L’oasi B si trova 25km a est dell’oasi A. Un cammello parte dall’oasi A e percorre 24km nella direzione che forma un angolo di 15° verso sud rispetto a est. Poi va verso nord per 8,0km. Quanto si trova ora distante dall’oasi B?

HALLIDAY - capitolo 3 problema 16

x

y

O≡A

N

S

EW

B

a

α=15°

P

b

Q

Calcolo di a :6,2km)sin(1524kmsinαaa

23km)cos(1524kmcosαaa

y

x

Calcolo di b :8,0kmb

0b

y

x

Calcolo di c : 1,8kmbac

23kmbac

yyy

xxx

Per risolvere il problema dobbiamo: • calcolare le coordinate del punto Q (e quindi determinare il

vettore c=a+b )• valutare la distanza di Q da B(25km;0)

Q(23km;1,8km)

2,7km)y(y)x(xd 2QB

2QB

HALLIDAY - capitolo 3 problema 29

Una ruota con raggio R=45,0 cm gira senza strisciare su un pavimento. P è una tacca segnata sul bordo della ruota. Nell’istante t1la tacca P è sul punto di contatto fra la ruota e il pavimento. In un secondo istante t2 la ruota si è mossa di mezzo giro. Calcolare il modulo e l’angolo rispetto al pavimento del vettore spostamento di P durante questo intervallo.

P

P’

s

x

y

2Rs

πRs

y

x

32,5π

2arctg

s

sarctg

168cm2πRsss

x

y

222y

2x

HALLIDAY - capitolo 3 problema 24

Nel prodotto F = q v B si ponga q=2, v = 2,0 i + 4,0 j + 6,0 k

e F = 4,0 i - 20 j + 12 k. Nel caso in cui Bx = By, si esprima B

nella notazione con i versori.

^^^

^ ^ ^

xyzxyz

xyzxyz

zyx

8,0B4,0Bk4,0B12,0Bj12,0B8,0Bi

4,0B2,0Bk2,0B6,0Bj6,0B4,0Bi2

BBB6,04,02,0kji

2BvqF

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

12,08,0B4,0B20,04,0B12,0B4,012,0B8,0B

xy

zx

yz

12,04,0B20,04,0B12,0B

4,012,0B8,0B

x

zx

xzBx=By

Abbiamo un sistema di 3 equazioni con 2 incognite! Occorre verificare che il sistema ammetta effettivamente una soluzione...

Dalla 3a equazione: 3,0Bx

Affinchè il sistema ammetta soluzione, sostituendo il valore di Bx nella 1a e nella 2a equazione dobbiamo ottenere lo stesso valore di Bz!

Dalla 1a equazione: 4,0B4,036,08B zz

Dalla 2a equazione: 4,0B20,036,04B- zz

In effetti il sistema ammette soluzione. Il risultato è dunque:

k4,0 -j 3,0 -i3,0 B ˆˆˆ

HALLIDAY - capitolo 3 problema 19

Due vettori r ed s giacciono nel piano xy. I loro moduli sono

rispettivamente di 4,50 e 7,30 unità, e le loro direzioni sono

rispettivamente di 320° e 85° misurate in senso antiorario dal

semiasse positivo delle x. Quali sono i valori di r·s e rs?

x

y

O

r

320°

s

85°

2,89)sin(3204,50r

3,45)cos(3204,50r

y

x

7,27)sin(857,30s

0,636)cos(857,30s

y

x

Prodotto scalare:

18,87,272,89)(0,6363,45

)j7,27i(0,636)j2,89i(3,45sr

ˆˆˆˆ

Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180° fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare.

x

y

O

r

320°

s

85°α

125)320(36085α

18,8)cos(1257,304,50sr

Prodotto vettoriale:

k26,90,6362,89)(7,273,45k

07,270,63602,893,45kji

sr

ˆˆ

ˆˆˆ

Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la regola della mano destra.

x

y

O

r

320°

s

85°

26,9)sin(1257,304,50sr

Applicando la regola della mano destra si può verificare che il prodotto vettoriale è diretto in verso uscente rispetto al piano del foglio, e quindi concorde con il semiasse z positivo