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Giacomo Sacco

Appunti di Costruzioni Edili

Progetto e verifica a flessione semplice, a taglio e a sforzo normale

Legno, Acciaio, Calcestruzzo armato.

- Metodo agli stati limite - (Aggiornato Marzo 2018)

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1 Gli stati limite

Intendiamo per “stato limite” di una struttura il massimo valore dello sforzo (momento, taglio e sforzo

normale), che essa può sopportare senza che diventi inutilizzabile allo scopo per cui era stata progettata.

Abbiamo due tipi di stati limite: lo stato limite di rottura o

stato limite ultimo e lo stato limite di esercizio.

Diciamo che una struttura ha raggiunto lo stato limite

ultimo, a flessione a taglio o a sforzo normale, quando uno di

questi sforzi portano la struttura alla rottura. La struttura, quindi,

si rompe e non è più utilizzabile.

Lo stato limite di esercizio, invece, è uno stato limite in cui la struttura non si rompe, ma cessa

comunque ad assolvere al suo scopo. Ad esempio, se noi vogliamo progettare una trave il cui abbassamento

al centro non deve superare un certo valore, quando il carico che grava sulla trave, fa raggiungere

quell’abbassamento, la trave ha raggiunto lo stato limite di esercizio prefissato. Se lo sforzo aumenta ancora,

non si ha la rottura, ma comunque abbiamo superato il valore che volevamo rispettare in fase di progetto. Nel

seguito ci occuperemo dello stato limite di rottura che è quello che serve nella stragrande maggioranza dei

casi.

1.1 Verifiche e progetto agli stati limite

Nel seguito indicheremo con gli indici ED, i valori degli sforzi agenti in una sezione della struttura e

con gli indici RD la resistenza massima di quella sezione. Ad esempio indicheremo con MED il momento

agente nella sezione, e con MRD il momento resistente di quella sezione, che ovviamente dipenderà oltre che

dalla forma geometrica della sezione, anche dal tipo di materiale di cui è fatta la struttura.

Tali indici stanno a significare: E esercizio (durante la vita normale della struttura), D di progetto, R

resistenza. Quindi avremo indicato con ED lo sforzo in esercizio di progetto, con RD la resistenza di

progetto.

Nel caso di verifica, si conoscono sia gli sforzi, che la sezione deve sopportare, che le dimensioni della

sezione. Diremo che una sezione è verificata:

a flessione se risulta MED ≤ MRD;

a sforzo normale se risulta NED ≤ NRD;

a taglio se risulta TED ≤ TRD.

I valori MED, NED, TED sono i valori massimi ricavati attraverso i diagrammi dei momenti, dello sforzo

normale e del taglio.

Le cose si complicano se nella stessa sezione sono presenti contemporaneamente più sforzi, ad

esempio momento e taglio, oppure momento e sforzo normale. Ma esamineremo questi casi in seguito.

Per il progetto, noi conosciamo i valori di MED o di NED (di solito non si progettano le dimensioni

della sezione a taglio, ma se ne fa la verifica dopo averla dimensionata a flessione) e dobbiamo determinare

le dimensioni della sezione in grado di sopportare questi sforzi. Per il progetto a flessione si pone:

MRD = MED

e si determinano le dimensioni della sezione necessarie per garantire un momento resistente uguale o

superiore a MRD.

Lo stesso si fa nel caso di sforzo normale, ovviamente in questo caso si porrà:

NRD = NED

e si determineranno le dimensioni della sezione necessarie per garantire uno sforzo normale resistente

uguale o superiore a NRD.

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1.2 Lo Stato limite di rottura e la sicurezza delle strutture

Poiché riteniamo che la struttura sia verificata anche quando lo sforzo agente sia uguale alla

resistenza, nasce spontanea la domanda: che sicurezza abbiamo se la struttura è sollecitata al limite della sua

resistenza? Infatti basterebbe che lo sforzo fosse leggermente più grande di quanto previsto dal calcolo (che

ricordiamo, è sempre approssimato) e si avrebbe la rottura della struttura. In realtà la sicurezza c’è perché la

normativa prevede dei correttivi sia nel calcolo dei carichi agenti sulla struttura che nella resistenza dei

materiali. Nel senso che nel calcolo, si prendono in considerazione delle resistenze minori di quelle che il

materiale in effetti ha e dei carichi maggiori di quelli effettivamente presenti.

Facciamo un esempio: consideriamo un momento agente su una sezione, pari a 4999 daNm e che la

resistenza della stessa sezione sia di 5000 daNm, la sezione è verificata perché risulta 4990<5000 daNm,

sembrerebbe che il margine di sicurezza sia pressoché inesistente, però, come abbiamo detto, la resistenza

vera è più grande di quella calcolata, ad esempio il suo valore potrebbe essere circa 7500 daNm, mentre i

carichi e quindi il momento agente sulla struttura è più piccolo di quello calcolato che potrebbe essere, ad

esempio, 3300 daMm, quindi avremo che 3300<7500 cioè la resistenza vera è molto più grande della

sollecitazione. Nell’esempio mostrato è un poco più del doppio.

La differenza tra carico di rottura e resistenza, viene stabilito dalla normativa, utilizzando dei

coefficienti che moltiplicati per i carichi li aumentano, tenendo conto di alcuni fattori: la probabilità che il

carico sia presente e la possibilità di determinarlo con esattezza, mentre invece per la resistenza si parte dalla

resistenza reale caratteristica del materiale e la si divide per un altro coefficiente, variabile a seconda del tipo

di materiale, quindi nei calcoli la resistenza che si utilizza è minore di quella reale.

1.3 I carichi

I carichi vengono suddivisi dalla normativa in carichi permanenti e carichi

variabili. I carichi permanenti si dividono in carichi strutturali (esempio il peso proprio di

una trave) e in carichi non strutturali (ad esempio il peso di un pavimento). I carichi

variabili sono classificati secondo la durata.

Classe di durata del carico Durata del carico

Permanente più di 10 anni

Lunga durata 6 mesi -10 anni

Media durata 1 settimana – 6 mesi

Breve durata meno di 1 settimana

Istantaneo --

I carichi reali, come abbiamo detto, vengono amplificati moltiplicandoli per dei coefficienti. Questi

coefficienti tengono conto della maggiore o minore possibilità che abbiamo di definire esattamente il valore

dei carichi: più è difficile definire il valore dei carichi e più grande sarà il valore per cui dobbiamo

moltiplicarlo. In realtà possiamo parlare di “probabilità” che il carico abbia quel valore. Vediamo quali sono

i coefficienti che si usano generalmente, tenendo presente, però che in determinate circostanze, cioè per

particolari strutture, tali coefficienti possono cambiare, (ovviamente la normativa ci da sempre i valori).

CARICHI EFFETTO Denominazione del

coefficiente parziale Valore

Permanenti Favorevole

γ G1 1

Sfavorevole 1,3

Permanenti non strutturali1 Favorevole γ G2

0

Sfavorevole 1,5

Varabili Favorevole

γ Q 0

Sfavorevole 1,5

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. i carichi permanenti portati) siano compiutamente

definiti, si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.

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2. IL LEGNO

2.1 IL LEGNO COME MATERIALE DA COSTRUZIONE

Caratteristiche e struttura del legno

Nel comparto edilizio le opere in legno possono impiegare non solo componenti,

prodotti o semilavorati in legno massiccio (o massello), cioè come viene ricavato

sezionando in vari modi, il tronco dell’albero, ma anche in legno ricostruito (detto pure

legno ricomposto o migliorato).

Il legno è un materiale solido, naturale, organico e cellulare. Si tratta di un composto costituito da

un complesso chimico di cellulosa, emicellulose, lignina ed estrattivi. Il legno è molto anisotropo: le

fibre sono orientate in una direzione preferenziale e perciò il materiale reagisce alle sollecitazioni in

maniera diversa secondo la direzione della sollecitazione.

Il legno si ricava da due grandi categorie di piante note sotto il nome di latifoglie (angiosperme) e

conifere (gimnosperme, aghifoglie, resinose).

L’osservazione del legno ad occhio nudo mostra non soltanto differenze tra conifere e latifoglie e tra

le diverse specie, ma anche differenze in uno stesso provino, per esempio alburno e durame, legno

primaverile e tardivo, la distribuzione dei pori, e l’aspetto del legno di reazione. Tutti questi fenomeni sono

il risultato dello sviluppo e della crescita del tessuto legnoso. Conifere e latifoglie differiscono tra loro

per il tipo di cellule.

Caratteristiche meccaniche del legno

Le caratteristiche meccaniche del legno variano entro limiti amplissimi, che

dipendono dall’essenza (ossia dal tipo di albero), dal peso specifico secco, dal

grado d’umidità, dalla direzione delle fibre rispetto alla sollecitazione e dai difetti

del legno stesso (nodi, cipollature, ossia distacco tra gli anelli, ecc.). Le prove si

effettuano su campioni ricavati da legno sano e senza difetti.

Esempio di "cipollature" Esempio di nodo.

In generale la resistenza a trazione, in un legno privo di difetti, risulta più grande di quella a

compressione, sempre riferita a sollecitazione parallela alle fibre. La presenza di nodi incide di più sulla

resistenza a trazione che in quella a compressione, facendo si che la resistenza a compressione sia molto

spesso maggiore a quella a trazione. Se si fa il rapporto tra la resistenza del legno e il peso specifico dello

stesso, si ottiene un valore più elevato rispetto al calcestruzzo e paragonabile con l’acciaio.

Il legno sottoposto a flessione è soggetto al fenomeno del fluage (termine francese per

indicare un lentissimo scorrimento delle fibre del materiale nel tempo nelle strutture sotto carico, e

caratteristico anche di altri materiali, quali il calcestruzzo). Gli effetti del fluage nel legno si verificano con

un aumento notevole della freccia di inflessione, che dopo vari mesi risulta più che raddoppiata.

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Il coefficiente di proporzionalità E (modulo di elasticità) è ricavabile, per il legno dalle prove di

trazione o compressione (si ottengono due valori quasi simili) oppure dalle prove di flessione,

misurando con precisione le deformazioni dovute ai carichi. Il valore di E è influenzato dall’umidità; esso

varia da legno a legno, assumendo valori da un minimo di 7500 N/mm2 ad un massimo di 15000 N/mm

2.

Diagramma tensione – deformazione

Il diagramma tensione-deformazione, nel legno sottoposto a compressione, ha un andamento

rettilineo fino alla rottura. Manca completamente il tratto plastico che è invece presente nell’acciaio. Non c’è

nemmeno tensione di snervamento: la tensione cresce in modo direttamente proporzionale con le

deformazioni fino al valore di rottura K . A trazione, invece è presente un breve tratto plastico, tuttavia,

poiché nella flessione sono presenti sia trazione che compressione, il comportamento a flessione è

condizionato dalla compressione.

2.2 RESISTENZA DI CALCOLO

Il valore della resistenza da utilizzare nei calcoli, indicata con σRD , si ottiene dalla

resistenza reale, ottenuta attraverso prove sul materiale, indicata con σK e chiamata

resistenza caratteristica, moltiplicando e dividendo per alcuni coefficienti, come mostrato

nel seguito:

M

KRD

K

mod

dove:

σk è il valore caratteristico (resistenza a rottura) a flessione;

M è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, i cui valori sono riportati nella Tab.1

Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto dell’effetto sulla resistenza, sia della durata del carico sia

dell’umidità della struttura. I valori di Kmod sono forniti nella Tab. 2

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Se una combinazione di carico comprende azioni appartenenti a differenti classi di durata del carico

si dovrà scegliere un valore di Kmod che corrisponde all’azione di minor durata.

Tabella 1 –Coefficienti parziali M per le proprietà dei materiali

Tabella 2 –Valori di Kmod per legno e prodotti strutturali a base di legno

Materiale

Classe di

servizio Classe di durata del carico

Permanente Lunga Media Breve Istantanea

Legno massiccio e

legno lamellare incollato 1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90

Questo modo di calcolare la resistenza di progetto, vale sia per la trazione che per la compressione e

la flessione, ricordando però che per il legno, le resistenze caratteristiche a trazione a compressione e a

flessione non son le stesse neanche per lo stesso tipo di legno.

