fiat enim primo in eodem latere AB, rectangulum quoddam AH quod majus sit rectan-gulo AF . dico illud majus quoque esse dicto spatio infinito. Ductis enim diagonijs AF, AHrectangulorum utrorumque, constat quidem AF tangere curvam in A, quia BF ponitur esselatus rectum. Unde pars quaedam lineae AH cadet intra curvae cavam partem, puta AK.dividatur AH in partes tot aequales punctis L,M, N, ut earum quaelibet sit minor quam AK.Et ductis per ea puncta rectis parallelis AB, divident eae rectang.m AH in rectangula aequaliaut sunt AR, QT &c. ab ijsdem vero punctis si ducantur parallelae asymptoti lineae LO, MΛ,NC, et a punctis ubi hae concurrunt curvae AC, demittantur perpendiculares in asymptotonvelut OY, ΛΠ, CZ, sient etiam spatia inter binas quasque earum interjecta inter se aequalia utsunt AOY B, OΛΠY , ΛCZΠ ac denique etiam infimum spatium infinitum CZD, ut constat expraecedentibus, quia nempe differentiae duarum perpendicularium dicta spatia comprehen-dentium sunt ex constr.e aequales. Jam vero rectang.um AR majus esse liquet spatio AOYB,cum hoc illius pars sit, nam OY necessario cadet inter AB et LR. Ergo et SR majus eritspatio OYΠΛ, quippe quod aequale est spatio AOY B. Item V T majus erit spatio ΛΠZCatque ita singula rectangula si plura forent, singulis sequentibus spatijs quum per utrorumquefit numerus, ac denique ultimum V H majus quoque spatio infimo ac infinito CZD. Itaqueomnia rectangula omnibus simul spatijs; hoc est rectangulum ABHG spatio infinito ABDCmajus erit.


ripete argomenti simili a partire da un rettangolo ABHG di area minore rispettoad ABFE.

LO

Y R

ΛM

ΠT

NΩ

Θ

C

X Z

D

H F

Γ

B

A Q EG

K

[Fig.5]

Figura 5.20: La quadratura di un settore delimitato dalla curva logaritmica.

Si consideri un nuovo rettangolo ABHG [Fig. 5] di area minore del rettangoloABFE; dico che un tale rettangolo avra anche area minore della regione infinitaADB. Tracciate come prima le diagonali AF ed AH, poiche AF e tangente in Aalla curva, AH la tagliera in un punto sul suo prolungamento dalla parte di Aed il prolungamento AK si trova nella parte concava della curva. Si divida AHin tante parti uguali affinche una parte come AL tracciata sul prolungamentodi AH non raggiunga K. Ripetendo la costruzione precedente, e evidente cheil rettangolo AR e piu piccolo della regione AOYB, essendone una parte, dalmomento che e evidente che ora LR cade tra OY ed AB. Da cio segue anche cheil rettangolo AT e minore della regione AΛΠB e ogni rettangolo e equivalente alprecedente cosı come ogni spazio equivale al precedente; per il medesimo motivoil rettangolo QT sara minore della regione ΛΩΘΠ ed il rettangolo QX dellaregione ΩCZΘ, ed il rettangolo GX della regione illimitata CDZ, che pure eequivalente alle regioni precedenti. Dunque e evidente che l’intero rettangoloABHG ha area minore della stessa regione infinita AΩCDBA. Poiche allorae stato mostrato che ogni rettangolo di area maggiore del rettangolo ABFE haanche area maggiore della regione infinita ACDB e che ogni rettangolo di areaminore del rettangolo ABFE e pure minore dello spazio predetto; e necessarioche il rettangolo ABFE sia equivalente alla medesima regione illimitata, comesi doveva dimostrare.


Osserva che questa tecnica di dimostrazione evita la riduzione all’assurdocosa che altrove abbiamo visto essere possibile a certe condizioni.40 (pp.465-466di [12])

Non ripetiamo l’analisi del testo ma segnaliamo solo che ora la retta AHviene prolungata oltre ad A fino a raggiungere l’intersezione K con la curvalogaritmica. Da questo momento la dimostrazione segue un percorso sovrap-ponibile alla precedente. Huygens ha segnalato esplicitamente di aver evitatoil ricorso alla dimostrazione per assurdo: il metodo e del tutto equivalente, mala via diretta di Huygens e un po’ piu leggera rispetto a quella seguita daTorricelli.

La parte dedicata alla quadratura dei settori delimitati da una curva logarit-mica si chiude con una serie di corollari, il primo dei quali afferma semplicementeche, per misurare il segmento illimitato ABD sotteso (Fig. 5.21) dalla curvalogaritmica, e sufficiente raddoppiare l’area del triangolo rettangolo ABF cheha l’ipotenusa AF lungo la tangente alla curva in A.

Se pertanto da un medesimo punto della curva si tracciano la perpendicolare al-l’asintoto e la tangente alla curva come qui [Fig. 6] sono AB ed AF, il triangoloABF avra sempre area pari alla meta della regione illimitata ABD.41 (p.466 di[12])

Il corollario successivo (Fig. 5.22) serve ad esprimere l’area delimitata dal-l’arco AH di curva logaritmica, dall’asintoto e dai segmenti verticali AB, HLche uniscono l’arco all’asintoto.

Una qualsiasi regione limitata da due segmenti ortogonali all’asintoto come laregione ABHL [Fig. 7], sara equivalente al rettangolo avente per lati il latusrectum e la differenza dei due segmenti come, in questo caso, il rettangolo AK.Infatti, poiche la regione illimitata HLD e equivalente al rettangolo AF e laregione illimitata HLD e equivalente al rettangolo CF, la regione residua ABLHsara equivalente al rettangolo residuo AK.42 (p.466 di [12])

40Esto rursus quoddam ABHG [Fig. 5] quod sit minus rectangulo ABFE; dico illudminus quoque esse spatio infinito ADB. Ductis enim ut ante diagonijs AF, AH, cum AF tangatcurvam in A, secabit eam recta HA versus A producta; productaque pars cadet intra cavitatemcurvae ut AK. Dividatur AH in tot partes aequales ut earum una apposita in producta HA,velut AL, non pertingat ad K. Constructis porro reliquis ut prius. patet rectangulum ARminus esse spatio AOYB eius nempe pars est, nam LR manifesto nunc cadit inter OY et AB.Hinc ergo et rectang. AT minus erit spatio AΛΠB, cum et rectangulum rectangulo et spatiumspatio priori fit aequale, eadem ratione rectang.m QT minus erit spatio ΛΩΘΠ, et

m QXspatio ΩCZΘ, et GX spatio CDZ infinito, quod nempe et ipsum reliquis spatijs aequale est.Itaque totum rectang.m ABHG minus esse patet ipso omni AΩCDBA infinito. Cum igiturostensum sit rectangulum quodlibet quod majus est rectangulo ABFE, majus quoque essespatio ACDB infinito; item rectangulum quodvis quod minus est rectangulo ABFE minusquoque esse praedicto spatio; necesse est rectangulum ipsum ABFE eidem spatio infinitoaequale esse, quod erat dem.

Nota vero hunc modum demonstrandi sine deductione ad absurdum, quae videtur hoc pactoalibi quoque devitari posse.

41Si ergo ab eodem puncto curvae perpendicularis in asymptoton, et tangens ducatur utsunt hic [Fig. 6] AB, AF, erit semper triangulum ABF dimidium spatij totius infiniti ABD.

42Spatium quodvis inter duas perpendiculares interceptum ut ABLH [Fig. 7], aequale eritrectangulo sub latere recto et differentia dictarum perpendicularium, ut hic rectangulum AK.Nam cum spatium infin. ABD sit aequale

lo AF; spatium vero infin. HLD aequale lo CF;


A

B F

D

[Fig.6]

Figura 5.21: Il triangolo ABF e equivalente a meta dell’area sottesa dalla curvalogaritmica, limitata a sinistra da AB.

Questo risultato viene dimostrato in un secondo modo che fa ricorso ad unpassaggio al limite. Con riferimento alla Figura 5.23, Huygens dimostra cheil quadrilatero misto ABDC e equivalente al doppio della porzione delimitatadall’arco AC, dall’asintoto e dalle tangenti AF e CE.

Si puo dare un’altra dimostrazione del risultato precedente se si dimostra che laregione ABDC [Fig. 8] delimitata dai segmenti AB e CD ortogonali all’asintotoe sempre equivalente al doppio della regione compresa tra le due tangenti AF eCE alla curva condotte dai medesimi punti.

Divisa la base BD in parti uguali BH, HN ecc. si traccino i segmenti perpen-dicolari HK, NP e dai punti A, K, P della curva si traccino le tangenti AF, KMecc. e si completino i rettangoli BG, BK, KN, PH ecc. e si chiamino L, Q, ecc.i punti di intersezione tra due tangenti consecutive. Dall’uguaglianza tra BF,HM, NR ecc. anche FM, MR, ecc. saranno uguali tra loro e ai singoli segmentiBH, HN, NO ecc. Cosı il triangolo FLM sara minore di 1

2 del rettangolo AH mamaggiore di 1

2 del rettangolo KB. Similmente il triangolo MQR sara minore di 12

del rettangolo KN ma maggiore di 12 del rettangolo PH. E dunque l’intera figura

composta da tutti i triangoli sara minore di 12 della figura formata dai rettangoli

circoscritti ma maggiore della meta di quella formata dai rettangoli inscritti. Dacio segue facilmente che la regione ACEF e equivalente alla meta della regione

erit reliquum spatium ABLH aequale lo reliquo AK.


A

B

E

F

D

CK

H

L

[Fig.7]

Figura 5.22: Equivalenza tra il settore sotteso da AB ed HL ed il rettangolo CL.

ACDB. Dal momento che questa proprieta vale comunque si scelga il segmentoperpendicolare CD e evidente che, quando CD e infinitamente piccola, la regioneACEF sara quella illimitata che giace tra la curva e l’asintoto e delimitata dalsegmento AF. Pertanto la precedente regione infinita sara equivalente a metadi quest’ultima e percio anche il rettangolo restante AFB risultera equivalentea meta della regione infinita ACXEB.43 (pp. 466-467 di [12])

Huygens suddivide BD in un certo numero di parti uguali BH, HN e de-termina i rettangoli circoscritti AH, KN, PO,... e quelli inscritti BK, HP,... Daciascuno dei punti K, P, C sulla curva logaritmica vengono tracciate le tangentiAF, KM,... e si considerano i punti L, Q,... di intersezione tra due tangenticonsecutive, Poiche il latus rectum e costante ed il segmento BD e stato suddi-viso in parti uguali, le basi dei triangoli FLM, MQR sono uguali tra di loro ed

43Alia praecedentis demonstratio datur, ostendendo ABDC [Fig. 8] terminatum duabusperpendicularibus AB, CD, duplum semper esse spatij inter duas tangentes AF, CE, ab ijsdempunctis eductas, intercepti.

Basis BD in partes aequales dividatur BH, HN &c. unde perpend.es ad curvam eriganturHK, NP, &c. Et a punctis A, K, P &c. tangentes ducantur AF, KM &c. et compleanturrectangula BG, BK, KN, PH &c. et tangentes binae quaeque proxime sibi occurrant in punctisL, Q, &c. Jam quia BF, HM, NR &c sunt aequales fient et FM, MR, &c. aequales et singulaesingulis BH, HN, NO &c. Itaque triang. FLM minus erit 1

2rectang.o AH, majus vero 1

2

lo KB. Itidem triang.m MQR, minus erit 12 KN, majus vero 1

2 PH. Atque ita composita

figura es omnibus triang. minor erit 12figura ex circumscriptis rectang.lis major vero dimidia

figura ex rectangulis inscriptis. Unde facile ostendetur spatium ACEF dimidium esse spatijACDB. Quod cum ubique contingat, ubicunque perpend.is CD statuatur patet cum CD infiniteparva erit, spatium ACEF, fore infinitum inter curvam et asymptoton iterjacens rectaque AFterminatum. Itaque illud spatium infinitum hujus infiniti spatij dimidium erit, ac proinde etrectangulum reliquum AFB ejusdem spatij infiniti ACXEB dimidium esse constabit.


A

B

K

PQ

R

C

EMDONH F

G

L

X

[Fig. 8]

Figura 5.23: Equivalenza tra la porzione di curva logaritmica delimitata da ABe CD e la regione delimitata dall’asse delle ascisse e dalle tangenti AF e CE.

ai segmenti della suddivisione di BD. Ne consegue che

1

2A(KB) < A(FLM) <

1

2A(AH)

1

2A(PH) < A(MQR) <

1

2A(KN) ....

dove L, Q, ecc. sono i punti di intersezione tra due tangenti successive alla curvalogaritmica. Dunque l’unione di tutti i triangoli costruiti ha area maggiore dimeta del plurirettangolo inscritto nell’arco AC e minore del plurirettangolo cir-coscritto al medesimo arco. Idealmente, facendo tendere a zero l’ampiezza dellasuddivisione di BD si dimostra che il quadrilatero misto ACEF ha area metadel quadrilatero misto ACDB. Se ora C viene spostato lungo la curva all’infini-to, ACEF diventa la porzione infinita compresa tra la curva logaritmica, AF edall’asse delle ascisse, mentre ACDB diventa la porzione infinita delimitata asinistra da AB che e l’unione della porzione ACEF precedente e del triangoloAFB. Dunque quest’ultimo equivale a meta della porzione ACXEB. La medes-ima tecnica serve ad Huygens per mostrare che il volume del cono generatodalla rotazione di ABF attorno a BE e i 2/3 di quello generato dalla rotazionedella curva logaritmica AX attorno allo stesso asse. Infatti, il solido generatoda FLM, differenza dei coni ottenuti per rotazione di LM ed LF attorno a BEdeve avere volume piu piccolo di 1/3 del volume del cilindro generato per ro-tazione attorno a BE dal rettangolo BH che ha altezza uguale ad FM, ma basepiu lunga. Similmente, il solido generato da FLM ha volume maggiore di 1/3


di quello del cilindro KB. Iterando la procedura, si conclude che il volume delsolido infinito ottenuto per rotazione di ACXEFA attorno a BE e un terzo quelloottenuto per rotazione attorno allo stesso asse dalla regione ACEXBA e dunqueil cono residuo generato da AFB ha volume pari ai 2/3 di quello generato daACEXBA.

Si mostrera qui che il solido illimitato attorno all’asse BE e equivalente ai 3/2del cono ottenuto per rotazione del triangolo AFB attorno a BF.

Infatti, dal momento che il solido generato dal triangolo FLM e minore di 13

del cilindro generato dal rettangolo AH ma maggiore di 13 del cilindro generato

da KB, e via di seguito, si mostra facilmente che il solido generato da ACEF eequivalente ad 1

3 del solido ottenuto dalla regione ACDB, qualunque sia la sceltadell’estremo CD. Pertanto il solido generato dalla regione infinita ACXEFA saraequivalente ad 1

3 del solido generato dalla regione infinita ACXEBA e dunqueil cono generato dal triangolo AFB restante sara equivalente a 2

3 del solidogenerato dalla stessa regione ACXEBA.44 (p. 467 di [12])

Entriamo ora nell’ultima parte della memoria di Huygens che tratta dellalocalizzazione del centro di massa di una lamina piana omogenea limitata daun arco, eventualmente illimitato, di curva logaritmica, dal suo asintoto e dadue rette ortogonali a quest’ultimo. Per comprendere le dimostrazioni, e utilericordare il teorema di Pappo-Guldino che afferma come, data una laminapiana omogenea L ed una retta r del piano che non la tagli in piu parti, ladistanza d del centro di massa di L da r sia legata all’area A(L) della laminaed al volume V (B) del solido ottenuto per rotazione completa di L attorno adr dalla formula

2π dA(L) = V (B) .Da questo risultato si evince che due lamine equivalenti che generano solidi dirotazione attorno ad r di ugual volume hanno centri di massa posti alla stessadistanza da r. Grazie a questa osservazione, Huygens trova facilmente (Fig.5.24) la distanza del centro di massa della regione infinita ABEXA che, perquanto mostrato prima, e equivalente al rettangolo di area BO · BD aventebase BO=AB/2 ed altezza BD doppia del latus rectum e che per rotazioneattorno a BE genera un cilindro di volume πBO2 · BD pari a quello del solidogenerato da ABEXA. Applicando il teorema di Pappo-Guldino si ricava ched = BO/2 = AB/4.

Si mostra qui che la distanza del centro di gravita della regione illimitata ABEXAe pari ad un quarto del segmento AB.

Presi infatti [Fig. 9] BD = 2BF e BO = 12AB, il rettangolo BOCD e

equivalente al doppio del triangolo ABF e per questo equivalente alla regione

44Hinc de solido spatij infiniti circa axem BE demonstrabitur, esse sesquialterum coni exconversione trianguli AFB circa BF.

Nempe cum solidum a triang.o FLM sit minus quam 13

cylindri a lo AH, majus vero

quam 13cylindri a

lo KB, atque ita de ceteris; facile ostendetur solidum a spatio ACEF, esse13

solidi a spatio ACDB idque ubicunque terminus CD statuatur. Unde solidum ab infinito

spatio ACXEFA erit 13solidi ab infinito spatio ACXEBA, ac proinde conus a reliquo triangulo

AFB aequabitur 23solidi ab eodem spatio ACXEBA.


illimitata ABEXA. Ora, il cilindro generato dal rettangolo BOCD per rotazioneattorno a BD e equivalente al solido ottenuto per rotazione attorno a BE dellapredetta regione illimitata. Risulta allora che il cilindro ottenuto dalla rotazionedi BOCD attorno a BD e equivalente a sei volte il cono ottenuto per rotazione diOFB attorno a BF e dunque equivalente a 3/2 del cono ottenuto per rotazione diAFB attorno allo stesso BF che abbiamo mostrato essere a sua volta equivalenteal solido generato dalla regione illimitata ABEX. Pertanto occorre che i centridi gravita della regione infinita e del rettangolo BOCD siano equidistanti dalsegmento BE; questa distanza e dunque la meta di BO, cioe un quarto di AB,q.e.d.45 (pp. 467-468 di [12])

A

B F

X

E

[Fig.9]

D

CO

Figura 5.24: La distanza del centro di gravita della regione infinita ABEXA epari a AB/4.

Anche in questo caso Huygens offre una seconda dimostrazione che poggiasu altri risultati ottenuti in precedenza. Precisamente, egli aveva mostrato (Fig.5.16) che due segmenti di curva logaritmica come CDEB e GMNF hanno areeche stanno in un rapporto uguale a CH/GL. Quindi, per ottenere segmenti

45Hinc porro et distantia centri grav.is spatij infiniti ABEXA, ab asymptoto BE ostendituresse quarta pars perpendicularis AB.

Sumta enim BD [Fig. 9] = duplae BF et BO = 12AB, et completo

lo BOCD, erit hocduplum trianguli ABF ac proinde aequale spatio infinito ABEXA. Sed et cylindrus a BOCDcirca BD aequabitur solido ex conversione spatij dicti infiniti circa BE. Est enim cylindrus econversione BOCD sexcuplus coni a conversione triang.i OFB circa BF, ideoque sesquialterconi a triang.o AFB circa eandem BF, cujus coni et solidum a spatio infinito ABEX sesquial-terum ostendimus. Itaque centra gr. solidi infiniti et

i BOCD aequaliter distare necesse estlinea BE; utraque igitur distat dimidia BO, hoc est quarta parte AB q.e.d.


logaritmici adiacenti equivalenti e sufficiente mantenere costante la differenzah tra i segmenti di retta che li limitano. Se la suddivisione e abbastanza fitta(Fig. 5.25), non si commette un grosso errore asserendo che il centro di massadel segmento logaritmico di altezza maggiore—pari ad AB— dista BT = AB/2da BE. Similmente, gli altri rettangoli avranno centri di massa che si avvicinanoa BE ogni passo di un segmento pari ad h/2. Poiche per costruzione i segmentilogaritmici sono equivalenti, le quote dei loro centri di massa dividono in partiuguali il segmento BT cosicche il centro di massa di ABEX cadra a meta delsegmento BT.

A

B

X

E

[Fig.10]

T

Figura 5.25: Dimostrazione alternativa del risultato mostrato in Figura 5.24.

Questa proprieta del centro di gravita si puo dimostrare in un altro modo de-scrivendo dei rettangoli di uguale altezza inscritti nella regione illimitata ABEX[Fig. 10] ciascuno dei quali supera di poco il successivo. Se immaginiamo chetutte queste differenze coincidano tra loro, il centro di gravita del rettangolo piualto distera dall’asintoto BE quanto la meta di AB e cosı i centri di gravitadei rettangoli successivi saranno sempre piu vicini a BE di una quantita pari,evidentemente, a meta della differenza delle altezze di due rettangoli successivi.Poiche dunque i centri di gravita di grandezze uguali divideranno BT, meta diAB, in segmenti uguali: il centro di gravita complessivo cadra nel punto mediodi BT, cioe distera dall’asintoto BE quanto 1

4 AB.46 (p. 468 di [12])

46Potest idem hoc de centro gr.is aliter quoque ostendi descriptis intra spatium infinitumABEX [Fig. 10] rectangulis quorum unumquodque aequali altitudinis excessu sibi proximumsuperet. Haec enim si multitudine infinita imaginemus poterunt haberi pro aequalibus interse, altissimi autem centrum gr. distabit ab asymptoto BE per dimidiam AB, et sequentium


Huygens mostra poi che la distanza da AB del centro di massa di una re-gione illimitata come ABEX in Fig. 5.25 e pari al latus rectum. La dimostrazionee condotta in due parti, nella prima delle quali egli dimostra che tale distanzanon puo eccedere il latus rectum.

A

B

K

P

Q

R

X

C

E

M

MD

O

N F

GL H

[Fig.11]

Figura 5.26: La distanza del centro di gravita G della porzione ABCD hadistanza GM da AB inferiore al latus rectum `.

Testo 5.2 (Huygens) (pp. 468-469 di [12]). Originale 5.4Sia data una regione come ABCD [Fig. 11]; dico che il suo centro di gravitanon puo distare da AB piu della lunghezza del latus rectum. Sia infatti possibileche il suo centro di gravita cada in un punto G tale che GM sia maggiore dellatus rectum. Posso allora togliere da GM una particola come MR in modo cheil segmento rimanente RG sia ancora maggiore del latus rectum. Si tracci ilsegmento NRO parallelo a BA e nel suo punto di intersezione O con la curvasi tracci la retta AOM. E necessario che NM sia minore del latus rectum, dalmomento che OM non e tangente ma secante alla curva in O. Sia OP parallelaa BC e si consideri un segmento CF uguale allo stesso OP ovvero a BN, dallaparte acuta della regione illimitata e si tracci FE parallela a BA. Allora, poichela base FN della porzione OEFN e uguale alla base CB della porzione ADCB siavra anche che ON sta ad EF come AB sta a DC per cui, siccome entrambe le

deinceps centra gr. aequalibus semper intervallis propriora fient ipsi BE, quae scilicet, inter-valla erunt dimidia excessus altitudinum proximorum rectangulorum. Cum igitur aequaliummagnitudinum centra gravitatis in aequalia intervalla dividant lineam BT, dimidiam ipsiusAB: erit commune omnium gravitatum centrum in medio ipsius BT, hoc est, distabit per 1

4AB ab asymptoto BE.


porzioni si possono pensare come composte da un numero altissimo di rettangoliaventi basi uguali e che decrescono nella medesima proporzione, e evidente (malo si puo anche dimostrare accuratamente) che i centri di gravita di entrambedividono in modo simile la distanza delle perpendicolari estreme di entrambe;poiche pero la distanza da entrambe e uguale, i centri di gravita di entrambele porzioni avranno la stessa distanza dalle loro perpendicolari maggiori AB,ON. Se si pone in G il centro di gravita della regione ADCB, preso RH=MG,il punto H sara il centro di gravita della regione ONFE; se da quest’ultimaregione si toglie DEFC, il cui centro di gravita cade all’interno della regionestessa, segue che il centro di gravita della regione restante ODCN cade tra ipunti H e G, diciamo in K. Ora, poiche per quanto visto in precedenza, laregione AONB sta alla regione ODCN come AP ad OQ, cioe come OP sta adXQ; se si prende un punto L in modo che OP sta ad XQ come KG sta a GL,L sara centro di gravita della regione AONB, visto che G e veramente centrodi gravita della regione ABCD e K e centro di gravita della regione ONCD.Tuttavia GL sara minore di XQ, dato che anche KG e minore di OP; infattil’intero HG era uguale allo stesso OP mentre XQ e minore di MN, minore a suavolta del latus rectum, come detto sopra. Dunque GL sara certamente minoredel latus rectum. Ma GR era maggiore dello stesso e dunque GL e minore diGR. Dunque il centro di gravita L della regione AONB cadrebbe all’esterno dellaregione stessa dimodoche, tracciata per L una retta, tutta la regione cadrebbe dauna sola parte, che non e possibile.

Da questo risulta evidente che comunque si prenda CD, anche a distanzainfinita da AB, il centro di gravita della regione delimitata da entrambe le rettenon sara piu distante della lunghezza del latus rectum da AB e dunque gius-tamente si conclude che il centro di gravita di una regione illimitata non puodistare da AB piu della lunghezza del latus rectum.

Qui Huygens procede per assurdo, supponendo che la distanza GM delcentro di massa del settore ABCD superi il latus rectum BM = ` (si noti l’usodella lettera M per indicare due punti diversi). E allora possibile togliere unsegmento MR a GM in modo che il segmento restante RG sia ancora maggioredi `. Se O e l’intersezione della curva logaritmica con la retta verticale NRO,la retta AO secante alla curva logaritmica taglia l’asintoto in un punto M taleche MN < `. Se OP e la parallela per O all’asintoto, si prolunga il settore adestra di CD a distanza CF = OP . Le basi dei settori OEFN ed ABCD sonouguali e dunque, per quanto mostrato prima, ON : EF = AB : CD. Se siimmagina di scomporre i settori OEFN ed ABCD in infiniti rettangoli di ugualbase, i centri di gravita di ciascun settore ne divideranno l’ampiezza nello stessorapporto. Siccome i settori hanno ugual base, detto H il centro di gravita diOEFN e G quello di ABCD si avra HR=GM. Infine, il centro di gravita delsettore ONCD cadra in un punto K, intermedio tra H e G. Va osservato che ipunti H, G, K sono tracciati da Huygens ad una stessa quota, ma in realta nonlo sono. Tacitamente, egli confonde i centri di massa con le loro proiezioni sullaretta MG. Da risultati precedenti si ha che A(AONB) : A(ODCN) = AP :OQ = OP : QX , dove l’ultimo passaggio segue per la similitudine dei triangoli


AOP e QOX. Poiche ancora i centri di massa delle porzioni AONB ed ODCNdistano dagli estremi sinistri di quantita proporzionali alla lunghezza delle basidei settori, un punto L sul segmento MH tale che KG : GL = OP : QX e laproiezione su HM del centro di massa di AONB. Essendo OP = HG deve essereKG < OP e dunque GL < QX < MN < ` < GR il che e assurdo perche Lcadrebbe fuori della regione AONB di cui e centro di massa. In definitiva si emostrato che GM ≤ `, quale che sia la posizione di C.

In chiusura del passo appena riportato, Huygens ha richiamato l’attenzionesul fatto che la stima GM < ` vale anche per la regione infinita ABCE. Perquesta regione vale anche la disuguaglianza opposta per gui G dista dalla rettaAB quanto la lunghezza del latus rectum.

[Fig.12]

A

B

K

P

R

E

M

M

O

N C

GL

Figura 5.27: Per la regione illimitata ABCE, la distanza GM del centro digravita G da AB coincide con il latus rectum `.

Mostrero inoltre che [tale centro di massa] non puo distare da AB meno dellatus rectum per cui deve proprio avere tale distanza.

Sia infatti G il centro di gravita della regione infinita AECB [Fig. 12] e sisupponga possibile che GM sia minore del latus rectum. Potro allora sottrarneuna parte MR cosicche GM unito ad MR sia ancora minore del latus rectum; echiaro che sarebbe possibile, condotta NRO come prima ed anche le rette AOM ,ed OP e preso RK uguale ad MG, che GK risulti uguale ad MR.

Poiche i centri di gravita di due porzioni qualsiasi aventi basi uguali le divi-dono in modo tale da avere ugual distanza dalla perpendicolare maggiore, comedimostrato per le porzioni ABCD ed ONFE [Fig. 11], ne segue che la stessaproprieta deve valere per le infinite porzioni quali sono qui ABCE, ONCE percui, se G e il centro di gravita della regione infinita ABCE ed MG e uguale


ad RK, allora K sara centro di gravita della regione infinita ONCE. Pertantose la porzione AONB sta alla regione infinita ONCE come AP sta ad ON ,cioe come PO ovvero BN sta ad NM , come KG sta a GL, L sara il centro digravita della porzione AONB: GL sara uguale ad NM in quanto KG e ugualea BN . Tuttavia BM supera il latus rectum (sarebbe uguale ad esso se AM fossetangente alla curva in A, mentre la parte AO ora sottende un arco della curvaper cui l’angolo PAO e maggiore di quanto sarebbe se AO fosse tangente in A).Tuttavia GM unito ad MR e minore per costruzione del latus rectum. Pertan-to, asportati da ambo le parti segmenti uguali ad MR o a BN resterebbe NMmaggiore di GM . Ma si e mostrato che MN e uguale a GL. Dunque anche GLsarebbe maggiore di GM . Dunque il punto L, centro di gravita della porzioneABNO cadrebbe all’esterno della medesima porzione, cosicche sarebbe possibiletracciare una retta che passi per L e rispetto alla quale la porzione verrebbe atrovarsi tutta dalla stessa parte, che e assurdo. Dunque il centro di gravita diuna regione infinita come ABCE non potendo avere distanza maggiore o mi-nore del latus rectum da AB deve distare da essa proprio quanto la lunghezzadel latus rectum, q.e.d.47 (pp. 469-470 di [12])

L’argomento e ancora per assurdo ed Huygens suppone che la distanza GMdel centro di gravita della regione illimitata ABCE (Fig. 5.27) sia minore dellalunghezza ` del latus rectum. Preso un punto R su GM tale GM +MR < ` epreso un punto K a destra di G tale che GK = MR, si traccino come primail segmento ORN passante per R che interseca la curva logaritmica in O ed ilsegmento OP parallelo all’asintoto BC. Per quanto visto in precedenza, se dueporzioni logaritmiche come ABCE ed ONCE hanno ugual base, i rispettivicentri di massa sono equidistanti dalle rette che delimitano a sinistra i settorie K e (proiezione del) centro di massa di ONCE. Ancora, si e dimostrato cheA(AONB) : A(ONCE) = AP : ON = OP : NM e se si prende un punto

47Ostendam autem neque minus distare ab AB, dicta longitudine lateris recti, ac proindeipsa hoc longitudine inde abesse.

Sit enim spatij infiniti AECB [Fig. 12] centr. gr. G, sitque si potest GM minor adhuclatere recto. Abscindam igitur ab ea partem MR, ita ut GM una cum MR minor adhuc sitlatere recto; constat enim fieri posset, ducatur NRO ut supra, itemque recta AOM , et OP :et sumatur RK aequalis MG unde et GK aequalis fiet MR.

Cum igitur duas portiones quaslibet quarum bases aequales, centra gravitatis suae ita di-vidunt, ut aequaliter distent a perpendiculari majori, sicut modo de portionibus ABCD;ONFE [Fig. 11] ostendimus, sequitur et de infinitis portionibus quales sunt hic ABCE,ONCE idem verum esse, cum ergo G ponatur centr. gr. spatij infin. ABCE, sitque MGaequalis RK erit K centr. gr. spatij infiniti ONCE. Si jam ergo fiat, sicut portio AONB addictum spatium infin. ONCE, hoc est, ut AP ad ON , hoc est ut PO sive BN ad NM , itaKGad GL, erit in L centr. gr. portionis AONB: eritque GL aequalis NM quum KG sit aequalisBN . Est autem BM major latere recto, (aequalis enim huic esset si AM tangeret curvam inA, cujus pars AO nunc arcum curvae subtendit, ideoque angulus PAO sit major quam si AOin A tangens esset). Sed GM una cum MR minor estr latere recto ex constructione. Ergoablatis utrimque aequalibus hinc MR, inde BN reliquetur NM major quam GM . Sed ipsiMN aequalis ostensa est GL. Ergo et GL major quam GM . Itaque L, centr. gr. portionisABNO cadit extra portionem ipsam, ita ut recta per illud duci possit cui tota portio jaceatad partem eandem, quod est absurdum. Itaque in spatio infinito ABCE centr. gr. nec magis,nec etiam minus distat ab AB quam longitudinem lateris recti, ergo hac ipsa longitudine abea remotum est. qu. erat dem.


L sul prolungamento di MK tale che OP : NM = KG : GL, L deve essere(proiezione del) centro di gravita di AONB sul prolungamento di MG. Daquesta proporzione, poiche OP = BN = KG segue anche GL = NM . D’altraparte BM > `, visto che AOM non e tangente alla curva logaritmica in A e,per costruzione, BM > GM +MR e dunque GL = NM > GM da cui segueche L deve essere esterno alla regione di cui e centro di gravita, il che e assurdoperche sarebbe possibile tracciare una retta passante per L che individuerebbeun semipiano contenente l’intera regione AONB.

Con questi risultati e grazie al teorema di Pappo-Guldino,Huygens esam-ina le proprieta del centro di massa dei solidi generati per rotazione della curvalogaritmica attorno al proprio asintoto o ad una retta ad esso ortogonale

A

B F

X

E

[Fig.13]

D

CO

S P

Z

Figura 5.28: Ultimi teoremi sui centri di gravita.

Qui potremo dire qualcosa circa il solido ottenuto per rotazione della regioneinfinita attorno alla perpendicolare. Infatti, se si considera un rettangolo comeOBCD [Fig. 13] con i lati sull’asintoto e la perpendicolare, avente altezza OBmeta di AB e base BD doppia dela latus rectum, e evidente che il suo centro digravita P coincide con quello della regione infinita ABEX, alla quale il rettangoloe equivalente. Quindi il cilindro generato dal rettangolo per rotazione attornoad OB e equivalente al solido infinito ottenuto per rotazione dell’intera regioneinfinita attorno allo stesso AB cosı come si era gia mostrato in precedenza che ilcilindro ottenuto facendo ruotare lo stesso rettangolo attorno a BD e equivalenteall’altro solido illimitato ottenuto per rotazione della regione ABEX attornoall’asintoto BE.


Dunque il solido generato dalla regione illimitata ABEX attorno all’asintotoBE sta al solido generato dalla stessa regione fatta ruotare attorno alla per-pendicolare AB come PF sta a PS, cioe come 1

4 della perpendicolare AB sta allatus rectum AX della curva. Questo solido sta anche al solido generato perrotazione attorno ad AZ come 1 sta a 3. Quest’ultimo solido riproduce un calicedi capacita infinita benche di peso esiguo, come succede anche per la Cissoide.

Il centro di gravita della porzione delimitata da due perpendicolari dista daquella maggiore la lunghezza del latus rectum diminuita di un segmento che staalla base della porzione come la perpendicolare minore sta alla differenza dilunghezza che la separa dalla perpendicolare maggiore. Se dunque fosse noto ilcentro di massa di una regione limitata qualsiasi, sarebbe possibile risalire allatus rectum.

La distanza dalla perpendicolare, ovvero dalla base del solido stesso, del cen-tro di gravita del solido illimitato [ottenuto ruotando] attorno all’asintoto e metadel latus rectum.

Quindi anche la distanza del centro di gravita della regione illimitata attornoalla perpendicolare e 1

8 della lunghezza della perpendicolare medesima che e l’assedel solido.48 (p.471 di [12])

Huygens considera (Fig. 5.28) il rettangolo OBDC che ha OB = AB/2e BD = 2`, dove ` e il latus rectum, ed e dunque equivalente alla regioneillimitata ABEX . Come gia dimostrato (Fig. 5.24), il centro di massa diABEX coincide con quello P del rettangolo OBDC, per il teorema di Pappo-Guldino. Inoltre, anche il volume del cilindro generato per rotazione di OBDCattorno ad AB coincide con il volume Vh(AB) del solido ottenuto ruotando lacurva logaritmica AX attorno ad AB. Ancora dal teorema di Pappo-Guldinosi conclude che Vh(BE) : Vh(AB) = PF : PS. Huygens fornisce la formulaper localizzare la distanza X del centro di gravita di una porzione finita comeABHL di Fig. 5.22 vedendola come differenza di regioni illimitate come ABD

48Hinc et de solido spatij infiniti ex conversione ejus circa perpendicularem pronuntiarepoterimus. Etenim si intra angulum perpendicularis cum asymptoto rectangulum applicetur,ut OBCD [Fig. 13], cujus altitudo OB dimidia sit AB, basis vero BD dupla lateris recti,manifestum est ejus rectanguli centr. gr. P incidere in centr. gr. spatij infiniti ABEX;cui spatio quoque dictum rectangulum aequale est. Unde constat conversione ejus circa OBcylindrum gigni aequale solido infinito ex conversione spatij infiniti circa eundem axem AB.Sicut de cylindro qui sit ejusdem rectanguli conversione circa BD, ostensum antea est esseeum aequalem solido alteri infinito ex circumvolutione spatij ABEX circa asymptoton BE.

Est ergo solidum ex spatio infinito ABEX circa asymptoton BE ad solidum infinitumex eodem spatio circa AB perpendicularem, sicut PF ad PS, hoc est 1

4perpend.isAB ad

latus rectum lineae AX. ad solidum vero circa rectam AZ asymptoto parallela ut 1 ad 3.Quod postremum solidum calicem refert infinitae capacitatis, licet exigui ponderis, quod et inCissoide contigit.

Portionis a binis perpendicularibus terminatae centrum gravitatis distat a perpendicularimajore longitudine lateris recti demta linea quae se habeat ad basin portionis sicut minorperpendicularis ad excessum quo ipsa a majori superatur. Si igitur detur portionis cujusvisterminatae centrum grav. inveniri poterit latus rectum.

Centrum gr. solidi infiniti circa asymptoton distat a perpendiculari sive a basi ipsius solidiper dimidium lateris recti.

Ergo et centr. gr. solidi infiniti circa perpendicularem distabit per 18ipsius perpendicularis,

quae est axis solidi.


ed HLD. Dette x1 = ` ed x2 = ` + BL le ascisse dei centri di massa di taliregioni illimitate, contate a partire da AB e ricordando che A(ABD) = AB× `e A(HLD) = LH × `, deve essere

x =x1 ·A(ABD) − x2 ·A(HLD)

A(ABD) −A(HLD)= `− CB

AB − CBBL .

Osserviamo poi la menzione del solido ottenuto per rotazione della curva loga-ritmica attorno alla curva AZ (Fig. 5.28) parallela all’asintoto. Dal teorema diPappo-Guldino tale solido ha volume VZ(ABEX) = 2πA(ABEX)34AB, doveabbiamo notato che la distanza del centro di massa P da AZ e (3/4)AB. D’al-tra parte il volume V (ABEX) del solido ottenuto per rotazione completa dellacurva logaritmica attorno al proprio asintoto e V (ABEX) = 2πA(ABEX)14ABda cui si ricava l’asserto di Huygens che V (ABEX)/VZ(ABEX) = 1

3 .L’ultimo risultato riguarda la distanza da AB del centro di gravita del solido

ottenuto per rotazione della curva attorno al proprio asintoto (Fig. 5.28) e nelpasso riportato sopra e solo enunciato: tale distanza e meta del latus rectum.La dimostrazione viene riportata da Huygens in appendice.

5.5 Testi Originali

Testo 5.3 [Torricelli, De Hemhyperbole logarithmica](pp. 87-88 di [10], pp.344-346 di [11]).

Esto hyperbola monoasymptota (Fig. 5.14), cuius asymptotos AB, maximavero applicata AC, tangens CD, et secetur recta AD bifariam in E, complea-turque rectangulum CAE. Dico solidum Hyperbolicum sine fine longum factumcirca axem AB aequale esse cylindro circa eundem axem facto ex revolutionerectanguli ACFE. Nam si ita non est, erit solidum hyperbolicum vel maius, velminus cylindro praedicto ab AF facto.

Sit primo solidum hyperbolicum maius cylindro ex AF facto, si possibileest. Ergo cylindrus ab AF factus minor erit quam dictum solidum: ponaturcylindribus ex EH minor defectu, eritque totus cylindrus ex AH adhuc minorsolido hyperbolico. Fiat circa diametrum AG parabola quae transeat per punc-tum C. Manifestum est parabolam hanc hyperbolamque se mutuo intersecarein aliquo puncto praeter ipsum C. Si enim sumamus quamcumque rectam GBminorem quam GA, et iungamus CB, cadet omnino aliqua pars parabolae extrarectam CB versus N, quia GB minor est quam GA, et ideo CB secans. Sedcum CD sit tangens hyperbolae, hoc est ultima inclinatorum, secabit omninorecta CB ipsam hyperbolam, atque aliquod ipsius segmentum cadet versus punc-tum A. Unde certum est parabolam atque hyperbolam non solum in puncto Cconvenire, sed in alio etiam puncto, quod sit I. Agatur ergo per I recta LIN ordi-natim applicata, et secans CIB atque IM parallela asymptoto AB. Concipiaturiam circa universam hyperbolam descriptam esse figuram ex parallelogrammisaeque altis costantem, quorum primum sit CALN; secundum vero aequale eritipsi MALI; tum intelligatur universa huiusmodi figura converti circa axem ABita ut ex rectangulis fiant totidem cylindri aequealti nostro hyperbolico solido


circumscripti, quorum primus erit factus ex CALN, secundus vero aequalis eritcylindro facto ex MALI. Eruntque omnes infiniti numero cylindri inter se in con-tinua proportione Geometrica; et erit prima differentia solidum armillare factumex revolutione rectanguli CMIN circa axem AB. Jam cylindrum ex CAGH adcylindrum ex NLGH in eadem basi est ut altitudo AG ad altitudinem GH49

sive ut quadratum CA ad quadratum IL ob parabolam nempe ut circulus exCA ad circulum ex IL, sive ut cylindrus ex CALN ad cylindrum ex MALI. Ergoper conversionem rationis cylindrus ex CAGH ad cylindrum ex CALN, qui estprimus terminus geometricae proportionis, ita cylindrus ex CALN primus termi-nus ad differentiam, quae est inter cylindros factos ex CALN, et ex MALI, quaequidem prima differentia progressionis est. Ergo cylindrus ex CAGH aequalisest aggregato omnium simul terminorum, nempe universae figurae ex cylindrisaequealtis compositae, et circa solidum descriptae. Sed idem cylindrus ex AHminor erat ipso solido hyperbolico, necesse ergo est ut solidum hyperbolicummaius sit quam figura ipsi circumscripta, hoc est pars maior suo toto. Quod estabsurdum.

Testo 5.4 [Huygens](pp. 468-469 di [12]). Sit ejusmodi spatium ABCD [Fig.11], dico ejus centr. gr. non alterius distare ab AB quam est longitudo laterisrecti. Si enim fieri potest sit ejus centr. gr. in G ita ut GM major fit latererecto. Possum ergo ab ea abscindere particulam ut MR ut residua RG adhucmajor sit latere recto. Ducatur NRO parall. BA, et per O ubi occurrit curvae,agatur AOM recta. Fietque necessario NM minor latere recto, quia OM nontangit sed secat curvam in O. Sit OP parall. BC et ipsi OP vel BN sumaturaequalis CF versus partem acutam spatij infiniti, et ducatur FE parall. BA.Quia igitur portionis OEFN basis FN aequalis est basi CB portionis ADCB, er-it quoque ON ad EF ut AB ad DC unde quum portio utraque constare concipipossit es innumeris rectang.is aequales bases habentibus atque eadem propor-tione decrescentibus, manifestum est (sed et accurate ostendi posset) utriusquecentra grav. similiter dividere distantiam utriusque extremarum perpendicular-ium; quae distantia cum sit utrobique aequalis, aequaliter ergo utriusque centragr. aberunt a perpendicularibus majoribus AB, ON. Ergo cum centr. gr. spatijADCB ponatur G, erit (sumpta RH=MG) punctum H centr. gr. spatij ONFEa quo si auferatur spatium DEFC, cujus intra seipsum est centr. gr.; apparetspatij reliqui ODCN centr. gr. inter H et G cadere, puta in K. Jam vero quiaspatium AONB est ad spatium ODCN ut AP ad OQ, ex praecedentibus, hocest ut OP ad XQ; si fiat ut OP ad XQ ita KG ad GL, erit L centr. gravitatisspatij AONB, quia nempe G ponitur centr. gr. spatij totius ABCD et K centr.gr. spatij ONCD. Erit autem GL minor quam XQ cum et KG sit minor quamOP; nam tota HG ipsi OP aequalis erat atqui XQ minor est quam MN, et haecminor latere recto, ut supra dictum fuit. Ergo GL omnino erit latere recto.Sed GR ipso major erat: Ergo GL minor quam GR. Itaque L centr. gr. spatijAONB caderet extra spatium ipsum, atque ita ut ducta per L linea recta totumcaderet ad partem unam quod esse non potest.

49Si legga GL.


Hinc itaque patet, ubicunque CD perpend.is statuatur, etsi in infinitum dis-tans ab AB, semper spatij ab utraque terminati centr. gr. non ulterius ab ABremotum fore, quam longitudine lateris recti atque adeo recte de spatio infini-to concluditur esse ei centr. aliquod gr., idque non alterius quam dictum estdistare ab AB.

Bibliografia

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[7] C. Huygens: Fundamentum regulae nostrae ad inveniendos logarithmos. InOuvres Completes de Christiaan Huygens vol XIV Calcul des Probabilites,travaux des mathematique pures: 1655-1666. Den Hague, Martinus Nijhoof(1920), pp. 451-457.

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[9] C. Huygens: Regula ad inveniendos logarithmos. In Ouvres Completesde Christiaan Huygens vol XIV Calcul des Probabilites, travaux desmathematique pures: 1655-1666. Den Hague, Martinus Nijhoof (1920), pp.458-459.

[10] G. Loria: Le ricerche inedite di Evangelista Torricelli sopra la curvalogaritmica. Bibl. Math. 1, (1900), 75–89.

205

206 BIBLIOGRAFIA

[11] E. Torricelli: De Hemihyperbola Logarithmica. In Opere di EvangelistaTorricelli vol. I: Geometria Parte II. Curatori: G. Loria e G. Vassura.Faenza, Montanari (1919), pp. 335-347.

[12] C. Huygens: In Ouvres Completes de Christiaan Huygens vol XIV Calculdes Probabilites, travaux des mathematique pures: 1655-1666. Den Hague,Martinus Nijhoof (1920), pp. 460-473.

Capitolo 6

Gli sviluppi in serie

6.1 I logaritmi visti da Pietro Mengoli

Pietro Mengoli (1625-1686) e una figura singolare nel panorama matematicodel Seicento. Allievo di Bonaventura Cavalieri a Bologna, professore di Mec-canica nel Collegio dei Nobili e priore della chiesa di S. Maria Maddalena, estato a lungo relegato nell’oblıo. Su di lui pesava l’accusa, non del tutto infon-data, di avere uno stile ostico al punto da rendere inintellegibile il contenutodelle sue scoperte. In una lettera a Collins, Isaac Barrow paragono lo stiledi Mengoli all’arabo per difficolta di comprensione. Lo storico della matem-atica Jean-Etienne Montucla (1725-1799) ebbe per lui un giudizio tagliente:Non ho che poche parole per Mengoli, professore di Matematiche a Bologna. Selo si giudica dai titoli delle sue diverse opere, egli cerco di servire la geometriain cio che di piu difficile e rilevante essa offre. E certo possibile che ci sianocose nuove nelle sue opere; ma sembra essersi voluto avvolgere in un linguaggiotutto suo. Il suo nome e destinato all’oblio e lo ha meritato.1 (Histoire desMathematiques, Tome II, p.92. In [1], p.50)

A partire dall’inizio del Novecento, il giudizio degli storici su Mengoli eprogressivamente cambiato ed un esame attento della sua opera ha portato al-la luce molti contributi originali, in particolare nella teoria dei limiti e nellaquadratura di curve da lui ottenuta con procedimenti generali, a differenza dimolti contemporanei per i quali il processo di quadratura veniva adattato voltaper volta alla curva da studiare. Per quanto riguarda la teoria dei logaritmi,occorre analizzare una delle sue opere principali, la Geometriae Speciosae El-ementa del 1659, che comprende una introduzione Lectori Elementario e seiElementa. Nel primo, De Potestatibus, a radice binomia, et residua egli presen-ta in forma letterale gli sviluppi del binomio (a±b)n per gli interi non superiori a

1Je n’ai que quelques mots a dire de Mengoli, professeur de Mathematiques a Bologne. Sil’on en juge par les titres de ses divers ouvrages, il tacha de servir la geometrie dans ce qu’ellea de plus difficile et releve. Il y a meme peut-etre dans ses ouvrages des choses neuves; maisil semble avoir voulu s’envelopper dans un langage particulier a lui. Son nom est reste dansl’oubli et il’a merite.

207

208 CAPITOLO 6. GLI SVILUPPI IN SERIE

10, affermando che e facile generalizzare a potenze superiori. Il secondo Elemen-tum, De innumerabilibus numerosis progressionibus contiene calcoli di sommedi potenze e prodotti di potenze. Nel De quasi proportionibus introduce i con-cetti di quasi-numero, quasi-zero, quasi-infinito che anticipano la definizione dilimite e costruisce una teoria delle quasi-proporzioni, prendendo a modello lateoria delle proporzioni del V libro degli Elementi di Euclide. I due successiviElementa, De rationibus logarithmicis e De propriis rationum logarithmis sonoquelli piu interessanti per noi in quanto Mengoli costruisce una teoria delleproporzioni logaritmiche e sviluppa un metodo per il calcolo del logaritmo diun rapporto. Nel sesto ed ultimo Elementum, De innumerabilibus quadraturisottiene la quadratura di una famiglia di curve [2].

Come accennato sopra, Mengoli propone un approccio puramente aritmeti-co ai logaritmi fornendo una teoria rigorosa che non ricorre alle progressionigeometriche od all’iperbole [1, 3, 5]. Presi due numeri interi a ed n, Mengolidefinisce l’iperlogaritmo Hyl n(a) e l’ipologaritmo hyl n(a) come

Hyl n(a) :=1

n+

1

n+ 1+

1

n+ 2+ ....+

1

na− 1(6.1)

e

hyl n(a) :=1

n+ 1+

1

n+ 2+ ....+

1

na− 1+

1

na. (6.2)

Al crescere di n vengono definite due successioni di iper- ed ipologaritmi ed efacile verificare che

Hyl n(a)−Hyl n+1(a) =1

n−(

1

na+

1

na+ 1+ ....+

1

(n+ 1)a− 1

)

>1

n−a 1

na= 0

mentre hyl n(a) < hyl n+1(a), per cui la successione degli iperlogaritmi di a edecrescente, mentre quella degli ipologaritmi e crescente. Inoltre, per tutti gli n

Hyl n(a)− hyl n(a) =1

n

(

1− 1

a

)

e dunque la differenza tra Hyl n(a) hyl n(a) quando n tende all’infinito tende azero ovvero, per usare la terminologia di Mengoli, e quasi zero. Il limite Acomune alle due successioni e definito come logaritmo di a: A = log a.

Inoltre, il logaritmo e quella quantita a cui tendono sia gli iperlogaritmi, de-crescendo via via, sia gli ipologaritmi, crescendo via via; (il logaritmo) e minoredi ogni iperlogaritmo, maggiore di ogni ipologaritmo2 (Mengoli, GeometriaeSpeciosae Elementa. In [1], p.47)

Questa definizione da sola non basta per convincere che il logaritmo definitoda Mengoli sia in effetti la stessa cosa dei logaritmi studiati e tabulati prima

2Porro, logarithmus illa est quantitas, ad quae tendunt hyperlogarithmi, cum semper dein-ceps minuuntur et ad quam tendunt hypologarithmi, cum semper deinceps augientur; omniminor hyperlogarithmo, omni major hypologarithmo

6.1. I LOGARITMI VISTI DA PIETRO MENGOLI 209

di lui se prima non se ne determinano le proprieta algebriche. Presi allora trenumeri interi n, a e b < a, si definiscono

Hyl na

b:= Hyl n(a)−Hyl n(b) =

1

nb+

1

nb+ 1...+

1

na− 1

e

hyl na

b:= hyl n(a)− hyl n(b) =

1

nb+ 1+

1

nb+ 2+ ...+

1

na:

entrambe le successioni convergono ad uno stesso valore quando n → ∞ cheviene definito come log a

b . D’altra parte, poiche Hyl n(a) ed hyl n(a) convergonoa log a e Hyl n(b) ed hyl n(b) convergono a log b abbiamo

log(a)− log(b) = loga

b.

Un procedimento simile puo essere seguito per i logaritmi del prodotto di dueinteri a e b, con a > b. Per ogni intero n deve essere [3]

Hyl n(a) =1

n+ ....+

1

na− 1> log a >

1

n+ 1+ ...+

1

na= hyl n(a)

e

Hyl na(b) =1

na+ ....+

1

nab− 1> log b >

1

na+ 1+ ...+

1

nab= hyl na(b)

per cui sommando

Hyl n(ab) =1

n+ ....+

1

nab− 1> log a+ log b >

1

n+ 1+ ...+

1

nab= hyl n(ab)

ma siccome anche Hyl n(ab) > log(ab) > hyl n(ab) segue log(ab) = log a+ log b.Il risultato piu importante di Mengoli e lo sviluppo in serie convergente del

logaritmo di a/b, con a > b entrambi interi. Egli ottiene il risultato introducendoin successione i prologaritmi di ordine n per un intero a come

plog 1(a) := 1 +1

2+

1

3+ ....+

1

a

plog 2(a) :=1

a+ 1+

1

a+ 2+ ....+

1

2a

...........................

plog n(a) :=1

(n− 1)a+ 1+

1

(n− 1)a+ 2+ ....+

1

na.

Una verifica diretta mostra che

plog n(a) = hyl n(a)− hyl n−1(a) +1

n


e

plog n(b) = hyl n(b)− hyl n−1(b) +1

n

per cui, ricordando la definizione di ipologaritmo di un numero razionale, si haanche

plog n(a)− plog n(b) = hyl na

b− hyl n−1

a

b

e, definito hyl 0ab := 0,

∞∑

n=1

[plog n(a)− plog n(b)] = limn→∞

hyl na

b= log

a

b.

Se si prende a = 2 e b = 1 si ottiene

log 2 =

(

1 +1

2− 1

)

+

(

1

3+

1

4− 1

2

)

+

(

1

5+

1

6− 1

3

)

+... = 1−1

2+1

3−1

4+1

5−1

6+...

La serie cosı ottenuta verra ricavata per altra via da Nicolaus Mercator, comevedremo nella prossima sezione.

6.2 La Logarithmotechnia di Nicolaus Mercator

Oltre che matematico, Nicolaus Mercator (1620-1687) fu astronomo e fisico.Ha lasciato la monografia Hypothesis Astronomica Nova, ejusque cum Observa-tionibus consensus (1664) che contiene una esauriente presentazione dei sistemigeo- ed eliocentrici che sara ripresa ed ampliata nelle Institutiones Astronomi-cae del 1676. Curo una edizione degli Elementi di Euclide—Euclidis Elemen-ta Geometrica, novo ordine ac methodo fere demonstrata—(1666) che esercitouna certa influenza sulle edizioni successive [6]. Nel 1666 pubblico sulle Philo-sophical Transactions della Royal Society di cui era socio un lavoro Problemataquaedam, ad promotionem scientiae navigationis facientia in cui annunciava tral’altro di potere dimostrare l’affermazione di Henry Bond secondo cui la mappameridiana della proiezione di Mercator—Gerhard, attivo un secolo prima—e determinabile a partire dalla tangente logaritmica del meridiano terrestre. Ladimostrazione fu in realta esposta da JamesGregory nelle Exercitationes Geo-metricae del 1668, di cui ci occuperemo piu avanti. Infine, Mercator scrisse laLogarithmotechnia che consta di tre parti, due delle quali rese note nel 1667, laterza aggiunta in appendice all’edizione del 1668. Le prime due parti sono ded-icate al calcolo dei logaritmi briggsiani, come spiegato nel sottotitolo all’opera:Logarithmotechnia: sive Methodus construendi Logarithmos. Nova, accurata, &facilis. La parte piu originale collega la quadratura dell’iperbole con il calcolodei logaritmi: Vera Quadratura Hyperbolae & Inventio Summae Logarithmorum.

Le prime due parti risentono dell’impianto un po’ rigido della teoria euclideadei rapporti, ma sono aperte all’assimilazione dei metodi di calcolo proposti daBriggs, in particolare per quanto riguarda l’uso delle differenze finite. Il calcolodei logaritmi briggsiani viene illustrato con il calcolo di log(100.5) e log(99.5).

6.2. LA LOGARITHMOTECHNIA DI NICOLAUS MERCATOR 211

Egli suddivide l’intervallo [1, 10] in 10 milioni di parti attraverso l’inserzione dimedi proporzionali: il logaritmo di un numero n nell’intervallo [1, 10] e il numerodi medi proporzionali, detti ratiunculae, compresi tra 1 ed n.

Logaritmo e vocabolo composto da rapporto e numero, quasi a dire numero dirapporti; cio che ben esprime la realta delle cose. Infatti il logaritmo non e altroche il numero di raziuncole contenuto nel rapporto tra un numero qualsiasi el’unita.3 (p. 1 di [7])

Il metodo di Mercator, applicato al calcolo di log(100.5) si riassume neipassi seguenti. Attraverso divisioni per multipli di 10 egli riporta il numero datonella forma 100g con g = 1.005, come nel metodo radicale di Briggs. A questopunto egli calcola le potenze g2, g4, g8,...g256 < 10 e g512 > 10. In seguito,sfruttando le potenze trovate di g egli ottiene le limitazioni g461 < 10 < g462

e, grazie alla regola aurea e in grado di determinare che g461.6868 ' 10 da cuisegue che il corrispondente numero di ratiunculae e 107/461.6868 = 21659, 7 epertanto il logaritmo decimale log(100.5) = 2.00216597, con un errore di unaunita sulla sesta cifra decimale.

Testo 6.1 (Mercator, Logarithmotechnia) (pp. 4-6 di [7]). Originale 6.8

Vorrei conoscere il numero di raziuncole contenute nel rapporto tra 100[5ed 1 sapendo che il rapporto decuplo ne contiene 1,0000000. Suddivido allorail rapporto tra 100[5 ed 1 nelle sue parti, cioe 100[5 a 100, 100 a 10, e 10 ad1, gli ultimi due sono decupli (da cui segue che la caratteristica sara 2); restaallora da studiare quale sia la quota parte del rapporto decuplo che compete alrapporto restante tra 100[5 e 100. Se dunque si moltiplicano per se stessi itermini del rapporto 100[5 e 100, i prodotti forniranno il rapporto doppio delrapporto tra 100[5 e 100, e moltiplicando i termini (si intende del rapportoduplicato) per se stessi, si otterra il rapporto doppio del rapporto doppio, cioeil rapporto quadruplo del rapporto tra 100[5 e 100: e si prosegue cosı nellamoltiplicazione continua dei termini finche il rapporto generato dalla continuamoltiplicazione del termine 100[5 per se stesso superi il decuplo del rapportoottenuto per moltiplicazione successiva di 100 per se stesso; il denominatoredell’ultima potenza ottenuta mostrera il numero intero di volte in cui il rapportotra 100[5 e 100 e contenuto nel rapporto decuplo. E poiche il secondo dei terminie 100, le cui potenze constano tutte dell’unita e di un certo numero di zeri, tuttala fatica restante sara rivolta ad elevare l’altro termine 100[5 a quella potenzache supera di dieci volte la stessa potenza del termine precedente (cioe di 100); unesempio meglio si presta delle parole per comprendere lo schema dell’operazione.

Pertanto, la potenza 462a del termine 100[5 supera l’ugual potenza di 100piu di dieci volte; ma la 461a dello stesso termine 100[5 supera l’ugual potenzadi 100 meno di dieci volte: affermo allora che il rapporto tra 100[5 e 100 econtenuto nel decuplo piu di 461 volte ma meno di 462 volte.

3Logarithmus composito vocabulo dicitur a ratione & numero, quasi rationum numerus; idquod plane cum re consentit. Est enim logarithmus nihil aliud, quam numerus ratiuncularum,contentarum in ratione, quam absolutus quisque ad unitatem obtinet.


100[5000 (1) 1893406 (128) ma per quella precedente5001 (1) 6043981 (128) in questo modo:

1005000 3584985 (256) 9340130 (448)5025 5894853 (256) 8603801 (16)

1010025(2) 12852116 (512) 10115994 (464)10100 (2) questa potenza supera Dove di nuovo il risultato

20 piu di dieci volte e eccessivo; pertanto non moltiplico5 l’uguale potenza ancora la 448a

—— del 100; riprendo dunque per la 16a, come prima, ma per1020150 (4) la potenza 256a e non la moltiplico per se stessa0510201 (4) ma per quella che la precede immediatamente la 8a, cosı

1020150 cioe per, do:20403 la 128a, in questo 9340130 (448)

102 modo 6070401 (8)

51 3584985 (256) 9720329 (456)

1040706 (8) 6043981 (128) 0510201 (2)

6070401 (8) 6787831 (384) 10015603 (462)——-

1083068 (16) 1106731 (64) Questa potenza ancora

8603801 (16) 9340130 (448) supera il limnite per cui——– moltiplico la 460a

1173035 (32) 5303711 (32) non per la 2a ma per

5303711 (32) 10956299 (480) la 1a, cosı1376011 (64) Questa potenza supera di nuovo 9916193 (460)1106731 (64) piu di dieci volte 5001 (1)

——– quella uguale di 100 9965774 (461)1893406 (128) dunque non moltiplico la 448a

per la 32a, come sopra,

Del resto

Poiche la potenza

460461462

e

991619399657741001560

e le differenze4958149829

sono circa uguali;

Allora e possibile trovare facilmente e con sicurezza la parte proporzionale dellaquale la potenza esatta, cioe 10000000 supera quella che meglio la approssimaper difetto 9965774 assumendo cioe

potenza corretta 10000000ed approssimazione per difetto 9965774

differenza 34226

e dicendo che la differenza tra l’approssimazione per difetto e per eccesso (cioe49829) sta alla differenza tra l’approssimazione per difetto e la potenza corretta(cioe 34226) come 10000 sta a 6868; che sono parti dell’unita, cosicche il rap-porto tra 100[5 e 100 e contenuto nel rapporto decuplo 461b6868 volte. Inoltre,se il rapporto decuplo (ovvero 461b6868 volte il rapporto tra 100b5 e 100) con-tiene 1,0000000 raziuncole; quante raziuncole saranno contenute nel rapportotra 100b5 e 100? Ve ne sono 21659b7 che costituiscono la misura esatta delrapporto tra 100b5 e 100, aggiungendo al quale i rapporti tra 100 e 10 e tra 10ed 1, cioe due volte il rapporto decuplo, che contiene 2,0000000 raziuncole; siha che la misura complessiva del rapporto tra 100b5 ed 1 (ovvero il logaritmodel numero assoluto 100b5) e evidentemente 2, 0021659b7.

In formule, Mercator trova che g461.6868 ' 10 e da questo ricava log g '1/461.6868 = 0.00216597 da cui il logaritmo di 100.5 = 102g = 2.00216597segue facilmente.

Illustrato il procedimento per dei casi espliciti Mercator ottiene, nellospirito diNepero, stime numeriche sui logaritmi grazie al calcolo delle differenze


finite per frazioni del tipo aa+b ,

a+ba+2b ,

a+2ba+3b in cui cioe il numeratore di una

frazione della famiglia coincide con il denominatore della precedente ed ognifrazione ha una differenza costante tra denominatore e numeratore: rationescontinuae et terminorum aequidifferentium. Lo schema alle differenze e espostonella tabella che segue (p. 11 di [7])

Rationes Diff: primae. Differentiae secundaea

a+ baa+ 2ab+ bbaa+ 2ab

a+ b a4 + 6a3b + 12aabb+ 8ab3

a+ 2b a4 + 6a3b + 12aabb+ 10ab3 + 3b4

aa+ 4ab+ 4bbaa+ 4ab+ 3bb

a+ 2b a4 + 10a3b+ 36aabb+ 54ab3 + 27b4

a+ 3b a4 + 10a3b+ 36aabb+ 56ab3 + 32b4


a+ 3b a4 + 14a3b+ 72aabb+ 160ab3 + 128b4

a+ 4b a4 + 14a3b+ 72aabb+ 162ab3 + 135b4


a+ 4ba+ 5b

Un esame della tabella mostra che essa non corrisponde allo schema alledifferenze per la funzione x

b+x , ma che il solo modo di interpretarla come schemaalle differenze e quello di riferirla alla funzione logaritmo. In effetti,

loga+ b

a+ 2b− log

a

a+ b= log

(a+ b)2

a(a+ 2b)

che e proprio la prima delle differenze prime riportate. Con questa precisazionesi capisce la Proposizione III che insegna ad ottenere tutte le frazioni del tipoA/(A + B) in termini della piu piccola, a, della differenza prima b tra a e lafrazione successiva, della prima differenza seconda c incontrata, della primadifferenza terza d, e cosı via:

Rationes diff: primae Secundae Tertiae 4a

ba+b c

b+c da+2b+c c+d e

b+2c+d d+ea+3b+3c+d c+2d+e

b+3c+3d+ea+4b+6c+4d+e


La dimostrazione di Mercator, come anche le altre presentate, e in realtal’illustrazione attraverso un esempio del fatto che il risultato enunciato e corret-to, non un’autentica deduzione formale. Ad esempio, l’affermazione che i coef-ficienti di a, b, c, ecc. nell’espressione delle frazioni successive sono coefficientibinomiali non e dimostrata.

Nelle Proposizioni V e VI Mercator espone due regole che consentono didare limiti superiori od inferiori a logaritmi di frazioni del tipo a/(a + b). LaProposizione V e posta in questi termini

Trovare un valore vicino a quello vero per il multiplo di un dato rapporto.

Costruzione. Moltiplica la differenza dei termini del rapporto assegnato per ildenominatore del multiplo assegnato e sottrai dal prodotto la stessa differenza,aggiungi meta del risultato al termine maggiore e toglilo dal termine minore;otterrai cosı due termini che esprimono un rapporto di poco inferiore a quel-lo cercato. Se allora i termini del rapporto si presentano come numeri misti,composti da parte intera e frazionaria, li si riduca a sole frazioni, eliminati idenominatori delle quali, il rapporto richiesto si presentera con numeratori in-teri e liberi da frazioni. Ad esempio, si cerchi il quadruplo del rapporto 25

28 .Moltiplicato 3, differenza dei termini, con 4 si ottiene 12 da cui, sottraendo 3si ricava 9, la cui meta 4 1

2 , aggiunta al termine maggiore 28 da 3212 , mentre

sottratta al termine minore 25 da 2012 . Il rapporto tra 201

2 e 3212 sara di poco

superiore al quadruplo del rapporto 2528 . Ridotti i termini 20 1

2 e 32 12 a frazioni

pure si ottengono 412 e 65

2 e, omettendo i denominatori, il rapporto 4165 sara di

poco superiore a quello cercato.4 (pp. 14-15 di [7])

Ricordiamo che un rapporto viene diviso in n parti uguali tramite l’inserzionedi n−1 medi proporzionali per cui, dicendo che a/b emultiplo (multiplicem) di unaltro rapporto c/d significa che (a/b) = (c/d)n. Mercator cerca di ottenereun’espressione semplice per [(a/a+ b)]p ed enuncia una stima dall’alto. Perpoter trasferire senza valori assoluti la disuguaglianza ai logaritmi, ricaviamola formula proposta da Mercator per frazioni del tipo (u+ v)/u, seguendo laricostruzione di Hofmann [8]. Lo schema si traduce in questi passaggi. Si prendala differenza v tra i termini della frazione e la si moltiplichi per l’esponente interop. Dal prodotto pv ottenuto si sottragga v e si divida il risultato per 2, ottenendov(p − 1)/2 che viene aggiunto al termine maggiore della frazione di partenza e

4Datae rationis multiplicem invenire prope verum.Constructio. Differentiam terminorum datae rationis duc in denominatorem multiplicis

dati, & a facto aufer ipsam differentiam, reliqui semissem adde termino majori, & detraheminori; ita prodibunt duo termini exprimentes rationem paulo minorem quaesita. Tum sitermini prodeuntes sint forte numeri mixti ex integris et fractis; reducantur ad pure fractos,quorum denominatoribus omissis, ratio quaesita censebitur in numeratoribus integris & afractione liberis. V. gr. Quaeratur rationis 25

28quadruplum. Differentia terminorum 3 ducta

in 4 exhibet 12, unde ablatis tribus restant 9, cujus semis 4 12

additus termino majori 28

facit 32 12, detractus termino minori 25, relinquit 20 1

2; erit igitur ratio 20 1

2ad 32 1

2paulo

major quadruplo rationis 2528

. Reductis terminis 20 12& 32 1

2ad pure fractos, fiunt 41

2et 65

2,

omissisque denominatoribus, erit ratio 4165

paulo major quaesita.


sottratto al minore, ottenendo la frazione

u+ v + v p−12

u− v p−12

:

Mercator afferma che questa frazione e di poco maggiore del multiplo cercato,vale a dire che

(

u+ v

v

)p

<u+ v + v p−1

2

u− v p−12

o, passando ai logaritmi,

log

(

u+ v

u

)p

< logu+ v + v p−1

2

u− v p−12

. (6.3)

Nell’esempio proposto si chiede di trovare il “quadruplo” di 25/28 e, appli-cando la regola esposta si ottiene la frazione 41/65 = 0.630769 < 0.635518 =(25/28)4.

La Proposizione VI considera il problema complementare di stimare ([u +v)/u]1/q e la regola da applicare e espressa in questi termini

Trovare il valore approssimato di una parte richiesta di un rapporto assegnato.Costruzione. Dividi la differenza dei termini del rapporto assegnato in tante

parti quante sono le unita di cui consta il denominatore della parte richiestae, tolta una delle parti, si aggiunga al termine minore e si sottragga da quellomaggiore la meta delle parti restanti; si otterranno cosı due termini che espri-mono un rapporto di poco inferiore a quello cercato. Se i termini si presentanopoi come numeri misti con parte intera e frazionaria, li si riduca a frazioni pureda cui, una volta eliminati i denominatori, il rapporto cercato si presentera connumeratori interi, privi di parte frazionaria. Ad esempio, si debba trovare laquinta parte della frazione 3

5 . La differenza 2 tra i termini, divisa cinque volteda 2

5 che e una parte quinta che, sottratta dall’intero pari a 2 diventa 85 , la cui

meta, aggiunta al termine minore da 3 45 mentre, sottratta dal termine maggiore

5 da 4 15 ; dunque, il rapporto tra 3 4

5 e 4 15 e di poco minore della quinta parte del

rapporto 35 . Ridotti i termini 3 4

5 e 4 15 a frazioni pure si ottengono 19

5 e 215 da

cui, omessi i denominatori, si ottiene che il rapporto 1921 e di poco inferiore a

quello cercato.5 (p.15 di [7])

5Datae rationis partem imperatam invenire prope verum.Constructio. Differentiam terminorum datae rationis divide in partes totidem, quot de-

nominator partis quaesitae constat unitatibus, atque ex iis partibus exemta una, reliquarumsemissem adde termino minori, & detrahe quoque majori; ita probibunt duo termini expri-mentes rationem paulo minorem quaesita: Tum si termini prodeuntes sint forte numeri mixtiex integris & fractis; reducantur ad pure fractos, quorum denominatoribus omissis, ratio quae-sita censebitur in numeratoribus integris, & a fractione liberis. V. gr. Oporteat rationis 3

5

invenire partem quintam. Differentia terminorum 2 divisa quinquefariam exhibet 25, quae est

una pars quinta, eximenda ex integra summa quinque partium, quae erat 2, & restant 85,

quarum semis 45additus termino minori, facit 3 4

5; detractus vero ex majori 5, reliquum facit

4 15; erit igitur ratio 3 4

5ad 4 1

5paulo minor, quam pars quinta rationis 3

5. Reductis terminis 3 4

5

& 4 15ad pure fractos, fiunt 19

5& 21

5, omissisque denominatoribus, erit ratio 19

21paulo minor

quaesita.


Tradotta in simboli, la prescrizione di Mercator e la seguente: si divideper q la differenza v tra i termini della frazione, ottenendo v/q che, sottratta av da v q−1

q che viene a sua volta divisa per due, sottratta ad u+ v ed aggiuntaad u per dar luogo alla frazione

u+ v − v q−12q

u+ v q−12q

< q

√

u+ v

u

o, passando ai logaritmi,

log q

√

u+ v

u> log

u+ v − v q−12q

u+ v q−12q

. (6.4)

Nell’esempio numerico 19/21 = 0.904762 > 0.90288 = 5

√

35 .

Come riconosciuto da Hofmann, la Prop. V e un caso particolare delladisuguaglianza

(

a+ x

a− x

)p

<a+ px

a− px(6.5)

valida per numeri reali x ∈ (0, a) e p ∈ (1, ax ). Questa disuguaglianza si puodimostrare passando ai logaritmi naturali di ambo i membri

ln

(

a+ x

a− x

)p

= 2p

(

x

a+

x3

3a3+

x5

5a5+ ....

)

e

lna+ px

a− px= 2

(

px

a+p3x3

3a3+p5x5

5a5+ ....

)

da cui l’asserto segue osservando che si e scelto p > 1. Estraendo la radicep-esima di (6.5) si ottiene la disuguaglianza

a+ x

a− x< p

√

a+ px

a− px

da cui, posto x 7→ x/p, segue

ap+ x

ap− x< p

√

a+ x

a− x

che equivale alla (6.4). Lo schema alle differenze introdotto da Mercator nelleproposizioni III-IV viene ora adoperato per dare una stima di quanto le frazioniottenute con le regole illustrate nelle Propp. V e VI si allontanino dal valore di[(u + v)/v]p o [(u+ v)/v]1/q. Concentriamoci sul secondo caso che Mercatoraffronta nella Prop. VII distinguendo il caso q dispari da quello q pari. Iniziamoad esporre il testo relativo al caso di q dispari.

Trovare di quanto la parte richiesta di un rapporto, trovata con il metodo prece-dente, differisca dal valore esatto.


Costruzione. Supposto dapprima che il denominatore della parte richiestasia un numero dispari, considera i rapporti equidifferenti che sono vicini a quellotrovato in precedenza, da una parte e dall’altra, in modo da ottenere tre rap-porti; sottrai il piu piccolo da quello di mezzo e quest’ultimo dal maggiore perottenere due differenze la cui differenza, che per ora conserva da parte, a suavolta studierai. Quindi diminuisci di uno il denominatore della parte richies-ta e cerca la meta di quanto resta tra le radici nella tavola dei numeri figuraticollocata nella prop. III e, diviso per tre il corrispondente numero triangolare,troverai il multiplo che occorre prendere della differenza di differenze conserva-ta in precedenza per trovare la particola di cui la parte cercata, determinata inprecedenza, differisce da quella corretta. Ad esempio, voglio sapere di quanto ilrapporto 19

21 trovato in precedenza differisce dal valore esatto della quinta partedi 3

5 . I rapporti equidifferenti piu vicini a 1921 sono 17

19 e 2123 . La differenza tra

il rapporto medio ed il minore e 437441 e tra il maggiore ed il medio e 357

361 e ladifferenza da conservare di queste differenze e 157437

157757 . Sottraggo allora 1 daldenominatore 5 della parte richiesta ed ottengo 4 la cui meta 2, trovata tra leradici, ha 3 come numero triangolare corrispondente la cui terza parte e 1 cheindica come la differenza di differenze 157437

157757 sopra conservata indichi la parti-cola di cui il rapporto 19

21 differisce dalla quinta parte esatta di 35 , cosicche una

parte quinta piu corretta e 1921+ il rapporto 157437

157757 .6 (pp. 15-16 di [7])

Cerchiamo ora di formalizzare la regola di Mercator. Data una frazionedella forma t+s

s che rappresenta l’approssimante di [(u+v)/v]1/q trovata prima,egli chiede di costruire due altre frazioni equidifferenti che la comprendano, s

s−t

ed s+2ts+t , e di formare le differenze prime7 tra la frazione piu piccola e la centrale e

tra la piu grande e la centrale: s(s+2t)(s+t)2 ed s2

s2−t2 . Infine si formi la corrispondente

differenza seconda ∆ := s(s+2t)(s2−t2)s2(s+t)2 . A questo punto, si consideri il numero

dispari q = 2k + 1 e si cerchi k nella colonna radices della Tabella seguente,adattata da quella presente nella Prop. III.

6Invenire, quantum pars rationis imperata, quae per praecedentem invenitur, deficiat abexactiori.

Constructio. Primo, si partis imperatae denominator sit numerus impar, sume rationes,quae sunt rationi per praecedentem inventae utrinque vicinae & aequidifferentes, ita habebistres rationes, quarum minimam aufer a media, & mediam a maxima, prodibunt duae differenti-ae, quarum differentiam denuo investigabis, tantisper asservandam. Deinde partis imperataedenominatori unitatem detrahe, reliqui semissem in tabula Figuratorum inserta prop. III,quaere inter radices, & invento congruentem numerum trigonalem excerptum tripartire, sicinvenies, quoties sumenda sit differentiarum differentia supra asservata, ut acquiras particu-lam, qua pars imperata, quae per praecedentem inveniebatur, deficit ab exactiori. V. gr. Scirevelim, ratio 19

21per praecedentem inventa quantum deficiat exactiori quinta parte rationis 3

5.

Rationi 1921

utrinque vicinae & aequidifferentes sunt 1719

et 2123

. Differentia minimae a media437441

& mediae a maxima 357361

, et harum differentiarum differentia 157437157757

asservanda. Tumpartis imperatae denominatori 5 detraho 1, restant 4, cujus semissi 2 inter radices inventocongruit trigonalis numerus 3, cujus triens est 1, indicans differentiarum differentiam supraasservatam 157437

157757semel sumtam exhibere particulam, qua ratio 19

21deficit ab exactiori quinta

parte rationis 35, adeo ut hujus exactior pars quinta sit ratio 19

21+ ratione 157437

157757.

7Si ricordi che le differenze sono riferite ai logaritmi delle frazioni equidifferenti. Ad esempio

log ss−t

− log s+ts

= log s2

s2−t2.


Unita- radi- trigo- pyrami- trigono- trigono- pyrami- trigono- trigono- pyrami-tes ces nales dales trigona- pyrami- di-pyra- trigono- pyrami- di-pyra-

les dales midales pyramid. di-pyra- midi-py-mid. ramida

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 6 10 15 21 28 36 451 4 10 20 35 56 84 1201 5 15 35 70 126 2101 6 21 56 126 2521 7 28 84 2101 8 36 1201 9 451 10

Si cerchi il numero nella colonna trigonales corrispondente che coincide con la

somma di tutti gli interi fino a k, cioe k(k+1)2 = q2−1

8 e si divida per 3 il numero

cosı ottenuto. Allora la differenza tra i logaritmi di (s + t)/s e di log q

√

u+vu e

∆ q2−124 . Nell’esempio proposto q = 5 per cui

∣

∣

∣

∣

∣

log5

√

3

5

∣

∣

∣

∣

∣

>

∣

∣

∣

∣

log19

21

∣

∣

∣

∣

+ 1 ·∣

∣

∣

∣

17 · 21323 · 193

∣

∣

∣

∣

,

dove l’introduzione dei moduli e dovuta al fatto che le frazioni sono proprie. Percomprendere la stima dell’errore commesso consideriamo l’esempio numerico

che coinvolge l’approssimazione di 5

√

53 con 21

19 [8]. Osserviamo anzitutto che la

frazione approssimante nell’equazione (6.4) si puo riscrivere nella forma

qu+ v q+12

qu+ v q−12

: (6.6)

pertanto, se si creano frazioni equidifferenti aggiungendo ad ogni passaggio v anumeratore e a denominatore, dopo (q − 1)/2 passaggi si ha una frazione connumeratore q(u+v). Al contrario, se si procede formando frazioni equidifferentiottenute togliendo ad ogni passaggio v a numeratore e a denominatore, dopo(q − 1)/2 passaggi si ottiene una frazione che ha a denominatore qu e si ha lasequenza

qu+ v

qu>qu+ 2v

qu+ v> .... >

q(u + v)

qu+ v(q − 1). (6.7)

Si chiami a il logaritmo della frazione piu piccola, a+ b quello della frazione im-mediatamente successiva, e cosı via seguendo lo schema alle differenze ottenutonelle proposizioni III e IV. Se i logaritmi di tutte le frazioni ottenute in (6.7)vengono sommati, per costruzione si ottiene log u+v

u e dividendo il risultato per

q si giunge al numero da approssimare log q

√

u+vu e dalla posizione della frazione

approssimante (6.6) nella sequenza (6.7) si puo stimare l’errore commesso conla sostituzione ed ottenere una stima piu accurata. Tornando all’esempio diHofmann, formiamo la catena di q = 5 frazioni

25

23<

23

21<

21

19<

19

17<

17

15


e poniamo log 2523 = a, log 23

21 = a+b, log 2119 = a+2b+c, log 19

17 = a+3b+3c+d,log 17

15 = a+ 4b+ 6c+ 4d+ e. Pertanto

log5

3= log

25

15= log

25

23· 2321

· 2119

· 1917

· 1715

= 5a+ 10b+ 10c+ 5d+ e

e, dividendo per 5

log5

√

5

3= a+ 2b+ 2c+ d+

e

5.

D’altra parte e 2119 = a+ 2b+ c, per cui

log5

√

5

3−log

21

19= c+d+

e

5= (a+b)+(a+3b+3c+d)−2(a+2b+c)+

e

5= log

23 · 19317 · 213+

e

5.

Nel caso generale, posto q = 2k + 1, i logaritmi delle q frazioni equidifferenti,disposte in ordine crescente, sono a, a+ b, a+ 2b+ c,...

a+ 2kb+

(

2k2

)

c+

(

2k3

)

d+

(

2k4

)

e+ ... ,

limitando l’attenzione alle differenze quarte. La somma di questi logaritmidiventa

qa+

(

q2

)

b +

(

q3

)

c+

(

q4

)

d+

(

q5

)

e .

Per quanto mostrato sopra, se si divide questo valore per q si ottiene

log q

√

u+ v

u= a+kb+

k(2k − 1)

3c+

k(2k − 1)(k − 1)

6d+

k(2k − 1)(k − 1)(2k − 3)

30e .

La frazione approssimante a destra di (6.4) si trova nella posizione k + 1 dellasuccessione e pertanto ha come logaritmo

a+ kb+k(k − 1)

3c+

k(k − 1)(k − 2)

6d+

k(k − 1)(k − 2)(k − 3)

24e

cosicche si puo scrivere

log q

√

u+ v

u− log

u+ v − v q−12q

u+ v q−12q

=q2 − 1

24

c+ (k − 1)d+(k − 1)(11k − 18)

20e

dove si e ripristinato q al posto di k. Si vede dunque che all’ordine dominante

la differenza tra log q

√

u+vu ed il suo approssimante e pari al prodotto tra q2−1

24

e la differenza seconda c che coinvolge il termine centrale della successione difrazioni adoperate.

Il caso in cui q e pari viene trattato in modo simile. Presa s+ts come frazione

approssimante si costruisce una successione di frazioni equidifferenti. Nel caso


illustrato da Mercator dove q = 8 la successione e formata da 16 termi-ni. Occorre osservare che nessuno dei termini coincide con s+t

s ; in effetti egliconsidera

s+ 92 t

s+ 4t<s+ 4t

s+ 72 t< ... <

s+ 32 t

s+ t<

s+ t

s+ 12 t<s+ 1

2 t

s<

s

s− 12 t< ... <

s− 52 t

s− 3t<s− 3t

s− 72 t

composta da 16 termini. Questo artificio di calcolo consente ancora una voltadi ottenere una frazione

s+ 92 t

s− 72 t

=s+ 9

2 t

s+ 4t· s+ 4t

s+ 72 t

· · · s+32 t

s+ t· s+ t

s+ 12 t

· s+12 t

s· s

s− 12 t

· · · s−52 t

s− 3t· s− 3t

s− 72 t

equivalente a quella da approssimare. Come prima, detto a il logaritmo deltermine minore della successione e procedendo secondo lo schema alle differenzea+ b, a+ 2b+ c, ecc. si ottiene l’espressione

log q

√

u+ v

u= 2a+ 15b+ 70c+ 227

1

2d+ ... (6.8)

I quattro termini centrali hanno logaritmi approssimati

a+ 6b+ 15c+ 20da+ 7b+ 21c+ 35da+ 8b+ 28c+ 56da+ 9b+ 36c+ 84d :

(6.9)

la differenza dei primi due e b+6c+15d, quella dei restanti due e b+8c+28d e ladifferenza di tali differenze e 2c+13d. Infine, la somma dei termini centrali nella(6.9) e 2a+15b+49c+91d la cui differenza da (6.8) e 21c+136 1

2d = 10 12 (2c+13d)

ed il coefficiente 10 12 e ancora pari a (q2 − 1)/6, per q = 8.

Testo 6.2 (Mercator, Logarithmotechnia) (pp.16-17 di [7]). Originale 6.9Se il denominatore della parte cercata e un numero pari; prendi la meta

della differenza dei termini del rapporto trovato col metodo di prima e toglila latermine minore del rapporto, e sommala e toglila al termine maggiore; otterraicosı quattro rapporti continui con termini equidifferenti, sottrarrai la differenzadei due rapporti minori dalla differenza dei due rapporti maggiori e conserveraila differenza tra queste differenze. Dimezza il denominatore della parte richiestaed estrai dalla tabella della Prop. III le specie figurative opportune della metaappena trovata fino alla specie c e posto a = 1

2 , b = 2, c = 1 13 moltiplica il valore

di ciascuna specie per il suo coefficiente e, sommati i contributi, avrai quantevolte bisogna prendere la differenza delle differenze conservata in precedenzaper ottenere la particola che esprime la differenza tra la parte richiesta trovatain precedenza ed il valore esatto. Ad esempio, con il metodo prima espostosi e trovato che l’ottava parte del rapporto 8

11 e 149155 ; Vorrei sapere di quanto

differisce dal valore esatto. La differenza dei termini e 6, la cui meta 3, sottrattaal termine minore lascia 146, aggiunta al termine maggiore da 158 e sottratta


al maggiore lascia 152. Si hanno dunque quattro rapporti continui di terminiequidifferenti 146

149 ,149152 ,

152155 ,

155158 . La differenza dei due rapporti minori e 24016

24025e, sottratta alla differenza 22192

22201 tra i due termini maggiori lascia la differenzadelle differenze 1753825

1753879 che va conservata. Il denominatore della parte cercatae 8, alla cui meta 4 corrispondono nella tabella allegata alla proposizione IIIqueste specie: a + 3b + 3c; ma a = 1

2 , & 3b = 6, & 3c = 4 che, sommatidanno 10 1

2 . Pertanto occorre prendere il decuplo piu meta di 17538251753879 , differenza

di differenze conservata in precedenza per avere l’errore commesso prendendoil valore trovato in precedenza della parte ottava del rapporto. Ma il decuplodel rapporto 1753825

1753879 e 17535821754122 per la Prop. V, ovvero 876791

877061 , e la meta, per laProp. VI e 3507677

3507731 ; cosı la parte ottava del rapporto 811 piu corretta del valore

149155 trovato prima conterra le raziuncole 876791

877061 e 35076773507731 .

Grazie ai risultati ottenuti, Mercator puo passare alla costruzione di tavolelogaritmiche i cui elementi sono presentati nelle proposizioni VIII-XIII. Nellaproposizione VIII egli enuncia la seguente proporzione

I rapporti di termini equidifferenti stanno tra loro circa nel rapporto inverso trale medie aritmetiche dei termini dei singoli rapporti.8 (p.18 di [7])

Se scriviamo le frazioni nella forma a+xa−x e b+x

b−x , la proposizione di Mercatordiventa

loga+ x

a− x: log

b+ x

b− x=

1

a:1

b

ed e sostanzialmente corretta (propemodum) nel limite di piccoli rapporti x/a edx/b, come si vede da uno sviluppo in serie. La Prop. IX spiega come utilizzarequesto risultato per determinare log 101

100 , e quindi log 101, noti i logaritmi di99.5100 e di 100

100.5 , ottenuti nell’introduzione. La proposizione precedente consentedi affermare

log101

100: log

100.5

99.5=

1

100.5:

1

100

che puo essere risolta ottenendo log 101 = 2, 0043213. Mercator nota anchecome migliorare la precisione delle tavole prendendo frazioni di riferimento come999.5/1000.5 in cui la differenza relativa tra numeratore e denominatore e semprepiu piccola. La tavola logaritmica e completata nella Prop. XIII che impiega losviluppo in serie

a

b− c=a

b+ac

b2+ac2

b3+ac3

b4+ ... . (6.10)

Si supponga di volere trovare log 99999. Poniamo a = 100, media aritmet-ica tra 99.5 e 100.5, b = 100000 e c = 0.5 in modo che b − c = 99999.5sia il medio aritmetico dei termini che compongono la frazione 99999/100000.Lo sviluppo (6.10) permette di esprimere in modo accurato 100/99999.5 =0.001000005000025000125. Dalla proposizione VIII segue allora

log100000

99999: log

100.5

99.5=

1

99999.5:

1

100

8Rationes terminorum aequidifferentium sunt propemodum, ut reciproce ipsorumterminorum media Arithmetica.


e dunque

log100000

99999=

100

99999.5log

100.5

99.5.

Il legame dei logaritmi con la quadratura dell’iperbole equilatera e lo sviluppoin serie di log(1 + x) e presentato nelle Propp. XIV-XIX, aggiunte all’opera inun secondo momento. La Prop. XIV e puramente geometrica e, basandosi suproprieta delle iperboli equilatere, mostra che AH : AI = BI : FH , doveI e il piede della parallela all’asintoto AE condotta a partire dal vertice Bdell’iperbole, F un punto qualsiasi sull’iperbole: si tratta della nota equivalenzatra tutti i rettangoli aventi un vertice coincidente con il centro dell’iperbole,quello opposto appartenente all’iperbole e due lati posti sugli asintoti.

AC

L

K

B

N

M

E

H

F

G D

st

u

rq

pI

Figura 6.1: Schema per la dimostrazione della Prop. 14 della Logarithmotechniadi Mercator.


La successiva Prop. XV risolve il problema di trovare FH (Fig. 6.1), postiAI=BI=1 ed HI=a. Grazie alla Prop. XIV, la risposta e immediata: FH =1

1+a . Mercator pero procede nell’effettuare la divisione estendendo al calcololetterale le regole di divisione usuali ottenendo

1

1 + a= 1− a+ aa− a3 + a4 &c.

senza preoccuparsi della presenza di un resto qualora la divisione venisse tron-cata ad un certo passo n.

Il contenuto della Prop. XVI equivale formalmente alla dimostrazione che

∫ x

0

tn dt =xn+1

n+ 1,

come gia ottenuto da Fermat (1601-1655). La dimostrazione procede indutti-vamente su n, basandosi su un esempio concreto, in cui x = 21.

Testo 6.3 (Mercator, Logarithmotechnia) (pp.30-31 di [7]). Originale 6.10Suddiviso un numero qualsiasi in parti uguali, trovare la somma delle potenze

qualsivoglia generate da questi numeri.La somma richiesta si ottiene dividendo la potenza successiva di questo

numero per l’esponente di tale potenza.Sia dato ad esempio il numero 21 che, suddiviso in moltissime parti conterra

non solo i numeri 20, 19, 18, 17, ecc. ma anche moltissimi altri interposti, cias-cuno dei quali si intende moltiplicato per una parte infinitesima del numero 21e di questi prodotti ti domandi quale sia la somma; poiche questi stessi prodottisono potenze prime (o linee) la potenza successiva e la quadratica che ha espo-nente 2, Pertanto se si divide il quadrato di 21, 441, per 2 si otterra la somma ditutte le potenze prime generate da questi innumerevoli numeri che sono conte-nuti nel numero dato 21, ovvero 220b5. Di nuovo, si consideri una qualsivogliapotenza prima moltiplicata per se stessa e si voglia trovare la somma di tuttiquesti quadrati. La potenza successiva e la cubica, di esponente 3, per cui divisoil cubo 9261 del numero assegnato 21 per l’esponente 3 si otterra la somma ditutti i quadrati: 3087. Si moltiplichi uno qualunque di questi quadrati per ilsuo lato e si voglia trovare la somma di tutti questi cubi. La potenza successivae la quadrato-quadratica, con esponente 4. Dunque diviso per l’esponente 4 ilquadrato-quadrato di 21, 194481, si otterra la somma di tutti i cubi: 48620b25.

Dimostrazione. La somma di tutti i numeri dispari a partire dall’unita euguale al quadrato del numero dei termini, cosı il numero di tutti i terminidispari compresi tra l’unita e 21 e 11, il cui quadrato 121 e uguale alla sommadi tutti questi numeri dispari; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Ma ildoppio di questo numero quadrato 121, cioe 242, supera la somma di tutti queinumeri dispari insieme ai numeri pari interposti, uguale al numero dei termini;ma dalla somma dei pari e dei dispari manca una quantita pari allo stessonumero dei termini 11. Dunque il doppio del quadrato del numero di terminidispari non puo superare o mancare dalla somma di tutti i pari con i dispari piu


dello stesso numero di termini ovvero (se ci sono infiniti termini) del medesimonumero di termini o la meta del termine massimo, moltiplicato per una parteinfinitesima del numero dato. Se qualcuno ritiene che questo prodotto mantengaun qualche rapporto con la somma di tutti i termini, certamente il numero datonon e ancora stato diviso in parti innumerevoli, contro l’ipotesi. Dunque ilquadrato della meta del numero di termini (sia pari che dispari) ovvero la metadel quadrato di tutti i termini e uguale alla somma dei termini.

La dimostrazione di Mercator e un ingegnoso azzardo in quanto parte dainoti risultati

n∑

k=1

(2k − 1) = n2

e2n−1∑

k=1

k = n(2n− 1)

per concludere che

2

n∑

k=1

(2k − 1) =

2n−1∑

k=1

k + n

e da qui estrapolare, anche nel caso in cui vi siano innumerevoli suddivisioni,che la somma di tutti i termini della divisione e pari alla meta del quadrato del

termine piu alto, cioe∫ x

0t dt = x2

2 . Il procedimento viene esteso alle potenzesuccessive e permette di ottenere la quadratura dell’iperbole presentata nellaProp. XVII.

Testo 6.4 (Mercator, Logarithmotechnia) (pp.31-32 di [7]). Originale 6.11

Si ponga AI=1 nella figura precedente e si divida il segmento IE dell’asintotoin un gran numero di parti uguali come sono, ad esempio, Ip = pq = qr = a.Per le Prop. XIV e XV, ps = 1− a+ aa− a3 + a4, ecc. e qt = 1− 2a+ 4aa−8a3 + 16a4, ecc. e ru = 1 − 3a + 9aa − 27a3 + 81a4, ecc. Ora ps + qt + ru =area diBIru =

=

1− a+ aa− a3+ a4

1− 2a+ 4aa− 8a3+ 16a4

1− 3a+ 9aa− 27a3+ 81a4

= 3− 6a+ 14aa− 36a3 + 98a4

ecc.

cioe e uguale al numero dei termini contenuti in Ir meno la somma di talitermini piu la somma dei loro quadrati, meno la somma dei cubi, piu la sommadei quadrato-quadrati, ecc.

Posto come prima IA=1 sia ora Ip = 0[1= numero dei termini: grazie alleProp. XV e XVI trovo che l’area BIps= al numero dei termini 0b1, meno lasomma di quei termini =0b005, piu la somma dei loro quadrati = 0b000333333,meno la somma dei cubi = 0b000025, piu la somma dei quadrato-quadrati =0b000002,


meno la somma dei quadrato-cubi =0b000000166, piu la somma dei cubo-cubi=0b000000014, ecc.

0b1−0b005

0b000333333−0b000025

0b000002−0b000000166

−0b005025166−0b000000014

0b0095310181 = areaBIps

Il valore ottenuto da Mercator coincide con quello corretto 0.0095313179fino alla sesta cifra decimale.

I risultati di Mercator attirarono molta attenzione e fornirono lo spun-to per articoli apparsi sulle Philosophical Transactions della Royal Society incui si proponevano altri metodi di quadratura per serie dell’iperbole ovveromiglioramenti della teoria contenuta nella Logarithmotechnia. Al primo grup-po di lavori appartiene la memoria [10] di Lord William Brouncker (1620-1684)—matematico irlandese tra i fondatori della Royal Society di cui fu primopresidente—sulla quadratura dell’iperbole ottenuta con una ingegnosa scompo-sizione in rettangoli dell’area compresa tra un arco di iperbole equilatera, l’assedelle ascisse e due rette parallele all’asse delle ordinate. I lati dei rettangolierano scelti in modo da fornire una serie i cui termini erano numeri razionali.Per la storia dei logaritmi ha interesse un lavoro del 1668 in cui John Wal-lis (1616-1703), dopo aver elogiato gli astuti procedimenti introdotti da Mer-cator, osserva un problema di convergenza che si presenta qualora si vogliaquadrare una porzione BIHF di iperbole in cui IH > AI in quanto la serieutilizzata per effettuare la quadratura non converge. Detta A > 1 la lunghezzadi IH, Wallis osserva

Non bisogna frattanto nascondere che, se si cerca la quadratura della regioneBIHF (in cui IH e da ritenersi maggiore di AI), il procedimento non porta adun esito positivo: il rimedio non e sufficiente a curare il male, come abbiamodetto. Infatti se si prende A > 1 e evidente che le sue potenze successive sarannosempre piu grandi e dunque meno trascurabili.9 (p. 754 di [11])

Oltre a sollevare il problema, Wallis lo risolve con un cambiamento divariabili.

Testo 6.5 (Wallis) (pp. 754-755 di [11]). Originale 6.12Questo problema e facilmente superabile operando una piccola modifica della

costruzione.

9Dissimulandum interim non est; siquis totius BIHF spatii (cujus latus IH longius intelli-gatur quam AI) quadraturam postulet; rem non ita feliciter successuram: propter medelam,quam modo diximus, malo minus sufficientem. Cum enim jam ponenda sit A > 1; mani-festum est, posteriores ipsius potestates, altius in integrorum penetraturas, adeoque minimenegligendas.


Costruito tutto come prima, esponiamo come quadrare la regione HFur; (lacui lunghezza AH si puo ritenere maggiore, minore od uguale ad AI: preso unpunto qualsiasi r tra A ed H, oltre ad I o coincidente con esso) si ponga allora(non, come prima, AI=1, ed Ir=A ma:) AH=1; ed Hr=A che si deve intenderesuddiviso in innumerevoli parti uguali, ognuna lunga a. Poiche AH=1 le partirestanti saranno via via decrescenti: 1-a, 1-2a, 1-3a, ecc. fino ad Ar=1-A. Dinuovo, poiche i rettangoli FHA, urA, BIA, ecc hanno tutti area uguale, diciamo

a b2 sara HF = b2

1 e i restanti segmenti saranno b2

1−a ,b2

1−2a ,b2

1−3a , ecc. fino

ad ru = b2

1−A a racchiudere la regione HFur. (Tutto cio e dimostrato nella miaArithmetica Infinitorum, prop. 88, 94, 95.)

Eseguita la divisione, si trovera

b2

1− a= b2 + b2a+ b2a2 + b2a3 + b2a4 ,&c.

cioe b2 per 1+a+a2+a3+a4 , ecc. (prendendo tutte le potenze positive successivedi a). Ed operando allo stesso modo con gli altri segmenti compresi tra HF edru si avra,

1+ a+ a2+ a3+ a4 &c.1+ 2a+ 4a2+ 8a3+ 16a4 &c.1+ 3a+ 9a2+ 27a3+ 81a4 &c.& cosı via fino a1+ A+ A2+ A3+ A4 &c.

per b2

Ed il prodotto di tutte le somme A+ 12A

2+ 13A

3+ 14A

4+ 15A

5 ecc. per b2 = FHru(per la prop. 64 dell’Arithm. Infin.)

Wallis ha operato un cambiamento di variabili ponendo AH = 1, anzicheAI = 1 e prendendo Ir = A. Ha poi suddiviso il segmento Hr in parti diampiezza arbitrariamente piccola a, cosı che i punti di suddivisione hanno ascissa1 = AH , 1−a, 1−2a, fino a giungere a 1−A = Hr. A questo punto, detto b2 ilvalore costante dell’area dei rettangoli aventi vertici opposti in A e in un puntosull’iperbole equilatera, le ordinate dei punti di suddivisione sono b2, b2/(1−a),b2/(1 − 2a),..., b2/(1 − A). Ora il procedimento di Mercator viene fattoripartire inalterato, producendo una serie convergente. Nella sua esposizione,Wallis mostra anche come sia possibile ottenere la formula di Mercatorgrazie ai risultati che egli aveva esposto nella Arithmetica Infinitorum (1656)dove aveva mostrato—con altra notazione—

limn→∞

∑n−1i=1 i

k

nk+1=

1

k + 1. (6.11)

Il procedimento di Wallis si puo riproporre in questi termini (pp. 162-163di [12]). Data l’iperbole di equazione y = 1

1+x , per calcolare l’area A sottesanell’intervallo [0, x] si divida tale intervallo in n parti uguali di ampiezza h = x/ne si costruiscano i rettangoli circoscritti all’iperbole, aventi base h ed altezze

1,1

1 + h,

1

1 + 2h,

1

1 + 3h, ....

1

1 + (n− 1)h

6.3. LA SERIE DI GREGORY 227

ognuna delle quali rappresenta la somma di una serie geometrica. Si puopertanto scrivere

A ' h+∑n−1

j=1h

1+jh

h+ h(∑∞

k=0(−1)khk)

+ h(∑∞

k=0(−1)k(2h)k)

+....+ h(∑∞

k=0(−1)k[(n− 1)h]k)

o, raggruppando i termini con la stessa potenza di h

A ' nh− h[h+ 2h+ ....+ (n− 1)h]+h[h2 + (2h)2 + (3h)2 + ...+ (n− 1)2h2]+....+ (−1)kh[hk + (2h)k + (3h)k + ...+ (n− 1)khk] + ....

cioe, ricordando la definizione di h,

A ' x−(

xn

)2[1 + 2 + ....+ (n− 1)]

+(

xn

)3[12 + 22 + ....+ (n− 1)2] + ....+ (−1)k

(

xn

)k+1[1k + 2k + ....+ (n− 1)k] :

nel limite in cui n→ ∞, grazie a (6.11) si ottiene lo sviluppo di Mercator

A = x− x2

2+x3

3− x4

4+ ....

All’articolo di Wallis seguı una nota dove Mercator [13] chiama natu-rali i logaritmi ottenuti per il tramite della quadratura dell’iperbole, mentre ilogaritmi di Briggs sono detti tabulari. Ancor piu rilevante e che Mercatorenuncia correttamente la regola per la trasformazione da un sistema di logaritminell’altro: log a = 0.43429448 ln a .

Accade pertanto che il logaritmo non tabulare di 10 sta al logaritmo tabulare100000000 come 1 sta a 4,3429448.10 (p. 761 di [13])

6.3 La serie di Gregory

In questa sezione esaminiamo la dimostrazione rigorosa dei risultati di Mer-cator ottenuta da James Gregory (1638-1675). L’importanza dell’opera diquesto matematico scozzese fu riconosciuta solo dopo la morte, avvenuta per-altro in giovane eta. Egli soggiorno a Londra due volte, nel 1663 e nel 1668e passo alcuni anni in Italia, soprattutto a Padova. Dal 1668 fino al 1674 in-segno presso l’universita scozzese di St. Andrews, troppo isolata perche potesseessere coinvolto attivamente nel fermento culturale della vita accademica in-glese. Nominato professore nel 1674 ad Edimburgo, dove i contatti con il restodel mondo accademico potevano essere piu facili, morı un anno piu tardi a solitrentasette anni [14]. Nel 1668 pubblico a Londra le Exercitationes Geometricae.Malgrado i risultati presentati, le Exercitationes Geometricae non esercitarono

10Fiat igitur, ut Log. us 10rii non-tabularis 2302585, ad tabularem 100000000; ita 1 ad4,3429448.


l’influsso che avrebbero meritato in quanto furono travolte dalla polemica tral’autore ed Huygens, nata in seguito alla pubblicazione del volume Vera cir-culi et hyperbolae quadratura (Padova, 1667) in cui Gregory aveva cercato dimostrare l’impossibilita di ottenere la quadratura del cerchio solo con operazionialgebriche. Cio provoco una reazione molto critica di Huygens, pubblicata nel1668 sul Journal des Savants, seguita da una dura replica di Gregory apparsasulle Philosophical Transactions e da un ulteriore decisivo attacco di Huygensancora dalle pagine del Journal des Savants. La Appendicula ad veram Circuli& Hyperbolae Quadraturam che apre le Exercitationes Geometricae reca tracciadi questa polemica ed utilizza surrettiziamente i risultati ottenuti per contrat-taccare Huygens. Questa circostanza irrito i lettori gettando un immeritatodiscredito sul contenuto matematico pregevole dell’opera.

Dopo l’Appendicula, la prima Exercitatio—N. Mercatoris quadratura hyper-boles geometrice demonstrata—si propone di dimostrare la quadratura di Mer-cator in maniera rigorosa. Questa lezione si articola lungo cinque proposizioni,nella prima delle quali Gregory richiama il risultato, gia noto ad Euclide,sulla somma S di una progressione geometrica a termini positivi A, B, C,...,F ,...posti in ordine decrescente:

A−B : A = A : S

proporzione verificabile sapendo che S = A 11−q , dove q = B/A e la ragione della

progressione.

Dato un numero infinito di quantita A, B, C, D, E, F , ecc. la prima e la piugrande delle quali sia A. Allora A−B sta ad A come A sta alla somma di tuttele quantita, come in vari posti si trova dimostrato dai Geometri.11 (p.9 di [15])

Nella Proposizione 2, Gregory considera una progressione geometrica asegni alterni e mostra che

A+B : A = A : Z ,

dove A, B hanno lo stesso significato di prima e Z e la differenza tra la sommadegli infiniti termini di posto dispari e la somma degli infiniti termini di postopari, cioe la somma della serie a segni alterni.

Ferme restando le ipotesi precedenti affermo che A + B sta ad A come A staalla differenza tra tutti i termini di posto dispari, A, C, E, G, ecc. e tutti quellidi posto pari: infatti questa differenza, cioe A−B, C −D, E − F , e la sommadi una serie infinita di termini in proporzione continua di ragione A su C, epertanto, per quanto mostrato prima, A−C sta ad A ovvero A2−B2 sta ad A2

come A−B sta alla somma di tale serie che chiamiamo Z. Dividendo i primi

termini della proporzione per A−B, A+B sta ad A2

A−B come A−B sta a Z e

dunque AZ + BZ = A2 da cui A+ B sta ad A come A sta a Z, differenza tra

11Si fuerint quantitates continue proportionales A, B, C, D, E, F , &c. numero infinitae,quarum prima & maxima A; erit A − B ad A ut A ad summam omnium, hoc enim passimdemonstratur apud Geometras.


tutti i termini A, C, E, G, ecc. a tutti i termini B, D, F , ecc. come occorrevadimostrare.12 (p.9 di [15])

Gregory osserva che la successione formata dalle differenze tra i terminidispari (con segno positivo) ed i successivi termini pari e a sua volta una progres-sione geometrica di ragione A/C. Infatti, se q = B/A allora A−B = A(1− q),C −D = C(1− q), D − F = E(1− q) e dunque A−B : C −D = A : C. Bastaallora applicare il risultato della proposizione precedente per scrivere

(A− C)(1 − q) : A(1 − q) = A−B : Z

dove a destra abbiamo ripristinato la scrittura A − B al posto dell’equivalenteA(1− q). Poiche C = B × q = B2/A si ricava la proporzione di Gregory

A2 −B2 : A2 = A−B : Z

da cui segue Z(A+B) = A2, cioe la tesi.

La Proposizione 3 illustra come legare questi risultati alla misura delle areedi parallelogrammi inscritti in un’iperbole qualsiasi, anche non equilatera, comenella Figura 6.2

Sia data un’iperbole SB3 di vertice B ed asintoti AR ed A4. Si tracci BK par-allelo all’asintoto AR ed un altro segmento YD a piacere, parallelo ad entrambii precedenti e tra loro compreso; dico che Y D e la somma di una serie di ter-mini in proporzione continua, di cui il primo e BK = KA ed il secondo e KD;infatti, BK −KD = AD sta a BK come BK sta a DY , da cui segue l’assertoper quanto mostrato nel primo punto.

Si tracci ora un segmento 34 parallelo alle stesse rette RA e BK, al di la delpunto K. Affermo che il segmento 34 e uguale alla differenza di tutti i terminidi posto dispari e tutti i termini di posto pari nella serie infinita il cui primotermine e KB ed il secondo e K4: infatti, KB + K4 = A4 sta ad BK comeBK sta a 34 e dunque segue l’asserto grazie a quanto mostrato al punto due;13

(p.10 di [15])

12Iisdem positis quae antecedente; dico A + B ad A ut A est ad excessum omnium A, C,E, G, &c. in locis imparibus, supra omnes B, D, F , &c. in locis paribus: est enim dictusexcessus summa seriei infinitae continue proportionalium in ratione A ad C, nempe A − B,C −D, E − F &c. & ideo (ex praecedente) ut A− C ad A vel A2 − B2 ad A2, ita A−B adsummam dictae seriei, quam vocamus Z; & priores analogiae terminos applicando ad A−B,

A + B est ad A2

A−But A − B ad Z, & ideo AZ + BZ = A2, & proinde A + B est ad A ut

A ad Z, excessum omnium A, C, E, G, &c. supra omnes B, D, F , &c. quod demonstrareoportuit.

13Sit Hyperbola SB3, cujus vertex B, asymptotae AR, A4; asymptotae RA ducatur par-allela BK, & altera ad libitum inter rectas BK, RA, utrique parallela Y D; Dico Y D essesummam infinitae seriei continue proportionalium, cujus primus terminus BK = KA & se-cundus KD; est enim BK −KD = AD ad BK ut BK ad DY ; & ideo ex hujus prima patetpropositum.

Eisdem rectis RA, BK, ultra punctum K fiat parallela 34; dico rectam 34 aequalem esseexcessui omnium terminorum imparium supra omnes terminos pares infinitae seriei cujusprimus terminus KB, & secundus K4: est enim KB+K4 = A4 ad BK ut BK ad 34; & ideoex hujus 2 patet propositum.


A H D K 4

R 5 7 B Q

3

ZX Y

VS

6

L

N

F

CO

Figura 6.2: Schema per la dimostrazione della Prop. 4 delle ExercitationesGeometricae di Gregory.

Per commentare questo passo, richiamiamo una proprieta dell’equazione diun’iperbole generica riferita ai propri asintoti, quando questi non siano ortog-onali. L’equazione generale di una conica in coordinate cartesiane ortogonali(x, y) e

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

e se osserviamo che il legame con le coordinate cartesiane oblique (X,Y ) e datoda una relazione del tipo

x = αX + βYy = γX + δY

possiamo concludere che, a meno di definire i coefficienti dello sviluppo, l’e-quazione generale di una conica in coordinate oblique e ancora del tipo

aX2 + bY 2 + cXY + dX + eY + f = 0 .

Se richiediamo che le rette X = 0 ed Y = 0 siano asintoti della conica, cioe nonabbiano alcuna intersezione (ne reale ne immaginaria) con la conica, abbiamoche le equazioni

bY 2 + eY + f = 0 e aX2 + dX + f = 0

non debbono ammettere soluzione, cioe deve essere a = b = d = e = 0 cheriduce l’equazione della conica (cioe dell’iperbole) a


XY = k

che formalmente coincide con quella dell’iperbole equilatera. Questa osser-vazione e importante perche e grazie ad essa che si comprende come possasussistere lo stretto legame tra iperboli e progressioni geometriche anche nelcaso non equilatero. Venendo al testo di Gregory e riferendoci alla Figura 6.2egli traccia il segmento BK parallelo all’asintoto RA e passante per il vertice Bdell’iperbole, insieme ad una famiglia di altri segmenti paralleli come Y D. Gre-gory afferma che Y D e la somma di una progressione geometrica di termineiniziale BK = KA e secondo termine KD. Infatti, poiche Y e B appartengonoall’iperbole e B ne e il vertice, deve valere l’uguaglianza XY YY = XBYB chepuo essere riletta, ricordando che XB = YB = BK = KA

BK −KD(= AD) : BK = BK : Y D

ed il risultato segue dalla Prop. 1 e dall’unicita del quarto proporzionale. Sim-ilmente, quando si prende il punto 3 sull’iperbole e si traccia la parallela 34all’asintoto RA deve essere

A4(= AK +K4 = BK +K4) : BK = BK : 34

che mostra l’asserto di Gregory per confronto con la Prop. 2 ed invocandoancora l’unicita del quarto proporzionale.

La Proposizione 4 e una deliziosa quanto astuta costruzione geometricasostenuta da una logica ferrea che permette di quadrare la porzione SBKHdelimitata dall’arco SB di iperbole, dall’asintoto A4 e dalle parallele SH e BKall’asintoto AR.

Testo 6.6 (Gregory, Exercitationes Geometricae) (pp.10-11 di [15]). Orig-inale 6.13

Sia data la regione iperbolica SBKH compresa tra la curva iperbolica SBil segmento di asintoto HK ed i segmenti di retta SH e BK, paralleli all’altroasintoto e si chiami B il vertice dell’iperbole: si ottiene un parallelogrammaBKHS e si prolunghi B5 fino ad R e si tracci il segmento KR che taglia 5Hin 6. Si continui indefinitamente la proporzione continuata, cioe 5H, 6H, LH,NH, e cosı via e si prendano il parallelogrammo 5BKH, il triangolo K6H, iltrilineo quadratico KLH, il trilineo cubico KNH e cosı via all’infinito. Dico chela regione iperbolica BKHS e equivalente all’unione di questo parallelogrammapiu questo triangolo, piu tutti gli infiniti trilinei che chiamiamo complessiva-mente ω. Se la Figura BKHS ed ω non hanno la stessa area, sia α la lorodifferenza; si divida allora il segmento HK in tante parti uguali con segmentiparalleli all’asintoto RA, in modo che i rettangoli (compresi tra quei segmen-ti e le porzioni del segmento KH) circoscritti alla figura BKHS, cioe V H,ZD abbiano un’area totale che differisce meno di α da quella dei rettangoli in-scritti nella Figura BKHS, cioe Y H, BD; infatti questo e possibile operandouna divisione opportuna del segmento KH. Poiche B e il vertice dell’iperbole,


il parallelogramma BKAR e equilatero e pertanto il segmento arbitrario 6H euguale ad HK e dal momento che 5H, 6H, LH, NH, ecc. formano una pro-porzione continua all’infinito, dalla Prop. III si avra che la retta SH e ugualealla somma di tutti ed il parallelogramma SD e equivalente alla somma di tutti iparallelogrammi 5D, 6D, LD, ND, ecc. all’infinito; e la somma di tutti i paral-lelogrammi 5D, 6D, LD, ND, ecc. all’infinito e maggiore del parallelogrammo5D insieme alla porzione di triangolo 6FDH, alla porzione di trilineo quadraticoLCDH alla porzione di trilineo cubico NCDH, ecc. all’infinito, che sono tutteordinatamente inscritte nei parallelogrammi corrispondenti e pertanto il parallel-ogramma SD e maggiore del parallelogrammo 5D unito a queste porzioni; nellastessa maniera si dimostra che il parallelogramma Y K e maggiore del rettangolo7K e ad un numero infinito di porzioni FKD, CKD, OKD, ecc. cosicche il ret-tilineo SV Y ZKH e maggiore di ω. Il segmento FD e poi uguale a DK e 7D,FD, CD, OD, ecc. all’infinito formano una proporzione continua e dunqueY D ne uguaglia la somma ed il parallelogramma XD e equivalente ai paral-lelogrammi 7H, FDH, CDH, ODH, ecc. ma la somma dei parallelogrammi7H, FDH, CDH, ODH, ecc. e inferiore al rettangolo 7H unito alla porzione6FDH di triangolo, alla porzione di trilineo quadratico LCDH, alla porzione ditrilineo cubico NCDH, ecc. in quanto i parallelogrammi suddetti sono inscrittiin queste porzioni e dunque il parallelogramma Y H e minore del parallelogram-mo 7H insieme alle porzioni suddette; alla stessa maniera si dimostra che ilparallelogrammo BD e minore del parallelogramma BD insieme alle porzioni innumero infinito FKD, CDK, OKD e dunque il rettilineo XY 7BKH e minoredi ω: ci sono pertanto quattro quantita, la piu grande e la piu piccola delle qualisono i rettilinei SV Y ZKH ed XY 7BKH mentre quelle intermedie sono ω elo spazio iperbolico SBKH; e dunque la differenza di quelle intermedie, cioe αe minore della differenza delle estreme che e assurdo in quanto la si era presamaggiore; dunque la differenza tra la Figura SBKH ed ω e nulla e pertantosono equivalenti, come si doveva dimostrare.

La prima osservazione riguarda il parallelogramma AKBR che in effetti eun rombo, dal momento che B e il vertice dell’iperbole per cui le sue coordinate(XB, YB) sono tra loro coincidenti. Sul segmento 5H Gregory costruisce unaprogressione geometrica il cui primo termine e 5H ed il secondo e 6H , dove ilpunto 6 e l’intersezione di 5H con il segmento di retta KR. Dai punti L, N ,ecc. della progressione Gregory spicca degli archi di curva LCK, NDK checonfluiscono tutti in K. La natura di queste curve e intuibile dai loro nomi:trilineum quadraticum, trilineum cubicum, ecc. Se per il momento spostiamol’origine delle coordinate X in K ed orientiamo l’asse X nel verso da K adA, tali curve hanno equazione Y = kXn, dove va scelta in modo che, quandoX = 5H , si abbia il passaggio per i punti richiesti. Questa proposizione intendemostrare che l’area del quadrilatero misto SBKH e equivalente all’unione ωdel parallelogrammo 5K, del triangolo 6HK, del trilineo quadratico LHK, diquello cubico NHK e cosı via. Gregory ragiona per assurdo e suppone chel’area dello spazio iperbolico SBKH differisca da ω per una quantita α > 0.Egli osserva a questo punto che, a patto di suddividere HK in segmenti uguali


tra loro e sufficientemente piccoli, e sempre possibile costruire una successione diparallelogrammi circoscritti al segmento di iperbole come SD ed Y K e di paral-lelogrammi come XD e 7K che sono inscritti ad SBKH in modo che la sommadelle aree dei primi differisca dalla somma delle aree dei secondi meno di α. Aquesto punto, poiche BKAR e un rombo ed RH una sua diagonale, possiamoconcludere che 6H = HK e dunque 56 = 5H − 6H = AH che rappresenta l’as-cissa del punto S appartenente all’iperbole. Dall’equazione dell’iperbole segueche AH : BK = BK : HS, ovvero AH : 5H = 5H : HS. D’altra parte laProp. 1, applicata alla progressione di primo termine 5H e secondo termine 6Hha somma S tale che AH : 5H = 5H : S. Ne consegue che HS e la sommadi 5H , 6H , LH , NH , ecc. o, in modo equivalente, il parallelogramma circo-scritto SVDH e equivalente all’unione dei parallelogrammi di ugual base HDed altezze 5H , 6H , LH , NH . Infine, il parallelogramma 6H ha area maggioredella porzione del triangolo 6HK compresa tra 5H e 7D; il parallelogrammaLD ha area maggiore della porzione del trilineo quadratico LHK compresa trale medesime rette, e via di seguito. Analogamente, proprio perche le curve 5B,6K, LK, NK sono di tipo potenza, staccheranno sul segmento 7D dei segmenti7D, FD, CD, OD che ancora formano una progressione geometrica e ripetendoil ragionamento di prima si prova che il parallelogramma Y K ha area maggioredella somma delle aree comprese tra le curve 5B, 6K, LK, NK, il segmen-to DK e le parallele 7D e BK. Pertanto il pluriparallelogramma circoscrittoSV Y ZKH ha area maggiore di ω. Ora si passa all’esame del parallelogrammaXD inscritto nello spazio iperbolico ed equivalente ad Y K. Esso sara ovvia-mente equivalente a tutti gli stessi parallelogrammi 7K, FK, CK, OK di prima.Tuttavia ora si nota che il parallelogramma FK ha area minore della porzione6FDH , il parallelogrammaCK ha area minore della porzione LCDH e cosı via.In definitiva XD ha area minore della somma delle aree del parallelogramma5D con tutte le predette porzioni 6FDH , LCDH , ecc. Ripetendo un discorsoanalogo per il parallelogramma 7K si conclude che il pluriparallelogramma in-scritto XY 7BKH ha area inferiore a quella di ω. Dunque abbiamo il seguenteordinamento

A(SV Y ZKH) > A(SBKH), A(ω) > A(XY 7BKH)

che e assurdo in quanto abbiamo assunto A(SV Y ZKH)− A(XY 7BKH) < αe |A(SBKH)−A(ω)| = α.

Alla Proposizione 4 seguono quattro Consectaria che ne illustrano le con-seguenze ed applicazioni.

Cons. 1 E pertanto, data la serie infinita di quantita in proporzione continuatadi ragione KH= 6H su KB, di primo termine pari al parallelogramma BH,il primo termine + 1

2 del secondo+ 13 del terzo + 1

4 del quarto + 15 del quinto +

ecc. all’infinito e = allo spazio iperbolico SBKH come segue dalla quadraturadei trilinei.14 (p. 11 di [15])

14Cons. 1. Et proinde si fuerit series infinita quantitatum continue proportionalium inratione KB ad KH= 6H, cujus primum terminus est parallelogrammum BH; erit primusterminus + 1

2secundi+ 1

3tertii + 1

4quarti + 1

5quinti +&c. in infinitum = spatio Hyperbolico

SBKH, hoc enim sequitur ex quadratura trilineorum.


