Gerberto e il de Mensura Fistularum

Costantino Sigismondisigismondi@icra.it

16 maggio 2006Giornata Gerbertiana

Istituto Nazareth

Musica e Quadrivio

• La musica sta all’aritmetica come l’astronomia sta alla geometria

Teoria musicale nei secoli• Tradizione pitagorica ripresa nel periodo

ellenistico: su incarico di Aristotele (384-322 a. C.) Aristosseno scrisse la storia della musica andata perduta

• Cicerone (100-43 a.C.) tratta alcuni argomenti nel Somnium Scipionis, ripresi da Posidonio (135-51 a.C.). Macrobio lo commenta nel IV sec. d. C.

• Calcidio enciclopedista del IV sec. d. C. nel commento al Timeo ne tramanda i temi al medioevo

• Boezio (480-525 d. C.) lascia il De Institutione Musica

L’organo idraulico

• Inventato ad Alessandria da Ctesibio (II sec. a. C.)

• Trovato un esemplare in uno scavo in Ungheria

• Il peso dell’acqua serviva a mantenere in pressione l’aria che poi fluiva attraverso le canne

La scala Pitagorica

• Sul monocordo

• Armonica fondamentale lunga L (es. do, ut)

• Quinta 2/3 L (es. do – sol)

• Quarta 3/4 L (es. do – fa)

• Tono (da fa a sol) 8/9 L

• Semitono (diatonico es. mi - fa) 243/256 Lfattore per passare da 64/81=(8/9)² (do – re e re- mi, una terza maggiore) a 3/4 (do – fa)

Suoni Armonici

• Sul monocordo sono tutti i sottomultipli secondo numeri interi della corda vibrante

• Nel flauto si ottengono soffiando con forza crescente, in modo che nel tubo si instaurino 1, 2 e 3… oscillazioni complete a frequenze 1, doppia, tripla… della fondamentale

Scala di CalcidioLa x 256/243 1.1852 384

Si b x 9/8 1.125 364 ½

Do x 1 1 324

Re x 8/9 0.8888 288

Mi x 8/9 0.7901 256

Fa x 243/256 0.75 243

Sol x 8/9 0.6666 216

La x 8/9 0.5926 192

Si b x 243/256 0.5625

Do x 8/9 0.5

Tabella di Michel Huglo sulla derivazione dei numeri musicali di Calcidio e Boezio dalle serie di 2^n e 3^n

Scala di Gerberto(minore naturale)

La x 9/8 1.1852 384

Si x 256/243 1.0535 341 1/3

Do x 1 1 324

Re x 8/9 0.8888 288

Mi x 8/9 0.7901 256

Fa x 243/256 0.75 243

Sol x 8/9 0.6666 216

La x 8/9 0.5926 192

Si x 8/9 0.5267

Do x 243/256 0.5

Equazione dell’Arpa a corde di uguale densità lineare e uguale tensione

Correzione di Bocca End Correction

per le canne d’organo• In una canna cilindrica di diametro d e

lunga L risuona in modo stazionario un’onda sonora di lunghezza

λλ=L+0.6=L+0.6·d·d

• Se la canna ha una apertura a tromba λ=L+0.85·d

Dalle corde pitagoriche alle canne d’organo

• Per canne con lo stesso diametro si applica la correzione di bocca che è indipendente dalla frequenza del suono (nota suonata)

• Queste correzioni sono necessarie per mantenere l’intonazione

• Se la canna di 384 unità suona il La1, λλLa1 =384+0.6La1 =384+0.6·d·d

• Per L=192 unità non suona il La2, ma una nota leggermente più bassa, poiché λλLa2= La2= λλLa1/2= 384/2 La1/2= 384/2 - 0.3·d- 0.3·d + 0.6+ 0.6·d ·d

Lunghezza effettiva della canna per il La2

0.6·d/2

Diametro 27.85 e stessa intonazione del Monocordo col La1 = 384

Le canne sono in colore rosso, sempre più corte delle corde

Rapporti tra le ottave (per il monocordo sempre=2)

La1/La2 2.095326

Si1/Si2 2.108759

Do1/Do2 2.115011

Re2/Re3 2.13129

Mi2/Mi3 2.150153

Fa2/Fa3 2.159462

Sol2/Sol3 2.183065

La2/La3 2.210742

Si2/Si3 2.243531

Do2/Do3 2.259916

Da un’ottava all’altra il rapporto aumenta in media

del ~ 6.25%

• Gerberto considera il passaggio da un fattore 13 + ½ ad uno di 14 + 1/3 +3/288dall’ottava inferiore alla superiore, entrambi fissati per tutte le note

• Ciò corrisponde ad un aumento fisso del 6.25%.

L’accordo tra il moltiplicatore di Gerberto e la correzione di bocca

moderna si trova con canne La1 di rapporto Ø/L = 1:13.79

La nomenclatura musicale usata è di poco posteriore a Gerberto

• È di Guido d’Arezzo (1032), dall’inno a San Giovanni

Soprano: Erminia Santi

Bibliografia

• Gerbertus de Mensura Fistularum, Madrid Biblioteca Nacional, ms 9088

• K. J. Sachs, Mensura Fistularum, Stuttgart-Murrhardt, 1970-1980

• C. Meyer, Gerbertus Musicus, in Gerbert l’Européen, Actes du Colloque d’Aurillac Mem. Soc. La Haute-Auvergne 3 (1997) pp. 183-192

• R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Pub. Philadelphia,1992 p. 489-490

• L. E. Kinsler et al., Fundamental of Acoustics, John Wiley & Sons, NY, 2000 p. 274

• D. E. Hall, Musical Acoustics, Brooks Cole, CA USA, 2002, p. 234

• F. G. Nuvolone, Gerberto Musico, Archivum Bobiense Studia V (2005)

• In italiano: A. Frova, La Fisica della Musica, Zanichelli BO (1999)