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Idraulica e Idrologia: Lezione 7

Agenda del giorno- Uso delle distribuzioni statistiche;- Distribuzione di Gumbel;- Carte probabilistiche;

- Plotting position;- Elaborazioni delle precipitazioni estreme;- Curve di probabilit pluviometrica;- Calcolo della Linea Segnalatrice di Probabilit Pluviometrica

tramite Excel.

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QuantileDefinizione:

Il quantile relativo alla probabilit p il valore caratterizzato da unaprobabilit di non superamento pari a p. Nota che p pu esserecollegata al tempo di ritorno T da p=1-(1/T)

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Indicazioni sul tempo di ritorno

Volendo dare qualche indicazione intorno al tempo di ritorno daadottare in problemi applicativi, si possono assumere gli orientamentiriportati in tabella.

Tipo di opera tempo di ritorno

Ponti e difese spondali 100-150Difese dei torrenti 30-50Dighe 500-1000Bonifiche 15-25Fognature urbane 5-10Tombini e ponticelli di corsi dacqua 30-50

Sottopassi stradali 50-100Cunette e fossi di guardia 10-20

3

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Parametri statistici

Lobiettivo della statistica quello di estrarre linformazione essenziale

da un insieme di dati sintetizzandolo in un certo numero di parametri.

xf x dx tendenza centrale media x n xi

i

n

( ) ( )

1

1

popolazione campione

2 2 2 2

1

1

1

( ) ( ) ( )x f x dx s n x xi

i

n

variabilita' (varianza)

( ) ( )

( . )

( )

( )( )

x f x dx

simmetria coeff di asimmetria C

n x x

n n ss

ii

n3

3

3

13

1 2

4

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Misure di dispersione: varianza e deviazionestandard

La varianza, come pure la deviazione standard (la radice quadrata della

varianza) costituisce una misura classica di dispersione. Come la media, risultasensibile alla presenza di outliers.

n

ii xx

n

sedispersiondxxfx1

2222 )(

1

1)varianza()()(

Deviazione standard = s

2 2

ss

5

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Misure di dispersione: deviazione standard ecoefficiente di variazione

Una misura di dispersione frequentemente utilizzata costituita dal

coefficiente di variazione (CV), definito come rapporto fra la deviazionestandard campionaria s e la media campionariam.

Il coefficiente di variazione risulta definito solo se la media diversa da zero.Viene utilizzato soprattutto per confrontare la dispersione di campioni diversi.

m

sCV

6

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Trattamento probabilistico dei datiidrologici

Come collegare la magnitudo degli eventi estremi alla loro frequenza

di accadimento tramite limpiego di distribuzioni di probabilit?

Linsieme dei dati disponibili (p. es. 30 valori di portate massime annuali

osservate presso una certa sezione di chiusura di un bacino) viene

considerato come un campione estratto da una ipotetica popolazione

di dimensione infinita.Titolo diagramma

Inferenza statistica

Campione osservato Campione 1

Campione 2

Campione 3

....

Campione n

....

Popolazione Insiem

edeicampionidacui

form

atalapopolazio

ne

Le propriet statistiche dei

campioni (media, varianza,..)

variano da campione a campione,

mentre quelle della popolazione

sono uniche.

Tramite tecniche di

inferenza statis t ica, le propriet

della popolazione vengono stimate

a partire da quelle del campione disponibile.

7

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Uso di una funzione di distribuzione diprobabilit per descrivere un campione di dati

Processo di inferenza statisticaDato un campione di dati x1, x2, x3,.., xn, della variabile casuale X, ci si pone ilproblema di determinare la forma di una funzione F(x) atta a rappresentare,con ragionevole approssimazione, la distribuzione vera, ma incognita, della X.

scelta della distribuzioneIn base a ragionamenti sulla naturale variabilit di X

si presuppongono una o pi forme analitiche

per la distribuzione incognita

stima dei parametri della distribuzione

metodo dei momentimetodo della massima verosimiglianza

metodi grafici

test di controlloviene valuata l'affidabilit delle distribuzioni ipotizzate

test di Kolmogorov-Smirnov

test del Chi-quadro

Processo di inferenza statistica

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Stima dei parametri della distribuzione

Una funzione di distribuzione di probabilit rimane unastrazione fino a quando non

viene collegata alle osservazioni del fenomeno fisico. Questo si ottiene stimando iparametri della distribuzione sulla base dei dati del campione disponibile.

Tecniche disponibili: - metodo dei momentimetodo della massima verosimiglianza- metodi grafici

Metodo dei momenti

- I parametri delle distribuzioni sono esprimibili in funzione dei parametri statisticidella popolazione (media, varianza,..)

