Godel_Prova Matematica esistenza Dio

7/31/2019 Godel_Prova Matematica esistenza Dio

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SUNTO. Questo articolo intende

esporre in modo molto breve ed

essenziale, senza scendere nei rigo-

ri della logica, la prova ontologica

di Kurt Gdel (Brno,1906-Prin-

ceton, 1978).

La speranza infatti quella di sti-

molare, in poche righe, la curiosi-

t dei lettori su questa chicca ma-tematica del secolo scorso, ma so-

prattutto di ricordare il grande

matematico a trentanni dalla sua

scomparsa.

Kurt Gdel, una vita tra genio e follia:

breve biografia

(a cura di Luca Lussardi)

Trentanni fa, Princeton (USA), 14 Gennaio 1978,a 72 anni di et muore, per denutrizione, uno dei

pi grandi geni che la Logica, e forse lintera Mate-

matica, abbiano mai avuto.Kurt Gdel nasce a Brno, in Moravia, il 28 Aprile

1906. Gdel fin da bambino dimostra di essere una

persona estremamente seria, riservata e al limite del-

la paranoia circa le proprie condizioni di salute. Epur vero che Gdel ha dei problemi di salute duran-

te la sua vita, ma non tali da giustificare lossessio-ne verso la malattia.

Nel 1924 comincia a studiare Fisica allUniversit

di Vienna, anche se certe lezioni di Teoria dei nume-ri di Philip Furtwangler lo affascinano troppo. Do-

po due anni comincia a frequentare il Circolo di

Vienna, ovvero un gruppo costituito per lo pi da fi-losofi che discutono di Logica e questioni di linguag-

gio. Un anno pi tardi conosce Adele Porkert, balle-rina pi vecchia di lui che lo sposer nel 1938. G-del prende nel 1929 la cittadinanza austriaca e lan-

no seguente si laurea in Matematica

discutendo una tesi davanti ad Hahne Furtwangler nella quale dimostra la

completezza della Logica del primo

ordine; la tesi di Gdel viene pubbli-cata nel 1931. Solamente un anno

pi tardi ottiene la libera docenza

(Privatdozent). Finalmente nel 1933

ha inizio la sua carriera allInsitute ofAdvanced Study di Princeton; prima

su invito di Von Neumann; dopo va-ri rientri a Vienna e dopo vari proble-

mi di depressione riesce a ottenere la

cittadinanza americana nel 1948, diventa professo-re allI.A.S. nel 1953. Lultima parte della vita di

Gdel segnata da un rapporto totalmente squilibra-

to con il cibo: Gdel soffre di ulcera duodenale, di de-pressione e teme continuamente di essere avvelenato;

nel gennaio del 1978 viene lasciato solo a casa dallamoglie che rientra in Europa, e si lascia morire pro-babilmente di denutrizione.

La vita di Gdel ci mostra un chiaro esempio di co-me una persona geniale si possa trovare in seria diffi-

colt di fronte ai problemi della vita quotidiana. Dal

punto di vista scientifico Gdel passato alla storiagrazie ai suoi fondamentali risultati nel campo della

logica matematica. La dimostrazione della comple-

tezza della logica del primo ordine solo il primo

grande risultato che Gdel ottiene; Gdel chiarisce be-ne la differenza tra verit e dimostrabilit.

Ma i risultati pi significativi devono ancora arri-vare: i Teoremi di incompletezza. Se un sistema as-

siomatico coerente, ovvero da esso non si possono

dedurre unaffermazione e la sua negazione contem-poraneamente, allora, sotto certe condizioni, il siste-

ma incompleto, ovvero esistono affermazioni che

non sono n dimostrabili n confutabili; questo ilprimo Teorema di Gdel. Se uno pensa che il primo

Teorema di Gdel sia un risultato negativo per ifondamenti della Matematica allora si deve prepa-rare a leggere il secondo Teorema di incompletezza:

matematicamente.it Numero 7 Luglio 2008

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93. La prova matematicadellesistenza di Dio

di Alexander Pigazzini


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se un sistema assiomatico coerente allora la coeren-

za del sistema non dimostrabile allinterno del si-stema stesso. Sostanzialmente non possibile dimo-

strare lassenza di contraddizioni logiche restando

allinterno del sistema assiomatico.Gdel si occupa anche di Teoria degli insiemi, e del-

lo studio del rapporto tra mente e macchina (Tu-ring). Nellultima parte della sua vita si interessaanche di Relativit, diventando amico di Albert

Einstein.

LA PROVA ONTOLOGICA

di Alexander Pigazzini

Uno dei punti pi affascinanti della vita scientifi-

ca di Gdel sta nel suo tentativo di dimostrare

lesistenza di Dio. Vari logici atei si erano cimen-

tati nel problema, ma Gdel non era ateo, ed egli

stesso afferma che il suo interesse per la prova del-

lesistenza di Dio solamente logico. Gdel for-

nisce una dimostrazione puramente logica, detta

ancheprova ontologica, prima nel 1941, poi rivi-

sta e conclusa nel 1970.

Per introdurre questo notevole lavoro, anche se

non il pi brillante della sua carriera, vorrei in-

nanzitutto spendere due parole sul concetto di

prova ontologica.

Per prova ontologica (dal greco ntos, genitivo di

n, participio presente di eim, essere) si intende

una dimostrazione logica dellesistenza dellesse-

re, solo per mano della scolastica divenne la di-

mostrazione a priori dellesistenza di Dio.

Partendo dalle origini, fu per opera di Anselmo

dAosta che, con il suo credo ut intelligam del

Proslogion e con quattro prove ontologiche a po-

steriori nel suoMonologion, prese il via la vera ri-cerca di una prova ontologica riuscendo, nei ri-

spettivi periodi, a coinvolgere menti straordinarie

quali Cartesio, Leibniz, Kant, e per lappunto

Gdel.

Si presume che questultimo inizi a lavorarci nei

primi anni quaranta, ma solo nel febbraio del

1970, venne allo scoperto parlandone e mostran-

do lo scritto a Dana Scott, forse perch in quel

periodo si dice che fosse molto preoccupato per la

sua salute e temeva che morendo, la dimostrazio-

ne svanisse con lui.

A distanza di diciassette anni, nel 1987, la sua

Ontologisches Beweis venne finalmente pubbli-cata negli Stati Uniti, allinterno di un volume

che raccoglieva diversi suoi lavori.

Prima di iniziare unanalisi punto per punto del-

la prova, ne riporto una sintesi1.

P() positivo (o P)

ASSIOMA 1. P() . P() P( . )

ASSIOMA 2. P() P() (Disgiunzione esclusiva)

DEFINIZIONE 1. G(x) () [ P() (x) ] (Dio)

DEFINIZIONE 2. Ess.x () [ (x) N(y) [ (y)

(y) ]] (Essenza di x)

p Nq = N(p q) (Necessit)

ASSIOMA 3. P() NP()

P() N P()

Poich ci segue dalla natura della propriet.

TEOREMA. G(x) G Ess.x

DEFINIZIONE 3. E(x) = () [ Ess. x N (x) (x) ]

(Esistenza necessaria)

ASSIOMA 4. P(E)

TEOREMA. G(x) N(y) G(y)

quindi (x) G(x) N(y) G(y)

quindi M(x) G(x) MN(y) G(y) (M = pos-

sibilit)

M(x) G(x) significa che il sistema di tutte le

propriet positive compatibile.

Ci reso grazie a:

ASSIOMA 5. P() . N: P() che implica

x = x positivo

x x negativo


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1 Tratta interamente dal libro la prova matematica dellesistenza di Dio a cura di G. Lolli e P. Odifreddi, Bollati Boringhieri Editore.


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Ripartendo dallinizio, Gdel introduce come

prima cosa il concetto di propriet positiva, evi-

denziandone i caratteri pi importanti con una

serie di assiomi.

Primo Assioma: la composizione tra due propriet

positive ci rende una propriet positiva, per capir-ci meglio se essere bello una propriet positivae lo anche essere alto, allora di conseguenza lo

sar anche essere bello e alto.

Secondo Assioma: una disgiunzione esclusiva,

una propriet positiva oppure lo il suo contra-

rio, ma entrambe non possono essere positive o

non positive.

