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Elettrotecnica T CdL in Ingegneria Informatica – A.A. 2017/18

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione 1

9. Conversione Elettromeccanica Circuiti elettrici accoppiati Due circuiti elettrici in cui fluiscono le correnti i1 ed i2, accoppiati magneticamente da un flusso magnetico che si concatena con entrambi, eser-‐‑citano l’uno sull’altro un’influenza che può es-‐‑sere sia di tipo elettrico che di tipo meccanico. Infatti se la corrente i1 varia nel tempo, induce un flusso magnetico che, poiché concatenato con il secondo, induce una tensione nel secon-‐‑do. Se i due circuiti sono percorsi da correnti, si può esercitare tra loro una forza od una coppia o viceversa. Quindi un sistema di due circuiti elettrici accoppiati da un circuito magnetico può far passare una potenza elettrica dal primo al secondo, trasformare una potenza elettrica in meccanica o una potenza meccanica in elettri-‐‑ca. Il flusso concatenato con i due circuiti può variare per la variazione delle correnti o per la va-‐‑riazione della posizione reciproca dei due circuiti dovuta al moto di un circuito rispetto all’altro. Nel primo caso (variazione delle correnti) si ha un effetto trasformatorico (tran-‐‑sformer effect). Nel secondo caso (variazione della posizione reciproca) si ha un effetto mo-‐‑zionale (motional effect). Nel caso di n circuiti accoppiati la tensione nel circuito j, a causa della variazione nel tempo delle correnti che generano il flusso della variazione dell’angolo d𝜗m che individua la recipro-‐‑ca posizione dei circuiti è:

vj = Rjij + "#$%

"& con ΦCj = ΦCj(i1, i2, i3, ... , in, 𝜗m) →

dΦCj = "#$%

"+%,-./ dij +

"#$%

"12 d𝜗m =

"#$%

"+%,-./ dij +

"#$%

"12 d𝜗m

Nel caso di materiali lineari per cui Φ3- = L-565./ ik si ottiene:

dΦCj = "#$%

"+9,5./ dik +

"#$%

"12 d𝜗m = L-56

5./ dik + "#$%

"12 d𝜗m

→ vj = Rjij + "#$%

"& = Rjij + L-5

"+9":

,5./ + "#$%

"12 𝜔m

dove la velocità angolare è data da 𝜔m = d𝜗m/dt. La tensione totale ai capi del circuito j è cau-‐‑sata, oltre che che ad una caduta di tensione dovuta alla resistenza del circuito data da Rjij, a due termini dovuti all’accoppiamento con gli altri circuiti dati da:

L-5"+9":

,5./ ,

detta f.e.m. trasformatorica (transformer e.m.f.), dovuto alla variazione delle correnti nel tempo e da:



"#$%

"12 𝜔m

detta f.e.m. mozionale (motional e.m.f.), dovuta al moto reciproco dei circuiti. I tipi fondamentali di macchine elettriche utilizzate nei sistemi di potenza usuali sono:

1. Il trasformatore (transformer) 2. La macchina asincrona (induction machine) 3. La macchina sincrona (synchronous machine) 4. La macchina in corrente continua (dc machine)

Nel trasformatore la velocità reciproca dei circuiti è nulla (𝜔m = 0) e le correnti elettriche so-‐‑no sinusoidali. Nelle macchine asincrone, sin-‐‑crone ed in corrente continua i circuiti si muovono l’uno rispetto all’altro (𝜔m ≠ 0). Questi tre ti-‐‑pi di macchine sono macchine rotanti in cui il circuito magneti-‐‑co è realizzato da un nucleo di materiale ferromagnetico forma-‐‑to da due parti. Esso infatti è composto da due cilindri uno all’interno dell’altro. I due cilindri sono separati da una corona circolare sottile di aria, il traferro (air gap). Il cilindro interno, il rotore (rotor) ruota con i circuiti ad esso avvolti, il cilindro esterno, lo statore (stator), ed i circuiti ad esso avvolti sono fermi. Negli asincroni le correnti di rotore e di statore sono due sistemi trifase alternati. Nel sincrono il rotore è alimentato da corrente continua e lo statore da un trifase sinusoidale. Nella macchina a corrente continua sia il rotore che lo statore sono in CC.

Il trasformatore Nel trasformatore il nucleo in ferro è costituito da un’unica struttura in cui sono avvolti due cir-‐‑cuiti, il primario (primary winding) ed il se-‐‑condario (secondary winding) immoto l’uno ri-‐‑spetto all’altro. Si consideri il circuito di primario alimentato da una tensione variabile nel tempo v1. Nel circuito 1 fluisce quindi una corrente i1 che induce un flusso Φ anch’esso variabile. Tale flusso si concatena col circuito 2 e produce in 2 una f.e.m. v2 che, se connessa ad un carico U, lo alimenta con la corrente i2. La f.e.m. indotta nel secondario è di tipo trasformatorico poiché i due circuiti elettrici non si muovono l’uno rispet-‐‑to all’altro (𝜔m = 0). In tal modo la potenza elettrica nel circuito primario p1 = i1v1 viene tra-‐‑sferita a meno delle perdite al secondario ove p2 = i2v2. Nei trasformatori di potenza solita-‐‑mente p1 e p2 sono molto prossimi con perdite ridotte. Nel circuito elettrico 1 di primario e nel circuito 2 di secondario, poiché 𝜔m = 0, le tensioni so-‐‑no:



v1 = R1i1 + L//"+?": + L/@

"+A":

v2 = R2i2 + L@/"+?": + L@@

"+A":

dove L11 ed L22 sono i coefficienti di autoinduttanza dei circuiti 1 e 2. L12 ed L21 sono i coeffi-‐‑cienti di mutua induttanza dei due circuiti (L12 = L21). Qualora la tensione di alimentazione del primario sia sinusoidale, anche la corrente nel primario, il flusso magnetico indotto, la tensio-‐‑ne e la corrente di secondario sono sinusoidali alla stessa frequenza. Nello spazio dei fasori le due equazioni di primario e secondario divengono:

V/ = R/ + jωL// I/ + jωL/@I@ V@ = R@ + jωL@@ I@ + jωL@/I/ Nell’ipotesi di trasformatore ideale (ideal transformer) il flusso magnetico è completamen-‐‑te concatenato con entrambi i circuiti, per cui: ΦH/ = N1Φ = L11i1 + L12i2; ΦH@ = N2 Φ = L22i2 + L21i1. Inoltre si ipotizza l’intero sistema privo di perdite: R1 = R2 = 0. Quindi si ottengono per le equazioni dei due circuiti nel dominio del tempo, le seguenti espressioni:

v1 = L//"+?": + L/@

"+A": = N1"#":

v2 = L@@"+A": + L@/

"+?": = N2"#":

→ I?IA = J?JA = K

dove K è il rapporto spire (turn ratio). Poiché il trasformatore ideale è privo di perdite, le po-‐‑tenze del primario e del secondario sono uguali:

p1 = p2 → v1i1 = v2i2

→ +A+? = I?

IA = J?JA = K

Perdite di potenza nelle macchine elettriche Nelle macchine elettriche le perdite di potenza sono le perdite nel rame do-‐‑vute alle resistenze dei circuiti di rame (R1i12 ed R2i22) e le perdite nel ferro. Le perdite nel ferro sono dovute a due cause: l’isteresi magnetica e le cor-‐‑renti parassite o correnti di Foucault (eddy currents).

Perdite per isteresi Le macchine elettriche in cui viene utilizzata una corrente sinusoidale il flus-‐‑so magnetico nel nucleo, solitamente in materiale ferromagnetico, compie ci-‐‑cli di isteresi con la stessa frequenza di quella della corrente. Per ogni ciclo compiuto l’energia persa per unità di volume di materiale è:

eM = HdBNOPNO

+ HdBPNONO



L’energia perduta per ciclo è uguale al volume del nucleo per l’area H-‐‑B interna al ciclo. Perciò la potenza perduta per isteresi è il prodotto di questa energia per la frequenza f dell’alimentazione elettrica. Una formulazione semi-‐‑empirica della potenza dissipata per isteresi per unità di peso di ma-‐‑teriale ferromagnetico Wh é:

Wh = kh f BQR

Il parametro kh dipende dal mezzo considerati, BM è il valore massimo dell’induzione magne-‐‑tica ed il parametro α, anch’esso dipendente dal mezzo, è solitamente prossimo a 2. Nelle macchine elettriche si utilizza materiale ferromagnetico dolce al fine di ottenere campi di induzione e flussi magnetici elevati con correnti ridotte sino al ginocchio della curva H-‐‑B e con perdite per isteresi contenute poiché l’area del ciclo di isteresi è sottile. Solitamente i ma-‐‑teriali utilizzati sono ferro e leghe ferro-‐‑silicio. Il valore di BM utilizzato è sul ginocchio della curva H-‐‑B ed è circa 1,5-‐‑1,6 T.

