Indice:

o L’algebra di Booleo Applicazione dell’algebra di Boole

Boole sviluppò assieme a De Morgan la logica matematica moderna e il metodo

simbolico. Boole e De Morgan costruirono l'algebra della

logica (o algebrea booleana), staccando la logica dalla filosofia (Logica

Aristotelica) e legandola alla matematica.

L’ algebra BooleanaL’ algebra Booleana Contempla due costanti LOGICHE 00 e 11 (falsofalso e verovero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti

Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:ANDAND, OROR, NOTNOT sono gli operatori fondamentali

0 1

Porte logichePorte logiche Le variabili logiche sono indicate

generalmente con lettere maiuscole A, B, C..

Gli operandi principali sono tre:

1. la negazione o NOT (¯ oppure !) 2. la somma logica o OR ( + ) 3. il prodotto logico o AND ( • )

L’operazione diL’operazione di ANDAND Si definisce l’operazione di prodotto logicoprodotto logico (AND):

il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1

00 = 001 = 010 = 011 = 1

11

11

01

10

10

01

00

00

L’operazione di L’operazione di OROR Si definisce l’operazione di somma logicasomma logica (OR):

il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo 1

0

0

0

1

0+0 0+1

0+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1

1

1

1

01+0 1+1

La negazioneLa negazione NOTNOT Si definisce l’operatore di negazionenegazione (NOT):

l’operatore inverte il valore della costante su cui opera

Dalla definizione…

0 = 11 = 0

0 = 01 = 1

Porte logichePorte logicheLe possibili combinazioni tra le porte principali sono:

L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND)

L'operatore NOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR)

L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo)

L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR)

La tabella di veritàLa tabella di verità• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di veritàtabella di verità della funzione logica

• Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logicisomma logica di prodotti logici A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Y = ABC + ABC + ABC + ABC

Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle xi un valore di y

Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di veritàtabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di y

Funzioni logicheFunzioni logiche

y = F(x1,x2,…,xn)

x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1

y = x1+x2

La forma canonica La forma canonica Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y

che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1

Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1

Y = ABC + ABC + ABC

A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

Un circuito con due interruttoriUn circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a

valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore

A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Y = AB+ABA B

A B0

11

0

A=1 B=0

Y

A B

A B0

11

0

A=1 B=1

Y

A B

A B0

11

0

A=0 B=1

Y

A B

A B0

11

0

A=0 B=0

Y

Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che

permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili.

Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana

xy00 01 11 10

z

0 1 1 0 0

1 0 1 1 1

Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione.