Il circuito LC Abbiamo discusso circuiti che combinano resistenze e condensatori (RC) e resistenze ed induttanze (RL); abbiamo visto che, nel regime transiente di avvio o di spegnimento della corrente nel circuito, le grandezza fondamentali (carica nell’RC o corrente nell’RL) variano nel tempo, avvicinandosi al corrispettivo valore stazionario con andamento esponenziale. La durata del regime transiente è determinata dalla costante di tempo t. Adesso consideriamo circuiti con presenza simultanea di condensatori ed induttori (LC): negli LC le grandezze fondamentali (carica, corrente, potenziale) non presentano un regime stazionario, ma variano indefinitamente nel tempo con andamento sinusoidale, caratterizzato da un periodo (T) e frequenza (w) di oscillazione caratteristica del circuito. Di conseguenza, anche il campo elettrico all’interno del condensatore e campo magnetico nell’induttore non sono costanti, ma oscillano nel tempo, ovvero danno origine a oscillazioni elettromagnetiche. Vedremo che:

22

2

1

2

1Li

C

qUU LC

Durante le oscillazioni, valgono in ogni istante le leggi di Kirchoff sui circuiti e la conservazione dell’energia totale; ovvero (in assenza di resistenze):

COSTANTE NEL TEMPO

LC

1w LCT

w

2

2

Il circuito LC: primo semiperiodo

a) C è totalmente carico, UE è massima; L è scarico, ovvero i=0, UL =0 b) C inizia a scaricarsi e la corrente fluisce in senso antiorario attraversando L; l’energia si trasferisce da C ad L, UE decresce ed UL cresce, la somma resta costante. c) C è scarico, i è massima, il campo magnetico in L è anch’esso al suo massimo; l’energia è totalmente accumulata in L. d) i inizia a decrescere: L reagisce compensando la diminuzione con la corrente indotta; i continua a fluire nello stesso verso, caricando i piatti di C con cariche opposte a quelle iniziali e) C è di nuovo totalmente carico, ma con campo elettrico di verso opposto a quello iniziale; la corrente ed il campo magnetico in L sono nulli, tutta l’energia è in UE

)(a )(b )(c )(d )(e

Il circuito LC: secondo semiperiodo f): Inizia il processo inverso, caratterizzato da una corrente di verso orario: C si scarica, cresce la corrente ed il campo magnetico in L g): la corrente ed il campo magnetico sono di nuovo al loro massimo, C è scarico h): la corrente diminuisce, inizia il processo di ricarica del condensatore che riporta il sistema allo stato di partenza (a). In assenza di resistenze che dissipano energia, il processo si ripete indefinitamente con una frequenza caratteristica.

)( f)(g)(h

)(a )(e)(b )(d)(c

Problema 31.1 Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una tensione DV=57 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso in serie con una bobina avente L=12 mH, dando origine ad oscillazioni LC. Assumendo resistenza nulla nel circuito, si calcoli la corrente massima del circuito.

In ogni istante durante le oscillazioni, l’energia totale UC + UL deve conservarsi; inoltre sappiamo che nell’istante iniziale tutta l’energia è elettrica, accumulata nel condensatore:

2sV

C

A

VsFH

La carica iniziale del condensatore non è data, ma si può ricavare dalla capacità e dalla tensione di carica

0;2

1 2

iC

qUC

0;2

1 2

max qLiUL

dopo un certo tempo tutta l’energia diventa magnetica: in quell’istante la corrente è massima e la carica del condensatore nulla:

As

C

FmH

VF

LC

VC

LC

qi 637.0

108.1

5.85

5.112

575.128max

D

m

m

m

Equazione dell’oscillatore LC Applichiamo la legge di Kirchoff al circuito LC in figura:

Ove f è una fase arbitraria; si può facilmente dimostrare mediante sostituzione che l’espressione (2) soddisfa l’equazione dell’oscillatore (1):

Equazione differenziale del 2° ordine per q(t)

)2()cos()( fw tQtq

Siano I e Q i valori massimi di corrente e carica durante l’oscillazione. La soluzione dell’equazione dell’oscillatore è:

2

2

;dt

qd

dt

dii

dt

dq

)1(02

2

C

q

dt

qdL

)3()sin()sin()( fwfww tItQti

0dt

diL

C

qvv LC

Il circuito LC è il prototipo di circuito a corrente alternata: il verso della corrente non è costante, ma varia in continuazione, con una frequenza caratteristica del circuito data da w

Equazione dell’oscillatore LC

La fase f è fissata dalla condizione iniziale: scegliendo f =0 stabiliamo che a t=0, C è totalmente carico e la corrente nulla:

)cos( fww tQdt

dq

0)cos()cos(2 fwfww tIC

QtQL

)cos(2

2

2

fww tQdt

qd

LC

1 w

QqtQtq )0()cos()( w

0)0()sin()( itQti ww)(tq

I

)(ti

Q

Carica e corrente sono distinte (oltre che per l’ampiezza dell’oscillazione) per una fase uguale ad ¼ di periodo: quando q è massima (q = Q) i=0; viceversa, quando q=0 i è massima (i=I)