Gregory trova qui lo sviluppo in serie dell’area dello spazio iperbolicoSBKH in termini dell’area A0 del parallelogrammo BH . Infatti, sappiamodalla Prop. 4 che SBKH e equivalente ad ω che e ottenuto sommando ad A0

le aree dei triangolo 6KH e di tutti i trilinei successivi. Ora, se q = KHKB < 1

ed A0 e l’area del parallelogramma BH, l’area del triangolo FKH e A1 = q2A0;

il trilineo quadratico ha equazione Y = kX2 (con k = 1/KB) e ripetendouna quadratura alla Wallis con parallelogrammi al posto di rettangoli, l’area

sottesa risultera A2 = q2

3 A0 e cosı via ottenendo lo sviluppo

A(SBKH) = A0(1 +1

2q +

1

3q2 +

1

4q3 +

1

5q4 +

1

6q5 + ...) .

che coincide con lo sviluppo di ln(1 − q) se si osserva che A0 ∝ q e si porta ilfattore q nello sviluppo. Lo sviluppo di ln(1 + `) viene presentato nel secondoConsectarium dove Gregory considera la regione iperbolica BK34 con 34 par-allela a BK, ma dalla parte opposta rispetto ad SH . Applicando la secondaparte della Prop. 3 e ripetendo un ragionamento analogo a quello operato perquadrare SBKH si giunge a dimostrare che

A(BK34) = A′0(1−

1

2q′ +

1

3q′2 − 1

4q′3 +

1

5q′4 − 1

6q′5 + ...) .

Dove A′0 e l’area del parallelogramma KQ e q′ = 34/KB.

Cons. 2 Se si prende una parallela 34 alla retta BK oltre a K e si consid-era lo spazio B34K, data la serie infinita di quantita in proporzione continuaavente il parallelogramma KQ per primo termine e di ragione pari al rapportotra BK e K4; il primo termine − 1

2 del secondo + 13 del terzo − 1

4 del quarto +ecc. all’infinito e = allo spazio iperbolico B34K: anche questa conseguenza edimostrabile in modo rigoroso dalla seconda conclusione della Prop. III comela conseguenza precedente e dimostrabile dalla prima conclusione. In entrambi icasi non e possibile ottenere la dimostrazione ricorrendo al metodo degli indivis-ibili di Cavalieri; vista l’importanza della questione e pero parso bene adattareun metodo rigoroso di dimostrazione15 (pp. 11-12 di [15])

I Consectaria 3 e 4 considerano il caso ` = `′ e forniscono l’espressione diA(SBKH) − A(BK43) (Cons. 3) e di A(SH43) = A(SBKH) + A(BK43)(Cons. 4) nella forma

A(SBKH)−A(BK43) = β(`2 +1

2`4 +

1

3`6 +

1

4`8 + ...)

e

A(SH43) = 2β(`+1

3`3 +

1

5`5 +

1

7`7 +

1

9`9 + ....)

15Cons. 2. Si autem ultra K sumatur spatium B34K, posita 34 parallela rectae BK, &sit series infinita quantitatum in continua ratione BK ad K4, cujus primum terminus estparallelogrammum KQ; erit primus terminus − 1

2secundi + 1

3tertii− 1

4quarti + &c. in in-

finitum = spatio Hyperbolico B34K: poterit hoc consectarium eodem fere modo demonstrariGeometrice ex secunda conclusione hujus tertiae, quo antecedens ex ejusdem conclusione pri-ore; utrumque autem ex methodo indivisibilium Cavalleriana nullo negotio demonstratur; sedquoniam magni sunt momenti, placuit methodum rigorosam adhibere.


che convergono piu rapidamente dello sviluppo di Mercator.

Cons. 3. Se K4 = KH e si ha una serie infinita di quantita in proporzionecontinua di ragione pari al rapporto tra BK e K4 = KH, con primo termineBH = B4, la regione SBKH supera la regione B34K = all’intero secondo ter-mine + 1

2 del quarto + 13 del sesto + 1

4 dell’ottavo + ecc. all’infinito. Infatti,dal primo consettario la regione SBKH=al primo termine + 1

2 del secondo+ 13

del terzo + 14 del quarto + 1

5 del quinto +ecc. all’infinito: e dal secondo conset-tario la regione B34K = al primo termine − 1

2 del secondo + 13 del terzo − 1

4 delquarto + ecc. ma e evidente che la differenza tra queste regioni e = all’interosecondo termine + 1

2 del quarto + 13 del sesto + 1

4 dell’ottavo + ecc. da cui seguel’asserto.16

Cons. 4. Sotto le stesse ipotesi del precedente Consettario e evidente che laregione iperbolica SH43 = al doppio del primo termine + 2

3 del terzo + 25 del

quinto + 27 del settimo + 2

9 del nono ecc. all’infinito.17 (p.12 di [15]).Il legame tra quadratura dell’iperbole e calcolo dei logaritmi viene messo in

piena luce nella Proposizione 5 che come primo risultato fornisce l’area di unaporzione iperbolica che non contiene il vertice dell’iperbole. Data un’iperboleCEL (equilatera, a giudicare dalla figura 6.3 conforme all’originale di Grego-ry) di vertice E ed asintoti AB ed AY si considerino due porzioni qualsiasi comeHITR e KLY V limitate dall’iperbole, dall’asintoto AY e da rette parallele adAB.

Gregory mostra che

A(HITR)

A(KLY V )=

RS×AOAS + RS3×AO

3AS3 + RS5×AO5AS5 + RS7×AO

7AS7 +&c.VX×AO

AX + VX3×AO3AX3 + V X5×AO

5ASX5 + VX7×AO7AX7 +&c.

.

dove S ed X sono i punti medi di RT e V Y ed O e la proiezione del vertice Esulla retta AY , cosicche AO = EO. Per raggiungere lo scopo egli considera unpunto M su AY tale che AS : AR = AO : AM e dunque, dalla proprieta delloscomporre,

AS : SR = AO : OM . (6.12)

Inoltre Gregory considera un punto Q tale che AS : AT = AO : AQ, dacui ottiene AS : TS(= SR) = AO : QO e dunque puo concludere che OM =OQ. Alla stessa maniera, si prendono altri due punti N e P tali che AX :AV = AO : AN per concludere che deve essere OP = ON . Siccome le areedi segmenti iperbolici si comportano come i logaritmi, le proporzioni introdottesopra consentono di concludere che A(CGQM) = A(HITR) e A(DFPN) =

16Quod si K4 = KH, & fuerit series infinita quantitatum in continua ratione BK adK4 = KH, cujus primus terminus est BH = B4; erit excessus spatii SBKH supra spatiumB34K = toti secundo termino + 1

2quarti + 1

3sexti + 1

4octavi + &c. in infinitum: Nam

ex primo consectario, spatium SBKH=primo termino + 12

secundi+ 13

tertii + 14quarti + 1

5

quinti +&c. in infinitum: & ex secundo consectario spatium B34K = primo termino − 12

secundi + 13tertii− 1

4quarti + &c. at manifestum est horum differentiam = toti secundo + 1

2

quarti + 13sexti + 1

4octavi + &c. ideo patet propositum.

17Eisdem positis quae in antecedente consectario, manifestum est spatium HyperbolicumSH43 = duplo primi termini + 2

3tertii + 2

5quinti + 2

7septimi + 2

9noni &c. in infinitum.


AM

D

K I

R

C

N

B

PXY T SV

L

H

G

Q O

FE

Figura 6.3: Schema per la dimostrazione della Prop. 5 delle ExercitationesGeometricae di Gregory.

A(KLY V ). Poiche i settori CGQM e DFPN hanno la proiezione O del verticecome punto medio, si puo applicare ad esse il risultato del Consectarium 4 dellaProp. 4 ed ottenere

A(CGQM) : A(DFPN) =MO + MO3

3AO2 + MO5

5AO4 + MO7

7AO6 +&c.

NO + NO3

3AO2 + NO5

5AO4 + NO7

7AO6 +&c.(6.13)

da cui segue la tesi.

Prop. V . Data l’iperbole CEL di vertice E ed asintoti AB ed AY , si considerinodue regioni iperboliche a piacere HITR, KLY V delimitate dall’iperbole da unasintoto e da rette parallele all’altro asintoto. Si dividano i segmenti RT , V Yin due parti uguali con i punti S ed X. Dico che la regione HITR sta alla

regione KLY V come RS×AOAS + RS3×AO

3AS3 + RS5×AO5AS5 + RS7×AO

7AS7 +ecc. all’infinito

sta a VX×AOAX + V X3×AO

3AX3 + V X5×AO5ASX5 + V X7×AO

7AX7 + ecc. all’infinito. Si considerila retta EO parallela all’asintoto e si abbia che AS sta ad AR come AO = EOsta ad AM ; e che come AS sta ad AT cosı AO sta ad AQ; similmente, siabbia che AX sta ad AV come AO sta ad AN , e che AO sta ad AP comeAX sta ad AY ; e evidente che MO = OQ ed NO = OP . Tracciati i segmentiMC, ND, PF , QG, e evidente (dalle proprieta dell’iperbole) che la regioneCGQM e equivalente alla regione HITR e che la regione DFPN e equivalentealla regione KLY V ; ma e evidente (dal precedente consettario 4) che la regione

CGQM sta alla regione DFPN come MO + MO3

3AO2 + MO5

5AO4 + MO7

7AO6 + ecc. sta

ad NO + NO3

3AO2 + NO5

5AO4 + NO7

7AO6 + ecc. proporzione che coincide con quella chevolevamo dimostrare.18 (p.12 di [15])

18Sit Hyperbola CEL, cujus vertex E, & asymptotae AB, AY ; in qua sumantur dua spatia

6.4. ISAAC NEWTON 237

Siamo cosı giunti al Consectarium 1 della Prop. 5 dove le formule di quadratu-ra per l’iperbole vengono applicate al calcolo dei logaritmi. Precisamente, Gre-gory considera quattro numeri A, B, D ed E, indica con C := (A + B)/2ed F := (D + E)/2 le rispettive medie aritmetiche ed introduce le differenzeN := C − A ed O := F −D. Le differenze log(A) − log(B) e log(D) − log(E)sono interpretabili come aree di porzioni di iperboli, ed e facile verificare, grazieal fatto che S e punto medio di TR e alla proporzione (6.12), che SR = N eche AS = C per cui OM = AON

C . Analogamente ON = AOOF per cui si ha la

proporzione

log(A) − log(B) : log(D)− log(E) =NC + N3

3C3 + N5

5C5 + N7

7C7 +&c.OF + O3

3F 3 + O5

5F 5 + O7

7F 7 + &c..

Gregory illustra poi come applicare il risultato per ottenere il logaritmo di unnumero qualunque, noto che ne sia un altro.

Cons. 1 E evidente da tutto cio (per la proporzionalita tra le regioni iperbolicheed i logaritmi) che la differenza tra i logaritmi dei numeri A, B, sta alla differen-za tra i logaritmi dei numeri D, E, (detto C il medio aritmetico di A e B e dettoF il medio aritmetico di D ed E, N la differenza tra C ed A ed O la differenza

tra F e D) come NC + N3

3C3 + N5

5C5 + N7

7C7+ ecc. sta ad OF + O3

3F 3 + O5

5F 5 + O7

7F 7+ecc.e dunque se si pone A = D = 1 si ottiene un metodo per trovare un logaritmoqualsiasi dato un altro, senza riferimento alcuno all’iperbole, ma grazie ad uncalcolo il piu delle volte troppo laborioso.19 (p.13 di [15])

6.4 Isaac Newton

Ai risultati di Mercator e Gregory sulle serie logaritmiche giunse ancheIsaac Newton (1642-1727) che si occupo di logaritmi a livello teorico e com-putazionale. Sotto il primo aspetto egli generalizzo la serie di Mercator

Hyperbolica ad libitumHITR, KLY V , contenta a curva Hyperbolica, una asymptota & rectisalteri asymptotae parallelis: dividantur rectae RT , V Y , bifariam in S & X punctis. Dico

spatium HITR esse ad spatium KLY V ut RS×AOAS

+ RS3×AO3AS3 + RS5×AO

5AS5 + RS7×AO7AS7 +&c.

in infinitum ad V X×AOAX

+ V X3×AO3AX3 + V X5×AO

5ASX5 + V X7×AO7AX7 +&c. in infinitum. Asymptotae

AB fiat recta parallela EO, sitque ut AS ad AR ita AO = EO ad AM ; & ut AS ad ATita AO ad AQ; similiter, fit ut AX ad AV ita AO ad AN , & AO ad AP ut AX ad AY ;manifestum est MO = OQ & NO = OP . Ductis rectis MC, ND, PF , QG, evidens est (exHyperbolae proprietatibus) spatium CGQM esse aequale spatio HITR & spatium DFPNspatio KLY V ; at patet (ex consectario 4 antecedentis) spatium CGQM esse ad spatium

DFPN , ut MO + MO3

3AO2 + MO5

5AO4 + MO7

7AO6 +&c. ad NO + NO3

3AO2 + NO5

5AO4 + NO7

7AO6 +&c. quaeanalogia eadem est cum proposita, quod demonstrandum erat.

19Hinc manifestum est (ob analogiam inter spatia Hyperbolica & Logarithmos) differentiaminter Logarithmos numerorum A, B, esse ad differentiam inter Logarithmos numerorum D,E, (posito C medio arithmetico inter A, B, & F medio arithmetico inter D, E, item N

differentia inter C & A, & O differentia inter F et D) ut NC

+ N3

3C3 + N5

5C5 + N7

7C7 + &c. ad

OF

+ O3

3F3 + O5

5F5 + O7

7F7 +&c. & ideo si ponatur A = D = 1 hinc patet methodum inveniendiLogarithmum quemcunque ex uno dato, absque ulla Hyperbolae consideratione, sed calculoplerumque nimis laborioso.


rappresentando l’equazione dell’iperbole nella forma

y(x) =a2

b+ x,

con a e b costanti arbitrarie. Cio gli permise di ottenere lo sviluppo

a2

b+ x=a2

b− a2

b2x+

a2

b3x2 − a2

b4x3 + ....

e, applicando la teoria delle flussioni,

log(b + x) =

∫

1

b+ xdx = [

x

b− 1

2

x2

b2+

1

3

x3

b3− 1

4

x4

b4+ ....] (6.14)

dove egli commise un errore, che si rivelo ininfluente per la correttezza deirisultati, in quanto non inserı la costante di integrazione. La relazione ottenutamostra la presenza di una infinita di sistemi logaritmici, determinati ognuno dalvalore di b. Inoltre, moltiplicando ambo i membri di (6.14) per a2 si mostra cheognuno dei sistemi ottenuti fissando b ne genera un’infinita con la proprieta chei logaritmi di uno stesso numero A sono equimultipli. Chiaramente, i logaritminaturali corrispondono alla scelta a = b = 1 e lo sviluppo di Newton coincidein questo caso con quello di Mercator.

Sempre sul piano piu teorico, Newton invertı la serie logaritmica risolven-do per serie il problema di determinare un numero, noto il suo logaritmo. Ilmetodo e accennato senza dimostrazione in una lettera datata 13 giugno 1676 etrasmessa ad Heinrich Oldenburg (1615?-1677)—segretario della Royal Soci-ety che svolse in Gran Bretagna il ruolo di Mersenne sul continente—perchela facesse pervenire a Gottlieb Leibniz. In questa lettera, Newton illustradapprima la serie binomiale, sottolineandone i vantaggi nel calcolo delle radiciquadrate o cubiche e poi passa ad occuparsi della soluzione di equazioni alge-briche per approssimazioni successive. Infine, egli illustra la soluzione di alcuniproblemi inversi, il settimo dei quali e cosı enunciato:

Sia inoltre CE un’iperbole (Fig. 6.4), i cui asintoti AD ed AF formino un angoloretto e si traccino comunque delle perpendicolari BC, DE ad AD che taglianol’iperbole in C ed E e si chiami AB a, BC b e z l’area di BCED; allora sara

BD =z

b+

zz

2abb+

z3

6aab3+

z4

24a3b4+

z5

120a4b5

ecc. dove i coefficienti dei denominatori si ottengono moltiplicando i termini diquesta progressione aritmetica 1,2,3,4,5, ecc. tra di loro in successione; da cioe possibile trovare il numero che compete ad un logaritmo assegnato.20 (p.109

20Praeterea si sit CE hyperbola (Fig. 6.4), cujus Asymptoti AD, AF, rectum angulum FADconstituant, et ad AD erigantur utcunque perpendicularia BC, DE, occurrentia hyperbolae inC et E, et AB dicatur a; BC, b, et area BCED, z, erit

BD =z

b+

zz

2abb+

z3

6aab3+

z4

24a3b4+

z5

120a4b5

etc. ubi coefficientes denominatorum prodeunt multiplicando terminos hujus arithmeticaeprogressionis, 1,2,3,4,5 etc. in se continuo; et hinc ex logarithmo dato potest numerus eicompetens inveniri.

6.4. ISAAC NEWTON 239

di [16])

A D

C

B

F

E

Figura 6.4: Figura utilizzata da Newton per illustrare l’inversione della serielogaritmica.

In una lettera di poco successiva, datata 26 ottobre 1676 (pp.122-146 di[16]), Newton espone con maggiori dettagli il metodo per ottenere un numero,noto il suo logaritmo, accennando ad un compendio contenente il metodo e sueapplicazioni. Questo compendio, De Analysi per Aequationes Numero Termi-norum infinitas, uscira postumo, ma per quanto ci riguarda il contenuto dellalettera di Newton e sufficiente a chiarire il procedimento che viene illustratodalla ricerca del numero x < 1, dato z := − ln(1− x), detto area hyperbolae peril suo legame con l’iperbole equilatera. Grazie alla serie di Mercator, si ha

z = x+x2

2+x3

3+x4

4+x5

5+ ....

che, moltiplicata per se stessa fornisce

z2 = x2 + x3 +11

12x4 +

5

6x5 + ...

e, dopo moltiplicazioni successive

z3 = x3 +3

2x4 +

7

4x5 + ... z4 = x4 + 2x5 + ... z5 = x5 + ....

L’idea di Newton e di combinare linearmente in successione la prima equazionecon multipli delle successive in modo da eliminare ad ogni passaggio una o piudelle potenze di x di grado superiore ad 1. Ad esempio, formando z − 1

2z2 si

ottiene

z − 1

2z2 = x− 1

6x3 − 5

24x4 − 4

15x5 + ....

nella quale e scomparso il termine in x2. Se ora si aggiunge 16z

3 all’espressionecosı ottenuta si ricava

z − 1

2z2 +

1

6z3 = x+

1

24x4 +

3

40x5 + ....


da cui e scomparso anche il termine in x3. Se ora si sottrae 124z

4 si ottiene

z − 1

2z2 +

1

6z3 − 1

24z4 = x− 1

120x5 + ....

da cui, poiche con il grado di approssimazione richiesto si ha x5 = z5, segue

z − 1

2z2 +

1

6z3 − 1

24z4 +

1

120z5 + ... = x.

Non si tarda a riconoscere nel membro di sinistra di questa equazione il poli-nomio di Taylor di quinto grado per 1− e−z in un intorno di z = 0 (p. 143 di[16] e [17]).

Nella medesima lettera del 26 ottobre 1676, Newton perfeziona un metodoper ottenere tavole logaritmiche utilizzando la serie di Gregory che egli avevain verita introdotto negli anni 1665-1666 in cui era ritornato alla casa natale delLincolnshire dopo la chiusura di Cambridge per l’epidemia di peste Al tempoin cui l’assalto della peste mi costrinse a fuggire da qui e a pensare ad altro21

(p. 125 di [16]). Grazie a questo sviluppo egli calcolo i logaritmi naturali deiquattro numeri 0.8, 0.9, 1.1 ed 1.2 da cui, osservando che

1.2× 1.2

0.8× 0.9= 2

2× 2× 2

0.8= 10

egli otteneva i logaritmi di 2 e 10 e, sfruttando l’algebra dei logaritmi, quellidi 9 e dei numeri primi 3, 5 ed 11 = 10 × 1.1. Iterando la procedura eglideterminava per serie i logaritmi di 0.98, 0.99, 1.01 ed 1.02, nonche di 0.998,0.999, 1.001 ed 1.002 da cui, ancora per addizione, sottrazione ed elementari

operazioni algebriche—come, ad esempio 7 = 10√

0.982 — otteneva logaritmi

dei successivi numeri primi (p. 126 di [16]). Newton non diede corso allacostruzione di una tavola logaritmica secondo le linee indicate sopra perchesospettava che, dopo la pubblicazione della Logarithmotechnia, qualcuno potessecompletare le tavole molto piu rapidamente di lui:

Ma quando uscı quell’ingegnosa Logarithmotechnia di N. Mercator (che suppon-go abbia trovato lui per primo) iniziai ad occuparmene di meno, sospettandoche egli conoscesse l’estrazione di radici come la divisione di frazioni o almenoche altri, effettuata la divisione, avrebbero trovato i logaritmi restanti prima chefossi pronto per scrivere.22 (p.126 di [16])

Il progetto di una tavola logaritmica accurata ma al tempo stesso rapidada ottenere e accennato sempre nella lettera per Liebniz del 24 ottobre 1676,dove la costruzione e ripresa e viene corredata di scomposizioni opportune perottenere i logaritmi dei numeri primi inferiori a 100, noti quelli di 10, 0.98, 0.99,1.01 ed 1.02. Particolare importante e che egli accenna al fatto che, ottenuti

21Eo tempore pestis ingruens coegit me hinc fugere, et alia cogitare22Sed ubi prodiit ingeniosa illa N. Mercatoris Logarithmotechnia (quem suppono sua pri-

mum invenisse) coepi ea minus curare, suspicatus vel eum nosse extractionem radicum aequeac divisionem fractionum, vel alios saltem, divisione patefacta, inventuros reliqua, priusquamego aetatis essem maturae ad scribendum.

6.5. LA RESTAURAZIONE DI HALLEY 241

i logaritmi di 980, 990, 1000, 1010 e 1020, quelli degli altri interi compresi inquesto intervallo si ottengono per interpolazione. Newton non pubblico alcunatavola logaritmica ed i suoi suggerimenti non vennero utilizzati per molto tempo.

6.5 La restaurazione di Halley

In questa sezione diamo conto di un lavoro [18] di Edmund Halley (1656-1742)apparso sulle Philosophical Transactions nel 1695 dove viene proposto un meto-do di costruzione dei logaritmi che trae profitto dai grandi progressi compiutinella teoria delle serie in Inghilterra nei trent’anni precedenti ma che evita ac-curatamente di interporre la costruzione geometrica dell’iperbole estranea alladefinizione di logaritmo, come e chiaro fin dal titolo del lavoro, laddove Hal-ley ha cura di avvertire che la costruzione dei logaritmi poggia sulla natura deinumeri without any regard to the hyperbola. L’obiettivo perseguito da Halleye poi da lui bene espresso nella chiusura di [18]

Spero di aver cosı chiarito la Dottrina dei Logaritmi e di averne dimostrato lacostruzione e l’uso indipendentemente dall’iperbole, le cui proprieta sono stateutilizzate finora per questo scopo, benche si tratti di argomento puramente ar-itmetico, non dimostrabile propriamente dai principi della geometria. Ne sonostato costretto a ricorrere al metodo degli indivisibili o all’aritmetica degli infini-ti, il tutto essendo niente altro che un semplice Corollario del teorema generaledi Newton per formare radici e potenze.23 (p. 67 di [18])

Nell’introduzione, Halley critica come inadeguata la classica definizionedi logaritmi data in origine da Nepero e Briggs: compagni equidifferenti dinumeri proporzionali, proponendo un cambio di prospettiva:

I logaritmi si possono molto piu appropriatamente chiamare numeri esponenti dirapporti, dove consideriamo il rapporto come una quantita sui generis, a partiredal rapporto di uguaglianza o 1 ad 1=0; essendo positivo quando il rapportocresce come quello tra l’unita ed un numero piu grande, ma negativo quandodecresce; noi supponiamo di misurare questi rapporti con il numero di raziuncolecontenute in ciascuno.24 (pp. 58-59 di [18]).

Ritorna in questa definizione il concetto di logaritmo come misura di un rap-porto, positivo per rapporti, diremmo noi, maggiori di 1 e negativo per rapportiminori di 1. Siamo ancora nell’alveo di un approccio euclideo ai logaritmi chesi riferiscono piu ai rapporti dei numeri all’unita che ai numeri medesimi. Le

23Thus I hope I have cleared up the Doctrine of Logarithms, and shewn their Constructionand Use independent from the Hyperbola, whose Affections have hitherto been made use offor this purpose, though this be a matter purely Arithmetical, nor properly demonstrablefrom the Principles of Geometry. Nor have I been obliged to have recourse to the Method ofIndivisibles, or the Arithmetick of Infinites, the whole being no other than an easie Corollaryto Mr. Newton’s General Theorem for forming Roots and Powers.

24They [=the logarithms] may much more properly be said to be Numeri rationum ex-ponentes: wherein we consider ratio as a quantitas sui generis, beginning from the ratio ofequality, or 1 to 1=0; being affirmative when the ratio is increasing, as of unity to a greaternumber, but negative when decreasing; and these rationes we suppose to be measured by thenumber of ratiunculae contained in each.


raziuncole cui fa cenno Halley sono i medi proporzionali di una progressionegeometrica di ragione prossima all’unita ed il numero di queste raziuncole traun intero assegnato n e l’unita e la chiave per determinare il logaritmo di n.

Ora, queste “raziuncole” sono da intendersi come una Scala di infiniti terminiin proporzione continuata compresi tra i due termini del “rapporto”; questonumero infinito di medi proporzionali sta al numero infinito di analoghe ed uguali“raziuncole” tra due altri termini, come il logaritmo di uno dei “rapporti” sta allogaritmo dell’altro. Cosı se si suppone una Scala infinita di medi proporzionalicompresi tra 1 e 10 in numero di 100000 ecc. all’infinito, allora tra 1 e 2 cisaranno 30102 ecc. di questi medi proporzionali.25 (p. 59 di [18]).

Fin qui non si scorgono elementi molto diversi dall’impostazione di Briggs:osserviamo che i numeri infiniti di cui parla Halley sono in realta numeri moltograndi, il cui valore preciso determina l’accuratezza del logaritmo ed il sistemalogaritmico scelto. Halley tuttavia cambia rotta e, forte della serie binomiale edella teoria delle flussioni introdotte da Newton afferma che la ratiuncula non ealtro che la flussione del rapporto (ratio) del numero assegnato rispetto all’unita.A questo punto Halley fa entrare in scena le radici di indice arbitrariamentegrande ed afferma che la piccola differenza (differentiola) tra la radice m-esimadi un numero qualsiasi e l’unita si comporta come il logaritmo del numero stesso.In questo modo di procedere si sente un’eco del metodo di estrazioni successivedi radici quadrate seguito da Briggs che, quando m 1, aveva osservato laproporzionalita tra 2m

√x− 1 e log x. La scelta di m (detto indice del numero la

cui radice e richiesta, distingue tra loro i vari sistemi logaritmici. Come vedremotra poco, cio equivale ad affermare che

limm→∞

m[(1 + x)1/m − 1] = log(1 + x).

Il procedimento seguito per ottenere questo risultato e espresso da Halley inquesti termini:

Testo 6.7 (Halley) (pp.59-60 di [18]). Originale 6.14Se si estrae la radice di una qualsiasi potenza infinita di un numero qualsi-

asi, la “piccola differenza” tra questa radice e l’unita sara come il logaritmo diquel numero. I logaritmi ottenuti in questo modo assumeranno tante forme aseconda degli indici presi della potenza di cui si cerca la radice: cosı se l’indicee preso 100000ecc. all’infinito, le radici saranno i logaritmi introdotti da LordNapeir; ma se quell’indice fosse 2302585ecc. si otterrebbero subito i logaritmi delSig. Briggs. E se vi aggrada di fermarvi ad un qualunque numero di cifre senzacontinuare oltre, bastera prendere un indice di una o due cifre superiori a quellerichieste per il logaritmo (....) Ora, benche la nozione di potenza infinita possaapparire molto strana e forse anche inutilizzabile da coloro che sanno quanto sia

25Now these “ratiunculae” are so to be understood as in a continued Scale of Proportionalsinfinite in Number between the two terms of the “ratio”, which infinite Number of meanProportionals is to that infinite number of the like and equal “ratiunculae” between any othertwo terms, as the Logarithm of the one “ratio” is to the Logarithm of the other. Thus ifthere be supposed between 1 and 10 an infinite Scale of mean Proportionals, whose numberis 100000& c. in infinitum; between 1 and 2 there shall be 30102& c. of such Proportionals


difficile estrarre radici di alte potenze; tuttavia, con l’aiuto dell’ammirabile in-venzione del Sig. Newton, con cui egli determina le “Unciae” o numeri prepostiai termini che formano la serie (da cui soprattutto dipende la Dottrina delleSerie) il fatto che l’indice sia infinito contribuisce a rendere assai piu semplicel’espressione; infatti, se la potenza infinita da sciogliere e posta come p+ pq,

p+ pq|1m o 1 + q

∣

∣

1m (grazie al metodo di Newton), invece di

1 +1

mq +

1−m

2mmqq +

1− 3m+ 2mm

6m3q3 +

1− 6m+ 11mm− 6m3

24m4q4Ecc.

(che e la radice quando m e finito) si ha

1 +1

mq − 1

2mqq +

1

3mq3 − 1

4mq4 +

1

5mq5 ecc.

in quanto, siccome m e infinito tutto cio che viene diviso in seguito si annulla.Dunque si ha che 1

m per

q − 1

2qq +

1

3q3 − 1

4q4 +

1

5q5 ecc.

e l’aumento del primo dei nostri medi proporzionali tra uno ed 1+q ed e dunqueil logaritmo del rapporto tra 1 ed 1 + q e, mentre l’indice infinito m puo esserepreso a piacere, le diverse Scale di logaritmi corrispondenti a tali indici sarannocome 1

m o, reciprocamente, come gli indici.

Dunque Halley considera lo sviluppo di m√1 + q o, nella sua notazione,

1 + q∣

∣

1m , formalmente raccoglie un fattore 1/m e fa tendere m all’infinito nella

somma che moltiplica 1/m ottenendo la differentiola che fornisce l’espressione dilog(1+ q). Notiamo che il numero 2302585 da utilizzare per ottenere i logaritmibriggsiani e il valore numerico di ln 10. Con un procedimento del tutto analogo,egli fornisce la serie per log(1 − q). Per trovare il logaritmo di un rapportoqualsiasi b/a, con b > a, detta x := b − a > 0 la differenza tra i termini dellafrazione ed introdotta la media aritmetica z

2 = a+b2 , per le proprieta elementari

dei logaritmi si puo scrivere

log

(

b

a

)

= log

(

2b

z

)

+ log( z

2a

)

e siccome 2a = z − x e 2b = z + x si ottiene

log

(

2b

z

)

= log(

1 +x

z

)

=

(

x

z− xx

2zz+

x3

3z3− x4

4z4+

x5

5z5− x6

6z6+ ...

)

e

log( z

2a

)

=

(

x

z+

xx

2zz+

x3

3z3+

x4

4z4+

x5

5z5+

x6

6z6+ ...

)

e pertanto, sommando, si ottiene lo sviluppo convergente

log

(

b

a

)

= log

(

1 + xz

1− xz

)

=

(

2x

z+

2x3

3z3+

2x5

5z5+

2x7

7z7+ ...

)

,


che e la serie di Gregory, senza riferimento all’iperbole.

Per ottenere una convergenza ancora piu rapida Halley fa intervenire anchela media geometrica M :=

√ab di a e b ed osserva che

log( z

2a

)

− log

(

2b

z

)

= logabz2

4

= 2 logz2

M

da cui segue che

logz2

M=

(

xx

2zz+

x4

4z4+

x6

6z6+

x8

8z8+ ....

)

.

Halley mostra come utilizzare con frutto questo risultato per determinare illogaritmo dei numeri primi, punto di partenza cruciale per la costruzione di unatavola logaritmica. Egli nota che la differenza dei termini del rapporto ab/(z2/4)

e, per calcolo diretto, z2

4 − ab = [(a − b)/2]2 = 14x

2. Ora, se occorre trovare illogaritmo di un numero primo n, si considerano b = n+1 ed a = n− 1 cosı che14x

2 = 1; posto y2 = z2

4 + ab, dalla definizione di x si ricava ab = 12 (y

2 − 1) =12y

2(

1− 1y2

)

e z2

4 = 12 (y

2 + 1) = 12y

2(

1 + 1y2

)

da cui si ottiene

1

2log

z2

4

ab=

(

1

yy+

1

3y6+

1

5y10+

1

7y14+

1

9y18+ ...

)

che converge piu rapidamente della serie di Gregory. Come illustrazione nu-merica della validita del metodo, Halley calcola il logaritmo di 23, mediaaritmetica di 22 e 24, servendosi delle tre serie. Per l’ultima egli considera lamedia geometrica

√528 di 22 e 24 e grazie alla regola precedente, poiche ora

y2 = 232 + 22 · 24 = 1057 si ha

1

2log

z2

4

ab=

(

1

1057+

1

3542796579+

1

659676558485285

)

Poiche infine 528 = 11 · 3 · 24, la conoscenza dei logaritmi di 2, 3 ed 11 consentedi arrivare al valore di log 23.

Nell’ultima parte di [18], Halley considera il problema di trovare un nu-mero, assegnato il suo logaritmo. Anche in questo caso, lo strumento utilizzatoe il teorema del binomio di Newton.

Siccome si e dimostrato che il logaritmo del rapporto tra 1 ed 1+q e 1 + q| 1m −1

e quello del rapporto tra 1 ed 1− q e 1− 1− q| 1m : dunque assegnato il logaritmo

che chiameremo d’ora in poi L, 1+L sara uguale ad 1 + q| 1m in un caso ed 1−L

sara uguale ad 1− q| 1m nell’altro. Di conseguenza 1 + L|m uguagliera 1 + q, ed

1− L|m uguagliera 1 − q; pertanto, in accordo alla menzionata regola del Sig.Newton, 1 +mL + 1

2m2L2 + 1

6m3L3 + 1

24m4L4 + 1

120m5L5 ecc. sara 1 + q, e


1−mL+ 12m

2L2 − 16m

3L3 + 124m

4L4 − 1120m

5L5 sara uguale ad 1− q, dove me un indice infinito qualsivoglia.26 (pp.65-66 di [18])

Si tratta pertanto di una inversione formale della definizione di logaritmo, intermini di radici con indice molto elevato. Halley sottolinea il ruolo privilegiatodel sistema di logaritmi naturali, in cui la moltiplicazione per m puo essereomessa ottenendo

1 + q = 1 + L+1

2L2 +

1

6L3 +

1

24L4 +

1

120L5 .

Infine, Halley considera il caso in cui il logaritmo L non sia tabulato e lointende esprimere grazie a logaritmi di numeri tabulati. Egli chiama a e b inumeri con i logaritmi piu vicini di tutti ad L nella tavola. Nel caso in cui ilnumero tabulare con logaritmo piu vicino ad L sia b tale che log b > L, Halleyintroduce la quantita ` := log b − L ed osserva che, se L = log x, il valoreincognito x si puo ottenere in termini dei dati tabulati b ed ` in quanto

` = logb

x= log

(

1 +∆x

x

)

dove ∆x := b− x. Per quanto visto prima si conclude che

1 +∆x

x=b

x= 1 + `+

`2

2+`3

6+ ....

da cui si ottiene

x = b

(

1− `+`2

2− `3

6+ ....

)

.

Similmente, se si parte da un numero a il cui logaritmo e minore di L e si indica` := L− log a si conclude che

x = a

(

1 + `+`2

2+`3

6+ ....

)

.

Poiche ` e una quantita piccola, questi sviluppi convergono piu rapidamenteche quelli espressi in termini di L ricavati in precedenza. Il lavoro di Halley,benche criticato per essere oscuro, ha alcuni elementi di pregio quali l’avereevidenziato come si distinguano tra loro i diversi sistemi logaritmici ed averperfezionato la costruzione di canoni logaritmici accurati attraverso lo sviluppoin serie convergenti rapidamente.

26As the Logarithm of the “ratio” of 1 to 1 + q was proved to be 1 + q| 1m − 1, and that of

the ratio of 1 to 1 − q to be 1 − 1− q| 1m : so the Logarithm, which we will from henceforth

call L, being given, 1 +L will be equal to 1 + q| 1m in the one case; and 1−L will be equal to

1− q| 1m in the other: Consequently 1 + L|m will be equal to 1+ q, and 1− L|m to 1− q; that

is, according to Mr. Newton said rule, 1 +mL+ 12m2L2 + 1

6m3L3 + 1

24m4L4 + 1

120m5L5 &

c. will be 1 + q, and 1−mL+ 12m2L2 − 1

6m3L3 + 1

24m4L4 − 1

120m5L5 & c. will be equal to

1− q, m being any infinite Index whatsoever.


6.6 Testi originali

Testo 6.8 [Mercator, Logarithmotechnia] (pp. 4-6 di [7]).Scire velim, ratio 100[5 ad 1 quot contineat ratiunculuas, qualium decupla con-tinet 1,0000000. Dispesco igitur rationem 100[5 ad 1 in suas partes, nimurum100[5 ad 100, 100 ad 10, & 10 ad 1, quarum posteriores duae constituunt duasdecuplas (unde patet Characteristicam fore 2;) itaque restat, ut investigemus,quota pars fit reliqua ista ratio 100[5 ad 100 ipsius decuplae. Quod si igiturtermini 100[5 & 100 ducantur uterque in sese, producti exhibebunt rationemduplicatam rationis 100[5 ad 100, cujus (duplicatae scilicet rationis) terminirursus in se ducti procreabunt duplicatam duplicatae, id est, quadruplicatamrationis 100[5 ad 100: atque ita continuata multiplicatione terminorum, donec is,qui gignitur ex ductu continuo termini 100[5 in seipsum, evadat decuplus ejus,quem ductus continuus termini 100 in seipsum producit; denominator potes-tatis postremo genitae ostendet, quot integris vicibus ratio 100[5 ad 100 con-tineatur in decupla. Et cum alter terminorum fit 100, cujus potestates omnesconstant unitate & certo numero cyphrarum; omnis labor reliquus occupabiturcirca elevandum alterum terminum 100[5 ad eam potestatem, quae prioris termi-ni (nimirum 100rij) aeque altam potestatem excedat decuplo; cujus operationiscompendium exemplo, quam verbis docere praestat.

Cum igitur 462da potestas termini 100[5 excedat aeque altam 100rij plus quamdecuplo; at 461ma ejusdem termini 100[5 excedat aeque altam 100rij minus quamdecuplo: ajo, rationem 100[5 ad 100 contineri in decupla plus quam 461 vicibus,minus autem quam 462bus.

Coeterum

Cum potestas

460461462

sit

991619399657741001560

& differentiae4958149829

propemodum aequales;

Itaque partem proportionalem, qua potestas justa, nimirum 10000000 exceditproxime minorem 9965774, per Regulam auream facile ac tuto reperire datur,sumendo nimirum

justae 10000000& proxime minoris 9965774

differentiam 34226

& dicendo: Ut differentia inter proxime minorem et majorem (nimirum 49829)Ad differentiam inter proxime minorem et justam (puta 34226) Ita 10000 ad6868; quae sunt partes unius vicis, adeo ut ratio 100[5 ad 100 contineatur indecupla 461b6868 vicibus. Porro, si decupla (sive ratio 100b5 ad 100 sum-ta 461b6868 vicibus) continet ratiunculas 1,0000000; quot ejusmodi ratiuncu-las continebit ratio 100b5 ad 100 sumta? Prodeunt 21659b7 ratiunculae, quaesunt exacta mensura rationis 100b5 ad 100, quibus si addas rationes 100 ad 10et 10 ad 1, hoc est bis decuplam, constantem ratiunculis 2,0000000; fit inte-gra mensura rationis 100b5 ad 1 (sive logarithmus absoluti 100b5) hic scilicet2, 0021659b7 .


100[5000 (1) 1893406 (128) sed in proxime praece-5001 (1) 6043981 (128) dentem, hoc modo:1005000 3584985 (256) 9340130 (448)

5025 5894853 (256) 8603801 (16)1010025(2) 12852116 (512) 10115994 (464)10100 (2) Haec potestas plus- Ubi rursus nimium

20 quam decuplo excedit colligitur; ergo eandem5 potestatem aeque altam adhuc 448vam duco, non

—— 100rij; ergo resumo in 16tam, ut modo, sed in1020150 (4) 256tam, eamq, duco, non proxime praecedentem,0510201 (4) in sese, ut modo, sed in nimirum 8vam, hoc mo-

1020150 proxime praecedentem, do:20403 nimirum 128vam, hoc- 9340130 (448)102 modo 6070401 (8)

51 3584985 (256) 9720329 (456)1040706 (8) 6043981 (128) 0510201 (2)

6070401 (8) 6787831 (384) 10015603 (462)——-

1083068 (16) 1106731 (64) Quae potestas rursus

8603801 (16) 9340130 (448) excedit limitem; quare——– eandem 460mam duco,

1173035 (32) 5303711 (32) non in 2dam, sed in

5303711 (32) 10956299 (480) 1mam, hoc modo1376011 (64) Haec potestas denuo excedit 9916193 (460)1106731 (64) aeque altam 100rij 5001 (1)

——– plusquam decuplo; ergo 9965774 (461)1893406 (128) eandem 448vam duco,

non in 32dam, ut modo,


Testo 6.9 [Mercator, Logarithmotechnia] (pp.16-17 di [7])Sin partis imperatae denominator sit numerus par; sume semissem differ-

entiae terminorum rationis per praecedentem inventae, quem ejusdem terminominori detrahes, & majori addes pariter ac detrahes; ita obtinebis quatuor ra-tiones continuas terminorum aequidifferentium, ex quibus minorum duarum dif-ferentiam auferes ex majorum duarum differentia, & emergentem differentiarumdifferentiam asservabis. Deinde partis imperatae denominatorem bipartire, &invento semissi congruentes in tabella propositioni III. subjuncta species ex-cerpe, saltim usque ad c speciem, positoque a = 1

2 , b = 2, c = 1 13 ; duc cujusque

speciei valorem in suum coefficientem, collectisque omnibus in unam summam,habebis, quot vicibus sumenda sit differentiarum differentia supra asservata, utacquiras particulam, qua pars imperata, quae per praecedentem inveniebatur,deficit ab exactiori. Ex. gr. Rationis 8

11 octans per praecedentem inventussit 149

155 ; Scire velim, quantum is deficiat ab exactiori. Differentia terminorumest 6, cujus semis 3 detractus minori termino, reliquit 146; additus autem ma-jori, facit 158; & detractus majori, relinquit 152. Sunt ergo quatuor rationescontinuae terminorum aequidifferentium 146

149 ,149152 ,

152155 ,

155158 . Differentia duarum

minorum rationum 2401624025 ablata a differentia duarum majorum 22192

22201 relinquitdifferentiarum differentiam 1753825

1753879 asservandam. Partis imperatae denomina-tor est 8, cujus semissi 4 congruunt in tabella propositioni III subjuncta speciesistae: a + 3b + 3c; sed a = 1

2 , & 3b = 6, & 3c = 4, quae juncta faciunt 10 12 .

Ergo differentiarum differentie 17538251753879 supra servatae sumendum est decuplum

cum semisse, ut acquiramus particulam, qua octans per praecedentem inventusdeficit ab exactiori. Atqui rationis 1753825

1753879 decuplum per V hujus est 17535821754122 vel

876791877061 , & semis per VI est 3507677

3507731 ; adeo ut rationis811 octans exactior praeter ra-

tionem per praecedentem inventam 149155 contineat etiamnum ratiunculas 876791

877061 ,& 3507677

3507731 .

Testo 6.10 [Mercator, Logarithmotechnia](pp.30-31 di [7])Quovis numero in partes aequales discerpto; invenire summam quarumvis potes-tatum ab innumeris istis numeris genitarum.

Numeri dati potestas proxime superior potestatibus quaesitis, si dividaturper exponentem suum, extabit summa potestatum quaesita.

V. gr. Numerus datus sit 21, hic si discerpatur in partes innumeras, con-tinebit non modo hos numeros 20, 19, 18, 17, &c. sed & innumeros interjectos,quorum quisque intellegitur ductus in unam partem infinitissimam numeri 21,Horum igitur omnium productorum summam si queras; quoniam ipsa productasunt potestates primae (sive lineae;) erit potestas proxime superior quadrati-ca; & ejus exponens 2, Ergo dati numeri 21 quadratum 441, si dividatur perexponentem 2. extabit summa omnium primarum potestatum, genitarum abinnumeris istis numeris, qui in dato numero 21 continentur, nimirum 220b5.Rursus quaevis potestas prima intelligatur ducta in seipsam, & oporteat nos in-venire summma omnium istorum quadratorum. Potestas proxime superior estcubica, & ejus exponens 3, Ergo dati numeri 21 cubus 9261, si dividatur perexponentem 3, extabit summa omnium quadratorum 3087. Horum quadrato-rum quodvis ducatur in suum latus, & oporteat nos invenire summam omnium


istorum cuborum. Potestas proxime superior est quadrato-quadratica, & ejusexponens 4. Ergo dati numeri 21 quadrato-quadratum 194481, si dividatur perexponentem 4, extabit summa omnium cuborum 48620b25.

Demonstratio. Summa omnium ab unitate imparium aequalis est quadra-to numeri terminorum sic numerus terminorum omnium imparium ab unitateusque ad 21 est 11, cujus quadratum 121 aequale est summae omnium horumimparium; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. At idem quadratum 121 dupli-catum, nimirum 242, excedit summam omnium eorundem imparium una cumparibus inclusis ipso numero terminorum 11; deficit autem a summa omniumparium aeque ac imparium eodem numero terminorum 11. Ergo quadratumduplicatum numeri terminorum imparium non potest excedere vel deficere asumma omnium tam parium quam imparium, plusquam ipso numero termino-rum imparium, hoc est (si termini sunt innumeri) eodem numero terminorumsive dimidio termini maximi, ducto in partem infinitissimam numeri dati. Quodproductum si quis putet, adhuc rationem aliquam obtinere ad summam omni-um terminorum; nondum utique divisus est numerus datus in partes innumeras,quod est contra hypothesin. Ergo quadratum dimidii numeri terminorum (tamparium quam imparium) duplicatum; vel, quod idem est; dimidium quadrati nu-meri omnium terminorum (tam parium quam imparium) aequale est summaeomnium terminorum.

Testo 6.11 [Mercator, Logarithmotechnia](pp.31-32 di [7]) In diagrammatepraecedenti, positio AI=1; intelligatur asymptotos inde ab I versus E divisa inpartes aequales innumeras, quae sunt v.gr. Ip = pq = qr = a. Erit, per XIV etXV hujus, ps = 1− a+ aa− a3 + a4, &c. & qt = 1− 2a+4aa− 8a3 +16a4, &c.& ru = 1− 3a+ 9aa− 27a3 + 81a4, &c. Sed ps+ qt+ ru = areaeBIru =

=

1− a+ aa− a3+ a4

1− 2a+ 4aa− 8a3+ 16a4

1− 3a+ 9aa− 27a3+ 81a4

= 3− 6a+ 14aa− 36a3 + 98a4

&c.

hoc est, = numero terminorum contentorum in linea Ir, minus summa eorun-dem terminorum, plus summa quadratorum ab iisdem, minus summa cuborum,plus summa quadrato-quadratorum, &c.

Hinc posito, ut ante, IA=1; sed Ip = 0[1= numero terminorum: invenio, perXV et XVI hujus, aream BIps= numero terminorum 0b1, minus summa eorun-dem terminorum =0b005, plus summa quadratorum ab iisdem = 0b000333333,minus summa cuborum= 0b000025, plus summa quadrato-quadratorum=0b000002,minus summa quadrato cuborum =0b000000166, plus summa cubo-cuborum


=0b000000014, &c.

0b1−0b005

0b000333333−0b000025

0b000002−0b000000166

−0b005025166−0b000000014

0b0095310181 = areaeBIps

Testo 6.12 [Wallis](pp. 754-755 di [11]). OriginaleHuic autem incommodo, levi constructionis immutatione, facile subvenitur.Caeteris utique ut prius constructis; Quadrandum exponatur HFur spatium;

(cujuscumque fuerit longitudine AH; puta major, minorve quam AI, vel huicaequalis: sumptoque ubivis inter A & H, puncto r; puta ultra citrave punctumI, vel in ipso puncto: ) Ponantur autem (non, ut prius AI=1, & Ir=A: sed)AH=1; & Hr=A, quae intelligatur in aequales partes innumeras dividi, quarumquaelibet sit a. Erunt itaque, post AH=1, reliquae deinceps decrescentes 1-a,1-2a, 1-3a, &c. usque ad Ar=1-A. Item, propter aequalia rectangula FHA, urA,

BIA, &c. puta, = b2: erit HF = b2

1 ; reliquaeque deincepsb2

1−a ,b2

1−2a ,b2

1−3a , &c,

usque ad ru = b2

1−A spatium HFur complentes. (Quae omnia ostensa sunt, inmea Arithmetica Infinitorum, prop. 88, 94, 95.)

Factaque divisione; reperietur

b2

1− a= b2 + b2a+ b2a2 + b2a3 + b2a4 ,&c.

Hoc est b2 in 1 + a+ a2 + a3 + a4 , &c. (sumptis ipsius a potestatibus continuesequentibus affirmatis omnibus). Cumque de reliquis idem sit judicium; eruntrectae omnes, ipsis HF & ru interjectae,

1+ a+ a2+ a3+ a4 &c.1+ 2a+ 4a2+ 8a3+ 16a4 &c.1+ 3a+ 9a2+ 27a3+ 81a4 &c.& sic deinceps usque ad1+ A+ A2+ A3+ A4 &c.

in b2

Omniumque aggregatorum A + 12A

2 + 13A

3 + 14A

4 + 15A

5 &c. in b2 = FHru(per Arithm. Infin. prop. 64).

Testo 6.13 [Gregory, Exercitationes Geometricae](pp.10-11 di [15]).Sit SBKH spatium Hyperbolicum, contentum sub curva Hyperbolica SB,

asymptotae portioneHK, & rectis SH , BK, alteri asymptotae parallelis, positoB Hyperbolae vertice: fit parallelogrammum BKHS, & producatur B5 in R;jungaturque KR quae 5H secet in 6: deinde continuetur series infinita contin-ue proportionalium nempe 5H , 6H , LH , NH , & sic deinceps; sitque 5BKH


parallelogrammum, K6H triangulum, KLH trilineum quadraticum, KNH tri-lineum Cubicum, & ita deinceps in infinitum. Dico spatium Hyperbolicum,BKHS aequale esse dicto parallelogrammo, dicto rectangulo, una cum infinitisistis trilineis, quorum omnium vocamus ω. Si Figura BKHS et ω non suntaequales, sit inter illas differentia α; & dividatur recta HK in tot partes ae-quales a rectis asymptotae RA parallelis, ut rectangula (ab illis & portionibusrectae KH contenta) Figurae BKHS circumscripta, nempe VH , ZD, differen-tia a rectangulis Figurae BKHS inscriptis, nempe Y H , BD, minore intervalloquam α; hoc enim fieri potest ab indefinita divisione rectae KH . Quoniam Best Hyperbolae vertex, parallelogrammum BKAR est aequilaterum; & proinderecta 6H , ad libitum est aequalis rectae HK, cumque 5H , 6H , LH , NH , &c.sunt continue proportionales in infinitum, ex hujus 3 erit recta SH aequalissummae omnium, & parallelogrammum SD aequale summae omnium paral-lelogrammorum 5D, 6D, LD, ND, &c. in infinitum; atque summa omniumparallelogrammorum 5D, 6D, LD, ND, &c. in infinitum, major est paral-lelogrammo 5D una cum portione trianguli 6FDH una cum portione trilineiquadratici LCDH una cum portione trilinei cubici NCDH , &c. in infinitum,quoniam praedictae portiones dictis parallelogrammis inscribuntur, & ideo par-allelogrammum SD majus est parallelogrammo 5D una cum dictis portionibus;eodem modo demonstratur parallelogrammum Y K majus esse rectangulo 7Kuna cum infinitis numero portionibus FKD, CKD, OKD, &c. & proinde rec-tilineum SV Y ZKH majus est quam ω. Deinde recta FD est aequalis rectaeDK; atque 7D, FD, CD, OD, &c. sunt rectae continue proportionales ininfinitum, & igitur recta Y D est aequalis ipsarum summae, & parallelogram-mum XD aequale parallelogrammis 7H , FDH , CDH , ODH , &c. at summaparallelogrammorum 7H , FDH , CDH , ODH , &c. minor est quam rectangu-lum 7H una cum portione trianguli 6FDH una cum portione trilinei quadraticiLCDH una cum portione trilinei cubici NCDH , &c. quoniam dicta parallelo-gramma dictis portionis inscribuntur, & ideo parallelogrammum Y H minus estparallelogrammo 7H una cum dictis portionibus; eodem modo demonstraturparallelogrammum BD minus esse parallelogrammo BD una cum infinitis nu-mero portionibus FKD, CDK, OKD, & ideo rectilineum XY 7BKH minus estquam ω: quatuor igitur sunt quantitates, quarum maxima & minima sunt recti-lineua SV Y ZKH , XY 7BKH , intermediae autem ω & spatium HyperbolicumSBKH ; et ideo diffrerentia intermediarum, nempe α minor est quam differentiaextremarum, quod est absurdum, ponitur enim major; nulla igitur est differentiainter Figuram SBKH & ω, & ideo aequales sunt, quod demonstrandum erat.

Testo 6.14 [Halley] (pp.59-60 di [18])If the Root of any Infinite Power be extracted out of any Number, the “differ-entiola” of the said Root from Unity, shall be as the Logarithm of that Number.So that Logarithms thus produced as many forms as you please to assume infi-nite “Indices” of the Power whose Root you seek: as if the “Index” be supposed100000&c. infinitely, the Roots shall be the Logarithms invented by the LordNapeir; but if the said “Index” were 2302585&c.Mr. Briggs’s Logarithms wouldimmediately be produced. And if you please to stop at any number of Figures,


and not to continue them on, it will suffice to assume an “Index” of a Figure ortwo more than your intended Logarithm is to have (....) Now, though the Notionof Infinite Power may seem very strange, and to those that know the difficultyof the Extraction of the Roots of High Powers, perhaps impracticable; yet, bythe help of the admirable Invention of Mr. Newton, whereby he determines the“Unciae” or number prefixt to the Members composing Powers (on which chieflydepends the Doctrine of Series) the infinity of the Index contributes to renderthe Expression much more easie: For if the Infinite Power to be resolved be put

(after Mr. Newton’s method) p+ pq, p+ pq|1m or 1 + q

∣

∣

1m , instead of

1 +1

mq +

1−m

2mmqq +

1− 3m+ 2mm

6m3q3 +

1− 6m+ 11mm− 6m3

24m4q4&c.

(which is the Root when m is finite) become

1 +1

mq − 1

2mqq +

1

3mq3 − 1

4mq4 +

1

5mq5 &c.

m being infinite, and consequently whatever is divided thereby vanishing. Henceit follows that 1

m multiplied into

q − 1

2qq +

1

3q3 − 1

4q4 +

1

5q5 &c.

is the augment of the first of our mean Proportionals between Unity and 1 + q,and is therefore the Logarithm of the “ratio” of 1 to 1 + q, and whereas theInfinite Index m may be taken at pleasure, the several Scales of Logarithms tosuch “Indices” will be as 1

m or reciprocally as the “Indices”.

Bibliografia

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253

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Capitolo 7

La controversia suilogaritmi dei numerinegativi

7.1 Il carteggio Leibniz-J. Bernoulli I (1712-1713)

Puo apparire strano oggi ma l’impossibilita di definire in campo reale il logaritmodi un numero negativo fu argomento di discussione scientifica che infiammogli epistolari dei migliori scienziati europei: da Leibniz (1646-1716) a JohannBernoulli (1667-1748) I, da Jean Le Ronde D’Alembert (1717-1783) aLeonhardt Euler (Eulero, 1707-1783). La conclusione del dibattito si ebbesolo quando Eulero elaboro l’estensione del concetto di logaritmo ai numericomplessi mostrando anche che ad ogni numero corrispondono un’infinita divalori possibili per il logaritmo. In effetti la storia della controversia sui logaritmidei numeri negativi si intreccia piu volte con i numeri complessi ed in qualchemisura ne dipende. Come preambolo, osserviamo [1] che il calcolo integraleaveva fornito al matematico svizzero J. Bernoulli I l’occasione di trovare unlegame tra funzioni trigonometriche ed il logaritmo dei numeri immaginari fin

dal 1702, anno in cui, grazie alla trasformazione z =√−1b(t−1)t+1 , egli riuscı a

trasformare il differenzialeadz

b2 + z2

nel differenziale

− adt

2b√−1t

mostrando dunque che l’arcotangente e esprimibile come logaritmo di un numerocomplesso. Sempre nel 1702, scrivendo il 24 giugno a J. Bernoulli I, anche

255

256 CAPITOLO 7. LOGARITMI DEI NUMERI NEGATIVI

Leibniz afferma di essersi imbattuto in logaritmi di numeri immaginari nel corsodell’integrazione di funzioni razionali.

Un arcano si cela dietro questo. Poiche le quantita immaginarie si possonoutilizzare correttamente e con frutto nell’analisi delle equazioni, come un tem-po trovai in equazioni e confermai con un calcolo singolare; feci poi la stessacosa nell’Analisi Tetragonistica e ridussi delle quadrature razionali a logaritmisia veri che immaginari, e la stessa quadratura del cerchio, non in un modosoltanto.1 (p.703 di [2])

Si tratta di incontri occasionali perche manca una trattazione sistematicadella teoria dei logaritmi dei numeri immaginari la cui esistenza viene dataper scontata, piu per la consistenza dei risultati ottenuti che per una maturaconsapevolezza del loro significato. Quanto lungo fosse il cammino per arrivaread una teoria soddisfacente sara chiaro dalle tappe della controversia che orainiziamo ad esaminare.

Benche collegata ai logaritmi dei numeri immaginari, la controversia suilogaritmi dei numeri negativi ebbe origine da un’altra questione. I numerinegativi sono “meno del nulla” cioe dello zero? Se cosı fosse, la proporzione1 : −1 = −1 : 1 sarebbe impossibile in quanto nel rapporto a sinistra il numeropiu grande sta al piu piccolo, mentre a destra e il piu piccolo che sta al piugrande. Al proposito Leibniz pubblico un articolo sugli Acta Eruditorum del1712 in cui pur ritenendo impossibili de facto proporzioni di questo tipo, neammetteva l’utilizzo alla stessa stregua con cui si utilizzavano tranquillitamentealtre quantita immaginarie.

Dissi gia allora che non mi sembravano dei rapporti veri quelli nei quali unaquantita minore di nulla e l’antecedente od il conseguente, anche se nel calcololi si puo utilizzare in sicurezza e con frutto, come altre quantita immaginarie2

(p.388 di [3])Per Leibniz un rapporto va considerato immaginario quando non ha logar-

itmo. E questo il caso del rapporto (−1/1) perche, dice Leibniz, se ammettesselogaritmo avremmo

log (−1/1) = log(−1)− log(1) = log(−1) .

Ora, per Leibniz log(−1) non puo essere un numero reale: infatti non puoessere positivo, visto che sono i logaritmi dei numeri maggiori di 1 che dannoluogo a logaritmi positivi, ne puo essere un numero negativo, in quanto sonoi numeri positivi minori dell’unita cui corrispondono logaritmi negativi. Nonresta che concludere che log(−1) e immaginario. A ben vedere Leibniz presup-pone l’iniettivita della funzione logaritmo. Seguendo Cajori [1], osserviamo il

1Sed latet in his arcanum adhuc majus. Quoniam, ut olim etiam inveni in aequationibus etcalculo singulari comprobavi, possunt imaginariae non minus quam reales in Analysi aequa-tionum recte et utiliter adhiberi; ideo idem feci etiam in Analysi Tetragonistica et quadraturasrationales reduxi ad logarithmos vel veros vel imaginarios, ipsamque adeo circuli quadraturam,non una ratione.

2Jam tum dixi mihi videri, veras illas rationes non esse, in quibus quantitas nihilo minor estantecedens, vel consequens, etsi in calculo haec, ut alia imaginaria, tuto et utiliter adhibeatur.

7.1. IL CARTEGGIO LEIBNIZ-J. BERNOULLI I (1712-1713) 257

duplice significato che Leibniz attribuisce al termine immaginario inteso comenon esistente e come numero del tipo di

√−1.

Ma dello stesso -1 non si da logaritmo. Infatti non e un numero positivo, perchesono tali i logaritmi di un numero positivo maggiore dell’unita. Tuttavia nonpuo neppure essere un numero negativo perche sono tali i logaritmi di numeripositivi minori dell’unita. Dunque non resta che concludere che il logaritmodi -1, non potendo essere ne positivo ne negativo, deve essere immaginario.3

(p.388 di [3])E a questo punto che Leibniz scrive a Bernoulli una breve lettera, datata

16 marzo 1712 in cui, tra le altre cose, lo informa succintamente sull’argomento.

