Il calcolo dello Spettro di Risposta Elastico · degli spettri di risposta, valutandone vantaggi e...

Universita degli Studi di FirenzeFacolta di Ingegneria

Corso di Laurea in

Ingegneria Elettronica

Il calcolo delloSpettro di Risposta Elastico

Tesi di Laurea di

Filippo Micheletti

Relatori:

Prof. Fabrizio Argenti

Ing. Simone Morosi

Ing. Barbara Ortolani

Anno Accademico 2007/2008

. . . a tutte le persone che non hanno mai smesso di credere in me.

Ringraziamenti

Il pensiero piu importante ai miei genitori, che mi hanno sostenuto moral-

mente ed economicamente nel corso degli studi, con la comprensione che li

ha sempre caratterizzati, e alla mia ragazza, Irene, che ha saputo addolcire i

momenti piu difficili.

Un ringraziamento altrettanto grande all’Ing. Simone Morosi, ed al Prof.

Fabrizio Argenti, soprattutto come persone, per l’importante aiuto tecnico

ed umano.

Un saluto infine all’Ing. Ronga ed a tutti i ragazzi del LENST, all’Ing.

Barbara Ortolani ed il Dipartimento di Ingegneria Civile per lo stimolo ed il

supporto tecnico, a Francesco Del Viva e Valentina Ciani per le piacevoli dis-

cussioni in merito agli argomenti trattati, ed al settore di Sismica dell’ENEL

per aver fornito i dati su cui lavorare.

Indice

Ringraziamenti ii

Introduzione ix

1 Onde sismiche e metodi di rilevamento 1

1.1 Onde di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Onde P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Onde S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Onde di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Onde di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Onde di Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Sismografi ed accelerogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Strumenti per la misura sismica . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Accelerogrammi e standard delle registrazioni . . . . . 10

1.3.3 Contenuto spettrale di un segnale sismico . . . . . . . . 12

1.3.4 La tecnica della Deconvoluzione . . . . . . . . . . . . . 14

2 La progettazione in zona sismica 16

2.1 L’Analisi Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Spettri di Risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Grandezze utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Indice iv

2.2.2 Spettri medi, di inviluppo e lisciati . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Gli Spettri di Normativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 L’oscillatore semplice smorzato 27

3.1 Equazione del moto nella risposta libera . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Soluzione dell’equazione differenziale del moto . . . . . . . . . 29

3.3 Risposta forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 Eccitazione arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3 Eccitazione impressa al vincolo . . . . . . . . . . . . . 37

4 Calcolo dello SdR nel dominio del tempo 39

4.1 Soluzione dell’equazione del moto tramite simulazione . . . . . 40

4.1.1 Descrizione del codice e del modello . . . . . . . . . . . 42

4.2 Calcolo diretto dell’integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Possibili strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Calcolo dello SdR nel dominio della frequenza 47

5.1 Passaggio al dominio trasformato . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Le altre grandezze di spettrali . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.2 Implementazione Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3 Lo Spettro di Risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Limiti imposti da calcolo numerico ed analisi in frequenza . . . 55

5.2.1 Aliasing in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.2 Condizione sul periodo minimo . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3 Derivazione della risposta per bassi periodi . . . . . . . 64

5.2.4 Aliasing nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.5 Condizione sul minimo numero di punti FFT . . . . . . 67

5.2.6 Estensione alle altre grandezze spettrali . . . . . . . . . 72

Indice v

5.3 Un confronto tra tempo e frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Un’esempio di applicazione: spettri di dati deconvoluti 76

6.1 I dati deconvoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.1 Risultato dell’elaborazione e confronto . . . . . . . . . 77

7 SpectCalc 80

7.1 Installazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.1.1 Contenuto della cartella di installazione . . . . . . . . . 81

7.2 Panoramica delle sezioni del programma . . . . . . . . . . . . 81

7.3 Utilizzo del programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.3.1 Item list e formato dati in ingresso . . . . . . . . . . . 83

7.3.2 Lo script di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.3.3 Tracce, tipi di spettro ed altri parametri . . . . . . . . 90

7.3.4 Spettri medi, di inviluppo e plotting dati . . . . . . . . 90

7.3.5 Selezione dell’output desiderato . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.6 Help di sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8 Conclusioni 99

A Il DeciBel 101

A.1 I deciBel assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2 Operazioni e conversioni con i dB . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B Il Campionamento 105

Bibliografia 109

Elenco delle figure

1.1 Onde P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Onde S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Onde di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Onde di Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Composizione di un onda sismica . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Accelerogramma RA01134-NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Spettro dell’accelerogramma RA01134-NS . . . . . . . . . . . 13

1.8 Sistema meccanico equivalente al sismografo. . . . . . . . . . . 15

2.1 Spettro in pseudo-accelerazione della traccia RA01134-NS . . 21

2.2 Spettri di normativa orizzontale e verticale in pseudo-accelerazione 26

3.1 Oscillatore smorzato SDOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Oscillazione sottosmorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Modello Simulink dell’oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Risposta forzata ottenuta per simulazione . . . . . . . . . . . 43

5.1 Modulo della f.d.t. oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Aliasing in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Modulo della f.d.t. oscillatore al variare di T . . . . . . . . . . 62

5.4 Maggiorazione della risposta impulsiva dell’oscillatore . . . . . 71

Elenco delle figure vii

6.1 Confronto spettro in spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Confronto spettro in pseudo-velocita . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3 Confronto spettro in pseudo-accelerazione . . . . . . . . . . . 79

7.1 Finestra principale del programma SpectCalc . . . . . . . . . 81

7.2 Finestra principale del programma SpectCalc con il pulsante

di calcolo abilitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 Esempio di spettri medio e di inviluppo con tracce sovrapposte 94

7.4 Organizzazione della matrice spects prodotta dal programma . 96

7.5 Esempio di help del programma . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.1 Campionamento di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Elenco delle tabelle

2.1 Periodi di separazione dell’andamento dello spettro di normativa 25

2.2 Altri parametri per il calcolo dello spettro di normativa . . . . 25

5.1 Esempi di valori di periodo minimo . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Esempi di valori di numero minimo di punti FFT . . . . . . . 75

Introduzione

Nell’ambito dell’Ingegneria Civile la progettazione di strutture sottoposte a

sollecitazioni dinamiche di varia natura (sia naturali come sismi, che artificiali

come vibrazioni prodotte da macchinari, mezzi di trasporto, ecc.) riveste un

ruolo fondamentale per la sicurezza.

A tal fine l’Ingegneria Sismica, branca specializzata dell’Ingegneria Civile,

si avvale di sofisticati strumenti matematici sia per il progetto di nuove strut-

ture che per la verifica di quelle gia esistenti, facendo riferimento a specifiche

opportunamente normate.

In alcune tecniche di progetto, come quella dell’analisi dinamica lineare

tale verifica avviene mediante la riduzione del problema ad un modello re-

lativamente semplice costituito da un’opportuna combinazione di oscillatori

smorzati ad un grado di liberta, analizzando la risposta massima di ciascuno

di questi oscillatori con quello che viene indicato come spettro di risposta.

Lo spettro di risposta e infatti un diagramma che rappresenta la massima

risposta in spostamento, velocita o accelerazione, ed in funzione del periodo

naturale di pulsazione T, dell’oscillatore semplice smorzato, eccitato da una

forzante nota.

Lo scopo del lavoro svolto e stato quello di esplorare i metodi di calcolo

degli spettri di risposta, valutandone vantaggi e svantaggi, con particolare

attenzione al calcolo nel dominio trasformato della frequenza, ed agli aspetti

Introduzione x

legati all’elaborazione numerica la quale, necessitando inevitabilmente della

discretizzazione delle grandezze in gioco, richiede i necessari accorgimenti per

ottenere risultati validi.

Nei primi capitoli che seguono si trovera un’introduzione alla sismologia

ed al progetto in zona sismica, necessarie tanto per comprendere l’ambito

in cui si applicano i risultati ottenuti, quanto per capire sulla base di quali

ragionamenti si e arrivati ad essi.

Nei capitoli successivi verra invece esposta l’analisi nel dominio del tem-

po ed in quello della frequenza, illustrando i calcoli principali ed i risultati

prodotti dal lavoro, con alcune applicazioni di questi.

Capitolo 1

Onde sismiche e

metodi di rilevamento

I terremoti sono vibrazioni del terreno causate essenzialmente da fratture che

si producono nelle rocce della crosta terrestre a seguito di un accumulo di

energia di deformazione causato da movimenti tettonici a grande scala. Tale

energia in parte viene liberata sotto forma di calore prodotto dall’attrito e

in parte convertita in energia cinetica e propagata a distanza sotto forma di

onde sismiche1.

Da alcuni decenni la teoria della tettonica a placche, o tettonica a zolle,

fornisce il principale riferimento per interpretare i fenomeni sismici. La teoria

e nata alla fine del XIX secolo da considerazioni morfologiche e geologiche,

ma e stata definitivamente convalidata solo da pochi decenni grazie ai recenti

sviluppi della geofisica e della geodesia2.

Secondo questa teoria, la litosfera (particolarmente rigida, costituita dalla

1Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [1], [2] in Bibliografia.2Rispettivamente le discipline che si occupano di magnetismo terrestre e delle osservazioni satellitari

della morfologia del globo.

Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 2

crosta terrestre e dalla parte piu esterna del mantello) e suddivisa in grandi

placche che “navigano” su uno strato piu viscoso, detto astenosfera.

Le placche si muovono l’una rispetto all’altra con modalita diverse: in

corrispondenza delle dorsali oceaniche, il materiale caldo del mantello risale

fino alla superficie della terra, producendo un progressivo assottigliamen-

to della crosta oceanica, mentre in corrispondenza delle zone di subduzione

si ha sprofondamento della crosta terrestre al di sotto delle zolle adiacenti.

Esistono inotre altri due tipi di interazione tra zolle: un moto relativo preva-

lentemente orizzontale, detto trascorrente ed un moto di collisione tra due

continenti.

Questi moti, che provocano spostamenti dell’ordine di pochi centimetri

all’anno, costituiscono la principale causa degli eventi sismici. Spesso i ter-

remoti generati dalla subduzione sono molto profondi, mentre quelli generati

da moti trascorrenti sono superficiali.

Le onde sismiche generate dall’energia sprigionata durante un terremoto

sono dunque disturbi elastici che si propagano dall’ipocentro3, attraverso la

crosta terrestre, in tutte le direzioni; in particolare quelle che giungono sulla

superficie terrestre sono responsabili delle azioni esercitate sulle costruzioni4.

Esistono vari tipi di onde sismiche classificate in base ai diversi caratteri

e velocita con cui si propagano attraverso i vari mezzi.

Si possono individuare due grandi categorie: le onde di volume, per le

quali l’onda elastica generata all’ipocentro si propaga interessando gli strati

piu profondi della litosfera, e le onde superficiali, per le quali invece la

propagazione interessa soltanto gli strati piu superficiali della crosta terrestre.

3In geofisica si indica con ipocentro il punto in cui si sprigiona l’energia della scossa sismica, in profon-

ditA nella crosta terrestre, mentre con epicentro ci si riferisce alla proiezione dell’ipocentro sulla superficie

terrestre.4Possono esistere anche onde sismiche artificiali, generate sia in superficie che in profondita dall’attivita

umana, come ad esempio da esplosioni, perforazioni, macchinari e grandi mezzi di trasporto.


1.1 Onde di volume

Le onde volumetriche, dette anche di corpo, si propagano in tutte le direzioni

coinvolgendo gli strati profondi della litosfera (sostanzialmente in maniera

analoga ad un’onda sferica).

Schematizzando la superficie terrestre come superficie di separazione fra

un mezzo denso, la crosta, e un mezzo molto leggero, l’aria dell’atmosfera,

le onde che vi sopraggiungono in parte vengono riflesse, tornando all’interno

della terra, in parte passano per trasparenza e, a contatto con l’aria, generano

rumore5.

L’onda di volume puo essere matematicamente scomposta come somma

di due componenti diverse, distinte dall’azione meccanica svolta: le onde P

e le onde S.

1.1.1 Onde P

Le onde P, abbreviazione di primarie, dette anche di compressione o longi-

tudinali, sono onde di pressione, simili alle onde acustiche, che agiscono sulla

materia tramite un’azione longitudinale alla direzione di propagazione del-

l’onda stessa. Al passaggio di questo tipo di eccitazione dunque la materia

subisce un’alternanza di forti compressioni seguite da rapidi rilassamenti che

corrispondono ad un moto oscillatorio impresso alle particelle nella direzione

di propagazione dell’onda.

5E questa la causa dei tipici boati spesso avvertiti in corrispondenza dei terremoti, nonche della

maggior sensibilita di certi animali agli eventi sismici. L’osservazione del comportamento di alcuni animali

domestici, come i cani, ha infatti tradizionalmente associato a questi la capacita di prevedere gli eventi

sismici; in realta e la maggior sensibilita dell’apparato uditivo di questi animali a permettere loro di

udire l’onda acustica trasmessa nell’aria dall’incidenza con la superficie terrestre di onde piu veloci che, a

seconda della distanza dell’epicentro dal punto di osservazione, possono arrivare con significativo anticipo

rispetto alle piu lente.


Queste onde, che raggiungono picchi di velocita nella roccia compatta

dell’ordine di 5-6 km/s, sono quelle che raggiungono per prime la superficie

terrestre (da qui la denominazione di primarie) e si propagano in qualunque

mezzo, sia solido che fluido.

Figura 1.1: Rappresentazione dell’azione di compressione longitudinale alla direzione di propagazione

esercitata da un’onda P sulle particelle di terreno.

1.1.2 Onde S

Le onde S, secondarie o di taglio, provocano invece nel mezzo interessato

sollecitazioni perpendicolari rispetto alla direzione di propagazione, in di-

rezione di taglio appunto, che corrisponde ad un moto oscillatorio impresso

alle particelle della materia in tale direzione.

Le onde S non possono propagarsi in mezzi fluidi i quali non oppon-

gono resistenza al taglio, sono piu lente rispetto alle P, raggiungendo picchi


di velocita dell’ordine di 3-3.5 km/s nella roccia compatta, ma sono anche

caratterizzate da ampiezze maggiori di quest’ultime.

Figura 1.2: Rappresentazione dell’azione di taglio perpendicolare alla direzione di propagazione

esercitata da un’onda S sulle particelle di terreno.

1.2 Onde di superficie

Le onde di superficie si generano ogni qualvolta un’onda di corpo viene ad

attraversare una discontinuita nel materiale in cui si propaga; il caso di mag-

gior interesse e, ovviamente, quello della superficie libera della terra, intesa

come interfaccia tra crosta terrestre ed atmosfera.

Volendo fare un’analogia con un’onda elettromagnetica potremmo asso-

ciare l’onda di superficie all’onda elettromagnetica trasmessa all’incidenza

con un conduttore elettrico perfetto (p.e.c.), o ad esempio all’onda evane-

scente che si propaga nel cladding di una fibra ottica: l’energia dell’onda

di superficie infatti decade come un’esponenziale negativo con la profondita


per cui l’energia dell’onda risulta concentrata nello strato immediatamente

adiacente alla superficie del mezzo in cui si propaga.

Le onde di superficie sono inoltre caratterizzate da una velocita di pro-

pagazione minore di qualsiasi onda di volume (sia P che S), e per questo

vengono anche dette onde lunghe.

Anche le onde di superficie si distinguono in 2 categorie in funzione del

tipo di azione meccanica esercitata sul mezzo che attraversano: le onde di

Rayleigh e le onde di Love.

1.2.1 Onde di Rayleigh

Le onde di Rayleigh sono generate dall’interferenza tra un’onda P ed un’onda

S alla superficie libera della crosta terrestre e possono essere dunque viste

come somma vettoriale dei vettori descriventi ciascuna delle due componenti.

Di conseguenza anche l’azione meccanica esercitata sulla materia e una com-

posizione dei moti che genererebbero singolarmente un’onda P ed un’onda

S.

In particolare le particelle attraversate da un’onda di Rayleigh compi-

ono dei movimenti detti ellittici retrogradi, caratterizzati cioe da un’orbita di

forma ellittica nel cui piano giace il vettore d’onda, e percorsa in senso an-

tiorario guardando il piano dell’orbita stessa con il vettore d’onda orientato

da sinistra verso destra.

Le orbite ellittiche percorse dalle particelle sono sempre piu contenute

all’aumentare della profondita (infatti l’onda e superficiale) e nei punti di

incontro tra due orbite adiacenti si hanno dei nodi corrispondenti a punti del

mezzo che non risentono dell’azione meccanica impressa dall’onda; il moto

ellittico antiorario si smorza inoltre molto rapidamente.

Le onde di Rayleigh raggiungono velocita massime di 2.7-3 km/s.


Figura 1.3: Rappresentazione delle orbite ellitiche retrograde impresse da un’onda di Rayleigh alle

particelle di terreno.

1.2.2 Onde di Love

Le onde di Love sono anch’esse generate dall’incidenza di onde S con la

superficie libera della crosta ma hanno origine solo nei mezzi in cui la velocita

di queste aumenta con la profondita del terreno, quindi in presenza di un

mezzo disomogeneo, pertanto sono sempre onde disperse.

L’azione impressa alle particelle del terreno e simile al taglio, in direzione

perpendicolare a quella di propagazione dell’onda, ma sul piano parallelo alla

superficie terrestre; le onde di Love si propagano con velocita simile a quella

delle onde di Rayleigh.


Figura 1.4: Azione di taglio impressa da un’onda di Rayleigh alle particelle di terreno.

1.3 Sismografi ed accelerogrammi

Nelle stazioni sismiche le onde nelle varie tipologie giungono in tempi diversi

e si sovrappongono le une alle altre generando interferenza. Dall’analisi dei

sismogrammi registrati in almeno tre stazioni diverse si puo determinare la

posizione dell’epicentro.

1.3.1 Strumenti per la misura sismica

Lo strumento per la misura e registrazione dei fenomeni sismici e il sismo-

grafo.

In generale uno strumento del genere puo essere in grado rilevare e re-

gistrare i valori istantanei di spostamento, velocita ed accelerazione del suolo

in un determinato intervallo di tempo.

I sismografi moderni sono sostanzialmente costituiti da una combinazione


Figura 1.5: In un ’onda sismica i tipi di onde arrivano in momenti diversi in funzione della rispet-

tiva velocita; tali istanti risultano piu o meno distinguibili a seconda della distanza dall’epicentro dello

strumento usato per la misurazione.

di tre accelerometri disposti ortogonalmente6 in grado di rilevare i valori

di accelerazione impressi dal sisma nelle tre direzioni nord-sud, est-ovest e

verticale, o z.

I valori cosı rilevati vengono registrati tramite un sistema di acquisizione

digitale pronti per l’elaborazione e/o l’archiviazione7.

Inoltre un sismografo non viene normalmente utilizzato a se stante, ma

inserito in una rete sismica costituita da una serie di strumenti opportuna-

mente disposti in circolo o ”ad L” nella zona di interesse per le rilevazioni, per

poter estrapolare dalle registrazioni il modo di propagarsi delle onde sismiche

nell’area indagata.

6Come una terna di assi ortogonali.7I sismografi piu datati in realta utilizzano metodi di registrazione analogici, ma i dati ottenuti devono

essere in ogni caso digitalizzati per poter essere elaborati ed archiviati in formato elettronico.


1.3.2 Accelerogrammi e standard delle registrazioni

Come si e detto le registrazioni piu importanti ai fini pratici sono quelle

inerenti alle accelerazioni impresse dal sisma 8 pertanto di solito ci si riferisce

alle registrazioni di tipo accelerometrico dette accelerogrammi.

