Guida al Laboratorio

di Fisica per Scienze Naturali

Lorenzo Zaninettizaninetti@ph.unito.it

Dipartimento di Fisica GeneraleEdizione III

10 febbraio 2018

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Introduzione

Queste note vogliono essere un compendio alla fisica connessa con leesperienze del Laboratorio per Scienze Naturali. Si ringrazia SilviaAlessio che ha fornito nell’ aa 2002/2003 alcune note sull’ esperienzedella distanza focale e del reticolo di diffrazione.

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CAPITOLO 0. INTRODUZIONE

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Indice

Introduzione iii

1 Probabilita e statistica 11.1 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Misure di lunghezze 52.1 Uso del nonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 La molla 93.1 Molle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Molle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Molle in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Pendolo Semplice 154.1 Nota storica sul metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Velocita limite 195.1 Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Eqn. diff. Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Esecuzione Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Eqn. diff. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A Unita di misura 25A.1 I sistemi mks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2 Il sistema cgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.3 Nota sulla caloria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A.4 Il sistema tecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A.5 Il sistema SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

INDICE INDICE

A.6 Prefissi nel SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

B Dati 35B.1 Costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2 Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

C Matematica 39C.1 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

C.1.1 Polinomi e potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 39C.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche . . . . . . . . 40C.1.3 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . 40C.1.4 Funzioni Iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . 41C.1.5 Altre Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

C.2 Integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42C.2.1 Polinomi e potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 42C.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . 42C.2.3 Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . 43C.2.4 Funzioni Iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . 43C.2.5 Funzioni cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44C.2.6 Radici Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

C.3 Integrali generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45C.4 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47C.5 Trigometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

C.5.1 Triangolo retto -Definizioni . . . . . . . . . . . . . 47C.5.2 Formule ridotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47C.5.3 Identita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48C.5.4 Somme e Differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 48C.5.5 Angolo doppio e meta . . . . . . . . . . . . . . . 48C.5.6 Altre formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49C.5.7 Cambiamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49C.5.8 Funzioni trigometriche inverse . . . . . . . . . . . 50

C.6 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vi

Capitolo 1

Probabilita e statistica

1.1 Momenti

Se gli elementi di un campione hanno la tendenza a raggrupparsi attornoad un valore particolare puo essere utile rappresentare l’ insieme dapochi numeri che sono i momenti; il piu importante e il valor medio,

x =1

N

N∑j=1

xj , (1.1)

che stima il valore centrale. Un altro importante valore e la varianzaempirica

s2 =1

N − 1

N∑j=1

(xj − x)2 , (1.2)

collegata ovviamente alla deviazione standard empirica

s =√s2 . (1.3)

In alcuni casi, tipo distribuzione di Lorentz, la deviazione standard nonesiste perche tende ad infinito; bisogna allora ricorrere ad uno stimatorepiu robusto che e la deviazione assoluta

ADEV (x1.......xN) =1

N

N∑j=1

|xj − x| . (1.4)

Questa definizione e stata poco adoperata dagli statistici per il fattoche essendo un valore assoluto i teoremi sono difficilmente provabili.

1

1.2. RETTA CAPITOLO 1. PROBABILITA E STATISTICA

Abbiamo poi i momenti di ordine superiore che sono in realta pocousati; sono in genere numeri adimensionali mentre ricordiamo che il va-lor medio e deviazione standard empirica sono dimensionali. Abbiamoquindi che la asimmetria e cosı definita

skew(x1....xN) =1

N

N∑j=1

[xj − xs

]3, (1.5)

dove s e la deviazione standard empirica. Un valore positivo dellaasimmetria significa che abbiamo una coda che si estende verso i va-lori positivi e negativo viceversa. Un altro parametro importante e lacurtosi

Kurt(x1....xN) = 1

N

N∑j=1

[xj − xs

]4− 3 . (1.6)

Ricordiamo che questo parametro nel caso di una distribuzione Gaus-siana vale 0. Una maniera per calcolare la varianza che minimizza glierrori di arrotondamento e l’ algoritmo a due passi: prima il calcolo dix e poi quello di s2

s2(x1....xN) =1

N − 1

N∑j=1

(xj − x)2 − 1

N

[ N∑j=1

(xj − x)]2

. (1.7)

La seconda somma e zero nel caso in cui x e esatto altrimenti correggegli errori di arrotondamento del primo termine.

1.2 Retta

Qui si illustra come, date due serie di datix ey e l’ errore relativo allavariabile y ,al fine di stabilire eventuali relazioni di tipo lineare tra diesse, vengono calcolati:

1. valor medio:

x =1

N

N∑i=1

xi (1.8)

y =1

N

N∑i=1

yi (1.9)

2

CAPITOLO 1. PROBABILITA E STATISTICA 1.2. RETTA

2. deviazione standard:

sx =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(xi − x)2 (1.10)

sy =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(yi − y)2 (1.11)

3. coefficienti della retta di regressione (coef. angolare b e intercettaa):

b =

∑Ni=1(xi − x)(yi − y)∑N

i=1(xi − x)2(1.12)

a = y − bx (1.13)

4. errore sui coefficienti

error(b) =

√ ∑Ni=1(yi − a− bxi)2

(N − 2)∑N

i=1(xi − x)2(1.14)

error(a) =

√∑Ni=1(yi − a− bxi)2

(N − 2)

[ 1

N+

x2∑Ni=1(xi − x)2

](1.15)

5. coefficiente di correlazione r di Pearson

r =

∑Ni=1(xi − x)(yi − y)√∑N

i=1(xi − x)2∑N

i=1(yi − y)2(1.16)

6. Valore di χ2

χ2(a, b) =N∑i=1

((yi − a− bxi)σi

)2(1.17)

3

1.2. RETTA CAPITOLO 1. PROBABILITA E STATISTICA

4

Capitolo 2

Misure di lunghezze

In questa sezione ci occuperemo della piu semplice delle esperienze:misurare delle lunghezze con un calibro. Prima pero dobbiamo capirecome funziona il nonio.

2.1 Uso del nonio

Nell’ apprezzare la posizione di un indice scorrevole lungo una scalagraduata, come accade misurando uno spessore con un calibro, avvienequasi sempre che l’ indice indichi una posizione intermedia fra due trattiincisi sulla scala e quindi si debba valutare una frazione dell’ intervallominimo della graduazione. Nell’ esempio della figura 2.1, l’ indice Iinciso sulla parte scorrevole NN indica una posizione fra il tratto 26ed il tratto 27 della scala S ed occorre valutare la distanza x fra iltratto 26 e l’ indice I . A tale scopo sulla parte scorrevole NN e incisauna graduazione ausiliaria che costituisce propriamente il nonio ( daNonius , nome latinizzato di Pedro Nunes che lo invento). La lunghezzadi n intervalli del nonio ricopre n-1 intervalli della scala; quindi se a e lalunghezza di un intervallino di quest’ ultima, un intervallino del nonioe lungo n−1

na. Nella figura 2.1, 10 intervalli del nonio corrispondono

a 9 intervalli del regolo graduato. L’ indice I corrisponde allo zerodel nonio. Per una posizione qualsiasi, i tratti incisi su NN non sonoallineati con quelli della scala eccettuato uno che vi corrisponde se nonesattamente almeno con buona approssimazione. Nella figura 2.1 ilsettimo tratto di NN e allineato con il tratto adiacente inciso sul regolo.Supponiamo che fra I zero del nonio e tale tratto vi siano k intervallini.