La risposta di Varignon alle obiezioni di Grandi comparira sugli Acta di Lipsiadel mese di aprile; vi aggiunsi una piccola osservazione dove notai che benche sipossa affermare che -1 ed espressioni simili significhino meno di nulla, tuttavianon e possibile che esistano rapporti, fuorche immaginari, nei quali l’antecedenteo il conseguente e una quantita minore di nulla, ovvero il rapporto -1 sta a 1come 1 sta a -1 e immaginario. Lo dimostro, tra l’altro, dal fatto che ad unrapporto come questo o ad un altro simile non corrisponde alcun logaritmo.4

(p.881 di [2])La risposta di Bernoulli e contenuta in una lettera del 25 maggio 1712

dove dissente dall’argomento di Leibniz perche a suo dire x e −x hanno lostesso logaritmo. Egli considera il differenziale dx/x del logaritmo ( d lx nellasua notazione). Poiche

dx

x=

−dx

−xegli ottiene

d log(x) =dx

x=

−dx

−x = d log(−x)

che per Bernoulli dimostra l’uguaglianza log(x) = log(−x). Come conseguen-za, Bernoulli afferma che, similmente all’iperbole, anche la curva logaritmicaha due rami distinti. Bernoulli applica identita valide solo all’interno del do-minio di definizione della funzione logaritmo. Inoltre, come evidenzieraEulero,sbaglia nel dedurre l’uguaglianza di due funzioni a partire dall’uguaglianza deiloro differenziali. Ecco di seguito l’originale della lettera in esame.

Non sono del tutto d’accordo con te nel sostenere che il rapporto -1 sta ad 1 come1 sta a -1 e immaginario perche non gli corrisponde alcun logaritmo; tu infattisupponi che un numero negativo non abbia un logaritmo, ma ora ti dimostreroil contrario: sia x un numero variabile che cresce per incrementi infinitamente

3At ipsius -1 non datur Logarithmus. Non enim est positivus, nam talis omnis est Logarith-mus numeri positivi unitate majoris. Sed tamen etiam non est negativus, quia talis omnis estLogarithmus numeri positivi unitate minoris. Ergo Logarithmus ipsius -1 cum nec positivusnec negativus, superest quod non sit verus, sed imaginarius

4Varignoniana ad Grandii objectiones responsio in Actis Lipsiensibus mense Aprili co-marebit; adjeci Observatiunculam notavique, etsi possit dici, -1 et similes expressiones signifi-care nihilo minora, non tamen dari rationes nisi imaginarias, quarum antecedens aut conse-quens sit quantitas nihilo minor, seu rationem -1 ad 1, vel 1 ad -1 esse imaginariam. Quodinter alia ex eo probo, quia huic rationi vel simili nullus respondet Logarithmus.


piccoli, il cui logaritmo sia lx; dico che lx corrisponde sia a −x che allo stesso x.Infatti, tu sai che d lx e = dx

x , cioe che il differenziale di un qualche logaritmosi ottiene dividendo il differenziale del numero per il numero stesso; poiche poidxx e uguale a −dx

−x , segue l’asserto. Ecco i passaggi: d lx = dxx = −dx

−x = d l− x,per cui e anche l x = l −x. Da cio puoi vedere che la curva logaritmica ABC hauna compagna αβγ come, ad esempio, un’iperbole ha la sua opposta. In questomodo, preso BE come unita, EF non e soltanto il logaritmo dello stesso CF maanche di γF che indica l’opposto del numero precedente.5 (pp.886-887 di [2])

B

β

A

α

C

γ

FE

Figura 7.1: I due rami della curva logaritmica descritta da Bernoulli nellalettera del 25 maggio 1712.

Benche Leibniz evidenzi nella lettera successiva del 30 giugno 1712 l’inam-missibilita al ricorso dei differenziali effettuata da Bernoulli, egli mescolaaltre osservazioni poco concludenti. Ad esempio, basa l’impossibilita di definirelog(−2) sul fatto che, se cio fosse possibile, esisterebbe anche log

√−2 che ne

e la meta. Contesta anche l’argomento geometrico di Bernoulli dichiaran-do impossibile per la curva logaritmica attraversare il proprio asintoto con uncomportamento simile a quello mostrato in Fig. 7.3. Sembra che qui Leibniz

5Non prorsus Tecum sentio, rationem -1 ad 1, vel 1 ad -1 esse imaginariam ex eo, quodhiuc rationi nullus respondeat logarithmus; supponis enim numerum negativum nullum habereLogarithmum, cujus contrarium ego sic probo: Esto x numerus variabilis, per infinite parvacrescens, cujus Logarithmus sit lx; dico eundem lx respondere ipsi -x aeque ac ipsi +x: hoc estl x = l−x. Nam scis d lx esse = dx

x, hoc est differentiale alicujus Logarithmi haberi dividendo

differentiale numeri per ipsum numerum; cum itaque dxx

sit aequale −dx−x

, patet propositum.

Ecce rei connexionem d lx = dxx

= −dx−x

= d l− x, ergo etiam l x = l − x. Unde vides curvam

Logarithmicam ABC habere suam comparem αβγ, ut ex. gr. Hyperbola suam oppositam.ita ut, sumta BE pro unitate, EF sit Logarithmus non tantum ipsius CF, sed et ipsius γF ,quae designat numerum prioris negativum.


non ammetta la possibilita di un comportamento discontinuo per la funzionelogaritmo.

Mi stupisco di come con il tuo acume non ti sia accorto che non esiste il log-aritmo di -2 dal momento che non esiste il logaritmo di

√−2 che sarebbe la

meta del precedente. Ma tu dici che il differenziale del numero -x, cioe −dx,diviso per il numero -x da il differenziale del logaritmo −dx

−x o dxx . Ma questa

regola che il differenziale diviso per il numero da il differenziale del logaritmoe qualsivoglia proprieta che compete alla natura o per costruzione dei logaritminon ha luogo, come tu trovi, con i numeri negativi dove vuoi dimostrarle. Lastessa figura mostra che non si puo giungere a log .-1 o a una quantita simileperche l’ordinata x della curva logaritmica LL (Fig. 7.2) non puo decrescereper annullarsi fino a -1, come succede nella curva CC (Fig. 7.3). Per ottenerequesto, infatti, la curva logaritmica dovrebbe intersecare l’asse che pero e il suoasintoto.6 (pp.888 di [2])

L

xx

xL

Figura 7.2: La curva logaritmica per Leibniz non puo attraversare l’asse delleascisse che ne rappresenta l’asintoto. (cfr. lettera del 30 giugno 1712).

Nella risposta del 13 agosto 1712 Bernoulli non dice nulla sulla inammis-sibilita dell’argomento basato sui differenziali ma, grazie alla debolezza dellealtre argomentazioni addotte da Leibniz, rafforza il convincimento che x e −xhanno lo stesso logaritmo. Sull’argomento geometrico di Leibniz, Bernoullie nel giusto: vi sono molti esempi di curve con due rami distinti separati daun asintoto. Egli ne riporta uno classico, la concoide di Nicomede, insieme

alla curva x2 = a4

az+z2 . Interessante e la riprovazione dell’argomento secondo

cui log(−2) non esisterebbe in quanto non e ammissibile log(√−2) che ne e la

meta. Bernoulli e netto: log(√−2) non e la meta di log(−2). Infatti, log

√2

6Miror te pro acumine Tuo non vidisse, haud posse Logarithmum τoυ -2, quia non potestdare Logarithmus τoυ

√−2, qui esset prioris dimidius. At dicis, differentiale numeri -x,

quod est −dx, divisum per numerum -x, dat differentiale logarithmi −dx−x

seu dxx. Sed haec

regula, quod differentiale divisum per numerum dat differentiale Logarithmi, et quaevis aliade Logarithmorum natura et constructione non habet locum in numeris negativis, ut reperies,ubi demonstrare voles. Ipsa etiam figura ostendit, non posse perveniri ad log .-1 vel similem,quia x ordinata logarithmicae LL non potest ita decrescere ut evanescat tandem seu ad -1,ut fit in curva CC. Nam ad hoc obtinendum debuisset curva logarithmica secare axem, quitamen est ei asymptotos.


L

xx

xL

Figura 7.3: Curva che, per Leibniz, ha profilo inammissibile per la curvalogaritmica (cfr. lettera del 30 giugno 1712).

e la meta di log 2 perche√2 e medio proporzionale tra 1 e 2, mentre

√−2 non

e medio proporzionale tra -1 e -2. Pertanto, cosı come log(√2) = 1

2 log(2) deve

essere log(√−1×−2) = 1

2 log(−2) e, in definitiva log√2 = 1

2 log(2) =12 log(−2)

[Tu dici:] Non vedo ancora come sia possibile dare un senso al logaritmo di −2:infatti io nego quello che tu affermi, che il logaritmo di

√−2 sia la meta del

logaritmo di −2, anche se e vero che il logaritmo di√2 e meta del logaritmo

di 2: e bene senza dubbio indagare il motivo di questa verita e poi vedrai ladifferenza. Senza dubbio log . di

√2 e la meta di log . di 2, perche

√2 e il

medio proporzionale tra 1 e 2: ma√−2 non e medio proporzionale tra -1 e

-2 per cui non e lecito concludere che log .√−2 e la meta del logaritmo di -2

allo stesso modo in cui log . di√1× 2 e la meta del logaritmo di 2 cosı anche

log .√−1×−2 e la meta del log .−2, cioe log .

√2 e la meta di log .−2 ed anche

la meta del logaritmo di +2. Cio che conferma in sommo grado l’argomentoproposto nella mia ultima che evidentemente log .x = log .− x dal momento chedxx e =−dx

−x , e dunque un numero preso con segno positivo o negativo ha semprelo stesso logaritmo. In realta mi stupisce che tu voglia mostrare il contrario dauna figura, come se l’ordinata della curva logaritmica LL (Fig. 7.2) non possadecrescere fino ad annullarsi o giunga a 0 per poi passare dalla parte contraria, oa -x, come succede per la curva CC (Fig. 7.3) come mostrano molti esempi ovvie comuni che riescono a far vacillare completamente entrambe le parti del tuoargomento. In primo luogo una certa curva puo passare da una parte all’altra da+x a -x senza che ci sia bisogno di tendere o raggiungere lo 0, come si puo vederenell’iperbole ordinaria dove la parte comune e portata via alle ordinate positive enegative senza mai annullarsi; in secondo luogo nego che la curva logaritmica LLpossa giungere all’altro ramo λλ (7.8), tramite l’annullarsi delle ordinate x; ciosuccede dopo che LL diverge all’infinito, laddove x svanisce o si annulla; anchein questo caso abbiamo molti esempi, come nella Concoide di Nicomede (Fig.7.5), dove ci sono due parti opposte ABC ed αβγ sopra il medesimo asse DEF edescritte a partire dallo stesso polo O, che pero non sono connesse tra loro se nondopo l’escursione all’infinito. Hai anche un altro esempio in quest’altra curva,

la cui equazione (dette x e z le ordinate) xx = a4

az+zz o x = ±a2√az+zz

mostra che

la curva ha due parti che convergono all’infinito, mentre una ordinata x positiva


qualsiasi ha un’opposta x negativa, allo stesso modo che io dico accade per lacurva logaritmica. Forse, soppesate con attenzione tutte le cose cambierai pareree ritratterai quanto asserito su questo argomento nell’ultimo numero di apriledegli Acta, che ho appena visto.7 (pp.891 -892 di [2])

La risposta di Leibniz del 18 settembre 1712 e la lettera successiva diBernoulli datata 11 novembre 1712 sono molto piu articolate. Leibniz al-lega una scheda, un’aggiunta, alla breve lettera del 18 settembre, interamentededicata alla questione. Tralasciato ogni argomento geometrico, egli ricominciadalla definizione di logaritmi come progressione aritmetica associata ad una ge-ometrica e, considerando il sistema di logaritmi in base 2 osserva che, benche sia+2 che -2 elevati al quadrato danno entrambi +4, tuttavia solo il primo numeroappartiene ad una progressione geometrica contenente +2: egli da per scontatoche la progressione parta da +1, visto il modo in cui introduce i logaritmi inbase 2. L’impossibilita a dare simultanenamente significato ai logaritmi di 2e -2 viene mostrata con un argomento interessante perche lega esplicitamentelogaritmi ad esponenziali. L’unione dei concetti di logaritmo ed esponenzialeera gia chiara a Wallis che al Capitolo XII della sua Algebra del 1685 osservadal confronto tra le progressioni

1 r rr r3 r4 r5 r6 ecc.0 1 2 3 4 5 6 ecc. ,

come

7Nondum video haud posse dari Logarithmi τoυ -2: nego enim, quod asseris, Logarithmumτoυ

√−2 esse prioris dimidium, etsi verum sit logarithmi τoυ

√2 esse dimidium logarithmi

τoυ 2: oportet quippe inspicere rationem hujus veritatis, et videbis discrimen. Ideo scilicetlog . τoυ

√2 est dimidium log . τoυ 2, quia

√2 est medium proportionale inter 1 et 2: sed

√−2

non est medium proportionale inter -1 et -2, adeoque concludi non potest log . τoυ√−2 esse

dimidium Logarithmi τoυ -2, adeoque quemadmodum log . τoυ√1× 2 est dimidium logarith-

mi τoυ 2, ita quoque log .√−1×−2 est dimidium log .−2, hoc est log .

√2 est dimid. log .−2

aeque ac dimidium Logarithmi τoυ +2. Id quoque maxime confirmat argumentum meum inpostremis meis allatum, esse scilicet log .x = log .− x ex eo, quod dx

xsit =−dx

−x, et sic numeri

alicujus tam affirmativi quam negativi commumem esse Logarithmum. Miror vero Te velleex figura contrarium ostendere, quasi ordinata logarithmicae LL non possit ita decrescere, utevanescat tandem seu perveniat ad 0, et deinde transeat in contrariam partem seu ad -x, sicu-ti id fit in curva CC, cum suppetant tamen innumera exempla quotidie obvia, quae utramqueTui argumenti partem vacillare evincunt. Primo etenim curva aliqua in partem oppositamseu +x in -x transire potest, ita ut non opus sit, ut evanescat seu perveniat ad 0, sicuti videreest in Hyperbola ordinaria super axe conjugato, cujus pars abscissa communis est ordinataeaffirmativae et negativae, licet nunquam evanescentis; secundo nego Logarithmicam LL nonad alteram partem pervenire λλ, per evanescentiam ordinatarum x; hoc enim fit, postquamLL excurrit in infinitum, ibi quippe evanescit x, seu pervenit ad 0; hujusmodi iterum multaexempla habemus, sicuti videmus in Conchoide Nicomedis, cujus duae sunt partes oppositaeABC et αβγ, super eodem axe DEF et ex eodem polo O descriptae, quae tamen non in seinvicem transeunt, nisi post excursionem in infinitum. Habes itaque exemplum in hac altera

curva, cujus aequatio (positis ordinatis x et z) xx = a4

az+zzseu x = ±a2

√az+zz

ostendit, eam

habere duas partes convergentes in infinitum, dum interim ordinata quaelibet x affirmativaoppositam habet x negativam, plane ut in Logarithmica fieri statuo. Quae omnia ubi per-penderis, forte mutabis opinionem, et quae in novissimo Actorum Aprili, nuperrime tantummihi viso, hac de re habes, retractanda ultro fateberis.


L

λ

L

λ

x

x

x

x

x

x

Figura 7.4: I presunti due rami della curva logaritmica di Bernoulli (cfr.lettera del 13 agosto 1712).

Questi esponenti sono detti logaritmi e sono numeri artificiali che sono messi incorrispondenza ai numeri naturali in modo che all’addizione o alla sottrazionedei primi corrispondano la moltiplicazione o la divisione dei secondi.8 (Wallis,Algebra, p.37 di [1])

Tuttavia, nel presentare la teoria dei logaritmi egli ritorna alla definizione dilogaritmo tradizionale, senza collegarla alla nozione di esponenziale. Dal cantosuo Johann Bernoulli I, in una lettera diretta a Leibniz nel maggio 1694,nel tracciare le curve del tipo y = xx era servito dei logaritmi ordinari in quantosoddisfano un’equazione del tipo y = ax. Nel dettaglio, la costruzione per puntidi y = xx procede prendendo un valore x1 di x e ricavando log x1 dalla curvalogaritmica per poi costruire geometricamente il prodotto x1 log x1 = log y1 edinfine, ancora grazie alla curva logaritmica, risalire al valore di y1. E impor-tante osservare [1] che in tutto questo Bernoulli non menziona progressioniaritmetiche o geometriche, ma assume un atteggiamento, per cosı dire, mod-erno nel trattare il logaritmo come operazione inversa all’esponenziazione. SeBernoulli aveva chiara l’equivalenza delle scritture y = xx e x log x = log y,egli pero non la formulo mai esplicitamente.

Tornando alla controversia Leibniz-Bernoulli, nella lettera del 18 settem-bre Leibniz afferma che l’equazione 2e = x equivale ad e = log2 x (anche seegli non introduce la base nella notazione) e non puo essere risolta per e quandox = −2. Oltre a questo argomento, Leibniz ritiene che i logaritmi di nu-meri negativi vadano respinti per altri due motivi. Il primo coinvolge di nuovo

8These exponents they call logarithms, which are artificial numbers, so answering to thenatural numbers, as that the addition and subduction of these answers to the multiplicationand division of natural numbers.


A α

B

β

O

γ

E

D

Figura 7.5: Schizzo della concoide di Nicomede citata da Bernoulli nellalettera del 13 agosto 1712.

√−2 che, avendo quadrato −2 dovrebbe avere logaritmo pari ad 1

2 log (−2), se

quest’ultimo ammettesse logaritmo. Ora, poiche√−2 e immaginario (numerus

impossibilis), lo e anche il suo logaritmo e dunque anche il doppio di quest’ul-timo, cioe log(−2). Come ulteriore argomento contro l’esistenza di log(−2),Leibniz osserva come, nelle corrispondenze di operazioni tra numeri e logarit-mi (al prodotto tra numeri si associa la somma di logaritmi, alla divisione ladifferenza, ecc.) non vi sia corrispondente alcuno all’operazione che manda unnumero nel suo opposto. Infine, Leibniz tiene a mostrare che, reale od immag-inario che sia, log

√−2 deve essere la meta di log(−2) semplicemente perche√

−2 e medio proporzionale tra +1 e −2. Ecco ora l’originale dell’aggiunta diLeibniz sui logaritmi.

Testo 7.1 (Leibniz) (pp.895–896 di [2]). Originale 7.9

La serie dei logaritmi e una serie di numeri che formano una progressionearitmetica corrispondente ad una serie di numeri in progressione geometrica,uno dei quali si puo prendere l’unita ed un altro un qualunque numero posi-tivo, ad esempio il 2. Come logaritmo dell’unita si puo prendere lo 0 ed un


numero qualsiasi come logaritmo di 2, ad esempio possiamo prendere l’unitacome logaritmo proprio di 2.

E inoltre evidente che, preso qualsiasi terzo proporzionale in questa progres-sione geometrica mai si puo giungere ad un numero negativo. Sembra pero che,presi i medi proporzionali, si possa arrivare ad un numero negativo come inquesta nostra serie, dati 1,2,4 il medio tra 1 e 4 sembra essere tanto +2 quanto-2 dal momento che sia +2 che -2 moltiplicati per se stessi danno +4. Questoproblema sorge dal fatto che -2 non puo appartenere ad una progressione geomet-rica come la nostra dove, per ipotesi, c’e +2; infatti -2 non e una potenza di 2secondo un esponente qualsiasi ovvero non e della forma 2e che si puo dire con-tenga il logaritmo di qualsiasi numero che di conseguenza cade nella serie 1,2,4ecc. almeno se e prolungata all’infinito o interpolata equivalentemente. Infattise x = 2e si avra e = log x, posto che log 1 e 0 e log 2 e 1. Poiche dunquenon esiste soluzione e all’equazione −2 = 2e, il logaritmo di -2 non esistera. Eanche per questo non e possibile assegnare -2 come ordinata sull’asintoto dellacurva logaritmica nella stessa serie che contiene 1 e 2 ovvero non e possibiledeterminare x nell’equazione della curva logaritmica che soddisfi x = 2e.

Ma la medesima cosa si dimostra ancor piu facilmente grazie alle proprietadelle quantita immaginarie. Se -2 ha logaritmo, esistera anche la meta di questologaritmo. D’altra parte questo e il logaritmo di un numero che, moltiplicato perse stesso da -2 ovvero e il logaritmo di

√−2. Ma

√−2 e un numero impossibile

ed il logaritmo di un numero impossibile e impossibile; dunque e anche impos-sibile la meta del logaritmo di -2; ma un numero la cui meta e impossibile deveessere anch’esso impossibile. Pertanto il logaritmo di -2 e impossibile.

Tra l’altro la stessa armonia di numeri e logaritmi illustra cio. La moltipli-cazione per se stesso di un numero corrisponde alla moltiplicazione nei logaritmi;la moltiplicazione tra i numeri e rappresentata dall’addizione tra i logaritmi; allacondizione di numero corrisponde quella di logaritmo.

A ne corrisponde e · log nn · n log n+ log nn log n .

Al contrario, l’estrazione di radice tra i numeri corrisponde alla divisione tra ilogaritmi; la divisione tra i numeri viene rappresentata dalla sottrazione tra ilogaritmi. Ma che cosa rappresenta la negazione tra i numeri? Rispondo chenon si puo trovare un corrispondente perche scendendo dall’estrazione per mezzodi divisione e sottrazione non si puo trovare nulla al di sotto della sottrazione.

A e√n corrisponde log n : e

nn log n− log n-n che cosa?

Da questo si capisce anche che benche sia possibile dire che il prodotto di -2 perse stesso e 4, non e giusto pero dire che -2 e il medio proporzionale tra 1 e 4 edin generale i numeri negativi non entrano nei rapporti benche in qualche modoentrino nei calcoli, come ho da poco mostrato altrove, negli Acta Eruditorum.


Da cio viene confermata la non esistenza dei logaritmi di numeri negativi come,viceversa, l’esclusione dei logaritmi di numeri negativi conferma che rapporti oproporzioni con numeri negativi non possono essere considerati.

A chi volesse sostenere che il logaritmo di√−2 non e la meta del logaritmo

di -2 pur essendo il logaritmo di√2 la meta del logaritmo di 2 adducendo come

ragione che√2 e medio proporzionale tra -1 e -2 si da una facile risposta comune

ad entrambe: come la radice di un numero e medio proporzionale tra 1 ed ilnumero di cui e radice, come appunto

√2 e medio proporzionale tra 1 e 2, e come√

−2 e medio proporzionale (o fingiamo che lo sia) tra 1 e -2. Ma da ambo leparti segue che il logaritmo della media sara meta del termine posteriore, infattiil logaritmo del medio proporzionale tra 1 e 2 (cioe proprio

√2) e log 1+log 2 : 2.

Ma log 1 e 0; per cui il logaritmo del medio tra 1 e 2 e log 2 : 2. Similmente illogaritmo del medio proporzionale tra 1 e -2 (cioe proprio

√−2) e log 1+log −2 :

2, cioe (siccome log 1 = 0) log −2 : 2. La cosa si vede cosı : poiche -2 e =√−2 per

√−2, sara log −2 = log

√−2+ log

√−2. Dunque log

√−2 e meta di

log −2.

Bernoulli non solo non trova nel ragionamento di Leibniz elementi in-compatibili con l’esistenza dei logaritmi di numeri negativi ma nella successivalettera dell’11 novembre passa al contrattacco proponendo una costruzione deidue rami della curva logaritmica, basata sul legame tra logaritmi ed area sottesada un’iperbole equilatera. Su un punto e d’accordo con Leibniz: non e pos-sibile ottenere numeri negativi in una progressione geometrica che, partendodall’unita, abbia ragione positiva. Con questo egli accetta che non esistanosimultaneamente logaritmi di numeri positivi e negativi. Ciononostante, nullavieta di costruire una progressione geometrica che parta da -1 e sia formata datermini negativi e ricavare ancora che +n e −n hanno lo stesso logaritmo. Diquesto Bernoulli crede di fornire una dimostrazione geometrica considerandoi due rami PQG e pqg di un’iperbole equilatera e costruendo la curva logarit-mica per punti, sfruttando il legame tra logaritmi ed area sottesa da un arcodi iperbole. Fissato come punto di riferimento il punto P dell’iperbole (Fig.7.7, l’area dei settori come SQPR e EGPR cresce sempre piu man mano chela retta EG si avvicina all’asintoto OT , visto che il logaritmo tende all’infinito.Il punto cruciale e quello seguente. Nulla impedisce di far passare la retta EGlungo il ramo pqg dell’iperbole. L’area di egXT ∪ OTPR e composta da unaparte infinita e positiva e da una infinita negativa. Tuttavia, preso e tale cheTE = Te, le parti infinite si elidono e resta l’area EGPR. Se ora si prender sul ramo di iperbole pqg tale che rT = TR Bernoulli conclude che le areesottese da EGPR ed egpr sono uguali e dunque log(x) = log(−x). Al contrario,il punto debole del ragionamento e proprio avere assunto +∞−∞ = 0: curiosa-mente, negli attacchi rivolti da molti matematici all’argomento bernoulliano,questa obiezione non fu mai mossa.

Testo 7.2 (J. Bernoulli I) (pp.898–900 di [2]). Originale 7.10Ho letto con attenzione il tuo foglio sui logaritmi dei numeri negativi ma

direi, con tua buona pace, di non averci trovato nulla che ne dimostri l’impos-sibilita. Da tutte le tue argomentazioni segue solo questo, che non e possibile


passare da una serie di numeri positivi ad una di numeri negativi, cioe che pre-sa l’unita (+1, appunto) come inizio della serie numerica non si puo trovare inessa alcun numero negativo e che dunque in questo caso non sono ammessi log-aritmi di numeri negativi: non lo nego. Cio pero non impedisce che dei numerinegativi possano formare una loro serie particolare che inizi dall’unita negativa(-1, appunto) e cosı tutto cio che avrai dimostrato per i logaritmi dei numeripositivi varra allo stesso modo per i logaritmi di numeri negativi. Per dirla inuna parola, ogni numero positivo ed il suo negativo hanno lo stesso logaritmo,ovvero Log. di +n=log.-n: cio che ti dimostrero di nuovo e spero che questavolta non avrai piu niente in contrario, bastandomi per questo di fare vedereche la curva logaritmica ABC ne ha un’altra opposta αβγ (Fig. 7.6) ad essaconiugata rispetto all’asintoto comune LMN , e questi due rami sono da riten-ersi appartenenti alla stessa curva come due rami di iperbole non danno luogose non ad una sola curva: seguira da cio (preso AL come +1 ed αL come -1)che LM, LN ecc. sono i logaritmi sia dei numeri positivi MB, NC ecc. che deinumeri negativi Mβ, Nγ ecc.

B

β

A

α

C

γ

NML

Figura 7.6: Schizzo dei due rami della curva logaritmica di Bernoulli,simmetrici rispetto all’asintoto comune LMN (lettera dell’11 novembre 1712).

Cio si dimostra facilmente se riflettiamo su un certo modo di generare lacurva logaritmica che rende evidente la presenza di due rami con un asintotocomune. Consideriamo per questo l’iperbole PQG ed il ramo opposto pqg, gliasintoti ortogonali Rr ed OX che si intersecano in T: preso un segmento arbi-trario fissato PR come primo estremo e condotti dai punti S, E, s, e ecc. situatisopra e sotto l’asintoto OX i segmenti SQ, EG, sq, eg, ecc. e prese su questi deisegmenti SF, EH, proporzionali alle aree iperboliche RSPQ, REGP, vale a direche SF × C=area SP e EH × C= area EP, e evidente che la curva RFH cosı


ottenuta sara quella logaritmica. (Fig. 7.7)

TO X

E

S

R

e

s

r

P

Q

G

p

q

g

F

H

h

f

C

Figura 7.7: La “dimostrazione” geometrica dell’uguaglianza log(+x) = log(−x)proposta da Bernoulli (lettera dell’11 novembre 1712). I rami dell’iperbolesono in tratto piu largo dei rami della curva logaritmica.

Rivolgiamoci a tale generazione e proseguiamo fin dove possibile. E chiaro inprimo luogo che al crescere di RS crescera SF finche, quanto S tende a T, l’areaiperbolica Tp diventa infinita e cosı anche il segmento TO cui tende SF diventainfinito e pertanto e un asintoto della curva logaritmica. Ma (chi lo puo im-pedire?) il punto S prosegua fino a giungere in e; si vede ora che l’area iperbolicache compete ad Re e in parte infinita e positiva (TP), in parte infinita negativa(Tg) e precisamente = TP − Tg=(preso TE=Te) EP; ed i segmenti EH ed ehsono uguali; similmente, se il punto mobile giungera nel suo moto ad s cosiccheTS = Ts si avra sf = SF ; percio nasce una nuova curva logaritmica hfr che,con la precedente HFR forma un’unica curva, RFXOhfr appunto, come le dueiperboli opposte PQG e pqg formano una sola curva, appunto PQGOXgpq. In-fatti entrambi i rami RFH ed hfr sono ottenuti con la medesima legge cosicchei segmenti SF , EH dapprima crescono fino a diventare di lunghezza infinitaTO e poi, allo stesso modo diminuiscono a partire dal valore infinito TO versoeh, sf ecc. Presi pertanto TR come unita positiva e Tr come unita negativaEH SF esprimono i logaritmi di numeri positivi, ed i segmenti eh, sf ugualiai precedenti esprimono i logaritmi dei numeri Te, Ts che, a dispetto degli altriTE, TS, sono negativi. E dunque vero che un unico logaritmo corrisponde adue numeri uguali, uno positivo, l’altro negativo, cioe log. +n=log. -n. Q.E.D.


Quasi a volere rifiatare dopo le dense note appena scambiate, la lettera diLeibniz del gennaio 1713 (initio anni 1713 ) serve a fissare i punti condivisi e aribadire gli argomenti piu forti a favore della propria tesi.

Non voglio null’altro rispetto a quanto mi concedi, cioe che non sia possibileper i logaritmi un passaggio da una serie di numeri positivi ad una di numerinegativi. E cosı se nell’equazione generale 2e = x e e = 0 quando x = 1 ede = 1 quando x = 2 non e possibile assegnare e quando x = −1. Non penso adaltro logaritmo rispetto a quello compreso da quell’equazione.9 (p. 901 di [2])

Degno di nota ci appare il riferimento ai logaritmi ammissibili come i val-ori e che soddisfano l’equazione 2e = x per x assegnato, che ancora salda iconcetti di logaritmo ed esponenziale. Nella sua risposta datata 28 febbraio1713, Bernoulli dichiara che non vi e nulla di straordinario nell’impossibilitadi definire il logaritmo del medio proporzionale tra un numero positivo ed unonegativo, come in una curva del tipo indicato in Figura 7.8, simmetrica rispettoall’asse delle ascisse, dove GH che e medio proporzionale tra i numeri positivi BCe DE. Benche GH non puo essere medio proporzionale tra BC e DF = −DE,la curva passa per F . Una tale proprieta e condivisa dalla curva logaritmicacon i suoi rami simmetrici. Bernoulli concede a Leibniz che, posto x = 1in 2e = x con e = 0 e x = 2 con e = 1 non c’e spazio per logaritmi di numerinegativi. Ma per lui nulla vieta di supporre che ad x = −1 corrisponda e = 0 edi conseguenza far corrispondere un valore di e ad ogni numero negativo.

Se tu non sostieni nient’altro che l’impossibilita di un passaggio per i logaritmida una serie di numeri positivi ad una di numeri negativi, cioe che, ad esempio,non si puo ricavare il logaritmo del medio proporzionale tra un numero positivoed uno negativo, non e davvero cosa straordinaria che non valga per le ordinatedi una curva che abbia due parti opposte. Sia EAF , (Fig. 7.8) una curvasiffatta, di asse AD e siano BC e DE due ordinate positive e DF un’altra ordinatanegativa. Presa dunque l’ascissa AG che corrisponde al medio proporzionale traBC e DF, non si potra negare che alla medesima ascissa BD corrispondonodue segmenti DE, positivo, e DF, negativo. Non diversamente succede per ilogaritmi: se si prendono i logaritmi come ascisse ed i numeri corrispondenticome ordinate sulla curva logaritmica. Infatti, nelle mie ultime lettere mostraiche davvero la curva logaritmica ha due rami situati da parti opposte rispettoall’asse cosicche allo stesso logaritmo corrispondono due ordinate ovvero duenumeri, uno positivo e l’altro negativo. E cio e quanto sembravi voler negare,ovvero che i numeri negativi hanno logaritmo. Cio riguarda in verita quantodici, che se nell’equazione generale 2e = x si chiede che sia e = 0 quando x = 1ed e = 1 quando x = 2, non si puo assegnare e quando x = −1, cio che e verosotto quell’ipotesi arbitraria; supponendo pero (come e lecito fare) che e = 0quando x = −1, si puo far corrispondere un valore di e quando x e un numeronegativo, proprio come volevo.10 (p. 902 di [2])

9Nihil aliud revera nolo, quam quod concedis, non dari transitum pro logarithmis ex serienumerorum affirmativorum in seriem negativorum. Atque ita si sit aequatio generalis 2e = x,posito in casu x = 1, fore e = 0, et in casu x = 2, fore e = 1, non posse assignari e, cum


E

F

DG

H

AB

C

Figura 7.8: Curva con due rami simmetrici allegata da Bernoulli alla letteradel 28 febbraio 1713.

Leibniz cerca di sfruttare l’appiglio concessogli da Bernoulli per mostrarel’inammissibilita della posizione x = −1 ed e = 0 nell’equazione 2e = x. Nel-la lettera del 26 aprile 1713 egli sciorina cinque argomenti basati ancora sul-l’estensione di proprieta algebriche dei logaritmi di numeri positivi a logaritmidi numeri negativi. Per prima cosa, siccome 2 · 0 = 0 e 1

2 · 0 = 0, posto 20 = −1

x = −1. Neque ego alium Logarithmum cogito, quam qui tali aequatione comprehendi potest.10Si nihil aliud contendis, quam non dari transitum pro logarithmis ex serie numerorum affir-

mativorum, hoc est, non posse ex. gr. sumi logarithmum medii proportionalis inter numerumaffirmativum et alium negativum, hoc certe nihil extraordinarii est, quod non competat ap-plicatis cujuscunque curvae duas partes oppositas habentis. Sit enim talis curva EAF , cujusaxis AD, duae applicatae affirmativae BC et DE, aliaque negativa DF. Datur sane abscissaAG, respondeat mediae proportionali inter BC et DF, etsi interim negari non possit, eandemabscissa AD respondere utrique applicatae, et affirmativae DE et negativae DF. Haud secusse res habet in numeris eorumque Logarithmis: numeri namque designantur per applicatasLogarithmicae, et eorum logarithmi per abscissas. Jam vero in novissimis meis ostendi, Loga-rithmicam revera habere duas partes oppositas ab utroque axis latere, ita ut eidem abscissae,hoc est, eidem logarithmo, duae respondeant applicatae, seu duo numeri, affirmativus unus,alter negativus. Atque hoc est quod negare videbaris, numeros scilicet negativos habere log-arithmos. Quod vero attinet ad id, quod dicis: si sit aequatio generalis 2e = x, posito in casux = 1, fore e = 0, et in casu x = 2, fore e = 1, non posse assignari e, cum x = −1, hoc quidemverum est in illa suppositione, quae est arbitraria, sed si supponatur (sicuti supponere licet)in casu x = −1, fore e = 0, potest utique assignari e, cum x=numero negativo. Et hoc est,quod ego volui.


seguirebbe che numeri positivi, negativi ed immaginari hanno lo stesso logaritmoin quanto log −1 = 0 implica 2 log −1 = log(−1)2 = log(1) = 0 e 1

2 log(−1) =

log√−1 = 0. Inoltre (secondo argomento), la quantita 20 risulterebbe avere

un’infinita di valori: ±1, 2n√−1, cosa inammissibile per Leibniz.

A parte questo (terzo argomento), il transito tra numeri positivi e negativiaccadrebbe ponendo xe = −2 in quanto x2e = +4, contraddicendo un punto sucui anche Bernoulli era d’accordo. Ammettere i logaritmi dei numeri negativi(quarto argomento) trascina con se l’assurdo (per Leibniz) di far corrisponderelogaritmi positivi a numeri immaginari. Infine, con il supporre 20 = −1 sicontraddirebbe l’incompatibilita—condivisa da Bernoulli— delle equazioni2e = 1 e 2e = −1 in quanto, come visto nel primo argomento, la scelta di e = 0per soluzione di 2e = −1 e compatibile con 2e = 1, sempre per e = 0.

Testo 7.3 (Leibniz) (p. 902 di [2]). Originale 7.11

Vedo che sei d’accordo con me nel dire che se si suppone che e = 0 risolval’equazione generale 2e = x quando x = 1 e che e = 1 la risolva quando x =2 [ad esempio], allora segue che non si puo far corrispondere un valore di equando x = −1. Pero aggiungi che questa ipotesi a favore dei logaritmi dinumeri positivi e arbitraria perche, ferma restando l’equazione generale 2e = x,si potrebbe supporre che e = 0 la risolva quando x = −1. Lasciando stare ilfatto che la prima ipotesi e piu naturale, occorre considerare senza dubbio pervero che 1 nel secondo caso succede che il logaritmo di una quantita positiva,negativa ed impossibile e sempre lo stesso. Infatti, siccome il doppio e la meta di0 e 0, 0 sara il logaritmo tanto di -1 che del suo quadrato +1 e della sua radicequadrata

√ − 1. 2. Da cio seguirebbe a maggior ragione che 20 non sarebbeuna quantita assegnata, ma che avrebbe infiniti significati visto che non sarebbesolo 20 = −1, come si e supposto, ma anche 20 = +1 ed = 2

√−1 ed = 4

√−1 e

+ 8√−1 e cosı via all’infinito. E dunque, a meno di non concludere che 20 e una

quantita ambigua, tutti questi numeri dovrebbero coincidere. Se pero poniamofin dall’inizio 20 = 1, non succedera nulla di tutto cio perche ogni potenza oradice di 1 e 1 mentre non e vero che ogni potenza o radice di -1 e -1.

3. Grazie all’ipotesi che i numeri negativi abbiano un logaritmo succedeanche il passaggio da numeri positivi a numeri negativi e viceversa. Infatti, rad-doppiando il logaritmo di un numero negativo otterrai il logaritmo del quadratoda un numero positivo: ad esempio, se xe = −2 sara x2e = +4; ma tu stessorifiuti questo passaggio, dalla natura della curva.

Inoltre 4. Accettati i logaritmi dei numeri negativi avrai anche logaritmipossibili di numeri impossibili, che sono poi le meta dei logaritmi di numerinegativi; se pero ammetti logaritmi solo per numeri positivi non succedera maidi avere logaritmi possibili (reali) di numeri impossibili (immaginari).

Infine 5. Accettata l’esistenza dei logaritmi per numeri negativi si avra unaconseguenza che avevi ammesso essere falsa. Infatti, hai ammesso fin dall’inizioche 2e = 1 e 2e = −1 sono incompatibili, per quanto riguarda l’assegnazione die. Se pero ammetti per ipotesi che 20 = −1 si avra anche 20 = 1. Dunque2e = 1 e 2e = −1 sono compatibili prendendo e = 0 contro l’ipotesi.


Vedi da tutto questo che l’esistenza dei logaritmi di numeri negativi non soloe poco naturale ed inutile ma anche inammissibile. Cio segue anche, come dissialtrove, dal fatto che non sono ammissibili proporzioni tra quantita negativee che non si puo affermare che -1 sta ad +1 come +1 sta a -1, anche se ilprodotto degli estremi uguaglia quello dei medi, perche la base dell’uguaglianzadi due rapporti sta nella similitudine, che qui non c’e. Infatti non so come possa+1 stare a -1 come -1 sta a +1 quando nel primo rapporto il magggiore sta alminore mentre nel secondo il minore sta al maggiore. Dunque, anche se e veroche le due frazioni +1

−1 e −1+1 sono uguali, queste frazioni non sono veri rapporti,

anche se possiamo indicarli per il loro tramite. Da questo si capisce che sonostati dimenticati alcuni dei fondamenti dell’analisi.

Con la risposta di Bernoulli del 7 giugno 1713, la controversia si avvia alsuo epilogo. Qui Bernoulli risponde punto per punto alle cinque obiezioni diLeibniz, contestando l’impianto dimostrativo che fa ricorso alle proprieta alge-briche dei logaritmi che sono valide solo per argomenti positivi. Nel dettaglio,egli afferma che, preso un numero a, 1

2 log(a) e il logaritmo di un numero b chee medio proporzionale tra l’unita (positiva o negativa) ed a, cioe del numerotale che ±1 : b = b : a che e b = ±√

a o b = ±√−a a seconda che la pro-

porzione parta da +1 o da −1. Inoltre, 2 log a e il logaritmo di un numero c chee terzo proporzionale tra l’unita (positiva o negativa) ed a e dunque soddisfala proporzione ±1 : a = a : c. Solo se si parte da +1 si ha c = a2 mentrepartendo da −1 si arriva a c = −a2. Pertanto, poiche -1 e terzo proporzionaletra -1 e -1, segue che log −1 = 2 log 1 = 0; d’altra parte il medio proporzionaletra -1 e -1 e

√−1×−1 = ±

√+1, da cui non segue alcun assurdo. La pre-

sunta ambiguita di 20 viene negata osservando che, per quanto detto prima20 =

√−1×−1 = 4

√−1×−1×−1×−1 = ... = ±1 che non e per nulla assur-

do. Grazie a queste distinzioni cadono, secondo Bernoulli, gli altri argomentidi Leibniz. Ad esempio, da xe = −2, cioe e = log(−2), egli ricava che il log-aritmo doppio 2e spetta al terzo proporzionale tra -2 e -1, cioe −2×−2

−1 = −4 e

dunque non c’e transito tra numeri positivi e negativi. Infine da 20 = −1 nonsegue anche 20 = 1 ma 22·0 e dato da −1× (−1) : −1 = −1.

Testo 7.4 (J. Bernoulli I) (pp. 907-909 di [2]). Originale 7.12La falsita dello stesso principio (che tu tacitamente presupponi) risiede nel

fatto che tu vorresti applicare ai logaritmi dei numeri negativi proprieta che sonovere soltanto per i logaritmi di numeri positivi senza considerare il fondamentoda cui sono dedotte per renderti conto subito del motivo per cui l’applicazioneai logaritmi dei numeri negativi non valga. Ma rispondero punto per punto alletue cinque obiezioni.

Tu dici (1) che l’esistenza di logaritmi di numeri negativi ha per conseguenzache il logaritmo di una quantita positiva, negativa od impossibile e il medesimo,cio che certamente vale per i logaritmi di numeri positivi e negativi; ammettoinfatti che questi abbiano logaritmi in comune ma consideriamo il ragionamen-to grazie al quale tu concludi che anche una quantita impossibile ha lo stessologaritmo; tu dici infatti che, dal momento che il doppio e la meta di 0 e 0,


il logaritmo tanto di -1 che del suo quadrato +1 che della sua radice quadra-ta

√ − 1 sono uguali. Qui non ti accorgi che non e per nulla essenziale peri logaritmi che il doppio di qualche logaritmo sia il logaritmo del quadrato delnumero e che meta del logaritmo sia meta del logaritmo del numero; e impor-tante comprendere che il doppio di un logaritmo deve dare il logaritmo di quelnumero che e terzo proporzionale geometrico con il primo numero (cioe l’unita,positiva o negativa) e col numero proposto, questo terzo proporzionale coincidecon il quadrato del numero proposto solo tra i numeri positivi ma non cosı tra inegativi. Devi poi considerare che la meta di un certo logaritmo non e assolu-tamente il logaritmo della radice quadrata, ma piuttosto il logaritmo del medioproporzionale tra il primo numero (cioe l’unita, positiva o negativa) ed il nu-mero proposto che coincide con la radice quadrata tra i numeri positivi, non trai negativi. Il tuo ragionamento va corretto dicendo che, siccome il doppio e lameta di zero e 0, sara 0 sia il logaritmo di -1 che quello del terzo proporzionalerispetto a -1 e -1 cioe −1×−1

−1 = −1 e del medio proporzionale tra -1 e -1, cioe√−1×−1 = +

√+1 o −

√+1; certamente non vi e alcuna conseguenza assurda

in questo.

Tu sostieni 2. che seguirebbe a maggior ragione che 20 non sarebbe unaquantita fissa ma avrebbe infiniti significati, infatti non sarebbe solo 20 =-1 comeipotizzato, ma anche 20 = +1 e = 2

√−1 e = 4

√−1 e = 8

√−1, cosı via all’infinito

per cui se 20 non fosse una quantita ambigua, tutte queste quantita avrebbero lostesso valore. Questa seconda obiezione e solo un Corollario della precedente,rimossa la quale cessera anch’essa. Io nego che si abbia 20 = 2

√−1, e = 4

√−1, e

= 8√−1 ecc. infatti, si ha solo che 20 e = 2

√−1×−1 e 4

√−1×−1×−1×−1, e

8√−1 ecc. tutte quantita che valgono ±√

+1, cioe +1, o cio che qui e ammesso,-1, che non e affatto insolito.

Veniamo ora al 3 punto. Dall’esistenza di logaritmi per numeri negativiseguirebbe il passaggio da numeri positivi a negativi e viceversa: infatti tu affermiche otterrei dal raddoppio del logaritmo di un numero negativo il logaritmo delquadrato da un numero positivo: ad esempio, da xe = −2 si avrebbe x2e = +4;io stesso avrei negato questo passaggio, data la natura della curva logaritmica.In realta vale sempre la stessa risposta: nego evidentemente che raddoppiandoun logaritmo si ottenga il logaritmo del quadrato. Infatti hai visto che da quellamoltiplicazione scaturisce il logaritmo del terzo proporzionale rispetto all’unita(positiva o negativa) ed al numero proposto. Dunque, se xe = −2, si dovraconcludere che x2e = −2×−2

−1 = −4, senza alcun transito tra numeri negativi epositivi.

La medesima risposta vale per la quarta obiezione, quando dici che, ammessii logaritmi di numeri negativi si avrebbero logaritmi possibili di quantita impos-sibili, che sono la meta dei logaritmi dei numeri negativi; senza dubbio hai vistonella risposta alla prima obiezione che la divisione per due di un logaritmonon produce (se non per caso) il logaritmo della radice ma quello del medioproporzionale tra l’unita (positiva o negativa) ed il numero proposto, e questomedio proporzionale non e mai impossibile.

Giungiamo finalmente alla 5 obiezione. Ammessa l’esistenza di logaritmi


per i numeri negativi, risulterebbe falso cio che avevo ammesso esser vero: che2e = 1 e 2e = −1 erano incompatibili, mentre lo sarebbero per e = 0. Ripetisempre la stessa cantilena che ti ho mostrato essere falsa. Infatti, dall’ammettereche 20 = −1 non segue anche che 20 = 1, ma solo che −1×−1

−1 = −1. Dunqueecco superate tutte le tue difficolta. Sono certo che, se vorrai considerare con unpo’ di attenzione la cosa, sarai d’accordo con me. Ho voluto risponderti puntoper punto perche evitiamo un giorno di litigare su qualcosa di futile.

Lo scambio epistolare tra Leibniz e JohannBernoulli sull’argomento volgeal termine. I due non sono riusciti a trovare un accordo sul significato da at-tribuire al medio proporzionale ed al terzo proporzionale quando compaiononumeri negativi [1]. Nelle ultime due lettere da esaminare sentiremo dapprimaLeibniz troncare la discussione affermando il proprio disinteresse verso un sis-tema di logaritmi che non abbia le proprieta algebriche dei logaritmi di numeripositivi. Egli si accontenta di aver convinto l’amico del fatto che, accettata e = 0come soluzione di 2e = +1, non sia possibile trovare soluzione (reale) a 2e = −1.Egli ritiene logaritmi compatibili con tale conclusione quelli piu naturali, nontanto nel senso di consueti, quanto di piu semplici. Ecco l’estratto della letteradi Leibniz, datata 28 giugno 1713.

Mi astengo dal discutere le tue nuove obiezioni alla mia teoria circa l’impossi-bilita dei logaritmi di numeri negativi; mi sembra che la controversia dipendadal modo in cui ci si esprime. Una cosa e abbastanza chiara, che i logaritmidi quantita impossibili sono impossibili; il doppio di una quantita impossibilee impossibile; infine il logaritmo di un numero e il doppio di quello della suaradice. Non ritengo di dover aggiungere altro. Se tu consideri un altro logaritmodove queste proprieta non valgono, a me non interessa. Hai ammesso che se da2e = x, posto e = 0 segue che x = 1 non si puo poi assegnare un valore ad eche renda x = −1. Questo mi basta, ne intendo dire altro quando affermo chenon sono ammissibili i logaritmi di numeri negativi e nella mia definizione dilogaritmo e compreso il fatto che il logaritmo di un numero e il doppio di quellodella sua radice quadrata. Esaminero le altre tue note. Ritengo non doversichiamare piu naturale qualcosa cui siamo piu abituati ma cio che superiore epiu semplice di natura.11 (pp. 912-913 di [2])

In risposta, Bernoulli il 29 luglio accondiscende a chiudere la controversiaaccontentandosi di aver strappato a Leibniz l’affermazione che la scelta di farpartire le progressioni geometriche su cui costruire un sistema di logaritmi da

11Non vacat nunc discutere, quae meae doctrinae de impossibilitate logarithmorum numerisnegativis assignatorum iterum opponis; si quid enim judico, non potest facile hic controversiaesse, nisi in modo loquendi. Res ipsa vero satis clara est, impossibilium quantitatum impossi-biles esse Logarithmos; et duplum impossibilis impossibile esse; Logarithmum denique numeriesse duplum Logarithmi radicis; plura addi ad sententiam meam necesse non putabam. Sialiter Logarithmum sumes, ut haec locum non habeant, nihil hoc ad me. Concessisti, si sit2e = x, et posito e = 0, sit x = 1, non posse dari e, posito x = −1. Hoc mihi sufficit, nec aliudintelligo, cum dico, non dari Logarithmum negativorum, et in hac mea Logarithmi definitioneutique continetur, Logarithmum numeri esse duplum Logarithmi radicis quadraticae. Aliastamen Tuas Annotationes examinabo. Magis naturalem putem appellandum non id, cummagis assueti sumus, sed quod natura prius est et simplicius.


+1 e arbitraria e che, scelto −1 come origine delle progressioni, i logaritmidei numeri negativi sono ammissibili, come egli ritiene aver mostrato con gliargomenti geometrici addotti in precedenza.

Mi sta bene definire i logaritmi come ti pare purche tu non neghi cio che findall’inizio hai concesso, cioe che l’ipotesi di partire dall’unita positiva e del tuttoarbitraria e soprattutto che e lecito partire dall’unita negativa, ovvero supporreche log −1 = 0 da cui segue che tutto cio che ho scritto sui logaritmi dei numerinegativi nelle mie lettere precedenti procede bene senza che succeda quanto temi,che i logaritmi di quantita impossibili sono possibili. Hai anche visto in qualsenso si puo affermare che il logaritmo di un numero e doppio di quello della suaradice e come sia poco sconvolgente l’esistenza di due rami di curva logaritmicasullo stesso asse, da te negata all’inizio e da me dimostrata essere vera a partiredalla stessa natura dell’iperbole. Questo solo e quel che volevo. Se tu me loconcedi, acconsento volentieri che tutto il resto e questione di pura definizione.12

(pp. 915 di [2])

Il carteggio si chiude senza significativi passi in avanti. I due studiosi restanofermi sulle loro posizioni e ciascuno non e riuscito a trovare argomenti abbas-tanza forti per convincere l’altro. Leibniz non si occupo piu della questione emorı tre anni dopo la fine della controversia. L’intero carteggio fu pubblicatosolo nel 1745 e dunque non esercito un’influenza immediata. Vedremo tra pococome, dall’analisi critica del carteggio tra Leibniz e Johann Bernoulli, Eu-lero sapra trarre spunti per una innovativa e soddisfacente teoria dei logaritmiin campo complesso. Johann Bernoulli I entro ancora sull’argomento quindicianni dopo proprio con il giovane Eulero che era stato suo allievo in Svizzera ene aveva seguito i figli Daniel e Nicolaus a San Pietroburgo.

7.2 Il carteggio tra Johann Bernoulli I ed Eu-lero (1727-1729)

Lo scambio epistolare cui ci riferiamo in questa sezione ebbe luogo tra il novem-bre 1727 ed il maggio del 1729. All’epoca Bernoulli ha sessanta anni, mentreEulero e appena ventenne. Anche questo carteggio non ebbe una eco immedi-ata ed anzi venne pubblicato dallo storico della matematica Gustav Enestromsoltanto nel 1902, sulla base degli originali in possesso dell’Accademia delleScienze di Stoccolma.

12Per me licet definire logarithmum pro arbitrio Tuo, modo non neges (quod ab initio con-cessisti) assumtionem unitatis affirmativae pro primo numero esse mere arbitrariam, adeoquelicere unitatem negativam pro primo numero adhibere, ut scilicet supponatur log −1 = 0 quofit ut omnia, quae de logarithmis numerorum negativorum in anterioribus meis literis scripsi,bene procedant, nec tamen inde, quod metuis, sequatur, impossibilium quantitatum fore pos-sibiles logarithmos. Vidisti quoque, quo sensu verum sit, logarithmum numeri esse duplumlogarithmi radicis, et quam parum evertat existentiam duorum Logarithmicorum super eodemaxe, a te primo negatam, a me vero ex ipsa Hyperbolae natura postea demonstratam. Hocautem unicum erat, quod volebam. Id, si mihi nunc concedas, patiar libenter, ut reliqua sintmerae definitiones.

7.2. IL CARTEGGIO TRA JOHANNBERNOULLI I ED EULERO (1727-1729)275

Il carteggio sui logaritmi di numeri negativi ebbe inizio da una domandarivolta da Eulero a Bernoulli in una lettera datata 5 novembre 1727 in cuiriporta di essersi imbattuto per caso nello studio della funzione y = (−1)x e diavere trovato difficolta nel tracciarne il grafico in quanto y e ora positiva, oranegativa ed ora immaginaria. Tutto cio suggerisce ad Eulero che tale graficonon sia rappresentabile da alcuna curva continua.

Mi sono per caso imbattuto in questa equazione y = (−1)x e mi e sembratodifficile tracciarne la figura in quanto y e ora positivo, ora negativo, ora immag-inario; mi sembra che non sia possibile tradurla in una linea continua ma conuna serie infinita di punti posti a distanza = 1 da ambo le parti dell’asse chetuttavia, messi insieme, coincidono con l’asse.13 ([4], p. 348)

Nella risposta del 9 gennaio 1728, Bernoulli ripresenta l’argomento perl’uguaglianza log(n) = log(−n) basato sui differenziali tale e quale lo avevaproposto a Leibniz quindici anni prima. Per lui, partendo da y = (−n)x si halog(y) = x log(−n) e, passando ai differenziali,

dy

y= log(−n)dx = log(+n)dx

che fornisce log(y) = x log(n) da cui, per passaggio agli esponenziali, y = nx.Preso n = ±1, egli puo concludere che y = (±1)x = 1.

Tu chiedi che cosa e y = (−1)x. Ecco la mia risposta: sia

y = (−n)x ,

saraly = xl(−n) ,

e dunquedy

y= dx l(−n) .

Tuttavia el(−n) = l(+n),

infatti, in generale

d l(−z) = −dz

−z =+dz

+z= d l(z), e da qui l(−z) = l(z);

pertantody

y= dx l(+n),

ed integrandoly = x ln ,

13Incidi forsan in hanc aequationem y = (−1)x, qualem ea figuram exhibeat, difficile deter-minatu videtur, cum y nunc affirmativum, nunc negativum, nunc imaginarium existat, mihi eavidetur non lineam continuam exprimere, sed infinita puncta discretim posita ad distantiam= 1 ex utraque axis parte, quae autem simul sumpta aequentur axi.


da cuiy = nx = (quando n = ±1) 1x = 1.Dunque y = 1.

14 ([4], pp.351-352)La risposta di Eulero giunge il 10 dicembre del 1728 ed e interessante per

molti aspetti. Pur dichiarando di avere argomenti sia a favore che contro l’e-sistenza di logaritmi per numeri negativi egli comunque affossa l’argomento diBernoulli, evidenziando l’impossibilita di dedurre un’uguaglianza tra funzionia partire da una uguaglianza tra differenziali. Il controesempio e semplicissi-mo: x ed x + a, con a costante, hanno ugual differenziale ma sono funzionidiverse. Pertanto, non e lecito concludere che l(−x) = l(x) + l(−1) se non dopoaver dimostrato per altra via che l(−1) = 0. Tuttavia l’argomento a favoredi l(−x) = l(x) e originale e presenta in nuce il germe delle future ricerchedi Eulero sui logaritmi di numeri immaginari. Ponendo z := log x2 si ha12z = log

√x2 e siccome

√x2 = ±x sembra che 1

2z coincida con log x e conlog(−x). E procede Eulero: Si potrebbe obiettare che xx ha due logaritmi, machi affermasse questo dovrebbe concludere che ne ha infiniti15. Non vi e nessunaltro commento all’affermazione veritiera per cui ad ogni numero vengono as-sociati infiniti logaritmi: Eulero vi ritornera vent’anni dopo. Nell’argomentodi Eulero vi e un altro punto degno di nota [1]: se a e la base del sistema

logaritmico adottato egli asserisce che a12 z = ±x per cui si stanno assegnando

due funzioni: z2 = log x e z

2 = log(−x). Il problema da risolvere, che non eaffrontato a questo stadio, e se le due definizioni possano coesistere per dareluogo ad una teoria non contraddittoria dei logaritmi.

Gli argomenti contrari all’uguaglianza log(x) = log(−x) sono due. Se fossel(−x) = l(x) si avrebbe −x = x ed anche

√−1 = 1, chiaramente assurdo. In via

14Quaeris de y = (−1)x, quid illa sit ? Ego sit statuo: sit

y = (−n)x ,

eritly = xl(−n) ,

adeoquedy

y= dx l(−n) .

Est verol(−n) = l(+n),

nam in genere

d l(−z) = −dz

−z=

+dz

+z= d l(z), hinc l(−z) = l(z);

adeoquedy

y= dx l(+n),

et integrandoly = x ln ,

undey = nx = (in casu quo n = ±1) 1x = 1. Ergo y = 1.

15Posset quidem obijci, xx habere duos logarithmos, sed hoc qui asser[ere vult] infinitosadjudicare deberet


cautelativa, egli asserisce che si potrebbe forse obiettare, anche se forse senzasuccesso, che dall’uguaglianza dei logaritmi non segue quella degli argomenti, inlinea con quanto appena detto sugli infiniti valori di log x. La contraddizionesuccessiva messa in luce da Eulero e molto piu seria e, ironicamente, poggiasu un risultato ottenuto dallo stesso Bernulli nel 1702, quando aveva messo inevidenza il legame tra logaritmi (anche di argomento complesso) e la quadraturadi archi di cerchio di raggio a dimostrando che, se x ed y sono il coseno ed ilseno dell’angolo al centro sotteso dall’arco, allora

area (settore) =a2

4ilog

x+ iy

x− iy. (7.1)

Ora, assumendo per vera l’uguaglianza log(x) = log(−x) ed applicando laformula 7.1 nel caso x = 0, si ricava

area (quadrante) =a2

4ilog(−1)

e dunque, per avere log(−1) = log(+1) = 0 occorrerebbe anche avere√−1 =

0, altrimenti si otterrebbe l’uguaglianza 1 = 0. Dunque, l’ipotesi log(+x) =log(−x) porta ancora ad un assurdo.

Testo 7.5 (Eulero) (p. 353 di [4]). Originale 7.13Quanto mi hai da poco scritto sulle potenze di quantita negative risolve certa-

mente il dubbio proposto e mi sono nel frattempo imbattuto in qualche argomentocon cui mi sembra di poter dimostrare che lx = l − x. Mi si sono presentatianche argomenti che mi portano a concludere l’opposto e non so assolutamentequale seguire. Oltre agli argomenti che tu hai proposto vi e forse anche questo.Sia lxx = z, sara

1

2z = l

√xx ,

ma√xx e sia −x che +x per cui 1

2z e lx e l−x. Si potrebbe obiettare che xx hadue logaritmi, ma chi lo volesse sostenere dovrebbe concludere che ve ne sonoinfiniti. La motivazione pero che i differenziali lx ed [l−x sono] uguali, mi sem-bra dimostri meno l’uguaglianza di lx e l− x dal momento che dall’uguaglianzadi due differenziali non e permesso di concludere l’uguaglianza degli integrali,come a+ x non e uguale ad x, benche i loro differenziali lo siano. Questo casoe simile al nostro dove infatti l− x = lx+ l− 1 che mostra come non sia lecitoconcludere che lx ed l−x sono uguali se non dopo aver dimostrato che l−1 e 0.Vi sono poi questi argomenti contrari che portano all’assurdo. Se infatti fosselx = l − x si avrebbe x = −x e

√−1 = 1. Si potrebbe obiettare, ma non so con

quale esito, che dall’uguaglianza dei logaritmi non si puo passare a quella deinumeri. Ed ancora valgono i miei dubbi sulla curva y = (−1)x. Ammesso allorache non si ha x = −x anche se lx = l − x, temo pero che un simile principioapplicato al calcolo tragga in errore. Sia infatti a il raggio di un cerchio a, y unseno, x un coseno; grazie al tuo metodo che riduce la quadratura del cerchio a


logaritmi, l’area del settore e

=aa

4√−1

logx+ y

√−1

x− y√−1

,

e posto x = 0 si otterra che il quadrante di un cerchio e

=aa

4√−1

l − 1 .

