)

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II

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I

I

III

FRANCESCO MONGELLI

ELEMENTI DI PROSPEZIONE.PER L'ENERGIA GEOTERMICA

\( .

~ADRIATICA EDITRICE - BARI 1981

/1

J'

INDICE

Prefazione ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pago 9

Introduzione .........................................." 11

Cap. 1. Misure geotermiche .

1.1. Misure di temperature e gradiente .1.1.1. Profondità minima di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Prospczione superficiale " .1.1.3. Strumenti di misura .1.1.4. Cause di errore " .1.1.5. Misure di gradiente .

1.2. Misure dei parametri termici delle rocce1.2.1. Metodo assoluto di Birch e Clark .1.2.2. Metodo della sbarra spezzata di Lees-Beck .1.2.3. Metodo dell'ago di Von Herzen e Maxwell ' .

1.2.4. Metodo della sonda cilindrica di jaeger .1.2.5. Metodo della carota tagliata di Mongelli .1:.2.6. Valori e variazioni dei parametri termici .

Cap. 2. Correzioni al gradiente osservato .

2.1. Influenza della topografia .2.1.1. Trattazione matematica generale* .2.1.2. Caso stazionario .

2.2. Influenza delle variazioni climatiche .

2.3. Effetti della sedimentazione .

2.3.1. Sedimentazione improvvisa '.' .2.3.2. Sedimentazione continua* ' "2.3.3. Effetto di copertura .

Cap. 3. Flusso di calore '"

3.1. Perturbazione del flusso per rifrazione .

3.2. Flusso normale. Campo regionale .

3.3. Anomalie .del flusso di calore e loro separazione

13

13

1314151924

25

272931

3537

41

46

4649

51

52

58

586061

62

62

65

69

-6-

Cap. 4. Interpretazione delle anomalie del flusso pag 72

4.1. Caso delle rocce secche. Anomalie di corpi intrusiui " 72

4.1.1. Metodo della soluzione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. " 73

4.1.1.1. Dicco orizzontale; strato infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . .. " 73

4.1.1.2. Condotto; cilindro orizzontale infinito . . . . . . . . . .. " 77

4.1.1.3. Batolite: parallelepipedo rettangolo " 78

4.1.1.4. Laccolito , sfera \ " " 79

4.1.2. Metodo delle sorgenti " 81

4.1.2.1. Regime variabile. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. " .81

4.1.2.2. Regime stazionario : . . . . . . . . . . . . .. " 83

4.1.3. Metodo alle differenze finite " 85

4.1.3.1. Regime variabile: esempio " 85

4.1.3.2. Regime stazionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. " 89

4.1.4. Influenza di altri fenomeni connessi * . . . . . . . . . . . . . . . .. " 90

- 7

Appendice II: Richiami di Matematica * pago

II.1: La funzione degli errori .11.2: La trasformata di Laplace .B.3: La soluzione di Fourier e la trasformata di Fourier "

145

145145148

4.2. Fluidi ad alta Entalpia .

4.2.1. Campo termico generato dall'acquifero regionale * .4.2.2. Campo termico di particolari serbatoi .

4.2.2.1. Superficie inclinata .

4.2.2.2. Gradino .

4.2.2.3. Doppio gradino .

4.2.2.4. Esempio: i. campi geotermici Tosco-Laziali . ~ .

4.3. Fluidi a bassa Entalpia .4.3.1. Campo termico generale dell'acquifero regionale .

4.3.2. Esempio: la situazione italiana .

Appendice I: Lo stato termico della Litosfera* ',' .I .1: Condizioni termiche della Litosfera ai margini di piastre .I .1.1: Margini di accrescimento .

1.1.2: Margini di consumazione .

1.1.3: Margini di trascorrenza .

1.2: Perturbazioni termiche della Litosfera all'interno. delle piastre.1.2.1: Margini continentali .

I .2.2: Bacini di sedimentazione ........................•

1.2.3; Aree di stiramenro litosferico .

I .2.4: Aree di variazione di spessore litosferico .

I. 3: Lo stato termico della Litosfera nella regione italiana'

92

94

97

97

98

" 105

" 109

" 116

" 116

" 116

" 121

" 123

" 123

" 127

" 131

" 133" 133!\

" 136". 138

" 140

" 143

~::

..'l'

PREFAZIONE

Ho raccolto in questo volumetto il contenuto di un ciclo di cir­

ca quindici lezioni che da alcuni anni svolgo al "Post-Graduate Inter­

national Course on Geotbermlcs", che si tiene a Pisa sotto l'egida del­l'UNESCO e del CNR.

Per permettere la lettura 'ad una vasta gamma di studenti, il li­

vello della trattazione matematica è mantenuto pari a quello del bien­

nio di Fisica o Ingegneria; problemi che richiedono una maggiore pre­

parazione sono trattati in paragrafi segnati con asterisco.

Il contenuto segue la linea classica di un libro di prospezione geQ

fisica: Metodi di misura, Elaborazione dei dati, Interpretazione dei ri­, sultati.

Alla fine, sono state aggiunte due Appendici, dedicate soprattutto

ai .lettori dotati di una maggiore preparazione. L'Appendice I riguarda

i teirli della Geotermia Generale, che non si possono ignorare del tut­

to nella prospezione. qui i problemi sono impostati e ne è data solo

la soluzione, l'Appendice II contiene alcuni richiami di Matematica u­

tili per la lettura e l'approfondimento dei paragrafi segnati con asteri­

sco e dell'Appendice I, che è lasciato al lettore interessato.

- 11 -

INTRODUZIONE

Lo scopo della prospezione geotermica, applicata alla ricerca della

energia, è quello di individuare serbatoi di calore: questi possono esse­

re rappresentati da fluidi contenuti nelle rocce o dalle rocce stesse. Nel

primo caso si parla di fluidi ad alta (temperatura.> lS0°C), media (da

lS0°C a 80°C) o bassa (da 80°C a SO°C) Entalpia ed 'il calore viene

ottenuto estraendo i fluidi naturali; nel secondo, di rocce calde e sec­

che (> lS0°C) ed il calore viene estratto facendovi circolare artificial­

mente acqua immessa dalla superficie.

Per la piena validità del metodo geotermico, è necessario che il

calore si propaghi per conduzione in tutto il dominio interessato o al­

meno nella formazione geologica di copertura superficiale, che abbia u­

no spessore di almeno 100 m. Esso infatti è basato sulla applicabilità

dell'equazione di Fourier:

?: a2 T

aX 2a2 T a2T+--- + ---ay2 aZ2

1 ar----

k at (1)

dove T è.. la temperatura (in °C)

x.y,z sono le coordinate riferite ad un opportuno sistema

k è la diffusività termica del mezzo (in cm? /sec); k = K/p ., c

K è la conducibilità (in mcal/cm sec CC), p la densità (in g/crn")

e c il calore specifico del mezzo (in.callgOC)

t è il tempo (in sec ).

Poiché il metodo geotermico si attua generalmente mediante la

prospezione a piccola profondità ( ,...., 100 m), il suo ruolo è quello a)

di produrre delle mappe di gradiente o flusso termico superficiale, che

servono a delimitare le anomalie e quindi individuare le aree calde;

~) di prevedere le temperature profonde.

Nel metodo quindi si individuano tre fasi:

- 12 -

r,

1. esecuzione delle .mrsure

2. elaborazione dei dati osservati per l'eliminazione di effetti perturban­

ti

3. estrapolazione e/o interpretazione dei dati .corretti.

Capitolo 1

MISURE GEOTERMICHE

Per flusso geotermico' si intende la componente del vettore flusso

perpendicolare alla superficie terrestre. Se indichiamo con z la profon­

dità rivolta verso l'interno della Terra, nell'ipotesi di regime stazionario

vale il postulato di Fourier.

q=-K3T

3zK-G (2)

,1

dove q è il flusso di calore (in Jl cal/cm? sec o in mW/m 2)

G = 3T/3z è il gradiente geotermico (in mCC/cm o in °C/km).

Lo scostamento dal regime stazionario viene considerato come una

perturbazione sul gradiente.

La misura di flusso comporta quindi le misure' separate di K e di

G.

1.1 - Misure di temperatura e gradiente geotermico

1.1.1. .J Profondità minima di misura

La temperatura della superficie terrestre è regolata essenzialmente

dalla intensità della Radiazione Solare, dato che questa è circa 25.000

volte quella del flusso geotermico. Di conseguenza, la temperatura del­

la superficie terrestre segue le oscillazioni fondamentali della Radiazio­

ne Solare, secondo i due periodi: diurno ed annuo. Queste osciliazioni

si propagano all'interno della Terra ma, data la loro periodicità! non

hanno una grande penetrazione.

Se consideriamo la 'superficie terrestre come piana e rappresentia­

mo, per esempio, l'oscillazione annua della temperatura superficiale To

come un'onda sinusoidale del tipo

To = Tm + A sen w t (3)

- 14 - 15 -

1.1.2 - Prospezione superficiale

La profondità di estinzione dell'onda diurna è dj circa 1 m; per-

dove Tm è la temperatura media annua

A l'ampiezza -dell'oscillazione

w = 2rr/P; p"'it::,pertodo (365 giorni)

t il tempo contato '~' partire dall'equinozio di primavera,:,' I,

per determinare la .profondl~àdi estinzione bisogna integrare l'equazio-: . '\ -

ne di Fourier ' -

con la condizione ai limiti (3).

Si trova .che alla profondità z la temperatura è data da

Tz="Tm + Gz + A e-a z sen (w t - a z)· (5)

dove a ~ .,/rrikPSi ha quindi che l'ampiezza diminuisce secondo il fattore.expr-oz)

e che per

Pertanto, per una diffusività tipica k = 0:Olcin2 /sec e per l'on­da annua, si trova z ".~ 20 m. "

Dalla (5) si deduce che oscillazioni a periodo inferiore' (come quel

la "diurna) si estinguono prima. I 20 m rappresent~no quindi la profon­

dità' minima alla quale vanno eseguite le misure geotermiche.

Oscillazioni a periodo più grande, come ad esempio le variazioni

climatiche, sono considerate come perturbazioni.

Se alla superficie si trova un sottile strato di rocce perrneabili,

20 m vanno contati" a partire dalla base di questo strato.

(6)RT = Ro (1 + Ci T + f3 T2 + . . . )

I sensori generalmente usati per la misura della temperatura sono

termometri a resistenza.~.\; .Il termo-elemento viene collegato ad un Ponte di· Wheatstone me-

diante tre fili, in modo da eliminare la resistenza dei lunghi cavi che

vanno nel" sottosuolo. Infatti, come si vede dalla Fig. 2, con un col­

legamento a due fili la resistenza. 2r dei cavi grava tutta su un braccio

del Ponte e interviene nella relazione di equilibrio; con un collegamen­

to a tre fili. ed il nodo K spostato ad un capo del termoelemento, le

resistenze' r .gravano su due bracci diversi e si elidono.

Cometermo-elementi, si usano resistenze di Pt o Termistori.iche

vengono .racchiusi in contenitori metallici resistenti alla pressione.

Le termoresistenze di Pt per misure geotermiche sono sul merca­

to' sotto forma di spiraline annegate in vetro duro o ceramica, ,av.enti

una resistenza Ro' di circa 100 Ohm a O°c. La loro resistenza varia

in funzione della temperatura secondo la relazione

tanto, misure- simultanee, eseguite a profondità di pochi metri, differi­

scono dal valor medio annuo tutte della stessa quantità. Il confronto

di queste temperature può servire, in casi di forte flusso di' calore, adelim'ltare' anomalie termiche; esse sono dell' ordine di qualche °c. "

, Nel caso di misure fatte in giorni diversi, per" ridurle tutte allo

stesso giorno, per esempio quello iniziale, basta misurare le variazioni

temporali di temperatura in alcune stazioni base, distribuite opportuna­

mente sull'area' da investigare, durante tutto il periodo della prospezio­

ne, e detrarle dalle temperature osservate.

La Fig. 1 rappresenta un esempio di applicazione di questo me­

todo sui Colli Euganei.

'1.1.3' - Strumenti di misura

(4)

2---

1000

. 1 01' .=---'

k ot

2rr

ò2 T '

OZ2

z = vi rr/kP si ha e-2rr

.1

c)

rt

R1(RT + r) :::::'03-+ r) Rz.; ~ LJ-. ' ~ .:: r

:R1 R4 = n, R3

E •

- 17 -

a)

Fig. 2 - Ponte di Wheatstone da .campagnà .(c)

R1 (RT + 2r) = R Rz

'<:,;

E

E

l

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- 16 -

I[

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lt

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ll

- 18. - - 19~ .J: :.

/

(7)

1.1.4 - Cause di errore

re a qualche' O.OOl°C. Al contrario, a causa dell'elevata resistenza dei

fili, che abbassa l'intensità del segnale di uscita, è praticamente impos­

sibile il loro uso in pozzi geotermici.

dove T è la temperatura osservata al tempo t contato a partire dall'in

terruzioneT00 è la temperatura di equilibrio o temperatura di ro~cia vergine

C è una costante.Da un punto di vista pratico, se il pozzo è eseguito espressamen­

te per misure geotermiche, si può aspettare che esso torni all'equilibrio.

Se per altre ragioni non è possibile attendere, facendo misure ripetute

si possono determinare T00 e gli altri parametri della (8).

Per la ricerca di fluidi a bassa Entalpia' hannovgrande utilità le

temperature osservate a fondo pozzo (BHT) parzi~ì~':o totale durante

(8)t1T - T = C In (1 + - )

00 t

a) Disturbo causato dalla perforazione. La perforazione genera un

disturbo di temperatura, a causa del calore sviluppato dal trapano; ma

se la circolazione del fango è efficace, questo calore. viene portato al­

la superficie e l'effetto. globale è generalmente quello di raffreddare le

pareti del pozzo nella parte inferiore e di riscaldarle in quella superio­

re. Pertanto, se si fanno misure di temperatura immediatamente dopo

, I'interruzione della perforazione, si osservano delle temperature quasi

. costanti lungo il pozzo.Il tempo necessario per riottenere la temperatura di equilibrio in

ogn~:.; punto del pozzo è di circa 20 volte il tempo t1 che quel punto

è stato interessato dalla circolazione del fango, ed è regolato dalla re­

lazione

La determinazione accurata di Ro, Cl e {:J viene fatta mediante ta­

ratura per confronto con un. termometro campione in bagno. termosta­

tico. In media, n' -coefficiente Cl è dell'ordine di 0.4% e (:J è molto piç

.colo, le temperature possono essere determinate con la sensibilità di al­meno O.OloC e la precisione di O.l°C. - ..

. \ .La caratteristica fondamentale delle resistenze di Pt è la stabilità,

per cui richiedono solo una taratura saltuaria,

I termistori per misure geotermiche hariu? resistenza variabil5~ tra

alcune migliaia a qualche decina di migliaia di Ohm a ·O°C. La loro re­

sistenza varia' in funzione della temperatura assoluta secondo la relazio­.ne

RT = n, e~(1/T- lITo)

. ffici ., 1 dRIl coe iciente terrmco e Cl = -R ._-dT

La determinazione dei parametri Ro ed Cl anche in questo caso

viene fatta 'per confronto. Il coefficiente Cl è dell'ordine del -4%; le

temperature possono essere determinate con la sensibilità di O.OOl°Cela precisione di O.Ol°C.

Purtroppo i termistori non hanno stabilità: la curva di taratura

't~nde a 'spostarsi in genere parallelamente a se -stessa, per cui è richie­

sto un controllo sistematico all'inizio ed .alla 'fine di ogni campagna dimisure.

Per misure a grandi profondità vengono usati termometri ad Hgo ad espansione metallica differenziale.

. l primi vengono racchiusi in contenitori metallici' in numero pa­

ri, di cui la metà capovolti, in modo da mediare gli effetti di eventua

li urti sulle colonnine di Hg. La precisione raggiunta è di O.l°C.

Nei secondi si sfrutta l'effetto della dilatazione termica dei metal-'

li; la sensibilità è dell'ordine di 1°C e vanno opportunamente tarati.

In laboratorio vengono preferite le termocoppie a causa della lo­

ro prontezza, linearità di risposta ed elevata sensibilità che può arriva-

r

·t

l

20 -

:.J:.,.:

le perforazioni petrolifere. Si tratta .di misure singole eseguite general­

mente dopo aver·: fatto circol.are il fango per un certo tempo te edaver estratto le aste "di .perforazione. Se te è noto, nell'ipotesi che il

disturbo sia dovuto alia 'pifferenza fra la temperatura del fango alla

superficie e quella di roccia vergine, è possibile apportare una correzio

ne al singolo valore osservato per ottenere T00' data da

8T = m [(1 - a) To + G • 'z -:- {:3 • A sen ti T] In (1 + te/t) (9)

- 21 -

To ed A sono forniti dalla Rete Meteorologica Nazionale..

b) Disturbo causato dalla tubazione.E' stato osservato che il metallo della tubazione produce un. di­

sturbo di qualche O.l°C in corrispondenza degli estremi e delle riduzio

ni di diametro; per evitarlo è sufficiente eseguire la misura ad una di­

stanza dai punti suddetti di almeno 50 volte il raggio del poz~o.

c) Correnti convettive nel pozzo ..Poiché in un po,?;zo stabilizzato la temperatura aumenta .con la

profondità, il fluido che generalmente riempie il pozzo può essere sog­

getto a regime convettivo. La possibilità che si instauri tale regime di­

pende, oltre' che dai parametri termici e dinamici del. fluido, anche dal

raggio del pozzo, nel senso che i pozzi a raggio più piccolo sono .più

stabili.La convezione ha l'effetto di uniformare le temperature; in par­

ti~alare' nel pozzo -essa si esplica sviluppando celle convettive aventi ladimensione verticale alcune volte il diametro del. pozzo. La temperatu­

ra è all'incirca costanté in ogni cella e subisce un salto da una cella all'altra; ne risulta un andamento -termico a gradini (Fig. 4) n cui gra­

diente medio totale non si scosta molto da quello. vero.'[

.t

dove m = O.~ in media;

a e {:3 per l'Italia valgono rispettivarnente vz e 1,5

To è la temperatura media annua superficiale

G è il gradiente geotermico che. può essere assunto col 20% di pre­cisione

A è l'ampiezza dell'oscillazione termica annua superficiale

w T è la fase della variazione termica annua superficiale, contata apartire dall'equinozio di primavera.

Il tempo te in generale varia con la profondità; per l'Italia esso è. rappresentato in Fig. 3.

te (h) •

)

5

1

1000 5000 z(m)Fig. 3 - Tempo di circolazione in funzione d:lla profondità

°C'

oO

OO

Oz

Fig. 4 - Correnti convettive nei pozzi

". f ;) ".::~ :: • : :. • I

r./

- 22 - - 23 -

dove c e p sono rispettivamente il calore specifico e la densità del­l'acqua

K la conducibilità termica del complesso solido-fluido.

La: validità dell'equazione (10) comporya che la temperatura abbia

un andamento esponenziale con la profondità. Infatti essa è del tipo

. ~ .J: .~.

Purtroppo, generalmente le celle non sono stabili in dimensione,

:per cui neanche' le:. ,temperatur~ osservate sono stabili.

Per .ovviare afùtti'<quesri inconvenienti conviene:1. appesantire il fango ,~.

2. ripetere le misure nel tempo ed a diverse profondità parziali.\

d) Misure in mezzi porosi c,

Il movimento dell'acqua presente in mezz~ porosi influenza forte­

mente il flusso di calore che arriva alla superficie, per esempio, uiià v~

-locità di filtrazione verticale v di 0.3 m/anno attraverso uno strato con

una differenza di temperatura di 10°C, produce una perturbazione allasuperficie di circà 10 )lcallcm2 sec.

Nell'ipotesi di flusso verticale stazionario, l'equazione di Fourier vascritta sotto la forma:

dove p = cp v • L (Fig. 5), ed L è lo spessore dello strato in cmK

:avviene la convezione.

è

(13)

D'altra parte, in questa

situazione il postulato di

Fourier, tenendo conto del­

l'''energia termica interna"

del fluido, diventa:. dT: . .

qt =-K- + cpv(T-T')dz (12)

'1(;

.Fig. 5 - Temperatura in un mezzo poroso

dove T' è la temperatura al­

la quale l'energia interna èzero. Si può assumere T' =

= O°C.

La (12) tenendo conto

della (11), dà:

_ sx [ (T2 - Tl)exp (pz/L). ]q - --- T

" t L exp P-l

Questa, quando v -? O, tende a - K(T2 -Tl )/L, cioè il flusso

tutto conduttivo; ma quando è .v *" O, il flusso conduttivo è

o T 1 T2

z

L

)

(10)cp dT

----v--' =0K dz

d2T

dZ2

·e per valutarIo è necessario conoscere p, L, T2 --' TI e inisurare.K.Secondo .la (12), se si riporta liT/liz in funzione di T, si 'ottiene

una retta avente pendenza p/Le intercetta ..,..' q/K. Inoltre, ponendo

nella (13) z = O e T = TI 'si ha: .' ,

y" - a y' = O

che ha come integrale generale

T = Cl eaz + C2

e integrata con le condizioni ai Iimiti

. qc =pK---L

T2 - T l

expp-lp z )

. exp ( -L (14)

T = TI per z = O e T = T2 per' z = L, dà

IT2 - T 1 qt L

e f3z/L - 1 - - +,T1T = (T2 - T1 ) (p ) + T l (11) exp $-1 s.xe - l'

- 24 - 2,5 -

!.J" ,

dove T 1 è la temperatu!a al tetto dello strato. Questa analisi è valida o

solo se il flusso dell'acqua è ~erticale.

°C/KmG

20 25 30 35

Purtroppo, non è facile trovare suoli omogenei e/o indisturbati per

cui, compatibilmente con .la convenienza economica, le distanze d ven­

gono ridotte.

Solitamente, i risultati delle misure di temperatura e di gradiente

vengono presentati in due grafici affiancati (Fig. 6) da cui si possa ve­

dere, oltre all'aumento della temperatura con la' profondità, 'la costan­

za o le variazioni del gradiente. Se queste variazioni superano la preci­

sione delle misure, ne vanno ricercate le cause.T

°14 16 18 20 22 C

(15)

quindi la (14) diventa.

~" . {3I( (O-qt L ) {3 zq _0"""'_- --- + T1 exp-

c ". "-Lo {3 K L

o ,Y {3z {3z=(q -T1 - - ) exp - -

t L L

\

1.1.5 - Misure di gradiente.

Il gradiente geotermico G fra due punti a distanza d in un poz­

zo verticale si ottiene dividendo la differenza di temperatura .1T, os­

servata fra i due punti, per la loro distanza, cioè

In aree geotermiche, la prospezione viene, eseguita solitamente in

pozzi da 100 m in cui vengono immerse 3-4 termoresistenze alla di­

stanza di circa 25 m l'una dall'altra. In pozzi di studio questa distan­

za si può ridurre a 5 m.

La precisione della misura di gradienti' dipende, oltre che da quel .

la della misura di temperatura, anche dalla distanza. Più precisamente,

la precisione della differenza di temperatura corrisponde alla sensibilità

strumentale; quindi ha una precisione superiore a quella della singola

misura.

E' owioche in un suolo omogeneo indisturbato, aumentando d

e conservando la precisione delle misure, aumenta la precisione di G;

infatti, facendo la derivata logaritmica della (16) e prendendo i valori

assoluti si ha:

G = .1T/d

\

~\ -,

\\''\

\-J.\'

100

200~:,;

I parametri necessari ad una prospezione geotermica sono la con­

ducibilità K, la diffusività k ed il calore specifico c, La conducibilità è

1.2 - Misure dei parametri termici.

z(m) z~m)

Fig. 6 ::- Rappresentazione della temperatura e del gradiente in un pozzo.

I 'valori di G osservati in regioni non interessate da fenomeni en-

dogeni vanno da 20 a 40 °C/km; in aree geotermiche sono stati esser

vati valori anche, 10 volte più grandi. In quest'ultimo, caso, eventuali

perturbazioni .del campo termico si possono considerare trascurabili 'e"

in un suolo omogeneo, una mappa delle curve di isogradienti è piena­

mente soddisfacente alla necessità' di delimitare in superficie un'atea eal­

da (Fig. 7).

',o(17)

(16)

l or,.]l +o(.1T)

.1Tj_oGG I =

..-~

- 26 - - 27 -~J: :.

~:\;

1.2.1 - Metodo assoluto di Birch e Clark.

Questo è il metodo per eccellenza che utilizza, in regime stazio­nario, il postulato di Fourier, esso' infatti consiste nel misurare il flus-

so di calore attraverso una piastra del campione di rocda. .

. L'apparecchio consiste in un blocco riscaldante A, mantenuto po­

chi gradi più caldo di un blocco raffreddante B; tra questi è inserito

il campione di spessore s (Fig. 8). Un anello di guardia è' riduce' ~l minimo le 'perdite laterali.

In condizioni stazionarie, la conducibilità è data da:

(18)s~T

K=q/---,-

necessaria per il calcolo del flusso geotermico q, la diffusività per la

valutazione dei' fenomeni termici perturbanti in regime variabile, il calo

re 'specifico per la stima del calore accumulabile nelle rocce, specie nelcaso di rocce calde e secche.

Esistono metodi di misura che utilizzano la propagazione del calo­

re in regime stazionario e metodi in regime variabile; i primi danno so­lo K, i secondi K,k e c.

La misura ideale dovrebbe' essere quella eseguita in situ, ma essa

risulta tanto laboriosa, ch~ si preferisce operare in laboratorio sucam­

'pionì nei quali si cerca di ripristinare le condizioni originarie di umidi­tà 'e temperatura.

Tuttavia esistono rocce, come le argille, per le quali questa opera­zione è veramente difficile.

Vari metodi sono stati proposti per la misura dei parametri ter­mici; qui esporremo solo i più significativi .

0,5 339.

~/ .

• J21) ~ S.Casc/ono

Linee di iso-gradientetermico (0C110m)

D.

l

Fig. 7 - Esempio di prospezione del gradiente geotermi~o (da Burgassi et al.)

dove q è il flusso di calore fornito da A " ':.: .,'

~T è la differenza di temperatura misurata agli estremi 'del cam-'pione.

- 28 - - 29 -

:- .J~ .'. •

. ": X S~Te = ~Tl + ~T2 + ~T3 =.qe (. K

e+ K); (19)

Assumendo che xl2 resti costante, per l'esperienza -Ò. con l'Azoto si.

ha similmente:

(22)

(20)

(21)

~T

D x-+-x, x,

~Te __s_

..~ K~Ta _~

qa K

dT .Ko~·

x s)(- + - .~Ta = qa Ka

. K

Eliminando x fra la (19) e la (20) si ha:

che permette il calcolo di K.

La precisione di questo metodo è di 1-2% .

1.2.2 - Metodo della sbarra spezzata di Lees-Beck.

Trattasi di un metodo relativo in regime stazionario. Il dispositivo

consiste in due sbarrette cilindriche di ottone, lunghe alcuni centimetri

è '~'venti un diametro pari a quello del campione da esaminare:· Poiché

generalmente i campioni provengono da carotaggi che hanno misure

"standard", o si dispone di una serie di coppie di sbarrette di diverso

diametro, .o si riducono tutti i campioni da esaminare ad un 'unica di­

mensione.

Ricavato da una carota un disco sottile, lo si pone tra le due sbar

re; la superficie superiore di una sbarra viene riscaldata e quella inferio

re dell'altra viene raffreddata, mentre la temperatura viene osservata ad

intervalli regolari in ciascuna sbarra con la precisione di O.Ol°C (Fig.

10).

Quando viene raggiunto lo stato stazionario, l'equazione che rego­

la la trasmissione del calore in questo sistema è

da cui, nota la differenza di temperatu­

ra ~Te fra le due superficie che strin-

. gonoil campione, si. ottiene:

T

\

. Kh

C .. "o:: .....

s

A

B

B

A

x/2

1S'

+-x/2

Il

Xqe __~Tl =~ 2

qe • SKh . Ll.T2=~

:; xqe _._

K Ll.T3 =~ 2

Fig. 9 - Triplo strato

La (18) rappresenta l'esperienza solo in

prima approssimazione, perché la tra-

. smissione del calore è anche influenzata

dalla resistenza di contatto esistente al­

le superficie del ~ampione. Infatti, .. per

quanto queste siano levigate, non si può

mai ipotizzare una loro completa aderen

za al contatto' ,~on i corpi A e B.,

Per tener conto di questo, Birch eClark racchiudono tutto lo strumento in

F· 8 M cl B· h ci 1 una campana riempita (dopo aver ·fatto19. - eto o Ire e ark

il vuoto) una volta di Eli? ed una voltadi Azoto (gas a conducibilità nota K e e Ka) ed eseguono due volte la

stessa esperienza. Si tratta quindi, ogni volta, di un sistema a tre 'stra­

ti (Fig. 9) per il quale, indicando con ~Ti la differenza di temperatura

attraverso ciascuno strato, si ha per l'esperienza con l'Elio:

.\

'\

- 30 - - 31

(24)r 2_._-

e 4ktQ

8(7T kt)3/2T= -

lità di 14.7' mcal/sec ~ecoC alla stessa temperatura.

Di questo metodo sono state proposte varie modifiche che assicu­

.rano u~a precisione del 3-4%. Esso però è molto laborioso, sia perchéimpone una serie di misure in regime stazionario, il che implica un

tempo piuttosto lungo, sia per l'accurata preparazione dei dischi. Al

momento, esso è il metodo più usato quando si vogliono misure mol­

to accurate, e sostituisce il metodo di Birch e Clark come metodo di

riferimento. Però nella prospezione geotermica, si preferiscono metodi

.più rapidi, cioè in regime transitorio, anche se meno precisi.

Questa si può interpretare come la temperatura in un punto P(x,: ~', : .' '. -

y,z) di un solido infinito dovuta alla quantità di calore Qp c generata

. "

1.2.3 - Metodo dell'ago di Von Herzen, e Maxwell.

Questo metodo, assoluto, in regime transitorio, viene usato per roece morbide come le argille.

. L'apparecchiatura. consiste in un ago' (simile ad un ago per flebo­

clisi(.\; .avente diametro da 1 a 2 mm e' lunghezza da 6 a '10 cm, nel

cui interno è disposto un' filo elettrico riscaldante ne! senso della lun­

ghezza, e? al centro un piccolo termistore. Una volta' inserito a pres-.sione nel campione (generalmente una carota), l'ago viene riscaldato e

viene registrato l'aumento di temperatura; tale aumento dipende dallaconducibilità del mezzo circostante.

Un ago siffatto si può considerare come una sorgente' lineare di. calore in un mezzo infinito.

Per ottenere l'espressione del campo termico prodotto da una sor­

gente lineare, partiamo dalla constatazione che l'equazione' (1);i ~: sod-.disfatta da

(23)Ko x,-+x--x, x,

dati in un grafico (Fig. 11), essi dan­

no una retta la cui pendenza dà

il rapporto Ko/Ks.La conducibilità dell'ottone

viene determinata con la stessa

apparecchiatura, usando come

campioni due serie di dischi, una

di quarzo fuso, che ha una con­

ducibilità di 3.28 mcal/cm secoC

a 30°C, ed una di quarzo cristal­

lino con le, facce parallele all'as­

se ottico, che ha una conducibi-

~T =D.R = dT/dx

dove Ko è la conducibilità dell'ottone

dT/dx è il gradiente nelle sbarre di

ottone

~T è la differenza di temperatura

tra le due superficie di ottone

'che stringono il campione

D e K, sono rispettivamente lo spes­sore ·è. .la conducibilità delcam

pione

x e Kc lo spessore e la conducibilità

del fluido di contatto.

. La (22), anche se è nota la con­

ducibilità dell'ottone Ko, .contiene anco­

ra tre incognite: Ks, x e Kc ; essa si può

riscrivere sotto la forma

e D. Riportando questi

DFig. 11 - Rappresentazione dei risultati

nel metodo della sbarra spezzata

Fig. 10 - La sbarra spezzata

Ripetuta l'esperienza con una serie di almeno tre dischi della stes­

sa roccia aventi differenti spessori, varieranno nella (23) i valori di~T

dT/dxR'

[T1 t t dTJdx

T2 ~(

\ rT 3' ~///~x/2

.1 !

~T l D

LT4W$///101x/2

.---

- 33 -· - 32 -

J

z

Il campo termico generato da una sorgente lineare istantanea, si

ottiene integrando la (24). Se si assume che la sorgente è infinita e pa­

, ralle1a all'asse z si ha:

istantaneamente al tempo t = O in un punto (x', y', z') posto alla di­I

stanza r = [(X-X')2 + (y - y'? + (z- Z')2]2 da P.

Q prende il n~mè-intensità della sorgente.

La temperatura generata da una sorgente puntiforme istantanea che

emette invece al tempo t'. è, per t > t':\

x

P(x,y,z)IIIII

I f/ J

/ IR I<, J

'J

Vl-It::vEfs

P'( ,dz'k x ,y',z')r

~ I I l •

(26)

(25)

dz'

r 2

4k(t-t')e

1: e -r2

/4 k tQ8 (7T kt)3/2

Q8 [7T k(t - t')]3/2

T=-

T= --

In~: definitiva la (27) diventa:

Fig. 12 - Sistema di riferimento per una sorgente lineare

,I

dove r è la distanza tra P e la sorgente puntiforme di intensità

Q.dz' situata a z' lungo la linea (Fig. 12). Qpc è la quantità di calo­

re liberata istantaneamente per unità di lunghezza della linea.

Dalla (26) si ottiene:Q

T = 4-7T kt- [(x-x')2 + (y_y')2] /4kt

e (28)

Con la sostituzione z~z = f3 , l'integrale diventa2 kt

Gauss della distribuzione degli errori di osservazione, cioè

Appendice n.n

1:

Se supponiamo che la sorgente emetta con continuità il calore

q p c per unità di tempo e unità di lunghezza partendo al tempo t =O,

la temperatura al tempo t è data da:

QeT = 47T3/2kt

(x-x'? + (y_y,)2

4kt

e - f32 df3

100 - (z-z')2

e 4kt

-00

y'w

z'-zd( 2y'kt )

(27)

quello di

del tipo (v.[ e-

R2q 4k(t-t') dt'

; O~ t' ~ tT=47Tk t - t'

dove R2 = (x - X')2 + (y _ y')2.

R2Col cambiamento di variabile = u la (29) diventa

4k(t-t')

(29)

Nell'Appendice II.l. sono riportate alcune proprietà di questo m­

tegrale e di altri da esso derivati.

-'-34 - - 35 -

1.2.4 ..:. Metodo della sonda cilindrica di [aeger.

Questo è un metodo assoluto in regime transitorio, che viene usa­

to per misure in situo L'apparecchiatura consiste di un cilindro (pieno)

.di ottone, avente un diametro di 1 cm inferiore a quello del pozzo,

ed una lunghezza di 20-30 volte il diametro per poterlo considerare in­

finito. Esso è riscaldato mediante un avvolgimento elettrico e porta al

centro un termo-elemento per la misura della temperatura.

La teoria di questo metodo è quella di un mezzo infinito, limita­

to internamente da un cilindro circolare di un perfetto conduttore, che

emette un flusso c~stante Qc per unità di tempo per unità di lunghe~­

za, attraverso la resistenza di contatto tra la sonda ed il mezzo. L'au-

. mento di temperatura della sonda è espresso da una formula piuttosto

,complessa ma, anche in questo caso, per valori del tempo sufficiente­

mente grandi, essa può essere sviluppata in serie ed espressa mediante

la relazione

~:; Qc [4kt . a2

a4

]T = -- In -- + A + B - + C -.- +. . . (32)41TK a2 kt k2 t 2

dove a. è il raggio del pozzoA,B e C costanti che dipendono dai parametri termofisici del si­

stema.Anche in questo caso, rappresentando le temperature osservate in

funzione del In t su una carta semilogaritmica, si ottiene una retta la

cui pendenza dà Q/41TKe quindi K.Il tempo necessario per raggiungere il tratto logaritmico dipende SQ

prattutto dal raggio a, per cui, mentre è dell' ordine- di 1 min per

l'ago, per. una sonda di 4-5 cm di raggio è di circa un'ora (Fig. 14).

Molte precauzioni vanno prese per impedire perdite. di calore; lon­

gitudinali, moti convettivi nel fluido che riempie l'intereapedine, l'eva­

. porazione del fluido stesso, perdite di isolamento elettrico per l'alta

pressione, ed altro. Tutto ciò rende il metodo di non facile uso in

campagna.

(0)

O· at(m)1 2 .3 4

o '.....,... , l !. ','J ~

T = Qc In t + C + . . . . (31)

:J".

Fig. 13 - Rappresentazione dei risultati nel metodo dell'ago

'q' jOO e-u q R2

T=-.--· -- du=--- Ei(--)41T k ~ u 41Tk 4kt

4kt

dove Ei è il simbolo ~èll'.Int~~rale 'EJs:one~:iale

. e- ~i (- a) = _ -- duo

. u. . a c,

Per piccoli valori di a, cioè per valori. di t sufficientemente gran­di, la (30) sviluppata in serie dà:

dove Qc =. q p ce Cè una costante.

Se si riportano alcuni dei valori di temperatura registrati su una

carta sernilogarirmica con lnt sulle ascisse, si ottiene una retta la cui

pendenza dà Qc/41TK da cui ri ricava K (Fig. 13). L'esperienza dura

3-4 minuti e la precisione di questo metodo è del 2-3%.

l\

I

I

l\

il!

Tf~1 -: T(OC)

li 1

,i l .5 -f .I! . .5

;l

il}il

, ,~ 36 -

..,,,I

- 37 -

Fig. 15 La call;pta tagliata

si può calcolare c.

Questo metodo "è stato utilizzato in laboratorio, usando sonde aventi raggio di 4-5 rnm e lunghezza 15-20 cm, per ricavare tutti e tre i

parametri termici di grossi campioni di argille nei quali, come nel ca­

so dell'ago, è possibile introdurre la sonda solo a pressione e assicurar;

do cosi un ottimo contatto termico (h = O).

Esistono anche altri metodi per elaborare le temperature 'osservate

in questo tipo di esperienze, ma essi sono meno accurati e più laboriq

si.

1.2.5 - Metodo della carota tagliata di Mongelli.

Si tratta di un metodo assoluto in regime transitorio. La carota

,vie?e tagliata in due parti perpendicolarmente alla generatrice del cilin­

dro, e tra di esse viene posto una spirale di filo elettrico molto sotti-

.~:\-adl~ le, avente lo stesso diametro del carnpiq

ne. Alla distanza di 1-2 cm dal t~glio,

il più internamente possibile, è posto un

terme-elemento molto sensibile. Per ri­

durre al minimo la resistenza di contat-:

to fra l'elemento riscaldante e le facce

del campione e le perdite di calore la­

terali, il campione cosi preparato è com­

presso con un mar~inetto fino a 2-3

Kg/cm? ed immerso in materiale isolan­

te (Fig~ 15).

Ad un certo istante si inserisce l'a­

limentazione della spiralina e la registra­

zione della temperatura; l'esperienza du­

ra circa 1 min, con aumenti di temperatura dell'ordine di 10C.

(33)

t(sec)

Kp • c

+ In t + 2h .J

102

k=

4k

a2

Fig. 14 - Rappresentazione dei dati nel metodo della sonda cilindrica

T = o, r41f K ....ln

Però questo metodo offre la possibilità di ricavare gli altri para­

metri della roccia k e c. Infatti la (32) si può anche scrivere:

dove h = 2 1f RK

R è la resistenza termica di contatto per unità di lunghezza.

Mediante la,(33), nel caso che sia h '= O, dal valore dell'intercetta

sull'asse In t si può ottenere la diffusività k del mezzo.Infine, 'dalla relazione

°c

,j:i

! l,l

1; t

'I!I

IlI

l~il \~

li

Il:11

,j

~ !

l

d

- 38 - - 39 -

(35)

(36)

r-(x-x'),dt'q 4k(t-t')T=

2 Y rr ke

(t-t')1/2O

Questa, integrata per parti, diventa

(x-x,)2q (x-x') x-x't -

4ktT=q (__ )112 e - erfc1fk 2k 2y kt

Ponendo nella (36) q p c = Qc ; k p c = Ke x' = O si ottiene

{

'x2 ~

Q 1 kt 1/2 - -- 1 1 x 2 1/2T= _c l x] --=-(-) e 4kt --erfc-[(-) Jl

K Y 1f x 2 2 2 kt ;)

(37)

partire da t = O, si ha:

che è del tipo

(34)- (x-x,)2/4 k t

eq

2 Y 1TKt

Poiché il 'flusso -di calore è unidirezionale, questa esperienza si può

rappresentare mediante la, trasmissione del calore in un solido infinito

in cui dal piano x =. x' si libera la quantità di calore Qc = q p c per u,.nità di tempo e unità di area.

Il campo termico prodotto da un piano si può ottenere da quello

prodotto da una linea. infatti, se consideriamo la sorgente piana istan­

tanea di intensità q parallela al piano x = O e passante per il punto x'

(Fig. 16), essa si può considerare come descritta dalla sorgente li­

neare istantanea di intensità qdy' parallela all'asse z e che va lungo la

la direzione y. Quindi, integrando la (28) si ottiene

T - q 100

- [(x-x')2 + (y_y')2] /4kt d'- 41f kt e • y

-00 .il

lIlIii1,1!

Iiiil

Trattandosi invece di una sorgente continua che emette calore a y: Q ktT(t) = _c I x I f (-2 )

K x(38)

zPer attenere i valori dei parametri termici si calcolano, una volta

per tutte, i valori teorici delle funzioni

T (2t) = RT (t)

e si riportano in grafico o in tabelle in funzione di kt/x2 (Fig. 17).

Se si prende dalle temperature registrate una coppia di valori cor­

rispondenti a tempi doppi to e 2t o e si considera il loro rapporto, te

nendo conto di (38) e (39) si ha che

y

ktf(-)

x2 ed R=f (2 kt/x2)

f(kt/x2)

(39)

Fig. 16 - Sistema di riferimento per una sorgente pianaCon questo valore del rapporto, dal grafico di R si ottiene kt o/x2

:1I -'- 40 - - 41 -

AT(OC)

4.00

32

Fig. 18 - Esempio di registrazione nel metodo della carota tagliata

o

2.00

~:

1;00

aDo

calcare; la Tab. 1 è un esempio di elaborazione dei dati osservati.

Questo metodo ha ima precisione del '4-5%.f3 •.0

2.0

0.5

2.5

1.5

~ -11•0

R6,0

1.0

5.0

2.0

I

Fig. 17 - Curve teoriche R ed f

e quindi la diffusività k ; con questo valore di, kt o/x 2 dal grafico di

f(kt/x") si ottiene il corrispondente valore di f, che sostituito nella (38)dà la conducibilità K.

Questa operazione si può ripetere per un set di coppie di valoripresi dalla registrazione della temperatura.

La Fig. 18 riporta una registrazione ottenuta su un campione di

0•.5 1.0 ktX2

1.2.6 -' Valori e variazioni dei parametri termici.

La Tab. 2 riporta, i valori di .K, ,k e c alla temperatu~a. ambienteper alcune rocce rappresentative, non porose. '., . "

Il contenu~o in acqua, anche se' la p~rinea?ilità .. ~ .. sosi bassa da

non permettere moti convettivi, gioca u~. ruolo importante nella condu

cibilità delle rocce. Fortunatamente, le rocce poco permeabili si deu­

midificano lentamente, per cui piccole precauzioni possono essere suf-

43 -

Kb

Kz

Kb

Kz

. . i~:';

Per quanto riguarda le rocce sedimentarie, esse hanno due condu-

.cibilità principali, una parallela al piano di sedimentazione Kl» ed una

·perpendicolare al piano suddetto Kv~ Nell'ipotesi che sia K, = Kz, la

.misura con l'ago disposto longitudinalmente nella carota fornisce Kb,·

quella con l'ago trasversale dà K=(Kb Kz) 1/ 2 (fig. 19); la cornbinazio

ne delle due misure fornisce Kz •

n T (nto ) T(2nd- T (2nto ) k to k to n k t; T/t ·Kn-- - f-

;i~ T (nto ) Xl Xl Xl

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8),

--.0

3 0.23 0.76 3.36 0.244 ,. 0.081 0,0239 9.43 7.154 0.39 "1.13 2.90 0.317 0.Q79 0.0398 0.80 6.885 0.56 0.49 0.64 0.389 0.078 ' 0.0568 0.96 6.776 0.76 0.84 0.43 0.480 0.080 0.0787 0.65 6.997 0.95 2.18 0,28 0.579 0.082 0.1024 0.33 7.23

8 1.13 0.49 0.19 0.657 0.082 0.1211 0.37 7.209 0.32 0.80 0.13 0.740 0.082 0.1407 0.39 7.18

10 0.49 3.09 0.D7 -0.820 0.082 0.1592 0.38 7.19

11 0.67

12 0.84 ..

14 2.18 K =7.1 X 10-3 c.g.s.

16 .0.49

18 0.80 o = ± J~- = ± J0.2079 = ± J"O.OO37125 = ± 0.06

20 3.09 n(n-l) 56

TAB. :1'. - CALCOLO'DI K PER UN CAMPIONE DI CALCARE-- .. Q =0,045 cal/cm'sec: x = 1,5 cm; t, =15 sec

-:" 42 -

! I

Fig. 19 - Esempio di conducibilità anisotropa

l

ficienti ad assicurare misure significative.

Molta attenzione va posta al caso che una roccia sia termicamen­

.te anisotropa; infatti, nelle misure di flusso geotermico interessa cono­

scere 'la conducibilità in direzione verticale Kz. Fra i metodi esposti,

questo è assicurato da quelli di Birch e Clark, di Lees - Beck e di

Mongelli che utilizzano' la propagazione del calore unidirezionale paral­

lela alla generatrice della carota, che si suppone prelevata mediante un

sondaggio verticale; al contrario, le sonde lineare o cilindrica emettono

un flusso radiale e quindi forniscono una conducibilità mediata su duedirezioni.

Per le argille appenniniche si è trovato che è Kb > Kz di circa

il 20% .

Importante per molti problemi geotermici è conoscere la vanazio­

~e dei parametri termici con la profondità, cioè per effetto dell'aumen

to della temperatura e della pressione. Riferendoci sempre a rocce non

porose, è stato accertato che l'influenza della pressione, specie per pro­

fondità di interesse geotermico,cioè fino a 3 km circa, è trascurabile

rispetto a quella della temperatura.

Generalmente, l'aumento di temperatura produce una diminuzione

r I - 44 - - 45 -

3,0

T I IT-..- do 1110 l&i :J!o50 IÒO 150 200 250 200

°C °C

k-lO"

Micascistoplagioclasio

~

3.0

".0

K'Scisti

grafiti ciK'

10.0

"~

K;.1O-3(callcm secoC) K.1O-3(cm2/sec) C(cal/gOC)

.Argille .v· 2,5 + 3 7 + lO 0,30 + 0,35

Argille sabbiose 3,5 + 4 7+11 0,40 + 0,45 tu~6Jl

Calcare \ 3,5 + 4,5 9+11 0,15 + 0,17 t~

Calcare Dolomitico 5 +6 11 + 13 0,15 + 0,20 ~ 5.0

Calcare Marnoso 5 +6 10· + 11 0,15 + 0,20Anidrite 5 +6 11, + 13 0,15 +0,17

Quarzite 7 +9 12 + 14 0,20 + 0,25Filladi 4 +6 6 + 8 0,20 + 0,22 I ~Micascisti 4 +6 6+ 8 0,20 + 0,25

Scisti grafitici 7 +9 15 + 18 0,12 + 0,15 I 20.0

Granito 4,5 + 6 7 + 8 0,20 + 0,25

Tab. 2. - .PARAMETRI TERMICI DI ALCUNE ROCCE, A 20 0 e

di K e k ed un aumento del calore specifico, ma la forma e l'entità

di queste variazioni variano da una roccia all'altra per cui una legge ge­

nerale è valida solo in prima approssimazione.

La Fig. 20 fornisce un esempio di variazione dei parametri terrni­CI fino alla temperatura di 250°C.

2.0

aD

T T50 100 150 2ÒO 250

°C50 100 150 200 250

°C

c

D.2 0.40

le ~.. .Qj

"T

200 250

°C15010050200 250

°C

T15010050

~

~0.156

Fig. 20 - Esempio di variazione dei parametri termici di rocce

- 47 -'J

Capitolo 2

CORREZIQNI AL GRADIENTE OSSERVATO

2.1 - Influenza della topografia.

',1;.

zione (40).

Il valore di a è di 4-6 °C/km, ma in regioni dove non è noto,

si può assumere il gradiente adiabatico dell'aria, cioè 10°C/km.

Come conseguenza. di ciò, le isoterme sotto le montagne sono più

distanziate (e nelle valli sono più ravvicinate) rispetto alla pianura. Ta­

le effetto, però, si riduce con la profondità; pertanto, un gradiente os­

servato vicino alla superficie, non è semplicemente estrapolabile in pro

fondità senza la dovuta correzione. Questa raggiunge in casi eccezionali,

come le Alpi, il 40% di un gradiente medio, per cui è importante so­

prattutto per la ricerca di fluidi a media e bassa Entalpia.

Il calcolo della correzione topografica si riduce quindi a quello del

l'effetto della distribuzione della temperatura dell'aria sulla superficie del

., ,suolo. Il metodo di calcolo è basato sul principio di Birch che "gli ef­

ferri delle variazioni di temperatura sulla superficie vera del suolo so­

no equivalenti a quelli prodotti dalle stesse variazioni su un piano oriz­

zontfl~e vicino alla superficie".Iri; realtà, le variazioni non sono solo spazialì ma anche temporali,

per il fatto che un rilievo montuoso è sempre soggetto ai fenomeni di

sollevamento- ed erosione.

Per 'ben comprendere l'influenza di questi, consideriamo un gran-

de blocco di terra di spessore h che improvvisamente si sollevi

(Fig. 21); la sua temperatura superficiale passerà da To a To - a h. Ta­

le diminuzione si risentirà nel tempo anche alle maggiori profondità e,

dopo un tempo abbastanza lungo, si raggiungerà una nuova distribuzio­

ne di equilibrio, con un gradiente uguale a quello iniziale G. Nella fa­

se intermedia il gradiente risulta invece maggiorato.

Se invece un blocco in equilibrio, sopraelevare di h, viene improv­

visamente eroso (Fig. 22), la temperatura sulla nuova superficie passa

da To + Gh - ah a To , e le conseguenze sono simili a quelle del sol­

levamento.J

In realtà i fenomeni sono sempre entrambi presenti per cui alla su-

(40)Th = To -ah =F(h), -,

e avendo ammesso l'equilibr~o tra la temperatura della supb~f~~~e:del sUQ

lo e quella dell'aria a contatto, varrà anche per la prima larela-

Le isoterme sotterranee tendono a seguire la topografia della su­

perficie, sollevandosi sotto le montagne e abbassandosi .sotto le valli. Si

può dire che se la temperatura superficiale non variasse con la quota,

si troverebbe sotto le montagne lo stesso gradiente osservato in pianu­

ra. Al contrario, la temperatura superficiale è regolata dalla temperatu­

ra dell'aria, ed essendo questa variabile con la quota h secondo la rela­

zione

. Qualunque fenomeno\ geologico, geografico o meteorologico che fa

variare la temperatura superficiale nel tempo e/o nello spazio, genera

un disturbo sulla distribuzione della temperatura nella Terra fino ad l!-na certa profondità. .,-.

Si ritiene che i disturbi più importanti siano causati dalla topogra

fia, intesa sia in senso statico che dinamico (sollevamento ed erosione),

dalle variazioni climatiche e dalla sedimentazione. Molta attenzione bi­

sogna porre al fatto che questi possono agire contemporaneamente.

In presenza di elevato gradiente osservato, che faccia presumere la

esistenza di fluidi ad alta Entalpia, generalmente questi fenomeni non

,vengono presi in considerazione; viceversa diventano importanti negli al­

tri casi.

~.

f

l

I)

- 48 -

TO-ah~TO

To

\

Fig. 21 - Perturbazione termica dovuta al sollevamento

- 49 -

perficie la temperatura è funzione del tempo: F(x, y, t). In definitiva,

si tratta di calcolare la distribuzione di temperatura in un solido semi­

infinito la cui superficie, a partire da t = 0, è soggetta alla variazione

F(x, y, t).

2.1.1 - Trattazione matematica generale. *

E' noto dalla Teoria del Potenziale che per Problema di Dirichlet

si intende quello di "determinare una funzione V(P) armonica e rego­

lare in uno spazio finito S, quando siano noti i valori che V assume

sul suo contorno a".La soluzione di questo problema si riconduce a quello di deterrni-

.nare una funzione G (funzione di Green) che goda delle seguenti pro-

prietà:

1. sia armonica in tutto lo spazio S2." sia regolare in tutto lo spazio S eccettuato il punto P

~. .

3. si annulli sul contorno a di S.

Se tale funzione esiste, V(P) è espresso da:

dove ala n indica la derivata lungo la normale diretta verso l'esterno

di S.Il teorema può essere generalizzato' ed esteso alla Teoria della con

duzione del calore; si può dimostrare, infatti, che se la distribuzione i­

niziale della temperatura nel corpo è f(x, y, z) e quella al~a superficie

è F(x, y, z, t), la temperatura in un P del corpo è data da

T =l (G),=o f(x, v. z). dx. dy . dz +

TO-ah

TO~ To-ah+Gh

Fig. 22 - Perturbazione termica dovuta all'erosione

V(P) =1

---4-rr i V ~ ~ do

(41)

·, j

-, 50 - 51 -

['Z2 + (X-X')2 +(y_y')2 ] dx' dy' dt' (43)

exp - 4 k (t - t')

L'integrazione della (43) dipende ovviamente dall'espressione di F.

Solitamente si suppone che sia F(x', y', t') = t'. Ftx', y'), -il che sernpli-, , Z2 + (x-x')? + (y_y')2 R2

fica il calcolo. Infatti, ponendo 2-V kt = 2-V kt = {:J e

integrando rispetto a t si ottiene

Nel caso di un sol~(jo semi-infinito z = O, la funzione di Green è

rappresentata da una coppia di sorgenti puntiforrni istantanee, simmetrjl

che rispetto al piano z =: 9. Supponendo" infine, che la distribuzione i-niziale sia f(x, y, z) =O; la" (42) diventa

lt J001' 00 ' ,,-.'~ z" . , F(x',y',t')T - 8 (1Tk)3/2 O _00 _00' (t-t')312

2 2{:J 2"dove E ({:J) = u-z {:J ) erfc {:J + -==- exp (- {:J )-V 1T

Importante è, soprattutto, poter conoscere la storia evolutiva delrilievo cioè la funzione h(t), dato che, secondo il principio di Birch,F(x', y') = F [h(x', y')].

Un'ulteriore complicazione si ha nel caso in cui si consideri il ca­

lore prodotto dalla radioattività dello strato granitico e che sia proprioI _

questo lo strato sottoposto ad erosione.

(48)

(47)

(46)

(45)dx' dy'.

f21T

O F(r', O) as

z F (r', O) • r' dr' dOR3

1

21T

f

oo= _ z r' ,1 21T

O~ dr --z;- L ah(r',O) dO

T = -& ff21T

O O

= }oo z r'I{3 dr'O

T = *1,00 (00_00)-00

Per t -+ 00 la '(44) diventa

Ftx', y') = Th (x', y') - To = - a h(x'y'), ~\

Pertanto la (45), in coordinate polari, si può scrivere:

Questo .integrale si può calcolare numericamente con un reticolo

in coordinate polari, come per la correzione topografica in Gravime­

tria (Fig. 23).

La correzione topografica è apprezzabile per un tempo di 1 Ma

ed è molto vicina allo stato stazionario per il post-Miocene. La diffe­

renza tra il caso stazionario, che porta ad un limite superiore per il

gradiente termico, e quello di un sollevamento di 2 km in 1 Ma, che

si può considerare il caso estremo opposto e che porta al limite infe­

riore p~r il gradiente, è circa il 20% del gradiente massimo.

Per tutti questi motivi, specie nella prospezione geotermica, si pre­

ferisce applicare la formula dello stato stazionario. In questo caso, te­

nendo presente "la (40), si ha:

2.1.2 - Caso stazionario.(42)

(44)• E ({:J)dx' dy'F(x', y')

R3T =~ 100

1'00-00 -00

''''.

!J" •

l,t':,[, (( aG ]+ k ~. .... ~a F(x,y, z, t') a;;- . da dt'.

'1

t

II

Fig. 23 - Schema di calcolo della correzione topografica

T

\\

Fig. 25 - Effetto delle variazioni climatiche

v:

o

z

- 53 -

Solitamente il calcolo dell'influenza delle variazioni climatiche vie­

ne fatto approssimando le curve simili a quelle della Fig. 24 mediante

una funzione a gradini e studiando l'effetto globale. Un altro metodo

è quello di rappresentare mediante una serie di Fourier le curve sud­

dette e studiarne gli effetti con gli stessi principi esposti in (1.1.1.).

Per applicare il primo metodo, bisogna integrare l'equazione di

Fourier per il caso di un solido semi-infinito avente la superficie z=O

L'effetto, ad esempio, di un periodo freddo come un'era glaciale,

è simile a quello descritto per il sollevamento; solo che, data la cicli­

cità del fenomeno, prima che si stabilisca un nuovo equilibrio termico,

la temperatura superficiale cambia nuovamente (Fig. 25).

• 0011'103 anni

~ M.a.0.11o

- 52 -

Fig. 24 - Variazioni climatiche

P r'

;:I~~vy• i

;t~l/~~o ,,'=J _1

17z~ :,

2.2 - Influenza delle variazioni climatiche.

E' noto che la superficie terrestre è soggetta a variazioni della

temperatura aventi carattere ciclico con periodi diversi e molto grandi(Fig. 24).

:I

l

- 54 -55 -

~J"

è un suo integrale particolare.

Ed essendo la (1) lineare, essa è soddisfatta dalla somma di unqualunque riumero di soluzioni particolari, cioè da

a temperatura costante e temperatura iniziale zero. Per fare ciò, consi­

.deriamo un solido infinito con la condizione iniziale T =f(z) a t = O.

Poiché.l'espre5sio:r:I~"

soddisfa"l'equazione di Fourier, anche

(52')

(52)(Z+Z')2 ]

- 4kt dz'-e

Z

fVkt e- (f dfJ

°

z' = -z + 2fJykt

2V

V-n

e

(Z-Z')2

4kt

, 00).

[ f(z'} [e-

z' = z + 2fJykt

1

2y nkt

. " V 'J2Y kt

T=.-- - 2Y1t e fJ dfJ.~:'; .r>: __Z

2ykt

2V kt-z z

(_ ,. , 00), e ( 2y-kt

" . Pertanto la (52) diventaZ

rispettivamente nella prima e nella seconda parte, si ottiene che dfJ =

= dz' e che i limiti di integrazione diventano rispettivamente

Nel caso particolare, ma molto interessante, che la temperatura i­

niziale sia costante, f(z) = V, con le sostituzioni(49)

(50)

(51)

(Z-Z')2

4kt dz'f~ f(z'} e-00

(Z-Z')2

4kt

(Z-Z')2

4ktef(z')

I ~·i~

1 \

2 (n kt)1I2' \ e

2 (n kt)1I2

1T = 2ynkt

I

(55)

(53),

;"(54)

z

Z2

e- 4kt

z '+ V=V(l-erf ..)

V

z

T=Verf

y1rk t

oToz

T = - V erf 2y kt

Il gradiente di temperatura della (53) è

Il caso in cui la superficie z = O è presa a temperatura costante V

e la temperatura iniziale è zero, si può considerare come la sovrapposi­

zione del caso in cui la temperatura è zero alla superficie e - V nel

solido, a quello in cui la temperatura è V dappertutto; si ha allora:

cioè

(Z-Z')2 }4kt

dz'

(Z-Z')2 104kt dz' + ~-f(-z') e

che è la soluzione di Laplace,

Il significato fisico della (51) è il seguente: la temperatura nel

punto generico z al tempo t è la somma dell'influenza di tutti i pun­

ti del mezzo, considerati come sorgenti istantanee che emettono a t= O

l'intensità di calore, espressa dalla (50).

Nel caso di un solido semi-infinito z > O con temperatura inizia­

l~ (t = O) data da T ~ f(z)" sia il piano z = O alla temperatura zero.

Supponiamo che il solido continui idealmente dal lato negativo e che

la temperatura iniziale a -z' sia -:-f(z'); con questa distribuzione il pia­

no z ~ O resta a zero. Questo equivale a dire che il solido ha dall'al­tra parte una immagine negativa.

Dalla (51) si ha

T= 1 ~o~ f(z'} e

\.. /

- 56 - - 57 -,' .._,

• ~.p.

Per esempio,' periuna singola era glaciale che abbia provocato un.

abbassamento di temperatura -V dal tempo t2 al tempo t1 (Fig. 26), .

il disturbo ad oggi' '~':,dato da

00

".

m

500

400

300

200

2 3

, !

a

b

o annl

d AT 'C/kmdz 2. -1 o

5,.000

I

\~~~1':-...........

r-.<,~-.~~

Vj)

IlIl • t'·' ~--

, .. ~~ ,.

