Universita della CalabriaFacolta di S. M. F. N.

CORSO DI LAUREA IN FISICA

Tesi di Laurea Magistrale

Produzione di jet di Mueller-Navelet nelle

collisioni adrone-adrone

Anno Accademico 2008-2009

RelatoreProf. Alessandro PAPA

CandidataBeatrice MURDACAmatr.121197

...a mio cugino Gaetano

1

Indice

Introduzione 3

1 Aspetti introduttivi 81 Matrice S e Ampiezze di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1 QCD Perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 La teoria di Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Processi adronici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 I jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 QCD perturbativa nel limite di Regge 161 Equazione BFKL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1 Reggeizzazione del gluone nella LLA . . . . . . . . . . 161.2 Ampiezza di diffusione AA′B′

AB nella cinematica multi-Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Sezione d’urto totale per la diffusione “in avanti” conscambio di numeri quantici del vuoto nel canale t . . . 26

2 Equazione BFKL nella NLLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Correzioni all’ordine sottodominante . . . . . . . . . . 27

3 Quadro riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A Decomposizione di Sudakov 33

3 Fattore di impatto per la produzione di un jet 341 Due diverse notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Il Jet all’ordine piu basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Il Jet all’ordine NLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Risommazione dei logaritmi dell’energia . . . . . . . . . . . . . 50

B Funzioni speciali e integrali notevoli 541 La funzione gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

1.1 La derivata logaritmica della funzione gamma . . . . . 551.2 La funzione beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 La funzione + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 Integrali notevoli e parametrizzazione di Feynman . . . . . . . 56

C Calcolo degli integrali 581 Integrali fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 Calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Verifica della (3.53) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Calcolo esplicito della (3.83) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Bibliografia 66

3

Introduzione

Il presente lavoro di tesi puo essere considerato il punto di partenza per

il calcolo della sezione d’urto del processo p + p → jet + jet + X, in cui i

jet finali sono collineari ai protoni iniziali, mentre X rappresenta un generico

insieme di adroni.

Questo processo, gia realizzato a Tevatron, e presto anche a LHC, viene

studiato nel regime di alte energie, cio significa una grande separazione di

rapidita tra i due jet, nonche per momento trasverso del jet molto maggiore

della massa del protone e molto minore del momento del protone stesso. Il

sistema di adroni X, invece, e caratterizzato da basso momento longitudinale

e momento trasverso dello stesso ordine di quello dei jet.

Il processo in questione e di tipo inclusivo, per il fatto che occorre sommare

su tutti i possibili sistemi adronici X che si accompagnano ai jet. Poiche si

assume che i momenti trasversi dei jet siano molto grandi, e possibile studiare

il processo in QCD perturbativa.

Il calcolo procede attraverso la combinazione di diversi sottoprocessi: prima

di tutto va assunto che il processo puo essere decomposto nella somma incoe-

rente di sottoprocessi iniziati dai partoni (quark e gluoni) che costituiscono

i protoni in collisione. Pertanto il processo in esame si riduce allo studio

di sottoprocessi del tipo q + q → jet + jet + X, q + g → jet + jet + X e

g + g → jet + jet +X.

A sua volta, l’ampiezza di ciascuno di questi sottoprocessi, ad esempio per il

processo q + q → jet + jet +X, va scritta come la somma delle ampiezze di

processi del tipo q+ q → jet + jet + n con n = 0, 1, 2... e denota il numero di

partoni che possono essere prodotti durante la collisione. Il modulo quadro

della somma di tutte queste ampiezze, dopo l’integrazione sullo spazio delle

4

fasi degli n partoni prodotti, conduce alla sezione d’urto inclusiva per il sot-

toprocesso considerato.

I jet che appaiono nello stato finale sono “iniziati” da partoni prodotti nella

collisione, ma nel calcolo della sezione d’urto l’integrazione sullo spazio delle

fasi di questi non viene effettuata. In altri termini, la sezione d’urto per il

sottoprocesso q+q → jet+jet+X differisce da quella del processo q+q → X,

in cui X indica un generico stato finale di adroni, per il fatto che, su due di

questi partoni nello stato finale, in particolare quelli con i momenti collinea-

ri con quelli dei quark che collidono, non viene effettuata l’integrazione sui

momenti.

In altre parole il sottoprocesso in questione e quello in cui tra n+ 2 partoni

prodotti nello stato finale, due di essi vengono “selezionati” come gli “inizia-

tori” dei jet, mentre sugli altri si effettuata l’integrazione sui momenti.

Pertanto, se nel sottoprocesso q+q → jet+jet+X si rinunciasse alla selezio-

ne nello stato finale dei due jet e si effettuasse anche sui partoni che iniziano

i jet l’integrazione sui momenti, la sezione d’urto di questo sottoprocesso si

ricondurrebbe alla sezione d’urto totale per la collisione tra quark.

Il teorema ottico mette in relazione la sezione d’urto totale di un generico

processo A+B → X, dove X sta ad indicare un qualsiasi stato, con la parte

immaginaria del processo elastico in avanti A+B → A +B.

L’applicazione di questo teorema al sottoprocesso q + q → X, dice che la

sua sezione d’urto puo essere messa in relazione con la parte immaginaria

dell’ampiezza q + q → q + q. Quindi, in definitiva, la sezione d’urto per la

produzione inclusiva di due jet nella collisione di due quark si riduce all’am-

piezza elastica per il processo q+ q nel limite in cui si rinuncia alla selezione

nello stato finale dei partoni che “iniziano” i jet.

In QCD perturbativa e nel limite di alte energie le ampiezze di diffusione

per un generico processo A+B → A′ +B′ possono essere fattorizzate come

mostrato nella Figura 1 in due fattori d’impatto ΦA′A e ΦB′B ed una funzione

di Green G.

5

pA pA′

ΦA′A

q1 q1 − q

q2 q2 − q

G

pB pB′

ΦB′B

Fig. 1 Fattorizzazione dell’ampiezza

La funzione di Green e universale ed e l’unica parte dell’ampiezza a dipendere

dall’energia, mentre i fattori d’impatto dipendono dal tipo di particelle in

collisione. Come conseguenza di cio, per poter studiare il processo p + p →jet+jet+X nell’approccio BFKL, e necessario conoscere il fattore di impatto

protone-jet.

Questo calcolo e gia stato eseguito da J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1],

che hanno utilizzato una differente notazione rispetto a quella introdotta da

Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria BFKL. Essi,

per poter ottenere il fattore di impatto, hanno studiato un sottoprocesso

q + p→ jet + q + n dove n = 0, 1.

Lo scopo di questa tesi e stato quello di controllare la correttezza del calcolo

in un caso limite, cioe e stato verificato che, quando non viene selezionato il

jet nello stato finale, la sezione d’urto si deve ricondurre alla sezione d’urto

per il processo q + q. Cio e stato fatto con lo scopo di verificare che non ci

fossero errori (come effettivamente riscontrati) e per adattare il risultato alla

notazione di Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov. Inoltre, mentre il calcolo di

J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1] e ad ordine perturbativo fissato, qui

verra effettuata la risommazione di tutta la serie perturbativa limitatamente

ai termini con i logaritmi dell’energia dominanti e sottodominanti.

Il risultato ottenuto costituira il punto di partenza per il calcolo numerico

della sezione d’urto per il processo p+ p→ jet + jet +X, da confrontare con

i risultati sperimentali di Tevatron e LHC.

6

L’importanza di questo studio e quella di fornire un test della QCD e, in

particolare, dell’approccio BFKL, attraverso il confronto tra i risultati teorici

e quelli sperimentali.

7

Capitolo 1

Aspetti introduttivi

1 Matrice S e Ampiezze di diffusione

Si consideri un processo di diffusione. Lo stato iniziale del sistema, molto

prima che avvenga l’interazione, e rappresentato dal vettore di stato |i〉. L’o-

peratore che descrive l’evoluzione del sistema nello stato finale, molto tempo

dopo che la collisione sia avvenuta, e [2] l’operatore unitario di evoluzione

temporale per t0 → −∞ e per t→ +∞, detto S ed e definito

|Φ(∞)〉 = S|Φ(−∞)〉 = S|i〉. (1.1)

Una collisione puo portare a molti stati finali |f〉; tutti gli stati possibili sono

contenuti in |Φ(∞)〉. La probabilita di transizione che dopo la collisione (cioe

per t = ∞) il sistema si trovi nello stato |f〉 e data da

Pf = |〈f |φ(∞)〉|2. (1.2)

La corrispondente “ampiezza” di probabilita sara

〈f |Φ(∞)〉 = 〈f |S|i〉 ≡ Sfi. (1.3)

Se si esprime lo stato |Ψ(∞)〉 in termini di un set completo di autostati

ortonormali,

|Φ(∞)〉 =∑

f

|f〉〈f |Φ(∞)〉 =∑

f

|f〉Sfi, (1.4)

8

per l’unitarieta della matrice S si avra:

∑

f

|Sfi|2 = 1 (1.5)

L’equazione appena scritta esprime la conservazione della probabilita.

Se e nota la Lagrangiana del sistema, per calcolare la matrice S, e necessario

risolvere l’equazione del moto

i∂

∂t|φ(t)〉 = HI |Ψ(t)〉 (1.6)

con la condizione iniziale |i〉 = |Φ(−∞)〉, ottenendo, in forma integrale,

|Φ(t)〉 = |Φ(t0)〉 − i∫ t

t0dt′HI(t

′)|Φ(t′)〉 . (1.7)

Questa equazione puo essere risolta soltanto iterativamente

|Φ(t)〉 = |i〉 + (−i)∫ t

−∞dt′HI(t

′)|i〉 (1.8)

+(−i)2∫ t

−∞dt′∫ t′

−∞dt′′HI(t

′)HI(t′′) + ......

e cosı via. Ora, nel limite t→ ∞, tenendo conto della (1.1), si ottiene che

S =∞∑

n=0

(−i)n∫ ∞

−∞dt′∫ t′

−∞dt′′...

∫ t(n−1)

−∞dt(n)HI(t

′)HI(t′′)...HI(t

(n)). (1.9)

Si puo dimostrare che quest’espressione e equivalente a

S =∞∑

n=0

(−i)n

n!

∫

...∫

d4x′d4x′′....d4x(n)T [HI(x′)HI(x

′′)...HI(x(n))], (1.10)

dove l’integrando e un prodotto temporale e l’integrazione e supposta su tutto

lo spazio-tempo. La (1.10) esprime, quindi, lo sviluppo perturbativo della

matrice S in serie di potenze di HI (densita dell’Hamiltoniana di interazione).

Uno sviluppo perturbativo ha senso se il termine HI e effettivamente una

perturbazione, ovvero e piccolo rispetto ad H0 (densita dell’Hamiltoniana

imperturbata). Questo si verifica per l’interazione forte nel regime ad alto

quadrimpulso trasferito (piccole distanze).

9

Teoria perturbativa Lo studio della maggior parte dei sistemi quan-

tistici reali presenta delle difficolta matematiche di tale portata che molto

raramente si riesce a risolvere i relativi problemi in modo esatto. Esistono

tuttavia diversi metodi grazie ai quali si possono ottenere soluzioni appros-

simate di moltissimi problemi, anche molto complessi.

Metodi di calcolo approssimato particolarmente potenti sono forniti dalla co-

siddetta teoria delle perturbazioni che permette di ottenere soluzioni nella

forma di serie di potenze in un parametro di espansione, troncata ad un cer-

to ordine. Piu si va avanti negli ordini, piu il risultato si avvicina a quello

esatto.

Affinche questo metodo possa essere applicato e necessario che ogni ordine

perturbativo sia piccolo rispetto al precedente.

Ampiezza di diffusione. Il calcolo perturbativo degli elementi della

matrice di scattering Sfi permette di fare delle previsioni sulle sezioni d’urto

dei processi di interazione [2].

Si definisce [3] ampiezza di diffusione Afi la grandezza legata agli elementi

di matrice Sfi dalla relazione

Sfi = δfi + i(2π)4δ4(

∑

a

pi −∑

b

pf

)

Afi, (1.11)

dove la δ4(∑

a pi −∑

b pf) indica la conservazione del quadrimpulso tra lo

stato iniziale e quello finale.

Le ampiezze di diffusione, ordine per ordine, possono essere messe in corri-

spondenza con un certo numero di “diagrammi di Feynman”. Questi permet-

tono da una parte di visualizzare in maniera semplificata le interazioni tra le

particelle, dall’altra di calcolare le sezioni d’urto dei vari processi attraverso

delle precise regole1.

Purtroppo, nel calcolo relativo agli ordini perturbativi superiori a quello piu

basso2 capita di imbattersi in quantita divergenti, che rischiano di rendere

1Per conoscere queste regole (regole di Feynman) per la costruzione dei diagrammi, inparticolare per la QCD, si rimanda ai testi classici, come [4].

2Per ordine piu basso qui si intende il secondo ordine perturbativo (livello ad albero),dal momento che il calcolo troncato al primo ordine non descrive processi fisici reali.

10

il calcolo privo di senso. In particolare questo accade per gli integrali che si

incontrano nel calcolo di diagrammi contenenti loop [2].

Per superare questo problema si utilizza la procedura di rinormalizzazione la

quale e preceduta da una regolarizzazione che puo essere la regolarizzazione

dimensionale. Essa consiste [2] nel valutare gli integrali in uno spazio non a

4-dimensioni bensı in uno a D-dimensioni. Gli integrali risultano essere, cosı,

funzioni analitiche del numero di dimensione D, per cui e possibile costruire

il prolungamento analitico, mediante il quale le divergenze ricompaioniono

sotto forma polare.

Se una teoria e rinormalizzabile allora e possibile riassorbire tutte le diver-

genze nella ridefinizione dei campi e dei parametri della teoria in modo che

tutte le predizioni fisiche, quando espresse in termini dei parametri ridefinite,

siano non divergenti.

Il prezzo da pagare e l’introduzione di una scala di rinormalizzazione µ che

comporta la rottura dell’invarianza di scala anche laddove essa non contenga

parametri con dimensione di massa.

1.1 QCD Perturbativa

Da ora in poi si fara riferimento ai processi adronici descritti dalle in-

terazioni forti. La teoria piu accreditata per la descrizione di questi tipi di

interazione e la QCD.

