IL MOTO APPARENTE DEL SOLE NEL CIELO E LE SUE

CONSEGUENZE

Lorenzo Quarisa, Classe 5aB, Liceo Scientifico Primo Levi (Montebelluna), A.S. 2013-2014

0.1 MAPPA CONCETTUALE

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Capitolo 1

INTRODUZIONE

1.1 Motivazioni personali per la scelta dellargomento e metodoutilizzato

La scelta dellargomento e stata effettuata sulla base di un interesse personale verso la matematica applicata,in particolare in campo fisico e astronomico. Spesso mi capita di svolgere lavori simili autonomamente che,pero, risultano piuttosto circoscritti e della lunghezza (potenziale) di poche pagine. In questo caso, invece, latematica e ricca di collegamenti differenti nella vita di tutti i giorni, e dunque si presta particolarmente adessere approfondita in occasione dellesame di Stato.Ritengo, inoltre, che sebbene il lavoro poggi su basi matematiche non banali, una questione di generale im-portanza come il movimento del Sole nel cielo, che tutte le persone sperimentano ogni giorno, possa esseredinteresse per chiunque.

Per quanto riguarda il metodo, ho cercato, dove possibile, di condurre ragionamenti indipendenti rispetto adelleventuale materiale gia svolto da altre persone, al fine di assicurarmi di aver compreso a fondo gli argomenti,e di sfruttare tale materiale piuttosto come strumento di verifica. Un esempio e quello delle tre dimostrazionicontenute nella sezione 2, che hanno costituito gran parte del lavoro in termini di tempo ed energie, e che hoprodotto in totale autonomia.Essendo poi un argomento di natura applicativa, molto spesso per verificare un risultato ho provato a immagi-nare come esso si tradurrebbe nella realta, chiedendomi sulla base di questo se potesse essere accettabile.

Il lavoro e incentrato sulla ricerca di due formule (o meglio, funzioni) matematiche che permettano diprevedere la posizione del Sole nel cielo in qualsiasi momento del giorno e dellanno e per unqualsiasi osservatore, valutandone poi le applicazioni.

1.2 Introduzione al sistema Terra-Sole

In questo testo prenderemo in considerazione i due moti fondamentali del sistema, ovvero la rotazione dellaTerra attorno al proprio asse e la rivoluzione della Terra attorno al Sole. Per non complicare eccessivamente laquestione, lorbita viene considerata come circolare e non ellittica (la differenza e in ogni caso minima), e nonvengono considerati moti millenari come la precessione degli equinozi. Fondamentali allanalisi sono invece lalatitudine (l) dove e posto losservatore e la declinazione solare ().

La latitudine e langolo compreso tra losservatore e lequatore, rispetto al centro della Terra. Essa vale0 allequatore e 90 ai poli; e negativa nellemisfero australe e positiva nellemisfero boreale.

La declinazione solare e langolo compreso tra il piano su cui la Terra ruota su se stessa (ovvero il pianodellequatore) e il piano su cui la Terra gira attorno al Sole (ovvero leclittica). Essa varia da 23.44(angolo pari allinclinazione dellasse terrestre) nel solstizio dinverno a +23.44 nel solstizio destate evale 0 negli equinozi.

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Figura 1.1: latitudine e declinazione.

1.3 Le coordinate polari altazimutali

Chi non e esperto nel settore si potrebbe chiedere: come si puo determinare univocamente, per un certo osser-vatore, la posizione del Sole nel cielo?. Innanzitutto, per definire un osservatore si ha bisogno solamente dellalatitudine.Per una certa latitudine, inoltre, la posizione nel cielo e data non da distanze ma da angoli. Cio che vediamo noi,infatti, e semplicemente una proiezione prospettica della realta su una sfera ideale (sfera celeste). Fonda-mentalmente, noi non possiamo distinguere le dimensioni reali degli oggetti basandoci su ununica osservazione;lo facciamo grazie allesperienza. Due angoli sono quanto e necessario e sufficiente per determinare univoca-mente la posizione di un punto in una sfera che abbia per centro losservatore. Questi angoli si chiamano, nellinguaggio astronomico, altezza e azimut.

Altezza (h): langolo compreso tra loggetto e la sua proiezione sullorizzonte. Ad esempio, se il Sole esopra la nostra testa, la sua altezza e 90. Se il Sole si trova allorizzonte, e di 0.

Azimut (): langolo compreso tra la proiezione delloggetto sullorizzonte e il Nord (per convenzione).Ad esempio, quando il Sole e a est il suo azimut e di 90, quando e a sud di 180, etc.

Naturalmente, bisogna anche considerare che il Sole e visto come un disco nel cielo, e ha un diametro di circa0.5; considereremo sempre, dora in poi, la posizione del centro del Sole. Definiamo inoltre il concetto di zenit,che e forse il punto di riferimento piu immediato nel cielo, ovvero quello esattamentre sopra la nostra testa.Esso coincide con il prolungamento del raggio terrestre passante per losservatore, ed e situato a unaltezza di90. Cio significa che langolo tra lo zenit e un oggetto e sempre complementare (cioe la loro somma vale 90)a quello dellaltezza, il che verra usato nella dimostrazione 2.1. Il punto opposto allo zenit, situato cioe sotto inostri piedi, e detto nadir.

1.4 Cenni generali sul moto del Sole nel cielo

Per capire come si muove il Sole nel cielo il primo punto di riferimento di cui abbiamo bisogno e il punto che,congiunto con losservatore, forma una linea parallela allasse di rotazione terrestre; esso e detto polo celeste,e coincide con la stella polare (entro una certa approssimazione). Infatti, la Terra ruota attorno a questasse,e di conseguenza noi vediamo tutto cio che sta nel cielo ruotare, descrivendo una circonferenza, attorno a quelpunto. Naturalmente se si e nellemisfero boreale si vedra nel cielo il polo Nord, viceversa nellesmifero australeil polo Sud; in ogni caso il polo Nord celeste ha sempre unaltezza pari alla nostra latitudine.

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Anche il Sole, dunque, gira in una circonferenza attorno al polo celeste. La seconda domanda che dobbiamoporci e: il centro di questa circonferenza siamo sempre noi, ovvero losservatore? La risposta e no: solo se siamoagli equinozi. E proprio per questo che in quel periodo il d e la notte hanno la stessa durata: per meta delsuo tratto il Sole e sopra lorizzonte, per meta sotto, in quanto si muove in una circonferenza ruotata ma cheha per centro losservatore.