La misurazione effettuata dallo strumento si riduce quindi ad una serie di

tracce, generalmente tre nelle direzioni di cui si e detto al paragrafo prece-

dente; tali tracce riportano i valori discreti dell’accelerazione relazionati con

i valori temporali in cui sono stati rilevati.

La marcatura temporale e ovviamente fondamentale, sia quella relativa

alla scossa sismica che ha quindi come riferimento t=0 l’inizio della scossa

stessa, sia quella assoluta per il confronto della rilevazione con quelle delle

altre stazioni della rete.

L’uscita del sismografo (o la digitalizzazione di essa nel caso di uno stru-

mento analogico) e quindi un file di testo ASCII, ossia privo di formattazione,

contenente le tre tracce precedute ciascuna da un’intestazione che riporta

dei dati interessanti come appunto il tempo di registrazione, la durata della

traccia, la frequenza di campionamento, ecc. .

Di seguito e riportata a titolo di esempio l’intestazione ed i primi cinque

campioni di una delle registrazioni utilizzate per il lavoro svolto, provenienti

dalla rete sismica dell’ENEL, e l’andamento temporale della traccia a cui si

riferisce.

8Le ragioni di tale importanza saranno chiarite nel seguito.


ENEL - SIN/IN/INGEGNERIA TERRITORIO E AMBIENTE

RA01134

ORIGIN TIME :

EPICENTRE : Lat. Lon.

MAGNITUDE :

HYPOCENTRAL DEPTH : EPICENTRAL MACRO INTENSITY :

------------------------------

RECORDED COLFIORITO DATE RECORD : 03-09-1997 22 07 31

STATION CODE : CLF COORDINATE : Lat. 43 02 12 Lon. 12 55 16

SITE INSTALLATION : 1

TYPE INSTALLATION : 1

MORFOLOGICAL CHAR. :

GEOTECHNICAL CHAR. : 0

GEOTECHNICAL DATA :

EPICENTRAL DISTANCE : FAULT DISTANCE :

LOCAL MACROSEISMIC INTENSITY : MCS

------------------------------

RECORD. INSTRUMENT : RAKA236 FULL SCALE : 1.000 G

SENSIBILITY : 1.804 cm/g NATURAL FREQ. : 25.563 Hz DAMPING : 54.000 %

------------------------------

COMP : NS UNCORRECTED DATA

AUTOMATIC DIG. FIX SAMPLING TIME : .00846666

SUBTRACTED MEDIUM VALUE AND POSITIONED

FT OR FC SUBTRACTED

AMAX : -115.811 CM/SEC**2 TIME (AMAX) : 1.335 SEC

TOTAL DURATION : 12.995 SEC RMS : 16.118 CM/SEC**2

UNITS ARE : SEC CM/SEC**2 POINTS : 2600

------------------------------

.00000 -8.04

.00500 -8.04

.01000 -6.64

.01500 .06

.02000 .88

...


0 2 4 6 8 10 12

−100

−50

0

50

100

tempo [s]

acce

lera

zion

e [

cm/s

2 ]

Figura 1.6: Tabulazione dei dati relativi alla traccia Nord-Sud dell’accelerogramma RA01134, registrato

dalla stazione di Colfiorito in data 03/09/1997; nel grafico i dati sono raccordati.

1.3.3 Contenuto spettrale di un segnale sismico

Effettuando la trasformata veloce di Fourier9 di un accelerogramma qualunque

si puo facilmente notare che la parte significativa dello spettro e contenuta in

una banda piuttosto stretta: analizzando la trasformata di un accelerogram-

ma normalizzato al valore massimo assunto e riportando le ampiezze in dB10

e ancora piu evidente come l’energia del segnale sia quasi completamente

contenuta sotto i 30 Hz.

D’altronde e plausibile che in un sistema come quello in cui si propagano

le onde sismiche, cioe costituito dalla litosfera, da mari ed oceani, l’inerzia

associata a delle masse cosı imponenti non permetta la propagazione di onde

meccaniche a frequenze molto elevate, benche ad esse siano associate quantita

9Per una spiegazione esauriente dell’operazione di trasformata di Fourier e degli algoritmi di

trasformata veloce si consulti [3].10Si consulti l’Appendice A per una spiegazione del significato del dB e del suo utilizzo.


altrettanto grandi di energia.

Sulla base di queste considerazioni i dati accelerometrici provenienti dalle

stazioni sismiche, compresi quelli su cui si e lavorato, sono campionati ad una

frequenza di campionamento di 200 Hz, che rispetta il teorema di Nyquist11

in maniera sufficientemente cautelativa.

A titolo di esempio la Figura 1.7 riporta lo spettro della traccia graficata

nel tempo in Figura 1.6.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequenza [Hz]

Am

piez

za

[dB

]

Figura 1.7: Modulo della trasformata discreta di Fourier della traccia Nord-Sud dell’accelerogramma

RA01134 normalizzata al suo valore massimo, riportato in dB: si noti come intorno ai 30 Hz l’ampiezza

del segnale sia gia inferiore a -30 dB.

11In base alla teoria del campionamento, il teorema di Nyquist stabilisce un limite alla minima frequenza

di campionamento sufficiente a non generare aliasing in frequenza, ossia sovrapposizione delle repliche

dello spettro del segnale risultanti appunto dal campionamento di questo. La frequenza di Nyquist risulta

quindi pari al doppio del massimo contenuto in frequenza del segnale da campionare, ossia nella pratica

alla banda ritenuta significativa del segnale. Per maggiori delucidazioni in merito al campionamento ed al

fenomeno dell’aliasing si veda l’Appendice B.


1.3.4 La tecnica della Deconvoluzione

Parliamo brevemente della Deconvoluzione, una tecnica introdotta in tempi

relativamente recenti per ”ripulire” i segnali sismici rilevati dai fattori che li

degradano 12.

Gia dalla semplice osservazione di un accelerogramma, come quello in

Figura 1.6, si puo notare come nella registrazione la fine della scossa sismica

non sia netta, ma prosegua, teoricamente in maniera indefinita, con un’ampiez-

za esigua. Come e facile immaginarsi alla scossa rilevata sara dunque sovrap-

posto un certo rumore di fondo dovuto a svariate cause, che sara modellizz-

abile con adeguati sistemi di natura statistica13.

Dal punto di vista meccanico poi la struttura di un singolo accelerometro

puo essere schematizzata come in Figura 1.8, ossia come un oscillatore sem-

plice smorzato ad un grado di liberta. D’altro canto e anche intuitivamente

necessario che il sistema meccanico preposto alla misura presenti un cer-

to smorzamento proporzionale all’ampiezza massima che si stima di dover

misurare, altrimenti il risultato della misurazione sarebbe un valore pres-

soche costantemente saturato al valore massimo (o minimo) della dinamica

rilevabile.

Ma allora si capisce come l’accelerogramma che si riceve in uscita dallo

strumento sia in realta una versione filtrata dal sistema ”sismografo” (e in

particolare per i fini pratici attenuata) dell’acclerazione realmente impressa

allo strumento, quindi a qualsiasi struttura posta in quell’area, dal sisma.

12In realta la tecnica della Deconvoluzione e applicabile ed applicata anche in molti altri settori

quali l’elaborazione delle immagini o, in generale, ogni qualvolta si abbiano segnali affetti da disturbi

modellizzabili.13Lo studio e la modellizzazione del rumore presente sui sistemi non sara oggetto di discussione per

questo volume, tuttavia l’argomento riveste un’importanza cruciale coadiuvato alle opportune tecniche di

elaborazione del segnale. Per maggiori approfondimenti si puo fare riferimento alla letteratura scientifica

in ambito geofisico.


Sulla base di ragionamenti come questi si puo pensare di individuare

ciascuna ragionevole causa di disturbo, studiarne la dinamica, e una volta

ricavato un modello matematico immaginare che il segnale originale attraversi

dei sistemi, ciascuno dei quali produce su di esso un effetto deterministico.

In particolare se il sistema ottenuto per modellizzare un certo disturbo e

lineare sara possibile determinarne una funzione di trasferimento, ma soprat-

tutto una funzione di trasferimento inversa 14, con la quale filtrare il segnale

in uscita dallo strumento con l’aspettativa di liberarlo da quel determinato

disturbo.

Questa e tecnica viene indicata sotto il nome di Deconvoluzione; come

vedremo l’analisi di un segnale non deconvoluto e quella dello stesso decon-

voluto possono portare a risultati sensibilmente diversi.

Figura 1.8: Schema del sistema meccanico equivalente ad un sismografo.

14Non entriamo in merito ai problemi di causalita che si possono incontrare; in maniera numerica e

comunque possibile realizzare un sistema lineare anche non causale a patto di rinunciare ad un’elaborazione

di tipo real-time.

Capitolo 2

La progettazione in

zona sismica

In ambito progettuale e di interesse primario conoscere i valori massimi dei

parametri strutturali che maggiormente condizionano la progettazione ese-

cutiva della costruzione, come ad esempio il taglio massimo alla base o lo

spostamento massimo di un punto di controllo particolare1.

In linea generale la valutazione dei parametri strutturali che caratteriz-

zano il comportamento dinamico, e quindi le relative sollecitazioni, viene

ottenuta realizzando un modello computazionale della struttura (modello

ad elementi finiti, analisi FEM); nell’ipotesi di un comportamento strut-

turale di tipo elastico lineare, l’analisi della risposta, ossia la valutazione

degli effetti dell’azione sismica, puo essere effettuata mediante l’impiego del-

la Analisi Dinamica Multimodale con spettro di risposta, detta piu semplice-

mente Analisi Modale.

1Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [4], [5], [6] in Bibliografia.

Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 17

2.1 L’Analisi Modale

L’Analisi Modale permette in sostanza di ricondurre la struttura in esame

ad un sistema caratterizzato da N modi di vibrare, approssimandone cosı il

comportamento dinamico come la combinazione lineare di N risposte modali.

Tramite gli opportuni passaggi matematici il modello MDOF 2 cosı ot-

tenuto puo essere disaccoppiato in una combinazione lineare di sistemi SDOF

3.

Appare subito evidente come nel condurre l’Analisi Modale siano di fon-

damentale importanza la determinazione della quantita di modi con cui ap-

prossimare il comportamento della struttura, per ottenere un modello suffi-

cientemente accurato ma al tempo stesso non troppo oneroso per il calcolo,

cosı come la scelta del criterio piu adatto a valutare la risposta complessiva

a partire da quella degli oscillatori SDOF in cui si e scomposto il sistema

MDOF.

A tal fine le normative prevedono vincoli specifici in relazione al tipo di

struttura da progettare ae alle caratteristiche geografiche e morfologiche della

zona d’interesse.

Lo studio delle risposte di ogni singolo oscillatore semplice ad un grado di

liberta permette dunque di determinare la risposta complessiva della strut-

tura. Spesso pero, per la progettazione di strutture soggette a vibrazioni non

a regime come nel caso della progettazione in zona sismica, piu che l’anda-

mento nel tempo delle singole risposte interessa conoscere i valori massimi

della risposta in termini di spostamento, velocita ed accelerazione di ciascuno

di questi oscillatori per verificare le sollecitazioni massime a cui sara sotto-

posta la struttura in quella determinata zona: qui entra in gioco lo spettro

2Acronimo di Multi Degrees Of Freedom ossia gradi di liberta multipli.3Acronimo di Single Degrees Of Freedom ossia un solo grado di liberta.


di risposta.

2.2 Spettri di Risposta

Lo spettro di risposta e un diagramma le cui ordinate corrispondono alla

massima ampiezza di uno dei parametri della risposta, in funzione del periodo

proprio naturale di oscillazione di un sistema elastico lineare smorzato SDOF,

calcolata per una determinata eccitazione nota.

Lo spettro cosı determinato andrebbe in realta distinto come spettro di

risposta elastico in quanto presuppone che il comportamento del materiale sia

indefinitamente elastico lineare 4. Per verifiche particolari in regime plastico

si ricorre ad un altro tipo di spettro, detto spettro di risposta inelastico.

Poiche il lavoro e stato incentrato sul calcolo dello spettro di risposta elas-

tico nei prossimi capitoli si descriveranno i metodi possibili per raggiungere

tale scopo; d’ora in avanti si fara comunque riferimento sempre a spettri di

tipo elastico.

2.2.1 Grandezze utili

I parametri della risposta a cui si e fatto riferimento fin’ora sono spostamento,

velocita ed accelerazione.

Nella pratica ci si riferisce tuttavia a delle grandezze leggermente diverse

da queste: gli spettri utilizzati riportano infatti la risposta massima in termi-

ni di spostamento spettrale, pseudo-velocita spettrale e pseudo-accelerazione

spettrale.

4Ossia che la rigidezza della molla k sia costante per qualunque valore di elongazione; questa situazione

e ovviamente solo un’approssimazione semplificativa che viene pero ritenuta valida per un gran numero di

analisi.


Lo spostamento spettrale, che indicheremo con Sd, e coincidente con lo

spostamento inteso tradizionalmente, determinato dalla risposta dell’oscilla-

tore con un determinato periodo di oscillazione, mentre pseudo-velocita Sv e

pseudo-accelerazione Sa sono ricavate a partire dallo spostamento spettrale

secondo le relazioni:

Sv = ωSd (2.1)

Sa = ω2Sd

dove con ω si intende la pulsazione naturale dell’oscillatore per cui e calcolato

quel dato valore di Sd5.

La differenza tra le “pseudo-quantita” utilizzate e quelle reali e minima:

come sara chiaro piu avanti, ricavare gli spettri nei tre parametri della rispos-

ta in questi termini e decisamente meno oneroso dal punto di vista del calcolo

di quanto non lo sarebbe la determinazione di velocita ed accelerazione come

derivate prima e seconda dello spostamento, e permette di evitare l’instabilita

del calcolo numerico di queste6.

Inoltre il fatto che il risultato ottenuto differisca in maniera minima da

quello rigoroso non e un caso: la risposta massima di ogni singolo oscillatore

a quella determinata (e fissa per tutto lo spettro) forzante e infatti ricon-

ducibile al fenomeno della risonanza per cui, con un ragionamento del tutto

intuitivo, potremmo immaginare di ottenere, ai fini della determinazione del-

la risposta massima in spostamento, lo stesso risultato che si ottiene dalla

soluzione dell’equazione che descrive risposta forzata del moto, considerando

5Per una trattazione esauriente della risposta di un oscillatore lineare SDOF si veda il capitolo seguente.6Senza entrare troppo nel dettaglio e sufficiente pensare a quanto sia concettualmente piu semplice

l’operazione di moltiplicazione rispetto a quella di derivazione, dunque anche un’implementazione a livello

numerico delle due operazioni.


invece l’oscillatore come se fosse eccitato dalla sola componente armonica alla

frequenza di risonanza contenuta nella forzante 7.

La risonanza di un oscillatore viene raggiunta quando questo e eccitato

da una forza armonica caratterizzata dalla stessa pulsazione (o frequenza)

naturale dell’oscillatore stesso, dunque poiche la risposta dell’oscillatore as-

sume sempre forma sinusoidale, come dettagliatamente descritto nel capitolo

successivo, risulta chiaro il passo con cui si puo ragionevolmente passare da

velocita ed accelerazione a pseudo-velocita e pseudo-accelerazione, semplice-

mente tenendo conto delle relazioni che legano una quantita sinuosoidale con

le sue derivate prima e seconda ed i relativi massimi:

x(t) = A sin(ωt) ⇒ xmax = A

x(t) = Aω cos(ωt) ⇒ xmax = Aω

x(t) = −Aω2 sin(ωt) ⇒ xmax = Aω2

2.2.2 Spettri medi, di inviluppo e lisciati

Gli spettri di risposta calcolati sulla base di un determinato accelerogram-

ma presentano un andamento piuttosto irregolare che corrisponde ad effetti

di risonanza locale, i quali legano il contenuto in frequenza dell’accelero-

gramma al periodo naturale dell’oscillatore (e quindi alla sua frequenza di

risonanza); queste irregolarita si attenuano passando a curve calcolate per

indici di smorzamento via via maggiori.

Uno spettro cosı frastagliato, benche rappresenti un andamento preciso

della risposta massima in funzione del periodo dell’oscillatore, non ha molto

significato per la progettazione, proprio perche legato ad una singola regis-

trazione.

7Si e qui implicitamente supposto di poter avere in qualche maniera una stima del contenuto spettrale

della forzante stessa.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Periodo naturale oscillatore [s]

Ris

post

a in

pse

udo−

acce

lera

zion

e no

rmal

izza

ta a

g

Figura 2.1: spettro di risposta in pseudo-accelerazione normalizzata a g calcolato per un indice di

smorzamento ν = 0.05 usando come forzante la registrazione Nord-Sud della traccia RA01134.

In fase di progetto e invece molto piu significativo utilizzare spettri ge-

neralizzati ricavati da una moltitudine di spettri calcolati su altrettante re-

gistrazioni relative ad eventi compatibili, rilevati cioe nella stessa zona di

interesse nel corso del tempo, ed opportunamente normalizzati.

Dall’insieme di singoli spettri si estrapola poi uno spettro medio, come

media di ciascuno di questi, oppure, per una valutazione piu cautelativa, uno

spettro di inviluppo, ottenuto appunto effettuando l’inviluppo della sovrap-

posizione di tutti gli spettri 8.

Se si hanno a disposizione un buon numero di registrazioni si ottiene uno

spettro di risposta molto piu significativo di quanto non si possa avere da

una singola traccia; il risultato viene inoltre frequentemente lisciato per ad-

dolcire l’andamento della curva, tagliando in pratica i picchi piu elevati e

8Che corrisponde piu semplicemente a prendere il massimo valore tra tutti gli spettri per ciascun

valore del periodo.


“appianando” i minimi: questa operazione corrisponde nella pratica all’as-

sunzione di una determinata probabilita di rischio, alla quale tuttavia si deve

dare il giusto peso, considerando che ad uno spettro di risposta di inviluppo,

corrisponde gia un certo atteggiamento cautelativo 9; comunque il proget-

to dovra rispettare anche vincoli economici che in certi casi potrebbero non

essere propriamente in accordo con un eccessivo sovradimensionamento dal

punto di vista sismico.

2.2.3 Gli Spettri di Normativa

Spesso per il progetto in zone sismiche non soggette a particolare rischio,

o per le quale non sono disponibili registrazioni accelerometriche, non ci si

riferisce ad uno spettro di risposta del tipo appena descritto, ma a degli

spettri forniti come normativa dall’Ente preposto.

Questi spettri, che indicheremo come spettri di normativa, presentano il

vantaggio di avere un andamento descrivibile analiticamente per cui non c’e

la necessita di calcolarli in ciascun caso specifico e di averli tabulati a portata

di mano.

Per un approccio il piu generale possibile faremo rifermento all’Eurocodice

8, norma europea in fase di ricezione da parte dei paesi comunitari, compresa

l’Italia10.

Ai fini della presente norma i territori devono essere suddivisi dalle au-

torita nazionali in zone sismiche sulla base del rischio locale. Per definizione si

assume che all’interno di una data zona sismica il rischio sismico sia costante.

Per la maggior parte delle applicazione di questo Eurocodice il rischio

sismico e descritto per mezzo di un unico parametro, cioe il valore ag del

9E costituito infatti dai massimi di tutti gli spettri.10Si faccia riferimento a [6] in Bibliografia.


picco di accelerazione in un terreno roccioso o comunque compatto; si parla

quindi di “valore di progetto dell’accelerazione del terreno”.

Tale valore di progetto dell’accelerazione del terreno, scelto come si e detto

dalle autorita nazionali per ogni zona sismica, corrisponde ad un periodo di

ritorno di riferimento di 475 anni. A questo periodo di riferimento e assegnato

un coefficiente d’importanza γI pari a 1,0.

