Geometrie ripetute nella Natura e nell’Arte...Euclide Εὐκλείδης (367 a.C. circa - 238 a....
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Geometrie ripetute nella Natura e nell’Arte Scienza Under 18 2 dicembre 2016 Elena Sbalchiero
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Geometrie ripetute nella Natura e nell’Arte
Scienza Under 18
2 dicembre 2016
Elena Sbalchiero
Euclide
Εὐκλείδης (367 a.C. circa - 238 a. C. circa)
XIII libro degli Elementi (300 a.C.)
“Una linea se dice esser diuisa secondo la proportione auente il mezzo e duoi estremi quando che
egli è quella medesima proportione di tutta la linea alla sua maggiore sectione che è della maggior
sectione alla minore”
Traduzione di Niccolò Tartaglia 1569
“Il tutto sta alla parte come la parte sta al rimanente”
x
X-11
x:1 = 1: x-1
1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862
2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663
3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131
9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 ……..
SEZIONE AUREA≈ 1.618 = ΦX =
Proprietà particolari di Φ
E’ l’unico numero non naturale il cui reciproco e quadrato contemporaneamente
mantengono inalterata la propria parte decimale.
Φ = 1.618033989
Φ2 = 2.618033989
1/Φ = 0.618033989
E’ il risultato di una successione infinita in cui ricorre sempre lo stesso tipo di operazione
Il rettangolo aureo
AB/BC = 1.618
Φ
B
CD
A
1 Φ-1
Spira mirabilis o Spirale logaritmica o Spirale di Fibonacci
E’ autosimile cioè congruente a se stessa sotto trasformazioni di similitudine
Risorgo uguale eppure diversa
Tomba di Jacob Bernoulli (1654-1705)
FIGURE FRATTALI
Triangoli rossi di forma uguale ma su scala diversa
Quadrilateri verdi di forma uguale ma su scala diversa
Proprietà di auto-similitudine
Triangoli aurei
AB : DB = e : p = Φ
AB : BD = BD : DE = DE : EF …
E
F
108°
e
p = 1
gnomone aureo
triangolo aureo
3D
La sezione aurea nell’arte
Partenone, Fidia, Atene V sec. a.C.
Doriforo (circa II-I a.C.) copia romana
di un originale di Policleto del 450 a.C.
Cappella dei Pazzi, Filippo Brunelleschi, Firenze XV sec.
Veduta interna ed esterna del Museo Guggenheim,
New York, Frank Lloyd Wright (1867- 1959)
Veduta aerea delle scuole Heinz-Galinsky,
Berlino (1995), Zvi Hecker (1931)
Progetto del monumento
alla III Internazionale (1920), Vladimir Tatlin (1885-1953)
Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (Borgo Sansepolcro 1445 circa - Roma 1517)
“Commo Idio propriamente non se po diffinire
ne per parolle a noi intendere, così questa nostra
proportione non se po mai per numero intendibile
asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere,
ma sempre fia occulta e secreta e da li
mathematici chiamata irrationale.”
Dipinto di Jacopo de Barbari (circa 1460 – circa 1516)
De divina proportione 1509
Leonardo da VinciGiocondaAnnuciazione
Flagellazione di Cristo, Piero della Francesca
Leonardo Pisano detto “il Fibonacci”
(Pisa settembre 1175 circa - Pisa 1235 circa)
Liber abaci 1202
Codice Magliabechiano
Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze
“Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris,
et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus,
ut inferius demonstratur.”
“Le nove figure degli indiani sono queste: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.
Con tali nove figure, e con il simbolo 0, che in arabo chiamano zephiro,
qualsiasi numero può essere scritto, come sarà dimostrato più avanti.”
Xilografia tratta da Margarita philosphica
di Gregor Reisch del 1508.
Sono raffigurati il sistema di calcolo con l’abaco
e quello con le cifre indo-arabe.
Il tutto è sotto la protezione Di Madame Arithmatica.
Quot paria coniculorum in uno anno
ex uno pario germinentur. Qvidam posuit
unum par cuniculorum in quodam loco,
qui erat undique pariete circundatus,
ut sciret, quot ex eo paria germinarentur
in uno anno: cum natura eorum sit
per singulum mensem aliud par germinare;
et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant.
Quante coppie di conigli discendono in un anno
da una coppia. Un tale mise una coppia di conigli
in un luogo completamente circondato da un muro,
per scoprire quante coppie di conigli discendessero
da questa in un anno: per natura le coppie di conigli
generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a
procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
XII capitolo
parium
1
primus
2
secundus
3
tercius
5
quartus
8
quintus
13
sestus
21
septimus
34
octauus
55
nonus
89
decimus
144
undecimus
233
duodecimus
377
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 2584…
Successione di Fibonacci
F(1)=1
F(2)=1
F(n)= F(n-1) + F(n-2)
Es: 3= 2+1
5= 3+2
8= 5+3
1 mese
2 mese
3 mese
4 mese
5 mese
6 mese
7 mese
mese N coppie
conigli
N totale
conigli
N conigli
adulti
N conigli
giovani
1 1 2 2 0
2 2 4 2 2
3 3 6 4 2
4 5 10 6 4
5 8 16 10 6
6 13 26 16 10
7 21 42 26 16
8 34 68 42 26
9 55 110 68 42
10 89 178 110 68
11 144 288 178 110
12 233 466 288 178
X 2
Successione di Lucas*
*François Édouard Anatole Lucas (1842-1891)
Relazioni fra i numeri di conigli
“... questa proporzione [...] che gli odierni [...]
