aicapAssociazione ItalianaCalcestruzzo Armato e Precompresso

GUIDA ALLGUIDA ALL’’USO USO DELLDELL’’EUROCODICE 2 EUROCODICE 2

NELLA PROGETTAZIONE NELLA PROGETTAZIONE STRUTTURALESTRUTTURALE

Pisa26 Gennaio 2007

Aula Magna dell’Università di PisaFacoltà di Ingegneria

STATI LIMITE DI ESERCIZIO (SEZSTATI LIMITE DI ESERCIZIO (SEZ.7).7)

Franco MOLAFranco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI

Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria StrutturalePolitecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale

STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Il documento EC2 al punto 7.1 prende in considerazione i seguenti stati limite di esercizio

• Limitazione delle tensioni

• Controllo della fessurazione

• Controllo degli spostamenti

Lo stato limite di vibrazione, pur riconosciutane l’importanza per alcune particolari strutture, non è oggetto di trattazione nel documento

Lo Lo statostato limitelimite didi tensionetensione in in esercizioesercizio

Le Le ragioniragioni delledelle limitazionilimitazioni delledelle tensionitensioniCalcestruzzoCalcestruzzo

ImpedireImpedire fessurefessure longitudinalilongitudinali neglinegli elementielementi compressicompressi in c.a.in c.a.ImpedireImpedire microfessuremicrofessure e e deformazionideformazioni viscose non viscose non linearilineariGarantireGarantire la durabilitla durabilitàà strutturalestrutturale

AcciaioAcciaioImpedireImpedire sforzisforzi anelasticianelastici in in esercizioesercizioImpedireImpedire fessurefessure troppotroppo ampieampieGarantireGarantire la durabilitla durabilitàà strutturalestrutturale

Lo Lo statostato limitelimite didi tensionetensione in in esercizioesercizio

LimitazioneLimitazione deglidegli sforzisforzi per per ilil calcestruzzocalcestruzzo

ViscositViscositàà linearelineare

( )

ViscositViscositàà non non linearelineare

( ) ( )0 0 0 c 0t,t = t β t-tΦ Φ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

0, 0 0 0 σ σ σ

0, 0 0 0 σ

cσ

cm 0

t = t exp α k -0.4 0.4 k 0.6

t = t k 0.4σk = f t

α =1.5

Φ Φ ≤ <⎡ ⎤⎣ ⎦Φ Φ ≤

k

k

σ

( ) 0.45k 0.6k

linearenon viscositàimpedireper fkσ XSXF,XD, fkσ

21

ck2cck1c

==

≤≤

Lo Lo statostato limitelimite didi tensionetensione in in esercizioesercizio

LimitazioniLimitazioni tensionali per tensionali per ll’’acciaioacciaio

75.0k fkσ

1k fkσ

8.0k fkσ

5pk5sp

4yk4s

3yk3s

=≤

=≤

=≤ Combinazione di carico caratteristica

Deformazioni imposte

Acciaio da precompressione

Lo Lo statostato limitelimite didi tensionetensione in in esercizioesercizio per per sezionisezioni in c.a. in in c.a. in assenzaassenza didi fessurazionefessurazione

( )

15α10

8f1022

102α

e

0.3ck3

5

e

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅

⋅=

GliGli sforzisforzi devonodevono valutarsivalutarsi nellonello stadiostadio I non I non fessuratofessurato, , assumendoassumendo come come fattorefattore didi omogeneizzazioneomogeneizzazione ααee ll’’espressioneespressione

σσctct ≤≤ ffctct,,effeff

( )( ) ( )

2 3ctm ck ck

ckctm ck

f =0.30f f 60 MPa

f +8f =2.12 ln 1+ f >60 MPa

10

≤

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Per azioni istantanee

Per azioni permanenti

( )[ ]ctm ctm3

effct, f ;f10h1.6maxf ⋅⋅−= −

EquazioniEquazioni generaligenerali per per sezionisezioni in c.a.in c.a.

x'

y'

yG

hy

z

z'

x

ψ 3

y

N

M

O

G

yn

( )( )

c c c c

c c

σ =E ε ε <0

σ =0 ε >0

AsseAsse neutroneutro internointerno allaalla sezionesezione: 0 : 0 ≤≤ yynn ≤≤hh( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n

n

y

c 3 n e i n si0i

y 2 2c 3 n e i n si G n0

i

E ψ y-y b y dy+α y -y A =N

E ψ y-y b y dy+α y -y A =M+N y -y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫

∑∫

*c 3 ynE ψ S =N

( )*c 3 yn G nE ψ I =M+N y -y

* *yn yn G nI S =e+y -y

( ) *3 G n c ynψ = M+N y -y E I⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )min *c G n n ynσ = M+N y -y × -y I⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )( ) ( )max max *

s e G n i n ynM N y y y y I⎡ ⎤σ = α + − ⋅ −⎣ ⎦

( )n3sc

sss

yyψεεεEσ

−===

e=M/N

AsseAsse neutroneutro esternoesterno allaalla sezionesezione: : yynn >>hh

hy

z

z'

x'

x

y'

yG

G

y

O

M

N

ynψ3

( )c 3 nε =ψ y-y ( ) ( )c c 3 nσ =E ψ y-y 0 y h≤ ≤

( ) ( ) ( )h*

yn n e i n si0i

S = y-y b y dy+α y -y A⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫

( ) ( ) ( )h 2 2*

yn n e i n si0i

I = y-y b y dy+α y -y A⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫

AsseAsse neutroneutro esternoesterno allaalla sezionesezione: : yynn≤≤00

( )yn i n sii

S = y -y A∑ ( )2yn i n si

iI = y -y A∑

( ) ( )max maxs G n i n ynσ = M+N y -y y -y I⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

εc > 0 ; σc = 0

( )n3ss yyψEσ −=

( )n3ss yyψEσ −= (yn≤0)

2rye n −=

2rye n −=

EquazioniEquazioni generaligenerali per per sezionisezioni in c.a.in c.a.

SpecializzazioneSpecializzazione per per sezionisezioni rettangolarirettangolari

y'

yG=h/2

h

z

x'd

As

ί As

yz' yn

d'

b

O

G

x

( ) ( )( ) ( )

2 2yn n n

n nn nyn

I d-y +β d'-y h= =e+ -y y 0d-y +β d'-y 2S

≤

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 23*n e s n nyn

n n*yn n e s n n

b h 12 +bh h 2-y +α A d-y +β d'-yI h= =e+ -y y h2S bh h 2-y +α A d-y +β d'-y

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ≥⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )

2 23*n e s n nyn

n n* 2yn n e s n n

b y 3+α A d-y +β d'-yI h= =e+ -y 0 y h2S -b y 2 +α A d-y +β d'-y

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ≤ ≤⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦

s,min s c ct ,eff ctA k kf Aσ =

( )c

c

*1 ct ,eff

k 0.4 1 1hk fh

⎡ ⎤σ⎢ ⎥= − ≤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

crc

ct ct ,eff

Fk 0.9 0.5A f

= ≥

E,dc

Nbh

σ =

h*=h per h<1.0 m,h*=1.0 m per h≥1.0 m,

k1=1.5 se NE,d è di compressione,k1=2h*/3h se NE,d è di trazione,

1

(b)

(2)

(a)

(1)

.81

.85

.525 .2-1,025 0

.5

-1

-.5

1

ξ

ρ/ρ0smin

(c)

StatoStato limitelimite didi fessurazionefessurazionePrescrizioni per l’armatura minima

0s,min ct ,eff skf /ρ = σ αs=0.20; αf =0.15; h/h*=1

StatoStato limitelimite didi fessurazionefessurazioneCalcoloCalcolo delldell’’ampiezzaampiezza didi fessurazionefessurazione

effp,

4213maxr, ρ

kkkcks φ+=

c

ss A

A=ρ

εsm−εcm

σs

σs,cr

AB

C

D(a)

(b)

(c)

