I Motori Asincroni (ad Induzione)I Motori Asincroni (ad Induzione)

Le macchine asincrone sono macchine rotanti la cui velocità angolare di rotore non è rigidamente legata a quella del campo rotante.

Sono dette anche “macchine ad induzione” perchè gli avvolgimenti di rotore sono sede esclusivamente di correnti indotte dal campo rotante.

La coppia motrice nasce dalla interazione del campo rotante generato da un sistema di correnti che circolano negli avvolgimenti di statore (sistema induttore) con il campo magnetico generato dalle correnti di rotore (sistema indotto).

Sistema induttore: è montato sullo statore ed è composto da un pacco di lamierini al FeSi, aventi forma di corona circolare, in sono state predisposte le cave per l’alloggiamento degli avvolgimenti. Lo statore delle macchine asincrone è del tutto identico allo statore delle macchine sincrone. Si rimanda a quella trattazione.

Generalità di Tipo CostruttivoGeneralità di Tipo Costruttivo

Il numero delle cave di rotore e di statore devono essere in numero non multiplo uno dell’altro per evitare che gli eventuali allineamenti tra le parti attive degli avvolgimenti provochino una mancata concatenazione tra i flussi magnetici di statore e rotore (problemi allo spunto).

Sistema indotto: è montato sull’albero di rotore ed è composto da un pacco di lamierini magnetici sulla cui periferia sono state predisposte le cave per l’avvolgimento di rotore.

I rotori si distinguono in:

• rotori avvolti;

• rotori a gabbia

– gabbia semplice;

– doppia gabbia;

– barre profonde.

Circuito magnetico di accoppiamento: è composto dal circuito magnetico di statore e di rotore. Le due sezioni sono divise da un traferro che è sede del campo principale.

Sia il rotore che lo statore sono sede di flussi variabili nel tempo. I rispettivi circuiti magnetici sono laminati per ridurre le perdite nel ferro (correnti parassite).

Avvolgimenti di Rotore:

I conduttori che si trovano nelle cave di rotore devono costituire, nel loro insieme, un avvolgimento polifase avente lo stesso numero di poli dell’avvolgimento di statore.

Rotore avvolto con collettore ad anelli.

È del tutto simile all’avvolgimento di statore, compresa la forma delle cave.

Le fasi sono collegate a stella o a triangolo ed i terminali fanno capo a tre anelli su cui strisciano le spazzole che consentono la chiusura degli avvolgimenti su un circuito esterno (ad esempio, sul reostato di avviamento).

È composta da un solo conduttore per cava, in rame o in alluminio, isolato solo dall’ossido superficiale, le cui estremità sono collegate ad un anello frontale dello stesso materiale.

In funzionamento normale, i tre anelli sono in corto circuito allo scopo di ottenere la minima resistenza di avvolgimento.

Rotore a gabbia semplice

è perennemente in corto circuito.

Per piccole e medie potenze, le sbarre e gli anelli sono realizzati in alluminio presso-fuso.

Per grosse potenze le sbarre vengono realizzate a parte ed inserite a freddo (azoto liquido) e gli anelli vengono saldati e torniti.

Dato che i conduttori sono perennemente in corto, le correnti circolanti sono piuttosto intense.

Non presenta un prefissato numero di poli.

Osservazioni

Non viene impiegato come generatore perché non è in grado di produrre potenza reattiva e perché cambia la frequenza delle grandezze elettriche in funzione del carico.

ANELLI DI CORTO CIRCUITO

PACCO MAGNETICOBARRE DELLA GABBIA

PALETTE DI VENTILAZIONE

Funziona come un trasformatore con un sistema di avvolgimenti in movimento.

Vengono realizzati per sviluppare tutti i tipi di velocità, basta variare il numero di poli o le frequenze di alimentazione.

albero

cuscinetto

Supporto del circuito magnetico di statore

Coperchi frontali

supporti

Ventola ed anello pressapacco

morsettiera

Anello pressapacco

Avvolgimenti di statore

gabbia

Circuito magnetico di statore

Circuito magnetico di rotore

Sta soppiantando le altre macchine grazie alla alimentazione a frequenza variabile (PWM) soprattutto nelle applicazioni dove viene richiesta una notevole variazione di velocità (campo specifico delle macchine in cc ad eccitazione serie).

Vengono realizzati per una vastissima gamma di potenze (da pochi W fino a decine di MW).

Di costruzione robusta, semplice ed economica.

Considero una macchina asincrona con il rotore avvolto. Lo statore viene collegato ad una rete a potenza infinita con tensioni concatenate simmetriche e valore efficace costante.

L’avvolgimento di rotore avente un numero di poli pari a quello di statore, è collegato agli anelli di rotore ed i terminali sono, per il momento, aperti.

Principi di FunzionamentoPrincipi di Funzionamento

Se si chiude l’alimentazione, negli avvolgimenti di statore circola un sistema di correnti equilibrate (per le condizioni di simmetria costruttiva della macchina), limitate dalla resistenza e dalla reattanza interna di macchina.

Sia R la resistenza dei conduttori ed X la reattanza legata al flusso al traferro che si concatena con il solo avvolgimento di statore.

Le correnti assorbite danno origine ad un campo magnetico rotante di statore identico a quello delle macchine sincrone.

Ipotesi di CampoIpotesi di Campo

In modo del tutto identico al procedimento proposto nel caso delle macchine sincrone, possiamo formulare le ipotesi di campo:

1) permeabilità magnetica del ferro infinita (f= => Hf=0);

2) distribuzione del campo magnetico identica in tutti i piani perpendicolari all’asse di macchina (si trascurano gli effetti di bordo nelle testate);

3) andamento radiale delle linee di flusso al traferro (le componenti tangenziali del campo devono essere nulle. Si trascurano le perturbazioni di campo dovute alle cave).

Tenendo conto del n°delle fasi, della distribuzione spaziale delle q cave per polo e per fase, del n° dei poli, l’andamento della f.m.m. al traferro è a scalini con valore medio nullo nello sviluppo perimetrale.

Abbiamo dimostrato, con riferimento all’armonica fondamentale, che il campo magnetico rotante viene descritto dalla espressione:

)]v

xt([cosH

2

3)t,x(H

ceM IqnK

221H caM

Il campo rotante visto da un osservatore fisso con lo statore ed uno fisso con il rotore (fermo) è un campo variabile nel tempo con legge sinusoidale.

Il profilo dell’induzione al traferro viene descritto dalla relazione:

)]v

xt([cosB)]

v

xt([cosH

2

3)t,x(B

ce0

ceM0

Il flusso medio per polo si calcola tenendo conto della superficie del polo Sp=pl dove p è il passo polare ed l la lunghezza del pacco magnetico.

lBK p0f Questo flusso, concatenandosi sia con lo statore che con il rotore, induce una f.e.m. il cui andamento è sinusoidale.

)t(sinE)t(e eM efaM NKKKE

Se il rotore è fermo, l’analogia con il trasformatore a vuoto è completa. E’ possibile esplicitare l’espressione fasoriale delle f.e.m. indotte sullo statore e sul rotore:

Er è misurabile ai morsetti aperti del rotore.

Ks e Kr differiscono per il diverso coefficiente di avvolgimento.

Ne segue che nello statore viene assorbita una corrente di magnetizzazione che genera il campo rotante (e sostiene le perdite nel ferro) che vale:

ss

sfs jXR

EVI

0

Is0 è circa i 20 - 30 % di In contro il 5% dei trasformatori, a causa della presenza di un largo traferro.

Possiamo immaginare che

Inoltre, definiamo il rapporto di trasformazione elettrico come:

seMs E)t(sinE)t(es

esss NjKE

reMr E)t(sinE)t(er

errr NjKE

III as0

ra

sa

r

st NK

NK

E

En

r

s

Rotore in Corto

Se chiudiamo gli avvolgimenti di rotore in corto, le f.e.m. di rotore fanno circolare una corrente Ir nelle fasi di rotore (terna equilibrata per simmetria costruttiva). Queste correnti vengono limitate dalla resistenza degli avvolgimenti e dalle reattanza di rotore.

La terna delle correnti di rotore generano, a loro volta, un campo rotante di reazione che è perfettamente sincrono con quello di induzione. Il suo n°di poli è pari a quello di statore. Se il rotore è fermo, la velocità del campo rotante è identica alla velocità angolare del campo rotante di statore (induttore).