I ' ". ./'. ": .. ' .;.,.. ., ,.. ',':-' . " .~'~

Fig. 28 - Effetto delle variazioni climatiche recenti

I \ 1\ I 1300

l' I III 1500

I I. I \ \ I \400

I \1\ I 1~200

z ]2y' kt 2 '

aloe"·'-4 ' -3 -2 -1

I " f I I I I 1000

I I I / / I I I 500

I \ 1\1 I I I 11500

I ~; I I I I 2000

f--I- \ n I I I 25,00

I I ! I Il .) I I , ! i 3000

-5I i l j I J I i i J 7i

erfz

T = - V [ erf ---..=-

~ ~.

~~~-vF) . J

I l- I J

Fig. 26 .

Fig. 27 - k1 ~ 0.010 cm2/sec

k2 = .015Effetto delle variazionipaleoclimatiche

t2 t1 t=O

Ovviamente, le variazioni che pro­

ducono maggiore effetto sono le più

recenti. La Fig. 27 rappresenta la per­

turbazione provocata dalle variazioni climatiche di Fig. 24; mentre la Fig. 28

mostra le variazioni climatiche recenti

ed i loro effetti.

Molta cautela va usata nell'applica

re questa correzione dato che, mentre

si tratta di un fenomeno di natura pla­

netaria, una zona ,può anche esserne e­

sente a causa, per esempio, della circo­

lazione generale dell'atmosfera.

L.:~

- 58- 59 -

~ .r

Fig. 29 - Perturbazione termica prodotta dalla sedimentazione

2.3.1 - Sedimentazione improvvisa.

di

(56)

(57)

] dz'

(Z+Z')2

4kt-e

j~ y' kt.2~ e':"~2. d~}. =

'H ±z .' .

2y'kt

1 [H +z J1Ì+--=- exp _ ( - )2 I~-y!rr 2-y!kt ~

~OO

. _~2

.J. - (H ± z) e· • d~ +H ±z

2y/kt

G

La soluzione generale, secondo la (52), è

T = 1 JOO . [- (z-z,)22y' "kt H G(z'-H) e 4kt

= G-y!kt {_ H±z ·H±.z._ r:;-- erfc--=

-y!rr

che si può scrivere come la differenza di due integrali, che si integra­

no in maniera analoga. Ponendo rispettivamente z' = ± -z + 2 ~ -y!kt siottiene

(z -H . z+ H ]

T(z, t) ~ G -y!kt ierfc 2-y!kt - ierfc 2-y! kt

.In definitiva, per, O < z' < H si ha~...; .

Sviluppando in serie (v. Appendice 11.1) per piccoli valoriH ± z "

_ I ,SI ottiene2 v kt

_ Ikt ( . f1( H·:' Hz (H2 + Z2) .. ]T-GV~-- zv~- -- + k2 2 + ....

rr kt kt 12 t

e

ToTT o = O

Se la subsidenza è abbastanza lenta, la distribuzione di temperatu­

ra si adegua continuamente e non ne risulta alcuna perturbazione; se

al contrario è improooisa; le isoterme si spostano rigidamente, cioè al­

l'inizio G nel basamento resta inalterato. Quest'ultimo caso può rap­

presentare bene episodi di sedirnentazione piuttosto lontani nel tempo,

la cui sequenza della distribuzione di Tè rappresentata in Fig. 29.

2.3 - Effetti della sedimentazione.

Il fenomeno-della sedimentazione è sempre accompagnato da quel­

lo della subsidenza, 'èo~te~poraneamente le isoterrne vengono spostate

verso il basso. Quando' li~ subsidenza cessa, le isoterrne muovono verso

I'alto e raggiungono nuovamente la loro posizione stazionaria.\.

Se supponiamo che la diffusività k sia uniforme in tutto il semi­

spazio, compreso lo strato H di sedimenti, il problema è quello di un

solido semi-infinito avente:

Si ottiene, ad esempio, che per H= 1 km,k·=.O.Olcm2jsec, t=lMa

relazione di facile impiego.at=O

a' t > O

T=OT = G(z -H)T=O

per O <perper

z< H.z>Hz = O

aT

az [ ~ (1-=.G 1 - -y!1fktH2 + 3z2

'12 kt + ](58)

:i. ,

- 60 - - 61 -

!.i" ~

il gradiente osservato a 100 m di profondità è circa 9/10 di quello in-

disturbato. .. '.

Applicando a questa l'antitrasformata di Laplace, si ottiene:

1T = To + G(z - vr) + - G. 4J (z.v.t) (60)

2

, 't

2.3.2 - Sedimentazione continua. *

-. Gli effetti della sedimentazione sono' importanti soprattutto . nelle

regioni dove questa è tuttora agente o è cess~ta di recente, dopo un

periodo più o meno lungo di attività. In questo. caso, è come se ..-il

materiale sotto la superficie si allontanasse da questa con velocità v.

L'equazione della conduzione in una dimensione verticale z, per mate­

riale in moto con velocità parallela all'asse z, è:- . 1 1 1 Cldove 1/J(a) = -a2 -(1 + - ( 2 ) erf (- a)--=-exp(-a2 /4 )

2 2 2 y1f

(61)(~) = G[1 + 1/J (Cl)]az z=O

vt

Il gradiente termico alla superficie è:

.in cui </J (z.v.t) = (z + vt) evz/k • erfc z + vt

. z - vt,- (z - vt) • erfc ---­

2ykt

(59)a2 T ar ar

k --o =--+V--aZ2 ataz

Se si suppone che al tempo t = O in cui il fenomeno ha inizio, la

temperatura iniziale sia To + Gz e che in seguito la temperatura super­

ficiale sia mantenuta alla temperatura To, . si tratta di integrare la (59)

con le condizioni ai Iimiti

dove Ol. = ----==-v' kt

La'.li.1;ert~rbazione dipende sendibilmente da ved è molto impor­

tante specie nei' mari.

Ii

T = To + Gz per t = O

T = To . per z = O e t > O •

Per fare ciò,applichiamo -la trasformata di Laplace (Appendice

II.2); si ottiene. l'equazione sussidiaria:

2.3.3 - Effetto di copertura.

Uno strato piano che si possa considerare infinito, se ha raggiun-.

to l'equilibrio termico, ha un gradiente Gs che è legato a quello. del ;

basamento Gb dalla relazione

d2'T

dZ2

v d'T--k dz

L T = _ To + Gzk k

q = Ks Gs = Kb Gb"

dove Ks e Kb sono le rispettive conducibilità termiche.

Più realisticamente, se lo strato sedimè~tariò ha 'dim~risionl Ùmita:­

te, la superficie' di contatto col basamento n<?n s~~pr~ .s:i, può conside­

rare piana, per cui bisogna aspettarsi 'fenomeni 'di" rifrazione del vetto-re flusso di calore (v. Cap. 3). ".... , ,,"p

Gv Vo + Gz- + ---=-----­p2

- .Tocon la condizione T = --o per z = O, la cui soluzione èp

- Gv [ VZ v2

P .1/2]T=-exp - -z(-.-+-)~ fi 4~ k .

-[,/

- 63 -

Capitolo 3

Fig. 30 ..;.. Rappresentazione delle misure geotermiche

mcal

5 cmoC secK43

J.Lcal1.4 cm2sec

! ~

z

1

z

G

30 35 °C/km25

. ~:\;

z

FLUSSO DI CALORE""-.

~.'fI.I.

n flusso di calore si ottiene combinando il gradiente di tempera-I

tura con la conducibilità termica, secondo la' (2). Secondo che questo

si faccia prima o dopo aver apportato le necessarie correzioni al gra­

diente, si ottiene il flusso osservato o corretto.. Da ora in poi per q-intendiamo il flusso corretto. ./'-

Vi sono vari modi di fare questa operazione.

n metodo più semplice è quello di dividere il pozzo in sezioni li­

tologiche e fare per ciascuna di esse il prodotto della conducibilità me­

dia per il gradiente medio; si ottiene cosi il flusso per ciascuna sezio­

ne e se ne calcola il valore medio e la deviazione standard.

Se questa non è compatibile con la precisione delle misure, con­

viene completare .la Fig. 6, ..'riportando anche i valori della conducibilità

K e del flusso q. Se nell'area investigata q è costante, i grafici di G e

di K devono essere speculari (Fig. 30); se q varia con la profondità, se

ne rileverà dal suo grafico l'effettivo andamento.

La non costanza di q può essere provocata da un fatto interno da

considerarsi come un disturbo; o può essere un fatto normale o, infine,

può derivare da fattori interni spaziali e/o temporali che costituiscono

proprio l'oggetto delle misure.

)1

3.1 - Perturbazione del flusso per rifrazione.superficie di separazione, vale la legge della rifrazione in un mezzo in­finito, analoga .a quella del campo elettrico:

Se un. pozzo attraversa I'interfaccia facendo un angolo t) con. la

normale n (Fig. 31), noi misuriamo nei due mezzi due diverse compo-

Non sempre. la. superficie di contatto fra due strati aventi differen

ti conducibilità, Kl e K2 , è orizzontale e quindi parallela alle geoi~otet

me. E' noto che, se indichiamo con q1 e C!2 i vettori flusso di calore

nei due mezzi e con al e a2 i rispettivi angoli con la normale n alla

.x.,K2

t~'al

tga2(62)

- 64 - - 65 -'.I::.

T~~T: :-,:'. :~:'~.~.::" :~' ::: .~-~--

T3 -' - - - -

TopTO

T~ ':.L

1 . I~~

Tn --

Il. _. ····11"'.

Fig. 31 - Effetto 'della rifrazione lungo una superficie piana

Poiché la Terra si può considerare un solido semi-infinito con tem

peratura superficiale costante, le isoterme risultano orizzontali a distan­

za dalla superficie di d~scontinuità, e si incurvano nelle sue vicinanze

per soddisfare alla ~63). In conclusione, l:mgo un pozzo verticale si os­

serverebbero in successione i seguenti valori: q, q1,e e G2,e .In generale, disturbi possono provenire anche da corpi inglobati; i11

fatti, un corpo avente 'conducibilità Kc ' immerso in un mezzo infinit~

a conducibilità K, produce una distorsione delle isoterme che si restrin­

gono o si allargano nel corpo a seconda che sia Kc minore o maggio­

re 'di K. A questo fenomeno si possono riferire due casi di un certo iIi

teresse: una fossa di sedimentazione ed un duomo del basamento (Fig.

32).

neriti del flusso q1,e e Q2,e. tali che., .

~'I: ,,::- <. l t; ':~.. : t·

3.2 - Flusso normale. Campo regionale.

Fig. 32 - Effetto dell'anisotropia in caso di corpi limitati.

i!

• • __ o ._ -,---l

Misure di flusso di calore eseguite iii "molte regioni (purtroppo non \

tutte) della Terra, hanno accertato che.·il suo valore medio~escludendo

le aree- vulcaniche attive, è 1.47 ± 0.1 J!ca1Jcih2s'ec,ienza:' diffei-enzi1 si­

gnificativa tra continenti ed oceani. Al contrario, iI" flu~~o è diverso nelle diverse principali regioni tettoniche (Tab. i) mòsttarido~··td "l'altro,

una chiara dipendenza dall'età della. provincia'lorogenica ~Fig~; 33);

Nelhpotesi che il flusso sia stazionario. e che i corpi si possano a~

similare a corpi geometrici semplici (sfera, ellissoide; cilindro e Ioro me­

tà) è possibile calcolarne gli effetti, almeno in prima approssimazione,

con una metodologia simile a quella che studia la deformazione ~~lcampo elettrico in casi analoghi. . -. . :: ti ..':~~

(63)q2 cos (e -(2)

ql . cos (e -al)=q2 e

q1,e

.[

66 - - 67 -

Tabella 2 - Flusso di calore nelle diverse province tettoniche

Regione tettonica

Scudi Precambriani

Aree non orogeniche post-Precarnbriane

Aree orogeniche Paleozoiche

Aree orogeniche Mesozoico-Cenozoiche

Bacini oceanici

Creste oceaniche

Fosse .oceaniche

Bacini marginali

ca 2-3 p.cal/cm2 sec.

In altre aree è presente il Vulcanismo attivo o recente, che fa au­

mentare localmente in maniera notevole il flusso di calore fino a 15

p.callcm2 sec.

In generale, quasi tutte le province tettoniche della Terra sono in

evoluzione termica (v. Appendice 1) per cui il valore di 1.47 jJ.cal/cm2sec

rappresenta il valore medio ma non di. equilibrio.

Se una provincia tettonica ha raggiunto l'equilibrio termico (come

avviene per le aree più antiche), i valori di q prossimi alla super­

ficie, se osservati in pozzi perforati in uno strato omogeneo . di: rocce

.sedi~entarie, non variano con la profondità; se osservati in rocce che

producono calore, sono variabili.

Infatti, 1'equazione del calore in una dimensione in regime stazio­

narro si riduce a

(66)

(65)

(64)o

= qo = costdT

dzK

d2T

dz2V:.

il cui integrale è T =~ z + ToK

dove To e' qo sono la temperatura ed il flusso alla superficie.

La (64) comporta

CM = CenozoicoM =MesozoicoN = ErcinicoC =Caledoniano

PcP = Precambriano (piattaforme)PcS =Precambriano (scudi)

q(jJ. cal/cmfsec) d. s.

0.98 0.24

1.49 0.41

1.43 0.40

1.76 0.58

1.27 0.53

1.90 1.48

1.16 0.70

1.80 0.93

PcS

CM

lO

1.5

u1i\

<'lE~

~::t 0.5

Fig. 33 - Variazione del flusso geotermico in funzione dell'età (da Polyake Smirnov)

500 1000 1500x 10 6 anni

2000cioè un flusso costante in tutto lo strato sedimentario.

Se le misure sono eseguite in rocce radioattive,' ed indichiamo con

A il calore prodotto dall'unità di volume nell'unità di tempo.xvale la

equazione

In alcune di queste province il valore di q può essere superiore al

la media per l'elevato tenore radioattivo delle rocce granitoidi della cro­

sta, o per un fenomeno di assottigliamento litosferico, arrivando a cir-

d2T

dz?A

K(67)

- 68 - 69 -

Essendo stato accertato che in queste. aree il flusso è funzione del

la produttività delle rocce superficiali Ao secondo la relazione

q = qm + D Ao (68)

non stazionari, vengono presi come valori del Flusso regionale principa­

le delle diverse province: ~lrcg

.:v

A(z) = Ao e-z/ D.

Quindi la (67) è del tipo

y" + a e-bz = O

che ha come integrale generale

y = Cl + C2 z + C3 • a e-bz

dove qm è il calore di 'origine non radioattiva e che proviene dal Man­

telloe D è lo strato utile di rocce radioattive, ne deriva che la varia­

zione di A con la profondità è espressa da

3.3 - Anomalie del flusso geotermico e loro separazione.

I risultati di una prospezione geotermica vengono presentati in u­

na mappa delle curve di isoflusso in p cal/crrr' sec o in mWm-2(lpcall

/cmvsec è uguale a 41.8mWm- 2 ) delimitanti aree con valori alti o bas

si (Fig. 34).

Per anomalia del flusso geotermico si intende la differenza tra il

flusso corretto e il flusso regionale. Poiché all'anomalia contribuiscono

:',cpmponenti di diversa origine e localizzazione, è opportuno procedere

alla loro separazione.

Questa può essere fatta mediante gli stessi procedimenti usati In

Gravimetria: lisciamento grafico delle curve o metodi analitici.

La Fig. 34 a, b mostra i risultati ottenuti applicando il metodo~' :

"Punto' centrale ed un cerchio" alla mappa della Fig. 34.(69)D2

T = qm Z + -- A (l - e- z/ D )K K o

Tenendo conto delle condizioni ai limiti si ottiene

e quindi

dT =~ + ~Ao e-z/Ddz K K

(70)

cioè un flusso esponenziale decrescente in tutto lo strato.

E' importante sottolineare che in uno Scudo in equilibrio termi­

co il flusso è dell'ordine di 1 pcal/cm2 sec ed il gradiente di circa

15°C/km; inoltre qm è mediamente 0.6 pcallcm2sec.

Come già detto, molte province tettoniche sono lontane dall'equi­

librio termico per cui i loro gradienti si scostano dalle relazioni (66) e

(70), che però restano come riferimento.

In definitiva, i valori della Tab. 2, e della Appendice I, anche se

';

Fig. 34 - Esempio di mappa di Flusso di calore (in mWm- 2)

l':~ i

-.i·

Residue ~

(mWm- 2 )

b)

a)

CampoItgl'bnaIc(mWm-

2)

'~,

A,\\

- 71 -

uD

,

~:\;

Fig. 34 a) e b) - Risultati' dell'elaborazione della mappa di Fig: 34

~- ........ .......<,

''\\

I, It' l''r .,

( I -,

- 70 -

~';fl,I,

=J' •

f

!If

[

!r

II!!l\

[

[

~.J: :.

, .Capitolo 4-,

INTERPRETAZIo~t;E DELLE ANOMALIE DEL FLUSSO; \.

'I ....

La fase del1'interpretaZio~e è quella in cui concorrono tutte le in-

formazioni di ~arattere geologico, vulcanologico, idrogeologico e geofisi

co raccolte nell'area. in cui si svolge ,la prospezione. Pertanto si può sup­

porre (a) che sia chiaro l'obiettivo 'della ricerca, cioè se -si tratta di

fluidi ad alta o bassa' En!alpia, o rocce calde secche; (b) che sia nota

la struttura geologica del ··sotto.su.olo.

Il compito della interpretazione geotermica è quello di prevedere

le temperature' al tetto della falda acquifera che rappresenta il serbato­

io geotermico; .nel caso ·di··rocce secche, prevedere a quale profondità

le temperature. assumono walori di interesse geotermico.

4.1 - Caso delle rocce secche - Anomalie di corpi intrusioi.

73 -

Lo studio degli effetti termici delle intrusioni può essere schema­

tizzato nel modo seguente: in un certo istante, una massa magmatica

a temperatura' nota e 'di forma nota è in,t!usa istantaneamente nella roç

eia madre a temperatura nota. Assumendo che. 1<1 diffusività sia uguale

nei due tipi di roccia, il problema si riduce a' quello della conduzione

del calore in un mezzo semi-infinito.

~ Questa idealizzazione trascura alcune importanti complicazioni, che

verranno discusse in seguito.

Due metodi vengono generalmente usati per l'integrazione dell'equa

zione di Fourier per forme semplici: la soluzione di Laplace e il meto­

do delle sorgenti; per forme complicate si preferiscono i metodi nume­

~ rici.''!; •

Il più usato' è il metodo della soluzione di Laplace, che risolve

problemi in termini di temperatura.

7,':'.> •

4.1.1 - 'Metodo della soluzione di Laplace. -

4.1.1.1 - Dicco - Strato infinito.

Lo sfrutramento delle rocce calde e secche richiede una tempera­

tura di almeno 200 0 C a 3 km di profondità; cui corrisponde un gra­

diente medio di circa 10°C/km; in corrispondenza, il flusso medio su­

perficiale è di, almeno 3' j.t.~allcm2 sec. Generalmente si tratta di aree

vulcaniche, per cui esiste 'un contributo ga al flusso .superficiale, dovu­

to aIia presenza di .una massa magrnatica intrusiva, cioè

Supponiamo che una piastra infinita di dimensione 2a, inizialmen­

te a temperatura Ti, si piazzi in un mezzo infinito inizialmente a tem­

peratura costante Td (Fig. 35). Poiché le isoterme sono para~lele allo

strato, vale l'equazione del calore in una dimensione. Se assumiamo il

piano centrale dello strato come piano z = O, il problema diventa quel­

lo di uno strato -a < z < a inizialmente a temperatura To = Ti - Td

in un mezzo a temperatura zéro.. Si tratta quindi di integrare I'equazio'- q + qq - reg a (71)

ne fU .. ~ .. i»

l .In questo caso è richiesta solo l'estrapolazione delle temperature

superficiali in profondità; questa si può ottenere calcolando separata­

mente le temperature profonde dovute al gradiente regionale e quelle

dovute all'.intrusione, e sommando. i risultati.

a·2T 1. ar~=k~"-'

con le condizioni ai limiti

(72)

- 74 - - 75 -

dalla qualevponendoz'-z

si ha2ykt

= {3

a-z