2.5σs,cr

nξ= y h

ss,cr t ct,eff e

s

ρλσ =k f 1+αρ λ⎛ ⎞

⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

s,crs sε

s s s

σσ σΔ = 1- 0.6

E σ E⎡ ⎤

≥⎢ ⎥⎣ ⎦

r,max ss =3.4c+0.17 λ ρφ

s,cr s,crs

s s s

σ σσ2.5

E E E≤ ≤

s s,cr2.5σ ≥ σ s,crsε

s s

σσΔ = 1-

E σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

* *ct t ct,eff 0ct e t ct,efff =k λf ; f =α k f

**ct

s,cr 0cts

fσ = +f

ρ

ρp,eff = As/Ac,eff ; Ac,eff = min[2.5 b (h–d) ; b (h–yn)/3 ; bh/2];k3=3.4; k1=0.8; k2=0.5; k4=0.425

wk= sr,maxΔe ; Δε =εsm- εcm

( )t ct,eff sε s e p,eff

s p,eff s

k f σ1Δ = σ - 1+α ρ 0.6E ρ E

⎡ ⎤≥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

c,effλ= A bh ( ) ( )[ ]0.5;3ξ1;δ12.5minλ −−=

s

s

Eσ

ε 6.0=Δ

s,cr s,crs

s s s

σ σσ2.5

E E E≤ ≤ s

εs

σΔ =0.6

E

s s,cr2.5σ ≥ σ s,crsε

s s

σσΔ = 1-

E σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

εsm−εcm

σs

σs,cr

AB

C

D

2.5σs,cr

StatoStato limitelimite didi fessurazionefessurazione

1β1.7β

ENV1992)(EC2,σσβ1

ρλkkk50

Eσβw

2

s

scr

s

s421

s

sk

≤=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

φ

0.425k0.6kfαk0.15fσ

2004E):EN1992(EC2,σσ1

ρλkkk3.4c

Eσw

4tctmetρ

fctmscr

s

scr

s

s421

s

sk

s

==+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

φ

FG

HI

Effetto di irrigidimento del calcestruzzoFI(F.B.)GI(EC2 2004)HI(EC2 ENV)

( )

sscr

s

scr

s

s

s

sk

ρ75.0σ 66.1β

BorgesFerry σσ1

ρ0.041.5c

Eσβw

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

φ

FormuleFormule didi progettoprogettoProcedimentoProcedimento generalegenerale

( ) ( )2e s e s

1- ξ -α ρ 1+β ξ+α ρ δ+β δ' =02

⋅ ⋅ ⋅( )

( ) ( )e ctm t

s 2 2 3e s

α ν δ-ξ f kσ =

2 3α ρ δ-ξ +β δ'-ξ +ξ⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦0 2cr t ctm

M Mν= =M k f b h 6⋅

( )( ) ( ) ( )α ν δ − ξ − ξ ξ

=δ +βδ − +β ξδ − ξ +β δ − ξ

3 2e

2 2

2 p 3 p' 1'

s t ctmp=σ k f

0k

es s

w λp= + +α3.4 c+0.17φ λ ρ ρ⋅ ⋅

0k s k t ctmw = E w k f

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0 2e ek

e222 2e

2 3

2 2

α ν δ-ξ 2α ×λw ξ= + δ+βδ'- 1+β ξ +α

ξ3.4 c ξ +0.34α φ λ δ+βδ'- 1+β ξδ-ξ +β δ'-ξ

3ξ 2ξ× +δ+βδ'- 1+β ξ δ-ξ +β δ'-ξ

⎡ ⎤⋅⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

se

ξρ =2α - 1+β ξ+δ+βδ'⎡ ⎤⎣ ⎦

FormuleFormule didi progettoprogettoProcedimentoProcedimento approssimatoapprossimato

( )30.3δ1λ0.3δ.ξ0.9d;h0

−=== s

0.185ρ =p δ

ν⋅

s e sk

s s s

σ α ρλ λw = 3.4c+0.17 1- 1+E ρ ρ p λ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⋅φ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0k1 2

wν ν cν*= = u = u =δ λ 1.181- 1-

0.185ν ν⋅ φ φ

[ ]2 *e1 e 1 2*

ανp +5 ν* 3.4u -0.20 p-ν 17α u +5u =0νν

⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

s sσ A 0.9d=M⋅

s s

s

σ ,ρ

, ρφ( )[ ]

0.20νpρν

νpαp

17cpw517cννν

s

*

e2

0ke

*

=

−

−+⋅=φ

pk

k

,w , noti

,w , noti

ν

φν

1800

1250

1500

900300

300

300

y

eN

2500

250x

G

O

P

250

yG

a

691

(5+5)φ12

(5+5)φ12

(14+14)φ14

231

(2+2)φ10

(12+12)φ14

(2+2)φ10

EsempioEsempio 11CalcoloCalcolo delldell’’armaturaarmatura minimaminima

mm 231a mm 1269yn =⇒=

NeNMe

eryy Ncr

2

Gn⋅+

=−=

fck = 45 MPa; fct,eff = 3.8 MPa; σs = 200 MPa; k =0.65 (hw>1m)