Siamo in condizione di sincronismo tra campi magnetici rotanti. Nasce quindi una coppia meccanica di spunto che tende a far muovere il motore nella direzione del campo rotante induttore.

rrrrr IXjIRE

pprs ee

c

Rotori a Gabbia

I rotori a gabbia non presentano un numero di poli prefissato ma “copiano” il n° di poli del campo rotante.

Le singole barre vengono investite dal campo rotante ed ognuna di esse si concatena con una quota di flusso magnetico che dipende dalla posizione angolare relativa tra barra ed onda.

Con riferimento alla figura (pag.seguente), le prime 7 barre si concatenano con un flusso di segno positivo dando origine a 7 f.e.m. che sono sfasati tra loro di

2R/2pZr.

Sotto il polo di segno contrario, le barre sono interessate dallo stesso flusso ma di segno contrario al precedente.

Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per le altre coppie polari.

Questo ragionamento prova sia che il n° di poli di rotore è identico a quello di statore che il n°massimo di poli è pari al n° delle barre di rotore.

Le f.e.m. indotte fanno circolare le correnti di rotore con il medesimo meccanismo spiegato per il caso del rotore avvolto.

Queste correnti circolano nelle barre e si chiudono negli anelli di testa (circuito in corto).

La circolazione delle correnti è dettato dalle f.e.m. indotte. Si genera un sistema di correnti equilibrate, limitate dalle resistenze e dalle reattanze di barre ed anello.

L’insieme delle forze che si esercitano tra conduttori di statore e di rotore determina la coppia motrice che trascina il motore in rotazione nella direzione di rotazione del campo rotante.

Noto il verso di rotazione del rotore, con la regola della mano destra si determina il verso di percorrenza delle correnti nei conduttori.

Rotore a Poli Salienti (Macchina Anisotropa)Condizione di Moto StazionarioCondizione di Moto Stazionario

Durante l’avviamento, mentre il rotore accelera, diminuisce la velocità relativa tra campo rotante ed il rotore stesso. Diminuisce la velocità con cui le linee di forza del campo tagliano le barre rotoriche si modifica il regime elettrico indotto negli avvolgimenti di rotore.

Per una generica velocità di rotazione per il rotore (il campo rotante di statore ruota a giri fissi determinati dalla frequenza elettrica e dal numero di poli), due osservatori, uno solidale con il rotore e l’altro con lo statore, vedranno condizioni di funzionamento diverse.

Osservatore fisso sullo statore

L’osservatore fisso con lo statore vede un campo magnetico dipendente dal tempo con legge

(* è lo sfasamento tra la posizione

dell’osservatore A ed un riferimento fisso), il cui periodo è

)]v

xt([cosB)t,x(B *

c

Ae0A

p;

v;

v

2T e

cp

cc

c

pc

Lo stesso osservatore, A, vede il rotore ruotare con pulsazione angolare mr .

Osservatore mobile con il rotore

Il rotore è in movimento con un determinato numero di giri nr [giri/min]. L’osservatore B vede l’osservatore fisso di statore A rimanere indietro con lo stesso n° di giri e verso contrario rispetto a quello indicato da A.

L’osservatore B vede il campo rotante di statore superarlo con una velocità vc>vmr. Il numero di giri del campo rotante, visti

dall’osservatore B di rotore, sarà nc-nmr.

I conduttori di rotore tagliano le linee del campo rotante con una velocità vc-vmr => Rc-Rmr

Ne segue che nel rotore si instaura un regime elettrico che dipende dalla velocità relativa (vc-vmr) del campo rotante di statore rispetto

all’osservatore B di rotore.

)nn(60

R2n

60

R2n

60

R2mrcmrc

L’osservatore B vede un campo rotante variabile nel tempo con legge trigonometrica di periodo Ter pari a:

Definizione di scorrimento

Definiamo come scorrimento il rapporto tra

la velocità relativa del campo rispetto al rotore.

p

rccr

rc

pcr

)vv(

vv

2T

c

mrc

v

)vv(s

c

mrc

c

mrc

c

mrc

c

mrc

n

nn

n602

n602

n602

R

RR

v

)vv(s

S esprime la frazione di giro che il rotore perde ogni giro completo del campo rotante. In termini percentuali:

100n

nn%s

c

mrc

Ed esprime il n° di giri che il rotore perde ogni 100 giri del campo rotante.

S=1 se nmr=0 => il rotore è fermo

S=0 se nmr=nc => il rotore ruota con il campo rotante

1s0

Ora, il periodo dell’onda di campo di statore vista dal rotore può essere espressa come:

c

p

rc

pcr sv

2

vv

2T

mac

pc v

2T

Ne segue che

s

TT ccr

Con riferimento alla frequenza, cccc

sffsf

1

f

1r

r

Moltiplicando ambo i membri per il

n°paia poli, vediamo che l’osservatore di rotore attribuisce al campo rotante una frequenza diversa da quella vista dall’osservatore di statore. Se x’ è la distanza misurata sul rotore a partire da un riferimento fisso con il rotore, il campo rotante visto dallo statore l’espressione

che per le condizioni trovate possiamo riscrivere come:

sffspfpfrr ecc

)]*''x

t[cos(B)t,'x(Bp

e0 r

)]*''x

ts[cos(B)t,'x(Bp

e0 s

Osservazioni:

• se il rotore è fermo vr=0 => s=1 =>

Il campo di statore viene visto nello stesso modo sia dal rotore che dallo statore (condizione trasformatorica). Il rotore e lo statore vedono i campi muoversi con la stessa velocità.

• In condizioni di perfetto sincronismo tra campo rotante e rotore vr=vc => s=0 =>

B(x’,t) è costante nel tempo. Il rotore vede un campo rotante fermo perché si stanno muovendo con la stessa velocità.

Il flusso concatenato è nullo, le f.e.m. indotte sono nulle e non circolano correnti nel rotore. Se non c’è corrente di rotore, non si crea nessun campo rotante di reazione e viene a cessare il meccanismo di generazione di coppia motrice.

)]*''x

t[cos(B)t,'x(Bp

e0 s

)]*''x

[cos(B)t,'x(Bp

0

La coppia resistente fa rallentare il motore, ma se la macchina rallenta

s0 e quindi er(t)0 ed il rotore ridiventa sede di correnti e di coppia motrice.

La macchina si porta in un punto di equilibrio in cui il ritardo del rotore sul campo rotante produce un regime di correnti tale da creare una coppia motrice che equilibra quella resistente.

Il valore efficace delle f.e.m. indotte sul rotore è legato alla frequenza del campo rotante visto dal rotore ed è pari a

sapendo che fer=sf =>

La f.e.m. di rotore Er=Er(s)=sEr(s=1) varia al variare dello scorrimento. Lo scorrimento dipende dal carico, precisamente dalla coppia resistente che esso è chiamato a vincere.

A vuoto Er(s=0)=0, non ci sono f.e.m. e quindi correnti nel rotore.

Il Regime Elettrico di RotoreIl Regime Elettrico di Rotore

errrr NjKE esrrr sNjKE

)1s(Es)s(EsNjK)s(E rresrrr

Alla velocità di sincronismo, il motore funziona a vuoto. In pratica, questa condizione non può essere mai raggiunta perchè il motore deve vincere gli attriti e sopperire alle perdite.

A pieno carico s varia tra 1% ed il 5%.

Se applichiamo il II°p di Kirchoff ai circuiti elettrici di rotore possiamo scrivere che

Er(s) fa circolare correnti con una frequenza fer. Considerato il sistema elettrico di rotore, le correnti generano a loro volta un campo magnetico rotante di reazione che ruota, con riferimento ad un osservatore solidale con il rotore, B, con una velocità angolare pari a

giri/min rispetto al rotore nel vero di rotazione del campo induttore.

Il campo rotante di rotore ruota rispetto al rotore con un numero di giri paria dalla def. di scorrimento

rrrrr IXjIRE )s(XjR

)s(E)s(I

rr

rr

p

f60n r

r

ec

rcce

c nnsnp

sf60

p

f60n r

r

Il campo rotante di rotore si muove sul rotore che ha un numero di giri pari ad nr.

Un osservatore esterno, solidale con lo statore vede un campo rotante di rotore che ruota con un numero di giri pari a

nr+(nc-nr)=nc [giri/min]

sincrono, cioè con il campo rotante di statore.

Sistemi di riferimento

Riferimento di Statore

Un osservatore esterno vede il campo rotante di statore e di rotore ruotare con la stessa velocità angolare. Qualunque sia lo scorrimento del rotore, il campo che esso genera si mantiene in perfetto sincronismo con il campo rotante induttore. In condizioni di regime, i due campi mantengono invariata la loro posizione relativa reciproca.

L’osservatore di statore vede un regime elettrico di rotore avente la stessa frequenza di quello di statore e vede il rotore ruotare con una pulsazione o numero di giri mr= c- sc=(1-s) c

Riferimento di Rotore

Un osservatore solidale con il rotore vede lo statore che ruota all’indietro con una pulsazione angolare mr e vede un campo rotante

che lo precede con una pulsazione sc

Secondo l’osservatore di rotore, il regime elettrico è caratterizzato da una frequenza di fer=sf.

Riferimento sul Campo Rotante

Un osservatore solidale con il campo rotante vede lo statore che si muove con pulsazione rotore vede lo statore che ruota all’indietro con una pulsazione -c nel verso opposto rispetto all’osservatore di

statore e vede il rotore che si muove con pulsazione angolare sc

nella direzione dello statore.

Dal punto di vista modellistico, si immagina di avere un rotore avvolto come lo statore, con i tre avvolgimenti posti in corto circuito e solidali con il rotore posto in rotazione.

L’accoppiamento tra gli avvolgimenti statorici e rotorici varia con la posizione relativa tra statore e rotore.

Equazioni Interne in Regime DinamicoEquazioni Interne in Regime Dinamico

is2

is1

is3

ir3

ir2

ir1

Considero un riferimento trifase solidale con lo statore ed uno solidale con il rotore. I due sono posti in relazione dall’angolo (t) che in condizioni dinamiche, si modifica nel tempo (d/dt0).

Per ipotesi, ci riferiamo alle sole fondamentali delle grandezze elettriche. Nei rispettivi riferimenti, posso pensare allora di introdurre i vettori spaziali. Nel riferimento di rotore, le grandezze elettriche rotoriche non vedono il rotore in moto.

dt

diR0 rrr

dt

diRV sssf s

Equazione di statore con riferimento sullo statore.

Equazione di rotore con riferimento sul rotore.

Dove s e r sono i flussi totali concatenati con gli avvolgimenti di statore e di rotore.

Dobbiamo precisare meglio il legame tra correnti e flussi concatenati perché entra in gioco il moto relativo dei riferimenti.

Sia nelle gabbie che nei rotori avvolti, le grandezze rotoriche non sono misurabili direttamente.

Il riferimento alle sole fondamentali ci consente di ricorrere alla distribuzione di avvolgimento

definito durante la discussione

sui M.S.

Nei rispettivi riferimenti, possiamo scrivere immediatamente le equazioni elettriche di statore e di rotore:

)cos(qnK21

i

)(H)(F eca

eei

i

Dato un sistema di correnti trifase equilibrato tali che i1+i2+i3=0 è

possibile ottenere un vettore spaziale i=(i1+ai2+a2i3) con a=ej2/3

In tale piano è possibile rappresentare il vettore in un sistema di due assi cartesiani mediante rappresentazione di numeri complessi mediante la trasformazione (123) => ().

Trasformazione Trifase (123) Bifase Assi Fissi ()Trasformazione Trifase (123) Bifase Assi Fissi ()

32

i 123 i

1

3

2

i

i

i

Questa trasformazione la posso applicare sia sullo statore che sul rotore, nei rispettivi riferimenti.

In un sistema di riferimento a 2D, la macchina asincrona viene modellata da sue avvolgimenti solidali con lo statore e da due solidali col rotore.

s

is

is

s

ir

ir

r

r

E’ necessario descrivere il concatenamento tra flussi solidali con un sistema fisso ed uno mobile. Si consideri ora un sistema di riferimento (d,q) che si muove rispetto al riferimento fisso con velocità angolare variabile r(t)=d/dt. Il sistema di riferimento è scelto in modo tale che l’asse diretto, d, coincide con l’asse fisso, , quando t=0.

Trasformazione Assi Fissi () =>Assi Mobili (dq)Trasformazione Assi Fissi () =>Assi Mobili (dq)

Sappiamo che l’operazione di trasformazione assi fissi / assi mobili si effettua utilizzando la matrice di trasformazione |A()|

qd

i

i

iq

id

i

A()

i i dq

i

i)(A

i

i

cossin

sincos

i

i

q

d

O l’operatore di rotazione e -j nel piano complesso:

A()<==> e -j At()<==> e j

Nel caso del motore asincrono, gli assi di rotore sono rotanti per lo statore ma sono fissi per il rotore. Questo ragionamento ci porta a concludere che, nel caso degli asincroni, la trasformazione assi fissi/assi rotanti riguarda l’accoppiamento meccanico tra due sistemi fissi . Nel caso del M.S. è stato visto che:

[]=L[][i]si studia ora la espressione di L[], matrice delle auto e mutue induzioni delle macchine asincrone sapendo che

[i]=[is , is , ir , ir ]t; []=[s , s , r , r ] t;

r

s

s r

r

r

s

s

i

i

i

i

L0

0L

L0

0L

]i)][(L[][

r

r

s

s

Come dimostrato nel caso della macchina sincrona, le mutue relative alle correnti di statore ( e di rotore nel proprio riferimento rotante) sono state inglobate in L. Ne segue che, in questa rappresentazione, sono nulle. Nella relazione tra correnti e flussi dello stesso sistema, sono presenti solo coeff.di auto induzione.

Le mutue compaiono per tenere conto della influenza tra correnti rotoriche e statore e tra correnti statoriche e rotore.

is2

is1

is3

ir3

ir2ir1

Gli accoppiamenti di mutua tra gli avvolgimenti di statore e rotore, nei rispettivi riferimenti, tengono conto degli sfasamenti relativi:

M11=M22=M33=Mcos(t);

M12=M23=M31=Mcos(t+120°);

M13=M21=M32=Mcos(t+240°);

Data la simmetria del circuito, i coefficienti di mutua M sono tutti uguali e si determinano con lo stesso ragionamento già discusso nel caso delle macchine sincrone.

Dopo aver applicato la trasformazione di riferimento (123) => () dei riferimenti di statore e rotore, l’accoppiamento tra un

avvolgimenti di rotore ed uno di statore dipende dallo sfasamento dei riferimenti in modo sinusoidale.

r

s

s r

Quando r ed s sono allineati, l’accoppiamento è massimo e nullo tra r e s perché sfasati di 90° (e viceversa). Allo stesso modo, l’accoppiamento è massimo anche quando r è allineato con s (nullo tra r ed s).

cosMMsin)(

MsincosM)(

)i()i(

s

s

rr

cosMMsin)(

MsincosM)(

)i()i(

r

r

ss

Ricordando la definizione e le proprietà della matrice di trasformazione |A()|:

Possiamo esplicitare la relazione tra correnti e flussi concatenati come:

La matrice è necessariamente simmetrica per reciprocità.

I è la matrice identità

cossin

sincos)(A

cossin

sincos)(A)(At1

iIL)(MA

)(MAIL

r

ts

Introduciamo i vettori: (matrici colonna) possiamo esplicitare meglio la relazione tra correnti e flussi

t

r

t

s

t

r

t

s

rrss

rrss

iiiiii

Trasformazione su un riferimento generico k

Si consideri ora un sistema di riferimento generico, k, a cui riferire entrambi i sistemi simultaneamente.

Tramite la matrice di trasformazione |A(k)| mi porto da un riferimento all’altro, ad esempio

• da riferimento di statore al riferimento k

rrsr

rt

sss

r

s

r

ts

r

s

iLi)(MA

i)(MAiL

i

i

IL)(MA

)(MAIL

r

s

s

r

k

k

kk skt

ssks i)(Aii)(Ai

• da riferimento di rotore al riferimento k

kk rkt

rrkr i)(Aii)(Ai ad esempio, se pre-moltiplico per |A(k)| la relazione di statore

rt

sss i)(MAiL

e ricordarci che

rt

kssksk i)(MA)(AiL)(A)(A

kskt

s i)(Ai krk

tr i)(Ai

kk rktt

kskt

sksk i)(A)(MA)(Ai)(AL)(A)(A

Ora, I)(A)(A kt

k I)(A)(A)(A ktt

k

quindi, kkk rsss iMiL

Si conclude che sul riferimento k generico si perde la dipendenza delle mutue dalla posizione angolare.

Lo stesso ragionamento si applica sulla equazione di flusso di rotore, in analogia con il procedimento appena svolto (basta premoltiplicare la equazione di rotore per |A(k- )|.

Osservazione Importante: si ottiene un sistema indipendente da e quindi dal riferimento

kkk

kkk

srrr

rsss

iMiL

iMiLEquazione di statore con riferimento k genericoEquazione di rotore con riferimento k generico

Equazioni Elettriche

Si devono riferire le equazioni elettriche al nuovo sistema di riferimento k.

Le equazioni elettriche di statore e rotore, riferite ai rispettivi riferimenti di statore e rotore, possono essere espresse come:

Sfruttiamo l’espressione fasoriale della matrice di trasformazione |A(k)| => e-jk

Se, ad esempio, se voglio trasformare il flusso di statore, s dal suo riferimento nel riferimento generico k, è sufficiente effettuare la moltiplicazione

Applicando questa trasformazione alla prima equazione elettrica

tjs

jss

kk

kee

dt

diR0 rrr

dt

diRV sssf s

)e( tjss

k

k

dt

)e(deiReV

dt

diRV

tjstj

sstj

fs

ssf

k

kk

k

k

sks

tjks

tjstj

s k

k

kk

k

k ejedt

)(d

dt

)e(d

l’espressione della derivata è

La inserisco nella espressione da cui deriva

tjks

tjstjss

tjf

k

k

kkk

k

k

skeje

dt

)(deiReV

k

k

ksksk

sssf

jdt

)(diRV

Nella espressione compare un termine mozionale.

Se consideriamo la seconda equazione elettrica riferita al rotore e ripetiamo le stesse considerazioni sulla trasformazione dal riferimento di rotore a quello generico k otteniamo

t)(jrkr

t)(jrr

mkmk

kee

dt

)e(deiR0

dt

diR0

t)(jrt)(j

rrr

rr

mk

kmk

k

t)(jmkr

t)(jrt)(j

r mk

k

mkk

mk

k e)(jedt

)(d

dt

)e(d

l’espressione della derivata è

La inserisco nella espressione da cui deriva

t)(jmkr

t)(jrt)(jrr

mk

k

mkkmk

ke)(je

dt

)(deiR

k

k

k rmkr

rr )(jdt

)(diR0

Anche in questo caso compaiono termini mozionali.

Possiamo scrivere le equazioni dei flussi concatenati e quelle elettriche con riferimento ad un generico riferimento k nelle ipotesi di

• distribuzione sinusoidale delle grandezze elettriche e magnetiche;

• linearità magnetica.

Si può omettere di usare il pendice k perché compare nella variabile k che ricorda la variazione di riferimento

Riassumendo, le equazioni ricavate sono:

rmkr

rr )(jdt

)(diR0

sks

ssfj

dt

)(diRV

s

srrr

rsss

iMiL

iMiLLegame correnti, flussi

Equazione di statore

Equazione di rotore

Dalle equazioni elettriche di statore e di rotore possiamo ricavare un bilancio energetico premoltiplicando entrambe le equazioni per le rispettive correnti:

Bilancio EnergeticoBilancio Energetico

))(jdt

)(diR0(i

)jdt

)(diRV(i

rmkr

rrr

sks

ssfss

Come al solito, si trascurano le perdite nel ferro.

Esaminando termine per termine si vede che:

))(j(idt

)(diiRi0

)j(idt

)(diiRiVi

rmkrr

rrrr

skss

ssssfss

sssssviviVi

fs È la potenza elettrica che entra in macchina.

2rrrrr

2sssss

iRiRi

iRiRi È la potenza persa per effetto Joule negli avvolgimenti di statore e di rotore.

dt

)(di

dt

)(di

rr

ss

Rappresentano le variazioni di energia magnetica immagazzinata dallo statore e dal rotore, rispettivamente.

sono f.e.m. trasformatoriche

dt

)(de

dt

)(d rs

I primi due termini rappresentano la potenza che esce dallo statore ed entra nel rotore. Hanno segno discorde e la loro somma è nulla. L’ultima è la potenza elettrica equivalente meccanica prodotta dalla macchina asincrona. Ricordando che j è un operatore di rotazione di 90°

))(j(i

)j(i

rmkr

sksSono termini relativi alla produzione di energia meccanica. Le potenze sono sommabili. Ne viene che

Osservazione Importante:

Tra tutti i possibili riferimenti, viene scelto uno solidale con la pulsazione elettrica e perché legato alla frequenza di rete che è un parametro facilmente controllabile ed è caratterizzante per il regime elettrico (e = k).

Ora tutte le considerazioni fin qui svolte si riferivano ad un sistema a due poli (p=1) caratterizzato dal rispettare la condizione e = c

rmrrkrsksrmkrsks jijiji)(ji)j(i

mrrmrmr P)i(ji

e dall’avere una pulsazione meccanica m =(1- s)c .

In un sistema multipolare, i ragionamenti svolti vanno ripetuti sotto ogni coppia polare. Lo scorrimento delle grandezze elettriche viene riferito ad una pulsazione elettrica equivalente meccanica che è legata alla pulsazione meccanica dal numero di coppie polari (em=pm pulsazione meccanica equivalente elettrica). Per lo scorrimento possiamo scrivere che

e

eme

c

mc

c

mc )(

p

)pp()(s

Tornando alla espressione della coppia

)i(p2

3)i(

1

2

3P

2

3T rrrrem

mm

mm

Si possono esplicitare anche altre espressioni equivalenti tenendo conto del legame tra flussi e correnti.

srrr

rsss

iMiL

iMiLk

Sostituendo r nella espressione della coppia con la seconda equazione del sistema si ottiene

)iMi(p2

3))iMiL(i(p

2

3T srsrrrm

Nota: il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo.

Se invece si sostituisce ir prendendolo dalla prima equazione

M

iLi sssr

)i(p

2

3)iM)

M

iL((p

2

3T sss

sssm

L’espressione più utilizzata prevede la presenza delle correnti statoriche perché facilmente misurabile ed i flussi rotorici.

)i(pL

M

2

3))

L

iM((p

2

3)i(p

2

3T rs

rr

r

srrrm

r

srr L

iMi

rmkr

rr )(jdt

)(diR0

sks

ssfj

dt

)(diRV

s

srrr

rsss

iMiL

iMiLLegame correnti, flussi

Equazione di statore

Equazione di rotore

Equazioni Interne per la Dinamica su Riferimento kEquazioni Interne per la Dinamica su Riferimento k

rrrsrm L

MK)i(pK

2

3T

Coppia motrice (Kr è il coefficiente di accoppiamento rotorico.

Equazioni Esterne per la DinamicaEquazioni Esterne per la DinamicaAlimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere variate a piacere [v]=f(t).Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in

funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt

remer

rr )(jdt

)(dIR0

ses

ssfj

dt

)(dIRV

s

Divido ambo i membri della seconda equazione per lo scorrimento s ricordando che

Equazioni Interne per lo Stato StazionarioEquazioni Interne per lo Stato Stazionario

Con la scelta del riferimento solidale con la pulsazione elettrica del sistema di alimentazione statorica, e, e imponendo la condizione di regime stazionario dove tutte le grandezze hanno il modulo costante e le eventuali derivate nulle, è possibile riscrivere le equazioni ricavate per il regime dinamici nello stato stazionario. In particolare:

e

eme )(s

s

)( emee

rerr

remerr jI

s

R

s

)(j

s

IR0

srrr

rsss

IMIL

IMILLe relazioni correnti/flussi nelle condizioni di stazionarietà diventano:

Sostituendo i flussi nelle equazioni elettriche

ressessrssessfIMjILjIR)IMIL(jIRV

s

serrerr

srrerr IMjILjI

s

R)IMIL(jI

s

R0

resssfIMjI)jXR(V

s

serrr IMjI)jXs

R(0

Ponendores IMjE

ser IMjE

Si ricavano le equazioni elettriche dello stato stazionario.

ssssfEI)jXR(V

s

rrrr EI)jXs

R(0

La seconda equazione contiene un termine Rr/s. Ora si può ipotizzare di scomporre questo termine per mettere in evidenza la resistenza di rotore.

rrr R

s

s1R

s

R

Rappresenta il carico che varia con lo scorrimento s. rRs

s1

Dalle equazioni che descrivono lo stato stazionario possiamo ricavare il circuito equivalente di macchina valido in regime sinusoidale.

