i sistemi di rappresentazione

I sistemi di rappresentazione. Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche

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Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche

Metodi di disegno di forme geometriche semplici

Di seguito sono riportate alcune procedure per la costruzione di alcune semplici forme geometriche spesso utilinel disegno architettonico sia di rilievo che progettuale.

Pentagono regolareSia AB il lato dato. Da B si traccia la perpendicolare al lato AB; con centro in B si traccia un arcodi raggio AB intersecando la perpendicolare nel punto C; trovato il punto medio di AB, F sitraccia la perpendicolare al lato da questo punto; con centro in F e arco FC si trova il punto D sulprolungamento del lato AB; con centro in A e arco AD si interseca il primo arco nel punto E. Ilsegmento BE è il secondo lato del pentagono. Con centro in A e poi in B e arco AE si trova sullaperpendicolare in F il punto H; EH è il terzo lato del pentagono; di conseguenza si trova il puntoG e si conclude il poligono.Nota: l’angolo del pentagono è uguale a 6/5 di un angolo retto, ovvero 90° + 18° = 108°

Esagono regolareSia AB il lato dato. Con centro in A e poi in B e raggio AB si individua il punto O centro dellacirconferenza in cui l’esagono è inscritto, con raggio AB e centro nei vertici via via trovati sicompleta la figura.Nota: l’angolo dell’esagono è uguale a due angoli di triangolo equilatero, ovvero 120°

Costruzione di un poligono di N latiSia AB il lato dato dal quale si vuole costruire un poligono regolare per esempio di 7, 8, 9 lati.Tracciata la mediana perpendicolare di AB, si fa centro in A e poi in B con raggio AB e siindividua il punto C, si divide l’arco CB in 6 parti uguali. Facendo centro in C e con raggio C1,C2, C3, C4, C5 e C6 si individuano i punti 1', 2', 3', 4', 5', e 6' sull’asse della mediana. Questiultimi punti sono i centri delle circonferenze di raggio 1’A, 2’A, 3’A, 4’A, 5’A e 6’A, in cui,rispettivamente è inscritto un poligono regolare di 7, 8, 9, ecc.. lati di lunghezza AB.

Divisione di una circonferenza in un qualsiasi numero parti (nell’esempio in 7)Preso in considerazione il diametro 07 lo si divide in 7 parti eguali e con centro in 0 e in 7con raggio eguale al diametro della circonferenza si individua il punto A. Si unisce A conl’estremo della seconda divisione del diametro (il numero 2) con una retta da prolungarsisino alla circonferenza che verrà intersecata nel punto B. L’arco 0B sarà la settima partedella circonferenza data.

Retta tangente per A posto sulla circonferenzaSia A il punto dato. Si traccia la retta AO e la si prolunga fino al punto B, tale che AB siauguale a OA. Con centro in O e poi in B e raggio superiore a OA si individua il punto C, laretta passante per C ed A è la retta tangente cercata.


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Retta tangente per A esterno alla circonferenzaSi traccia la retta di unione con O, e su questa si individua il suo punto medio B, concentro in B e raggio BO si traccia l’arco che interseca la circonferenza nei punti C e D, lerette passanti per AC e AD sono rette tangenti alla circonferenza.

Raccordo tra due rette orientate a piacereSi prolungano le due rette a partire dai loro estremi fino ad intersecarsi nel punto A, concentro in A si individuano i punti B e C, da B e da C si tracciano due rette ortogonali che siintersecano in D si tracci la retta DA e con centro in D e raggio DB si tracci il raccordo tra idue segmenti.

Ovale disegnato a partire da due assi tra loro ortogonaliSiano AB e CD due segmenti tra loro ortogonali, si fa centro in O e si traccia unacirconferenza di raggio OC, questa intersecherà AB nel punto F, quindi si traccia ilcongiungimento AD e su questo si riporta, a partire da D la misura di AF, il puntoindividuato si chiamerà E. Si passa a trovare il punto medio di AE e in questo si tracciauna retta P ortogonale ad AE, tale retta intersecherà AB e CD rispettivamente nei punti Ged N, tali punti sono i centri di due delle circonferenze costituenti l’ovolo.Il procedimento si potrà quindi ripetere per specularmente per permettere il completamentodella figura.

Spirale circolare con passo datoSia AB il passo dato, si disegna il quadrato di estremi C, D, E, ed F con lato uguale ad unquarto di AB. Si tracciano i prolungamenti dei lati per una distanza sufficiente a descriverela spirale voluta. Facendo centro in E si traccia l’arco di raggio EF sino ad intersecare ilprolungamento del lato EC, con centro in C si traccia l’arco dal punto appena trovato, e siripete l’operazione in D ed in F per poi riprenderla in E.