L’influenza delle caratterisctiche locali del terreno sul valore dell’azione

sismica e generalmente tenuta in conto considerando tre classi di appartenen-

za per il sottosuolo, dette A, B e C, definite sulla base dei differenti profili

stratigrafici qui di seguito descritti:

• Sottosuolo di tipo A: roccia o altra formazione geologica caratterizaata

da una velocita di propagazione delle onde di taglio, vs, pari almeno

a 800 m/s, includendo al massimo uno strato di materiale a piu de-

bole consistenza di 5 m; depositi compatti di sabbia, ghiaia o argilla

sovraconsolidata con spessori maggiori di diverse decine di metri, carat-

terizzati da un graduale incremento delle proprieta meccaniche con la

profondita (e da valori di vs pari ad almeno 400 m/s ad una profondita

di 10 m).

• Sottosuolo di tipo B: depositi profondi di sabbie mediamente addensate,

ghiaia e argille mediamente rigide con spessori che vanno dalle diverse

decine di metri alle molte centinaia, caratterizzati da valori minimi

della vs che vanno da 200 m/s ad una profondita di 10 m, fino a 350

m/s a 50 m.

• Sottosuolo di tipo C: depositi privi di coesione con o senza qualche

morbido strato ceosivo, caratterizzati da valori di vs sotto ai 200 m/s


nei primi 20 m; depositi di terreni coesivi caratterizzati da rigidezze

basse/medie e con valori di vs sotto ai 200 m/s nei primi 20 m.

L’azione sismica orizzontale descritta dalle due componenti ortogonali

considerate indipendenti e rappresentata mediante il medesimo spettro di

risposta.

A meno che studi specifici non diano indicazioni contrarie, la componente

verticale dell’azione sismica sara modellata secondo lo spettro di risposta

dell’azione sismica orizzontale, ma con i valori in ordinata ridotti nel seguente

modo:

• per T < 0.15s le ordinate vengono scalate per un coefficiente pari a

0.70;

• per T > 0.50s le ordinate vengono scalate per un coefficiente pari a

0.50;

• per 0.15 ≤ T ≥ 0.50s le ordinate vengono ridotte interpolando linear-

mente.

Lo spettro di risposta elastico Se(T ) e definito mediante le seguenti espres-

sioni:

0 ≤ T < TB Se(T ) = agS(1 + T

TB(η · β0 − 1)

)TB ≤ T < TC Se(T ) = agS · η · β0

TC ≤ T < TD Se(T ) = agS · η · β0

(TC

T

)k1

TD ≤ T Se(T ) = agS · η · β0

(TC

TD

)k1

·(

TD

T

)k2

(2.2)

dove β0 e il fattore di amplificazione dell’accelerazione dello spettro per

smorzamento viscoso pari al 5%, TB e TC sono i limiti del tratto costante


dello spettro di accelerazione, TD e il valore che definisce l’inizio del tratto di

spostamento costante dello spettro, k1 e k2 sono esponenti che modificano la

forma dello spettro per un periodo di vibrazione maggiore, rispettivamente,

di TC e TD, S e un parametro che caratterizza il sottosuolo ed η e un fat-

tore correttivo dello smorzamento che assume un valore pari ad 1 per uno

smorzamento viscoso pari al 5%.

Le seguenti Tabelle 2.1 e 2.2 descrivono il valore assunto dai coefficienti

dell’equazione 2.2.

Categoria

di suolo

S TB[s] TC [s] TD[s]

A 1.0 0.10 0.40 3.00

B 1.0 0.15 0.60 3.00

C 0.9 0.20 0.80 3.00

Tabella 2.1: Valori del parametro S e dei periodi TB , TC , TD che separano le sezioni ad andamento

diverso, dello spettro orizzontale di normativa.

Categoria

di suolo

β0 k1 k2

A 2.5 1.0 2.0

B 2.5 1.0 2.0

C 2.5 1.0 2.0

Tabella 2.2: Valori dei dei parametri β0, k1 e k2, al variare del tipo di sottosuolo per l’equazione dello

spettro orizzontale di normativa.

La Figure 2.2 e mostra l’andamento degli spettri di normativa orizzontale

e verticale.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

T [s]

Se/a

g [/]

ABC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

T [s]

Se/a

g [/]

ABC

Figura 2.2: Spettri di normativa orizzontale e verticale in pseudo accelerazione per le varie categorie

di suolo, normalizzati rispetto ad ag , calcolati secondo le direttive dell’Eurocodice 8.

Capitolo 3

L’oscillatore semplice smorzato

Una trattazione matematica esaustiva condurrebbe lo studio delle oscillazioni

di un oscillatore SDOF a partire dall’analisi della risposta libera di un oscil-

latore semplice non smorzato ad un grado di liberta, per introdurre cosı il

termine di smorzamento e successivamente studiare la risposta del sistema

all’eccitazione armonica, giungendo infine all’eccitazione da parte di forzanti

generiche e carichi impulsivi.

Benche questo tipo di approccio sia ottimo per la comprensione del pro-

blema, in questa sede ci si limitera allo studio della risposta libera di un

oscillatore semplice smorzato SDOF tralasciando l’eccitazione armonica e

passando direttamente a quella generica.

Questi due passaggi possono essere infatti considerati “il caso generale”,

visto che un oscillatore semplice non smorzato equivale ad un corrispondente

smorzato con indice (o coefficiente) di smorzamento nullo, e che un’ecci-

tazione armonica non e che una particolare forma dell’eccitazione generica1.


Capitolo 3. L’oscillatore semplice smorzato 28

3.1 Equazione del moto nella risposta libera

L’oscillatore semplice smorzato ad un grado di liberta e un sistema meccanico

elementare costituito da una massa m che puo traslare secondo una sola

direzione x, legata al vincolo da una molla di rigidezza k e da uno smorzatore

(o ammortizzatore) caratterizzato da un coefficiente di resistenza viscosa c.

Figura 3.1: Schema di un oscillatore semplice smorzato ad un grado di liberta a) in posizione di riposo

e b) all’istante t in posizione diversa da quella di riposo.

Si noti che, essendo l’oscillatore ad un solo grado di liberta e considerando

la forza peso della massa bilanciata dalla reazione del piano (liscio) su cui

questa si muove, si puo ragionare in termini monodimensionali, per cui il

formalismo adottato non sara di tipo vettoriale per questa motivazione.

Ricordiamo che sia la forza di richiamo esercitata dalla molla, che quella

di resistenza viscosa dello smorzatore, si oppongono al moto della massa;

in particolare la forza elastica risulta proporzionale attraverso la rigidezza

k alla posizione istantanea della massa, mentra la resistenza viscosa e pro-

porzionale alla velocita istantanea della massa stessa tramite il coefficiente

di smorzamento c.

Immaginiamo dunque che la massa si trovi in un generico istante t in una


posizione diversa da quella di riposo, ossia che quest’ultima si trovi in una

deteminata posizione x(t) in moto con una velocita x(t); allora applicando

la seconda legge della dinamica ed il principio di D’Alambert, e possibile

scrivere il diagramma di corpo libero alla massa:

mx = −cx− kx (3.1)

dove si e volutamente tralasciata la dipendenza dal tempo per non appesan-

tire la notazione, e dove, relativamente alla Figura 3.1 risulta:

Fe = kx Fv = cx Fi = mx

Dividendo tutto per m ed introducendo le quantita pulsazione naturale ω

ed indice di smorazmento ν si giunge all’equazione differenziale del moto

dell’oscillatore:

x + 2νωx + ω2x = 0 (3.2)

con:

ω =

√k

m(3.3)

ν =c

2√

mk=

c

2mω

3.2 Soluzione dell’equazione differenziale del

moto

L’equazione differenziale 3.2 e lineare, omogenea a coefficienti costanti. Si

cerca allora una soluzione della forma:

x(t) = x = eλt


Calcolate le prime due derivate di x(t) rispetto al tempo, la sostituzione di

queste nella 3.2 fornisce:

eλt(λ2 + 2νωλ + ω2) = 0

che e soddisfatta per qualsiasi valore di t quando:

λ2 + 2νωλ + ω2 = 0 (3.4)

L’equazione di secondo grado 3.4 nell’incognita λ si dice equazione caratteristica

associata all’omogenea 3.2 ed ha radici:

{λ1, λ2} = (−ν ±√

ν2 − 1)ω

Pertanto le due soluzioni:

eλ1t = etω(−ν+√

ν2−1)

eλ2t = etω(−ν−√

ν2−1)

sono entrambe soluzioni particolari della 3.2, e la soluzione generale si trova

come combinazione lineare di esse:

x(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t (3.5)

Dall’analisi del discriminante dell’equazione caratteristica si evidenzia la pos-

sibilita di tre tipi distinti di soluzione; indicando come smorzamento critico,

ccr2, il valore del coefficiente di smorzamento che rende nullo il discriminante

della 3.4:

ν2 − 1 = 0 ⇒ ccr = 2mω =2k

ω

le tre soluzioni possono essere distinte confrontando il coefficiente di smorza-

mento con quello critico.

In particolare si ha:

2Spesso l’indice di smorzamento dell’oscillatore viene indicato come rapporto tra il coefficiente di

smorzamento e quello critico ν = cccr


• Se c > ccr ossia ν > 1 il sistema si dice sovrasmorzato;

• Se c = ccr ossia ν = 1 il sistema si dice criticamente smorzato;

• Se c < ccr ossia ν < 1 il sistema si dice sottosmorzato.

Dove, come detto all’inizio del capitolo, il caso di c = ν = 0 cor-

risponde ad un oscillatore SDOF non smorzato.

Nei casi di sistema sovrasmorzato o criticamente smorzato il determinante

assume un valore rispettivamente positivo o nullo da cui le radici risultano

in entrambi i casi reali (e coincidenti nel caso di smorzamento critico).

In entrambe queste situazioni la soluzione del problema di Cauchy che si

ottiene fissando i valori iniziali x(t) e x(t) ha una forma esponenziale negativa,

corrispondente ad un moto aperiodico che riporta la massa nella posizione

di equilibrio, dal punto di partenza, senza l’insorgere di oscillazioni complete

attorno ad esso.

Nella realta pratica a cui si e interessati questi casi non trovano tuttavia

applicazione: gli oscillatori equivalenti che si vengono a considerare nell’ana-

lisi dinamica lineare delle strutture assumono infatti indici di smorzamento

molto inferiori all’unita.

E interessante allora studiare la soluzione del sistema sottosmorzato.

Essendo ν < 1 le radici λ1 e λ2 dell’equazione caratteristica 3.4

risultano complesse coniugate con parte reale negativa:

λ1 = −νω + jω√

1− ν2

λ2 = −νω − jω√

1− ν2

Sostituendo le soluzioni torvate nella 3.5 si otterrebbe una combinazione

di due esponenziali complessi, che non e adatta a descrivere il moto dell’oscil-

latore.


Ricorrendo alle formule di Eulero si puo allora individuare un nuovo

insieme di soluzioni reali da utilizzare in maniera piu utile:

e−λ1t = e−νωt (cos(ωDt) + j sin(ωDt))

e−λ2t = e−νωt (cos(ωDt)− j sin(ωDt))

da cui ponendo:

z1 =e−λ1t + e−λt

2= e−νωt (cos(ωDt))

z2 =e−λ1t − e−λt

2j= e−νωt (sin(ωDt))

la soluzione generale:

x(t) = A1z1 + A2z2 = e−νωt (A1 cos(ωDt) + A2 sin(ωDt)) (3.6)

dove con il termine ωD si e indicata la pulsazione smorzata dell’oscillatore:

ωD = ω√

1− ν2

La soluzione trovata in 3.6 mette in evidenza come nella risposta libera

dell’oscillatore in esame la massa oscilli attorno alla posizione di equilibrio,

con pulsazione pari alla pulsazione smorzata ωD (ovvero con periodo TD =

2πωD

), ma con ampiezza man mano decrescente, governata da un esponenziale

negativo che e funzione dell’indice di smorzamento ν.

Si puo determinare allora la soluzione del problema di Cauchy; fissate le

condizioni iniziali:

x(t = 0) = x0

x(t = 0) = x0


sostituendo nella 3.6 e derivando rispetto a t :

x0 = A1

x0 = −A1νω + A2ωD

da cui risolvendo il sistema per sostiuzione:

A1 = x0

A2 =x0 + νωx0

ωD

e la soluzione finale:

x(t) = e−νωt

[x0 cos(ωDt) +

(x0 + νωx0

ωD

)sin(ωDt)

]∀t ≥ 0 (3.7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo [s]

Spo

stam

ento

[m

]

Figura 3.2: Esempio di risposta libera di un oscillatore sottosmorzato caratterizzato dai coefficienti

ν = 0.05, T = 0.8s e condizioni iniziali x0 = 1m, x0 = 5m/s.


3.3 Risposta forzata

Ricaviamo ora l’equazione che descrive il comportamento dell’oscillatore smor-

zato semplice SDOF quando ad esso e applicata una forzante esterna, che

puo essere vista nella Figura 3.1 b) come una ulteriore forza, che indicheremo

con p(t), agente sulla massa in direzione dell’asse x.

3.3.1 Risposta impulsiva

Si definisce impulso elementare di una generica forza ~p = ~p(t) nell’inter-

vallo di tempo [t, t + dt], il vettore:

d~I = ~pdt

da cui l’impulso della forza ~p = ~p(t) relativo al generico intervallo

temporale [t1, t2]:

~I =

∫ t2

t1

~p(t)dt

Applicando la seconda legge della dinamica alla quantita di moto vale il

seguente teorema: la derivata rispetto al tempo della quantita di moto uguaglia,

istante per istante, la risultante delle forze agenti sul corpo3; nel caso della

singola forza ~p(t) si ha:

~Q(t) = mx(t)d~Q(t)

dt= ~p(t)

Integrando rispetto al tempo si ottiene il noto teorema dell’impulso, secondo

il quale l’impulso ~I della forza ~p(t) nell’intervallo di tempo [t1, t2] applicato

ad un corpo uguaglia la variazione della quantita di moto dello stesso:

~Q(t2)− ~Q(t1) =

∫ t2

t1

~p(t)dt

3Spesso indicato appunto come teorema della quantita di moto.


Tornando alla trattazione monodimensionale dell’oscillatore smorzato

SDOF osserviamo che, se sulla massa dell’oscillatore agisce ad un determinato

istante τ una forza di intensita elevata, per una durata molto inferiore al

periodo di oscillazione dello stesso, potremo approssimare l’impulso di tale

forza, che si dira impulsiva, come:

I =

∫ τ+ε

τ

p(t)dt ' p(τ)ε dove : ε << T

Immaginiamo ora che l’impulso sia unitario e di mantenere costante tale

quantita4: operando il limite per ε → 0, l’ampiezza della forza che genera

l’impulso tende all’infinito, ma il suo integrale resta, appunto, costante.

Questa condizione limite prende il nome di impulso unitario, e viene

matematicamente trattata tramite la distribuzione delta di Dirac 5.

Per quanto detto allora, se il generico impulso agisce all’istante τ su di

un corpo di massa m in quiete, produce su di essa un’improvvisa variazione

di velocita, x0, senza un’apprezzabile cambiamento di posizione, tale che:

I = mx0

Pertanto, se un oscillatore semplice smorzato in condizioni di quiete viene

eccitato da un impulso di durata trascurabile rispetto al periodo naturale T,

la risposta puo essere derivata da quella libera 3.7 imponendo le condizioni

iniziali:

x0 = 0 , x0 =I

m

Tale risposta, considerando il generico impulso unitario applicato al-

l’istante t = τ , fornisce quella che viene indicata come risposta impulsiva

4Ossia il lavoro che la forza a cui e associato compie sul corpo in virtu della variazione di quantita di

moto prodotta su di esso5Di cui si richiamano due proprieta utili per i calcoli seguenti: δ(t−τ) = 0 ∀t 6= τ,

R∞0 δ(t−τ)dτ =

1.


dell’oscillatore semplice smorzato:

h(t) =1

mωD

e−νωt sin (ωD(t− τ)) ∀t ≥ 0 (3.8)

La notazione h(t) e introdotta a titolo di distinzione dalla risposta libera

dell’oscillatore.

E importante notare come sia la risposta libera che quella impulsiva rica-

vate rispettivamente in 3.7 e 3.8 essendo relative ad un sistema causale sono

da intendersi valide ∀t ≥ 0, e che la risposta impulsiva ha senso, come sara

chiaro tra poche righe, solo se il sistema e lineare.

3.3.2 Eccitazione arbitraria

Se la legge di variazione della forzante esterna p(t) risulta essere arbitraria puo

essere decomposta in una serie di impulsi elementari di durata infinitesima

mediante un’operazione concettualmente simile a quella con cui si giunge alla

definizione di integrale di Cauchy-Riemann.

La risposta dx(t) dell’oscillatore smorzato all’impulso dI = p(τ)dτ e data

dalla 3.8:

dx(t) =dI

mωD

e−νωt sin (ωD(t− τ))

Essendo il sistema lineare6, la risposta complessiva dell’oscillatore x(t)

al tempo t puo essere considerata come la sommatoria delle singole risposte

dx(t) relative a tutti gli impulsi elementari dI che si verificano prima dell’is-

tante t. Integrando allora dall’istante τ = 0 a τ = t si giunge all’equazione

che descrive la risposta dell’oscillatore in tale intervallo temporale:

6Ossia, con dire meccanico, risulta valido il principio di sovrapposizione degli effetti.


x(t) =1

mωD

∫ t

0

p(τ)e−νω(t−τ) sin (ωD(t− τ)) dτ (3.9)

In letteratura l’equazione appena scritta prende il nome di Integrale di

Duhamel (in forma smorzata).

3.3.3 Eccitazione impressa al vincolo

Lo studio finora condotto sull’oscillatore semplice smorzato SDOF ha portato

a definire, con l’integrale di Duhamel, un’equazione adatta a calcolare per

ogni istante la risposta in spostamento dell’oscillatore stesso, quando alla

massa sia applicata una forza p(t).

Tuttavia tale risultato non e immediatamente adattabile al calcolo dello

spettro di risposta: secondo l’approccio teorico dell’Analisi Dinamica Lin-

eare che stiamo seguendo infatti, nel modellare una struttura come com-

binazione di oscillatori SDOF, per ciascun questi non sarebbe la massa ad

essere soggetta alla forza p(t), bensı il supporto (o vincolo)7.

In base a queste osservazioni si puo concludere che se l’eccitazione viene

impressa al supporto l’oscillatore puo essere studiato come facente parte di

un sistema di riferimento relativo non inerziale, considerando assoluto (e

inerziale) il sistema di riferimento in cui si trovano oscillatore + supporto.

Allora, per il teorema delle forze apparenti, quando una forza p(t) e ap-

plicata al vincolo, nel sistema di riferimento relativo la massa dell’oscillatore

risentira di una forza apparente di intensita proporzionale alla massa stessa,

nella stessa direzione ma con verso opposto rispetto a p(t).

7Si noti che anche la rilevazione dell’accelerogramma, tramite il sismografo descritto nel Capitolo 1,

avviene in maniera simile. Come evidenziato anche dalla Figura 1.8 infatti, gli strumenti schematizzabili

con questa struttura hanno solo un terminale (la base) fissa al punto in cui eseguire la misura, mentre le

caratteristiche del moto sono ricavate dallo spostamento relativo della massa sismica rispetto alla base

stessa dello strumento. Per questo motivo tali strumenti si dicono a riferimento inerziale, o inerziali.


In riferimento alla Figura 3.1 b) quindi il diagramma di corpo libero alla

massa m nel sistema di riferimento relativo (in cui siamo interessati a trovare

la risposta in spostamento) assume la forma:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = −mp(t) (3.10)

da cui, immediatamente, l’integrale di Duhamel nel caso di eccitazione im-

pressa al vincolo:

x(t) = − 1

ωD

∫ t

0

p(τ)e−νω(t−τ) sin (ωD(t− τ)) dτ (3.11)

Capitolo 4

Calcolo dello

Spettro di Risposta

nel dominio del tempo

Come precedentemente descritto lo spettro di risposta non e che un’insieme

di coppie di valori (periodo oscillatore, risposta massima) calcolati per una

determinata forzante, con indice di smorzamento fisso, dalle quali si ricava

poi il diagramma di spettro1.

Per ottenere queste coppie di valori si possono adottare diverse metodolo-

gie ognuna delle quali e caratterizzata da vantaggi e difetti rispetto alle

altre.

In questo capitolo si descriveranno i metodi di risoluzione nel dominio

del tempo, caratterizzati da semplicita concettuale ma anche, in generale, da

un’elevata complessita computazionale; si rimanda invece al Capitolo 5 per

il calcolo degli spettri nel dominio della frequenza.


Capitolo 4. Calcolo dello SdR nel dominio del tempo 40

4.1 Soluzione dell’equazione del moto

tramite simulazione

Per quanto detto al Paragrafo 3.3.3 la risposta forzata di un oscillatore sem-

plice smorzato SDOF con forzante impressa al vincolo puo essere espressa

nei termini dell’equazione 3.10.

Applicando un approccio diretto, si puo pensare di reiterare la soluzione

della suddetta equazione differenziale, variando di volta in volta il periodo di

oscillazione entro un intervallo prestabilito, e per ciascuna soluzione cercare

il massimo in valore assoluto, ottenendo cosı lo spettro di risposta.

Anche se il metodo e invitante per l’apparente semplicita, ci si deve ri-

cordare che l’equazione da risolvere e un’ equazione differenziale di secondo

grado con un termine forzante che non assume una forma descrivibile ana-

liticamente. Infatti il valore di accelerazione registrato e nella pratica una

variabile aleatoria continua e scorrelata, pertanto non si puo ottenere una

soluzione analitica in forma chiusa.

D’altro canto avendo a disposizione un calcolatore si puo pensare di im-

plementare un sistema simulazione che risolva l’equazione differenziale in

maniera numerica, ciclando la simulazione per i valori desiderati di periodo

naturale.

Di seguito e riportato lo schema del modello utilizzato per la simulazione,

realizzato in ambiente Simulink e chiamato time simulation; si riportano inol-

tre l’andamento della risposta in spostamento che si ottiene dalla simulazione

del modello, per un fissato valore di periodo e coefficiente di smorzamento,

impostando come forzante la registrazione Nord-Sud della traccia RA01134

ed alcune righe di codice Matlab che realizzano il ciclo su cui si basa questo

tipo di calcolo dello spettro di risposta.


Lo spettro in pseudo-accelerazione che si ottiene, lanciando il ciclo del

codice riportato, come simulazione del modello su un intervallo di periodi

da 0 a 4 s, con forzante la traccia Nord-Sud della registrazione RA01134, e

quello gia mostrato a titolo d’esempio nel Capitolo 2, alla Figura 2.1.

To Workspace 1

shift

Lookup Table

Integrator1

1/s

Integrator

1/s

Gain2

−1

Gain1

2*v*w

Gain

w^2

Clock

Add

Figura 4.1: Modello Simulink per la simulazione della risposta dell’oscillatore semplice smorzato SDOF

il cui supporto sia eccitato dalla forza di valori mappati nella Lookup Table.


1 %--- calcolo dei parametri necessari alla simulazione

2

3 lp=length(p); %calcolo base dei tempi per la simulazione

4 tc=1/fc;

5 t=[0:tc:tc*(lp -1)];

6

7 ti=0; %impostazione intervallo di simulazione

8 tf=t(lp);

9

10 %--- calcolo dello Spettro di Risposta

11

12 periods =[Ti:dT:Tf]; %generazione del vettore di periodi

13 lT=length(periods );

14

15 time_res_spect=nan(lT ,4); %preparazione della matrice Spettri

16 time_res_spect (:,1)= periods ’;

17

18

19 for z=1:lT

20 T=periods(z); %impostazione periodo naturale oscillatore

21 w=2*pi/T; %calcolo pulsazione naturale corrispondente

22 sim(’time_simulation ’); %simulazione e registrazione valori massimi

23

24 val=max(abs(shift ));

25 time_res_spect(z,2)= val;

26 time_res_spect(z,3)= val*w;

27 time_res_spect(z,4)= val*(w^2);

28 end

4.1.1 Descrizione del codice e del modello

Il modello riportato in Figura 4.1 e autoesplicativo: se si considera lo sposta-

mento (la variabile shift) e si percorre lo schema tenendo conto che i bloc-

chi contrassegnati come 1/s corrispondono ad integratori e facile risalire

all’equazione differenziale 3.10.

Si puo notare come per i nostri fini sia sufficiente prelevare dalla simu-

lazione soltanto lo spostamento dell’oscillatore, visto che tutti e tre gli spettri


0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo [s]

Spo

stam

ento

[c

m]

Figura 4.2: Risposta forzata dell’oscillatore caratterizzato da T = 0.8s e ν = 0.05 eccitato dalla

registrazione N-S della traccia RA01134, ottenuta tramite simulazione del modello di Figura 4.1.

vengono calcolati a partire da esso, mentre senza alcuna complessita aggiun-

tiva si potrebbero estrarre anche velocita ed accelerazione reali, rispettiva-

mente a monte del primo e del secondo blocco integratore.

La simulazione avviene tra gli istanti temporali ti e tf , con passo tc, i

cui valori devono essere impostati sul workspace nelle tre variabili ti, tf e tc

(quest’ultima e ricavata come l’inverso di fc, la frequenza di campionamento

della traccia in p); i valori dei parametri dell’oscillatore, ν ed ω, utilizzati nei

blocchi di guadagno, devono invece essere riportati nelle variabili v e w. Si

devono inoltre fissare gli estremi dell’intervallo di valori di periodo naturale

dell’oscillatore su cui si intende ottenere lo spettro (Ti e Tf , rispettivamente

in Ti e Tf ), ed infine la forzante contenuta in p.

Nelle righe 3 ÷ 8 viene dunque calcolato il vettore dei tempi necessario

alla simulazione ed impostati l’istante iniziale e quello finale.

Alle righe 12 ÷ 16 viene preparata la matrice che conterra gli spettri, e


memorizzato nella prima colonna il vettore di periodi naturali, mentre il ciclo

alle righe 19÷ 28 la riempie reiterando la simulazione del modello in Figura

4.1 e ricercando per ciascun valore di periodo naturale il massimo in valore

assoluto della risposta in spostamento dalla quale desumere anche pseudo-

velocita e pseudo-accelerazione secondo le relazioni 2.1 discusse nel Capitolo

2.

Si noti che , per come e realizzato, il modello in Figura 4.1 non e in

grado di simulare la risposta dell’oscillatore con periodo proprio tendente a

0 s; in questo caso infatti la pulsazione propria (si veda la riga 21 del codice

riportato) assume un valore infinito rendendo impossibile la simulazione.

I valori assunti dagli spettri per T = 0 possono essere ugualmente ot-

tenuti senza alcuna simulazione, considerando che un oscillatore con periodo

di oscillazione nullo corrisponde ad una massa solidale con il supporto per

cui, all’eccitazione, lo spostamento relativo di essa sara nullo, cosı come la

velocita, mentre l’accelerazione massima corrspondera alla massima impressa

dalla forzante al supporto stesso (sempre in valore assoluto).

Per i valori vicini allo 0 tuttavia non si ha alcun metodo per ovviare al-

l’impossibilita di simulare. Il concetto di “vicino allo 0” in questo caso risulta

piuttosto vago, si rimanda tuttavia al prossimo Capitolo per una trattazione

esaustiva di questo problema, che insorge anche nel dominio della frequenza,

ed un confronto tra i due metodi.

4.2 Calcolo diretto dell’integrale di Duhamel

Al capitolo 3 si e visto come dalla soluzione dell’equazione differenziale del

moto relativa alla risposta libera dell’oscillatore si possa passare, sfruttando

la linearita del sistema, a definire una risposta impulsiva e quindi esprimre


la risposta forzata al generico istante t sotto forma dell’integrale 3.11, detto

di Duhamel.

Si potrebbe allora pensare di cercare una primitiva di suddetto integrale

e calcolarne il valore assunto da t=0 a t=t’ dove t’ sia un generico punto

interno ad un supporto temporale fissato.

Come gia detto al paragrafo precedente la forzante p(t) non e esprimibile

in forma chiusa 2 per cui in genrale non si potra trovare una primitiva ed il

calcolo dell’integrale dovra avvenire per via numerica.

Considerando che ci stiamo riferendo ad un oscillatore armonico smorza-

to, la cui risposta una volta terminata l’eccitazione si attenua secondo un

esponenziale negativo, si puo sicuramente limitare l’intervallo temporale di

interesse alla durata della traccia della forzante, discretizzandolo con lo stesso

intervallo su cui sono campionati i dati di quest’ultima (una discretizzazione

piu fitta non avrebbe infatti senso mentre una piu rada farebbe correre il

rischio di perdere l’istante in cui si verifica la risposta massima).

Dovendo poi reiterare il procedimento al variare del periodo naturale del-

l’oscillatore, si evidenzia l’elevata complessita di questa strategia di calcolo

che risulta quindi inapplicabile.

4.3 Possibili strategie

Come detto la ricerca di una soluzione direttamente nel dominio del tempo

presenta limitazioni dovute alla complessita di calcolo.

Benche formalmente le soluzioni qui proposte siano infatti corrette questo

tipo di elaborazione puo divenire piuttosto impegnativa anche per un calco-

2Tranne nel caso in cui si debba studiare la risposta ad un’oscillazione artificiale persistente, come una

vibrazione, che sia esprimibile in serie di Fourier come somma di poche armoniche.


latore moderno, e la complessita di calcolo aumenta con l’aumentare della

durata dell’accelerogramma registrato3.

L’analisi dei segnali sismici potrebbe pero suggerire uno spunto per miglio-

rare questo tipo di analisi: in riferimento al Capitolo 1, parlando di onde di

volume, si e detto che queste sono composte da una componente P che vi-

aggia a velocita sostenuta, ed una S, piu lenta4; si e poi detto, al Capitolo

2, che la risposta massima dell’oscillatore si ha quando l’eccitazione avviene

con frequenze vicine, al limite coincidenti, con quella naturale dell’oscillatore

stesso.

Potrebbe darsi allora che in una determinata onda sismica solo una delle

due componenti, P o S, sia quella che porta l’oscillatore alla sua massima

risposta, per cui l’analisi potrebbe essere limitata ad una di queste due

componenti.

Un approccio di questo tipo tuttavia comporta non poche difficolta, come

la scomposizione dell’onda in P + S e la relativa analisi in frequenza, e non

considera comunque il fatto che gli effetti delle due onde sull’oscillatore si

sovrappongono per cui potrebbe rivelarsi numericamente instabile o portare

a risultati inaffidabili.

3Alla fine del prossimo Capitolo, nel quale verra presentata l’analisi nel dominio trasformato della

freqenza, sono riportate alcune misurazioni del tempo impiegato da ciascuno dei due metodi per il calcolo

della singola risposta e di uno spettro completo; non si riporta qui alcun valore visto che non varebbe

nessun significato in assenza di misure con cui confrontarlo.4Questi due “pacchetti” di onde sono spesso anche riconoscibili ad occhio nudo su di un

accelerogramma, come mostrato al Capitolo 1, Figura 1.5.

Capitolo 5

Calcolo dello

Spettro di Risposta

nel dominio della frequenza

In questo capitolo verra descritto il punto centrale del lavoro svolto: il calcolo

dello spettro di risposta nel dominio della frequenza; dualmente all’analisi nel

dominio del tempo questo metodo permette un’elaborazione decisamente piu

snella a patto tuttavia di rispettare le dovute condizioni sulle grandezze in

gioco1.

5.1 Passaggio al dominio trasformato

Alla fine del Capitolo 3 si e giunti a definire la risposta forzata dell’oscillatore

semplice smorzato SDOF nella forma dell’integrale di Duhamel 3.11:

x(t) = − 1

ωD

∫ t

0

p(τ)e−νω(t−τ) sin (ωD(t− τ)) dτ

1Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [9], [3], [10], [11] in Bibliografia.

Capitolo 5. Calcolo dello SdR nel dominio della frequenza 48

In relazione alla risposta impulsiva h(t) in 3.8, la 3.11 rappresenta l’integrale

di convoluzione2 tra la risposta impulsiva stessa moltiplicata per −m e la

forzante p(t):

x(t) = −m · h(t) ∗ p(t) (5.1)

dove il coefficiente −m nasce appunto dal fatto che l’eccitazione e applicata

al vincolo.

In questa condizione possiamo allora definire una risposta impulsiva equiv-

alente che tenga conto del fatto che l’eccitazione e impressa al supporto:

heq(t) = − 1

ωD

e−νωt sin (ωD(t− τ)) ∀t ≥ 0 (5.2)

In questo modo l’integrale 3.11 rappresenta la convoluzione:

x(t) = heq(t) ∗ p(t) (5.3)

A partire da questa equazione siamo dunque interessati passare al do-

minio della frequenza applicando la trasformata di Fourier ; per prima cosa

estendiamo il supporto temporale dell’equazione 5.2, definita solo per valori

di t ≥ 0,scrivendola nella forma:

heq(t) =1

ωD

e−νωt sin (ωD(t− τ)) · u(t) (5.4)

dove si definisce gradino unitario la funzione:

u(t) =

1 se t ≥ 0

0 se t < 0(5.5)

La risposta dell’oscillatore in forma di convoluzione e allora:

x(t) = − 1

ωD

[p(t) ∗

(sin(ωDt)e−νωtu(t)

) ](5.6)

2Fino a questo momento ci stiamo riferendo a grandezze analogiche, per cui la convoluzione

e da considerarsi lineare. Verranno considerati in seguito gli effetti dovuti alla discretizzazione

dell’accelerogramma.


Riflettiamo ora su come utilizzare questa espressione per il calcolo dello

spettro di risposta: l’idea di variare il valore di periodo naturale dell’oscilla-

tore, ovvero la pulsazione ωD, per la ricerca della risposta massima suggerisce

di passare al dominio trasformato della frequenza, in modo che.

In questo modo, una volta calcolata la trasformata di Fourier della traccia

p(t), il calcolo della risposta complessiva dell’oscillatore si riduce alla molti-

plicazione di tale trasformata per una funzione della frequenza corrispondente

alla trasformata della risposta impulsiva.

Con la successiva trasformazione inversa si puo dunque tornare al dominio

del tempo dove determinare la risposta massima per quel determinato valore

di pulsazione naturale.

Un’esposizione matematica chiarifica sicuramente il procedimento.

Definiamo la trasformata di Fourier della forzante p(t) la funzione:

P (f) = F{p(t)

}=

∫ +∞

−∞p(τ)e−j2πfτdτ

che ha senso in quanto p(t) sara in generale una funzione ad energia limitata3.

In base alla proprieta della trasformata di Fourier per cui l’operazione di

convoluzione lineare nel tempo equivale alla moltiplicazione in frequenza e

viceversa, la trasformata dell’espressione 5.6 risulta:

X(f) = F{x(t)

}= − 1

ωD

P (f)[F {sin(ωDt)} ∗ F

{e−νωtu(t)

} ](5.7)

Sfruttando le formule di Eulero e la trasformata dell’esponenziale comp-

lesso4 si giunge alla trasformata del seno:

F{

sin(ωDt)}

=1

2j

[δ(f − ωD

2π

)− δ

(f +

ωD

2π

)](5.8)

mentre per la parte esponenziale si ricava facilmente:

3Essendo la registrazione di un segnale realmente esistente e di durata limitata.4Che vale: e±j2πfnt ↔ δ (f ∓ fn) .


F{e−νωtu(t)

}=

∫ +∞

0

e−νωte−j2πftdt =1

νω + j2πf(5.9)

La sostituzione di 5.8 e 5.9 nella 5.7, unita alla proprieta distributiva del

prodotto di convoluzione, porta all’equazione:

X(f) = −P (f)

2jωD

[(δ(f − ωD

2π

)∗ 1

νω + j2πf

)−

(δ(f +

ωD

2π

)∗ 1

νω + j2πf

)]la quale, sfruttando le proprieta della δ5 e svolgendo i calcoli, porta all’e-

spressione finale:

X(f) =P (f)

4π2f 2 − ω2 − j4πνωf(5.10)

L’espressione appena ricavata rappresenta dunque la trasformata di Fuori-

er della risposta dell’oscillatore armonico smorzato SDOF eccitato dalla forzante

p(t) impressa al vincolo.

Poiche per la costruzione dello spettro di risposta siamo interessati ad

avere un’espressione che sia funzione dei parametri ν e T 6, possiamo ri-

condurci a questa forma considerando che ω = 2πT

da cui si ottiene:

X(f) =P (f)

4π2(f 2 − 1

T 2 − j 2νfT

) (5.11)

E dunque evidente che la trasformata di Fourier della risposta impulsiva

dell’oscillatore con impulso applicato al vincolo, ossia quella che chiamerem-

mo funzione di trasferimento equivalente dell’oscillatore stesso e:

Heq(f) =1

4π2(f 2 − 1

T 2 − j 2νfT

) (5.12)

5In questo caso: δ(f ± fn) ∗G(f) = G(f ± fn) .6Questo fatto e dovuto al metodo di stima sperimentale dei parametri dell’oscillatore equivalente ad

una determinata struttura: risulta infatti relativamente semplice stimare il periodo di oscillazione e l’indice

di smorzamento.


5.1.1 Le altre grandezze di spettrali

Il grande vantaggio dell’uso delle trasformate e che, a patto di aver rispet-

tato tutte le condizioni sulla trasformabilita dei segnali, operazioni integro-

differenziali nel tempo divengono nel dominio trasformato delle semplici op-

erazioni algebriche.

Sfruttando la proprieta per cui:

dng(t)

dnt↔ (j2πf)nG(f)

si giunge facilmente alle trasformate della risposta in velocita ed accelerazione

dell’oscillatore:

F{x(t)

}=

jfP (f)

2π(f 2 − 1

T 2 − j 2νfT

)e

F{x(t)

}=

f 2P (f)1

T 2 − f 2 + j 2νfT

Come specificato nel Capitolo 2 pero ai fini pratici interessano pseudo-

velocita e pseudo-accelerazione, per cui si ha:

F{Sv(t)

}=

P (f)

2π(Tf 2 − 1

T− j2νf

) (5.13)

e

F{Sa(t)

}=

P (f)

T 2f 2 − 1− j2νTf(5.14)

Si noti come, nel dominio della frequenza, l’espressione della trasformata

della pseudo-accelerazione risulti particolarmente “pulita”, e non dipendente

ad esempio da π, cosa positiva per il calcolo numerico in quanto si evitera

almeno l’approssimazione di tale quantita.

Ricordiamo che la pseudo-accelerazione spettrale riveste un ruolo impor-

tante nella progettazione sismica in quanto permette ad esempio di calcolare

la massima azione di taglio applicata alla base della struttura.


5.1.2 Implementazione Matlab

Di seguito sono riportate alcune righe del codice che costituisce la partecentrale della funzione per il calcolo della risposta dell’oscillatore nel dominiodella frequenza.

