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VettoriVettori Finche’ il moto si svolge in una sola dimensione – moto unidimensionale,

moto rettilineo – non abbiamo bisogno di vettoriLa posizione e’ individuata dato il sistema di riferimento, e cosi’ pure tutte le

altre grandezze del moto.Posizione, velocita’ e accelerazione sono individuate da numeri con un segno,

che indica misura (grandezza), direzione (lungo la retta del sistema di riferimento) e verso (positivo se in direzione della freccia del sistema di riferimento, negativo se in direzione opposta).

Quando il moto si svolge in piu’ dimensioni – due o tre, fisicamente parlando – occorre un modo per specificare posizione, velocita’ e accelerazione, e specificarne grandezza, direzione e verso.

L’uso dei vettori consente di descrivere facilmente grandezze fisiche caratterizzate da misura – grandezza – direzione e verso.

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Sistema di riferimento cartesiano

Sistema di riferimento cartesiano

Come nel caso del moto unidimensionale, la prima cosa e’ avere un sistema di riferimento

Una possibilita’ e’ scegliere un sistema di riferimento cartesiano, composto da tre assi perpendicolari tra di loroNon e’ l’unica scelta, ed infatti vedremo

altri sistemi di riferimento – cilindrico, sferico…

Ogni asse ha il suo verso, la sua direzione e la sua unita’ di misura

L’origine O e’ data dal punto di congiunzione degli assi

Gli assi del sistema di riferimento sono convenzionalmente chiamati “x”, “y”, “z” e sono convenzionalmente ordinati (costituiscono una “terna ordinata”) seguendo le dita della mano destra “x” pollice, “y” indice e “z” medioSi, e’ lo stesso ordine del prodotto

vettoriale, non a caso…

x

y

z

O

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Vettore posizioneVettore posizione Dato un sistema di riferimento e’ possibile determinare la posizione di un corpo. Il vettore posizione x e’ rappresentato da una freccia che congiunge l’origine con il punto in

cui il corpo e’ situatoNon c’e’ niente di speciale nell’usare la lettera “x” per la posizione. Viene usata spesso

anche la lettera “r”, ma ogni altra lettera puo’ essere usata. Invece e’ importante usare il “grassetto” o una freccettina sopra la lettera, per indicare

che stiamo parlando della posizione come di una grandezza vettoriale La posizione x e’ misurata in metri. La misura della grandezza posizione e’ data dalla

lunghezza del vettore posizioneO viceversa, la lunghezza del vettore posizione e’ il valore della grandezza posizione

x

y

z NO

x

y

z SIx

R

a

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CoordinateCoordinate E’ possibile definire una posizione anche come un insieme ordinato di

coordinate x (x1, x2, x3) x (x1, x2, x3) – intendo dire che sono due modi equivalenti di indicare la

stessa grandezzax1 rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “x”, x2

rappresenta la proiezione ortogonale del vettore x lungo l’asse delle “y” e x3 rappresenta…

Date le coordinate e’ possibile disegnare un vettore Dato il vettore disegnato e’ possibile disegnare le coordinate

Un valore di x1, x2 e/o x3 uguale a zero significa che il vettore x:Non ha componenti lungo l’asse “x”, “y” e/o “z” E’ perpendicolare all’asse “x”, “y” e/o “z”Giace sul piano “y-z”, “x-z”, “y-z” oppure e’ “lungo la retta “x”, “y”, “z”, oppure

e’ nullo “Con i vettori si descrive un modello, con le coordinate si fanno i conti”

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Coordinate Coordinate Primo conto: grandezza del vettore (posizione, ma e’ in generale)

|x| = √ (x12 + x22 + x32) Secondo conto: angolo che il vettore forma con l’asse “x”

tg q = √(x22 + x32)/x1In due dimensioni diventa tg q = x2/x1

Terzo conto: somma o differenza di vettorix + y = z z (z1, z2, z3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3)x - y = w w (w1, w2, w3) = (x1-y1, x2-y2, x3-y3)

Se usiamo i versori i, j, k (vettori unitari – di lunghezza “1” - lungo l’asse ‘x’, ‘y’ e ‘z’) la scrittura x (x1, x2, x3) diventa piu’ coerentemente x = (i x1 + j x2 + k x3)

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Vettore spostamentoVettore spostamento Lo spostamento e’ sempre definito come la differenza tra due posizioni

in due momenti differenti di tempo: in formule x(t2,t1) = x(t2) – x(t1) La differenza tra due vettori e’ ancora un vettore Dati due vettori posizione x e a disegnati, possiamo disegnare lo

spostamento x-a (da a a x) e a-x (da x a a)

I vettori x-a e a-x hanno la stessa direzione e grandezza, ma verso opposto

x

y

z

x

aa-x

x

y

z

x

a

x-a

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Vettore spostamentoVettore spostamento Il vettore spostamento da a a x puo’ essere disegnato anche con gli

estremi alle due “punte di freccia” dei vettori x-a In effetti mentre a e x dipendono dal sistema di riferimento, lo

spostamento x-a non dipende dal sistema di riferimento.Mentre le coordinate dei vettori a e A sono diverse, cosi’ come sono diverse le

coordinate dei vettori x e X, le coordinate dei vettori x-a e X-A sono uguali.

x

y

z X

A

x

y

z

a

xX-A

x-a

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TraiettoriaTraiettoria L’insieme dei punti occupati dal corpo durante il suo moto x(t) al variare

del tempo e’ chiamato traiettoria. Una traiettoria rettilinea nello spazio puo’ essere scritta x(t) = x0 + a t x1Una traiettoria circolare nel piano “x-y” puo’ essere scritta x(t) = i r sin(wt) + j r

cos (wt)Una traiettoria parabolica puo’ essere scritta nel piano x-z x(t) = i (x0 + vx0 t )+

k (z0 + vz0 t + g t2 ) In generale la traiettoria puo’ essere scritta come x(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

E’ possibile una volta nota la traiettoria scomporla in piu’ moti unidimensionali – comodo per fare i conti.“proiezione” della posizione del punto sugli assi, ovvero posizione lungo l’asse

x, ovvero moto lunto Ad esempio il moto con una traiettoria parabolica puo’ essere scomposto in

due equazioni – sistema di equazioni – in formule:x(t) = x0 + vx0 tz(t) = z0 + vz0 t + g t2

Una traiettoria puo’ essere scritta come una serie di spostamenti.“al limite” gli spostamenti diventano infinitesimali“al limite” gli spostamenti sono tangenti alla traiettoria

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Velocita’ Velocita’ Avendo lo spostamento possiamo definire la velocita’ istantanea

vettoriale come la derivata dello spostamento rispetto al tempoIn formule: v(t) = d x(t)/dt

Visivamente: dx rappresenta un piccolo spostamento, e al limite e’ tangente alla traiettoria del moto.La velocita’ istantanea vettoriale e’ sempre tangente alla traiettoria.Si disegna come una freccia orientata che ha origine nel corpo – scrittura di

comodo, non formale “facendo i conti” e’ possibile determinare il valore delle componenti della

velocita’ derivando le componenti della traiettoriaIn formule v(t) = dx(t)/dt i + dy(t)/dt j + dz(t)/dt k vx i + vy j + vz ksi assume che i versori i, j, k siano costanti

Come nel caso unidimensionale possiamo definire la velocita’ vettoriale media, e la velocita’ scalare media e istantaneavm = (x(t2) – x(t1))/(t2– t1)vscalarem = ∫|d(x(t))| /T vscalare = |d x(t)|/dt

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AccelerazioneAccelerazione L’accelerazione e’ la derivata della velocita’

Accelerazione istantanea a(t) = d(v(t))/dt Accelerazione media am = ∫dt d(v(t))/dt / ∫dt = (v(t2) – v(t1))/(t2– t1)

“facendo i conti” abbiamo le stesse formule che abbiamo trovato per la velocita’:a(t) = dvx(t)/dt i + dvy(t)/dt j + dvz(t)/dt k

Visivamente c’e’ una differenza: l’accelerazione non e’ sempre tangente alla traiettoria

Si introduce il concetto di accelerazione tangenziale e accelerazione centripetaL’accelerazione tangenziale e’ orientata lungo la tangente e il suo valore e’

quello della variazione della velocita’ scalare (del modulo della velocita’). Conseguentemente se il moto si svolge a velocita’ in modulo costante – come

per esempio nel moto circolare uniforme – l’accelerazione tangenziale e’ nulla.L’accelerazione centripeta’ e’ orientata perpendicolarmente alla traiettoria,

lungo il raggio del “cerchio osculatore” e di modulo v2/R

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Accelerazione tangenziale e centripeta

Accelerazione tangenziale e centripeta

La velocita’ e’ sempre orientata lungo la tangente alla traiettoriaIn formule: v(t) = q(t) v(t)v(t) e’ il modulo del vettore velocita’q(t) e’ il vettore di modulo costante e unitario tangente alla Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, possiamo scrivere q(t) = i

cos(wt) – j sin(wt) L’accelerazione formalmente si scrive come a(t) = d(q(t) v(t))/dt

Ovvero: a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) La componente dell’accelerazione lungo la traiettoria e’ l’accelerazione

tangenziale e vale at = q(t) dv(t)/dt La variazione del vettore tangente alla traiettoria puo’ essere solo di

direzione; e la variazione di direzione non puo’ essere che perpendicolare alla traiettoriaNaturalmente esiste una trattazione piu’ formale…

Quindi a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) = atang + acentr