Ian StewartCom’è bella la matematica

Lettere a una giovane amica

Capitolo 1Perchè fare matematica?

“La vita è come una piccola imbarcazione che si muove nel vasto oceano della matematica”

“Gli arcobaleni sono personali”

Capitolo 2Come sarei potuto diventare un avvocato

La vita ci pone di fronte a delle scelte, non sottovalutiamole mai!

Prendere zero al compito di matematica:

novità o routine?

Capitolo 3La vastità della matematica

Cos’è la matematica?

Capitolo 4Tutto è già stato fatto?

La matematica costruisce i

nuovi concetti su quelli vecchi

Capitolo 5Circondati dalla matematica

Capitolo 6Come pensano i matematici

“Erano geni è un’affermazione poco soddisfacente!”

“Una volta che capisci un problema, molti

suoi aspetti diventano improvvisamente

semplici. Come dicono i matematici di tutto il mondo, ogni cosa o è

impossibile o banale.”

..e c’è il classico <aha!!>

Capitolo 7Come si impara la matematica

• Riflessioni sulle responsabilità di professori ed alunni• Tattiche di studio: • 1) non fermarsi di fronte agli ostacoli ma superarli• 2) chiedere aiuto ad un professore• 3) se non ce la si fa tornare indietro e risolvere il

problema• 4) leggere tutto ciò che si può sull’argomento• 5) tattica di Pòlya• Notazione sulle differenze esistenti tra superiori e

college

Capitolo 8Paura delle dimostrazioni

• Continuazione delle differenze tra superiori e college

• Ossessione per i matematici delle dimostrazioni • Dimostrazioni come garanzie inossidabili della

verità di un’idea• Trovare dei parametri anche temporanei per

semplificare il lavoro• Osservazione dei dettagli presenti nelle ipotesi

• Casi in grado di far crollare le dimostrazioni:SpaSpySaySad• Dal ragionamento fatto sorgono due grandi

questioni:1) che cos’è una dimostrazione?2) perché abbiamo bisogno delle dimostrazioni?• Ne abbiamo bisogno perché ci dimostrano di

conoscere qualcosa• Le dimostrazioni non servano a tutti, ad esempio

sono futili per ingegneri e fisici.

Teorema SHIP- DOCK

Capitolo 9I computer risolvono qualsiasi cosa?• È giusto ritenere i matematici obsoleti perché tanto ci

sono i computer a svolgere il loro lavoro?• Questa domanda è dovuta all’identificazione della

matematica con l’aritmetica• I computer hanno velocizzato il lavoro, ma non lo

hanno creato, possono solo controllare le congetture e svolgere grandi calcoli

• Congettura di Goldbach• I teoremi dimostrano altri teoremi• Se pi greco fosse uguale a 3?• In risposta alla domanda iniziale: i computer aiutano

ma serve sempre la materia grigia

Il problema è che i teoremi servono ai matematici per

dimostrare altri teoremi. […] una sola proposizione falsa può far crollare l’intero edificio della

matematica .

Indipendentemente da quanto sia estesa la portata dei calcoli a computer , ci toccherà fare ancora

affidamento sulla nostra materia grigia

Capitolo 10La narrazione matematica• Che cos’è una dimostrazione?• Le prime dimostrazioni fatte erano quelle di Euclide

nei suoi Elementi• Nozioni\Postulati• Assiomi• Convegno di Abisko:Concetto di dimostrazione come di storiaDimostrazione di Lamport Erdòs (numero di Erdòs e libro di Dio )• Conclusione del convegno

Capitolo 11Puntare alla gola• Quando è bene espugnare un problema irrisolto• I greci avevano sette trame fondamentali per

scrivere un romanzo, ma ne possedevano solo una per le dimostrazioni “QED”

• Oggi le dimostrazioni sono lunghissime• Esempio di dimostrazione bella ma lunga:

dimostrazione di WilesWiles espugna l’ultimo teorema di Fermat• La dimostrazione anche se è lunga è necessaria per

dimostrare altre dimostrazioni

Capitolo 12 Successi Monumentali

“Le dimostrazioni assistite dal computer sollevano questioni di gusto, di creatività, di tecnica,e di filosofia.”

