Il problema del cammino minimo tra 2 nodi in un grafo

non cooperativo

Notazioni preliminari

G=(V,E): grafo non diretto pesato, w(e) R+ per ogni e E (tipo privato dell’agente che possiede l’arco e)

s,t V, risp. sorgente e destinazione PG(s,t): cammino minimo in G da s a t dG(s,t): distanza in G da s a t (somma

dei pesi degli archi di PG(s,t))

Meccanismo VCG per il problema del cammino

minimo

M= <g(r), p(g(r))> g(r): dato il grafo G e le dichiarazioni r=(r1,…,rm),

calcola PG(s,t) pe: Per ogni arco e PG(s,t),

pe=dG-e(s,t)-dG(s,t)+w(e) (w(e): peso riportato per e)

Per ogni e PG(s,t), dobbiamo calcolare PG-e(s,t), ovvero il cammino minimo di rimpiazzo per e (cammino minimo in G-e =(V,E\{e}))

Cammino di rimpiazzo per e

s

t

e

2

2

34

5 6

510

5

12

PG-e(s,t)PG(s,t)

Ipotesi di lavoro

n=|V|, m=|E| I nodi s,t sono 2-edge connessi: per

ogni arco e del cammino PG(s,t) che viene rimosso esiste almeno un cammino alternativo in G-e

…infatti

Se s,t non sono 2-edge connessi c’è almeno un arco in PG(s,t) che è un ponte (arco che rimosso spezza G in due componenti C1 e C2, r C1 e s C2)

Se e è un ponte dG-e(s,t) = ∞

Il possessore di quell’arco “tiene in pugno” il sistema: può chiedere qualsiasi cifra!

Una soluzione banale

e PG(s,t) applichiamo l’algoritmo di Dijkstra al grafo G-e

Complessità: k=O(n) archi per O(m + n logn): O(mn + n2 logn) time

La soluzione che proponiamo costerà: O(m + n logn) time

Notazioni

SG(s), SG(t): alberi dei cammini minimi radicati in s e t

Ms(e): insieme dei nodi raggiungibili da s in SG(s) senza passare per l’arco e

Ns(e)=V/Ms(e): nodi del sottoalbero di SG(s) radicato in v, dove e=(u,v)

Mt(e), Nt(e) definiti in modo analogo

s

u

v

t

e

Ms(e)

Ns(e)

SG(s)

Ms(e) e Ns(e) individuano un taglio in G Cs(e)={(x,y) E\{e}: x Ms(e),

yNs(e)} archi del taglio: crossing edges

Crossing edges

s

u

v

t

e

Ms(e)

Ns(e)

SG(s)

Cs(e)

Come è fatto PG-e(s,t)?

Ovvio: non usa e PG-e(s,t) deve attraversare il taglio È il cammino più corto fra quelli che

non usano e La sua lunghezza è:

dG-e(s,t)= min {dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)}f=(x,y) Cs(e)

Cammino di rimpiazzos

u

v

t

ex

y

dG-e(s,t)= min {dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)}f=(x,y) Cs(e)

Sia f=(x,y) Cs(e); dimostreremo che:

dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)=dG(s,x)+w(f)+dG(y,t)

Osservazione: dG-e(s,x)=dG(s,x), perché x Ms(e)Lemma:Sia f=(x,y) Cs(e) un arco del taglio (x Ms(e)).

Allora y Mt(e).

(da cui segue che: dG-e(y,t)=dG(y,t))

Un semplice lemma

Dim(per assurdo)y Mt(e), allora y Nt(e). Quindi y

discendente di u in SG(t) e PG(t,y) usa e. PG(v,y) è sottocammino di PG(t,y). Quindi:

dG (v,y)=w(e) + dG (u,y) > dG (u,y).

y Ns(e), allora PG(s,y) usa e. PG(u,y) è sottocammino di PG(s,y). Quindi:

dG (u,y)=w(e) + dG (v,y) > dG (v,y).

s

t

Ns(e) Mt(e)

Ms(e)

Corollario

Dati SG(s) e SG(t),

k(f):= dG-e(s,x) + w(f) + dG-e(y,t) disp. in O(1) time

dG(s,x) guardo in SG(s)

Osservazione: k(f) è la lunghezza del cammino minimofra s e t che usa f

dG(y,t) guardo in SG(t)

Un altro semplice algoritmo

Passo 1: Calcoliamo SG(s) e SG(t)Passo 2:e PG(s,t) guardiamo gli archi del taglio Cs(e) e

prendiamo il minimo (rispetto al valore k(٠)).Complessità

Passo 1: O(m + n logn)Passo 2: k=O(n) archi, O(m) archi in ogni taglio:

O(mn)Migliore di O(mn + n2 logn) se m=o(n logn)

L’algoritmo di Malik, Mittal e Gupta

Siano e1, e2,…,ek gli archi di PG(s,t) da s verso t Al passo i manteniamo in un heap H l’insieme

dei nodi Ns(ei) (convenzione: Ns(e0)=V) Chiamiamo i nodi in H nodi attivi Ad ogni nodo yH è associata una chiave k(y)

e un particolare crossing edge. k(y)= min {dG(s,x)+w(x,y)+dG(y,t)}

k(y): lunghezza del cammino minimo da s a t passante per y

x Ms(ei)

L’algoritmo di Malik , Mittal e Gupta

Inizializzazione: H =V, k(y)= per ogni y Passo i : consideriamo l’arco ei e

processiamo H nel seguente modo: Elimino da H tutti i nodi in Ws(ei)=Ns(ei-1)\Ns(ei) Considero ogni x Ws(ei), quando trovo che un

vicino y a x è attivo, calcolo k’(y)=dG(s,x)+w(x,y)+dG(y,t)

Se k’(y)<k(y) decremento k(y) a k’(y) Processati tutti gli x Ws(ei), estraggo il

minimo da H, che fornisce la lunghezza del cammino minimo di rimpiazzo per ei (dG-ei(s,t))

Un esempio

Ns(e1)

e1

e2

e3

e5

e4

s

t

Ws(e1

)

Un esempio

Ns(e2)

e1

e2

e3

e5

e4

s

t

Ws(e2

)

TeoremaDati due nodi s,t in un grafo G con n

vertici e m archi, tutti i cammini di rimpiazzo possono essere calcolati in tempo O(m + n logn).

Dim: Calcoliamo SG(s) e SG(t) in tempo O(m + n logn). Usiamo l’heap di Fibonacci. Complessità ammortizzata delle operazioni di delete e delete_min è O(logn), e O(1) per le operazioni di insert, find_min, decrease_key,make_heap.

Singola operazione make_heapO(n) insertO(n) find_minO(n) deleteO(m) decrease_key

O(m + n logn)

CorollarioIl meccanismo VCG per il problema del

cammino minimo può essere calcolato in tempo O(m + n logn)

DimComplessità di g(٠): O(m + n logn)Complessità di p(٠): calcolo tutte le

distanze dG-e(s,t), in tempo O(m + n logn)