To fVkt 2T =--=- e- {3 d{3y1f a+z

---2ykt

da cui.

'r, [rf a ~ z a + z ] (75)T = -'- e + erf2ykt2 2ykt

Assumendo la superficie terrestre come piano z=O, il dicco infini­

to sarà ovviamente orizzontale e limitato dai piani' z = a e z =b, men­

tre la sua immagine si troverà tra z = - a e z = - b. Pertanto la (75)

Fig. 36 - Campo termico di un dicco

zia

~:

In Fig. 36 sono riportati alcuni valori numerici di Jo

per diver-

SI valori del parametro kt/a? in funzione di zia. Preso k = 0.01 cm 2/sec

e fissato a, essa rappresenta la distribuzione di temperatura, riferita a

quella iniziale del dicco, in funzione della distanza, riferita al suo se­

mi-spessore. Si vede, per esempio, che prendendo a = 1 km e V = 1000°C,

e usando i valori della Tab. 3, la temperatura dopo 32.000 anni (cur-

va '1) va da circa 500°C all'interno a circa 100°C a 2 km all'esterno

del corpo; ma dopo circa 160.000 anni (curva 5) la temperatura si sco­

sta poco dai 200° C su tutta la distanza considerata. Generalmente si as­

sumono 250-300.000 anni come tempo necessario perché si raggiunga

il regime stazionario.

In realtà, il dicco si può trovare ad una certa profondità sotto la

superficie del suolo, cioè in un solido semi-infinito. Teniamo conto di

questo col metodo delle immagini, cioè ipotizzando la presenza nel se­

mispazio negativo di uno strato simmetrico, alla temperatura -To.

(74)

z=-a

7 / / I· /

~ / / ~=O/-j--r-f--r-/ / / /

/

z= + a

z

Td

7/ /:' Ti/ /

-I--~-!--J- ­/ /./ / /

/ / I / /

Fig. 35 - Sistema di riferimento di un dicco-strato

T(z) = O per -oo<z<-a

== To - a ~z~ a

=0 a <z< 0.0

Usando la (51) si ottiene

f e-

(z - z')2

T=To 4kt dz'

2y1fkt

- 76 - 77 -

con questo nuovo sistema di riferimento diventa

To [z-a z-b lT = 2" erf -erf

2yk'i-2ykt...J

dove F(z,a,b) = erfz- a

- erfz-b

blema è2ykt 2y kt

kt= O

a2

.01

.1

1.0

5.

Tab. 3

k := 0.01 crrr /sec ; a

..v

~.

t = O sec

10 1 0

- 10 1 1

10 12

5 X 10 1 2

1 km

O anni

320

3.200, '

32.000

160.000

To- F (z.a.b) (76)2

la soluzione del pro- ":

TiTo0·5 . 1 o

z=O

'l7'ro0.5

---------r

(7'9)dx'dz '1 1001 00

T = 41l'iu- -00 -00 f(x', z') e

Fig. 37 ,---, Campo termico di un dicco in un mezzo infinito e semi-infinito

4.1.1.2 - Condotto. Cilindro orizzontale infinito.

Un condotto si può, rappresentare mediante un cilindro orizzonta­

le infinito, ovviamente parallelo al piano z = O, con sezione ' rettangola­

re a < z < b, c < x < d; la sua immagine avrà sezione' - a <:z'~<'-b,c < x < d.

La soluzione (51), generalizzata a due dimensioni, diventa:

(x-x,)2 + (z-z,)2

4kt

(77)

b 2

4kt l. (78)[

a2

e- 4kt­-e

Toy1l'kt

( ar~)z=o

T ~ :0 [F(z.a,b) + F(z,-a. -b)]

La Fig. 37 mostra come in un solido semi-infinito il raffredda­

mento sia più rapido che non in Fig. 36.

Un dicco orizzontale, se infinito, innalza uniformemente il flusso

di calore regionale; il gradiente termico da esso generato alla superfi­

cie (z = O) è dato da (Appendice II.1):

-;

78 -- 79 -

Pertanto, procedendo come per il semplice strato, la soluzione inun mezzo infinito è data da:

T = :0 [F(Z,a,b)' F(x.c.d) + F (z, -a, -b) • F (x.c.d)Jed in un solido semi-infinito

To [ " ].T = -4- F(z,a,b)· F(x,c,d)(82)

-:[F(Z,a,b) • F(x,c,dlTo8

T=

Il campo termico risulta ulteriormente ridotto.

Se nella (82) si pone b = 00 (e quindi anche -b = -00), si ottiene

un dicco verticale.

Pertanto, procedendo analogamente, si trova che la soluzione in un

mezzo infinito è data da

e per un solido semi-infinito

T = :0 [F(Z,a,bl + F(z, -a, -bl] Ftx.c.d)> F(y,h,l)

dx'Jd - (x-x,)2

dz' e 4kt

c

(Z-Z,)2

4ktT = T o lb

­41Tkt ':e

a,

e quindi

cioè

(80)4.1.1.4'- Laccolito, sfera.

L'equazione di Fourier (1) in coordinate polari, e nell'ipotesi che

le temperature abbiano simmetria sferica, diventa

T = :0 [F(Z,a,b) + F(z,-a, -b)] F(x,c,d)

Quindi la soluzione (77) è ridotta del fattore E(x.c.d).

Per ilca1colo del gradiente superficiale, per ogni funzione F valeuna relazione del tipo della (78).

ar a2T 2 ar- = k (-- + - -- )at ar2 r ar

(83)

Ponendo inoltre T = u/r si ottiene

Se consideriamo una sfera di raggio a con temperatura To che al

tempo t = O viene posta in un mezzo infinito alla temperatura zero,

dobbiamo integrare la (84) per r > O e con le condizioni ai limiti

au a2 u-=k--at ar2

4.1.1.3 - Batolito, parallelepipedo rettangolo.

Un batolito si può rappresentare mediante un parallelepipedo ret­

tangolo a < z < b, c < x < d, h < Y < l; la sua immagine sarà

-a < z < -b, c < x < cl, h < Y < l .

La soluzione (51) generalizzata a tre dimensioni, diventa:

foo foofoo (x-x')2+(y_y')-2+(z_z')2

T= 1 _,_ f(x',y',z')e- 4kt dx'dy'dz'

-00 -00 -00 (81)

u = To • r

u = O

u = O

per t = O

t = O

O<r<a

r > ar = O

(84)

80 - - 81 -; r .

ed integrando si ottiene

[

- (r-a)2 (r+a)2 ]1 r + a r-a 2y'kt -~ -~

T = - Toerf - erf --=- - ---==- (e -e )2 2y' kt 2y'kt ry'1T

J}(~+l-)2

4T"

Per una sfera in un mezzo semi-infinito, si può porre la (85) sot­

to la forma simbolica

T=To ·S(~,T)'

L'effetto complessivo del corpo e della immagine è dato da:

T = To [S(~'T) - S (~I,T)J (86)

dove ~ = r/a, 7= kt/a".

1{~+1 ~-1S(~,7) = - erf - erf--=2, 2y'7 '2y'7

____ [ (~-1)22 ~ ----- j-!- e 47 -e~ 1T

dr'

rr'

2kt ) dr'

(r + r,)2

4kt

rr'

(e,~kt - e

essendo r la distanza di un punto dal centro della sfera.

Il problema è analogo a quello di un solido semi-infinito, e la so­

Iuzione, analoga alla (52-), in questo caso è

T fa« - ~T = o O r; (e 4kt - e

-r2/4kt fa r'2Toe - ~r' e

2r y' rrktO

(85)

In. Fig. 38. sono riportati alcuni valori numerici di TITo per diver­

SI valori di :i ;il confronto con le curve di Fig. 36 mostra come u­

na sfera, a causa della sua limitatezza, si raffreddi più rapidamente diuno strato infinito.

dove ~1 '= rl la, essendo rl la distanza del punto dal centro dell'immagi­

ne.~,

4.1.2 - Metodo' delle sorgenti.

4.1.2.1 - Regime variabile.TITo l' " I I1-"""':" lO \1

o J 2 3r/a

Fig. 38 - Campo termico di una sfera T=~8(1T kt)3/2

e,'-z')Z re­

Y2

dy' (87)

- 82 - 83 - .

To, non lo è altrettanto farle su quello di Q, per cui le formule

del tipo della (89) possono essere usate piuttosto per calcolare il rap­'porto T/Q.

!"~. ~

Q ~',: ,.(X-:-x')2 + (z-z')2[ Y-Yl y-y, ]T= ..4kte erf 2 V kt - erf 2V kt81f kt "~'f

~.

d . l' . - . y'-Y p.. •a CUI, con a sostrtuzione _/ = 1J SI ottiene2 v kt

e, ponendo anche in questo _caso

(90)

(91)

(92)',"'....' ....

X2 + (Z_d)2.n----

x 2 + (z + d)~

1·ln---,­

r

ò2 T ò2T+-'-+--=0

òy2 òz2

Qc

21fK

ò2 T

òx2

T=

Qc 1T.= 4.1f K -

'I·

Il metodo delle sorgenti si presta particolarmente per lo studio diproblemi in regime stazionario.

L'equazione di Fourier in regime stazionario assume la forma

4.1.2.2 - Regime stazionario.

Essa è soddisfatta da Qc/41f r K, dove Qc rappresenta il calore e­

messo nell'unità di tempo da una sorgente puntiforme costante, ed r

la dist~nza di un punto generico dalla sorgente.

Analogamente, il campo termico prodotto in un punto da una~..'~ .

sorgente lineare costante che emette Qc per unità di tempo e unità dilunghezza è dato da

dove r' _è la distanza del punto dalla linea.

Integrando la (91) si possono ottenere le soluzioni per solidi fini­ti o infiniti.

Nel caso di un dicco verticale semi-infinito avente il tetto paral­

lelo alla superficie terrestre, alla profondità d, partiamo da una sorgen­

te lineare in un mezzo semi-infinito parallelo alla superficie e posta al­

la profondità d (Fig. 39). La temperatura in un punto (x.z) è data da:

(X-X,)2 + (z+ z')2 ]4kt F(Y,Yl,y2)

(88)

(x - x')2 + (z-z,)2

4kt • F(Y,YbY2)eQ

f Y-YI 'Y-Yer -erf 2 - F'(2y'kt 2v kt - y, YI, Y2)

81f ktsi ha T

Trovandosi la sorgente in un mezzo semi-infinito, bisogna tener con­to della sua immagine; pertanto si ha:

Q [_ --=....(x_-_x_'..:..)....,.2_+....:.(z_-_z_'):.-2T=--- e 4kt - e

"8-1f kt .

Integrando la (88) tra limiti finiti o infiniti lungo gli assi x e z, si

ottengono gli effetti di corpi solidi limitati o illimitati (e della loro im­magine).

Per esempio, per il parallelepipedo rettangolo che si estende tra Xle X2; Yl e Y2 e z l e Z2 si trova

T=~ F(X,Xl1 X2)· F(Y,Yl,Y2)· fF(z,Zl,Z2) + F(Z,-Zl,-Z2)] (89)8· L

che è analoga alla (82).

Ovviamente, anche .in questo caso per i gradienti superficiali valgo­no relazioni del tipo della (78).

Rispetto al metodo della soluzione di Laplace, questo metodo ha

lo svantaggio che, mentre è abbastanza facile fare ipotesi sul valore di'

l i

I

- 84 - - 85 -

Fig. 39 - Sistema di riferimento di un dicco verticale

e integrando ancora rispetto ad x per -L/2 < x < L/2 si ottiene il gra­diente superficiale dovuto al dicco

Per ottenere il gradiente alla superficie, prodotto da un dicco ver­

ticale infinitamente sottile, basta prima fare la derivata della (92) ri­

spetto a z, integrare per d < z < 00 e porre z = O; si ottiene

(96)

(97)

: :o ...... :

R + 5 + .../ (R + 5)2 + 1ITI· •

~ - 5 + V (R - 5)2 + 1

1 ar=-~-

k òt

ò2T

òz2

(~òz \=0 = C 1 T •

Consideriamo l'equazione

dove R = x/d ed 5 = L/2d e C è una costante.

4.1.3 - Metodi alle differenze finite.

4.1.3.1 - Regime variabile: esempio.

o'!

I metodi alle differenze finite consistono nel discretizzare l'equa­

zione differenziale del calore sostituendo alle derivate i corrispondenti

rapporti incrementali e trasformandola cosi in una equazione o un si­

stema di equazioni algebriche. Risolvendo queste, tenendo conto delle

pondizioni iniziali .e al contorno, si ottiene una soluzione approssimata

del 'problema considerato; Il vantaggio del metodo consiste nel fatto

che' esso, in principio, si può applicare allo studio del campo termicoprodotto da corpi aventi forma qualsiasi.

Le maniere di fare queste operazioni sono diverse, ma tutte com­

portano iln gran numero di calcoli che oggi è possibile eseguire facil­mente con l'aiuto di un calcolatore.

Per rendere agevole la comprensione di questi metodi, consideria­

mo l'equazione di Fourier in due variabili, in regime transitorio e inregime stazionario.

definita in una regione R del piano (z.t), . " ,I • ~ • I -". \ • t·; ; : 1 ~ 1 ... ~

Sovrapponiamo ad R un' reticolo ideale mediante linee parallele a-gli assi z e t con spaziatura (regolare) 'risp'~tti~~"h~": è"h~', 'i 'cui p~:mti

(94)

(95)

• dx' dz'

x

1/d(1 + x2 /d2 ) 1/ 2

o

(òT ,òz )z=o = C

, L/2loo[ ."Qc (x - X')2 + (z - z'J,

T=-- In, ,4 7T K 1· (x-x'? + (z-z')Z ]

-L/2 d ,

~-.i' ~

Integrando q~es'tà' rispetto a z per d < z < 00, cioè

," '1 00

[ 2 j.";' ,Qc " x + (Z-Z')2T =' ,,::' .," In dz' (93)

47T.K, x2 + (Z-Z')2: { d '

si ottiene 1'effetto di un dicco verticale infinitamente sottile, e inte­

grando ancora rispetto 'ad ,*.,' per - L/2 < x' < L/2 si ottiene la tem­peratura prodotta da un dic'co, di spessore ~

(I

l

i I

- 86 - - 87 -

!".J::.

di intersezione si' ,chi~mano nodi (Fig. 40). tano o diminuiscono di 1 e la T varia di quantità finite. Allora l'equazione (97) diventa

Questa equazione lineare permette di ricavare la temperatura Ti,j+l

al tempo j+ 1~ note le temperature Ti-l,j' Ti+ l,j al tempo j. Ognunadi queste equazioni va risolta singolarmente in ordine successivo, par­

tendo dai valori noti della temperatura ad un certo tempo (che è una­condizione ai limiti).

Supponiamo di considerare il caso di una piastra infinita O~ z ~H

con le seguenti condizioni ai limiti

(99)Ti,j +1 - Ti,j

h2

1 1--2 (Ti+l J' - 2 T·· + T· 1') =-hl ' l,J 1- ,J k

z

R

~'."l,

-,

'\

.~ .

, i, j+l c,

:

, '-l . i j i 1,- ,.'

o

t

\

I

Consideriamo la funzione 'I'(z), sviluppando in serie di Taylor si

Riferendoci alla regione R coperta dal reticolo, i.ndichiamo . con

Ti,j il valore di T(z.t) nel generico punto PLj; nel .passa!e .da un nodo

al successivo o al precedente, distante. h 1 o h2 , gli 'indici i o j aumen

V:'" .In 'questo caso, in tutti i nodi sugli assi si ha T = O; nei nodi su

z = H si ha T = V (Fig. 41).

Fig. 41 - Reticolo per il problemadi una piastra superficia­le.

z = H

z = O

Applicando la (99) a partire

dai valori sull'asse z e proseguendo

riga per riga, si ottiene la distribuzio­

ne di temperatura per qualsiasi tem­

po t.

Il metodo si può ovviamente e­

stendere a casi a più dimensioni. . La

Fig. 42 a e b mostra un esempio ~i

applicazione al caso di un corpo di

forma complessa.

T = O per O ~ z ~ H

T=V

T=O

zH

per t = O

t>O

~

O ! ! ~ ! !vO V

O V

O VO

"O o O O O

O

t

.~ .

(98)

Fig. 40 -Reticolo di 'calcolo su un campo R

Considerando la funzione T(t), si può usare )'esp!çssione:.

T'(t) = T(t + .~t) - T(t)~t

ha:

{

T(z + h) = T(z) + h T'(z) + :h2 T" (.z) +

, T(z -·h) = T(z) - h T'(z) + -h2T "(z) +. 2

. ".1'1.·, . , .

da cui T(z + h) + T(z - h) = 2 T(z) + h2 T"(z) +

cioè T"(z) = :2 [T(Z + h) - 2 T(z) + T(z - hl

i I

- 88 - - 89 -

definita in una regione R del piano (x,z),

Sovrapponiamo ad R un reticolo quadrato di spaziatura h.

Ripetendo per la variabile x quanto fatto prima per la z si ha:

4.1.3.2 - Regime stazionaria.

a2 T 1ax2 = -h2 (Ti + 1]' - 2 T-. + T- .), 1,J 1-1,J

(100)

~ ::.

+ a2T~=O

a2 T

ax2

1h2 (T i ,j +l' - 2 Ti,j + Ti,j-l)

a2T

~

Consideriamo l'equazione

,:!" ;,; .~

o. :J:.:.

.1

Fig. 42 a - Temperatura dopo 100.000 anni di raffreddamento (V = 10000 C) , diun corpo a sezione irregolare (da Mundry).

e la; '(lÒO) diventa

Scrivendo una simile relazione per ogni punto. della griglia e tenen­

do conto cièlle condizioni al contorno, si ottiene un sistema di equa­

zioni da risolvere simultaneamente. In questo caso è necessario cono­

scere i valori di T in tutti i nodi del contorno di R (che deve essere

chiuso).

La soluzione' del sistema (l01) viene· cercata con una tecnica ire-• • '. • ~. • \ t

rativa, c~iamata, Rilassamento; con l'aiuto del calcolatore. Essa consiste

nel dare dei valori arbitrari alle incognite e calcolare J'err0.re (o, il re­

siduo), cioè il valore numerico, delIato sinistro della (101); qU;iRfl~I in­

crementando i. 'valori arbitrari iterativa~e~te,.si riducono gra~ual~~I;1t~i;';

i residui. . . '; .' o'.

o , • i •• :'. , ~

Vari esempi di applicazione di questo metodo sarann?da.ti nel se-

O'T~ '{<1 .: + T· 1 . + T-. 1 + T· . 1 - 4 T- . ,= Ol T,J 1- ,J l,] + 1,J-' 1,J . .,(101)

Fig. 42 b - Temperatura dopo 1 Ma di raffreddamento, (da Mundry)guìto.

fHn il> v;

li\ '

- 90..:'. - 91 -

-:-.1;\

{ d

2

ud,2 =0

u=Tì - (102)

1- per z = O

..... U =,T2 Z = h

corpo magmatico. Nel caso d~ un dicco orizzontale, si può studiare la

distribuzione di temperatura all'esterno, cioè fra la sua superficie supe­

riore e la superficie del suolo, rappresentando il, fenomeno convettivo

mediante un livellamento delle temperature in tutto il magma. Si trat­

ta quindi di studiare il caso di uno strato infinito O < z < h con tern

peratura iniziale f(z), con la superficie z = O mantenuta alla temperatu

ra T1 e z = h mantenuta a T2per il tempo t > O.

In questo caso abbiamo l'equazione

per t = O .l .. ""1,, '~f::""',:'':", 1;1 f'~ :',;

ed u e v soddisfino alle seguenti condizioni

(103)

_ z = h

O<z<h

,. )

z = O p. \! t ~ : \ "l~. J : ~ \ t.-". .' {

=k~DZ 2

T=u+v

DTDt

J,DV 92 V~=k--'

, Dt DZ 2

V = O pert v = f(z)-u

T = T1 per z = O

= T2 Z = h

= f(z) t = O~:";

Per risolvere questo problema, poniamo

con le condizioni ai limiti

4.1.4 - Influenza ~i·· altri fenomeni connessi. *

Questo metodoxii i.?terpretazione trascura alcuni aspetti importan­

ti come: le variazioni" delle, proprietà termiche delle rocce; il calore la­

tente e il range di solidlfiè~~ione; il meccanìsmo di intrusione e il pre­

riscaldamento del magma; il. metamorfismo delle rocce di contatto; il\

trasporto di calore ad opera-dei fluidi prodotti dal rnagma, le corren-ti convettive nel magma.

Alcuni di questi si possono trattare matematicamente, sia pure .con

una certa approssimazione, Per quanto riguarda il calore latente, in tut­

te le formule si può sostituire a To. la quantità To + LIc dove L è il

calore latente del magma e c il suo calore specifico.

Per quanto si riferisce al meccanismo di intrusione, il caso di due

(o più) intrusioni contemporanee (a profondità diverse), o successive (al

la stessa profondità o a profondità diverse) si può ottenere consideran­

do la somma di effetti separati. Per esempio, nel caso di dicchi oriz­

zontali, basta considerare la somma di espressioni del tipo della (77)

facendo variare i valori di a e b e l'origine dei tempi.

Gli altri aspetti sono molto complicati da trattare sia per le diffi­

coltà matematiche che' sorgono, sia per l'insufficienza delle informazio­

ni vulcanologiche necessarie per definire le condizioni ai limiti. Tuttavia,

qualche utile semplificazione è comunque possibile, come quella riguar­dante i moti convettivi.

La possibilità che insorgano tali moti nel magma è importante nel

processo di raffreddamento, che ne viene ovviamente accelerato. Si ri­

tiene che la convezione .awenga più facilmente in corpi di grandi di­