Negli altri casi dobbiamo ricordarci che allaltezza che avrebbe il Sole negli equinozi va sempre sommataalla declinazione . Percio, anche il centro della circonferenza subira una vera e propria traslazione. Comunque,esso si trovera sempre allineato con losservatore e la proiezione dellasse terrestre nel cielo.

Figura 1.2: Schema rappresentativo del moto apparente del Sole, in una situazione invernale nellemisferoboreale. La linea arancione indica il percorso in un giorno; quando e tratteggiata, significa che il Sole e sottolorizzonte ed e notte.

Prima di procedere e essenziale anche spiegare il significato dellangolo orario.Langolo orario e langolo che forma il Sole, in un certo punto del suo percorso, con la sua posizione a mez-zogiorno. Esso, dunque, vale 0 a mezzogiorno, 180 a mezzanotte e poi di nuovo 0 il mezzogiorno successivo.E bene ricordare che finora stiamo parlando di giorno solare, cioe semplicemente il tempo che passa tra duemezzogiorni solari. Il mezzogiorno solare e il momento in cui losservatore passa di fronte al Sole, e quindiesso si trova sempre esattamente a Nord o esattamente a Sud.

Un giorno solare sara espresso come un tempo di durata t. Quindi, in radianti, langolo orario vale 2t,ovvero 360 t (ad esempio, a mezzanotte t = 12 , quindi langolo orario vale 360

12 = 180 = ). Si ricordi

anche che t non e una durata sempre costante: infatti il giorno solare stesso subisce delle variazioni di lunghezza,come vedremo nel capitolo 3, perche la Terra non viaggia sempre con la stessa velocita attorno al Sole.

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Capitolo 2

LE FUNZIONI DELLECOORDINATE POLARI: UNAPPROCCIO GEOMETRICO

In questa sezione si presenteranno le tre funzioni necessarie per la determinazione della posizione del Sole: dueper le coordinate polari (altezza e azimut) e una per la declinazione solare.Per dimostrare queste funzioni ho usato un approccio geometrico. Forse il metodo piu corretto sarebbe statosfruttare la geometria sferica, ma non avendola affrontata in dettaglio nel programma scolastico, ho preferitoattenermi alle regole della geometria euclidea, che possono comunque essere applicate con i dovuti accorgimenti.Dovendo lavorare solo su alcuni angoli ho cercato di costruire piramidi che avessero il maggior numero di angoliretti possibili, in modo da usare teoremi piu semplici, senza pero influenzare il valore degli angoli da me cercati.Un esempio e quello della dimostrazione 2.2, delle tre di gran lunga la piu impegnativa, dove ho proiettato ilpunto O su PN in modo da poter sfruttare la geometria euclidea; questo non ha pero alterato il valore degliangoli che apparivano nella formula finale quali latitudine, azimut, etc. e dunque il procedimento risulta valido.Ho usato inoltre di volta in volta sistemi di riferimento differenti, sia per motivi di convenienza, che per mostrarecome il fenomeno trattato sia sempre lo stesso.

2.1 LA FUNZIONE ALTEZZA

Nella figura sotto, O rappresenta il centro della Terra, P losservatore, O il centro di rotazione di P nel motodi rotazione terrestre, e S il punto dincontro tra la retta che unisce il Sole con la Terra con il piano su cui giacela rotazione di P . Quindi OS giace sul piano delleclittica e OS su un piano parallelo a quello dellequatore;da questo ne deduciamo che OSO = . Inoltre, per la proprieta degli angoli alterni interni, OPO = l. Cioche piu ci interessa, comunque, e che, stando alle definizioni date nel capitolo 1, POS = 2 h, mentre PO

Se langolo orario.

Figura 2.1: Rappresentazione su un sistema a 3 assi della Terra (circonferenza azzurra) e del Sole (circonferenzagialla). N.B. S non e il punto dove si trova il Sole (vedi sopra)!

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2.1.1 Calcolo dellangolo POS

Innanzitutto, calcoliamo le lunghezze dei segmenti OP , OP , OO, OS e OS.

OP = r dove r e il raggio della Terra;

OP = r cos l;

OO = r sin l;

OS = r sin ltan ;

OS = r sin lsen .

Applico ora il teorema del coseno ai triangoli POS e POS. Ottengo rispettivamente:

SP 2 = OS2 +OP 2 2 cos POS OS OP

SP 2 = OS2 +OP 2 2 cos POS OS OP

Sostituisco OS2 con OS2 OO2 e allo stesso modo OP 2 con OP 2 OO2. Eguagliando i secondi terminidelle due equazioni, si giunge allequazione risolutiva

OS2 +OP 2 2 cos POS OS OP = OS2 OO2 +OP 2 OO2 2 cos POS OS OP

che, isolando lincognita POS, porta a

POS = arccos

(OO2 + cos POS OS OP

OS OP

)

Sostituendo i valori dei segmenti con quelli determinati allinizio della sezione, si arriva ad escludere ognivariabile eccetto , l e POS, cioe

POS = arccos(

sin l sin + cos l cos cos POS)

2.1.2 Determinazione della funzione altezza e alcune considerazioni

Sostituiamo ora, come spiegato nel paragrafo 1.4, POS = 2t, dove t e un tempo espresso in giorni solarie che parte dal mezzogiorno reale del luogo, cioe il punto in cui losservatore passa di fronte al Sole. Infine,essendo che arcsin + arccos = 2 per ogni , e

POS = 2 h, lespressione di h finale e:

h(t) = arcsin (sin l sin + cos l cos cos 2t)

Si tratta di una funzione periodica di periodo 1, massimo per t = k, minimo per t = 12 + k (con k intero).

Casi particolari: mezzogiorno e mezzanotte solare

Nel mezzogiorno solare ( POS = 0) si ottiene POS = arccos (sin l sin + cos l cos ) = arccos (cos l ) =|l |, da cui h(t) = 2 |l |. Essa e la massima altezza (culminazione) del Sole nel cielo.

Nella mezzanotte solare ( POS = ) , POS = arccos (sin l sin cos l cos ) = arccos (cos l ) = |l + |, pertanto h(t) = |l + | 2 .

Nel corso di un giorno, laltezza del Sole e sempre compresa tra questi due valori.

