I TEST DI LOGICAI TEST DI LOGICA

11

Alberto Zanardo

Dipartimento di Matematica P. A.

Università di Padova

Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 20 Gennaio 2011

Un test problematicoUn test problematico

22

Sapendo che in questo test una sola risposta è giusta, dire di quale si tratta.

a) La risposta d) è giusta.b) La risposta b) è sbagliata.c) La risposta c) è giusta.d) La risposta a) è giusta.

Attenzione alla risposta b!

Affermazioni problematicheAffermazioni problematiche

33

Mario dice: “sto mentendo”. Dice il vero o il falso?

Se dice il vero ...., se dice il falso ....

Attenzione alla versione divulgativa:Epidemide, cretese, dice: “tutti i cretesi sono bugiardi”

E’ semplicemente falsa

Paradosso (o antinomia)

Antinomia del mentitoreAntinomia del mentitore

44

Mario dice: “sto mentendo”.

Altre versioni

Coccodrillo

Ponte

Barbiere

Antinomia di RussellAntinomia di Russell

55

R è l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi

R appartiene a R?

Se R non appartiene a R allora R non appartiene a sé stesso, e quindi ....

Se R appartiene a R allora R appartiene a séstesso, e quindi ....

X R se e solo se X X

Versione aritmeticaVersione aritmetica

66

Con delle frasi possiamo definire dei numeri naturali.

Con meno di 100 lettere possiamo definire una quantità finita di numeri naturali.

Ci sono numeri naturali che non possono esseredefiniti con meno di 100 lettere.

Possiamo considerare “il più piccolo numero naturaleche non è definibile con meno di 100 lettere”

COMPITI PER CASACOMPITI PER CASA

77

Trovare degli esempi di conflitti tra ragionamentocomune e ragionamento logico.

Trovare altri esempi dell’antinomia del mentitore

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

88

A e B E’ vera quando A e B sono entrambe vere

Come neghiamo A e B ? Negando A oppure negando B

A oppure B E’ vera quando almeno una tra A e B è vera

Come neghiamo A oppure B ? Negando A e negando B

non (A e B) = non(A) oppure non(B)

non (A oppure B) = non(A) e non(B)

VERSIONE INSIEMISTICAVERSIONE INSIEMISTICA

99

X Y

X Y

Intersezione di X e Y

Unione di X e Y

X’ Complementare di X

(X Y)’ = X’ Y’ (X Y)’ = X’ Y’

Leggi di de Morgan

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

1010

Se A allora B

Quando è falsa? Quando A è vera e B è falsa

In tutti gli altri tre casi l’implicazione è vera

Confrontiamo “se A allora B” con “non(A) oppure B”

se A allora B equivale a non(A) oppure B

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

1111

Cosa possiamo dedurre da “se A allora B”

Abbiamo visto che non possiamo dedurre “se B allora A”

Ma se sappiamo che non(B) è vera?

Allora possiamo dedurre non(A)

“se A allora B” è equivalente a “se non(B) allora non(A)

ESEMPIOESEMPIO

1212

Si supponga che: “chi vince la lotteria smette di lavorare” e “chi smette di lavorare ingrassa”. Quale delle seguenti ulteriori affermazioni ci permette di concludere che “Mario non ha smesso di lavorare”?

A Mario piace lavorare.Mario non ha vinto la lotteria.Mario non è ingrassato.Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

1313

“se V allora S” “se S allora I”

vogliamo concludere non(S)

A Mario piace lavorare.Mario non ha vinto la lotteria.Mario non è ingrassato.Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

ESEMPIOESEMPIO

1414

Sapendo che “tutti gli uomini sono bipedi e mortali” e “Socrate è mortale”, possiamo concludere che

a) Socrate è un uomo.b) Socrate è bipede.c) Se Socrate è bipede, allora è un uomo.d) Se Socrate è un uomo, allora è bipede.

ESEMPIOESEMPIO

1515

Quale delle seguenti affermazioni implica che “Socrate non è un bipede mortale”?

a) Se Socrate è un uomo, allora non è mortale.b) Se Socrate è un uomo, allora non è bipede.c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale.d) Se Socrate è bipede, allora è mortale.

Osservazione: le risposte a e b sono folcloristiche.Perché?

ESEMPIOESEMPIO

1616

Osservazione. “Socrate non è un bipede mortale” èla negazione di un ‘e’:

non ( S è bipede e S è mortale)

che equivale a

S non è bipede oppure S non è mortale

se quindi S è bipede allora ....

c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale.d) Se Socrate è bipede, allora è mortale.

Quale implica che “Socrate non è un bipede mortale”

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

1717

Affinché sia possibile confutare l’affermazione “quando passa un tornado per Roma, tutti gli abitanti si chiudono in casa” è necessario:

a) che qualche abitante di Roma ami il rischiob) che per Roma non passino tornadoc) che qualche casa di Roma sia poco robustad) che per Roma passi un tornado

DEDUZIONI VUOTEDEDUZIONI VUOTE

1818

• Il sabato sera Mario va al cinema oppure in discoteca; • sabato scorso Mario aveva una gamba rotta; • sabato scorso davano film che Mario aveva già visto.

Mario è rimasto a casa

Mario è andato in discoteca, ma non ha ballato

Mario è andato al cinema, ma si è annoiato

Mario è andato al cinema o in discoteca

Possiamo concludere che sabato scorso

DEDUZIONI VUOTEDEDUZIONI VUOTE

1919

FORMALIZZAZIONE

Se A è vera ....

Se A è falsa ....

A A è una formula sempre vera

UN PO’ DI LOGICAUN PO’ DI LOGICA

2020

‘esiste’ (), ‘per ogni’ ()

non x tale che .... equivale a x non ...

non x .... equivale a x tale che non ...

esiste x con una certa proprietà non esclude che

tutti gli x tale abbiano quella proprietà

x .... equivale a non x non ....

x .... equivale a non x non ....

APPLICAZIONE INSIEMISTICAAPPLICAZIONE INSIEMISTICA

2121

Perché l’insieme vuoto è contenuto in ogni insieme?

Se non fosse contenuto nell’insieme Y (arbitrario)allora .....

X Y se esiste un elemento di X che non è elemento di Y

X Y (X è contenuto in Y) a (a X a Y)

X Y non (a (a X a Y))

a (a e a Y) FALSO!

a non(a X a Y) a (a X e a Y)

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

2222

Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno. Questo significa che

A) Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno

B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanzeD) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno

il bagno

A) Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno

B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanzeD) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno

il bagno

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

2323

Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza bagno.

Non è vero: A s (s non ha il bagno)

A s non è vero (s non ha il bagno)

A s (s ha il bagno)

Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

2424

Qual’è la negazione dell’affermazione “ogni uomo è calvo oppure non ha i baffi”?

a) Ogni uomo non è calvo oppure ha i baffi.b) Ogni uomo non è calvo e ha i baffi.c) Esistono uomini che hanno i baffi e non sono calvi.d) Esistono uomini calvi e senza baffi.

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

2525

L’affermazione “ogni uomo sposato non è allegro” è equivalente a:

a) Ogni uomo non allegro è sposato.b) Non esistono uomini allegri e sposati.c) Esiste almeno un uomo non sposato e allegro.d) Tutti gli uomini non sposati sono allegri.

ALTRO ESEMPIOALTRO ESEMPIO

2626

In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P.Cosa si può dire di tale affermazione?

x [ x vota P y ( y vota P)]

x [ x NON vota P oppure y ( y vota P)]

AFFERMAZIONE VERA

DOV’E’ L’ERRORE?DOV’E’ L’ERRORE?

2727

Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori

Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vero che

alcune bici hanno amm. alcune bici non hanno amm.

alcune bici non hanno amm. alcune bici hanno amm.

alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm.

nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm.