1) M=Mcr ; N=0

2) N=-6000 kN ; eN=741 mm

1)

2)

cr N ct ,eff ii

N AM 1 e f WA W

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

mm 196a =

EsempioEsempio 22ControlloControllo delladella fessurazionefessurazione, ,

ProgettoProgetto con con notinoti ΦΦ, , νν , applicazione del , applicazione del procedimento approssimatoprocedimento approssimato

A s

h

b

d

x

z' y

G

O

x'

z y'M k

b = 100 cm ; h = 50 cm ; c = 5 cm f = 26 mm ; fck = 33 MPa ; kt = 0.6 αe = 15 ; Mk = 600 kNm

fctm = 0.3·332/3 = 3.086 MPa ; δ = (50 – 6.3)/50 = 0.874Mcr = 0.6 · 3.086 ·(100 · 502 / 6) · 103 · 10-6 = 77.15 kNmν=600/77.15=7.77 ; ν*=7.77/(1–1.18/7.77)=9.16 ; u1=50/26=1.92

kw 0.3 mm=kw 0.2 mm ;=kw 0.1 mm ;=

i i

maxk k ww w k= ⋅ ( )

iwk i 3 i 1, 2, 3= = i i i

5

0k w w2 10 0.3w k 32404 k0.6 3.086⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅⋅ i i2 w w

32404u k 1246 k26

= ⋅ = ⋅

2wp 235.93 p 4485 57067 k 0+ − − =

[ ]2 *e1 e 1 2*

ανp +5 ν* 3.4u -0.20 p-ν 17α u +5u =0νν

⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦0.20νpρs =

s t ctmp=σ k f

kw

50

1004

5

7,334

10Φ26 (As=53.10 cm )2

50

1004

5

4,854

213Φ26 (As=69.03 cm )

50

1004

5

2,664

21Φ26 (As=111.51 cm )2

C B A

EsempioEsempio 22StatoStato limitelimite didi fessurazionefessurazione

VerificheVerifiche secondosecondo la la formulazioneformulazione generalegenerale

50

1004

5

7,334

10Φ26 (As=53.10 cm )2

50

1004

5

4,854

213Φ26 (As=69.03 cm )

50

1004

5

2,664

21Φ26 (As=111.51 cm )2

( )2n n100y 2 15 53.10 43.70 y 0− + ⋅ ⋅ − =( )2n n100y 2 15 53.10 43.70 y 0− + ⋅ ⋅ − =

( ) ( )2e s e s

1- ξ -α ρ 1+β ξ+α ρ δ+β δ' =02

⋅ ⋅ ⋅( )

( ) ( )e ctm t

s 2 2 3e s

α ν δ-ξ f kσ =

2 3α ρ δ-ξ +β δ'-ξ +ξ⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦

s t ctmp=σ k f 0k s k t ctmw = E w k f( )( )ses0k ρλ0.173.4cαρλpw φ+−−=

C AB

0.1 0.2 0.3

45

75

105

0

315

225

135

0.9

0.850

0.836

0.811

Wk (mm)

As(cm2)

h0/d

σs MPa

σscr

Α

Β

C

wwkk (mm)(mm) AsAs (mm(mm22)) ssss ((MPaMPa)) hh00/d/d

0.10.1 1115111151 140140 0.90.9

0.20.2 69036903 221221 0.90.9

0.30.3 53105310 190190 0.90.9

wwkk (mm)(mm) AsAs (mm(mm22)) ssss ((MPaMPa)) hh00/d/d

0.1200.120 1115111151 160160 0.8110.811

0.2130.213 69036903 238238 0.8360.836

0.3060.306 53105310 304304 0.8500.850

36010

20

30

130

0

0 120 240

65

σs (MPa)

Φ (mm)

Αs (cm2)

wk=0.1 wk=0.2 wk=0.3

Φ=26 mm Φ=26 mm Φ=26 mm

140 221 290

CA B

360

A

137≤ σs ≤156

96 ≤As ≤109

B

215 ≤ σs ≤260

57 ≤As ≤69

C

280 ≤ σs ≤360

41 ≤ As ≤52

EsempioEsempio 22DeterminazioneDeterminazione del del massimomassimo diametrodiametro

