IIRR RR

RR RR RR RR55

33 44

33 44 44 44

E E RR RR

RR RR RR RR RR RR ++ RR RR ++ RR RR RR RR RR22 11

11 22 11 33 22 33 11 22 55 11 22 33 44

-- alimentazione CCalimentazione CC

azzeramento del ponte azzeramento del ponte

(indipendente da E):(indipendente da E):RR1 1 RR4 4 = R= R2 2 RR33, , I I55=0=0

este

nsim

etro

este

nsim

etro

misuramisura

11 22

33 44

55

II55

EE

11

--

Da dove arriva la formula illustrata nella pagina Da dove arriva la formula illustrata nella pagina precedente?precedente?

La trattazione rigorosa parte dall’applicazione della La trattazione rigorosa parte dall’applicazione della legge di Kirckoff della maglielegge di Kirckoff della maglie

II11es

tensi

met

ro

este

nsim

etro11 22

33 44

RR55

EE00

II

II22

22

RRii

02413i EIIRIIRIR 0IIRIRIIR 2151113

0IIRIRIIR 1252224

EIRIRI RR 241343

Ordinando secondo le correnti e ricordando che Ordinando secondo le correnti e ricordando che EE00-R-RiiI=E, si ha I=E, si ha

0IRI RRRIR 2515313 0I RRRIRIR 2542154

E’ un sistema lineare nelle 3 incognite I, IE’ un sistema lineare nelle 3 incognite I, I11, I, I22

33

Se si indica con ISe si indica con I55=I=I22-I-I11 la corrente che passa nel la corrente che passa nel

galvanometro G (cioè in Rgalvanometro G (cioè in R55) e sostituendo I) e sostituendo I22=I=I11+I+I5 5 si hasi ha

0RRRI RRIR

0IRI RRIR

EIRI RRI RR

5421424

551313

5414343

L’espressione di IL’espressione di I55 è dunque: è dunque:

542424

5313

44343

424

313

4343

5

RRRRRR

RRRR

RRRRR

0RRR

0RRR

ERRRR

I

44

I due casi interessanti sono quelli di resistenza sulla I due casi interessanti sono quelli di resistenza sulla diagonale di misura (Rdiagonale di misura (R55) >> altre resistenze e quello con ) >> altre resistenze e quello con

resistenza della diagonale di misura << altre resistenze.resistenza della diagonale di misura << altre resistenze.

Nei due casi viene privilegiato a denominatore il primo Nei due casi viene privilegiato a denominatore il primo termine piuttosto che il secondotermine piuttosto che il secondo

Nel momento in cui una delle resistenze varia, ad es RNel momento in cui una delle resistenze varia, ad es R22, ,

si ha una variazione si ha una variazione II55 della corrente nella diagonale di della corrente nella diagonale di

misura.misura.

(1)(1)

55

43215432421431321

23145 RRRRRRRRRRRRRRRRR

RRRREI

G

RERRRRRVII 41324155

Ove G esprime in maniera sintetica il denominatore della Ove G esprime in maniera sintetica il denominatore della (1). Se si parte da condizioni di ponte bilanciato:(1). Se si parte da condizioni di ponte bilanciato:

G

RVRI 415

Con l’ulteriore ipotesi di RCon l’ulteriore ipotesi di R11=R=R22 e R e R33=R=R44::

a) Ra) R55 piccola (galvanometro) piccola (galvanometro)

4224

45

RRR

R

2

EI

b) Rb) R55 grande (voltmetro) grande (voltmetro)

4

4

55 R

R

4

E

R

1I

66

OSSERVAZIONIOSSERVAZIONI

La relazione generale (1), ma anche quelle approssimate La relazione generale (1), ma anche quelle approssimate che saranno mostrate nel seguito sono lineari con la che saranno mostrate nel seguito sono lineari con la tensione di alimentazione del ponte, ma non sono lineari tensione di alimentazione del ponte, ma non sono lineari con l singole resistenze del ponte: se il ponte non è con l singole resistenze del ponte: se il ponte non è inizialmente bilanciato e una delle resistenze subisce inizialmente bilanciato e una delle resistenze subisce una variazione, la tensione di uscita NON è una variazione, la tensione di uscita NON è proporzionale alla variazione di quella resistenzaproporzionale alla variazione di quella resistenza

SOLO partendo da condizioni di ponte bilanciato si ha SOLO partendo da condizioni di ponte bilanciato si ha linearità tra le variazioni di resistenza e la corrente (o linearità tra le variazioni di resistenza e la corrente (o tensione) vista sulla diagonale di misura (casi a e b della tensione) vista sulla diagonale di misura (casi a e b della pagine precedente).pagine precedente).