Divisione di un angolo in un numero pari di parti ugualiDato l’angolo A si traccia un arco che intersechi i due segmenti dell’angolo in 0 e 4, quindicon centro in 0 e poi in 4 si trova il punto C e lo si congiunge con A, dividendo in due partil’angolo; l’asse AC interseca il primo arco in 2. Con centro in 0 e 2 e in 2 e 4 si può passarea dividere ulteriormente l’angolo.


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Arco a tutto sestoDati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i dueestremi, facendo centro qui si traccia un arco che connetterà i due estremi; la rettacongiungente si dirà corda o luce, il raggio a questa ortogonale, freccia.

Arco a sesto ribassatoDati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i dueestremi, una volta tracciato l’asse perpendicolare alla luce, si individua su questo un punto chesarà il centro della circonferenza congiungente gli estremi dei due piedritti.

Arco arabo o a ferro di cavalloDati i due piedritti dell’arco, se ne traccia un prolungamento che servirà sia a delimitare lemensole che l’arco stesso, su queste si individuano i punti A e B e si traccia il segmento che licongiunge, dal punto medio D di AB si traccia un asse a questo perpendicolare, sul quale siindividua il punto C centro dell’arco di cerchio costituente l’arco, lo si interromperà alla suaintersezione con il segmento AB; si procederà quindi a congiungerlo con gli estremi dei piedritti.

Arco a sesto acutoDati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i dueestremi, una volta tracciato l’asse perpendicolare alla luce, si passa quindi a fare centro in B econ raggio AB si traccia la prima curva dell’arco, che staccherà sull’asse precedentementetirato il punto C, si ripete l’operazione con centro in A e si completa l’arco. Per avere un arcorialzato sarà sufficiente prolungare il segmento AB e trovare il centro esternamente alla luce,per esempio in E e in E1 da cui tracciare l’arco con raggio AE e AE1.

Arco acuto circonflessoDati i due piedritti dell’arco, si individua il punto medio della retta che ne congiunge i dueestremi, quindi una volta definito il riquadro contenente l’arco, si traccia l’asse centrale medio diAC; si congiungono i punti A con B e C con B, quindi con centro in E e raggio BE si traccia unarco fino ad intersecare BC in F, quindi con centro in C e arco CF si traccia un arco fino adindividuare l’intersezione G su AC, con centro G e arco GA si traccia il completamento di questametà dell’arco. Ripetendo la stessa procedura simmetricamente si completa la figura.


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Proiezioni cilindriche e proiezioni coniche

Disegnare significa rappresentare per mezzo di segnigrafici figure immaginate o oggetti reali. Quando sicompie questa operazione, di fatto si “proietta” soprauna superficie l’immagine che abbiamo concepito nellanostra mente, sia attraverso l’immaginazione, siaattraverso l’osservazione della realtà. Tra i varisignificati di proiezione quello che ha la più strettaattinenza con le specificità disciplinari di un architettoè la “rappresentazione della forma di una figuraspaziale su di un piano usando sistemi diversi”.La rappresentazione è quella operazione conoscitivain base alla quale un oggetto risulta più o menochiaramente presente alla coscienza; rappresentaresignifica “rendere visibile, percepibile, evidente la realtàmediante una costruzione grafica .... “Per effettuare una proiezione, secondo le regolecodificate della geometria descrittiva, occorrono treelementi fondamentali che sono:- un oggetto da rappresentare;- un fascio di raggi proiettanti che provengono da uncentro di proiezione;- un piano di proiezione o quadro.I raggi proiettanti possono essere paralleli, convergentio divergenti, a seconda che il centro di proiezione siaposto a distanza infinita, ovvero in posizione finita nellospazio. Le variabili, in entrambi i casi, dipendono dallerelazioni che intercorrono tra i tre elementi, a secondadella posizione del centro di proiezione, dellainclinazione dei raggi proiettanti rispetto al quadro, edinfine della posizione ed inclinazione del quadro rispettoall’oggetto da rappresentare.Le proiezioni parallele sono denominate generalmentecilindriche, mentre quelle divergenti/convergentivengono normalmente definite coniche.Per proiezioni cilindriche si intendono quelle formateda fasci di rette parallele, che provenendo da un puntoposto all’infinito in una determinata direzione, vannoad intersecare una superficie piana detta quadro.Appartengono a questa categoria l’assonometria e leproiezioni ortogonali.Nelle proiezioni coniche, il fascio di rette converge inun punto posto a distanza finita dal quadro. Laprospettiva, che si avvicina più delle precedenti allavisione fisiologica dell’uomo, appartiene alla categoriadelle proiezioni coniche.