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2.2 LA FUNZIONE AZIMUT

2.2.1 Dimostrazione

Per questa dimostrazione adotteremo il sistema di riferimento menzionato nella sezione 1.4.

Nella figura, abbiamo una situazione invernale (declinazione negativa, il centro del moto apparente del Solee sotto lorizzonte) nellemisfero boreale (polo celeste a Nord). In particolare:

P rappresenta losservatore, N il Nord, O il Polo celeste, O la proiezione del Polo celeste sulla linea checongiunge losservatore con il Nord, S il Sole, S la proiezione del Sole sullorizzonte;

la circonferenza orizzontale (con i punti N e S) e lorizzonte dellosservatore, la circonferenza diagonale(col punto S) e il moto apparente del Sole nel cielo nel corso di un giorno;

SPS = h (essendo h < 0); SPN = SPO = (azimut); NPO = OPO = l; SPO = 2 , con < 0;

sono retti gli angoli OOP , OOS, SSO, PSS.

Consideriamo ora la figura tridimensionale data dai punti S,S,P ,O,O. Si noti che tutti i segmenti tracciati traquesti punti non hanno alcun significato concreto, ma sono stati scelti in modo da determinare il maggiornumero possibile di angoli retti, e da non modificare il valore degli angoli che ci interessano (altezza, latitudine,declinazione e azimut).Come nel caso dellaltezza, comincio col definire uno stesso lato (in questo caso OS) in due modi diversi:

OS2 = (SS +OO)2

+ SO2 (teorema di Pitagora)

OS2 = OP 2 + SP 2 2 OP SP cos(2

)(teorema del coseno)

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Uguagliamo, sviluppiamo il quadrato del binomio, trasformiamo coseno in seno:

SS2 + 2 SS OO +OO2 + SO2 = OP 2 + SP 2 2 OP SP sin

Ricordando che gli angoli PSS e OOP sono retti:

SP 2 SP 2 + 2 SS OO +OP 2 OP 2 + SO2 = OP 2 + SP 2 2 OP SP sin

Semplifichiamo e applichiamo il teorema del coseno sul triangolo SPO:

SP 2 + 2 SS OO OP 2 + SP 2 +OP 2 2 SP OP cos = 2 OP SP sin

Semplifichiamo e isoliamo cos :

cos =OP SP sin + SS OO

SP OP

Notiamo ora che:

OPOP =1

cos OPO= 1cos l

SPSP =1

cos SPS= 1cosh =

1cosh

SS

SP = tanSPS = sinhcosh =

sinhcosh

OO

OP = tanOPO = sin lcosl

Sostituendo questi rapporti nella formula precedente si arriva a

cos =sin sinh sin l

cosh cos lQuesta formula, pero, non solo e difficile da scrivere, ma presenta anche il difetto di non funzionare per l = 2(il denominatore diventa 0), quindi bisogna modificarla attraverso alcune sostituzioni. Applichiamo quindi lafunzione altezza a noi nota:

cos =sin

(1 sin2 l

) sin l cos l cos cos 2t

cos l cos [arcsin (sin l sin + cos l cos cos 2t)]

Sostituiamo 1 sin2 l con cos2 l e semplifichiamo cos l, giungendo finalmente alla formula finale:

= arccos

{cos l sin sin l cos cos 2t

cos [arcsin (sin l sin + cos l cos cos 2t)]

}La convenzione, al giorno doggi, e di avere lazimut che vale 0 a Nord, 90 a Est, 180 a Sud e 270 a Ovest.Purtroppo, a causa dellarcocoseno, lazimut puo assumere solo angoli da 0 a 180 o da 180 a 360 nellostesso giorno. Tuttavia, per il semplice fatto che la Terra ruota sempre da Ovest verso Est, il Sole sorge semprepiu vicino allEst che allOvest e tramonta piu vicino all Ovest che allEst. Se si volesse langolo corretto,bisognerebbe sostituire con 2 durante il pomeriggio.

2.2.2 Considerazioni sulla funzione

La funzione oscilla sempre, nel corso del giorno, tra 0 e 180 (quando losservatore e sopra il pianodelleclittica) o tra 180 e 360 (quando losservatore e sotto il piano delleclittica).

Quando t = 0, ovvero nel mezzogiorno solare, la funzione assume valore arccos{

sin lcos[arcsin(cos l)]

}=

arccos

{sin l

cos[2|l|]

}= arccos

{sin lsin|l|

}= 0 se > l e 180 se l > .

Unimportante implicazione di questo fatto e che mentre nelle regioni con l > 23.44 (come la nostra)il valore dellazimut nel mezzogiorno solare e sempre costante nel corso dellanno (cioe il Sole e semprea Nord o a Sud); nel caso delle regioni tropicali esso cambia improvvisamente due volte lanno (vedigrafici).

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2.3 LA FUNZIONE DECLINAZIONE

La terza e ultima funzione che ci serve e quella della declinazione in funzione del tempo; ricavandola, si puosostituirla nelle prime due funzioni in modo che esse siano espresse unicamente in funzione del tempo, e con lalatitudine come parametro.Come nel caso dellaltezza, valuteremo il moto reale della Terra attorno al Sole.

Siano E il punto dellequinozio destate, T la posizione della Terra, T la proiezione della posizione sullalinea degli equinozi, S la posizione del Sole, A il punto che congiunge lasse terrestre con il piano perpendicolarealleclittica passante per la linea degli equinozi.Consideriamo ora la piramide retta ATT S. Sono retti i seguenti angoli: AT S, ST T , AT T . Inoltre: T TA =66.56(ovvero langolo tra lasse terrestre e leclittica); STT = EST = 2 tT , dove T = 365.2(durata di un

anno); ATS = 90 .Valgono:

AS2 = AT 2 + T S2

AS2 = AT 2 + TS2 2 AT TS cos 90 Eguagliando e cambiando coseno con seno dellangolo complementare:

AT 2 + T S2 = AT 2 + TS2 2 AT TS sin

Teorema di Pitagora sui triangoli retti AT T e ST T :

AT 2 TT 2 + TS2 TT 2 = AT 2 + TS2 2 AT TS sin

Semplifichiamo e isoliamo langolo:

sin =TT 2

AT TSPoiche TT

AT = cosT TA e TT

TS = cosST T :

= arcsin

(sin 23.44 cos 2 t

365.2

)