5

2.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 2. MISURE DI LUNGHEZZE

Figura 2.1: Nonio decimale

Scrivendo la lunghezza ka (vedi figura 2.1) in due modi diversi si ha

x+ kn− 1

na = ka , (2.1)

dalla quale si ricava

x =k

na , (2.2)

Quindi la lunghezza x e i k -ennesimi di a. Nel caso della figura 2.1, sea= 1mm, e x = 7

10mm e percio l’ indice I indica la posizione 26.7 mm.

Il nonio dei calibri usualmente e diviso in 20 intervalli corrispondente-mente a 19 mm della graduazione,quindi consente l’ apprezzamento del120

mm=0.05mm.Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967] . Ripor-

tiamo in Figura 2.2 una fotografia di un calibro di laboratorio.ELABORAZIONE DATI SU PC.Per quanto riguarda i dati possiamo adoperare il programma GAUSS,che, analizzando le varie lunghezze, compie alcune operazioni di statisti-ca, produce una divisione in classi e confronta la distribuzione osservatacon quella Gaussiana.

6

CAPITOLO 2. MISURE DI LUNGHEZZE 2.1. USO DEL NONIO

Figura 2.2: Foto di un calibro di laboratorio

7

2.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 2. MISURE DI LUNGHEZZE

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Capitolo 3

La molla

La lunghezza naturale di una molla non sollecitata sia l0 (parte a dellafigura 3.1). Appendiamo un peso w che allunghera la molla di unalunghezza l ( parte b della figura 3.1

A causa dello sforzo dovuto al peso una forza di richiamo vieneoriginata nella molla che cerca di tornare nella posizione di partenza.Tramite la legge di Hooke questa forza e proporzionale alla distanza l( la lunghezza di cui si e allungata la molla):

F = kl , (3.1)

dove k > 0 e la costante della molla espressa in Nm

. Riportiamo nellatabella 3.1 alcuni parametri tipici delle molle presenti in laboratorio.

La forza agente verso il basso e la forza peso della massa attaccataalla molla. Se la molla e sulla superficie della terra, allora F=mg.Poiche la molla e in equilibrio la forza diretta verso il basso eguaglia la

Tabella 3.1: Parametri della molla

costante della molla Nm−1 Carico max in N lunghezza in cm diametro in cm

3 2 15 310 5 12 125 5 12 1.532 10 35 35

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CAPITOLO 3. LA MOLLA

Figura 3.1: Schema della molla

forza verso l’ alto :

kl = mg . (3.2)

Dalla formula precedente e gia possibile dedurre un primo valore di k

k =mg

l. (3.3)

Sia y=0 la posizione di equilibrio della molla con il peso w attaccato adessa. Se la molla con questo peso attaccato e allungata di un ulterioredistanza y le seguenti forze agiranno sulla molla :

• una forza verso l’alto dovuta alla tensione della molla che adessoe k(l+y)

• una forza diretta verso il basso dovuta al peso w eguale ad mg

L’ equazione del moto diventa:

md2y

dt2= mg − k(l + y) = mg − kl − ky . (3.4)

Grazie alla situazione di equilibrio precedente l’equazione si semplificaulteriormente :

md2y

dt2= −ky . (3.5)

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CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE

Questa e l’equazione dell’oscillatore la cui soluzione e

y = Acos(ωt+ ω1) , (3.6)

dove ω =√

km

. Il periodo di tale moto oscillatorio vale:

T =2π

ω= 2π

√m

k. (3.7)

La relazione che connette la costante k con il periodo T vale

k = 4π2 m

T 2, (3.8)

e questa e pure la seconda definizione di k.

Dalle equazioni (3.3) e (3.8) e possibile ricavare il valore della co-stante g che rappresenta la gravita a Torino quando le masse sonouguali

g =l4π2

T 2. (3.9)

L’attrezzatura di laboratorio e riportata nella Figura 3.2.

3.1 Molle multiple

Le molle possono essere in parallelo o in serie.

3.1.1 Molle in parallelo

Ambedue le molle toccano il punto di azione e il livello di compressione, l , sara uguale per entrambe. La forza sul blocco Fb sara

Fb = F1 + F2 = −k1l − k2l = −(k1 + k2)l , (3.10)

che significa una costante della molla equivalente ,keq, del tipo

keq = k1 + k2 . (3.11)

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3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA

Figura 3.2: L’esperimento della molla

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CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE

3.1.2 Molle in serie

Supponiamo che la posizione di equilibrio sia l2

Fb = −keql2 . (3.12)

Per continuare dobbiamo definire il punto di equilibrio fra le due mollel1

Fb = −k1l1 + k2(l2 − l1) . (3.13)

Essendo che all’ equilibrio la forza fra le molle e 0 possiamo risolvereper l1

l1 =k2

k1 + k2l2 , (3.14)

e quindi

Fb = −(k1k2k1 + k2

)l2 , (3.15)

ovverosia

keq =k1k2k1 + k2

, (3.16)

che puo essere scritta come

1

keq=

1

k1+

1

k2. (3.17)

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3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA

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Capitolo 4

Pendolo Semplice

Il pendolo semplice di lunghezza l, con un peso di massa m e visualizzatonella Figura 4.1 ed e soggetto ad un moto oscillatorio. La forza cheproduce il moto e la forza di richiamo gravitazionale che agisce nelladirezione tangente all’ arco del moto e vale mg sin(θ) dove θ e l’angolodi oscillazione. La seconda legge del moto di Newton dice che

F = mdv

dt= −mgsin(θ) , (4.1)

e quindidv

dt= −g sin(θ) . (4.2)

La distanza s che percorre la massa sull’ arco vale

s = lθ , (4.3)

e quindi

v = ldθ

dt,

dv

dt= l

d2θ

dt2. (4.4)

Dalle equazioni precedenti otteniamo la seguente equazione differenzialedel secondo ordine

ld2θ

dt2+ g sin(θ) = 0 . (4.5)

Questa e un equazione differenziale non lineare che sfruttando lo svi-luppo in serie di Taylor

sin(θ) = θ − θ3

3!+ ... (4.6)

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CAPITOLO 4. PENDOLO SEMPLICE

Figura 4.1: Il pendolo semplice

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CAPITOLO 4. PENDOLO SEMPLICE 4.1. NOTA STORICA SUL METRO

ld2θ

dt2+ g θ − g θ

3

3!+ g

θ5

5!... = 0 . (4.7)

Quindi per angolo piccoli possiamo linearizzare l’equazione precedenteottenendo

ld2θ

dt2+ g θ = 0 , (4.8)

oppured2θ

dt2+g

lθ = 0 . (4.9)

Ma questa e l’equazione dell’ oscillatore

d2θ

dt2+ ω2 θ = 0 , (4.10)

doveω2 =

g

l, (4.11)

e quindi il periodo, T0, delle oscillazioni vale

T0 = 2π

√l

g. (4.12)

Nel caso in cui θ non sia piccolo la risoluzione non lineare dell’equazio-ne (4.5) richiede gli integrali ellittici. La soluzione non lineare per ilperiodo, T, e

T

T0= 1 + 1/4 (sin (1/2 θmax))

2 +9 (sin (1/2 θmax))

4

64, (4.13)

dove θmax e l’ampiezza iniziale in radianti.Figura 4.2 riporta la soluzione numerica del rapporto T

T0funzione

dell’ ampiezza massima in radianti.

4.1 Nota storica sul metro

Il concetto di metro deriva dalla parola greca metron che significa mi-sura. E stato introdotto da Tito Livio Burattini nel libro ”Misura Uni-versale” nel 1670. Burattini introdusse il metro cattolico che oscillavacon 3600 vibrazioni in un ora. Il libro in questione e stato stampato aCracovia (Polonia) che ha un gravita di g = 9.81071m

s. In questo caso

l’ equazione (4.12) da, per T0 = 2s, l = .994m che differisce per 6mmdal metro attuale.

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4.1. NOTA STORICA SUL METRO CAPITOLO 4. PENDOLO SEMPLICE

Figura 4.2: Periodo normalizzato TT0

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Capitolo 5

Velocita limite

Le forze di attrito nei fluidi si dividono come forze proporzionali allavelocita, regime di Stokes, oppure come forze proporzionali al quadratodella velocita, regime di Newton.

5.1 Stokes

Le condizioni di partenza considerate da Stokes furono la presenza diuna sfera immersa in un fluido e sottoposta ad una forza di gravita Fg

Fg = mg , (5.1)

dove: m e la massa e g l’ accelerazione gravitazionale. La sfera etuttavia sottoposta anche all’attrito del fluido viscoso, Fd, che e datoda:

Fd = −6πηrv , (5.2)

dove η e la viscosita, r il raggio della sfera, v la velocita del fluidorispetto alla sfera, il segno e negativo perche l’attrito del fluido hadirezione opposta alla forza di gravita. Infine la sfera e sottopostaanche all’azione della spinta di Archimede, FA, dato che e immersa inun fluido:

FA = −ρfgV (5.3)

dove ρf e la densita del fluido, g l’ accelerazione gravitazionale, V ilvolume del corpo immerso ed il segno e negativo perche la spinta diArchimede ha direzione opposta alla forza di gravita.

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5.2. EQN. DIFF. STOKES CAPITOLO 5. VELOCITA LIMITE

In condizioni di equilibrio l’accelerazione e nulla e quindi:

6πηrv = mg − ρfgV6πηrv = ρsV g − ρfgV

6πηrv = V g(ρs − ρf ) , (5.4)

con ρs densita della sfera e V volume della sfera. Il volume della sferaV e

V =4πr3

3(5.5)

e sostituendo si ha:

6πηrv =4πr3

3(ρs − ρf )g

3ηv =2r2

3(ρs − ρf )g

v =2r2

9η(ρs − ρf )g . (5.6)

La somma vettoriale (che tiene conto dei versi delle forze) di questetre forze e sempre nulla e permette di ottenere la formula della leggedi Stokes, dalla quale si ricava la velocita della sfera in condizioni diequilibrio raggiunto. La viscosita sara quindi

η =2r2

9v(ρs − ρf )g , (5.7)

oppure

η =mg

6rπv, (5.8)

dove m e la massa della sfera.

5.2 Eqn. diff. Stokes

La pallina si trova in un fluido (per es. aria). Essa e soggetta allaforza peso, alla spinta di Archimede (che pero’ e trascurabile nel casoin cui la densita del fluido sia molto inferiore a quella della pallina).Una volta in moto la pallina e sottoposta alla forza di attrito viscosoproporzionale alla velocita

Fv = −γv , (5.9)

20

CAPITOLO 5. VELOCITA LIMITE 5.2. EQN. DIFF. STOKES

Se vale la legge di Stokes allora γ = 6ηR, dove R e il raggio dellapallina. Il moto avviene tutto verticalmente e quindi fissando l’ asse ydelle coordinate orientato positivo verso l’ alto avremo, come risultantedelle forze: ∑

Fy = −mg + FA − γv , (5.10)

dove m = ρsV e V e il volume della pallina, mentre ρs e la densita dellapallina. La forza di Archimede e FA = ρflV g , dove ρfl e la densita delfluido. Per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere

ma = mdv

dt= −mg + FA − γv , (5.11)

e dividendo per la massa

dv

dt= −g +

FAm− γ

mv , (5.12)

i due termini costituiti dal campo gravitazionale g e dalla spinta diArchimede sono due termini costanti e possono essere espressi da unsingolo parametro che possiamo definire campo gravitazionale efficacege, che sara uguale a g nel caso che la spinta di Archimede sia tra-scurabile, ma che, nel caso la spinta di Archimede sia non trascurabilemi definira una costante da moltiplicare per la massa della pallina peravere il valore della forza costante che agisce su di essa

ge = g − FAm

= g(1− ρflρs

) . (5.13)

Da qua si vede per esempio che se ρfl > rhos la forza efficace saradiretta verso l’ alto. Inseriamo il tempo caratteristico

τ =m

γ=

4πR3ρs3(6πηR)

=2R2ρs

9η. (5.14)

L’ equazione del moto (5.12) si puo quindi scrivere come

dv

dt+v

τ= −ge . (5.15)

Questa e un’ equazione differenziale del primo ordine a variabili sepa-rabili. Imponendo v(0)=0 otteniamo

v(t) = −geτ(1− e−tτ ) . (5.16)

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5.3. ESECUZIONE STOKES CAPITOLO 5. VELOCITA LIMITE

5.3 Esecuzione Stokes

Elenchiamo la strumentazione disponibile

• Becker graduato

• Liquido di cui si vuole determinare il coefficiente di viscosita

• Bilancia elettronica per la misura del peso del corpo immerso

• Palmer per la misura del diametro del corpo

• Cronometro per la misura del tempo di caduta

• Metro per la misura della distanza percorsa dal corpo

Riportiamo l’esecuzione dell’esperienza. Le misure preliminari da ese-guire sono:

• Misurare con la bilancia elettronica il peso medio dei pallini dipiombo (sensibilita della bilancia 0,1g)

• Misurare con il palmer il diametro medio dei pallini e ricavarne ilraggio medio (sensibilita del palmer 0,01mm)

• Misurare i segmenti ∆xi (i=1,2,3) in cui e suddiviso il becker(sensibilita del metro 0,01 m)

Dobbiamo adesso verificare il moto rettilineo uniforme dei pallini

• Ciascuno sperimentatore misure il tempo ti impiegato dal pallinoa percorrere il segmento ∆xi

• Calcolare il tempo medio impiegato dal corpo a percorrere cia-scuno dei tre segmenti e ricavarne la velocita media