Nell’ultimo trentennio è stato introdotto nelle dimostrazioni l’uso del calcolatore, per fare calcoli lunghi e farraginosi che l’uomo non sarebbe in grado di fare.

La soluzione di un grande problema in matematica si raggiunge quando paradossalmente si diffonde la voce che un determinato problema da risolvere è stato risolto.

Ad esempio la dimostrazione di Hales della “congettura di Keplero”, avvalendosi del calcolatore, trovò il modo più efficace per disporre degli oggetti sferici in modo compatto.

Altra dimostrazione che fece uso del

calcolatore fu quella elaborata dai K. Appel e W. Haken sul “teorema dei quattro colori” di Francis Guthrie.

Congettura di Keplero (1611) Dimostrazione di Thomas Hales (1998)

Teorema dei quattro colori( 1852) Dimostrazione di Appel e Haken (1976)

Capitolo 13Problemi impossibili

• ”Una dimostrazione matematica dell’impossibilità di qualcosa è una garanzia virtualmente indistruttibile”

Uno dei problemi irrisolti nella storia della matematica è quello della “scacchiera mutilata”:

presa una scacchiera da cui vengono tagliati due quadrati agli angoli opposti,

può essere ricoperta con 31 tessere del domino, sufficienti ognuna ad occupare due caselle adiacenti?

Ogni tessera copre sempre una casella bianca e una nera

Dopo aver utilizzato le prime 30 tessere sono state coperte 30 caselle bianche e 30 nere

Restano sempre due caselle nere che l’ultima tessera non potrà mai coprire

Altro problema impossibile è costituito dalla trisezione di un angolo con una riga non graduata e un compasso. Tale impossibilità è stata dimostrata da uno studente di Gauss nel 1837: Pierre Wantzel.

Non esiste nessuna costruzionegeometrica in grado di dividere un angoloin tre parti uguali usando strumenti tradizionali. Il problema appartiene all’ambitodella geometria, ma la soluzionedel problema ci viene data dall’algebra.

Altri due problemi dell’antichità sono la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo.Il primo consiste nella costruzione di un quadrato con la stessa area di un cerchio datooppure un cubo con un volume doppio di quello di un cubo dato. Si tratta di trovare la costruzione di π e quella della radice cubica di 2.

Capitolo 14I Gradini della Carriera• Un matematico, pur sembrando una persona

solitaria, deve badare bene ai rapporti che intrattiene con i suoi colleghi.

Ad esempio nella preparazione al conseguimento di un dottorato si è circondati da un vero e proprio gruppo di matematici esperti.

• Secondo una classificazione di Helen Haste esistono 6 gradini della carriera universitaria;il criterio di appartenenza alle varie categorie si basa sul “ meccanismo del dono”, che fa riferimento al numero di articoli di ricerca prodotti dallo studente universitario.

Emerito

Grande Vecchio GV

Scienziato Senior

SSRicercatore Confermato

RC

Promettente Giovane Ricercatore PGR

Studente Specializzato del Dottor X

SSDX

Guru Emerito GE

Capitolo 15Pura o Applicata• Si è sempre operata una distinzione

inutile tra matematica pura e matematica applicata, che in realtà rappresentano due diversi approcci alla disciplina .

Matematica pura

Logica Filosofia

Matematica applicata

Fisica matematica

Ingegneria

“sono delle tendenze, non gli estremi dello spettro,due orientamenti che per accidentalità storica

hanno creato una divisione amministrativa all’interno dell’università”.

Secondo i matematici applicativi la matematica è priva d’implicazioni pratiche,

secondo quelli puri quella applicata è intellettualmente approssimativa, manca di

rigore.

A partire dal 1960 si assiste ad una estremizzazione delle due tendenze matematiche, per cui i sostenitori della matematica applicata arrivano persino a sostenere che sia più importante individuare una risposta anche se sbagliata piuttosto che trovare la risposta giusta.

Ma la scienza per progredire ha bisogno di astrazioni, e soprattutto di nuovi strumenti la cui fonte è costituita dalle teoriesviluppate dai matematici puri. Le nuove problematiche esigono nuovi metodi, e la purezza del metodo rimane ancora un aspetto fondamentale anche in un contesto applicativo. Allo stesso modo l’intuizione può condurre alla scoperta di nuove verità, anche senza dimostrazioni . La matematica, così come afferma Wigner, si rivela a volte uno strumento irragionevolmente efficace nell’interpretare descrivere i fenomeni naturali.

”Nessuna delle due. Devi usare gli strumenti che hai a disposizione, adattarli e modificarli a seconda dei tuoi progetti, e crearne di nuovi quando ne avrai bisogno”.

Allora devo studiare la matematica pura o quella applicata?

“Un misto di d’immaginazione e scetticismo è la chiave d’accesso alla matematica, che a volte prende corpo da mode temporanee e passeggere.”

Capitolo 16Dove hai preso quelle strane idee?

• Per fare ricerca occorrono un luogo e il tempo per pensare, l’accesso ad una buona biblioteca e un buon sistema informatico.

Ma il requisito fondamentale è “una

mente originale”, che si può avere o meno, che non si può acquisire col tempo, ma solo coltivare.

Chi ha talento però deve tenersi costantemente allenato, altrimenti il suo talento non darà alcun frutto. Altra qualità fondamentale richiesta ad un aspirante matematico è l’impegno.

Un matematico alla domanda: “Dove ha preso quelle strane idee?” risponderebbe :“Le ho inventate”, esattamente come uno scrittore di romanzi di fantascienza. Ma in realtà le idee non nascono dal nulla. I matematici non vivono su un altro pianeta, sebbene le biografie dei grandi matematici dimostrino il contrario.

Il segreto per le grandi scoperte matematiche rimane la lettura di riviste matematiche e la riflessione su argomenti già noti, che forniscono la chiave di accesso a nuovi orizzonti matematici. Una rete di connessioni fra ciò che è noto e ciò in cui ci si imbatte per caso è fondamentale. Non a caso “la sorte favorisce le menti preparate”, ma bisogna mantenere la mente sveglia.

Talento

Impegno

Mente sveglia

“Strane”

idee

Capitolo 17Come s’insegna la matematicaTigre! Tigre! Divampante fulgore Nelle foreste della notte, Quale fu l’immortale mano o l’occhio Ch’ebbe la forza di formare la tua agghiacciante simmetria? In quali abissi o in quali cieli Accese il fuoco dei tuoi occhi? Sopra quali ali osa slanciarsi? E quale mano afferra il fuoco? Quali spalle, quale arte Poté torcerti i tendini del cuore? E quando il tuo cuore ebbe il primo palpito, Quale tremenda mano? Quale tremendo piede? Quale mazza e quale catena? Il tuo cervello fu in quale fornace? E quale incudine? Quale morsa robusta osò serrarne i terrori funesti? Mentre gli astri perdevano le lance tirandole alla terra e il paradiso empivano di pianti? Fu nel sorriso che ebbe osservando compiuto il suo lavoro, Chi l’Agnello creò, creò anche te? Tigre! Tigre! Divampante fulgore Nelle foreste della notte, Quale mano, quale immortale spia Osa formare la tua agghiacciante

simmetria?

William Blake

“Un buon professore vale tanto oro quanto pesa”

Insegnare la

matematica

I bravi insegnanti diventano modello d’ispirazione da parte degli studenti, quelli cattivi portano ad un rifiuto a vita della materia

“The Christmas Lectures” :

imparando nuove

tecniche d’insegnamen

toBisogna mettersi nei panni degli studenti

L’importanza del principio delle

tre “esse”

Capitolo 18La comunità Matematica

“Il modo migliore per promuovere la matematica è incontrare altri

matematici.”

La matematica

è internazion

ale

Cos’è un “Nerd”?

I “symposium” dell’Università

di Warwick

Pettegolezzi, barzellette, notizie e “strani” teoremi

Capitolo 19Maiali e Furgoni

”Se una cosa può andare storta, andrà storta.”

Cosa un matematico NON deve

assolutamente fare

Bisogna imparare dagli errori propri e altrui

L’importanza dei “cartelli”

L’importanza del tempo

Attrezzatura e gessetti del

buon matematico

Capitolo 20Gioie e dolori della collaborazione

“…era convinto che tenesse di mano un libro delle dimostrazioni.

”

La matematica è “divina”

La finitezza del nostro intelletto

La simmetria

Le leggi matematiche

del cosmo

Capitolo 21Dio è un matematico?