1 function [resp] = shift_response(T,v,p,fc ,n)

2

3 ...

4

5 %--- trasformata ad n punti di p(t) allungata tramite zero -padding

6

7 df=fc/n; %risoluzione in frequenza FFT

8 P=fft(p,n);

9

10 %--- calcolo della risposta in frequenza sulla prima met~A dei punti

11

12 a=1/(T^2); %termini costanti al denominatore

13 b=i*2*v/T;

14 c=4*(pi^2);

15

16 f=0;

17

18 for z=1:n/2+2

19 P(z)=P(z)/(c*(f^2-a-b*f));

20 f=f+df;

21 end

22

23 %--- antitrasformata e costruzione della matrice di output

24

25 resp=nan(n,2);

26 dt=1/fc;

27 resp (: ,1)=[0:dt:dt*(n -1)];

28 resp (:,2)= ifft(P,’symmetric ’);

29

30 disp(sprintf(’Process completed !’));

La funzione riceve come parametri di ingresso il valore del periodo naturale

e dell’indice di smorzamento dell’oscillatore, memorizzati nelle variabili T e

v, la traccia della forzante p con la relativa frequenza di campionamento fc,


ed infine un valore intero, n, potenza di 2, che rappresenta il numero di punti

su cui si intendono calcolare le trasformate eseguite numericamente7.

Per semplicita supponiamo che quest’ultimo valore sia adeguato al calcolo

da svolgere, rimandando ai prossimi paragrafi la discussione di tale aspetto;

anche per questo motivo sono state omesse le righe di codice preposte al

controllo della validita sui parametri passati in argomento alla funzione.

Nella riga 8 viene dunque calcolata la trasformata veloce di Fourier ad

n punti di p(t); si procede poi al prodotto con la f.d.t. dell’oscillatore (tut-

ta la parte al denominatore) effettuandone il calcolo punto a punto, sulla

prima meta dei valori della trasformata della traccia ed infine si procede

all’antitrasformazione per tornare al dominio del tempo.

Si possono gia fare interessanti osservazioni su queste poche righe di

codice: innanzi tutto alle righe 12 ÷ 14 vengono calcolate una sola volta

le quantita che sono fisse al denominatore, ossia 4π2, 1T 2 e j 2ν

Tin modo che le

approssimazioni necessarie dovute all’aritmetica usata per il calcolo vengono

compiute una sola volta.

Inoltre si sottolinea la particolarita delle istruzioni contenute alle righe

18 ÷ 21: il calcolo del prodotto tra la trasformata della traccia e la f.d.t

dell’oscillatore avviene infatti solo sulla prima meta dei punti; questa scelta

e mirata ad evitare lo spreco del calcolo relativo ai rimanenti punti in quanto

tale operazione non e necessaria.

Infatti, essendo la funzione P (f) la trasformata della funzione p(t) che

e una funzione reale del tempo8, per le proprieta di simmetria della trasfor-

7La trasformata numerica di Fourier, o DFT, acronimo di Discrete Fourier Transform, viene imple-

mentata tramite algoritmi detti di FFT, Fast Fourier Transform che permettono un discreto risparmio

in termini di operazioni macchina. Nei successivi paragrafi verranno discussi svariati aspetti legati alla

rasformata numerica di Fourier richiamandone, quando necessario, proprieta e caratteristiche; per uno

studio approfondito su questi argomenti si consiglia di fare riferimento a [3].8...e difficile immaginarla complessa...


mata di Fourier P (f) sara una funzione della frequenza pari in modulo e

dispari in fase; lo stesso vale per la funzione di trasferimento dell’oscillatore

(il denominatore e infatti un numero complesso con parte reale dipendente

da sole potenze pari della frequnza e parte immaginaria dipendente da sole

potenze dispari della frequenza), pertanto la loro moltiplicazione sara ancora

una funzione della frequenza a modulo pari e fase dispari, ossia la trasformata

di una funzione reale del tempo.

Di conseguenza, nota la simmetria a priori, ci si puo calcolare il prodotto

delle due trasformate solo sui punti positivi della frequenza, o viceversa su

quelli negativi, e dalla conoscenza di questi antitrasformare tenendo conto

della simmetria del modulo e dell’antisimmetria della fase.

Questa operazione e svolta dalla funzione che implementa in Matlab la

IFFT9 la quale, chiamata in modalita ’symmetric’ come si nota alla riga 28,

gestisce proprio questa eventualita10.

Come sara chiaro alla fine di questo Capitolo il codice appena esposto

rappresenta una semplificazione di quello realmente implementato nell’algo-

ritmo di calcolo degli spettri di risposta; in questa circostanza infatti risulta

utile avere un’idea generale dei passi da seguire per la determinazione della

risposta del singolo oscillatore nel dominio della frequenza, mentre l’imple-

mentazione completa deve tener conto di alcuni fattori legati all’elaborazione

numerica di cui ci accingiamo a discutere.

9Acronimo di Inverse Fast Fourier Transform.10In certi casi infatti nonostante si abbia con certezza una trasformata di una funzione reale del tempo,

e possibile che modulo e fase nella frequenza non rispettino perfettamente le simmetrie di cui si e appena

discusso, ad esempio a causa di arrotondamenti e troncamenti dovuti ai calcoli effettuati sui campioni, per

cui si deve usare questa variante dell’algoritmo.


5.1.3 Lo Spettro di Risposta

Con quanto ottenuto nei paragrafi precedenti risulta abbastanza immediato

passare al calcolo degli spettri di risposta semplicemente reiterando la fun-

zione per il calcolo della risposta del singolo oscillatore appena descritta, per

ciascun valore di periodo naturale su cui si desidera calcolare lo spettro e

cercare via via il massimo in valore assoluto.

Non si riporta codice relativo a questa operazione in quanto sarebbe

sostanzialmente equivalente a quello descritto al Paragrafo 4.1.1 del Capitolo

4.

Analogamente, utilizzando le definizioni in 5.13 e 5.14, si calcolano gli

spettri in pseudo-velocita e pseudo-accelerazione ed il risultato finale e una

funzione che restituisce una matrice di 4 colonne contenente rispettivamente

il vettore di valori di periodo sul quale si e costruito lo spettro, le cor-

rispospondenti risposte massime in spostamento, in pseudo-velocita e in

pseudo-accelerazione.

5.2 Limiti imposti da calcolo numerico ed

analisi in frequenza

L’analisi fin qui sviluppata si basa sulle grandezze considerate come ana-

logiche; tuttavia la necessita di di far svolgere i calcoli ad una macchina

rende inevitabile il passaggio ad insiemi finiti di valori discreti11.

Nel codice riportato al Paragrafo 5.1.2 di questo Capitolo si e implicita-

mente assunta una sostanziale equivalenza tra il segnale discretizzato e l’o-

11E questo un argomento che riveste un’importanza cruciale e che da origne allo studio dell’Elaborazine

Numerica dei Segnali, disciplina che si occupa appunto dello sviluppo di tecniche di analisi numerica sui

segnali il piu possibile equivalenti alle tecniche analitiche.


riginale continuo, nella realta pero diventa fondamentale studiare gli effetti

di questo passaggio valutando l’entita degli effetti parassiti che comporta.

Bisognera altresı considerare che la gran parte dell’elaborazione avviene

nel dominio della frequenza.

5.2.1 Aliasing in frequenza

Per i motivi appena detti la registrazione dell’accelerogramma, finora indicata

con p(t), non e una funzione analogica, bensı un’insieme di valori derivati

dal campionamento e quantizzazione della quantita rilevata dallo strumento

sismico.

Tralasciando gli effetti della quantizzazione12, concentriamoci invece sulle

implicazioni dovute al campionamento. I segnali su cui si e lavorato sono tutti

campionati ad una frequenza di campionamento di 200 Hz; in base a quanto

detto al Paragrafo 1.3.3 del Capitolo 1 il contenuto spettrale rilevante di un

generico segnale sismico e ampiamente compreso sotto i 100 Hz, per cui la

frequenza di campionamento adottata rispetta la condizione di Nyquist e,

teoricamente, non da luogo ad aliasing in frequenza13.

Volendo essere piu accurati possiamo osservare che nella pratica la trac-

cia relativa alla registrazione dell’evento sismico ha una durata temporale

finita che si traduce in una funzione della frequenza a supporto infinito: for-

malmente dunque, qualsiasi sia la frequenza di campionamento, si avrebbe

comunque la generazione di aliasing.

Tuttavia, come gia discusso, si puo in generale osservare che la quasi

totalita dell’energia del segnale puo considerarsi allocata a frequenze inferiori

12Sia perche non abbiamo informazioni dettagliate relative allo strumento sia perche si suppone che

questa operazione sia compiuta in modo da avere un SNR di quantizzazione ampiamente trascurabile.13Per un riepilogo qualitativo sul campionamento e sulla nascita di aliasing si veda l’appendice B.


ai 100 Hz per cui l’aliasing introdotto dal campionamento sara sı inevitabile

ma anche trascurabile.

Una stima corretta di questa fonte di errore comporterebbe il calcolo del

rapporto tra la potenza utile di segnale e quella associata alla componente

distorta dalla sovrapposizione con le repliche dello spettro centrate sui mul-

tipli della frequenza di campionamento, ma avendo a che fare con un segnale

che e la realizzazione di un processo aleatorio questa verifica non puo essere

condotta a priori e tantomeno per via analitica, per cui a questo livello ci

limiteremo alle osservazioni puramente qualitative appena effettuate.

Supponendo dunque che il campionamento della registrazione sismica non

sia affetta da aliasing saremo ora interessati a contenere entro una certa

banda anche la f.d.t. dell’oscillatore in modo che anche la risposta impulsiva

di quest’ultimo risulti campionabile alla stessa frequenza di campionamento

della forzante.

5.2.2 Condizione sul periodo minimo

Si dovra allora stimare l’aliasing introdotto dalla sovrapposizione delle repliche

centrate sui multipli di fc della 5.12 al variare dei parametri ν e T , e la sti-

ma migliore sarebbe sempre quella ottenuta con considerazioni sulla potenza

utile in relazione a quella distorta; anche in questo caso pero integrare analiti-

camente il quadrato del modulo della f.d.t. dell’oscillatore risulta impossibile

e l’analisi dovrebbe avvenire per via numerica.

Benche questo sia fattibile non si avrebbe comunque un riferimento del

valore dei parametri suddetti nell’intorno dei quali ci si aspetta ragionevol-

mente che inizino a farsi pesanti gli effetti dovuti all’aliasing e, fissato ν,

si dovrebbe ripetere l’integrazione per verificare se l’aliasing introdotto sia

accettabile per ogni valore di T , quindi decidere se per quel dato T si puo


procedere o meno con il calcolo della risposta. Anche questo metodo risulta

troppo oneroso.

Definiamo g(f) il modulo della 5.12 per cui:

g(f) =1

4π2

√[(f 2 − 1

T 2

)2+

(2 ν

Tf)] (5.15)

Osservando l’espressione della 5.15 e evidente che questa non rappresenta

una funzione a supporto compatto. Anche in questo caso quindi una ripe-

tizione dello spettro sui multipli della frequenza di campionamento comporta

l’inevitabile insorgenza di aliasing.

L’andamento di g(f), riportato in Figura 5.1, ci suggerisce tuttavia una

possibilita: considerando che lo spettro di risposta viene calcolato per un dato

valore fisso di ν, si puo di cercare una relazione sull’ampiezza di tale funzione

che permetta di ottenere un’espressione funzione di ν e di un parametro “di

regolazione” che chiameremo α dalla quale ricavare il limite da imporre su

T .

Dall’osservazione di Figura 5.1 e evidente che la 5.15 e una funzione pari;

considerando solo le ascisse positive si nota che esiste un valore di f oltre

il quale la funzione assume un andamento monotono decrescente; inoltre in

tale valore, che d’ora in avanti indicheremo con f ∗, la funzione assume valore

massimo.

Il punto f ∗ assume per i nostri scopi una particolare importanza: infatti

ci rendiamo conto che la risposta massima, da ricercarsi nel dominio del

tempo dopo opportuna antitrasformazione del prodotto tra P (f) e la f.d.t.

dell’oscillatore, corrisponde ad un fenomeno di risonanza e visto in frequenza

tale fenomeno avra luogo quando il prodotto appena menzionato raggiunga

valori massimi.

Non conoscendo (se non qualitativamente) lo spettro di P (f) ci possiamo


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

f

g(f)

Figura 5.1: Grafico della funzione g(f), modulo della f.d.t. dell’oscillatore smorzato SDOF, con ν =

0.05 e T = 0.8s.

riferire a quello della f.d.t. dell’oscillatore 5.12 e affermare che la risonanza

avviene sicuramente per f ≤ f ∗.

Questa considerazione equivale a dire che non importa quanto lo spettro

per f > f ∗ sia corrotto dall’aliasing, ma che quello che conta e limitare tale

“inquinamento” in un intorno di f ∗.

D’altro canto se pensiamo che lo spettro di P (f), trasformata di Fouri-

er del segnale sismico, ha un contenuto spettrale considerevole a frequenze

basse, tipicamente sotto i 30 Hz, possiamo ben osservare che se f ∗ risulta infe-

riore a tale frequenza allora la risonanza avverra con certezza per f ∈ [0, f∗],

ma in questo caso lo spettro della f.d.t. dell’oscillatore risultera anche suffi-

cientemente compatto da non generare aliasing; se invece, per valori di T pic-

coli, tale spettro si allarga portando la f ∗ a valori maggiori di 30÷40 Hz, dove

il contenuto spettrale del segnale sismico e ormai trascurabile, la risonanza

avverra sicuramente per valori della frequenza inferiori a f ∗ e, considerando


−300 −200 −100 0 100 200 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

−4

f

g(f)

, g

(f−

fc)

Figura 5.2: Sovrapposizione di due repliche di g(f), modulo della f.d.t. dell’oscillatore smorzato SDOF,

centrate rispettivamente in f = 0 e f = fc, con fc = 200 Hz, e calcolate con ν=0.05 e T=0.02 s, valore

del periodo naturale per cui si ha una significativa sovrapposizione.

l’andamento monotono decrescente delle code della f.d.t. dell’oscillatore, se

si e verificata una condizione sull’ampiezza ritenuta sufficiente su f ∗ allora

tale condizione sara a maggior ragione verificata ad f < f ∗, essendo qui

l’ampiezza delle repliche sovrapposte ancora inferiore. Formalmente dunque

questa condizione si traduce nell’imporre:

g(f)

fc−f∗< α · g(f)

f∗

(5.16)

dove α e un parametro arbitrario da scegliere in base alla necessita (sara

comunque sempre α � 1).

Applicando il teorema di Wierstrass cerchiamo allora il valore di f ∗.

Deriviamo innanzi tutto rispetto ad f la 5.15 ottenendo:

dg

df= −

4f(f 2 − 1

T 2

)+ 8 ν2

T 2 f

8π2

√[(f 2 − 1

T 2

)2+

(2 ν

Tf)2

]3


Uguagliando a zero si giunge alla seguente equazione di terzo grado in f :

4f 3 +

(8

ν2

T 2− 4

T

)f = 0

la quale puo essere facilmente risolta in quanto composta da soli termini di

grado dispari della variabile indipendente, ottenendo le soluzioni:

f = 0, f = ±√

1− 2ν2

T

Si e cosı giunti alla determinazione del valore di f ∗ :

f ∗ =

√1− 2ν2

T(5.17)

Operando i limiti per T →∞ e per T → 0 e ora evidente quale sia, per ν

costante, il comportamento dello spettro della f.d.t. dell’oscillatore al variare

di T .

limT→∞

√1− 2ν2

T= 0

limT→0

√1− 2ν2

T= ∞

Ossia, tradotto in parole povere, una variazione positiva di T produce uno

spostamento verso l’origine di f ∗, che corrisponde ad una “compressione”

dello spettro verso l’origine, mentre per valori di T sempre piu piccoli lo

spettro “utile” di g(f) si allarga sempre di piu, quindi f ∗ si sposta verso

valori maggiori, come mostra la Figura 5.3.

Sostituendo a questo punto l’espressione trovata in 5.17 per f ∗ in quella di

g(f) in 5.15 e svolgendo i calcoli si puo ottenere un’espressione che permetta

di calcolare direttamente il valore assunto dalla funzione g(f) per f = f ∗

ottenendo:


−30 −20 −10 0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f

g(f)

(

T=

2 s

)

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

f

g(f)

(

T=

0.1

s )

Figura 5.3: Grafico del modulo della funzione di trasferimento dell’oscillatore smorzato SDOF, con

ν = 0.05 e T pari a 2 s nella figura di sx e 0.1 s in quella di dx; si noti lo spostamento dei valori di f in

cui la funzione raggiunge il massimo e la variazione di ampiezza assunta nel massimo stesso.

g∗ = g(f)|f=f∗ =T 2

8π2ν√

1− ν2(5.18)

Si puo allora impostare la disequazione in 5.16:

1

4π2

√(f 2 − 1

T 2

)2+

(2 ν

Tf)2

f=fc−f∗

≤ α · T 2

8π2ν√

1− ν2

Tralasciando momentaneamente la sostituzione f = fc−f ∗ per non appe-

santire la notazione, svolgendo gli opportuni passaggi algebrici si giunge alla

seguente equazione di quarto grado in T :

f 4T 4 + (4ν2 − 2)f 2T 2 + 1− 4ν2(1− ν2)

α2≥ 0 (5.19)


la quale questa volta presenta solo termini di grado positivo e quindi e

anch’essa facilmente risolvibile.

Si cerca la soluzione che da il valore massimo positivo e reale di T ,

tale soluzione, che indicheremo con Tcritico andra cercata tra quelle fornite

dall’equazione risolutiva della 5.19:

Tcritico = max

{1

fc − f ∗

√(1− 2ν2)± 2ν

α

√(α2 − 1)(ν2 − 1)

}(5.20)

Considerando che la soluzione del moto dell’oscillatore e riferita al caso

di sottosmorzamento, per cui ν ≤ 1 e che per limitare l’aliasing in frequenza

si impostera un α ≤ 1, la soluzione che da il valore maggiore di T reale e

positivo e quella con il segno positivo sotto radice nella 5.20; sostituendo ora

f = fc−f ∗, si giunge al valore minimo di periodo per cui si possa calcolare la

risposta dell’oscillatore mantenendo in f ∗ il rapporto α tra l’ampiezza della

replica in banda-base e quella adiacente centrata in fc :

Tcritico =

√(1− 2ν2) + 2ν

α

√(α2 − 1)(ν2 − 1) +

√1− 2ν2

fc

(5.21)

Questa condizione equivale di fatto a limitare l’aliasing in frequenza.

Nelle applicazioni usuali, dove lo spettro di risposta trova un impiego

qualitativo per cui non sono richieste risoluzioni elevate per i periodi natu-

rali, questa condizione comporta la perdita di pochi tra i primi punti dello

spettro14; la seguente Tabella 5.1 riporta alcuni esempi di Tcritico ottenuto

dalla condizione appena calcolata per diversi valori di ν.

14Nel seguito vedremo che in realta questi punti si possono parzialmente recuperare o sostituire.


fc α ν Tcritico

[Hz] [/] [/] [s]

200 1100

0.05 0.0216

200 1100

0.10 0.0278

200 1100

0.50 0.0502

200 11000

0.05 0.0552

200 11000

0.10 0.0757

200 11000

0.50 0.1507

Tabella 5.1: Esempi di valori di periodo minimo su cui calcolare la risposta dell’oscillatore nel dominio

della frequenza, utilizzando il coefficiente di contenimento dell’aliasing α.