• Verificare che entro il margine di errore le tre velocita sono ugualitra loro

Calcoliamo adesso la velocita limite ed il coefficiente di viscosita:

• Misurare il tempo impiegato dal pallino a percorrere il segmen-to complessivo di lunghezza ∆x dato dalla somma dei singolisegmenti ∆xi

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CAPITOLO 5. VELOCITA LIMITE 5.4. NEWTON

• Calcolare il tempo medio e la velocita media (coincidente con lavelocita limite )

• Determinare il valore del coefficiente di viscosita η con il relativoerrore

5.4 Newton

Una prima forza nel regime di Newton per un oggetto che cade e laforza di gravita Fg

Fg = mg , (5.17)

dove: m e la massa e g l’ accelerazione gravitazionale. La seconda forzae la resistenza idraulica, Fb, che e data da:

Fb = −bv2 , (5.18)

dove b e il coefficiente di resistenza idraulica che vale

b =1

2ρCxA , (5.19)

dove Cx e il coefficiente di resistenza aerodinamica, A e l’area interessatae ρ e la densita del fluido nel quale avviene la caduta. La seconda leggedel moto di Newton e

ma = Fg + Fb = mg − bv2 , (5.20)

ed essendo che alla velocita limite l’accelerazione e zero otteniamo lavelocita terminale

v =

√2mg

ρCxA. (5.21)

Riportiamo nella tabella 5.1 alcuni valori di velocita limite per oggettiche cadono nell’ aria.

5.5 Eqn. diff. Newton

La seconda legge del moto di Newton vale

mdv

dt= Fg + Fb = mg − bv2 , (5.22)

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5.5. EQN. DIFF. NEWTON CAPITOLO 5. VELOCITA LIMITE

Tabella 5.1: Valori numerici osservati per la velocita limite

Oggetto massa area velocitaparacadutista 75 kg 0.7 m2 60 m/s

chicco grandine .48 g .79 cm2 14 m/spioggia 0.034 g .13 cm2 9 m/s

e la soluzione di questa equazione differenziale e

v =

√2mg

ρCxAtanh

(√g ρCxA

2mt

). (5.23)

Dato che limt→∞ tanh

(√g ρCxA2m

t

)=1 otteniamo

v =

√2mg

ρCxA. (5.24)

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Appendice A

Unita di misura

Nei vari sistemi di unita di misura esistenti la scelta delle unita dimisura e completamente arbitraria, ma deve rispettare certi criteri diconvenienza e di praticita, quale per esempio di adottare unita che nonsiano ne troppo grandi ne troppo piccole da imporre poi nei calcolil’ uso di troppi prefissi, di multipli o sottomultipli; questo criterio none pero strettamente applicabile, in quanto molto spesso si deve tenerconto della possibilita di costruire un campione dell’ unita adottata.Premettiamo alla trattazione dei sistemi di unita di misura una serie didefinizioni.

Un sistema di unita di misura si dice completo quando in essoe definito un numero di unita di grandezze fondamentali sufficiente arappresentare quantitativamente tutti i fenomeni osservabili.

Un sistema di unita di misura si dice assoluto quando le unita inesso adottate sono invariabili in ogni tempo e luogo e sono definite teo-ricamente senza alcun riferimento a definizioni sperimentali. Le unitadi un tale sistema vengono dette assolute.

Un sistema di unita di misura si dice coerente quando il prodottoo il quoziente di piu unita di tale sistema forniscono una nuova unita ilcui valore e sempre unitario.

Un sistema di unita di misura si dice decimale quando i multipli edi sottomultipli delle sue unita sono scelti secondo le potenze del 10.

Un sistema di unita di misura si dice razionalizzato quando i coef-ficienti numerici che compaiono nelle leggi vengono scelti in modo chel’ irrazionale π appaia soltanto in formule relative a configurazioni circo-lari, sferiche o cilindriche e non in quelle relative a configurazioni piane;

25

A.1. I SISTEMI MKS APPENDICE A. UNITA DI MISURA

Figura A.1: Foto del metro campione nel laboratorio

Figura A.2: La barra di platino-iridio utilizzata come campione delmetro dal 1889 al 1960.

la razionalizzazione si rende in particolar modo necessaria nell’ unitadell’ elettromagnetismo.

Per maggiori dettagli consultare [Fazio 1995] .

A.1 I sistemi mks

Il sistema mks trae il proprio nome dalle iniziali delle tre unita dimisura delle grandezze meccaniche in esso adottate: il metro (m) perla lunghezza, il kilogrammo (kg) per la massa e il secondo (s) per gliintervalli di tempo. Riportiamo in Figura A.1 una fotografia del metrocampione esistente in laboratorio ed in Figura A.2 la barra campione delmetro depositata presso l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misurea Sevres, in Francia.

Il chilogrammo e la massa di un particolare cilindro di altezza ediametro pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio depositato presso

26

APPENDICE A. UNITA DI MISURA A.2. IL SISTEMA CGS

Figura A.3: Foto del kilogrammo campione

l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a Sevres, in Francia, vediFigura A.3.

Tale sistema e ovviamente incompleto, assoluto e razionalizzato.Dato che esso non poteva descrivere tutte le grandezze, mancando l’unita di misura di una grandezza fondamentale elettrica o magnetica,ne sono state fatte successive estensioni introducendo una quarta unita:a seconda che la quarta grandezza fondamentale fosse la carica elettrica(unita di misura: coulomb , C), la resistenza elettrica (unita di misura:ohm , Ω) o intensita di corrente elettrica (unita di misura: Ampere ,A ) vennero introdotti i tre sistemi mksC, mksΩ ed mksA. In pratical’ ultimo, completato con le tre unita di temperatura (kelvin, K ), diintensita luminosa (candela, cd ) e di quantita di sostanza (mole, mol ),e quello che va sotto il nome di Sistema Internazionale. Le unita dei tresistemi mksC, mksΩ ed mksA sono perfettamente coincidenti in quantoesse differiscono l’ uno dall’ altro soltanto per la scelta della grandezzaelettrica fondamentale da associare alle tre grandezze meccaniche.