Tabella classi di resistenze del legno

Classe di servizio 1

È caratterizzata da un’umidità del materiale in equilibrio con l’ambiente a una

temperatura di 20°C e un’umidità relativa dell’aria circostante che non superi il 65%, se

non per poche settimane all’anno.

Classe di servizio 2

È caratterizzata da un’umidità del materiale in equilibrio con l’ambiente a una

temperatura di 20°C e un’umidità relativa dell’aria circostante che superi l’85% solo per

poche settimane all’anno.

Classe di servizio 3 È caratterizzata da umidità più elevata di quella della classe di servizio 2.

Stati limite ultimi γM

legno massiccio 1,50

legno lamellare incollato 1,45

Pioppo e conifere Latifoglie

C14 C16 C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 D30 D35 D40 D50 D60 D70

Proprietà di resistenza N/mm2

Flessione sFK 14 16 18 22 24 27 30 35 40 30 35 40 50 60 70

Trazione parallela alle fibre sTK 8 10 11 13 14 16 18 21 24 18 21 24 30 36 42

Compressione parallela alle fibre sCK 16 17 18 20 21 22 23 25 26 23 25 26 29 32 34

Taglio τK 1,7 1,8 2,0 2,4 2,5 2,8 3,0 3,4 3,8 3,0 3,4 3,8 4,6 5,3 6,0

Rigidezza KN/mm2

Modulo di elasticità medio parallelo

alle fibre

E0,medio 7 8 9 10 11 12 12 13 14 10 10 11 14 17 20

Modulo di elasticità parallelo alle fibre

E0,05 4,7 5,4 6,0 6,7 7,4 8,0 8,0 8,7 9,4 8,0 8,7 9,4 11,8 14,3 16,8

Peso specifico medio daN/m3 γ 350 370 380 410 420 450 460 480 500 640 670 700 780 840 1080

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2.3 VERIFICA A FLESSIONE

Si deve avere, affinché la sezione sia verificata, che

Tuttavia, per il legno, il momento resistente di progetto (momento ultimo) si raggiunge quando la

tensione massima raggiunge il valore della tensione di progetto, σRD, (tensione ultima) a causa della

mancanza del tratto plastico.

Vediamo come fare per calcolare la tensione massima e il momento resistente. Il diagramma delle

tensioni sulla sezione ha un andamento come in figura. La risultante degli sforzi di compressione C e la

risultante degli sforzi di trazione T sono uguali per l’equilibrio alla traslazione orizzontale. Il loro valore è

dato dal volume del solido formato dalle tensioni, ossia dall’area del triangolo per la base b della sezione.

Per calcolare il punto di applicazione delle risultanti C e T, ricordiamo che il baricentro di un

triangolo rettangolo è posizionato come in figura:

Poiché nel nostro caso, l’altezza del triangolo delle tensione è uguale a metà

dell’altezza della sezione, cioè:

la distanza del baricentro dall’asse neutro sarà:

Per l’equilibrio alla rotazione, il momento M deve essere uguale al momento della coppia interna.

Calcoliamo il momento della coppia interna rispetto al baricentro della risultante degli sforzi di trazione:

Indicando con

si ha: e quindi:

Wx viene chiamato “modulo di resistenza della sezione, rispetto all’asse x”.

Il momento M, può essere anche posto in relazione col momento di inerzia della sezione, nel seguente modo:

moltiplicando primo e secondo termine per

si ha:

Il che significa che:

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Volendo, invece, calcolare la tensione si ha:

Se si vuole calcolare il momento resistente di progetto, si pone σmax=σRD e M=MRD:

Indicando con σFK la resistenza caratteristica a flessione, la tensione σRD si ha:

M

FKRD

K

mod

2.4 PROGETTO A FLESSIONE

Per il progetto a flessione si usa la formula precedente, calcolando dapprima il modulo di resistenza

della sezione ponendo σmax=σRD e M = Mmax:

;

Per ricavare le dimensioni b ed h dal modulo di resistenza Wx, si pone b=0,7h che è il rapporto migliore tra

base ed altezza per le sezioni in legno soggette a flessione, si ha quindi:

quindi:

2.5 VERIFICA A TRAZIONE

Deve essere soddisfatta la seguente condizione: , ossia lo sforzo normale di trazione massimo

agente nella sezione deve essere minore o uguale alla resistenza a trazione della sezione. Per calcolare

si usa la formula:

dove:σTD è la resistenza a trazione per unità di area e si calcola: M

TKTD

K

mod

2.6 VERIFICA A TAGLIO

Deve essere soddisfatta la condizione: è il massimo valore del taglio,

ricavabile dal diagramma del taglio della struttura, mentre è la resistenza a taglio della sezione.

Per le sezioni rettangolari il diagramma delle tensioni tangenziali è quello mostrato in figura, col

valore massimo in corrispondenza del baricentro della sezione.

; da questa formula possiamo calcolare

T

;

se vogliamo calcolare il massimo valore del taglio che la sezione può

sopportare, bisogna sostituire a τ, τRD, quindi:

. Il calcolo della tensione tangenziale resistente τRD si fa

con la formula: M

KRD

K

mod

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Esempio di progetto a flessione

Problema: progettare la trave in figura.

Legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 1, carichi variabili

di lunga durata.

Le tensioni caratteristiche del materiale valgono

a flessione; a taglio.

Il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (legno massiccio)

vale: M=1,5;

il coefficiente correttivo di modello per la Classe di servizio 1 e con carichi variabili di lunga durata, si trova dalla

tabella:

e vale: Kmod=0,70;

;

Calcolo delle sollecitazioni.

Il carico di esercizio sarà: ;

Le reazioni vincolari valgono:

Il taglio massimo, dovuto al carico di esercizio risulta pari a:

Tmax .

Il momento massimo dovuto al carico di esercizio è dato da:

Abbiamo trascurato in prima approssimazione il contributo del peso proprio q

perché, in questa fase, non conoscendo le dimensioni della trave, è incognito.

Progetto a flessione.

Il modulo di resistenza di progetto è dato da:

Assumendo si ha:

Assunte le dimensioni 16x26, il peso proprio risulta: gED = 1,3x18,7 = 24,31 daN/m 25 daN/m

Il modulo di resistenza effettivo, da usare nella verifica, vale:

22mod dN/cm 6,16N/mm 66,150,1

15,460,0

M

KD

K

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Verifica a flessione e a taglio

Dopo avere progettato la trave è sempre necessario eseguire la verifica a flessione e

a taglio, tenendo conto anche del peso proprio della trave.

Le sollecitazioni prodotte dal peso proprio valgono:

;

Il momento dovuto al peso proprio, va calcolato nella stessa sezione dove si ha il

momento massimo, ossia per a= 2,00 m.

Il momento totale è dato da: Mtot = MF + Mg = 1.800 + 75 = 1.875 daNm

Il momento resistente vale:

Poiché risulta 1.875 < 2.090,32 daNm, la sezione è verificata a flessione.

Il Taglio totale vale : Vtot = VA + VAg = 900 + 62,5 = 962,5 daN. La resistenza a taglio è data da:

Poiché risulta 962,5< 4345,6 daN, la sezione è verificata anche a taglio.

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SOLAI IN LEGNO

Il legno è un materiale di antico uso, per i solai, oggi è tornato in auge grazie a nuove tecnologie, come il

legno lamellare o i solai in legno con soletta in calcestruzzo collaborante. I solaio possono avere uno o due

ordini di travi, e un impalcato formato da legno stesso, laterizi o altri elementi di produzione moderna.

Figura 1 - Solaio con due ordini di travi, principali Figura 2 - in legno, sempre con due ordini di travi, ma

e secondarie, e impalcato in cotto ("mezzane") con impalcato anch'esso in legno.

Figura 2 - Solaio in legno, con due ordini di travi, impalcato in legno, soletta in calcestruzzo. Tra l'impalcato in legno e la soletta viene interposto uno strato isolante di polistirolo. Si notano i connettori verticali in ferro necessari a garantire il collegamento tra travi e soletta in calcestruzzo.

Progetto di un solaio in legno per abitazione.

Ci occuperemo ora del progetto di un solaio in legno, con un solo ordine di travi, impalcato in legno e

pavimento su malta di allettamento.

ANALISI DEI CARICHI

Carichi permanenti non strutturali

Pavimento 30 daN/mq

Malta di allettamento 1x1x0,06x2.000 = 120 ''

Totale (G1) 150 "

Incidenza tramezzi (G2) = 100 daN/mq

Carichi permanenti strutturali

Adotto legno resinoso classe C27

Assito 1,00x1,00x0,04x450 (G3) = 18 daN/mq

Carichi variabili (per abitazione) (Q1) = 250 daN/mq

Calcolo del carico di esercizio a mq

Qed = G1xg1g +G2xg2g +G3xg3g + Q1xgq = 150x1,3 + 100x1,50 + 18x1,3 + 250x1,5 = 743,4 daN/mq;

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Calcolo del carico di esercizio a ml di trave.

Scegliamo un interasse i di 0,90 m;

=669,06 daN/mq . Assumiamo 670

daN/ml;

Calcolo della luce teorica della trave: lt = lnx1,05 = 4,50x1,05 =4,75 m

Calcolo delle reazioni vincolari:

Va =Vb =

= 1591,25 daN;

Calcolo del massimo momento:

Mmax =

= 1.889,6 daNm;

Calcolo della tensione di rottura.

Consideriamo una classe di servizio 3 e legno massiccio : Kmod=0,5;

;

Calcolo del modulo di resistenza di progetto:

Adottiamo B=0,7. H =

26,2 cm; B=0,7x26,2 = 18,3 cm;

Adottiamo una sezione 18x28 cm2;

Calcolo del peso proprio della trave: 22,7. Adottiamo 30 daN/m.

Calcolo del momento dovuto al peso proprio:

= 84,6 daNm

Calcolo del momento totale: 1.889,6+84,6 = 1.974,3 daNm.

Calcolo del modulo di resistenza della sezione:

=2.352 cm

3;

Calcolo del momento ultimo della sezione:

Poiché si ha 1.974,3 < 2.116,8 daNm, la sezione è verificata a momento.

VERIFICA A TAGLIO

Calcolo delle reazioni vincolari dovute al peso proprio: Va = Vb =

= 71,25 daN;

Calcolo del taglio totale: Ted = 1.591,25 + 71,25 = 1.662,5 daN;

Calcolo della resistenza a taglio:

= 0,93 N/mm

2= 9,3 daN/cm

2;

Calcolo del taglio ultimo: Trd =

= 3.124,8 daN .

Poiché si ha 1.665,5< 3.128,8 daN, la sezione è verificata a taglio.

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dNM

2.7 Verifica a compressione parallela alle fibre del legno (carico di punta)

Il carico di punta è un fenomeno di instabilità a sforzo normale che si verifica quando si è in

presenza di aste soggette a sforzo normale di compressione. In queste circostanze, l’asta tende a non

mantenere più la sua forma rettilinea, ma si inflette per diversi motivi: essa non può essere perfettamente

rettilinea, il carico non può essere perfettamente applicato ad un punto né perfettamente centrato (figure 1 e

2). Per effetto di questa inflessione, la forza non agisce più nel baricentro di tutte le sezioni del pilastro. Detta

d la distanza dalla sezione più lontana, (nella figura la più lontana diventa quella di incastro) nasce un

momento flettente dato da:

Il momento fa aumentare l’inflessione, quindi la distanza d e quindi di nuovo il momento. In pratica

dopo breve tempo (quasi istantaneamente) si ha la rottura per flessione dell’asta. Per eseguire la verifica, in

questi casi, è necessario tener presente la possibilità del verificarsi di tale fenomeno. per fare ciò riduciamo

la resistenza di calcolo a sforzo normale, moltiplicando la resistenza che si ha senza il pericolo di instabilità

per un coefficiente che sarà, necessariamente, minore o uguale a 1:

1 – Pilastro incastrato 2 – pilastro vincolato con cerniera - carrello

Il calcolo di Kcrtit, si effettua tenendo conto di tutti i fattori che incidono nella instabilità a sforzo normale

e che sono costituiti, sostanzialmente, dal materiale di cui è fatto il pilastro, dalle sue dimensioni (in

particolare dal più piccolo momento di inerzia e dall'area), e dai vincoli. Le dimensioni incidono nel senso,

che più il pilastro è lungo e sottile (cioè snello), maggiore è il pericolo di instabilità. L’effetto dei vincoli

viene tenuto in conto calcolando l0 detta lunghezza libera d'inflessione che indica la misura del segmento

di trave che si incurva liberamente formando un arco di cerchio.

