Il tempo cosmico Amedeo Balbi. In principio… Dorè, La creazione.

Il tempo cosmicoIl tempo cosmico

Amedeo BalbiAmedeo Balbi

In principio…

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Dorè, La creazione





Newton, De gravitatione (1666-1668):lo spazio è independente dal contenuto di materia, si estende indefinitamente, e dura in eterno.

Bentley, con l’approvazione di Newton, conclude che l’universo contiene una distribuzione uniforme e infinita di stelle, “progettata” in stato di equilibrio.

Perché non una distribuzione finita, stabilizzata dalla meccanica? Le motivazioni di Bentley erano essenzialmente teologiche.

Tempo di collasso di una distribuzione sferica e uniforme di punti, di massa totale M e raggio iniziale r0





€

m˙ ̇ r = −GMm

r2

˙ r 2 = 2GM(1/r −1/r0)

tC = π r03 8GM( )

1/ 2= 3π 32Gρ 0( )

1/ 2

Il risultato è indipendente dal raggio iniziale del sistema.

Se ogni stella ha la stessa massa del Sole, e la distanza media tra stelle è 1 parsec, si ottiene un tempo di collasso di circa 20 milioni di anni.

In realtà, anche il modello di universo di Bentley e Newton (distribuzione uniforme e infinita di stelle) è problematico.1. La risultante delle forze gravitazionali agenti su ogni

massa è infinita2. La distribuzione di materia è in equilibrio instabile

Il tempo di instabilità gravitazionale, calcolato da Jeans, è molto simile al tempo di collasso:

€

tJ = 1 4πGρ 0( )1/ 2

€

tC = 3π 32Gρ 0( )1/ 2

Tempo di instabilità Tempo di collasso

In generale, la scala di tempi caratteristica dei processi guidati dalla gravità è:

€

t ≈ 1 Gρ( )1/ 2

Paradosso di Olbers (1823): perché il cielo notturno è buio?

In un universo infinito, eterno e statico, uniformemente pieno di stelle, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso

(in ogni direzione si osserva almeno una stella)





Gusci sferici concentrici:

€

dV = 4πr2dr

Numero di sorgenti in ogni guscio:

€

N = 4πr2ndr

Luminosità di ogni guscio:

€

L∝N r2 = cost.

La luminosità del cielo notturno dovrebbe essere infinita!

Edgar Allan PoeEureka (1848)

“Se le stelle si susseguissero senza fine, lo sfondo del cielo presenterebbe una luminosità uniforme, come quella mostrata dalla Galassia, perché non esisterebbe punto di quello sfondo in cui non brilli una stella. L’unico modo, dunque, in cui potremmo comprendere i vuoti osservati dai nostri telescopi in tutte le direzioni, sarebbe di supporre che la distanza dallo sfondo invisibile sia così immensa che la luce non abbia ancora avuto il tempo di raggiungerci.”

Universo infinito, ma non eterno

spazio

tem

po

luce

Universo osservabile

ori

zzon

te

r=ct

Albert Einstein (1917)Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale

Assumendo che la distribuzione di materia nell’universo sia omogenea e isotropo, Einstein tenta di ottenere una soluzione statica. Ma:

“In order to arrive at this consistent view, we admittedly had to introduce an extension of the field equations of gravitation which is not justified”

€

Gμν − Λgμν =8πG

c 4Tμν

€

∇2φ = 4πGρ − Λ

€

Λ=4πGρSoluzione statica per:

Analogo newtoniano:

È interessante che, nei Principia, Newton aveva studiato anche una forma di legge gravitazionale del tipo:

costante cosmologica

€

F /m = CMr ⇒ Λ = 3CM

Vesto Slipher (1922)le linee spettrali delle “nebulose” (galassie) appaiono spostate verso la parte rossa dello spettro elettromagnetico

€

z ≡Δλ

λ≈

v

c

Interpretazione in termini di effetto Doppler:

Le altre galassie si stanno allontanando da noi

Redshift

Henrietta Leavitt (1912)Scoperta della relazione tra periodo e luminosità delle stelle Cefeidi

“It is worthy of notice […] that the brighter variables have longer periods.”

Hubble e Humason (1929)

“The results establish a roughly linear relation between velocities and distance among nebulae.”

Legge di Hubble:

€

v = H0d

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Costante di Hubble, H0

La costante di Hubble introduce una scala di tempo in cosmologia.

€

tH =1 H0

€

d = vt0

v = d t0 ⇒ t0 =1 H0 = tH

Tempo di Hubble:

Se il moto è uniforme:

Misure iniziali di Hubble:

€

H0 = 500 km/s/Mpc

⇒ tH ≈ 2 Gy

Misure attuali:

€

H0 = 72 km/s/Mpc

⇒ tH ≈13.6 Gy

Ma, in generale, il tempo di Hubble non è l’età dell’universo.

Immaginiamo un momento iniziale per cui d=0. Qual è il tempo t0 trascorso da allora?

€

˙ a

a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

=8π

3Gρ −

k

a2

Friedman e Lemaître mostrarono per primi che l’equazione di Einstein prevede modelli di universo omogenei e isotropi in espansione.

A posteriori, si mostra (Milne e Mc Crea) che la dinamica di tali modelli è analoga a quella di una distribuzione di materia sferica e omogenea soggetta alla propria gravità.

Fattore di scala:

€

a = r r0

Eq. di Friedman:

In questa analogia k è una costante di integrazione. In relatività generale essa è legata alla curvatura spaziale dell’universo.