77

RR11, R, R22, R, R33, R, R44 nominalmente nominalmente

ugualiuguali

in realtà sempre diverse perin realtà sempre diverse per

le tolleranzele tolleranze

Bilanciamento del ponte aBilanciamento del ponte a

carico nullocarico nullo

(I(I55=0)=0)

MISURE PER AZZERAMENTOMISURE PER AZZERAMENTO

RRbilbil

II55

11 22

33 44

EE 88

Applico il carico:Applico il carico:

R R

ponte sbilanciatoponte sbilanciato

Galvanometro:Galvanometro:

RR55<< R<< R11, R, R22, R, R33, R, R44

si agisce sulla resisten-za si agisce sulla resisten-za variabile Rvariabile Rvv per riottenere I per riottenere I55=0=0

(solo numeratore)(solo numeratore)

RRbilbil

II55

11 22

33 44

RRvv

EE

RR55

99

RR5 5 e E ininfluentie E ininfluenti

Il galvanometro misura lo Il galvanometro misura lo zerozero

metodo non adatto per metodo non adatto per misure dinamiche (che si misure dinamiche (che si effettueno per deflessione)effettueno per deflessione)

posizione del cursoreposizione del cursoremisura (taratura)misura (taratura)

RRbilbil

II55

11 22

33 44

RRvv

RR55

EE 1010

DEFLESSIONEDEFLESSIONE

VV

EERR // RR

44 22 RR // RRRR // RR

44

con 4 lati uguali e variazionecon 4 lati uguali e variazione

di resistenza solo su un lato:di resistenza solo su un lato:

11 22

33 44

EE

RR55

II55

Se RSe R55 è molto grande: è molto grande:

azzero, carico azzero, carico RR

1111

43215

32415 RRRRR

RRRREI

4321

324155 RRRR

RRRREIRV

11 22

33 44

EE

RR55

II55

RR VV carico:carico: RR11= R= R22= R= R33= R= R44=R:=R:

azzeramento inizialeazzeramento iniziale

VVEE

44

RRRR

ESEMPIO PRECEDENTEESEMPIO PRECEDENTE

DATI: DATI: E=1 V E=1 V R/R=9.5 10R/R=9.5 10-4-4

1 101 10-3-3 = 100 MPa= 100 MPa

INCOGNITA:INCOGNITA: VV

VV mVmV 1144 1010 00 25 25 33 ,, 1212

11 22

33 44

EE

RR55

II55

E tipici 1-5 VE tipici 1-5 V

Sensibilità se E , ma I ,Sensibilità se E , ma I ,

RIRI2 2

limiti per T elevatalimiti per T elevata

1313

In realtà il caso più comune è quello delle misure per In realtà il caso più comune è quello delle misure per deflessione, con voltmetro sulla diagonale di misura.deflessione, con voltmetro sulla diagonale di misura.

E’ allora possibile affrontare E’ allora possibile affrontare il discorso in termini più il discorso in termini più semplici supponendo nullo semplici supponendo nullo l’effetto di carico del l’effetto di carico del voltmetro . Se interessa la voltmetro . Se interessa la caduta di tensione a cavallo caduta di tensione a cavallo di 1 si hadi 1 si ha

estensimetro

misuramisura

11 22

33 44

55

II55

EE

AA

BB

CC

DD

ERR

RV

21

1AB

ERR

RV

43

3AD

Quindi la tensione misurata ai capi della diagonale di Quindi la tensione misurata ai capi della diagonale di misura è V=Vmisura è V=VBDBD=V=VABAB-V-VADAD

1414

Sostituendo si ricavaSostituendo si ricava

che consente di arrivare per altra via alla definizione che consente di arrivare per altra via alla definizione dei rapporti tra le resistenze per avere ponte dei rapporti tra le resistenze per avere ponte bilanciato.bilanciato.Può essere a questo punto interessante conoscere Può essere a questo punto interessante conoscere l’entità dell’effetto di carico dovuto al fatto che il l’entità dell’effetto di carico dovuto al fatto che il voltmetro NON ha impedenza di ingresso infinita. Si voltmetro NON ha impedenza di ingresso infinita. Si fa ricorso ancora una volta al teorema di Thèvenin.fa ricorso ancora una volta al teorema di Thèvenin.