Essa si calcola con:

Naturalmente se non c'è applicato alcun carico o il carico è piccolo il pilastro rimane stabile, ossia

non subisce alcun fenomeno di sbandamento. Il minimo carico che deve essere applicato per provocare lo

sbandamento, si chiama carico critico, la sua determinazione è dovuta ad Eulero, pertanto prende anche il

nome di carico di Eulero. Si calcola con la formula:

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Quando eseguiamo la verifica, dobbiamo tenere conto del fatto che una parte della resistenza viene

impiegata per resistere alla flessione che nasce per effetto della instabilità. La verifica si intende soddisfatta

se risulta:

, dove:

M

CKCD

K

mod

σCK tensione caratteristica di rottura a compressione;

Kcrit coefficiente riduttivo per instabilità a sforzo normale.

Per calcolare il coefficiente Kcrit procediamo nel seguente modo:

Calcoliamo la snellezza λ:

con

nel caso in figura:

;

Calcoliamo la snellezza relativa:

;

Se dal calcolo si ottiene un valore di ≤ 0,3 si deve porre Kcrit = 1 (ossia non c'è pericolo di instabilità),

altrimenti si deve calcolare:

; con:

α è detto coefficiente di imperfezione e può assumere i seguenti valori: per legno massiccio α = 0,2; per

legno lamellare α = 0,1.

Ricordarsi che Kcrit non può essere mai maggiore di 1.

Esempio di verifica a carico di punta:

Verifica a carico di punta del pilastro in figura, in legno massiccio classe C35 con sCK = 25 N/cm2 = 250 daN/cm

2,

sezione rettangolare 20x24, modulo di elasticità (rigidezza) E = 8,7 KN/mm2 = 8.700 N/mm

2= 87.000 daN/cm

2. I

carichi sono costituiti da G = 4.000 daN, derivante da carichi permanenti strutturali e da Q=3.000 daN, derivante da

carichi variabili. Sia l=2,70 m.

Calcolo del carico di esercizio NED:

Calcolo della resistenza limite NRD.

Calcolo della luce libera di inflessione:

Calcolo del momento di inerzia minimo:

Calcolo dell'area:

Calcolo del carico critico:

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Calcoliamo la snellezza relativa:

;

Calcoliamo

Calcoliamo

Calcolo della tensione di progetto:

daN/cm

2;

Infine calcoliamo la resistenza di progetto:

Risultando 9.700 < 13.559 daN, il pilastro è verificato.

2.8 Progetto a compressione parallela alla fibratura (carico di punta)

Nel progetto a carico di punta, bisogna determinare le caratteristiche geometriche della sezione: area e

dimensione dei lati. Dalla formula ricaviamo l'area:

Si pone NRD = NED, mentre il valore di Kcrit deve essere scelto da noi arbitrariamente, può essere assunto pari

a 0,3÷ 0,4 per β=2 e 0,8÷1 in tutti gli altri casi. Trovata l'area, si stabiliscono i lati e si procede alla verifica,

nel modo in cui abbiamo visto in precedenza. Se la verifica non è soddisfatta, si aumentano le dimensioni

della sezione.

Esempio di progetto a carico di punta:

Progettare il pilastro in legno massiccio in figura, avente l = 3,00 m, classe di resistenza C30

sCK=25N/cm2 = 250 daN/cm

2, classe di servizio 3. I carichi siano: carico permanente G=4.000 daN,

carico variabile Q = 6.000 daN.

Calcolo del carico di esercizio:

Calcolo della tensione di progetto:

daN/cm

2;

Stabiliamo Kcrit = 0,4;

Progettiamo l'area:

Ora bisogna dimensionare i lati. La sezione che

meglio si comporta, a carico di punta, è quella con i due momenti di inerzia uguali, quindi la sezione quadrata, circolare

o comunque dotata di doppia simmetria. Scegliamo la sezione quadrata: Scegliamo una

sezione 18x18.

È sempre necessario eseguire la verifica.

Verifica:




Calcolo dell'area:


Calcolo del la snellezza relativa:

;

16

Calcolo di

Calcolo di


Risultando 14.200 > 6.237 d N, il pilastro non è verificato.

Aumentiamo le dimensioni assumendo una sezione 24x24 e riverifichiamo (abbiamo provato con 22x22 e non è

verificato).

Verifica:



Calcolo dell'area:


Calcolo della snellezza relativa:

;

Calcolo di

Calcolo di



17

M

yk

yd

ff

3. ACCIAIO

3.1 Caratteristiche dell’ acciaio

L’acciaio per carpenterie metalliche (ad esempio: profilati IPE HE NP) ha un comportamento

elastico – lineare, fino al valore della tensione di snervamento e poi ha un comportamento elasto - plastico,

cioè le deformazioni impresse non vengono più completamente recuperate al cessare delle tensioni. Ciò

avviene sia per quanto riguarda la resistenza a trazione che per quanto riguarda la resistenza a compressione.

Il diagramma tensioni – deformazioni ottenuto in una prova

di laboratorio, è mostrato nella figura accanto. Abbiamo

indicato con fyk la tensione di snervamento reale del ferro e

con fyd, la tensione di rottura. Questi due valori dipendono

dalla qualità del ferro utilizzato.

Il modulo di elasticità è lo stesso per tutti i tipi di acciaio e

vale: E = 207.000 N/mm 2

Per il calcolo dei valori delle sollecitazioni che portano a rottura una sezione in ferro (momento, sforzo

normale, taglio) non useremo il diagramma reale, sopra riportato, ma un diagramma di progetto

caratterizzato da un primo tratto elastico – lineare e un secondo tratto elasto – plastico che, anziché essere

curvo, avrà andamento rettilineo. Secondo questo secondo grafico la resistenza considerata del ferro è più

bassa della resistenza reale.

Il valore fyd, è il valore da considerare nei calcoli, che

separa i due tratti. Secondo questo grafico la tensione di

snervamento non esiste, esiste solo la tensione di rottura

dell’acciaio, indicato appunto con fyd,.

I tipi di acciaio più usati, riconosciuti dalla normativa, sono

quelli riportati nella tabella della pagina seguente.

La resistenza di calcolo dell’acciaio fyd si ottiene nel seguente modo:

dove:

fyk è il valore di snervamento vero del materiale, ottenuto da prove di laboratorio,

γM è il fattore parziale.

Resistenza delle Sezioni di Classe 1-2-3-4 γM0 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature γM1 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature di ponti stradali e ferroviari γM1 = 1,10

Resistenza, nei riguardi della frattura, delle sezioni tese (indebolite dai fori) γM2 = 1,25

18

ydRd,c fAN

ydeffRd,c fAN

05,1

ff

yk

yd

25,1

ff

yk

yd

Nella tabella seguente sono riportate, per i vari tipi di acciaio, le resistenze di calcolo allo stato limite

di rottura.

3.1 Verifica a trazione

Nel caso di sezione soggetta a trazione, le tensioni sono costanti in tutti i punti e raggiungono il

valore della resistenza di progetto fyd. Se indichiamo con NED lo sforzo normale che deve sopportare la

sezione e con Nt,RD lo sforzo normale massimo che può sopportare la sezione, ossia la resistenza di progetto a

trazione, l’azione assiale di calcolo NED deve rispettare la seguente condizione:

dove, la resistenza di calcolo a trazione NRD di membrature con sezioni indebolite da fori per

collegamenti bullonati o chiodati deve essere assunta pari al minore dei valori seguenti:

a) la resistenza plastica della sezione lorda A,

b) la resistenza a rottura della sezione netta, Anetta, in corrispondenza dei fori per i collegamenti:

3.2 Verifica a compressione

Anche nel caso di sezione soggetta a compressione, le tensioni sono costanti in tutti i punti e

raggiungono il valore della resistenza di progetto fyd.

Non considerando, per ora, il fenomeno dell'instabilità, come invece è necessario fare e faremo in

seguito, la forza di compressione di calcolo NEd deve rispettare la seguente condizione:

N Ed ≤ Nc,Rd

dove la resistenza di calcolo a compressione della sezione Nc,Rd vale:

per le sezioni di classe 1, 2 e 3,

per le sezioni di classe 4.

Non è necessario dedurre l’area dei fori per i collegamenti bullonati o chiodati, purché in tutti i fori siano

presenti gli elementi di collegamento e non siano presenti fori sovradimensionati o asolati.

Tipo di

acciaio

Valore di

snervamento

effettivo fyk

(N/mm2)

Valore di rottura

(N/mm2) Valore di snervamento di calcolo per

flessione e compressione

(N/mm2)

Valore di snervamento di calcolo

per trazione con elementi

indeboliti da fori.

(N/mm2)

S235 235 360 223,8 188

S275 275 430 261,9 220

S355 355 510 338,1 284

S450 440 550 419,0 352

19

3.3 Verifica a flessione semplice

Tale verifica, in pratica consiste nel calcolare il momento che riesce a rompere la sezione e

confrontarlo col momento di esercizio della sezione indicato con MED, che non è altro che il momento

massimo ricavato dal diagramma dei momenti. Il momento che porta a rottura la sezione, viene indicato con

MRD, (momento resistente di progetto) o anche con Mu (momento ultimo).

Calcolo del momento ultimo.

Il momento ultimo da calcolare, è quel momento che fa raggiungere in almeno una fibra, la

deformazione di rottura u. Disegniamo quindi le deformazioni, in modo che la massima sia uguale a questo

valore e quindi il diagramma delle tensioni, in base al diagramma tensioni – deformazioni, stabilito dal

regolamento. Per semplicità ci riferiremo ad una sezione rettangolare.

L’errore che si commette approssimando il diagramma delle tensioni ad un rettangolo, è anche più

piccolo di quello che si vede in figura, perché nel disegno sopra riportato il rapporto tra u e yd, è molto più

piccolo di quello che si ha nella realtà. Il momento ultimo si calcola facendo l’equilibrio alla rotazione delle

risultanti delle tensioni. Indichiamo con C la risultante degli sforzi di compressione e con T la risultante degli

sforzi di trazione.

Sostituendo il valore di C e T si ha:

Naturalmente questa formula l' abbiamo ottenuta per sezioni rettangolari. Vediamo come estenderla a sezioni

generiche. Consideriamo il momento statico di mezza sezione:

20

XPLydU WfM

Osserviamo che il valore

, presente nella formula per il calcolo del

momento ultimo, è il doppio di Sx, quindi la formula precedente può essere

scritta come:

Questa formula vale per tutte le sezioni e non solo per quelle rettangolari.

Preferiamo porre 2Sx = Wxpl, che prende il nome di modulo di resistenza plastico della sezione. Per le sezioni

di acciaio i valori di questo modulo sono riportati in apposite tabelle di facile utilizzo.

In definitiva il momento ultimo si calcolo così:

La verifica si esegue in questo modo:

Esercizio.

Verificare una sezione IPE 300 in acciaio S235, sottoposta ad un momento flettente di 14.000 daNm.

Svolgimento.

Dalla tabella dei profilati IPE si ricava il modulo di resistenza plastico:

Wxpl=628 cm3.

Si calcola quindi il momento di rottura

= 14.054,64 daNm

Poiché risulta : 14.000 <14.054,64 la sezione è verificata.

Progetto della sezione

Se invece della verifica, si vuole eseguire il progetto, ossia si vuole determinare il valore di WXPL, si

deve utilizzare la formula inversa, che si ricava in questo modo:

si pone ;

dalla relazione: si ricava

, quindi dalle tabelle si sceglie un

profilato che abbia un modulo di resistenza plastico maggiore o uguale di quello calcolato (mai

minore!).

21

Esempio di progetto a flessione

Si vuole progettare la sezione di acciaio che sopporti il carico della trave in figura.

La forza sia dovuta a carico permanente.

