Giochiamo conle dimensioni

Bibliografia essenziale

• E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi• R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi• R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi• T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli

premessa

• La matematica è umana. Fa parte dell’umanità ed è integrata nella realtà storico sociale dell’epoca

• La matematica non è infallibile. Al pari di tutte le scienze, la matematica, può avanzare compiendo errori, correggendoli e ricorrengendoli

Il davanti della matematica

Seguendo l’impostazione del sociologo americano E. Goffman, possiamo estendere anche alla matematica i concetti di davanti e dietro, tipici di tutte le attività umane

La matematica del davanti è precisa, formale, ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni, teoremi e osservazioni.

la matematica del dietro è frammentaria, informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.

Dimensioni

• Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra.

• In effetti la posizione sulla terra è perfettamente individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e altezza sul livello del mare.

• In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.

Dimensione tempo

• Nella fisica di Einstein viene aggiunta la dimensione tempo. L’idea non è poi così strana se pensiamo che se vogliamo incontrarci con una persona dobbiamo fissare, per incontrarci veramente oltre alla posizione anche l’ora.

• Noi però qui vorremmo parlare della quarta dimensione spaziale e questa è difficilissima o meglio impossibile da visualizzare.

Quarta dimensione

Nessuno è in grado di indicarla.E’ un argomento di meditazione per filosofi e mistici.I fisici e i matematici la utilizzano per i loro calcoli.E’ parte integrante di molte serie teorie scientifiche.Viene abilmente e abbondantemente sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza

Platone

• Possiamo in qualche modo comprenderla, ragionando per analogia. Questo è un metodo nient’affatto originale.

• Pensiamo a Platone e al mito della caverna.

• Anche lì persone tridimensionali sono convinte di essere ombre.

Scopriamo le caratteristiche di un cubo 4-dimensionale

Gioco numero 1:

Dal punto all’ipercubo

Vertici

Dim 0

spigoli

Dim 1

facce

Dim 2

volumi

Dim 3

Dim 4

Cubo 0-dim

punto1

Cubo 1-dim

segmento2 1

Cubo 2-dim

quadrato4 4 1

Cubo 3dim

cubo8 12 6 1

Cubo 4-dim

ipercubo16 32 24 8 1

GIOCO NUMERO 2:

Troviamo le misure delle diagonali di

un cubo 4-dimensionale

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo, il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma delle misure dei cateti elevate al quadrato.

a2 = b2 + c2

ab

c

• Diagonale di un quadrato di lato l = l√2

l2+ l2 = 2l2

• Diagonale di un cubo di lato l = l√3

2 l2+ l2 = 3l2

• Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l

3l2+ l2 = 4l2

commento

• Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si trova? Se non esiste come abbiamo fatto a scoprire tante cose su di lui?

• E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che chiamiamo cubi in realtà lo sono solo approssimativamente. Solo un 3-cubo matematico e veramente un cubo, dunque non c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un 3- cubo o un 4-cubo

Rappresentazione di un cubo 3Dsu di un foglio

Utilizzo delle sezioniper rappresentare oggetti 3-dim

• I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni messe fra vetrini e poi osservate al microscopio.

• Le linee altimetriche su una carta geografica.

• Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi mettendole in sequenza e interpolando con il computer le parti mancanti.

Sviluppo dell’ipercubonello spazio tridimensionale

Proiezione centrale di un ipercubodallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni

Cosa cambia nella realtà se il numero di dimensioni è

diverso da tre?

• non possiamo sovrapporre il contorno di una mano destra con sinistra

• non possiamo vedere il contenuto di un recinto• non riusciamo a vedere il percorso del labirinto• non può esistere un organismo con un apparato

digerente con bocca distinta dall’ano

• non possiamo fare un nodo ad una fune

In una realtà a 2 dimensioni

Se la realtà avesse 4 dimensioni

• I chirurghi potrebbero eseguire operazioni senza tagliare la pelle.

• Potremmo trasformare una scarpa destra in una sinistra.

• Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.

Cenni alla quarta dimensionenella letteratura e nell’arte

• Vari films di fantascienza et similia (es. Poltergeist di Spielberg)

• Paradiso di Dante• Ipercubo di Pierelli• Crocefissione di Salvador Dalì• Flatlandia di Abbott

Dante e l’ipersferail fisico romeno Horia-Roman Patapievici, ma anche altri studiosi pensano che il Paradiso di Dante sia una ipersfera

Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il "Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il «ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio, rappresenta il punto ai nostri "antipodi" nell'Universo.

Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze