Revista digital mdash

Matemaacutetica Educacioacuten e Internet(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Artiacuteculo de seccioacuten

Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 ISSN 1659 -0643

Construcciones geomeacutetricas con el paquete tkz-euclideGeometric constructions with tkz-euclide software

Reiman Y Acuntildea Chacoacutenreiacunaitcraccr

Escuela de MatemaacuteticaInstituto Tecnoloacutegico de Costa Rica - Costa Rica

Estibaliz O Rojas Quesadaerojasqunedaccr

Encargada de Caacutetedra Matemaacuteticas BaacutesicasUniversidad Estatal a Distancia - Costa Rica

Recibido 3 octubre 2018 mdashmdashmdashmdashmdashAceptado 26 junio 2019

Resumen El paquete tkz-euclidesty es un conjunto de macros especializadas en LATEX para realizarconstrucciones geomeacutetricas en dos dimensiones Estaacute construido sobre PGF (Portable Graphics Format)y su interfaz TikZ En este documento se explica el uso baacutesico de este paquete asiacute como la realizacioacutende algunas construcciones complejas con el fin de que docentes universitarios y de secundaria puedanelaborar material de alta calidad para sus trabajos personales y acadeacutemicos

Palabras clave tkz-euclide construcciones geomeacutetricas LATEX

Abstract The tkz-euclidesty package is a set of specialized macros in LaTeX to make geometricalconstructions in two dimensions It is built on PGF (Portable Graphics Format) and its TikZ interfaceThis document explains the basic use of this package as well as the realization of some complexconstructions with the purpose of university and secondary teachers for high quality material for theirpersonal and academic works

KeyWords tkz-euclide geometric constructions LATEX

11 Introduccioacuten

El 3 de junio del antildeo 2011 el franceacutes Alain Matthes publica la documentacioacuten sobre el paquete tkz-euclide el cual permite crear dibujos relacionados con la geometriacutea en dos dimensiones Los argumen-tos del autor para generar este paquete han sido los siguientes

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1 Algunos usuarios no quieren aprender nada sobre TikZ1 lo cual es respetable y conlleva a sim-plificar el coacutedigo La sintaxis no es maacutes como TikZ pero maacutes como LATEX (Ver [4] para mayorinformacioacuten)

2 Los nombres de las macros tienen un significado maacutes matemaacutetico y pertinente con la construc-cioacuten

3 La gran diferencia con TikZ es que es posible implementar caacutelculos mediante el uso del paquetefp2

4 Es posible modificar faacutecilmente los estilos para los objetos principales que son los puntos lasliacuteneas ciacuterculos arcos etc

5 Es un paquete ideado para los principiantes sin que estos tengan que conocer el uso del paqueteTikZ

Con los argumentos el autor expone que es posible mezclar los coacutedigos de los paquetes TikZ y tkz-euclide y que ello puede facilitar las construcciones No obstante el principio inicial es facilitar unaherramienta flexible y voluble para los principiantes que quieran adentrarse al mundo de las construc-ciones geomeacutetricas y les permita entender lo que estaacuten escribiendo

12 Sintaxis

Con base en [1] y [2] para el uso de este paquete se necesita conocer algunos comandos baacutesicos quepermiten generar objetos primitivos es decir los puntos rectas ciacuterculos entre otros En general todoslos comandos inician con tkz y no se colocan punto y coma al final de la liacutenea (como pasa enTikZ) solo se cambia de entrada Para empezar cualquier documento en el preaacutembulo debe contenerlas siguientes liacuteneasLa primera liacutenea carga el paquete y la segunda carga todas las herramientas que trae el paquete comociacuterculos arcos transportador entre otros Luego se hace uso del ambiente tikzpicture para hacer lasconstrucciones respectivas Las siguientes subsecciones ejemplifican parte de este proceso

PuntosLa creacioacuten de puntos parte de una idea geomeacutetrica se definen y luego se representan Las coordenadasque se usan son cartesianas como polares La sintaxis implementada es la siguiente

bull tkzDefPoint(ab)A Se define un punto con nombre A en las coordenadas cartesianas (ab)

bull tkzDefPointsa1b1A1 a2b2A2 anbnAn se definen una cantidad finita de puntoscon nombres A1 A2 An en las coordenadas cartesianas (a1b1) (a2b2) (anbn) respecti-vamente

bull tkzDefShiftPoint[A](ab)B Se define el punto B con respecto al punto A con respecto a lascoordenadas cartesianas (ab)