ERRRR

RRRRV

4321

3241

11 22

33 44

EE

II55

A circuito aperto E equivalente è A circuito aperto E equivalente è quella data da (2)quella data da (2)

(2)(2)

AA

BB

CC

DD

1515

L’impedenza equivalente vista dal voltmetro è quella che L’impedenza equivalente vista dal voltmetro è quella che viene dalla figura, dove il generatore è stato messo in viene dalla figura, dove il generatore è stato messo in corto.corto.

11 22

33 44

EE

II55

AA

BB

CC

DDBB DD

A,CA,C

11

22

33

44

21

21RR

RR

43

43RR

RR

BB DD

1616

43

43

21

21RR

RR

RR

RR

mREE

Chiamando l’uscita del ponte eChiamando l’uscita del ponte eACL ACL quando si considera la quando si considera la

resistenza interna del voltmetro, si haresistenza interna del voltmetro, si ha

43432121m

211433

TOT

BDm RRRRRRRRR

RRRRRRE

R

Ei

iimm

mmACL iRe

1717

In definitiva l’effetto di carico dl voltmetro si traduce in:In definitiva l’effetto di carico dl voltmetro si traduce in:

43432121m

ACLRRRRRRRRR11

1

V

e

Se RSe Rmm== non si ha effetto di carico, se Rm non si ha effetto di carico, se Rm l’effetto di l’effetto di

carico dipende dal rapporto Rcarico dipende dal rapporto Rmm/R/Ree, con R, con Ree resistenza resistenza

equivalente del ponte.equivalente del ponte.

43

43

21

21e RR

RR

RR

RRR

me

ACLRR1

1

V

e

1818

1/4 PONTE1/4 PONTE

11 22

33 44

EE

VV

1919

1/2 PONTE1/2 PONTE

11 22

33 44

EE

VV

2020

PONTE INTEROPONTE INTERO

11 22

33 44

EE

VV

2121

REGOLA DEL PONTE DI WHEATSTONEREGOLA DEL PONTE DI WHEATSTONE

RR11++RR11

RR44++RR44

V+V+VV

EE

RR33++RR33

RR22++RR22

RR RR RR RR RR RR RR RR

VVEE RR RR RR RR RR RR RR RR 11 11 44 44 22 22 33 33

11 11 22 22 33 33 44 44

azzeramentoazzeramentoiniziale: V=0iniziale: V=0

2222

Fin qui sono stati considerati casi semplificati, in cui le 4 Fin qui sono stati considerati casi semplificati, in cui le 4 resistenze sono uguali: nella realtà questo non sempe resistenze sono uguali: nella realtà questo non sempe avviene: si considera il caso di impedenza elevata sulla avviene: si considera il caso di impedenza elevata sulla diagonale di misura da formula (2):diagonale di misura da formula (2):

B

AE

RRRR0

0RRRR

RRRR

RRRR

EV

3344

2211

4433

2211

La scrittura della pagina precedente è uguale a:La scrittura della pagina precedente è uguale a:

con con

3

3

4

4

2

2

1

141 R

R

R

R

R

R

R

RRRA

21

22141

RR

RRRRB

3

3

4

4

2

2

1

12

21

21

R

R

R

R

R

R

R

R

RR

RREV

Svolgendo i conti si ha:Svolgendo i conti si ha:

Se le 4 resistenze sono uguali si verifica che si ricade Se le 4 resistenze sono uguali si verifica che si ricade nel caso notonel caso noto

V ER

R

R

RE

R

Ri

i

i

i

2

24

14

Se invece si conservano valori differenti per le Se invece si conservano valori differenti per le resistenze sui 4 lati, si ha:resistenze sui 4 lati, si ha:

3

3

4

4

2

2

1

12 R

R

R

R

R

R

R

R

r1

rEV

Se invece si conservano valori differenti per le Se invece si conservano valori differenti per le resistenze sui 4 lati, si ha:resistenze sui 4 lati, si ha:

3

3

4

4

2

2

1

12 R

R

R

R

R

R

R

R

r1

rEV

Ove r indica il rapporto tra Ove r indica il rapporto tra RR22/R/R11..