* *e ok

max * 2e

17c( p ) 5 w

p p

⎡ ⎤ν −α ν − ν⎣ ⎦φ =να −ν

StatoStato limitelimite didi deformazionedeformazioneRelazioniRelazioni generaligenerali

χ = χ1 (1 – ζ) + χII ζ

( )ζ = −β σ σ2

s,r s1

II I II

StatoStato limitelimite didi deformazionedeformazioneDiagrammaDiagramma MomentiMomenti--CurvatureCurvature

1/r

M

Mcr A B B'

β=1

(a)(bII)

M/EII

β=0

M/EIII

1/rcr,I 1/rcr,II1/rcr

(bI)( )2

s,r s1ζ = −β σ σ ( )2cr1 M Mζ = −β

( )= − ζ + ζI II

1 1 11r r r

=I c I

1 Mr E I

=II c II

1 Mr E I

( ) ( )[ ]II

II I

Icς1c1EIMr1

=−+=

StatoStato limitelimite didi deformazionedeformazioneCalcoloCalcolo deglidegli abbassamentiabbassamenti

z2

1

z

Mcr(1)

Mcr(2)

M(z)

z1 z1

z2 z3

z4

z

fM(1)(z)

l

( )⎡ ⎤= + − ζ⎣ ⎦I

1 M 1 c 1r EI

( )

( )

1 1 11 I,1

1 12 I,2

1 23 I,3

4 4 2 34 I,4

1 M 1 c 1 0 z zr EI1 M z z zr EI1 M z z zr EI1 M 1 c 1 z z zr EI

⎡ ⎤= + − ζ ≤ ≤⎣ ⎦

= ≤ ≤

= ≤ ≤

⎡ ⎤= + − ζ ≤ ≤⎣ ⎦

( )

3 25 I,5

2 46 I,6

7 7 47 I,7

I,1 I,2 I,3 I,4 I,5 I,6 I,7

1 M z z zr EI1 M z z zr EI1 M 1 c 1 z zr EIwith I I ; I I I ; I I

= ≤ ≤

= ≤ ≤

⎡ ⎤= + − ζ ≤ ≤⎣ ⎦

= = = =

l

( ) ( ) ( ) ( )i

71

Mi 1 i

1v z f z,z dzr z=

=∑∫l

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j

27cr,j1 1

M M j 2i 1 j 1,4,7I,i I, j

MM z M zv z f z,z dz f z,z c 1 1 dz

EI EI M= =

⎛ ⎞= + − −β⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫l l

( ) ( ) ( )= + ΔIv z v z v z

( ) ( ) ( ) ( )i

71

I Mi 1 I,i

M zv z f z,z dz

EI=

=∑∫l ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j

2cr,j1

M j 2j 1,4,7 I,j

MM zv z f z,z c 1 1 dz

EI M=

⎛ ⎞Δ = − −β⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫l

EsempioEsempio 33

( ) cr

2cr

Ic

MM , 1cM

Mβ1IE

Mr1

≥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

q

l As

70

50

65

( )

2

G

322 4

I

3i

A 70 50 15 31.64 3974.6 cm70 50 35 15 31.64 65y 38.58 cm

3974.650 70I 50 70 3.58 15 31.64 65 35.58 1805303 cm

121805303W 57457 cm70 38.58

∗

∗

∗

∗

= ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= =

⋅= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =

= =−

2 3ctmf 0.30 30 2.9 MPa= ⋅ = 3 6

cr ctm iM f W 2.9 57457 10 10 166.6 kNm∗ −= = ⋅ ⋅ ⋅ = 2maxM 40 10 8 500 kNm= ⋅ =

( )

( )

