Il problema del minimo albero ricoprente

in un grafo non cooperativo

Un problema molto conosciuto

G=(V,E): grafo non diretto pesato, w(e) R+ per ogni e E (tipo privato dell’agente che possiede l’arco e)

T è un albero ricoprente di G se:1. T è un albero2. T è un sottografo di G3. T tocca tutti i nodi di G

Un problema molto conosciuto

Input: grafo G=(V,E) pesato non orientato

Output: T=(V,ET) albero ricoprente di G che minimizza il

peso totale w(T)= w(e)

Miglior algoritmo centralizzato richiede tempo O(m (m,n))

e ET

La funzione di Ackermann (e la sua inversa)

A(i,j) per piccoli valori di i e j

2 23 24

22

22

222222

222222

22222

216

22

22

2

216

22

22

2

222

2 16

... ..

... ..

..

..

j=1 j=2 j=3 j=4

i=1

i=2

i=3

La funzione (m,n)

Proprietà

1. fissato n, (m,n) monotonicamente decrescente al crescere di m

2. (n,n) per n 3. (m,n) 4 per ogni scopo pratico

(m,n)= min {i>0 : A(i, m/n) > log2 n}

1.

crescente in m

Proprietà

2. (n,n) per n

(n,n)= min {i>0 : A(i, n/n) > log2 n} = min {i>0 : A(i, 1) > log2 n}

Proprietà3. (m,n) 4 per ogni scopo pratico

A(4,m/n) A(4,1) = A(3,2)

=22

2 16.. .

>> 1080

numero stimato di atomi nell’universo osservabile

(m,n)= min {i>0 : A(i, m/n) > log2 n}

Meccanismo VCG per il problema del MST

M= <g(r), p(g(r))> g(r): dato il grafo G e le dichiarazioni r=(r1,…,rm), calcola

il MST di G, T=(V,ET) pe: Per ogni arco e ET pe=w(TG-e)-w(T)+ w(e) (w(e): peso riportato per e)

Per ogni e T dobbiamo calcolare TG-e, ovvero il MST di rimpiazzo per e (MST in G-e =(V,E\{e}))

Ipotesi di lavoro: Grafo 2-edge connesso (altrimenti TG-e potrebbe non esistere il possessore dell’arco e “tiene in pugno” il sistema!)

Una soluzione banale

e T applichiamo l’algoritmo di calcolo dell’MST al grafo G-e

Complessità: n-1 archi dell’MST per O(m (m,n)): O(nm (m,n))

La soluzione efficiente che proponiamo costerà ancora O(m (m,n))!!!

Una soluzione un po’ meno banale Proprietà dei tagli di un MST: sia (V’,V’’)

un taglio in G: allora, l’arco di peso minimo che “attraversa” il taglio appartiene all’MST

TG-e coincide con T-e+f, dove f è l’arco di peso minimo che attraversa il taglio indotto dalla rimozione di e da T

Controlliamo gli O(m) archi del taglio suddetto e troviamo f

Complessità: n-1 archi dell’MST per O(m): O(m (m,n)+mn)=O(mn)

L’analisi di sensitività degli archi dell’MST

Input grafo G=(V,E) pesato non orientato T=(V,ET) minimo albero ricoprente di G

Domanda quanto possono aumentare i pesi w(e) (e

T) prima di inficiare la minimalità di T?

Esempio

86

2

7

1

9

3

10

4

10

8

13

11

Notazioni

G=(V,E) T albero ricoprente di GDefiniamo Per ogni f=(x,y) E\E(T)

T(f): (unico) cammino in T che unisce x e y Per ogni e E(T)

C(e)={f E\E(T): e T(f)}

Proprietà dei cicli

G=(V,E) grafo non orientato e pesato, e l’arco più pesante in un qualsiasi

ciclo Allora e MST(G)

Dim (per assurdo)Sia e l’arco più pesante in un ciclo

C={e }P, e supponiamo e T

e e’ T

T’=T \ {e} {e’}

w(e’) < w(e) w(T’) < w(T)

T non è MST(G)

X

V\X

P

Corollario G=(V,E) grafo non diretto, connesso,

pesato T albero ricoprente di G. allora T è minimo se e soltanto se per ogni arco f

non dell’albero vale: w(f) w(e) per ogni e in T(f)

…quindi…

Se e è un arco dell’MST, esso rimane minimo finché w(e) non cresce oltre w(f), dove f è l’arco più leggero che forma un ciclo con e (f è chiamato arco di swap per e); chiamiamo tale valore up(e)

…più formalmente…

Per ogni e E(T) up(e)= minf C(e) w(f) swap(e)= arg minf C(e) w(f)

Analisi di sensitività degli archi dell’MST

up(e)=86

2

7

1

9

3

10

4

10

8

13

11

e

C(e)

Osservazioni

Calcolare tutti i valori up(e) (swap(e)) vuol dire ricalcolare MST(G-e) per ogni e di T MST(G-e)=MST(G) \{e} {swap(e)}

Nel meccanismo VCG il pagamento pe di un arco e della soluzione è esattamente up(e)!!

Idea dell’algoritmo efficiente

Per ogni e E(T) guardare efficientemente tutti gli archi che formano un ciclo con e e prendere il minimo (up(e))

Il Transmuter Dato G=(V,E) e un suo albero ricoprente T, un

transmuter è un grafo diretto aciclico D che rappresenta l’insieme dei cicli fondamentali di G rispetto a T, ovvero l’insieme {T(f) : f arco non dell’albero}

D contiene:1. Una sorgente (nodo con grado entrante nullo) s(e)

per ogni arco e di T2. Un pozzo (nodo con grado uscente nullo) t(f) per

ogni arco f non in T3. Un numero arbitrario di nodi ausiliari Proprietà fondamentale: c’è un cammino in D

da una data sorgente s(e) a un pozzo t(f) se e solo se e T(f)

Come si costruisce il transmuter

Tarjan ha mostrato come costruire un transmuter che ha O(m (m,n)) nodi in tempo O(m (m,n))

La costruzione è un’estensione delle tecniche usate per mantenere efficientemente insiemi di foreste disgiunte sottoposte a operazioni di LINK e operazioni di EVAL

R. E. Tarjan, Application of path compression on balanced trees, J. ACM 26 (1979) pp 690-715

Alcuni richiami di base

D=(N, A) grafo diretto ( |N|=h ) Un ordinamento topologico è un

ordinamento dei nodi di D v1, v2, …,vh

tale che:per ogni arco (vi, vj) A, vale i < j

Alcuni richiami di base

D=(N, A) grafo diretto D ammette un ordinamento

topologico se e solo se D è un DAG (grafo diretto aciclico)

Un ordinamento topologico dei nodi può essere trovato (se esiste) in tempo O(|N| + |A|) (visita in profondità)

Calcolo degli incrementi per gli archi dell’albero

Etichettiamo ogni nodo del transmuter con un valore reale processando i nodi in ordine topologico inverso

Etichettiamo ogni pozzo t(f) con il valore w(f) (associamo al valore anche l’arco f )

Etichettiamo ogni nodo v che non è un pozzo con il valore minimo fra i valori dei suoi (immediati) successori

Quando tutti i nodi sono etichettati ogni sorgente s(e) è etichettata con il valore up(e) (e relativo arco di swap)

2

5

3

6

4

9

7

8

96

11

10

7 7 6 6 9 10

7 6 10

7 8 9 6 10 11

Calcolo dei valori up(e)

Complessità

Tempo1. Costruzione Transmuter: O(m (m,n))2. Calcolo valori up(e):

Trovare ordinamento topologico O(m (m,n))Processare il transmuter in O(m (m,n))

Spazio1. O(m (m,n))