Se fosse l − 1 = 0, dovrebbe anche essere√−1 = 0 e dunque 1 = 0. Non ho

alcuna idea di come liberarmi da queste contraddizioni per cui, illustre signore,vorrei sapere che cosa ne pensi tu.

Lo scambio epistolare sull’argomento ha cosı toccato il punto saliente. Larisposta di Bernoulli del 18 aprile 1729 e la successiva replica di Eulero del16 maggio non aggiungono molto. Bernoulli pensa che Eulero abbia intesol(−x) invece di l − (x) che a suo dire vanno tenuti distinti in quanto l − (x)

12

e reale, mentre l(−x 12 ) e immaginario. Che cosa Bernoulli intendesse non

fu chiaro ad Eulero, ne a commentatori successivi quali Cajori [1]. Anchela difesa dall’attacco di Eulero sul fronte dell’espressione logaritmica di unsettore circolare non e troppo chiara. Bernoulli afferma che ogni volta in cuil’espressione

a2

4ilog

x+ iy

x− iy

si annulla, occorre aggiungere una quantita costante nQ, con Q area di unquadrante ed n un numero intero. In questo caso, Bernoulli confonde ancoraintegrali definiti ed indefiniti.

Testo 7.6 (J. Bernoulli I) (pp.359-361 di [4]). Originale 7.14(...) Ho gia in parte risposto nelle lettere consegnate a mio figlio dove gli

ho mostrato che i vostri dubbi (infatti anche lui ha simili dubbi sui logaritmiimmaginari) sorgono soltanto per un concetto inadatto alla natura dei logaritmidi quantita negative e ho detto che, nel porre (e davvero correttamente)

lx = l − x ,

bisogna intenderel− (x) ,

e nonl(−x) ,

mentre voi confondete entrambe le cose che sono molto diverse tra di loro perche,ad esempio,

l − (x)12

e reale mal(−x 1

2 )


e immaginario. Tenendo ben presente questo tutte le vostre difficolta e singolarideduzioni svaniscono. Per quanto poi riguarda la piccola obiezione mossa apartire dall’area di un settore circolare espressa tramite i logaritmi, laddove siponga il seno = y ed il coseno = x si trova con il mio metodo di riduzione ailogaritmi della quadratura del cerchio che l’area del settore e

=aa

4√−1

logx+ y

√−1

x− y√−1

,

e come ho gia similmente ricordato a mio figlio, nel caso in cui

x = 0

quest’area veramente e soltanto = 0 mentre dovrebbe essere uguale al quadrante;da cio non si deve concludere altro se non che occorre aggiungere all’espressione

aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

la quantita costante nQ, cioe un multiplo del quadrante poiche e evidente cheil seno ed il coseno si scambiano tra loro e non in un modo solo, ma in infinitimodi puo succedere che

x = 0 ed y = 1 ,

o viceversax = 1 ed y = 0 ;

e succede che, preso questo settore pari a 1Q o 2Q o 3Q ecc. o anche = 0Q,non vi sia pertanto alcun motivo per cui

aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

possa esprimere uno piuttosto che l’altro; preferisco dunque dire che l’area delsettore in generale va presa come

=aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

+ nQ ,

cosicche ogni volta in cui il primo termine parte da zero cio che manca possaessere rimpiazzato da nQ, cioe da un multiplo od un sottomultiplo del quadrantea seconda delle necessita; tu sempre troverai differenziando il differenziale deltuo settore che e

aadx

2√aa− xx

,

come deve. Nel caso del semiquadrante, dove

x = y =

√

1

2,


avrai ancora che il primo termine e =0 ma, se preferisci,

=aa

4√−1

l√−1 ,

per cui occorre aggiungere 12Q; ma un uso migliore di queste espressioni immag-

inarie si ottiene da sviluppi in serie nei quali senza dubbio i termini immaginarisi elidono. Basta cosı.

Con la risposta di Eulero del 16 maggio 1729 si chiude lo scambio epistolareper quel che riguarda i logaritmi immaginari. Altre lettere seguiranno in cui perosaranno solo trattati la soluzione generale delle equazioni differenziali di secondoordine e la determinazione della geodetica tra due punti posti su una assegnatasuperficie. Eulero glissa sulla distinzione tra l − (x) ed l(−x), dichiarandosolo di non averla compresa. Quanto all’aggiunta del termine nQ per salvare laformula della quadratura del cerchio tramite logaritmi, egli si dichiara sorpresoperche pensava di aver gia usato la costante nel momento in cui l’area vieneespressa dalla formula (7.1). Il termine nQ pare non aver alcun senso se n eccedequattro, visto che dopo aver percorso quattro quadranti si e descritto l’interocerchio. Se pero n puo assumere, come intende Bernoulli, anche il valore 1/2allora perche non prendere n = 1/4 o qualunque altro numero; cosı facendo

pero il termine aa4√−1

log x+y√−1

x−y√−1

diverrebbe inessenziale visto che, aggiustando

n, il solo termine nQ puo bastare ad esprimere l’area di un qualsiasi settorecircolare. Visto il numero di contraddizioni, meglio fermarsi prima di incorrerein un paralogismo, ragionamento all’apparenza rigoroso che in realta presentaun difetto logico di fondo.

Cio che scrivi in principio sui logaritmi immaginari, non mi e del tutto chiaro,soprattutto non capisco la differenza che fai tra l− (x) et l(−x), ne quale calcolooccorra per giungere ad uno o all’altro di questi logaritmi. Inoltre credevo che lacostante di integrazione fosse gia inserita nell’espressione del settore circolare

aa4√−1l x+y

√−1

x−y√−1

dal momento che per x = 0 si ha un’area nulla. Quindi, se

bastasse solo aggiungere nQ, cosa che non capisco ancora, mi sembra pero chen non possa indicare alcunche, se non e un multiplo di quattro. Se infatti npotesse essere 1

2 , potrebbe essere anche 14 e rappresentare ogni numero per cui

sarebbe superfluo impiegare anche aa4√−1l x+y

√−1

x−y√−1

per esprimere il settore dal

momento che il solo nQ sarebbe sufficiente a rappresentare qualunque settore.Sia come sia, mi sembra bene fermarci per non cadere, tu con le tue idee, noicon le nostre, in qualche paralogismo.16 ([4], p.365)

16Quod primo scribis de logarithmis imaginariis, id mihi nondum satis est perspicuum,praecipue discrimen, quod ponis inter l− (x) et l(−x) nondum perspicere possum, neque quocalculo ductum ad unum potius horum logarithmorum, quam ad alterum pervenire oporteat.

Praeterea expressio sectoris circularis aa

4√

−1l x+y

√−1

x−y√−1

debita constante jam mihi videtur esse

aucta, cum facto x = 0 exhibeat sectorem evanescentem. Deinde si modo, nQ adjici deberet,id quod vero nondum perspicio, n mihi praeter multiplum quaternarii nihil denotare possevidetur. Sin vero n, 1

2esse potest, poterit quoque 1

4et onmnes numeros significare, unde

7.3. EULERO LEGGE IL CARTEGGIO LEIBNIZ-BERNOULLI 281

7.3 Eulero legge il carteggio Leibniz-Bernoulli

Il carteggio contenente la controversia tra Leibniz e Johann Bernoulli suilogaritmi dei numeri negativi fu pubblicato solo nel 1745 e infiammo il mondomatematico che si divise in opposte fazioni. Eulero fu un attento lettore delcarteggio e riporto gli argomenti addotti dai due matematici a sostegno delleproprie tesi, facendo seguire all’esposizione una critica serrata. Il suo commentoe contenuto in due lavori datati 1747 e 1749. Il primo di questi lavori apparvepostumo solo nel 1862 mentre il secondo, su cui concentriamo l’attenzione, vennepubblicato nel 1751 [5].

La prima parte di quest’ultimo lavoro e dedicata all’esposizione critica dellacontroversia e la seconda alla definizione dei logaritmi per numeri negativi edimmaginari, sviluppando l’idea gia abbozzata nel suo carteggio con Bernoullivent’anni prima. Nell’introduzione Eulero descrive l’imbarazzo che la contro-versia genera tra i matematici i quali sono abituati a dispute nell’ambito dellamatematica applicata ma non nel campo della matematica pura, dove la veritao la falsita di una proposizione dovrebbe essere sempre dimostrabile.

Benche la teoria dei logaritmi poggi su basi tanto solide che le verita che essaracchiude sembrano dimostrate con lo stesso rigore di quelle della geometria,ciononostante i matematici sono ancora molto divisi sulla natura dei logaritmidei numeri negativi ed immaginari: e la ragione apparente per cui questa con-troversia non e molto agitata e che non si e voluto rendere sospetto tutto cioche deriva dalle parti pure della matematica, mettendo sotto gli occhi di tutti ledifficolta e le stesse contraddizioni che affliggono le opinioni dei matematici suilogaritmi dei numeri negativi ed immaginari. Infatti, benche sia naturale chele loro opinioni possano essere molto diverse sugli argomenti che riguardano lamatematica applicata dove i modi diversi di descrivere gli oggetti e di ricondurliad idee precise possono dar luogo a vere controversie, si e finora preteso che leparti pure della matematica fossero del tutto scevre di argomenti di disputa, nonessendoci null’altro che dimostrarne la verita o la falsita.

Siccome la teoria del logaritmi appartiene senza dubbio alla matematica pu-ra, si rimarra molto sorpresi nel sapere che e stata sinora terreno di controversietanto confuse che, qualunque partito uno prenda, cade sempre in contraddizionida cui sembra impossibile risollevarsi. Tuttavia, se la verita deve stare in piediovunque, non c’e dubbio che per quanto conclamate possano apparire, questecontraddizioni non possono che essere apparenti e che non dovrebbero man-care gli strumenti per salvare la verita, anche se non sappiamo affatto doveprocurarceli.17 ( [5], pp.139-140)

superfluum est etiam aa

4√

−1l x+y

√−1

x−y√−1

adhibere, ad sectorem exprimendum, cum solum nQ

sufficiat ad sectorem quemvis repraesentandum. Quicquid autem sit, res ita mihi se haberevidetur, ut neque tu ex tuo conceptu, neque nos nostro hac in re in paralogismum incursurisimus.

17Quoique la doctrine des logarithmes soit si solidement etablie, que les verites, qu’elle ren-ferme, semblent aussi rigorousement demontrees que celles de la Geometrie; les Mathemati-ciens sont pourtant encore fort partages sur la nature des logarithmes des nombres negatifs& imaginaires: & quand on ne trouve pas cette controverse fort agitee, la raison en est ap-


Eulero passa in rassegna l’opinione di Bernoulli e le obiezioni di Leibnizcui ne aggiunge di proprie. In particolare, all’argomento

dl x =dx

x=

−dx

−x = dl − x

da cui Bernoulli deduce l’uguaglianza l x = l − x Eulero contrappone lastessa critica che gli aveva mosso vent’anni prima: non e lecito concluderel’uguaglianza di due funzioni dalla uguaglianza dei loro differenziali.

Senza cambiare il ragionamento con cui il Sig. Bernoulli voleva dimostrare chel x = l −x a partire dall’uguaglianza dei differenziali, si dimostrerebbe anche chel 2x = l x; infatti, il differenziale di l 2x e 2dx

2x = dxx , proprio come quello di l x.

E dunque, se il ragionamento del Sig. Bernoulli fosse corretto ne conseguirebbeche non solo l x = l − x ma anche che l 2x = l x ed in generale che l nx = l x,per qualunque numero n; conseguenza questa che lo stesso Sig. Bernoulli nonaccetterebbe mai. Ora, si sa che, quand’anche i differenziali di due quantitasono uguali, non segue altro che queste quantita variabili differiscono tra loroper una costante; e non sarebbe lecito concluderne l’uguaglianza. Cosı anche seil differenziale di x+a e = dx come quello di x, la conseguenza sara certamentefalsa, a meno di voler concludere che x+a = x. E percio chiaro che i differenzialidi l − x e di l + x sono entrambi dx

x , le quantita l − x ed l + x non potrannodifferire che per una costante, come segue anche in modo altrettanto evidentedal fatto che l −x = l −1+ l x. E si comprende dunque facilmente che, siccomel nx = l x + l n, il differenziale di l nx deve essere uguale al differenziale di l x.E vero che il Sig. Bernoulli suppone l − 1 = 0, cosı come e l 1 = 0, cosiccheseguira che l − x = l x + l − 1 = l x. Ma siccome cio e proprio quanto il Sig.Bernoulli vuole dimostrare con questo ragionamento, si vede bene che questaipotesi e inammissibile.18 ([5], pp. 143-144)

paremment, qu’on n’a pas voulu rendre suspecte la certitude de tout ce, qu’on avances dansles parties pures de la Mathematique, en developant devant les yeux de tout le monde lesdifficultes, & meme les contradictions, auxquelles les sentiments des Mathematiciens sur leslogarithmes des nombres negatifs & imaginaires sont assujettis. Car, bien que leurs sentimentspuissent etre fort differens sur les questions, qui regardent la Mathematique appliquee, ou lesdiverses manieres d’envisager les objets & de les ramener a des idees precises, peuvent donnerlieu a des controverses reelles; on a toutjours pretendu, que les parties pures de la Mathema-tique etoient entierement delivrees de tout sujet de dispute, & qu’il ne s’y trouvoit rien, donton ne fut en etat de demontrer, ou la verite ou la faussete.

Commes la doctrine des logarithmes appartient sans contredit a la Mathematique pure, onsera bien surpris d’apprendre, qu’elle ait ete jusqu’ici assujettie a des controverses tellementsembarrassees, que de quelque parti qu’on se declare, on tombe toujours en des contradictions,qu’il semble tout a fait impossible de lever. Cependent si la verite doit se soutenir partout,il n’y a aucun doute, que toutes ces contradictions, quelque ouvertes qu’elles paroissent, nepeuvent etre qu’apparentes, & qu’il n’y sauroit manquer des moyens pour sauver la verite,quoique nous ne fachions point, de quel endroit nous puissons tirer ces moyens.

18Mr. Bernoulli voulant prouver par l’egalite des differentiels, qu’il etoit l x = l − x, prou-veroit par le meme raisonnement que l 2x = l x; car le differentiel de l 2x est 2dx

2x= dx

x, tout

comme celui de l x. Et partant, si le raisonnement de M. Bernoulli etoit juste, il s’ensuivroitque non seulement l x = l − x, mais aussi que l 2x = l x & en general que l nx = l x, quelquenombre que marque n; consequence, que M. Bernoulli lui meme n’accorderoit jamais. Oron sait que, lorsque les differentiels de deux quantites variable sont egaux, il n’en suit pas


Questa critica comporta che la curva logaritmica non dovrebbe avere solodue rami, ma infiniti rami, uno per ogni possibile valore di n. Bernoulli avevasostenuto che, siccome tutte le curve definite da dx = d y

yn per n dispari hanno uncentro di simmetria, cio deve valere anche per la curva logaritmica, corrispon-dente al caso n = 1. Eulero contesta l’argomento perche n = 1 e eccezione alcomportamento generale in quanto da luogo ad una curva trascendente e nonalgebrica e non vi e alcun motivo per cui l’argomento di simmetria valido per ndispari ma diverso da 1 valga anche in questo caso singolare. Per corroborarequesto argomento Eulero considera la famiglia a due parametri a e b di curvedi equazione

y =√ax+ 4

√

a3(b+ x)

che con razionalizzazioni si mostra ammettere un diametro in quanto si giungead un’equazione di ottavo grado dove y compare solo a potenze pari. Quandopero b = 0 l’argomento cade in quanto ora la curva si riduce a

y4 − 2axy2 − 4a2xy + a2x2 − a3x = 0

il cui termine a2xy riduce la simmetria della curva. L’ultima obiezione aBernoul-li riguarda l’argomento che Eulero ritiene il piu forte in favore dell’esistenzadei logaritmi dei numeri negativi, cioe il fatto che, essendo (−a)2 = (+a)2 siarriva a concludere che 2l (−a) = 2l(+a) e da qui a dire che l (−a) = l(+a).

Tuttavia, se cio fosse vero, poiche (a√−1)4 = a4 ed

(

−1+√−3

2 a)3

= a3 si deve

anche concludere che l a = l(

−1+√−3

2 a)

= l(a√−1), scuotendo l’edificio della

teoria dei logaritmi alle fondamenta: senza contare l’incongruenza gia discussada Eulero con Bernoulli vent’anni prima circa la formula di quadratura delcerchio con l’uso dei logaritmi. Il fatto grave e che ammettendo l − 1 = ω 6= 0si cade pure in contraddizione, dal momento che 2l − 1 = 2ω 6= 0 mentre2l (−1) = l(−1)2 = 0. Presentando le contraddizioni cui si va incontro sia ri-fiutando che accettando l’opzione di Bernoulli si chiude la parte del lavorodedicata all’esposizione delle idee (sentiments) di Bernoulli sull’argomento.

Testo 7.7 (Eulero) (pp. 146-148 di [5]). Originale 7.15 Passo al quarto ar-gomento del sig. Bernoulli, senza dubbio il piu forte dal momento che non sidovrebbe metterne in dubbio alcuna parte che ne sta a fondamento senza sovver-tire i principi piu solidi dell’analisi e della teoria dei logaritmi. Non si puoinfatti negare che (−a)2 = (+a)2 per cui non c’e alcun dubbio che anche i loro

davantage, que ce, que ces quantites variables different entr’elles d’une quantite constante; &on n’en sauroit conclure, qu’elles fussent egales. Ainsi quoique le differentiel de x + a soit= dx aussi bien que celui de x, la consequence seroit bien fausse, si l’on en voloit conclureque x + a = x. Par cette raison il est donc clair, que puisque le differentiel de l − x & del + x est le meme dx

x, les quantites l − x & l + x ne different entr’elles que d’une quantite

constante, ce qui est egalement evident, vuque l −x = l − 1+ l x. Et de la on comprend aussiaisement, que puisque l nx = l x+ l n, le differentiel de l nx doit etre egal au differentiel de l x.Il est vrai que M. Bernoulli suppose l − 1 = 0, de meme qu’il est l 1 = 0, de sorte qu’il seroitl− x = l x+ l − 1 = l x. Mais comme c’est precisement ce que M. Bernoulli veut prouver parce raisonnement, on voit bien que cette supposition ne peut pas etre admise.


logaritmi sono uguali, cioe a dire che l(−a)2 = l(+a)2. E poi altrettanto certoche in generale lp2 = 2lp da cui segue che l(−a)2 = 2l − a e l(+a)2 = 2l + a:pertanto senza contraddizione si avra 2l−a = 2l+a. Le meta di queste quantitasaranno indubbiamente uguali tra loro e di conseguenza l − a = l + a, propriocome sostenuto dal sig. Bernoulli. Ma se questo ragionamento fosse corretto,se ne potrebbero trarre conclusioni che nessuno, tantomeno il sig. Bernoulli,oserebbe sostenere; allo stesso modo infatti si dimostrerebbe che i logaritmi diquantita immaginarie sarebbero reali, tanto quanto quelli dei numeri negativi.E infatti sicuro che (a

√ − 1)4 = a4 e dunque anche l(a√ − 1)4 = la4, ed

inoltre 4l(a√ − 1) = 4la e per conseguenza l(a

√ − 1) = la. Inoltre, poiche(

−1+√−3

2 a)3

= a3, si avra l(

−1+√−3

2 a)3

= la3 e dunque 3l−1+√−3

2 a = 3la

come anche l−1+√−3

2 a = la, che non si potrebbe ammettere senza sovvertirel’intera teoria dei logaritmi.

Secondo il sistema del Sig. Bernoulli, non solo si avrebbe l − 1 = l 1 = 0,

ma anche l√ − 1 = 0; l − √ − 1 = 0; ed l−1+

√−3

2 = 0. Ora la bella scopertadel sig. Bernoulli, che ridusse felicemente la quadratura del cerchio ai logaritmidi numeri immaginari, sarebbe falsa, se il logaritmo di

√− 1 fosse =0; infattigrazie a quella riduzione egli ha mostrato che il raggio sta alla quarta parte diuna circonferenza come

√−1 sta a l√−1. Dunque, posto il rapporto del diametro

alla circonferenza = 1 : π si avra 12π = l

√−1√−1 e dunque l√− 1 = 1

2π√− 1 che

sarebbe assurdo se fosse l√− 1 = 0. Dunque non e vero che l

√− 1 = 0 per cuibisogna concludere che, per quanto sembrasse solida, la quarta motivazione e daprendere con cautela visto che ne seguirebbe sia l

√− 1 = 0 che l − 1 = 0. None possibile dunque dire che l’opinione del Sig. Bernoulli sia sufficientementefondata.

E certo molto sorprendente che sia aderendo all’opinione del Sig. Bernoullisia rifiutandola, si cade in ogni caso in difficolta insormontabili ed anche incontraddizioni. Se infatti si sostiene che l − a = l + a o l − 1 = l + 1 = 0 si eanche obbligati ad ammettere che l

√ − 1 = 0, dato che l√− 1 = 1

2 l − 1. Orasarebbe assurdo non solo sostenere che i logaritmi di quantita immaginarie nonsono immaginari, ma sarebbe anche falso che l

√− 1 = 12π

√− 1, cosa che peroe rigorosamente dimostrata. Dunque, dichiarandosi a favore dell’opinione delsig. Bernoulli si cade in contraddizione con delle verita ben fondate.

Supponiamo che l’opinione del sig. Bernoulli sia falsa e che non si ha af-fatto l − 1 = 0, visto che a questo si riduce l’opinione del sig. Bernoulli; siresta vincolati ad ammettere la falsita di qualche operazione su cui si fonda ilragionamento della quarta motivazione: cio pero non si puo fare senza caderein contraddizione con altre verita dimostrate. Per rendere tutto piu evidente,sia l − 1 = ω, e se non fosse ω = 0, neanche il suo doppio 2ω sara =0; ora,2ω e il logaritmo del quadrato di -1, cioe di +1, per cui il logaritmo di +1 nonsarebbe piu =0, una nuova contradizione. Inoltre, −x e sia = −1 · x che = x

−1e dunque l − x = l x + l − 1: si avrebbbe dunque l − 1 = −l − 1, senza che sial − 1 = 0 che e una contraddizione, come a dire che e +a = −a senza che siaa = 0.


Arrivato a questo punto di stallo, Eulero enuncia le idee di Leibniz inmateria e non sembra aver dubbio che, quando Leibniz afferma che il logar-itmo di un numero negativo e impossibilis, egli intenda con cio dire immagi-nario. Anziche esplorare il pensiero di Leibniz, Eulero presenta tre ragioniche sembrano negare la realta dei logaritmi di numeri negativi, sottoponendole acritiche che riproducono lo stallo con cui si era concluso l’esame della posizionedi Bernoulli. Due degli argomenti pro Leibniz sono basati su sviluppi in serie,divergenti o convergenti, mentre il terzo e basato sulla definizione di logaritmoa noi familiare. Il primo argomento poggia sulla serie di Mercator

l(1 + x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − 1

4x4 +

1

5x5 − 1

6x6 +&c.

che, quando si pone x = −2, (fuori dal raggio di convergenza della serie) forniscelo sviluppo divergente

l − 1 = −2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.

che e incompatibile con l − 1 = 0. Tuttavia nella successiva obiezione Euleroriconosce lo scarso valore persuasivo di questo primo argomento, dal momentoche il comportamento di una serie fuori dall’insieme di convergenza puo dareorigine a contraddizioni. Ad esempio, posto x = −2 nella serie geometrica

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 −&c.

si ottiene un’uguaglianza priva di senso

−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + &c.

Il secondo motivo a favore della tesi di Leibniz poggia sull’equivalenza y =l x ⇔ x = ey dimostrata dall’osservazione che, poiche l e = 1, da y = l x segueyl e = 1l x e dunque l ey = l x che equivale all’asserto. A questo punto e chiaroche e impossibile che si ottenga un valore negativo per x quando y assume unqualunque valore reale. Tuttavia, osserva Eulero, questo argomento puo anchecondurre a conclusioni di segno opposto in quanto, se y = m

2n , con m ed n interi,

allora x = em:2n = ±√em:n il che porterebbe a concludere che i numeri x e −x

hanno lo stesso logaritmo. La motivazione piu forte addotta da Eulero fa levasullo sviluppo convergente

x = ey = 1 + y +1

2y2 +

1

6y3 +

1

24y4 + ...

che, insistendo a porre come Bernoulli x = −1 ed y = 0, fornisce il risultatoassurdo −1 = +1. Tuttavia, lo sviluppo di (1 − x)−

12 fornisce solo radicali

positivi e mai il valore negativo per cui, l’assenza di logaritmi di numeri negatividallo sviluppo in serie di ey sembra imputabile piu ad una limitazione deglisviluppi in serie che ad una impossibilita concettuale.


Testo 7.8 (Eulero) ([5], pp. 149-152) Originale 7.16Avendo mostrato che il logaritmo del numero 1+x e uguale alla somma della

serie

l(1 + x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − 1

4x4 +

1

5x5 − 1

6x6 + ecc.

si vede subito che se x = 119, deve essere l 1 = 0. Per avere ora il logaritmo di−1 occorre inserire x = −2 da cui si ottiene

l − 1 = −2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.

Non c’e alcun dubbio che la somma di questa serie divergente non potra essere=0: e dunque certo che l − 1 non e = 0. Il logaritmo di −1 sara dunqueimmaginario dal momento che e chiaro che non potra essere reale, cioe positivoo negativo.

2. Motivo. Sia y = l x, e detto e il numero il cui logaritmo e = 1, il cui valoreapprossimato e, come e noto, e = 2, 718281828459; poiche sara yl e = 1l x, siconcludera che x = ey. Cosı siccome il logaritmo di un numero x e l’esponentedi una potenza di e che uguaglia il numero x, e chiaro che nessun esponentereale di una potenza di e potra produrre un numero negativo e dunque, non vie alcun numero, ne y = 0, ne un altro numero reale che, messo al posto di y,faccia diventare ey = −1. Preso in generale un numero negativo −a come x taleche il logaritmo sia = y, l’equazione ey = −a sara sempre impossibile, ovvero ilvalore di y sara immaginario.

3. Motivo. Poiche in generale il valore di ey si esprime con la serie infinita

ey = 1 +y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + ecc.,

che e sempre convergente per quanto grande sia il numero messo come y, leobiezioni rivolte alla natura divergente delle serie, come nel primo motivo, nonsono valide ora. Dunque posto come y il logaritmo di un numero x si avra

x = 1+y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + ecc.

e dunque se y indica il logaritmo di −1, ovvero se x = −1 si avra l’uguaglianza

−1 = 1 +y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

che, come e subito chiaro non sara soddisfatta dal valore y = 0, visto che nerisulterebbe −1 = +1. Dunque e sicuro che il logaritmo di −1 non e = 0.

Mi basta aver addotto queste tre ragioni in quanto gli altri argomenti concui si potrebbe confermare l’opinione del sig. Leibniz, sono gia contenuti nelleobiezioni rivolte al sistema del sig. Bernoulli. Ciononostante, i tre motivi cheho appena esposto sono soggetti alle seguenti obiezioni.

19Si legga x = 0.


1. Obiezione. Contro il primo motivo si dira subito che la crescita continuadei termini, tutti negativi, della serie

−2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.

non e un segno certo del fatto che la somma della serie non possa essere = 0.Infatti la serie geometrica

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 −&c.

quando x = −2 da

−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + &c.

e quando x = −3

−1

2= 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 343 + &c.

perche, si dira allora, non e possibile che la somma di una serie i cui ter-mini crescono conservando sempre lo stesso segno, non sia = 0. Per fornireun esempio non c’e che da sommare termine a termine l’ultima serie con laseguente:

1

2= 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + &c.

e si avra, effettivamente

0 = 2 + 2 + 10 + 26 + 82 + 242 + 730 + &c.

Dunque, se la somma di questa serie e = 0, dove sta l’assurdo nel sostenere chepossa anche essere

0 = −2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664− ecc.?

E dunque il primo motivo non e affatto convincente.2. Obiezione. Il secondo motivo e tale da potersene anche servire per

mostrare l’opinione contraria. Poiche si ha x = ey quando si suppone y ugualeal logaritmo del numero x, ogni volta che y e una frazione con denominatoreun numero pari, bisogna allora ammettere che il valore di ey e dunque anchequello di x sia positivo come negativo. Cosı se m

2n e un logaritmo, il numerox corrispondente, cioe em:2n =

√em:n, sara tanto positivo quanto negativo cos-

icche in questo caso sia x che −x avranno lo stesso logaritmo m2n . Dunque,

siccome i logaritmi non sono numeri razionali e di conseguenza equivalenti adelle frazioni aventi numeratori e denominatori infinitamente grandi, sara sem-pre possibile immaginare i denominatori come numeri pari; di conseguenza lostesso logaritmo che corrisponde al numero positivo +x, corrispondera anche alnumero negativo −x.


3. Obiezione. Il terzo motivo e senza dubbio il piu forte e sembra esclud-ere categoricamente i numeri negativi dal novero di quelli a cui corrispondonologaritmi reali. E infatti chiaro che, qualunque valore reale si inserisca per y, ilvalore della serie

x = 1+y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

non potra mai esssere negativo, cosicche nessun logaritmo reale corrisponderaad un numero negativo. Tuttavia, anche se la serie non e vera, se dalla formulafinita ey puo discendere un numero negativo, e importante se la serie che louguaglia fornisce o meno un valore negativo? Per comprendere cio, basta con-siderare un radicale come, ad esempio, 1√

(1−x) che e uguale tanto a +1√(1−x) che

−1√(1−x) , benche la serie uguale ad essa

(1− x)−12 = 1 +

1

2x+

1 · 32 · 4x

2 +1 · 3 · 52 · 4 · 6x

3 + ecc.

non fornisca che il valore positivo, qualunque numero si metta al posto di x.

Queste obiezioni rendono le idee di Leibniz piu plausibili. Tuttavia, l’incon-veniente che, se l − 1 e un numero immaginario, lo sara anche 2l − 1 = l + 1,rimane ed e necessario un radicale cambio di prospettiva per restituire solidofondamento alla teoria dei logaritmi. E questo l’obiettivo della seconda partedella memoria [5] e che sara sviluppato anche in altre opere di Eulero cuidedicheremo il prossimo capitolo.

7.4 Testi originali

Testo 7.9 [Leibniz] (pp.895–896 di [2]).Series Logarithmorum est series numerorum progressionis Arithmeticae re-

spondens seriei numerorum progressionis Geometricae, quorum unus assumipotest unitas, et alter numerus aliquis positivus, verbi gratia 2. Ubi pro Log-arithmo unitatis assignari potest 0, pro logarithmo vero ipsius 2 numerus qui-cunque, sed ponamus, unitatem esse Logarithmum ipsius 2.

Porro manifestum est, in serie hac Geometricae progressionis numquam,assumtis quotcunque tertiis proportionalibus, perveniri ad numerum negativum.Videtur quidem ad eum perveniri posse assumtis mediis proportionalibus, namin nostra hac serie datur 1,2,4; jam medium, quod sumi potest inter 1 et 4,videur esse tam +2 quam -2, quia tam +2 quam -2 in se ductum dat +4. Verumincommodum hic oritur, quod -2 non potest esse in progressione Geometrica,in qua est +2, qualis nempe (ex hypothesi) est nostra; cum -2 non sit potentiaipsius 2 secundum exponentem quemcunque, seu non sit 2e, quod tamen dequovis numero logarithmum recipiente dici potest, qui proinde in hanc seriem1,2,4 etc. quantum opus ultro citroque continuatam vel interpolatam caditsaltem aequivalenter. Nempe si fiat x = 2e, erit e = log x, posito scilicet log 1esse 0, et log 2 esse 1. Cum ergo non dari possit e in aequatione −2 = 2e,


consequens erit logarithmum -2 esse nullum. Atque hinc etiam fit, ut -2 nonpossit esse ordinata ad Asymptoton Logarithmicae in eadem serie consistenscum 1 et 2, seu non possit esse x in aequatione ad Logarithmicam, quae estx = 2e.

Sed idem ostenditur adhuc facilius ex natura quantitatum imaginariarum. Si-2 habet logarithmum, utique hujus logarithmi dabitur dimidium. Is autem estlogarithmus numeri, qui ductus in se ipsum dat -2, seu est logarithmus ipsius√−2. Sed

√−2 est numerus impossibilis et numeri impossibilis Logarithmus

est impossibilis; ergo dimidium logarithmi ipsius -2 est impossibile; sed cujusdimidium est impossibile, debet esse ipsum impossibile. Itaque impossibilis estLogarithmus ipsius -2.

Caeterum ipsa harmonia Logarithmorum et numerorum haec illustrat. Duc-tio in se ipsum in numeris representatur per multiplicationem in Logarithmis;Multiplicatio in numeris representatur per additionem in Logarithmis; Positioin numeris representatur per ipsum Logarithmum.

Ipsi ne respondet e · log nn · n log n+ log nn log n .

Contra extractio in numeris representatur per divisionem in Logarithmis; Divi-sio in numeris representatur per subtractionem in Logarithmis. Sed per quidrepresentatur Negatio in numeris? Respondo, id non posse inveniri, quia in de-scendendo ab extractione per divisionem et subtractionem, non potest aliquidinveniri, quod est per subtractione inferius.

Ipsi e√n respondet log n : e

nn log n− log n-n quid?

Ex his etiam intelligitur, etsi possit dici -2 in se ductum dare 4, non tamenapte dici, -2 esse medium proportionale inter 1 et 4, et in universum numerinegativi non intrant in rationes, etsi quodammodo in calculum intrent, quodetiam nuper in Actis Eruditorum aliunde comprobavi. Unde confirmatur, nondare Logarithmos negativorum, uti vicissim exclusio Logarithmorum a negativisconfirmat, negativos non ingredi rationes vel proportionalitates.

Si quis defendat, Logarithmum τoυ√−2 non esse dimidium Logarithmi

τoυ -2, etsi logarithmus τoυ√2 sit dimidium logarithmi τoυ 2, et pro ratione

discriminis alleget, quod√2 sit media proportionalis inter -1 et -2: responsio

est facilis, utrique esse commune, ut radix sit media proportionalis inter 1 etid, cujus est radix, nempe ut

√2 sit media proportionalis inter 1 et 2, et ut√

−2 sit (vel certe fingatur) media proportionalis inter 1 et -2. Sed hinc utro-bique sequitur, logarithmum mediae fore dimidium posterioris, nam log mediaeproportionalis inter 1 et 2 (id est ipsius

√2) est log 1 + log 2 : 2. Sed log 1

est 0; ergo log. mediae inter 1 et 2 est log 2 : 2. Similiter log. mediae pro-portionalis inter 1 et -2 (id est ipsius

√−2) est log 1 + log −2 : 2, id est (ob

log 1 = 0) log −2 : 2. Res etiam sic patet: cum -2 sit =√−2 in

√−2, erit

log −2 = log√−2 + log

√−2. Ergo log

√−2 est dimidius log −2.


Testo 7.10 [J. Bernoulli I](pp.898–900 di [2]).Schedam Tuam de Logarithmis numerorum negativorum perlegi quidem, sed

quod pace Tua dixerim, nihil inveni quod eorum impossibilitatem probet. Hocunum efficis omnibus tuis argomentis, ut ostendas, non dari transitum ex se-rie numerorum affirmativorum in seriem negativorum, hoc est assumta unitate(nempe +1) pro initio seriei numerorum, nullum numerum negativum in illaserie inveniri posse, adeoque nullos eorum logarithmos hoc casu existere; quodquidem non nego. Sed hoc non impedit, quominus numeri negativi suam pecu-liarem constituant seriem, assumta per eorum inizio unitate negativa (nempe-1)et ita quidquid de Logarithmis affirmativorum probaveris, idem et in Loga-rithmos negativorum quadrabit. Ut verbo dicam, quilibet numerus affirmativusidemque negativus habent communem logarithmum, seu Log. τoυ +n=log.τoυ-n: quod ut demonstrem ulterius Tibi, ut spero, deinceps non dissensuro, hoctantum faciam, ut probem Logarithmicam ABC habere alteram oppositam αβγ(Fig. 7.6) pro conjugata super communi asymptoto LMN , quae duae partessunt habendae ejusdem curvae, sicuti duae Hyperbolae oppositae nonnisi un-am efficiunt curvam: unde constabit (assumtis AL pro +1 et αL pro -1) LM,LN etc. fore logarithmos numerorum tam affirmativorum MB, NC etc. quamnegativorum Mβ, Nγ etc.

Hoc vero commode ostendi potest, si inspiciamus modum aliquem generan-di Logarithmicam, ex cujus generationis continuatione patebit duplicitas hujuscurvae super communi asymptoto. Consideremus hunc in finem HyperbolamPQG cum opposita pqg super asymptotis orthogonalibus Rr, OX , se mutuosecantibus in T: assumta ad arbitrium applicata PR pro prima et invariabili exsingulis punctis S, E, s, e etc. tam supra quam infra asymptoton OX eductaeintelligantur applicatae SQ, EG, sq, eg, etc. et in illis sumantur partes SF, EH,proportionales areis hyperbolicis RSPQ, REGP, hoc est ut SF × C=areae SPet EH × C= areae EP, unde manifestum est, curvam exinde generatam RFHfore Logarithmicam. (Fig. 7.7)

Attendamus nunc ad ejus generationem eamque continuemus quousque pos-sumus. Primo clarum est, quo major sumitur RS, tanto majorem fore SF, donectandem S attingente T, areaque per consequens hyperbolica Tp evadente infini-ta, etiam applicata TO, in quam abit SF, fiat infinita, adeoque Logarithmicaeasymptotos. Sed pergat nunc punctum S progredi (quid enim hoc impedit?)atque jam pervenerit in e; vides nunc area hyperbolicam ipsi Re competentemesse partim affirmativam infinitam TP, partim negativam infinitam Tg, adeoque= TP − Tg=(facta TE=Te) EP; et ipsam applicatam EH = eh; et similiter,ubi punctum mobile progrediendo pervenerit ad s, ita ut TS = Ts fiet applica-ta sf = SF ; unde nova Logarithmica hfr oritur, quae cum priori HFR unamtantum curvam constituit, nempe RFXOhfr, sicuti duae Hyperbolae oppositaePQG et pqg unam tantum efficiunt curvam, nempe PQGOXgpq. Nam uterqueramus RFH et hfr generantur eadem lege ejusque continuatione, ita ut que-madmodum primo crescunt applicatae SF , EH in infinitam TO, postea eodemritu ab infinita TO iterum decrescant in eh, sf etc. Cum itaque sumtis TRpro unitate affirmativa, et Tr pro unitate negativa, EH , SF exprimant loga-rithmos numerorum affirmativorum, expriment eadem vel ipsis aequales eh, sf


logarithmos numerorum Te, Ts, qui respectu alterorum TE, TS sunt negativi.Verum igitur est, unum eundemque logarithmum respondere duobus numerisaequalibus, uni affirmativo, alteri negativo, hoc est log. τoυ +n=log.τoυ-n.Q.E.D.

Testo 7.11 [Leibniz](p. 902 di [2]).Concedis mihi, ut video: si sit aequatio generalis 2e = x, ponaturque in

casu x = 1 esse e = 0, et in casu x = 2 [si placet] esse e = 1, tunc sequi, nonposse assignari e, cum x = −1. Sed addis, hanc suppositionem logarithmorumpro numeris positivis esse arbitrariam, nam retenta aequatione generali 2e = x,posse assumi ut e sit 0, cum x = −1. Verum enimvero, ut taceam prioremsuppositionem esse magis naturalem, considerandum est 1 in posteriore effici,ut logarithmus aliquis quantitatis affirmativae, negativae et impossibilis sit idem.Nam cum duplum et dimidium ipsius 0 sit 0, erit 0 logarithmus tam ipsius -1,quam quadrati ejus +1, et radicis quadraticae ejus

√− 1. Et 2. sequetur hocamplius, 20 non esse quantitatem fixam, sed infinitos habentem significatus,nam non tantum 20 erit =-1, ut supponebatur, sed erit 20 = +1 et = 2

√−1

et = 4√−1 et + 8

√−1 et sic in infinitum. Et ita nisi 20 sit quantitas ambigua,

haec omnia concident inter se. Sed si initio tantum ponamus 20 = 1, nihil taleoccurrit, quia, quaecunque potentia aut suppotentia ipsius 1 est 1, non veroquaevis potentia aut suppotentia ipsius -1 est -1.

Fit etiam 3. per hypothesin Logarithmorum pro negativis, ut fiat transi-tus a negativis numeris ad positivos, et contra. Nam si duplices Logarithmumnumeri negativi, habebis Logarithmum quadrati a numero positivo, ex. gr. sixe = −2, erit x2e = +4; sed hunc transitum Tu ipse improbas, vel ex spectatanatura curvae.

Praetera 4. Logarithmis negativorum admissis, habentur et logarithmi pos-sibiles impossibilium, qui erunt dimidiati Logarithmi negativorum; sed sumtisLogarithmis nonnisi positivorum, nunquam venietur ad logarithmos possibilesimpossibilium.

Denique 5. admissa hypothesi Logarithmorum pro negativis, fiet falsum,quod concessisti. Nam concessisti ab initio, incompatibilia esse 2e = 1 et 2e =−1, ita ut e possit assignari. Sed si admittas hypothesin 20 = −1, fiet etiam20 = 1. Ergo compatibilia sunt 2e = 1 et 2e = −1, posito e = 0 contra concessa.

Ex his omnibus vides hypothesin de Logarithmis numerorum negativorumnon tantum esse parum naturalem et inutilem, sed etiam non admittendam.Hinc etiam et aliunde quoque statui, proportiones non habere locum in quanti-tatibus negativis, nec dicendum esse -1 ad +1 ut +1 ad -1, licet productum exextremis hic faciat aequale producto ex mediis, quia identitas rationum funda-mentum est in similitudine, quae hic nulla est. Nam quomodo potest +1 essead -1, ut est -1 ad +1, cum prior ratio sit majoris ad minus, posterior minorisad majus. Etsi ergo verum sit, esse aequales has duas fractiones +1

−1 et −1+1 , non

tamen fractiones idem sunt ac rationes, licet hae per illas indicentur. Ex quibusintellegitur, in ipsis rei Analyticae fundamentis aliqua adhuc neglecta fuisse.

Testo 7.12 [J. Bernoulli I] (pp. 907-909 di [2]). Quod vero attinet adipsius Principii (quod tacite supponis) falsitatem haec in eo consistit, quod


quae vera sunt tantum pro logarithmis numerorum affirmativorum, ea quoquead logarithmos numerorum negativorum applicare velis, non considerans, ex quofundamento illa sunt deducta, alias statim vidisse causam, ob quam applicatio adlogarithmos negativorum non valeat. Sed respondebo κατα πoδας ad quinquetuas objectiones.

Dicis (1) in suppositione logarithmorum numerorum negativorum effici, utlogarithmus aliquis quantitatis affirmativae, negativae et impossibilis sit idem,quod quidem de affirmativis et negativis verum est; concedo enim habere com-munes Logarithmos, sed consideremus rationem, ex qua concludis etiam quanti-tatis impossibilis logarithmum esse eundem; nam cum duplum, ais, et dimidiumipsius 0 sit 0, erit Logarithmus tam ipsius -1 quam quadrati ejus +1 et radicisquadraticae ejus

√ − 1. Hic non animadvertis, quod non absolute essentialesit logarithmis, ut duplum alicujus logarithmi sit logarithmus numeri, quadrati,et dimidium logarithmi sit logarithmus radicis; oportet ut attendas, duplumlogarithmi dare proprie logarithmum ejus numeri, qui est tertius geometriceproportionalis ad primum numerum (hoc est ad unitatem, sive affirmativam,sive negativam) et ad numerum propositum, qui tertius proportionalis in affir-mativis tantum est numeri propositi quadratus, in negativis non item. Deindeattendere debes, dimidium alicujus logarithmi non absolute esse logarithmumradicis quadraticae, sed potius esse logarithmum medii proportionalis inter pri-mum numerum (hoc est unitatem, sive affirmativam, sive negativam) et nu-merum propositum, qui medius proportionalis in affirmativis tantum est radixquadratica numeri propositi, non vero in negativis. Quod si itaque ratiociniumTuum recte instituas dicendo: Nam cum duplum et dimidium ipsius 0 sit 0,erit 0 logarithmus tam ipsius -1, quam tertii proportionalis ad -1 et -1, qui est−1×−1

−1 = −1, et medii proportionalis inter -1 et -1, qui est√−1×−1 = +

√+1

vel −√+1; nihil certe absurdi inde sequitur.

Dicis 2. sequetur hoc amplius 20 non esse quantitatem fixam, sed infinitoshabentem significatus, nam non tantum 20 erit=-1, ut supponebatur, sed erit20 = +1 et = 2

√−1 et = 4

√−1 et = 8

√−1, et sic in infinitum, et ita nisi 20

sit quantitas ambigua, haec omnia coincident inter se. Haec secunda objectioest tantum Corollarium prioris; illa itaque sublata et haec cessat: nego enim 20

fore = 2√−1, et = 4

√−1, et = 8

√−1 etc. sequitur enim nihil aliud quam quod

20 sit = 2√−1×−1 et 4

√−1× −1×−1×−1, et 8

√−1 etc. quae omnia faciunt

±√+ 1, hoc est +1, vel, quod hic valet, -1, id quod nilhil absoni est.

Urges 3. fieri per hypothesin Logarithmorum pro negativis, ut fiat transitusa negativis numeris ad positivos et contra: nam si duplicem Logarithmum nu-meri negativi, me habere asseris, Logarithmum quadrati a numero positivo ex.gr. si xe = −2, fore x2e = +4; sed hunc transitum me ipsum negare, vel ex spec-tata natura curvae. Verum pristina recurrit responsio: nego scilicet duplicandologarithmum haberi logarithmum numeri quadrati. Vidisti enim ex duplicationeilla oriri Logarithmum tertii proportionalis ad unitatem (affirmativam aut neg-ativam) et ad numerum propositum. Sic itaque, si xe = −2, concludendum forex2e = −2×−2

−1 = −4, quod nullum transitum arguit a negativis ad positivos.

Eadem est responsio ad Objectionem quartam, quando dicis: Logarithmis


negativorum admissis, haberi et Logarithmos possibiles impossibilium, qui suntdimidiati Logarithmi negativorum; supra quippe in responsione ad objectionemprimam vidisti dimidiationem logarithmi non dare (nisi per accidens) logarith-mum radicis, sed medii proportionalis inter unitatem (affirmativam aut nega-tivam) et numerum propositum, hic autem medius proportionalis umquam estimpossibilis.

Quod denique obijcis 5. admissa hypothesi Logarithmorum pro negativis,fieri falsum quod concesserim; nam me concessisse ab initio incompatibilia esse2e = 1 et 2e = −1, posito e = 0, contra concessa. Eandem repetis sequelam,quam falsam ostendi. Ex eo enim, quod admittam hypothesin 20 = −1, nonsequitur fieri etiam 20 = 1, sed tantum −1×−1

−1 = −1. Ita vides difficultates tuasomnes dilutas. Non dubito quin, cum aliqua attentione rem perpendere velis,mihi sis assensurus. Volui hac vice distincte ad puncta singula respondere, utin posterum lites serere circa rem leviculam abstineamus.

Testo 7.13 [Eulero] (p. 353 di [4]). Quae mihi nuper de potentiis quanti-tatum negativarum perscripsisti, solvunt quidem dubium propositum, et ipseinterim in aliquot argumenta incidi, quibus mihi probare posse video, esselx = l−x. Alia autem quoque sese obtulerunt, contrarium asserentia, et quibusassentiar prorsus nescio. Pro affirmativa praeter argumenta tua mihi perscripta,est hoc forte quoque argumentum. Sit lxx = z, erit

1

2z = l

√xx ,

sed√xx est tam −x quam +x, quare 1

2z est lx et l−x. Posset quidem obijci, xxhabere duos logarithmos, sed hoc qui asser[ere vult] infinitos adjudicare deberet.Haec autem ratio, quod differentialia lx et [l − x sunt] aequalia, mihi minusprobare videtur aequalitatem lx et l− x, cum ab aequalitate differentialium adaequalitatem integralium concludere non liceat, ut a+x non aequatur x, eo quoddifferentialia aequantur. Similis autem est casus noster, est enim l−x = lx+l−1,unde ad aequalitatem lx et l−x prius concludere non licet, quam demonstratumsit, l− 1 esse 0. Contraria argumenta sunt haec absurdum deducentia. Si enimesset lx = l − x foret x = −x et

√−1 = 1. Posse autem hic obijci, sed nescio

an felici successu, ab aequalitate logarithmorum ad aequalitatem numerorumconclusionem fieri non posse. Et tum adhuc dubium meum concernens curvamy = (−1)x valent. Concesso autem non esse x = −x, etiam si sit lx = l − x,vereor tamen ne hoc principium in calculo applicatum in errorem deducat. Utisit radius circuli a, sinus y, cosinus x, exit ex methodo Tua quadraturam circuliad logarithmos reducendi, area sectoris

=aa

4√−1

logx+ y

√−1

x− y√−1

,

et posito x = 0 habebitur quadrans circuli

=aa

4√−1

l − 1 .


Si ergo fuerit l − 1 = 0, oportet ut sit quoque√−1 = 0, et tandem 1 =

0. Quomodo me ex his contradictionibus explicam, plane ignoro, ideoque, VirCeleberrime, abs te intelligere desidero quid de iisdem sentias.

Testo 7.14 [J. Bernoulli I](pp.359-361 di [4]).(...) Partim jam respondi in litteris meis ad filium datis, ubi ei ostendi dubia

vestra (nam et ipse similes formavit difficultates circa logarithmos imaginarios)inde tantum oriri, quod conceptus quem habuistis de logarithmis quantitatumnegativarum cui rei natura non satis bene congruebat, dixitque si statuatur (&recte quidem)

lx = l − x ,

intelligendum esse

l− (x) ,

non vero

l(−x) ,vos autem utrumque confudisse, etiamsi magna sit inter utrumque differentiasic. e. gr.

l − (x)12

est reale quid, sed

l(−x 12 )

imaginarium. Hoc bene observato, cessant omnes vestrae difficultates & mon-struosae inde deductae consequentiae. Quod attinet ad scrupulum quem porromoves desumtum ex area sectoris circularis per logarithmum expressa, ubi pos-ito sinu = y et cosinu = x invenitur per methodum meam quadraturam circuliad logarithmum reducendi, area sectoris

=aa

4√−1

logx+ y

√−1

x− y√−1

,

de eo pariter jam monui filium meum in casu quo

x = 0

hanc aream revera exhiberi tanquam = 0, quamvis deberet esse = quadranti;hinc autem nihil aliud concludi debere, quam quod expressio ista

aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

augeri debeat quantitate constante nQ, seu multiplo quadrantis, quod vel ideopatet, quia sinus et cosinus in se convertuntur, atque non uno tantum modo sedinfinitis modis fieri potest ut sit

x = 0 & y = 1 ,


vel vice versax = 1 & y = 0 ;

nam hoc fit assumto sectore = vel 1Q, vel 2Q, vel 3Q, etc. vel etiam quandovis = 0Q, adeoque nulla ratio est cur

aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

unus potius exprimat quam alterum; malo itaque dicere quod area sectorisstatuenda sit generaliter

=aa

4√−1

lx+ y

√−1

x− y√−1

+ nQ ,

adeo ut quotiescunque pars prior in nihilum abit, id, quod deest, suppleri possitper nQ, hoc est per multiplum, submultiplumve quadrantis, prout necessitas idexigit; semper enim invenies differentiando sectoris tui differentiale quod est

aadx

2√aa− xx

,

sicuti decet. In casu semiquadrantis, ubi

x = y =

√

1

2,

habebis etiam partem priorem =0, aut si mavis

=aa

4√−1

l√−1 ,

quocirca adjiciendum 12Q; sed hujusmodi expressiones imaginariae usum potius

habent, si in series expendantur in quibus quippe termini imaginarij se destru-unt. De his satis.

Testo 7.15 (Eulero) (pp. 146-148 di [5]). Je passe a la quatrieme raison deM. Bernoulli, qui est sans doute la plus forte; car on ne fauroit revoquer etdoute aucun article, qui y fert de fondement, sans renverser les principer lesmieux etablis de l’analyse & de la doctrine des logarithmes. Car on ne sauroitnier que (−a)2 = (+a)2, donc il n’y a aucun doute, que leurs logarithmes nesoient egaux c. a d. l(−a)2 = l(+a)2. Ensuite il est egalement certain qu’il esten general lp2 = 2lp, donc il y a l(−a)2 = 2l − a & l(+a)2 = 2l + a: partant ilsera sans contredit 2l−a = 2l+a. Les moities de ces deux quantites seront doncaussi incontestablement egales entr’elles, & par consequent il sera l− a = l+ a,tout comme M. Bernoulli le soutient. Ma si ce raisonnement est juste, on entirera aussi d’autres consequences, que personne, & encore moins M. Bernoulli,ne dauroit accorder; car on prouvera de la meme facon, que les logarithmes desquantites imaginaires seroient aussi bien reels, que ceux des nombres negatifs.


Car il est certain que (a√− 1)4 = a4, donc il sera aussi l(a

√− 1)4 = la4, & deplus 4l(a

√− 1) = 4la, par consequent l(a√− 1) = la. Outre cela, puisqu’il est

(

−1+√−3

2 a)3

= a3, il sera l(

−1+√−3

2 a)3

= la3, & partant 3l−1+√−3

2 a = 3la,

donc l−1+√−3

2 a = la, ce qu’on ne sauroit admettre sans renverser toute ladoctrine des logarithmes.

Il seroit donc, selon le systeme de M. Bernoulli, non seulement l−1 = l 1 = 0,

mais aussi l√− 1 = 0; l −√− 1 = 0; & l−1+

√−3

2 = 0. Or, M. Bernoulli, ayantsi heureusement reduit la quadrature du cercle aux logarithmes des nombresimaginaires, si le logarithme de

√ − 1 etoit =0, toute cette belle decouverteseroit fausse; par laquelle il a fait voir, que le rayon est a la quatrieme partie dela circonference, comme

√− 1 a l√− 1. Donc, posant le rapport du diametre a

la circonference = 1 : π, il sera 12π = l

√−1√−1 & partant l√− 1 = 1

2π√− 1, ce qui

serait absurde s’il etoit l√−1 = 0. Il n’est pas donc vray que l

√−1 = 0, d’ou ilfaut conclure que quelle solide que paroisse la 4me raison, elle doit etre sujette acaution, quisqu’il en suivroit aussi bien l

√−1 = 0 que l−1 = 0. Par consequenton ne peut pas dire, que le sentiment de M. Bernoulli soit suffisament prouve.

Il est ici fort etonnant, que, soit qu’on embrasse le sentiment de M. Bernoulli,ou qu’on le rejette, on tombe egalement en des embarras insurmontables, &meme en des contracidtions. Car si l’on soutient que l − a = l + a ou l − 1 =l + 1 = 0, on est oblige d’avouer qu’il est aussi l

√ − 1 = 0, puisque l√ − 1 =

12 l − 1. Or il seroit non seulement absurde de soutenir, que les logarithmes desquantites imaginaires ne soient pas imaginaires, mais il seroit aussi faux quel√ − 1 = 1

2π√ − 1, ce qui est neanmoins rigoureusement prouve. Ainsi en se

declarant pour le sentiment de M. Bernoulli, on tombe en contradiction avecdes verites tres solidement etablies.

Posons que le sentiment de M. Bernoulli est faux, & qu’il n’y ait pointl−1 = 0; car c’est a quoi se reduit le sentiment de M. Bernoulli; & on sera obliged’accuser de faussete quelcune des operations sur lesquelles le raisonnement dela 4me raison est fonde: ce qu’on ne pourra faire non plus sans tomber encontradiction avec d’autres verites demontrees. Pour rendre cela plus evident,soit l − 1 = ω, & s’il n’est pas ω = 0, son double 2ω ne sera non plus =0, or2ω est le logarithme du quarre de -1, lequel etant =+1, le logarithme de +1 neseroit plus =0, ce qui est une nouvelle contradiction. Deplus, −x est aussi bien= −1 · x que = x

−1 , donc l − x = l x+ l − 1: il seroit donc l − 1 = −l − 1, sansqu’il fut l − 1 = 0; or c’est une contradiction de dire qu’il soit +a = −a sansqu’il soit a = 0.

Testo 7.16 (Eulero) ([5], pp. 149-152). Ayant fait voir que le logarithme dunombre 1 + x est egal a la somme de cette serie:

l(1 + x) = x− 1

2x2 +

1

3x3 − 1

4x4 +

1

5x5 − 1

6x6 +&c.

d’ou l’on voit dabord que si x = 120, il doit etre l 1 = 0. Maintenant pour avoir

20Si legga x = 0.


le logarithme de −1, il faut mettre x = −2, d’ou l’on obtien

l − 1 = −2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.

Or il n’y a aucun doute, que la somme de cette serie divergente ne sauroit etre=0: donc il est certain que l − 1 n’est pas = 0. Le log. de −1 sera doncimaginaire, puisqu’il est d’ailleurs clair, qu’il ne sauroit etre reel, c.a d. oupositif, ou negatif.

2. Raison. Soit y = l x, & posant e pour le nombre dont le logarithmeest = 1, dont la valeur approchee est, comme on sait, e = 2, 718281828459;puisqu’il sera yl e = 1l x, on en tirera x = ey. Ainsi le logarithme du nombrex etant l’exposant d’une puissance de e que est egale au nombre x, il est clair,qu’aucun exposant reel d’une puissance de e ne sauroit produire un nombrenegatif: & partant pour que ey devienne = −1, ni y = 0, ni aucun nombre reelmis pour y sauroit remplir cette condition. Et posant en general pour x unnombre negatif −a, dont on suppose le logarithme = y, l’equation ey = −a seratoujours impossible, ou la valeur de y imaginaire.

3. Raison. Puisqu’en general la valeur de ey s’exprime par cette serie infinie:

ey = 1 +y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

qui est toutjours convergente, quelque grand nombre qu’on mette pour y, desorte que les objections tirees de la nature des suites divergentes, comme dansla premiere raison, ne trouvent pas lieu ici. Ainsi le logarithme du nombre xetant pose = y, on aura

x = 1 +y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

& partant si y marque le logarithme de −1, ou qu’il soit x = −1, on aura cetteegalite

−1 = 1 +y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

a laquelle, comme il estd’abord clair, ne sauroit satisfaire la valeur y = 0, vuqu’il en resulteroit −1 = +1. Par consequent il est certain que le logarithme de−1 n’est pas = 0.

Je me contente d’avoir apporte ces trois raisons, puisque les autres argu-ments, par lesquels on peut confirmer le sentiment de Mr. Leibniz, sont deja con-tenus dans les objections faites contre le systheme de Mr. Bernoulli. Cependantces trois raisons que je viens d’exposer sont sujettes aux objections suivantes.

1. Objection. Contre la premiere raison on dira d’abord, que l’accroissementcontinuel des termes, qui sont tous negatifs, de cette suite:

−2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.


n’est pas une marque seure que la somme de cette suite ne sauroit etre = 0. Carsi la serie geometrique

1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 −&c.

donne pour le cas x = −2, celle-cy

−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + &c.

& pur les cas x = −3 celle-cy.

−1

2= 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 343 + &c.

pourquoi, dira-t-on, ne seroit il pas possible, que la somme d’une serie, dont lesterms croissent ayant par tout le mem signe, ne fut = 0. Pour en donner unexemple, on n’a qu’a ajouter a la derniere serie termes pour termes, celle-cy:

1

2= 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + &c.

& on aura effectivement:

0 = 2 + 2 + 10 + 26 + 82 + 242 + 730 + &c.

Donc si la somme de cette serie, est = 0, quelle absurdite seroit il donc desoutenir, qu’il fut aussi

0 = −2− 1

24− 1

38− 1

416− 1

532− 1

664−&c.

& partant la premiere raison n’est pas convainquante.2. Objection. La seconde raison est telle, qu’on pourroit aussi s’en servir

pour prouver le sentiment oppose. Car puisqu’il y a x = ey supposant yle logarithme de nombre x, toutes les fois que y est une fraction ayant pourdenominateur un nombre pair, il faut avouer qu’alors la valeur de ey & partantaussi de x, est aussi bien negative qu’affirmative. Ainsi si m

2n , est un loga-rithme, le nombre x qui lui repond etant em:2n =

√em:n, sera tant affirmatif

que negatif; de sorte que dans ce cas tant x que −x aura le meme logarithmem2n . Donc, puisque les logarithmes ne sont pas des nombres rationels, & parconsequent equivalens a des fractions, dont les numerateurs & denominateurssont infiniment grands, on pourra toujours regarder les denominateurs commesdes nombres pairs; il s’ensuit que le meme logarithme, qui convient au nombrepositiv +x, conviendra aussi au nombre negatif −x.