A.2 Il sistema cgs

E un sistema assoluto basato sull’ adozione delle tre grandezze mecca-niche fondamentali (lunghezza, massa, intervallo di tempo ), cui sonoassociate rispettivamente come unita di misura: il centimetro (cm), il

27

A.2. IL SISTEMA CGS APPENDICE A. UNITA DI MISURA

grammo (g) e il secondo (s), dalle cui iniziali esso trae il nome. Esso fuproposto su suggerimento di Lord Kelvin dall’ Associazione Britannicaper il Progresso delle Scienze (1873 ) e adottato nel 1881 al I Congrs-so Internazionale di Elettricita. Tale sistema e incompleto, in quantonon comprende grandezze elettriche ne magnetiche ed e percio adattosolo per la rappresentazione di fenomeni meccanici. L’ estensione allarappresentazione dei fenomeni elettromagnetici e stata fatta con l’ ado-zione dei sistemi cgses (elettrostatico ) e cgsem (elettromagnetico) aiquali rimandiamo. L’ unita di velocita e il cm/s; l’ unita di accelerazio-ne, il cm /s2, detta anche gal (Gal). L’ unita di forza e la dina (simbolodyn ), definita come quella forza che, applicata ad un corpo di massa 1g , gli conferisce un ’ accelerazione di 1 cm /s2 nella stessa direzione diapplicazione della forza; per la seconda legge della dinamica (F = ma) avremo percio

1 dyn = 1 g 1cm/s2 . (A.1)

L’ unita di lavoro e l ’ erg , definito come il lavoro compiuto dallaforza di 1 dyn per spostare un corpo di 1 cm nella stessa direzione diapplicazione della forza; per la definizione di lavoro sara percio

1 erg = 1 dyn 1cm . (A.2)

L’ erg e anche l’ unita di misura dell ’ energia nel sistema cgs. L’ unitadi misura della potenza e ergs; quella della massa volumica g/cm3;quella della pressione, sara dyn/cm2, chiamata anche baria. L’ unitadi quantita di moto , g cm /s; l’ unita di momento meccanico , dyncm; l ’ unita di momento della quantita di moto (o momento angolare )erg s; l’ unita di portata di volume , cm3/s, mentre quello di portata dimassa e g/s. L’ unita di viscosita dinamica , dalla legge di Newton chedefinisce il coefficiente di viscosita η (F =−η A dv/dx), risulta essereg / (cm s ), chiamata poise (P), mentre l’ unita di viscosita cinematicaν, definita dalla relazione: ν = η/ρ, con ρ massa volumica del fluido, ecm2/s, chiamata stokes (St).

Per quanto riguarda i fenomeni termici, il sistema cgs adotta altredue unita, il grado Celsius ( 0C) per la temperatura e la caloria (cal)per la quantita di calore. La caloria (o piccola caloria e invece definitacome la quantita di calore che si deve fornire alla massa di 1 g di acquadistillata per portarne la temperatura da 14.5 a 15.5 0C.

Pertanto nel sistema cgs l’ unita di calore specifico sara cal/ (g 0C);l’ unita di capacita termica , cal / 0C; l’ unita di calore latente, cal/ g;

28

APPENDICE A. UNITA DI MISURA A.3. NOTA SULLA CALORIA

l’ unita di conduttivita termica , dalla legge di Fourier che definisce ilcoefficiente di conduttivita termica [λ = (δQ)/A(dT/dx)], e cal/(s cm0C ).

L’ unita dei vari potenziali termodinamici, che si identificano condelle energie e l’ erg.

Il sistema cgs utilizza tre unita supplementari comuni ad altri siste-mi metrici, che sono:

• il radiante (rad), unita di angolo piano;

• lo steradiante (sr), unita di angolo solido;

• la mole (mol), unita di quantita di sostanza.

Per la loro definizione ufficiale si rimanda il lettore ad uno dei prossimiparagrafi.

A.3 Nota sulla caloria

In effetti la caloria e oggi un’ unita poco usata, in quanto si tende asostituirla con l’ erg o con il joule e cio in base alla ormai acquisitanozione che il calore e una forma di energia interna dei corpi e quindimisurabile in unita di energia. Sono state proposte dal 1934 ad oggivari tipi di caloria:

la caloria a 15 0C, ovvero quella definita nel paragrafo precedente,tale che:

1 cal15 = (4.1855± 0.0005)J , (A.3)

adottata nel 1934 dall’ Unione Internazionale di Fisica Pura e Applica-ta e successivamente anche dal Comitato Internazionale Pesi e Misurenel 1960; chiamata anche piccola caloria o grammo caloria ;

la caloria termochimica , definita come:

1 caltc = 4.184 J ; (A.4)

la caloria internazionale , adottata nel 1956 alla 5a Conferenza Inter-nazionale sulle Proprieta dei Vapori e definita come:

1 calIT = 4.1868 J ; (A.5)

quest’ ultimo valore e quello oggi piu comunemente usato, anche se ladirettiva CEE del 27 luglio 1976 ha vietato l’ uso di tutto le calorie apartire dal 1 gennaio 1978.

29

A.4. IL SISTEMA TECNICO APPENDICE A. UNITA DI MISURA

A.4 Il sistema tecnico

Chiamato anche sistema degli ingegneri o sistema gravitazionale , eun sistema metrico, non assoluto, non coerente e incompleto che assu-me come grandezze fondamentali la lunghezza, la forza e gli intervallidi tempo e adotta come unita di misura rispettivamente il metro, ilkilogrammo-forza (o kilogrammo-peso ) e il secondo.

Il kilogrammo-forza (kgf) e definito come quella forza che, applicataa un corpo massa 1 Kg, gli imprime un’ accelerazione pari a quella digravita campione, fissata in 9.80665 m/s2.

Sara, come e facile ricavare:

1Kgf = 9.80665N . (A.6)

In tale sistema di conseguenza, l’ unita di massa e un’ unita derivata;essa viene indicata con um e vale 9.80665 kg.

L’ unita di lavoro e di energia e il kilogrammetro (kgf m, piuraramente kgm ), definito come 1 Kgf 1 m e pari a 9.80665 J.

L’ unita di potenza e il kgf m/s, del quale e molto usato un multiplochiamato cavallo vapore (CV), definito esattamente come 75 kgf m/s= 735.499 W.

L’ unita di pressione e il Kgf /m2, corrispondente al millimetrod’ acqua (mmH2O).

Pe ricavare i fattori di conversione fra le unita tecniche e le cor-rispondenti unita degli altri sistemi basta tener presente che 1 Kgf =9.80665 N, 1 um = 9.80665 kg, che si ricavano entrambe dalla secondalegge della dinamica, se si ricorda che mentre la forza di 1 N accelerala massa di 1kg accelerazione di 1m/s2, la forza di 1 kgf le imprimeinvece un’ accelerazione di 1 m/s2, la forza di 1 kgf le imprime inveceun’ accelerazione di 9.80665 m/s2.

A.5 Il sistema SI

La XI Conferenza Generale di Pesi e Misure, tenutasi a Parigi dall’ 11al 20 ottobre 1960, considerata la Risoluzione 6a della X CGPM, con laquale essa ha adottato le sei unita che devono servire di base per l’ isti-tuzione di un sistema pratico di misura per le relazioni internazionali,considerata la Risoluzione 3a adottata dal Comitato Internazionale Pesie Misure nel 1956, considerate le Raccomandazioni adottate dal CIPM

30

APPENDICE A. UNITA DI MISURA A.5. IL SISTEMA SI

nel 1958, concernenti l’ abbreviazione del nome di questo sistema e iprefissi per la formazione dei multipli e sottomultipli delle unita.

DECIDE:

1. Il sistema metrico fondato sulle sei unita di misura base di cuisopra e designato con il nome di ”Sistema Internazionale di Unita”

2. L’ abbreviazione internazionale di detto sistema e ”SI”

Il Sistema Internazionale, adottato con il documento della XI CG-PM di cui sopra e completato dalla XIV CGPM (1971), alla XV CGPM(1975), alla XVI CGPM (1979 ) e alla XVII CGPM (1983) con alcu-ne nuove adozioni e modifiche di precedenti definizioni, e fondato sullaadozione di sette grandezze fondamentali: le quattro del sistema mk-sA razionalizzato, o sistema Giorgi, e cioe la lunghezza , la massa, gliintervalli di tempo, l’ intensita luminosa e la quantita di sostanza.