57.Visualizzazione assonometrica delle operazioni di proiezione esezione nelle proiezioni ortogonali58.Rappresentazioni assonometriche oblique ed ortogonali59.Esemplificazione del concetto di proiezione centrale o conica

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Le proiezioni ortogonali

Sono proiezioni cilindriche con raggi perpendicolari aipiani di proiezione. Questo metodo è il più idoneo arisolvere il problema della rappresentazione in unadeterminata scala (o rapporto), quindi misurabile, di unoggetto reale o immaginato.Si prenda in considerazione un oggetto giacente su diun piano, come quello in figura, che rappresenta unedificio di forma geometrica elementare.Tale sistema si definisce TRIEDRO e ci consente dirappresentare l’oggetto con immagini tra loro correlatenel sistema spaziale di riferimento.

Nella figura spaziale si nota come il TRIEDRO siacomposto da:

ppppp1 = Piano Orizzontaleppppp2 = Piano Verticaleppppp3 = Piano Laterale

Occorre ribaltare i piani ppppp1 e ppppp3 per ottenere un sistemadi riferimento complanare. La retta orizzontale chesepara ppppp2 e ppppp3 da ppppp1 si dice LINEA DI TERRA [L - T].Si consideri adesso il punto “P”, spigolo del tetto delnostro edificio.Si può determinarne la posizioneattraverso le relazioni che intercorrono tra il punto e ilsistema di riferimento considerato (triedro).Se si proietta ortogonalmente, con fasci di raggiparalleli, il punto “P” rispettivamente sui tre piani diproiezione si ottiene:

- l’immagine P’ di P sul piano orizzontale ppppp1

- l’immagine P’’ di P sul piano verticale ppppp2

- l’immagine P’’’ di P sul piano laterale ppppp3

Consideriamo adesso il segmento di estremi AB, lineadi gronda del nostro edificio.Il segmento, che è orizzontale, è inoltre postoparallelamente rispetto al piano verticale e, diconseguenza, è perpendicolare rispetto al pianolaterale.Nei primi due casi risulterà rappresentato in veragrandezza (sul piano orizzontale ppppp1 e su quello verticaleppppp2), nel terzo (sul piano laterale ppppp3) risulterà essere unpunto. La sua immagine appare in scorcio totale e leproiezioni A’’’ e B’’’ dei suoi estremi A e B coincidono(A’’’ = B’’’).Vediamo adesso il caso di un segmento CD,appartenente ad una falda del tetto e perpendicolarealla gronda.

Questo segmento è inclinato rispetto al pianoorizzontale ppppp1 e al piano laterale ppppp3, mentre è paralleloal piano verticale ppppp2.

In questo caso abbiamo in vera grandezza la proiezioneC’’D’’ sul piano verticale ppppp2; le altre due proiezioni, C’D’su ppppp1 e C’’’D’’’ su ppppp3, risultano essere in scorcio parziale.

60.Rappresentazione in proiezioneortogonale di un semplice oggettoarchitettonico:a)Rappresentazione di un puntob)Rappresentazione di un segmentoparallelo al primo e secondo pianodi proiezionec)Rappresentazione di un pianoparallelo al secondo piano diproiezione e inclinato rispetto alprimo

a)

b)

c)


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Vera grandezza di un segmento obliquo rispetto aipiani di proiezione

