Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson &...

Capitolo 3Il Principio Cosmologico e la Metrica di

Robertson & Walker

Le evidenza osservative viste fino ad ora, ed in particolare l’isotropia della CMB, sugge-riscono che il punto di partenza naturale per la costruzione di un modello cosmologicoe assumere che, in prima approssimazione, l’universo sia omogeneo ed isotropo all’epocapresente.

Questo era proprio il punto di partenza di Einstein nel 1917 per ottenere il primo mo-dello completamente autoconsistente di universo (statico). I successivi modelli di Fried-mann di universo in espansione erano a loro volta basati sulle equazioni di Einstein esull’assunzione di omogeneita e isotropia.

Uno dei problemi principali per questi “pionieri della cosmologia relativistica” era lascelta e l’interpretazione delle coordinate spazio-temporali da usare; in pratica la sceltadel sistema di riferimento. Un esempio di questa di�colta e il seguente: la soluzione dide Sitter (universo vuoto) risultava stazionaria o esponenziale a seconda della scelta dellecoordinate.

Il problema fu risolto indipendentemente da Robertson e Walker che derivarono lametrica dello spazio-tempo per tutti i possibili modelli di universi omogenei, isotropi edin espansione uniforme. La metrica di Robertson-Walker (RW) e indipendente dall’as-sunzione che la dinamica su grande scala dell’universo sia descritta dalle equazioni dellaRelativita Generale di Einstein.

Un altro fondamentale passo in avanti fu fatto da Weyl nel 1923 con l’introduzione diun postulato, noto oggi col nome di “Postulato di Weyl”:

le particelle del substrato (galassie) sono collocate su geodetiche dello spazio-tempo che

divergono a partire da un unico punto nel passato finito o infinito.

Cio significa che tutte le traiettorie geodetiche delle galassie nello spazio tempo nonsi intersecano mai eccettuato un solo punto comune a tutte nel passato finito o infinito.Questo postulato e stato introdotto da Weyl prima della scoperta dell’espansione dell’u-niverso da parte di Hubble. Per substrato si intendeva un mezzo immaginario (come unfluido) che definiva e seguiva la cinematica complessiva delle galassie (le particelle delsubstrato). La conseguenza diretta del postulato di Weyl e l’esistenza di una sola geo-detica che passa per ogni punto dello spazio-tempo, tranne che nell’origine dove tutte legeodetiche si intersecano.

Dopo aver adottato questo postulato e possibile assegnare un osservatore fondamentale

ad ogni traiettoria nello spazio-tempo ovvero e possibile considerare un osservatore in ognipunto dello spazio-tempo che porta con se un orologio che misura il tempo t a partire dal

2 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker

punto singolare in cui tutte le traiettorie si intersecano: t e detto “tempo cosmico” ed emisurato da orologi che sono stati sincronizzati nell’origine comune a tutte le geodetichela cui esistenza e predetta dal postulato di Weyl.

Prima di ottenere il “framework” in cui costruire il modello standard e necessariaun’ulteriore assunzione, il cosiddetto “Principio Cosmologico”:

non siamo osservatori collocati in una posizione particolare dell’universo

e, come corollario, possiamo quindi a↵ermare che:siamo collocati in una posizione tipica e qualsiasi altro osservatore fondamentale col-

locato in qualsiasi altra parte dell’universo vedrebbe le stesse strutture su grande scala che

vediamo noi

ovvero la stessa espansione di Hubble, le stesse proprieta della CMB, la stessa strutturadelle galassie su grande scala, ecc.).

Come abbiamo gia visto, la combinazione della legge di Hubble con l’isotropia dell’uni-verso comporta che il sistema di galassie si espanda uniformemente e che ogni osservatorein ogni galassia veda la stessa espansione allo stesso tempo cosmico. La CMB, la strutturaa grande scala delle galassie (con il clustering che va a zero su grande scala), e l’ubiquitadella struttura “a spugna” indicano proprio che il principio cosmologico e una assunzioneragionevole.

Vedremo adesso come, combinando l’omogeneita e l’isotropia dell’universo, la legge diHubble e la metrica di Minkowski della Relativita Speciale, si arrivi ad ottenere la metricadi Robertson e Walker (RW) per un qualsiasi modello cosmologico, omogeneo, isotropoed in espansione uniforme.

3.1 Spazi Curvi Isotropi

Gli spazi non Euclidei nascono dalla scoperta che e possibile costruire una geometria au-toconsistente senza il famoso V postulato di Euclide sulle rette parallele che si incontranosolo all’infinito. Riemann fu colui che dette una solida base teorica alle geometrie nonEuclidee mentre Einstein combino la Relativita Speciale e la teoria della gravitazionetramite la geometria Riemanniana e il calcolo tensoriale per ottenere la teoria della Re-lativita Generale. Con la Relativita Generale era finalmente possibile costruire modelliautoconsistenti di universo.

E’ possibile giungere alla metrica di RW senza passare per le complessita della geo-metria Riemanniana.

Per capire quanto non Euclidea e la geometria in uno spazio bidimensionale, usiamoil trasporto parallelo dei vettori mantenendoci nello spazio bidimensionale.

Cominciamo con il caso di geometria piana Euclidea e consideriamo il triangolo ABCed il versore in A perpendicolare al lato AB:

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in B;

• ruotiamolo di un angolo � in senso antiorario rendendolo perpendicolare al lato BC;

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in C;

• ruotiamolo di un angolo � in senso antiorario rendendolo perpendicolare al lato AC;

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in A;

• ruotiamolo di un angolo ⇡ ` ↵ per riportarlo nella posizione iniziale in A.

3.1 Spazi Curvi Isotropi 3

A

B

C

!

"

#

"

#

$+!

Figura 3.1: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo in un piano.

A questo punto abbiamo e↵ettuato una rotazione totale in senso antiorario pari a 2⇡ovvero:

rotazione totale “ 2⇡ (3.1)

e calcolando la rotazione totale come somma delle rotazioni in A, B e C otteniamo

� ` � ` p↵ ` ⇡q “ 2⇡ (3.2)

Ovvero, per il triangolo ABC con una geometria piana (Euclidea) risulta

↵ ` � ` � ´ ⇡ “ 0

(somma angoli interni triangolo ABC) ´ ⇡ “ 0 (3.3)

Consideriamo adesso il caso di una geometria curva come quella sulla superficie di unasfera (figura 3.2). Il triangolo ABC adesso e definito con il vertice A sul “polo” della sferaed i vertici B e C sull’ “equatore”; i “lati” AB e AC sono dei “meridiani” e l’angolo BACe pari a ↵. Come prima il versore in A e perpendicolare al lato AB ed e↵ettuiamo leseguenti operazioni:

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in B;

• ruotiamolo di un angolo � “ ⇡{2 in senso antiorario rendendolo perpendicolare allato BC;

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in C;

• ruotiamolo di un angolo � “ ⇡{2 in senso antiorario rendendolo perpendicolare allato AC;


A

BC

!"+!

"/2"/2

#$

Figura 3.2: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo su una superficie

sferica.

• trasportiamolo parallelamente a se stesso in A;

• ruotiamolo di una angolo ⇡ ` ↵ per riportarlo nella posizione iniziale in A.

A questo punto abbiamo e↵ettuato una rotazione totale in senso antiorario pari a:

rotazione totale “ � ` � ` ↵ ` ⇡ “ ⇡

2` ⇡

2` ⇡ ` ↵ “ 2⇡ ` ↵ (3.4)

come prima questa corrisponde alla somma degli angoli interni del triangolo piu ⇡, ovvero

� ` � ` p↵ ` ⇡q “ 2⇡ ` ↵ (3.5)

che puo essere riscritta e interpretata come

↵ ` � ` � ´ ⇡ “ ↵

(somma angoli interni triangolo ABC) ´ ⇡ “ ↵ (3.6)

La superficie del settore sferico ABC e pari a

Sparea triangolo ABCq “ ↵R2c (3.7)

con Rc raggio di curvatura. Per esempio, se ↵ “ 2⇡ si ha 2⇡R2c (superficie della semi-

sfera). Pertanto si puo finalmente scrivere che nel caso del triangolo ABC su una superficiesferica

↵ ` � ` � ´ ⇡ 9 Sparea triangolo ABCq(somma angoli interni triangolo ABC) ´ ⇡ 9 Sparea triangolo ABCq (3.8)


Questo di↵erisce dal caso di triangolo sul piano (geometria euclidea) per cui

↵ ` � ` � ´ ⇡ “ 0

(somma angoli interni triangolo ABC) ´ ⇡ “ 0

Quindi e proprio il valore della somma degli angoli interni di un triangolo, sottrattadi ⇡, che determina se la geometria e piatta o meno. La relazione 3.8 e una proprietagenerale degli spazi isotropi.

Calcoliamo adesso qual e la somma degli angoli interni in una figura chiusa in unospazio curvo isotropo.

Con riferimento alla figura 3.3a, consideriamo 2 geodetiche g1 e g2 che partono dall’o-rigine “O” e che formano un angolo d✓ piccolo tra loro. Siano A e B i punti su g1 e g2a distanza r da O e si connettano con una curva la cui distanza da O sia r in ogni suopunto (ovvero preso un punto qualsiasi P della curva AB la distanza PO misurata lungola geodetica e r). La curva AB e perpendicolare in A a g1 ed in B a g2. Si consideri ancheuna curva analoga ad AB ma a distanza r ` dr da O.