5.2.3 Derivazione della risposta per bassi periodi

L’aliasing in frequenza rende impossibile il calcolo delle risposte per valori

piccoli (tendenti a zero) del periodo proprio dell’oscillatore, il che provoca la

“perdita” dei primi punti dello spettro di risposta.

Ipotizzando infatti di voler calcolare lo spettro di risposta su un’intervallo

di valori per il periodo da 0 s a 4 s, con una risoluzione di 0.01 s15, con una

fc pari a 200 Hz, un indice di smorzamento ν=0.05 ed impostando α=0.01,

come mostra la Tabella 5.1, il periodo critico sarebbe Tcritico=0.0216 s: in

questo caso sarebbe impossibile calcolare la risposta per i primi tre punti

dello spettro che sarebbero di fatto persi.

Viene da chiedersi se esista un modo di recuperare o sostituire questi

punti.

La risposta a questa domanda e sicuramente affermativa per il primo pun-

to dello spettro, ossia quello per T=0 s16; infatti, se consideriamo le relazioni

15E questa una situazione abbastanza comune.16Si noti che non necessariamente lo spettro di risposta copre un intervallo di periodi che va da 0 a


al Capitolo 2 che definiscono la pseudo-velocita e la pseudo-accelerazione,

e che portano alle equazioni 5.11, 5.13 e 5.14, si nota facilmente come, per

T=0, valga:

x(t)∣∣∣T=0

= 0

x(t)∣∣∣T=0

= 0

x(t)∣∣∣T=0

= p(t)

Evidentemente allora il punto per T=0 e nullo per lo spettro di risposta in

spostamento e in pseudo-velocita, mentre per quello in pseudo-accelerazione

corrisponde alla massima accelerazione impressa al supporto ossia al massimo

di p(t)17.

Per quanto riguarda i restanti punti per cui non si puo calcolare la rispos-

ta invece, questi possono ragionevolmente sostituiti tramite interpolazione

lineare tra il punto per T=0 s ed il primo punto utile calcolato.

I valori cosı ottenuti non sono certamente esatti, ma visto che la rispos-

ta massima avviene in corrispondenza a fenomeni di risonanza locale, per

oscillatori caratterizzati da periodo naturale cosı basso la risposta massima

sara contenuta poiche alla corrispondente frequenza di risonanza elevata il

contenuto spettrale del sisma e sempre piu basso, fino a divenire trascurabile.

Questo ragionamento e confermato dall’andamento degli spettri di rispos-

ta, che, a partire da T=0 s, salgono verso un picco che si attesta per valori

di periodo il cui inverso, la frequenza di risonanza dell’oscillatore corrispon-

4 s, per cui non e detto che il primo punto debba essere quello per T=0 s, ma in questo caso molto

probabilmente non si avrebbe la perdita di nessun punto.17Risultato a cui si poteva arrivare anche inuitivamente, in quanto un oscillatore con periodo naturale

nullo corrisponde alla massa fissa al supporto che qundi e soggetta ad uno spostamente relativo nullo per

qualsiasi accelerazione impressa al vincolo stesso, una velocita relativa nulla, e la stessa accelerazione con

cui viene eccitato il supporto.


dente, rientra nell’intervallo di frequenze per cui il sisma ha un contenuto

spettrale considerevole.

Equivalentemente si puo osservare (anche in Figura 5.3) come il picco g∗

della f.d.t. dell’oscillatore, per cui avviene la risonanza, si riduca sempre di

piu al diminuire di T18, dando luogo appunto a risposte sempre piu ridotte.

L’approccio di interpolazione risulta comunque accettabile solo se sono

persi pochi punti, per cui e bene valutare il risultato ottenuto in ogni caso.

5.2.4 Aliasing nel tempo

Cosı come l’elaborazione numerica ha richiesto una discretizzazione dei valori

temporali, la stessa discretizzazione e richiesta per le frequenze.

Il calcolo di trasformate ed antitrasformate avviene infatti come prece-

dentemente anticipato mediante algoritmi particolari (FFT ed IFFT ) che

operano su di un insieme finito di valori. E intuibile allora come un “cam-

pionamento delle frequenze” porti ai medesimi problemi di aliasing a cui si

e dovuto far fronte campionando nel tempo.

In questo caso dunque si dovra fare in modo che, nel tempo, si possa

evitare o quantomeno contenere entro prestabiliti limiti, la sovrapposizione

di repliche della risposta dell’oscillatore le quali si disporranno su multipli

interi di quello che potremmo indicare come periodo di campionamento in

frequenza, ossia l’inverso del passo di discretizzazione dell’asse delle frequenze.

Un ruolo cruciale assumera allora la scelta di tale passo di discretizzazione,

che indicheremo con fs; poiche le trasformate veloci di Fourier vengono cal-

colate nel solo intervallo di frequenze [0, fc]19, occorrera determinare un suf-

18Dalla equazione 5.18 infatti g∗ = g(f)|f=f∗ = T2

8π2ν√

1−ν2va come T 2 che tende a 0 per T → 0.

19Equivalente all’intervallo [− fc2

, fc2

]; la limitazione a tale intervallo e dovuta ancora al fatto che per

avere un calcolo effettuabile su di una macchina il numero di operazioni deve essere finito, da qui la

necessita di limitare l’intervallo di frequenze su cui effetture la trasformata, mentre la scelta dell’intervallo


ficiente numero di punti, n, su cui calcolare la trasformata stessa, secondo la

relazione:

fs =fc

nf

(5.22)

5.2.5 Condizione sul minimo numero di punti FFT

Riassumiamo la notazione finora adottata, dove si e indicato con ∆t il sup-

porto temporale della funzione del tempo, con Tc il passo di discretizzazione

del tempo e fc il suo inverso, la frequenza di campionamento nel tempo, con

nt in numero di punti della funzione nel tempo, con 2B il supporto in fre-

quenza della trasformata (ossia sia le frequenze positive che quelle negative,

supponendo che il segnale campionato sia reale e quindi a spettro simmet-

rico), con fs il passo di discretizzazione della frequenza e Ts il suo inverso,

periodo di campionamento in frequenza, ed infine con nf il numero di punti

su cui e discretizzata la frequenza.

Se ipotizziamo che il segnale nel tempo sia stato campionato in modo da

non avere aliasing in frequenza ammettiamo che sia rispettata la condizione

di Nyquist:

Tc ≤1

2B

che dalla discretizzazione nel tempo su nt punti equivale a:

∆t

nt

≤ 1

2B

(nt =

∆t

Tc

)(5.23)

Il campionamento delle frequenze richiede che, affinche non si abbia alias-

ing nel tempo, sia rispettata un’ equivalente alla condizione di Nyquist ma

stesso perviene dalla considerazione che essendo la funzione nel tempo campionata ad una determinata

fc (e non potrebbe essere altrimenti sempre per la necessita di una quantita finita di valori) anche il

suo spettro si ripetera, a causa del campionamento, a multipli di fc per cui tutta l’informazione utile e

contenuta in un qualsiasi intervallo contiguo di frequenze di larghezza fc. Per naturalezza e semplicita si

sceglie l’intervallo suddetto.


per la frequenza:

fs ≤1

∆t

la quale a sua volta, dalla discretizzazione in frequenza su nf punti, equivale

a:

2B

nf

≤ 1

∆t

(nf =

2B

fs

)(5.24)

Dal confronto delle equazioni 5.23 e 5.24 si puo giungere alla seguente disug-

uaglianza:

2B

nt

≤ 1

∆t≥ 2B

nf

⇒ nf ≥ nt

la quale chiarisce come un numero di punti su cui calcolare la FFT al-

meno pari a quello su cui e discretizzato il segnale nel tempo rispettando la

condizione di Nyquist sia sufficiente ad evitare anche l’aliasing in frequenza.

Nel nostro caso pero mentre abbiamo a disposizione la traccia dell’ac-

celerogramma, che e per appunto una funzione discreta e di durata finita

della quale conosciamo quindi il numero di punti, non abbiamo a disposizione

una risposta impulsiva campionata dell’oscillatore, bensı si sono sviluppati i

ragionamenti come se tutto fosse continuo e ci troviamo a far i conti con la

discretizzazione della frequenza nell’espressione 5.11.

Continuiamo allora a ragionare come se tutto fosse continuo.

Come appena detto l’equazione 5.11, che e la risposta in frequenza del-

l’oscillatore, corrisponde alla trasformata di Fourier della convoluzione 5.3;

come sappiamo il supporto della convoluzione lineare di due funzioni e pari

alla somma dei supporti delle singole funzioni, ma nel nostro caso mentre la

durata della traccia dell’accelerogramma p(t) e finita, quella della risposta

impulsiva dell’oscillatore h(t) non lo e20.

20Per non appesantire la notazione qui si fara riferimento alla risposta impulsiva dell’oscillatore h(t)


Ci troviamo quindi ancora di fronte all’impossibilita di evitare completa-

mente l’aliasing, dovendoci “accontentare” di contenerlo.

La stima tramite rapporto tra potenza utile e potenza del segnale distor-

to risulta nuovamente inutile poiche non fornisce una relazione generale per

determinare il numero minimo di punti su cui calcolare la FFT; procedendo

allora in maniera analoga a quanto fatto nel precedente paragrafo per con-

tenere l’aliasing in frequenza, si dovra questa volta fissare un parametro che

permetta di stabilire quando la risposta nel tempo dell’oscillatore puo ra-

gionevolmente considerarsi esaurita, ossia in pratica quando, fissato un rap-

porto ritenuto sufficiente allo scopo, il rapporto tra l’ampiezza della risposta

dell’oscillatore assunta all’istante t∗ e quella massima risulti inferiore ad esso.

Indichiamo allora con ∆p la durata in secondi dell’accelerogramma (che

e quindi la durata considerevole dell’evento sismico registrato), e con ∆h la

durata, sempre in secondi, della risposta impulsiva dell’oscillatore troncata

all’istante t∗; per quanto detto ∆p e nota, mentre ∆h e da cercarsi secondo

i ragionamenti appena fatti.

Considerando che la risposta impulsiva dell’oscillatore e, dalla causalita

del sistema, nulla ∀t < 0, e che sono noti il numero di punti dell’accelero-

gramma np e la sua frequenza di campionamento fc si ha allora che:

∆p = np · Tc =np

fc

(5.25)

∆h = t∗

e

∆t = ∆p + ∆h

e non a quella equivalente heq(t) effettivamente utilizzata nei calcoli precedenti, visto che il supporto

temporale e identico essendo le due grandezze legate dalla relazione heq(t) = −m · h(t).


Allora l’istante t∗ va cercato come quell’istante per cui:∣∣∣h(t)∣∣∣t=t∗

∣∣∣ ≤ β · |hmax(t)| (5.26)

dove β e il parametro di controllo accennato in precedenza che stabilisce

quando il rapporto tra h(t∗) ed hmax(t) possa essere considerato trascurabile

e dunque la risposta impulsiva dell’oscillatore esaurita.

Si noti che la relazione appena scritta ha senso in quanto la risposta im-

pulsiva dell’oscillatore e maggiorata da una funzione monotona strettamente

decrescente:

|h(t)| =∣∣∣∣ 1

ωD

sin(ωDt) · e−νωt

∣∣∣∣ ≤ e−νωt

ωD

∀t (5.27)

la quale, tenendo di nuovo conto delle causalita, porta a stabilire che:

|hmax(t)| ≤(

e−νωt

ωD

) ∣∣∣t=0

=1

ωD

Dunque la condizione in 5.26 si traduce nella seguente:

e−νωt∗

ωD

≤ β

ωD

Svolgendo i calcoli si perviene al valore di t∗:

t∗ = − ln(β)

νω

quindi dalle relazioni in 5.22 e 5.25 alla disuguaglianza:

fs =fc

n≤ 1

∆t=

1np

fc− ln(β)

νω

da cui il numero minimo di punti su cui calcolare la FFT, che indicheremo

come nmin:

nmin = np −ln(β)Tfc

2πν(5.28)


0 2 4 6 8 10 12−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

t

h(t)

Figura 5.4: Maggiorazione della risposta impulsiva dell’oscillatore smorzato da un esponenziale

decrescente, come espresso nell’equazione 5.27.

Per motivi legati all’aritmetica usata dal calcolatore, si preferisce che il

numero di punti su cui si effettuano le trasformate veloci sia una potenza di

2, cosicche la relazione 5.28 si modifica come segue:

nmin = min{2n} : 2n ≥ np −ln(β)Tfc

2πν

La Tabella 5.2 mostra alcuni esempi di numero minimo di punti per la

FFT per alcuni valori di periodo proprio, indice di smorzamento e parametro

β, per frequenza di campionamento nel tempo e numero di punti dell’ac-

celerogramma fissati a fc=200 Hz ed np=2600 punti rispettivamente.


5.2.6 Estensione alle altre grandezze spettrali

I ragionamenti svolti in questo paragrafo per studiare e prevenire gli effetti

dell’aliasing, sia nel tempo che in frequenza, si sono basati sull’equazione

5.12.

Dalle equazioni 5.13 e 5.14 si puo facilmente dedurre una funzione di

trasferimento equivalente in maniera analoga a quanto fatto per il calcolo

della risposta in spostamento:

HSveq =1

2π(Tf 2 − 1

T− j2νf

)e

HSaeq =1

T 2f 2 − 1− j2νTf

Ovviamente i moduli di queste funzioni sono ben diversi, ed in generale

notevolmente piu ampi, rispetto a quello della fdt equivalente per il calcolo

della risposta in spostamento, quindi viene da pensare che tutti i ragiona-

menti finora esposti non siano direttamente applicabili anche al calcolo delle

altre grandezze spettrali.

Tuttavia, se ricordiamo che queste ultime due relazioni sono state ricavate

dalla 5.12 semplicemente moltiplicando per una costante21, ripercorrendo i

calcoli svolti per arrivare alle condizioni sul minimo periodo e sul minimo

numero di punti per il calcolo della FFT, ci accorgiamo che questi vincoli

sono direttamente validi anche per il calcolo degli spettri in pseudo-velocita

e pseudo-accelerazione.

21Per definizione di pseudo-velocita e pseudo-accelerazione, date al Capitolo 2.


5.3 Un confronto tra tempo e frequenza

Da quanto emerso in questo Capitolo puo sembrare che il calcolo degli spettri

di risposta nel dominio della frequenza sia un’operazione alquanto macchi-

nosa ed imprecisa in confronto al calcolo nel dominio del tempo.

Sicuramente la complessita dell’analisi in frequenza a livello concettuale

non e indifferente: in questa trattazione si sono chiamati in causa settori

molto vasti di Ingegneria e Matematica, a partire dalla teoria di Fourier,

per passare dalle distribuzioni di Dirac, fino al campionamento di Shannon

e Nyquist; per l’approccio nel tempo invece in pratica e sufficiente saper

risolvere un’equazione differenziale.

Senza analizzare gli effetti dovuti alla precisione macchina finita osservia-

mo che l’analisi in frequenza comporta la presenza inevitabile di una com-

ponente di disturbo sull’uscita, dovuta all’aliasing. Questo fenomeno puo

essere in ogni modo contenuto entro un limite arbitratio accettando, come si

e visto, di aumentare la complessita delle trasformate numeriche utilizzate,

o sacrificando un numero maggiore di punti dell’uscita.

Questo secondo inconveniente non manca neppure nell’elaborazione nel

dominio del tempo, dove e l’overflow sui bit con cui si rappresentano le cifre

dell’elaborazione ad impedire il calcolo della risposta per valori di periodo

piccoli22.

Insomma, un bilancio qualitativo tra i due metodi sembra nettamente a

favore del calcolo nel dominio del tempo; tuttavia, come abbiamo gia dis-

cusso, l’implementazione a livello numerico rende evidenti i vantaggi del cal-

colo nel dominio della frequenza, in quanto trasforma le operazioni integro-

differenziali in moltiplicazioni che possono essere svolte con elevata semplicita

22Si veda in proposito il Capitolo 4.


a livello macchina23.

A titolo di esempio si puo confrontare il tempo necessario all’elaborazione

di un set completo di spettri (ossia spostamento, pseudo-velocita e pseudo-

accelerazione) nel dominio del tempo e in quello della frequenza, sullo stesso

intervallo di periodi e con la stessa forzante.

Utilizzanto la traccia N-S della registrazione RA01134, ed un intervallo di

periodi compreso tra 0.3 s e 4 s con precisione di 0.01 s, l’elaborazione degli

spettri su di una macchina libera richiede mediamente 140 s nel dominio del

tempo e 50 s in quello della frequenza.

Benche questi risultati siano legati all’architettura del calcolatore usato

e siano comunque leggermente variabili24, il rapporto tra i due evidenzia

nettamente il vantaggio di lavorare nel dominio della frequenza.

23Mentre operazioni di inegrazione e derivazione richiedono l’uso di particolari (e laboriosi) algoritmi

per poter essere effettuate a livello numerico.24L’elaborazione e in ogni caso avvenuta senza concorrenza con altri programmi.


β ν T nmin

[/] [/] [s] [/]

1100

0.05 0.8 8192

1100

0.05 2.0 16384

1100

0.05 5.0 32768

1100

0.10 0.8 4096

1100

0.10 2.0 8192

1100

0.10 5.0 16384

1100

0.50 0.8 4096

1100

0.50 2.0 4096

1100

0.50 5.0 4096

11000

0.05 0.8 8192

11000

0.05 2.0 16384

11000

0.05 5.0 32768

11000

0.10 0.8 8192

11000

0.10 2.0 8192

11000

0.10 5.0 16384

11000

0.50 0.8 4096

11000

0.50 2.0 4096

11000

0.50 5.0 8192

Tabella 5.2: Esempi di valori di numero minimo di punti su cui calcolare la FFT per contenere l’aliasing

nel tempo, utilizzando il coefficiente di contenimento β.

Capitolo 6

Un’esempio di applicazione:

spettri di dati deconvoluti

In questo capitolo verra illustrato un esempio di applicazione delle funzioni

per il calcolo degli spettri di risposta; in particolare, si effettuera un confronto

tra gli spettri calcolati su di una traccia non deconvoluta con quelli calcolati

invece sulla stessa traccia deconvoluta.1

6.1 I dati deconvoluti

Al paragrafo 1.3.4 del Capitolo 1 si e accennato ad una tecnica, introdotta in

tempi relativamente recenti, atta a “ripulire” il segnale sismico dai principali

disturbi che generalmente vi sono sovrapposti: la deconvoluzione.

Nel nostro caso, con riferimento al lavoro svolto da alcuni colleghi presso

il nostro laboratorio, e stata utilizzata la stessa registrazione a cui si e finora

fatto riferimento, la RA01134, confrontandone la traccia Nord-Sud originale

e la stessa deconvoluta.

1Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [1] e [2] in Bibliografia.

Capitolo 6. Un’esempio di applicazione: spettri di dati deconvoluti 77

Il tipo di deconvoluzione applicato e atto ad eliminare la distorsione, ed

in particolare l’attenuazione, introdotta dallo strumento sismico.

Senza scendere nei dettagli di come e stata realizzata questa operazione,

per la trattazione della quale si rimanda a [2], ci limitiamo a ricordare che la

tecnica si basa, come accenna il nome stesso, sul filtraggio del segnale tramite

un filtro con risposta inversa rispetto al sistema con il quale si e modellizzato

il disturbo da eliminare.

Benche il concetto possa apparire intuitivamente semplice la messa in

atto di un simile filtraggio e tutt’altro che banale e richiede, in generale, la

conoscenza e l’applicazione di numerose tecniche di elaborazione numerica

dei segnali; basti pensare ad esempio che la stabilita del sistema inverso di

quello con cui si sara modellizzato il disturbo in questione (che dev’essere

necessariamente stabile) non e automatica.