~Vfs

Is

Rs LsLr

M Rr

s

Ir

rrrrrr EIRs

s1I)jXR(0

Infine, introducendo la distinzione tra resistenza di rotore e resistenza di carico, si perviene al modello trasformatorico della macchina asincrona.

Le grandezze elettriche sono fasori sincroni tra loro di pulsazione e.

ssssfEI)jXR(V

s

~Vfs

Is

Rs LsLr

M (1-s)Rr

s

IrRr

Il sistema di equazioni elettriche

Trasformazione Bifase =>TrifaseTrasformazione Bifase =>Trifase

ressessfIMjILjIRV

s

serrerr IMjILjIs

R0

è un sistema le cui variabili sono vettori di componenti

s

s

s V

VV f

s

s

I

II s

r

r

I

II r

Che corrispondono a 4 equazioni scalari nei due assi.

Tramite una nuova trasformazione bifase/trifase è possibile ottenere le stesse equazioni sul riferimento 123 di tempo dove sono riferite le variabili trifasi sfasate tra loro di 120°.

r123t

es123t

ses123f

t IMBjIB)LjR(VBs

s123t

er123t

rer IMBjIB)Ljs

R(0

Se ci riferiamo ad una singola fase

r1es1ses1fIMjI)LjR(V

s

s1er1rer IMjI)Ljs

R(0

s1s1ss1fEI)jXR(V

s

r1r1rr EI)jXs

R(0

Si era determinata l’espressione della coppia in regime dinamico:

Espressione della Coppia in Regime StazionarioEspressione della Coppia in Regime Stazionario

)ii(p2

3)i(p

2

3T

rrrrrrm

Se passiamo allo stato stazionario,

)II(p2

3T

rrrrm

Se riprendiamo l’equazione elettrica di rotore ed esplicitiamo il flusso

er

rrrer

r

j

1I

s

RjI

s

R0

)IjI(s

R)jII(

s

RjI

s

Rj

rr re

rr

e

rr

e

rr

Uguagliando la parte reale e la parte immaginaria dei due membri della equazione

)jII(s

Rj r

e

rrr r

rI

s

R

e

rr

re

rr

Is

R

Sostituendo i flussi nella espressione della coppia

))Is

R(II

s

RI(p

2

3)II(p

2

3T

rrrrrrr

e

rr

e

rm

)II(s

Rp

2

3)II(p

2

3T 22

re

rm rrrrr

m

cu2

re

r2

rMe

rm s

PI

s

Rp3I

s

Rp

2

3T r

I è il valore efficace della

corrente

Pcur potenza persa nel rotore.

s

PPT

s

PT rr cu

mmmm

cum

Questa relazione mostra che la potenza meccanica generata è pari alla potenza persa sul rotore divisa per lo scorrimento.

La potenza meccanica generata viene ripartita tra rotore e carico. rr cucum P

s

s1PP

Equazioni Interne per lo Stato StazionarioEquazioni Interne per lo Stato Stazionario

Equazioni elettriche relative ad una singola fase di macchina

ssssfEI)jXR(V

s

rrrr EI)jXs

R(0

srrr

rsss

IMIL

IMIL Equazioni correnti/flussi in condizioni di stazionarietà diventano:

2

re

rm I

s

Rp3T

Espressione per la coppia motrice

Equazioni Esterne per lo Stato StazionarioEquazioni Esterne per lo Stato Stazionario

Alimentazione con terna di tensioni concatenate sinusoidali.Per una singola fase, vf(t)=Vmsin(et).

Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr, costante

Tm=Tr+Fm

Caratteristica Meccanica Tm=f(n) o Tm=f(s) Caratteristica Meccanica Tm=f(n) o Tm=f(s)

Dalla espressione della coppia 2

re

rm I

s

Rp3T

2r

2

r

r

r

XsR

EI

Tenendo conto che la corrente di rotore può essere espressa in termini di f.e.m. indotta e caratteristiche di rotore

2r

2

r

r2r

e

2

2r

2

r

r

e

rm

XsR

R)E(

s

p3

XsR

E

s

Rp3T

2r

22r

r2

tr

f

e2r

22r

r2r

em

XsR

sR)

n

V(

p3

XsR

sR)E(

p3T s

Essendotr

f

tr

sr n

V

n

EE s

2r

22r

r2

tr

f

em

XsR

sR)

n

V(

p3T s

Dallo studio della relazione

possiamo ricavare l’andamento grafico della caratteristica meccanica in funzione dello scorrimento Tm=f(s)

Tm

s

Tmmax

Tmn

Tmsp

smaxsn

Se al posto dello scorrimento s considero il n°di giri di rotore,

nr=nc(1-s), sapendo che nc è costante con la frequenza, posso considerare il

cambio di variabile nr=>1-s e la caratteristica cambierà forma ma non in modo

significativo.

Tm

Tmmax

Tmsp

Tmn

nrnnrsp nc

2r

22r

r2

t

f

em

XsR

sR)

n

V(

p3T s

1) Se s=0 => nr=nc => Tm=0 condizione di vuoto;

2) Se s=1 => nr=0 => Tm=Tspunto

3) Se s tende a 0 allora

2r

2r

r2

t

f

espm

XR

R)

n

V(

p3T s

2r

2r sXs

R

KsR

s)

n

V(

p3

R

sR)

n

V(

p3T

r

2

t

f

e2r

r2

t

f

em

ss

È una equazione di una retta che passa per l’origine con pendenza

r

2

tr

f

e R

1)

n

V(

p3K s

Se s=0 => nr=nc; Se s=0.1 => nr=0.9nc; Se s=0.2 => nr=0.8nc; …………Se s=1 => nr=0;

Dallo studio della funzione Tm=f(s) si ricavano informazioni utili sul funzionamento della macchina. Partendo dalla espressione ricavata,

Tm

s

Tmmax

Tmn

Tmsp

smaxsn

3

4

4) Se s tende a 1 allora Rr<<Xr

s

1K

Xs

R)

n

V(

p3

XsR

sR)

n

V(

p3T

2r

r2

t

f

e

2r

22r

r2

t

f

em

s

s

5) Determinazione della coppia massima

2r

22r

a2r

22r

r2

tr

f

em

XsR

sK

XsR

sR)

n

V(

p3T s

22r

22r

2r

2r

22r

a

2r

22r

a

m

)XsR(

)sX2(s)XsR(1K

s

)XsR

sK(

0s

)s(T

22

r22

r

2r

22r

a22r

22r

2r

22r

22r

am

)XsR(

XsRK

)XsR(

Xs2XsRK0

s

)s(T

Tm

s

Tmmax

smax

Se lo inseriamo nella espressione della coppia, si determina l’espressione della coppia massima.

2r

2

r

r2r

rr

r

2

tr

f

e2r

2max

2r

rmax2

tr

f

em

X)XR

(R

RXR

)n

V(

p3

XsR

Rs)

n

V(

p3T ss

max

Il denominatore non può essere nullo. Possiamo annullare il numeratore

r

rmax

2r

22r X

Rs0XsR

r

2

tr

f

e2r

2

r

r2r

r

2r

2

tr

f

em X2

1)

n

V(

p3

X)XR

(R

XR

)n

V(

p3T ss

max

e vale

La coppia massima si ha in corrispondenza della ascissa r

rmax X

Rs

r

2

tr

f

em X2

1)

n

V(

p3T s

max

Tmmax non dipende da Rr ma solo da Xr.

Smax invece è direttamente proporzionale con Rr.

Con una opportuna scelta di resistenze aggiuntive, è possibile modificare l’ascissa a cui corrisponde la coppia massima (Rc>Rb>Ra=Rr).

Se Rr tende a 0, Tmmax viene raggiunta subito ma diminuisce la coppia di spunto. Man mano che Rr cresce, Tmax si sposta verso lo spunto.

Se allo spunto desideriamo la coppia massima, possiamo dimensionare la resistenza aggiuntiva: Se smax=1 => Rc=Xr.

Questo dato è importante per il dimensionamento del reostato di avviamento o delle sezioni delle gabbie

Parimenti si può ragionare sulla caratteristica coppia funzione del numero di giri.