Nello spazio euclideo avremmo per d✓ piccolo (figura 3.3a):

AB “ ⌘prq “ rd✓ (3.9)

questo non e piu vero nello spazio non Euclideo dove scriveremo in generale

AB “ ⌘prq “ fprqd✓ (3.10)

Prendiamo adesso un vettore di lunghezza dr in A tangente alla geodetica g1 ovveroperpendicolare a AB e trasportiamolo in B parallelamente a se stesso. Il vettore formeraun angolo � con la g2. Nel caso di geometria piana si avrebbe ovviamente � “ d✓. Per laregola 3.10 con cui calcoliamo la lunghezza degli archi possiamo scrivere

⌘pr ` drq “ ⌘prq ` �fpdrq (3.11)

Siccome dr e piccolo, possiamo scrivere

fpdrq “ fp0q ` f 1p0qdr (3.12)

Questa espressione deve valere nel limite di uno spazio Euclideo in cui fprq “ r, ovverofpdrq “ dr. Pertanto per consistenza con lo spazio Euclideo deve risultare fp0q “ 0 ef 1p0q “ 1, ovvero

⌘pr ` drq ´ ⌘prq “ �dr

� “ ⌘pr ` drq ´ ⌘prqdr

“ d⌘prqdr

“ d✓dfprqdr

(3.13)

Muoviamoci adesso di una distanza �x lungo le geodetiche g1 e g2 arrivando rispettiva-mente in C e D. Analogamente a prima

� ` �� “ ⌘pr ` �x ` drq ´ ⌘pr ` �xqdr

“ d✓d

drrfpr ` �xqs (3.14)

“ d✓d

dr

„fprq ` dfprq

dr�x

⇢(3.15)


r

d! "O

g2

#(r) #(r+dr)

B

A dr

dr

g1

(a)

S1

r

rd!

"/2

"/2+##"-!

O

g1

g2

S1

r

d! #O

g1

g2

$(r)

#+%#

$(r) $(r+%x)

S2

A

B

B

A C

D

%x

(b)

(c)

Figura 3.3: Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un triangolo in uno spazio curvo

isotropo.


ovvero sostituendo a � il suo valore trovato precedentemente

d✓dfprqdr

` �� “ d✓dfprqdr

` d✓d2fprqdr2

�x

�� “ d2fprqdr2

�xd✓ (3.16)

Verifichiamo nuovamente che questa relazione abbia senso per uno spazio Euclideo: po-nendo fprq “ r nell’espressione appena ottenuta (3.13) si ottiene � “ d✓ che e proprio larelazione corretta. Da d2f{dr2 “ 0 si ottiene anche �� “ 0, come deve essere poiche ivettori trasportati in B e D sono paralleli tra loro e formano lo stesso angolo � con g2.

Adesso dobbiamo trovare un modo per valutare ��. Nel trasporto parallelo sultriangolo sferico ABC abbiamo visto che

psomma angoli interni triangolo ABC ´ ⇡q “ ↵ ` � ` � ´ ⇡ 9 Sparea triangolo ABCq(3.17)

che avevamo ricavato dimostrando che

protazione totale vettore ´ 2⇡q “ ↵ ` � ` � ´ ⇡ 9 Sparea triangolo ABCq (3.18)

Con riferimento alla figura 3.3b, consideriamo il trasporto parallelo di un vettore perpen-dicolare a g1 in “O” fino ad A; il vettore viene poi ruotato di un angolo ⇡{2 e trasportatoparallelamente fino in B dove, per la curvatura dello spazio formera una angolo � con lageodetica g2 perpendicolare ad AB. Ruotiamo quindi il vettore di ⇡{2`� e trasportiamoloparallelamente in O dove lo ruoteremo nuovamente di ⇡ ´ d✓ per sovrapporlo al vettoredi partenza. La rotazione totale e ⇡{2 ` p⇡{2 ` �q ` p⇡ ´ d✓q “ 2⇡ ` � ´ d✓, pertantopossiamo scrivere dalla 3.8

p2⇡ ` � ´ d✓q ´ 2⇡ 9S1 (3.19)

Sempre in riferimento alla figura 3.3c, consideriamo anche la geodetica CD perpendicolarea g1 e g2 che dista �x da AB. Ovviamente la lunghezza di CD e adesso ⌘pr`�xq e l’angoloin D tra il vettore e g2 e � ` ��. Analogamente a prima avremo

p2⇡ ` � ` �� ´ d✓q ´ 2⇡ 9S2 (3.20)

La costante di proporzionalita e la stessa nei due casi per l’isotropia dello spazio. Pren-dendo la di↵erenza membro a membro si ottiene

�� 9�S (3.21)

con �S “ S2 ´ S1 area del “loop” ABDC. Questa espressione fornisce la variazionedell’angolo � di deviazione dalla geodetica in uno spazio isotropo. Possiamo scrivere

�� “ ´k�S (3.22)

