Incontri di introduzione alla Relatività Generale

Prima parte La Torre del Sole - 11 Novembre 2015

Dr. Andrea Castelli, Ph.D.Università degli Studi di Bologna

Struttura del corsoPARTE PRIMA - 11 Novembre 2015

VERSO LA RELATIVITA’ GENERALE

1. Presentazione degli incontri

2. Definizione di sistema di riferimento inerziale e non inerziale

3. La Relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton

4. Accenni all’elettromagnetismo

5. I concetti chiave della Relatività Ristretta

Struttura del corsoPARTE SECONDA - 18 Novembre 2015

LA STRUTTURA DELLA RELATIVITA’ GENERALE

1. La gravitazione prima di Einstein

2. Il principio di equivalenza

3. Il principio di relatività generale

4. La geometria dello spazio-tempo: brevi e semplici accenni alle geometrie non euclidee e al calcolo tensoriale

5. Il principio di covarianza generale

Struttura del corsoPARTE TERZA - 25 Novembre 2015

LE EQUAZIONI DI CAMPO DELLA RELATIVITA’ GENERALE

1. L’universo in un’equazione: la struttura delle equazioni di campo

2. Un po’ di storia: la disputa con Hilbert sulla priorità della scoperta delle equazioni del campo gravitazionale

3. Le conferme sperimentali della teoria

4. Accenni alla cosmologia moderna

4 Novembre 1915 - Zur allgemeinen Relativitätstheorie [Sulla teoria della Relatività Generale]

11 Novembre 1915 - Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag) [Sulla teoria della Relatività Generale (Appendice)]

18 Novembre 1915 - Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie [Spiegazione del moto del perielio di Mercurio per mezzo della teoria della Relatività Generale]

25 Novembre 1915 - Die Feldgleichungen der Gravitation [Le equazioni di campo della gravitazione]

Il sistema di riferimento

Punti di vista…

Immagine tratta da “Immagini della fisica di Amaldi”, Zanichelli (2009)

Sistemi di riferimento inerziali

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema rispetto al quale un corpo non soggetto a forze resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.

Per entrambi gli osservatori O e O’, il ragazzo verifica il principio di inerzia (primo p. della dinamica): essendo soggetto a forze la cui risultante è nulla, egli persevera nel suo stato di quiete (O) o di moto rettilineo uniforme (O’).

O O’

Sistemi di riferimento non inerziali

Un sistema di riferimento non inerziale è un sistema rispetto al quale non è verificato il principio di inerzia. Si tratta quindi di un sistema che si muove di moto accelerato.

Stando nel sistema di riferimento dell’autobus, il ragazzo ha la sensazione di essere stato spinto in avanti (accelerato) da una forza che si manifesta improvvisamente e misteriosamente… .

Sistemi di riferimento non inerziali

Per l’osservatore in un sistema di riferimento inerziale i corpi, entrambi an imat i d i moto circolare uniforme, devono essere sottoposti a forze centripete (caratterizzano il moto rotatorio).

Secondo l’osservatore sulla piattaforma, i corpi sono in quiete: la condizione di equilibrio viene spiegata introducendo due forze apparenti, dette centrifughe, che controbilanciano quelle centripete.

Un moto “particolare”: inerziale o non inerziale?

Per l’osservatore all’interno dell’ascensore, il moto di caduta libera nel vuoto è inerziale, mentre per un osservatore all’esterno è non inerziale.

La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton

Non esiste alcun esperimento che possa permettere di decidere se, in condizioni opportune, ci si trova in un sistema di riferimento in quiete o in moto rettilineo uniforme.

La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton

Legge galileiana di composizione delle velocità:

Il principio di relatività galileiana afferma che le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento che sono in quiete o che si muovono di moto rettilineo uniforme uno rispetto all’altro.

x

0 = x� v0t

y0 = yz0 = zt0 = t

v0 = v � V

La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton

Le leggi della meccanica sono invariati rispetto alle trasformazioni di Galileo.

Una trasformazione galileiana è una trasformazione di coordinate che permette di passare da un sistema di riferimento inerziale ad un altro sistema che abbia una velocità V costante rispetto al primo.

quindi in entrambi i sistemi di riferimento inerzialia = a0 F = ma

L’elettromagnetismo: il contesto storico

Le onde luminose presentavano caratteristiche elettromagnetiche.

Come per tutti i fenomeni ondulatori noti all’epoca, si ipotizzò l’esistenza di un mezzo che consent i s se l a propagaz ione del le osc i l laz ioni elettromagnetiche, l’etere luminifero.

Si suppose che esperimenti con la luce avrebbero permesso di rilevare sperimentalmente il moto di un corpo attraverso l’etere.

James Clerk Maxwell

L’elettromagnetismo: le equazioni di Maxwell

1) Legge di Gauss per il campo elettrico: le sorgenti del campo elettrico sono le cariche.