mensioni. Schematicamente, si possono distinguere due fasi temporali

nel processo di raffreddamento: la prima, in regime convettivo all'inter­

no del magm~ e conduttivo all'esterno; la seconda, quando il magma

è solidificato, in regime conduttivo ovunque. ,

Un modo, ovviamente semplificato, di studiare gli effetti della pri­

ma fase è quello di considerare solo quel~o che accade all'esterno 'del

·1 - 92 -.,\

- 93

h { " l ./-

2 z' n 1Tz'"n = h L f(z') - [TI + (T2 - TI) h J} sen -h-· dz'.

La Fig. 4:3 a e b mostra qualitativamente .1'effetto della fase di COI!

vezione interna al magma e quello di· totale conduzione.

R

!a .. Wrr----,!i_

llcopmu~ .1 '

~acquifcr~ . ~. ·1

Fig. 44 - Schema di circolazione' idrica";:

lore è molto elevato, per cui deve esserci una massa magmatica profon

da. La sede dei fluidi è una' falda acquifera (artesiana, nel nostro caso)

che si trova tra l'intrusione e la superficie del suolo e che avrà una zo­

na. di ricarica ed una zona di scarica non sempre evidente j in molti ca­

si, l'acquifero è alimentato anche dal basso 'da fluidi caldi che risalgo­

no dal magma attraverso faglie profonde (Fig. 44).

L'acqua si muove in questo sistema ed il suo moto è regolato dal­

la pressione idraulica; il tutto è più o meno fortemente riscaldato sia

dal flusso di calore regionale, sia e soprattutto dal calore emesso dalla

intrusione, per cui è molto probabile che in alcune parti della falda si

verifichino sia cambiamenti di stato che moti convettivi.

Se le dimensioni della superficie della falda sono molto grandi al

confronto della superficie superiore dell'intrusione magmatica, si può di­

re 'che tutto il calore emesso da, questa viene catturato e trasmesso ver­

so l'alto. dalla falda; essa agisce come una sorgente secondaria, rispetto

al magma che è la sorgente primaria. Pertanto, la temperatura nella co­

pertura' irripe~eabi1e del sistema fluido è regolata soltanto dalla'. tempe­

ratura della superficie superiore del sistema; per l'interpretazione geoter­

mica, .noi dobbiamo dedurre questa, partendo da misure superficiali.

La temperatura della superficie superiore della falda regionale varia

(104)

(105)

a

z

- kn 2 1T2/h 2

eh

n1Tz00

u = T l' + (T 2 - T 1) • z/h..~ ........

v = 1: an seri --­l

b) Conduzione

Fig. 43 - Effetto di un' dicco alla profondità a.

Fluidi ad alta Entalpia.

Se 'in una regione si' trovano fluidi ad alta Entalpia, il flusso di Cf!

per il sistema (103) si ha -v Appendice II.3)(

Per il sistema (102.) si' ha

dove

4.2

I

.1

Ia

I \ lO \

\ \

\ \

\ \\

z' \ \

I !a) Convezione

- 94 - 95 -

(110)

I

. ~.J:.

nel tempo e nello- spazio in relazione ai fenomeni termodinamici che aç

cadono nel suo interno .e .al raffreddamento della sorgente primaria.

E' stato mostrato 'che uno dicco infinito -orizzontale di 2 km di

spessore immerso in un, rÌì{::zzo infinito, raggiunge lo stato stazionario in'l'

circa 250-?00.000 anni; questo tempo, che già si riduce in un mezzo

semi-infinito, viene ulteriormente ridotto dal fatto che la convezione al

l'interno della falda trasferisce il calore ~olto più rapidamente della c0T!

duzione. Poiché, inoltre, si può-ragionevolménte supporre che i moti

fluidi nelle falde regionali profonde siano stazionari, si può in definiti­

va assumere che il regime conduttivo nello strato superficiale di coper­

tura sia stazionario, a meno di intrusioni molto .recenti.

per uno strato 0< z < d, O < Y < 00 con le condizioni ai limiti

T = f(y) per z = O y>O (107)

=0 z = d y>O (108)

=0 O<z<d y = O (109)

Per risolvere il problema partiamo dal fatto che, qualunque sia ~

l'espressione sen ~ y.senh ~ (d-z) soddisfa la (106) e le condizioni (108)

e (109). Pertanto, se F (~) è una funzione arbitraria (indipendente da

z e y) anche l'espressionersen ~ y.senh ~ (d-z) F (~) d ~

4.2.1 - Campo termico generato dall'acquifero regionale.

Per un modello di carattere generale, assumiamo che l'acquifero

sia orizzontale e semi-infinito e la copertura uno strato piano, con la

superficie superiore e quella verticale (zona di ricarica) a temperatura

zero e la superficie inferiore a temperatura variabile (Fig. 45). Consi­

derando il problema in due dimensioni, si" tratta di integrare l'equazio­ne di Fourier

le, soddisfa. Perché la (110) soddisfi la condizione (107) è necessario

che sia (per z = O)

senh ~ d. F (~) =~ Joof(y') sen ~ y'. dy'1l' .

O

f(y)[sen ~ y. senh ~ d. F( ~). d~~:'';

cioè f(y) è la" trasformata di Fourier di senh ~ d. F(~) (v. AppendiceII. 3). '.

Facendo I'antitrasformata si ha:

(106)a2T

+ -ay2 = Oa2 T

az2

z

La soluzione del nostro problema è quindi

[00 )002 senh ~ (d-z)· .

. T = - sen ~ y ~ d • d ~ f(y.') sen ~ y'. dy'1l' senh ' .

IO o

Sotto la condizione che sia If(y) I<a .eclyl dove a e c sono co­

stanti positive, si può invertire il segno di integrazione ed eseguire la

y

T=f(y)

1'=0

doIl

t-<O' r

Fig. 45 - Sistema di riferimento per una piastra semi-infinita

- 96 - - 97 -

T = f(y) per z = d

L'integrazione della (111) o (112). presenta delle difficoltà quan­

do. f(y) ha una espressione complicata, come appunto è probabile che

sia, per cui è opportuno eseguirla con metodi approssimati. Una volta

fissata la profondità z,un'a operazione di best-fit tra i dati sperimen-.

tali ed un set di curve ottenute per diversi andamenti di f(y). può ser­

vire a definire quest'ultima. Questa può rappresentare una importante

informazione riguardo ai fenomeni termici regionali all'interno della fal­dae al' disotto di essa.

• '!",i' ~

prima integrazione', rispetto a ~. Si ottiene

T = 2~ sen ~dZ :1.:f\t ) ·1f ["(d-z) ] 1 [ 1T (y - y') ]o, "r cos --- + cosh

t'. d d

i\ }-.1T(d-Z)] "':',. [(y+~,~ .• dy'. (111)+ cosh --- c,

d " d, .,"; - ' ..

In punti lontani dalla zona di ricarica, la falda si .può assumere

come uno strato infinito O < z < d e - 00 < Y < 00, con le condizio­ni .ii, limiti

. :.

Consideriamo il caso che il tetto del serbatoio sia una superficie

inclinata che parte dalla zona .di ricarica, la regione di interèssèlè-rap­

presentata (Fig. 46) da un triangolo ABC. Assumiamo alla superficie '"

del suolo (AB) una temperatura costante; sulla.. ~u.,~ç~fic.ie inclinata...<AC)una temperatura che cresce esponenzialmente fino alla, te,ll1pçratura Tg;

'. : . .' 'l' ...•.. o.· •

sulla' verticale a grande .dlstanza dalla zona di. rica~ic~:.~n.'~fapient~ c?-

4.2.2.1 - Superficie inclinate.

In pratica, altre cause possono 'far variare la distribuzione del flus­

so di calore; in particolare, un ruolo importante riveste la tettonica del

mezzo acquifero, che si ripercuote sulla geometria del tetto della falda

principale. Si possono trovare, cioè, tratti rialzati o sprofondati, gradini,

superficie inclinate che, in alcuni casi, possono favorire la, risalita di ac­

que:l?iù ~alde o l'accumulo di vapore, costituendo così i serbatoi di'

diversi campi geotermici.

Dal .punto di vista termico queste strutture generano delle anoma­lie locali .che si sovrappongono all'anomalia regionale; esse vanno inter­

pretate dopb opportuno filtraggio.

Consideriamo ora' alcune strutture'geometriche particolari, per le

quali l'equazione di Fourier viene espressa sotto la forma (101);' inol­

tre per ogni struttura bisogna stabilire le condizioni ai ·limiti. Trattan­

do con metodi numerici, facciamo solo esempi numerici. .

4.2.2 - Campo termico di particolari serbatoi.

L'espressione (111) rappresenta il campo termico regionale e com­

prende il campo regionale principale, proprio della provincia tettonica.

Ovviamente, un campo geotermico sfruttabile si trova con maggiore .prQ.

babilità nel luogo dove la (111) raggiunge il valore massimo; questo, in

linea di principio, dovrebbe trovarsi sulla verticale della sorgente prima­

ria.

z> O

f(y')

L7f(d-Z)] h [1T(Y"::Y) lcos -- + cosd d ~

=0

00

1 1TZ (T=--sen-- •

,2d d J r-00

La (111) diventa

!

/'

- 98 - - 99 -

4.2.2.2 - Gradino.

~)

ioo"

50°

200°

150°

T(~) su AC

Fig. 47 - Campo termico di un cuneo

50

°c

200

100

250

150

104m~. 224m

ò

O 0.5 1.0 1.5- 2.0 2.5 ~ km. C/104 m

:, l70'

60

50

40

30

201 2 3 4 5 6 7 8 . 9 10 X

BOC

T=To+G.z;G= Ts-To

T = T, _ b e-c~ H

T = ToAB

BC=H

AC

stante.

Si hanno cosi le condizioni ai limiti:

'su

B

c

ToA

To = 15°C, T, = 250°C; b = 235 ; c = 0.00121 .

Supponiamo che il tetto del serbatoio presenti un gradino e con­

sideriamo due 'casi distinti.

La Fig. 48 mostra i risultati ottenuti facendo variare c; il gradien­

te superficiale è stato ottenuto come rapporto tra la differenza di tem­

peratura relativa al primo passo del reticolo (rispetto alla superficie) e

il passo stesso.

E' importante notare che in questo caso il punto di massima ano­

malia del gradiente non corrisponde mai a quello di massima tempera­

tura in profondità.

A. Temperatura costante sul gradino = TsAssumendo che la temperatura abbia gradiente costante a grande

distanza dal gradino, e indicando con Hs e Hi risp~ttivamente le pro-

~ . Se -Ia geometria è nota, facendo variare i pa­

rametri Ts, b e c si..ottengono diversi arida­Fig. 46 - Schema geometrico menti per il gradiente' superficiale che vanno

di un cuneo. frontati Il d' lcon rontan con que o ottenuto me tante a

prospezione.

La Fig. 47 mostra i risultati ottenuti per il triangolo avente le di­

mensio~i geometriche descritte in figura e .assumendo:

- 100 - 101 -J.,

fondità della sezione superiore e inferiore del gradino (Fig. 49), le con­

dizioni ai limiti sono:

0:-. ,:.i:.

o < z < HiT -Tos z,

Hi

Tg - ToT = To + z, 0< z < HgHs

T = T o

T = Ts

T = T o +

To B

& E ) T }~1 s IF

TgTg---'

D

AC

A

c

CDEF

su .. BF

su AB

, '. Fig. 49 - Schema geometrico di un gradino a temperatura costante9:

B. Temperatura variabile sul gradino

Supponiamo che sia (Fig. 51)

La Fig. 50 mostra i risultati ottenuti per To = 15°C; T, = 220°C

e le dimensioni descritte in figura. Come si vede, in questo caso il gra­

dino produce una' anomalia positiva, che sarebbe ancora più accentua­

ta se sul tratto rialzato la temperatura fosse piy alta.:

10987

3 Km

T(~)

6

2

543

1

20

101 1 2

250°c

200

150

100

50

OO

°C/104m

• z sul tratto verticale.T = Tss +

T = Tss sulla parte rialzata

T = Tsi sulla parte ribassata

Tsi - Tss

Hi-Hs

Fig. 48 - Variazione del gradiente superficiale di un cuneo, al variare di T (~)

- 102 - - 103 -

°C/lOO m

23A To B

Fig. 51 - Schema geometrico di un gradino a temperatura variabile

l 'F

Hs

(TssE

Tsi

H'l

\c

20

17

19

16

18

21

22

15

15° 15°C

Fig. 50 - Campo termico generato da un gradino a temperatura costante

o < z < Hi

n, < z < Hi

0< z < Hs

Le condizioni ai limiti sono

su AB T = Tor~:

T = To + Tsi - 'r,AC • Z

H·l

CD T = Tsi

Tsi - TssED T = Tss + • Z

Hi-Hs

EF T = Tss

Tss - 'r,BF T = To + • Z

Hs

La Fig. 52 mostra i risultati ottenuti. per r, = 15°C; Tss = 1500C

e Tsi = 300°C e la geometria mostrata in figura. In questo caso il gra­

dino produce una anomalia negativa, compatibilmente con il salto ter­mico Tsi - Tss e con il salto geometrico Hi":"" Br"

x

---- 50°

~1000

150

----- 200'

220°

200m

L200m

14 11- - - - - - ....--

- 104 -;,. - 105=-.J"

.-----50°

100°

Questo caso è la' naturale estensione del caso precedente ma, poi­

~,çhé esso favorisce particolarmente l'accumulo di fluidi più caldi, convie

ne ,ugualmente trattarlo. Anche in questo caso consideriamo due si­

tua~io~i distinte; assumiamo che la temperatura abbia gradiente costan- .

te a grande distanza dalla struttura, ed usiamo lo stesso simbolismo delcaso .precedente,

,~,'1 .

A. Temperatura costante sul doppio gradino = Ts ,

Le condizioni ai limiti sono (Fig. 53)

su AB T = To'

CDEFGH T = 'r,

4.2.2.3 - Doppio gradino.

Questo è un caso par:icolare, sia perché. generalmente è. sui trattirialzati che si aspettano temperature, più elevate, sia per il. salto di tern

peratura supposto. Solo nei casi a) di una sorgente magmatica molto vi

cina alla falda acquifera e posta proprio in corrispondenza del tratto

.ribassato, b) di correnti convettive nella' ,falda, con i lembi ascendenti

anche in questo caso proprio sotto il tratto ribassato ci si può. aspetta­re situazioni simili.( Fig. ,51).

~~'f

~..

."- <,

--------:----------------15°C

21

16

20

17

18

19

°C/l00 m

15

141~------------------------

Fig. 52 - Campo termico generato, da un gradino a temperatura variabile

.300°

L_------- -250°

B'

H

0< z <.Hi• z

G

Ts-ToHi

To

T = To +

D

A

AC e BH

fHs

H· E Ts ~ F Bil

Ts Ts

Ts TsC

Fig. 53 - Schema geometrico di un d~ppi~'gradino

150°

200°

200nJL .' 200m- .

150° l'

[l'

I I

- 106- 107

La Fig. 54 mostra i risultati ottenuti assumendo To

Ts = 250?C e le dimensioni descritte in figura.15°C e B. Temperatura variabile sul doppio gradino.

Supponiamo che sia (Fig. 55)

40

1/OC/lOO m .

35J

B

HG

T o

D

T = Tss sulla parte rialzata

T = Tsi sulle parti riabassate,

T = Tss + Tsi - Tss• z sui tratti verticali

Hi -Hs

A -

!H' E T ss

~sF I-lil

Tsi TsiC

Le condizioni ai limiti sono:

su AB T = ToCD e GH T = TsiEF T = Tss

ED e FG T = Tss + Tsi-Tss n, < z < Hi• zHi-Hs

AC e BH T = To + Tss - ToO <z<Hi• z

H'l

:~ .

==-----50°

--- ~-10004 250

0 1\ " 1500/r200""L I ~2000200m

-----------------:----------15°C

25

20

30

15

250° ,250° Fig. 55 Schema geometrico di un doppio gradino a temperatura variabile

La Fig. 56 mostra i risultati ottenuti assumendo To = 15°C,

Tss = 150°C e Tsi = 125°C e le dimensioni desdritteinf'iguifi..<

Fig. 54 - Campo termico generato da un doppio gradino a temperatura costante.

- 108 -

l1

! - 109 -

:"J",

4.2.2.4 - Esempio: i campi geotermici Tosco -Laziali.

La Fig. 57 mostra la mappa del flusso geotermico (in mWm- 2) in

Italia; in. essa si riconoscono varie province tettoniche che corrispondo-

no ad altrettante province di flusso di calore. .

Proseguendo da Nord abbiamo le seguenti province:

- la fascia orogenica delle Alpi, con flusso medio q = 80 mWm- 2

- la fascia' delle fosse di sedimentazione dalla Pianùra Padana, alla

costa Adriatica, la Fossa Bradanica e la fossa della Sicilia, con flus

. so medio q = 40 mWm- 2

- la zona .di distensione Tosco-Laziale, con flusso medio maggiore

di 80 mWm- 2

- la zona vulcanica Campana con flusso maggiore di 80 TI:1Wm-2

- la zona di piattaforma carbonatica Adriatica-Appula-Sicula, con

flusso medio di circa 60 mWm- 2

- la zona di distensione Tirrenica con flusso maggiore di 80rrÌWm- 2•

In conclusione, abbiamo. considerato casi in cui nel rialzo tettoni­

co i fluidi sono alla stessa temperatura del tratto ribassato, e casi in

cui sono a temperatura diversa.

In generale, in corrispondenza del rialzo si osserva un aumento del

gradiente (e quindi del flusso di calore); solo nel caso che la tempera­

tura nel tratto ribassato sia molto più alta di quella nel tratto rialzato,

si può ottenere sul rialzo una diminuzione del gradiente. Ovviamente, la

possibilità di rilevare in superficie queste anomalie locali è subordinata

alle dimensioni geometriche del serbatoio ed al salto termico che lo Cl!

ratterizza.

J 120°125°

cv'

~ - :::I 200 m 1 I \ 90"

~

400 m

15°C-~-----==================-----

125°~--- I

lO

15

20

°C/100m

25

Fig. 56 - Campo termico gener3:t? da un doppio gradino a temperatura variabile

La Fig. 58 mostra la mappa dettagliata del flusso di calore osser­

vato sulla fascia pre -Appenninica Tosco-Laziale, che è sede di impor­

tanti campi geotermici; questi quindi si trovano in una provincia tetto-

f ;

f '

I:

Ii

1

. [

.1

l !

,[

I \.II

ITALIA

Mappa de' flusso ~i calorein mW.m-2

'l,.,

- 110 -

Fig. 57 /"lIlIfj

·1

1.

Fig. 58 -

- 111 -

Mappa dettagliata del flusso di calore (in mWm-2)

Appenninica Tosco-Laziale (da Haenel et al.),nella fascia pre-

l ' ì- 112 -

- 113 -

- #

'. :·t.~:..:

~':~In"""!'r,'

f f

Sistema.. di

fratture

··1' , 1·f·

Sorgente primaria

friFlusso di calore della provincia geologica

Schema ideale del sistema di, riscaldamenm d~jl~falda.regionale Teseo-Laziale. J. ,. • •••

R

nica con flusso regionale mag~iore di 80 mWm-2 .:

La Fig. 59 è una sezione idrogeologica schematica della stessa fa­scia; come si vede, la sequenza carbonatica rappresenta la sede del­

l'acquifero regionale. che ha la zona di ricarica sui contrafforti dell'Ap­pennino, e prosegue verso il mare.

La Fig. 60 rappresenta idealmente la modalità di riscaldamento de!la falda regionale, ad opera di una supposta massa magmatica, posta a

grande profondità. Essa può riscaldare sia per conduzione sia per appor

to di fluidi caldi attraverso fratture nel mezzo impermeabile, interpostotra il magma e l'acquifero.

La superficie superiore della falda regionale presenta le forme tipi-

Copertura impermeabile

~.,;

Stratoimpermeabile

" .

Fig. 60

-c;;.J->v

'"~"O.

o(,)

.~

l:g

E11).

-5;(f.);

I ~!

0\'li')

.!:PtI,.'

';;j

~U<i3

"O.,-"

.-- ~

3J

8~'"(,)'E'Eea..a..

1~a..

·e~