3. Objection. La troisieme raison est sans doute la plus forte, puisqu’ellesemble exclure absolument les nombres negatifs du nombre de ceux, a quirepondent des logarithmes reels. Car il est clair que quelque nombre reel qu’onmette pour y, la valeur de cette serie

x = 1+y

1+

y2

1 · 2 +y3

1 · 2 · 3 +y4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.


ne sauroit jamais devenir negative, de sorte qu’aucun logarithme reel ne sauroitrepondre a un nombre negatif. Cependant cette serie n’etant vraıe, qu’entantqu’elle decoule de la formule finie ey peut donner un nombre negatif, il importefort peu, si la serie qui lui est egale en donne aussi un ou non? Pour reconnoitrecela, on n’a qu’a considerer une formule radicale, comme 1√

(1−x) , qui est aussi

bien +1√(1−x) que −1√

(1−x) , quoique le serie egale

(1 − x)−12 = 1 +

1

2x+

1 · 32 · 4x

2 +1 · 3 · 52 · 4 · 6x

3 +&c.

ne donne que sa valeur affirmative, quelque nombre qu’on mette pour x.

Bibliografia

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[2] C.I. Gerhardt (curatore): Leibnizens Mathematische Schriften vol. III.Briefwechsel zwischen Leibniz, Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli undNicolaus Bernoulli. H.W. Schmidt Verlag, Halle, 1856.

[3] G.W. Leibniz: Observatio quod rationes sive proportiones non habeantlocum circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu methodi infinites-imalis. Acta Erudit. Lips. pp. 167-169 (1712). In C.I. Gerhardt (cura-tore) Die mathematischen Abhandlungen Leibnizens enthaltend vol. I. H.W.Schmidt Verlag, Halle, 1858, pp.387-389.

[4] G. Enestrom: Der briefwechsel zwischen Leonhardt Euler und Johann IBernoulli. Bibl. Math. 4, (1902), 344-388.

[5] L. Euler: De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les loga-rithmes des nombres negatives et imaginaires. Mem. Acad. Sc. Berlin 5,(1751), 139-179.

301

302 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 8

La teoria di Eulero suilogaritmi dei numericomplessi

8.1 Quanti logaritmi ha un numero?

La lettura critica del carteggio tra Bernoulli e Leibniz sui logaritmi dei nu-meri negativi ha portato Eulero ad uno stallo in cui appaiono flagranti con-traddizioni. Egli sente il bisogno di un’idea completamente nuova ed il lavorodel 1749 [1] la presenta all’improvviso, come materializzata dal nulla. La realtae diversa, come si comprende dall’analisi del lavoro [2] Sur les logarithmes desnombres negatifs et imaginaires, inviato all’Accademia di Berlino prima del 19agosto del 1747, data in cui Eulero scrive a D’Alembert comunicandogli diavere da poco inviato un lavoro all’Accademia un lavoro in cui tutte le difficoltasorte a riguardo dei logaritmi dei numeri negativi erano state rimosse [3]. Inrealta l’articolo citato apparira oltre cent’anni piu tardi nell’Opera Posthumapubblicata a S. Pietroburgo nel 1862 ed e verosimile che la mancata pubbli-cazione sia legata ai ripensamenti occorsi ad Eulero sull’argomento, forse inseguito ad uno scambio epistolare con D’Alembert che si trovava su una po-sizione vicina a quella di Bernoulli e le cui obiezioni potrebbero aver fattovacillare le certezze di Eulero circa la teoria elaborata nel lavoro del 1747 [3].Il lavoro del 1749, gia analizzato nella prima parte al capitolo precedente, ap-proda agli stessi risultati ottenuti due anni prima, ma il teorema centrale vienedimostrato per altra via, con il ricorso ad uno sviluppo in serie, senza basarsisull’identita iϕ = log(cosϕ + i sinϕ), come fatto nel 1747. Anche nel lavorodel 1747 si trova un’esposizione critica del carteggio Leibniz-Bernoulli in cuipero le motivazioni di Leibniz sono riportate in modo piu fedeli ai suoi argo-menti. Nella parte originale, per giustificare gli infiniti logaritmi attribuiti ad undato numero, Eulero prende spunto dall’esistenza di piu radici corrispondenti

303

304CAPITOLO 8. I LOGARITMI DEI NUMERI COMPLESSI IN EULERO

ad un numero assegnato:

E gia da molto tempo che queste difficolta mi tormentano e mi sono fatto giamolte illusioni per riuscire a sodisfarmi in qualche maniera senza essere costret-to a sovvertire del tutto la teoria dei logaritmi. Mi sono immaginato che, cosıcome una quantita ammette due radici quadrate, tre radici cubiche, quattro radi-ci biquadratiche, ecc. una quantita potrebbe anche avere due meta, tre terzeparti, quattro quarte parti, ecc. una sola delle quali sarebbe reali mentre le altresarebbero immaginarie. Posto dunque ly = x, immaginavo che

l√y =

1

2x ed l(−√

y) =1

2x′

e che 12x et 1

2x′ potessero essere diversi, benche il doppio dell’uno come dell’altro

fosse sempre = x. Allo stesso modo, per le tre radici cubiche di y sarebbe

l 3√y =

1

3x; l

−1 +√− 3

23√y =

1

3x′ et l

−1−√− 3

23√y =

1

3x′′

dove 13x,

13x

′ et 13x

′′ sono numeri diversi il primo dei quali, 13x reale e gli altri

due 13x

′ ed 13x

′′ immaginari, benche il triplo di ognuno sia =x. Una similespiegazione mi sembrava alquanto paradossale ed insostenibile ma comunquemeno assurda rispetto alle contraddizioni che ero stato costretto ad ammetterenella teoria dei logaritmi dei numeri negativi ed immaginari.1 ([2], pp. 275-276)

Nonostante la ricerca delle tre terze parti, ecc.—distinte tra loro ma conla proprieta che, moltiplicate per tre, diano lo stesso risultato—non sopisca leperplessita di Eulero, egli prosegue con audace ostinazione e chiarisce le sueintenzioni in questi termini

Testo 8.1 (Eulero) ([2], pp. 276-277). Originale 8.6 Affermo dunque che,benche sia determinato il numero il cui logaritmo e = 1, ogni numero ha un’in-finita di logaritmi tutti immaginari fuorche uno, se il numero e positivo; se

1Aussi y a-t-il long-temps que ces difficultes m’ont tourmente, et je me suis fait pluiseursillusions la-dessus, pour me satisfaire en quelque maniere, sans etre oblige de renverser touta fait la theorie des logarithmes. Je me suis imagine, que de meme qu’une quantite admettoujours deux racines carrees, trois racines cubiques, quatre racines biquadratiques etc. ainsiune quantite pourrait avoir une double moitie, un triple tiers, un quadruple quart etc. dontl’un seulement serait reel, les autres imaginaires. Ainsi posant ly = x, je concevais que

l√y =

1

2x et l(−√

y) =1

2x′

et que 12x et 1

2x′ puissent etre differents, quoique le double de l’un et de l’autre soit le meme

= x. De la meme maniere, pour les trois racines cubiques de y il serait

l 3√y =

1

3x; l

−1 +√− 3

23√y =

1

3x′ et l

−1−√− 3

23√y =

1

3x′′

ou x, 13x′ et 1

3x′′ soient des nombres differents, le premier 1

3x reel, et les deux autres 1

3x′ et

13x′′ imaginaires, bien que le triple de chacun soit =x. Cette explication me paraissait bien

extremement paradoxe et insuotenable, mais pourtant moins absurde que les contradictionsque j’aurais ete oblige d’admettre dans la theorie des logarithmes des nombres negatifs etimaginaires.

8.1. QUANTI LOGARITMI HA UN NUMERO? 305

pero il numero e negativo od immaginario, tutti i logaritmi saranno parimentiimmaginari. Come conseguenza, il logaritmo dell’unita non sara solo = 0 maci saranno ancora una infinita di quantita immaginarie, ciascuna delle qualirappresenta il logaritmo dell’unita bene tanto quanto 0. Siano dunque

0, α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, ecc.

tutti i logaritmi dell’unita e, dal momento che il logaritmo della radice quadratae la meta del logaritmo della potenza, poiche

√1 vale tanto +1 quanto −1, i

logaritmi del primo valore +1 saranno

0,1

2β,

1

2δ,

1

2ζ,

1

2ϑ, ecc.

ed i logaritmi dell’altro valore −1 saranno:

1

2α,

1

2γ,

1

2ε,

1

2η, etc.

che sono diversi dai precedenti benche moltiplicati per due diano i logaritmidell’unita. Similmente, se si prendono le radici cubiche si avra

l1 = 0,1

3γ,

1

3ζ,

1

3ι, ecc.

l−1 +

√− 3

2=

1

3α,

1

3δ,

1

3η, ecc.

l−1−√− 3

2=

1

3β,

1

3ε,

1

3ϑ, ecc.

e questa considerazione ha gia eliminato la maggior parte delle difficolta che cihanno ostacolato in precedenza.

Dunque questo e il radicale cambiamento di prospettiva operato da Eulero,la rimozione dell’ipotesi, tacitamente ammessa da Nepero in poi, che ad ogninumero competesse un unico logaritmo: Dopo aver ben soppesato tutte le diffi-colta appena esposte, ritengo che esse provengano dal fatto che noi supponiamoche ogni numero non ha che un logaritmo.2 ([2], p. 276)

Il punto cruciale del lavoro [2] inizia col § 24 dove Eulero da sostanza al suoprogetto di associare infiniti logaritmi ad un numero. L’analogia che lo guidae il legame esistente tra archi di circonferenze e logaritmi che e alla base anchedella quadratura di Bernoulli del 1702. Eulero considera la circonferenzapiu adatta, perche meglio studiata, della curva logaritmica per risolvere in tuttageneralita il problema. Cosı come l’assegnazione del seno e del coseno di unarco individua un’infinita di archi, lo stesso deve accadere per i logaritmi.

2Apres avoir bien pese toutes les difficultes que je viens d’etaler, j’ai trouve qu’elles neviennent que de ce que nous supposons que chaque nombre n’a qu’un seul logarithme.


Testo 8.2 (Eulero) , ([2], pp. 277-278). Originale 8.7Per dimostrare questa pluralita infinita di logaritmi corrispondenti ad ogni

numero non occorre altro che considerare lo stretto rapporto esistente tra i loga-ritmi e gli archi di circonferenza: e noto infatti che gli archi di circonferenza sipossono esprimere tramite logaritmi immaginari e, viceversa, i logaritmi sonoesprimibili tramite archi immaginari di circonferenza. Dunque, siccome il senood il coseno corrispondono ai numeri e gli archi ai logaritmi, cosı come ad unostesso seno corrisponde ad un’infinita di archi distinti, allo stesso modo ad unostesso numero deve corrispondere un’infinita di logaritmi distinti. Noi abbiamouna miglior conoscenza della circonferenza che non della curva logaritmica epertanto sara l’esame della circonferenza piuttosto che della curva logaritmicaa condurci verso una piu completa conoscenza dei logaritmi; inoltre, possiamodeterminare tutti gli archi che corrispondono ad un valore del seno o del cosenoe anche se questi archi diventano immaginari nel passaggio ai logaritmi, non ciabbandoneranno e ci convinceranno circa l’infinita dei logaritmi, ci consentiran-no di conoscerne le espressioni ed il tipo di non-realta entro cui sono compresi;cio e tutto quanto uno possa desiderare per la comprensione di una quantitaimmaginaria.

§25. Sia ϕ un arco qualsiasi di una circonferenza che supporro avere raggio= 1. Sia x il seno di questo arco ed y il coseno, cosicche y =

√(1−x2); dunque,

detta = 2π la lunghezza di tale circonfenza, cioe posto l’arco di 180 = π, echiaro che tutti gli archi compresi nell’espressione generale = 2nπ + ϕ avrannonon solo lo stesso seno = x ma anche lo stesso coseno = y =

√(1 − x2), a

patto che n indichi un numero intero arbitrario. Poiche dϕ = dxy = dx√

(1−x2) ,

se si pone x = z√ − 1, si avra dϕ = dz

√−1√(1+z2) . E pero noto che

∫

dz√(1+z2) =

l(√(1+z2)+z)+C. Di conseguenza avremo ϕ =

√−1l(√(1−x2)+ x√−1 )+C,

da cui e chiaro che la costante C e = 0, poiche posto x = 0, anche l’arcoϕ deve annullarsi. Poiche allora ϕ =

√ − 1l(√(1 − x2) − x

√ − 1), avremoϕ = 1√−1 l(

√(1− x2) + x

√− 1) ovvero

ϕ =1√− 1

l(y + x√− 1).

§26. L’equazione appena trovata, che esprime il rapporto tra l’arco ϕ ed ilsuo seno e coseno, sara valida anche per tutti gli altri archi che hanno lo stessoseno x e lo stesso coseno y; di conseguenza avremo

ϕ± 2nπ =1√− 1

l(y + x√− 1) e dunque l(y + x

√− 1) = (ϕ± 2nπ)√− 1 ,

da cui e chiaro che lo stesso numero y + x√ − 1 corrisponde ad una infinita

di di logaritmi, tutti racchiusi entro la formula generale (ϕ ± 2nπ)√− 1 in cui

come n si puo prendere un numero intero a piacere. Siccome x e il seno ed y ilcoseno dell’arco ϕ, posti x = sinϕ ed y = cosϕ, noi avremo l’uguaglianza

l(cosϕ+ sinϕ√− 1) = (ϕ± 2nπ)

√− 1 . (8.1)


Osserviamo che il passaggio da ϕ =√ − 1l(

√(1 − x2) − x

√ − 1) a ϕ =1√−1 l(

√(1− x2)+ x

√− 1) si ottiene moltiplicando e dividendo la prima espres-

sione per√−1 per ottenere a ϕ = − 1√−1 l(

√(1−x2)−x√−1) = 1√−1 l(

1√(1−x2)−x

√−1 ),

in virtu delle proprieta dei logaritmi, da cui si ottiene ϕ = 1√−1 l(√(1 − x2) +

x√− 1) grazie ad una razionalizzazione.La parte teorica di [2] e terminata con la formula (8.1), analoga alla celebre

rappresentazioneeiϕ = cosϕ+ i sinϕ (8.2)

che era gia comparsa nel 1724 nella Logometria [4], opera postuma di RogerCotes (1682-1716), dove era stata ottenuta come risultato collaterale alla de-terminazione dell’area di un ellissoide di rivoluzione: complice tuttavia lo stileun po’ oscuro della presentazione, la formula (8.2) era passata inosservata. Eu-lero chiude il lavoro [2] con una serie di esempi che si trovano sostanzialmenteanche nella seconda parte di [1] che ora esaminiamo. Anzitutto in quest’operanon traspare il travaglio presente in [2].

Bisogna anzitutto riconoscere che se il concetto che i Sigg. Leibnitz e Bernoul-li, come tutti i matematici sinora, hanno legato al termine logaritmo fosse deltutto corretto, sarebbe assolutamente impossibile liberare la teoria dei logaritmidalle contraddizioni che mi accingo ad esporre. Come e possibile che il concettodi logaritmo, tratto dalla sua origine di cui abbiamo una perfetta conoscenza,sia imperfetto? Non sembra che manchi nulla alla correttezza di tale concetto,quando si dice che il logaritmo di un numero assegnato e l’esponente della poten-za di un certo numero preso a piacere che e uguale al numero assegnato. Questoe senz’altro vero, ma lo si abbina ad una circostanza che non gli compete affatto:cioe a dire che, quasi senza accorgersene, si fa solitamente l’ipotesi che a ciascunnumero non possa corrispondere che un solo logaritmo; non appena si riflettaun poco, si vedra che tutte le difficolta e le contraddizioni in cui la teoria dei log-aritmi pareva bloccata sussistono solo finche si suppone che ad ogni numero noncorrisponda che un logaritmo soltanto. Affermo dunque, per far sparire tuttequeste difficolta e contraddizioni, che in forza della stessa definizione, a cias-cun numero corrisponde un’infinita di logaritmi, come dimostrero nel teoremaseguente.3 ([1], pp.155-156)

3Il faut d’abord avouer, que l’idee, que Mrs. Leibniz & Bernoulli ont attache au termede logarithme, & que tous les Mathematiciens ont jusqu’ici, etoit parfaitement juste, il seroitabsolument impossible de delivrer la doctrine des logarithmes des contradictions, que je viensde proposer. Or l’idee des logarithmwes etant tiree de leur origine, dont nous avons uneparfaite connoissance, comment seroit-il possible qu’elle fut defecteuse? Lorsqu’on dit quele logarithme d’un nombre propose est l’exponant de la puissance d’un certain nombre prisa volonte, laquelle devient egale au nombre propose, il semble qu’il ne manque rien a lajustesse de cette idee. Cela est aussi bien vrai; mais on accompagne communement cette ideed’une circonstance, qui ne lui convient point: c’est qu’on suppose ordinairement, presque sansqu’on s’en appercoive, qu’a chaque nombre il ne repond qu’un seul logarithme: & pour peuqu’on y reflechisse, on trouvera que toutes les difficulte & contradictions, dont la doctrine deslogarithme sembloit embarassee, ne subsistent qu’entant qu’on suppose, qu’a chaque nombrenu repond qu’un seul logarithme. Je dis donc, pour faire disparoitre toutes ces difficultes& contradictions, qu’en vertu de meme de la definition donnee il repond haque nombre uneinfinite de logarithmes; ce que je demontrerai dans le theoreme suivant.


Siamo cosı giunti al cuore del lavoro del 1749 dove Eulero dimostra anco-ra come ad ogni numero corrisponda un’infinita di logaritmi. Senza ledere lageneralita, la dimostrazione e condotta per i logaritmi naturali e poggia su unargomento che riecheggia di lontano quello usato da Halley in [5]. Euleroosserva che dato un numero ω infiniment petit, vale l’uguaglianza (approssima-ta, diremmo oggi) ln(1 + ω) = ω da cui segue, per un numero n arbitrario,che y := ln(1 + ω)n = nω. Perche x := (1 + ω)n possa descrivere un numeroarbitrario occorre prendere n 1 (un nombre infini), visto che ω 1. Ora,siccome ω = x1/n − 1 si vede che y = nx1/n − n che tende a ln x quanto piugrande e n. Ma poiche x1/2 ha due valori distinti, x1/3 tre, x1/4 quattro, si vedeche, al crescere di n i valori possibili per y aumentano all’infinito. L’argomen-to di Eulero fu attaccato ripetutamente perche, scegliendo ω 1, il numero1 + ω non cambia segno e dunque non si puo mai ottenere un numero negativoad argomento del logaritmo, anche facendo tendere n all’infinito [3]. Al con-trario, Eulero applica il risultato del teorema a logaritmi di numeri negativied immaginari. In realta, i rilievi mossi riguardano la tecnica dimostrativa adot-tata nel lavoro del 1751 ma non si applicano alla dimostrazione di [2] che peroapparve solo nel 1862. Resta il fatto che la dimostrazione di Eulero basatasulle serie non fu sempre accettata e per questo la sua teoria dei logaritmi deinumeri complessi non trovo unanime consenso. Bisogna osservare peraltro chenella Introductio in Analysin Infinitesimorum [6] Eulero ripete questo argo-mento osservando che, preso un numero infinito n l’espressione (1 + ω)n puodiventare uguale a qualunque numero reale maggiore dell’unita, evidenziandoindirettamente la debolezza di questo argomento (cfr. §8.3).

Testo 8.3 (Euler) , ([1], pp. 156-157). Originale 8.8Teorema. Esiste sempre una infinita di logaritmi che corrispondono ad ogni

numero assegnato: in altre parole, se y indica il logaritmo del numero x, dicoche y racchiude un’infinita di valori diversi.

Dimostrazione. Mi limitero qui ai logaritmi iperbolici, dal momento chee noto come i logaritmi di tutte le altre specie stanno ai primi in un rapportocostante; cosı, quando si indica con y il logaritmo iperbolico del numero x, il log-aritmo tabulare dello stesso numero sara = 0.4342944819.y. Ora, il fondamentodei logaritmi iperbolici e che se ω ha il significato di numero infinitamente pic-colo, il logaritmo del numero 1 + ω sara = ω ovvero l (1 + ω). = ω. Da questosegue che l (1+ω)2. = 2ω; l (1+ω)3 = 3ω e, in generale l (1+ω)n = nω. Poichepero ω e un numero infinitamente piccolo, e evidente che il numero (1+ω) nonpotra uguagliare un certo numero x assegnato, a meno che l’esponente n nonsia un numero infinito. Sia dunque n un numero infinitamente grande e, postox = (1+ω)n, il logaritmo di x, che e stato chiamato = y, sara y = nω. Dunque

esprimendo con x, la prima formula fornisce 1 + ω = x1n ed ω = x

1n − 1 valore

che, sostituito al posto di ω nell’altra formula, dara y = nx1n −n = l x. E allora

chiaro che il valore della formula y = nx1n − n approssimera tanto meglio il

logaritmo di x quanto piu il numero n sara preso grande; e se si prende per nun numero infinito, questa formula dara il vero valore del logaritmo di x. Ora,siccome e vero che x

12 ha due valori diversi, x

13 ne ha tre, x

14 quattro e cosı via,


sara altrettanto certo che x1n deve avere un’infinita di valori diversi per l x, visto

che n e un numero infinito. Di conseguenza, questa infinita di valori distinti dix

1n dara luogo ad un’infinita di valori distinti per l x per cui il numero x deve

possedere un’infinita di logaritmi. C.D.D.

Ecco come Eulero conclude ancora che ci sono un infinita di numeri distintida +1, con logaritmo 0 dei quali solo +1 e un numero reale, alla stessa stregua

in cui +1, −1±i√3

2 sono tutte radici cubiche dell’unita, ma la sola reale e +1.

Da cio segue che 0 non e il solo valore del logaritmo di +1, ma che esiste un’in-finita di altre quantita, ciascuna delle quali e il logaritmo di +1. Tuttavia sicomprende facilmente che tutti questi altri logaritmi, tranne il primo che e 0,saranno quantita immaginarie; si ha dunque il diritto nei calcoli di non con-siderare che 0 come logaritmo di +1, come quando si tratta della radice cubica

di 1, dove non si considera che 1, benche le quantita immaginarie −1+√−32 e

−1−√−32 siano anch’esse radici cubiche di 1. Ma quando si vuole confrontare il

logaritmo di 1 con i logaritmi di −1 o di√ − 1 che, come mostrero in segui-

to, sono tutti immaginari, occorre considerare il logaritmo di 1 in tutta la suaportata: allora tutte le difficolta e contraddizioni riportate qui sopra spariran-no da sole. Infatti, detti α , β , γ , δ , ε, ζ ecc. i logaritmi immaginari dell’unitache le corrispondono bene quanto lo 0, si comprendera facilmente come si possaavere 2l − 1 = l + 1, anche se tutti i logaritmi di −1 sono immaginari: infatti,per sodisfare l’equazione 2l − 1 = l + 1 e sufficiente che il doppio di ciascunlogaritmo di −1 si trovi tra i logaritmi immaginari di +1. Allo stesso modo,affinche 4l

√ − 1 = l + 1, occorre incontrare ogni logaritmo di√ − 1 molti-

plicato per 4 nella serie α , β , γ , δ , ε, ζ ecc. Le uguaglianze 2l − 1 = l + 1 &4l√−1 = l +1 possono sussistere senza essere costretti a sostenere che l−1 = 0

oppure l√− 1 = 0, come ha preteso il sig. Bernoulli.4 ([1], pp.157-158)

Per sostanziare questa affermazione, Eulero risolve quattro problemi:

• Determinare tutti i logaritmi di un assegnato numero positivo +a.

• Determinare tutti i logaritmi di un assegnato numero negativo −a.4De la il s’ensuit que le logarithme de +1 n’est pas seulement = 0, mais qu’il y a encore

une infinite d’autre quantites, dont chacune est egalement le logarithme de +1. Cependanton comprend aisement que tous ces autres logarithmes, hormis le premier 0 seront des quan-tites imaginaires; de sorte que dans le calcul on est en droit de ne regarder que 0 comme lelogarithme de +1, tout de meme que lorsqu’il s’agit de la racine cubique de 1, on ne se sert

que de 1, quoique ces quantites imaginaires−1+

√−32

&−1−√−3

2soient egalement des racines

cubiques de 1. Mais quand on veut comparer le logarithme de 1 avec les logarithmes de −1,ou de

√− 1, qui sont tous, a ce que je ferai voir dans la suite, imaginaires, il faut considererle logarithme de 1 dans toute son etendue; et alors toutes les difficultes & contradictionsrapportes cy-dessus disparoitront d’elles memes. Car soient α , β , γ δ, ε, ζ &c. les logarithmesimaginaires de l’unite, qui lui repondent aussi bien que 0 & on comprendra aisement qu’ilpeut etre 2l − 1 = l + 1, qouique tous les logarithmes de −1 soient imaginaires: car poursatisfaire a l’equation 2l − 1 = l + 1, il suffit que le double de tous les logaerithmes de −1, setrouvent parmi les logarithmes imaginaires de +1. De meme, puisque 4l

√− 1 = l +1, chaquelogarithme de

√ − 1 multiplie par 4 se doit rencontrer dans le serie α , β , γ δ, ε, ζ &c. Ainsiles egalites 2l − 1 = l + 1 & 4l

√− 1 = l + 1, se peuvent mantenir, sans qu’on soit oblige desoutenir qu’il soit ou l − 1 = 0 ou l

√− 1 = 0, comme M. Bernoulli a pretendu.


• Determinare tutti i logaritmi di un assegnato numero immaginario.

• Trovare il numero che corrisponde ad un assegnato logaritmo:

i primi tre problemi erano gia stati affrontati nel lavoro del 1747 (pp. 278-280 di [2]). La strategia e la stessa in tutti e tre i problemi diretti. Quando sitratta di ottenere i logaritmi di un numero reale positivo a, Eulero parte dalsuo logaritmo reale A ottenuto dalle tavole, per osservare che, siccome a = 1 · a,si deve avere l a = l 1+A cosicche il problema si riduce a trovare tutti i logaritmidi +1. Posto x = 1 nel teorema dimostrato in precedenza, si tratta di risolverein y l’equazione

(

1 +y

n

)n

− 1 = 0

dove n e un numero intero arbitrariamente grande. Ora, poiche i fattori delbinomio pn − qn si trovano risolvendo in p l’equazione

p2 − 2pq cos

(

2λπ

n

)

+ q2 = 0

dove il numero intero λ puo assumere tutti i valori possibili da 0 a ±1, ±2,...,±nsi avra in generale

p = q

[

cos

(

2λπ

n

)

+ i sin

(

2λπ

n

)]

che, posto p = 1 + yn e q = 1 consente di ottenere, per un generico n

1 +y

n= cos

(

2λπ

n

)

+ i sin

(

2λπ

n

)

.

Inoltre, siccome n e grande a piacere, si possono utilizzare le espressioni ap-prossimate cos

(

2λπn

)

= 1 e sin(

2λπn

)

= 2λπn per concludere che

y = ln(1) = ±2λ√−1 λnumero pari:

esiste dunque un solo logaritmo reale di +1, che vale 0, mentre tutti gli altrisono numeri complessi. Osserviamo che l’argomento di Eulero e valido a pattodi fissare λ e poi mandare n all’infinito. Ottenuti i logaritmi dell’unita, Euleroconvince il lettore che le proprieta di trasformare prodotti in logaritmi persistonoinalterate in seguito all’estensione dei logaritmi cosı operata. Detti A e B ilogaritmi reali di a e b, si ha

l a = A+ 2λπ√−1 , l b = B + 2λπ

√−1

per cui dalla somma dei primi due si ricava

l a+ l b = A+B + 2ζπ√−1 ,

dove ζ e ancora un intero per cui il membro di destra comprende tutti i logaritmidi ab.


Il problema successivo, in cui occorre calcolare il logaritmo di un numeronegativo −a chiarisce la soluzione della controversia sui logaritmi dei numerinegativi. Scritto −a = −1 · a, il problema si riduce a trovare i logaritmi di −1.Con lo stesso procedimento di prima, tale logaritmo y risolve l’equazione

(

1 +y

n

)n

+ 1 = 0

che ha la forma pn + qn = 0 ed i cui fattori sono le radici dell’equazione

p2 − 2pq cos

(

(2λ− 1)π

n

)

+ q2 = 0

dove λ e un intero arbitrario. Trasponendo il procedimento seguito prima siconclude che

y = ±(2λ− 1)iπ

e pertanto l(−a) = A ± (2λ − 1)πi che non e mai un numero reale. Euleroda ragione a Leibniz per aver sostenuto contro Bernoulli che i logaritmi deinumeri negativi fossero immaginari e mostra anche come vengano meno tutte lecontraddizioni con cui si era chiusa la controversia. Infatti l (−1)2 = ±2(2λ −1)πi rappresenta un logaritmo di +1 cosicche resta vero che 2l (−1) = 2l (+1)senza che si abbia l (−1) = l (+1). L’uguaglianza viene interpretata nel sensoche tutti i logaritmi di −1 moltiplicati per 2 si ritrovano tra i logaritmi di +1.Similmente, si puo concludere che 2l (−a) = 2l (+a) senza per questo concludereche l (−a) = l(+a).

Il terzo ed ultimo problema diretto consiste nel determinare tutti i logaritmidi un numero immaginario. Partendo dalla rappresentazione rettangolare di unnumero complesso a+ ib e posto c :=

√a2 + b2, Eulero introduce un angolo ϕ

tale che

cosϕ =a√

a2 + b2sinϕ =

b√a2 + b2

e che permetta di scrivere a + ib = c(cosϕ + i sinϕ). Per utilizzare lo stessoprocedimento adoperato in precedenza, Eulero mostra che

x := (cosϕ+ i sinϕ) =

(

1 +iϕ

n

)n

semplicemente considerando gli sviluppi in serie di Mac Laurin di sinϕ =

ϕ− ϕ3

3! +ϕ5

5! − ... e cosϕ = 1− ϕ2

2! +ϕ4

4! − ... e confrontandone la somma terminea termine con lo sviluppo binomiale

(

1 +iϕ

n

)n

= 1 + iϕ− ϕ2

2!− iϕ3

3!+ϕ4

4!+iϕ5

5!− ... .

Posto p = 1 + yn e q := 1+iϕ

n , il problema si riduce a risolvere in y l’equazione

(

1 +y

n

)n

− x = 0,


che e ancora della forma pn − qn = 0 ma questa volta ha soluzione

1 +y

n=

(

1 +iϕ

n

)(

cos2λπ

n± i sin

2λπ

n

)

da cui segue, al primo ordine in n,

1 +y

n= 1 +

iϕ

n± 2λπ

n

cioe y = i(ϕ± 2λπ),In generale, osserva Eulero, i logaritmi di numeri complessi sono complessi

a loro volta e, detto C := log c = log√a2 + b2, i logaritmi di a+ ib si esprimono

come C + (ϕ± pπ)√− 1, dove p e un arbitrario numero pari. Eulero nota da

questa formula che, qualora ϕπ sia un numero razionale µ/ν la potenza (a+ ib)ν

e un numero reale in quanto

l (a+ ib)ν = νC + (µ+ νp)πi

che, se µ —e dunque (µ + νp)— e un numero pari mostra per esponenziazioneche (a+ ib)ν = cν , mentre se µ e dispari, (a+ ib)ν = −cν . Dopo aver esaminatoi logaritmi di numeri complessi in cui ϕ = k π

2 (k = 0, ...3), k π3 e k π

4 , Euleromostra l’accordo della teoria con i risultati di Bernoulli sulla quadratura delcerchio perche ora il rapporto l+1/

√−1 ha valore±pπ, mentre l−1/√−1 = ±q.

Per concludere, Eulero studia il problema di trovare il numero x cui cor-risponda un dato logaritmo, anche qui distinguendo tre casi, a seconda che illogaritmo proposto f sia reale, immaginario puro o complesso. Nel primo caso,se f e reale, allora x = ef . Quando il logaritmo e un numero del tipo ig, postog = mπ, se m e un intero pari o dispari allora x e ±1 altrimenti, se m non e unintero, l’antilogaritmo e un numero immaginario; preso su un cerchio di raggiounitario un arco di ampiezza g, deve essere x = cos g +

√− 1 sin g. Infine, se illogaritmo e della forma f + ig, allora l’antilogaritmo e x = ef(cos g + i sin g).

Riportiamo l’originale della soluzione del secondo problema anche per la suarilevanza circa la soluzione della controversia Leibniz-Bernoulli.

Testo 8.4 (Eulero) ([1], pp.161-163). Originale 8.9

Problema II.

Determinare tutti i logaritmi corrispondenti ad un numero negativo qualsiasi−a.

SOLUZIONE.

Siccome −a = −1 · a, si avra l − a = l a + l − 1 e, preso il logaritmo realedi a come l a, tutti i logaritmi del numero negativo −a si troveranno cercandotutti i logaritmi di −1. Poiche pero si e visto in generale che, chiamato ycome logaritmo di un x, si ha y = nx

1n − n, ne segue che 1 + y

n = x1n e dunque


(

1 + yn

)n−x = 0. Pertanto y esprimera tutti i logaritmi di −1 se si pone x = −1

cosicche tutti i logaritmi di −1 saranno le radici dell’equazione(

1 + yn

)n+1 = 0,

prendendo il numero n infinitamente grande.E noto che tutte le radici dell’equazione generale pn + qn = 0 si otten-

gono dalla risoluzione della formula p2 − 2pq cos (2λ−1)πn + q2 = 0, in cui λ

assume successivamente tutti i valori interi, positivi e negativi cosicche si avra

p = q(

cos cos (2λ−1)πn ±√− 1 sin (2λ−1)π

n

)

. Pertanto, le radici dell’equazione

proposta:(

1 +y

n

)n

+ 1 = 0 ,

sono abbracciate tutte dalla formula generale

1 +y

n= cos

(2λ− 1)π

n±√− 1. sin .

(2λ− 1)π

n,

che diventa, siccome n = ∞,

y = ±(2λ− 1)π√− 1 .

Di conseguenza, inserendo al posto di λ successivamente tutti i valori che glicompetono, si otterranno tutti i logaritmi di −1:

±π√− 1 ; ±3π√− 1 ; ±5π

√− 1 ; ±7π√− 1 ; ±9π

√− 1 ; ecc.

il cui numero e infinito. C.D.T.E allora chiaro che tutti i logaritmi di un numero negativo qualsiasi sono

immaginari e che non esiste alcun numero negativo con logaritmo reale. Avevadunque ragione il sig. Leibniz a sostenere che i logaritmi dei numeri negativifossero immaginari. Tuttavia, poiche anche i numeri positivi posseggono unainfinita di logaritmi immaginari, tutte le obiezioni del sig. Bernoulli controquesta opinione perdono vigore. Infatti, siccome e l − 1 = ±(2λ − 1)π

√ − 1,il logaritmo del suo quadrato sara l(−1)2 = ±2(2λ − 1)π

√ − 1, espressionecompresa tra i logaritmi di +1, cosicche resta vero che 2l − 1 = l + 1 benchenon si trovi alcuno dei logaritmi di −1 tra quelli di +1. Sia A il logaritmo realedel numero positivo +a, indichiamo con p un generico numero pari e con q ungenerico numero dispari: poiche in generale:

l + 1 = ±pπ√− 1 e l − 1 = ±qπ√− 1 .

e l + a = A± pπ√− 1 e l − a = A± qπ

√− 1 ,

si vede che l(−a)2 = 2l − a = 2A + 2qπ√ − 1. O, siccome 2q e = p e 2A e

il logaritmo reale di a2, si vede che 2A ± pπ√ − 1 e la formula generale per i

logaritmi di a2; cosı e l(−a)2 = l a2 o anche 2l − a = 2l + a, benche non siabbia l − a = l + a: conclusione che sarebbe senza dubbio contraddittoria se inumeri +a e −a non avessero avuto che un solo logaritmo; in quel caso sarebbecorretto concludere che l − a = l + a quando 2l − a = 2l + a. Se pero siamod’accordo che sia −a che +a hanno un’infinita di logaritmi questa conseguenza,


necessaria in precedenza, non e piu corretta; infatti, perche sia 2l − a = 2l + abasta che il doppio dei logaritmi di −a si ritrovino tra i logaritmi di +aa, cioche si puo ottenere, come abbiamo visto, senza che ci sia l’uguaglianza di unqualche logaritmo di −a con qualche logaritmo di +a.

8.2 La relazione ii= e

−π/2

Se la teoria dei logaritmi dei numeri complessi ha segnato una svolta fondamen-tale, Eulero ha lasciato anche altri contributi degni di nota in materia. Il primoe contenuto in una corposa memoria pubblicata nel 1751 dal titolo Recherchessur les racines imaginaires des equations [1] dedicata alla risolubilita in campocomplesso delle equazioni algebriche. Si tratta di un’opera di ampio respiro cheha molti aspetti interessanti per la storia della matematica ma la cui rilevanzanella storia dei logaritmi fu apprezzata da Cajori nel 1913 [3]. In effetti il prob-lema oggetto del lavoro sembra lontano dai logaritmi che a ben vedere vengonotrattati solo in alcune sezioni (§§85-105) verso la fine del lavoro. Qual e dunquelo scopo principale perseguito da Eulero in questo lavoro e come entrano ilogaritmi? Affermato che un’equazione algebrica di grado n ammette n radici,reali o complesse, Eulero si pone il problema di scomporre un polinomio digrado n a coefficienti reali in fattori ancora a coefficienti reali, di grado il piubasso possibile. Cio sembrava non essere in generale possibile. Eulero riportaun’equazione propostagli da un tres savant Geometre in cui il compito apparedifficile. Si tratta dell’equazione

x4 + 2x3 + 4x2 + 2x+ 1 = 0

che ha solo radici immaginarie e che puo essere riscritta nella forma

(x2 + px+ 1)(x2 + qx+ 1) = 0

con p = 1 + i e q = 1 − i e sembra dunque non ammettere una scomposizionein fattori quadratici a coefficienti reali. Eulero non si arrende di fronte alleapparenze e cerca i fattori lineari in cui scomporre l’equazione di partenza e siimbatte in radicali doppi, precisamente i fattori lineari sono

x+1

2[(1 + i)±

√2i− 4] = 0 e x+

1

2[(1− i)±

√−2i− 4] = 0 .

Nel ridurre i radicali doppi alla forma x+ iy, con x ed y numeri reali, Euleroriconosce che i fattori sono a due a due complessi coniugati e dunque, ricombi-nati opportunamente, permettono di fattorizzare il polinomio di quarto gradonel prodotto di due polinomi di grado due a coefficienti reali. Non possiamoaddentrarci in un’analisi dettagliata di questa parte del lavoro di Eulero ma cilimitiamo a riassumere i principali risultati e gli aspetti piu salienti per la storiadei logaritmi. Dopo aver trattato polinomi di grado 4, 8, 16, Eulero mostra(Teorema VII, §45 di [1]) che ogni polinomio di grado 2n si puo scomporre indue fattori di grado 2n−1 a coefficienti reali e dunque, per iterazione del proced-imento, ad una scomposizione in 2n−1 fattori di grado due, a coefficienti reali.

8.2. LA RELAZIONE II = E−π/2 315

In seguito, egli mostra che un’equazione di grado 4n + 2, 8n + 4, 16n + 8,...2kn + 2k−1 ammette sempre almeno un fattore reale di grado, rispettivamente2, 4, 8,...2k−1, a coefficienti reali e dunque, riconducendosi al caso precedente,si ottiene la scomposizione in fattori reali di grado due. Il caso degli esponentidispari, in cui si conosce l’esistenza di almeno una radice reale, viene ricondot-to a quelli studiati prima per moltiplicazione del polinomio per un opportunofattore xm. Raccolto poi xm, resta la scomposizione del polinomio di partenzain fattori a coefficienti reali di grado uno o due. Per Eulero, come gia perLeibniz,

Una quantita e detta immaginaria quando non e ne maggiore di zero, ne minoredi zero, ne uguale a zero; sara allora qualcosa di impossibile come, ad esempio√− 1 o, in generale, a+ b

√− 1.5 (p.223 di [1])Si puo essere certi che le radici immaginarie (nel senso di questa definizione)

di un’equazione algebrica sono esprimibili nella forma M + iN , con M ed Nnumeri reali? A questa domanda si puo rispondere affermativamente in virtudel risultato ottenuto in precedenza, che consente di scomporre in fattori digrado uno o due a coefficienti reali un polinomio di grado arbitrario e, perquesta classe di fattori e noto che le radici, quando non sono reali, sono dellaforma M + iN . Acclarato questo, Eulero si pone il problema di mostrarela chiusura dei numeri immaginari della forma M + iN sotto le operazioni disomma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione diradice con potenza (indice, rispettivamente) reale: si tratta di un risultato inparte mostrato da D’Alembert nel volume II delle Memoires dell’Accademiadi Berlino, ricorrendo all’uso di discusse quantita infinitesime.

Eulero attacca due problemi che ci porteranno alla relazione che ha dato iltitolo a questa sezione. Nel Problema II, egli cerca il valore immaginario (valeurimaginaire) di una potenza di base reale ed esponente immaginario ed ottienel’uguaglianza

am+in = x+ iy con x = am cos(n ln a) e x = am sin(n ln a) .

Applicando il risultato ottenuto al caso m = 0 egli scrive

ain = cos(n ln a) + i sin(n ln a)

eda−in = cos(n ln a)− i sin(n ln a)

da cui ottiene

cos(n ln a) =ain + a−in

2e sin(n ln a) =

ain − a−in

2i:

posto a = 1 segue allora che (1)±in = 1. Il problema che piu ci interessa e ilsuccessivo (Problema III) in cui anche la base e un numero complesso del tipo

5On nomme quantite imaginaire, celle qui n’est ni plus grande que zero, ni plus petite quezero, ni egale a zero; ce sara donc quelque chose d’impossible, comme par exemple

√− 1, ouen general a+ b

√− 1.


(a+ ib) ed occorre determinare i numeri reali x ed y tali che

(a+ ib)m+in = x+ iy . (8.3)

La tecnica di dimostrazione, applicata a tappeto da Eulero in questo lavoro,consiste nel prendere il logaritmo dei due membri dell’equazione (8.3) e passareai differenziali per poi separare parte reale da parte immaginaria ottenendo

x = cme−nφ cos(mφ+ n ln c) e y = cme−nφ sin(mφ+ n ln c) ,

dove c :=√a2 + b2 e φ e un angolo definito, in modo non univoco, dalla relazione

φ = arctan ba . In particolare, preso b = 0, φ potra assumere uno degli infiniti

valori φ = 2λπ, con λ intero arbitrario, col che resta mostrata l’identita

(a)m+in = ame−2λnπ [cos(2λmπ + n ln a) + i sin(2λmπ + n ln a)]

che mostra come potenze ad esponenti complessi abbiano un’infinita di valoridistinti. Piu in generale, se anche b 6= 0 si ha

(a+ib)m+in = cme−2λnπ−nφ [cos(2λmπ +mφ+ n ln c) + i sin(2λmπ +mφ+ n ln c)]

che, quando a = 0, m = 0 e b = 1, di modo che φ = π2 , diventa

(i)(in) = e−2λnπ− 12nπ (8.4)

che per n = 1 fornisce la relazione ii = e−2λπ− 12π: ii e dunque reale e tra i suoi

valori spicca ii = e−π2 .

Testo 8.5 (Eulero) ([1], pp. 272–275). Originale 8.10

Problema III

Trovare il valore immaginario di una potenza ottenuta elevando una quantitaimmaginaria ad una potenza il cui esponente e pure immaginario.

SOLUZIONE

Sia a + b√ − 1 la quantita immaginaria ed m + n

√ − 1 l’esponente dellapotenza, cosı che occorre trovare il valore dell’espressione (a+ b

√− 1)m+n√−1.

A questo scopo poniamo dunque:

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = x+ y√− 1

e, presi i logaritmi si avra:

(m+ n√− 1) l(a+ b

√− 1) = l(x+ y√− 1).

Passiamo ai differenziali e, come abbiamo gia visto, poiche

d.l(x+ y√− 1) =

xdx + ydy

xx+ yy+xdy − ydx

xx + yy

√− 1

8.2. LA RELAZIONE II = E−π/2 317

avremo:

m(ada+bdb)aa+bb + n(ada+bdb)

√−1aa+bb

+m(adb−bda)√−1

aa+bb − n(adb−bda)aa+bb

= xdx + ydy

xx+ yy+

(xdy − ydx)√− 1

xx + yy

Uguagliando adesso separatamente le parti reali e quelle immaginarie, otterremole uguaglianze:

m(ada+bdb)aa+bb − n(adb−bda)

aa+bb = xdx+ydyxx+yy

+m(adb−bda)aa+bb + n(ada+bdb)

aa+bb = (xdy−ydx)xx+yy

Per ottenerne gli integrali sia

√(aa+ bb) = c e Atang

b

a= φ ;

ovvero sinφ = bc e cosφ = a

c , da cui e sempre possibile ricavare l’angolo φ;supporro ora che c sia una quantita positiva =

√(aa+bb). Dopo questo richiamo,

i nostri integrali saranno:

mlc− nφ = l√(xx+ yy)

mφ+ n lc = Atang.y

x.

Da cio segue che sara√(xx + yy) = cme−nφ, chiamato e il numero il cui

logaritmo iperbolico e = 1. Dunque, per trovare i valori di x ed y dall’equazione:

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = x+ y√− 1 ,

posto c =√(aa+ bb) e preso l’angolo φ in modo che sia cosφ = a

c e sinφ = bc ,

si avra:

x = cme−nφ cos(mφ+ nl c) e y = cme−nφ sin(mφ+ nl c).

(...)

COROLL. III.

In generale, pertanto, prese delle quantita qualsiasi a e b, attribuito a c ilvalore positivo di

√aa+ bb e preso un angolo φ tale che sinφ = b

c e cosφ = ac ,

siccome in generale si puo anche prendere come angolo φ l’angolo 2λπ+φ, doveλ indica un numero intero qualsiasi, positivo o negativo, si avra

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = cme−2λnπ−nφ

(

+cos(2λmπ +mφ+ nl c)+√− 1. sin(2λmπ +mφ+ nl c)

)

da cui si otterranno tutti i possibili valori racchiusi dalla formula (a + b√ −

1)m+n√−1 attribuendo successivamente a λ tutti i valori 0,±1,±2,±3,±4 ecc.

dove basta prendere come cm il suo solo valore reale e positivo.


COROLL. IV.

Se a = 0; m = 0, e b = 1, si avra c = 1 e φ = π2 da cui si trae la

trasformazione:

(√− 1)n

√−1 = e−2λnπ− 12nπ

ovvero (√ − 1)

√−1 = e−2λπ− 12π, che e tanto piu notevole perche e un numero

reale e comprende un infinita di valori reali. Ponendo λ = 0 si avra, in cifre

(√− 1)

√−1 = 0, 2078795763507 .

8.3 I logaritmi nei manuali di Eulero

Abbiamo sin qui esplorato parte della letteratura specialistica che Eulerodedico alla teoria dei logaritmi ed abbiamo visto come questa si sia trasformatain un edificio coerente, privo delle contraddizioni in cui si dibatteva all’epocadella controversia tra Leibniz e Bernoulli. Esaminiamo qui alcuni passi trat-ti da uno dei manuali di analisi matematica redatti da Eulero, che esercitogrande influenza sui matematici contemporanei come su quelli di generazionisuccessive: la Introductio in Analysin infinitesimorum pubblicata nel 1748. Sitratta di un’opera in due volumi dove vengono affrontati tutti gli sviluppi sig-nificativi dell’analisi: dal calcolo integrale alle serie, dai prodotti infiniti allefrazioni continue, dalla risoluzione di equazioni differenziali ed algebriche allateoria dei logaritmi. In quest’opera di divulgazione di alto livello, i logaritmisono ormai saldati alla funzione esponenziale, come mostrato nel passo seguente,tratto dal I Libro, Capitolo VI De Quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis

Allo stesso modo poi, assegnato un numero a, da qualsiasi valore dello stessoz e possibile risalire al valore di y e, viceversa, dato anche un qualsiasi valorepositivo di y e possibile assegnare un conveniente valore di z in modo che az = y;inoltre questo valore di z, finche e considerato funzione dello stesso y, vienedetto LOGARITMO di y. La dottrina dei logaritmi infatti suppone di mettereal posto di a, che per questo e detto base dei logaritmi, un certo numero fisso;fatto questo, il logaritmo di un qualsiasi numero y e quell’esponente della potenzaaz tale che az e uguale ad y; si e soliti indicare il logaritmo del numero y inquesto modo: ly. Pertanto se e az = y, sara z = ly.6 (p.73 di [6])

Sentiamo familiare questa definizione che in realta era gia apparsa in qualchetesto precedente come in un in un lavoro apparso pero postumo solo nel 1771del matematico gallese William Jones [7], cui dobbiamo la notazione di π

6Quemadmodum autem, dato numero a, ex quovis valore ipsius z reperiri potest valor ipsiusy, ita vicissim, dato valore quoque quocunque affirmativo ipsius y, conveniens dabitur valoripsius z, ut sit az = y; iste autem valor ipsius z, quatenus tanquam Functio ipsius y spectatur,vocari solet LOGARITHMUS ipsius y. Supponit ergo doctrina Logarithmorum numerumcertum constantem loco a substituendum, qui propterea vocabitur basis Logarithmorum; quaassumta erit Logarithmus cujusvis numeri y Exponens Potestatis az , ita ut ipsa Potestas az

aequalis sit numero illi y; indicari autem Logarithmus numeri y solet hoc modo ly. Quod siergo fuerit az = y, erit z = ly.

8.3. I LOGARITMI NEI MANUALI DI EULERO 319

per indicare il rapporto tra lunghezza della circonferenza e diametro, apparsopostumo:

1. Ogni numero e esprimibile da un’unica potenza di un medesimo numeroradicale.

Infatti un numero qualsiasi si trova da qualche parte nella scala delle diversepotenze del numero radicale r i cui indici sono m− 1, m− 2, m− 3, ecc. dovenon solo vengono espressi i numeri rm−1, rm−2, ecc. ma anche ogni numerointermedio x e rappresentato da r con un appropriato indice z.

L’indice z e detto il logaritmo del numero x.

2. Dunque, per trovare il logaritmo z di un numero qualsiasi x, bisognasolo trovare la potenza del numero radicale r che e uguale al numero x; ovvero,trovare l’indice z della potenza nell’equazione x = rz.7(Jones, pp.455-456 di[7])

Della presentazione della teoria dei logaritmi contenuta nella Introductioprendiamo due passi che espongono la determinazione del logaritmo decimale di5 e la dimostrazione dell’invarianza della sottotangente alla curva logaritmica.Si tratta di argomenti non originali ma che e utile leggere in parallelo ad analoghipassi di Briggs, Keplero e Mercator, nel primo caso, ed alle dimostrazionidi Torricelli ed Huygens nel secondo. Si apprezza comunque il fatto chel’uso di un formalismo piu snello, sintetico, ed una maturita nell’utilizzo distrumenti ormai collaudati influisca sulla presentazione che e leggibile senzagrandi problemi da un lettore moderno.

Vediamo ora come, in una tabella scarna e senza molti commenti, Euleroottenga log 5 partendo dall’osservazione che la carattteristica di log 5 e 0 inquanto 5 e compreso tra 1 e 10 e procedendo, come gia visto piu volte, con lacostruzione di una progressione geometrica basata su 1 e 10 e che contenga 5,almeno al grado di approssimazione richiesto.

Si ponga a = 10 come base logaritmica, come e d’abitudine trovare nelle tavolee si cerchi l’approssimazione migliore possibile del logaritmo di 5; poiche questonumero si trova nell’intervallo tra 1 e 10, i cui logaritmi sono 0 ed 1, si procedanella successiva estrazione di radici nel modo che segue, finche non si giunga aduna distanza dal numero 5 sufficientemente piccola.

Occorre cosı prendere tanti medi proporzionali finche non si raggiunge Z =5, 000000 da cui si ricava che il logaritmo richiesto di 5 e 0, 696870, preso 10come base logaritmica. Infatti 10

69897100000 approssima molto bene 5. In questo modo

Briggs & Vlacq ottennero il Canone dei logaritmi comuni benche in seguito

71. Any number may be expressed by some single power of the same radical number.For every number whatever is placed somewhere in a scale of the several powers of some

radical number r, whose indices are m − 1, m − 2, m − 3, &c. where not only the numbersrm, rm−1, rm−2, &c. are expressed; but also any intermediate number x is represented by rwith a proper index z.

The index z is called the Logarithm of the number x.2. Hence, to find the logatithm z of any number x, is only to find what power of the radical

number r, in that scale, is equal to the number x; or to find the index z of the power, in theequation x = rz.


A = 1, 000000; lA = 0, 0000000 siaB = 10, 000000; lB = 1, 0000000; C =

√AB

C = 3, 162277; lC = 0, 5000000; D =√BC

D = 5, 623413; lD = 0, 7500000; E =√CD

E = 4, 216964; lE = 6250000; F =√DE

F = 4, 869674; lF = 0, 6875000; G =√EF

G = 5, 232991; lG = 0, 7187500; H =√FG

H = 5, 048065; lH = 0, 7031250; I =√FH

I = 4, 958069; lI = 0, 6953125; K =√HI

K = 5, 002865; lK = 0, 6992187; L =√IK

L = 4, 980416; lL = 0, 6972656; M =√KL

M = 4, 991627; lM = 0, 6982421; N =√KM

N = 4, 997242; lN = 0, 6987304; O =√KN

O = 5, 000052; lO = 0.6989745; P =√NO

P = 4, 998647; lP = 0.6988525; Q =√OP

Q = 4, 999350; lQ = 0.6989135; R =√OQ

R = 4, 999701; lR = 0.6989440; S =√OR

S = 4, 999876; lS = 0.6989592; T =√OS

T = 4, 999963; lT = 0.6989668; V =√OT

V = 5, 000008; lV = 0.6989707; W =√TV

W = 4, 999984; lW = 0.6989687; X =√WV

X = 4, 999997; lX = 0.6989697; Y =√V X

Y = 5, 000003; lY = 0.6989702; Z =√XY

Z = 5, 000000; lZ = 0.6989700;

Tabella 8.1: Il calcolo di log 5 eseguito da Eulero


siano stati trovati altri metodi piu semplici, grazie ai quali e possibile calcolarei logaritmi.8 (pp. 75-76 di [6])

Osserviamo che un elemento della successione numerica A,B, ..., Z non vienesempre ottenuto come radice quadrata dei due elementi immediatamente prece-denti. In alcuni casi—G I N , O, R, S, T , V ed Y—gli elementi sono radicequadrate di elementi che non li precedono immediatamente. La scelta di talielementi e basata sulla prossimita al numero 5, di cui si vuole calcolare il logar-itmo. Cosı quando si deve formare I, non si considera I =

√GH ma piuttosto

I =√FH in quanto 5− F < G− 5.

Il Capitolo VII del Libro I di [6], De quantitatum exponentialium ac Loga-rithmorum per Series explicatione (§§114-125) e dedicato agli sviluppi in seriedi esponenziali e logaritmi. Buona parte del capitolo verte su una classificazionedei logaritmi sulla base della relazione aω = 1 + ψ in cui ω e ψ sono quantitainfinitesime (infinite parvi). Assumendo che ω e ψ siano infinitesimi dello stessoordine egli pone ψ = kω osservando che k dipende dalla scelta della base a. Sel e il logaritmo in base a, allora ω = l(1 + kω).

Poiche e a0 = 1 ed il valore della potenza cresce al quello dell’esponente di a,purche a sia un numero maggiore dell’unita, ne segue che se l’esponente superadi pochissimo lo zero, anche la potenza superera di pochissimo l’unita. Sia ω unaquantita infinitamente piccola, ovvero una frazione tanto piccola che per poconon si annulla; sara aω = 1 + ψ, dove ψ e anch’esso un numero infinitamentepiccolo. Da quanto visto in precedenza si ricava che se ψ non fosse un numeroinfinitamente piccolo, neppure ω potrebbe esserlo. Sara allora o ψ = ω o ψ > ωo ψ < ω ed il rapporto tra le due quantita dipendera dal valore di a ed, essendosinora questa incognita, si porra ψ = kω, cosicche sia aω = 1 + ψ e presa acome base logaritmica, sara ω = l(1 + kω).9(§114, Cap. VII, Libro I di [6])

Con un calcolo esplicito egli trova che k = 2.30258 quando a = 10.Per rendere evidente questo legame, preso un numero reale i Eulero svilup-

pa aiω = (1 + kω)i con la formula del binomio di Newton ottenendo

aiω = 1 +i

1kω +

i(i− 1)

1 · 2 k2ω2 +i(i− 1)(i− 2)

1 · 2 · 3 k3ω3 + ecc.

8Ponatur basis Logarithmica a = 10, quod in tabulis usu receptis fieri solet; & quaeraturvero tantum proxime Logarithmus numeri 5; quia hic continetur intra limites 1 & 10 quorumLogarithmi sunt 0 & 1; sequenti modo radicum extractio continua instituatur, quoad ad limitesa numero proposito 5 non amplius discrepantes perveniatur. Sic ergo mediis proportionalibussumendis tandem perventum est ad Z = 5, 000000, ex quo Logarithmus numeri 5 quaesitus est

0, 696870, posita basi Logarithmica = 10. Quare id proxime 1069897100000 = 5. Hoc autem modo

computatus est canon Logarithmorum vulgaris a Briggio & Vlacquio, quamquam posteaeximia inventa sunt compendia, quorum ope multo expeditius Logarithmi supputari possunt.

9Quia est a0 = 1, atque crescente Exponente ipsius a simul valor Potestatis augetur, siquidem a est numerus unitate major; sequitur si Exponens infinite parum cyphram excedat,Potestatem ipsam quoque infinite parum unitatem esse superaturam. Sit ω infinite parvus,seu Fractio tam exigua, ut tantum non nihilo sit aequalis, erit aω = 1+ψ, existente ψ quoquenumero infinite parvo. Ex praecedente enim capite constat nisi ψ esset numerus infiniteparvus, neque ω talem esse posse. Erit ergo vel ψ = ω, vel ψ > ω, vel ψ < ω, quae ratioutique a quantitate litterae a pendebit, quae cum adhuc sit incognita, ponatur ψ = kω, ita utsit aω = 1 + ψ; & sumta a pro basi Logarithmica, erit ω = l(1 + kω).


Preso un numero finito z e posto i = zω , i diventa un numero molto grande e

sostituendolo nella formula prcedente si ottiene

az = 1 +1

1kz +

1(i− 1)

1 · 2i k2z2 +1(i− 1)(i − 2)

1 · 2i · 3i k3z3 + ecc.

che gia mostra in modo piu evidente il legame tra a e k. Se ora si fa tendere iall’infinito e poi si pone z = 1 si ricava

a = 1 +k

1+

k2

1 · 2 +k3

1 · 2 · 3 +k4

1 · 2 · 3 · 4 + ... = ek

da cui segue ancora k = 2.30258, se a = 10.

§115 Poiche aω = (1+kω) sara aiω = (1+kω)i, qualunque numero venga messo

al posto di i. Pertanto sara aiω = 1+ i1kω+ i(i−1)

1·2 k2ω2 + i(i−1)(i−2)1·2·3 k3ω3 + ecc.

Se si pone i = zω , dove z indica un numero finito qualsiasi, poiche ω e un

numero infinitamente piccolo, i diverra infinitamente grande e cosı che ω = zi

sia una frazione il cui denominatore e infinito e pertanto infinitamente piccola,come si era assunta per ipotesi. Si sostituisca z

i al posto di ω e si avra az =

1+ 11kz +

1(i−1)1·2i k2z2 + 1(i−1)(i−2)

1·2i·3i k3z3 + 1(i−1)(i−2)(i−3)1·2i·3i·4i k4z4ecc., equazione che

sara vera se si sostituisce i con un numero infinitamente grande. Allora k e unnumero definito, che dipende da a nel modo che abbiamo visto.§116 Siccome i e un numero infinitamente grande, sara i−1

i = 1; e quindievidente che, quanto piu grande viene preso il numero da sostituire al posto di i,tanto piu vicino all’unita e il valore della frazione i−1

i , risultato che si otterrebbe

se i fosse un numero maggiore di ogni altro assegnabile. Dunque la frazione i−1i

sara uguale all’unita. Con un simile ragionamento sara anche i−2i = 1; i−3

i = 1

e cosı via; segue da qui che i−12i = 1

2 ;i−23i = 1

3 ;i−34i = 1

4 ; e cosı via. Sostituiti

pertanto questi valori, sara az = 1+ kz1 + k2z2

1·2 + k3z3

1·2·3 +k4z4

1·2·3·4 + ecc. all’infinito.Tuttavia questa relazione mostra allo stesso tempo la relazione tra i numeri a e

k perche, posto z = 1, sara a = 1 + k1 + k2

1·2 + k3

1·2·3 + k4

1·2·3·4 + ecc., per cui sea = 10, occorre che k = 2, 30258 circa, come trovato in precedenza.10(Cap. VII,Liber I, pp.86-87 di [6])

10Cum sit aω = (1 + kω), erit aiω = (1 + kω)i, quicunque numerus loco i substituatur.

Erit ergo aiω = 1+ i1kω+ i(i−1)

1·2 k2ω2 + i(i−1)(i−2)1·2·3 k3ω3 +&c. Quod si statuatur i = z

ω, & z

denotet numerum quemcunque finitum, ob ω numerum infinite parvum, fiet i numerus infinitemagnus, hincque ω = z

i, ita ut ω fractio denominatorem habens infinitum, adeoque infinite

parva, qualis est assumta. Substituatur ergo ziloco ω, eritque az = 1 + 1

1kz + 1(i−1)

1·2i k2z2 +1(i−1)(i−2)

1·2i·3i k3z3 + 1(i−1)(i−2)(i−3)1·2i·3i·4i k4z4&c., quae aequatio erit vera si pro i numerus infinite

magnus substituatur. Tum vero est k numerus definitus ab a pendens, uti modo vidimus.§116 Cum autem i sit numerus infinite magnus, erit i−1

i= 1; patet enim quo major numerus

loco i substituatur, eo propius valorem Fractionis i−1i

ad unitatem esse accessurum, hinc si

i sit numerus omni assignabili major. Fractio quoque i−1i

ipsam unitatem adequabit. Ob

similem autem rationem erit i−2i

= 1; i−3i

= 1, & ita porro; hinc sequitur fore i−12i

= 12;

i−23i

= 13; i−3

4i= 1

4; & ita porro. His igitur valoribus substitutis, erit az = 1 + kz

1+ k2z2

1·2 +k3z3

1·2·3 + k4z4

1·2·3·4 + &c. in infinitum. Haec autem aequatio simul relationem inter numeros a &

k ostendit, posito enim z = 1, erit a = 1 + k1+ k2

1·2 + k3

1·2·3 + k4

1·2·3·4 +&c., atque ita ut a sit10, necesse est ut sit circiter k = 2, 30258, uti ante invenimus.


Con lo sviluppo in serie di az a disposizione, Eulero mostra come, dallogaritmo lb = n di un numero b in base a si possa risalire allo sviluppo in seriedi bz. Per questo, da bz = anz e dallo sviluppo trovato sopra per az segue che

bz = 1 +knz

1+k2n2z2

1 · 2 +k3n3z3

1 · 2 · 3 +k4n4z4

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

ovvero, sostituendo n con lb,

bz = 1 +kz

1lb+

k2z2

1 · 2 (lb)2 +

k3z3

1 · 2 · 3(lb)3 +

k4z4

1 · 2 · 3 · 4(lb)4 +&c.

che permette di ricavare bz noto il logaritmo lb.Lo sviluppo in serie del logaritmo viene ottenuto dalla posizione (1+ kω)i =

1 + x da cui si ricava

iω = l(1 + x) =i

k(1 + x)

1i − i

k

che, sviluppato con l’ausilio del binomio di Newton attraverso passaggi similia quelli illustrati nel §116, permette di concludere che

l(1 + x) =1

k

(

x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ ...

)

§117 Posto b = an e preso a come base logaritmica, sara, lb = n. Quindi, poiche

bz = anz, grazie alla serie infinita bz = 1+ knz1 + k2n2z2

1·2 + k3n3z3

1·2·3 + k4n4z4

1·2·3·4 +&c.,

posto in verita, lb al posto di n, sara bz = 1 + kz1 lb +

k2z2

1·2 (lb)2 + k3z3

1·2·3(lb)3 +

k4z4

1·2·3·4(lb)4 + &c.. Noto dunque il valore della lettera k a partire dal valore a

della base, ogni quantita esponenziale come bz si potra esprimere tramite unaserie infinita i cui termini procedono seguendo le potenze di z. Dopo questesiegazioni torniamo a far vedere come i logaritmi siano esprimibili grazie aduna serie infinita.§118 Quando aω = 1 + kω, con ω infinitamente piccolo, il rapporto tra a & k

e definito dall’equazione a = 1 + k1 + k2

1·2 + k3

1·2·3 + ecc., se si prende a come

base logaritmica, sara ω = l(1 + kω) e iω = l(1 + kω)i. E poi evidente chequanto maggiore viene preso i, tanto piu la potenza (1 + kω)i superera l’unita;ponendo i = numero infinito, il valore della potenza (1+ kω)i diverra uguale adun qualsiasi numero maggiore di uno. Se allora si pone (1 + kω)i = 1+ x, saral(1 + x) = iω per cui, siccome iω e un numero finito, vale a dire il logaritmo di1+ x, e evidente che i debba essere un numero infinitamente grande, altrimentiiω non potrebbe avere un valore finito.§119 Posto allora (1 + kω)i = 1 + x, sara 1 + kω = (1 + x)

1i e kω = (1 +

x)1i − 1 da cui segue che iω = i

k ((1 + x)1i − 1). Poiche e iω = l(1 + x), sara

l(1 + x) = ik (1 + x)

1i − i

k , dove i e un numero infinitamente grande. Tuttavia e

(1+x)1i = 1+ 1

i x−1(i−1)i·2i x2+ 1(i−1)(2i−1)

i·2i·3i x3− 1(i−1)(2i−1)(3i−1)i·2i·3i·4i x4+ecc. Poiche i

e un numero infinito, sara i−12i = 1

2 ;2i−13i = 2

3 ;3i−14i = 3

4 , ecc. e, di conseguenza


l(1+x) = 1k (

x1− xx

2 + x3

3 − x4

4 +ecc.), posta a la base logaritmica ed indicando con k

il numero adatto a questa base, evidentemente a = 1+ k1+

k2

1·2+k3

1·2·3+&c.11(Cap.VII, Liber I, pp.87-88 di [6])

Con l’aiuto della serie logaritmica, Eulero intende ancora trovare k in fun-zione di a e deve constatare che la via in apparenza comoda di porre 1 + x = asi scontra con un problema di convergenza perche, essendo la = 1, si avra

l(1 + x) = la = 1 =1

k

(

a− 1

1− (a− 1)2

2+

(a− 1)3

3− (a− 1)4

4+ &c.

)

ed e chiaro che nel caso a = 10 non ha alcun senso dal momento che la serienon converge. Per ovviare a cio egli prende la via intrapresa, tra gli altri, daGregory e sottrae l(1− x) da l(1 + x) ottenendo uno sviluppo convergente dik.

Di tutti i sistemi logaritmici, i logaritmi naturali od iperbolici si caratteriz-zano come quelli per i quali k = 1 e dunque la base a assume lo sviluppo

a = 1 +1

1+

1

1 · 2 +1

1 · 2 · 3 +1

1 · 2 · 3 · 4 + &c.

che Eulero indica con la lettera e cosı come lo conosciamo oggi, come avevafatto per la prima volta nel breve lavoro di balistica [8] pubblicato nell’OperaPosthuma.

§120Siccome abbiamo la serie che coincide con il logaritmo del numero 1 +x, per suo mezzo potremo determinare il valore del numero k, a partire dallabase assegnata a. Se infatti poniamo 1 + x = a, poiche la = 1 sara 1 =1k

(

a−11 − (a−1)2

2 + (a−1)3

3 − (a−1)4

4 + ecc.)

e da qui seguira k = a−11 − (a−1)2

2 +

11§117 Ponamus esse b = an, erit, sumto numero a pro basi Logarithmica, lb = n. Hinc,

cum sit bz = anz , erit per Seriem infinitam bz = 1+ knz1

+ k2n2z2

1·2 + k3n3z3

1·2·3 + k4n4z4

1·2·3·4 +&c.,

posito vero lb pro n, erit bz = 1 + kz1lb+ k2z2

1·2 (lb)2 + k3z3

1·2·3 (lb)3 + k4z4

1·2·3·4 (lb)4 +&c.. Cognito

ergo valore litterae k ex dato valore basis a, quantitas exponentialis quaecunque bz per Serieminfinitam exprimi poterit, cujus termini secundum Potestates ipsius z procedant. His expositisostendamus quoque quomodo Logarithmi per Series infinitas explicari possint.§118 Cum sit aω = 1 + kω, existente ω Fractione infinite parva, atque ratio inter a & k

definiatur per hanc aequationem a = 1 + k1+ k2

1·2 + k3

1·2·3 +&c., si a sumatur pro basi Loga-

rithmica, erit ω = l(1 + kω) & iω = l(1 + kω)i. Manifestum autem est, quo major numeruspro i sumatur, eo magis Potestatem (1 + kω)i unitatem esse superaturam; atque statuendoi = numero infinito, vallorem Potestatis (1 + kω)i ad quemvis numerum unitatem majoremascendere. Quod si ergo ponatur (1 + kω)i = 1 + x, erit l(1 + x) = iω, unde, cum sit iωnumerus finitus, Logarithmus scilicet numeri 1 + x, perspicuum est, i esse debere numeruminfinite magnum, alioquin enim iω valorem finitum habere non posset.

§119 Cum autem positum sit (1 + kω)i = 1+ x, erit 1 + kω = (1 + x)1i & kω = (1 + x)

1i − 1,

unde fit iω = ik((1 + x)

1i − 1). Quia vero est iω = l(1 + x), erit l(1 + x) = i

k(1 + x)

1i − i

k,

posito i numero infinite magno. Est autem (1 + x)1i = 1+ 1

ix− 1(i−1)

i·2i x2 +1(i−1)(2i−1)

i·2i·3i x3 −1(i−1)(2i−1)(3i−1)

i·2i·3i·4i x4+&c.Ob i autem numerum infinitum, erit i−12i

= 12; 2i−1

3i= 2

3; 3i−1

4i= 3

4,

&c., & consequenter l(1 + x) = 1k(x1− xx

2+ x3

3− x4

4+&c.), posita basi Logarithmica = a ac

denotante k numerum hinc basi convenientem, ut scilicet sit a = 1 + k1+ k2

1·2 + k3

1·2·3 +&c.


(a−1)3

3 − (a−1)4

4 + ecc., ed il valore della serie infinita dovrebbe essere circa =2, 30258, quando a = 10, benche sia difficile capire come possa essere 2, 30258 =91 − 92

2 + 93

3 − 94

4 + ecc., dal momento che i termini di questa serie cresconocontinuamente e non si puo ottenere una somma prossima al vero prendendoun certo numero di termini: porremo subito rimedio a questo inconveniente.

§121 Poiche infatti si ha l(1+x) = 1k (

x1− xx

2 + x3

3 −ecc.), preso x negativo si avra

l(1−x) = − 1k (

x1 +

xx2 + x3

3 + x4

4 +ecc.). Se si sottrae la seconda serie dalla prima

si avra l(1+x)− l(1−x) = l 1+x1−x = 2

k ×(

x1 + x3

3 + x5

5 + x7

7 + ecc.)

. Si ponga ora

1+x1−x = a cosicche x = a−1

a+1 ; poiche la = 1, sara k = 2(

a−1a+1 + (a−1)3

3(a+1)3 + (a−1)5

5(a+1)5 + ecc.)

,

dalla quale e possibile ricavare il valore del numero k da quello della base a. Se

dunque si prende a = 10 come base, sara k = 2( 911 +

93

3·113 +95

5·115 +97

7·117 + ecc.)dove i termini della serie diminuiscono sensibilmente e dunque mostrano subitoun valore abbastanza vicino a quello vero di k.

§122 Poiche la scelta della base a nel formare un sistema logaritmico e arbitraria,sara possibile sceglierla in modo che si abbia k = 1. Supponiamo allora che siak = 1 ed allora, per la serie trovata sopra (116) sara, a = 1+ 1

1 + 11·2 + 1

1·2·3 +1

1·2·3·4 + ecc., e questi termini, una volta trasformati in frazioni decimali ed ef-fettivamente sommati, daranno per a il valore a = 2, 71828182845904523536028la cui ultima cifra e coerente al vero. I logaritmi costruiti a partire da questabase sono detti naturali od iperbolici in quanto e possibile per il loro tramiteesprimere la quadratura dell’iperbole. Poniamo per brevita, al posto di questonumero 2,718281828459 ecc. sempre la lettera e che dunque indichera la basedei logaritmi naturali od iperbolici ai quali corrisponde il valore k = 1; oppure,la lettera e esprime anche la somma della serie 1+ 1

1 +11·2 +

11·2·3 +

11·2·3·4 +&c.

in infinitum. 12 (Cap. VII, Liber I, pp.88-90 di [6])

12§120 Cum igitur habeamus Seriem Logarithmo numeri 1 + x aequalem, ejus ope ex databasi a definire poterimus valorem numeri k. Si enim ponamus 1 + x = a, ob la = 1, erit

1 = 1k

(

a−11

− (a−1)2

2+

(a−1)3

3− (a−1)4

4+&c.

)

, hincque habebitur k = a−11

− (a−1)2

2+

(a−1)3

3− (a−1)4

4+&c., cujus ideo Seriei infinitae valor, si ponatur a = 10, circiter esse debebit

= 2, 30258; quamquam difficulter imtelligi potest esse 2, 30258 = 91− 92

2+ 93

3− 94

4+ &c.,

quoniam hujus Seriei termini continuo fiunt majores, neque aliquot terminis sumendis summavero propinqua haberi potest: cui incommodo mox remedium afferetur.

§121 Quoniam igitur est l(1 + x) = 1k(x1− xx

2+ x3

3−&c.), erit, posito x negativo, l(1− x) =

− 1k(x1+ xx

2+ x3

3+ x4

4+&c.). Subtrahatur Series posterior a priori, erit l(1+ x)− l(1− x) =

l 1+x1−x

= 2k×

(

x1+ x3

3+ x5

5+ x7

7+&c.

)

. Nunc ponatur 1+x1−x

= a, ut sit x = a−1a+1

, ob la = 1

erit k = 2(

a−1a+1

+ (a−1)3

3(a+1)3+ (a−1)5

5(a+1)5+&c.

)

, ex qua aequatione valor numeri k ex basi a

inveniri poterit. Si ergo basis a ponatur = 10 erit k = 2( 911

+ 93

3·113 + 95

5·115 + 97

7·117 + &c.)cujus Seriei termini sensibiliter decrescunt, ideoque mox valorem pro k satis propinquumexhibent.§122 Quoniam ad systema Logarithmorum condendum basin a pro lubitu accipere licet, ea itaassumi poterit ut fiat k = 1. Ponamus ergo esse k = 1, eritque per Seriem supra (116) inven-tam, a = 1+ 1

1+ 1

1·2 + 11·2·3 + 1

1·2·3·4 +&c., qui termini, si in fractiones decimales convertanturatque actu addantur, praebebunt hunc valorem pro a = 2, 71828182845904523536028, cujusultima adhuc nota veritati est consentanea. Quod si jam ex hac basi Logarithmi constru-


Dopo un intermezzo dedicato al calcolo dei logaritmi naturali di alcuni nu-meri alla maniera di Newton, cioe basato sulla serie di Gregory, Eulerodedica il §124 ad illustrare un metodo molto agile con cui determinare k e cheequivale nella sostanza alla presentazione del cambio di base logaritmica suimanuali elementari. Se y e il logaritmo naturale di 1+x e v il logaritmo in basea dello stesso numero, poiche deve essere

y =x

1− xx

2+x3

3− x4

4+ &c.

e

v =1

k

(

x

1− xx

2+x3

3− x4

4+ &c.

)

si ha k = yv . Scelto v = 1 si caratterizza k come logaritmo iperbolico della base a.

Nel caso a = 10, si ritrova il valore molto accurato k = 2, 3025850929940456840179914.

§124 Si ponga il logaritmo iperbolico di 1 + x pari ad y, ovvero l(1 + x) = y;

sara y = x1 − xx

2 + x3

3 − x4

4 + ecc.. Preso ora un numero a come base logar-itmica, sia v il logaritmo dello stesso numero 1 + x; come abbiamo visto, sara

v = 1k

(

x1 − xx

2 + x3

3 − x4

4 +&c.)

= yk ; e da qui k = y

v da cuisi ottiene in modo

molto semplice il valore di k corrispondente alle base a, definito in modo daessere uguale al logaritmo iperbolico di un numero qualsivoglia diviso per il log-aritmo dello stesso numero nella base a. Preso pertanto a come numero, sarav = 1, e da qui segue che k = al logaritmo iperbolico della base a. Nel sis-tema dei logaritmi comuni in cui e a = 10, k sara uguale al logaritmo iperbolicodi 10 e percio k = 2, 3025850929940456840179914, come abbiamo gia trovatosopra con buona approssimazione. Se dunque dividiamo ogni logaritmo iperbol-ico per questo numero k oppure, cio che e lo stesso, li moltiplichiamo per lafrazione decimale 0, 4342944819032518276511289, otterremo i logaritmi comuniche convengono alla base a = 10.13 (Cap. VII, Liber I, p. 92 di [6])

Per concludere esaminiamo l’estratto del Libro II, Capitolo XXI—De LineisCurvis Transcendentibus dedicato alla dimostrazione dell’invarianza della sot-totangente di una curva logaritmica. In tale dimostrazione Eulero fa tesoro

antur, ii vocari solent Logarithmi naturales seu hyperbolici, quoniam quadratura hyperbolaeper istiusmodi Logarithmos exprimi potest. Ponamus autem brevitatis gratia pro numerohoc 2,718281828459 &c. constanter litteram e, quae ergo denotabit basin Logarithmorumnaturalium seu hyperbolicorum, cui respondet valor litterae k = 1; sive haec littera e quoqueexprimet summam hujus Seriei 1 + 1

1+ 1

1·2 + 11·2·3 + 1

1·2·3·4 +&c. in infinitum.13§124 Ponatur Logarithmus hyperbolicus ipsius 1 + x seu l(1 + x) = y; erit y = x

1−

xx2

+ x3

3− x4

4+ &c.. Sumto autem numero a pro basi Logarithmica, sit numeri ejusdem

1 + x Logarithmus = v; erit, ut vidimus, v = 1k

(

x1− xx

2+ x3

3− x4

4+&c.

)

= yk; hinque

k = yv; ex quo commodissime valor k basi a respondens ita definitur ut sit aequalis cujusvis

numeri Logarithmo hyperbolico diviso per Logarithmum ejusdem numeri ex basi a formati.Posito ergo numero hoc = a, erit v = 1, hincque fit k = Logarithmo hyperbolico basis a. Insystemate ergo Logarithmorum communium, ubi est a = 10, erit k =Logarithmo hyperbolicoipsius 10, unde fit k = 2, 3025850929940456840179914, quem valorem jam supra satis propecollegimus. Si ergo singuli Logarithmi hyperbolici per hunc numerum k dividantur, vel, quodeodem redit, multiplicentur per hanc fractionem decimalem 0, 4342944819032518276511289,prodibunt Logarithmi vulgares basi a = 10 convenientes.


dello evoluzione del calcolo integrale e degli sviluppi in serie intercorso nel secoloche lo separa dai lavori di Torricelli ed Huygens in cui lo stesso risultatoera stato dimostrato. Egli considera (Fig. 8.1) un punto P di ascissa x e chiamaM il corrispondente punto sulla curva logaritmica yP = aex/b, dove a e b sonocostanti. Preso sull’asse delle ascisse un ulteriore punto Q tale che PQ = u siaincremento della variabile indipendente, il punto N sulla curva avra ordinatayQ = aex/b ·eu/b cosicche l’incremento della variabile indipendente nel passaggioda P a Q e LN = ∆y = aex/b(eu/b−1). Tracciata la retta che interseca il grafico

P m

ba

ABT

M

NQ

P

L

Figura 8.1: Figura ausiliaria per la dimostrazione di Eulero della costanzadella sottotangente alla curva logaritmica.

della curva logaritmica in M ed N e l’asse delle ascisse in T , per similitudinesi ottiene PT = (ML)(PM)/LN = u/(eu/b − 1). Se ora si rimpiazza eu/b conil suo sviluppo in serie e si fa tendere u verso 0, MN tende alla tangente allacurva logaritmica in M e PT → b, valore costante della sottotangente che vienedeterminato immediatamente.

E anche possibile determinare la tangente a questa curva logaritmica in un suopunto M qualsiasi. Infatti, posto AP = x, sia PM = aex:b e si conduca un’altra


ordinata QN qualsiasi ortogonale all’intervallo precedente PQ: e si avra QN =ae(x+u):b = aex:b · eu:b e, condotto il segmento ML parallelo all’asse, sara LN =(QN−PM) = aex:b(eu:b−1). A partire dai puntiM ed N si tracci la retta NMTche taglia l’asse nel punto T , cosicche si avra LN : ML = PM : PT e dunquePT = u : (eu:b−1). In verita, come mostrato nella sezione precedente, usando le

serie infinite si ha eu:b = 1+ ub +

u2

2b2 +u3

6b3+ ecc. e percio PT = 11b+

u2b2

+ u2

6b3+&c

.

Se ora l’intervallo PQ = u sparisce, siccome i puntiM ed N coincidono, la rettaNMT sara tangente alla curva e PT = b sara la sottotangente che avra pertantoun valore costante, proprieta fondamentale della curva logaritmica. Pertanto,il parametro b della curva logaritmica rappresenta il valore costante della suasottotangente.14 (pp. 289–290 di [6])

8.4 Testi originali

Testo 8.6 [Eulero]([2], pp. 276-277). Je dis donc que, quoique le nombredont on suppose le logarithme = 1, soit determine, chaque nombre a neanmoinsune infinite de logarithmes, dont tous, a l’exception d’un seul sont imaginaires,si le nombre est affirmatif; mais s’il est negatif ou imaginaire, tous ses loga-rithmes seront egalement imaginaires. En consequence de cela, le logarithme del’unite sera non seulement = 0, mais il y aura encore une infinite de quantitesimaginaires, dont chacune tient aussi bien lieu du logarithme de l’unite, que 0.Soient donc tous les logarithmes de l’unite

0, α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, etc.

et puisque le logarithme de la racine carree est la moitie du log. de la puissance,√1 etant tant +1 que −1, les logarithmes de la premiere valeur +1 seront

0,1

2β,

1

2δ,

1

2ζ,

1

2ϑ, etc.

et les logarithmes de l’autre valeur −1 seront:

1

2α,

1

2γ,

1

2ε,

1

2η, etc.

14Tangens hujus Curvae logarithmicae in quovis puncto M etiam facile poterit definiri.Cum enim, posita AP = x, sit PM = aex:b, ducatur alia quaecunque Applicata QN a prioriintervallo PQ dissita, eritque QN = ae(x+u):b = aex:b · eu:b; &, ducta ML Axi parallela,erit LN = (QN − PM) = aex:b(eu:b − 1). Per puncta M & N ducatur recta NMT Axioccurrens in puncto T , erit LN : ML = PM : PT , hincque PT = u : (eu:b − 1). Verum,

uti in Sectione superiori ostendimus, per Seriem infinitam est eu:b = 1 + ub+ u2

2b2+ u3

6b3+

&c.: ideoque PT = 11b+ u

2b2+ u2

6b3+&c

. Evanescat Jam intervallum PQ = u; &,ob puncta M

& N coincidentia, recta NMT fiet Curva Tangens, eritque tum Subtangens PT = b, ideoqueconstans; quae est proprietas palmaria Curvae logarithmicae. Parameter ergo Logarithmicaeb simul ejusdem est Subtangens constantis ubique magnitudinis.


qui sont different des precedents, quoique leurs double donnent les logarithmesde l’unite. De meme, prenant les racines cubiques, il y aura

l1 = 0,1

3γ,

1

3ζ,

1

3ι, etc.

l−1 +

√− 3

2=

1

3α,

1

3δ,

1

3η, etc.

l−1−√− 3

2=

1

3β,

1

3ε,

1

3ϑ, etc.

et cette consideration detruit deja la plupart des difficultes qui nous ont em-barasse auparavant.

Testo 8.7 [Eulero], ([2], pp. 277-278).§24 Pour prover cette pluralite infinie des logarithmes qui repondent a chaque

nombre, on n’a qu’a regarder le grand rapport qui se trouve entre les logarithmeset les arcs de cercle: puisqu’on sait que les arcs de cercle se peuvent exprimer parlogarithmes imaginaires, et reciproquement, les logarithmes par les arcs imagi-naires du cercle. Donc, parce que les sinus ou cosinus repondent aux nombres etles arcs aux logarithmes, comme le meme sinus se rapporte a une infinite d’arcsdifferents, ainsi il s’en suit que le meme nombre se doit rapporter a une infinitede logarithmes differents. Nous connaissons mieux le cercle que la courbe log-arithmique, et par cette raison, la consideration du cercle nous conduira a uneplus parfaıte connaissance des logarithmes, que la logarithmique meme; de plus,dans le cercle nous pouvons determiner tous les arcs qui repondent au memesinus ou cosinus, et quoique ces arcs, dans le passage aux logarithmes devien-nent imaginaires, ils ne laisseront pas, en nous convainquant de l’infinite deslogarithmes, de nous donner a connaıtre leurs expressions et les especes de non-realite, sous lesquelles elles sont comprises; et c’est tout ce qu’on peut souhaierpour l’intelligence d’une quantite imaginaire.

§25. Soit ϕ un arc quelconque d’un cercle dont je suppose le rayon = 1. Soitx le sinus de cet arc, et y son cosinus, de sorte que y =

√(1−x2); donc, nommant

la peripherie de ce cercle = 2π, ou l’arc de 180 = π, il est clair, que tous les arcscompris dans cette expression generale = 2nπ+ϕ auront non seulement le memesinus = x, mais aussi le meme cosinus = y =

√(1 − x2), pourvu que n signifie

un nombre entier queconque. Or, puisque dϕ = dxy = dx√

(1−x2) , qu’on suppose

x = z√− 1, et l’on aura dϕ = dz

√−1√(1+z2) . Mais on sait que

∫

dz√(1+z2) = l(

√(1 +

z2) + z) + C. Par consequent, nous aurons ϕ =√− 1l(

√(1− x2) + x√−1 ) + C,

ou il est clair que la constante C est = 0, puisqu’en mettent x = 0, l’arc ϕ doits’evanouir de meme. Ayant donc ϕ =

√− 1l(√(1− x2)− x

√− 1), nous auronsϕ = 1√−1 l(

√(1− x2) + x

√− 1) ou bien

ϕ =1√− 1

l(y + x√− 1).

§26. Cette equation que nous venons de trouver, exprimant le rapport entrel’arc ϕ et les sinus et cosinus, aura aussi lieu pour tous les autres arcs qui ont


le meme sinus x et cosinus y; par consequent nous aurons

ϕ± 2nπ =1√− 1

l(y+ x√− 1) et partant l(y + x

√− 1) = (ϕ± 2nπ)√− 1 .

D’ou il est clair qu’au meme nombre y + x√ − 1 repond une infinite de loga-

rithmes, qui sont tous compris dans cette formule generale (ϕ± 2nπ)√− 1, ou

a la place de n on peut mettre tel nombre entier qu’on voudra. Puisque x estle sinus et y le cosinus de l’arc ϕ, posons x = sinϕ et y = cosϕ, et nous auronscette egalite

l(cosϕ+ sinϕ√− 1) = (ϕ± 2nπ)

√− 1 .

Testo 8.8 [Euler] ([1], pp. 156-157). Theoreme. Il y a toujours une infinitede logarithmes, qui conviennent egalement a chaque nombre propose: ou, si ymaqrue le logarithme du nombre x, je dis che y renferme une infinite de valeursdifferentes.

Demonstration. Je me bornarai ici aux logarithmes hyperbolique, puisqu’onsait che les logarithmes de toutes les autres especes sont a ceux-cy dans un rap-port constant, ainsi quand le logarithme hyperbolique du nombre x est nommey, le logarithme tabulaire de ce meme nombre sera = 0.4342944819.y. Or, lefondement des logarithmes hyperboliques est, que si ω signifie un nombre infin-iment petit, le logarithme du nombre 1+ ω sera = ω, ou que l (1 + ω). = ω. Dela il s’ensuite que l (1+ω)2. = 2ω; l (1+ω)3 = 3ω, et en general l (1+ω)n = nω.Mais puisque ω est un nombre infiniment petit, il est evident, que le nombre(1 + ω) ne sauroit pas devenir egal a quelque nombre propose x a moins quel’exposant n ne soit un nombre infini. Soit donc n un nombre infiniment grand,& qu’on pose x = (1 + ω)n, & le logarithme de x, qui a ete nomme = y, sera

y = nω. Donc pour exprimer par x, la premiere formule donnant 1+ω = x1n &

ω = x1n − 1, cette valeur etant substituee pour ω dans l’autre formule produira

y = nx1n − n = l x. D’ou il est clair que la valeur de la formule y = nx

1n − n

approchera d’autant plus le logarithme de x, plus le nombre n sera pris grand;& si l’on met pour n un nombre infini, cette formule donnera la vraye valeur dulogarithme de x. Or comme il est certain, que x

12 a deux valeurs differentes, x

13

trois, x14 quatre, & ainsi de suite, il sera egalement certain que x

1n doit avoir

une infinite de valeurs differents pour l x, puisque n est un nombre infini. Parconsequent, cette infinite de valeurs differentes de x

1n produira aussi une infinite

de valeurs differentes pour l x, de sort que le nombre x doit avoit une infinitede logarithmes. C.Q.F.D.

Testo 8.9 [Eulero] ([1], pp.161-163).

Probleme II.

Determiner tous les logarithmes, qui repondent a un nombre negatif quelconque−a.

SOLUTION.


Puisque −a = −1 · a, il sera l − a = l a+ l− 1, & prenant pour l a le logarithmereel de a, on aura tous les logarithmes du nombre negatif −a, si l’on cherchetous les logarithmes de −1. Mais ayant vu, que mettant y pour le logarithmedu nombre x en gemeral, il est y = nx

1n − n, d’ou l’on tire, 1 + y

n = x1n &

partant(

1 + yn

)n − x = 0. Donc y exprimera tous les logarithmes de −1 sil’on met x = −1, de sorte que tous les logarithmes des −1 seront les racines decette equation

(

1 + yn

)n+ 1 = 0, posant le nombre n infinitement grand. Or

on sait que de cette equation general pn + qn = 0 toutes les racines se trouvent

de la resolution de cette formule p2 − 2pq cos (2λ−1)πn + q2 = 0, prenant pour λ

successivement tous les nombres entiers tant affirmatifs que negatifs: & partant

on aura p = q(

cos cos (2λ−1)πn ±√− 1 sin (2λ−1)π

n

)

. Donc les racines de cette

equation proposee:(

1 +y

n

)n

+ 1 = 0 ,

seront toutes comprises dans cette formule generale:

1 +y

n= cos

(2λ− 1)π

n±√− 1. sin .

(2λ− 1)π

n,

laquelle a cause de n = ∞ se change en

y = ±(2λ− 1)π√− 1 .

Par consequent mettant pour λ successivement toutes les valeurs, qui lui convi-ennent, tous les logarithmes de −1 seront:

±π√− 1 ; ±3π√− 1 ; ±5π

√− 1 ; ±7π√− 1 ; ±9π

√− 1 ; &c.

dont le nombre est infini. C.Q.F.T.De la il est clair, que tous les logarithmes d’un nombre negatif quelconque,

sont imaginaires, & qu’il n’y a aucun nombre negatif, dont un de ses logarithmessoit reel. Mr. Leibniz a eu donc raison de soutenir, que les logarithmes desnombres negatifs etoient imaginaires. Cependant puisque les nombres affirmatifsont aussi une infinite de logarithmes imaginaires, toutes les objections de M.Bernoulli contre ce sentiment perdent leur force. Car quoiqu’il soit l − 1 =±(2λ− 1)π

√− 1 le logarithme de son quarre sera l(−1)2 = ±2(2λ− 1)π√− 1

expression qui se trouve parmi les logarithmes de +1, de sorte qu’il demeurevrai que 2l − 1 = l + 1, quoique nul des logarithmes de −1 se trouve parmi leslogarithmes de +1. Soit A le logarithme reel du nombre positif +a, & que pmarque en general tous les nombres pairs, & q tous les nombres impairs entiers:& ayant en general:

l + 1 = ±pπ√− 1 & l − 1 = ±qπ√− 1 .

& l + a = A± pπ√− 1 & l − a = A± qπ

√− 1 .

d’ou l’on voit que l(−a2) = 2l − a = 2A + 2qπ√ − 1. Or 2q etant = p, & 2A

le logarithme reel de a2, on voit que 2A ± pπ√− 1 est la formule generale des


logarithmes de a2; ainsi il est l(−a)2 = l a2 ou bien 2l −a = 2l +a, sans qu’il soitl − a = l + a: ce qui seroit sans doute contradictoire, si les nombres +a & −an’avoient qu;un seul logarithme; car alors on auroit raison de conclure, qu’il futl −a = l +a s’il etoit 2l −a = 2l +a. Mais des qu’on tombe d’accord, que tant−a que +a ont une infinite de logarithmes, cette consequence, toute necessairequ’elle fut auparavant, n’est plus juste; puisque pour qu’il soit 2l − a = 2l + a,il suffit, que les doubles de tous les logarithmes de −a se rencontrent dans leslogarithmes de +aa. Ce qui peut arriver, comme nous voyons, sans qu’aucundes logarithmes de −a soit egal a aucun des logarithmes de +a.

Testo 8.10 [Eulero] ([1], pp. 272–275)

Probleme III

Une quantite imaginaire etant elevee a une puissance dont l’exposant estaussi imaginaire, trouver la valeur imaginaire de cette puissance.

SOLUTION

Soit a+b√−1 la quantite imaginaire, &m+n

√−1 l’exposant de la puissance,de sorte qu’il faille trouver la valeur de cette formule (a+b

√−1)m+n√−1. Posons

donc pour cet effet:

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = x+ y√− 1

& prenant les logarithmes on aura:

(m+ n√− 1) l(a+ b

√− 1) = l(x+ y√− 1)

Passons aux differentiels, & puisque, comme nous avons deja vu,

d.l(x+ y√− 1) =

xdx + ydy

xx+ yy+xdy − ydx

xx + yy

√− 1

nous aurons:

m(ada+bdb)aa+bb + n(ada+bdb)

√−1aa+bb

+m(adb−bda)√−1

aa+bb − n(adb−bda)aa+bb

= xdx + ydy

xx+ yy+

(xdy − ydx)√− 1

xx+ yy

Egalant maintenent separement les membres reels & imaginaires, nous auronsces deux egalies:

m(ada+bdb)aa+bb − n(adb−bda)

aa+bb = xdx+ydyxx+yy

+m(adb−bda)aa+bb + n(ada+bdb)

aa+bb = (xdy−ydx)xx+yy

Pour en prendre les integrales soit:

√(aa+ bb) = c & Atang

b

a= φ ;


ou bien sinφ = bc & cosφ = a

c , d’ou l’on peut toujours trouver l’angle φ; or jesuppose ici, que c est une quantite positive =

√(aa + bb). Cela remarque, nos

integrales seront:mlc− nφ = l

√(xx+ yy)

mφ+ n lc = Atang.y

x.

De la il s’ensuit, qu’il sera√(xx + yy) = cme−nφ mettant e pour le nombre,

dont le logarithme hyperbolique est = 1. Ainsi pour trouver les valeurs de x ety, de cette equation:

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = x+ y√− 1

ayant pose c =√(aa+ bb), & pris l’angle φ tel, qu’il soit cosφ = a

c & sinφ = bc ,

on aura:

x = cme−nφ cos(mφ+ nl c) e y = cme−nφ sin(mφ+ nl c).

(...)

COROLL. III.

En general donc, quelques quantites que soient a, & b, donnant a c la valeurpositive de

√aa+ bb, et prenant pour φ un tel angle que sinφ = b

c & cosφ = ac ,

puisque pour φ on peut egalement prendre en general l’angle 2λπ + φ, ou λmarque un nombre entier quelconque affirmatif ou negatif, on aura

(a+ b√− 1)m+n

√−1 = cme−2λnπ−nφ

(

+cos(2λmπ +mφ+ nl c)+√− 1. sin(2λmπ +mφ+ nl c)

)

d’ou l’on trouvera toutes les valeurs possibles, que cette formule (a + b√ −

1)m+n√−1 renferme, en donnat a λ successivement toutes les valeurs 0,±1,±2,±3,±4

&c. ou il suffit de prendre pour cm la seule valeur reel & positive, qui y estrenfermee.

COROLL. IV.

Si a = 0; m = 0, & b = 1, il sera c = 1 & φ = π2 d’ou l’on tirera cette

transformation:(√− 1)n

√−1 = e−2λnπ− 12nπ

ou bien (√ − 1)

√−1 = e−2λπ− 12π, qui est d’autant plus remarquable qu’elle est

reelle, & qu’elle renferme meme une infinite de valeurs reelles differentes. Carposent λ = 0, on aura en nombres

(√− 1)

√−1 = 0, 2078795763507 .

Bibliografia

[1] L. Euler: De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les loga-rithmes des nombres negatives et imaginaires. Mem. Acad. Sc. Berlin 5,(1751), 139-179.

[2] L. Euler: Sur les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires. In L.Euleri Opera Posthuma, Vol. I Petropoli (1862), 268-281.

[3] F. Cajori: History of the exponential and logarithmic concepts III. Thecreation of a theory of logarithms of complex numbers by Euler. 1712-1747Amer. Math. Monthly 20, (1913), 75–84.

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[5] E. Halley: A most compendious and facile method for constructing thelogarithms, exemplified and demonstrated from the nature of numbers,without any regard to the hyperbola, with a speedy method for finding thenumber from the logarithm given. Phil. Trans. 19, (1695-1697), 58–67.

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[8] L. Euler: Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuperinstituta. In L. Euleri Opera Posthuma, Vol. II Petropoli (1862), 800-804.

335

336 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 9

L’irrazionalita di e

9.1 Eulero e l’irrazionalita di e

La base dei logaritmi naturali od iperbolici e stata dietro le quinte della storiadei logaritmi sin dai tempi di Nepero ma il suo ruolo privilegiato si evidenzioquando si colse il legame tra geometria dell’iperbole e logaritmi. Eulero, cheper primo indico la base dei logaritmi neperiani con la lettera e ne studio l’ir-razionalita nel lavoro De Fractionibus continuis Dissertatio [1] pubblicata nel1744 ma che, secondo i registri dell’Accademia delle Scienze di S. Pietroburgo,era stata presentata fin dal 1737. Eulero dimostra l’irrazionalita di e utilizzan-do le frazioni continue unitamente ad un inatteso collegamento con l’equazionedi Riccati. Per comprendere la dimostrazione, occorre ripercorrere per sommicapi la teoria delle frazioni continue come viene sviluppata da Eulero sia in[1] che al Cap. XVIII del I volume della Introductio dove pero non viene ripor-tato il legame con l’equazione di Riccati ma, laconicamente, Eulero affermache per dimostrare rigorosamente l’irrazionalita di e occorre ricorrere al calcoloinfinitesimale: cujus fractionis ratio ex calculo infinitesimali dari potest (p. 319di [2]).

Iniziamo col dire cheEulero non ha introdotto le frazioni continue che eranostate introdotte molto tempo prima da Pietro Antonio Cataldi (1548-1626)—professore a Bologna negli anni in cui era anche attivo nell’ateneo felsineo Gio-vanni Antonio Magini—e immediato predecessore di Bonaventura Cavalieri.L’opera che contiene lo sviluppo in frazioni continue di

√a2 + r e il Trattato del

modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri, et regole di approssi-marsi di continuo al vero nelle radici dei numeri non quadrati, con le causeet inventioni loro pubblicato del 1613, benche da una annotazione sul mano-scritto sembra che questo fosse stato consegnato per la stampa gia nel 1597 [3].Essenzialmente, Cataldi ottiene lo sviluppo

√

a2 + r = a+r

2a+ r2a+....

337

338 CAPITOLO 9. L’IRRAZIONALITA DI E DA EULERO A HERMITE

precisando la legge di formazione delle ridotte. Rimandiamo chi fosse interessatoalla serie di articoli [3, 4, 5] dove lo storico della matematica italiano EttoreBortolotti analizza le scoperte di Cataldi e traccia, non senza una punta diorgoglio patrio ferito, la tormentata storia dell’attribuzione della scoperta dellefrazioni continue, diminuendo il ruolo dei matematici dell’antica Grecia.

Per quanto ci riguarda, uno sviluppo parziale di e in frazione continua sitrova per la prima volta nella Logometria di Roger Cotes ma e con Euleroche lo sviluppo in frazioni continue viene utilizzato per rispondere alla domandasul carattere razionale od irrazionale di e. Esponiamo per sommi capi le ideefondamentali sulle frazioni continue presenti in [1] ed al Cap. XVIII del I Librodella Introductio [2]. Anzitutto cosa e per Eulero una frazione continua?Chiamo frazione continua una frazione di questo tipo: con il denominatore com-posto da un numero intero piu una frazione il cui denominatore e di nuovo for-mato da un numero intero e da una frazione che ancora una volta e formata allostesso modo; questo comportamento puo ripetersi all’infinito come arrestarsi adun certo punto.1 (p. 295, Lib. I di [2]; cfr. pp. 99-100 di [1])

Eulero studia due tipi di frazioni continue: nel primo tipo tutti i numeratorifuorche il primo sono pari ad uno, per cui, detto x il valore, se esiste, dellafrazione continua, si ha

x = a+1

b+ 1c+ 1

d+...

(9.1)

dove a, b, c e d sono numeri interi; il secondo tipo di frazione continua e

x = a+α

b+ βc+ γ

d+...

(9.2)

dove anche i numeratori α, β, γ sono numeri interi. Eulero non affrontaproblemi di convergenza e in tutti gli esempi trattati le frazioni sono composteda numeri naturali soltanto. Un primo risultato e la legge generale di formazionedelle somme parziali che si ottengono troncando la frazione continua dopo unnumero finito di passi. Nel caso della frazione (9.2) si verifica con un calcolodiretto che, dopo l’ovvia ridotta iniziale pari ad a, le successive sono

a+α

b=ab+ α

b,

a+α

b+ βc

=abc+ βa+ αc

bc+ β,

a+α

b+ βc+γ

d

=abcd+ βad+ αcd+ γab+ αγ

bcd+ βd+ γb

da cui Eulero trae la seguente regola di formazione delle ridotte, basata suquesto schema:

1Fractionem autem continuam voco ejusmodi fractionem, cujus denominator constat exnumero integro cum fractione, cujus denominator denuo est aggregatum ex integro & fractione,quae porro simili modo sit comparata, sive ista affectio in infinitum progrediatur sive alicubisistatur.

9.1. EULERO E L’IRRAZIONALITA DI E 339

Ciascuna di queste frazioni si trovera a partire dalla coppia di frazioni precedentiin questo modo

a b c d e10

a1

ab+αb

abc+βa+αcbc+β

abcd+βad+αcd+γab+αγbcd+βd+γb

α β γ δ ε

§361. Vale a dire, sopra le frazioni da formare si scrivano gli indici a, b, c,d, ecc. mentre al di sotto si scrivano gli indici α, β, γ, δ, ecc. Se si ponecome prima frazione 1

0 , come seconda a1 , allora una qualsiasi delle frazioni suc-

cessive si formera se il numeratore della frazione immediatamente precedenteviene moltiplicato per l’indice soprastante, quello della penultima frazione perl’indice sottostante ed i due prodotti sono sommati tra loro: la somma sara allo-ra il numeratore della frazione di posto successivo: similmente il denominatoredi quest’ultima sara la somma del prodotto dell’ultimo numeratore per l’indicesovrastante e del prodotto tra il penultimo denominatore e l’indice sottostante.2(p. 298 Lib. I di [2], cfr. pp. 103-104 di [1])

La frazione formale 10 e inserita per rendere generale la regola di formazione

delle ridotte. L’ossrvazione successiva di Eulero riguarda il rapporto tra ilvalore vero x della frazione continua (9.2) e le somme parziali ottenute pertroncamento.

E anche evidente come ottenere un valore prossimo a quello vero, se si in-terrompe la frazione continua da qualche parte e come ottenere un valore piuvicino al vero di quello trovato procedendo con una frazione piu lunga. Cosı sesi prende solo a si avra un valore minore di quello vero, dal momento che lafrazione annessa viene trascurata. Se invece si prende a + α

b si avra un valoremaggiore di quello vero perche il denominatore nella frazione e minore di quel-lo corretto b. Se poi si prende a + α

b+ βc

si avra di nuovo un valore minore di

quello corretto a causa della frazione βc che rende il denominatore b+ β

c troppogrande. E in questo modo, interrompendo successivamente la frazione continua,si otterranno alternativamente valori maggiori o minori di quello corretto; daqui segue la possibilita di avvicinarsi quanto si vuole al valore vero della frazionecontinua.3(p.102 di [1])

2...quarum fractionum quaeque ex binis praecedentibus sequentem in modum invenietur

a b c d e10

a1

ab+αb

abc+βa+αcbc+β

abcd+βad+αcd+γab+αγbcd+βd+γb

α β γ δ ε

§361. Fractionibus scilicet formandis supra inscribantur indices a, b, c, d, &c., infra autemsubscribantur indices α, β, γ, δ, &c. Prima fractio constituatur 1

0, secunda a

1, tum sequentium

quaevis formabitur si antecedentium ultimae numerator per indicem supra scriptum, penul-timae vero numerator per indicem infra scriptur multiplicetur & ambo producta addantur,aggregatum erit numerator fractionis sequentis: simili modo ejus denominator erit aggrega-tum ex ultimo denominatore per indicem supra scriptum, & ex penultimo denominatore perindicem infra scriptum multiplicatis.

3Apparet autem valorem vero propinquum obtineri, si fractio continua alicubi abrumpatur,atque eo propriorem valorem inventum iri, quo longius fractio continuetur. Ita sumendo tan-


Il processo di approssimazioni successive funziona se e nota la convergenza dellosviluppo in frazione continua, come Eulero sembra dare per scontato.

Fatte queste precisazioni di indole generale e bene soffermarsi sul motivoper cui le frazioni continue sono piu adatte degli sviluppi in serie o dei prodotticontinui per svelare l’irrazionalita di un numero. Dalla legge di formazione delleridotte e possibile associare ad una frazione continua troncata una frazione ordi-naria del tipo A/B. Al contrario, Eulero mostra come associare alla frazioneordinaria A/B una frazione continua che, grazie all’algoritmo euclideo della di-visione, deve terminare dopo un numero finito di passi. Resta cosı mostrato ilfatto che un numero e razionale se e solo se il suo sviluppo in frazione continua siarresta dopo un numero finito di passi e dunque che l’esistenza di uno sviluppodi un quoziente in una frazione continua che non si arresta mai diventa criteriodi irrazionalita per quel quoziente.

§381Affinche poi si mostri l’uso (delle frazioni continue) in aritmetica, oc-corre anzitutto osservare che ogni frazione ordinaria si puo trasformare in unafrazione continua. Sia infatti x = A

B la frazione proposta, con A > B; si dividaA per B e siano a il quoto e C il resto; si divida allora per questo resto C ildivisore precedente B ottenendo un quoto b ed un resto D per il quale vienenuovamente diviso il divisore precedente C; dunque si continui finche non ter-mina questa operazione che comunemente viene studiata per trovare il massimocomun divisore dei numeri A e B; (...) e si avra, per le proprieta della divisione

A = aB + C da cuiA

B= a+

C

B;

B = bC +D; BC = b+ D

C ; CB = 1

b+DC

C = cD + E; CD = c+ E

D ; DC = 1

c+ED

D = dE + F ; DE = d+ F

E ; ED = 1

d+FE

ecc. ecc. ecc.

da cui, sostituendo i valori successivi nei precedenti, si avra

x =A

B= a+

C

B= a+

1

b+ DC

= a+1

b+ 1ED

,

da cui e possibile esprimere x solo grazie ai quoti a, b, c, d, ecc., nel modoseguente

x = a+1

b+ 1c+ 1

d+ 1

e+ 1f+ecc.

.

tum a habebitur valor minor vero, cum annexa fractio tota negligatur. Sumendo autema+ α

b, valor habebit maior vero, quia in fractione denominator b est iusto minor. Sin autem

sumatur a + α

b+ βc

habebitur iterum valor iusto minor ob fractionem βc, indeque denomina-

torem b + βc

nimis magnum. Atque hoc modo fractionem continuam successive abrumpendoalternative valores iusto maiores et minores prodibunt; unde quantumvis prope ad verumfractionis continuae valorem accedere licebit.


4(pp. 315-317 di [2], Lib. I)Quando Eulero enuncia questa proprieta nella Introductio egli ha gia trova-

to il valore di alcune famiglie di frazioni continue di tipo (9.1) in cui i denomi-natori hanno una struttura periodica come

x =1

a+ 1a+ 1

a+ 1a+&c.

per cui si puo concludere che x e la radice positiva dell’equazione

x =1

a+ x

ovvero x = −a2 +

12

√a2 + 4: prendendo, ad esempio, a = 1 od a = 2 si ottengono

gli sviluppi √5− 1

2=

1

1 + 11+ 1

1+ 11+&c.

e √2− 1 =

1

2 + 12+ 1

2+ 12+&c.

i quali, piu che ribadire l’irrazionalita di√2 e

√5, permettono di trovare facil-

mente delle loro approssimazioni razionali, grazie alla legge generale di for-mazione delle ridotte discusse in precedenza. Ad esempio,

√5 = 2 305

1292 con unerrore minore di 1

1292×5473 (cfr. p. 313 di [2]).

4§381 Ut autem usus in arithmetica ostendatur, primum notandum est omnem fractionemordinariam in fractionem continuam converti posse. Sit enim proposita fractio x = A

B; in qua

sit A > B; dividatur A per B, sitque quotus = a & residuum C; tum per hoc residuum C divi-datur praecedens divisor B, prodeatque quotus b & relinquatur residuum D, per quod denuopraecedens divisor C dividatur; sicque haec operatio, quae vulgo ad maximum communemdivisorem numerorum A & B investigandum usurpari solet, continuetur, donec ipsa finiatur;(...) eritque per naturam divisionis

A = aB + C undeA

B= a+

C

B;

B = bC +D; BC

= b+ DC; C

B= 1

b+DC

C = cD + E; CD

= c+ ED; D

C= 1

c+ ED

D = dE + F ; DE

= d+ FE; E

D= 1

d+FE

&c. &c. &c.

hinc, sequentes valores in praecedentibus substituendo, erit

x =A

B= a +

C

B= a+

1

b+ DC

= a+1

b+ 1ED

,

unde tandem x per meros quotos inventos a, b, c, d, &c., sequentem in modum exprimetur,ut sit

x = a+1

b+ 1c+ 1

d+ 1e+ 1

f+&c.

.


Per esemplificare l’uso dell’algoritmo euclideo Eulero considera l’approssi-mazione di e−1

2 = 0, 8591409142295 = 859140914229510000000000000 ricavando

e− 1

2=

1

1 + 16+ 1

10+ 1

14+ 1

18+ 1

22+ 1&c.

da cui appare come plausibile che la frazione continua non debba mai terminare,dal momento che i denominatori a partire dal 6 formano una progressione ar-itmetica crescente di ragione 4. Cio dimostrerebbe che e e irrazionale tuttavia,poiche l’algoritmo euclideo si basa su una approssimazione di e, Eulero e con-sapevole che l’argomento non e conclusivo. Nella Introductio, una volta ottenutolo sviluppo per e−1

2 , Eulero nota soltanto

(...) il comportamento di questa frazione puo essere ricavato dal calcolo in-finitesimale.5 (p. 319, Cap. XVIII, Lib. I di [2])

I dettagli di questa deduzione si trovano nella seconda parte di [1] ed ap-paiono del tutto scorrelati con il materiale sulle frazioni continue discusso inprecedenza:

Anche se nei precedenti (articoli), trasformato in frazione continua il numero eil cui logaritmo e uguale ad 1, ho osservato soltanto una progressione aritmeti-ca dei denominatori, non sono riuscito a comprendere la necessita di un similesviluppo, se non che fosse piu probabile, ne sono riuscito a dimostrare salda-mente questo fatto. Ed ho ottenuto questo fortunatamente grazie ad un modo

particolare con cui ridussi l’integrazione dell’equazione ady + y2dx = x−4n2n+1dx

all’integrazione di adq + q2dp− dp.6(p. 129 di [1])

La prima sorpresa e nel fatto che sino a quel punto Eulero ha parlato disviluppi di numeri in frazioni continue mentre qui, come vedremo tra poco,egli considera lo sviluppo in frazione continua di una funzione che risolve un’e-quazione differenziale riconducibile ad un’equazione di Riccati. Non sappiamocome Eulero sia stato condotto su questa strada per giustificare la strutturadello sviluppo in frazione continua di e, tuttavia egli ha lasciato i dettagli delladimostrazione nei §§31-35 di [1] che ora riassumiamo. Al §31 Eulero si poneil problema di trovare il valore s di una frazione continua di tipo (9.1) in cui idenominatori formano una progressione aritmetica. Posto allora

s = a+1

(1 + n)a+ 1(1+2n)a+ 1

(1+3n)a+ 1

(1+4n)a+ 1ect.

5(...) cujus fractionis ratio ex calculo infinitesimali dari potest.6Cum autem in praecedentibus, ubi numerum e cujus logarithmus est = 1, ejusque potes-

tates in fractiones continuas converti, progressionem arithmeticam denominatorum tantumobservaverim, neque praeter probabilitatem de huius progressionis necessitatem inquirerem,eamque firmiter demonstrarem. Hocque etiam feliciter sum consecutus ex peculiari modo,

quo integrationem huius aequationis ady + y2dx = x−4n2n+1 dx reduxi ad integrationem huius

adq + q2dp − dp.


e dedotta la legge di formazione delle ridotte secondo lo schema gia discusso,dopo alcune manipolazioni egli riesce a riscrivere s come

a+ 11·na + 1

1·2(1+n)n2a3+ 11·2·3(1+n)(1+2n)n3a5 +etc.

1 + 11(1+n)na2 + 1

1·2(1+n)(1+2n)n2a4 + 11·2·3(1+n)(1+2n)(1+3n)n3a6+etc.

.

Inizia a questo punto una serie di cambiamenti di variabile. Eulero poneanzitutto a := 1√

nzcosicche si abbia

s =1√nz

1 + z1·1 + z2

1·2(1+n) +z3

1·2·3(1+n)(1+2n) + etc.

1 + z1(1+n) +

z2

1·2(1+n)(1+2n) +z3

1·2·3(1+n)(1+2n)(1+3n) + etc.

In seguito egli chiama t ed u il numeratore ed il denominatore della frazioneprecedente in modo che s = t

u√nz

e dall’esame delle serie che definiscono t ed u

ricava dt = udz e udz+nzdu = tdz. Posto poi t = vu, cosicche s = v√nz

ottiene

vdu+ udv = udz e udz + nzdu = uvdz da cui ricava

du

u=

dz − dv

v=vdz − dz

nz

da cui discende l’equazione che lega z e v, nzdv− vdz + v2dz = nzdz che a suavolta si trasforma in

dq + q2dr = nrn−2dr, (9.3)

se si ha cura di porre v = z1n q e z = rn. Da questa equazione risolta per

ottenere q in termini di r, posto r = n− 1n a

−2n , si ricava che s = aqr. Il problema

di determinare s e cosı trasformato in quello di risolvere (9.3) con le condizionis = ∞ se a = ∞ ed s = 1 quando a = 0. Per n = 2, la (9.3) si riduce a

dq + q2dr = 2dr,

che puo essere integrata ottenendo, coerentemente con le condizioni iniziali scelte

r =1

2√2l

(

q +√2

q −√2

)

da cui si ricava, visto che s = arq, s = e2a +1

e2a −1

: preso a = 2 si ottiene la prova che

e e un numero irrazionale.Un ultimo aspetto della teoria delle frazioni continue che si lega all’irrazion-

alita di e e il loro legame con le serie a segni alterni che viene esaminato indettaglio da Eulero sia in [1] (§§8-10) che in [2] (Cap. XVIII, Lib. I, §§363-374), dove sono discussi molti esempi. Riferendosi allo specchietto contenentele prime ridotte di una frazione continua del tipo (9.2) Eulero, scartata lafrazione formale 1

0 , osserva che la differenza tra la seconda e la terza ridotta e αb

mentre sottraendo la quarta dalla terza ridotta si ottiene αβb(bc+β) e sottraendo la


quarta dalla quinta ridotta si resta con αβγ(bc+β)(bcd+βd+γ) da cui si puo estrapolare

la legge di formazione di tali differenze. Se x e il valore della frazione continua(9.2), Eulero puo scrivere che

x = a+α

b− αβ

b(bc+ β)+

αβγ

(bc+ β)(bcd+ βd+ γ)− ecc. (9.4)

associando ad x, o meglio ad x−a, una serie a segni alterni. Quel che piu inter-essa ad Eulero pero e la corrispondenza inversa in cui, assegnata una serie asegni alterni, si determina la corrispondente frazione continua. Questo problemae affrontato esibendo per certe serie a segni alterni con una precisa struttura lalegge di formazione delle ridotte della corrispondente frazione continua di tipo(9.2). Dopo aver considerato serie del tipo

x = A−B + C −D + E − ....

che pero sono puramente formali dal momento che i termini sono numeri in-teri per cui non puo esserci convergenza alcuna—ed infatti Eulero non dis-cute alcun esempio numerico al riguardo—egli esamina serie formate da numerifrazionari del tipo

x =1

A− 1

B+

1

C− 1

D+

1

E− ....

ed illustra la corrispondenza con le frazioni continue per il caso particolare incui A = 1, B = 2, C = 3,..., in modo da avere la serie di Mercator

1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− ....

la cui somma x = l(2) ammette lo sviluppo

l(2) =1

1 + 11+ 4

1+ 9

1+ 161+ 25

1+ecc.

che non puo mai arrestarsi dimostrando che l(2) e irrazionale come noto gia daBriggs. Eulero non dice nulla su questo risultato e sembra piu interessatoad ottenere un efficace mezzo di approssimazione di quantita irrazionali tramitequantita razionali, che non a dimostrare l’irrazionalita di un dato numero. Cioche piu sorprende e la serie studiata al §370 dove

x =1

A− 1

AB+

1

ABC− 1

ABCD+

1

ABCDE− ....

che, confrontata termine a termine con lo sviluppo (9.4) dove si sia posto a =0, fornisce le seguenti relazioni tra numeratori e denominatori della frazionecontinua associata

α =b

A; β =

bc

B − 1; γ =

Bcd

(B − 1)(C − 1);

9.2. LAMBERT E L’IRRAZIONALITA DI E 345

δ =Cde

(C − 1)(D − 1); ε =

Def

(D − 1)(E − 1);

dove ad ogni passaggio successivo al primo si utilizzano i risultati dei passiprecedenti in modo da far comparire in ogni equazione un solo numeratore.

La legge di formazione dei numeratori e ben delineata e, scelti

b = A segue che α = 1

c = B − 1 segue che β = A

d = C − 1 segue che γ = B

e = D − 1 segue che δ = C

f = E − 1 segue che ε = D

e cosı via ottenendo lo sviluppo

x =1

A+ AB−1+ B

C−1+ C

D−1+ DE−1+&c.

Il primo esempio e la serie

1

e= 1− 1

1+

1

1 · 2 − 1

1 · 2 · 3 +1

1 · 2 · 3 · 4 − ....

da cui si ottiene che 1− 1e cade nella classe appena descritta con A = 1, B = 2,

C = 3, e cosı via per cui si ottiene lo sviluppo

1− 1

e=

1

1 + 11+ 2

2+ 33+ 4

4+ 55+&c.

che chiaramente non si arresta mai. Completando con un procedimento di in-duzione i dettagli si poteva concludere da qui l’irrazionalita di e. Al contrarioEulero non commenta questo risultato, forse perche l’algoritmo euclideo de-scritto in precedenza per far passare da una frazione ordinaria ad una frazionecontinua finita comporta che i numeratori siano tutti uguali all’unita o forse soloperche si riteneva sodisfatto della dimostrazione data ricorrendo all’equazionedi Riccati.

9.2 Lambert e l’irrazionalita di e

La prossima dimostrazione che esaminiamo e dovuta a Johann Heinrich Lam-bert (1728-1777), scienziato nativo di Mulhouse, autodidatta, che occupo unaposizione di primo piano nel panorama scientifico, non solo matematico. A luisi debbono importanti contributi anche in cosmologia, nel calcolo delle proba-bilita, nella meccanica celeste, nella geometria non euclidea e, per quello che ci


riguarda, nella teoria dei numeri dove egli mostro l’irrazionalita di π e, come im-mediato corollario, quella di e. Nel prossimo capitolo dedicheremo nuovamentespazio a Lambert come ad uno degli artefici della trigonometria iperbolica.

La dimostrazione dell’irrazionalita di π e in realta a sua volta un corollariopressoche immediato di un altro teorema la cui dimostrazione occupa buonaparte di una corposa memoria [6] pubblicata nel 1768 tra le Memorie dell’Ac-cademia delle Scienze di Berlino ma letta nel 1767 e gia agli atti sin dal 1761.Precisamente Lambert dimostra questo risultato:

Occorre dimostrare che ogni volta che un arco di cerchio qualsiasi e commensu-rabile al raggio, la sua tangente e incommensurabile e, reciprocamente, che ognitangente commensurabile non e affatto quella di un arco commensurabile.7 (pp.266-267 di [6])

Osserviamo dapprima che l’arco non deve essere quello nullo e che l’avver-bio reciprocamente non significa una doppia implicazione del tipo: un arco dicerchio e commensurabile al raggio se e solo se la sua tangente trigonometri-ca e incommensurabile, risultato falso come prova l’arco di ampiezza π

3 . Taleavverbio introduce solo la proposizione contronominale della prima parte delteorema, cioe e del tipo “non tesi implica non ipotesi”.

Lambert considera un cerchio di raggio unitario e poiche

tan v =sin v

cos v

puo scrivere

tan v =v − 1

3!v3 + 1

5!v5 − ....

1− 12!v

2 + 14!v

4 − .....