Consideriamo il segmento PD, spigolo tra due faldedel tetto (puntone angolare). Questo segmento èinclinato rispetto ai tre piani di proiezione ppppp1, ppppp2 e ppppp3.In questo caso le tre proiezioni del segmento, P’D’, P’’D’’e P’’’D’’’ risultano in scorcio parziale, perciò, nelle treproiezioni, non è mai rappresentata la sua veragrandezza.Per trovare la vera grandezza del segmento PD,basterà prendere un piano verticale aaaaa al qualeappartiene la retta r, che contiene il segmento PD.Il piano aaaaa interseca ortogonalmente il piano orizzontaleppppp1 determinando su quest’ultimo una retta, detta tracciaprima di aaaaa che chiameremo t’aaaaa. La t’aaaaa coinciderà,per un certo tratto, con la proiezione prima della rettar, che chiameremo r’. Sulla r’ si troverà anche P’D’,proiezione sul piano orizzontale del segmento PD.Il piano aaaaa, essendo perpendicolare rispetto a ppppp1,interseca il piano verticale ppppp2, determinando una tracciache chiameremo t’’aaaaa perpendicolare al pianoorizzontale, che ha origine nel punto della Linea di Terradove ha origine anche la t’a. a. a. a. a. Sul medesimo pianoverticale, la proiezione della retta r, che chiameremor”, passerà per i punti P” e D”, estremi della proiezionesu ppppp2 del segmento PD. Il punto di intersezione tra lar” e la t’’a a a a a sarà la traccia seconda di r, chechiameremo t”r. Questo punto è un PUNTO UNITO,cioè un punto dove la retta r coincide con la suaproiezione. Si tratta adesso di trovare la traccia primadi r sul piano orizzontale. Sappiamo che essa si troveràsulla t’a a a a a ma dobbiamo determinarne la posizione pertrovare l’altro PUNTO UNITO.A questo scopo ritorniamo sulla proiezione verticale evediamo dove l’immagine r” della retta r incontra ilpiano orizzontale ppppp1. Tale immagine corrisponderà alpunto di intersezione della r” con la Linea di Terra.Se, inversamente, proiettiamo perpendicolarmenterispetto a ppppp2 quel punto individuato sulla Linea di Terradetermineremo sulla t’r il punto appartenente alla rettar su aaaaa, che coincide con la sua stessa proiezione.Abbiamo così determinato, sui due piani di proiezioneppppp1 e ppppp2, la posizione delle due tracce t’r e t”r dellaretta r che contiene il segmento PD. A questo puntosappiamo che, nello spazio, i due piani di proiezioneppppp1 e ppppp2 sono tra loro perpendicolari, quindi anche letracce del piano aaaaa, t’aaaaa e t’’aaaaa sono perpendicolari.Se, mantenendo ferma la t’aaaaa ribaltiamo sul pianoorizzontale la t’’a,a,a,a,a, che è perpendicolare rispetto a ppppp1

e quindi anche alla t’aaaaa, otteniamo una semiretta conorigine coincidente con l’intersezione della t’aaaaa con laLinea di Terra e con direzione perpendicolare rispetto

alla stessa t’a.a.a.a.a. Tale semiretta sarà la traccia secondadi a a a a a ribaltata e la chiameremo (t’’aaaaa). Su di essa,puntando nell’origine comune alle tracce di aaaaaetracciando un arco di circonferenza, riporteremo la t”rnel punto (t”r). Unendo t’r con (t”r) otteniamo (r),immagine in vera grandezza della retta r.A questa immagine in vera grandezza (r) appartieneanche l’immagine in vera grandezza del segmento PD.Infatti, proiettando ortogonalmente da r’ su (r) gliestremi P’ e D’ giacenti sulla proiezione orizzontale r’della retta r, determineremo (P) e (D), che sono gliestremi del segmento considerato, rappresentato invera grandezza nella sua immagine ribaltata.

61.Rappresentazione di un segmento inclinato rispetto ai piani diproiezione

62.Procedimento per la ricercadella vera grandezza di unsegmento inclinato rispetto aipiani di proiezione


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Pianta di un edificio

L’ edificio è posto al centro di un giardino (piano aaaaa).Immaginiamo di “sezionarlo” con un piano b b b b b paralleload aaaaa ad una determinata altezza da quest’ultimo.Proiettando la parte sezionata sul piano orizzontaleppppp1 si ottiene la pianta.Le linee che rappresentano la sezione dovrannoessere disegnate più spesse di quelle cherappresentano oggetti e cose che stanno al di sottodel piano a.a.a.a.a.

Sezione di un edificio

Con un piano ggggg , parallelo ad uno dei piani verticalippppp2 o ppppp3 si “sezioni” l’edificio nella parte in cui sonopresenti il maggior numero possibile dei suoi elementicaratteristici.Si proietti la parte sezionata sui piani verticali ppppp2 o ppppp3

rappresentando anche oggetti e cose che stannodietro il piano ggggg facendo attenzione a differenziare lospessore delle linee tra quelle che rappresentano lesezione e quelle che rappresentano altri oggetti o coseche sono dietro al piano.

Prospetto di un edificio

Posto un piano verticale ddddd, parallelo ad uno dei pianidel TRIEDRO (ppppp2 o ppppp3), in prossimità del fronte darappresentare, questo “seziona” il terreno sul qualel’edificio è situato.Si proietteranno sul piano verticale, ppppp2 o ppppp3 la lineadi sezione tra il piano d d d d d ed il terreno e tutto ciò che èposto dietro lo stesso piano ddddd, facendo attenzione adifferenziare lo spessore della linea che rappresentala sezione del terreno e quelle che rappresentanooggetti o cose che sono dietro il piano.