Ma sappiamo anche che�S “ ⌘prq�x “ fprqd✓�x (3.23)

ed avevamo trovato che

�� “ d2f

dr2�x�✓ (3.24)

per cui si ottiene infine l’equazione

d2fprqdr2

“ ´kfprq (3.25)


con k costante di proporzionalita ed il segno “-” scelto per convenienza. Questa el’equazione di un moto armonico con soluzione

fprq “ A sin`k1{2r

˘` B cos

`k1{2r

˘(3.26)

che, per r Ñ 0 si deve ricondurre all’espressione nel caso Euclideo ovvero fprq “ r. Questosignifica che se dr e piccolo rispetto al raggio di curvatura dello spazio non ci rendiamoconto della curvatura stessa. Pertanto

r Ñ 0, fprq Ñ A`k1{2r

˘` B Ñ r (3.27)

Quindi perche fprq tenda a r si deve avere B “ 0 e A “ k´1{2. La condizione di limite“Euclideo” comporta la soluzione

fprq “ sinpk1{2rqk1{2 (3.28)

con k che assume il significato di curvatura dello spazio e puo essere k † 0, k ° 0 e k “ 0.Se k † 0 possiamo scrivere k “ ´k1 con k1 ° 0 e

fprq “ sinhpk11{2rqk11{2 (3.29)

Nel caso k “ 0 invece fprq Ñ r e la sua derivata seconda e nulla.Questi risultati appena ottenuti includono tutti i possibili spazi isotropi:

• k ° 0 ovvero, spazio sferico

• k † 0 ovvero, spazio iperbolico

• k “ 0 ovvero, spazio piatto (Euclideo)

In termini geometrici possiamo scrivere

Rc “ k´1{2 (3.30)

con Rc raggio di curvatura di una sezione bidimensionale dello spazio curvo isotropo, cheha lo stesso valore per tutti i punti e le orientazioni nel “piano”. Spesso si scrive

fprq “ Rc sin

ˆr

Rc

˙(3.31)

ovvero siamo riusciti a esprimere fprq tramite la curvatura dello spazio. Rc e reale pergeometrie sferiche chiuse, immaginario per quelle iperboliche aperte ed infinito nel casoEuclideo. L’esempio piu semplice di questo tipo di spazi e proprio la superficie sfericavista all’inizio in cui Rc e proprio il raggio della sfera. Il fatto che Rc sia immaginario puoessere interpretato in termini di raggi di curvatura uguali ma con segni diversi in direzionidiverse, come nel caso di una sella che permette di visualizzare le proprieta di uno spazioiperbolico al pari della sfera.

Concludiamo questa parte ricordando che abbiamo ottenuto la “regola” con cui si mi-surano le distanze in direzione perpendicolare alla geodetica passante per l’origine ovveroin seguito alla sola variazione dell’angolo ✓:

fprq “ sin`k1{2r

˘

k1{2 “ Rc sin

ˆr

Rc

˙(3.32)

3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi 9

Questo risultato ci permette di calcolare lo spostamento infinitesimo dl dovuto ad unospostamento dr lungo la geodetica “radiale” e ad uno spostamento infinitesimo ⌘prqd✓lungo la geodetica “tangenziale” come

dl2 “ dr2 ` ⌘prqd✓ “ dr2 ` R2c sin

2

ˆr

Rc

˙d✓ (3.33)

come vedremo, questo e proprio la metrica di uno spazio curvo isotropo bidimensionale.

3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Cur-

vi Isotropi

In uno spazio Euclideo l’elemento di linea, dl, ovvero la distanza tra due punti separatida variazioni infinitesime delle coordinate dx, dy, dz, e

dl2 “ dx2 ` dy2 ` dz2 (3.34)

Consideriamo adesso il caso piu semplice di spazio isotropo curvo bidimensionale, la su-perficie della sfera, e determiniamo dl per una sistema di coordinate sulla superficie stessa.

O

P

dɸ

dɸɸ

d!!

"

Figura 3.4: Coordinate sulla superficie della sfera, spazio curvo isotropo bidimensionale.

Possiamo definire un sistema di riferimento ortogonale in ogni punto della sfera utiliz-zando le coordinate sferiche: le coordinate ortogonali sulla superficie della sfera sono ✓,�. L’incremento della distanza sulla superficie della sfera al variare di ✓ e

dl “ Rcd✓ (3.35)


con Rc raggio della sfera. Quello al variare di � e invece

dl “ Rc sin ✓d� (3.36)

con Rc sin ✓ raggio per movimenti lungo il parallelo identificato da ✓. L’incrementogenerico per variazioni di ✓ e � e pertanto

dl2 “ R2cd✓

2 ` R2c sin

2 ✓d�2 (3.37)

dove i due termini rappresentano, rispettivamente, l’incremento lungo la geodetica eperpendicolare ad essa. Rc, raggio della sfera, e il raggio di curvatura del nostro spazio.

