HALLIDAY - capitolo 19 problema 9

L’aria che inizialmente occupa un volume di 0,14m3 a una pressione relativa di 1,030×105Pa viene espansa isotermicamente alla pressione atmosferica di 101,3kPa e poi raffreddata a pressione costante finchè raggiunge il suo volume iniziale. Calcolare il lavoro svolto dall’aria. La pressione relativa è la differenza di pressione tra la pressione reale e quella atmosferica.

p

V

A

B

pA=2,043×105Pa

VA=0,14m3

pB=1,013×105Pa

TB=TA

C pC=pB=1,013×105Pa

VC=VA

Nella trasformazione AB si ha:

A

BA

B

A

AB

A

AB V

VlnnRTdV

V

nRTpdVL

Si hanno anche le relazioni segenti:

AAA nRTVp

B

A

A

BBBAA p

p

V

VVpVp

B

AAAAB p

plnVpL

Nella trasformazione BC si ha invece:

ABAAABBBCBBC VpVpVVpVVpL

Sommando i due contributi:

5644JVpVpp

plnVpLLL ABAA

B

AAABCAB

HALLIDAY - capitolo 19 problema 10

Una bolla d’aria con un volume di 20cm3 si trova sul fondo di un lago profondo 40m dove la temperatura è 4,0°C. La bolla sale in superficie, dove la temperatura è di 20°C. Supponete che la temperatura della bolla sia la stessa dell’acqua circostante e trovate il suo volume appena prima che raggiunga la superficie.

Alla profondità h=40m la pressione dell’aria nella bolla è pari alla pressione esterna esercitata dall’acqua sulla bolla:

dove p0=1,01·105 Pa è la pressione atmosferica e ρ=1000kg/m3 è la densità dell’acqua

Pa104,93ρghpp 501 h

Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti quando la bolla è a profondità h, dove p=p1, V=V1=20·10-6m3 e T=T1=277K, possiamo calcolare il numero di moli di aria:

moli104,28RT

VpnnRTVp 3

1

11111

Sulla superficie del lago la pressione dell’aria sarà p2=p0 (pressione atmosferica) . Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti quando la bolla è in superficie, alla pressione p2 e alla temperatura T2=293K possiamo calcolare il volume finale V2 della bolla:

334

2

22222 103cmm101,03

p

nRTVnRTVp

HALLIDAY - capitolo 19 problema 42

Un litro di gas con γ=1,3 è a 273K di temperatura e a 1,0bar di pressione. Esso è improvvisamente compresso adiabaticamente a metà del suo volume originario. Trovare la sua pressione e la sua temperatura finali. Il gas è ora raffreddato e riportato a 273K a pressione costante. Qual è il suo volume finale?

p

V

A

B

VAVB

pA

pBC

VC

VA=10-3m3

pA=1,0×105Pa

TA=273K

VB=VA/2

pB= ? TB=?

pC=pB TC=TA

VC=?

Trasformazione adiabatica AB:

Pa102,5V

VppVpVp 5

γ

B

AAB

γBB

γAA

336KV

VTTVTVT

1-γ

B

AAB

1-γBB

1-γAA

Trasformazione isobara BC (VB=0,5·10-3m3):

l 0,41m104,1T

TVV

T

V

T

V 34

B

CBC

C

C

B

B

HALLIDAY - capitolo 19 problema 45

Si tratta 1,00mol di un gas monoatomico ideale facendogli percorrere il ciclo in figura. La trasformazione 12 si svolge a volume costante, la trasformazione 23 è adiabatica e la trasformazione 31 si svolge a pressione costante. Per le tre trasformazioni 12, 23 e 31 e per l’intero ciclo calcolate: il calore Q scambiato, la variazione di energia interna ΔEint, il lavoro svolto L. La pressione iniziale nel punto 1 è 1,01bar. Trovate la pressione e il volume nei punti 2 e 3.

Calcoliamo le coordinate termodinamiche dei 3 punti del ciclo.

Nel punto 1 sappiamo che p1=1,01×105Pa e T1=300K:

Nel punto 2 sarà V2=V1 e sappiamo che T2=600K:

Nel punto 3 sappiamo che T3=455K e p3=p1:

32

1

11111 m102,47

p

nRTVnRTVp

Pa102,02T

Tpp

T

p

T

p 5

1

212

2

2

1

1

32-

1

313

3

3

1

1 m103,75T

TVV

T

V

T

V

Consideriamo la trasformazione 12:

3740JTTnR2

3TTnCQ 1212V12

0L12

3740JLQΔE 1212int,12

Consideriamo ora la trasformazione 23:

0Q23

-1810JTTnR2

3TTnCΔE 2323Vint,23

1810JΔELΔELQ int,2323int,232323

Consideriamo infine la trasformazione 31:

3220JTTnR2

5TTnCQ 3131P31

1290JVVpL 31131

1930JLQΔE 3131int,31

Consideriamo ora l’intero ciclo:

520JQQQQ 312312tot

520JLLLL 312312tot

0ΔEΔEΔEΔE int,31int,23int,12int,tot

In un ciclo è sempre ΔEint=0 e Q=L

HALLIDAY - capitolo 19 problema 47

3,00 moli di gas ideale si trovano inizialmente allo stato 1 con pressione p1=20,0bar e volume V1=1500cm3. Passano allo stato 2 con pressione p2=1,50p1 e volume V2=2,00V1. Poi allo stato 3 con pressione p3=2,00p1 e volume V3=0,500V1. Calcolare la temperatura del gas negli stati 1 e 2. Qual è la variazione complessiva di energia interna dallo stato 1 allo stato 3?

p

VV1

p1

V2

p2

V3

p3

Nello stato 1 si ha:

120KnR

VpTnRTVp 11

1111

Nello stato 2 si ha:

361KnR

VpTnRTVp 22

2222

Nello stato 3, infine, si ha:

133

3333 T120KnR

VpTnRTVp

Poichè T3=T1 l’energia interna dello stato 3 è uguale all’energia interna dello stato 1. Pertanto ΔEint,13=0

HALLIDAY - capitolo 20 problema 25

A 1,00mol di un gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il ciclo mostrato in figura. Il processo bc è un’espansione adiabatica (pb=10,1bar, Vb=1,00×10-3m3). Si calcoli per ogni ciclo il calore fornito al gas, il calore restituito dal gas, il lavoro totale compiuto dal gas e il rendimento.

Nel punto b si ha pb=10,1×105Pa e Vb=1,00×10-3m3:

Nel punto c sappiamo che Vc=8,00Vb=8,00m3. Dall’equazione della trasformazione adiabatica bc si ha:

Applicando poi l’equazione di stato dei gas perfetti nel punto c:

Nel punto a è pa=pc=3,17×105Pa e Va=Vb=10-3m3. Si ha:

122KnR

VpTnRTVp bb

bbbb

30,5KV

VTTVTVT

1γ

b

cbc

1-γcc

1-γbb

Pa103,17V

nRTpnRTVp 4

c

ccccc

3,81KnR

VpTnRTVp aa

aaaa

Calcoliamo ora i calori scambiati dal gas nel ciclo:

1470JTTnR2

3TTnCQ ababVab

0Qbc

554JTTnR2

5TTnCQ cacaPca

In un ciclo ΔEint=0 e quindi Q=L:

Il rendimento è dato da:

916JQQQL cabcab

0,623Q

L

Q

Lη

abass

HALLIDAY - capitolo 20 problema 26

1,00mol di un gas ideale monoatomico viene utilizzata come fluido di lavoro in una macchina termica che funziona lungo il ciclo mostrato in figura. Supponete che sia p=2p0, V=2V0, p0=1,01×105Pa e V0=0,0225m3. Calcolate il lavoro compiuto in ogni ciclo, il calore fornito ad ogni ciclo durante la trasformazione abc e il rendimento del ciclo. Qual è il rendimento di una macchina termica di Carnot funzionante tra la temperatura più alta e quella più bassa del ciclo? Com’è quest’ultimo rispetto a quello del ciclo in esame?

Nel punto a: pa=p0=1,01×105Pa e Va=V0=0,0225m3

273KnR

VpTnRTVp aa

aaaa

Nel punto b: pb=p=2p0=2,02×105Pa e Vb=Va=0,0225m3

547KnR

VpTnRTVp bb

bbbb

Nel punto c: pc=pb=2,02×105Pa e Vc=2V0=0,0450m3

1090KnR

VpTnRTVp cc

cccc

Nel punto d: pd=pa=1,01×105Pa e Vd=Vc=0,0450m3

547KnR

VpTnRTVp dd

dddd

Consideriamo i calori scambiati dal gas nel ciclo:

3420JTTnR2

3TTnCQ ababVab

11300JTTnR2

5TTnCQ bcbcPbc

-6770JTTnR2

3TTnCQ cdcdVcd

-5690JTTnR2

5TTnCQ dadaPda

Il lavoro si può calcolare sommando i calori scambiati:2260JQQQQL dacdbcab

Il lavoro si può anche calcolare come area del ciclo: 2270JVVppL bcab (la differenza tra i risultati, al livello della

terza cifra significativa, è dovuta al calcolo)

Calore assorbito dalla macchina:

14700JQQQ bcabass

Rendimento:

0,154Q

Lη

ass

Le temperature estreme del ciclo sono Ta=273K e Tc=1090K.

Il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra Ta e Tc è:

0,750T

T1η

c

aC

Si noti che ηC>η

HALLIDAY - capitolo 20 problema 28

Una mole di un gas ideale viene utilizzata come sostanza che compie lavoro in una macchina termica che funziona lungo il ciclo mostrato in figura. BC e DA sono processi adiabatici reversibili. Il gas è monoatomico, biatomico o poliatomico? Qual è il rendimento della macchina termica?

Per stabilire la natura del gas occorre determinare γ da uno dei processi adiabatici BC o DA. Consideriamo il processo BC:

3

532logγ328

32p

p

2V

16V

p

p

V

VVpVp

8γ

0

0

γ

0

0

C

B

γ

B

CγCC

γBB

Il gas è di tipo monoatomico

Poichè nel ciclo Q=L, ed essendo QBC=QDA=0, per calcolare il rendimento occorre calcolare soltanto QAB e QCD

ABABPAB TTnR2

5TTnCQ

CDCDPCD TTnR2

5TTnCQ

Per determinare QAB e QCD occorre conoscere le temperature applicando l’equazione di stato nei punti A, B, C e D:

nR

VpTnRTVp 00

AA00 (A):

(B):nR

V2pTnRT2Vp 00

BB00

(C):2nR

VpTnRT16V

32

p 00CC0

0

4nR

VpTnRT8V

32

p 00DD0

0 (D):

00ABAB Vp2

5TTnR

2

5Q

00CDCD Vp8

5TTnR

2

5Q

00CDAB Vp8

15QQL 0,75

Q

Lη

AB