63. Rappresentazione in proiezione ortogonale della pianta di unedificio, intesa come sezione con un piano parallelo al primo piano diproiezione

64. Rappresentazione in proiezione ortogonale della sezione di unedificio, ottenuta con un piano perpendicolare ai due piani di proiezione

65. Rappresentazione in proiezione ortogonale del prospetto di unedificio, inteso come sezione non passante per l'oggetto, ottenutacon un piano parallelo ad uno dei piani del triedro


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Le proiezioni assonometriche

Sono proiezioni cilindriche che possono essereORTOGONALI, cioè con raggi perpendicolari rispettoal piano di proiezione, oppure OBLIQUE, cioè con raggiinclinati rispetto al piano di proiezione. Questo metodo,che deriva dagli studi sulla prospettiva dal puntoall’infinito, consente, poste determinate condizioni, dirisolvere il problema della rappresentazione in scala,quindi misurabile, di un oggetto reale o immaginato.Come per le proiezioni ortogonali occorre innanzi tuttostabilire che un oggetto, per renderne possibile lamisurazione, va collocato in un preciso sistema diriferimento. Si considerino perciò come sistema diriferimento i piani di un TRIEDRO e le tre semirettegenerate dalla loro intersezione , perpendicolari tra loro,con origine comune in O. Come per un sistema spazialedi assi cartesiani si chiamino X e Y le due semiretterisultanti dalla intersezione del piano orizzontale ppppp1 coni piani verticali, e Z la semiretta formata dallaintersezione dei due piani verticali ppppp2 e ppppp3.Si consideri poi un quarto piano di proiezione ppppp (quadro)che sia obliquo rispetto ai tre piani del triedro e siaposizionato in modo tale che, intersecando i tre pianidel triedro, formi un triangolo acutangolo chechiameremo “triangolo fondamentale”.Si stabilisca, infine, la direzione di una semiretta “d”con origine in O che intersechi la superficie racchiusaall’interno del triangolo fondamentale, che sarà la“direzione” d dei raggi di proiezione paralleli.Chiameremo gli assi del triedro X, Y e Z assi obbiettivi.Se proiettiamo, con un fascio di raggi paralleli alladirezione d, gli assi obbiettivi sul piano di proiezione ppppp,otteniamo sul quadro l’immagine dei tre assi X, Y e Z,aventi l’origine comune O, ovvero X’, Y’ e Z’, aventil’origine comune O’.Chiameremo gli assi X’, Y’ e Z’ assi assonometrici.Se “d” è perpendicolare rispetto a ppppp si ha unaassonometria ortogonale.Se “d” è inclinato rispetto a ppppp si ha una assonometriaobliqua.Sia “m” un segmento di misura unitaria posto sugli assiX, Y, Z, assi obiettivi: chiameremo il segmento m unitàobiettiva.Siano i segmenti mx, my, mz le immagini di m su gliassi X’, Y’ e Z’, chiameremo i segmenti mx, my e mzunità assonometriche.II rapporto tra le singole unità assonometriche e l’unitàobiettiva mx/m, my/m, mz/m si chiama rapportoassonometrico.Si prenda ora in considerazione un oggettotridimensionale come quello rappresentato nella figurae lo si collochi nel sistema cartesiano di riferimento. Si

scelga poi il piano di proiezione ppppp e una direzionequalsiasi della semiretta d.Se si proietta sul piano ppppp nella direzione di d, si ottienel’immagine assonometrica dell’oggetto e degli assi delsistema cartesiano di riferimento.Le tracce t’ppppp , t’’ppppp , t’’’ppppp con i piani del triedro formanoil triangolo fondamentale detto anche triangolo delletracce di ppppp. L’unità di misura obiettiva m su gli assiobiettivi X, Y e Z diventa rispettivamente mx, my e mzsopra gli assi assonometrici,I tre angoli, con vertice in O’, che le semirette X’, Y’ e Z’formano su ppppp, variano sia modificando l’inclinazionedel quadro rispetto al triedro, sia al variare delladirezione d della semiretta con origine in O. Diconseguenza si modificano anche, sui singoli assi X’.Y’. Z. le rispettive lunghezze delle unità assonometrichemx, my e mz.

66.Rappresentazione del triangolo fondamentale generatodall'intersezione fra il quadro ed il triedro di riferimento

67.Rappresentazione di un semplice oggetto tramite proiezioneassonometrica


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Assonometria ortogonale

Quando la semiretta d cade nell’ortocentro del triangolofondamentale significa che la direzione dei raggi diproiezione da V∞ è perpendicolare al quadro ppppp.Vediamo ora come si determinano sopra gli assiassonometrici X’, Y’, Z’, arbitrariamente scelti, lerispettive unità assonometriche, mx, my, mz, chederivano da una unità obiettiva m comune ai tre assidel triedro X, Y, Z.Siccome sappiamo che gli assi obiettivi formano traloro a due a due angoli retti, sarà sufficiente ribaltareO’ sul quadro ppppp per trovare (O).Le semirette ottenute (nella figura dell’esempioX’(O),(O)Z’) sono perpendicolari tra loro erappresentano gli assi X e Z del triedro; su questi sipongono le unità obiettive m che, proiettaterispettivamente su gli assi assonometrici X e Z cheavevamo arbitrariamente scelti, consentono dideterminare su di essi la dimensione delle unitàassonometriche mx e mz.I rapporti assonometrici saranno:

rispetto a X - mx/mrispetto a Y - my/mrispetto a Z - mz/m

L’assonometria è ortogonale quando:La direzione d da V∞ è perpendicolare a ppppp;Gli assi assonometrici X’, Y’, Z’ coincidono con le altezze deltriangolo; O’ è nell’ortocentro,II piano (quadro) ppppp è obliquo rispetto ai piani e a gli assi del triedro.

Il triangolo fondamentale risulta essere equilatero ovvero ha lamedesima inclinazione rispetto ai tre piani del triedro.In questo casoi rapporti assonometrici saranno:mx/m = my/m ≠ mz/mQuindi mx = my ≠ mzL’assonometria risulterà essere ortogonale isometrica (omonometrica).

Quando ppppp ha la medesima inclinazione rispetto a due piani del triedroe diversa rispetto al terzo, risulterà che i rapporti assonometricisaranno:mx/m ≠ my/m ≠ mz/mQuindi mx ≠ my ≠ mzL’assonometria è ortogonale dimetrica.

Quando infine il piano ppppp ha una diversa inclinazione rispetto aitre piani del triedro, risulterà che i rapporti assonometrici saranno:mx/m = my/m = mz/mQuindi mx = my = mzL’assonometria è ortogonale trimetrica.


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Assonometria obliqua

Quando i raggi provenienti dal centro di proiezione V∞risultano essere inclinati rispetto al quadro ppppp ,l’assonometria si dice obliqua.Esistono diversi tipi di assonometrie oblique.

Assonometria cavaliera

Si assuma un quadro p p p p p parallelo o coincidente condue dei tre assi del triedro, l’asse X e l’asse Z, quindiun piano di proiezione verticale. II quadrogeneralmente verrà posto parallelamente ad uno dellefacce piane verticali dell’oggetto.Si proietti su di esso l’oggetto con raggi di proiezioneobliqui. La faccia parallela al quadro rimarrà invariata,mantenendo il parallelismo delle rette e l’uguaglianzadegli angoli, ma si vedranno altre due facce del solidorappresentato.

O = O’Y = Y’Z = Z’ mz = mmy = m

L’assonometria cavaliera è generalmente dimetrica. Unica variabile:mx che dipende dalla direzione d di V∞.Nella pratica, relativamente alla posizione degli assi assonometrici,conviene assumere:Z’ sempre perpendicolare a Y’X con angolo tra 90° e 180° a destra di Y’

Assonometria cavaliera militare (o pratica)Qualora la direzione d da V∞ sia su di un piano inclinato a 45°rispetto a p abbiamo una assonometria ISOMETRICA con rapportiassonometrici del tipo:mx/m = my/m = mz/m cioè 1 / 1 / 1In questa generalmente assumiamo p parallelo o coincidente conil piano orizzontale del triedro. In questo caso è convenienteassumere l’asse Z’ verticale (parallelo alle rette verticali dell’oggettoda rappresentare) in modo che gli assi X’ e Y’, perpendicolari traloro, risultino rivolti verso il basso rispettivamente a sinistra e a destra.

A) rapporti 1 / 1 / 1

B) rapporti 1 / 1 / 1

C) rapporti 1 / 1 / 1

A B

C

Obliqua Ortogonale

68. Le proiezioni assonometriche più consuete


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69. C.Van Eesteren, Theo Van Doesburg. Assonometria di una casaunifamiliare, 1923

70. Giangiacomo D'Ardia. Disegno architettonico, 1979

71. Esempio di spaccato assonometrico

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La prospettiva

La prospettiva è una proiezione conica con un centro“V” posto in posizione finita nello spazio, rispetto alquadro p.p.p.p.p.

-Posizione del centro di proiezione V (quando si è sceltanon si può più cambiare)

-La distanza, di V dall’oggetto si determinaconsiderando un cono visivo con angolo al vertice di60°. L’asse del cono è il raggio principale.

-Posizione del quadro ppppp perpendicolare al raggioprincipale, come per la fotografia il piano della pellicolaè perpendicolare all’asse ottico. Se vogliamoinquadrare bene l’oggetto bisogna proiettare il raggioprincipale il più possibile in posizione baricentricarispetto all’oggetto stesso.

-Distanza del quadro ppppp da V. Spostando il quadroparallelamente.a se stesso avremo sempre immaginisimili.

- Se ppppp coincide con V avremo di qualsiasi oggetto unaproiezione puntiforme.