Questa espressione e la metrica dello spazio bidimensionale e puo essere scritta informa tensoriale come

dl2 “ gµ⌫ dxµ dx⌫ (3.38)

Un risultato fondamentale della geometria di↵erenziale e che gµ⌫ , tensore metrico, contienetutte le informazioni sulla geometria intrinseca dello spazio.

Il problema e che e possibile avere molti sistemi di riferimento per descrivere le coordi-nate di un punto su una qualsiasi superficie bidimensionale. Per esempio sul piano possoavere coordinate cartesiane e polari

dl2 “ dx2 ` dy2

dl2 “ dr2 ` r2d�2 (3.39)

Come e possibile determinare la curvatura intrinseca di uno spazio a partire da gµ⌫ eindipendentemente dal sistema di riferimento? Gauss fu il primo a trovare la soluzioneper questo problema. Per esempio, nel caso di un tensore metrico bidimensionale che sipuo ridurre a forma diagonale come quelli visti fino ad ora, si ha

k “ 1

2g11g22

"´B2g11

Bx22

´ B2g22Bx2

1

` 1

2g11

«Bg11Bx1

Bg22Bx1

`ˆBg11

Bx2

˙2�

` 1

2g22

«Bg11Bx2

Bg22Bx2

`ˆBg11

Bx1

˙2�

(3.40)

con k che rappresenta la “Curvatura Gaussiana” della superficie.Consideriamo

dl2 “ dr2 ` r2 d�2 “ g11dr2 ` g12drd� ` g21drd� ` g22d�

2 (3.41)

per cui

gµ⌫ “ˆ

1 00 r2

˙(3.42)

ovvero, svolgendo i calcoli, si ottiene k “ 0. Invece con

dl2 “ R2cd✓

2 ` R2c sin

2 ✓d�2 (3.43)

3.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi 11

si ha

gµ⌫ “ˆ

R2c 00 R2

c sin2 ✓

˙(3.44)

ovvero, svolgendo i calcoli, si ottiene k “ 1{R2c . In generale negli spazi curvi k varia da

punto a punto ma la metrica ottenuta per la superficie sferica ha curvatura k “ R2c in tutti

i punti della superficie: pertanto questa metrica risulta essere la metrica di uno spaziobidimensionale isotropo.

L’estensione della metrica bidimensionale sferica agli spazi tridimensionali isotropi eimmediata se consideriamo che ogni sezione bidimensionale di uno spazio curvo isotropodeve essere essa stessa uno spazio bidimensionale isotropo, di cui gia conosciamo il tensoremetrico.

Abbiamo appena ottenuto il sistema di riferimento naturale per uno spazio bidimensio-nale isotropo, ovvero un sistema polare in cui si misura la distanza ⇢ a partire dall’origineO, e l’angolo � misura la rotazione rispetto ad una direzione di riferimento. Consideriamoil sistema di riferimento sulla superficie della sfera; avevamo trovato che

dl2 “ R2cd✓

2 ` R2c sin

2 ✓d�2 (3.45)

e la distanza ⇢ da O e

⇢ “ Rc✓ cioe d✓ “ 1

Rcd⇢ (3.46)

la misura dell’arco che si ottiene variando � di una quantita d� puo essere trovata dallacon la 3.45 ma anche con la regola 3.32 che abbiamo appena trovato ovvero

Rc sin ✓d� “ fp⇢qd� “ Rc sin

ˆ⇢

Rc

˙d� (3.47)

si noti come questa espressione risulti anche dalla semplice sostituzione di ✓ “ ⇢{Rc inRc sin ✓. Pertanto l’elemento di linea e

dl2 “ d⇢2 ` fp⇢q2d�2 “ d⇢2 ` R2c sin

2

ˆ⇢

Rc

˙d�2 (3.48)

⇢ e la distanza minima tra O e P sulla superficie della sfera ed e pertanto la distanzageodetica tra O e P nello spazio curvo isotropo. Le geodetiche sono l’equivalente dellerette negli spazi piani.

Al posto di ⇢ possiamo utilizzare un’altra misura di distanza

x “ Rc sin

ˆ⇢

Rc

˙(3.49)

da cui

dx2 “„1 ´ sin2

ˆ⇢

Rc

˙⇢d⇢2

dx2 “«1 ´

ˆx

Rc

˙2�d⇢2

dx2 ““1 ´ kx2

‰d⇢2 (3.50)


con k “ 1{R2c . E’ quindi possibile ricavare d⇢ da dx e la metrica diventa

dl2 “ dx2

1 ´ kx2` x2d�2 (3.51)

Si noti l’interpretazione della distanza x fornita dalla relazione

dl “ xd� (3.52)

dove xd� rappresenta la distanza propria perpendicolare alla coordinata radiale ⇢. Per-tanto x e l’espressione corretta del “raggio” da utilizzare per il calcolo della lunghezza diun “arco” che sottende un angolo d� alla distanza geodetica ⇢ da O con

x “ Rc sin

ˆ⇢

Rc

˙(3.53)

x e nota come “distanza angolare” in cosmologia perche fornisce il valore corretto per ilcalcolo della lunghezza di un segmento perpendicolare alla linea di vista da O. Si possonousare indi↵erentemente ⇢ o x ma se usiamo x, l’incremento della distanza geodetica,ovvero lungo una geodetica, e dato da

d⇢ “ dx

p1 ´ kx2q1{2 (3.54)

dove k “ 1{R2c e la curvatura che puo essere

• k ° 0 per lo spazio sferico come quello appena discusso;

• k “ 0 per uno spazio piatto, in cui Rc Ñ 8;

• k † 0 per uno spazio iperbolico.