- Si assume che i parametri statistici della popolazione coincidano con quelli delcampione

- I parametri della distribuzione prescelta vengono espressi in funzione dei parametristatistici del campione

9

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Distribuzione di probabilit utilizzata nel corso

Distribuzioni:

Gumbel

10

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Distribuzione di Gumbel - 1

Funzione di densit di probabilit

uxxF

uxuxxf

expexp)(

expexp)( 1

I due parametri sono: e u

Metodo dei momenti

per stima di e u

57720

6

.

xu

s Distrib. di densit

di probabilit di Gumbel

Le funzioni possono essere espressutilizzando la variabile ridotta

w=(x-u)/

w=(x-u)/11

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Determinazione del valore di x caratterizzato da un tempo di

ritorno T

TT

T

T

TTT

wux

T

Tw

T

TxF

xFxXPxXPT

poich

xFw

wxF

1

1

111

1

lnln

)(

)()()(

:

)(lnln

)]exp(exp[)(

12

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Determinazione del valore di T corrispondente ad

unosservazione x

)(

)]exp(exp[)(

xFT

wxF

uxw

1

1

Noto il valore di x ed dei parametri u e , si calcola il valore di w,

(variabile ridotta), da cui si calcola F(X

x)e quindi il valore del

tempo di ritorno T

13

E i di li i

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Esempio di applicazione:distribuzione di Gumbel

Stazione pluviografica di Trento

principali statistici del campione e valori dei parametri della distribuzione di probabilitdi GUMBEL

Stima dei parametri u e con il metodo dei momenti.

Durata (ore) N casi minimo massimo media Deviazionestandard

u

1 52 11.0 45.0 21.1 7.7 17.69288 6.002793 52 16.0 62.0 31.3 11.0 26.35318 8.597036 52 25.0 82.4 42.5 14.4 35.98954 11.2394012 52 30.0 123.0 58.6 21.8 48.77891 17.0217224 52 40.2 147.6 76.8 25.5 65.31335 19.89397

Valori dei quantili regolarizzati di precipitazione (mm) con la distribuzione diprobabilit di GUMBEL

Tempo di ritorno (T)

T w Durata 2 5 20 50 1002 0.36651 1 19.9 26.7 35.5 41.1 45.35 1.49994 3 29.5 39.2 51.9 59.9 65.9

20 2.97020 6 40.1 52.8 69.4 79.8 87.750 3.90194 12 55.0 74.3 99.3 115.2 127.1

100 4.60015 24 72.6 95.2 124.4 142.9 156.8

14

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15/33

09.115772.0xu

44.3s6

mm3.2197.244.309.11x

97.2w

wux

1T

Tlnlnw

T

1T)x(F

)x(F1)xX(P1)xX(PT

1:poich

)x(F

1lnlnw

)]wexp(exp[)x(F

20

20

TT

T

T

TTT

Esercizio: calcolare con il metodo di Gumbella pioggia oraria

di tempo di ritorno ventennaleper la stazione di Lago Verde

Stazione Lago Verde (PAB)

Valori pioggia massima annuale

Durata: 1 ora18.4

8.6

9.0

11.2

13.4

10.4

10.4

13.0

16.2

10.4

15.4

8.4

9.8

23.6

18.0

Media=13.08 mmDev St=4.41 mm

09.115772.0xu

44.3s6

15

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EJ Gumbel: matematico ed oppositore alregime nazista

EJ Gumbel nasce a Monaco il 18 luglio 1891 e

muore a New York il 10 settembre 1966. EJGumbel non noto solo per la sua attivit di

ricerca nel campo della matematica, ma anche

per la sua attivit come pacifista ed oppositore

al regime nazionalsocialista. Gumbel inizia la

sua attivit di ricerca ad Heidelberg nel 1923.

Tuttavia, le sue critiche alle attivit del partitonazista lo costringono a riparare in Francia nel

1932, ed infine negli USA dal 1940. Viene

accolto alluniversit di Standford, e nel 1958

pubblica la sua opera pi famosa: Statistics of

extremes, dove appare anche la distribuzione

che da lui prende nome. Nellintroduzione aquesto libro, EJ Gumbel scrive:

" This book is w ri t ten in the hope, con trary to

expectat ion, that humani ty may p rof i t by even

a small contr ibu t ion to the progress of

science".

16

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Le carte probabilistiche

Le carte probabilistichesono specifiche per ogni tipo di funzione di probabilit(log-normale, Gumbel, ..) e vengono costruite in modo tale che le curve di probabilitdellafunzione corrispondente vi vengono rappresentate da rette.le carte probabilistiche possono essere utilizzate per verificare lammissibilitdella funzione

di probabilit prescelta per descrivere il campione, ancor prima di stimare iparametri:

se il tipo di funzione di distribuzione prescelto adatto ad interpretare leosservazioni, i punti devono addensarsi intorno ad una retta.

Su queste carte, normalmente in ascissaviene riportata la variabilex, mentre inordinatavieneriportata la probabilit P(Xx) o P(Xx),il tempo di ritorno, o la variabile ridottadelladistribuzione.

17

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Metodo Grafico

Q

Tempo ritorno

ProbabilitCiascuna distribuzionedi probabilit ha lapropria cartaprobabilistica

I dati vengono riportatiin ciascuna carta, dovevengono ancheinterpolati linearmente

Viene selezionata la

distribuzione cuicorrisponde la cartaprobabilistica dove i puntisi dispongono conminimo scarto intornoalla retta regolarizzatrice.

Log normal

Log Pearson III

Gumbel

18

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La carta probabilistica di Gumbel

Carta probabilistica di Gumbel

19

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Carte probabilistiche e plotting positionPLOTTING POSITION

Per riportare un punto sulla carta probabilistica, necessario conoscere di esso il

valorexe la probabilit P(Xx)o P(Xx). Se i parametri della distribuzione non sono

stati ancora determinati, non possibile calcolare la probabilit attraverso le formule

consuete. Nelle carte probabilistiche viene quindi utilizzata unapprossimazione della

probabilit di superamento, detta plo t t ing posi t ion.

Approssimazione normalmente utilizzata:

1N

mxXP )(

dove

m : posizione del dato nella serie ordinata in senso

decrescente,

N : numerosit del campione

Dopo aver riportato i valori sulla carta probabilistica, ed avere accertato che si

addensano intorno ad una retta, possibile:- utilizzare direttamente il diagramma per identificare la retta che meglio

regolarizza i valori (p.es. tramite il metodo dei minimi quadrati)

oppure

- procedere in modo analitico alla determinazione dei parametri (p. es. tramite il

metodo dei momenti) e quindi riportare la retta risultante sul grafico al fine di

valutarne la capacit descrittiva (qu esto metodo preferibi le). 20

A li i : t i l i fi di

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Applicazione: stazione pluviografica diTrento

Le figure riportano le carte

probabilistiche di Gumbelrelative ai

valori di precipitazione massima

annuale di durata pari ad1e 24ore.

Le rette introdotte nei grafici sono

quelle

stimate tramite il metodo dei

momenti. Infatti nelle carte viene

riportata in ascissa la variabile ridotta

ed in ordinata il dato.

Extr.ValExpected

Observed

Stazione pluviograf ica di Trento - 1932-1990

Cartogramma probabilistico di GUMBEL

y: v ariabile ridotta

massimiannuali(1ora)

.01

.05

.15

.25

.35

.45

.55

.65

.75

.85

.95

.99

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Extr.ValExpected

Observed

Stazione di Trento - (1932-1990)

cartogramma probabilistico di GUMBEL

y: v ariabile ridotta

massimiannuali24ore(mm)

.01.05

.15.25

.35.45

.55.65

.75.85

.95.99

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

uyx

ux

y

P. es.: urappresenta il valore

dellintercetta

dallapplicazione del metodo dei momenti

si ricava

u (1h) = 17.7

u (24h) = 65.3 21

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Elaborazione delle precipitazioni - 1

Premessa - 1

Le tecniche di elaborazione statistica-probabilistica descritte alle sezioniprecedenti possono essere applicate sia per lanalisi delle serie di valorimassimi annuali di portata che di precipitazione. Generalmente, lobiettivodellanalisi costituito dallindividuazione del valore di portata al piccocaratterizzato da un assegnato tempo di ritorno (quantile di portata).

Il modo pi diretto per conseguire questo risultato rappresentatodallelaborazione delle serie di dati di portata massima annuale (per unacerta sezione idrometrica). Tuttavia, la distribuzione delle stazioni dimisura idrometrica sul territorio, per quanto estesa possa essere la rete dimonitoraggio, non tale da coprire il fabbisogno di conoscenza che si ha

intorno a queste grandezze; ovvero, non sempre (anzi, quasi mai) la sezionefluviale o torrentizia presso la quale si attende il valore del quantile, corredata da una stazione idrometrica.

22

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Premessa - 2

Lesigenza di poter stimare i quantili di interesse in modo generale, hastimolato quindi laffermarsi di una serie di metodologie e di modelli atti aconsentire la stima della grandezza di interesse (il quantile di portata) apartire dalle piogge. Il processo di modellazione che si segue in tal caso, quello relativo alla trasformazione afflussi-deflussi.

Lo studio delle precipitazioni estreme (massime annuali) quindi il primopasso per poter utilizzare efficacemente tali modelli.

La prima osservazione da farsi a tal punto la seguente:A parit di rarit dell'evento di pioggia, l'altezza totale di precipitazione

non cresce proporzionalmente al crescere della durata.Questo significa che lintensit dellevento decresce al crescere delladurata.Infatti, a parit di rarit, eventi brevi sono generati da fenomeniconvettivi (intensi), mentre gli eventi pi prolungati sono generati dafenomeni stratiformi (meno intensi).

23

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Perch ci interessa studiare la relazione delle precipitazioni estreme con la

durata?

Perch bacini idrografici di estensione diversa entrano in risonanza (ovvero:producono un idrogramma di picco massimo detto critico) incorrispondenza di durate di precipitazioni diverse: bacini pi estesi sonosollecitati criticamente da precipitazioni prolungate nel tempo, mentre

bacini pi piccoli hanno una durata critica minore.

Per disporre di uno strumento generale quindi necessario disporre di unarelazione localmente generale fra piogge estreme e loro durata.

24

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Curve di probabilit pluviometricaLa curva che fornisce la relazione tra durata t e altezza di

precipitazione h con tempo di ritorno assegnato T prende il nome di

cu rva di probabil it plu viometrica(a volte si usa anche il termine di linea segnalatrice di probabilit pluviometrica,

oppure:

curva segnalatrice di possibilit climatica

curva di possibilit climatica

curva segnalatrice di possibilit pluviometrica)

parametrin,a

pioggiadiduratat

Tritornotempopioggiadialtezzah

ath n

Costruzione della curva segnalatrice dipossibilit climatica ( rappresentata

nella figura in un piano logaritmico).

Metodo dell'analisi dei massimi annuali.

Legge probabilistica adoperata: Gumbel

o lognormale.

Il tempo di ritorno convenzionale della

curva quello comune ai singoli punti

adoperati per costruirla.

25

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DETERMINAZIONE DELLA CURVA DI PROBABILITAPLUVIOMETRICA

Stima dei parametri aed ndella curva di probabilit

pluviometrica

- Si determinano i quantili di precipitazione per le diverse durate

(1, 3, 6, 12 e 24 ore, se linteresse per le durate orarie) per i diversi

tempi di ritorno di interesse

- Si considerano i quantili relativi ad un assegnato tempo di ritorno esi regolarizzano mediante la relazione

dove a ed n sono due parametri che dipendono dal tempo di ritorno

(il valore di n compreso fra 0 ed 1).

nath

26

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DETERMINAZIONE DELLA LINEA SEGNALATRICE DIPROBABILITA PLUVIOMETRICA

Stima dei parametri aed ndella linea segnalatrice di

probabilit pluviometrica

Il metodo pi rapido per determinare i parametri aed ndi ciascuna

linea segnalatrice consiste nellinterpolarli linearmente in un piano in

scala logaritmica (ovvero: in un piano in cui in ascisse vi sia log ted

in ordinata

log h). Infatti:

tnahath n logloglog

A tal fine, sia:

x=log t,

y=log h,b=log a,

per cui

),5(

1

2

1

2

1 111

2

1

2

1

2

1 11

enormalmentutilizzatipuntidinumeromdove

xxm

yxxyx

b

xxm

yxyxm

n

m

i

m

i

ii

m

i

m

i

ii

m

i

i

m

i

ii

m

i

m

i

ii

m

i

m

i

i

m

i

iii

27

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28/33

DISTRIBUZIONE SPAZIALE DELLE CARATTETISTICHEDELLE PIOGGE IN ITALIA SETTENTRIONALE

Linee segnalatrici peralcune regioni dellItalia

Settentrionale per tempo

di ritorno pari a 50 anni

e valori massimi osservati

di portata specifica

28

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29/33

DISTRIBUZIONE SPAZIALE DELLE CARATTERISTICHEDELLE PIOGGE IN ITALIA SETTENTRIONALE

Isoiete delle precipitazionidi durata pari a 12 ore e

tempo di ritorno pari

a 50 anni

29

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30/33

CALCOLO PARAMETRI LINEA SEGNALATRICE CON EXCEL - 1

30

T xT-1h xT-3h xT-6h xT-12h xT-24h2 18 28 38 54 66

5 23 39 51 73 86

10 26 45 60 85 99

50 33 60 79 113 128

100 36 67 87 125 140

200 39 73 95 136 152

Visualizzo i dati con Inserisci equindi Grafico a dispersione

Inserisco i dati in excel

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31

Dopo aver marcato lareadelgrafico, vado in Layout e seleziono

Analisi dove, successivamente,seleziono Linea di tendenza.

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32

Seleziono il formato di funzioneinterpolatrice desiderata (Potenza)e richiedo di visualizzare sialequazionesul grafico che il valoredi R2.

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33/33


33

Lequazionecos calcolatarappresenta la LSPP

h = atn

h = 38 908t0 4367

Il grafico pu essere importato neldocumento word della relazione, ma necessario qualificare le variabilirappresentate in asse x ed y edaggiungere anche le unit di misura.

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