Si possono subito osservare due casi assai importanti:Si possono subito osservare due casi assai importanti:variazioni di resistenze relative a lati contigui si variazioni di resistenze relative a lati contigui si sottraggonosottraggono

variazioni di resistenze relative a lati opposti si variazioni di resistenze relative a lati opposti si sommanosommano

Segnali uguali su lati opposti si sommanoSegnali uguali su lati opposti si sommano

VV ==

EE

44RR

RR22

RR11++RR

RR44++RR

VV

RR22

RR33

EE

2525

RR11++RR

RR44

VV

RR22

RR33++RR

EE

V = 0

Segnali uguali su lati contigui si sottraggonoSegnali uguali su lati contigui si sottraggono

2626

Segnali opposti su lati contigui si sommanoSegnali opposti su lati contigui si sommano

RR11++RR

RR44

VV

RR22

RR33--RR

EE

VV ==

EE

44RR

RR22

2727

Sono possibili due ipotesi nel caso di ponte funzionante in Sono possibili due ipotesi nel caso di ponte funzionante in corrente continua:corrente continua:

a) il ponte è alimentato con una tensione costantea) il ponte è alimentato con una tensione costante

b) il ponte è alimentato da una tensione che può essere b) il ponte è alimentato da una tensione che può essere variata in funzione della massima corrente che può variata in funzione della massima corrente che può attraversare un estensimetroattraversare un estensimetro

a) il ponte è alimentato con una tensione costantea) il ponte è alimentato con una tensione costante

3

3

4

4

2

2

1

12c R

R

R

R

R

R

R

R

r1

rEVS

SScc =sensibilità del ponte =sensibilità del ponte se E se E

Se E Se E problemi per effetto Joule problemi per effetto Joule

Migliorare la sensibilità significa allora aumentareMigliorare la sensibilità significa allora aumentare 2r1

r

0,00

0,10

0,20

0,30

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

r

r/(1

+r)

^2

SScc = sensibilità del ponte = sensibilità del ponte se se

r = 1 r = 1

n lati attivi: uguali n lati attivi: uguali R/RR/R

ove k = k dell’estensimetroove k = k dell’estensimetron = numero di lati attivin = numero di lati attivi

nk

r1

rES

2c

b) il ponte è alimentato da una tensione che può essere b) il ponte è alimentato da una tensione che può essere variata in funzione della massima corrente che può variata in funzione della massima corrente che può attraversare un estensimetroattraversare un estensimetroEsiste un valore massimo di potenza dissipabile senza Esiste un valore massimo di potenza dissipabile senza problemi.problemi.Con un solo lato attivo (RCon un solo lato attivo (R11) e strumento di misura ad alta ) e strumento di misura ad alta

impedenza di ingressoimpedenza di ingresso

r1RIR

RRRIRRIE 11

1

1211211

r =R2/R1

1211 RIP Potenza dissipata per effetto JoulePotenza dissipata per effetto Joule

1

11 R

PI

1111

1 RPr1r1RR

PV EE

Fissata la massima potenza dissipabile dall’estensimetro la Fissata la massima potenza dissipabile dall’estensimetro la sensibilità del circuito èsensibilità del circuito è

112112c RPkr1

r

r1

rkRPr1

r1

rVk

VS

EE

In tale situazione è possibile pensare di giocare sul valore In tale situazione è possibile pensare di giocare sul valore di r per migliorare l’efficienza del circuitodi r per migliorare l’efficienza del circuito

r/ (r+1), detta efficienza del circuito, è monotona crescente. r/ (r+1), detta efficienza del circuito, è monotona crescente. E’ conseguenza naturale che si cerchi di elevare il più E’ conseguenza naturale che si cerchi di elevare il più possibile il valore di r; un valore ragionevole è r=9-10, in possibile il valore di r; un valore ragionevole è r=9-10, in corrispondenza a tale valore l'efficienza del circuito è del corrispondenza a tale valore l'efficienza del circuito è del 90%.90%.

Inserisci caso con valori delle resistenze diversi per i Inserisci caso con valori delle resistenze diversi per i quattro latiquattro lati