€

T ≡1

2m˙ r 2 =

1

2m˙ r 0

2 ˙ a 2

U ≡ −GMm

r= −

4πG

3mρr0

2a2

€

⇒ T + U ≡ E = cost.= −2k mr02

I casi con energia positiva, negativa o nulla (k<0, k>0, k=0) corrispondono a tre diversi comportamenti dinamici dell’espansione.

Nell’analogia con la sfera autogravitante la costante k è legata all’energia meccanica del sistema

tempo

fatt

ore

di sc

ala

E>0

E=0

E<0

€

a1 2da =8πGρ 0

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 2

dt

⇒ a∝ t 2 3

L’universo si espande per sempre, ma la velocità di espansione tende a zero.

€

˙ a 2 =8π

3

Gρ 0

a− k

0 =8π

3

Gρ 0

amax

− k

Il moto si arresta e si inverte ad un tempo finito:

€

amax =8π

3

Gρ 0

k

€

˙ a 2 → −k > 0

La velocità di espansione è sempre positiva, il moto non si arresta mai.

€

k = 0(critico)

€

k > 0(legato, “chiuso”)

€

k < 0(slegato, “aperto”)

La velocità di espansione dell’universo varia con il tempo e dipende dal modello.

€

˙ a

a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

=8π

3Gρ −

k

a2

La legge di Hubble vale per ogni tempo, a patto di definire un parametro di Hubble dipendente dal tempo:

Quindi, la scala di tempo caratteristica dell’espansione (il tempo di Hubble) varia col tempo:

tempofa

ttore

di sc

ala

Il tempo di Hubble non è l’età dell’universo

tH

t0

(k=0)

oggi

prestissimo

t~10-35s Grande unificazione, inflazione

presto t~10-12s Unificazione elettro-debole

vivace t~10-7s Transizione quark-adroni

allegro t~100 s Sintesi dei nuclei leggeri

moderato t~300 000 anni Formazione dell’idrogeno

andante t~10 000 anni Epoca della materia

largo t~13.7 miliardi di anni

Oggi

Il tempo di Hubble scandisce il ticchettìo del metronomo cosmico

Non tutte le epoche sono uguali

L’introduzione della costante cosmologica nell’equazione di Friedman permette di realizzare un modello in cui l’espansione avviene sempre allo stesso ritmo:

Modello di De Sitter, espansione esponenziale:

Questo tipo di andamento, senza un’origine temporale, era ipotizzato nel modello dello stato stazionario, ormai abbandonato.

Nel modello stazionario, la coincidenza tra il tempo di Hubble misurato e il tempo caratteristico di vita di una stella (t~10 miliardi di anni) è inspiegabile.

Diagramma colore-magnitudine per 40 mila stelle vicine al Sole

I tempi dell’evoluzione stellare

M5: 2106 M, distanza 0.8 kpc

Gli ammassi globulari contengono milioni di stelle che si sono formate nella stessa epoca e sono molto antiche.

Possiamo usarli per stimare l’età dell’universo.

Colore

Magnit

udin

e

Diagramma colore magnitudine dell’ammasso M5

Sequenza principale

Ramo delle giganti rosse

Punto del “turnoff”

Ramo orizzontale

Il punto in cui si interrompe la sequenza principale indica l’età dell’ammasso.

Le età degli ammassi globulari più antichi sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.

Le nane bianche sono oggetti densissimi, lo stadio finale di stelle di massa simile a quella del Sole, compresse in un volume inferiore a quello terrestre.





La nebulosa dell’Elica

L’unica sorgente di energia nelle nane bianche è il loro calore residuo.

Dalla temperatura delle nane bianche si ottiene quindi una stima della loro età.

Le nane bianche più deboli sono le più antiche, e possono essere usate per stimare l’età dell’universo.Le età delle nane bianche più deboli sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.

Dal punto di vista teorico, per calcolare l’età dell’universo bisogna integrare l’equazione di Friedman.

Un caso semplice. Universo di Einstein - De Sitter, k=0.

Densità critica:

La radiazione di fondo nelle microonde:

lo stato dell’universo 380 000 anni dopo il big bang

La radiazione di fondo nelle microonde:

lo stato dell’universo 380 000 anni dopo il big bang





http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/current/google_sky/







La composizione del cosmo è oggi nota con grande precisione.

Con questi parametri, si ottiene un’età dell’universo di 13.7 miliardi di anni, del tutto in accordo con quella degli altri indicatori.

Ma le cose sono più complicate.

Che significato fisico ha il tempo t=0?

Come si curano le condizioni di energia e densità infinità del big bang?

a

t

Singolarità

Agostino, Confessioni, Libro XI

“Ecco come rispondo a chi domanda che cosa faceva Dio prima di fare il cielo e la terra. Non come fece quel tale che eluse con una battuta di spirito l'aggressività della domanda, rispondendo, dicono: "Preparava la Geenna per chi indaga gli abissi". Ridere non basta per capire. No, non rispondo a questo modo: preferirei allora una risposta come "Quello che non so, non lo so", che almeno risparmia la facile ironia per chi solleva una questione profonda e il plauso per chi dà una risposta falsa.”

InflazioneUna fase di espansione esponenziale, trainata dall’energia dello spazio vuoto (costante cosmologica).

a

t

Inflazione eterna: un insieme di universi che si auto-riproducono

Modello ciclico (ekpyrotico)

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