Questa e la formula geometricamente corretta per la declinazione. Tuttavia, essa puo essere approssimatain modo incredibilmente preciso (le due curve risultano sostanzialmente sovrapposte) con una piu semplice, chedunque adotteremo dora in poi:

= 23.44 cos(

2t

365.2

)

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2.3.1 FUNZIONI FINALI

Altezza:

h(t) = arcsin

[sin l sin

(23.44 cos 2 t

365.2

)+ cos l cos

(23.44 cos 2 t

365.2

)cos 2t

]

Azimut:

(t) = arccos

{cos l sin

(23.44 cos 2 t365.2

) sin l cos

(23.44 cos 2 t365.2

) cos 2t

cos arcsin[sin l sin

(23.44 cos 2 t365.2

)+ cos l cos

(23.44 cos 2 t365.2

) cos 2t

]}

Le funzioni ottenute sono particolarmente interessanti perche, se consideriamo una scala piccola dellassedelle x (ordine di grandezza delle unita) mostrano il moto del Sole nel corso di un singolo giorno, mentre suuna scala piu grande (ordine di grandezza delle centinaia) si puo osservare leffetto del moto di rivoluzionedella Terra attorno al Sole sul moto apparente del Sole nel cielo.

Si presentano di seguito una serie di grafici volti a illustrare visivamente le caratteristiche generali dellefunzioni.

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2.4 GRAFICI

N.B. Lasse x indica il tempo espresso in giorni, lasse y langolo espresso in radianti; x = 0 rappresenta ilmezzogiorno solare nel giorno del solstizio destate.

Figura 2.2: Se lasse x e lasse y sono in rapporto 100 : 1, h(t) appare come un nastro che raggiunge la suamassima altezza nel solstizio destate e la minima nel solstizio dinverno. Le due linee orizzontali rappresentanorispettivamente unaltezza di 90 e +90 (zenit).

Figura 2.3: Se la latitudine e prossima a 90 lo spessore del nastro si restringe progressivamente fino arendere laltezza influenzata quasi esclusivamente dal moto di rivoluzione, avendo cos i caratteristici giornilunghi 1 anno. Nel grafico si nota anche come laltezza massima e minima nel corso dellanno sia 23.44.

Figura 2.4: Nelle latitudini equatoriali passando dallequinozio ai poli diminuisce laltezza massima nel giorno,ma aumenta anche laltezza minima di notte. Allequatore (come in questa figura) negli equinozi laltezzamassima e 90 (zenit), nei solstizi 66.56.

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Figura 2.5: Grafico di (t) per lequatore (durante lanno). Lazimut e sempre minore di 180 in Estate,quando il Sole e a Nord (di giorno), e maggiore di 180 in Inverno, quando il Sole e a Sud. I punti di inversionesono gli equinozi; per le altre latitudini (tropicali), sono nel giorno in cui = l.

Figura 2.6: Grafico di (t) per i poli (rispetto ai singoli giorni). Qui la proiezione del moto del Sole sullorizzontee sempre e comunque un moto circolare, e dunque la variazione dellazimut e costante in qualsiasi momentodellanno.

Figura 2.7: Grafico di (t) e h(t) rappresentati sullo stesso asse cartesiano alle nostre latitudini ( h(t) e quellasotto). Per ciascuna coordinta x si ha sia langolo dellaltezza, sia quello dellazimut, e pertanto e possibiledeterminare univocamente la posizione del Sole nel cielo.

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Capitolo 3

RELAZIONE TRA POSIZIONE DELSOLE E ORA CIVILE

Cominciamo questo capitolo dando alcune definizioni essenziali.

Ora solare reale (OS) : il mezzogiorno (ore 12) si ha quando losservatore passa di fronte al Sole. Ilgiorno solare e il tempo che passa tra due mezzogiorni successivi, e non ha durata costante, come vedremo;dividendolo in 24 parti si ottengono le unita orarie. Spesso si usa il termine ora solare con un sensodifferente, cioe per intendere semplicemente lora civile priva di correzioni (nel qual caso si parlerebbe diora legale).

Ora civile (OC): non e altro che lora che segnano gli orologi sincronizzati con un certo meridiano.

Lo scopo di questo capitolo e di trovare la relazione tra ora solare reale e ora civile.Per farlo bisogna considerare due fattori.

[3.1] Il fatto che lora locale e uniformizzata allinterno dei singoli fusi orari . In questo modo si puotrovare lora solare reale del meridiano locale (OSM).

[3.2] La variabilita della velocita di rivoluzione della Terra attorno al Sole, attraverso lequazione deltempo. Ci si potrebbe chiedere perche questo fattore venga messo in gioco soltanto ora; in effetti, primaera perfettamente trascurabile. La spiegazione e che finora abbiamo ragionato in termini di giorni solari,e le differenze prodotte allinterno dei singoli giorni di questo fattore sono nellordine dei secondi. Se siparla di ora civile, pero, i giorni diventano un susseguirsi continuo di unita orarie di durata costante, che,nel corso dei mesi, possono produrre sfasamenti molto piu importanti (parecchi minuti).

3.1 IL FUSO ORARIO

Altre nozioni importanti.

La Terra e divisa, per convenzione, in fusi orari (spicchi della sfera terrestre). Nei vari punti del fusolora civile e uguale, mentre lora solare reale non lo e.

Un meridiano e un arco immaginario che congiunge il polo Nord con il polo Sud.

La longitudine (L) e langolo orizzontale compreso tra il meridiano passante per losservatore e il me-ridiano fondamentale, che per convenzione passa per Greenwich, in Inghilterra. Considereremo que-stangolo positivo (da 0 a 180) quando e a Est di Greenwich, e negativo (da 180 a 0) quando invecee a Ovest.

La Terra gira su se stessa in senso antiorario (da Ovest verso Est).

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Cio che ci interessa della longitudine e che ad essa e associata una differenza in ore rispetto al meridianofondamentale. Infatti, se la Terra ruota di 360 in 24 ore, a unora di differenza rispetto al meridiano di

Greenwich corrispondono 15 di longitudine.

Ne segue che, poiche allinterno di un fuso lora civile e sempre la stessa, lora civile corrisponde allorasolare per un solo meridiano passante per il fuso (per esempio quello centrale), che chiameremo meridiano diriferimento del fuso. Sia ora L la differenza di longitudine tra il meridiano locale (ovvero quello passanteper losservatore) e il meridiano di riferimento del fuso, e OSM lora solare del meridiano di riferimento. Alloralora solare per losservatore sara avanti di L15 ore rispetto a quella del meridiano di riferimento. Si ha, cioe:

OSM = OS L15

Da questo se ne deduce che se il meridiano locale e a Est del meridiano di riferimento lora solare e avanti, incaso contrario e indietro.