Perdite per correnti parassite Nel nucleo in ferro è presente un flusso magnetico variabile nel tempo e quindi viene indotta nel ferro stesso una f.e.m.. Poiché il ferro è un conduttore, in esso quindi vengono indotte correnti pa-‐‑rassite (o correnti di Foucault). Di conseguenza si generano perdi-‐‑te per effetto Joule. Per un’alimentazione sinusoidale il campo di induzione perpendi-‐‑colare ad una spira conduttrice, contorno della superficie S del nucleo (vedi esempio in figura) ipotizzato uniforme in S, è:

B(t) = BM cos 𝜔t Il flusso in S quindi è Φ = SB. Assumendo R la resistenza del ferro nella spira, la potenza Ped dissipata per correnti parassite é data da:

Ped(t) = R ied2 = 1R

dΦCdt

@= VAWO

A XA

R sin2 𝜔t

→ Ped,med = VAWO

A XA

2 R

Una formulazione semi-‐‑empirica della potenza dissipata per correnti parassite per unità di peso di materiale ferromagnetico Wed é:

Wed = ked f2 BQ@

ked dipende dalla resistenza del mate-‐‑riale ferromagnetico e dalla forma geo-‐‑metrica della sezione trasversale del circuito magnetico. Per ridurre Wed si utilizza un materiale ferromagnetico ad elevata resistenza elettrica quale le leghe ferro-‐‑silicio. Si usa inoltre la laminazione formando il



nucleo in ferro con lamierini accostati di ridotto spessore 𝛿 isolati fra loro (vedi figura). Così i tubi di flusso delle correnti parassite si debbono richiudere all’interno di ciascun lamierino e riducendo anche le aree di concatenamento del flusso con i circuiti delle correnti parassite. Una formulazione semi-‐‑empirica della potenza dissipata per correnti parassite per unità di peso di materiale ferromagnetico che mette in evidenza la dipendenza di Wed dallo spessore 𝛿 delle lamine é:

Wed = k’ed 𝛿2 f2 BQ@

Macchine elettriche Rotanti L’equazione del circuito j di una macchina rotante è:

vj = Rjij + L-5"+9":

,5./ + "#$%

"12 𝜔m

In particolare due circuiti o due gruppi di circuiti sono uno avvolto sullo statore (j = 1) ed uno sul rotore (j = 2). Rotore e statore sono in moto rispetto all’altro. Lo sta-‐‑tore e con esso il sistema circuitale statorico sono fermi. Il rotore e il sistema circuitale rotorico sono in moto e ruotano all’interno dello statore. Si induce quindi una f.e.m. trasformatorica se le correnti va-‐‑riano nel tempo ed una f.e.m. mozionale dovuta al moto reciproco (la velocità angolare rotori-‐‑ca è 𝜔m ≠ 0). Fra i circuiti statorici e quelli rotorici si genera una coppia meccanica. In tal mo-‐‑do potenza elettrica viene trasformata in potenza meccanica o potenza meccanica in elettrica. La coppia meccanica Cm viene ottenuta tramite il bilancio energetico durante la rotazione. La variazione infinitesima dell’energia magnetica per una rotazione d𝛼 è data dal lavoro magne-‐‑tico per l’incremento del flusso e dal lavoro meccanico Cmd𝛼 compiuto dalla coppia meccani-‐‑ca. Per i1 ed i2 costanti si ottiene:

d(½i1FC1 + ½i2FC2) = Cmd𝛼 + i1dFC1 + i2dFC2

Cm = ½ i/]#$?]R

+ ½ i@]#$A]R

= ]^_]R +?.`ab:.

+A.`ab:.

Campo rotante Si consideri un sistema statore-‐‑rotore separati da un traferro con un unico circuito di statore. La bobina che costituisce il cir-‐‑cuito è posta in modo simme-‐‑trico nello statore. La corrente nella bobina induce un campo magnetico ed un flusso che at-‐‑traversano il traferro, passano nel rotore e quindi ritornano nello statore richiudendosi.



In figura è mostrato lo sviluppo lineare del traferro e l’andamento del campo nella sezione circolare della macchi-‐‑na. il campo è simmetrico e presenta un asse di simmetria che passa dal centro del sistema e va dalla posizione ove il campo è minimo (-‐‑HM) alla posizione diametralmente oppo-‐‑sta dove il campo è massimo (HM). Passa perciò da sud a nord. Qualora la corrente che genera il campo sia una corrente con-‐‑tinua, l’andamento del campo lungo il traferro rimane co-‐‑stante nel tempo. Qualora la corrente sia sinusoidale il campo lungo il traferro varia nel tempo in modo stazionario alternato. In tal caso in-‐‑fatti le posizioni del valore massimo e minimo del campo ri-‐‑mangono invariate per un semiperiodo poi si invertono. Il nord rimane tale per un semiperiodo poi diventa sud ed il sud diviene il nord. Le due posizioni nel traferro ove H si an-‐‑nulla rimangono invariate. I grafici della figura a fianco mostrano l’andamento lungo il traferro del campo magnetico in istanti di tempo successivi in un periodo 2𝜋/𝜔.

Un campo stazionario alternato, del tipo di quello visto, generato lungo il traferro cir-‐‑colare da un’unica bobina avvolta sullo sta-‐‑tore, può essere scomposto in due parti, un campo rotante lungo il traferro in senso orario con velocità angolare 𝜔 e l’altra con-‐‑trorotante in senso antiorario con la stessa velocità angolare. Qualora sullo statore si avvolgano tre bobi-‐‑ne con asse di simmetria sfasato di 120° l’uno rispetto all’altro e si alimentino con una terna di correnti alternate, ognuno degli avvolgimenti produce un campo stazionario al-‐‑ternato composto da una componente rotante ed una contro-‐‑rotante. Se le correnti delle tre bobine sono le correnti di linea di un sistema trifase simmetrico, equilibrato e diretto, le tre com-‐‑ponenti rotanti del campo si sommano fra loro e le tre com-‐‑ponenti controrotanti si elidono. Come risultato si ha un campo complessivo rotante con velocità angolare 𝜔c = 𝜔, do-‐‑ve 𝜔 è la frequenza angolare del trifase. Dopo a un periodo 2𝜋/𝜔 il campo ha compiuto un giro completo nel traferro circolare e si trova nella stessa posizione dell’inizio del pe-‐‑riodo. Nella figura a fianco è mostrato il campo che ruota lungo il traferro durante un semiperiodo.



Nell’esempio considerato ciascuna fase presenta un nord ed un sud, presenta quindi una cop-‐‑pia polare. In generale in una macchina le coppie polari per fase possono anche essere più di una. Indicando con p il numero delle coppie polari per fase, la velocità del campo è:

𝜔c = 𝜔/p

Macchina asincrona Nella macchina asincrona o macchina ad induzione sia lo stato-‐‑re che il rotore sono avvolti da bobine di un sistema trifase. Lo statore può essere collegato a stella od a triangolo e le tre fasi devono avere lo stesso numero di coppie polari. In figura è rappresentato lo schema di una macchina asincrona con una coppia polare per fase. Si consideri lo statore alimentato da una terna simmetrica di tensioni. Viene generata una terna equilibrata di correnti nello statore che induce un campo rotante di statore con velocità angolare 𝜔cs. Tale campo si concatena con gli avvolgimenti di rotore ed induce in essi una f.e.m. e quindi una terna di corren-‐‑ti che inducono un un campo rotante di rotore con velocità 𝜔cr. Il campo di statore si accoppia al campo di rotore trascinando-‐‑lo alla stessa velocità (𝜔cs = 𝜔cr). I due campi si sommano dan-‐‑do luogo ad un unico campo rotante alla velocità 𝜔c, con

𝜔c = 𝜔cs = 𝜔cr Il campo trascina il rotore facendo ruotare l’albero solidale con esso ad una velocità angolare 𝜔m. Si definisce lo scorrimento s della macchina come:

𝜔m = (1-‐‑s) 𝜔c

→ 𝜔m = (1-‐‑s) 𝜔/p In tal modo la potenza elettrica fornita allo sta-‐‑tore viene trasformata in potenza meccanica all’albero del rotore, o viceversa. Nella figura a fianco è mostrato lo schema elettrico di una macchina asincrona. In questo caso lo statore è collegato a stella. É possibile anche un collegamento a triangolo purchè le tensioni delle tre fasi siano simmetriche. Le fasi del rotore sono collegate fra di loro in modo tale per cui la tensione fra i terminali ri-‐‑sulti nulla e la corrente sia massima. Perciò gli avvolgimenti di rotore sono “cortocircuitati”.