Le fasi sono le seguenti:

Si calcola la forza di esercizio:

Si calcolano le reazioni vincolari, che sono:

Va = 7.800 daN e Vb = 5.200 daN ;

si traccia il diagramma dei momenti, dal quale si

deduce che il momento massimo è di 15.600 daNm;

si procede alla scelta del tipo di acciaio, in questo

caso S235, la cui tensione ultima è: fyK =235N/mm2 ; fyD=

223,8 N/cm2 = 2238 daN/cm

2;

si calcola il modulo di resistenza plastico della

sezione mediante la formula:

si sceglie, utilizzando la tabella, la sezione IPE330 con WXPL = 804,3 cm3 e peso a metro lineare:

P = 49,1 daN/ml;

si calcola il peso di esercizio Si esegue, quindi, la verifica. Si determina il momento dovuto al peso proprio, nella stessa sezione

dove si ha il momento massimo dovuto alla forza;

Il momento totale nella sezione, si calcola così:

Mtot = 15.600 + 192 = 15.792 daNm;

Tale valore deve risultare più piccolo del momento ultimo della

sezione, che adesso calcoliamo:

15.795 < 18.000 La sezione è verificata.

22

fwfR tr2ttb2AA

3.4 Verifica a taglio semplice.

Intendiamo per taglio semplice, il caso in cui la sezione è sollecitata solo a taglio, ossia con

momento flettente pari a zero.

In questo caso, se Indichiamo con TED il taglio agente nella sezione e con TRD il valore del taglio

che provoca la rottura della sezione, la verifica sarà soddisfatta se risulta:

Per il calcolo del valore di TRD,se indichiamo con AR l’area resistente a taglio della sezione (che non

è uguale all'intera area della sezione), e con yk il valore della tensione tangenziale che provoca la

plasticizzazione dell’acciaio, si ha:

La tensione tangenziale che provoca la plasticizzazione, si calcola così:

L’area resistente, non coincide con l’area totale dell’intera sezione A, di seguito è riportato il modo di

calcolare tale area per le sezioni IPE ed HE.

In ogni caso, tale area si trova già calcolata nelle tabelle allegate.

23

3.5 Verifica a Taglio + Momento.

Nel caso di presenza contemporanea di momento e taglio, nella stessa sezione, si procede in questo modo:

se TED0,5TRD si trascura il taglio e si fa la verifica considerando solo il momento;

se TED>0,5TRD, ma comunque con TED < TRD si riduce il valore del momento ultimo procedendo in

questo modo:

1 – si calcola il coefficiente:

2 – Si calcola il momento ultimo MRD nel seguente modo:

3 – Si esegue la verifica a momento:

Verifica a flessione e taglio: Esempio 1

Verificare la trave in figura, in acciaio S235, profilato IPE 220. Il carico q comprende anche il peso

proprio ed è il carico di esercizio della trave.

La tensione ultima dell'acciaio S235 è: fyK =235N/mm2 = 2350 daN/cm

2, fyD =

2238 daN/cm2;

1356,7 daN/cm

2;

Il modulo di resistenza plastico, desunto dalle tabelle, Wx,PL è: 285,4 cm3. L'area

resistente a taglio, sempre desunta dalle tabelle, è di 15,88 cm2.

La sezione è sottoposta sia a momento che a taglio con MED = 5.000 daNm; e TED

6.250 daN.

Calcoliamo la resistenza a taglio:

Calcoliamo

Essendo 5.000 < 10.772, si può trascurare il taglio ed eseguire la verifica a

solo flessione.

Essendo 6.250 < 6.387 daNm, anche la verifica a flessione e soddisfatta.

24

Verifica a flessione e taglio: Esempio 2

Verificare la stessa sezione, in acciaio S235, profilato IPE 220 avente La sezione è sottoposta sia a momento

che a taglio con MED = 5.000 daNm; e TED 15.000 daN.

La tensione ultima dell'acciaio S235 è: fyK =235N/mm

2 = 2350 daN/cm

2, fyD = 2238 daN/cm

2;

1356,7 daN/cm

2;

Il modulo di resistenza plastico, desunto dalle tabelle, Wx,PL è: 285,4 cm3. L'area resistente a taglio, sempre desunta

dalle tabelle, è di 15,88 cm2, lo spessore dell'ala tW (e nella tabella) è di 9,2 mm = 0,92 cm.

Calcoliamo la resistenza a taglio:

Calcoliamo

Siamo nel caso in cui 0,5 TRD < TED < TRD, quindi non si può trascurare il taglio. Si deve fare la verifica a

flessione riducendo il modulo di resistenza plastico in base al valore del taglio.

Si procede così:

1 – si calcola il coefficiente:

2 – Si calcola il momento ultimo MRD nel seguente modo:

3 – Si esegue la verifica a momento:

;

La verifica è soddisfatta.

25

Progetto di un solaio in acciaio e laterizi per abitazione.

Il solaio ha luce netta di m 5,30.

Calcoliamo la luce teorica di calcolo:

Scelgo i materiali da utilizzare:

- Acciaio S 235con fyk= 235 N/mm2, ;

- Calcestruzzo Rck 200 dN/cm2.

Analisi dei carichi

Per determinare l'altezza del riempimento tra tavellone e soletta in c.a. ipotizziamo di utilizzare una IPE 160.

Altezza riempimento un cls = 16-8-2= 6 cm.

Carichi permanenti strutturali: tavelloni = 60 daN/m

2

soletta in c.a. : 0,05x2500 = 125 daN/m2

riempimento in cls: 0,06x2400 = 164 daN/m2

Totale 349 daN/m2

Carichi permanenti non strutturali:

malta di allettamento 0,05x2000 = 100 daN / m2

pavimento in gres ceramico = 30 daN /m2

intonaco = 30 daN / m2

Totale = 160 daN / m

2

incidenza tramezzi = 100 daN /m2

Carico variabile per abitazione: = 200 daN/m2

Calcolo carico di esercizio a mq: daN / m2

Calcolo del carico a metro lineare di trave, stabiliamo un interasse pari a 1,00 m e consideriamo anche il peso della

IPE160.

daN / m2

Calcolo del momento massimo:

Calcolo del modulo di resistenza della sezione:

Bisogna adottare una IPE200 con Wxpl= 220,6 cm3, peso = 22,4 daN.

26

Verifica a flessione con sezione IPE200.

Va ricalcolato il carico permanente strutturale, perché l'altezza del riempimento è di 20 - 10 = 10 cm, anziché 6 cm,

come invece considerato in precedenza.

Carichi permanenti strutturali: tavelloni = 60 daN/m

2

soletta in c.a. : 0,05x2500 = 125 daN/m2

riempimento in cls: 0,10x2400 = 240 daN/m2

Totale 425 daN/m2

Calcolo carico di esercizio a mq: daN / m2

Calcolo del carico a metro lineare di trave consideriamo anche il peso della IPE200.

daN / m2

Calcolo del momento massimo:

Calcolo del momento ultimo:

Mrd = Wxpl x fyd = 220,6x2238 = 493.703 dNcm = 4.937,03 dNm;

Poiché risulta 4.791,6<4937,03, la verifica a flessione è soddisfatta.

Verifica a taglio

Il taglio massimo si ha sugli appoggi ed è pari alle reazioni vincolari:

Le reazioni vincolari sono:

Calcolo del taglio ultimo:

Poiché si ha 3.447,2 daN < 15.666 daN, la verifica a taglio è soddisfatta.

27

3.6 Sforzo normale e verifica al carico di punta.

Anche l'acciaio è soggetto ad instabilità a sforzo normale, così come il legno. La verifica si esegue

allo stesso modo di quanto visto per il legno, anche se cambiano i simboli utilizzati.

Dobbiamo calcolare la resistenza ultima del pilastro. Tale resistenza viene ridotta per effetto

dell'instabilità a sforzo normale, noto come fenomeno del carico di punta. La verifica si intende soddisfatta

se risulta:

Con

Dove il coefficiente dipende dai parametri K e :

che deve risultare ≤ 1, (se per qualsiasi motivo risulta > di 1, si assume il valore 1).

Il coefficiente K si calcola con:

mentre il coefficiente

;

Il coefficiente α viene detto fattore di imperfezione ed è riportato nella tabella 1 allegata, ultimo rigo.

Il valore Ncr , detto carico critico, è il carico che provoca l’instabilità. Esso si calcola con:

;

dove:

E è il modulo di elasticità dell’acciaio (si può assumere il valore di 2.070.000 daN/cm2

=207.000

N/mm2)

Imin è il più piccolo momento di inerzia della sezione,

l0 viene detta luce libera di inflessione e dipende dalla lunghezza del pilastro e dal modo in cui esso è

vincolato: è un coefficiente che dipende dai vincoli ed l è la lunghezza del pilastro.

Se oppure NED< 0,04NCR, si può trascurare l’instabilità ed assumere Kcrit=1.

Bisogna anche accertarsi che la snellezza

imin è il raggio minimo di inerzia (si trova in tabella o si calcola così:

).

28

Esempio di verifica a carico di punta:

Verificare a carico di punta del pilastro in figura, in acciaio S235 con fyk= 235 N/cm2 = 2350 daN/cm

2,

fyD=2238daN/cm2; sezione HE300/B, i carichi sono costituiti da G = 40.000 daN, derivante da carichi permanenti

strutturali e da Q=30.000 daN, derivante da carichi variabili. Sia l=2,70 m.




Dalla tabella rileviamo i valori Imin e di A.

Essi sono rispettivamente: Imin= 8562,82 cm4; A = 149,1 cm

2;


Calcoliamo

Dalla tabella 1 rileviamo il coefficiente α. Teniamo conto che il rapporto h/b, per la IPE 300/B è pari a 1, quindi minore

di 1,2, mentre lo spessore delle ali è pari a 19 mm < 100 mm, quindi la curva di riferimento è la curva c con α=0,49.

Possiamo ora calcolare

Quindi il coefficiente


Risultando 97.000 < daN, il pilastro è verificato.

Esempio di progetto a carico di punta:

Progettare a carico di punta il pilastro in figura, in acciaio S235 con fyk= 235 N/cm2 = 2350 daN/cm

2, fyD=2238daN/cm

2.

I carichi sono costituiti da G = 30.000 daN, derivante da carichi permanenti strutturali e da Q=50.000 daN, derivante da

carichi variabili. Sia l=3,00 m.




Scegliamo Kcrit = 0,9 e calcoliamo l'area necessaria.

;

Decidiamo di usare profilati di tipo HE/M, dalla tabella scegliamo una HE/M140 avente le

seguenti caratteristiche:

Area = 80,60 cm2; Momento di inerzia minimo = 1.144,34 cm

4.

29

Verifica


Calcoliamo

Dalla tabella 1 rileviamo il coefficiente α. Teniamo conto che il rapporto h/b, per la IPE 140/M è pari a 1,09 (160/140

=1,09), quindi minore di 1,2, mentre lo spessore delle ali è pari a 22 mm < 100 mm, quindi la curva di riferimento è la

curva c con α=0,49.




Risultando 120.000 > 113.641 daN, il pilastro non è verificato.

Bisogna prendere una sezione maggiore scegliamo quella che segue la HE/M140, cioè una HE/M160, avente

area ugulae a 97,1 cm2 e momento di inerzia minimo, pari a 1757,77 cm

4.

Verifica


Calcoliamo

Dalla tabella 1 rileviamo il coefficiente α. Teniamo conto che il rapporto h/b, per la IPE 160/M è pari a 1,09 (180/166

=1,08), quindi minore di 1,2, mentre lo spessore delle ali è pari a 23 mm < 100 mm, quindi la curva di riferimento è

ancora la curva c con α=0,49.





Bisogna anche accertarsi che la snellezza

Dalla tabella leggiamo imin = 4,26 cm;

30

Esempio di progetto di una trave reticolare in acciaio:

Si vuole progettare la trave reticolare in figura:

32

3.7 Unioni bullonate

Caratteristiche di resistenza dei bulloni.

Le dimensioni caratteristiche di un bullone sono:

d diametro nominale del gambo

p passo della filettatura

Ares area resistente

33

CALCOLO DELLA RESISTENZA A TAGLIO

Per il calcolo della resistenza a taglio delle viti e dei chiodi, per il rifollamento delle piastre collegate

e per il precarico (unioni ad attrito) dei bulloni, si adottano i fattori parziali γM indicati in Tab. 4.2.XII.

La posizione dei fori per le unioni bullonate o chiodate deve rispettare le limitazioni

presentate nella Tab. 4.2.XIII.

I fori devono avere diametro uguale a quello del bullone maggiorato al massimo di 1 mm, per bulloni

sino a 20 mm di diametro, e di 1,5mm per bulloni di diametro maggiore di 20 mm. Si può derogare da tali

limiti quando eventuali assestamenti sotto i carichi di servizio non comportino il superamento dei limiti di

deformabilità o di servizio. Quando necessario, è possibile adottare “accoppiamenti di precisione” in cui il

gioco foro-bullone non dovrà superare 0,3 mm per bulloni sino a 20 mm di diametro e 0,5 mm per bulloni di

diametro superiore, o altri accorgimenti di riconosciuta validità.

34

La verifica allo Stato Limite Ultimo dipendente dal tipo di unione considerata (Unione a Taglio,

Unione ad attrito, ecc.) viene effettuata verificando che il valore di calcolo della sollecitazione agente sia

inferiore al valore di calcolo della resistenza come definito dalla normativa.

Resistenza di calcolo a Taglio dei Bulloni

La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni Fv,Rd, per ogni piano di taglio che interessa il gambo

dell’elemento di connessione, può essere assunta pari a:

Fv,Rd = 0,6 ftb Ares / γM2, per bulloni classe 4.6, 5.6 e 8.8

Fv,Rd = 0,5 ftb Ares / γM2, per bulloni classe 6.8 e 10.9;

dove:

Ares indica l’area resistente della vite e si adotta quando il piano di taglio interessa la parte filettata

della vite;

ftb, indica la resistenza a rottura del materiale impiegato per realizzare il bullone.

Resistenza di calcolo a Rifollamento della lamiera

La resistenza di calcolo a rifollamento Fb,Rd del piatto dell’unione bullonata, può essere assunta pari a

Fb,Rd = k×α×ftk×d×t/M2

dove:

d è il diametro nominale del gambo del bullone,

t è lo spessore della piastra collegata,

ftk è la resistenza a rottura del materiale della piastra collegata,

α=min {e1/(3 d0) ; ftb/ft; 1} per bulloni di bordo nella direzione del carico applicato

α=min {p1/(3 d0) – 0,25 ; ftb/ft ; 1} per bulloni interni nella direzione del carico

applicato

k=min {2,8 e2/d0 – 1,7 ; 2,5} per bulloni di bordo nella direzione

perpendicolare al carico applicato,

k=min {1,4 p2 / d0 – 1,7 , 2,5} per bulloni interni nella direzione

perpendicolare al carico applicato,

d0 il diametro nominale del foro di alloggiamento

del bullone

Resistenza di calcolo a Trazione dei Bulloni

La resistenza di calcolo a trazione degli elementi di connessione Ft,Rd può essere assunta pari a:

Ft,Rd = 0,9×ftb×Ares /gM2

35

PROFILATI SERIE HE

HE Dimensioni principali peso area

caratteristiche statiche Resistenza a taglio asse forte y-y asse debole

h b a e r G A h1 Ix Wx Wx,pl ix Iy Wy Wy,pl iy AR

Tipo mm mm mm mm mm kg/m cm2 mm cm4 cm3 cm3 cm cm4 cm3 cm3 cm cm2

HE 100 A 96 100 5 8 12 16,7 21,2 80 349,2 72,8 83 4,06 133,81 26,76 41,14 2,51 8,7

HE 100 B 100 100 6 10 12 20,4 26 80 449,5 89,9 104,2 4,16 167,27 33,45 51,42 2,53 11,0

HE 100 M 120 106 12 20 12 41,8 53,2 80 1142,6 190,4 235,8 4,63 399,15 75,31 116,31 2,74 23,2

HE 120 A 114 120 5 8 12 19,9 25,3 98 606,2 106,3 119,5 4,89 230,9 38,48 58,85 3,02 10,2

HE 120 B 120 120 6,5 11 12 26,7 34 98 864,4 144,1 165,2 5,04 317,52 52,92 80,97 3,06 14,1

HE 120 M 140 126 12,5 21 12 52,1 66,4 98 2017,6 288,2 350,6 5,51 702,77 111,55 171,63 3,25 28,2

HE 140 A 133 140 5,5 8,5 12 24,7 31,4 116 1033,1 155,4 173,5 5,73 389,32 55,62 84,85 3,52 12,4

HE 140 B 140 140 7 12 12 33,7 43 116 1509,2 215,6 245,4 5,93 549,67 78,52 119,78 3,58 17,6

HE 140 M 160 146 13 22 12 63,2 80,6 116 3291,4 411,4 493,8 6,39 1144,34 156,76 240,51 3,77 33,7

HE 160 A 152 160 6 9 15 30,4 38,8 134 1673 220,1 245,1 6,57 615,57 76,95 117,63 3,98 15,3

HE 160 B 160 160 8 13 15 42,6 54,3 134 2492 311,5 354 6,78 889,23 111,15 169,96 4,05 22,4

HE 160 M 180 166 14 23 15 76,2 97,1 134 5098,3 566,5 674,6 7,25 1758,77 211,9 325,46 4,26 40,9

HE 180 A 171 180 6 9,5 15 35,5 45,3 152 2510,3 293,6 324,9 7,45 924,6 102,73 156,49 4,52 17,9

HE 180 B 180 180 8,5 14 15 51,2 65,3 152 3831,1 425,7 481,4 7,66 1362,85 151,43 231,01 4,57 26,7

HE 180 M 200 186 14,5 24 15 88,9 113,3 152 7483,1 748,3 883,4 8,13 2580,13 277,43 425,19 4,77 47,2

HE 200 A 190 200 6,5 10 18 42,3 53,8 170 3692,1 388,6 429,5 8,28 1335,51 133,55 203,82 4,98 21,3

HE 200 B 200 200 9 15 18 61,3 78,1 170 5696,2 569,6 642,5 8,54 2003,37 200,34 305,81 5,07 32,3

HE 200 M 220 206 15 25 18 103,1 131,3 170 10641,9 967,4 1135,1 9 3651,21 354,49 543,22 5,27 55,3

HE 220 A 210 220 7 11 18 50,5 64,3 188 5409,7 515,2 568,5 9,17 1954,56 177,69 270,59 5,51 25,4

HE 220 B 220 220 9,5 16 18 71,5 91 188 8091 735,5 827 9,43 2843,26 258,48 393,88 5,59 37,4

HE 220 M 240 226 15,5 26 18 117,3 149,4 188 14604,8 1217,1 1419,4 9,89 5012,05 443,54 678,55 5,79 62,3

36

HE Dimensioni principali peso area

caratteristiche statiche Resistenza a taglio asse forte y-y asse debole

h B a e r G A h1 Ix Wx Wx,pl ix Iy Wy Wy,pl iy AR

Tipo mm Mm mm mm mm kg/m cm2 mm cm4 cm3 cm3 cm cm4 cm3 cm3 cm Cm2

HE 240 A 230 240 7,5 12 21 60,3 76,8 206 7763,2 675,1 744,6 10,05 2768,81 230,73 351,69 6 16,4

HE 240 B 240 240 10 17 21 83,2 106 206 11259,3 938,3 1053,1 10,31 3922,66 326,89 498,42 6,08 21,6

HE 240 M 270 248 18 32 21 156,7 199,6 206 24289,5 1799,2 2116,9 11,03 8152,62 657,47 1005,93 6,39 38,3

HE 260 A 250 260 7,5 12,5 24 68,2 86,8 225 10454,9 836,4 919,8 10,97 3667,56 282,12 430,17 6,5 18,0

HE 260 B 260 260 10 17,5 24 93 118,4 225 14919,4 1147,6 1282,9 11,22 5134,51 394,96 602,25 6,58 23,7

HE 260 M 290 268 18 32,5 24 172,4 219,6 225 31306,8 2159,1 2523,6 11,94 10448,58 779,74 1192,47 6,9 41,8

HE 280 A 270 280 8 13 24 76,4 97,3 244 13673,3 1012,8 1112,2 11,86 4762,64 340,19 518,13 7 20,6

HE 280 B 280 280 10,5 18 24 103,1 131,4 244 19270,3 1376,4 1534,4 12,11 6594,52 471,04 717,57 7,09 26,8

HE 280 M 310 288 18,5 33 24 188,5 240,2 244 39547,3 2551,4 2965,6 12,83 13162,76 914,08 1396,68 7,4 46,5

HE 300 A 290 300 8,5 14 27 88,3 112,5 262 18263,5 1259,5 1383,3 12,74 6309,55 420,64 641,17 7,49 23,5

HE 300 B 300 300 11 19 27 117 149,1 262 25165,6 1677,7 1868,7 12,99 8562,82 570,85 870,14 7,58 30,1

HE 300 M 340 310 21 39 27 237,9 303,1 262 59201 3482,4 4077,7 13,98 19403,07 1251,81 1913,18 8 56,5

HE 320 A 310 300 9 15,5 27 97,6 124,4 279 22928,6 1479,3 1628,1 13,58 6985,23 465,68 709,74 7,49 26,4

HE 320 B 320 300 11,5 20,5 27 126,7 161,3 279 30823,5 1926,5 2149,2 13,82 9238,82 615,92 939,1 7,57 33,4

HE 320 M 359 309 21 40 27 245 312 279 68134,8 3795,8 4435 14,78 19709,31 1275,68 1950,72 7,95 60,1

HE 340 A 330 300 9,5 16,5 27 104,8 133,5 297 27693,1 1678,4 1850,5 14,4 7435,99 495,73 755,95 7,46 29,5

HE 340 B 340 300 12 21,5 27 134,2 170,9 297 36656,4 2156,3 2408,1 14,65 9689,93 646 985,72 7,53 37,0

HE 340 M 377 309 21 40 27 247,9 315,8 297 76371,6 4051,5 4717,6 15,55 19710,7 1275,77 1952,71 7,9 63,9

HE 360 A 350 300 10 17,5 27 112,1 142,8 315 33089,8 1890,8 2088,5 15,22 7886,84 525,79 802,28 7,43 32,8

HE 360 B 360 300 12,5 22,5 27 141,8 180,6 315 43193,4 2399,6 2683 15,46 10141,16 676,08 1032,49 7,49 40,7

HE 360 M 395 308 21 40 27 250,3 318,8 315 84867 4297,1 4989,3 16,32 19521,75 1267,65 1942,35 7,83 67,6

HE 400 A 390 300 11 19 27 124,8 159 352 45069,4 2311,2 2561,8 16,84 8563,82 570,92 872,86 7,34 40,0

HE 400 B 400 300 13,5 24 27 155,3 197,8 352 57680,5 2884 3231,7 17,08 10819,03 721,27 1104,04 7,4 48,9

HE 400 M 432 307 21 40 27 255,7 325,8 352 104119,1 4820,3 5570,6 17,88 19335,49 1259,64 1934,13 7,7 75,4 HE 450 A 440 300 11,5 21 27 139,8 178 398 63721,6 2896,4 3215,9 18,92 9465,32 631,02 965,53 7,29 47,1 HE 450 B 450 300 14 26 27 171,1 218 398 79887,5 3550,6 3982,4 19,14 11721,32 781,42 1197,66 7,33 57,1 HE 450 M 478 307 21 40 27 263,3 335,4 398 131484,3 5501,4 6331 19,8 19339,04 1259,87 1939,2 7,59 85,1 HE 500 A 490 300 12 23 27 155,1 197,5 444 86974,7 3550 3948,9 20,98 10367,05 691,14 1058,51 7,24 54,6 HE 500 B 500 300 14,5 28 27 187,3 238,6 444 107175,7 4287 4814,6 21,19 12623,91 841,59 1291,65 7,27 65,7

37

PROFILATI IPE

Dimensioni principali Moduli di

resistenza Plastici Momenti di inerzia

Moduli di resistenza

Raggi di inerzia Area res. A taglio

h b a e r Peso Area WxPl WyPL Jx Jy Wx Wy ix iy AR

mm mm mm mm mm kg/m cm2 cm

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm cm cm

2

80 46 3,8 5,2 5 6,0 7,6 23,2 5,8 80,1 8,5 20,0 3,7 3,24 1,05 3,57

100 55 4,1 5,7 7 8,1 10,3 37,4 9,2 171,0 15,9 34,2 5,8 4,07 1,24 5,08

120 64 4,4 6,3 7 10,4 13,2 60,7 13,6 317,8 27,7 53,0 8,7 4,90 1,45 6,31

140 73 4,7 6,9 7 12,9 16,4 88,3 19,3 541,2 44,9 77,3 12,3 5,74 1,65 7,33

160 82 5,0 7,4 9 15,8 20,1 123,9 26,1 869,3 68,3 108,7 16,7 6,58 1,84 9,66

180 91 5,3 8,0 9 18,8 24,0 166,4 34,6 1317,0 100,9 146,3 22,2 7,42 2,05 11,25

200 100 5,6 8,5 12 22,4 28,5 220,6 44,6 2211,0 142,4 194,3 28,5 8,26 2,24 14,00

220 110 5,9 9,2 12 26,2 33,4 285,4 58,1 3891,6 204,9 252,0 37,3 9,11 2,48 15,88

240 120 6,2 9,8 15 30,7 39,1 366,6 73,9 5789,8 283,6 324,3 47,3 9,97 2,69 19,15

270 135 6,6 10,2 15 36,1 46,0 484,0 97,0 5789,8 419,9 428,9 62,2 11,23 3,02 22,14

300 150 7,1 10,7 15 42,2 53,8 628,0 125,2 8356,1 603,8 557,1 80,5 12,46 3,35 25,68

330 160 7,5 11,5 18 49,1 62,6 804,3 753,7 11766,9 788,1 713,1 98,5 13,71 3,55 30,81

360 170 8,0 12,7 18 57,1 72,7 1019,0 191,1 16265,6 1.043 903,6 122,8 14,95 3,79 35,14

400 180 8,6 13,5 21 66,3 84,5 1307,0 229,0 23128,3 1317,8 1156,4 146,4 16,55 3,95 42,69

450 190 9,4 14,6 21 77,6 98,8 1702,0 276,4 29758,8 1502,4 1331,5 176,4 18,48 4,12 50,84

500 200 10,2 16,0 21 90,7 115,5 2194,0 335,9 48199,0 2141,7 1928,0 214,2 20,43 4,31 59,85

550 210 11,1 17,2 24 106,0 134,4 2787,0 400,5 67.120 2668,0 2440,1 254,1 22,35 4,45 72,33

600 220 12,0 19,0 24 122,0 156,0 3512,0 485,6 92.080 3387,0 3.069 307,9 24,30 4,66 83,80

38

4 - IL CALCESTRUZZO ARMATO

4.1 CONCETTI FONDAMENTALI

Il calcestruzzo ha una bassa resistenza a trazione,

mentre possiede una discreta resistenza a compressione.

Inserendo delle barre di acciaio nelle zone sottoposte a

trazione si realizza un materiale che resiste sia a

compressione che a trazione, quindi anche a flessione: il

calcestruzzo armato è comunemente chiamato cemento

armato.

L’unione dei due materiali, è resa possibile dal fatto

che il cemento aderisce perfettamente all’acciaio,

costringendo quest’ultimo a deformarsi allo stesso modo del

calcestruzzo, pur avendo, l’acciaio, un modulo di elasticità

molto maggiore, ossia è più difficilmente deformabile.

Questo comporta, come si dimostra nel seguito che per avere le stesse deformazioni, l’acciaio sarà sottoposto

a maggiori tensioni. Inoltre, poiché i due materiali hanno un coefficiente di dilatazione termica praticamente

uguale non nascono tensioni aggiuntive per effetto della temperatura.

Il cemento armato è composto da due materiali diversi, non è pertanto, un materiale omogeneo. Per

studiarne il comportamento è necessario studiarlo come se fosse un materiale omogeneo. Per fare questo si

deve “trasformare” l’acciaio in calcestruzzo equivalente, partendo dal fatto che, per l’aderenza tra i due

materiali, le deformazioni sono uguali. Vediamo come si fa.

Consideriamo un pilastro in calcestruzzo con una barra di ferro posta al centro sia l0 la lunghezza

prima dell’applicazione del carico. Dopo l’applicazione del carico il pilastro si accorcia di una quantità: l =

l0 – l1, Tale deformazione sarà la stessa sia per il calcestruzzo che per l’acciaio presente.

Indichiamo con:

c la deformazione percentuale nel calcestruzzo;

a la deformazione percentuale nell’acciaio;

c la tensione nel calcestruzzo;

a la tensione nella’acciaio;

Ec il modulo di elasticità nel calcestruzzo;

Ea il modulo di elasticità nell’acciaio.

Si ha:

;

Il rapporto tra i due moduli di elasticità, si indica con n ed è uguale circa a 6, ma si assume pari a 15

per tenere conto delle deformazioni di lunga durata.

4.2 VALORI DI CALCOLO

Sono i valori da assumersi nella progettazione o verifica delle opere per coprire la probabilità di

errori di esecuzione e di valutazione, nonché le imperfezioni di calcolo. Va osservato che tali valori non

coprono errori gravi di calcolo o di concezione strutturale e tanto meno da quelli di esecuzione, che, peraltro,

per la loro natura escono da una concezione probabilistica della sicurezza.

39

4.2.1 Calcestruzzo

Diagramma convenzionale parabola-rettangolo

La normativa consente di utilizzare altri due diagrammi tensioni-deformazioni:

Diagramma convenzionale Diagramma convenzionale

triangolo-rettangolo Rettangolo (stress-block)

Prova cilindrica Prova cubica cubo 15x15x15

Il valore fck è la resistenza a rottura del calcestruzzo ottenuta con provini cilindrici, Rck è invece la

resistenza ottenuta con provini cubici. Quest’ultima è maggiore di quella ottenuta con provini cilindrici,

secondo la relazione:

In base alla resistenza a rottura, al calcestruzzo viene attribuita una classe di resistenza, formata da

due numeri, il primo dei quali esprime la resistenza cilindrica, il secondo quella cubica. Ad esempio un

calcestruzzo di classe C20/25; ha i seguenti valori di rottura:

e .

40

Impiego delle diverse classi di resistenza.

STRUTTURE DI DESTINAZIONE CLASSE DI RESISTENZA

MINIMA

Per strutture armate a bassa percentuale d'armatura C 8/10

Per strutture semplicemente armate C 16/20

Per strutture precompresse C 28/35

La resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene:

dove:

αcc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85

γc è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, assunto pari a 1,5;

fck è la resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 giorni.

In definitiva, la resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene, in funzione della resistenza

caratteristica cubica:

4.2.2 Acciaio per il cemento armato

L’acciaio per cemento armato è denominato B450C ed è caratterizzato dai seguenti valori delle

tensioni :

Tensione caratteristica di snervamento fyk 450 N/mm2

Tensione di rottura fyR 540 N/mm2

Allungamento a rottura ≥7,5%

Si assume per l’acciaio un diagramma convenzionale bilineare. Si può

ipotizzare che la rottura avvenga sempre per compressione del calcestruzzo, cioè

l’acciaio teso non si rompe mai per avere raggiunto l’allungamento massimo (acciaio a

duttilità infinita) che è pari nella realtà, al 7,5%

Diagramma convenzionale acciaio

La resistenza di calcolo dell’acciaio si ottiene:

Dove:

fyk è la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio;

γ c è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio che si assume sempre, per tutti i tipi

di acciaio pari a 1,15.

41

In pratica il valore di calcolo dell’acciaio è pari a:

Assumendo un modulo di elasticità dell'acciaio convenzionale pari a 210.000 N/mm

2, la

deformazione massima in campo elastico sarà: εyd= 391,3/210.000 = 0,00186 = 0,186%. La deformazione

massima del ferro teso, alla rottura yu, non viene definita dalla normativa (ipotesi di acciaio a duttlità

infinita), la deformazione massima effettiva alla rottura del ferro 450C è superiore al 7,5%.

4.3 Verifica a sforzo normale centrato

La rottura avviene per crisi del calcestruzzo ossia con εc=0,0035, mentre il ferro è certamente in

campo plastico, ossia con εs > 0,00186, quindi, in entrambi i materiali la tensione raggiunge il

massimo valore di calcolo.

Se indichiamo con:

Ac area del calcestruzzo;

As area del ferro; Il calcolo dello sforzo normale ultimo si esegue:

Per la verifica è necessario che sia:

Non si sta tenendo conto, del fenomeno di instabilità a carico di punta che per il cemento armato è

un fenomeno raro, a differenza di quello che succede per l'acciaio ed il legno. Ciò è dovuto al fatto che le

sezioni in c.a. sono più massicce e quindi le strutture meno snelle.

Esempio 1

Si verifichi un pilastro di dimensioni 40x40 armato con 4 ϕ 16. I materiali sono: calcestruzzo con

Rck = 25 N/mm2 (250 daN/cm

2), acciaio B450C con fyk= 450 N/mm

2 (4500 daN/cm

2); NE = 80.000 daN.

Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali:

;

Ac = 40x40 = 1.600 cm2; As = 4x2,01= 8,04 cm

2;

Il pilastro è verificato.

4.4 Progetto a sforzo normale

Nel progetto, scelti i materiali, si vogliono dimensionare le aree di calcestruzzo e di acciaio. Le

incognite sono quindi Ac area del calcestruzzo ed As area del ferro.

Per l’equilibrio si ha: .

Essendo due le incognite, stabiliamo il rapporto dell’area di ferro con l’area di calcestruzzo.

La nostra equazione diventa:

; mettendo in evidenza Ac si ha:

42

Esempio 2

Si progetti un pilastro in cemento armato che deve reggere uno sforzo normale di 120.000 daN.

Si scelgono i materiali.

Calcestruzzo con Rck = 25 N/mm2, acciaio B450C con fyk= 450 N/mm

2 ;


;

.

Stabiliamo la percentuale di ferro µ = 1% =0,01

Stabiliamo un lato del pilastro: B= 25 cm;

;

Si adotta una sezione di 25x35.

Calcolo dell’area di ferro: .

Si adottano 4 ϕ 16 = 8,04 cm2 (Vedi tabella 1).

4.5 Flessione semplice: calcolo delle tensioni in campo elastico

Si intende che sia la tensione nel ferro teso che la tensione nel calcestruzzo compresso, sono

inferiori ai valori di snervamento. Assumiamo per il calcestruzzo un diagramma delle tensioni ancora più

semplificato, ossia con il primo tratto rettilineo.

Le incognite da calcolare sono tre: c,f e x, occorrono quindi tre equazioni. Due sono le

equazioni di equilibrio: equilibrio alla rotazione tra tensioni interne e momento esterno, equilibrio

alla traslazione orizzontale. La terza equazione è una proporzione tra le tensioni di trazione e di

compressione che si basa sulla similitudine dei triangoli delle tensioni.

43

Risolvendo tale sistema si ottengono le incognite cercate:

In è il momento di inerzia della sezione reagente, composta da ferro teso e calcestruzzo compresso.

I valori delle tensioni, così calcolati, possono utilizzarsi per la verifica da eseguire col metodo delle

tensioni ammissibili oppure per gli stati limiti di esercizio, quando le tensioni massime rimangono in campo

elastico.

Il metodo delle tensioni ammissibili è applicabile solo in zona sismica di quarta categoria. Consiste

nel verificare che le tensioni massime nel calcestruzzo e nel ferro, non superino i seguenti valori delle

tensioni, dette, appunto, tensioni ammissibili:

calcestruzzo; acciaio;

La verifica si intende soddisfatta se risulta:

4.6 Flessione semplice: calcolo agli stati limite.

I diagrammi tensioni – deformazioni, per il calcestruzzo compresso e per il ferro, sia teso che

compresso, sono mostrati in basso. A sinistra il diagramma del calcestruzzo, a destra quello del ferro.