Prendiamo ad esempio il caso di Montebelluna: essa ha longitudine L = 12, e si trova nel fuso orario GMT+1, ovvero 1 ora in anticipo rispetto al meridiano di Greenwich. Questo fuso orario da lora solare corretta soloper il meridiano passante per la longitudine L = 15 +1 = 15 (che si trova a Est della citta), pertanto si haL = 12 15 = 3. Quando il Sole passa per il meridiano di longitudine 15, lora solare a Montebellunanon e ancora 12, mentre quella del meridiano di riferimento e 12. Dunque lora solare di Montebelluna e indietrodi +3

15 = 0.2 = 12 minuti rispetto a quella del meridiano di riferimento.

3.2 LEQUAZIONE DEL TEMPO

Come sappiamo, lorbita della Terra e ellittica, non circolare. A causa di questo, per la seconda legge diKeplero, la Terra ha una velocita di rivoluzione diversa nel corso dellanno. Afferma la seconda legge di Ke-plero: Nella sua rivoluzione attorno al Sole, la Terra spazza aree uguali in tempi uguali. Da questo nededuciamo che essa si muove piu velocemente al perielio (ovvero il punto in cui la Terra e piu vicina al Sole,che in questepoca e nei primi di gennaio) e piu lentamente nellafelio (il punto piu distante, nei primi di luglio).

Quale relazione, allora, sussiste tra la velocita di rivoluzione del Sole e la durata del giorno Solare?Nel paragrafo 1.4 abbiamo definito il giorno solare come il tempo che passa tra due mezzogiorni solari successivi.Una volta che la Terra ha compiuto una rotazione su se stessa, deve ruotare un po di piu (circa 1, ovvero 1365di un giro completo, corrispondente a 4 minuti) per compensare il fatto che essa si e spostata attorno al Solenel corso del giorno.E chiaro allora che piu veloce la Terra gira attorno al Sole, piu grande e langolo che la Terra percorre rispettoal Sole in un giorno e che il moto di rotazione deve compensare per far tornare il Sole nello stesso punto.

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Figura 3.1: Grafico dellequazione del tempo.

Nel perielio, ad esempio, la Terra viaggia circa il 3.4% piu velocemente che nella media, e il giorno duracirca 8 secondi in piu (vedi bibliografia). Le differenze sono decisamente trascurabili nei singoli giorni (cosache abbiamo fatto per trovare le funzioni altezza e azimut), ma nel corso dei mesi si sommano producendodiscrepanze, rispetto allora legale, di parecchi minuti.

Per correggere questo errore si ricorre allequazione del tempo (EdT ). Essa va sottratta allora solare delmeridiano di riferimento (OSM) per trovare lora civile. Senza addentrarci in calcoli troppo complessi, questae lequazione, espressa in ore:

EdT = 0.164 sin [0.0344 (t 273)] 0.127 sin [0.0172 (t 193)]

Dove t, come sempre, e il tempo espresso in giorni solari dal mezzogiorno solare dellultimo solstizio destate.

Dal grafico deduciamo che ci sono solo 4 momenti dellanno in cui il mezzogiorno solare coincide con quantocalcolato nella sezione 3.1. Esso e in ritardo nei periodi da fine Dicembre a meta Aprile e da meta Giugno ainizio Settembre; in anticipo da meta Aprile a meta Giugno e da inizio Settembre a fine Dicembre.Poiche non esiste un segno fissato per lequazione del tempo, alcuni usano lacronimo NYSS, ovvero NewYear, Sundial Slow (anno nuovo, meridiana in ritardo) per indicare appunto il ritardo del mezzogiorno solarerispetto al mezzogiorno dellorologio allinizio dellanno.

3.3 CONCLUSIONE

Lora solare, a una certa longitudine L e in un certo giorno t dallultimo solstizio destate, e:

OC = OSM EdT = OS L15 EdT

Formula inversa:

OS = OC +L

15+ EdT

Unultima, banale correzione va fatta a proposito dellora legale. Infatti, nel periodo estivo si avanzano lelancette di un ora per motivi di efficienza. Dunque lora solare sara spostata ulteriormente indietro di unorarispetto allora civile, mentre lora civile sara unora in piu in avanti.

Per far corrispondere a un certo valore di t la rispettiva ora solare basta moltiplicare per 24 la partedecimale (dopo la virgola) di t e aggiungere 12.

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Capitolo 4

APPLICAZIONI NELLA VITACONCRETA

4.1 LA DURATA DEL DI E DELLA NOTTE

La durata approssimata del d e della notte puo essere calcolata trovando la distanza tra due zeri della funzionealtezza approssimata a un singolo giorno. Infatti, quando h(t) > 0 e giorno, viceversa quanto h(t) < 0 e notte.Se dunque la funzione e positiva tra i due zeri si trovera la durata del d, se e negativa si trovera la durata dellanotte. Prendiamo la formula per laltezza in un singolo giorno e poniamola uguale a 0. Dopo i dovuti calcoli, si

ottiene h(t) = 0 per t = arccos( tan tan l)2 , quindi la durata del d (in giorni) e =arccos( tan tan l)

e la durata

della notte 1 arccos( tan tan l) .Con questa formula si dimostra che allequatore d e notte hanno sempre la stessa durata, in quanto tan l = 0 earccos 0 = 2 . In realta questo non corrisponde a quanto segnato nei calendari perche per convenzione si indicacome notte il tempo in cui il Sole e completamente sotto lorizzonte, non solo il suo centro. A questo va aggiuntoleffetto di rifrazione dellatmosfera che fa apparire il Sole leggermente piu alto di quanto non sia in realta.Sommando questi due fattori, si ottiene che si ha la notte solo quando h(t) < 1 circa.

Si ha in questo caso allora reale =arccos

(sin1sin sin l

cos cos l

)

I dati possono essere confrontati con quelli di fonti attendibili e corrispondono, con un errore massimo di unpaio di minuti (vedi bibliografia)

Figura 4.1: La durata del d alle latitudini di Montebelluna, in ore. Si puo notare come, per via della correzioneapplicata, negli equinozi il d duri piu di 12 ore.