Le corrispondenti unita di misura vengono cosı definite:

lunghezza: il metro (m) ovvero la distanza percorsa nel vuoto dallaluce nell’ intervallo di tempo di (1 / 299 792 458 ) s .

massa: il kilogrammo (kg) ovvero la massa del prototipo di platino-iridio, depositato presso il Bureau International des Poids et Me-sures, nei sotteranei del padiglione di Breteuil, a Sevres.

tempo: il secondo(s), ovvero la durata di 9 192 631 770 oscillazionidella radiazione emessa dall’ atomo di Cesio 133 ( 133Cs) nel-lo stato fondamentale 2S1/2 nella transizione dal livello iperfineF=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0.

corrente elettrica: l’ Ampere (A), ovvero la corrente elettrica costanteche, fluendo in due conduttori rettilinei, paralleli, indefinitamentelunghi, di sezione circolare trascurabile, posti a distanza di 1 mnel vuoto, determina fra essi una forza di 2 10−7 N per metro diconduttore.

temperatura: il Kelvin (k), ovvero la frazione di 1 /273.16 della tem-peratura termodinamica del punto triplo dell’ acqua.

intensita luminosa: la candela (cd) e l’ intensita luminosa in una datadirezione di una sorgente che emette una radiazione monocroma-tica di frequenza 540 ·1012 Hz e la cui intensita energetica in taledirezione e di (1/683) W/sr.

31

A.6. PREFISSI NEL SI APPENDICE A. UNITA DI MISURA

sostanza: la mole (mol), ovvero la quantita di sostanza di un sistemache contiene tante unita elementari quanti sono gli atomi in 0.012Kg di carbonio 12 ( 12C).

Accanto alle sette unita fondamentali vengono definite nel SI dueunita supplementari, il radiante e lo steradiante:

angolo piano: il radiante (rad), ovvero quell’ angolo piano con il verti-ce nel centro della circonferenza che sottende un arco di lunghezzauguale al raggio.

angolo solido: lo steradiante (sr) ovvero quell’ angolo solido con ilvertice nel centro della sfera che sottende una calotta sferica lacui area e uguale a quella di un quadrato con lati uguali al raggiodella sfera.

A.6 Prefissi nel SI

Questi prefissi (vedi tabella A.1) sono adoperati per indicare multipli osottomultipli delle unita di base, eccetto che per le unita di massa chesono formate applicando il prefisso al simbolo g: esempio Mg e non kkge mg e non µkg .Solamente un singolo prefisso e permesso . Usate nspiuttosto che mµs , pF piuttosto che µµF ,GW piuttosto che kMW .

32

APPENDICE A. UNITA DI MISURA A.6. PREFISSI NEL SI

Tabella A.1: Tabella dei prefissi

fattore prefisso simbolo fattore prefisso simbolo

fattore prefisso simbolo fattore prefisso symbolo101 deka da 10−1 deci d102 hecto h 10−2 centi c103 kilo k 10−3 milli m106 mega M 10−6 micro µ109 giga G 10−9 nano n1012 tera T 10−12 pico p1015 peta P 10−15 femto f1018 exa E 10−18 atto a1021 zetta Z 10−21 zepto z1024 yotta Y 10−24 yocto y

33

A.6. PREFISSI NEL SI APPENDICE A. UNITA DI MISURA

34

Appendice B

Dati

B.1 Costanti

Presso l’ I.M.G., alla quota di 239 m sul livello del mare ( a circa 2.5m sotto il livello stradale ), il valore di g e misurato nel 2006

g = 9.805341970ms−2 (B.1)

Una variazione di un metro, sulla quota verticale, porta ad una varia-zione di 3 parti sulla settima cifra significativa. Se ci fosse un dislivellodi circa +/- 10 m ( tra IMG e IFG) si potrebbe aver dei dubbi sul 4.

Per maggiori dettagli consultare [?] .

Concludendo forse basta 9.8053.............................

La costante di gravitazione universale vale invece:

G = 6.67428(67) 10−11m3kg−1s−2 (B.2)

le cifre fra parentesi danno l’ incertezza ad una 1-deviazione stan-dard nelle ultime cifre ( ovverosia 0.00067 ) l’ incertezza in parti permilione e: 128 ppm

Per maggiori dettagli consultare [Cohen 1996] .

La costante di Boltzmann vale

k = 1.38 10−23joule/ K (B.3)

k = 1.381 0−14erg/ 0C (B.4)

35

B.2. TABELLE APPENDICE B. DATI

Tabella B.1: Tabella dei calori specifici

Sostanza cp [cal/(g0C] a 250

Acqua 0.998Alluminio 0.215Benzolo 0.409Rame 0.0925

Mercurio 0.0033Piombo 0.031V etro 0.20Zolfo 0.178NaCl 0.204

Glicerina 0.57Neon 0.246Aria 0.24

Riportiamo la costante dei gas perfetti R:

R = 8.314 joule/(mole K) (B.5)

R = 8.314107 erg/(mole K) (B.6)

R = 0.08206 litri atm/(mole K) (B.7)

B.2 Tabelle

36

APPENDICE B. DATI B.2. TABELLE

Tabella B.2: Tabella della conduttivita termica

Sostanza K [cal/(cm sec 0C)] a 250

Argento 0.98Rame 0.92Piombo 0.08Mercurio 0.02Sughero 0.0001

lana di roccia 0.0001acqua 410−5

legno di larice 910−4

Tabella B.3: Tabella del modulo di Young

Materiale Densita Modulo di Y oung Limite di rottura

dimensioni Kg/m3 109N/m2 106N/m2

Acciaio− ASTM − A36 7860 200 400Alluminio 2710 70 110V etro 2190 65 50

Calcestruzzo 2320 30 40Legno− douglas 525 13 50

Osso 1900 9 170Polistirene 1050 3 48

37

B.2. TABELLE APPENDICE B. DATI

Tabella B.4: Tabella delle Viscosita ; a Peso medio (S.A.E. 30)

Sostanza viscosita (Ns/m2)

Glicerina (20 0C) 1.5Olio lubrificante da motorea(0 0C) 0.11Olio lubrificante da motorea(20 0C) 0.03

Sangue (37 0C) 4.010−3

Acqua (20 0C) 1.010−3

Acqua (90 0C) 0.3210−3

Benzina (20 0C) 2.910−4

Aria (20 0C) 1.810−5

CO2 (20 0C) 1.510−5

Tabella B.5: Tabella del valori a e b dei gas

Gas a[litri2 atm/mole2] b[litri/mole]

Ar 1.345 3.2210−2

CO2 3.592 4.2610−2

He 0.034 2.3710−2

N2 1.390 3.9110−2

H2O 5.464 3.0410−2

O2 1.360 3.1810−2

SO2 6.714 5.6310−2

38

Appendice C

Matematica

C.1 Derivate

Sotto troverete alcune tabelle di funzioni reali e la loro corrispondentederivata.