La QCD [5] e una teoria di Yang-Mills dove la simmetria di gauge e il colo-

re. La Lagrangiana che descrive l’interazione tra quark colorati qk e gluoni

vettoriali Gaµ con accoppiamento specificato da g e

L = −1

2Ga

µνGµνa + Σ

Nf

k qk(iγµDµ −mk)qk, (1.12)

con

Gaµν = ∂µA

aν − ∂νA

aµ + gfabcA

b

µAcν (1.13)

e

Dµ ≡ ∂µ − igT aAaµ, (1.14)

11

dove Aaµ e la componente µ-esima del campo vettoriale del gluone con indice

di colore a. Le matrici T a sono i generatori dell’algebra di SU(3) e soddisfano

[

T a, T b]

= ifabcTc (1.15)

con la convenzione che T a = 12λa, cosicche

Tr(T aT b) =1

2δab. (1.16)

Nella Lagrangiana (1.12) non c’e una scala, ma essa viene introdotta quando

viene compiuta la rinormalizzazione. Esprimendo la variazione della costante

di accoppiamento rinormalizzata gR in funzione della scala µ si ha

β(gR) = µ∂gR

∂µ(1.17)

e risolvendo l’equazione si ottiene

β(gR) = −β0g3

R

(4π2)+O(g5

R) (1.18)

dove β0 = 33−2NF

3, la quale, contrariamente a quanto accade nella QED,

e maggiore di zero e determina cosı la liberta asintotica della teoria. E a

causa di questa liberta asintotica che l’interazione forte diventa poco intensa

a distanza piu piccole delle dimensioni adroniche (d≪ 1fm) ovvero per scale

di energia e momento superiori a circa 200MeV, la scala tipica della QCD.

Si puo far risalire questa proprieta della QCD alle auto-interazioni dei gluoni.

2 La teoria di Regge

Prima dell’introduzione dellla teoria di gauge, lo studio delle interazioni

forti si basava su un insieme di postulati su alcune proprieta generali della

matrice S. La teoria di Regge rappresentava il contesto piu naturale in

cui venivano studiati i processi di diffusione ad alta energia nel centro di

massa. L’avvento della QCD distoglie, per un po’ di tempo l’attenzione

da questo “antico” approccio allo studio delle interazioni forti. L’interesse

verso la teoria di Regge si riaccende in seguito alla realizzazione dei grandi

12

collisionatori ad alta energia nel centro di masssa (come HERA al DESY o il

TEVATRON a FNAL). I fisici iniziano, cosı a confrontare le proprieta della

QCD nel limite di alte energie con le predizioni della teoria di Regge che,

sorprendentemente, si rivela il punto d’incontro tra l’ “antica” fisica delle

particelle e la “nuova”.

Una particella di massa m e spin J Reggeizza se l’ampiezza A, per un processo

che coinvolgono lo scambio di numeri quantici della particella nel canale t, si

comporta, asintoticamente in s, come

A ∝ sα(t), s≫ |t|

dove α(t) e la traiettoria di Regge e α(m2) = J ; cosicche la particella stessa

si trova sulla traiettoria.

L’idea della Reggeizzazione [3] viene proposta per la prima volta, nei primi

anni ’60, da Gell-Mann e coll. [6] e da Polkinghorne [7]. Poco tempo dopo,

Mandelstam [8] indica le condizioni generali perche la Reggeizzazione possa

verificarsi. Frolov, Gribov e Lipatov [9, 10] eseguono per la prima volta i

calcoli nell’ambito della QED, dimostrando che il fotone non Reggeizza in

QED, ma rimane elementare. Calcoli effettuati in un secondo momento ad

opera di McCoy e Wu [11] stabiliscono invece che il fermione Reggeizza in

QED.

Mason [12] estende, per primo, questa procedura alle teorie non-Abeliane. La

Reggeizzazione del gluone viene provata da molti autori, utilizzando tecniche

differenti, a tutti gli ordini perturbativi nel limite LLA (Leading Logaritmic

Approximation), ovvero nell’approssimazione dei logaritmi dominanti di s.

Tale procedura consiste nel collezionare, a tutti gli ordini perturbativi in

αs, i termini proporzionali ad [αs ln(s)]n, in cui il valore (piccolo) di αs e

compensato dai “grandi” logaritmi di s. La Reggeizzazione del gluone agli

ordini sottodominanti in ln s, viene provata in modo rigoroso, solo ai primi

ordini perturbativi in αs, mentre, l’ipotesi che cio possa avvenire a tutti

gli ordini perturbativi, viene supportata da procedure di auto-consistenza

(bootstrap).

13

3 Processi adronici

I processi adronici possono essere classificati in: processi soffici e processi

duri.

Nei processi soffici non esiste una grande scala di energia, percio l’approccio

perturbativo non e applicabile. Esempi di processi soffici sono la diffusione

elastica di adroni e la dissociazione diffrattiva. Questi processi sono descritti

teoricamente sin dagli anni ’60 dalla teoria di Regge. La loro caratteristica

peculiare e la formazione di una separazione di rapidita tra i prodotti della

reazione.

Un processo adronico duro e caratterizzato da un’interazione a corta distanza,

che puo essere descritta dalla QCD perturbativa, e da un’adronizzazione delle

particelle finali, caratterizzata da una grande scala di lunghezza (dell’ordine

delle dimensioni adroniche), che non puo essere descritta perturbativamente.

Spesso i teoremi di fattorizzazione consentono di separare i regimi di corta

e lunga distanza. La parte non perturbativa di un processo e descritto in

termini di funzioni universali (funzioni di distribuzione partoniche o funzioni

di distribuzione partoniche generalizzate o funzioni di frammentazione, ecc.)

che possono essere estratte da un processo e utilizzate per prevederne un

altro. Alcuni esempi di processi duri sono la diffusione profondamente ane-

lastica (DIS), l’annichilazione elettrone-positrone e la produzione di jet con

grande impulso trasverso.

Una delle principali novita degli ultimi dieci anni e la scoperta e lo studio

dei processi diffrattivi che hanno proprieta soffici e dure allo stesso tempo

(processi semi-duri); in altri termini, questo tipo di processi e caratterizzato

da una scala di energia che puo variare tra i due regimi (soffice e duro). Un

tipico processo di semi-duro e la diffusione profondamente anelastica diffrat-

tiva (DDIS). In questo processo il protone e il sistema diffratto sono separati

da un ampio intervallo di rapidita.

14

4 I jet

Caso particolare dei processi adronici e il jet. Esso e [13] definito come

una concentrazione di energia trasversa ET in un cono di raggio R. Nel pro-

cesso h+h → jet+ jet i due jet nello stato finale sono interpretati in termini

di una diffusione elastica di un partone proveniente da un adrone con un

partone proveniente dall’altro adrone. Ogni partone, il quale si porta una

frazione x dell’impulso totale dell’adrone genitore, e viene diffuso, genera un

jet di adroni.

Generalmente gli stati finali di queste interazioni vengono classificati in ter-

mini di particolari variabili come la rapidita y, definita da

y =1

2

(

E + pz

E − pz

)

. (1.19)

il momento trasverso pT e l’angolo azimutale Φ. E spesso usata anche

l’energia trasversa

ET = E sin θ (1.20)

e piu raramente l’impulso trasverso pT . R puo quindi essere definito come

R =√

(∆η)2 + (∆Φ)2. (1.21)

La rapidita e generalmente rimpiazzata dalla variabile pseudorapidita, defi-

nita come:

η = − ln tan(θ/2), (1.22)

dove θ e l’angolo tra i due adroni.

Un esempio particolare di jet e costituito dai jet Mueller-Navelet in cui i due

jet, che vengono prodotti dalla collisione tra due adroni, hanno momento

trasverso maggiore o uguale alla massa M degli adroni che li hanno generati

con la condizione che M2/s sia piccolo e il valore M sia fissato.

15

Capitolo 2

QCD perturbativa nel limite diRegge

1 Equazione BFKL

L’equazione BFKL [14] e un’equazione integrale che determina il com-

portamento alle alte energie√s delle ampiezze di QCD perturbativa in cui

vengono scambiati i numeri quantici del vuoto nel canale t. Essa e valida sia

nella LLA (leading logarithmic approximation) che consiste nel risommare

tutti i termini della forma αns lnn s della serie perturbativa, sia nella NLLA

(next-to-leading logarithmic approximation) che consiste nel risommare tutti

i termini della forma αn+1s lnn s della serie perturbativa.

Nella sua derivazione, la Reggeizzazione del gluone in QCD, gioca un ruolo

fondamentale.

In questa sezione sara trattata l’equazione BFKL nella LLA; nella sezione

successiva sara trattato il caso della NLLA [15].

1.1 Reggeizzazione del gluone nella LLA

La Reggeizzazione del gluone in QCD ha un significato piu profondo

rispetto a quello usuale; infatti essa indica che non solo deve esistere un

Reggeone con i numeri quantici del gluone, segnatura negativa e traiettoria

α(t) = 1 + ω(t) (2.1)

16

che assume valore unitario in corrispondenza di t = 0, ma anche che questo

Reggeone fornisce il contributo dominante, a tutti gli ordini perturbativi, alle

ampiezze per i processi a grande s e a t fissato (cioe non crescente con s).

pA

pB ΓiB′B

ΓiA′A pA′

pB′

Fig. 2.1. Diagramma che rappresenta l’ampiezza relativa allo scambio di un

Reggeone nel canale t con i numeri quantici del gluone.

Si consideri un processo di diffusione elastica A+B → A′ +B′, con s≫ |t|,in cui

s = (pA + pb)2 , t = q2 , q = pA − pA′. (2.2)

Le ampiezze relative allo scambio dei numeri quantici del gluone nel canale

t possono essere presentate nella forma fattorizzata (si veda la Figura 2.1.)

(A8)A′B′

AB = ΓiA′A

s

t

[

(

s

−t)ω(t)

+(−s−t)ω(t)

]

ΓiB′B, (2.3)

dove i e l’indice di colore e i fattori ΓiP ′P (con P = A,B) rappresentano i

vertici particella-particella-Reggeone (PPR) e non dipendono da s.

La (2.3) e stata provata rigorosamente [16] a tutti gli ordini perturbativi della

teoria in approssimazione (LLA).

In questa approssimazione, la traiettoria di Regge e calcolata all’ordine g2.

Si ha

ω(t) ≃ ω(1)(t) =g2t

(2π)(D−1)

N

2

∫ dD−2k⊥k2⊥(q − k)2

⊥(2.4)

= −g2NΓ(1 − ε)

(4π)2+ε

[Γ(ε)]2

Γ(2ε)

2

ε(~q 2)ε,

17

con t = q2 ≈ q2⊥ eD = 4+2ε e la dimensione spazio-temporale, introdotta per

regolarizzare le divergenze infrarosse. L’integrazione dell’espressione (2.4) e

eseguita su uno spazio (D− 2)-dimensionale ortogonale al piano formato dai

quadrimpulsi iniziali pA e pB. I vertici ΓiP ′P possono essere presentati nella

seguente forma:

ΓiP ′P = g〈P ′|T i|P 〉ΓP ′P , (2.5)

dove 〈P ′|T i|P 〉 e l’elemento di matrice del generatore del gruppo di colore

nella rappresentazione corrispondente (cioe, fondamentale per i quark ed ag-

giunta per i gluoni). Nella LLA, le elicita λP delle particelle diffuse sono

conservate e quindi, nella base di elicita si ha

ΓP ′P = Γ(0)P ′P = δλP ′λP

. (2.6)

Dalla (2.4) si puo verificare che, per il gluone, ω(0) = 0, cioe α(0) = 1. Quindi

questo mostra che, in effetti, il gluone giace sulla traiettoria del Reggeone con

i suoi numeri quantici.

1.2 Ampiezza di diffusione AA′B

′

AB nella cinematica multi-Regge

La parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione elastica AA′B′

AB del pro-

cesso A + B → A′ + B′ puo essere scritta tramite la relazione di unitarieta

nel canale s (regola di Cutkosky) come

ℑmsAA′B′

AB =1

2

∞∑

n=0

Σ{f}

∫

AAB+nAB (AAB+n

A′B′ )∗dΦAB+n, (2.7)

dove AAB+nAB rappresenta l’ampiezza di produzione di n + 2 particelle con

momenti ki, i = 0, 1, ..., n, n + 1 del processo A + B → AB + n, dΦAB+n

rappresenta lo spazio delle fasi delle particelle negli stati intermedi e Σ{f} e la

somma sui numeri quantici discreti di queste particelle (si veda la Figura 2.2.).

Supponiamo che tutte queste particelle abbiano massa nulla, approssimazione

lecita nel limite di grande s.

18

Lo spazio delle fasi sara

dΦAB+n =2

s(2π)Dδ

(

1 +m2

A

s−

n+1∑

i=0

αi

)

δ

(

1 +m2

B

s−

n+1∑

i=0

βi

)

× δ(D−2)

(

n+1∑

i=0

ki⊥

)

dβn+1

2βn+1

dα0

2α0

n∏

i=1

dβi

2βi

n+1∏

i=1

dD−2ki⊥(2π)D−1

, (2.8)

dove αi e βi sono le variabili di Sudakov1 e avendo posto

pA = k0, pB = kn+1. (2.9)

Nella (2.7) il contributo di ordine s, a cui si e interessati, e dato dalla regione

cinematica in cui gli impulsi trasversi delle particelle prodotte sono limitati

(cioe non crescono con s). I logaritmi dominanti provengono dall’integrazione

sugli impulsi longitudinali delle particelle prodotte. Nella LLA, in cui ogni

particella aggiuntiva contribuisce con un ln(s), solo questa cinematica conta.

Essa e chiamata cinematica multi-Regge (MRK). Per definizione, in questa

cinematica, le variabili di Sudakov sono fortemente ordinate: αn+1 ≫ αn ≫αn−1...≫ α0, β0 ≫ β1 ≫ β2...≫ βn+1.

pA

pB

k0

k1

ki−1

ki

kn

kn+1

}

si = (ki−1 + ki)2

Fig. 2.2. Rappresentazione della produzione di particelle nella cinematica

multi-Regge.