2) Legge di Gauss per il campo magnetico: il flusso di un campo magnetico uscente da una superficie chiusa è nullo perché non esistono ‘cariche magnetiche’ elementari analoghe alle cariche elettriche (non esistono cariche magnetiche isolate, ma solo dipoli).

L’elettromagnetismo: le equazioni di Maxwell

3) Legge di Ampère-Maxwell: il campo magnetico è generato sia da correnti sia da variazioni del campo elettrico.

4) Legge di Faraday-Henry: un campo magnetico variabile genera un campo elettrico.

L’elettromagnetismo: problemi aperti

La velocità delle onde elettromagnetiche prevista dalle equazioni di Maxwell rispetto a quale sistema di riferimento doveva essere considerata?

Le equazioni di Maxwell non sono invariati rispetto alle trasformazioni di Galileo, cioè cambiano forma e contenuti cambiando il sistema di riferimento.

Maxwell stesso rispondeva che la velocità della luce era riferita all’etere.

Se esiste l’etere, esso deve essere il sistema di riferimento inerziale privilegiato (assoluto) rispetto al quale la luce ha velocità c.

Non invarianza delle equazioni di Maxwell

Cosa accade alle leggi dell’elettromagnetismo quando vengono sottoposte a una trasformazione galileiana?

Si supponga che le equazioni di Maxwell siano riferite a un sistema di riferimento K.Se si passa, per mezzo delle trasformazioni di Galilei, ad un sistema di riferimento K’ in moto rispetto a K con velocità V, le equazioni dell’elettromagnetismo perdono la loro covarianza.

Se in K la velocità della luce risulta essere c, applicando le trasformazioni di Galilei avremo che in K’ essa sarà c - V. In K’ le equazioni di Maxwell devono essere diverse per poter rendere conto di questa incongruenza nella misura della velocità della luce.

L’esperimento di Michelson-Morley

La speranza di riuscire a rilevare un moto della Terra rispetto all’etere fu delusa dal risultato nullo del celebre esperimento del 1887 condotto da Michelson e Morley.

L’esperimento di Michelson-Morley

Se si ruota l’interferometro di 90°, la velocità della Terra si sommerà questa volta alla velocità del raggio verticale e, di conseguenza, la differenza tra la lunghezza dei due cammini ottici varierà.

Si dovrebbe quindi rilevare uno spostamento nelle frange di interferenza.

L’esperimento di Michelson-Morley

La velocità della Terra rispetto all’etere luminifero risultò non rilevabile.

Per spiegare tale risultato, furono proposte due ipotesi ad hoc da parte di Lorentz, Fitzgerald e Poincarè:

1) la contrazione dei corpi rigidi nella direzione del moto

2) il rallentamento degli orologi quando si muovono attraverso l’etere.

Entrambi questi fenomeni erano contenuti in alcune semplici espressioni analitiche, note come trasformazioni di Lorentz.

Le trasformazioni di Lorentzx

0 =x� vtq1� v2

c2

t

0 =t� v

c2xq1� v2

c2

y0 = y

z0 = z

Rispetto a queste trasformazioni, le equazioni di Maxwell sono invarianti nel passaggio da un sistema inerziale (etere) a uno in moto uniforme rispetto a esso.

Facciamo il punto della situazione

1) La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi inerziali.

2) Si deve estendere all’elettromagnetismo il principio galileiano di relatività.

3) Il principio di relatività comporta che, in accordo con le trasformazioni di Galileo, la velocità della luce deve dipendere dal sistema di riferimento.

4) Volendo conciliare il principio di relatività con l’invarianza della velocità della luce si arriva ad una contraddizione: entrambe le affermazioni sono corrette, ma in contrasto tra loro… .

Elettromagnetismo vs meccanica classica

Siamo di fronte ad un’asimmetria tra le leggi della meccanica e quelle dell’elettromagnetismo: le prime sono covarianti per trasformazioni di Galilei mentre le seconde non lo sono affatto.

Come risolvere la questione?

Questa asimmetria verrà sanata dalla Relatività Ristretta (Giugno 1905).

I concetti chiave della Relatività Ristretta

Nel 1905 Albert Einstein fu in grado di derivare le trasformazioni di Lorentz solamente da due postulati.

Principio di relatività speciale: le leggi della Fisica sono invarianti per sistemi di riferimento inerziali in moto relativo e tutti gli osservatori inerziali sono equivalenti.

Costanza della velocità della luce: la velocità della luce nel vuoto è invariante per ogni osservatore inerziale e costituisce un limite fisico invalicabile.

I concetti chiave della Relatività Ristretta

Queste due affermazioni non possono essere entrambe vere per via del principio di relatività galileiano.

Per costruire una teoria coerente valida per la meccanica e l’elettromagnetismo che ammetta come postulati le due affermazioni precedenti, sono necessarie:- nuove trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali in moto relativo;- una drastica revisione delle nozioni di spazio e tempo.

Il primo concetto che dovrà essere abbandonato sarà quello dell’universalità del tempo.