~~~

~

cv4:n -=4:n

cv

.!il

jj

~J~zo.~o

111' '~Icv -=In

4:ncv

I~

~:

j

:)

v;

j

l

/'I

l ' l',."

Hl

' ..'",.

R5U3)J

,C,,, : ::,\.<;.}:~,::::::: (<::'.:::',

- 115 -

.::;.'";: ':. ., ' l ~ ".. "o_o." ..

Fig. 63 - Schema del campo di' Torre-Alfina

o 0.5 Hm, , ! ! • I ,

Rj2

T l'Ozzi1eplorativi

o-j,_·m. -- ~ --- .~~~ ':::-:--'"r---' .........~

'~1

" '

Fig. 62,':- Campo geotermico intorno ad una faglia del campo di 'Travale (da. ~\Celatiet al.).

+

+600 ID

-r-900ID

l

I

Hll

2.5 im

~3T,8113

")

2

/'

R)l

TpozdI eiplorativi

, , I ,

Fig. 61 - Schema geotermico del campo di Travale (da Celati et al.)Temperature in °C.

D

50n. " v_

m 1\""~-, ""'T ---r-

-lUUO

'.I:,

- 114 -

che della tettonica ;'dei carbonati; faglie, horst, graben e superficie in­

clinate. Alcune -di. ·,queste. strutture rappresentano altrettanti campi geo­termici; peresempi:o::." ...-

'il campo di Traoale (FigJf, "61) corrisponde ad una superficie inclinata

ed è stato interpretato mediante il modello della Fig. 46; una impor­

tante faglia nel campo di :"J:ravale (Fig. ,62) è stata interpretata rnedianre ,il modello xlella Fig. 5O; '- ~

. il campo di- Torre Alftna (Fig. (3) corrisponde, ad un horst ed è .sta­to· interpretato "mediante il modello della Fig. 56.

Al disotto, della falda acquifera sono state. accertate temperaturesuperiori a 400°C i~ rocce secche.

I

l

}'

116.~ J+

4.3 - Fluidi a bassa entalpia.

Come nel. caso À~ a;.lta· Entalpia, la sede dei fluidi a bassa Entalpia.è una falda acquifera"artesiana con una zona di ricarica ed una zona

di scarica tra le quali l'acq~a è in moto comunque regolato dalla pres­

sione idraulica: In questo caso, il sistema è riscaldato essenzialmente o

sola~entedai flusso di calore. regionale e', prescindendo dagli eventualifenomeni termodinamicì che possono aver luogo all'interno della falda,

la- temperatura nella. copertura impermeabile .dipenderà, anche questa-ve]

ta, solta~t?dalla distribuzione di temperatura sull~ superficie superiore4ell' acquifero.

43.1 - Campo termico generato dall'acquifero..

Nella ricerca di fluidi a bassa Entalpia, si può ammettere che il

regime. termico, .:al.l1.le~? ad :unac:~rta distanza dalla zona di ricarica, siastazionario. .

Pertanto, per il campo termico dell'acquifer9 regionale consideratoorizzontale e semi-infinito, vale il tipo di trattazione esposto in 4.2.1,

mentre per le 'diverse strutture geometriche . che possono movimentare

la superficie superiore dell'acquifero, si può adottare la trattazione e­sposta in 4.2.2.

L'unica differenza è che in questi casi la temperatura al tetto del

serbatoio è molto più bassa di quella nei casi ad alta Entalpia.

4.3.2 - Esempio: la situazione italiana.

La Fig.. 64. è una mappa .della distribuzione delle temperature nelsottosuolo in Italia; essa rispecchia alquanto la distribuzione del flus­so di calore.

Tralasciando, 1) la fascia circum-Tirrenica dalla Toscana alla Carn-

03"

o..

.a"

" '

117 -

Fig. 64.

ConllllllQl H.'locw. dali. R1C:1l1çh.

bUIlUo JlIt.,nulonai. 'U' J. Rlclllch • .Q~oll1'mlCh•• 1.,.

,.-

"'--/

- 118 - - 119 -. '-':.

MARE .

ADRJATICO----b-

....

ARGILLE E MARNE

COMPLESSO CARBONATICO

SCISTI E FILLADI

~tillJ

~

.~

.,....~::-r:4:J::::;::5:~C?I-jf"-r:::.~t:..:::l::::·,~{.jt:;~~:!?·;:i:f;{t;w~~::~~}i~1

~..;•• ; ... ~..,j,o

....;..~'........~

PRE- APPIHRJHO[" .

APPENNINO

Fig. 66 - Schema idrogeologico della fascia pre--Appenninica Umbro-Molisana

pania, dove esistono fluidi a,d alta o medio-alta Entalpia e rocce. cal­

de secche, 2) la fascia Alpina, per motivi di praticità, 3) i bordi delle

piattaforme carbonatiche, perché generalmente imbevute di acque mari­

ne che le raffreddano, le zone interessanti per il ritrovamento di flui-

di a bassa Entalpia sono le fosse Plioceniche. .,

La Fig. 65 mostra una sezione schematica idrogeologica della Pia­

nura Padana, la Fig'. 66 è l'equivalente per la fascia Adriatica.

~o~e si vede, in entrambi i casi l'acquifero, partendo dalla zona

di ricarica, sprofonda sotto le formazioni impermeabili secondo superfi-

1

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l '

Il·II

I·

- 120 -

ere generalmente inclinate, ma sempre tormentate dalla tettonica del ba­

samento carbonatico. In questi casi è molto probabile che le anomalie

locali non siano faciIITi'ente., osservabili in superficie, per cui la previsio­

ne della temperatura in, profondità è basata solamente sui modelli eSPQ

sti in 4.2.1 o in 4.2.2.l.

Molto più promettenti sono le aree di estensione limitata, ma ca­

ratterizzate da flusso di calore' normale, come le parti interne delle piat

taforme carbonatiche, anche se in queste aree lo. spessore di areato può

essere di qualche centinaio di metri.

l

;.

Appendice

LO STATO TERMICO DELLA LITOSFERA*

Dal punto di vista termico, la Litosfera terrestre si può definire CQ

me lo strato più esterno, limitato alla base dall'isoterma del punto di

fusione delle rocce che costituiscono il Mantello superiore. Essa, sui con

tinenti, è costituita da uno strato sedimentario non sempre presente, di

circa 10 km di spessore, da uno strato di rocce granitoidi, produttore

di calore, di circa 10 km, di uno strato intermedio di circa 10 km, e

d~ uno strato di rocce basiche (Mantello superiore) di circa 70 krn. Su­

gli oceani lo strato sedimentario non è sempre presente, mentre manca

del tutto lo strato di rocce granitoidi, pertanto lo spessore totale è di

circa 70-80 km.

La .variabilità spaziale e temporale del flusso geotermico superficia­

le è un' .ohiaro segno che la Litosfera è attiva; la stessa variabilità del­

le forme della superficie esterna è conseguenza delle sue vicende.

E' ormai largamente accettato che la Litosfera non è uno strato

intero, ma' che è costituita da un numero limitato di tessere adiacenti

(piastre tettoniche) che ricoprono la Terra come il copertone di un pa]

Ione di foot-ball. Da circa 200 M di anni queste piastre sono in movi­

mento (Fig. 1.1) per il fatto che lungo alcune giunture (creste oceani­

che) viene creata nuova Litosfera, lungo altre (fosse oceaniche) viene di

strutta j di conseguenza, lungo altre le piastre scorrono fiancheggiandosi

(faglie trascorrenti).

Le parti più antiche della Litosfera sono rappresentate dagli scudi

Pre-Cambriani e dalle parti più profonde degli Oceani. Il flusso di ca­

lore osservato in queste regioni ha un profondo significato; esso 'rap­

presenta (al limite) il flusso che si osserverebbe su tutta la Terra se

questa non fosse stata sconvolta da più recenti attività: il flusso geoter

.05

= .35

q =1.1

------M

- 123 -

..........--- t = .7

=: O

= .45

t= .6

q = 1.05 J,L eallcm2 sec

M -_ »>"

. }

Fig. L 2 - Flusso termico di equilibrio sui continenti e sugli oceani

I.~"l· - Condizioni termiche della Litosfera ai margini di piastra.

T1l

11i~~

il

II

Ii

!ll

v'- l1I. ij1

;'1

'.I:,

- 122 -

1

a) ai limiti di piastra, dagli eventi attuali;

b) in alcune zone .i.t;l~erne alle piastre, per i residui di eventi più anti­chi o anche per eventi attuali.

rmco di equilibrio qe ~ 1J,Lcal/cm2sec. Nel paragrafo 3.2 abbiamo vi­

sto le equazioni che regolano le condizioni di equilibrio termico; per·

completare .il quadro, nella Fig. L, 2 è riportato uno schema di distri­

buzione del flusso all'interno della Terra per i continenti e gli oceani

stabili. Come si vede, per spiegare l'eguaglianza: del flusso alla sùperfi­

cie, si deve ammettere che mentre il Mantello .continentale' non produ­

ce calore, quello oceanico contribuisce per circa 0.35 J,Lcal/cm2 sec..

-Prescindendo dalle aree che si possono considerare in quiete, la Litosfera .risulta termicamente perturbata:

(L 1)

Fig. L 1 Suddivisione della Terra in Placche L 1. 1. :- Margini di accrescimento: modello di Litosfera oceanica.

I margini di accrescimento sono linee di moto relativo lungo le

quali l~ 'I?:itosfera viene prodotta simmetricamente. La creazione di Li­

tosfera oceanica è dovuta alla risalita di materiale dell'Astenosfera lun­

go l'asse delle .creste .oceaniche ed alla sua espansione laterale con pro­

gressivo raffreddamento e solidificazione. Il flusso di calore osservato

mediamente attraverso le creste è rappresentato in Fig. L 3, in cui si

vede un decremento regolare, al quale sono sovrapposte perturbazioni do

vute a moti convettivi dell'acqua marina nelle zone prossime alle creste,

dove i sedimenti marini sono minimi 'o addirittura assenti.

Per spiegare i risultati della Fig. L 3, si può assumere, secondo

McKenzie, un modello bi-dimensionale (x,z) di una piastra di spessore

D, in moto costante con velocità oriz~ontale v, in regime stazionario

(Fig. L 4); la legge di conservazione dell'energia diventa

ar a2 T a2Tp Cp v-a- = K (--2- + -a'2, )

x ax' z

/dove Cp è il calore specifico a pressione costante, con le condizioni ai

3.0

2.0

u~

<'lEu

.:::::.c,j

~ 1.0

- 124 -

..~ ,

- 125 -

limiti che alla superficie e alla base la temperatura sia (costante) rispet­

tivamente Tc = O°C e T = Ts , essendo Tg la temperatura di solidifica-zione.

Introducendo le variabili adimensionali

T x zT' = -_. x' = -- . z' =-

Tg , D' D

l'equazione (L 1) diventa

a2T' aT' a2T----p -- + -- = O (1.2)ax,2 e ax' az,2

Fig. L 3 - Distribuzione del flusso di calore negli oceani

250

50

500

100

750

150

km

Ma

pCp vD \'1 d' \ ldove Pe = e l numero l Pèc et." K

'La (1.2) si può risolvere col metodo della separazione delle varia­

bili e sommando una soluzione lineare nella sola z' ad una soluzione

di Fourier in x' e z' (v. Appendice II). Si ottiene:

(00 2(-1)n+1 {[p' p2 1/2] }T' = 1-z'- 2: exp ~_(_e_+n21f2) .x'. sen(n1fz').(1.3)1 n n 2 4 ..'

Questa soluzione è rappresentata nel grafico della Fig. 1.5; essa ca­

de in difetto proprio nelle immediate vicinanze della cresta dove dà un

flusso che tende ad infinito.

Un modello alternativo è quello proposto da Parker ed Oldenburg

quali suppongono che la Litosfera poggi su una Astenosfera liquida e

che l'interfaccia sia la superficie limite solido-liquido dello stesso ma­

teriale. Pertanto tale superficie delimita I'isoterrna del ipunrocdi fusione

Tm, e ~ la condizione ai limiti su di essa èl,

I,

z

T = 0°

D

T=Ts

x aT aTv p L = - K (- + -,- )f.··

aX aZ".. (lA)

Fig. 1. 4 - Sistema di riferimento del modello di crosta oceanicadove L è il calore latente di fusione. ',7.;:-:'':'

T

- 126 - - 127 -~ .1'

ql

3o~

<"le~ 2r1::L

--------- ~ --

5

Jjo~-;;;~c:.:.:::.:...::..::.:.:::.::.:.:.::..:..:.:..:::=:.__.::..:__:..:..:..::._. TIT m-l

Fig. L 6 - Campo termico nelle vicinanze di una cresta oceani ca secondo Parkered Oldenburg

:- perficie mantenuta a To. Si ottiene la soluzionekm

terma(1.5)

(1.6)

zerfc --=~

:::: 0.1

Tm-TTm - To

Tm -T

Tm -To

Essi definiscono la Litosfera oceani ca uno strato limite termico lacui base si . trova alla temperatura Tm tale che

Pertanto il suo spessore è dato da:

zD :::: 2.32 ykt

l.m.

SOOkm

339°C

422°C

ssoOC

sooOC

239°C107°C

oOC°l~ i

km

Fig. L S -- Campo termico intorno ad una cresta oceanica secondo McKenzie1. 1.2 - Margini di consumazione.

Integrando la (1.2) con la condizione aggiuntiva (lA) si trova che

lo spessore della Litosfera è proporzionale alla radice della sua età (Fig.I. 6), oltre che un valore finito di q sulle creste.

Allo stesso importante risultato arrivano Turcotte ed Oxburg con­

siderando il raffreddamento della Litosfera oceani ca simile a quello di

un solido semi-infinito inizialmente alla temperatura Tm e con la su-

I margini di consumazione sono linee di moto relativo lungp: ..le '

quali la Litosfera viene distrutta asimmetricamente; la distruzione avvie­

ne per sovrapposizione di una pias~ra all'altra. Se la pia~tra soccomben­

te è oceaniea, essa sprofonda nell'Astenosfera come un corpo rigido re­

lativamente freddo e viene progressivamente consumata, l'evidenza super­

ficiale è un sistema arco-fossa. Se la piastra soccombente è continenta

.··u:,

A

T'=1·0

01 i i J j i l 7 i i j'

200

100

- 129 -

600 I <', ! ! I ! t" ='-600 -500 -400 -300 -200 -100 O 100 200

km

Fig. L 8 - Campo termico prodotto dalla subduzione secondo McKenzie

B. Il flusso di calore osservato lungo una zona di consum~~l~~e conti­

nentale è riportato in Fig. L 9a.

Quando due' piastre continentali convergono, la crosta continenta­

le, a causa della sua bassa densità, non può essere subdotta a grandi

profondità. Come conseguenza, si verificano':feilOmeni "di' accotciamento

crostale, piegamento e compenetrazione,' e 'si forrnanoJe montagne. E'

- il cambiamento di fase

- la"· convezione indotta nella zona compresa tra le due piastre

- l'ass6ttigliamento della Litosfera sotto i bacini retro-arco- la risalita di magmi fusi dal piano superiore della piastra subdotta.

Minear e Toksoz hanno affrontato il calcolo con metodi numerici,

tenendo conto delle prime tre ipotesi; i loro 'risultati dimostrano che

queste non sono sufficienti per spiegare compiutamente le osservazioni.

In definitiva, prendendo sempre maggiore consistenza' l'ipotesi che i ba­

cini retro-arco siano aree di 'distensione, la causa più probabile resta ia

risalita di materiale fuso.

lI

j

kmfossabacino retro-arco

1.0

- 128 -

1.5

2.0

jJ.cal/cm2sec

q

Fig. L 7 - Distribuzione del flusso di calore intorno ad una fossa oceanica

.. :

le, il galleggiamento .:della sua crosta limita lo sprofondamento ed il prQ

cesso di consumazione non è efficiente; l'evidenza superficiale è un si-stema fossa-cordigJiera.:~·.<:. .

A. Il flusso di calore osser~ato attraverso una zona di consumazione

oceanica è rappresentato iri,\Fig. 1.7, in cui si vede una coppia di ano­

malie che vanno da 1 a 2 ,u·:callcm2sec.Assumendo ancora un modello

bidimensionale, McKenzie calcola il riscaldam.ento per sola .conduzione

di una piastra che sprofonda in un Mantello isotermo, allo stesso modo

di quanto gi~ visto per il raffreddamento di una. piastra di nuova crea­zione.

La. soluzione proposta spiega. il basso flusso' di calore che si osser­

va in corrispondenza della fossa oceanica, ma non spiega l'alto flusso

di calore 'esistente dietro l'arco (Fig..1. 8). Molte ipotesi sono state fat­

te al riguardo per trovare una sorgente di energia che potesse produrrequesto fenomeno:

- il riscaldamento per .attrito lungo il piano superiore della piastra sub­dotta

- la compressione adiabatica

l

lI

I

'.I: :;

- 130 - - 131

a), :,~ ..~ !~jo

~:\;

tata con metodi numeri~i da Toksoz, Bird e altri (v. ad esempio Fig.

I. 9b), i quali hanno dedotto che differenti meccanismi di riscaldamen­

to hanno importanza in fasi diverse: cioè, in una prima fase è più im­

:portante il calore sviluppato per attrito e/o il contributo di diapiri dal­

l'Astenosfera; in una seconda fase è più importante il calore sviluppato

dalla radioattività.

Particolare attenzione è stata rivolta allo studio termico della par­

te più superficiale dove si verifica il raddoppio crostale(esempio, la ca­

tena Alpinc--Hymalaiana) accompagnato diffusamente dal fenomeno del

metamorfismo. Secondo Oxburg e Turcotteesso si può schematizzare

mediante la sovrapposizione improvvisa di diversi strati, come' nel feno­

meno della sedimentazione improvvisa (2.3.1), a cui si aggiunge l'effet­

to dell'erosione. Secondo gli snidi di Bickle sulle Alpi, per spiegare il.metamorfismo non è necessario invocare un flusso anomalo dal Mantel­

lo 'ma è sufficiente il calore prodotto dalla radioattività.

5'

"d~oO';l

50 e:.-t~..

150

o

- IIOOg

100200',i

_;,.-----....:.-.------~------1200

300KM

b)

I

(1.7)

....!'--~-~~-_:_----------------'--------ll 200

Fig. 1. 9 - Campo; termico prodotto dalla collisione di piastre continentali secondoBird et al.

possibile inoltre riconoscere delle fasi ben distinte di sovrascorrimento

e metamorfismo, che complicano notevolmente la situazione da un PUIl" .

to di vista termico.

Considerato nel suo insieme, il fenomeno termico è regolato dallaequazione

, aT'pC p " a< ::;: 'iJ(K. 'iJT) + A

dove A è la produttività "di calore .

La sua soluzione, con adeguate condizioni ai limiti, è stata affron-

I. 1.3 - Atlargini di trascorrenza.

I· margini di trascorrenza sono linee di moto relativo lungo le qua­

li le piastre li-rosferiche,scorrono fiancheggiandosi. Si suppone che lun­

go le facce di una faglia si sviluppi una grande quantità di calore per

attrito; d'altro canto lungo i margini di trascorrenza sono osservabili di-scontinue risalite di magmi. ' ::,.

Dal punto di vista termico; alla superficie si osservano solo ano­

malie 'del flusso dovute al raffreddamento dei magmi; dove questi so­

no assenti, il flusso è prossimo ai valori medi normali.

Sembra quindi che il fenomeno della trascorrenza non sia rilevabi­

le in superficie.

Un semplice calcolo dell'anomalia termica prodotta da una faglia

trascorrente si può eseguire idealizzando questa, mediante una sorgente

piana continua (Fig. I. 10a) che produce q calorie per unità di tempo ',/

- 132 - 133 -

a)

x

qo = u . T

e di area; l'aumento di temperatura prodotto è dato da (v. 1.2.5):, X2

q t 1/2 - 4kt qx xT = -- (--) e - erfc ------=-

pCp 1T k 2pCp·k 2y1kt

dove q = U. T , essendo u la velocità di slittamento e T la tensione di

taglio.Per opportuni valori delle costanti implicate, si vede che gli au­

menti di temperatura devono essere rilevanti (Fig. L 10b); per il fat­

to che alla superficie non si osservano valori anomali, si ritiene che il

calore in gioco venga utilizzato in fenomeni di cambiamento di stato

e/o di fase.