1Si veda l’appendice alla fine di questo capitolo.

19

Nella MRK, le masse invarianti sij = (ki+kj)2 di una qualsiasi coppia di par-

ticelle prodotte i e j sono grandi. Affinche si ottengano logaritmi dominanti

dopo l’integrazione su βi nello spazio delle fasi (2.8), le ampiezze che com-

paiono nell’equazione (2.7) non devono decrescere all’aumentare delle masse

invarianti. Cio e possibile solo nel caso in cui sono scambiate particelle vet-

toriali (cioe gluoni) in tutti i canali con impulso trasverso qi, i = 1 ÷ n + 1;

infatti, i termini contenenti fermioni negli stati intermedi sono soppressi di

un fattore βi/βi−1 rispetto a quelli che prevedono lo scambio di gluoni [15].

Gli impulsi trasversi qi dei gluoni possono essere espressi nel seguente

modo:

qi = pA −i−1∑

j=0

kj = −(

pB −n+1∑

l=i

kl

)

≃ βip1 − αi−1p2 −i−1∑

j=0

kj⊥; (2.10)

q2i ≃ q2

i⊥ = −~q 2i .

Le ampiezze relative a questi processi hanno una struttura analitica com-

plicata; tuttavia, nella LLA solo le parti reali di queste ampiezze contribui-

scono [15]. A causa della Reggeizzazione del gluone, esse hanno la semplice

forma multi-Regge

AAB+nAB = 2sΓc1

AA

(

n∏

i=1

γPicici+1

(qi, qi+1)(

si

sR

)ω(ti) 1

ti

)

× 1

tn+1

(

sn+1

sR

)ω(tn+1)

Γcn+1

BB, (2.11)

dove sR e una qualunque scala di energia, irrilevante nella LLA; ω(t) e ΓaP ′P

sono la traiettoria di Regge ed i vertici PPR dati rispettivamente dalle equa-

zioni (2.4), (2.5) e (2.6); γGicici+1

(qi, qi+1) sono i vertici efficaci per la produzione

di particelle Pi con quadrimpulsi qi − qi+1 nella collisione di gluoni Reggeiz-

zati rispettivamente con impulsi qi e −qi+1 e indici di colore ci e ci+1.

Nella LLA solo una particella puo essere prodotta dai vertici RRP e dal mo-

mento che i Reggeoni in questione sono gluoni Reggeizzati, questa particella

puo essere soltanto un gluone, poiche un vertice gluone-gluone-fermione non

esiste in QCD [13]. In Figura 2.3 sono stati rappresentati i contributi al

20

vertice efficace per la produzione di un gluone.

B

A

B’

A’

a

b

c≡ 2s 1~q 21Γa

A′Aγcab(q1, q2)

1~q 22Γb

B′B

Fig. 2.3. Contributi al vertice efficace per la produzione di un gluone.

La forma del vertice efficace Reggeone-Reggeone-gluone (RRG) e la seguente:

γGicici+1

(qi, qi+1) = gT dicici+1

e∗µ(ki)Cµ(qi+1, qi), (2.12)

dove T dicici+1

sono gli elementi di matrice dei generatori del gruppo SU(N)

nella rappresentazione aggiunta, di e l’indice di colore del gluone prodotto,

e∗µ(ki) il suo vettore di polarizzazione, ki = qi − qi+1 il suo impulso.

L’ampiezza AAB+nA′B′ (si veda la Figura 2.4.) che compare nella (2.7) puo

essere ottenuta dalla (2.11) sostituendo A → A′, B → B′, q′i ≡ qi − q, dove

q = pA − pA′ ≃ q⊥.

Usando la seguente decomposizione

T dicici+1

(T di

c′ic′i+1

)∗ =∑

R

cR〈cic′i|PR|ci+1c′i+1〉 (2.13)

si ha [15]∑

Gi

γGicici+1

(qi, qi+1)(γGi

c′ic′i+1

(q′i, q′i+1))

∗ (2.14)

21

=∑

R

〈cic′i|PR|ci+1c′i+1〉2(2π)D−1K(R)

r (~qi, ~qi+1; ~q),

dove si e sommato sugli stati di colore e sugli stati di polarizzazione dei gluoni

prodotti, e inoltre

K(R)r (~qi, ~qi+1; ~q) = − g2cR

2(2π)D−1Cµ(qi+1, qi)Cµ(qi+1 − q, qi − q)

=g2cR

(2π)D−1

(

~q 2i (~qi+1 − ~q)2 + ~q 2

i+1(~qi − ~q)2

(~qi − ~qi+1)2− ~q 2

)

. (2.15)

A

B

A

B

q1

qi

qi+1

qn+1

g1

gi

gn

γGicici+1

(qi, qi+1) −→

Fig. 2.4. Rappresentazione schematica dell’ampiezza AAB+nAB .

Sempre dalla (2.13) si ha la seguente decomposizione dell’ampiezza di diffu-

sione AA′B′

AB sulle rappresentazioni del gruppo di colore:

AA′B′

AB =∑

R

(AR)A′B′

AB , (2.16)

dove (AR)A′B′

AB e la parte dell’ampiezza di diffusione che corrisponde ad una

definita rappresentazione irriducibile R del gruppo di colore nel canale t.

Introducendo la trasformata di Mellin2 fR(ω, ~q)A′B′

AB (onda parziale) della

parte immaginaria dell’ampiezza, si ha

fR(ω, ~q)A′B′

AB =∫ ∞

s0

ds

s

(

s

s0

)−ω

ℑms(AR)A′B′

AB , (2.17)

2Per la definizione e le proprieta della trasformata di Mellin si veda, per esempio, [3].

22

la cui inversa e data da (sviluppo in onde parziali) (si veda la Figura 2.5.)

pA

pB

pA′

pB′

q1

qi

qi+1

qn+1

q′1

q′i

q′i+1

q′n+1

Σn

Fig. 2.5. Rappresentazione della parte immaginaria dell’ampiezza AA′B′

AB .

ℑms(AR)A′B′

AB =s

2πi

∮

Cdω

(

s

s0

)ω

fR(ω, ~q)A′B′

AB

≡ s

2πi

∫ δ+i∞

δ−i∞dω

(

s

s0

)ω

fR(ω, ~q)A′B′

AB . (2.18)

Utilizzando la relazione di dispersione e possibile ricostruire l’ampiezza totale

(AR)A′B′

AB =s

2π

∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

sin(πω)

[(−ss0

)ω

− η(

s

s0

)ω]

fR(ω, ~q)A′B′

AB , (2.19)

dove η e la segnatura, che coincide con la simmetria della rappresentazione R.

Per la rappresentazione del gluone, bisogna aggiungere il contributo all’ordine

perturbativo piu basso (ampiezza di Born).

La funzione fR(ω, ~q)A′B′

AB puo essere espressa come

fR(ω, ~q)A′B′

AB =∞∑

n=0

f(n)R (ω, ~q)A′B′

AB =1

(2π)D−2

∫ dD−2qA⊥~q 2A (~qA − ~q)2

(2.20)

× dD−2qB⊥~q 2B (~qB − ~q)2

∑

ν

I(R,ν)A′A G(R)

ω (~qA, ~qB; ~q)I(R,ν)B′B .

23

La funzione G(R)ω , chiamata funzione di Green per la diffusione di due gluoni

Reggeizzati, e definita come

G(R)ω (~qA, ~qB; ~q) =

∞∑

n=0

∫

(

n+1∏

i=1

dD−2qi⊥~q 2i (~qi − ~q)2(ω − ω(ti) − ω(t′i))

)

×(

n∏

i=1

K(R)r (~qi, ~qi+1; ~q)

)

~q 2A(~qA − ~q)2~q 2

B(~qB − ~q)2

×δ(D−2)(q1⊥ − qA⊥)δ(D−2)(qn+1⊥ − qB⊥). (2.21)

q1

q2

q1 − q

q2 − q

q1 q1 − q

q1

q′1

q2

q1 − q

q′1 − q

q2 − q

= +G(R)ω

G(R)ω

Fig. 2.6. Rappresentazione schematica dell’equazione integrale per G(R)ω .

Essa e l’unica quantita dipendente da ω, pertanto, determina la dipen-

denza da s dell’ampiezza di diffusione. Si puo verificare che essa e la soluzione

perturbativa della seguente equazione integrale (si veda la Figura 2.6.):

ωG(R)ω (~q1, ~q2; ~q) = ~q 2

1 (~q1 − ~q)2δ(D−2)(~q1 − ~q2) (2.22)

+∫ dD−2q′1⊥~q ′ 21 (~q ′

1 − ~q)2K(R)(~q1, ~q

′1; ~q)G

(R)ω (~q ′

1, ~q2; ~q),

dove la funzione K(R)(~q1, ~q′1; ~q), chiamata kernel della funzione integrale, ha

la seguente espressione:

K(R)(~q1, ~q2; ~q) = [ω(q21⊥) + ω((q1 − q)2

⊥)]~q 21 (~q1 − ~q)2 (2.23)

×δ(D−2)(~q1 − ~q2) + K(R)r (~q1, ~q2; ~q),

24

dove si possono distinguere due termini; il primo di essi e chiamato parte “vir-

tuale” ed e espresso in termini della traiettoria di Regge del gluone, mentre il

secondo, che e legato alla produzione di particelle reali, e dato dall’equazione

(2.15) (si veda la Figura 2.7.).

Fig. 2.7. Rappresentazione schematica della parte “reale” del kernel nell’ap-

prossimazione di Born.

L’equazione (2.22), nel caso in cui R = 0 (singoletto) e t = 0, e chiamata

equazione BFKL. Nel caso generale, viene chiamata equazione BFKL gene-

ralizzata. Essa e un’equazione di tipo iterativo.

Il kernel K(R) e la funzione di Green G(R)ω possono essere visti come operatori

che agiscono nello spazio degli impulsi trasversi; quindi, l’equazione (2.22)

puo essere scritta nella seguente forma operatoriale:

ωG(R)ω = 1 + K(R)G(R)

ω ,

da cui

G(R)ω =

1

ω − K(R). (2.24)

Se si utilizza la rappresentazione definita da

~q |~qi〉 = ~qi|~qi〉,〈~q1|~q2〉 = ~q 2

1 ~q22 δ

(D−2)(~q1 − ~q2),

〈A|B〉 = 〈A|~k〉〈~k|B〉 =∫

dD−2k

(~k 2)2A(~k)B(~k), (2.25)

e possibile ricostruire l’equazione BFKL generalizzata nella forma integrale

(2.22) a partire dalla (2.24).

25

1.3 Sezione d’urto totale per la diffusione “in avan-ti” con scambio di numeri quantici del vuoto nel

canale t

Si consideri ora un processo di diffusione “in avanti” (A = A′ e B =

B′) con scambio dei numeri quantici del vuoto nel canale t. La sezione

d’urto totale σAB(s), per il teorema ottico3, e legata alla parte immaginaria

dell’ampiezza ℑmsAABAB dalla relazione

σAB(s) =ℑmsAAB

AB

s. (2.26)

Dalle equazioni (2.18) e (2.20) si ottiene che

σAB(s) =∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

1

(2π)D−2

∫

dD−2qA⊥dD−2qB⊥

(

s

s0

)ω

×ΦA(~qA)

(~q 2A)2

Gω(~qA, ~qB)ΦB(−~qB)

(~q 2B)2

, (2.27)

dove

ΦA(~qA) = I(0)AA =

1√N2 − 1

∑

A,c

|ΓcAA

|2; ~qA = −~pA, (2.28)

ΦB(~qB) = I(0)BB =

1√N2 − 1

∑

B,c

|ΓcBB

|2; ~qB = −~pB,

sono chiamati fattori di impatto; mentre Gω(~q1, ~q2) e la funzione di

Green e soddisfa l’equazione

ωGω(~qA, ~qB) = (~q 2A)2δ(D−2)(~qA − ~qB) +

∫

dD−2qr

(~qr2)2

K(~qA, ~qr )Gω(~qr, ~qB),(2.29)

dove

K(~qA, ~qr) = 2ω(−~q 2A)δ(D−2)(~qA − ~qr)(~q

2A)2 + Kr(~qA, ~qr). (2.30)

L’espressione della traiettoria ω(−~q 2) e data nell’equazione (2.4), mentre il

kernel integrale Kr(~q1, ~q2), legato alla produzione di particelle reali, e dato

dalla (2.15) (per q = 0):

Kr(~qA, ~qr) =g2CR

(2π)D−1

2~q 2A~qr

2

(~qA − ~qr)2. (2.31)

3Si veda, per esempio, [3].

26

I due contributi al kernel (virtuale e reale) se considerati separatamente,

presentano divergenze infrarosse; infatti, dalla (2.4),

ω(1)(−~q 2) = −g2NΓ(1 − ǫ)

(4π)2+ǫ

[Γ(ε)]2

Γ(2ε)

2

ǫ(~q 2)ǫ, (2.32)

che diverge quando ε → 0; equivalentemente, la (2.29) da un contributo

di ordine 1/ε dopo l’integrazione intorno al punto ~q1 − ~q2 = 0. Tuttavia,

queste divergenze si cancellano reciprocamente nella (2.29) [17]. Dalla (2.27)

si vede che, se la funzione di Green Gω(~q1, ~q2) presenta un polo ω′, la sezione

d’urto esibira un andamento proporzionale a sω′

(mentre ℑmsAABAB ∝ sω′+1).

Inoltre, poiche in forma operatoriale

Gω =1

ω − K, (2.33)

allora la ricerca delle singolarita di Gω(~q1, ~q2) si puo ricondurre alla ricerca

degli autovalori del kernel. In particolare si trova

σLLAtot ∼ sωB

P√ln s

, (2.34)

dove ωBP = 4N(αs/π) ln 2 e rappresenta il massimo autovalore del kernel.

Il pedice P indica il Pomerone, che e la traiettoria di Regge che governa

l’andamento asintotico in s delle ampiezze con scambio di numeri quantici

del vuoto nel canale t.