)cos()( tC

Qtvc w

)cos()( tC

Q

dt

diLtvL w

0 LC vv

LCT w

2

2

Oscillazioni dell’energia nel circuito LC Da carica e corrente ricaviamo energia elettrica e magnetica in funzione del tempo:

)(cos22

1 222

tC

Q

C

qUC w )(sin

2)(sin

22

1 22

222

2 tC

Qt

LQLiUL ww

w

l’ampiezza delle oscillazioni è la stessa per L e C, ed uguale a Q2/(2C) In qualunque istante la somma delle energie è costante ed uguale a Q2/(2C) il circuito LC non varia la sua energia totale, ovvero non c’è dissipazione di energia Quando UC è massima, UL è nulla e viceversa

Problema 31.2 Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una tensione DV=57 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso in serie con una bobina avente L=12 mH, dando origine ad oscillazioni LC. a) Esprimere la differenza di potenziale ai capi dell’induttore

in funzione del tempo b) Calcolare la frequenza delle oscillazioni LC

Ai capi di L la d.d.p è :

Ovviamente in ogni istante la d.d.p ai capi di L deve compensare la d.d.p. ai capi di C

Nel circuito LC L’espressione della corrente è data da:

)cos()0()cos()cos()( 2 tvtC

QtQLtv CL wwww

0dt

diL

C

q

dt

diLvL

)sin()( tQti ww

L’equazione del circuito LC è:

sssFmHLC

17400

11074.0

108.1

1

5.112

11 4

28

mw

NB: w è la frequenza in radianti, se voglio la frequenza uguale al numero di giri nell’unità di tempo devo dividere w per 2

Problema 31.2 Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una tensione DV=57 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso in serie con una bobina avente L=12 mH, dando origine ad oscillazioni LC. c) Calcolare il massimo valore per di/dt raggiunto durante le

oscillazioni

Ovviamente il massimo valore è:

)cos()cos()cos()cos(2 tL

Vt

LC

VCt

LC

QtQ

dt

diwwwww

D

D

s

A

H

VsHF

V

CF

C

Vs

A

VsH ;;; 2

2

s

A

mH

V

L

V

dt

di

MAX

475012

57

D

Analisi dimensionale: dalle relazioni tra L, C, e relative d.d.p. si ha

Il circuito ‘reale’ RLC Nel circuito LC, l’energia oscilla sinusoidalmente, muovendosi avanti e indietro tra condensatore ed induttore. Ovviamente nei circuiti reali c’è sempre una seppur minima resistenza (a meno che i componenti del circuito siano tutti superconduttori). Dunque, un LC in realtà è sempre RLC.

Le resistenza dissipano energia, per cui l’effettivo andamento è oscillatorio smorzato, come nel grafico della corrente in figura: dopo alcune oscillazioni l’energia iniziale del circuito è totalmente dissipata e la corrente si estingue. Per avere oscillazioni durevoli nel tempo è necessario inserire nel circuito un generatore di corrente alternata, (ovvero corrente variabile sinusoidalmente nel tempo) che compensi la perdita di energia dovuta alla resistenza del circuito.

LCg /1 ww

Al fine di avere una corrente di ampiezza massima possibile, è necessario che il generatore eroghi una corrente di frequenza (wg) uguale alla frequenza caratteristica del circuito LC, ovvero che sia:

condizione di risonanza

Il generatore di corrente alternata In figura è illustrato il principio di funzionamento di un generatore di corrente alternata. Supponiamo di mettere in rotazione uniforme, mediante forza meccanica applicata dall’esterno, una spira conduttiva, immersa in un campo magnetico uniforme. La variazione del flusso genera una f.e.m. indotta e dunque una corrente nella spira.

La f.e.m. indotta dalla rotazione della spira è alternata, con frequenza uguale a quella di rotazione della spira:

Gli estremi della spira terminano con due anelli conduttori connessi mediante delle spazzole metalliche al circuito esterno: durante la rotazione della spira le spazzole restano in contatto col resto del circuito, permettendo alla corrente prodotta di trasferirsi all’esterno; la corrente generata è:

)sin( tgm wEE

mE : f.e.m. massima gw : frequenza di rotazione della spira

)sin( fw tIi g

La differenza di fase f tra f.e.m. e corrente dipende dal circuito esterno

Potenza nel circuito a corrente alternata Nel circuito RLC l’energia media del campo magnetico e del campo elettrico sono costanti, per cui non causano dissipazione di energia; l’energia prodotta dal generatore è interamente consumata su R, dunque il trasferimento di energia netta avviene tra il generatore e la resistenza. La potenza istantanea dissipata su R è:

)(sin222 fw tRIRiP g

La potenza media dissipata su R (< sin2 > =1/2):