- Maggiore è la distanza di ppppp da V, più grande èl’immagine.

- Normalmente si pone ppppp tra V e l’oggetto, ma lo si puòporre oltre l’oggetto, oppure dietro V (in quest’ultimocaso otterremo una immagine speculare)

-Converrà che il quadro ppppp tocchi un elementodell’oggetto - punto, retta, piano. Avremo così unelemento che sarà rappresentato in vera grandezza(tenuto conto della scala di riduzione) che chiameremoelemento unito.

Altri elementi di definizione della prospettiva sono:

-un piano di riferimento (o piano geometrale) pldisposto orizzontalmente; (può assumere la quota chepiù ci conviene per la costruzione)

-la retta L, intersezione del quadro con il piano diriferimento, si chiamerà retta di riferimento;

-il punto principale P che è la proiezione ortogonaledi V su ppppp; la distanza VP è detta distanza principale;

-la retta O (orizzonte) è l’intersezione con il quadrodel piano orizzontale passante per V;

-il raggio principale perpendicolare al quadrocorrisponde alla retta per V e P;

-sono raggi proiettanti tutte le rette passanti per Vnella proiezione conica;

-il cerchio visivo fffff sul quadro corrisponde alla basedel cono retto con angolo al vertice in V.

II cono ha una apertura massima di 60°. Entro talecerchio l’immagine si ritiene non aberrata;

-il cerchio di distanza ddddd sul quadro è un cerchio concentro P e raggio VP. Tale cerchio individua su O i puntiD1 e D2 e, sulla verticale per P, i punti D3 e D4.

Variabili fondamentali della prospettiva lineare

II punto P è il punto nel quale, nell’immagineprospettica, convergono tutte le rette perpendicolarial quadro (punto di “fuga” delle rette perpendicolari alquadro)La retta O, orizzonte, è quella nella quale convergono,nell’immagine prospettica, tutti i piani orizzontali. Taleretta è detta di “fuga” dei piani orizzontali. Ogni rettagiacente su ciascuno dei detti piani orizzontali ha ilsuo punto di fuga sull’orizzonte O.Tutte le rette parallele al quadro hanno la fuga in puntiimpropri (infinito). Nella prospettiva a quadro verticale,tutte le rette verticali hanno fuga in punti impropri(infinito).

72. Elementi caratterizzanti la prospettiva


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Prospettiva centrale

Disposto l’oggetto, rispetto al quadro, in modo tale chei segmenti principali che determinano la sua formarisultino paralleli o perpendicolari al quadro stesso, sistabilisca la posizione del punto di vista V rispetto alquadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabiliscapoi l’altezza H dell’orizzonte dal piano di riferimento,quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sullaretta O individueremo P (punto di fuga delle retteperpendicolari al quadro, mentre i punti di fuga dellerette parallele al quadro saranno all’infinito a destra ea sinistra), tracceremo, con centro in P, il cerchio didistanza (individuando su O i punti di fuga delle retteorizzontali inclinate a 45° rispetto al quadro), poi,individuando su L le tracce delle rette che contengonoi segmenti che caratterizzano la forma dell’oggetto,procediamo come illustrato nelle figure.

Prospettiva di un quadrato con i lati postiparallelamente e ortogonalmente rispetto al quadro

A - uso del cerchio di distanza

B - uso delle rette proiettanti

Prospettiva centrale a quadro orizzontale

L’ uso della prospettiva centrale è assai opportuno perla rappresentazione di ambienti interni e non presentaparticolari difficoltà.E’ infatti possibile disporre il quadro in posizioneorizzontale, ottenendo così un modello prospettico dettoa quadro orizzontale, poi procedere con operazionianaloghe a quelle illustrate per la prospettiva a quadroverticale. L’immagine a fianco illustra una applicazionecon vista dal basso di un ambiente delimitato da uncolonnato e coperto da una cupola.