Regole di Base della derivazione

f(x)df(x)

dx= f ′(x)

f(x) + g(x) f ′(x) + g′(x)f(x)g(x) f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)f(x)

g(x), g 6= 0

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2

f(g(x)) f ′(g(x))g′(x)

f−1(x)1

f ′(f−1(x))

C.1.1 Polinomi e potenze

f(x) f ′(x) Dominio di applicazione

c ∈ R 0 x ∈ Rxr rxr−1 x ∈ R√x

1

2√x

x > 0

|x| x

|x|=|x|x

x 6= 0

39

C.1. DERIVATE APPENDICE C. MATEMATICA

C.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche

f(x) f ′(x) Dominio di applicazione

exp(x) = ex exp(x) = ex x ∈ Rax ax ln a x ∈ R

lnx1

xx > 0

xx xx(1 + ln x) x > 0

C.1.3 Funzioni trigonometriche

f(x) f ′(x) Dominio di applicazione

sinx cosx x ∈ Rcosx − sinx x ∈ Rtanx sec2 x x 6= nπ +

π

2, n ∈ Z

cotx − csc2 x x 6= nπ, n ∈ Zsecx secx tanx x 6= nπ +

π

2, n ∈ Z

cscx − cscx cotx x 6= nπ, n ∈ Z

arcsinx1√

1− x2|x| < 1

arccosx − 1√1− x2

|x| < 1

arctanx1

1 + x2x ∈ R

40

APPENDICE C. MATEMATICA C.1. DERIVATE

C.1.4 Funzioni Iperboliche

f(x) f ′(x) Dominio di Applicazione

sinhx coshx x ∈ Rcoshx sinhx x ∈ Rtanhx sech2 x x ∈ Rcothx − csch2 x x 6= 0sechx − sechx tanhx x ∈ Rcschx − cschx cothx x 6= 0

arsinhx1√x2+1

x 6= 0

arcoshx1√x2−1

|x| > 1

artanhx1

1−x2−1 < x < 1

arcothx1

1−x2|x| > 1

C.1.5 Altre Funzioni

f(x) f ′(x) Dominio di Applicazione

Erfx2√πe−x

2

x ∈ R

Lix1

lnxx > 1

Six sincx x ∈ R

gdx1

coshxx ∈ R

gd−1x1

cosx|x| < π

2

Hn(x) 2nHn−1(x) x ∈ R

41

C.2. INTEGRALI INDEFINITI APPENDICE C. MATEMATICA

C.2 Integrali indefiniti

Qui‘ sotto troverete alcune funzioni reali ed il loro corrispondente inte-grale.

C.2.1 Polinomi e potenze

f(x)

∫f(x) dx

xn for n 6= −1xn+1

n+1+ C

x−1 ln |x|+ C

|x|n for n 6= −1x|x|n

n+1+ C

|x|−1 x ln |x||x|

+ C

C.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche

f(x)

∫f(x) dx

ex ex + C

ekx for k 6= 0ekx

k+ C

ax for a > 0ax

ln a+ C

lnx x lnx− x+ C(lnx)2 x[(lnx)2 − 2 lnx+ 2] + C

1

lnxLix+ C

ln(lnx) x ln lnx− Lix+ C

Dove la versione Euleriana del logaritmo integrale (in Latino logarith-mus integralis) e definita come

Lix =

∫ x

0

dt

ln t.

42

APPENDICE C. MATEMATICA C.2. INTEGRALI INDEFINITI

C.2.3 Funzioni Trigonometriche

f(x)

∫f(x) dx

cosx sinx+ Csinx − cosx+ Ccotx ln | sinx|+ Ctanx − ln | cosx|+ Csecx ln | secx+ tanx|+ Ccscx − ln | cscx+ cotx|+ C

1

sinxln∣∣∣tan

x

2

∣∣∣+ C

sec2 x tanx+ Ccsc2 x − cotx+ C

secx tanx secx+ Ccscx cotx − cscx+ C

1

1 + x2arctanx+ C

1√1− x2

arcsinx+ C

C.2.4 Funzioni Iperboliche

f(x)

∫f(x) dx

coshx sinhx+ Csinhx coshx+ Ctanhx ln(coshx) + Ccothx ln | sinhx|+ C

sech2 x tanhx+ C

csch2 x − cothx+ Csechx tanhx − sechx+ Ccschx cothx − cschx+ C

43

C.2. INTEGRALI INDEFINITI APPENDICE C. MATEMATICA

C.2.5 Funzioni cicliche

f(x)

∫f(x) dx

arccosx x arccosx−√

1− x2 + C

arcsinx x arcsinx+√

1− x2 + C

arccotx x arccotx+ ln√

1 + x2 + C

arctanx x arctanx− ln√

1 + x2 + C

arcsecx x arcsecx− ln(x+√x2 − 1) + C

C.2.6 Radici Quadrate

f(x)

∫f(x) dx

√x 2

3x√x+ C

√x2 + 1

x

2

√x2 + 1 +

1

2arsinhx+ C

√x2 − 1

x

2

√x2 − 1− 1

2arcoshx+ C

1√x2 + 1

arsinhx+ C

1√x2 − 1

arcoshx+ C (x > 1)

• La costante C denota una costante arbitraria rappresentata daun numero reale ; Li e l’ integrale logaritmico.

• Notate che le tavole possono essere usate solo quando ’integra-le continuo sul dominio di integrazione. Notate ad esempio ilseguente calcolo errato

1∫−1

|x|−1 dx =x ln |x||x|

∣∣∣∣1−1

=1 ln |1||1|

− −1 ln | − 1|| − 1|

= 0− 0 = 0

Il calcolo e incorretto perche |x|−1 non e continuo a x = 0.

44

APPENDICE C. MATEMATICA C.3. INTEGRALI GENERALIZZATI

C.3 Integrali generalizzati

Riportiamo alcuni integrali generalizzati piu comuni

∫ ∞0

e−x2

dx√π2∫ ∞

0

e−x2

cos kx dx√π2e−

14k2∫ ∞

0

e−x2

a2+x2dx π

2aea

2erfc a∫ ∞

0

sinx2 dx =∫∞0

cosx2 dx√2π4∫ ∞

0

sin ax

xdx (sgn a)π

2(a ∈ R)∫ ∞

0

(sinx

x

)2

dx π2∫ ∞

0

1− cos kx

x2dx πk

2∫ ∞0

x−k

x+1dx π

sinπk(0 < k < 1)∫ ∞

−∞

ekx

1+exdx π

sinπk(0 < k < 1)∫ ∞

0

cos kx

x2+1dx π

2ek∫ ∞0

a cosx

x2+a2dx =

∫∞0

x sinxx2+a2

dx π2ea

(a > 0)

