Grafi triangolati e triangolazioni di grafi M. Moscarini M. Mezzini
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Transcript of Grafi triangolati e triangolazioni di grafi M. Moscarini M. Mezzini
Grafi triangolati e triangolazioni di grafi
M. Moscarini M. Mezzini
Definizioni
Percorso in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Percorso in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Ciclo in un grafo
Definizioni
1
2
3
4
5
Corda di un ciclo o di un percorso
1
2
3
4
5
Definizioni
Grafo triangolato (o cordale)
1
2
3
4
5
Definizioni
Triangolazione di un grafo
1
2
3
4
5
Definizioni
Triangolazione di un grafo
1
2
3
4
5
Definizioni
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
Applicazioni dei grafi triangolati
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
•Statistica: calcolo di probabilità
•Basi dati: progettazione delle basi di dati
•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari
•Statistica: calcolo di probabilità
•Intelligenza artificiale: machine learning
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Nome
Cognome
Mat_Stud
Data
Materia
Codice_App
Grafo associato allo schema
Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati
Studenti
Mat_Stud Nome Cognome
Appello
Codice_App Materia Data
Prenotazione
Codice_App Mat_Stud
Mat_Stud Nome Cognome
Codice_App Materia Data
Ipergrafo associato allo schema
Nome
Cognome
Mat_Stud
Data
Materia
Codice_App
Grafo associato allo schema
Lo schema è buono solo se il grafo associato è cordale
Applicazioni dei grafi triangolati
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
s t
v
Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti
Risultati: •NP-Completo
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
1
4
5
3
6
2X
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
X1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
CH(X)1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
CH(X)
Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità
1
4
5
3
6
2
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità
Risultati: •Algoritmo polinomiale
CH(X)1
4
5
3
6
2
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
1
2
3
4
5
Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi
Risultati: •Algoritmo semplice e veloce quando il grafo è denso•Implementazione in C e confronto con gli algoritmi esistenti
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale
1
2
3
4
5
Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale
Risultati: •Algoritmo con O(1) per decidere se un arco può essere aggiunto od eliminato e O(n2) per modificare le strutture dati.
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x1
x2 x3
x4
x5
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =3
x1 =0x4 =2
x3 =1
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici
4
4
4
2
x2 =2
x1 =1x4 =1
x3 =2
x5=1
Motivazioni: •Protezione della privacy
Risultati: •Diversi algoritmi lineari nelle dimensioni del grafo (ottimi)