I concetti chiave della Relatività Ristretta

Definizione di tempo di Einstein: stabilire quando due eventi sono simultanei.

Verificare la simultaneità tra due eventi distanti comporta l’utilizzo di due orologi sincronizzati tra loro.

Procedura di sincronizzazione degli orologi di Einstein: posizionare gli orologi nei due luoghi di utilizzo e regolarli sulla base della ricezione di un segnale luminoso emesso in un preciso punto e a un determinato istante.

Relatività della simultaneità: due eventi simultanei in un dato sistema inerziale non lo sono più per un altro sistema inerziale in moto rispetto al primo.

I concetti chiave della RR: dilatazione dei tempi

Per un osservatore solidale con l’orologio in A vale:

Per un osservatore solidale con A che guarda B, vale:

A B

a h h

d d

� =1q

1� v2

c2

�t =2a

c

�t0 =�tq1� v2

c2

Dalla relatività della simultaneità segue anche la relatività della nozione di lunghezza di un corpo.

I concetti chiave della RR: contrazione delle lunghezze

Se un oggetto ha una certa lunghezza per un osservatore inerziale S rispetto al quale è in quiete, per un altro osservatore S’ in moto uniforme rispetto a S la lunghezza dell’oggetto risulta contratta di un fattore .�

Come per la dilatazione dei tempi, si tratta di un effetto perfettamente simmetrico.

Questo effetto, contrariamente a quanto sosteneva Lorentz, non ha nulla a che vedere con una variazione di intensità delle forze molecolari che tengono aggregato il corpo.

I concetti chiave della RR: contrazione delle lunghezze

Per un osservatore in quiete, la lunghezza di un corpo in moto risulta essere:

l0 = v�t = v�t0r1� v2

c2= l

r1� v2

c2

I concetti chiave della RR: tempo e lunghezza propri

Lunghezza propria: lunghezza misurata in un sistema di riferimento nel quale il regolo campione è in quiete.

Tempo proprio: tempo misurato in un sistema di riferimento nel quale l’orologio campione è in quiete.

I concetti chiave della Relatività Ristretta

Fisica Classica: l’intervallo temporale è invariante per trasformazioni di Galileo e la simultaneità è assoluta. La distanza spaziale è invariante nel passaggio da un sistema di riferimento a un altro.

Relatività Ristretta: rispetto a un sistema di riferimento in quiete, il regolo misurato dal sistema in moto risulta contratto di un fattore e l’intervallo di tempo misurato dall’orologio in moto dilatato dello stesso fattore .La simultaneità è relativa al sistema di riferimento e, quindi, allo stato di moto dell’osservatore.

��

Lo spaziotempo di Minkowski

La Relatività Ristretta mostra che spazio e tempo sono legati fra loro. L’Universo, che era rappresentato da 3 dimensioni e dal tempo, diviene ora uno spaziotempo a 4 dimensioni.

Un evento è ora descritto da quattro numeri : ct, x, y, z (coordinate spazio-temporali).

Nello spaziotempo galileiano la distanza fra due oggetti nello spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta che non dipende dall’osservatore.

Lo spaziotempo di Minkowski

Il segno meno all’inizio dell’equazione indica che siamo in presenza di una geometria pseudo-euclidea o minkowskiana.

�s

212 = �ct

2(t1 � t2)2 + (x1 � x2)

2 + (y1 � y2)2 + (z1 � z2)

2

Nella RR distanza spaziale e distanza temporale sono relative allo stato di moto dell’osservatore, ma c’è una distanza assoluta, ovvero l’intervallo (distanza) spazio-temporale fra due eventi:

Lo spaziotempo di Minkowski

Intervallo di tipo tempo: i segnali che connettono due eventi sono più lenti di quelli luminosi.Intervallo di tipo spazio: i segnali che connettono due eventi dovrebbero viaggiare più veloci della luce.

Lo spaziotempo di MinkowskiLa struttura dello spaziotempo di Minkowski ci consente di definire le relazioni causali tra eventi.

Futuro e passato: nel caso di valori di tau positivi, ogni evento diverso dall’origine del sistema è un evento successivo, mentre nel caso di valori di tau negativi ogni evento è precedente.

Due eventi possono essere connessi da una relazione causale se e solo se l’intervallo che li separa è di tipo tempo:

solo in questo caso l’evento causante precede temporalmente l’evento causato in modo invariante per ogni sistema di riferimento.

Lo spaziotempo di MinkowskiFuturo assoluto: l’insieme degli eventi all’interno del cono di luce futuro dell’evento in O (la zona superiore di colore azzurro).

Futuro relativo: l’insieme di tutti gli eventi posti al di sopra di qualunque ipersuperficie di simultaneità t = cost che interseca l’evento O. Tale ipersuperficie è l’insieme di tutti gli eventi contemporanei a O.

Nel contesto della Relatività Ristretta, il termine assoluto significa indipendente dal sistema di riferimento.

FINE PRIMA PARTE