Avviamento delle Macchine AsincroneAvviamento delle Macchine Asincrone

Caso dei Rotori Avvolti

Tradizionalmente, nel caso dei rotori avvolti, agli avvolgimenti di rotore venivano collegati in serie dei resistori di avviamento chevenivano progressivamente disinseriti man mano che la macchina si avviava.

TmRc Rb Ra

nonanbnc=0

Tmc

Tmb

Tma

Esempio: avviamento a 3 sezioni

rotore T1

R

R

RT2

R

R

RT3

R

R

R

Tr

Tm

Ta

T3 T2 T1

Man mano che la macchina accelera, le resistenze vengono escluse ed il motore passa a funzionare su caratteristiche sempre più ripide.

La Tm deve essere sempre Tm>Tr per accelerare la macchina e vincere la coppia di inerzia.

Il disinserimento delle resistenze viene legato al numero di giri ed avviene automaticamente.

L’avviamento nei M.A. a gabbia

Fenomeni di addensamento di corrente

Durante l’avviamento, la gabbia è investita dell’intero flusso generato dal campo rotante. Questo flusso, variabile nel tempo, induce delle f.e.m. nei conduttori di rotore. La condizione di corto fa si che circolino correnti che a loro volta generano un campo magnetico e quindi un flusso.

Quest’ultimo flusso si concatena in maniera non uniforme con il conduttore di rotore. La sezione 4 si concatena con tutto il flusso

mentre le sezioni 3, 2 ed 1, si concatenano con un flusso meno intenso.

Ne segue che le f.e.m. indotte, e le correnti collegate, sono via via meno intense partendo dal fondo cava (4) all’inizio cava (1). Queste correnti hanno verso contrario alla causa che le generano e quindi la corrente circolante in cava si riduce in 4 rispetto ad 1 (effetto pelle).

Questo fenomeno è tanto più intenso quanto più elevata è la frequenza.

La doppia gabbia

È composta da una gabbia più esterna di materiale con resistività più elevata e da una gabbia interna di materiale a bassa resistività (es. bronzo- alluminio).

La doppia gabbia sfrutta questo fenomeno per far circolare più corrente nel circuito esterno, ad alta resistività.

La corrente di spunto viene limitata al valore corretto per dare origine ad una buona coppia di spunto.

Una volta in movimento, le frequenze delle grandezze elettriche di rotore calano, il confinamento della corrente perde di intensità, e la corrente tende a fluire nella barra a più bassa resistenza.

Gabbia a Barre Profonde

È composta da una gabbia a barra singola ma con una forma piuttosto allungata per sfruttare maggiormente l’effetto pelle ed il conseguente aumento di resistenza nei conduttori di rotore allo spunto.

Nelle condizioni di regime, la frequenza ridotta fa si che la corrente fluisca normalmente nell’intera sezione.

Le ultime due tipologie differiscono per i costi e per l’efficienza delle singole gabbie. A questo proposito, sono state studiate diverse forme

di cave che hanno lo scopo di migliorare le condizioni di spunto e di dinamica rotorica ottimizzando la distribuzione dei flussi magnetici nelle varie condizioni di funzionamento.

La Caratteristica Meccanica

E’ il risultato della composizione di due contributi di coppia, quello relativo alla gabbia esterna a maggiore resistenza e quella interna a minore resistenza.

Tm

Ta

Regolazione della VelocitàRegolazione della Velocità

Il campo di variazione della velocità di un m.a., in funzionamento normale, non è molto esteso (s%=> 1…6%).

Se ho necessità di avere campi di variazione più estesi posso utilizzare diversi metodi, che presentano vantaggi e svantaggi, alcuni dei quali sono caduti in disuso.

1) Resistenze aggiuntive di rotore (rotore avvolto)

Agli anelli di rotore viene collegato un reostato che permette di variare

Tm

Ta

Con continuità la resistenza aggiuntiva di rotore da un valore nullo a quella necessaria ad ottenere la coppia di spunto massima.

Variando la posizione del cursore si ottengono diverse caratteristiche che mi consentono di avere la stessa coppia di lavoro a diversi numeri di giri.

Come si può notare dalla figura, la escursione rimane ancora

Tmn

limitata perché la zona di lavoro (zona di stabilità di funzionamento) presenta notevoli pendenze, limitando con ciò l’escursione.

Questo metodo è stato abbandonato per le notevoli perdite Joule che si hanno sulle resistenze aggiuntive con forti cali di rendimento.

2) Variazione del n°di poli di Statore (Rotore a Gabbia)

Se si considera l’espressione del n° di giri

si vede che nr varia con p.

La regolazione a gradini di nr può essere effettuata commutando le bobine che compongono l’avvolgimento per ottenere diverse configurazioni ad esempio, da quattro a due poli o viceversa.

La commutazione viene effettuata in morsettiera

)s1(p

f60)s1(nn cr

È possibile ottenere lo stesso risultato realizzando più avvolgimenti di statore con un numero di poli molto diversi ed alimentando un avvolgimento per volta. Questa soluzione è adatta nel caso venga richiesto una variazione consistente del n°di giri.

Esempio di commutazione da 8 a 4 poli e viceversa

La regolazione della velocità avviene comunque a scatti e non con continuità.

E’ possibile combinare le due diverse soluzioni ottenendo, ad esempio, 12 ed 8 poli, commutabili in 6 e 4.

Questa tecnica viene impiegata nelle gru o nei montacarichi per movimentare carichi dal peso diversificato (pieno/vuoto), o nelle lavatrici per i diversi cicli di lavaggio e per la centrifugazione.

Se si vuole regolare con continuità sia gli asincroni con rotore avvolto che quelli a gabbia, bisogna cambiare completamente strategia.

3) Variazione di Ampiezza della Tensione di Alimentazione

Se riprendiamo l’espressione della coppia funzione dello scorrimento

L’idea è di far variare Vf con continuità ricorrendo ad appositi dispositivi.

• La velocità di sincronismo non dipende da Vf ma solo dalla frequenza;

• smax=Rr/Xr (indipendente da Vf )

determina la Tm max

che dipende direttamente da (Vf)2

• conosciamo la dipendenza di Tm sp

da (Vf)2. Se s=1 allora

Si può concludere che la modifica di Vf si ha una modifica dei valori della caratteristica ma non viene modificato il suo andamento al variare dello scorrimento.

2fm2

r22

r

r2

tr

f

em )V(T

XsR

sR)

n

V(

p3T

s

s

r

2

tr

f

em X2

1)

n

V(

p3T s

max

2r

2r

r2

tr

f

em

XR

R)

n

V(

p3T s

sp

Tm

TrTmsp

T’msp

Si ottiene così una variazione della velocità del motore in corrispondenza di una determinata coppia resistente, Tr, costante.

Si possono ottenere piccole variazioni di velocità sotto carico.

Se Vf cala, s cala ed Is cresce.

Aumenta, cioè la corrente assorbita per uno stesso valore di Tr. Infatti, a parità di Tr e quindi di Tm, la potenza assorbita rimane costante. Se cala Vf deve aumentare Is. Is può aumentare fino al valore nominale. E’ un metodo inefficiente; funziona per variazioni del 10% del n° di giri.

4) Variazione della Frequenza di Alimentazione

Se si considera di nuovo la relazione n°=f(frequenza)

questa evidenzia la possibilità di variare la velocità del rotore agendo

)s1(p

f2)s1(

p

f60n rmr

sulla frequenza di alimentazione del motore. Se varia f => varia e e variano, di conseguenza, Xs ed Xr.

Rr/s lo possiamo vedere come Rre/se e quindi (Rr/se)e (f)

dove se è la frequenza di scorrimento che è comunque bassa e

quindi risente molto meno della variazione di e.

Sincronismo:

variando f varia n0 (s=0) in modo lineare che è quello che si vuole.

Si hanno degli effetti sugli altri parametri caratteristici, in particolare,

Spunto:

per s=1 e nella ipotesi che Rr<<Xr

3e

2r

r2

tr

f

2r

r2

tr

f

e2r

2r

r2

tr

f

em

1

L

R)

n

V(p3

X

R)

n

V(

p3

XR

R)

n

V(

p3T sss

sp

3e

m

1T

sp Se f cala la Tmsp cresce proporzionalmente a

e viceversa.

