Il metodo dei minimi quadraticon Excel

Corso di esperimentazione di fisica 1 A.a.2007-08

Rosaria Mancinelli mancinelli@fis.uniroma3.it

Ipotizziamo di avere una serie di N dati (x,y). Sia l’errore sulle y

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x

y

Guardando l’andamento dei punti

qmxy

Fit lineare (1/6)

è ragionevole supporre che y sia una funzione lineare di x, cioè

Per trovare l’equazione della retta che meglio approssima i dati

usiamo il cosiddetto metodo dei minimi quadratiInnanzitutto, si individua un peso da dare ai singoli punti sperimentali: poiché è ragionevole supporre che minore è l’errore statistico più rappresentativo è il punto,

al punto si associa un peso),( iii yx

N

i

i

i

ip

1 2

2

1

1

Fit lineare (2/6)

[Se gli errori sono uguali, i dati hanno lo stesso peso statistico, cioè p=1/N ]

Dalla teoria si ricava che la retta che meglio approssima i dati è:

bay essendo

2

y

a

N

ii

b

1 2

1

1

yb2

ba

Fit lineare (3/6)

xx

N

i iizpz1ed essendo il valor medio della generica grandezza z:

con

In termini dell’equazione in x,y: qmxy

amam

222 xxabq abq

si determinano

N

i iixpx1

N

i ii ypy1

Fit lineare (4/6)Procedendo in modo sistematico…

Si costruisce la variabile xxii

Si calcolano:

N

i iip1

22

N

i iii ypy1

)(e

Fit lineare (5/6)

Si trovano così i parametri della retta bay

2

y

a

N

ii

b

1 2

1

1

yb

2 b

a

Fit lineare (6/6)

amam

222 xxabq abq 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x

y

ysper

yteo

qmxy da cui si ricavano i parametri di

essendo

Test del chi quadro a due code (1/2)

Fissato un certo livello di confidenza, verifichiamo che i dati siano correlati linearmente secondo l’andamento determinato.

bay iteoi

Quindi determiniamo gli scarti rispetto agli errori

statistici: i

speri

teoi yy

Innanzitutto costruiamo le “ordinate teoriche”:

Abbiamo così determinato la retta che meglio approssima i dati. Ma quanto è ragionevole supporre che i dati siano distribuiti secondo l’andamento lineare appena determinato?

Test del chi quadro a due code(2/2)

Dagli scarti si calcola il chi quadro

2

1

2

N

ii

speri

teoi yy

Il valore del chi quadro per

Livello di confidenza del 95%

Numero di gradi di libertà =N-2Varia tra

e

dunque

il test è positivo

2sup,

22inf, teosperteo