Prima Definizione: introduce il concetto di Dio;un ente di natura divina se e solo se possiede

tutte e sole le propriet positive.

Seconda Definizione: unessenza di x se e sol-

tanto se per ogni propriet , x include neces-

sariamente se implica .

Qui Gdel introduce il concetto di necessit, os-

sia se p implica necessariamente q allora ne-

cessario che p implichi q .

Terzo Assioma: se una propriet positiva allora necessariamente positiva e di conseguenza se una

propriet non positiva, allora necessariamente

non positiva. Una propriet necessaria se e solo

se vera in tutti i mondi possibili, mentre pos-

sibile se vera solo in alcuni di questi mondi.

Primo Teorema: se un ente di natura divina, al-

lora la propriet dellesistenza gli appartiene per

essenza.

Terza Definizione: x esiste necessariamente se e

soltanto se la sua essenza (o ogni suo elemento es-

senziale) esiste necessariamente.

Quarto Assioma: lesistenza necessaria una pro-priet positiva.

Secondo Teorema: se Dio esiste, allora esiste neces-sariamente; quindi se possibile che Dio esiste di

conseguenza possibile che Dio esiste necessaria-

mente, dunque Dio esiste necessariamente.

Quinto Assioma: se una propriet positiva ne im-

plica necessariamente unaltra, allora di conse-

guenza anche questultima positiva.

Dopo aver svolto la traduzione in ogni sua par-

te, ricapitolo il tutto dandone una mia interpre-

tazione.Inutile dire che questa prova valida solo se

possibile che Dio esista, cio se possibile combi-

nare tra loro tutte le propriet positive esistenti.

Come abbiamo visto, un ente per essere Dio de-

ve possedere tutte e sole le propriet positive; una

propriet positiva necessariamente positiva, os-

sia positiva in tutti i mondi possibili e linterse-

zione delle propriet positive ci restituisce anco-

ra una propriet positiva.

Detto questo si deduce che Essere Dio unapropriet positiva e grazie al quarto assioma sap-

piamo che anche lesistenza necessaria lo .

Tirando le somme, il tutto porta a dire che esiste-

r necessariamente un ente che tra tutte le varie

propriet positive possieder anche la propriet

Essere Dio.

Quanto esposto ha ovviamente la limitazione di

esistere solo in un universo che ammettere un fi-

nito numero di propriet positive e Gdel infat-

ti, per ovviare a questa costrizione, aggiunge un

ultimo assioma (il quinto), il quale prevede che se

una propriet positiva ne implica necessariamen-

te una seconda, allora anche questultima una

propriet positiva.


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Raimondo Lullo (1232-1316),

Prova logica dell'esistenza di Dio


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Questa clausola finale riesce a raggirare brillan-

temente il blocco della finitezza, permettendo

lesito sperato alla prova.

Lautore avvert sempre lurgenza di trovare un

ordine logico-matematico da porre a fondamento

dellesistenza delluniverso e forse un tale ordine

gli sembrava fosse garantito solo dalla necessitlogica dellesistenza di Dio.

Nonostante furono anche esigenze di carattere esi-

stenziale e religioso a spingere il compimento di

questa prova, giusto specificare che essa derivi dal

concetto di ultrafiltro (teoria degli insiemi) e non ha

molto da spartire con la teologia tradizionale, daltro

canto lo stesso Gdel, a scanso dequivoci, ci tenne

a precisare in pi occasioni che questo suo lavoro fu

concepito solo come un esercizio di pura logica.

In conclusione, visto che troppe cose ci sarebberoda aggiungere sulla vita e sulle opere di questo

grande e controverso genio del 900, vorrei limi-

tarmi semplicemente nel ricordare che i suoi stu-

di hanno segnato una svolta fondamentale nella

storia della logica, condizionando ogni successiva

ricerca e determinando la nascita di nuove e im-

portanti discipline logiche.

BIBLIOGRAFIA

Gdel, Lettera matematica Pristem n.62/63,

Aprile 2007, Springer.

Kurt Gdel, La prova matematica dellesistenza

di Dio. A cura di Gabriele Lolli e Piergiorgio

Odifreddi, Bollati Boringhieri, Torino, 2006.

C. Boyer, Storia della Matematica, MondadoriEditore, 1990.


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