Coppia Massima:

La condizione di coppia massima è smax= Rr/ Xr = Rr/eLr => smax= K(1/e) per cui esmax= Rr/ Lr = cost (se e cala smax cresce e

viceversa).

Ora la espressione della coppia massima è

2er

2

tr

f

r

2

tr

f

em

1

L2

1)

n

V(p3

X2

1)

n

V(

p3T ss

max

2

e

m

1T

max

Curve al variare di f:

Con queste informazioni è possibile tracciare la famiglia di curve al variare di f .

Sia n0 il n° di giri per f=50Hz.

Si consideri una diminuzione di frequenza. Ora se f cala, cala e con Vf costante.

3e

m

1T

sp

2e

m

1T

max

Tm

e

m

1s

e0n 10n20n30n 0n

La impedenza di ingresso della macchina è

)suinHz10daiXR:ip(LRZ inginge2

inge2

ingin

tcosVse1

IZ

VI f

es

ing

f

s

cresceIcalase se

cosIV3Pe1

T sfa2e

m

se f cala => n° di giri cala ma la corrente Is cresce in ragione di 1/e così come Pa e Tm cresce in ragione di 1/(e

2).

Ciò e vero fino ad un certo punto perché interviene la saturazione del circuito magnetico. In saturazione, la corrente cresce ma il flusso resta (quasi) costante, quindi la coppia resta (quasi) costante.

In queste condizioni, l’abbassamento della frequenza provoca un forte assorbimento di corrente e di potenza a cui non corrisponde un eguale innalzamento di coppia.

La macchina si scalda (aumento di perdite Joule) senza che la coppia ne risenta.

Si consideri un aumento di frequenza sopra i 50 Hz ed n0 passa a valori n0a, n0b, etc. Si nota che per n0b => Tm>Tmmax . Superato un certo valore di frequenza, veniamo a perdere coppia e quindi cala la Tr che può essere assunta come carico.

La variazione della frequenza f a Vf=costante è una tecnica di regolazione poco efficace perché va bene per piccole variazioni attorno ai giri nominali, poi se si cala troppo f la macchina scalda senza produrre coppia, se f cresce, si perde rapidamente coppia.

3e

m

1T

sp

2e

m

1T

max

Tm

e

m

1s

e0n a0n0n10n

b0n

5) Regolazione Tensione/Frequenza

Al fine di ottenere una buona regolazione, garantendo nel contempo un buon funzionamento del sistema, è opportuno che siano verificate le seguenti condizioni :

A) la corrente a vuoto, e quindi il flusso al traferro, non deve superare il valore nominale per evitare la saturazione del circuito magnetico ed eccessive perdite nel ferro;

B) Le correnti di statore e di rotore non devono superare i rispettivi valori nominali per evitare riscaldamenti nel motore e sovradimensionamenti del convertitore.

C) Le tensioni di alimentazione non devono superare i valori nominali per i quali sono stati dimensionati gli isolamenti di macchina.

Per il normale funzionamento, possiamo fare riferimento allo schema circuitale equivalente di fase (equivalente

trasformatorico).

~Vfs

Is Rs LsLr

M Rr

s

Ir

Se si riporta il secondario al primario sfruttando il rapporto di trasformazione.

~Vfs

IsRs LsLrsRrs

s 2rs

2

rs

f

s

s

s XXs

RR

VI

Nella ipotesi che srsr RXXs

Rs

s ss r

f

r

fs R

sV

s

R

VI

Si supponga di partire dalle condizioni nominali e di voler regolare la velocità a partire da questa condizione.

Sia f= f. Con >1 si indica aumento e con <1 si indica

diminuzione della frequenza di alimentazione.

Riduzione della velocità (<1)

E’ stato già mostrato che Ef

Ne segue che per avere il flusso costante la E deve variare con f. Nella ipotesi semplificativa che Vf=Es, allora la alimentazione deve essere predisposta per

ottenere un rapporto Vf/f= cost per ogni valore di <1. Deve essere verificato che

Le caratteristiche Tm=f(n) e Tm=f(s) si modificano come segue

Scorrimento:

ffVV ff

sr

fs R

sVI Dalla => => tcosRIsV

sn rsnf fnf VssV

n

f

nf s

V

sVs s è inversamente proporzionale ad . In particolare,

1s

1

fL2

R

fL2

R

X

Rs max

r

r

r

r

r

rmax

Al diminuire di f, s ed smax aumentano della stessa proporzione.

Coppia Motrice:

dalla sua espressione 2

rn

r

em I

s

Rp3T

n

n

n

nn

m

2

rn

r

e

2

rn

r

e

2

rr

em TI

s

Rp3I

sRp3

Is

Rp3T

la coppia nominale è indipendente da . In particolare, la coppia massima, Tmmax

r

2

t

f

em X2

1

n

Vp3T

max

maxmax mr

2

t

f

er

2

t

f

er

2

t

f

em T

X2

1

n

Vp3

X2

1

n

Vp3

X2

1

n

Vp3T

Anche la coppia massima è indipendente da , solo che si ottiene per uno scorrimento

1

smax

Numero di Giri a Vuoto:

nn 000 np

f60

p

f60n

p

f60n

2r

2r

r

2

t

f

emsp

n

n

n

n XR

R

n

Vp3T

Il n° di giri varia in maniera direttamente proporzionale con .

Coppia di Spunto:

se Rr<<Xr

2r

r

2

t

f

emsp

n

n

n

n X

R

n

Vp3T

n

nn

nn

msp2r

r

2

t

f

e

2r

2r

2

t

f

e2

r

r

2

t

f

emsp

T11

X

R

n

Vp3

X

R

n

Vp3

X

R

n

Vp3T

Al variare di , Tmsp varia in maniera inversamente proporzionale (se cala Tmsp cresce e viceversa).

Potenza Meccanica:

cmcmmmm nnnnnT)s1(TTP

cmcmmmm T)s1(TTP

ma

nmm TT

nmm PP

La potenza meccanica varia in diretta proporzione con

Riassumendo:

;PPnmm

;TTnmm

;T1

Tnmspmsp

Tm

Tmmax

Tmn

n00 nn

1

smax

Nella parte bassa delle caratteristiche vi è una somiglianza con le caratteristiche di regolazione dei motori cc.

;TTnmax maxmm

Incremento della Velocità (>1)

Se si aumenta la frequenza di alimentazione (f=f>f ) lo si deve fare a tensione costante perché Vf non può superare la tensione nominale.

Il flusso al traferro deve quindi decrescere (condizione di deflussaggio) per mantenere la f.e.m. costante (Ef).

La frequenza può essere aumentata fino ad un valore limite (fl=lf ) definito dalle condizioni costruttive.

Si esaminano di nuovo le caratteristiche Tm=f(n) e Tm=f(s).

Scorrimento:

Se è indipendente dalla frequenza. Quindi

mentre

rimane inversamente proporzionale ad

f

rsn V

RIs sn

1ssn

1s

1

fL2

R

fL2

R

X

Rs max

r

r

r

r

r

rmax

Coppia Motrice:

dalla sua espressione 2

2n

r

em I

s

Rp3T

n

n

n

nn

m

2

2n

r

e

2

2n

r

e

2

2r

em T

1I

s

Rp31I

s

Rp3I

s

Rp3T

Anche la coppia nominale è inversamente proporzionale ad .

Per la coppia massima, Tmmax

r

2

t

f

em X2

1

n

Vp3T

max

maxmax m2r

2

t

f

er

2

t

f

em T

1

X2

1

n

Vp3

X2

1

n

Vp3T

e si ottiene per uno scorrimento

1

smax

Numero di Giri a Vuoto:

nn 000 np

f60

p

f60n

p

f60n

Sono ancora direttamente proporzionali ad (>1).

Coppia di Spunto:

se Rr<<Xr

2r

r

2

t

f

emsp

n

n

n

n X

R

n

Vp3T

32r

r

2

t

f

e2

r2

r

2

t

f

e2

r

r

2

t

f

emsp

1

X

R

n

Vp3

X

R

n

Vp3

X

R

n

Vp3T

nnnn

Al variare di , Tmsp varia in maniera inversamente proporzionale al cubo di .

nmsp3msp T1

T

Potenza Meccanica:

cmcmmmm nnnnnT)s1(TTP

tcosPT)s1(T

TPnmcmc

mnmmm

nmm PP

La potenza meccanica rimane costante al variare di .Osservazione:

al crescere della frequenza, la coppia Tm diminuisce secondo 1/ mentre la coppia massima decresce con 1/2.