2 Equazione BFKL nella NLLA

Nell’approssimazione NLLA [18, 19] la (2.3) e stata provata fino ai pri-

mi tre ordini della teoria perturbativa ed e assunta essere valida a tutti gli

ordini perturbativi [20, 21, 22, 23]. In questo caso il vertice PPR assume la

forma ΓP ′P = δλP λP ′Γ

(+)PP + δλP ′ ,−λP

Γ(−)PP in cui appare un termine in cui non

e conservata l’elicita.

2.1 Correzioni all’ordine sottodominante

L’approccio che si utilizza nella NLLA e formalmente analogo a quello

della LLA; infatti, anche in questo caso, l’obiettivo finale e scrivere l’ampiez-

ze AA′B′

AB per il processo A+B → A′+B′. Evidentemente, le equazioni (2.16)

27

- (2.19), che esprimono queste ampiezze in termini delle loro parti immagi-

narie nel canale s, rimangono inalterate.

Come gia visto nella LLA, anche nella NLLA alla cinematica multi-Regge

(MRK) contribuiscono solo le ampiezze con numeri quantici del gluone nei

canali con impulso trasferito qi. Queste ampiezze dominano su tutte le altre

perche solo per esse non c’e cancellazione fra i contributi dei canali s ed u

(questo implica che solo per queste ampiezze i termini dominanti sono reali);

di conseguenza tutte le altre ampiezze intermedie sono soppresse di un fattore

ln s. Cio significa che nella (2.7) le ampiezze con numeri quantici differenti da

quelli del gluone nei canali ti, porterebbe alla perdita complessiva di almeno

due logaritmi di s; quindi, queste ampiezze aggiuntive possono essere igno-

rate nella NLLA e contribuiranno solo all’approssimazione successiva. Nella

cinematica multi-Regge le parti reali dei contributi alle ampiezze sono pre-

senti nella stessa forma (2.11) della LLA. Pertanto, in questa cinematica, il

problema si riduce al calcolo del contributo a due loop ω(2)(t) [20, 21, 22, 23]

della traiettoria del gluone Reggeizzato ω(t) ed alla correzione ad un loop

della parte reale dei vertici PPR [24, 25, 26] e RRG [27, 28, 29, 30] (si veda

la Figura 2.8.). MRK

• ω(1) −→ ω(2)

• Γc (Born)P ′P −→ Γ

c (1-loop)P ′P

Born −→ 1-loop

• γGi(Born)cici+1 −→ γ

Gi(1-loop)cici+1

Born

−→1-loop

Fig 2.8. Correzioni NLLA alla traiettoria e ai vertici PPR e RRG nella cine-

matica multi-Regge.

Contrariamente alla LLA, nella NLLA la cinematica multi-Regge non e l’u-

nica cinematica che contribuisce alla (2.7); infatti, poiche in questa appros-

simazione si ha la possibilita di perdere un logaritmo di s, va considerata

28

anche la cinematica in cui una qualsiasi coppia di particelle prodotte (ma

una soltanto!) possa avere una massa invariante fissata (non crescente con

s). In altri termini, le componenti di questa coppia possono avere le relative

variabili di Sudakov dello stesso ordine di grandezza. Questa cinematica,

chiamata quasi-multi-Regge (QMRK), puo essere trattata includendo, insie-

me alla produzione di un gluone, la produzione di stati piu complessi nella

collisione Reggeone-Reggeone (RR), cioe stati gluone-gluone (GG) [31, 32] e

quark-antiquark (QQ) [33, 34, 35, 36, 37]. Inoltre, nelle collisioni Reggeone-

particella (RP), si deve considerare la produzione di stati “eccitati” (con-

tenenti una particella in piu) nella regione di frammentazione di una delle

particelle iniziali (si veda la Figura 2.9.). Di conseguenza, l’onda parziale

(2.17) puo essere presentata nella stessa forma (2.20), ma con la funzione di

Green ed i fattori d’impatto modificati. Questi ultimi dovranno contenere le

correzioni ai vertici PPR. L’equazione (2.22) per la funzione di Green e la

rappresentazione (2.23) del kernel restano formalmente invariati.

QMRK

• Γc (Born)P ′P −→ Γ

c (Born){f}P

Born −→Born

• γGi(Born)cici+1 −→ γ

QQ(Born)cici+1

Born

−→Born

• γGi(Born)cici+1 −→ γ

GG(Born)cici+1

Born

−→

Born

Fig 2.9. Correzioni NLLA alla traiettoria e ai vertici PPR e RRG nella cine-

matica quasi-multi-Regge.

29

Nella parte virtuale del kernel, pero, la traiettoria va considerata fino

all’approssimazione di due loop:

ω(t) ≃ ω(1)(t) + ω(2)(t) (2.35)

e la parte “reale” dovra contenere, oltre ai contributi relativi alla produzione

di un gluone nelle collisioni RR (calcolati al livello di un loop) [27], anche i ter-

mini relativi alla produzione di stati GG [31, 32, 38, 39] e QQ [33, 34, 36, 37]

(calcolati al livello di Born). Il primo contributo dovra essere calcolato nel-

l’approssimazione di un loop, mentre gli altri due al livello di Born. Percio,

la parte “reale” del Kernel NLLA puo essere presentata nella forma (si veda

la Figura 2.10.)

K1−loopRRG

KBornRRQQ

KBornRRGG

Fig. 2.10. Rappresentazione schematica delle correzioni NLLA alla parte

reale del kernel.

Kr(~q1, ~q2) = K1−loopRRG (~q1, ~q2) + KBorn

RRGG(~q1, ~q2) + KBornRRQQ(~q1, ~q2). (2.36)

30

Nella rappresentazione di singoletto, il kernel NLLA e noto completamente

sia per il caso di diffusione in avanti (t = 0), sia per il caso di diffusione non

in avanti. Lo stesso vale per il caso della rappresentazione di ottetto.

Questa rappresentazione e importante perche quando nel processo elastico

A+B → A′ +B′ si considera lo scambio nel canale t della funzione di Green

nella rappresentazione di ottetto con segnatura negativa, l’ampiezza si deve

ridurre a quella con lo scambio di un solo gluone Reggeizzato (bootstrap) [36,

40, 41, 42].

3 Quadro riassuntivo

Nell’approccio BFKL, sia nella LLA che nella NLA, l’ampiezza per un

processo di diffusione ad alta energia puo essere scritta come la convoluzione

della funzione di Green G di due gluoni Reggeizzati interagenti con i fattori

di impatto ΦA′A e ΦB′B delle particelle che collidono (si veda la Figura 2.11.).

pA pA′

ΦA′A

q1 q1 − q

q2 q2 − q

G

pB pB′

ΦB′B

Fig. 2.11. Fattorizzazione dell’ampiezza

La funzione di Green puo essere ottenuta dal kernel dell’equazione BFKL,

che gia da tempo e noto nella NLA per il caso in avanti [19, 21, 23, 24, 25,

28, 29, 31, 33, 34, 35, 38] e solo qualche anno fa anche per il caso non-in

avanti [43].

Mentre la funzione di Green e universale, i fattori di impatto dipendono dal

processo in analisi. Il calcolo dei fattori di impatto all’ordine sottodominante

per particelle fisiche non e un compito facile ed e stato effettuato solo per

31

pochi casi. In particolare sono noti, all’ordine sottodominante, i fattori di

impatto per il quark [42], per il gluone [41], per la transizione fotone virtuale-

fotone virtuale [44] e per la transizione fotone virtuale-mesone [45].

32

Appendice A

Decomposizione di Sudakov

Un generico quadrivettore q puo essere decomposto [46] come

q = βp1 + αp2 + q⊥, (2.37)

dove q⊥ e, per costruzione, la componente di q perpendicolare al piano

individuato dai due quadrivettori p1 e p2 con le seguenti proprieta

p21 = p2

2 = 0, s = 2(p1p2). (2.38)

Da cio ne segue che

q2 = βαs− q2⊥ (2.39)

dq =s

2dβdαd2q⊥ (2.40)

Per un generico processo di collisione tra le particelle A e B e conveniente

scegliere i quadrivettori p1 e p2 tali che giacciano sul piano dei momenti pA

e pB. Cio equivale a definire

pA = p1 +m2

A

sp2, pB = p2 +

m2B

sp1. (2.41)

Avendo fatto questa scelta il termine “trasverso” assume ora il significato di

trasverso rispetto al piano della collisione.

33

Capitolo 3

Fattore di impatto per laproduzione di un jet

Quello che si vuole studiare e l’adroproduzione inclusiva di una coppia

di jet con momento trasverso prodotto molto maggiore rispetto alla massa

dell’adrone stesso e con grande separazione di rapidita y. Se y e abbastanza

grande, come deve esserlo nel limite di alte energi e (s → ∞), tale che il

prodotto αsy ∼ 1 allora, puo essere fatta la risommazione BFKL di questi

termini.

Poiche i fattori di impatto non sono universali, ma dipendono dalle particelle

che collidono, e necessario conoscere l’espressione del fattore di impatto del

protone-jet. Il jet puo essere generato da un quark o un gluone che determi-

nano quindi due fattori di impatto differenti. In questo lavoro di tesi e stato

considerato solo il primo dei due.

Questo calcolo, in realta, e gia stato eseguito da J. Bartels, D. Colferai e G.P.

Vacca [1] i quali hanno utilizzato una differente notazione rispetto a quella

introdotta da Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria

BFKL.

Per poter utilizzare il loro risultato e stato necessario controllare la correttez-

za del calcolo in un caso limite, per verificare che non ci fossero errori (come

effettivamente riscontrati) e adattare il risultato alla notazione di Balitskii,

Fadin, Kuraev e Lipatov. Inoltre, mentre il calcolo di J. Bartels, D. Colfe-

rai e G.P. Vacca [1] e ad ordine perturbativo fissato, qui verra effettuata la

risommazione di tutta la serie perturbativa limitatamente ai termini con i

34

logaritmi dell’energia dominanti e sottodominanti.

1 Due diverse notazioni

In questa sezione verranno confrontate le due diverse notazioni: quella

usata da J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1] e quella introdotta da Bali-

tskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria BFKL che sara

proprio quella utilizzata in questo lavoro di tesi.

Nel formalismo di J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca la sezione d’urto

differenziale per il processo A+B → A′ +B′ viene scritta come [47]

dσAB

d[k1]d[k2]=∫

dω

2πiω

(

s

s0(k1,k2)

)ω

hA(k1)Gω(k1,k2)hB(k2), (3.1)

dove s0(k1,k2) e una scala di energia e sara scelta essere s0 = |~k||~k′| (ki =

|ki|); d[k] = d2+2εkπ1+ε rappresenta la misura dello spazio trasverso; hi(kn) sono i

fattori di impatto; Gω(k1,k2) e la funzione di Green, che in forma operatoriale

all’ordine leading e scritta come

Gω =(

1 − αs

ωK0

)−1

, (3.2)

con

K0(k1,k2) =1

q2Γ(1 − ε)µ2ε+ 2ω(1)(k2

1)δ[q], δ[q] = π(1+ε)δ2+2ε(q), (3.3)

dove q = k1 − k2.

All’ordine NLA si ha invece

Gω = (1 + αsHL)[

1 − αs

ω(K0 + KNL)

]−1

(1 + αsHR) (3.4)

in cui HL e HR sono due fattori operatoriali che nel caso in cui s0 = |~k||~k′|soddisfano la relazione HR = H

†L = H e prendono la forma [47]

H(k1,k2) = − 1

q2µ2εln

q

k1

Θ(q2 − k21); (3.5)

35

e

αs =N

π

g2Γ(1 − ε)µ2ε

(4π)1+ε(3.6)

e la costante di accoppiamento dimensionale.

Nella notazione di Fadin et al. la sezione d’urto e data dalla (2.27) mentre

la funzione di Green, a tutti gli ordini, e data dalla (2.29) che in forma

operatoriale diventa

Gω = (ω −K)−1. (3.7)

Confrontando la (3.1) con la (2.27) si puo notare che e stata utilizzata una

normalizzazione differente, in particolare nel primo caso si ha:

〈~q ′|~q〉 = δ(~q − ~q′

), (3.8)

mentre nel secondo

〈~q ′|~q〉 = δ(~q − ~q′

)~q 2~q′2. (3.9)

Nonostante cio all’ordine dominante i due metodi sono analoghi come si puo

facilmente vedere se nella (2.27) e nella (3.1) la funzione di Green viene

espressa in forma funzionale.

Le cose cambiano nella NLA a causa della differente definizione della funzione

di Green (3.4). In particolare per poter confrontare le due differenti notazioni

e necessario fare la seguente identificazione

Φ(1)(~k1)

Φ(B)(~k1)=h(1)(~k1)

h(0)(~k1)+ αs

∫

d~krh(0)(~kr)

h(0)(~k1)HL(~kr, ~k1), (3.10)

dove HL pero va moltiplicato per un fattore 1/Γ(1 − ε) dovuto al fatto che

quando e stato definito, nella [47], c’e stato un errore, gia riscontrato in [41].

Φ(1)A (~k1) e il fattore di impatto nella notazione usata in questo lavoro; h

(1)A (~k1)

il fattore di impatto nella notazione di J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca;

la funzione di Green e la sezione d’urto soddisfano rispettivamente la (2.29)

e la (2.27).

36

2 Struttura generale

Per poetr determinare la sezione d’urto per il processo H + H → jet +

jet + X e conveniente studiare, preliminarmente, un sottoprocesso in cui

un adrone H , interagendo fortemente con un partone b, produce nello stato

finale un solo jet nella direzione in avanti rispetto all’adrone H , in particolare

H + b→ jet + q +X dove X rappresenta un insieme di particelle con basso

momento longitudinale.

L’adrone e il partone iniziale avranno quadri-impulso rispettivamente

pH =

√

s

2(1, 0, 0, 1) pb =

√

s

2(1, 0, 0,−1) (3.11)

Nella cinematica di Regge si ha

s = (pH + pb)2 → ∞, t = (pH − pJ)2 ≃ −√

sEJe−yJ fisso, (3.12)

dove pJ e il momento del jet nello stato finale, ed EJ la sua energia.

Nel limite s → ∞ e possibile trascurare la massa dei partoni costituenti

l’adrone H e l’interazione tra i partoni stessi. E quindi possibile considerare

esclusivamente la collisione tra il quark b e un generico quark a proveniente

dall’adrone H .