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4.2 DOVE SORGE E TRAMONTA IL SOLE

Come sappiamo, il Sole sorge a Est e tramonta a Ovest solo durante gli equinozi. Per gli altri periodi dellanno,basta prendere la funzione azimut e porre h = 0. Si ottiene:

= arccos

(sin

cos l

)Sostituendo con la formula nota ( T = 365.2):

= arccos

[sin(23.44 cos 2 tT

)cos l

]

Questa formula restituisce solamente langolo compreso tra il Sole e il Nord.

Si puo notare anche che la curva e simmetrica rispetto ai punti(T

4 + kT; 2

)con k intero, ovvero rispetto

agli equinozi, e anche rispetto alla retta y = 2 , cioe rispetto al mezzogiorno solare.

Per esempio, alle latitudini di Montebelluna, il Sole sorge a 55 dal Sud nel solstizio dinverno e a 55 dalNord nel solstizio destate.

Figura 4.2: Angolo dal Nord in cui sorge il Sole alle latitudini di Montebelluna, espresso in radianti. x = 0rappresenta il solstizio destate, x = 14 lequinozio di autunno, etc.

4.3 ENERGIA SOLARE CHE ASSORBE UNA SUPERFICIE SUL-LA TERRA E PANNELLI FOTOVOLTAICI

4.3.1 Energia ricevuta dalla Terra

Partiamo dal Sole. Possiamo considerarlo come un perfetto corpo nero. Un corpo nero e un oggetto idealeche assorbe tutta la radiazione elettromagnetica, e la re-irradia in tutte le direzioni. In realta le stelle non sonopropriamente corpi neri a causa dei gas che ne circondano il nucleo, ma la differenza e trascurabile. La proprietache ci interessa in questo caso e che un corpo nero ha emissivita pari a 1.Lemissivita e la frazione di energia irradiata da un certo oggetto rispetto a quella che irradierebbe uncorpo nero che sia alla stessa temperatura T . Essa viene usata nellequazione di Stefan-Boltzmann, perdeterminare la totale potenza P emanata da un corpo:

P = AT 4

Dove e la costante di Stefan-Boltzmann, di valore 5.67 108 Js1m2K4; A e la superficie delloggetto.

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Applicando questa formula al Sole, considerando la temperatura superficiale di 5780 K e una superficie di6.09 1012 km, si ottiene una potenza pari a 3.86 1026 W.

A questo punto, per calcolare quanta energia effettivamente raggiunge la Terra basta impostare una pro-porzione. Poiche la radiazione luminosa si disperde in tutte le direzioni, la parte di potenza P che raggiungela Terra corrisponde alla parte di area che occupa la Terra, ovvero r2 dove r e il raggio della Terra, rispettoallarea totale della sfera avente per raggio la distanza d Terra-Sole, cioe 4d2. Si ottiene:

P =r2

4d2= 1.74 1017W

Dividendolo per la superficie terrestre, si ricava la densita di potenza superficiale (H ), che vale circa 340.4W m2.

4.3.2 La relazione tra altezza solare e potenza assorbita

Questo valore, tuttavia, non corrisponde effettivamente alla potenza effettivamente assorbita dalla Terra, perdue motivi principali:

fattori ambientali (nuvole, atmosfera, riflessione della superficie terrestre): secondo la NASA, questo riduceil valore di H a Hreale = 163.3 W m2 (vedi bibliografia);

langolo con cui la luce incide sulla superficie terrestre: questo valore puo essere previsto per vie teoriche.

Langolo con cui la luce incide sulla Terra e dato dallaltezza del Sole. Lazimut non ha nulla a che vederecon questo; cambia linclinazione della luce rispetto a un punto (losservatore) ma non rispetto a una superficie(ovvero il piano dove si trova losservatore).

Cerchiamo ora la relazione tra altezza ed energia solare ricevuta. Se pensiamo a un raggio di luce incidentecon una certa altezza h (che ricordiamo, e langolo tra il raggio e il suolo), notiamo che se questangolo e basso,il raggio si disperdera su una lunghezza maggiore.Osserviamo la figura:

Figura 4.3: La lunghezza su cui il raggio di luce si disperde e 1sinh

La potenza effettivamente assorbita e inversamente proporzionale a questa lunghezza, ed e quindi propor-zionale a sinh (in un intervallo di tempo piccolo, essendo h variabile). Per dirla in un altro modo, la potenzaassorbita corrisponde alla componente del vettore raggio di luce perpendicolare alla superficie.Per convincercene, pensiamo al momento in cui il Sole sta sorgendo o tramontando: possiamo osservarlo aocchio nudo senza problemi, infatti in questo caso abbiamo sinh 0 per cui lintensita della radiazione chegiunge al nostro occhio e prossima a 0.

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4.3.3 I pannelli solari fotovoltaici

Un modulo solare fotovoltaico e un dispositivo composto da celle fotovoltaiche in grado di convertire lenergiasolare incidente (si veda il paragrafo 4.3) in energia elettrica. Piu moduli preassemblati formano un pannello.Dallequazione trovata alla fine del sottoparagrafo 4.3.2 si deduce che se si posiziona un pannello fotovoltaicoparallelamente alla superficie la perdita di energia puo essere molto ampia, in quanto il Sole raramente si trovanei pressi dello zenit, specie ad alte latitudini.

Definiamo qui efficienza (o rendimento) di un pannello il rapporto tra la potenza solare che essoassorbe e quella che assorbirebbe una superficie ideale posta perpendicolarmente alla direzione dei raggi solarinella stessa situazione, a causa dellinclinazione dei raggi di luce. Si puo dimostrare che il massimo del-lefficienza in un pannello posizionato parallelamente al suolo e del 64%. Infatti, nelle zone tropicali, quandola declinazione solare e pari alla latitudine, il percorso del Sole e su un piano perpendicolare a quello dellasuperficie e centrato sullosservatore. Abbiamo allora che h(t) e lineare, di conseguenza sinh(t) e una comunesinusoidale il cui valor medio e 290

0.64.

Per onesta di causa, e bene ricordare che nella maggior parte dei casi e comunque possibile posizionare ipannelli in inclinazioni piu favorevoli in modo da poter ottenere efficienze piu alte.