45

C.3. INTEGRALI GENERALIZZATI APPENDICE C. MATEMATICA

∫ ∞0

sin ax

x(x2+1)dx π

2(1− e−a) (a > 0)∫ ∞

0

e−xx−32 dx

√π∫ ∞

0

e−xx3 sinx dx 0∫ ∞0

(1

ex−1− 1

xex

)dx γ∫ ∞

0

cos ax2 − cos ax

xdx γ+ln a

2(a > 0)∫ ∞

0

e−ax−e−bx

xdx ln b

a(a > 0, b > 0)∫ ∞

1

(arcsin

1

x− 1

x

)dx 1 + ln 2− π

2∫ 1

0

arctanx

x√

1−x2dx π

2ln(1+

√2)∫ 1

0

ln(1+x)

xdx π2

12∫ 1

12

ln(1−x)

x2dx −2 ln 2

46

APPENDICE C. MATEMATICA C.4. TAYLOR

C.4 Taylor

Riportiamo lo sviluppo in serie di Taylor intorno allo 0 di alcune fun-zioni importanti

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·

sinx =x

1!− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·

C.5 Trigometria

C.5.1 Triangolo retto -Definizioni

Considerate il triangolo retto ABC, dove C e l’angolo retto. Quindi :

sinA =BC

AB= opposto

ipotenusa

cosA =AC

AB= adiacente

ipotenusa

tan(A) =BC

AC= opposto

adiacente

cscA =1

sinA=AB

BC= ipotenusa

opposto

secA =1

cosA=AB

AC= ipotenusa

adiacente

cotA =1

tanA=AC

BC= adiacente

opposto

C.5.2 Formule ridotte

1. sin(−x) = − sinx

2. cos(−x) = cos x

3. sin(π2− x) = cos x

4. cos(π2− x) = sinx

5. sin(π2

+ x) = cos x

6. cos(π2

+ x) = − sinx

47

C.5. TRIGOMETRIA APPENDICE C. MATEMATICA

7. sin(π − x) = sinx

8. cos(π − x) = − cosx

9. sin(π + x) = − sinx

10. cos(π − x) = − cosx

C.5.3 Identita

1. sin2 x+ cos2 x = 1

2. tan2 x+ 1 = sec2 x

3. cot2 x+ 1 = csc2 x

C.5.4 Somme e Differenze

1. sin(α + β) = sinα cos β + sin β cosα

2. sin(α− β) = sinα cos β − sin β cosα

3. cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

4. cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

5. tan(α + β) =tanα + tan β

1− tanα tan β

6. tan(α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β

C.5.5 Angolo doppio e meta

1. sin 2α = 2 sinα cosα

2. cos 2α = cos2 x− sin2 x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x

3. tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

4. sinα

2= ±

√1− cosα

2(determinare se e + o - trovando il qua-

drante in cuiα

2giace)

48

APPENDICE C. MATEMATICA C.5. TRIGOMETRIA

5. cosα

2= ±

√1 + cosα

2(come sopra)

6. tanα

2=

1− cosα

sinα=

sinα

1 + cosα

C.5.6 Altre formule

Considerate un triangolo con lati di lunghezza a, b, e c, ed angoli oppostiA, B, e C, rispettivamente.

1. sin2 α =1− 2 cos(2α)

2

2. cos2 α =1 + 2 cos(2α)

2

3.sinA

a=

sinB

b=

sinC

c(Law of Sines)

4. c2 = a2 + b2 − 2ab cosC (Legge dei coseni)

5. Area del triangolo = 12ab sinC

6. Area del triangolo =√s(s− a)(s− b)(s− c), dove s =

a+ b+ c

2( Formula di Heron)

C.5.7 Cambiamenti

Definizione 1 (Periodicita). Una funzione f e periodica , se per qual-che numero p, f(x+ p) = f(x) per tutti gli x nel dominio di f .

B Le funzioni trigonometriche sono tutte periodiche.

• sinx, cos x, csc x, e secx hanno tutte un periodo di 2π.

• tanx and cotx hanno periodi di π.

B Se x in sin x, cosx, etc., e moltiplicato per una costante b , ilperiodo e diviso da quella costante:

• sin bx, cos bx, csc bx, e sec bx (b costante) hanno un periodo di 2πb

• tan bx e cot bx hanno per πb.

49

C.5. TRIGOMETRIA APPENDICE C. MATEMATICA

Definizione 2 (Ampiezza ). La magnitudine di una oscillazione (so-lamente per funzioni che oscillano come seno e coseno) e meta delladistanza fra valore massimo e minimo.

B A sinx e A cosx hanno ognuno ampiezza A.

C.5.8 Funzioni trigometriche inverse

Se f(x) = sinx, alloraf−1(x) = sin−1 x = arcsinx, con −1 ≤ x ≤ 1

Se f(x) = cos x, alloraf−1(x) = cos−1 x = arccosx, con −1 ≤ x ≤ 1

Se f(x) = tan x, alloraf−1(x) = tan−1 x = arctanx, con −π

2≤ x ≤ π

2

50

APPENDICE C. MATEMATICA C.6. ALFABETO GRECO

C.6 Alfabeto greco

minuscolo maiuscolo nome commentiα A alphaβ B beta bita nel Greco modernoγ Γ gammaδ ∆ delta

ε oppure ε E epsilonζ Z zeta zita nel Greco modernoη H eta ita nel Greco moderno

θ oppure ϑ Θ theta thita nel Greco modernoι I iotaκ K kappaλ Λ lambdaµ M mu mi nel Greco modernoν N nu ni nel Greco modernoξ Ξ xio O omicron significa o-minuscolo nel Greco moderno

π oppure $ Π piρ oppure % P rhoσ oppure ς Σ sigma ς e adoperato solo alla fine delle parole

τ T tauυ Υ upsilon ipsilon nel Greco moderno

φ oppure ϕ Φ phiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega significa o-maiuscolo nel Greco moderno

51

C.6. ALFABETO GRECO APPENDICE C. MATEMATICA

52

Bibliografia

[Bussetti 1967] G.Bussetti,“Esercitazioni pratiche di Fisica”, quartaedizione,Levrotto & Bella , Torino (1967).

[Cohen 1996] E.R. Cohen , “The Physics Quick Reference Guide” ,AIP Press, Woodbury (NY) (1996)

[Fazio 1995] M.Fazio ,“Dizionario e manuale delle unita di misura”,terza edizione,Zanichelli , Bologna (1995)

[Pescetti 1975] D. Pescetti,“Termodinamica”,Piccin Editore,Padova (1975)

53

Indice analitico

Ccaloria

a 15 gradi, 29internazionale , 29termochimica , 29

cgs, 27

EEsperienza

misura di lunghezze, 5molla, 9pendolo, 15velocitaa limite, 19

Gg-accurato, 35G-grande-accurato, 35

Mmks, 26momenti, 1

asimmetria, 2curtosi, 2dev.-stand.-empirica, 1deviazione-assoluta, 1valor-medio, 1varianza-empirica, 1

Nnonio, 5

RR-gas, 36

Ssistema-internazionale, 30sistema-tecnico, 30sistemi-misura, 25

TTabella

a-b, 36costante-molla, 9cp specifici, 36K, 36modulo, 36viscosita, 36

54