Ed e principalmente a causa di queste complicazioni che la deconvoluzione

e una tecnica che ha trovato una diffusa applicazione soltanto negli ultimi

decenni: e infatti impossibilie realizzare un filtro analogico instabile con il

quale deconvolvere una registrazione accelerometrica per cui soltanto facendo

affidamento alle tecniche di elaborazione numerica sulle traccie digitalizzate

si possono mettere in pratica i concetti della deconvoluzione.

6.1.1 Risultato dell’elaborazione e confronto

Utilizzando le funzioni per Matlab realizzate come descritto al Capitolo 5 si

sono quindi processate la traccia originale e quella deconvoluta, per calcolare

gli spettri di risposta in spostamento, pseudo-velocita ed accelerazione.

Tutti gli spettri in questione sono stati calcolati su di un intervallo di

periodi naturali da 0s a 4s, con coefficiente di smorzamento pari a 0.05 e

parametri di limitazione dell’aliasing α = 0.01 e β = 0.01.


Le Figure 6.1, 6.2 e 6.3 mostrano il plotting sovrapposto degli spettri

calcolati sulla traccia originale, in verde, e su quella deconvoluta, in rosso.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


Ris

post

a in

spo

stam

ento

[cm

]

Figura 6.1: Confronto tra lo spettro di risposta in spostamento calcolato sulla traccia Nord-Sud della

registrazione RA01134 originale (verde) e quello calcolato sulla traccia deconvoluta (rosso).

Il confronto tra gli spettri calcolati sulla traccia originale e su quella

deconvoluta mette in evidenza come la risposta dello strumento si ripercuota

sullo spettro con un effetto attenuativo, in particolare per i valori di periodo

naturale di oscillazione centrali all’intervallo scelto, che poi risultano essere

i piu importanti ai fini della progettazione di edifici in zona sismica poiche

sono quelli associati ai materiali edilizi piu comuni come il cemento armato

o il calcestruzzo.

La deconvoluzione si presenta dunque come una tecnica di trattamento

dei dati indispensabile ai fini della sicurezza e dello studio degli eventi sismici.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40


Ris

post

a in

pse

udo−

velo

citÃ

[c

m/s

]

Figura 6.2: Confronto tra lo spettro di risposta in pseudo-velocita calcolato sulla traccia Nord-Sud

della registrazione RA01134 originale (verde) e quello calcolato sulla traccia deconvoluta (rosso).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

−3


Ris

post

a in

pse

udo−

acce

lera

zion

e no

rmal

izza

ta a

g [

/]

Figura 6.3: Confronto tra lo spettro di risposta in pseudo-accelerazione calcolato sulla traccia Nord-

Sud della registrazione RA01134 originale (verde) e quello calcolato sulla traccia deconvoluta (rosso). Gli

spettri sono normalizzati rispetto a g = 981cm/s2.

Capitolo 7

SpectCalc

SpectCalc e l’intrfaccia grafica che permette un’utilizzo semplice ed intuitivo

delle funzioni sviluppate per il calcolo dei vari tipi di spettro di risposta.1.

Tramite l’utilizzo di SpectCalc non e necessaria infatti alcuna conoscenza

dell’ambiente di lavoro Matlab, e le operazioni di calcolo, plotting e salvatag-

gio dati dati possono essere impostate visivamente interagendo con elementi

comuni come menu a tendina, pulsanti e caselle di spunta.

7.1 Installazione

Per avere a disposizione il programma SpectCalc e necessario copiare la

cartella che ne contiene i files in una posizione nota ed aggiungerla al path

di ricerca di Matlab2 utilizzando l’opzione Add with subfolders.

Una volta salvato il nuovo path di ricerca, il programma SpectCalc e

pronto all’uso.

1Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [12].2Dal menu File → Set Path.

Capitolo 7. SpectCalc 81

7.1.1 Contenuto della cartella di installazione

La cartella che contiene i files del programma SpectCalc ha al suo interno

un file di testo, denominato README, nel quale sono illustrate le istruzioni

per l’installazione e un’introduzione alle varie sezioni dell’interfaccia grafica,

basata sugli help delle stesse.

Vi e inoltre una cartella, denominata data script, che contiene gli script

di acquisizione dati dell’utente3.

7.2 Panoramica delle sezioni del programma

Lanciando il comando spectcalc dalla riga di comando di Matlab, si apre la

finestra principale del programma, mostrata in Figura 7.1.

Figura 7.1: Finestra principale del programma SpectCalc.

3Nelle prossime pagine si spieghera la funzione di tale script, illustrando quello realizzato per gli

accelerogrammi utilizzati durante questo lavoro.


Tale finestra e divisa in 8 sezioni che raggruppano in maniera logica le

impostazioni del programma.

• La sezione Data In contiene due finestre che mostrano rispettivamente

la lista delle variabili presenti sul workspace di Matlab (finestra di

sinistra) e la lista di file e variabili che si intende elaborare (finestra

di destra). I pulsanti presenti nella sezione permettono di interagire

con le liste appena mensionate, mentre dal pulsante Script si puo se-

lezionare uno script di acquisizione dati nel caso in cui si inenda pro-

cessare dei file. Infine dal campo Sample Rate si imposta la frequenza

di campionamento dei dati da elaborare.

• La sezione Data Out permette di selezionare il tipo di output del pro-

gramma. Spuntando le caselle in questa sezione si puo scegliere se

salvare il workspace prodotto dall’elaborazione ed i dati elaborati sot-

to forma di file di testo; il pulsante Save To permette di scegliere la

destinazione dei file.

• Dalla sezione Periods & Accuracy si imposta l’intervallo di valori su cui

si intendono calcolare gli spettri di risposta e l’accuratezza di questo.

• La sezione Damping Factor serve per settare il coefficiente di smorza-

mento dell’oscillatore armonico con cui calcolare gli spettri.

• Nella sezione Aliasing Containment si impostano i coefficienti α e β

per il contenimento dell’aliasing nel tempo e nella frequenza, in base a

quanto discusso nel Capitolo 5.

• La sezione Tracks permette di selezionare le tracce da elaborare.

• Dalla sezione Spectrum Type si scelgono i tipi di spettro che si desidera

calcolare.


• La sezione Outcomes & Plotting permette di scegliere se calcolare anche

gli spettri medi e/o di inviluppo, decidendo quali di questi plottare ed

in che modo. Si puo inoltre impostare il programma per interpolare

linearmente i punti degli spettri non calcolabili.

7.3 Utilizzo del programma

Come detto, all’avvio del programma si presenta la finestra di Figura 7.1,

nella quale il pulsante di calcolo (in basso) e disabilitato.

7.3.1 Item list e formato dati in ingresso

L’elaborazione puo avvenire sia su dati gia acquisiti ed importati sul workspace

di Matlab sotto forma di variabili4, cosı come, nel caso piu generico, proces-

sando i file di testo ottenuti direttamente dallo strumento sismico.

SpectCalc permette di processare contemporaneamente sia variabili del

workspace che file provenienti dagli strumenti.

Le prime possono essere aggiunte alla lista di elementi da elaborare, con-

trassegnata dal nome Item List, mediante selezione sulla finestra sinistra della

sezione Data In e con l’uso del pulsante Add Var, i file possono invece essere

aggiunti in lista tramite il pulsante Add File, che permette la selezione grafica

tramite un file-browser.

E bene aprire una parentesi riguardo alla creazione della lista di elementi

da elaborare: il programma esegue una serie di controlli sull’effettiva presenza

delle variabili selezionate sul workspace, eventualmente annullando l’opera-

zione di aggiunta nel caso in cui siano avvenute delle modifiche su queste

4Ad esempio da fogli elettronici, o file di testo, utilizzando il tool uiimport, ma anche passati in un

file .mat .


dall’ultimo refresh effettuato5, ma non puo essere effettuato alcun controllo

sulla coerenza dei dati contenuti nelle variabili stesse.

Deve essere quindi l’utente ad assicurarsi che i dati in input al programma

siano corretti.

Il formato standard dei dati che il programma puo elaborare e quello

di matrice costituita da 4 colonne: la prima deve contenere la marcatura

temporale della registrazione, la seconda la traccia Nord-Sud, la terza la

traccia Est-Ovest ed infine la quarta la traccia Z o verticale.

I dati devono inoltre essere in un formato numerico valido (tipicamente

double), mentre non vi e in teoria un limite alla lunghezza della registrazione.

Se per qualche motivo non fossero presenti una o piu tracce di una data

registrazione e previsto che la colonna corrispondente sia rimpiazzata da una

colonna di Nan6.

Ogni variazione dal formato standard appena descritto puo provocare la

terminazione improvvisa dell’elaborazione da parte del programma o com-

promettere il risultato, rendendo del tutto imprevedibili (ed inaffidabili) gli

spettri ottenuti.

Si consiglia pertanto di accertarsi, prima dell’elaborazione, della corret-

tezza delle variabili che si intende aggiungere alla Item List.

Per quanto riguarda l’aggiunta di file invece, questa richiede che venga in-

dicato al programma anche uno script di acquisizione: appena si aggiunge un

file alla Item List infatti viene automaticamente abilitato il pulsante Script, in

basso alla sezione Data In; premendo questo pulsante si apre un file-browser

dal quale e possibile scegliere lo script adatto al formato dei file di cui si

5Si possono infatti utilizzare in maniera dinamica workspace e programma importando dati in nuove

variabili anche durante l’esecuzione del programma stesso, ottenendo disponibili queste ultime con il

semplice aggiornamento della lista variabili sul programma dal pulsante Refresh.6Acronimo di Not A Number, utilizzato nel linguaggio Matlab per indicare un campo numerico vuoto.


dispone.

7.3.2 Lo script di acquisizione dati

Uno script di acquisizione dati e una funzione scritta in linguaggio Matlab

che permette di estrarre i dati relativi ad una registrazione accelerometrica

da un file di testo non formattato proveniente da uno strumento sismico7.

Nella sezione 1.3.2 del Capitolo 1 si e descritto in maniera generale il

formato di uno di questi file, portando come esempio l’intestazione di una

delle tracce contenute in uno dei file a disposizione per lo svolgimento di

questo lavoro; purtroppo pero non esiste uno standard preciso ed unico per

tali registrazioni e ciascun tipo di strumento adotta un formato proprio di

organizzazione dei dati e delle informazioni aggiuntive.

In generale infatti un file contenente una registrazione sismica riporta

una o piu tracce relative a quel determinato evento ed una o piu intestazioni

contenenti informazioni aggiuntive quali la durata della registrazione in punti,

la frequenza di campionamento, l’ordine delle tracce all’interno del file o

l’indicatore della traccia seguente l’intestazione.

L’esempio riportato al Capitolo 1 mostra la disposizione di tali infor-

mazioni per un file proveniente dalla Rete Sismica dell’ENEL ma altri stru-

menti avranno in generale un modo diverso di organizzare questi ed altri

campi informativi.

Per l’elaborazione dei dati contenuti in questi file e necessario estrarre

i soli valori numerici dei campioni riportandoli in una matrice organizzata

come descritto al paragrafo precedente; nasce quindi il problema di avere uno

7In tal senso l’appellativo di script e scorretto in quanto la funzione fornisce come output la matrice

contenente i campioni della registrazione, tuttavia la funzione adibita all’estrazione dati da un file verra

indicata, per semplicita, come script acquisizione dati nel resto del Capitolo.


strumento che permetta l’estrazione automatica dei dati da una moltitudine

di file dello stesso tipo.

I tool di importazione dati di Matlab permettono di importare dati da

fogli elettronici o file di testo che contengono solo valori numerici o, al

piu, un’intestazione, rendendo quindi impossibile l’acquisizione da file che

alternano intestazioni a registrazioni delle varie tracce.

E dunque necessario che, per ogni tipo di registrazione, l’utente, conoscen-

do la struttura organizzativa dei file stessi, scriva una breve funzione per

espletare l’acquisizione dei dati8.

La scrittura di una funzione di questo tipo e in generale basata su pochi

comandi come fid e fclose per aprire e chiudere i file, textscan, textread, fget,

fgetl e strread per leggere le porzioni delle righe che interessano, str2double

per convertire tali stringhe in valori numerici.

Una volta individuata la struttura del file risulta quindi abbastanza sem-

plice scansionare ciclicamente le varie parti di questo, spostandosi di volta in

volta alle righe che permettono di riconoscere la durata ed il tipo di traccia

e, successivamente, leggere e salvare i valori dei campioni.

In generale quindi uno script di acquisizione deve essere una funzione

per Matlab (ossia un M-file), che riceva in ingresso una stringa che speci-

fichi il nome del file contenente la registrazione (ed eventualmente il path

assoluto scritto secondo lo standard di Matlab). L’output dello script deve

invece essere la matrice contenente la marcatura temporale ed i valori delle

registrazioni di cui discusso al paragrafo precedente.

Gli script di acquisizione devono avere inoltre un nome univocamente

riconoscibile da Matlab9, e possono essere collocati in una qualunque cartella

8E sufficiente leggere uno di questi tramite un editor di testo; generalmente viene inoltre fornito un

file di testo aggiuntivo che riportal’ordine ed il significato dei campi dell’intestazione.9Si deve cioe evitare di assegnare alla funzione lo stesso nome di una di quelle gia presenti nel path di


del proprio computer, a patto che questa sia inclusa nel path di ricerca.

Se non si ha dimestichezza con le operazioni descritte e sufficiente collo-

care lo script di acquisizione nella cartella data script contenuta nella cartella

di installazione del programma SpectCalc, la quale verra automaticamente

aggiunta al path di ricerca all’esecuzione del programma stesso, rendendo

disponibile lo script.

Infine, nella distribuzione originale del programma e presente lo script di

acquisizione gia mensionato, realizzato per files provenienti dalla Rete Sismi-

ca dell’ENEL, del quale di seguito e riportato il listato che puo essere anche

usato come base realizzare nuovi script applicando poche modifiche.

1 function [data] = getdatafromfile(file)

2 %help omesso ...

3

4 %apre il file e verifica la corretta apertura segnalando un eventuale

5 %errore con conseguente terminazione della funzione

6

7 id=fopen(char(file ));

8 if id <0

9 error(’Access to file was not possible .’);

10 end

11 disp(sprintf(’\nReading tracks from file: %s ...\n’,file)) ;

12

13 %esegue la lettura dalla prima intestazione del numero di punti da cui ~A¨

14 %composta la regitrazione.

15

16 for z=1:27

17 fgetl(id);

18 end

19 pointsline=fgetl(id) ;

20 pf=length(pointsline );

21 pi=pf;

22 while ~isspace(pointsline(pi))

23 pi=pi -1;

Matlab, o comunque settare l’ordine di ricerca del path stesso in modo da scegliere la funzione corretta.


24 end

25 points=str2double(pointsline(pi+1:pf));

26

27 %prepara la matrice di NaN che conterr~A le tracce e un vettore di appoggio

28

29 data=nan(points ,4);

30 temp=nan(points ,1);

31

32 %scansiona il file alla ricerca delle 3 tracce

33

34 fclose(id);

35 id=fopen(char(file ));

36

37 for y=1:3

38

39 %salta le prime 20 righe di ciascuna intestazione

40

41 for z=1:20

42 row=fgetl(id);

43 end

44

45 if row ~=( -1)

46

47 %memorizza la riga 21 che contiene nei caratteri 9 e 10 l’indicazione

48 %della traccia che segue l’intestazione. In questo standard:

49 %NS o SN = traccia nord -sud ,

50 %WE o EW = traccia est -ovest ,

51 %DU o UD = traccia z.

52

53 trackline=fgetl(id);

54 track=trackline (9:10);

55

56 %salta le ultime 9 righe dell ’intestazione

57

58 for z=1:9

59 fgetl(id);

60 end

61

62 %estrae la traccia trovata

63

64 for z=1: points


65 row=fgetl(id);

66 if row ~=( -1)

67 [data(z,1),temp(z,1)]= strread(row);

68 end

69 end

70

71 %registra la traccia trovata nella corretta posizione

72

73 switch track

74 case ’NS’

75 disp(sprintf(’North -South track found .’));

76 data (:,2)= temp;

77 case ’SN’

78 disp(sprintf(’North -South track found .’));


80 case ’WE’

81 disp(sprintf(’East -West track found .’));


83 case ’EW’

84 disp(sprintf(’East -West track found .’));


86 case ’DU’

87 disp(sprintf(’Z track found .’));


89 case ’UD’

90 disp(sprintf(’Z track found .’));


92 otherwise

93 disp(sprintf(’\nInternal error , please contact the author .’));

94 end

95 end

96 end

97

98 %chiusura del file letto

99

100 fclose(id);

101 disp(sprintf(’\nReading completed !’));


7.3.3 Tracce, tipi di spettro ed altri parametri

Una volta selezionati i file e/o le variabili da elaborare con la rispettiva

frequenza di campionamento e necessario settare i parametri su cui calcolare

gli spettri desiderati.

Dalla sezione Periods & Accuracy si imposta l’intervallo di valori a l’accu-

ratezza con cui verranno calcolati gli spettri; nella sezione Damping Factor si

imposta il coefficiente di smorzamento dell’oscillatore, mentre nella sezione

Aliasing Containment si impostano i parametri α e β per il contenimento

dell’aliasing in frequenza e nel tempo.

Si noti che il programma verifica automaticamente la validita dei valo-

ri inseriti, eventualmente restituendo un messaggio di errore ed annullando

l’inserimento10.

E necessario infine selezionare almeno una traccia da elaborare nella

sezione Tracks ed almeno un tipo di spettro dalla sezione Spectrum Type.

A questo punto il pulsante di calcolo si abilita, come mostrato in Figura

7.2 ed e possibile procedere al calcolo degli spettri selezionati.

7.3.4 Spettri medi, di inviluppo e plotting dati

Dalla sezione Outcomes & Plotting e possibile impostare il programma per

calcolare anche spettri medi e di inviluppo, i quali verranno calcolati su tutti

gli elementi elaborati, distinguendo tipo di spettro e traccia.

Inoltre si puo scegliere se far interpolare o meno al programma i punti

degli spettri che risultano non calcolabili per motivi di aliasing; una eventuale

interpolazione sara effettuata linearmente dal primo punto calcolato verso

10Ad esempio se si tentasse di inserire un valore negativo per il coefficiente di smorzamento.


Figura 7.2: Finestra principale del programma SpectCalc con il pulsante di calcolo abilitato.

il punto a periodo nullo11, altrimenti i punti incalcolabili verranno lasciati

contrassegnati come NaN nella corrispondente matrice di uscita.

Con le impostazioni descritte il programma esegue l’elaborazione dei file

e delle variabili selezionate producendo in uscita delle matrici la cui struttura

verra descritta al paragrafo successivo.

Se si desidera avere anche un output grafico e possibile spuntare le caselle

contrassegnate dall’etichetta plot a fianco di ogni tipologia di spettro calco-

lato nella sezione Outcomes & Plotting.

La scelta del plottaggio abilita automaticamente un menu a tendina dal

quale si puo scegliere tra varie modalita di stampa.

Descriviamo brevemente le tipologie di plotting possibili per i vari spettri

di risposta:

11Perche il valore corrispondente puo essere dedotto senza calcolare la risposta. Si veda in proposito la

sezione 4.1.1 del Capitolo 4.


• Single separately : e disponibile sia per gli spettri delle singole tracce

che per quelli medi e di inviluppo; con questa opzione verra graficato in

una nuova finestra ciascun tipo di spettro calcolato per ciascuna traccia

selezionata di ciascun file/variabile elaborato.