Linseguitore solare a due assi

Per massimizzare il rendimento di un pannello fotovoltaico e possibile dotarlo del cosiddetto inseguitore solare,ovvero un motore che permette di variare la sua inclinazione a seconda del movimento del Sole. Inparticolare, linseguitore a due assi e in grado di inclinarsi in modo da seguire perfettamente il moto del Solenel cielo. Per farlo basta programmarlo secondo le funzioni trovate nelle sezioni 2.1 e 2.2. In questo caso,il rendimento sara sempre approssimabile al 100%, almeno per quanto riguarda linclinazione dei raggi solari.Naturalmente ci sono molti altri fattori (non relativi allaltezza del Sole) che riducono decisamente lefficienzadi tutti i pannelli, ma che qui non prenderemo in considerazione.

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4.4 LA COSTRUZIONE DI UNA MERIDIANA

Figura 4.4: Meridiana a Cracovia.

Detto anche orologio solare, la meridiana e uno strumento in grado di indicare lora solare reale sulla basedella posizione del Sole. Essa funziona grazie a un bastoncino, detto gnomone o stilo, che getta unombra suun piano (quadrante) che puo avere differenti inclinazioni.Esistono differenti tipi di meridiane; qui ne esamineremo solo due, le meridiane equatoriali e le meridianeanalemmatiche.

4.4.1 Le meridiane equatoriali

Nella meridiana equatoriale il quadrante ha inclinazione, rispetto al suolo, di unangolo complementare aquello della latitudine. Cio significa che esso e parallelo a tutto cio che si muove attorno al Polo celeste,incluso il Sole. Lo gnomone e posto perpendicolarmente al quadrante.Osservando la figura del paragrafo 1.4, notiamo che, in un singolo giorno, langolo di cui si muove il Sole rispettoallosservatore e sostanzialmente direttamente proporzionale al tempo trascorso, per un fattore che varia nelcorso dellanno.Cio significa che anche langolo tracciato dallombra dello gnomone su un quadrante posizionato in questo modoe proporzionale al tempo trascorso, sebbene la lunghezza dellombra cambi durante lanno.Dunque possiamo segnare ora solare 12 (mezzogiorno solare) a Nord (emisfero boreale), in quanto il Sole esempre a Sud in quel momento del giorno, e aumentare o diminuire di unora ogni 15 (15x24 = 360).Naturalmente il Sole sara posto in Primavera e in Estate sopra il piano del quadrante (nellemisfero boreale), ein Autunno e Inverno sotto, dunque le ore vanno segnate sia sopra che sotto.

Unaltra informazione interessante, che pero la maggior parte delle meridiane equatoriali non reca, e chelaltezza del Sole rispetto a questo piano e sempre pari alla declinazione. Si pensi ad esempio almezzogiorno Solare: in esso il Sole ha altezza (rispetto allorizzonte) 90 l+ , e sappiamo che il quadrante einclinato di 90 l. Lo stesso vale per ogni altro punto in cui puo trovarsi il Sole.Sarebbe dunque possibile tracciare una serie di circonferenze, aventi per centro la base dello gnomone, in cuiciascuna indica il punto dove cade la punta dellombra in un certo momento dellanno (per esempio il primogiorno di ogni mese). La distanza di queste circonferenze dal centro sara dunque di stan , dove s e la lunghezzadello gnomone.A questo proposito, un ovvio inconveniente della meridiana equatoriale e che negli equinozi il Sole si muovesullo stesso piano del quadrante, e dunque leggere lora risulta impossibile. Per ovviare a questo problemae possibile utilizzare come quadrante, anziche un piano, un anello che circonda lo gnomone.

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4.4.2 Le meridiane analemmatiche

Una meridiana analemmatica e una meridiana in cui lo gnomone, posizionato verticalmente, puoessere spostato a seconda del momento dellanno; e costituita da unellisse graduata in cui vengonosegnate le ore del giorno. Esistono vari tipi di meridiane analemmatiche, ma qui esamineremo quelle piucomuni, cioe quelle a quadrante orizzontale (parallelo al suolo).

Innanzitutto cerchiamo di capire perche si usa unellisse e non, ad esempio, una circonferenza. La circonfe-renza andava bene nelle meridiane equatoriali, ma poiche ora abbiamo che il quadrante e parallelo al suolo,la circonferenza ruotata viene proiettata sul terreno e quindi schiacciata lungo lasse Nord-Sud. Per essereprecisi, lellisse e schiacciata di un fattore pari a sin l. Ad esempio, ai poli essendo sin l = 1 lellisse e nuovamenteuna circonferenza, infatti la proiezione del moto del Sole sul terreno e sempre e comunque una circonferenza.

Inoltre, questa ellisse ha anche un significato geometrico particolare, ovvero rappresenta la proiezione delmoto del Sole sul piano dellosservatore.

Poiche in qualunque momento dellanno alle ore 12 lo gnomone deve sempre puntare a Sud (emisfero boreale)o a Nord (emisfero australe), esso va mosso solo lungo lasse Nord-Sud.

Per determinare la posizione dello gnomone in funzione della declinazione solare, dobbiamo porre alcunecondizioni. Cerchiamo di renderle piu semplici possibili. Abbiamo gia posto che lo gnomone ha sempre ascissax = 0. Consideriamo ora il caso delle ore 6. E molto conveniente perche si ha t = 14 e dunque cos 2t = 0.Lombra dello gnomone, in questa situazione, deve cadere sempre nel punto (1; 0)

Nella figura, G rappresenta la posizione generica dello gnomone, NGO e langolo complementare a quellodellazimut, mentre OGE e ancora langolo dellazimut. GE e lombra dello gnomone.Essendo che alle ore 6 di ogni giorno lombra dello gnomone deve cadere nel punto E, per determinare laposizione dello gnomone basta porre t = 14 nella funzione azimut trovata nella sezione 2.2. A quel punto, si ha

tan = OGGE = OG che e appunto la distanza dello gnomone dal centro della meridiana.Procedendo con i calcoli, si ottiene subito:

OG =1

tan{

arccos[

cos lsin cos arcsin(sin lsin )

]}

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Figura 4.5: Ellisse di una meridiana analemmatica progettata per le latitudini di Montebelluna, con ore 12 aNord.

Senza occupare troppo spazio con i calcoli, tale formula equivale a

OG = tan cos l

Alcune considerazioni su questa funzione.

Se la declinazione potesse avere valori prossimi a 90 (il che potrebbe accadere ad esempio se fossimo suUrano) si potrebbe avere uno gnomone da porre a una distanza altissima dalla meridiana; fortunatamente,sulla terra la declinazione non supera mai i 23.44.

Ricordando che ON = sin l, si dimostra che lo gnomone esce dallellisse solo quando > l, situazione chepuo accadere solo nelle latitudini tropicali. In effetti, se pensiamo allequatore, la meridiana diventerebbeuna linea orizzontale, e dunque e naturale che lo gnomone si trovi al di fuori.

Si tratta di una semplice funzione tangente moltiplicata per una costante. Nellintervallo che ci interessa(da 23.44 a +23.44) essa ha un andamento pressoche lineare, approssimabile nella forma y = cos(l) x.

La funzione non ha ununita di misura, in quanto tutte le grandezze sono espresse in rapporto conil semiasse maggiore dellellisse graduata.

E possibile infine graduare lasse Nord-Sud della meridiana, indicando la posizione dello gnomone per alcunedate (ad esempio il primo giorno di ogni mese). Basta trovare il valore corrispondente della declinazionesfruttando la formula dimostrata nella sezione 2.3.

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Appendice A

Il moto del Sole il 1/7 a Montebelluna

La latitudine di Montebelluna e di l = 45.8, la longitudine di L = 12.0. E attiva lora legale.

Calcoliamo innanzitutto la declinazione , sapendo che sono passati 10 giorni dal solstizio destate :

= 23.44 cos(

210

365.2

)= 23.09

La massima altezza del Sole e di 90 |l | = 67

Possiamo ricavare la durata del d, sulla base dellequazione del capitolo 4.1:

reale =arccos

(sin1sin sin l

cos cos l

)

= 0.654

0.654 giorni corrispondono a 15 ore e 42 minuti.

Come abbiamo gia visto nel capitolo 3, Montebelluna e in ritardo di 12 minuti rispetto al meridiano diriferimento del fuso. Inoltre, lequazione del tempo oggi vale 3.7 minuti. A questo va aggiunta unoradi ritardo dellora solare dovuta allora legale. Ne segue che lora solare di Montebelluna e in ritardo di60 + 12 + 3.7 = 75.7 minuti rispetto allora civile. Sapendo che allora il mezzogiorno solare e alle ore13:16, possiamo ricavare lora civile in cui sorge e tramonta il Sole:- sorge alle 13:16reale2 = 5.37=5:25;- tramonta alle 13:16+reale2 = 21.12=21:07.

Grazie allequazione del paragrafo 4.2. possiamo ottenere anche langolo che forma il Sole con il Nordquando sorge e tramonta:

= arccos

(sin

cos l

)= 55

Grafico della posizione del Sole nel corso del giorno ((t) e h(t)), sullasse x direttamente lora civile.

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Bibliografia

Il lavoro e stato svolto sfruttando sia conoscenze generali di astronomia, matematica e fisica (riconducibiliai rispettivi libri di testo) che materiale reperibile su internet.

Senza fonti (svolti autonomamente)

- le tre dimostrazioni della sezione 2;

- tutti i grafici;

- applicazioni: durata del d e della notte, punti dove sorge e tramonta il Sole (sezioni 4.1 e 4.2);

- dati sul giorno (...).

Verifica delle funzioni ottenute: (non si trovano le dimostrazioni)

http://en.wikipedia.org/wiki/Position_of_the_Sun

http://en.wikipedia.org/wiki/Solar_zenith_angle

http://en.wikipedia.org/wiki/Solar_azimuth_angle

Scritti seguendo alcune linee guida da siti esterni:

- sezione 3, sottosezione 4.3: http://www.pveducation.org/pvcdrom;

- dati sullenergia assorbita dalla Terra: http://science-edu.larc.nasa.gov/energy_budget/pdf/Energy_Budget_Litho_10year.pdf;

- sottosezione 4.4: http://en.wikipedia.org/wiki/Sundial, http://plus.maths.org/content/analemmatic-sundials-how-build-one-and-why-they-work

Conferma dei dati riguardo la durata del d e della notte:

http://www.timeanddate.com/worldclock/astronomy.html?n=257

Velocita del Sole nel perielio e nellafelio:

http://curious.astro.cornell.edu/question.php?number=614

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http://en.wikipedia.org/wiki/Position_of_the_Sunhttp://en.wikipedia.org/wiki/Solar_zenith_anglehttp://en.wikipedia.org/wiki/Solar_azimuth_anglehttp://www.pveducation.org/pvcdromhttp://science -edu.larc.nasa.gov/energy_budget/pdf/Energy_Budget_Litho_10year.pdfhttp://science -edu.larc.nasa.gov/energy_budget/pdf/Energy_Budget_Litho_10year.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sundialhttp://plus.maths.org/content/analemmatic-sundials-how-build-one-and-why-they-workhttp://plus.maths.org/content/analemmatic-sundials-how-build-one-and-why-they-workhttp://www.timeanddate.com/worldclock/astronomy.html?n=257http://curious.astro.cornell.edu/question.php?number=614

MAPPA CONCETTUALEINTRODUZIONEMotivazioni personali per la scelta dell'argomento e metodo utilizzatoIntroduzione al sistema Terra-SoleLe coordinate polari altazimutaliCenni generali sul moto del Sole nel cielo

LE FUNZIONI DELLE COORDINATE POLARI: UN APPROCCIO GEOMETRICOLA FUNZIONE ALTEZZACalcolo dell'angolo Determinazione della funzione altezza e alcune considerazioni

LA FUNZIONE AZIMUTDimostrazioneConsiderazioni sulla funzione

LA FUNZIONE DECLINAZIONEFUNZIONI FINALI

GRAFICI

RELAZIONE TRA POSIZIONE DEL SOLE E ORA CIVILEIL FUSO ORARIOL'EQUAZIONE DEL TEMPOCONCLUSIONE

APPLICAZIONI NELLA VITA CONCRETALA DURATA DEL DI' E DELLA NOTTEDOVE SORGE E TRAMONTA IL SOLEENERGIA SOLARE CHE ASSORBE UNA SUPERFICIE SULLA TERRA E PANNELLI FOTOVOLTAICIEnergia ricevuta dalla TerraLa relazione tra altezza solare e potenza assorbitaI pannelli solari fotovoltaici

LA COSTRUZIONE DI UNA MERIDIANALe meridiane equatorialiLe meridiane analemmatiche

Il moto del Sole il 1/7 a Montebelluna