Nella figura sottostante sono mostrate le deformazioni, le tensioni nel calcestruzzo e nel ferro sia

teso che compresso e le risultanti delle tensioni di compressione nel calcestruzzo compresso (indicato con

Nc), nel ferro compresso (indicato con N’s) e nel ferro teso (indicato con Ns). La posizione dell’asse neutro,

per le sezioni in c.a., non è conosciuta, ma è una incognita del problema. Tale posizione dipende dale

dimensioni della sezione e dall’area del ferro teso e compresso.

44

Valgono le proporzioni tra le deformazioni e le equazioni di equilibrio, alla traslazione orizzontale e

alla rotazione, tra le risultanti degli sforzi.

Per la similitudine tra i triangoli superiore e inferiore delle deformazioni si può scrivere:

dalla prima relazione si può scrivere:

Per scrivere le equazioni di equilibrio calcoliamo le risultanti delle sollecitazioni:

;

La risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo è data dall’area delle tensioni

moltiplicato B. Se le tensioni fossero costanti fino all’asse neutro, la risultante sarebbe pari a:

che è ovviamente maggiore di quella reale. Se poniamo il rapporto

, si

ha che: . Il coefficiente (pronuncia csì) vale, per rottura del calcestruzzo, 0,8035.

Poniamo la distanza di Nc dal bordo compresso, in funzione della posizione dell’asse neutro: (la lettera

greca si pronuncia “lambda”). Il valore vale, sempre per rottura del calcestruzzo, 0,415.

Scriviamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione. Per l’equilibrio alla rotazione prendiamo

come punto il baricentro del ferro teso:

Essendo la sezione composta da due materiali diversi, la rottura della sezione stessa può avvenire in

diversi modi:

rottura del ferro teso (

rottura del calcestruzzo compresso ;

rottura contemporanea del ferro teso e del calcestruzzo compresso ( ;

Esaminiamo i possibili casi di rottura di rottura possibili e calcoliamo i corrispondenti valori della

posizione dell’asse neutro, ricordando che x=kd, con

:

Caso 1: rottura del ferro teso ( , calcestruzzo in campo plastico( . Come

già detto la normativa attuale non fornisce un limite per la rottura convenzionale del ferro teso,

poiché considera che la rottura debba sempre avvenire per rottura del calcestruzzo. Assumiamo

che la rottura avvenga per il massimo allungamento che non deve essere minore 75 ‰.

Caso 2: rottura del ferro teso ( e contemporanea rottura del calcestruzzo

compresso ( .

Caso 3: rottura del calcestruzzo compresso , ferro in campo plastico .

45

A questi diversi modi di rottura, corrispondono le regioni di rottura indicate i figura:

Regione 1 – rottura del ferro teso con calcestruzzo e ferro compresso in campo elastico. Il

valore di k è compreso tra 0 e 0,026;

Regione 2 – rottura del ferro teso con calcestruzzo e ferro compresso in campo plastico. Il

valore di k è compreso tra 0,026 e 0,045;

Regione 3 - rottura del calcestruzzo compresso con ferro teso in campo plastico e ferro

compresso anche in campo. Il valore di k è compreso tra 0,045 e 0,653;

Regione 4 – rottura del calcestruzzo compresso con ferro teso in campo elastico e ferro

compresso in campo plastico. Il valore di k è compreso tra 0,653 e 1.

Regione 1 (bleu) 0 K 026 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo elastico Regione 2 (celeste) 0,026 K 045 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo plastico Regione 3 (gialla) 0,045 K 3 Rottura del calcestruzzo, ferro in campo plastico Regione 4 (verde) 0,653 K 1,000 Rottura del calcestruzzo, ferro in campo elastico

La verifica a flessione semplice

a) Rottura del calcestruzzo con ferro compresso in campo plastico

La verifica consiste nel calcolare Mrd e verificare se Med ≤ Mrd. La rottura avviene sempre per crisi

del calcestruzzo, col ferro compresso che di solito è in campo plastico, ma che in alcuni casi può anche

essere anche in campo elastico. Col ferro compresso e teso in campo plastico le equazioni di equilibrio sono:

La prima equazione può essere scritta in modo diverso, dividendo tutto per

; Ponendo

46

; Se tale valore è compreso tra: 0,045≤K≤0,653, è confermata la rottura

del calcestruzzo e si può procedere al calcolo del momento resistente:

Esercizio 1

Verificare la sezione in figura.

Dati: Med = 8.000 daNm; A’s= 3 14 = 4,62 cm2;

AS = 5 16 = 10,05 cm2;

Rck= 25 N/mm2; Acciaio C450 con fyk = 450 N/mm

2 ; =’= 3 cm.


;

; d = 40 – 3 =37 cm;

Facciamo la verifica ipotizzando che la rottura avvenga per rottura del calcestruzzo, con acciaio in campo plastico,

scegliendo un valore di k=0,200 si ha: = 0,8093, = 0,416. Questi valori sono costanti nel caso di rottura del

calcestruzzo.

0,203;

Tale valore è risulta 0,045 <0,201<0,653 , ossia siamo nella regione 3, con rottura del calcestruzzo e ferro in campo

plastico, come nell’ipotesi di partenza.

= 13.400,74

.

La sezione è verificata.

Esercizio 2 Verificare la sezione in figura.

Dati: M = 6.000 daNm; A’s= 3 14 = 4,62 cm

2; AS = 6 16 = 12,06 cm

2;

Rck= 25 N/mm2; Acciaio C 450 con fyk = 450 N/mm

2 ;

B = 30 cm; H = 35 cm; = ’ = 3 cm.


;

Ipotizziamo che la rottura avvenga per rottura del calcestruzzo, con acciaio in campo plastico, i coefficienti valgono:

= 0,8095, = 0,416. d = 35 – 3 =32 cm;

0,323;

Essendo risulta 0,045 <0,323<0,653 , la rottura avverrà effettivamente per crisi del calcestruzzo.

La sezione è verificata.

48

b) Rottura del calcestruzzo con ferro compresso in campo elastico

Nel caso di rottura del calcestruzzo, con ferro compresso in campo elastico, cosa che avviene, ad esempio,

con un'area di ferro compresso pari o maggiore del ferro teso, la soluzione va ricercata per tentativi, poiché

non si conosce la tensione nel ferro compresso. le equazioni di equilibrio sono le stesse:

Si sceglie il valore di K, si calcola la tensione nel ferro compresso, che è in campo elastico, dall'equilibrio

alla traslazione si calcola K e se è con valore vicino a quello scelto, si può procedere al calcolo del momento

resistente, in caso contrario si deve assumere un altro valore di tentativo.

Fissato K, si ha si calcola la deformazione nel

ferro compresso :

;

;

Dall'equilibrio alla traslazione:

si ricava x:

Quando l'approssimazione è ritenuta accettabile si calcola

il momento resistente di progetto:

Esercizio 4

Calcolare il momento resistente della sezione in figura

A’s= 4 16 = 8,04 cm2;

AS = 4 16 = 8,04 cm2;

Rck= 25 N/mm2; Acciaio C450 con fyk = 450 N/mm

2 ; =’= 3 cm.


;

; d = 40 – 3 =37 cm;

Scegliamo come valore di tentativo, k= 0,10;

Calcolo della tensione nel ferro compresso:

;

Questo valore è troppo diverso da 0,10. Proviamo con k= 0,095;

Calcolo della tensione nel ferro compresso:

;

Questo valore è accettabile, possiamo calcolare il momento ultimo:

= 1.831.152

daNCm

49

Il progetto a flessione semplice

Il progetto si presenta più immediato rispetta alla verifica, perché possiamo scegliere noi la posizione

dell’asse neutro, fissando il valore di k. Tuttavia le incognite sono comunque troppe per le solite due

equazioni di equilibrio, infatti sono incognite le dimensioni della sezione B e H (H= d+⸹) e le aree di ferro

teso As e compresso A’s. Due di queste dimensioni devono necessariamente venire fissate, si scelgono la

base B della sezione, perché influenza di meno la resistenza rispetto ad H e il rapporto tra ferro compresso e

ferro teso:

Per ottenere delle formule di semplice utilizzo, è necessario anche

porre in relazione il copri ferro del ferro compresso con l’altezza utile della sezione, attraverso la relazione:

Si scegli il valore di k=0,256, corrispondente alla rottura del calcestruzzo compresso con ferro teso in campo

plastico con una deformazione pari al 10 ؉. I valori di e di in questo caso, sono pari a, rispettivamente,

= 0,8093, = 0,416, mentre la tensione nel calcestruzzo vale fcd e nel ferro teso vale fyd. Anche nel ferro

compresso, la tensione sarà fyd essendo in corrispondenza di esso la deformazione certamente superiore allo

1,86؉ Le equazioni di equilibrio allora diventano:

Dividiamo la prima equazione per e sostituiamo al momento di rottura, Mrd, il momento

di esercizio, Med.

Ponendo t

si ha:

Ponendo

si ha:

e ovviamente

I valori di r e t si trovano nella tabella 2 in funzione della resistenza caratteristica del calcestruzzo,

del rapporto tra l’armatura compressa e tesa, a proposito del quale si osserva che tale rapporto deve

50

necessariamente essere minore di uno, altrimenti tali equazioni non sono valide, e dal valore di c che da

origine a due tabelle: una con c=0,07, valido per travi cosiddette “alte” e una con c=0,14, valido per travi

cosiddette “basse” o “a spessore”.

Esercizio 5

Progettare una sezione rettangolare che deve sopportare un momento di 12.000 daNm, utilizzando le tabelle.

Scegliamo i materiali:

Rck= 25 N/mm2; Acciaio C 450 con fyk = 450 N/mm2 ; =’


;

Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm.

Dalla tabella 2.1 ricaviamo t =0,0079; r = 0,1901;

Verifica: metodo semplificato ”STRESS – BLOCK”.

Tale procedimento consiste nell’approssimare il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo con un

rettangolo: il cosiddetto stress-bloch. Tale metodo è valido solo se la crisi avviene per rottura del

calcestruzzo con acciaio in campo plastico, ossia l’asse neutro cade nella regione 2 o 3. Anche il ferro

compresso è in campo plastico, poiché essendo posizionato subito sotto il bordo compresso, che ha una

deformazione del 3,5‰, avrà una deformazione minore, ma non di molto, del 3,5‰, comunque certamente

maggiore dell 1,86‰, quindi sarà soggetto alla tensione massima di fyd.

Calcoliamo il limite tra la regione 1 e la regione 2, che è diverso dal precedente perché il calcestruzzo viene

considerato allo stato plastico in corrispondenza di una deformazione percentuale pari allo 0,7؉:

ε

ε ε

Scriviamo l’equilibrio alla traslazione: ;

51

sostituendo si ha:

dividendo per e ricordando che si ha:

ponendo

rapporto tra area del ferro compresso e area del ferro teso, e

detta

percentuale meccanica di armatura, si ha:

Scriviamo ora l'equilibrio alla rotazione, rispetto al baricentro del ferro teso:

Per la verifica deve risultare: MED ≤ MRD

Si osserva che il valore della risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo, calcolato

esattamente sarebbe pari a

Mentre la distanza della risultante, dal bordo superiore, sarebbe anziché .

Esercizio 6


Dati: MED = 6.000 daNm; A’s= 3 14 = 4,47 cm2;

AS = 5 14 = 7,70 cm2;

Rck= 25 N/mm2; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm

2 ;

=’= 3 cm.


;

d = 50 – 3 =47 cm;

Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block.

Siamo nella regione 3, perciò, l’ ipotesi di rottura del calcestruzzo è verificata, possiamo calcolare il momento

ultimo,

La sezione è verificata

52

Esercizio 7


Dati: M = 8.000 daNm; A’s= 3 14 = 4,62 cm2;

AS = 5 16 = 10,05 cm2;

Rck= 25 N/mm2; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm

2 ; =’= 3 cm.


;

d = 40 – 3 =37 cm;

Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block.

siamo nella regione 2 ossia calcestruzzo in campo plastico;

. La sezione è verificata.

Progetto: metodo semplificato stress – bloch

Progettiamo la sezione nell’ipotesi di rottura contemporanea del calcestruzzo compresso e del ferro

teso (k=0,259). Anche il ferro posto nella zona compressa sarà allo stato plastico, per quanto detto prima.