Adesso possiamo passare a scrivere l’incremento spaziale dl in un qualsiasi spazio curvoisotropo tridimensionale.

Il trucco e che qualsiasi sezione bidimensionale deve essere uno spazio isotropo per ilquale la metrica e

dl2 “ d⇢2 ` R2c sin

2

ˆ⇢

Rc

˙d�2 (3.55)

oppure

dl2 “ dx2

1 ´ kx2` x2d�2 (3.56)

Per estrapolare dallo spazio bidimensionale allo spazio tridimensionale possiamo pen-sare al passaggio tra le coordinate polari nel piano r, ✓ (ovvero quelle che otteniamo perk “ 0)

dl2 “ dx2 ` x2d✓2 (3.57)

alle coordinate sferiche r, ✓,� sempre in uno spazio piatto

dl2 “ dx2 ` x2`d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘(3.58)

Per cui viene naturale pensare alla trasformazione da x, ✓

dl2 “ dx2

1 ´ kx2` x2d✓2 (3.59)

3.3 La Metrica di Robertson-Walker 13

a x, ✓,�

dl2 “ dx2

1 ´ kx2` x2

`d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘(3.60)

Ponendo k “ 0 si ritrovano i casi precedenti di coordinate polari e sferiche in geometriapiana. Analogamente considerando la distanza lungo la geodetica ⇢ si passa da ⇢, ✓


2

ˆ⇢

Rc

˙d✓2 (3.61)

a ⇢, ✓,�


2

ˆ⇢

Rc

˙ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘(3.62)

A questo punto possiamo scrivere la metrica di Minkowski dello spazio tempo in unqualsiasi spazio curvo tridimensionale

ds2 “ dt2 ´ 1

c2dl2 (3.63)

Ricordiamo nuovamente di stare attenti al diverso significato che le distanze ⇢ e x hanno:

• ⇢ e la distanza misurata lungo la geodetica passante per l’origine del sistema diriferimento;

• x e la distanza angolare ovvero la distanza misurata perpendicolarmente alla geo-detica passante per l’origine

Tra le due vale la relazione

d⇢ “ dx

p1 ´ kx2q1{2 (3.64)

3.3 La Metrica di Robertson-Walker

Per poter applicare la metrica

ds2 “ dt2 ´ 1

c2dl2


2

ˆ⇢

Rc

˙ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘(3.65)

agli spazi omogenei ed isotropi abbiamo bisogno del

• principio cosmologico ovvero del fatto che non siamo in una posizione particolaredell’universo;

• concetto di osservatore fondamentale e tempo cosmico.

Considerati dei modelli di universo omogeneo ed isotropo, definiamo un insieme diosservatori fondamentali che si muovono in modo tale che l’universo appaia loro sempreomogeneo ed isotropo. Ogni osservatore ha un orologio e misura un tempo proprio detto“tempo cosmico”. Gli orologi sono sincronizzati tra loro grazie al postulato di Weylsecondo cui le geodetiche di tutti gli osservatori nello spazio tempo si intersecano in un


punto nel passato che e l’“origine” del riferimento; il tempo cosmico e misurato propriorispetto a quel punto per il quale t “ 0. La metrica puo quindi essere scritta nella forma

ds2 “ dt2 ´ 1

c2

„d⇢2 ` R2

c sin2

ˆ⇢

Rc

˙ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘⇢(3.66)

con t tempo cosmico, Rc raggio di curvatura e d⇢ incremento di distanza propria nelladirezione radiale (ovvero lungo la geodetica passate per l’osservatore e l’origine).

C’e pero un problema nell’applicare la metrica ad un universo in espansione.

t (tempo cosmico)

r (distanza)

t0

cono di luce passato

“world line”t = 0

t1 galassia a t1

Figura 3.5: Cono luce passato e world line di una galassia osservata per t “ t1.

Dal momento che la luce viaggia con velocita finita c, osserviamo solo gli oggetti chesono collocati sul cono di luce passato che e centrato sulla Terra all’epoca attuale t “ t0.Quindi, quando osserviamo un oggetto distante, lo osserviamo ad un’epoca t “ t1 † t0quando l’universo era omogeneo ed isotropo ma le distanze tra gli osservatori erano piupiccole e la curvatura spaziale diversa.