In questo modo si ottiene sicuramente la massima visibilita per il sin-

golo spettro ma il numero di finestre risultante puo divenire molto

elevato12 e non si ha alcun metodo di confronto con gli altri spettri: e

consigliabile dunque scegliere questa impostazione per visualizzare uno

(o coumunque pochi) spettri.

• Group tracks : l’opzione, che e disponibile solo per gli spettri calcolati

sulle singole tracce, raggruppa per cascun file/variabile elaborato tutte

le tracce che si e scelto di processare dalla sezione Tracks.

Ovviamente se si e selezionata una sola traccia questo tipo di plotting

equivale all’opzione single separately, altrimenti ciascuna finestra con-

terra 2 o 3 grafici riportanti, per ciascun tipo di spettro, lo spettro di

risposta calcolato su tutte le tracce di quel file/variabile.

• Group types : analogamente all’opzione group tracks, questo tipo di

plotting raggruppa in una singola finestra tutti i tipi di spettro calcolati

per ciascuna traccia di ciascun file/variabile processata.

In questo caso il risultato sara equivalente all’opzione single separately

se si e scelto di calcolare un solo tipo di spettro dalla sezione Spectrum

Type. Questa opzione e disponibile sia per gli spettri delle singole tracce

che per quelli medi e di inviluppo.

• Overlap tracks : nel caso di plotting degli spettri delle singole tracce puo

12Ad esempio elaborando 3 file e selezionando tutte le tracce e tutti e 3 i tipi di spettro (spostamento,

pseudo-velocita e pseudo-accelerazione) si avrebbero plottati 27 diversi spettri di risposta in altrettante

finestre separate.


essere utile confrontare, per ciascun elemento elaborato, le componenti

(tracce) che si e scelto di processare13.

Questa opzione dunque sovrappone le tracce selezionate dalla sezione

Tracks in una nuova finestra per ciascun tipo di spettro di ciascun

file/variabile processato (anche in questo caso se ne e stata selezionata

una soltanto il plotting risultante sara equivalente a quello dell’opzione

single separately).

• Overlap with tracks : da non confondere con la precedente, questa

opzione e disponibile solo per gli spettri medi e di inviluppo e grafi-

ca, per ciascun tipo di spettro di ciascuna traccia, lo spettro medio o

di inviluppo con sovrapposti gli spettri delle tracce omogenee14 da cui

questo e stato calcolato, provenienti da ciascun file/variabile processato.

La Figura 7.3 mostra due esempi di plotting di spettri medi e di inviluppo

sovrapposti con le tracce che li hanno generati.

13Ad esempio per individuare la componente che porta sollecitazioni piu significative per un determinato

accadimento sismico.14Cioe dello stesso tipo, poiche non avrebbe senso calcolare spettri medi o di inviluppo mescolando

componenti diverse di varie registrazioni.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

MEDIUM SPECTRUMTrack: EAST−WEST − Spectrum type: SHIFT

Period value [sec]

Res

pons

e [

cm]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

ENVELOPE SPECTRUMTrack: EAST−WEST − Spectrum type: SHIFT

Period value [sec]

Res

pons

e [

cm]

Figura 7.3: Uno spettro medio ed uno di inviluppo plottati con l’opzione overlap with tracks (la legenda

che riporta la corrispondenza colori-registrazioni e stata omessa).


7.3.5 Selezione dell’output desiderato

Come si e accennato al paragrafo precedente, il calcolo degli spettri di risposta

selezionati, con le opzioni impostate, produce una o piu matrici contenen-

ti tutti i singoli spettri organizzati in una maniera che potremmo definire

gerarchica.

Si supponga infatti di aver processato l file/variabili, e di ciascuno di

questi aver calcolato m tipi di spettro (con m che puo valere 1, 2 o 3) su n

tracce (con n che puo valere 1, 2 o 3).

Allora, al termine dell’elaborazione, si avra sul workspace una matrice

denominata spects composta da l ·m · n + 1 colonne di cui:

• la prima colonna e il vettore dei periodi;

• le successive colonne a gruppi di m ·n sono gli spettri relativi a ciascun

file/variabile elaborato;

• le colonne relative a ciascun file/variabile sono organizzate in n gruppi

di m: ciascuno di questi e relativo ad una traccia, e le tracce sono

ordinate secondo la sequenza Nord-Sud, Est-Ovest, Z;

• le m colonne relative a ciascuna traccia riportano i tipi di spettro cal-

colati su di essa ed ordinati in spostamento, pseudo-velocita, pseudo-

accelerazione.

Lo schema di Figura 7.4 chiarisce sicuramente le cose.

Se si e scelto di calcolare anche gli spettri medi e di inviluppo allora

il programma salvera sul workspace altre 2 matrici, denominate rispettiva-

mente medium ed envelope, organizzate in maniera analoga a quanto appena

descritto per la matrice spects.


Vett

ore

Peri

od

i

File 1 File 2

Traccia Nord-Sud Traccia Est-Ovest Traccia Z Traccia Nord-Sud ...

...Spettro in spostamento

Spettro in pseudo-velocità

Spettro in pseudo-

accelerazione

Spettro in spostamento


Spettro in pseudo-

accelerazione



Spettro in pseudo-

accelerazione



Spettro in pseudo-

accelerazione

Figura 7.4: Organizzazione della matrice spects prodotta dal programma.

In ogni caso sul workspace verra salvata anche una variabile di LOG, con-

tenente un resoconto di informazioni relative all’elaborazione ed una sorta di

legenda che riporta, colonna per colonna, il contenuto delle matrici prodotte.

Infine, dalla sezione Data Out, e possibile scegliere di salvare il workspace

e le matrici prodotte dall’elaborazione sotto forma di file di testo; selezionan-

do una o entrambi queste possibilita verra abilitato il pulsante Save To dal

quale scegliere la destinazione per il salvataggio di tali files.

7.3.6 Help di sezione

Per le sezioni principali del programma e previsto un help che puo essere letto

in un pop-up premendo il pulsante contrassegnato dal punto interrogativo in

alto a destra della sezione stessa.

Tutti gli help sono inoltre raccolti nel file README presente nella cartella

di installazione; la Figura 7.5 mostra a titolo di esempio l’help relativo allo

script di acquisizione.


Figura 7.5: Help relativo allo script di acquisizione dati del programma SpectCalc.

7.4 Note

L’interfaccia SpectCalc si presenta come uno strumento semplificativo per

l’uso delle funzioni di calcolo degli spettri di risposta ma soprattutto per il

plotting di essi.

Resta tuttavia aperta la possibilita di usare direttamente da riga di co-

mando le funzioni di calcolo sviluppate secondo i ragionamenti discussi al

Capitolo 5, senza l’uso di alcuna interfaccia grafica.

Tra le principali di queste ricordiamo shift spectrum, pseudovel spectrum

e pseudoacc spectrum per il calcolo dei rispettivi 3 tipi di spettro di risposta

singolarmente, e response spectrums per il calcolo di tutti e 3 in un unica

volta.

Tutte le funzioni sviluppate per il calcolo degli spettri sulle singole regis-


trazioni sono rilasicate nella cartella spectral functions dell’installazione del

programma SpectCalc, e saranno automaticamente disponibili con esso.

Si noti che le funzioni menzionate richiedono in ingresso gli stessi parametri

che e necesario impostare dall’interfaccia grafica, piu la traccia (gia acquisita)

sulla quale calcolare lo spettro15.

Inoltre, di default, vengono eseguiti i controlli necessari sui parametri e

l’interpolazione lineare dei punti non calcolabili: sono disponibili funzioni

equivalenti che non ffettuano l’interpolazione, identificate dallo stesso nome

seguito dall’appendice ni16.

15Quindi in ordine: periodo iniziale Ti, periodo finale Tf , accuratezza dT , coefficiente di smorzamento

ν, traccia p, frequenza di campionamento fc, parametro anti-aliasing in frequenza α e nel tempo β.16Si veda l’help della funzione di interesse per maggior chiarezza.

Capitolo 8

Conclusioni

Lo sviluppo del lavoro svolto ha portato alla realizzazione di un set di fun-

zioni e di un’interfaccia grafica che troveranno applicazione nell’ambito della

progettazione per l’Ingegneria Civile.

L’argomento trattato si e inoltre rivelato veramente interessante e questa

esperienza mi ha dato modo di approfondire numerosi aspetti legati all’e-

laborazione numerica dei segnali, con un filo conduttore pratico che mi ha

permesso di capire in maniera diretta l’opportunita insita nella scelta di certe

tecniche, cosı come il quadro teorico di riferimento.

Volendo fare un riassunto dei passi percorsi ricordiamo che si e innanzi

tutto introdotto il problema sismico, le onde e la tipologia di segnali con cui

si e avuto a che fare; dopo aver definito lo spettro di risposta e le grandezze

spettrali di utilizzo comune si e dunque passati all’analisi di un approccio

risolutivo nel dominio del tempo.

A questo punto si sono sviluppati i ragionamenti necessari ad analizzare il

problema nel dominio della frequenza, trattando in particolare l’aliasing per

trovare dei vincoli da rispettare per evitare questo fenomeno ed illustrando i

vantaggi di uesto tipo di soluzione.

Capitolo 8. Conclusioni 100

Infine si e mostrato un esempio di utilizzo delle funzioni di calcolo degli

spettri di risposta nel dominio della frequenza e si e presentata l’interfaccia

grafica spectcalc che le rende di facile utilizzo.

Questo lavoro, congiuntamente a quello svolto da altri colleghi, apre la

strada a svariate prospettive, come la realizzazione di routine e programmi

finalizzati ad una deconvoluzione generale in grado di sopprimere una molti-

tudine di disturbi dai segnali sismici, oppure l’implementazione di codici

ottimizzati ad esempio per un’applicazione real-time di tali tecniche diretta-

mente in place sullo strumento, o ancora lo sviluppo di un programma che

riunisca i principali tipi di elaborazione effettuabili su tali dati e ne permetta

un’interazione semplice e diretta.

Sono sicuro che questi interessanti stimoli porteranno in futuro ad ottimi

risultati grazie all’esperienza ed alla disponibilita dei docenti e dei ricercatori

che operano nei dipartimenti della Facolta di Ingegneria di Firenze, ed in

particolare nel Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni.

Appendice A

Il DeciBel

Il deciBel (simbolo dB) e un decimo di Bel (simbolo B): 10dB = 1B. Il Bel e

ormai caduto in disuso, ma rimane l’ unita di misura fondamentale da cui il

deciBel deriva.

Il deciBel e una misura molto utilizzata in qualunque settore dell’Inge-

gneria (ma non solo) in quanto permette di lavorare in modo semplice con

rapporti, anche molto elevati, di grandezze omogenee1; fu proprio l’obbietti-

vo di misurare rapporti, in particolare l’ attenuazione per miglio delle linee

telefoniche a far si che il Bel, chiamato inizialmente Transmission Unit, fosse

introdotto nei Bell Telephone Laboratory all’ inizio del XX secolo e successi-

vamente, dopo la morte di Alexander Graham Bell nel 1922, rinominato Bel

in suo onore.

Il deciBel e un’ unita di misura di tipo logaritmico2: le corrispondenti

1Esprimibili cioe nella stessa unita di misura, cosı che il loro rapporto e un numero puro adimensionale.2La misura del rapporto fra due grandezze deve essere di tipo logaritmico perche una proprieta in-

dispensabile alla definizione di una misura e la sua additivita. Per esempio, aggiungendo una massa di 1

kg ad un’ altra massa di 1 kg si ottiene una massa di 2 kg; accostando in linea due regoli lunghi 1 m si

ottiene un oggetto lungo 2 m. Ma, se il rapporto fra una grandezza A ed una grandezza omogenea B e 10

ed il rapporto fra B e C e ancora 10, il rapporto fra A e C non e 20, bensı 100.

Appendice A. Il DeciBel 102

misure sono numeri puri, e precisamente un logaritmo in base 10 del rapporto

fra due grandezze omogenee.

L’unita di minura del deciBel e dunque anch’essa adimensionale, quindi

non specifica una grandezza fisica come il metro o il watt, ma deve essere

ugualmente indicata nella misura perche la sua conoscenza e necessaria (e

sufficiente) per risalire dalla misura al rapporto originale.

Definendo la misura di un rapporto come il suo logaritmo si ottiene una

quantita additiva, e questo e uno dei motivi per cui il deciBel e cosı usato.

Un rapporto tra due grandezze omogenee A e B misurato in Bel si definisce

come il logaritmo in base 10 del rapporto stesso, per cui un rapporto misurato

in deciBel e 10 volte il logaritmo in base 10 dello stesso:

RATIOdB = 10 · log

(A

B

)Possiamo quindi legittimamente dire che il rapporto fra una tonnellata e

un chilogrammo e 1000:1, o 3 Bel, o 30 deciBel, cosı come che il rapporto fra

un eurocent e 1000 euro e 1:100000, ossia - 5 Bel, o - 50 dB.

Il rapporto corrispondente a 1 deciBel e meno intuitivo: se A supera B

di 1 dB, il rapporto A:B e pari a 1,25892, mentre se A supera B di 3 dB,

il rapporto A:B risulta 1,995262 : nell’ uso tecnico corrente, questo valore

viene approssimato a 2, per cui si usa dire che un incremento di un valore

di 3 deciBel corrisponde ad un raddoppio, mentre un incremento di - 3 dB

corrisponde ad un dimezzamento3.

Inoltre in Fisica ed Ingegneria spesso si assume che i rapporti in dB che

vengono calcolati siano sempre relativi a energie o potenze, anche partendo da

altre grandezze da cui energie e potenze dipendono non linearmente. Questo

introduce nei calcoli un fattore 20 che puo creare confusione.

3L’ errore che si commette con questa approssimazione e lo stesso che si commette, in informatica,

approssimando 210 (= 1024) con 1k (= 1000).


Ad esempio, in elettronica ed elettrotecnica, parlando di rapporti in dB

fra tensioni o correnti elettriche, talvolta non si intende il rapporto fra le

grandezze stesse, ma fra le potenze che le tensioni o le correnti sviluppereb-

bero se applicate ad una medesima impendenza. Essendo la potenza P pro-

porzionale al quadrato della tensione V o della corrente I, sfruttando le

proprieta dei logaritmi si ricavano le formule seguenti:

PowerRatiodB = 10 · log

(PA

PB

)= 10 · log

(VA

2

VB2

)= 20 · log

(VA

VB

)

A.1 I deciBel assoluti

Spesso si sceglie di misurare grandezze (tensioni, potenze ecc.) direttamente

in deciBel, ovvero riferendo la grandezza alla sua unita di misura.

Usando la definizione sopra riportata scegliamo per B l’unita di misura

appropriata, ad esempio 1 V o 1 A, specificando questo fatto nel simbolo

dimensionale della misura: decibel-Volt (dBV), decibel-Watt (dBW), decibel-

milliwatt (dBmW) e poi si calcola il rapporto in dB fra la grandezza misurata

e quella di riferimento: per esempio, una tensione di 220 volt equivale a 23,4

dBV (tensione di riferimento 1 V) o a 53,4 dBmV (tensione di riferimento 1

mV)4.

A.2 Operazioni e conversioni con i dB

E chiaro che i dB risultano particolarmente utili nel confronto tra grandezze

omogenee.

4In elettronica e diffuso l’uso di abbreviare la sigla dBmW in dBm, sottintendendo l’unita di misura.


Se ad esempio si vuole esprimere in dB il rapporto tra le due ampiezze A1

e A2 di uno stesso segnale si puo ottenere il risultato come differenza delle

ampiezze espresse in dB:(A1

A2

)dB

= 20 · log (A1)− 20 · log (A2)

Ovviamente valgono le proprieta dei logaritmi, per cui ad esempio:

10 · log(V 2

)= 20 · log (V )

e

20 · log

(1

V

)= −20 · log (V )

La conversione da dB in lineare si ottiene ovviamente tramite l’esponen-

ziale in base 10:

AdB = 10 · log (A) ⇒ A = 10AdB10

Appendice B

Il Campionamento

Sia g(t) un segnale reale, continuo, ad energia finita e banda limitata B.

Consideriamo per semplicita un campionamento istantaneo di tipo ide-

ale, ottenuto cioe moltiplicando il segnale da campionare g(t) per un treno

periodico di impulsi di Dirac1.

δTS(t) =

∞∑n=−∞

δ(t− nTS)

dove TS e il periodo do ripetizione.

Se indichiamo allora con gδ(t) il segnale campionato idealmente, si ha:

gδ(t) = g(t)∞∑

n=−∞

δ(t−nTS) =∞∑

n=−∞

g(t)δ(t−nTS) =∞∑

n=−∞

g(nTS)δ(t−nTS)

Ricordando ora che lo sviluppo in serie di Fourier del pettine di Dirac

(treno di impulsi) vale:

δTS(t) = fS

∞∑n=−∞

ej2πnfSt

1Il campionamento reale e leggermente diverso poiche per ovvi motivi degli impulsi di Dirac non sono

fisicamene realizzabili, tuttavia i risultati sono qualitativamente identici a quelli del campionamento ideale,

specialmente per quanto riguarda l’aliasing.

Appendice B. Il Campionamento 106

dove fS = 1/TS.

Allora il segnale campionato si esprime come:

gδ(t) = g(t)∞∑

n=−∞

δ(t− nTS) = g(t)fS

∞∑n=−∞

ej2πnfSt

A questo punto risulta agevole valutare la trasformata di Fourier di tale

segnale, e quindi lo spettro, che vale:

Gδ(f) = fS

∞∑n=−∞

G(f − nfS)

Si osserva l’interessante risultato che, a meno del parametro costante fS,

lo spettro del segnale campionato ideale e ottenuto per ripetizione periodica

con periodo fs di quello del segnale originario g(t).

In relazione al valore della frequenza di campionamento fS rispetto alla

banda B del segnale da campionare si hanno due situazioni distinte nello

spettro del segnale campionato:

• se fS > 2B non si ha sovrapposizione delle repliche dello spettro G(f);

• viceversa, se fS < 2B, si ha parziale sovrapposizione delle repliche dello

spettro di G(f).

Nella Figura B.1 sono mostrati, partendo dall’alto, lo spettro del segnale

analogico da campionare, che qui si suppone reale e pari, lo spettro del seg-

nale campionato alla frequenza di Nyquist fS = 2B, e lo spettro del segnale

campionato ad una frequenza inferiore a quella di Nyquist.

Il fenomeno di sovrapposizione delle repliche dello spettro di G(f) che

insorge campionando il segnale ad una frequenza di campionamento troppo

bassa prende il nome di aliasing e porta ad una inevitabile perdita dell’in-

formazione contenuta nel segnale stesso.


Figura B.1: Modulo dello spettro di un generico segnale g(t) e del risultante dal suo compionamento

a frequenza di Nyquist e a frequenza inferiore (insorgenza di aliasing).

In queste condizioni il segnale originario non sara piu ricostruibile a par-

tire da suoi campioni come avviene invece, in base al teorema di Shannon,

se il segnale e campionato ad una frequenza fS ≥ 2B, ed un’operazione di

ricostruzione restituisce in generale un segnale diverso da quello originale.

Ragionamenti analoghi e duali valgono per il campionamento in frequen-

za: se si campiona lo spettro di un segnale, per passare da una forma d’onda

continua ad un insieme discreto di punti sui quali poter lavorare numerica-

mente, si devono rispettare condizioni sul minimo periodo di campionamento

dello spettro; un sottocampionamento in frequenza genera aliasing nel tempo,


producendo una sovrapposizione delle repliche dela forma d’onda del segnale,

con una conseguente perdita di informazione.

Bibliografia

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[12] Francesco Vasca Alberto Cavallo, Roberto Setola, La nuova guida a

Matlab, Simulink e Control Toolbox, Napoli, Liguori, 2002.

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