Il quark (a) proveniente dall’adrone H avra impulso

pa = xpH = x

√

s

2(1, 0, 0, 1), (3.13)

dove x e la variabile di Bjorken.

Il processo studiato da Bartels et al. e stato quindi H + b → q + jet + X

in cui il jet e collineare a b e ha una grande separazione in rapidita rispetto

all’altro quark emesso. Questo, nel limite di alte energie, puo essere visto

come la somma di diversi sottoprocessi quali: H + b → q + jet, produzione

di un quark ed un jet con lo scambio di un gluone, H + b → q + g + jet,

nello stato finale oltre al quark e al jet, vi e anche la produzione di un gluone

nella parte centrale con una grande separazione in rapidita tra il quark e il

jet stessi, H+ b→ q+ g+ g+jet, nella zona centrale si ha non piu un gluone

ma due e cosı via.

Bartels et al. si sono dedicati solo allo studio dei primi due, ottenendo la

37

sezione d’urto differenziale dσ/dJ , integrando quindi su tutto lo spazio delle

fasi degli stati finali escluso quello del jet. Per identificare il jet hanno intro-

dotto una generica funzione SJ con lo scopo di selezionare le configurazioni

dello stato finale.

Per verificare l’esattezza del risultato trovato in [1] e stato qui considerato

un caso limite, cioe quello in cui non vi e la selezione del jet. Questo significa

integrare su tutto lo spazio delle fasi, anche quello del jet, ottenendo cosı la

sezione d’urto totale per il processo quark-quark. Per cui le condizioni da

porre sono [48]:

∫

dJSJ = 1, (3.14)∫

dxfa(x) = 1. (3.15)

La (3.14) e dovuta al fatto che si integra su tutto lo spazio della fasi degli

stati finali; la (3.15) significa integrare la distibuzione partonica fa(x) sulla

variabile di Bjorken poiche non si vuole studiare il processo H + q ma q + q.

Con queste condizioni il vertice del jet si deve ridurre al fattore di impatto

del quark che, nella notazione di Fadin et al. e stato calcolato all’ordine

dominante e sottodominante in [42].

Nelle due sezioni successive sara quindi verificata l’esattezza del risulta-

to trovato in [1] all’ordine dominante(a + b → q + jet) e sottodominante

(a + b→ q + g + jet) rispettivamente.

3 Il Jet all’ordine piu basso

All’ordine piu basso il processo da studiare e a b → 1 2. Le particelle

scambiate avranno momento, tramite parametrizzazione di Sudakov (si veda

la Figura 3.1.)

k = pb − p2 = −ωpa + ωpb + k⊥, k⊥ = (0, 0, ~k) (3.16)

k′ = p1 − pa = −zpa + zpb + k′⊥, k′⊥ = (0, 0, ~k′)

s = (pa + pb)2 = xs.

38

pb p2

Φ

k k − q

k′ k′ − q

G

pa p1Φ

Fig. 3.1. Fattorizzazione dell’ampiezza

In questo caso la parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione e

ℑms(A)ABAB =

s

(2π)2+2ε

∫

d2+2εk

(~k2)2

∫

d2+2εk′

(~k′2)2

Φcc′(B)AA (~k; 0) (3.17)

×∫ δ+∞

δ−∞

dω

2πi

[(

s

s0

)ω 1

ω(~k2)2δ(2+2ε)(~k − ~k′)

]

×Φcc′(B)BB (−~k′; 0),

dove il fattore di impatto per il quark, all’ordine dominante, e [42]

Φcc′(B)(~k) = g2

√N2 − 1

2N. (3.18)

Sostituendo la (3.18) nella (3.17) ed integrando su ω e k si ha

ℑms(A)ABAB = s

d2+2εk

(2π)2+2εg4N

2 − 1

4N2

1

(~k2)2. (3.19)

Confrontando, come detto, questo risultato con quello ottenuto in [1], si puo

notare che non ci sono discordanze.

A questo livello e evidente che il jet puo contenere solo uno dei due quark nello

stato finale. Inoltre poiche si e interessati al jet in avanti rispetto all’adrone

iniziale, la configurazione p2 = pJ da un contributo trascurabile rispetto alla

configurazione p1 = pJ . Questo puo essere visto notando che l’ampiezza

corrispondente alla prima configurazione ha un propagatore ∼ 1/|u| ≃ 1/s

(dove u = (pb − p1)2) mentre la seconda ha un propagatore ∼ 1/t. Per

39

cui l’identificazione da fare e p1 = pJ , cosı la distribuzione del jet per due

particelle nello stato finale puo essere scritta come

S(2)J (~k; x) = S

(2)J (p1, p2; pa, pb) = δ

(

1 − xJ

x

)

E1+2εJ δ(~k − ~kJ), (3.20)

con xJ = EJeyJ√s, e ~kJ il momento trasverso del jet.

Si puo quindi concludere che il vertice all’ordine piu basso assume la forma

V (B)q (~k, x) = Φcc′(B)

q (~k)S(2)J (~k; x). (3.21)

4 Il Jet all’ordine NLA

In questa sezione verra calcolato il contributo al vertice del jet all’ordine

NLA. E qui necessario correggere il fattore di impatto con le correzioni reali

dovute all’emissione di un gluone nello stato finale e con le correzioni virtuali

che comportano, nei diagrammi, lo scambio di due gluoni.

Il processo da studiare sara ora a b → 1 2 3, dove 3 rappresenta il gluone con

momento p3.

Nella cinematica MRK si ha

y1 ≫ y3 ≫ y2, |~k′| ∼ |~k − ~k′| ∼ |~k|, (3.22)

cioe la rapidita y3 del gluone emesso e fortemente ordinata tra la rapidita dei

partoni diffusi y1 e y2, in altri termini il gluone e emesso nella zona centrale.

Attraverso la parametrizzazione di Sudakov si ha

k = pb − p2 = −ωpa + ωpb + k⊥, k⊥ = (0, 0, ~k), (3.23)

k′ = p1 − pa = −zpa + zpb + k′⊥, k′⊥ = (0, 0, ~k′),

e in MRK ω ∼ z ≪ ω ∼ z ≪ 1.

Definizione di jet In generale nella QCD in cui vengono trascurate

le masse dei partoni, esistono due divergenze infrarosse: (i) soffice la qua-

le emerge quando un gluone e emesso con un momento che va a zero; (ii)

collineare la quale emerge quando due partoni interagenti sono emessi col-

linearmente. E quindi necessario che la SJ che determina il jet non abbia

40

queste divergenze, in particolare dato un set di funzioni S(n)J (p1, ..., pn; pa, pb)

(dove pa e pb denotano i momenti degli stati iniziali) e necessario richiedere

che uno stato (p1, ..., pj , ..., pn) con una particella soffice pj → 0 deve essere

indistinguibile dalle altre n− 1 particelle dello stato finale (p1, ..., pn), cioe

limpj→0

S(n)J (..., pj, ...; pa, pb) = S

(n−1)J (...; pa, pb). (3.24)

Allo stesso modo in uno stato (p1, ..., pi, pi+1..., pn) con due particelle colli-

neari, cioe pi||pi+1, esse non possono essere distinte dalle altre n−1 particelle

dello stato finale (p1, ...pi, pi+1, ..., pn). La funzione S(n)J deve allora soddisfare

S(n)J (..., ap, bp, ...; pa, pb) = S

(n−1)J (..., (a + b)p, ...; pa, pb), (3.25)

con a, b > 0.

Quando una particella uscente e collineare con una iniziale detta a, la fun-

zione S(n)J dovra soddisfare una relazione simile:

S(n)J (..., apa, ...; pa, pb) = S

(n−1)J (...; (1 − a)pa, pb), (3.26)

con 0 < a < 1.

Poiche vi e l’emissione di tre partoni nello stato finale (due quark e un gluone),

le possibili configurazioni di divergenza collineare sono: a||1, a||3, 1||3, b||2,b||3, 2||3. Anche in questo caso il contributo dovuto al vertice dalla parti-

cella 2 e soppresso. Per cui solo le particelle 1 e 3 possono far parte del jet e

quindi la funzione SJ , detta ora S(3)J oltre al quark 2 dovra selezionare anche

il gluone 3.

Per determinare la parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione e necessario

fare la convoluzione della funzione di Green con i fattori di impatto ottenen-

do tre termini: il primo conterra i due fattori di impatto uno all’ordine NLA

e l’altro all’ordine LA combinati con la funzione di Green all’ordine LA e

l’altro fattore di impatto all’ordine LA; il secondo conterra la funzione di

Green all’ordine NLA con i fattori di impatto al livello di Born; e l’ultimo e

analogo al primo. Nel caso limite si ha

ℑm(A)ABAB =

s

(2π)2+2ε

∫

d2+2εk

(~k2)2

d2+2εk′

(~k′2)2

∫ δ+∞

δ−∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω 1

ω(3.27)

41

×{

Φ(1)b (~k; 0; s0)(~k

2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)

+Φcc′(B)b (~k; 0; s0)

[

∫

d2+2εkr

(~k2r)

2

1

ω(~k 2

r )2δ2+2ε(~kr − ~k′

)

×

2ω(−~k2r)(~k2

r)2δ2+2ε(~kr − ~k) + 2g2 N

(2π)3+2ε

~k2~k2r

(~k − ~kr)2

×Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)

]

+Φcc′(B)b (~k; 0; s0)(~k

2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φ(1)a (−~k′; 0; s0)

}

≡ I1 + I2 + I3,

dove

I1 =s

(2π)2+2ε

∫ d2+2εk

(~k2)2

d2+2εk′

(~k′2)2

∫ δ+∞

δ−∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω 1

ω(3.28)

×Φ(1)b (~k; 0; s0)(~k

2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)

(3.29)

I2 =s

(2π)2+2ε

∫

d2+2εk

(~k2)2

d2+2εk′

(~k′2)2

∫ δ+∞

δ−∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω 1

ω(3.30)

Φcc′(B)b (~k; 0; s0)

∫

d2+2εkr

(~kr

2)2

1

ω( ~K 2

r )2δ2+2ε(~kr − ~k′

)

×

2ω(−~k2r)(~k2

r)2δ2+2ε(~kr − ~k) + 2g2 N

(2π)3+2ε

~k2~k2

(~k − ~kr)2

×Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)

]

(3.31)

I3 =s

(2π)2+2ε

∫

d2+2εk

(~k2)2

d2+2εk′

(~k′2)2

∫ δ+∞

δ−∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω 1

ω(3.32)

Φcc′(B)b (~k; 0; s0)(~k

2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φ(1)a (−~k′; 0; s0)

e il fattore di impatto per il quark all’ordine NLA [42] e

Φ(1)a (~k′, 0; s0) = g2

√N2 − 1

2N

[

−g2NΓ(1 − ε)

(4π)2+ε

[Γ(ε)]2

Γ(2ε)(~k′2)

]

(3.33)

×[

− ln(

s0

~k′2

)

+(

10

3− 1

3

nf

N

)

+ ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

,

42

Sostituendolo nella (3.27) si ha, attraverso semplici passaggi,

I1 = I3 =s

(2π)2+2εg4N

2 − 1

4N2

∫

d2+2εk

(~k2)2

[

−g2NΓ(1 − ε)

(4π)2+ε

Γ(ε)2

Γ(2ε)~k2ε

]

(3.34)

×[

− ln(

s0

~k2

)

+(

10

3− 1

3

nf

N

)

+ ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

Nf

N

)]

,

e

I2 = g6N2 − 1

4Nln

(

s

s0

)

s

(2π)3+3ε

∫

d2+2εk

~k2(3.35)

×

−Γ(1 − ε)[Γ(ε)]2

Γ(2ε)

1

22+επ

~k2ε

~k2

+1

π

1

(2π)1+ε

∫

d2+2εk′

~k′2(~k − ~k′)2

}

Quest’ultimo coincide con il risultato ottenuto in [1].

Per poter confrontare I1 e necessario prima di tutto riportare l’equazione

(3.33) in una forma generale, cioe senza fissare una particolare scala di energia

s0, facendo la seguente trasformazione:

φAA′(~k, ~q; s0) −→ φAA′(~k, ~q; s0) +1

2

∫ d2+2εkr

~k2r~k′2

r

Φ(B)AA′(~kr, ~q) (3.36)

×K(B)(~kr, ~k; ~q) ln

f1(~kr, ~q)

s0

,

con s0 =√

f1(~k, ~q)f2(~k′, ~q).

Usando come scala s0 = |~k||~k′| per l’equazione (3.33) si ha:

Φ(1)q (~k; s0)

Φ(B)q

−→ ω(1)(−~k2)[(

− ln(

s0

~k2

)

+10

3− 1

3

nf

N

)

(3.37)

+ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

+1

2

∫ d2+2εkr

(~k2r)

2

×

2ω(1)(−~k2r)(~k2

r)2δ(2+2ε)(~kr − ~k) + g2 N

(2π)3+2ε2

~k2r~k2

(~kr − ~k)2

× ln

f1(~kr, 0)

s0

43

da cui

Φ(1)q (~k; s0)

Φ(B)q (~k)

−→ ω(1)(−~k2)[(

10

3− 1

3

nf

N

)

(3.38)

+ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

+ g2N~k2

(2π)3+2ε

∫

d2+2εkr

~k2r(~kr − ~k)2

ln

~k2r

~k2

.

La stessa scala s0 = |~k||~k′| e stata usata anche in [47], ma qui il fattore

di impatto e stato definito in modo diverso, come gia visto. In particolare

h(1)q (~k) [47] e

h(1)q (~k) =

N

π

(

67

36− π2

12

)

− 5

18

Nf

N+

1

ε

ε

4− 3

4

~k 2ε

µ2ε

(3.39)

−b0 lnE2

J

µ2

]

h(0)q (~k).