22n

n n

32 4

II

y50 15 31 65 y 0 y 9.492 9.492 1234 26.90 cm2

26.90I 50 15 31.64 65 26.5 1013352 cm3

∗

− ⋅ + ⋅ ⋅ − = → = − + + =

= ⋅ + ⋅ ⋅ − =

c=II /III =1.78

crc I

1 M , M Mr E I= ≤

( )( )I

I

v 2v v 1

2 2 v 2⎛ ⎞Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ll l

l

fck=30 MPa ; q=4 kN/m ; l=10 m ; As=31.64 cm2 (7φ24) ; αe=15

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Δ ∫ ∫ −

21

21

112max

21

*

2max

1 1

2,2,122 ξ ξ

ξξξβξξξ dglfMMdglf

IElMclv M

crM

Ic

Mcr

Q

McrMmax

ξ1 1–ξ1

ξ=0 ξ=1

EsempioEsempio 33StatoStato limitelimite didi deformazionedeformazione

CaricoCarico uniformementeuniformemente distribuitodistribuito

Mcr

ξ1

q

McrMmax

1–ξ1

ξ=0 ξ=1

( ) ( )1 1

2 1 12 3max 2 2

2c I

M dv c 1 4 d2 1E I 4∗ ζ ζ

⎡ ⎤β ξ⎛ ⎞Δ = − ξ − ξ ξ −⎢ ⎥⎜ ⎟ − ξμ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫

ll

( ) ( )2

4 3max1 1 12

c I

M 5 4v c 1 ln 2 12 48 3E I 4∗

⎡ ⎤β⎛ ⎞ ⎡ ⎤Δ = − + ξ − ξ − − ξ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦μ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

ll

( )21 1 cr max4 M M 1ξ − ξ = = μ 1

1 112⎡ ⎤μ −

ξ = −⎢ ⎥μ⎢ ⎥⎣ ⎦

2max

Ic I

M5v48 E I ∗

=l

( ) ( )2

4 3max1 1 12

c I

M5 48 4 12v 1 c 1 1 ln 2 12 48 5 3 5E I ∗

⎧ ⎫⎡ ⎤β⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − + ξ − ξ − − ξ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎣ ⎦μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

ll

( ) ( )2

3max1 1* 2

c I

M 3v 1 c 1 1 8 1 22 12E I

⎡ ⎤⎡ ⎤β⎛ ⎞ = + − − ξ − − ξ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥μ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

ll

CaricoCarico concentratoconcentrato

2μ1ξ1 =

(1/r)/(1/r)cr

M/Mcr

1β(c-1)

(1/r)cr=Mcr/EcII(c-1)(1-β)

1 c

g(ξ)=4(ξ- ξ2) ; f(1)M(ξ, l/2)= ξ/2

g(ξ)= ξ/2; f(1)M(ξ, l/2)= ξ/2

EsempioEsempio 33

StatoStato limitelimite didi deformazionedeformazione

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

vx[EII/MmaxL2]

vIx[EII/MmaxL2]

vx[EII/MmaxL2]

vx[EII/MmaxL2]

Mcr Mcr

Mmax

ξ1q 1–ξ1qξ1Q 1–ξ1Q

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1, v/vI

1 (Q)

1 (q)

v/vI (Q)

v/vI (q)1.65

1.56

0.167

0.091

ξ1(Q)

μ

ξ1, v/vI c=1.78

ξ1(q)

Δ

ConclusioniConclusioniI modelli proposti da EC2 ENV 1992I modelli proposti da EC2 ENV 1992--11--1 E2004 per le analisi allo stato limite 1 E2004 per le analisi allo stato limite di esercizio introducono i seguenti concettidi esercizio introducono i seguenti concetti

La formulazione di La formulazione di ssrmrm che fornisce direttamente il valore caratteristico di che fornisce direttamente il valore caratteristico di apertura della fessura apertura della fessura LL’’adozione del contributo irrigidente del calcestruzzo indipendentadozione del contributo irrigidente del calcestruzzo indipendente dalla e dalla tensione delltensione dell’’acciaioacciaio

Le formule proposte daLe formule proposte da EC2 sono di semplice utilizzo per la valutazione EC2 sono di semplice utilizzo per la valutazione delldell’’apertura delle fessure. Non sono altrettanto idonee per il progeapertura delle fessure. Non sono altrettanto idonee per il progetto sotto tto sotto prescritta ampiezza prescritta ampiezza fessurativafessurativa

Possono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una pPossono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una prefissata refissata posizione dellposizione dell’’asse neutro, che permettono una progettazione agile e asse neutro, che permettono una progettazione agile e sufficientemente approssimata delle sezioni in c.a. allo stato lsufficientemente approssimata delle sezioni in c.a. allo stato limite di imite di fessurazionefessurazione..