Nella prima delle tre figure a fianco sono mostrate un avvolgimento nelle cave realizzate nella superficie laterale dello statore o del rotore. La sezione di una porzione di statore (o di rotore) con una cava ed una porzione di traferro, è mostrata nella seconda figura. Si notino le linee di campo nel traferro che tendono ad avvolgere i conduttori posti all’interno della cava. Nella terza figura sono mostrate una porzione di statore ed una di rotore con le relative cave e tra-‐‑ferro. Nell’immagine a fianco è mostrato una tipica macchina asincrona. Nello statore sono in evi-‐‑denza gli avvolgimenti con le testate degli avvolgimenti sulla superficie superiore. Il rotore cortocircuitato ha una tipica struttura a “gabbia di scoiattolo” con avvolgimenti laterali obli-‐‑qui.

Macchina sincrona Nella macchina sincrona il rotore è alimentato in corrente continua: Gli avvolgimenti di statore sono trifase. La corrente continua degli avvolgi-‐‑menti di rotore inducono un campo stazionario che ruota assieme al ro-‐‑tore quando esso viene fatto ruotare. Quindi la velocità del campo magne-‐‑tico è uguale alla velocità angolare dell’albero rotorico:

𝜔m = 𝜔c

Il campo si concatena con gli avvolgimenti trifase dello statore ed inducono in essi una terna simmetrica di tensioni alternate. La relazione esistente fra campo rotante ed avvolgimenti di statore è la stessa che si ha per la macchina asincrona e vista nel paragrafo dedicato al campo rotante. L’alimentazione in corrente continua degli avvolgimenti di rotore viene fatta attraverso due contatti striscianti posti sull’albero. Le macchine sincrone sono utilizzate molto spesso come generatori trifase di tensione. Gli alternatori, generato-‐‑ri trifase delle centrali di potenza, so-‐‑no macchine elettriche sincrone. Poiché il campo magnetico di rotore è un campo stazionario prodotto da una corrente continua, esso può esse-‐‑re anche generato da magneti perma-‐‑nenti posti sulla superficie laterale del rotore come indicato nello schema della figura a fianco. Sono anche mostrate le foto di uno statore di un sincrono e del rotore a magneti permanenti. Si noti che lo statore di una macchina sincrona è del tutto simile a quello di una macchina asincrona.



Inoltre il rotore di una macchina sincrona a magneti permanenti è privo di contatti striscianti. Infatti questa macchina in Inglese viene detta permanent magnet brushless (senza contatti a spazzola) synchronous motor.

Macchina in corrente continua Il principio di funzionamento della macchina a corrente con-‐‑tinua è descritto dal principio di funzionamento dell’anello di Pacinotti. Questa macchina (generatore dinamico di elet-‐‑tricità reversibile o elettro-‐‑dinamo) è una delle prime mac-‐‑chine elettriche e risale al 1859. É in grado di funzionare come generatore di corrente continua od anche come moto-‐‑re elettrico in corrente continua. La corrente degli avvolgimenti di statore induce un campo magnetico le cui linee di forza dallo statore attraversano il traferro, si richiudono nell’anello rotorico. Il flusso magnetico si concatena con gli avvol-‐‑gimenti avvolti sull’anello come mostrato in figura. Quando l’anello ruota il flusso conca-‐‑tenamento con la spira j, Φ3-, varia a causa del moto inducendo una f.e.m. ej sulla spira j:

ej = -‐‑ "#$%

"& = -‐‑ "#$%

"12 𝜔m

Le N spire avvolgono completamente l’anello. L’inclinazione di una spira rispetto alla spira precedente, nei riguardi del flusso magnetico, compie un angolo di 360° passando dalla prima alla spira N. Quindi, qualora non siano presenti contatti striscianti del tipo A e B (vedi figura) la tensione totale indotta sull’avvolgimento è nulla:

e- J/ = e-

J/@/ + e-/

J/@ = 0 La tensione fra i due contatti striscianti A e B è composta dalle forze elettromotrici indotte sulle spire del percorso sull’anello che porta da A a B in senso antiorario (a destra sulla figura) e dal percorso da A a B in senso orario (a sinistra sulla figura). In que-‐‑sto caso quindi la tensione raccolta è diversa da zero:

VAB = e-J/@/ -‐‑ e-/

J/@ =

= 2 e-J/@/

Le macchine attuali, il cui schema è riportato nel-‐‑la figura a fianco, funzionano in base allo stesso principio. Nella terza figura a fianco sono mostrati i lamie-‐‑rini di rotore e di statore di una macchina in cor-‐‑rente continua. In questo caso le coppie polari degli avvolgimenti di statore sono due.



Nelle macchine a corrente continua il flusso magnetico indotto dagli avvolgimenti di statore è stazionario. Perciò può essere generato da un magnete permanente. Nelle due foto riportate a fianco sono mostrati lo statore ed il rotore di una macchina in corrente continua a magneti permanenti.

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