Le incognite sono B, h, As, A’s. Le incognite sono troppe, poiché disponiamo solo di due equazioni

di equilibrio: equilibrio alla traslazione orizzontale ed equilibrio alla rotazione. Dobbiamo fissare due

parametri.

Conviene fissare B e porre .

Scriviamo l’equilibrio alla traslazione:

sostituendo

u

spostando

Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro del ferro teso:

In fase di progetto poniamo Mu =Med

53

; poniamo :

Poniamo, per comodità di progetto, il copriferro , con c che assume il valore di 0,07 per d>B e c =

0,14 per d≤B;

;

;

;

Poniamo:

;

Come si vede lo stress- block non semplifica il progetto.

Esercizio 8

Progettare una sezione rettangolare sottoposta a un momento di 16.000 daNm.

Scegliamo i materiali:

Rck= 25 N/mm2; Acciaio B450C con fyk = 450N/mm

2 ; = 3 cm.


;

Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm. Scegliamo k=0,259 (rottura del calcestruzzo compresso e ferro teso in

campo plastico con deformazione pari al 10 0/00)

;

H=d+ = 44,06 + 3 = 47,06 cm 50 cm;

54

4.7 - Il Taglio nel Cemento Armato

Lo sforzo di taglio fa nascere delle tensioni tangenziali nella sezione. In una sezione rettangolare, le

tensioni tangenziali variano dal valore zero, che si ha sul bordo compresso della sezione, fino al valore

massimo, che si ha in corrispondenza dell’asse neutro. Dall’asse neutro fino al ferro teso, il valore della

tensione tangenziale rimane costante, perché il momento statico non varia poiché il calcestruzzo teso viene

ignorato nella resistenza della sezione e quindi non va conteggiato nel calcolo del momento statico.

La tensione tangenziale massima si calcola con:

Ponendo il rapporto:

; d*

che rappresenta il

braccio della coppia interna, ossia la distanza tra la

risultante degli sforzi di trazione nel ferro e la risultante

degli sforzi di compressione, si ha:

La tensione tangenziale non agisce solo sulla

sezione perpendicolare all’asse della trave (quella

mostrata nella figura precedente) ma agisce anche nelle

sezioni parallele all’asse della trave, come mostrato

nella figura seguente, dove, con dx si è indicata una

piccola lunghezza di trave in cui la tensione tangenziale

si può ritenere costante.

Se invece consideriamo un tratto di trave, che

poniamo, per comodità pari a 100 cm, in questo tratto

la tensione tangenziale avrà valore variabile perché, in

generale, il taglio varia a secondo la sezione in cui ci

troviamo. Tuttavia, noi possiamo considerare la

tensione tangenziale costante, prendendola pari al

valore massimo che essa assume in tale tratto, andando

così a vantaggio di stabilità. La somma di tutte queste

tensioni tangenziali, agenti nel tratto lungo 100 cm (1

metro), indicata con S, è data da:

Questo sforzo, detto sforzo di scorrimento

viene assorbito da un meccanismo a traliccio, composto

da bielle compresse di calcestruzzo e bielle tese di ferro

di armatura resistente a taglio. Quest’ultima composta

da sole staffe oppure da staffe e ferri sagomati.

Lo sforzo di scorrimento, sostituendo, è pari a:

55

Se usiamo contemporaneamente staffe e ferri

sagomati, lo sforzo di scorrimento S sarà suddiviso tra i due

tipi di armatura. Il progettista decide quanto sforzo di

scorrimento verrà assorbito dalle staffe e quanto dai

sagomati. Da tenere presente che la normativa italiana

impone che alle staffe sia assegnato almeno il 50% dello

sforzo di scorrimento. Se indichiamo con p la percentuale

attribuita alle staffe e indicando con Ssta lo sforzo di

scorrimento assegnato alle staffe e con Ssag lo sforzo di

scorrimento assegnato ai ferri sagomati, si ha:

;

Assumendo per d* il valore approssimato di 0,9d si ha:

;

Calcoliamo l’area di ferro che devono avere complessivamente le staffe nel tratto di 100 cm.

Considerando la biella di calcestruzzo compresso inclinata di 45°, il triangolo delle forze è isoscele, quindi si

ha Tsta = Ssta; l’area di ferro necessaria è data da:

(1)

Se indichiamo con nsta il numero delle staffe da mettere nel tratto di un metro, con nb il numero delle braccia

delle staffe, di solito pari a 2 e con ω l’are del ferro di cui è fatta una staffa, si ha:

; e quindi:

;

mettendo le staffe a distanza costante, tale distanza sarà:

;

Va calcolato anche lo sforzo di compressione nella biella compressa, perché è necessario verificare

che il calcestruzzo della biella non vada in crisi a compressione.

56

Per eseguire la verifica della biella di calcestruzzo è necessario calcolare anche lo sforzo derivante

dal traliccio formato con i sagomati.

Calcolo dell’area dei sagomati

Lo sforzo di trazione nei sagomati, disposti a

45°, è:

E quindi l’area dei sagomati:

Lo sforzo di compressione nella biella di calcestruzzo è:

.

Si può ora eseguire la verifica a compressione della biella compressa di calcestruzzo. Lo sforzo totale è:

Lo sforzo normale ultimo della biella è:

, con

resistenza di calcolo del

calcestruzzo.

Per la verifica deve aversi:

Armatura minima da regolamento.

La normativa prevede un’ armatura minima costituita da sole staffe, che, nelle zone prossime ai vincoli,

cosiddette zone di dissipazione, lunghe due volte l'altezza della trave per edifici in classe di duttilità "A"

e lunghe una volta l'altezza della trave, per edifici in classe di duttilità "B", deve essere scelta tra la

maggiore delle tre:

Passo ≤ 8 φ dove φ è il più piccolo diametro usato per le armature longitudinali considerate ai fini

delle verifiche.

Nel resto della trave va prevista anche un'armatura minima costituita da sole staffe, pari alla maggiore delle

tre condizioni:

3 staffe al metro

Passo

57

Per calcolare lo sforzo di taglio che tale armatura è in grado di sopportare, si parte dalla formula (1):

ponendo p=1, ossia assegnando tutto il taglio alle staffe, indicando T con Tr si ha:

Quindi, dove il taglio T è minore o uguale a Tr, basta adottare l’armatura da regolamento, dove T>Tr si deve

calcolare l’armatura necessaria a sopportare lo sforzo di taglio.

Esercizio 9

Calcolare l’armatura a taglio di una trave avente sezione 30x50.

Calcoliamo le armature minime a

taglio, previste dalla normativa, per

vedere se esse da sole bastano a

sopportare tale sforzo di taglio. Usiamo

Con staffe Ø 8, con wst =0,5 cm2.

Le tre condizioni da rispettare, nelle

zone dissipative, ossia in prossimità

degli appoggi, sono:

;

Passo ≤ 8 φ dove φ è il più piccolo diametro usato per le armature longitudinali considerate ai fini delle

verifiche. Nel nostro caso il passo deve essere ≤

Le zone dissipative hanno una lunghezza pari all’altezza della trave per costruzioni con classe di duttilità B e pari a due

volte l’altezza della trave per costruzioni con classe di duttilità A. Se assumiamo di essere in classe A (la scelta spetta

al progettista), tale lunghezza vale 2x50 =100 cm.

Nel nostro caso il passo più piccolo è di 11,75 cm. Arrotondiamo a 11 cm e vediamo che area di ferro abbiamo in un

metro di trave. Il numero delle staffe sarà:

L’area corrispondente è:

Lo sforzo di trazione che quest’area di ferro riesce a sopportare è pari a:

daN. Tale sforzo di trazione è uguale allo sforzo di scorrimento. La relazione che lega lo sforzo di scorrimento e la

tensione tangenziale è:

Da questa relazione possiamo calcolare il

taglio che genera lo sforzo di scorrimento S:

58

Quindi le staffe da regolamento non possono sopportare tutto il taglio. Dobbiamo calcolare l’armatura a taglio,

scegliendo se affidare tutto alle staffe o utilizzare anche dei ferri sagomati. Decidiamo di utilizzare anche ferri sagomati

ai quali affidare la differenza: cioè Tsag =20.000-15.046 = 4.954 daN, che arrotondiamo a 5.000 daN. Verifichiamo,

prima di procedere col calcolo di avere affidato almeno il 50% alle staffe:

Calcoliamo l’area dei sagomati.

=11.820 daN;

L’area dei sagomai sarà:

;

Adottiamo 2 Φ 14 pari a 3,08 cm2.

Dobbiamo ora vedere dopo il primo metro se sono sufficienti le armature da regolamento, che stabiliscono per la zona

centrale della trave, i seguenti valori minimi:

3 staffe al metro, con un’are, quindi:

Passo a :

Calcoliamo il taglio dopo il primo metro, con una semplice proporzione:

;

L’armatura minima in questo tratto è di 4,5 cm2. Calcoliamo il taglio sopportabile da quest’area:

Essendo minore di 12.000, non sono sufficienti le armature da

regolamento. Esse sono sufficienti ad una distanza, misurata dalla mezzeria della trave, pari a:

Il tratto da armare sarà pari a 2,50 – 1,00 – 0,93 = 0,57 m. arrotondiamo a 0,60 m. Non usiamo sagomati lontano dalla

zona di vincolo, ma solo staffe.

Calcoliamo l’area delle staffe:

; Il numero delle staffe sarà:

Il passo sarà:

Adottiamo un passo uguale a 13 cm. Il passo da regolamento è invece:

L’armatura a taglio della trave è mostrata nella figura seguente.

59

Tabella 1 - Area ferri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 0,28 0,56 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83

8 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,78 7,91 9,04 10,17 11,30

14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,23 10,77 12,31 13,85 15,39

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,09 20,10

18 2,54 5,08 7.62 10,16 12,70 15.24 17,78 20,32 22,86 25,40

20 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18.84 21.98 25,12 28,26 31,40

22 3,80 7,60 11,40 12,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01

24 4,52 9,05 13,57 18,10 22,62 27,14 31,67 36,19 40,72 45,24

Tabella 2 – coefficienti di progetto calcolati con ferro teso al 10‰ di deformazione e calcestruzzo al 3,5‰ (rottura del calcestruzzo)

fyd=391,3 N/mm2 (3913 daN/cm2) c = 0,07 (travi "alte")

(daN/cm2) u=0 u=0,2 u=0,4 u=0,6 u=0,8

Rck fcd t r t r t r t r t r

200 94 0,0050 0,2386 0,0063 0,2125 0,0084 0,1850 0,0126 0,1490 0,0251 0,1050

250 117 0,0063 0,2134 0,0079 0,1901 0,0105 0,1655 0,0157 0,1333 0,0314 0,0939

300 141 0,0075 0,1948 0,0094 0,1735 0,0126 0,1510 0,0189 0,1217 0,0377 0,0857

350 164 0,0088 0,1804 0,0110 0,1607 0,0147 0,1398 0,0220 0,1127 0,0440 0,0793

400 188 0,0101 0,1687 0,0126 0,1503 0,0168 0,1308 0,0251 0,1054 0,0503 0,0742

450 211 0,0113 0,1591 0,0141 0,1417 0,0189 0,1233 0,0283 0,0994 0,0566 0,0700

fyd=391,3 N/mm2 (3913 daN/cm2) c = 0,14 (travi "basse" )

(daN/cm2) 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Rck fcd t r t r t r t r t r

200 94 0,0050 0,2386 0,0063 0,2142 0,0084 0,1862 0,0126 0,1526 0,0251 0,1083

250 117 0,0063 0,2134 0,0079 0,1916 0,0105 0,1665 0,0157 0,1365 0,0314 0,0969

300 141 0,0075 0,1948 0,0094 0,1749 0,0126 0,1520 0,0189 0,1246 0,0377 0,0884

350 164 0,0088 0,1804 0,0110 0,1619 0,0147 0,1407 0,0220 0,1153 0,0440 0,0819

400 188 0,0101 0,1687 0,0126 0,1515 0,0168 0,1317 0,0251 0,1079 0,0503 0,0766

450 211 0,0113 0,1591 0,0141 0,1428 0,0189 0,1241 0,0283 0,1017 0,0566 0,0722

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