Posto per brevita A = sin v e B = cos v egli utilizza l’algoritmo euclideo pergenerare una frazione continua. Posto

B = Q′A+R′ A = Q′′R′ +R′′ R′ = Q′′′R′′ +Q′′′, ecc.

egli determina la legge generale di formazione dei quozienti Q′, Q′′, dimostrandoche

Q(n) = ±2n− 1

vdove il segno positivo compete ai valori dispari di n mentre il segno negativoai valori pari di n; inoltre e in grado di dimostrare che i resti delle divisionisuccessive R(n) hanno una struttura ben precisa. Per motivi legati alla tecnicadi dimostrazione egli espone i primi termini dei primi resti

R′ = − 2

2 · 3v2 +

4

2 · 3 · 4 · 5v4 − 6

2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7v6 +&c.

R′′ = − 2 · 42 · 3 · 4 · 5v

3 +4 · 6

2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7v5 − 6 · 8

2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9v7 +&c.

7Il s’agit de faire voir, que toutes les fois qu’un arc de cercle quelconque est commensurableau rayon, la tangent de cet arc est incommensurable; & que reciproquement, toute tangentecommensurable n’est point celle d’un arc commensurable.


R′′′ = +2 · 4 · 62 · · · 7 v

4 +4 · 6 · 82 · · · 9 v

6 − 6 · 8 · 102 · · · 11 v

8 +&c.

e

Riv = +2 · 4 · 6 · 82 · · · 9 v5 +

4 · 6 · 8 · 102 · · · 11 v7 − 6 · 8 · 10 · 12

2 · · · 13 v9 +&c.,

dove si puo osservare l’alternanza dei segni del termine iniziale di ogni restoche segue lo schema quaternario − − ++.

Altrettanto importante e dedurre la struttura del termine di posto m nellosviluppo di R(n). Egli osserva (§11, p. 271 di [6]) che il termine m-esimo di R(n)

ed il termine m-esimo di R(n+1) sono dati, rispettivamente, da

±R(n)m = −2n+m−1[m · (m+ 1) · (m+ 2) · · · (m+ n− 1)]vn+2m−1

(2n+ 2m− 1)!

e

±R(n+1)m = −2n+m[m · (m+ 1) · (m+ 2) · · · (m+ n)]vn+2m

(2n+ 2m+ 1)!

mentre il termine (m− 1)-esimo dello sviluppo del resto R(n+2) e

±R(n+2)(m−1) = −2n+m+1[(m− 1) ·m · (m+ 1) · (m+ 2) · · · (m+ n)]vn+2m−1

(2n+ 2m+ 1)!

L’osservazione centrale di Lambert e che, in virtu dell’algoritmo euclideo in-trodotto, il resto R(n+2) e il resto della divisione di R(n) per R(n+1). Grazie acio, la dimostrazione avviene per induzione

Ora, per dimostrare questi teoremi nel modo piu breve possibile, consideriamoche ogni resto Rn+2 si ottiene dividendo il penultimo resto Rn per Rn+1 cheprecede immediatamente il resto (Rn+2). Questa considerazione fa sı che ladimostrazione in questione possa essere suddivisa in due parti. Nella primaoccore mostrare che, se due resti successivi Rn ed Rn+1 hanno la forma che hodato loro, allora il resto Rn+2 che segue immediatamente ha anch’esso la formaassegnata. Dimostrato questo non resta altro che far vedere come i primi dueresti abbiano la forma che debbono avere. In questo modo, e chiaro che la formadei resti successivi si determina automaticamente.8 (pp. 270-271 di [6]).

Per raggiungere questo obiettivo, Lambert determina il quoziente Q(n+2)

dividendo il primo termine del resto R(n) per il primo termine del resto R(n+1)

8Or pout donner a la demonstration de ces theoremes toute la brievite possible, con-siderons que chaque residu Rn+2 se trouve en divisant par le residu Rn+1, qui le precedeimmediatement, l’antepenultieme Rn. Cette consideration fait, que la demonstration, dontil s’agit peut etre partagee en deux parties. Dans la premiere il faut faire voir que; si deuxresidus Rn et Rn+1, qui se succedent immediatement, ont la forme que je leur donnee, leresidu Rn+2, qui suit immediatement, aura la meme forme. Ce qui etant une fois demonstre,il ne reste plus que de faire voir, dans la seconde partie de la demonstration, que la forme dedeux premiers residus est celle qu’ils doivent avoir. Car, de cette maniere, il est evident quela forme de tous les suivans s’etablit comme d’ell-meme.


ricavando, come gia enunciato, Q(n+2) = (2n+3)/v. Con un calcolo diretto eglimostra che, qualunque sia m,

R(n)m − (2n+ 3)

vR(n+1)

m = R(n+2)m−1

come si verifica sostituendo le espressioni dei termini R(n)m riprodotte in prece-

denza. Resta cosı provato che, se R(n) ed R(n+1) hanno la struttura ipotizzataallora anche R(n+2) ha la stessa struttura. Con un procedimento simile, Lam-bert dimostra che i primi due resti R′ ed R′′ hanno la struttura ipotizzata,chiudendo l’induzione. La conoscenza dei resti e importante perche permettedi dimostrare che la frazione continua non si arresta dopo un numero finito dipassi e che, quando n→ ∞, R(n) → 0. E allora permesso concludere che

tan v =1

1 : v − 13:v− 1

5:v− 1

7:v− 19:v− 1

11:v−ecc.

(9.5)

...da cui si vede allo stesso tempo che, quando v e uguale ad una aliquota del rag-gio, i quozienti saranno numeri interi che crescono seguendo una progressionearitmetica.9 (p. 275 di [6])

Per aliquota del raggio si deve intendere che v = 1n , con n intero cosicche

i quozienti che figurano nello sviluppo in frazione continua sono tutti numeriinteri, come richiesto dall’algoritmo di euclideo di divisione.

In altri termini, Lambert ha supposto per assurdo di poter scrivere tan v =AB quando v e il reciproco di un intero: se cio fosse vero, occorrerebbe arrestareil procedimento ad un certo punto, quando si annulla necessariamente un resto.L’assenza di arresto implica che non ci sia alcun massimo divisore comune traA e B, risultato incompatibile con la razionalita di tan v.

Il problema proposto da Euclide e quello di trovare il piu grande divisore comunedi due numeri interi che non siano primi tra loro. Questo problema e risolubiletutte le volte che uno dei resti R′, R′′, R′′′ &c....Rn si annulla senza che ilresto precedente Rn−1 sia uguale all’unita, cio che non succede, seguendo la 1a

Prop. dello stesso libro, se non quando i due numeri sono primi tra loro, fermorestando che i quozienti Q′, Q′′, Q′′′ &c. siano sempre numeri interi. Ora,abbiamo appena visto che quest’ultima ipotesi e verificata nel caso che stiamotrattando ogni volta che 1

v e un numero intero. Tuttavia, non vi e alcuno deiresti R′, R′′, R′′′ &c. che si annulli. Al contrario, considerando la legge di for-mazione dei resti che abbiamo trovato si vede che non solo questi diminuisconocostantemente ma che lo fanno piu rapidamente di una qualsiasi progressionegeometrica. Benche dunque cio vada avanti all’infinito, noi potremo applicarecomunque la proposizione di Euclide in virtu della quale il piu grande divisorecomune di A, B e al tempo stesso i piu grande divisore comune di tutti i resti

9...d’ou l’on voit en meme tems, que toutes les fois que l’arc v sera egal a une partiealiquote du rayon, tous ces quotiens seront des nombers entiers croissant dans une progressionarithmetique.


R′, R′′, R′′′ &c. Ora, siccome tali resti diminuiscono in modo da diventare piupiccoli di qualunque quantita assegnabile, ne segue che il massimo comun divi-sore tra A e B e piu piccolo di qualsiasi quantita assegnabile, il che vuol dire cheesso non esiste affatto e che dunque, essendo A, B quantita incommensurabili,la

tang v =A

B

sara una quantita irrazionale ogni volta che l’arco v e una aliquota del raggio.10

(pp. 275-276 di [6])Prima di passare a chiudere la dimostrazione nel caso in cui v = ϕ : ω,

con ϕ ed ω interi qualsiasi, Lambert dedica ampio spazio alla dimostrazionedella convergenza effettiva dello sviluppo (9.5) a tan v, ponendo w = 1/v edottenendo la legge generale di formazione delle ridotte. In questa dimostrazioneegli non utilizza la proprieta di v di essere reciproco di un intero e grazie a questorisultato generale di convergenza egli intende dimostrare che, posto tan ϕ

ω = MP ,

e impossibile che M e P stiano tra loro come un numero intero sta ad un altronumero intero. Per questo, riscritto (9.5) come

tan(ϕ

ω

)

=ϕ

ω − ϕ2

3ω− ϕ2

5ω−ϕ2

7ω−ϕ2

9ω...

egli nota che M/P , sviluppato in frazione continua, dovra dare gli stessi quozi-enti di tan ϕ

ω , se si vuole che sussista l’uguaglianza. Senza supporre M o Prazionali, se tan ϕ

ω fosse razionale dovrebbero esistere due interi µ e π tali cheM : µ = P : π = D, dove D e il massimo comun divisore di M e P e che,siccome M e P sono in generale irrazionali, potra anch’esso essere irrazionale.Per poter utilizzare l’algoritmo euclideo occorre garantire ad ogni passo che i

10Le probleme que propose Euclide, c’est de trouver le plus grand commun diviseur dedeux mombres entiers, qui ne sont pas premiers entre eux. Ce probleme est resoluble toutesles fois qu’un des residus R′, R′′, R′′′ &c....Rn devient = 0, sans que le residu precedentRn−1 soit egal a l’unite, ce qui suivant, la 1re Prop. du meme livre n’arrive que lorsqueles deux nombres proposes sont premiers entre eux, bien entendu que tous les quotients Q′,Q′′, Q′′′ &c. sont supposes etre des nombres entiers. Or nous venons de voir, que cettederniere supposition a lieu dans le cas dont il s’agit ici, toutes les fois que 1

vest un nombre

entier. Mais, quant aux residus R′, R′′, R′′′ &c. il n’y a aucun qui devienne = 0. Toutau contraire, en considerant la loi de progression des residus que nous venons de trouver, onvoit, que non seulement ils decroissent sans interruption, mais qu’ils decroissent meme plusfortement qu’aucune progression geometrique. Quoique donc cela continue a l’infini, nouspourrons neanmoins y appliquer la proposition d’Euclide. Car, en vertu de cette proposition,le plus grand commun diviseur de A, B est en meme tems le plus grand diviseur de tous lesresidus R′, R′′, R′′′ &c. Or ces residus decroissant en sorte qu’enfin ils deviennent plus petitsqu’aucune quantite assignable, il s’ensuit que le plus grand commun diviseur de A, B, est pluspetit qu’aucun quantite assignable; ce qui veut dire qu’il n’y en a point, & que par consequentA, B, etant des quantites incommensurables, la

tang v =A

B

sera une quantite irrationelle toutes les fois que l’arc v sera une partie aliquote du rayon.


quozienti siano numeri interi e per questo Lambert divide ϕP per M in mododa ottenere

ϕP = ωM +R′

e dunque, dividendo ambo i membri per D,

ϕP

D=ωM

D+R′

D

da cui segueR′

D= ϕπ − ωµ

cioe un numero intero, il che significa che D divide R′. Iterando il procedimento,Lambert mostra come tutti i resti R(n) siano divisibili per D. Siccome eglimostra anche come R(n) tenda a 0 quando n tende all’infinito, anche D deveannullarsi il che e incompatibile con la presunta razionalita del rapporto A/B.L’irrazionalita di π discende allora come un semplice corollario:

Ora, siccome la tangente di 45 e razionale, dal momento che e uguale al raggio,ne segue che l’arco di 45, & dunque anche l’arco di 90, 180, 360 gradi, eincommensurabile al raggio. Dunque la circonferenza del cerchio non sta al suodiametro come un intero sta ad un altro intero. Ecco dunque questo teoremanella forma di corollario di un altro teorema infinitamente piu universale.11

(pp.296-297 di [6])Da qui all’irrazionalita della base dei logaritmi neperiani il passo e breve e

si riduce ad osservare l’analogia formale tra gli sviluppi in serie di sin v e cos v

con quelli di ev−e−v

2 e ev+e−v

2 .

Testo 9.1 (Lambert,) (pp. 306-308 di [6]). Originale 9.1.Confrontiamo ora le quantita trascendenti circolare con quelle logaritmiche

che ne sono analoghe. Sia e il numero il cui logaritmo iperbolico e = 1. E notoche se tutti i segni nelle due serie di cui ci siamo serviti in precedenza,

sin v = v − 1

3!v3 +

1

5!v5 − 1

7!v7 +&c.

cos v = 1− 1

2!v2 +

1

4!v4 − 1

6!v6 +&c.,

sono presi con il segno positivo, tali serie si trasformano in

ev − e−v

2= v +

1

3!v3 +

1

5!v5 +

1

7!v7 +&c.

ev + e−v

2= 1 +

1

2!v2 +

1

4!v4 +

1

6!v6 +&c.

11Or la tangente de 45 etant rationelle, en ce qu’elle est egal au rayon, il s’ensuit que l’arcde 45 degres, & partant auss il’arc de 90, 180, 360 degres, est incommensurable au rayon.Donc la circonference du cercle n’est point au diametre comme un nombre entier a un nombreentier. Voila donc ce theoreme en forme de corollaire d’un autre theoreme infiniment plusuniversel.

9.3. LIOUVILLE E L’IRRAZIONALITA DI E 351

Ora, trattando queste ultime serie allo stesso modo in cui abbiamo trattatole prime due, l’operazione non differira che per dei segni che ora saranno tut-ti positivi. Siccome e possibile convincersi di cio, non ne riperto il dettaglio.Dunque sara

ev − e−v

ev + e−v=

1

1 : v + 13:v+ 1

5:v+ 1

7:v+ 1

9:v+ 1

11:v+ 113:v+&c.

E siccome eev − e−v

ev + e−v=

e2v − 1

e2v + 1

si vede che, posto 2v = x, si avra

ex − 1

ex + 1=

1

2 : x+ 16:x+ 1

10:x+ 114:x+ 1

18:v+&c.

da cui si ricavaex + 1

2=

1

1− 12:x+ 1

6:x+ 110:x+ 1

14:v+&c.

ovveroex − 1

2=

1

(2 : x) − 1 + 16:x+ 1

10:x+ 1

14:x+ 118:v+&c.

(...) Si trovera qui ancora che v ed ev, cosı come x ed ex non saranno mai simul-taneamente razionali. Pertanto, non ne faro una nuova derivazione. Piuttosto,occorre interpretare le formule che abbiamo appena mostrato.

Questa interpretazione e alla base della trigonometria iperbolica e verraesaminata nel prossimo capitolo.

9.3 Liouville e l’irrazionalita di e

Gli ultimi paragrafi della memoria [6] di Lambert lanciano un ponte versoricerche che culmineranno con le dimostrazioni della trascendenza di e ad operadi Charles Hermite (1822-1901) nel 1873 e di π, ad opera di Carl Louis Ferdi-nand von Lindemann (1852-1939), nel 1882. Lambert, affermando che l’ir-razionalita di π ed e e solo un risultato parziale, dopo aver distinto tra numeriirrazionali radicali od algebrici e quantita trascendenti, enuncia un teorema checrede sia possibile mostrare:

Sembra che tutto cio che ho dimostrato a proposito delle quantita trascendenticircolari e logaritmiche poggi su principı assai piu universali, che pero non sonoancora ben sviluppati. Ecco per ora qualcosa che potra essere utile a dare qualche


idea. Non e sufficiente aver dimostrato l’irrazionalita, cioe l’incommensurabilitacon l’unita, di queste quantita trascendenti. Questa proprieta non le individua.Infatti, a parte le quantita irrazionali che si possono formare per caso e cheproprio per questo non sono affatto di aiuto all’analisi, ve ne sono un’infinitadi altre che vengono chiamate algebriche: tali sono tutte le quantita irrazionaliradicali come

√2,

√3, 3√4,

√(2 +

√3) ecc. e tutte le radici irrazionali di

equazioni algebriche come, ad esempio, quelle di

0 = xx− 4x+ 1 ,

0 = x3 − 5x+ 1 ,

ecc. Chiamero le une e le altre quantita irrazionali radicali ed ecco il teoremache credo possa essere dimostrato.

Affermo dunque che nessuna quantita trascendente circolare e logaritmicapotra essere espressa tramite quantita irrazionali radicali, riferite alla stessaunita, ed in cui non figuri alcuna quantita trascendente. La dimostrazione diquesto teorema sembra dipendere dal fatto che le quantita trascendenti dipendonoda

ex ,

in cui l’esponente e variabile, al contrario delle quantita radicali dove si sup-pongono costanti gli esponenti.12 (pp. 320-321 di [6])

E dunque il ruolo dell’esponente, variabile oppure costante, a determinarela trascendenza di una quantita e ad impedire che essa figuri tra le radici diequazioni algebriche. Vi e un ultimo aspetto che nel lavoro di Lambert che eopportuno sottolineare, cioe il legame tra la trascendenza di π e l’impossibilita direttificare con riga e compasso una circonferenza, dal momento che solo quantitairrazionali radicali possono essere costruite geometricamente.

12Tout ce que je viens de faire voir sur les quantites transendentes circulaires & logarith-miques, paroit etre fonde sur des principes beaucoup plus universels, mais qui ne sont pasencore assez developpes. Voici cependant ce qui pourra servir a donner quelque idee. Il nesuffit pas d’avoir trouve que ces quantites transcendentes sont irrationelles, c’est a dire incom-mensurables a l’unite. Cette propriete n’est leur pas unique. Car, outre qu’il y a des quantitesirrationelles qu’on pourra former au hazard, & qui par la meme ne sont gueres du reffort del’analyse, il y en a encore une infinite d’autres qu’on nomme algebriques: & telles sont toutesles quantites irrationelles radicales, comme

√2,

√3,

√[3]4,

√(2+

√3) &c. & toutes les racines

irrationelles des equations algebriques, comme p. ex. celles des equations

0 = xx− 4x+ 1 ,

0 = x3 − 5x+ 1 ,

&c. Je nommerai les unes et les autres quantites irrationelles radicales, & voici le thoreme,que je crois pouvoir etre demontre.

Je dis donc qu’aucune quantite transcendente circulaire & logarithmique ne sauroit etreexprimee par quelque quantite irrationelle radicale, qui se rapporte a la meme unite. & danslaquelle il n’entre aucune quantite transcendente. Ce theoreme semble devoir etre demontrede ce que les quantites transcendentes dependent de

ex ,

ou l’exposant est variable, au lieu les quantites radicales supposent des exposant constants

9.3. LIOUVILLE E L’IRRAZIONALITA DI E 353

Una volta dimostrato questo teorema in tutta la sua generalita, seguira che non epossibile esprimere la circonferenza di un cerchio con quantita radicali o razionalie non ci sara alcun modo per ottenerla grazie a qualche costruzione geometrica.Infatti, tutto cio che e costruibile geometricamente si riduce a quantita razionalie radicali.13 (pp. 321-322 di [6])

L’esistenza di numeri trascendenti che cioe non possono essere radici di un’e-quazione algebrica a coefficienti interi sara mostrata nel 1840 dal matematicofrancese Joseph Liouville (1809-1882) che trovera infiniti esempi di numeritrascendenti. A proposito del numero e, Liouville mostro come non solo eirrazionale ma che non puo essere radice di alcuna equazione quadratica [7] obiquadratica [8] a coefficienti interi. Questi risultati purono pubblicati in due la-vori molto brevi, uno la continuazione dell’altro, apparsi nel 1840 sul Journal desMathematiques Pures et Appliquees diretto dallo stesso Liouville. Riportiamoil testo completo di [7] che si serve dello sviluppo in serie di e e di e−1.

Testo 9.2 (Liouville) ([7]). Originale 9.2Si dimostra tra gli elementi che il numero e, base dei logaritmi neperiani,

non ha valore razionale. Mi sembra che si debba aggiungere che lo stesso metododimostri anche che e non puo essere radice di un’equazione di secondo gradoa coefficienti razionali, cosicche e impossibile avere ae + b

e = c con a interopositivo e b, c numeri interi, positivi o negativi. In effetti, se si sostituisce inquesta equazione e ed 1

e , cioe e−1, con i loro sviluppi dedotti da quello di ex,

dopo aver moltiplicato ambo i membri per 1 · 2 · 3 · · · n, si dimostra facilmenteche

a

n+ 1

(

1 +1

n+ 2+ ...

)

± b

n+ 1

(

1− 1

n+ 2+ ...

)

= µ

dove µ e un intero. Si puo sempre rendere positivo il fattore

± b

n+ 1;

e sufficiente prendere n pari se b e < 0 ed n dispari se b e > 0; prendendoinoltre n molto grande, l’equazione che abbiamo appena scritto ci condurra adun assurdo. Infatti, essendo il primo membro essenzialmente positivo e moltopiccolo, sara compreso tra 0 ed 1 e non potra essere uguale ad un intero µ.Quindi ecc.

Nella Addition [8] Liouville utilizza una tecnica simile per mostrare comee non possa risolvere un’equazione biquadratica a coefficienti razionali, vale adire che e impossibile trovare interi a > 0, b e c tali che

ae2 + be−2 + c = 0 .

Liouville ha aperto una breccia per mostrare la trascendenza di e che saraottenuta da Hermite poco piu di trent’anni dopo [9].

13Ce theoreme etant une fois demontre dans toute son universalite, il s’ensuivra quela circonference du cercle ne pouvant etre exprimee par quelque quantite radicale, ni parquelque quantite rationelle, il n’y aura pas moien de la determiner par quelque construc-tion geometrique. Car tout ce qu’on peut construire geometriquement revient aux quantiesrationelles & radicales.


9.4 Hermite e l’irrazionalita di e

Non ci addentreremo nella dimostrazione piuttosto articolata trascendenza di ema esporremo una ulteriore dimostrazione elementare dell’irrazionalita di e [10]che Hermite pubblico lo stesso anno del celebre lavoro sulla trascendenza die. La tecnica e per certi aspetti simile a quella di Liouville in quanto poggiaancora sullo sviluppo in serie di ex

ex = 1 +x

1+x2

2!+x3

3!+ ....+

xn

n!+ ....

cui viene associato il polinomio

F (x) = 1 +x

1+x2

2!+x3

3!+ ....+

xn

n!

che e il troncamento al grado n dello sviluppo precedente. Per il momento ne del tutto libero e verra scelto in modo opportuno in seguito. Ora Hermiteosserva che

ex − F (x)

xn+1=

1

(n+ 1)!+

x

(n+ 2)!+ .... =

∞∑

k=0

xk

(n+ k + 1)!(9.6)

e che, derivata n volte la funzione ex

xn+1 = exx−(n+1) rispetto ad x—operazioneindicata da Hermite con Dn

x(·)— si ottiene

Dnx

ex

xn+1=

exΦ(x)

x2n+1

dove Φ(x) e un polinomio di grado n di cui interessa solo il fatto abbia coefficientiinteri. Similmente si puo scrivere

Dnx

F (x)

xn+1=

Φ1(x)

x2n+1

dove ora Φ1(x) e un polinomio i cui coefficienti sono ancora dei numeri interi.Infatti in esso entrano come addendi prodotti del tipo

Dkx(F (x))D

(n−k)x (x−(n+1)) = (−1)n−k

(

1 +x

1+x2

2!+ ....+

xn−k

(n− k)!

)

(n+1)(n+2)···(2n−k)x−(2n+k+1)

e si vede che, moltiplicando e dividendo il membro di destra per n!, tutti i coef-ficienti del polinomio sono coefficienti binomiali, cioe dei numeri interi. D’altraparte se si deriva n volte il membro di destra dell’equazione (9.6) si ricava che

exΦ(x)− Φ1(x)

x2n+1=

∞∑

k=0

(k + 1)(k + 2) · · · (k + n)xk

(k + 2n+ 1)!

che si puo riscrivere utilmente nella forma

exΦ(x)− Φ1(x) =x2n+1

n!

∞∑

k=0

(k + 1)(k + 2) · · · (k + n)xk

(n+ 1)(n+ 2) · · · (k + 2n+ 1):


a patto di prendere n sufficientemente grande e sempre possibile rendere il fat-tore di destra, che per x > 0 fissato e sempre positivo, piccolo quanto si vuole.

Infatti cio e sicuramente vero per il fattore x2n+1

n! mentre riscrivendo

∞∑

k=0

(k + 1)(k + 2) · · · (k + n)xk

(n+ 1)(n+ 2) · · · (k + 2n+ 1)=

∞∑

k=0

(k + n)!

(n+ 1)(n+ 2) · · · (k + 2n+ 1)

xk

k!

si vede che, siccome

(k + n)!

(n+ 1)(n+ 2) · · · (k + 2n+ 1)< 1,

la serie e maggiorata da ex. Ora, se per x intero, e = ba con b ed a interi si

avrebbe

0 < exΦ(x) − Φ1(x) =bΦ(x)− aΦ1(x)

ae la frazione di destra, avendo il numeratore intero per le proprieta dei polinomiΦ(x) e Φ1(x), non potrebbe mai essere inferiore ad 1

a mentre exΦ(x) − Φ1(x)puo essere resa piccola a piacere scegliendo n sufficientemente grande. Da questoassurdo segue l’irrazionalita di ex con x intero qualsiasi.

9.5 Testi Originali

Originale 9.1 [Lambert,] (pp. 306-308 di [6])Comparons maintenant les quantites transcendentes circulaires aux quantites

logarithmiques qui leur sont analogues. Soit e le nombre, dont le logarithmehyperbolique est = 1. Et on sait que si dans les deux suites dont nous sommesservi ci dessus

sin v = v − 1

3!v3 +

1

5!v5 − 1

7!v7 +&c.

cos v = 1− 1

2!v2 +

1

4!v4 − 1

6!v6 +&c.

tous les signes sont pris positifs, ellese se changent en

ev − e−v

2= v +

1

3!v3 +

1

5!v5 +

1

7!v7 +&c.

ev + e−v

2= 1 +

1

2!v2 +

1

4!v4 +

1

6!v6 +&c.

Or, en traitant ces deux dernieres suites de la meme maniere que nous avonstraite les deux premiers l’operation ne differera que dans les signes, qui pour lecas present seront tous positifs. Comme on peut s’en convaincre sans peine, jen’en rapporterai point le detail. Il sera donc

ev − e−v

ev + e−v=

1

1 : v + 13:v+ 1

5:v+ 1

7:v+ 1

9:v+ 1

11:v+ 113:v+&c.


Et comme il estev − e−v

ev + e−v=

e2v − 1

e2v + 1

on voit qu’en faisant 2v = x, on aura

ex − 1

ex + 1=

1

2 : x+ 16:x+ 1

10:x+ 114:x+ 1

18:v+&c.

d’ou l’on tireex + 1

2=

1

1− 12:x+ 1

6:x+ 1

10:x+ 114:v+&c.

ou bienex − 1

2=

1

(2 : x)− 1 + 16:x+ 1

10:x+ 1

14:x+ 118:v+&c.

(...) On trouvera encore ici que v & ev, de meme que x & ex ne seront jamaisdes quantites rationelles en meme tems. Ainsi je ne m’arreterai pas a en faired’eduction reiteree. Il s’agit plutot d’interpreter les formules que nous venonsd’exposer.

Originale 9.2 [Liouville] ([7]).On prouve dans les elements que le nombre e, base des logarithmes neperiens,

n’a pas une valeur rationnelle. On devrait, ce me semble, ajouter que le mememethode prouve aussi que e ne peut pas etre racine d’une equation du seconddegre a coefficients rationneles, en sorte que l’on ne peut pas avoir ae + b

e = c,a etant un entier positif et b, c, des entiers positifs ou negatifs. En effet, si l’onremplace dans cette equation e et 1

e ou e−1 par leurs developpements deduits decelui de ex, puis qu’on multiplie les deux membre par 1 · 2 · 3 · · · n, on trouveraaisement

a

n+ 1

(

1 +1

n+ 2+ ...

)

± b

n+ 1

(

1− 1

n+ 2+ ...

)

= µ

µ etant un entier. On peut toujours faire en sorte que le facteur

± b

n+ 1

soit positif; il suffira de supposer n pair si b est < 0 et n impair si b est > 0;en prenant de plus n tres grand, l’equation que nous venons d’ecrire conduirades lors a une absurdite; car son premier membre etant essentiellement positifet tres petit, sera compris entre 0 et 1, et ne pourra pas etre egal a un entier µ.Donc etc.

Bibliografia

[1] L. Euler: De fractionibus continuis dissertatio. Commentarii AcademiaeScientiarum Petropolitanae 9 (1744), 98-137.

[2] L. Euler: Introductio in Analysin Infinitorum. 2 voll. Lausanne: Bousquet(1748).

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[6] J.H. Lambert: Memoire sur quelques proprietes remarquables des quantitestranscendentes circulaires et logarithmiques. Mem. Acad. Sci. Berlin 17(1768), 265-322.

[7] J. Liouville: Sur l’irrationalite du nombre e = 2, 718...;. Journ. Math. Pureset Appliquees 5 (1840), 192.

[8] J. Liouville: Addition a la note sur l’irrationalite du nombre e. Journ.Math. Pures et Appliquees 5 (1840), 193-194.

[9] C. Hermite: Sur la fonction exponentielle. Comptes Rendus de l’Academiedes Sciences 77 (1873), 18-24, 74-79, 226-233, 285-293. In Œuvres deCharles Hermite publiees sous les auspices de l’Acedemie des Sciences, parEmile Picard, Vol. III. Gauthier-Villars, Paris (1912), pp. 150-181.

[10] C. Hermite: Sur l’irrationalite de la base des logarithmes hyperboliques.Report of the British Association for Advancement of Science, 43th meeting(1873), pp. 22-23. In Œuvres de Charles Hermite publiees sous les auspicesde l’Acedemie des Sciences, par Emile Picard, Vol. III. Gauthier-Villars,Paris (1912), pp. 127-130.

357

358 BIBLIOGRAFIA

Capitolo 10

La trigonometria iperbolica

10.1 La trigonometria iperbolica di Vincenzo Ric-

cati

Abbiamo visto nel Capitolo 5 come i logaritmi siano stati legati alla geometriadell’iperbole a partire da Gregorio di San Vincenzo e Alfonso De Sarasa.D’altra parte la teoria dei logaritmi dei numeri immaginari di Eulero ha trattoprofitto dalla geometria della circonferenza. Le analogie tra queste due coniche,che ad un primo sguardo sembrano le piu dissimili, sono alla base della nascitadella trigonometria iperbolica, ovvero di una trigonometria basata sulle iperboliequilatere le cui proprieta geometriche vengono utilizzate per definire funzionianaloghe alle classiche funzioni circolari seno, coseno e tangente. I primi adaver introdotto la trigonometria iperbolica, indipendentemente l’uno dall’altro,sono padre Vincenzo Riccati (1707-1775), gesuita e figlio del conte JacopoRiccati cui si deve l’omonima equazione differenziale, ed ancora Johann Hein-rich Lambert. Temporalmente, il primo ad aver studiato funzioni trigonomet-riche associate all’iperbole equilatera e Riccati che ne parla nel primo volumedegli Opuscula [2] pubblicati a Bologna nel 1757 mentre Lambert se ner oc-cupa sia nella memoria [1] gia studiata al capitolo precedente e nella successivaObservations Trigonometriques pubblicata nel 1771 [3].

Vedremo i problemi che hanno condotto Lambert ad occuparsi di questoproblema nella prossima sezione mentre qui ci concentriamo sulle motivazionidi Riccati che sono piuttosto originali. Nella prima parte del quarto Opuscoloegli si pose il problema di trovare, almeno per qualche famiglia di equazionialgebriche di grado superiore al quarto, una formula risolutiva. Osserviamoche, quando Riccati pubblico gli Opuscula il teorema di Abel-Ruffini nonera ancora stato dimostrato. In particolare egli cercava quelle equazioni cheammettevano una rappresentazione analitica delle radici analoga alla formulacardanica per le equazioni di terzo grado. Trovate delle famiglie di equazionidi grado via via crescente per cui esisteva una rappresentazione analitica delleraqdici, egli intendeva costruirle geometricamente. Mentre alcune radici erano

359

360 CAPITOLO 10. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA

collegabili alla geometria della circonferenza, come Riccati chiarira in seguito,in altre la presenza di alcuni fattori

√−1 rendeva inutile il ricorso alla circon-

ferenza. E a questo punto che si inserisce lo studio della trigonometria basatasull’iperbole equilatera la cui equazione canonica y2 − x2 = a2 e legata a quel-la di una circonferenza dalla sostituzione formale x 7→

√−1x, come noto gia

a Leibniz e Newton. L’introduzione delle funzioni iperboliche e condottasull’analogia con le funzioni circolari.

Se prendiamo un arco AF qualsiasi di un cerchio di raggio CA e si traccia dalpunto F la normale FD a CA, e noto che il raggio ovvero il semiasse CA si puochiamare seno totale, il segmento FD seno dell’arco AF , ed il segmento CD ilsuo coseno. Poiche pero il settore ACF e equivalente alla meta del rettangolodi lati pari al seno totale ed all’arco AF , segue che il doppio del settore ACFdiviso per il seno totale e uguale all’arco AF . Pertanto FD si puo chiamareseno, CD coseno del doppio del settore diviso per il seno totale.

Per analogia, il seno ed il coseno possono essere trasportati all’iperbole equi-latera. Si tracci l’iperbole equilatera di semiasse CA uguale al raggio del cerchioe si tracci, a partire dal centro C verso un punto F qualsiasi sulla curva, ilsegmento CF e dallo stesso punto F si tracci FD ortogonale all’asse CD. SeCA e detto seno totale iperbolico, FD si potra chiamare seno iperbolico, CDcoseno iperbolico del doppio del settore ACF diviso per il seno totale. Questesono le definizioni dei nomi.1 ([2] p.68, Opusculum Quartum. Pars altera)

Riferendosi al cerchio Riccati osserva dunque che le funzioni trigonomet-riche seno e coseno si possono far corrispondere non solo ad un arco AF o all’an-golo da esso sotteso, ma anche al doppio del settore ACF diviso per il raggio.Cio e conseguenza della proporzionalita, caratteristica della circonferenza manon dell’iperbole equilatera, che l’ampiezza di un arco in radianti, la lunghezzadell’arco e (due volte) l’area del settore circolare sono proporzionali. Quandointroduce le analoghe funzioni iperboliche, la sola associazione che viene fatta econ il (doppio del) settore iperbolico ACF . Grazie alle proprieta logaritmichedelle aree di tali settori che Riccati mostra subito dopo e possibile costruireuna trigonometria iperbolica il cui requisito principale e quello di avere regoleefficaci di somma e sottrazione delle funzioni trigonometriche appena definite.

Non e pero tanto semplice in pratica moltiplicare e dividere settori iperboliciquanto lo e per i settori circolari che sono sempre proporzionali agli archi cheli racchiudono. Al tal scopo esponiamo un metodo grazie al quale effettueremo

1Si in circulo, cujus radius CA accipiatur arcus quilibet AF , & ex puncto F demittaturin CA normalis FD, notum est, radium, seu semiaxem CA appellari sinum totum, rectamFD sinum arcus AF , & interceptam CD ejus cosinum. Quum autem sector ACF aequetdimidium rectanguli ex sinu toto & arcu AF , constat, duplum sectoris ACF divisi per sinumtotum arcui AF esse aequalem. Itaque FD vocari potest sinus, CD cosinus dupli sectorisdivisi per sinum totum.

Per analogiam sinus, & cosinus ex circulo traduci possunt ad hyperbolam aequilateram.Describatur hyperbola aequilatera, cujus semiaxi CA radio circuli sit aequalis, & ex centro Cad punctum quodlibet F in curva positum, agatur recta CF , & ex eodem puncto F demittaturFD in axem CD productum. Si vocetur CA sinus totus hyperbolicus, FD vocari poterit sinushyperbolicus, CD cosinus hyperbolicus dupli sectoris ACF divisi per sinum totum. Hae suntnominum definitiones.

10.1. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA DI VINCENZO RICCATI 361

CA

D

F

Figura 10.1: Le funzioni iperboliche associate al settore ACF sono CD (cosenoiperbolico) e FD (seno iperbolico).

queste operazioni senza difficolta nella pratica. Si tracci dunque l’asintoto CKdell’iperbole che, come e noto, forma un angolo meta di uno retto con l’asseCA e dai punti A ed F si traccino i segmenti AK ed FH, perpendicolari all’as-intoto. Poiche per una proprieta dell’iperbole il rettangolo AKC e equivalenteal rettangolo FHC, anche i triangoli AKC ed FHC lo saranno in quanto cias-cuno meta di quei rettangoli; sottratto dunque il triangolo COK in comune, iltriangolo restante AOC e equivalente al trapezio OKHF. Si aggiunga ad ambole parti il triangolo mistilineo AOF e si otterra che il settore CAF e equivalenteallo spazio iperbolico AKHF.2([2] p.68, Opusculum Quartum. Pars altera)

Questo risultato, che poggia sull’ormai nota equivalenza di tutti i rettangolicon due vertici opposti nel centro e su un punto dell’iperbole, e fondamentaleper il successo della trigonometria iperbolica perche riconduce le formule diaddizione e sottrazione ad operazioni logaritmiche.

Da questa dimostrazione segue chiaramente che i settori iperbolici sono equiv-alenti agli spazi che sono compresi tra AK, una sua parallela, l’asintoto e lacurva; inoltre, le loro somme e differenze sono equivalenti alle somme e alle

2Sed non ita facile est in praxi multiplicae, atque dividere sectores hyperbolicos, que-madmodum circulares qui arcubus circuli, a quibus clauduntur, sunt semper proportionales.Quamobrem methodus aperienda est, qua idipsum per per praxim non difficiliter efficiamus.Agatur assymptoton hyperbolae CK, faciens, ut notum est, cum axe CA angulum semirectum,& ex punctis A, F demittantur in assymptoton AK, FH. Quoniam ex hyperbolae proprietaterect. AKC = rect. FHC, etiam triangulum AKC = triang. FHC: sunt enim haec triangularectangulorum dimidia; ergo dempto communi triangulo COK reliquum erit triang. AOC ae-quale trapezio OKHF. Addatur utrique parti triangulum mixtilineum AOF, & orietur sectorCAF aequalis spatio hyperbolico AKHF.


differenze di questi. Se dunque e noto come moltiplicare e dividere questi spazi,senza fatica si otterranno le regole per i settori iperbolici.

Se sull’asintoto si ha la proporzione CK: CG = CH: CP, e si tracciano leordinate GE, HF, PN, non vi e alcuno che ignori come lo spazio AHGE siaequivalente ad FHPN. Dunque, se si prende una serie di termini in progres-sione geometrica lungo l’asintoto, i corrispondenti spazi crescono secondo unaprogressione aritmetica. Dunque non vi e nulla di piu facile che moltiplicareo dividere, una volta trovate tali quantita proporzionali. Siano dati due spaziAKGE, AKHF e se ne voglia determinare uno solo, equivalente ad entrambi. Si(prenda P in modo che) CK: CG::CH: CP e si tracci l’ordinata PN: lo spaziocercato e AKPN.3([2] pp.68-69, Opusculum Quartum. Pars altera)

Il problema di determinare un’unica porzione iperbolica equivalente a dueregioni parzialmente sovrapposte viene risolto grazie alle proprieta logaritmichedell’iperbole (Fig. 10.2). Preso CP in modo che valga la proporzione CK:CG=CH: CP si ha che la porzione iperbolica FHPN e equivalente alla porzioneAKGE per cuiA(AKPN) = A(AKGE)+A(EGPN) = A(AKGE)+A(EGHF )+A(FHPN) = A(AKGE) + A(AKHF ). In modo analogo Riccati insegna acostruire multipli e sottomultipli di regioni iperboliche. Le proprieta logarit-miche dei settori iperbolici fanno sı che Riccati chiami logaritmi anche talisettori. Ora tutto e pronto per determinare le regole di somma e sottrazioneper i seni e coseni iperbolici.

Osserva un poco quali siano le proprieta del sistema di logaritmi che useremo.Detto CA = r il seno totale si ha CK = r√

2che rappresentera il protonumero,

cioe quel numero il cui logaritmo e = 0. Allora si trova che il valore costantedella sottotangente del sistema e = r, cioe il seno totale. Chiamero analoghiquesti logaritmi quando sono analoghi agli archi circolari.

Osservate queste cose otteniamo le proprieta dei seni e dei coseni (iperbol-ici). Indichero il seno ed il coseno iperbolico con le notazioni Sh e Ch. Comeprima cosa, dati i seni ed i coseni dei due logaritmi φ, π, si richedono il senoed il coseno del logaritmo φ + π. Sia CB = Chφ, BE = Shφ, CD = Chπ,DF = Shπ. Si supponga CM = Chφ+ π, & MN = Shφ+ π. Si prolunghinoBE, DF, MN che intersecano l’asintoto nei punti I, L, Q. Si traccino a par-tire dai punti E, F, N i segmenti EG, FH, NP ortogonali all’asintoto. Poichel’angolo ACK e meta dell’angolo retto sara BI=CB, DL=CD, MQ=CM, da cuiseguira EI = Chφ − Shφ, FL = Chπ − Shπ, NQ = Chφ+ π − Shφ+ π.

3Ex hac demonstratione aperte constat, hyperbolicos sectores aequales esse spatiis, quaecontinentur inter AK, ejusque parallelam, assymptoton, & curvam; & illorum summas, acdifferentias aequales esse summis istorum, ac differentiis. Quare si spatia haec hyperboli-ca noverit moltiplicare, atque dividere, idipsum nullo negotio praestabit etiam in sectoribushyperbolicis.

Si in assymptoto fiant ut CK: CG :: CH: CP, & agantur ordinatae GE, HF, PN, nemo unusest qui nesciat, fore spatium AHGE=FHPN. Quare, si in assymptoto accipiatur series geo-metrice proportionalium, spatia hisce abscissis respondentia crescent in continua arithmeticaproportione. Itaque supposita inventione quantitatum proportionalium nihil facilius est, quampraedicta spatia multiplicare, atque dividere. Sint duo spatia AKGE, AHKF, quibus unicumaequale inveniendum sit. Fac ut CK: CG::CH: CP, & age ordinatam PN, idipsum spatium,quod quaeritur est AKPN.

10.1. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA DI VINCENZO RICCATI 363

Quindi detto CA = r, sara CK = r√2. Nuovamente, GI = Chφ−Shφ√

2, HL =

Chπ−Shπ√2

e PQ = Chφ+π−Shφ+π√2

. Infine CI =√2Chφ, CL =

√2Chπ, e

CQ =√2Chφ+ π. Per questo CG =

√2Chφ− Chφ−Shφ√

2= Chφ+Shφ√

2, CH =

Chπ+Shπ√2

, CP = Chφ+π+Sh φ+π√2

: per quanto dimostrato in precedenza tuttavia,

CK : CG :: CH : CP : dunque r√2: Chφ+Shφ√

2:: Chπ+Shπ√

2: Chφ+π+Shφ+π√

2

e passando dalla proporzione all’uguaglianza si avra Chφ+ π + Shφ+ π =Chφ+Chπ·Shφ+Shπ

r .Trovato questo primo teorema, ne otterremo un altro grazie all’equazione

locale dell’iperbole, cioe Ch2 − Sh

2= rr: Dunque Ch. + Sh. · Ch. − Sh = rr

o Ch + Sh = rrCh.−Sh.

. Pertanto, sostituiti questi valori avremo

rr

Chφ+ π − Shφ+ π=

r3

Chφ− Shφ · Chπ − Shπ,

o Chφ+ π − Shφ+ π = Chφ−Shφ·Chπ−Shπr : che e il secondo teorema.

Se sommi e sottrai l’equazione del secondo teorema a quella del primo teo-rema otterrai

Chφ+ π =Chφ+ Shφ · Chπ + Shπ + Chφ− Shφ · Chπ − Shπ

2r=Chφ · Chπ + Shπ · Shφ

r,

e

Shφ+ π =Chφ+ Shφ · Chπ + Shπ − Chφ− Shφ · Chπ − Shπ

2r=Chφ · Shπ + Chπ · Shφ

r

come si doveva trovare.4

4Sed paucis adverte, quaenam futurae sint conditiones ejus, quo utimur, logarithmorumsystematis. Vocato sinu toto CA = r erit CK = r√

2qui erit protonumerus, scilicet numerus

ille, cujus logarithmus = 0. Subtangens autem constans systematis invenitur esse = r, scil-icet sinui toti. Hos autem logarithmos, quando analogi sunt arcubus circularibus, vocabologarithmos analogos.

His praenotatis sinuum & cosinuum proprietates persequamur. Sinus, & cosinus hyperbol-icos per haec signa notabo Sh et Ch. Primo datis duorum logarithmorum φ, π sinibus,& cosinibus quaeritur sinus & cosinus logarithmi φ + π. Sit CB = Chφ, BE = Shφ,CD = Chπ, DF = Shπ. Supponatur CM = Chφ+ π, & MN = Shφ+ π. BE,DF, MN producantur, & concurrant cum assymptoto in punctis I, L, Q. Ex punctis E, F,N agantur assymptotos normales EG, FH, NP. Quum propter angulum semirectum ACKfit BI=CB, DL=CD, MQ=CM, constat fore EI = Chφ − Shφ, FL = Chπ − Shπ,NQ = Chφ+ π − Shφ+ π. Deinde quando vocata est CA = r, erit CK = r√

2. Item

GI = Chφ−Shφ√2

, HL = Ch π−Shπ√2

, & PQ = Chφ+π−Shφ+π√2

. Postremo CI =√2Chφ,

CL =√2Chπ, & CQ =

√2Chφ+ π. Quapropter CG =

√2Chφ− Chφ−Shφ√

2= Ch φ+Shφ√

2,

CH = Chπ+Shπ√2

, CP = Chφ+π+Shφ+π√2

: atqui ex supra demonstratis debet esse CK : CG ::

CH : CP : Igitur r√2: Ch φ+Shφ√

2:: Chπ+Shπ√

2: Chφ+π+Shφ+π√

2, & facto transitu ab analogia

ad aequalitatem fiet Chφ+ π + Shφ+ π = Chφ+Chπ·Shφ+Shπr

.Invento hoc primo theoremate aliud nanciscemur ope localis aequationis hyperbolae, nempe


Poche note, oltre all’ausilio della Figura 10.2, sono sufficienti per seguirela dimostrazione, cui Riccati fa seguire la deduzione di formule di dupli-cazione, triplicazione, ecc. per formare un quadro completo della trigonometriaiperbolica.

C

A

B

D

M Q

L

I

G

K

H

P

O

N

F

E

Figura 10.2: Le funzioni iperboliche introdotte da Vincenzo Riccati.

Osserviamo alcune peculiarita circa la notazione. Con la scrittura a+ b siintende che l’operatore di addizione connette i termini che stanno al di sot-to della barra, per cui si tratta di una notazione alternativa alla parentesi:a+ b = (a + b). Scrivendo una proporzione (analogia, che riproduce il nomegreco originale) come CK : CG :: CH : CP : Riccati separa i medi con ::anziche con un segno di uguaglianza. Si tratta di una notazione che era stata

Ch2 − Sh

2= rr: Ergo Ch. + Sh. · Ch. − Sh = rr sive Ch + Sh = rr

Ch.−Sh.. Quapropter

valoribus substitutis habebimus

rr

Chφ+ π − Shφ+ π=

r3

Chφ+ Shφ · Chπ + Shπ,

sive Chφ+ π − Shφ+ π = Chφ−Shφ·Chπ−Shπr

: quod est theorema alterum.Si alterius theorematis aequationem primum addas, deinde demas ab aequatione primi

theorematis obtinebis

Chφ+ π =Chφ+ Shφ · Chπ + Shπ + Chφ− Shφ · Chπ − Shπ

2r=Chφ · Chπ + Shπ · Shφ

r,

&

Shφ+ π =Chφ+ Shφ · Chπ + Shπ − Chφ− Shφ · Chπ − Shπ

2r=Chφ · Shπ + Chπ · Shφ

r

Q. E. Inv.

10.2. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA DI LAMBERT 365

introdotta da William Oughtred e che venne usata per molto tempo da tuttigli autori. Il motivo di questa notazione e la natura sui generis di una pro-porzione che indica una somiglianza (analogia, appunto) tra rapporti piu cheun’uguaglianza dei loro valori numerici. Le origini di questo status particolaredelle proporzioni possono presumibilmente ascriversi al ruolo che i rapporti ave-vano, gia in Euclide ma anche in epoca moderna, con la musica [4]. Infine, ladissimmetria rispetto alle formule di somma e sottrazione in utilizzo oggi derivadall’aver preso il seno totale pari genericamente ad r, anziche unitario. Ottenuteformule trigonometriche per settori come nφ o φ

n , Riccati ritorna al problemada cui era partito e puo costruire geometricamente le radici di alcune famigliedi equazioni algebriche.

10.2 La trigonometria iperbolica di Lambert

Per ottenere una completa simmetria con le formule di addizione per funzionicircolari, Riccati moltiplica al bisogno alcune di queste funzioni per

√−1.

Come gia osservato, si trattava di un artificio formale gia utilizzato da Leib-niz e Newton e, in epoca contemporanea a quella di cui ci stiamo occupando,da un allievo di Lagrange, Daviet Francois de Foncenex (1734-1799) in unlavoro molto discusso apparso sul Vol. I delle Miscellanea Societatis Taurinen-sis. de Foncenex aveva pero anche osservato che alla base dell’analogia tracirconferenza ed iperbole equilatera vi era la condivisione di centro e diametro.Questa osservazione spinse Lambert a cercare di approfondire l’analogia subasi puramente geometriche, evitando il ricorso a quantita immaginarie. Taleobiettivo fu perseguito in [6] dove ottenne una ricca tabella di confronto tra ledue coniche.

Testo 10.1 (Lambert) [1], pp. 309-310. Originale 10.1.

Occorre pero mostrare qui fino a che punto una tale analogia possa esserspinta indipendentemente dalle quantita immaginarie. Sia dunque (Fig. 10.3)C il centro, CH l’asse, CA il semidiametro dell’iperbole equilatera AMG edel cerchio AND, CF l’asintoto, AB la perpendicolare all’asse ed allo stessotempo la tangente comune al cerchio ed all’iperbole. A partire dal centro Csi traccino le rette CM, Cm infinitamente vicine l’una all’altra e dai puntidi intersezione M, m, N, n si abbassino sull’asse le ordinate MP, mp, NQ,nq. Infine il raggio AC sia uguale ad 1. Diciamo l’angolo MCA = ϕ e sia


C A H

V

pPq Q

N

D

M µ

m

R

S

T

GF

ν

n

B

Figura 10.3: Analogia geometrica tra circonferenza ed iperbole in Lambert.

10.2. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA DI LAMBERT 367

per l’iperbole per il cerchiol’ascissa CP = ξ CQ = xl’ordinata PM = η QN = y

il segmento AMCA = u : 2 ANCA = v : 2e sara

tangϕ = ηξ tangϕ = y

x ,

1 + ηη = ξξ = ηη cotϕ2 1− yy = xx = yy cotϕ2

ξξ − 1 = ηη = ξξtangϕ2 1− xx = yy = xxtangϕ2

CM2 = ξ2 + η2 = ξ2(1 + tangϕ2) CN2 = x2 + y2 = x2(1 + tϕ2)

= 1+tϕ2

1−tϕ2 = 1+tϕ2

1+tϕ2 = 1

Dunque

+du = dϕ(

1+tϕ2

1−tϕ2

)

= ddtϕ1−tϕ2 +dv = dϕ = ddtϕ

1+tϕ2

+dξ = tϕdtϕ(1−tϕ2)3/2

−dx = tϕdtϕ(1+tϕ2)3/2

+dη = dtϕ(1−tϕ2)3/2

dy = tϕdtϕ(1+tϕ2)3/2

ξ = 1√(1−tϕ2) x = 1√

(1+tϕ2)

η = tϕ√(1−tϕ2) y = tϕ√

(1+tϕ2)

Dunque+dξ : du = η −dx : dv = y+dη : du = ξ dy : dv = x

+dξ = dηtangϕ −dξ : dy = tangϕ

Grazie alla coppia di rette vicine CM e Cm, Lambert studia le proprietadifferenziali di circonferenza ed iperbole in parallelo che culminano con le ul-time tre uguaglianze della tabella grazie alle quali, dopo alcune considerazionidi geometria elementare, egli ottiene l’aspetto geometrico su cui poggia l’analo-gia tra le due coniche: come in un cerchio il raggio e uguale al segmento dinormale delimitato dalla tangente ad una circonferenza ed un suo asse—anzi,i due segmenti coincidono sempre—cosı in un’iperbole ogni raggio come Cm econgruente con il segmento mV di normale all’iperbole delimitato tra l’asse CVed il punto m sull’iperbole.

Siccome l’angolo ϕ e lo stesso per l’iperbole e per la circonferenza, dalle ultimedue equazioni segue che

tangϕ = dξ : dη = −dx : dy = η : ξ = y : x .

Dunque gli angoli Mmµ, Nnν sono uguali, da cui segue

Mm : Nn = dξ : −dx = dη : dy

ed i triangoli caratteristiciMmµ, Nnν sono simili. Infine, siccome Cnq = Cmpe Nnq = Mmp, sara Cnq + Nnq = Cmp +Mmp = 90. Tracciata dunque lanormale mV sara V mp+Mmp = 90 e dunque V mp = Cmp. Cosı la normalemV prolungata fino all’asse AC e uguale a Cm, proprio come nel cerchio lanormale Cn e uguale a Cn. Ecco dunque qual e il fondamento su cui si basa


tutto quanto c’e di reale nei confronti che si fanno tra circonferenza ed iperbole5

(p. 310 di [1])

Chiarita la base geometrica che sorregge la somiglianza formale tra circon-ferenza ed iperbole, Lambert trova gli sviluppi in serie delle coordinate (ξ, η)in funzione del settore u osservando che, grazie al significato geometrico di u edalla simmetria dell’iperbole ξ dovra essere una funzione pari di u mentre η sarauna funzione dispari. Poiche quando u = 0 si ha ξ = 1 ed η = 0, Lambert puosupporre validi gli sviluppi

ξ = 1 +Au2 +Bu4 + Cu6 + ....η = au+ bu3 + cu5 + du7 + ....

e, grazie alle equazioni

dξ : du = η dη : du = η ,

egli puo ricavare i coefficienti di questi sviluppi ottenendo

ξ = 1 + 12u

2 + 14!u

4 + 16!u

6 + ....η = u+ 1

3!u3 + 1

5!u5 + 1

7!u7 + ....

che permettono di ricavare le note parametrizzazioni dell’iperbole in termini difunzioni iperboliche

ξ =eu + e−u

2, η =

eu − e−u

2.

Dall’analogia con la circonferenza Lambert trae anche una formulazione geo-metrica per l’impossibilita di avere eu razionale quando u lo e: il settore iperbol-ico AMCA sara una quantita irrazionale, cioe incommensurabile con il quadra-to del raggio AC, ogni volta che la tangente trigonometrica di quel settore erazionale.

Il significato geometrico del parametro u viene evidenziato osservando che,siccome eu = ξ + η ed e−u = ξ − η e gli asintoti CF e CS formano tra loroun angolo retto, si avra ξ = CP = PS = PR ed η = PM da cui si ricava

5Comme l’angle ϕ est le meme pour l’hyperbole & pour le cercle, il suit des deux dernieresequations qu’il est

tangϕ = dξ : dη = −dx : dy = η : ξ = y : x .

Ainsi les angles Mmµ, Nnν sont egaux. Ce qui donne

Mm : Nn = dξ : −dx = dη : dy .

Et le triangles caracteristiques Mmµ, Nnν sont semblables. Enfin, comme il est Cnq = Cmp,& Nnq = Mmp, il sera Cnq + Nnq = Cmp +Mmp = 90. Tirant donc la normale mV , ilsera V mq +Mmq = 90, donc V mq = Cmq. Ainsi la normale mV prolongee jusqu’a l’axeAC est egale a Cm, tout comme dans le cercle la normale Cn est egale a Cn. Voila doncsurquoi se fonde tout ce qu’il y a de reel dans les comparaisons qu’on a faites entre le cercle& l’hyperbole


eu = SM ed e−u =MR. Poiche il prodotto di queste quantita e pari ad 1, cioela lunghezza di AB, si puo concludere

u = logSM

1=SM

AB= log

AB

MR

Segue allora un’ulteriore interpretazione geometrica: siccome eu non puo essererazionale se u lo e, allo stesso modo i segmenti SM ed MR non potranno essererazionali se lo e l’area 1

2u del settore iperbolico AMCA. Come ulteriore risultatoche avra diverse applicazioni, Lambert deduce per integrazione di

du =d tanϕ

1− tan2 ϕ

2u = log1 + tanϕ

1− tanϕ= log tan

(π

4+ ϕ

)

= log tan(SCM)

ovvero

2u = − log1− tanϕ

1 + tanϕ= − log tan

(π

4− ϕ

)

= − log tan(RCM) .

Nel lavoro [1] depositato allaccademia di Berlino gia nel 1761, Lambert noncita Riccati e a ben vedere neppure sviluppa una vera e propria trigonome-tria iperbolica ma si accontenta di aver posto su basi geometriche l’analogia tracirconferenza ed iperbole. Qualche anno piu tardi egli tornera ad occuparsi ditrigonometria iperbolica nel lavoro [3] che contiene la soluzione di un problemadi trigonometria sferica importante in astronomia. Egli evita il ricorso ad archiimmaginari per calcolare l’arco diurno di una stella che rimanga sempre al disotto dell’orizzonte ricorrendo ancora una volta all’utilizzo di un’iperbole equi-latera e sviluppa una trigonometria iperbolica completa, sulla scia di quella diRiccati il cui lavoro viene ora esplicitamente richiamato. Inoltre, Lambertcostruisce delle tavole per le funzioni iperboliche, analoghe a quelle per funzionicircolari. Come Riccati, anche Lambert e consapevole del fatto che le funzioniiperboliche possono essere associate solo a settori iperbolici e non ad angoli odarchi

Il seno ed il coseno circolare possono essere riferiti indifferentemente all’arco,all’angolo ed al settore a motivo della proporzionalita costante che c’e tra questielementei. Non e cosı per quanto riguarda il seno ed il coseno iperbolico pq, Cp.Tali funzioni vogliono principalmente essere riferite a settori come QCqQ.6 (p.330 di [3])

10.3 Testi originali

Originale 10.1 [Lambert] [1], pp. 309-310

6Les sinus & les cosinus circulaires peuvent se rapporter indifferemment a l’arc, a l’angle &au secteur, a cause de la proportionalite constante qui s’y trouve. Il n’est pas de meme pource qui regard les sinus & les cosinus hyperboliques pq, Cp. C’est aux secterurs QCqQ que cesfonctions veulent principalement etre rapportees.


Mais ici il s’agit de voir jusqu’ou cette affinite peut etre poussee independammentdes quantites imaginaires. Soit donc C le centre, CH l’axe, CA le demi-diametrede l’hyperbole equilaterale AMG & du cercle AND, CF l’asymptote, AB per-pendiculaire a l’axe, & en meme tems la tangente commune au cercle & a l’hy-perbole. Soient tirees du centre C les deux droites CM, Cm, infiniment prochesl’une de l’autre, & des points d’intersection M, m, N, n, soient abaissees surl’axe les ordonnees MP, mp, NQ, nq. Enfin soit le rayon AC=1. Faisons l’angleMCA = ϕ, & soit

pour l’hyperbole pour le cerclel’abscisse CP = ξ CQ = xl’ordonnee PM = η QN = y

le segment AMCA = u : 2 ANCA = v : 2& il seratangϕ = η

ξ tangϕ = yx ,

1 + ηη = ξξ = ηη cotϕ2 1− yy = xx = yy cotϕ2

ξξ − 1 = ηη = ξξtangϕ2 1− xx = yy = xxtangϕ2

CM2 = ξ2 + η2 = ξ2(1 + tangϕ2) CN2 = x2 + y2 = x2(1 + tϕ2)

= 1+tϕ2

1−tϕ2 = 1+tϕ2

1+tϕ2 = 1

Donc

+du = dϕ(

1+tϕ2

1−tϕ2

)

= ddtϕ1−tϕ2 +dv = dϕ = ddtϕ

1+tϕ2

+dξ = tϕdtϕ(1−tϕ2)3/2

−dx = tϕdtϕ(1+tϕ2)3/2

+dη = dtϕ(1−tϕ2)3/2

dy = tϕdtϕ(1+tϕ2)3/2

ξ = 1√(1−tϕ2) x = 1√

(1+tϕ2)

η = tϕ√(1−tϕ2) y = tϕ√

(1+tϕ2)

Donc+dξ : du = η −dx : dv = y+dη : du = η dy : dv = x

+dξ = dηtangϕ −dξ : dy = tangϕ

Bibliografia

[1] J.H. Lambert: Memoire sur quelques proprietes remarquables des quantitestranscendentes circulaires et logarithmiques. Mem. Acad. Sci. Berlin 17(1768), 265-322.

[2] V. Riccati: Opuscula ad res Physicas et Mathematicas pertinentes, Bologna(1757), 265-322.

[3] J.H. Lambert: Observations Trigonometriques. Mem. Acad. Sci. Berlin 24(1771), 327-354.

[4] I. Grattan-Guinness: Numbers, magnitudes, ratios, and proportions inEuclid’s Elements : How did he handle them? Hist. Math. (1996), 355–375.

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