E necessario quindi usare la (3.10), ottenendo

h(1)q (~k)

h(0)q (~k)

−→ ω(−~k2)

[

(

10

3− 1

3

nf

N

)

+ ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

(3.40)

−g2N~k2

(2π)3+2ε

∫ d2+2ε ~kr

~kr

2(~kr

2 − ~k)2ln

(~kr − ~k)2

~kr

2

Θ(

(~kr − ~k)2 − ~kr

2)

,

dove h(0)q (~k) [47]

h(0)q (~k) =

21+εg2

(4π)1+ε√N2 − 1

N2 − 1

2N

1

~k 2. (3.41)

Si ha in particolare per la (3.38)

I1 =1

(2π)2+2εg4N

2 − 1

4N2

∫

dd−2k

(~k2)2

{

−g2NΓ(1 − ε)

(4π)2+ε

[Γ(ε)]2

Γ(2ε)(~k2)ε (3.42)

×[

(

10

3− 1

3

nf

N

)

+ ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

+g2N~k2

(2π)3+2ε

∫

d2+2εkr

~k2r(~kr − ~k)2

ln

~k2r

~k2

44

e analogamente per la (3.40)

I1 =g4

(2π)2+2ε

N2 − 1

4N2

∫ d2+2εk

(~k2)2

{

−g2NΓ(1 − ε)

(4π)2+ε

Γ(ε)2

Γ(2ε)~k2ε (3.43)

×[

(

10

3− 1

3

nf

N

)

+ ε

(

−38

9+π2

6+

5

9

nf

N

)]

− g2N~k2

(2π)3+2ε

×∫ d2+2ε~kr

~k2r(~kr − ~k)2

ln

(~kr − ~k)2

~k2r

Θ(

(~kr − ~k2)2 − ~k2

r

)

Si dimostra [41] che l’ultimo termine della (3.42) e della (3.43) sono uguali,

a meno di termini dell’ordine di ε, cioe

∫

d2+2εkr

~k2r(~kr − ~k)2

ln

~k2r

~k2

+ ln

(~kr − ~k)2

~k2r

Θ(

(~kr − ~k2)2 − ~k2

r

)

= 0,(3.44)

per cui i due risultati coincidono.

Rimane ora da confrontare I2. Per fare cio e necessario verificare che l’e-

spressione del vertice ottenuta in [1] nel caso limite si riduce alla (3.39) o

analogamente, dopo aver fatto le dovute trasformazioni (3.10), alla (3.43).

Il fattore di impatto del vertice e stato corretto, come si e detto, attraverso

delle correzioni virtuali e reali, in particolare per le correzioni reali [1] si ha

V(1)q(d,f)(

~k, x) =NCF

2π

∫ 1

zcut

dzPgq(z, ε)

πε

1

~k ′2~q 2(~q − z~k)2(3.45)

×[CF z2~k

′2 + CA(1 − z)~q · (~q − z~k)]S(3)J (~k

′

, ~q, xz; x),

dove N = 21+εαs

µ2εΓ(1−ε)√

N2−1; Pgq(z, ε) rappresenta la parte reale della funzione

di splitting q → g nello spazio a (4 + 2ε)-dimensioni; Ci sono i fattori di

colore, in particolare CF = N2−12N

(per un quark) e CA = N (per un gluone);

Nf e il numero di sapori dei quark.

Il pedice (f, d) indica la presenza di una parte divergente ed una finita. Que-

st’ultima fara completamente parte dell’espressione del vertice finale, mentre

una parte divergente contribuira al vertice e l’altra alla correzione del kernel.

In particolare la parte finita, ottenuta dalla (3.45) mediante sottrazione delle

parti divergenti, e:

V (1)q (~k, x) =

[(

3

2lnE2

J

Λ2− 2

)

CF

π+

(

85

36+π2

4

)

CA

π− 5

18

Nf

π(3.46)

45

−b0 lnE2

J

µ2

]

V (0)q (~k, x) +

∫

dz V (0)q (~k, xz)

{

CF

π

[

1 − z

2

+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

+CA

π

z

2

}

+CA

π

∫

d2+2εk′

π

×∫

dz

1

2Pqq(z)

(1 − z)~q · (~q − ~k)

~q 2(~q − ~k)2h(0)

q (~k′

)

× S(3)J (~k

′

, ~q, xz, x) − 1

~k ′2Θ(

Λ2 − ~k′2)

V (0)q (~k, xz)

)

− 1

z~q 2Θ(

|~q| − z(|~q| + |~k ′|))

V (0)q (~k

′

, x)

]

+CF

2π

∫

dz1

(1 − z)+

(1 + z2)∫

d2+2εl

π~l 2

[

NCF

~l 2 + (~l − ~k)2

×(

S(3)J (z~k + (1 − z)~l, (1 − z)(~k −~l), x(1 − z); x)

+S(3)J (~k − (1 − z)~l, (1 − z)~l, x(1 − z); x)

)

−Θ(

Λ2 −~l 2) (

V (0)q (~k, xz) + V (0)

q (~k, x))]

,

dove Λ e un cut-off ultravioletto; Pqq(z) = CF

(

1+z2

1−z

)

+e la funzione di split-

ting q → q Altarelli-Parisi; per semplicita e stato riscalato il momento tra-

sverso del gluone trasferito ponendo ~q = z~l.

Nel caso limite, cioe quando sono verificate le (3.14) e (3.15), il processo da

studiare e a b→ 1 2 3 e se la (3.46) e corretta si dovrebbe ridurre alla (3.39).

L’equazione di partenza e quindi

V (1)q (~k, x) →

[(

3

2lnE2

J

Λ2− 2

)

CF

π+

(

85

36+π2

4

)

CA

π− 5

18

Nf

π(3.47)

−b0 lnE2

J

µ2

]

h(0)q (~k) +

∫

dz h(0)q (~k)

{

CF

π

[

1 − z

2

+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

+CA

π

z

2

}

+CA

π

∫

d2+2εk′

π

×∫

dz

1

2Pqq(z)

(1 − z)~q · (~q − ~k)

~q 2(~q − ~k)2h(0)

q (~k′

)

− 1

~k ′2Θ(

Λ2 − ~k′2)

h(0)q (~k)

)

− 1

z~q 2Θ(

|~q| − z(|~q| + |~k ′|))

h(0)q (~k

′

)

]

46

+CF

π

∫

dz1

(1 − z)+(1 + z2)

∫ d2+2εl

π~l 2

[

NCF

~l 2 + (~l − ~k)2

−Θ(

Λ2 −~l 2)

h(0)q (~k)

]

.

In realta nella (3.47) sono stati riscontrati degli errori e l’espressione corretta

da cui partire e

V (1)q (~k, x) →

[(

3

2lnE2

J

Λ2− 2

)

CF

π+

(

85

36+π2

4

)

CA

π− 5

18

Nf

π(3.48)

−b0 lnE2

J

µ2

]

h(0)q (~k) +

∫

dz h(0)q (~k)

{

CF

π

[

1 − z

2

+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

+CA

π

z

2

}

+CA

π

∫ d2+2εk′

π

×∫

dz

1

2Pgq(z)

(1 − z)~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2h(0)

q (~k′

)

− 1

~k ′2Θ(

Λ2 − ~k′2)

h(0)q (~k)

)

− 1

z~q 2Θ(

|~q| − z|~k|)

h(0)q (~k

′

)

]

+CF

π

∫

dz1

(1 − z)+(1 + z2)

∫

d2+2εl

π~l 2

[

NCF

~l 2 + (~l − ~k)2

−Θ(

Λ2 −~l 2)

h(0)q (~k)

]

= h′(1)q(fin).

In particolare, i termini da modificare sono:

Pqq(z) −→ Pgq(z); (3.49)

~q · (~q − ~k)

~q 2(~q − ~k)2−→ ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2(3.50)

Θ(

|~q| − z(|~q| + |~k ′|))

−→ Θ(

|~q| − z|~k|)

(3.51)

La (3.49) e la (3.50) sono gia evidenti confrontando la (3.47) con la (3.45)

e sono state confermate esplicitando il calcolo della (3.47) a partire dalla

(3.45).

La (3.51) e meno evidente e l’origine del problema e da riscontrare nel fatto

che Bartels et al. trovano questo termine a partire da una media sull’angolo

azimutale del gluone φ3, ottenendo

〈(1 − z)~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

~q 2Θ(

|~q| − z(

|~q| + |~k ′ |))

, (3.52)

47

mentre e stato trovato che la quantita divergente da sottrarre e

〈 ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

~q 2Θ(

|~q| − z|~k|)

(3.53)

Per il calcolo esplicito si veda l’Appendice (3).

Poiche la (3.48) e nel limite ε → 0, per poterla risolvere, e stato necessario

ripristinare la dipendenza da ε, in particolare, e stato reintrodotto un para-

metro πε (πε = π1+εΓ(1 − ε)µ2ε).

Risolvendo la (3.48) si ha

h′(1)q(fin) =

[(

3

2lnE2

J

Λ2− 2

)

CF

π+

(

85

36+π2

4

)

CA

π− 5

18

Nf

π(3.54)

−b0 lnE2

J

µ2

]

h(0)q (~k) + Ia + Ib + Ic + Id + Ie + If

dove gli integrali Ia, Ib, Ic, Id, Ie, If (calcolati nell’Appendice (2)) sono

Ia(~k) :=∫ 1

0dz h(0)

q (k)

{

CF

π

[

1 − z

2+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

(3.55)

+CA

π

z

2

}

= h(0)q (k)

(

2CF

π+CA

4π

)

;

Ib(~k) :=CA

ππε

∫

d2+2εk′∫ 1

zcut

dz1

2Pgq(z)(1 − z)

~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2h(0)

q (~k′

)(3.56)

=CA

ππεh(0)

q (~k)π1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

×(

−2 ln zcut −1

2ε− π2

3ε− 3

4− ε

2

)

;

Ic(~k) := − CA

ππε

∫

d2+2εk′∫ 1

zcut

dz1

2Pgq(z)

1

~k ′2Θ(

Λ2 − ~k′2)

h(0)q (~k) (3.57)

=CA

ππεπ1+εh(0)

q (~k)1

Γ(1 + ε)

(

ln zcut +3

4

)

Λ2ε

ε;

Id(~k) := − CA

ππε

∫ 1

zcut

dz

z

∫

d2+2εk′

~q 2h(0)

q (~k′

)Θ(

|~q| − z|~k|)

(3.58)

48

= h(0)q (~k)

CA

ππεπ1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

(

1

2ε+ 2 ln zcut

)

;

Ie(~k) :=CF

π

∫ 1

0dz

(1 + z2)

(1 − z)+

∫

d2+2εl

πε~l 2

NCF

~l 2 + (~l − ~k)2(3.59)

= −3

2

CF

ππεh(0)

q )(~k)π1+εΓ(1 − ε)~k 2ε

ε;

If(~k) := −CF

π

∫ 1

0dz

(1 + z2)

(1 − z)+

∫ d2+2εl

πε~l 2

Θ(

Λ2 −~l 2)

h(0)q (~k) (3.60)

=3

2

CF

ππε

h(0)q (~k)

π1+ε

Γ(1 + ε)

Λ2ε

ε.

Dalla (3.45) si ottiene che la parte divergente che contribuira al fattore di

impatto del vertice e

Vdiv =1

2πε

(

Λ2

µ2

)ε∫

dz V (0)q (~k, xz) [Pqq(z) + CAPgq(z)] (3.61)

e nel caso limite diventa

Vdiv → 1

2πε

(

Λ2

µ2

)ε∫

dz h(0)q (~k) [Pqq(z) + CAPgq(z)] (3.62)

= h′(1)(~k)div.

Integrando si ha

Ig(~k) :=1

2πε

(

Λ2

µ2

)ε∫ 1

0dz h(0)

q (~k)Pqq(z) = 0 (3.63)

Ih(~k) :=CA

2πε

(

Λ2

µ2

)ε∫ 1

zcut

dz h(0)q (~k)Pgq(z) (3.64)

=CA

πε

(

Λ2

µ2

)ε

h(0)q (~k)

(

− ln zcut −3

4

)

Sommando la (3.54) e la (3.62) si ha proprio il fattore di impatto del quark

h(1)q (~k) (3.39).

La nuova espressione del vertice all’ordine NLA e quindi:

V (1)q (~k, x) =

{[(

3

2lnE2

J

Λ2− 2

)

CF

π+

(

85

36+π2

4

)

CA

π− 5

18

Nf

π

]

(3.65)

49

×V (0)q (~k, x) +

∫

dz V (0)q (~k, xz)

{

CF

π

[

1 − z

2+

+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

+CA

π

z

2

}

+CA

π

∫

d2+2εk′

π

×∫

dz

1

2Pgq(z)

(1 − z)~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2h(0)

q (~k′

)

× S(3)J (~k

′

, ~q, xz, x) − 1

~k ′2Θ(

Λ2 − ~k′2)

V (0)q (~k, xz)

)

− 1

z~q 2Θ(

|~q| − z|~k|))

V (0)q (~k

′

, x)

]

+CF

2π

∫

dz1

(1 − z)+(1 + z2)

∫

d2+2εl

π~l 2

[

NCF

~l 2 + (~l − ~k)2

×(

S(3)J (z~k + (1 − z)~l, (1 − z)(~k −~l), x(1 − z); x)

+S(3)J (~k − (1 − z)~l, (1 − z)~l, x(1 − z); x)

)

−Θ(

Λ2 −~l 2) (

V (0)q (~k, xz) + V (0)

q (~k, x))]

+g2N~k 2

(2π)3+2εV (0)

q (~k)∫

d2+2εkr

~k 2r (~kr − ~k)2

ln

~k 2r

~k 2

V (B)q (~k)

V(0)q (~k)

,

dove e stata usata la (3.10) che ha portato all’introduzione dei fattori

g2N~k 2

(2π)3+2εV (0)

q (~k)∫

d2+2εkr

~k 2r (~kr − ~k)2

ln

~k 2r

~k 2

(3.66)

V (B)q (~k)

V(0)q (~k)

. (3.67)

Inoltre il fattore b0 ln(

~k 2

µ2

)

, dovuto alla rinormalizzazione della costante di ac-

coppiamento, e stato omesso poiche il calcolo di Fadin et al. e stato effettuato

con grandezze non-rinormalizzate.