DOV’E’ L’ERRORE?DOV’E’ L’ERRORE?

2828

alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm.

nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm.

Sembrerebbe di sì, ma dobbiamo tener conto le ipotesi di partenza!

Si passa dalla prima alla seconda affermazione facendo la negazione

E’ vero che la negazione di “alcune bici hanno ...” è “nessuna bici ha ...”?

DOV’E’ L’ERRORE?DOV’E’ L’ERRORE?

2929

“alcune bici hanno amm.” va inteso come

“alcune bici hanno amm. e alcune bici non hanno amm.”

Ipotesi iniziale:

Qual è la negazione di questa affermazione?

“nessuna bici ha amm. oppure nessuna bici non ha amm.”

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

3030

In un test a risposte multiple ci sono quattro scelte possibili: (a), (b), (c) e (d), ed esattamente una delle quattro è corretta. Sappiamo che(b) vale se e solo se non vale (d) ese non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) Quale è la risposta esatta?

(d) o (b) è esatta

Se (d) fosse esatta, allora lo sarebbe anche (a) o (c)

La risposta esatta è la (b)

FORMALIZZAZIONEFORMALIZZAZIONE

3131

(b) vale se e solo se non vale (d)

se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c)

(b) non(d) non(b) (d)

non(b) (a) oppure (c)

(d) (a) oppure (c)

CAVALIERI E FURFANTICAVALIERI E FURFANTI

3232

Ambiente tipico dei test: ci sono cavalieri e furfanti, i primi dicono sempre il vero, i secondisempre il falso. Dalle loro risposte dobbiamo trarre informazioni.

CAVALIERI E FURFANTICAVALIERI E FURFANTI

3333

Versione classica:

Ad un bivio ci sono due persone: A e B. So che una è un cavaliere e l’altra un furfante, ma non so quale.

Dispongo di una sola domanda per sapere qualestrada porta al castello. Cosa chiedo?

Chiedo ad A: “se chiedessi a B la strada perandare al castello, cosa mi risponderebbe?”

CAVALIERI E FURFANTICAVALIERI E FURFANTI

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Di A e B sappiamo solo che sono furfanti ocavalieri. A dice: “siamo due furfanti”. Cosapossiamo dedurre?

A e B sono entrambi furfanti.

A e B sono entrambi cavalieri.

A è cavaliere e B furfante.

A è furfante e B cavaliere.

CAVALIERI E FURFANTICAVALIERI E FURFANTI

3535

Di A e B sappiamo solo che sono furfanti ocavalieri. A dice: “almeno uno di noi è cavaliere”. Cosa possiamo dedurre?

A e B sono entrambi furfanti.

A e B sono entrambi cavalieri.

A è cavaliere e B furfante.

A è furfante e B cavaliere.

Possibile

Possibile

Possibile

CAVALIERI E FURFANTICAVALIERI E FURFANTI

3636

Come prima: A dice: “almeno uno di noi è cavaliere”. Quale delle seguenti implicazioni è sicuramente vera?

Se A è cavaliere allora B è cavaliere.

Se A è cavaliere allora B è furfante.

Se A è furfante allora B è cavaliere.

Se A è furfante allora B è furfante.

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

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Ad un tavolo circolare si siedono dei cavalieri e dei furfanti e ciascuno di essi afferma che la persona alla sua destra è un furfante. Cosa si può dedurne?

A) Sono tutti furfantiB) Sono tutti cavalieriC) C'è un numero pari di personeD) C'è un numero dispari di persone

ALTRI ESEMPIALTRI ESEMPI

3838

In parlamento si riuniscono 100 uomini politici e ogni politico è onesto oppure è corrotto. Almeno uno dei politici è onesto.Sappiamo che presi due politici qualsiasi almeno uno è corrotto Quanti sono gli onesti e quanti i corrotti.

A) 50 onesti e 50 corrottiB) 51 onesti e 49 corrottiC) 1 onesto e 99 corrottiD) 99 onesti e 1 corrotto