1. 2. - Perturbazioni termiche della Litosfera all'interno delle piastre.

T -cc

b)

A~xm

. All'interno delle piastre sono riconoscibili alcune importanti strut­

ture fhe,· da alcuni anni, sono oggetto di studio dal punto di vista ter­

mico. Esse sono:

- i margini continentali,

- i bacini di sedimentazione

- le aree di estensione dei rift

- le aree continentali rialzate.. ,I.:.

; • ; I ~. : .' ~ • '

L 2.1 - Margini continentali. .:;:!"'.!:

f ....i • ~ ,

Fig. I. 10 - Campo termico prodotto da una faglia in movimento

I margini continentali ,sono i limiti fossili di ,~ccresciment~ 'delle

piastre; essi si -sarebbero formati quando i proto-~on~inenti, si. ~:1?acc.~r,o~

no e si separarono. , ;",: ., "Nella prima fase di evoluzione, (Fig.}. Il),)a ,mi~~zione ~e~so .r~l

to del limite Litosfera-Astenosfera genera ,un sollevamento su una lar-I . • ." ~ - t' ,

134 -135 -

può essere espressa dal prodotto delle soluzioni del problema ad una

dimensione. Usando la soluzione di Fourier (v. Appendice II) si ottie-

'T (t = 0).= g(x) .. T(z)

In questo caso, la soluzione dell'equazione

\

Crosta Oceanica a2 T a2T--+--ax 2 az2

ne:

1

k

aT

at

(1.9)

dove a e: C sono le dimensioni, orizzontale e verticale, del rettangolo é

. ~:\; r',2 ' dnx;Ad = -.- g(x) sen. --- dx

a ao t:

r2 n rrzAn = --. . T(z) sen... , dz . " ~.~ ~ ..~..

IC CO . . . '.: . ~....

[

00 _ ad t d rr x ]T=. ,.~ e, Adsen-

a--,J •

[

00 _ a t' n rr z ].. fe n Ansen-.

c-'..(1.10)

k rr2 n2

c2an =krr2d2

~ad.

Fig. I. 11 - Evoluzione di un margine continentale

c Ore

.~

E .

~ ·j·.il;~.:~_;::~

-. , '";Ì1 "~ ~.

•• ~ : •. f

i l;':·: ; ~ ~ ~ ~.

è data da:

T" dz. " lu < a fLa variazione della topografia

00 -a t nrrzT = g(x) 2: e n" ..An sen --.-.-.

1 c

Considerando che in effetti si 'ha' a ~ 2.5c,. è 'lecito trascurare le

armoniche superiori della prima serie, in modo' che la (L 10) si:" può~ : .. : ! • v • i :'. j"f " .

scrivere

ga zona, dovuto anche in parte all'aggiustamento isostatico della Litosfe

ra fratturata. Dopo l'apertura, quando nuova Litosfera viene creata sui

due lati simmetrici, ognuno dei due margini continentali si allontana da!

la sorgente di anomalia termica e quindi comincia il raffreddamento, la

contrazione e la subsidenza, incrementata dalla sedimentazione, Cioè dalcarico dei sedimenti "stessi.

Seguendo la trattazione di Sleep, si, può usare il modello" di una

piastra rettangolare a due dimensioni (x,z) avente temperatura superfi­

ciale zero e temperatura iniziale espressa da

\ I

l

136 - 137 -

dove ex è il coefficiente di espansione termica.

In prima approssimazione si ottiene

u ...~ uo(x) e- at

cioè una contrazione esponenziale.\

e le condizioni iniziali

T = TI

zT = Tl~(l--)

a

z 10<-<1--

a ~

1 z1--<-<1

~ a

Usando la soluzione di Fourier (v. Appendice II) si trova

-n2 t nrrz• exp -- sen--

T a[~ nrr ]-sen-

n1r ~

(_1)n+l

n

TOC (1.11)___ a~ O 1000

ta

-1-1 Mantello

Astenosfera

t=O J

+- ~

t t

HM a/~a

-!-A

-!-A

t->~!

T z 2 00

-=1--+-~TI a 1r 1

L 2.2 - Bacini di sedimentazione,

Esistono sulla superficie terrestre grandi bacini di sedimentazione

sia oceanici che continentali. Mentre l'origine dei primi è spiegabile al­

la luce della ipotesi di espansione dei fondi oceanici, quella dei secon­

di è controversa. Una delle ipotesi che sono state avanzate per spiegar

ne l'esistenza è di natura termica ed analoga a quella dei fondi ocea­

nici: la contrazione termica della Litosfera produce la subsidenza e lasedimentazione.

Sleep e SnellTianno studiato il problema con un modello simile

a quello dei margini continentali, cioè con una piastra bidimensionale

con i contorni isotermici ed in via di raffreddamento.

Mc Kenzie ha elaborato un modello secondo il quale attribuisce

l'origine del bacino ad uno stiramento della Litosfera , il che provoca

la risalita dell'Astenosfera; il raffreddamento comporta la con­

trazione e la subsidenza di tutto il sistema, il che favorisce la sedimentazione.

Nell'ipotesi che lo stiramento della Litosfera sia improvviso, biso­gna integrare l'equazione

con le condizioni ai limiti (v. Fig. L 12)

T=O z=a

T = TI Z = O

a2 T

az 2

1

kaTat

M

A

Fig. I. 13 - Evoluzione termica di un bacino di sedimentazione, secondo McKenzie

- 138 - - 139

dove. i tre termini rappresentano rispettivamente la conduzione, la con­

vezione e la produzione di calore radioattivo, e w è la velocità di mi­

grazione verso l'alto.

Le condizioni ai limiti sono

stiramento avviene in modo plastico e la Litosfera si assottiglia; nel se­

condo, l'estensione è dovuta ad intrusioni di materiale astenosferico in

forma diffusa.

Nel primo caso si può pensare che in condizioni continue ma sta­

zionarie di stiramento, si arrivi ad una costanza dello spessore litosferi­

co; pertanto l'assottigliamento deve essere compensato da accrescimento

alla base della Litosfera.

Questo può avvenire per aggiunta di basalto, che deve solidificarsi.

L'equazione del trasferimento del calore è in questo caso

T=O

(1.12)

z = O

= - A e- z/DdT

dz+ w p c

d2T

dz2K

q l I R=H\\ i

3

--13::1.1

u~ 2~5

a2

dove T =-­7T2 k

Il conseguente fitiss6 .. di calore superficiale è dato da:

{ ," }TI ,00 f3 n7T '. n2t

q(t) = K - 1 + 2~' - [sen -J exp (---)a 1 \ n7T f3 T

ed è riportato in Fig. I. 13.

o i ' " I , I I I

Fig. 1. 13 - Evoluzione del flusso di calore in un bacino di sedimentazione secon­do McKenzie.

L 2.3 - Aree di stiramento litosferico (Rift)

L'ipotesi di McKenzie riguardo ai bacini sedimentari ha delle soli­

de basi: esistono infatti aree sulla superficie terrestre nelle quali vi so­

no i segni evidenti di un processo di stiramento della Litosfera, in es-

se viene osservato, tra l'altro, un alto flusso di: calore (........ 2 jlcal/cm2 sec),

Lachenbruch ha studiato due modelli di -stiramento: nel primo, lo

dove qa è il flusso di calore proveniente dall'Astenosfera,

R è lo spessore litosferico

~ K we(z) = -- ; f32 = --; S = --

2f32 S pc Z

S = w/z è la velocità di deformazione' orizzontale provocata, dal

z=R

zD -e(z)e

AoK

dT

dz

d2T z--+--dz2 f32

dTK -- = q + A D e-R ID - e (R) + LRdz a o --Kcf32

che è del tipo

moto.La (L 12) si può riscrivere sotto la forma'

1008040 60t (Ma)

20o

;.1',

Mantello

t q

Crosta

T=O

stq~

tq'

Astenosfera

. tq~

. tq2

t q

"'r"• '",

Tl

~-j"il T. _

Fig. 1. 15 - Modello di Litosfera surriscaldata dall'Astenosfera

141 -

. t ".;..,~•. ,:

lore superficiale qs è inversamente proporzionale allo spessore della Li­

tosfera continentale 'apparentemente in quiete.

Per spiegare questo fatto, Crough e Thompson hanno proposto un

modello, simile a quello di Parker e Oldenburg per la Litosfera oceani­

ca, secondo il quale la Litosfera si comporta come lo strato limite del­

l'Astenosfera, nel senso che la prima si formerebbe per raffreddamento

superficiale dell'altra. Secondo questa ipotesi, nelle aree dove il

. flusso di calore proveniente dall' Astenosfera è maggi~re della media

(....... 0.6 }J. cal/cm? sec), la superficie limite si solleva, la Litosfera si assot­

tiglia e la superficie terrestre si eleva (Fig. L 15). Il fenomeno sussiste

anche in senso inverso, ed è possibile che alcuni scudi pre-Cambriani

non abbiano un canale a bassa velocità (LVZ), come asseriscono Biswas

e Knopoff.

1l;1

l·1t

(1.13)

(1.14)

800 1200 °e1200 °c

bI

800

qa =0.8---Statico

140 -

" .y" + a x y' + b f(x) = O

La soluzione è data: :'{{a::--

R 2/2132 .[ ; ,(,tR ] 13 1t 1/ 2. Z2 1/ 2T. = e q + -'- K - (-) erf (--) +

. a .c 132 K 2 . 2132

\ .

AoD2 [-·iJ.D ]

+--K- l-e, ,+ "'0

e il flusso di calore alla superficie (z = O):

. . LR ' R 2 12132,q = qa + (--2- K) e + A oD

cf3

.La', Fig. 'li4' riporta l'andamento della temperatura per diversi

valori della' velocità di estensione 'v (in percento per Milioni di anni)

e i valori del flusso 2.5, 2.0, 1.6 e 1.2 .ucal/c~2sec . ~sservati alla

superficie.

l'

.\

Per studiare il fenomeno bisogna integrare il sistema di equazioniFig. 1. 14 - Campo termico di una zona di distensione, secondo Lachenbruch

• l ~ .

L 2.4 '- Aree' di variazione di spessore litosferico.

In varie province tettoniche è stato osservato che il flusso di ;ca-

aT 1 = KcpCpat

aT 2 = KPCp~

a2T 1

az 2

a2 i 2

az 2

' ••~ t : ./

+.. Ao e-z / D

\ .......

/ ..(1.15)

/"

'i I

- 142 - - 143

T2 (L) = Tm dove L è lo spessore litosferico, fu~zione del tempo v'-

aT2 , 01 fl fK -.-.- (L) = q e lUSSO dall'Astenos era.az '

; Una. conveniente soluzione approssimata si ottie~e assumendo che o­

gni geoterma sia in ogni istante il profilo della temperatura di equilibrio

per un dato spessore L; si risolve cioè il sistema (L 15) in regime sta­zionario.iche diventa del tIpo:

a y;' + b y; + c f (x) = O

JJ. callcm2sec

---.-r3

qs·21

o

E~

,.J 50

~.,;

'150

100

Tdove q = q - A oD '= K _r_

r sup R

La Fig. 1. 16 mostra il confronto tra dati sperimentali e dati teo­

.rici relativamente alla relazione L . qs riferentesi a varie province tetto­

niche,

C) e nel

TI (C) = T2 (C)

aTK __2 (C)az

, ,y'

TI(O) = Q

aT I \.K --(C) =

c az ..

. !' ../',

dove tI e T2 so~:~ le- temperature nella crosta (di spessore

Mantello Iitosfericoe Kc e K le rispettive conducibilità.

Le condizioni ·i1ÌJim...~:i sono:

l'

Di conseguenza lo spessore della Litosfera risulta:

La geoterrna- è allora:

a' y;' + b'y; = O

2 1- exp (-z/D) zTI = AoD • + K T, --

Kc' KcR

Fig. 1. 16 - Relazione tra flusso di calore e spessore litosferico, secondo Crough e.Thompsòn (CS =Scudo Canadese; NUS = Stati Uniti settentrionali;EC = Canada orientale; SC = Canada meridionale; SUS = Stati Unitimeridionali; CP = Colorado; CC =Cordigliera Canadese; BR = Basin eRange (Stati Uniti).

Lo studio di questo e dei precedenti fenomeni porta a pensare

che nell'Astenosfera siano in atto non solo processi termodinamici su

grande scala che generano la rottura della Litosfera (tettonica a piastre),

ma anche processi di riscaldamento più modesti che producono l'assot­

tigliamento litosfericoe che possono svilupparsi sotto forma di rift, o

abortire generando i bacini di sedimentazione.

l,!

II

D2

Kc+ Ao

. KR = L + C (- - 1) .

Kc

T2

= T, z + C (K/Kc' - 1)R

dove T = T AoD2

r m - --K 'c

I: Tm KL = K -- - C (- - 1) -

qr Kt;

AoD2 K

Kcqr(1.16) L 3 - Lo stato termico della Litosfera nella regione Italiana.

Come già visto al par. 4.2.2.4, in Italia si riconoscono varie pro-

~ ,

-·144 -l' .J~ ..

Il. 1 - La funzione degli errori.

Appendice Il

RICHIAMI DI MATEMATICA*

Per .piccoli valori di a, si ha:

2 00 ..(_l)naZn+lerfa=' - Z;,.. 'V1T o (2n+l)n!

. Joo2 _ 2

erfc '" = 1·~ erf zz =-; a efJ

dtr ..

erf a

erf (-a) = - erf a

[a .Jo

e- {f' dfJ =2

Vii"

erfO=O; erf oo = l

Scriviamo

Si ha:

. /.

vince tettoniche che corrispondono ad altrettante province geotermiche;

esse possono essere.riviste alla luce di quanto detto sulla Geotermia de!

la Litosfera (Fig. 57"):~',..-, iLa fascia orogenica ~èlle Alpi, con flusso medio di circa 80 mWm-2

viene considerata come area di consumazione continentale con raddop-ì

pio crostale. La Pianura Padana, con flusso di calore dell'ordine di 40-

50 mWm- 2, rappresenterebbe un bacino di sedimentazione in avanzata

fase di raffreddamento.

Il Mar Tirreno e la fascia pre -Appenninica Tosco-rLaziale, con flus

so di calore maggiore di 80 mWm-2 formano un'area di distensione con .:,

assottigliamento litosferico, ad essa' fa contrasto 'la zona di piattaforma

carbonatica Adriatica-Apula-Sicula, con flusso di calore intorno ai va­

lori normali (60 mWm-2 ) . Fra le due, esiste un'area di corrugamento

(l'Appennino) bordato da una fossa di sedimentazione che va dalla co-

sta Adriatica, alla Fossa Bradanica, alla costa ionica della Calabria, con

flusso di circa 40 mWm- 2, tipico. di Litosfera in fase di sprofondamen­

to.

l'

,l

Inoltre:

d' 2 _a2 2 00 (_1)na2n

__ erf a = --=- e = -= Z; ----da V1T V 1T o n!

. fc c .[00 f ~ d~ . 1 - a2 ~ . f

ier c Cl = J~er F ~ ~=.-:; e .-:- a.er c a

(

j IL 2 - La trasformata di, Laplace.• .. , '. :: I . ., ~ ._ .: • • =.! " • • . .: : ;. . l : .,. .

Data la funzione v (x.y,:z:?t), .si. definisce .~ras.fp~I~mj~~ld! J"flRla:ce: 4e:l~,

", .r:-

_\";'':'"1 •.

Vo = lim vt-,).O

- 146 -

;'",

la v:

100 .

, '-pte" ~y(x,y,z,t)· dt = L {v} = v

O ~ .

dove }1> è un numero la cui parte reale è abbastanza grande da rende­re l'integrale convergente.

Valgono i teoremi

L {VI + V2} = L {VI} + L '{V2} ,

L { ~; } = P L {v} - Vo dove

i anv } anLL, -- =-- {v}

ax n axn

Data allora, ad esempio, l'equazione lineare del flusso di calore

- 147 -

Le condizioni ai l,imiti in T devono; anch'esse, essere sottoposte al­

la trasformazione e l'equazione (1) va integrata con le condizioni tra­

sformate.

La soluzione della (ILI), che è del tipo

y" - a y + b = O

è data da:

y = Cl e-V7J. x + C -0 x b2 e +-a ,

Ottenuta una espressione per 1, si passa alla soluzione in T me­

diante la Trasformazione inversa; questa si fa generalmente mediante I'uso di Tavole della Trasformazione' di Laplace, di cui diamo alcuni e­

sempi di interesse per queste lezioni

Tavola delle Trasformate di Laplaee

v(p) = i=e-P'v(,). dr ; q = Vp/k

a2 T 1 ar-- -- --=0

ax 2 k at

applicando' la trasformata di Laplaee, si ottiene

100 -pt a2T l 100

-pt ar'e --dt-- e -

ax 2 k atO , O

da CUI

dt = O

v:

v(p)

1

P

vtt)

1

Quindi la trasformata di Laplaee riduce l'equazione 'alle derivate

parziali ad una equazione 'differenziale ordinaria.

a2

ax 2"

'j\

100

- t 1 Toe p T dt - T p L {T } - k = O

O

d2'f p-l---T=--Tdx 2 k k o or.n

1

p+a

e-qx

e-qx

qe-qx '

p

-ate

x2-V1rkt3 -

k '1/ 2 -x 2 /4 k t(-) :;e,. i:'

1r t . . . ,.

xerfe 2-vkt

.".', :

- 148 - - 149 -

con le condizioni ai limiti

. '~.J: .•,..

II. 3 - La soluzi~~e -'di Fourier e la trasformata di Fourier.

, A. Consideriamo, IIn solido rettangolare infinito in condizioni sta­

.zionarie, limitato dai' piani x== o e x,= d entrambi a temperatura ze-

.ro e il piano y = O alla temperatura T = f (x). '

L'equazione del calore sarà"~I:

02r-. o2T--'+ -- = o',ox2 'oy2

.,,"-

con le condizioni ai iimiti

T = O per x = O e .x = cl-che

L'equazione del calore è

ar ò2 T--=k---ot òx2

T=O per x=o e x=d

.' = f(x) per, t ~ O •

Se per f(x) valgono le relazioni (I~.2) e (11.3), è facile verificare

soddisfa il problema.

Questo ~ il. primo caso affrontato da Fourier nel suo tratta­to, anche se in forma -leggermente diversa.

.. 'd .2 1 n,11X'

an =cl. _. f(x') sen -d- . dx'. O

allora è facile ..verificare .che _

-kn 2 112 t /d2e

d

n11X

i: ei~x' f'(x') dx'

100 1'00

~ e-i~x d~ J~f(X') i~x' <ix'1

211

00T = -1; an seri --­

l

1F(~) == "1'-211

.: 1001 J

.f(x) = 211 Loo d ~ -00 f(x') cos ~ (x-x') dx'

Se poniamo

soddisfa il prob,le:t:na.

C. Il teorema integrale di Fourier stabilisce che, se f(x) è definita

per -ognì valore di x e soddisfa alle condizioni di Dirichlet, si ha

si ha-,

(11.2)

(II.3)

O<x<dy=O

00 n11xf(x) ~.1 an ~en -d-

= f(x)

00T - " n11X -n11y/d .- ~ an sen --- • e

1 d

Supponiamo che f(x) sia sviluppabile in serie di seni, cioè

dove

l '

lB. Consideriamo il ~aso.di un solido limitato .da due piani paral­

leli O < x < d entrambi a" temperatura z-ero e con temperatura inizia­le f(x).

. 1f(x)'::: 'v' 211 1co e-i~;x F (V d ~

-00 \ l.

l i

/'

l

r'

lllL,

LL

l 'l

- 150 -".'':''

F( ~) ed f(x), ~ ~~rìo denominate trasformata di Fourier l'una dell'al

tra: se è nota una .si può ottenere l'altra.

Se f(x) è uni" ;f4'nz'i~~e dispari di x si ha:

F( ~) l,' ffl06f(X') sen x' ~ dx''. 1T

.~.. O" 100

2 "f(x) = g F(~) ;~n ~ x- d~

1T •.O I

Se f(x) è. una funzione 'pari di xsi ha:

F(~) ~.:IF f""f(X') cos x~~. dx'o ,

f(x) = ff 1""F(~) cos ~ X· cl ~ ." o " .

~:';