5 Risommazione dei logaritmi dell’energia

Come gia visto l’ampiezza in avanti nell’approccio BFKL, fino all’ordine

NLA, puo essere espressa come

ℑms(A) =s

(2π)2

∫ d2k

~k 2Φ1(~k; s0)

∫ d2k′

~k ′2Φ2(−~k

′

; s0) (3.68)

50

×∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω

Gω(~k,~k′

),

dove Φi sono i fattori di impatto.

Se viene considerato il processo quark-quark che porta alla produzione di due

jet in avanti qa qb → jet jet, allora la sezione d’urto differenziale sara data da

d2σ

dJ1dJ2

∣

∣

∣

∣

∣

q

=1

(2π)2

∫

d2k

~k 2V1(~k)

∫

d2k ′

~k ′2V2(~k

′

) (3.69)

×∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

(

s

s0

)ω

Gω(~k,~k′

),

dove V1(~k) e V2(~k′

) rappresentano i fattori di impatto quark-jet che de-

scrivono la transizione dal quark al jet rispettivamente qa(~pa) → jet(~pJ) e

qb(~pb) → jet(~pJ ′). Essi sono dati dall’equazione (3.65).

La funzione di Green obbedisce alla

δ2(~k − ~k′

) = ωGω(~k,~k′

) −∫

d2krK(~k,~kr)Gω(~kr, ~k′

), (3.70)

dove K(~k,~kr) e il kernel.

E conveniente lavorare nella rappresentazione dei momenti trasversi. In

questa rappresentazione definita da

~q |~qi〉 = ~qi|~qi〉, (3.71)

〈~k|~k ′〉 = δ2(~k − ~k′

), 〈A|B〉 = 〈A|~q〉〈~q|B〉 =∫

d2qA(~q)B(~q),(3.72)

l’operatore K in forma funzionale e espresso

K(~k′

, ~k) = 〈~k ′ |K|~k〉 (3.73)

e l’equazione per la funzione di Green e

1 =(

ω − K)

Gω, (3.74)

e la soluzione e

Gω =(

ω − K)−1

. (3.75)

51

Il kernel e dato come un’espansione nella costante di accoppiamento,

K = αsK0 + α2

sK1, (3.76)

dove

αs =αsN

π. (3.77)

Il fattore K0 e il kernel dell’equazione BFKl all’ordine LLA, K1 rappresenta

le correzioni all’ordine NLA.

Per determinare l’ampiezza fino all’ordine NLA e necessaria una soluzione

approssimativa della (3.75). La soluzione e

Gω =(

ω − αsK0)−1

+(

ω − αsK0)−1 (

α2sK

1) (

ω − αsK0)−1

(3.78)

+O[

(

α2sK

1)2]

.

E necessario ora scegliere una base sulla quale esprimere la sezione d’urto.

Questa base dovra dipendere non solo dai moduli dei momenti trasversi, ma

anche dal loro angolo rispetto al piano trasverso. Essa sara [49]

〈~q |ν, n〉 =1

π√

2(q2)iν− 1

2 einθ (3.79)

La proiezione 〈n, ν|~q〉 sara il complesso coniugato della (3.79). Questa base

viene scelta in modo che

〈n′, ν ′|ν, n〉 = δ(ν − ν ′)δnn′. (3.80)

L’azione del kernel NLO su questa base da [50]

K|ν, n〉 = αs(µR)χ0(ν, n)|ν, n〉 + (3.81)

+α2s(µR)

(

χ(1)(ν, n) +β0

4Nχ0(ν, n) ln(µ2

R)

)

|ν〉 +

+α2s(µR)

β0

4Nχ0(ν, n)

(

i∂

∂ν

)

|ν〉,

dove il primo termine rappresenta l’azione del kernel LLA, mentre il secondo

e il terzo rappresentano la parte diagonale e non diagonale del kernel NLA.

52

Le funzioni χ0(n, ν) e χ1(n, ν) sono dati in [50].

Per semplicita con c1(ν, n) si indichera

c1(ν, n) ≡∫

d2qVJ1(~q,

~k)

q2〈~q |ν, n〉, (3.82)

analogamente c2(ν, n) che rappresenta la proiezione di ΦJ2(~q,~k

′

) su 〈n, ν|~q〉sara il complesso coniugato della (3.82).

Usando la (3.78) e la (3.81) si ha (il calcolo esplicito e fatto nell’Appendice

(4))

d2σ

dJ1dJ2=

s

(2π)2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞

(

s

s0

)αsχ0(ν,n)

c1(ν, n)c2(ν, n) (3.83)

×{

1 + α2s ln

(

s

s0

)

[χ1(ν, n)

+β0

4Nln(µ2

R)χ0(ν, n) − iβ0

8Nχ′

0(ν, n)

+i

2

β0

4Nχ0(ν, n)

d

dν

(

c1(ν, n)

c2(ν, n)

)]}

.

Questo sara il punto di partenza per il calcolo numerico in vista del confronto

con i dati sperimentali.

Questo calcolo e tutt’altro che banale per il gran numero di integrali coinvolti

occorre, infatti, prima di tutto fare un’integrazione sui momenti trasversi

per ottenere i fattori di impatto in rappresentazione ν (si veda la (3.82)).

Successivamente e necessario effettuare l’integrazione in dν (si veda la (3.83))

e infine fare la convoluzione del risultato con le funzioni di distribuzione

partoniche dei partoni nel protone, che comporta un’ulteriore integrazione

sulla variabile di Bjorken x.

Effettuare questo calcolo e al di la degli obiettivi di questa tesi.

53

Appendice B

Funzioni speciali e integralinotevoli

1 La funzione gamma di Eulero

Una delle piu importanti funzioni speciali e la cosiddetta funzione gam-

ma o funzione gamma di Eulero di seconda specie [51]. Essa viene indicata

con Γ(z) e puo essere definita in vari modi, e in particolare come funzione

interpolatrice del fattoriale.

Per definizione

Γ(z) =∫ ∞

0e−ttz−1dt ℜez > 0. (B.1)

essendo z una variabile complessa la cui parte reale ℜez e positiva.

Integrando per parti la (B.1) si ha:

Γ(z + 1) = zΓ(z). (B.2)

Utilizzando questa relazione e possibile prolungare analiticamente questa fun-

zione anche ai punti del piano complesso con parte reale negativa. Riespri-

mendo questa espressione come

Γ(z) =∫ 1

0e−ttz−1dt+

∫ ∞

1e−ttz−1dt (B.3)

=∞∑

n=0

(−1)n

n!

∫ 1

0tn+z−1dt+

∫ ∞

1e−ttz−1dt

=∞∑

n=0

(−1)n

n!(n+ z)+∫ ∞

1e−ttz−1dt,

54

e evidente che la funzione gamma presenta poli semplici per z = 0,−1,−2, ....

Dalla (B.1) con una lecita derivazione sotto il segno di integrale si ha

Γ′(z) =∫ ∞

0dte−ttz−1 log t, ℜez > 0 (B.4)

In particolare le derivate prima e seconda della funzione gamma valutata in

z = 1 sono rispettivamente

Γ′(1) = −γE (B.5)

Γ′′(1) = γ2E +

1

6π2, (B.6)

dove γE e la costante di Eulero la quale soddisfa

γE = limn→∞

[

− log(n) + 1 +1

2+

1

3+ ....+

1

n

]

= 0.5772157, (B.7)

e

γE = −∫ ∞

0e−z log(z)dz (B.8)

1.1 La derivata logaritmica della funzione gamma

Nella teoria della funzione gamma ha importanza un’altra funzione spe-

ciale e precisamente la funzione ψ(z) [51] cosı definita

ψ(z) =Γ′(z)

Γ(z), (B.9)

cioe la derivata logaritmica della funzione gamma.

Poiche Γ(z) e una funzione priva di zeri ed avente solo singolarita polari in

z = 0,−1,−2, ..., le uniche singolarita di ψ(z) saranno dei poli semplici in

z = −n (n = 0, 1, 2, ...). Dalla (B.2) si ha la seguente proprieta:

Ψ(z + 1) =1

z+ Ψ(z) (B.10)

1.2 La funzione beta

La funzione beta [51], o integrale di Eulero di prima specie, e cosı definita

B(a, b) =∫ 1

0ta−1(1 − t)b−1dt, ℜea > 0. (B.11)

55

Come si vede subito cambiando t in 1 − u, si ha

B(a, b) = B(b, a), (B.12)

inoltre la funzione beta e collegata alla gamma dalla relazione

B(a, b) =Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ b). (B.13)

2 La funzione +

Le funzioni + [52] sono delle distribuzioni che hanno un buon com-

portamento solo quando sono convolute con una funzione regolare che va

rapidamente a zero come x→ 1. Hanno la proprieta che∫ 1

0(F (z))+dz = 0 (B.14)

In particolare sono state utilizzate le seguenti espressioni∫

1

(1 − z)+

f(z)dz =∫

f(z) − f(1)

1 − zdz (B.15)

e∫

dz

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

f(z) =∫

dz [f(z) − f(1)]

(

ln(1 − z)

1 − z

)

(B.16)

3 Integrali notevoli e parametrizzazione di Feyn-

man

La piu generale formula della parametrizzazione di Feynman e la seguente

1

aλ11 a

λ22 ...a

λnn

=Γ(∑

k)λk

Γ(λ1)Γ(λ2)...Γ(λn)(B.17)

×∫ 1

0...∫ 1

0

dx1...dxnxλ1−11 ...xλn−1

n δ(1 −∑

k xk)

(∑

k akxk)∑

kλk

Oltre alla parametrizzazione di Feynman si e fatto uso dei seguenti integrali

notevoli:∫ dd−2k

(2π)3+2ε

1

(~k2 − 2~p · ~k + a2)α=

2

(4π)2+2ε

2

Γ(α + 1 −D/2)

Γ(α)(B.18)

× 1

(a2 − ~p2)α+1−D/2.

56

∫ 1

0dx

(1 − x)α − 1

x= ψ(1) − ψ(1 + α), (B.19)

con

ψ(1) =π2

6(B.20)

Queste relazioni sono reperibili in molti testi classici di teorie di campo (si

veda per esempio il riferimento [4]).

57

Appendice C

Calcolo degli integrali

1 Integrali fondamentali

In questo appendice verranno calcolati gli integrali Ia(~k), Ib(~k), Ic(~k),

Id(~k), Ie(~k), If(~k), Ig(~k).

Per fare cio si fara uso delle seguenti espressioni

∫ d2+2εk′

~k ′2~q 2= π1+ε2

Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2(C.1)

∫

d2+2εk′

~q 2(~k ′2)2= π1+ε Γ(2 − ε)Γ(1 + ε)Γ(ε− 1)

εΓ(2ε− 1)

~k 2ε

(~k 2)2(C.2)

∫

d2+2εl

~l 2

1

~l 2 + (~l − ~k)2= π1+ε Γ(1 − ε)

ε

~k 2ε

~k 2(C.3)

∫ Λ2

0

d2+2εl

~l 2=

π1+ε

Γ(1 + ε)

Λ2ε

ε(C.4)

1

~k 2α

∫ d2+2εk′

~k ′2(~q 2)1−α=

π1+ε

Γ(1 + α)Γ(1 − α− ε)

Γ(ε)Γ(ε+ α)

Γ(2ε+ α)

~k 2ε

~k 2(C.5)

∫

d2+2εk′

~k ′2(~q − z~k)2= π1+εΓ(1 − ε)2(1 − z)2ε−2 Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2(C.6)

∫

d2+2εk′

~q 2(~q − z~k)2= 2π1+εΓ(1 − ε)z2ε−2 Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2. (C.7)

Di questi integrali viene calcolato esplicitamente solo uno, il primo; in modo

analogo possono essere ottenuti anche gli altri.

58

Si vuole quindi risolvere il seguente integrale

∫

d2+2εk′

~k ′2~q 2. (C.8)

Facendo uso della parametrizzazione di Feynman (B.17) si ha

∫

d2+2εk′

~k ′2~q 2=

∫

d2+2εk′∫ 1

0

dx[

~k ′2 − 2~k ′~kx+ ~k 2x]2 . (C.9)

L’integrazine in d2+2εk′ puo essere eseguita facilmente facendo uso della

relazione (B.18)

∫

d2+2εk′

~k ′2~q 2= π1+εΓ(1 − ε)

~k 2ε

~k 2

∫ 1

0

dx

x1−ε(1 − x)1−ε. (C.10)

A questo punto, facendo uso della (B.11) e della (B.13), si ottiene facilmente

∫

d2+2εk′

~k ′2~q 2= π1+ε2

Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2(C.11)

2 Calcolo degli integrali

Di seguito verrano calcolati Ia(~k) (3.55), Ib(~k) (3.56), Ic(~k) (3.57), Id(~k)

(3.58), Ie(~k) (3.59), If(~k) (3.60) e Ig(~k) (3.63).

Per determinare Ia(~k) si usa la proprieta della funzione + (B.16), ottenendo

Ia(~k) :=∫ 1

0dz h(0)

q (k)

{

CF

π

[

1 − z

2+

(

ln(1 − z)

1 − z

)

+

(1 + z2)

]

(C.12)

+CA

π

z

2

}

= h(0)q (~k)

[

CF

4π− CF

π

∫ 1

0dz ln(1 − z)(1 + z) +

CA

4π

]

e integrando in dz si ha

Ia(~k) := h(0)q (k)

(

2CF

π+CA

4π

)

. (C.13)

Per calcolare la (3.56) viene fatto uso della seguente uguaglianza:

~q · (~q − z~k)

~q 2(q − z~k)2=

1

2(1 − z)

[

(1 − z)2

~k ′2(~q − z~k)2− z2

~q 2(~q − z~k)2+

1

~k ′2~q 2

]

(C.14)

59

per cui si ha, utilizzando rispettivamente gli integrali (C.6), (C.7) e (C.1),

Ib(~k) =CA

ππε

∫

d2+2εk′∫ 1

zcut

dz1

2Pgq(z)(1 − z)

~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2(C.15)

×h(0)q (~k

′

)

=CA

ππε

NCF

∫ 1

zcut

dz1 + (1 − z)2

2z(1 − z)

×π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2

1 − z2ε + (1 − z)2ε

1 − z.

Viene ora esplicitata l’integrazione in dz∫ 1

zcut

dz(1 + (1 − z)2) (1 − z2ε + (1 − z)2ε)

2z(C.16)

=∫ 1

zcut

d

z

[

2

z− z2ε−1 +

(1 − z)2ε − 1

z− 1 + z2ε − (1 − z)2ε

+z

2− z2ε+1

2+z

2(1 − z)2ε

]

,

facendo uso della (B.11) e della (B.19) si ha

Ib(~k) =CA

ππεh(0)

q (~k)π1+εΓ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)~k 2ε [−2 ln zcut + ψ(1) (C.17)

−ψ(1 + 2ε) − 1

2ε− 3

4− 1

2

1

2ε+ 2+

1

2

Γ(1 + 2ε)

(2 + 2ε)(1 + 2ε)Γ(1 + 2ε)

]

,

in cui zcut, ove possibile, e stato mandato a zero.

Sviluppando in serie la (C.17) si ottiene proprio la (3.56).

L’integrando della (3.57), Ic(~k) e facilmente riconducibile alla (C.4), infatti

si ha

Ic(~k) = − CA

ππε

∫

d2+2εk′∫ 1

0dz

1

2Pgq(z)

1

~k ′2(C.18)

×Θ(

Λ2 − ~k′2)

h(0)q (~k)

=CA

ππεh(0)

q (~k)(

ln zcut +3

4

) ∫ Λ2

0

d2+2εk′

~k ′2

da cui la (3.57).

Per poter ottenere Id(~k) e necessario far uso della seguente proprieta

ln

(

~q 2

~k 2

)

=d

dα

(

~q 2

~k 2

)α ∣∣

∣

∣

∣

α=0

, (C.19)

60

infatti, integrando in dz si ottiene

Id(~k) := − CA

ππε

∫ 1

zcut

dz

z

∫

d2+2εk′

~q 2h(0)

q (~k′

)Θ(

~q − z~k)

(C.20)

=CA

ππεNCF

∫

(

−1

2ln~q 2

~k 2+ ln zcut

)

d2+2εk′

~k ′2~q 2

=CA

ππεNCF

ln zcut2π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

~k 2ε

~k 2

−1

2

d

dα(~k 2)−α

∫

d2+2εk′

~k ′2~q 2(1−α)

]

dove e stata utilizzata la (C.19). Facendo ora uso della (C.5) si ha

Id(~k) =CA

ππε

h(0)q (~k)

[

ln zcut2π1+εΓ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)(C.21)

−π1+ε

2Γ(ε)

d

dα

Γ(1 − α− ε)Γ(ε+ α)

Γ(1 − α)Γ(2ε+ α)

]

~k 2ε

e derivando rispetto ad α

Id(~k) =CA

ππεh(0)

q (~k)

[

ln zcut2π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)(C.22)

−π1+ε

2Γ(ε)

Γ(ε)Γ(1 − ε)

Γ(2ε)(ψ(ε) + ψ(1) − ψ(2ε) − ψ(1 − ε))

]

~k 2ε

facendo uno sviluppo si ottiene

Id(~k) =CA

ππεh(0)

q (~k)π1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)

εΓ(1 + 2ε)

(

1

2ε+ 2 ln zcut

)

(C.23)

Per effettuare l’integrazione in dz nella (3.59), Ie(~k), si fa uso della proprieta

(B.15) della “funzione +”. L’integrando in d2+2εk′ e proprio uguale all’inte-

grale (C.3).

In If (~k) (3.60), l’integrazione in dz, e uguale a quella vista per (3.59), quello

che cambia e l’integrazione in d2+2εk′ che puo essere facilmente riconducibile

all’integrale (C.4) esplicitando la Θ(Λ2 −~l 2).

Infine per ottenere Ig(~k) si fa semplicemente uso della proprieta della “fun-

zione +” (B.14).

61

3 Verifica della (3.53)

Il fattore proporzionale a

∫

dz

z

d2+2εk′

~q 2Θ(

|~q| − z(

|~q| + |~k ′|))

(C.24)

e fatto derivare da Bartels et al. dalla divergenza soffice ottenuta mediando

sull’angolo azimutale del gluone φ3, cioe, secondo loro,

〈(1 − z)~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

~q 2Θ(

|~q| − z(

|~q| + |~k ′ |))

. (C.25)

In realtae stato verificato che questo risultato non e esatto ed inoltre per

ottenere la consistenza nel caso limite studiato, la quantita da calcolare deve

essere

〈 ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

~q 2Θ(

~q − z~k)

. (C.26)

Infatti se

q = q(cosφ3, sinφ3), k = k(1, 0), (C.27)

allora

I = 〈 ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

2π

∫ 2π

0dφ3

1

2πq2(C.28)

× q2 − zkq cos φ3

q2 + z2k2 − 2zkq cosφ3

e passando alle variabili complesse: t = eiφ3 si ha

I =1

2πq2

∮

dt

it

q2 − zkq2

(

t+ 1t

)

q2 + z2k2 − zkq(

t+ 1t

) (C.29)

=1

2πq2

∮

dt

it

q2 − zkq2

(

t+ 1t

)

−zkq(

t− zkq

) (

t− qzk

) .

Poiche bisogna integrare in una circonferenza di raggio unitario, se

zk

q< 1, (C.30)

62

allora i poli saranno

0 ezk

q. (C.31)

Applicando il teorema dei residui

I =1

q2

1 +2qzk − zkq − z3k3

q

−zkq

(z2k2 − q2)

(C.32)

e attraverso semplici passaggi algebrici si ottiene

I = 〈 ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

q2. (C.33)

L’altro caso possibile e che

q

zk< 1, (C.34)

avendo quindi come poli

0 eq

zk, (C.35)

ma in questo caso si puo verificare che la soluzione e nulla. Per cui si ha

I = 〈 ~q · (~q − z~k)

~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =

1

q2Θ(q − zk). (C.36)

4 Calcolo esplicito della (3.83)

La sezione d’urto differenziale e data da

d2σ

dJ1dJ2=

s

(2π)2

∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

(

s

s0

)

(C.37)

×

〈VJ1(~q,~k)

~q2 |Gω|

VJ2(~q,~k

′

)

~q2 〉

,

inserendo la chiusura una volta a destra e una volta a sinistra di Gω per

simmetrizzare l’espressione, si ha

d2σ

dJ1dJ2

=s

(2π)2

∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

(

s

s0

)

(C.38)

63

×

1

2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞〈VJ1(~q,

~k)

~q2 |ν, n〉〈n, ν|Gω|

VJ2(~q,~k

′

)

~q2 〉

+1

2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞〈VJ1(~q,

~k)

~q2 |Gω|ν, n〉〈n, ν|

VJ2(~q,~k

′

)

~q2 〉

,

utilizzando la (3.78) ed inserendo una nuova chiusura si ha

d2σ

dJ1dJ2=

s

(2π)2

∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

(

s

s0

)

(C.39)

×1

2

∫

d2kVJ1(~q,

~k)

~k 2〈~k|

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞

[

|ν, n〉〈n, ν| 1

ω − αsK0

+α2s

∫ +∞

−∞dν

′

+∞∑

n′=−∞|ν, n〉〈n, ν| 1

ω − αsK0K1|ν ′

, n′〉〈n′, ν′| 1

ω − αsK0

+1

ω − αsK0|ν, n〉〈n, ν|

+α2s

∫ +∞

−∞dν

′

+∞∑

n′=−∞

1

ω − αsK0|ν ′

, n′〉〈n′, ν′ |K1| 1

ω − αsK0|ν, n〉〈n, ν|

×∫

dk′ VJ2(~q,

~k′

)

~k ′2|~k ′〉,

usando ora la (3.81) e applicando il teorema dei residui

d2σ

dJ1dJ2=

s

(2π)2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞

c1(ν, n)c2(ν, n)

(

s

s0

)αsχ0(ν,n)

(C.40)

αsc1(ν, n)c2(ν, n)

(

s

s0

)αsχ0(ν,n)

ln

(

s

s0

)

[χ1(ν, n)

+β0

4Nχ0(ν, n) ln(µ2

R)

]

+αs

2

∫ +∞

−∞dν

′

+∞∑

n′=−∞

∫ δ+i∞

δ−i∞

dω

2πi

×(

s

s0

)ωβ0

4Ni

[

∂

∂ν ′

(

c1(ν, n)c2(ν′

, n′)χ0(ν′

, n′)δ(ν′ − n)δn′,n

)

∂

∂ν

(

c1(ν′

, n′)c2(ν, n)χ0(ν, n)δ(ν′ − n)δn′,n

)

]

× 1

ω − αsχ0(ν, n)

1

ω − αsχ0(ν′, n′)

}

.

Facendo ora uso delle due seguenti proprieta

∂

∂νδ(ν − ν

′

) = − ∂

∂ν ′δ(ν − ν

′

) (C.41)

64

∫

dν′ ∂

∂ν ′δ(ν

′ − ν)f(ν′

) = −f ′(ν′

)

∣

∣

∣

∣

∣

ν ′=ν

(C.42)

si ha

d2σ

dJ1dJ2

=s

(2π)2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞

(

s

s0

)αsχ0(ν,n)

{c1(ν, n)c2(ν, n) (C.43)

×[

1 + α2s ln

(

s

s0

)

(χ1(ν, n)

+β0

4Nln(µ2

R)χ0(ν, n) − iβ0

8Nχ′

0(ν, n)

)]

+iα2

s

2ln

(

s

s0

)

β0

4Nχ0(ν, n) [c′1(ν, n)c2(ν, n) − c1(ν, n)c′2(ν, n)]

}

.

E ora possibile scrivere

c′1(ν, n)c2(ν, n) − c1(ν, n)c′2(ν, n) = c1(ν, n)c2(ν, n)d

dν

(

c1(ν, n)

c2(ν, n)

)

, (C.44)

ottenendo

d2σ

dJ1dJ2=

s

(2π)2

∫ +∞

−∞dν

+∞∑

n=−∞

(

s

s0

)αsχ0(ν,n)

c1(ν, n)c2(ν, n) (C.45)

×{

1 + α2s ln

(

s

s0

)

[χ1(ν, n)

+β0

4Nln(µ2

R)χ0(ν, n) − iβ0

8Nχ′

0(ν, n)

+i

2

β0

4Nχ0(ν, n)

d

dν

(

c1(ν, n)

c2(ν, n)

)]}

.

65

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[39] V.S. Fadin, M.I. Kotsky, L.N. Lipatov, Yad. Fiz. 61 (6) (1998), 716.

[40] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, Phys. Lett. B494 (2000), 100.

[41] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, Phys. Lett. D61 (2000),

094005.

[42] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, Phys. Lett. D61 (2000),

094006.

[43] V.S. Fadin, R. Fiore, Phys. Lett. B610 (2005), 61 hep-ph/0502045.

68

[44] J. Bartels, S. Gieseke, C.F. Qiao, Phys. Rev. D63 (2001), 056014

[Erratum-ibid. D65 (2002), 079902]; J. Bartels, S. Gieseke, A. Kyrie-

leis, Phys. Rev. D65 (2002), 014006; J. Bartels, D. Colferai, S. Gieseke,

A. Kyrieleis, Phys. Rev. D66 (2002), 094017; J. Bartels, Nucl. Phys.

(Proc. Suppl.) (2003), 116; J. Bartels, A. Kyrieleis, Phys. Rev. D70

(2004), 114003; V.S. Fadin, D.Yu. Ivanov, M.I. Kotsky, Phys. Atom.

Nucl. 65 (2002), 1513 [Yad. Fiz. 65 (2002) 1551]; Nucl. Phys. B658

(2003), 156.

[45] D.Yu. Ivanov, M.I. Kotsky, A. Papa, Eur. Phys. J. C38 (2004), 195;

Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 146 (2005) 117.

[46] Yu.L. Dokshitzer, V.A. Khoze, A.H. Mueller and S.I. Troyan, Basics of

perturbative QCD, Editions Frontieres (1991).

[47] M. Ciafaloni, D. Colferai, Nucl. Phys. B538 (1999), 187-214.

[48] J. Bartels, D. Colferai, G.P. Vacca, Eur. Phys. J. C29 (2003), 235-249.

[49] A. Sabio Vera, Nucl. Phys. B746 (2006), 1-14.

[50] D.Yu. Ivanov, A. Papa Nucl. Phys. B732 (2008), 183-199.

[51] L. Gatteschi, Funzioni speciali, Utet (1973).

[52] R. D. Field, Applications of perturbative QCD, Addison-Wesley

Publishing Company (1989).

69

Ringraziamenti

A conclusione di questo lavoro di tesi desidero ringraziare coloro che han-

no reso possibile la sua realizzazione e primi fra tutti il mio relatore Prof.

Alessandro Papa per la sua pazienza, disponibilita e prontezza per qualsiasi

chiarimento o consiglio, il Dott. Francesco Caporale che con amicizia mi ha

aiutata e consigliata per tutto lo svolgimento della tesi.

Inoltre e per me doveroso ringraziare coloro che, oltre ad avermi sempre “sup-

portata”, mi hanno soprattutto “sopportata” ed in particolare:

Grazie mamma, papa e Coky, senza di voi non avrei mai raggiunto questa

meta, perche con il vostro sostegno e con il vostro affetto mi avete incorag-

giata a non mollare mai. Grazie per aver creduto in me! Vi voglio bene!!!

Grazie Michele, che con estrema pazienza hai sopportato i miei sbalzi di umo-

re e le mie paranoie quando, sotto stress, mi sfogavo in modo particolare con

te. Grazie, inoltre, per avermi fatto sempre sorridere!

Grazie Denise per aver condiviso con me non solo la maggior parte degli

studi ma anche gioie, dolori ansie e paure. Sei stata come una sorella per

me. Un grazie particolare e naturalmente rivolto a tuo papa e a tua mamma

perche mi hanno sempre accolta come una figlia ed e per questo che non li

dimentichero mai!

Grazie Cinzia, Mariaelena e Rocco per essermi stati vicini e per i bei mo-

menti passati insieme. Grazie per essere cresciuti con me!

Grazie Gianfranco per i consigli che mi hai dato e per avermi sempre capita.

Grazie Valentina semplicemente per esserci sempre!

Grazie Giuseppe e Francesco per l’aiuto e la compagnia ogni volta che ne ho

avuto bisogno!

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