Il problema e che noi possiamo applicare la metrica ds2 solo ad uno spazio curvoisotropo definito ad un’unica epoca.

Per risolvere questo problema ricorriamo al seguente esperimento concettuale (thoughtexperiment): per misurare la distanza propria d⇢ da mettere nella metrica consideriamouna serie di osservatori fondamentali collocati tra noi e la galassia G la cui distanzavogliamo misurare. Quando tutti questi osservatori si ritrovano nell’origine al tempot “ 0, ricevono l’istruzione di misurare la distanza d⇢ dall’osservatore immediatamentevicino al tempo t, determinato dal suo orologio. Tutte queste misure vengono poi inviatea noi e pertanto, sommando, tutti i d⇢ ricevuti possiamo determinare ⇢ all’epoca t equesto puo essere inserito nella metrica. Si noti che questa e in realta una distanza“fittizia” e in pratica non si possono misurare le distanze cosı. Noi osserviamo le galassiedistanti in un’epoca precedente alla nostra ma non sappiamo come “proiettare” le loroposizioni all’epoca attuale, ovvero non conosciamo la loro “world line”. Quindi la distanza


⇢ dipende in e↵etti dalla scelta del modello cosmologico che determina le “world lines”

delle galassie, a loro volta determinate dall’espansione dell’universo.Vediamo adesso come cambiano le coordinate ⇢ delle galassie in un universo in espan-

sione uniforme. Le definizione di espansione uniforme che abbiamo gia visto e che ledistanze tra noi e due qualsiasi osservatori i e j misurate a due qualsiasi istanti t1 e t2cambiano mantenendo costante il loro rapporto

⇢ipt1q⇢jpt1q

“ ⇢ipt2q⇢jpt2q

“ costante1 (3.67)

ovvero portando gli “i” a primo membro e i “j” al secondo si ottiene

⇢ipt1q⇢ipt2q “ ⇢jpt1q

⇢jpt2q “ costante2 (3.68)

poiche questa relazione deve essere valida per ogni coppia i, j e t1, t2, l’unica possibilita eche

⇢ipt1q⇢ipt2q

“ ⇢jpt1q⇢jpt2q “ costante2 “ apt1q

apt2q (3.69)

dove aptq, per i modelli isotropi di universo, e una funzione universale nota come “fattoredi scala” e che descrive come le distanze relative tra due qualsiasi osservatori varino neltempo. Poiche abbiamo la liberta di scegliere la normalizzazione di aptq poniamo

apt0q “ 1 (3.70)

ovvero il fattore di scala e unitario all’epoca attuale. Definiamo poi la distanza r come ilvalore di ⇢ misurato all’epoca attuale quindi tale che

⇢ptq “ aptq r (3.71)

r diventa quindi un’etichetta di distanza per indicare un osservatore fondamentale men-tre la variazione temporale della sua distanza propria e presa in carico da aptq. r e lacoordinata di distanza radiale comovente, o distanza comovente. Si noti come ⇢ definitasecondo l’equazione 3.71 soddisfi la condizione di espansione uniforme.

Anche le distanze proprie nella direzione perpendicolare alla linea di vista devonocambiare di una fattore aptq tra t e t0 per l’omogeneita e isotropia dell’universo ovvero

�lptq�lpt0q

“ aptqapt0q “ aptq (3.72)

ma abbiamo

ds2 “ dt2 ´ 1

c2

„d⇢2 ` Rcptq2 sin2

ˆ⇢ptqRcptq

˙ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘⇢(3.73)

che piu sinteticamente possiamo scrivere

ds2 “ dt2 ´ 1

c2

„d⇢2 ` Rcptq2 sin2

ˆ⇢ptqRcptq

˙d!2

⇢(3.74)

cond!2 “

`d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘(3.75)


La distanza angolare e pertanto

�lptq “ Rcptq sinˆ

⇢ptqRcptq

˙�! (3.76)

Si noti come si sia messa in evidenza la dipendenza temporale ⇢ptq e Rcptq. Considerandola 3.72 deve pertanto risultare

Rcptq sin´

⇢ptqRcptq

¯

Rcpt0q sin´

⇢pt0qRcpt0q

¯ “ aptq (3.77)

Sfruttando il fatto che ⇢ptq “ aptqr e rielaborando si ottiene

Rcptqaptq sin

„aptqrRcptq

⇢“ Rcpt0q sin

„r

Rcpt0q

⇢(3.78)

questa uguaglianza deve essere valida per ogni t. Poiche il secondo membro non dipendeda t l’unica possibilita e che

Rcptq “ aptqRcpt0q (3.79)

cioe anche il raggio di curvatura dello spazio deve essere proporzionale a aptq. Quindi,per mantenere l’omogeneita e l’isotropia dell’universo, la curvatura deve cambiare conl’espansione secondo

k “ R´2c 9 aptq´2 (3.80)

k pero non puo cambiare segno per cui il tipo di geometria (sferica, iperbolica o piatta)rimane sempre lo stesso.

Definiamo adesso R come il raggio di curvatura all’epoca attuale

R “ Rcpt0q (3.81)

pertanto il raggio di curvatura al tempo t e

Rcptq “ aptqR (3.82)

e quindi, sostituendo anche ⇢ptq “ aptqr, la metrica diventa

ds2 “ dt2 ´ 1

c2

”aptq2dr2 ` aptq2R2 sin2

´ r

R

¯ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘ı(3.83)

e finalmente otteniamo

ds2 “ dt2 ´ aptq2c2

”dr2 ` R2 sin2

´ r

R

¯ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘ı(3.84)

questa e la metrica di Robertson-Walker per un qualsiasi universo omogeneo ed isotropoin espansione uniforme. E’ possibile riscrivere questa metrica in modo diverso utilizzando,ad esempio, la distanza angolare comovente

r↵ “ R sin´ r

R

¯

dr2↵ “ cos2´ r

R

¯dr2

dr2↵ “”1 ´ sin2

´ r

R

¯ıdr2 “

„1 ´

´r↵R

¯2⇢dr2


ponendo k “ R´2 si ottienedr2↵

1 ´ kr2↵“ dr2 (3.85)

ovvero la metrica nella forma


„dr2↵

1 ´ kr2↵` r2↵

`d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘⇢(3.86)

con il cambio di variabili r2� “ kr2↵ la metrica diviene infine

ds2 “ dt2 ´ R2cptqc2

«dr2�

1 ´ r2�` r2�

`d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘�

(3.87)

con Rcptq “ Raptq raggio di curvatura dello spazio al tempo t che vale quindi R per t “ t0,ovvero al tempo attuale.

L’importanza delle metriche viste fin qui e che permettono di definire un intervalloinvariante ds tra eventi ad una qualsiasi epoca o con una qualsiasi collocazione nellospazio. Ricordiamo che nella metrica


”dr2 ` R2 sin2

´ r

R

¯ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘ı(3.88)

• t e il tempo cosmico misurato da un osservatore fondamentale a partire dal momentoin cui tutte le geodetiche si incrociano;

• r e la distanza radiale comovente che e fissata per ogni galassia ed e indipendentedal tempo; r rappresenta la distanza propria verso una galassia misurata al tempot0 ed e quindi una estrapolazione poiche la galassia viene osservata ad un tempo t1precedente a t0;

• aptqdr e l’elemento di distanza propria (o geodetica) nella direzione radiale all’epocat;

• aptqR sinpr{Rqd✓ “ aptqr↵d✓ e l’elemento di distanza propria perpendicolare alladirezione radiale e sottesa dall’angolo d✓ come vista dall’origine;

• aptqR sinpr{Rq sin ✓d� “ aptqr↵ sin ✓d� e l’elemento di distanza propria nella dire-zione d�.

Da notare che fino ad ora non abbiamo ancora specificato nulla relativamente allafisica che determina il tasso di espansione dell’universo: questa e tutta dentro la funzioneaptq. Tuttavia, qualsiasi sia la fisica che determina aptq, la metrica RW permette solo 3tipi di geometrie e queste sono fissate ad ogni t poiche la curvatura varia come k 9 aptq´2.

In conclusione e importante precisare quanto segue:

• la metrica di RW ovvero quella che descrive un universo omogeneo ed isotropoin espansione uniforme [⇢ptq “ aptqr] vale solo sulle scale per cui l’assunzione diomogeneita e isotropia e valida. Ovvero la metrica di RW vale solo sulle scale sucui la CMB e la distribuzione delle galassie sono uniformi.

• su scale piu piccole l’universo non e omogeneo ed isotropo; per esempio nei dintornidi una stella la metrica sara quella di Schwarzschild (ovvero la metrica attorno aduna distribuzione sferica di massa) e pertanto nel passare dalle grandi scale allepiccole scale (quelle di una stella) la metrica si dovra trasformare da quella RW aquella di Schwarzschild. Questo significa anche che, su piccole scale, la gravita edominata dalle stelle (o dalle galassie) e non dall’universo nel suo insieme. Pertantosulle piccole scale non ci sara l’espansione cosmologica vista da Hubble. Una galassiae tenuta insieme dalla sua gravita, pertanto non si espande. Allo stesso modo ladistanza Terra-Sole non varia, il metro campione non si espande e l’atomo non siespande. L’espansione si ha solo su grande scala quando le forze gravitazionali (oelettromagnetiche) che ci sono su piccola scala sono trascurabili.

Indice

3 Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson & Walker 1

3.1 Spazi Curvi Isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 La Metrica dello Spazio-Tempo per gli Spazi Curvi Isotropi . . . . . . . . . 93.3 La Metrica di Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson &...

Documents

Transcript of Il Principio Cosmologico e la Metrica di Robertson &...