73.H.Vedreman de Vries(1527-1604). Prospettiva a quadro orizzontaledi un interno


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Prospettiva accidentaleDisposto l’oggetto, rispetto al quadro, in modo tale che i segmenti verticali che determinano la sua forma risultinoparalleli al quadro stesso, mentre le principali linee orizzontali vengono poste in posizione sghemba, si stabiliscala posizione del punto di vista V rispetto al quadro (in planimetria lo chiamiamo Vo), si stabilisca poi l’altezza Hdell’orizzonte dal piano di riferimento, quindi si fissino sul disegno le parallele O ed L. Sulla retta O individueremoP - punto principale - (il punto P, proiezione di V sull’Orizzonte, è anche centro del cerchio visivo e del cerchiodi distanza oltre che punto di fuga delle rette orizzontali perpendicolari al quadro). Nella planimetria si traccino,fino ad incontrare L (traccia del quadro verticale sul piano di riferimento), le rette che contengono i segmentiorizzontali che definiscono la forma planimetrica dell’oggetto: fino a determinare sul quadro stesso un punto didette rette. Per proiettare, dal punto di vista V, un secondo punto della retta r si sceglie di proiettare il suo puntoimproprio (all’infinito): la proiezione avviene ponendo l’osservatore in V con il raggio visuale parallelo alla retta r.Siccome il raggio visuale parallelo alla r ,incontrando questa all’infinito, determina un altro punto della r stessanel punto improprio, il raggio visuale da V al punto improprio di r , quando interseca il quadro, determina su diesso l’immagine del punto all’infinito anche della r. Questo punto sul quadro è il punto di fuga della retta r e ditutte le sue parallele.Prendiamo ad esempio una retta r . Con il procedimento descritto si determina la traccia Tr della retta sul quadro(punto unito appartenente alla retta r).

Prospettiva frontale e accidentaleDs e Dd sulla retta di orizzonte O sono i punti di fugadelle rette orizzontali inclinate a 45° rispetto al quadro.Si ricorda che il cerchio di distanza (circonferenza dibase di un cono retto con angolo al vertice di 90° in V)è il luogo geometrico dei punti di fuga delle retteincidenti sul quadro ppppp con un angolo di 45°.Per determinare la misura prospettica dei segmentiparalleli al quadro ma non coincidenti, basta riportaresul quadro stesso le tracce delle rette orizzontali a 45°(anche se scelte come rette “ausiliarie”) alle qualiappartengono i due estremi di ogni segmento, poimandare queste ultime a fuga nel punto di distanza Dcorrispondente, posto sull’ orizzonte O. Per determinarele altezze prospettiche di ogni singolo punto dal pianodi riferimento occorre riportare sul quadro (sulla rettaL) la giacitura sul piano di riferimento di ogni singolopunto (traccia del punto T), poi elevare dalla traccial’altezza dei punto stesso e mandare alla relativa fugadalla quota determinata sul quadro.

74.Prospettiva frontale e accidentale di un cubo al variare dellaposizione rispetto al quadro


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75. Veduta prospettica frontale dell'interno della cattedrale di Noyon

76. Diverse immagini prospettiche di un oggetto al variare dellaposizione del punto di vista

77.M.C.Escher. Prospettiva a quadro inclinato dell'interno di S.Pietroa Roma

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Le ombre architettoniche

L’uso delle ombre nel disegno di architettura,indipendentemente dal sistema di rappresentazioneimpiegato, mette in risalto la volumetria degli oggetti,rendendo percepibili in maniera immediata learticolazioni plastiche delle superfici. La possibilità diconferire realismo all’immagine per mezzo delle ombre,è sfruttata sia nella rappresentazione dell’esistente, siain fase di composizione, dove possono divenirestrumento di controllo progettuale.Da un punto di vista geometrico, si tratta di unparticolare tipo di proiezioni, per lo studio delle quali eper la comprensione delle relative costruzioni grafiche,si rimanda ai testi specifici citati in bibliografia. In questasede, ci si limita a ricordare come la collocazione dellasorgente luminosa rispetto all’oggetto possadeterminare proiezioni dei raggi luminosi – e quindidelle ombre – parallele o coniche. In particolare, unasorgente luminosa posta a distanza infinita, situazioneche approssima il caso del sole e quindi la provenienzadella luce naturale, comporterà una proiezione paralleladelle ombre, mentre nel caso di luce artificiale posta adistanza finita rispetto all’oggetto, la proiezione saràconica, con i raggi luminosi divergenti dalla sorgente.Ogni oggetto è caratterizzato da un’ombra propria,determinata dai raggi luminosi tangenti al suo contorno,che ne individuano una parte in luce ed una in ombra,delimitate da una linea detta appunto separatriced’ombra. La proiezione di questa linea sui piani diriferimento o su altri oggetti descrive il contornodell’ombra portata. Nelle proiezioni ortogonali, perindividuare l’ombra propria e l’ombra portata deglioggetti, si ipotizza in genere una sorgente luminosaposta all’infinito, con raggi diretti in modo da avere leproiezioni a 45° rispetto ai piani di riferimento.

79. Procedimento per la determinazione dell'ombra architettonica datala pianta ed il prospetto di un edificio

80. Rappresentazione delle ombre in un disegno prospettico

81. Rappresentazione dell'ombra su una base attica secondo lacostruzione geometrica e con effetti di chiaro-scuro

78. Esemplificazione dell'ombra come proiezione al variare dellaposizione della sorgente luminosa

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