I NUMERI PERFETTI

Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori.

Il più piccolo numero perfetto è il 6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1, 2 e 3 e la loro somma 1+2+3=6. Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28 (divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui somma è 28). I greci conoscevano altri due numeri perfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62 +124+254+248), e il numero 8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064). Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare nella struttura dell'universo perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni. Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel XV secolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il 33.550.336.

Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi il sesto ed il settimo numero perfetto: il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328. La ricerca dei numeri perfetti, prima dell'avvento del computer, è stata lunga e faticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero scoperti solo 12. Il più grande di questi, calcolato senza l'ausilio del computer , è un numero di 72 cifre che impegnò per diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematici dell'Ottocento.

Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula :

Oggi conosciamo 39 numeri perfetti. Il più grande ha più di 8 milioni di cifre ed è stato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del Canada, coadiuvato dall'istituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott Kurowsky (vedi tabella seguente). Il numero è espresso nella forma: [213.466.916 *(213.466.917-1)] dove (213.466.917-1 ) è l'ultimo numero primo scoperto.

Finora i numeri perfetti scoperti sono tutti numeri pari, ma i matematici non possono escludere che il quarantesimo numero sia dispari e nemmeno che la loro lista sia finita o infinita.

Carl Pomerance, matematico dell'università della Georgia, ha dimostrato che, se un giorno sarà trovato un numero perfetto dispari, esso dovrà contenere almeno 7 numeri primi diversi.

Una seconda curiosità, che si può dimostrare, è che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale alla somma della successione di numeri dispari (partendo da 1) elevati al cubo.

Esempio: 28= 13 + 33 496= 13 + 33 + 53 + 73

1288= 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Un terzo aspetto dei numeri perfetti maggiori del 6 è la somma degli elementi che compongono il numero che è sempre uguale a 1.

Esempio: 28= 8+2=10=1+0=1

496=4+9+6=19=1+9=10=1+0=1

8128=8+1+2+8= 19=1+9=10=1+0=1

33550336=28=2+8=10=1+0=1