chiamano divina [...] è congegnata in modo tale
che i due termini minori di una serie nascente
presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due
addizionati, il termine [a loro] successivo,
e così via indefinitivamente, dato che la stessa
proporzione si conserva inalterata [...]
più si va avanti a partire dal numero 1,
più l'esempio diventa perfetto.” (1611)
Johannes von Kepler (Weil der Stadt 1571 – Ratisbona 1630)
posizione termine n/n-1
differenza con
Φ ( Φ-n)
1 1
2 1 1,000000000000000 0,618033988749890
3 2 2,000000000000000 -0,381966011250110
4 3 1,500000000000000 0,118033988749890
5 5 1,666666666666670 -0,048632677916777
6 8 1,600000000000000 0,018033988749890
7 13 1,625000000000000 -0,006966011250110
8 21 1,615384615384620 0,002649373365275
9 34 1,619047619047620 -0,001013630297729
10 55 1,617647058823530 0,000386929926361
11 89 1,618181818181820 -0,000147829431928
12 144 1,617977528089890 0,000056460660002
13 233 1,618055555555560 -0,000021566805666
14 377 1,618025751072960 0,000008237676929
15 610 1,618037135278510 -0,000003146528625
16 987 1,618032786885250 0,000001201864644
17 1597 1,618034447821680 -0,000000459071792
18 2584 1,618033813400130 0,000000175349765
19 4181 1,618034055727550 -0,000000066977664
20 6765 1,618033963166710 0,000000025583184
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 100 200 300 400 500 600 700
1.618
Valore del termine
n/n-1
Andamento di n/n-1
Φ è scritto nel Sistema Solare
Φ è scritto nel Sistema Solare
Pianeta Periodo di
rivoluzione
(in anni terrestri)
Legame con Φ
Mercurio siderale 0,236068 Φ-3
Mercurio sinodico 0,381966 Φ-2
Venere siderale 0,618034 Φ-1
Terra 1,000000 Φ0
Marte siderale 1,618034 Φ1
Marte sinodico 2,618034 Φ2
Asteroidi siderale 4,236068 Φ3
Asteroidi sinodico 6,854102 Φ4
Giove siderale 11,09017 Φ5
Giove sinodico 17,94427 Φ6
Saturno siderale 29,03444 Φ7
Saturno sinodico 46,97871 Φ8
Urano siderale 76,01316 Φ9
Urano sinodico 122,9918 Φ10
Nettuno siderale 199,0050 Φ11
Rivoluzione siderale: periodo che impiega
il corpo celeste a compiere un moto
di rivoluzione attorno al Sole prendendo
come riferimento le “stelle fisse”
Rivoluzione sinodica: periodo che impiega
il corpo celeste per compiere un moto
di rivoluzione attorno al Sole
e ritornare nello stesso punto
prendendo come riferimento la Terra
3
12
5
21
8
Serie di Fibonacci e spirale logaritmica
13
34
Fillotassi
Disposizione di rami e foglie attorno al fusto
Schemi di fillotassi = numero giri/ numero foglie o rami
3/8
2/5
1/2
Disposizione dei
capolini dei
girasoli
89/55
144/89
233/144
55/34=1.6176470588
89/55=1.6181818181
144/89=1.6179775280
233/144=1.6180555555
Φ
Fillotassi
55/34
I frattali oggi
“Il libro della natura è scritto in lingua
matematica ed i suoi caratteri sono triangoli,
cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali
mezzi è impossibile intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro labirinto.”
Galileo Galilei (Pisa 1564 - Arcetri 1642)
La geometria euclidea è incapace di descrivere la
natura nella sua complessità, in quanto si limita
a descrivere tutto ciò che è regolare. Tutti gli
oggetti che hanno una forma perfettamente
sferica,… mentre osservando la natura
vediamo che le montagne non sono dei coni, le
nuvole non sono delle sfere, le coste non sono dei
cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto
complessi.” (1975)
Benoît Mandelbrot (Varsavia 1924- Cambridge-Massachusetts- 2010)
« Meraviglie senza fine saltano fuori da semplici regole, se queste sono ripetute all'infinito.»
Mandelbrot, 1975
Dimensione fratta, non intera: frattale dal latino fractus = rotto, spezzato
La figura sebbene si possa rappresentare sulle dimensioni canoniche in realtà ha una
dimensione frazionaria
Proprietà dell’insieme frattale F
Auto-similitudine: presi 2 punti di una curva con proprietà frattali, anche se vicini, la loro
distanza risulterà sempre infinita. La lunghezza della curva dipende dal numero di
iterazioni che opero sulla figura.
Ricorsione: un frattale è dato da meccanismi che si ripetono n volte.
La figura che ottengo non è una figura nel senso stretto del termine
ma un attrattore poiché è soggetta a cambiamento ogni volta che cambio n.
Frattale di Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845-1918)
Curva di Kock
Helge von Cock (1870-1924)
“È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali,
che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea
veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe
possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo,
poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente
dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo.” Mandelbrot 1975
Alberi frattali
Alberi di Pitagora
generati su Webfract
Felce frattale
Modulo a triangolo equilatero
Piegare 48 triangoli equilateri per costruire 24 moduli
