GLI STATI LIMITE PER SOLLECITAZIONI NORMALI · Nel DM. 9/1/96 Il calcestruzzo viene classificato in...

Prof. Ing. Angelo MASI Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza

Corso sulle Norme Tecniche Corso sulle Norme Tecniche per le costruzioni in zona sismicaper le costruzioni in zona sismica

(Ordinanza PCM 3274/2003, DGR Basilicata 2000/2003)(Ordinanza PCM 3274/2003, DGR Basilicata 2000/2003)

POTENZA, 2004POTENZA, 2004

GLI STATI LIMITE PER GLI STATI LIMITE PER SOLLECITAZIONI NORMALISOLLECITAZIONI NORMALI

Prof. Prof. Ing.Ing. Angelo MASIAngelo MASIDiSGG, UniversitDiSGG, Universitàà di Basilicatadi Basilicata

Centro di Competenza Regionale sul Rischio Sismico (Centro di Competenza Regionale sul Rischio Sismico (CRiSCRiS))

Prof. Ing. Angelo MASI 2Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza

S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE

VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO IPOTESI DI CALCOLO

• le sezioni piane rimangono piane;

• le deformazioni delle armature, sia tese che compresse, sono le stesse del calcestruzzo circostante (perfetta aderenza);

• la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata;

cdfα

ooo2 oo

o5,3ctkf

calcolodiDiagramma

idalediDiagrammaσ

ε

• le tensioni nel calcestruzzo compresso si ricavano dal diagramma tensioni-deformazioni di calcolo;

L’ordinata massima del diagramma è pari a: σc = 0.85 fcdper tenere conto della durata dei carichi



VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO IPOTESI DI CALCOLO

• in sezioni soggette a compressione assiale semplice, la deformazione di compressione nel calcestruzzo è limitata a 0,002 (2 %0);

• per sezioni non completamente compresse, la deformazione limite a compressione nel calcestruzzo è pari a 0,0035 (3,5 %0).

ooo10

ydf calcolodiDiagramma

sE

syε

• le tensioni nell’armatura si ricavano dal diagramma tensioni-deformazioni di calcolo;

• la deformazione limite nell’acciaio teso è pari a 0,01 (10 %0)


Nel DM. 9/1/96 Il calcestruzzo viene classificato in funzione del valore caratteristico della resistenza cubica Rck espressa in N/mm2 (1 N/mm2 = 10 kg/cm2).

Consideriamo un calcestruzzo di classe Rck 25:Resistenza cilindrica a compressione fck:

fck = 0.83 Rck = 20.75 N/mm2

Resistenza di calcolo a compressione (SLU):

fcd = fck / γc γc = 1.6 fcd = 12.97 N/mm2

Resistenza ridotta per tener conto dell’effetto della durata dei carichi:

α fcd α = 0.85 σc = 0.85 fcd = 11.0 N/mm2

Resistenza caratteristica a trazione (per flessione):

fctk = 1.2 x 0.7 x 0.27 x (Rck)2/3 = 1.62 N/mm2

Modulo elastico:

Ec= 5700 (Rck)1/2 = 28500 N/mm2


ESEMPIO Caratteristiche del calcestruzzo



CONFIGURAZIONI DEFORMATE REGIONI DI ROTTURA

d

d’

d’

As

A’sx

10%o

εs’

εs

εcu=3,5%o

21

34

5

εcu=2%o

0

0

A

B

C

E’ possibile descrivere le modalità di rottura della sezione in funzione della posizione dell’asse neutro (distanza x).



σ0f

10%o

εs’

S

S’

σ0f

10%o

εs’

S

S’

σ0f

10%o

εs’

S

S’

ζ=x/d

Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A

A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0

A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso

530 ,−⇒ +10 0 0,259

B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls

-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4

Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)

-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a

Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)

-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ

C 5 Compressione con debole eccentricità

253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+



10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

x

10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

x

10%o

fyd

εs’

S

S’ C

εcufcd

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+



fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

x

fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

x

fyd S

S’

C

fcd

εsyd

εcu

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+



S’

fcd

εsyd

εcu

Cx

S’

fcd

εsyd

εcu

Cx

S’

fcd

εsyd

εcu

Cxx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+



S’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xx

ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+


ζ=x/d




530 ,−⇒ +10 0 0,259


-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−

−53

53

B 4


-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−

−53

53

1

B 4a


-3,5 δ+

δ⋅−⇒

1530 ,

1 1+δ


253 −⇒− ,

21

53−⇒

δ+δ⋅− ,

1+δ ∞+


S’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xS’

fcdεcu

C

S

xx


S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALECalcolo Nrd ed Mrd per sezioni rettangolari

C = 0.85 fcd ψ b x

xf.A

cd850=ψ

εs’

S

S’C

εc

Ax

H d

B

εs

As

A’s

d’

0,85fcd

λxεs’

S

S’C

εc

AAxx

H d

B

εs

As

A’s

d’

0,85fcd

λx

Congruenza xdcxx

ssc

−=

−=

εεε '

Equilibrio alla traslazione in direzione assiale: rdsss

x

s NAAdyyb =−+∫ σσσ '')(0

Posto: xf

dyy

cd

x

85.0

)(0∫

=σ

ψ si ha: rdsssscd NAAfxb =−+⋅⋅⋅ σσψ ''


S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALEEquilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico della sezione

rdsss

x

s McHAcHAdyyxHyb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∫ 22

''2

)(0

σσσ

Posto:

∫

∫ −⋅= x

x

dyy

dyyxy

x

0

0

)(

))((1

σ

σλ

si ha rdsssscd McHAcHAxHxfb =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22''

2σσλψ

C = 0.85 fcd ψ b x

xf.A

cd850=ψ

εs’

S

S’C

εc

Ax

H d

B

εs

As

A’s

d’

0,85fcd

λxεs’

S

S’C

εc

AAxx

H d

B

εs

As

A’s

d’

0,85fcd

λx


REGIONE 1 Trazione con debole eccentricità: -∞ ≤ (ξ = x/d) ≤ 0


dxcx

s ++

= 01,0'ε

rdydsss NfAA =+'' σ

Equilibrio alla traslazione:

Congruenza:

Equilibrio alla rotazione:

H d

B

fyd10%o

εs’

S

S’

rdydsss McHfAcHA =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22'' σ


REGIONE 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio teso : 0 ≤ (ξ = x/d) ≤ 0.259


Congruenza:xdcxx

sc

−=

−=

01,0'εε


rdydssscd NfAAfxb =−+⋅⋅⋅ '' σψ


rdydssscd McHfAcHAxHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22''

2σλψ

Per valutare x bisogna conoscere ψ(x) va adottato un procedimento iterativo.I valori di ψ e λ sono tabellati in funzione di x (profondità dell’asse neutro).

H d

B

x

fcd

fyd

εs’

S

S’ C

εcu

10%o



ξ ψ λ0,080 0,372 0,3470,090 0,413 0,3500,100 0,453 0,3520,110 0,491 0,3550,120 0,527 0,3580,130 0,561 0,3610,140 0,593 0,3640,150 0,623 0,3680,160 0,650 0,3720,170 0,675 0,3770,180 0,696 0,3810,190 0,716 0,3860,200 0,733 0,3910,210 0,749 0,3960,220 0,763 0,4000,230 0,777 0,4040,240 0,789 0,4090,250 0,800 0,4130,2593 0,8095 0,4160

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300

ξ = x / d


REGIONE 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio e del cls: 0.259 ≤ (ξ = x/d)


rdsssscd NAAfxb =−+⋅⋅⋅ σσ ''8095,0

Congruenza:


Equilibrio alla rotazione:H d

B

x

fyd S

S’C

fcd

εsyd

εcuxdcxxss

−=

−=

εε '0035,0

rdydsydscd McHfAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22'416,0

28095,0


REGIONE 4 Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell’ acciaio ed integrale del cls


xdcxxss

−=

−=

εε '0035,0

rdssydscd NAfAfxb =−+⋅⋅⋅ σ'8095,0

Congruenza:



H d

B

x

S’fcd

C

εsyd

εcu

rdssydscd McHAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22'416,0

28095,0 σ


REGIONE 4a Pressoflessione con sfruttamento incompleto dell’acciaio (acciaio inferiore compresso)


dxcxxss

−=

−=

εε '0035,0

rdssydscd NAfAfxb =++⋅⋅⋅ σ'8095,0

Congruenza:



H d

B

x

S’fcd

C

εcu

rdssydscd McHAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22'416,0

28095,0 σ


REGIONE 5 Compressione con debole eccentricità


dxcxHxss

−=

−=

−εε '

7/30020,0

rdssydscd NAfAfHb =−+⋅⋅⋅ σψ '

Congruenza:



H d

B

S’fcd

C

2%o

x=+�S

rdssydscd McHAcHfAcHxfb =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅

22'

2σλψ



VERIFICA DELLA SICUREZZA

Nel caso di presenza contemporanea di momento flettente Msd e forza assiale Nsd agenti in una sezione, la sicurezza allo stato limite ultimo èverificata per la condizione:

considerando Nsd = Nrd risulta Msd ≤ Mrd

Essendo rispettivamente Nrd ed Mrd la forza assiale e il momento resistenti della sezione.

In assenza di sforzo normale deve risultare

Msd ≤ Mrd



Se al variare della posizione dell’asse neutro si calcolano la forza assiale resistente e il momento flettente resistente, si ottiene sul piano N-M una curva che rappresenta la frontiera del dominio di resistenza.Il dominio nel piano N-M così ottenuto rappresenta il luogo dei punti corrispondenti alle coppie di coordinate M (momento flettente) ed N (sforzo normale) che determinano la crisi della sezione

0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

MIncremento γc (x 1.25)



0100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 20000

100002000030000400005000060000700008000090000

100000110000

-500 0 500 1000 1500 2000

N

M

As= A’s = 2 φ 10 cm2

As= A’s = 2 φ 12 cm2

As= A’s = 2 φ 14 cm2

As= A’s = 2 φ 16 cm2

As= A’s = 2 φ 18 cm2

Si possono costruire i domini M-N per diverse quantità di armatura. Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd) dovuto alle sollecitazioni esterne. Si determina la quantità di armatura necessaria per la sezione.

La stessa procedura può essere ulteriormente estesa costruendo dei domini adimensionalizzati sia rispetto alla quantità di armatura sia rispetto alle dimensioni della sezione. Le operazioni di progetto e verifica riguarderanno quindi sia le dimensioni della sezione che le quantità di armatura necessarie

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