Ci sarà un punto in cui la coppia nominale eguaglia la coppia massima (f’= ’f).

sapendo che:

Tm

Tmmax

Tmn

;T1

Tnmm

maxmax m2m T

1T

’ si determina immediatamente eguagliando le espressioni della coppie.

Se si osserva il grafico, restano definite due zone di funzionamento:Tm

Tmmax

Tmn

m

m

T

T' max

A) 1< < ’• la coppia è inversamente proporzionale ad ;

• lo scorrimento relativo alla coppia nominale è indipendente da ;

• la potenza convertita in meccanica è indipendente da (funzionamento a potenza costante;

• la coppia massima, superiore a quella nominale, decresce con 1/2.

B) ’<<l • la coppia massima è inferiore a quella nominale e decresce sempre con 1/2.

• La potenza convertita, legata alla coppia nominale, non può rimanere

costante. La corrente assorbita deve calare per inseguire la diminuzione di coppia massima e lo deve fare in ragione dell’inverso di . La potenza assorbita e tramutata in meccanica risulta quindi inversamente proporzionale ad ed il motore funziona con corrente rotorica inferiore al valore nominale.

Riassunto:

Tm

Tmmax

Tmn

Tmn

Tmn

Tmmax

Il Diagramma CircolareIl Diagramma CircolareCurva caratteristica che lega le correnti di macchina allo scorrimento. È una caratteristica caduta in disuso. È ancora usata per descrivere una macchina asincrona a rotore avvolto per applicazioni a velocità praticamente costante.

Bilancio di Potenze e RendimentoBilancio di Potenze e Rendimento

Perdite costanti al variare del carico:• perdite a vuoto nel ferro attivo e perdite addizionali nelle altre parti metalliche.• Perdite meccaniche per attrito e ventilazione

Tali perdite corrispondono alle perdite a vuoto P0=Pfe+Pm

Perdite variabili con il carico:• perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di statore• perdite per effetto Joule nell’avvolgimento di rotore (comprese le eventuali perdite nelle spazzole e nelle resistenze aggiuntive, se previste)

Perdite addizionali sotto carico:• perdite dovute al carico nel ferro attivo e nelle altre parti metalliche, esclusi i conduttori• perdite per correnti parassite nei conduttori degli avvolgimenti di rotore e statore

• perdite dovute alle armoniche del campo rotante

Il rendimento:

addcumfeu

u

PPPPP

P

Si vuole dimensionare un motore accoppiato ad una slitta con trasmissione a vite con ricircolo di sfere e cuscinetti assiali a rulli.

Dati:

• Massa della slitta: ms=10 kg

• Massa del pezzo: mp=40 kg

• Passo della vite: p=5mm• Lunghezza della vite: L=0.5m• Diametro della vite: d=25mm• Densità dell'acciaio: =7.75 kg/dm3

• Rendimento della trasmissione: =60%• Coefficiente di attrito acciaio-acciaio: =0.15

Il pezzo deve compiere un ciclo di lavoro ripetitivo caratterizzato dal profilo cinematico di figura.

Con riferimento ai simboli utilizzati, i dati sono i seguenti:

Esempio di dimensionamento di macchinaEsempio di dimensionamento di macchina

• Tempo di accelerazione: t1=0.167 s• Tempo di velocità costante: t2=0.167 s• Tempo di decelerazione: t3=0.167 s• Durata della lavorazione: T1=0.5 s• Durata della pausa: T2=0.25 s• Avanzamento del pezzo: S=0.15 mCalcolo dei momenti di inerzia

Per il dimensionamento del servomotore è essenziale il calcolo delle coppie di carico;

il primo passo è dunque la determinazione dei momenti di inerzia delle parti coinvolte, riportati all'albero motore.

Massa della vite:

suo momento di inerzia:

Data, la rigidità della trasmissione (anelastica), si può riportare all'albero motore l'intera massa del carico mp e della slitta ms calcolando il momento di inerzia delle masse riflesse sull’albero:

kg9.15.0)105.12(1075.7Lrm 2332v

26232vv kgm105.148)105.12(9.1

2

1rm

2

1J

il momento di inerzia equivalente è

2622pp kgm1033.25)

2

005.0(40)

2

p(mJ

2622ss kgm1033.6)

2

005.0(10)

2

p(mJ

266vspeq kgm1018010)33.633.255.148(JJJJ

Calcolo della velocità massima.

Si analizza adesso il profilo di velocità richiesto dalla particolare applicazione. La velocità massima del carico (VM) si ricava considerando che i tempi di esecuzione del profilo di velocità sono imposti, come pure l'avanzamento totale del pezzo nel ciclo. Si può calcolare lo spazio percorso. Sia a la accelerazione del pezzo:

;tV2

1t

t

V

2

1at

2

1s 1M

21

1

M211 ;tVs 2M2 3M

23

3

M233 tV

2

1t

t

V

2

1at

2

1s

Si può ora calcolare la massima velocità angolare del motore. Se VM è la massima velocità lineare, VM/p è il numero di giri al secondo e la pulsazione vale:

Calcolo della coppia di accelerazione.

La accelerazione del motore si calcola rapidamente:

s/m450.0334.0

15.0

)2167.0

167.02167.0

(

15.0

)2t

t2t(

sV

)2

tt

2

t(Vssss

32

1

tM

32

1M321t

2

1

MM s/rad3386

167.0

5.565

t

s/rad5.565005.0

45.02

p

V2 M

M

Alla quale corrisponde una coppia di accelerazione del carico esterno pari a

Nm61.0338610180

J)dt

d(JT

6

MeqeqJ

Oltre alla coppia inerziale, va tenuta in conto la coppia di attrito rapportata al motore. Il coefficiente di attrito acciaio su acciaio lubrificato è riportato tra i dati iniziali. La forza d'attrito del carrello e del carico sul piano di supporto vale:

Questa forza rappresenta una ulteriore coppia da vincere, considerando una efficienza del 60%,

Nm7.0106.9761.0TTT 3aJrM

N6.7315.081.9)1040(g)mm(F spa

Nm106.976.0

1

2

005.06.73

6.0

1

2

pFT 3

a

Il motore è chiamato a vincere una coppia di carico data da

Dimensionamento del servomotore

si sceglie un motore che abbia una coppia nominale superiore ad almeno due volte quella richiesta:

Nm4.1T2TMM rm

Ed una velocità nominale almeno pari a quella massima calcolata

Dal catalogo (la parte saliente è riportata nella ppt seguente), si sceglie il motore D56-03/6, che ha una coppia nominale di 1.9 Nm alla velocità nominale di 6000 rpm. Il suo momento di inerzia è di 2.28 * 10 -4 kgm2 e la sua coppia massima vale 6.6 Nm.

Verifica della scelta del motore

Viene calcolato innanzi tutto il momento di inerzia totale:

min/giri54002

605.565ns/rad5.565 nMN

266eqmott kgm1040810)180228(JJJ

La coppia che deve erogare il motore durante la accelerazione vale:

Nm75.1106.973386104082.1TJ2.1T 36aMtm

in cui si è tenuto un margine del 20% per considerare eventuali imprecisioni nella determinazione dei momenti di inerzia.

Si può notare che essendo tale coppia inferiore non solo alla coppia massima (requisito indispensabile) ma anche alla coppia nominale, non vi saranno imposizioni nel funzionamento circa la massima durata delle accelerazioni.

La coppia durante la decelerazione risulta inferiore a quella durante l'accelerazione, perché gli attriti in questo caso operano una favorevole azione frenante:

Nm56.1106.973386104082.1TJ2.1T 36aMtma

Agli effetti termici, che sono quelli che determinano il dato di targa della coppia nominale, è importante valutare la coppia efficace:

Nm11.125.05.0

167.0)56.1(167.0)6.97(167.0)75.1(

TT

tTtTtTT

222

21

32

md22

a12

maeff

È una media quadratica perchè, intuitivamente, gli effetti del riscaldamento variano con il quadrato della corrente, che in un servomotore brushless è direttamente proporzionale alla coppia richiesta.

Il motore selezionato risulta confermato dato che vengono soddisfatte le diseguaglianze

Mmaneff TTTT