2

22 I

RiRP

2

1sin2

2)2/1(22 I

IiIqm

Utilizziamo il concetto di valore quadratico medio

2/VVqm 2/mqm EE

Allo stesso modo consideriamo tensione quadratica media e f.e.m. quadratica media

qmqmqmqm IVIP EPotenza media erogata

dal generatore

2

qmRIP

Se si considerano valori quadratici medi, le relazioni fondamentali tra le grandezze di un circuito AC hanno la stessa forma di quelle di un circuito DC; i valori tipici di tensione e corrente negli AC sono sempre riferiti a valori qm; per esempio, nelle abitazioni Vqm=220 V; Iqm=16 A

Corrente alternata Abbiamo visto che il circuito LC (in realtà RLC) è uno strumento per generare, manipolare, ed utilizzare correnti alternate. La corrente alternata si indica col simbolo AC (‘alternate current’), la corrente continua con DC (‘direct current’).

Quali vantaggi ha la corrente alternata rispetto a quella continua? Si adatta meglio a meccanismi rotanti, quali generatori e motori elettrici Con la corrente, anche il campo magnetico da essa generato cambia verso: ciò permette applicazioni pratiche importanti basate sull’induzione magnetica E’ funzionale all’utilizzo del trasformatore, uno strumento estremamente importante nell’elettronica moderna.

La corrente elettrica proveniente dalle centrali elettriche che alimenta abitazioni, uffici, industrie, luoghi di lavoro è sempre corrente alternata; l’intensità varia sinusoidalmente nel tempo, e cambia verso con una frequenza che per le reti europee è di 50 Hz (dunque inverte il segno 100 volte al secondo!!). Negli USA la frequenza è 60 Hz.

Trasmissione di Energia: il trasformatore

Per ragioni di sicurezza ed efficienza, è preferibile avere, sia nell’impianto di produzione (la centrale termoelettrica o idroelettrica), sia nel luogo di utilizzo (l’abitazione o l’ufficio), basse differenze di potenziale e alte correnti. Di contro, se l’energia deve essere trasportata attraverso grandi distanze, per la legge di Joule è molto sconveniente avere alte correnti, poiché la potenza dissipata lungo il cavo dipende dal quadrato della corrente. Si preferisce dunque trasportare piccole correnti ed alta tensione (fino a 500 KV !).

Si è visto che, nei circuiti AC (in seguito omettiamo il pedice ‘qm’, dando per scontato che correnti e tensioni siano valori qm):

IVP

Supponiamo di aver bisogno, per far funzionare i nostri strumenti elettrici, di una determinata quantità di potenza media: la stessa potenza può essere erogata da correnti elevate a basso voltaggio, oppure basse correnti ad alta tensione.

Il problema è risolto mediante l’uso del trasformatore, uno strumento in grado di trasformare potenze elettriche di alta tensione e basso voltaggio in bassa tensione ed alto voltaggio, e viceversa.

Il trasformatore ideale

Il trasformatore ideale (in figura) è costituito da 2 bobine avvolte attorno ad un nucleo di ferro; la bobina primaria ha Np spire, quella secondaria Ns spire. La prima è connessa con un generatore di corrente alternata. La corrente alternata nel circuito primario produce un campo magnetico ed un flusso variabile FB nella bobina primaria; il flusso si trasmette uniformemente a tutto il nucleo di ferro (poiché il ferro è un materiale ferromagnetico), dunque anche nella regione della bobina secondaria è presente lo stesso flusso; ne deriva che su ogni singola spira delle due bobine agisce la stessa f.e.m.:

Il funzionamento del trasformatore si bassa sul meccanismo di induzione magnetica di Faraday, e funziona soltanto per correnti alternate. Di contro, trasformare correnti continue richiede metodi molto più complessi, per cui è sempre preferibile utilizzare correnti AC in caso ci sia necessità di una trasformazione di tensione.

Il trasformatore ideale Essendo le f.e.m. indotte nelle singole spire tutte uguali, la tensione complessiva ai capi delle due bobine deve essere:

dt

dNV B

pp

F

dt

dNV B

ss

F

p

sps

s

s

p

p

N

NVV

N

V

N

V

Se Ns > Np spire il trasformatore è detto elevatore, poiché eleva la tensione d’ingresso Vp (fissata dal generatore) ad un valore più alto; altrimenti se Np > Ns è detto riduttore.

Se chiudiamo il circuito della bobina secondaria si genera una corrente alternata Is ed una corrispondente potenza dissipata:

RVRIP ss /22

Is produce a sua volta un flusso alternato nel nucleo del ferro, ed una f.e.m. opposta nella bobina primaria: dovendo Vp rimanere la stessa, il generatore eroga una corrente alternata Ip che annulla la f.e.m. prodotta da Is nell’avvolgimento primario. Se non ci sono perdite di energia, la potenza trasportata dal primo al secondo avvolgimento deve essere:

sspp VIVIP

Trasformazione della tensione

s

p

psN

NII Trasformazione

della corrente