1Este es un paquete que representa un conjunto de macros de alto nivel que utiliza PGF Till Tantau es el disentildeador de estoslenguajes y tambieacuten el desarrollador principal los cuales estaacuten escritos en TEX2EL paquete fp (fixed point) es un paquete que realiza caacutelculos en LATEX con redondeo o truncamiento definidos por el usuarioEn este caso el paquete tkz-eulide consolida los caacutelculos con este paquete automaacuteticamente

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bull tkzDrawPoint(ab)A Se dibuja un punto con nombre A en las coordenadas cartesianas (ab)

bull tkzLabelPoints[condiciones](A) Se etiqueta un punto A con condiciones dadas Estas condi-ciones pueden ser color o posicioacuten de la etiqueta

Es importante indicar que en todos los casos donde se consideran las coordenadas cartesianas (ab)estas se puede cambiar a las coordenadas polares (θ r) donde θ hace referencia al aacutengulo en grados yr al radio en puntos (Aquiacute un centiacutemetro equivale a 283465 puntos aproximadamente)

Un ejemplo del uso de estos comandos lo vemos en el siguiente coacutedigo cuyo resultado se muestra enla figura 11

begintikzpicturetkzDefPoint(00)A

tkzDrawPoint(00)A

tkzLabelPoints[below](A)

endtikzpicture

A

Figura 11 Representacioacuten de un punto

Note que el ambiente sigue siendo TikZ pero el coacutedigo utilizado es diferente primero se define elpar ordenado (00) como el punto A a traveacutes del comando tkzDefPoint(00)A luego se dibuja elpunto con el comando tkzDrawPoint(00)A por uacuteltimo se coloca la etiqueta del punto Se puedeetiquetar sin definir o dibujar sin definir Eso va depender del tipo de construccioacuten a realizar3 Si sedesea representar maacutes de un punto se puede usar el siguiente coacutedigo cuyo resultado se muestra en lafigura 12

begintikzpicturetkzDefPoints00O 30A 1515B 3515C

tkzDrawPoints(OAB)

tkzLabelPoints(ABC)

endtikzpicture

A

B C

Figura 12 Representacioacuten de varios puntos

Note que aquiacute se definieron cuatro puntos se marcaron los puntos O A y B y se etiquetaron los pun-tos A B y C Tambieacuten se puede cambiar el color y el grosor de los puntos Esto se veraacute en proacuteximos

3Por ejemplo puede suceder que solo se necesite hacer una construccioacuten donde se muestre el resultado final En tal caso lospuntos auxiliares para generar la construccioacuten se mantienen ocultos a traveacutes de la definicioacuten pero no se dibujan Solo sonandamiosrdquo en dicho proceso

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ejemplos asiacute como la ubicacioacuten y posicioacuten de las etiquetas

Segmentos y RectasDefiniendo los puntos es posible tener segmentos o rectas Para ello se usa el comando tkzDrawSegment

y tkzDrawLine respectivamente En tal caso la sintaxis que se utiliza es la siguiente

bull tkzDrawSegment[opciones](AB) Se dibuja el segmento entre los puntos A y B Las opcionespueden ser color el tipo de liacutenea o el grosor y cada opcioacuten se separa por una coma Por ejemplocolor=red genera un segmento en color rojo El comando dashed proporciona una liacutenea segmen-tada Por uacuteltimoline width= 5pt define un segmento o recta con un grosor de 5 pt

bull tkzDrawLine[opciones](AB) Se dibuja una liacutenea que pasa por los puntos A y B Las opcionespueden ser incluir flechas o extender la extensioacuten de la liacutenea y cada opcioacuten se separa poruna coma Por ejemplo arrows= triangle 60 - latexrsquo agrega antes del guioacuten una flecha a laizquierda con forma de triaacutengulo equilaacutetero y luego del guioacuten un estilo de flecha refinada Estoes permitido siempre y cuando se cargue en libreria de TikZ la opcioacuten arrows (en el preaacutembulodel documento4) Por uacuteltimo la opcioacuten add=3 and 4 extiende la longitud de la recta (hacia laizquierda) en un 30 de la medida de la longitud entre los puntos A y B y de forma similar seextiende la longitud de la recta (hacia la derecha) en un 40 de la medida de la longitud entrelos puntos A y B

Cabe destacar la versatilidad del comando tkzLabelSegment[condiciones](AB)ejemplo el cual ubicala etiqueta ejemplo sobre el segmento que pasa por los puntos A y B En las condiciones se puede indicarla posicioacuten por ejemplo above (arriba) o below (abajo) Un ejemplo ilustrativo del posible uso de estoscomandos es el siguiente

begintikzpicture Puntos

tkzDefPoint(00)A

tkzDefPoint(04)B

tkzDefShiftPoint[B](1102)C

tkzDrawPoints[color=black](ABC)

tkzLabelPoints(ABC)

Segmentos

tkzDrawSegment[color=reddashed](AB)

tkzDrawSegment[color=blue](BC)

tkzDrawSegment[color=green line width= 5pt](CA)

endtikzpicture

Con lo cual se obtiene la figura 13

A B

C

4usetikzlibrarylibrerias

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Figura 13 Definicioacuten de segmentos

En este ejemplo los segmentos se dibujan a partir de las posiciones de los puntos brindados En el casoque deseemos dibujar una recta tendremos el siguiente ejemplo

begintikzpicture Puntos

tkzDefPoints02A 83B

tkzDrawPoints(AB)

tkzLabelPoints(AB)

Liacutenea

tkzDrawLine[arrows= triangle 60 - latexrsquo add=2 and 2 ](AB)

endtikzpicture

Cuyo resultado es la figura 14

A

B

Figura 14 Definicioacuten de recta

Ciacuterculos Arcos y SectoresPara dibujar ciacuterculos usamos el comando tkzDrawCircle En el caso de los arcos y sectores tenemoslos comandos tkzDrawArc y tkzDrawSector En tal caso la sintaxis que se utiliza es la siguiente

bull tkzDrawCircle[Ropciones](Ap cm) Se dibuja un ciacuterculo centrado en el punto A con radio dep cm Las opciones pueden ser color u opacidad Cada condicioacuten se separa por una coma Eneste caso la opcioacuten R indica que es un ciacuterculo caracterizado por un punto y un radio El comandofill=gray indica que el ciacuterculo se rellena de color gris (para el borde ver la descripcioacuten siguiente)El comando opacity=1 indica que el color que se use tenga una opacidad del 10

bull tkzDrawArc[opciones](AE)(F)arco Se dibuja un arco cuyo centro es el punto A el arco em-pieza en E y termina en F En las opciones se le puede agregar color al borde con el comandocolor=orange el cual pinta el arco del ciacuterculo en tono naranja para el caso que se use

bull tkzDrawSector[opciones](AE)(F)arco Se dibuja un sector cuyo centro es el punto A el sectorempieza en E y termina en F Se pueden usar las mismas opciones que las descritas para elcomando tkzDrawArc[opciones](AE)(F)arco

Un ejemplo ilustrativo de su uso es el siguiente

begintikzpicture Puntos

tkzDefPoint(00)A

tkzDefPoint(03)B

tkzDefPoint(1003)E

tkzDefPoint(1503)F

tkzDrawPoints(ABEF)

Ciacuterculo

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tkzDrawCircle[Rfill=gray opacity=1](A3cm)

Arco

tkzDrawArc[color=redline width= 5pt](AE)(F)arco

Sector

tkzDrawSector[fill=yellow opacity=05](AE)(F)

Etiqueta de Puntos

tkzLabelPoints[above left](BEF)

tkzLabelPoints[below left](A)

Segmento

tkzDrawSegment[color=black](AB)

tkzLabelSegment[above](AB)radio

endtikzpicture

El cual queda representado en la figura 15

B

E

F

A

radio

Figura 15 Ciacuterculo arco y sector

Se debe notar que se usaron coordenadas polares para que fuera maacutes faacutecil la posicioacuten de los puntossobre la circunferencia Por otro lado note que para la colocacioacuten de etiquetas se hizo uso de las op-ciones above (arriba) y left (izquierda) para la ubicacioacuten maacutes precisa de las mismas Se pueden hacercombinaciones de estas posiciones o usar los comandos xshift y yshift para hacer desplazamientoshorizontales y verticales respectivamente de las etiquetas

Observacioacuten En caso de que lo que se desea es solo rellenar el sector debe emplearse el comandotkzFillSector Puede cambiar la liacutenea donde se dibujoacute el sector y usar este comando

AacutengulosLos aacutengulos se representan con base en su definicioacuten matemaacutetica el espacio definido entre dos rayosy un veacutertice En tal caso se utilizan dos comandos tkzMarkAngle y tkzLabelAngle El primero defineel relleno del aacutengulo y el segundo la etiqueta que se quiere colocar sobre el mismo Un ejemplo es elsiguiente

begintikzpicture[scale=125] Puntos

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tkzDefPoints-108277A -29426O -23849B

tkzDrawPoint[size=10color=redfill=white](O)

tkzDrawPoint[shape=cross outsize=10color=blue](A)

tkzDrawPoint[shape=cross outsize=10color=blue](B)

tkzLabelPoints[below left](O)

tkzLabelPoints[xshift=-10 yshift=-3](AB)

Rayos

tkzDrawLines[arrows=-triangle 45 add=0 and 2](OA OB)

Aacutengulo

tkzMarkAngle[fill= yellowsize=08 mark=||](BOA)

tkzLabelAngle[pos=12](BOA)$m$

endtikzpicture

El cual queda representado en la figura 16

O

A

B

m

Figura 16 Representacioacuten de un aacutengulo

Observamos que

1 tkzMarkAngle[opciones](BOA) marca el aacutengulo que inicia en B con veacutertice en O y termina enA Entre las opciones se puede rellenar con alguacuten color cambiar el tamantildeo y hacerle una marcaparticular como se aprecia en el ejemplo

2 tkzLabelAngle[pos=nuacutemero](BOA)$m$ permite colocar una etiqueta el aacutengulo que inicia en Bcon veacutertice en O y termina en A Se le coloca la letra m en una posicioacuten de acuerdo al valor denuacutemero

En este caso se debe notar que se ha escalado el tamantildeo del aacutengulo con el comando scale=125 alinicio del ambiente Se destaca tambieacuten la manera natural en que se define el aacutengulo y en la cual seprocede a rellenarlo

De igual forma se pueden trazar diferentes aacutengulos desde un lado inicial modificando el comandosize Esto se puede visualizar en la figura 17 donde se han representado diferentes aacutengulos con ladoinicial OB

O A

B

C

D

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Figura 17 Trazado de diferentes aacutengulos

El coacutedigo implementado ha sido el siguiente (Se omite la explicacioacuten de la creacioacuten de los puntos ysegmentos)

begintikzpicture[scale=1] Puntos

tkzDefPoint(00)O

tkzDefPoint(03)A

tkzDefPoint(453)B

tkzDefPoint(903)C

tkzDefPoint(1803)D

Segmentos

tkzDrawSegments[color=black](OA OB OC OD)

tkzLabelPoints(OABC)

tkzLabelPoints[below left](D)

Aacutengulos

tkzMarkAngle[color=redline width=2ptsize=075cmarrows=-gt](BOC)

tkzMarkAngle[color=orangeline width=2ptsize=125cmarrows=-gt](BOD)

tkzMarkAngle[color=blueline width=2ptsize=175cm

opacity=1arrows=-gt](BOA)

endtikzpicture

Por uacuteltimo existe el comando tkzShowLine[bisector opciones](BAC) el cual muestra los trazos delaacutengulo bisector BAC de acuerdo con las opciones dadas Por ejemplo size=4gap=7length=3 define eltamantildeo del aacutengulo bisector en en 4 pt y la lejaniacutea de la interseccioacuten en 7 pt La uacuteltima opcioacuten indicaque la longitud del trazo sea de 3 pt

Trazado de PoliacutegonosEl trazado de poliacutegono es sumamente sencillo El comando a utilizar es tkzDrawPolygon Para haceruso del comando solo se necesitan definir (ni siquiera trazar) tres puntos como miacutenimo Luego seindican los puntos por los cuales se debe hacer el trazo Un ejemplo se muestra en la figura 18

Figura 18 Trazado de un poliacutegono

El coacutedigo implementado ha sido el siguiente

begintikzpicture[rotate=30scale=15] Puntos

tkzDefPoints00A 2-2B 30C 12D

Poliacutegono

tkzDrawPolygon[fill=red50green

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line width=5ptrounded corners](ABCD)

Se define el poliacutegono con veacutertices en A B C y D

Se rellena con una mezcla de rojo a verde en un 50

El grosor de la liacutenea es de 5pt

Las esquinas han sido redondeadas

endtikzpicture

Note que la figura se rotoacute 30 grados y se escaloacute 125 veces de su tamantildeo original En general tenemosque

1 tkzDrawPolygon[opciones](A1A2An) Permite definir un poliacutegono con una cantidad finitade puntos con nombres A1 A2 An en coordenadadas cartesianas o polares previamente definidasEntre las opciones podemos dar color al borde o al relleno (por ejemplo fill=red50green) cam-biar el grosor al borde (por ejemplo line width=5pt) o generar esquinas redondeadas (por ejemplorounded corners)

Otros comandos de importanciaHasta este punto se ha ejemplificado coacutemo se procede en la creacioacuten de objetos de mayor importanciaque materializa el paquete No obstante es posible articular sobre las construcciones algunos coman-dos de caraacutecter operacional

Definicioacuten extendida de puntosSe puede hacer uso de los comandos tkzDefPointBy y tkzDefPointWith para definir puntos por mediode transformaciones o propiedades vectoriales respectivamente

Los comandos tkzInterLL tkzInterLC y tkzInterCC se pueden usar como generadores de puntoscomo resultado de que se intersequen dos rectas un ciacuterculo y una recta o dos ciacuterculos respectivamente

En cualquiera de los casos anteriores se pueden obtener los puntos mediante el comando tkzGetPointM

para obtener el punto M por ejemplo o tkzGetFirstPointM y tkzGetFirstPointN si hay claridadde que se obtienen dos puntos M y N Un ejemplo alusivo es el siguiente

I

M

A

H

B

Z

Figura 19 Definicioacuten extendida de puntos

Cuyo coacutedigo es

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begintikzpicture[scale=1] Puntos

tkzDefPoints00I 2-2M -0505A

tkzDrawPoints(IMA)

tkzLabelPoints(IMA)

Extensioacuten

tkzDefPointWith[orthogonal](IM) tkzGetPointH

tkzDrawPoints(H)

tkzLabelPoints(H)

Segmento

tkzDrawSegment(IH)

Ciacuterculo

tkzDrawCircle[dashed](MA)

Extensioacuten 2

tkzInterLC(IH)(MA) tkzGetFirstPointB tkzGetSecondPointZ

tkzDrawPoints[color=red](BZ)

tkzLabelPoints[color=red](BZ)

endtikzpicture

De acuerdo con el ejemplo tenemos los siguientes comandos

1 tkzDefPointWith[orthogonal](IM) tkzGetPointH Se define un punto ortogonal al segmentoque contiene a los puntos I e M La ortogonal se traza en I Se obtiene el punto H

2 tkzInterLC(IH)(MA) tkzGetFirstPointB tkzGetSecondPointZ Se definen los puntos B yZ como resultado de la interseccioacuten de la recta que contiene a los puntos I e H con el ciacuterculocentrado en M de radio MA

Otros comandos de intereacutes a los cuales se les pueden combinar tkzGetPoint son

1 Punto Medio El comando tkzDefMidPoint(AB) define el punto medio entre A y B

2 Coordenadas Bariceacutentricas El comando

tkzDefBarycentricPoint(A1=nuacutemero1A2=nuacutemero2A3=nuacutemero3AN=nuacutemeroN)

define las coordenadas bariceacutentricas con respecto a los puntos A1 A2 A3 AN Intuitivamentese desea encontrar la posicioacuten de un punto en una razoacuten dada con respecto a los puntos consid-erados Por ejemplo si se desea encontrar un punto I tal que

minusrarrAI =

35minusrarrAB

debe cumplirse que

minusrarrAI =

35minusrarrABhArr I minus A =

35(Bminus A)

hArr I = A +35

Bminus 35

A

hArr I = Aminus 35

A +35

B

hArr I =25

A +35

B

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Con lo cual las coordenadas bariceacutentricas seraacuten (23) y el comando asociado seraacute

tkzDefBarycentricPoint(A=2B=3) tkzGetPointI

que definiriacutea al punto I a tres quintos del vector AB como se muestra en la imagen 110

A

B

I

Figura 110 Coordenadas Bariceacutentricas con dos puntos

Para el caso de tres puntos si todos se igualan a la unidad representaraacute el centro de gravedad obaricentro de un triaacutengulo por ejemplo Un estudio maacutes exhaustivo lo puede encontrar en [3]

3 Baricentro El comando tkzCentroid(ABC) define el baricentro con los puntos A B y C

4 Circuncentro El comando tkzCircumCenter(ABC) define el circuncentro con los puntos A B yC

5 Incentro El comando tkzInCenter(ABC) define el incentro con los puntos A B y C

6 Ortocentro El comando tkzOrthoCenter(ABC) define el ortocentro con los puntos A B y C

7 Punto Arbitrario El comando tkzGetRandPointOn[opcion]A genera un punto arbitrario denombre A sobre la opcioacuten La opcioacuten puede ser un rectaacutengulo (P and Q) segmento (P -- Q)liacutenea (P -- Q) o ciacuterculo (center P radius 3cm)

8 Puntos como interseccioacuten entre rectas El comando tkzInterLL(AB)(PQ) tkzGetPointX per-mite definir el punto X como la interseccioacuten entre las rectas AB y PQ En caso de que las rectasno se intersequen se genera un error

9 Puntos como interseccioacuten de ciacuterculos El comando tkzInterCC(AL)(CD) tkzGetFirstPointE

tkzGetSecondPointF permite definir los puntos E y F como resultado de la interseccioacuten delciacuterculo centrado en A con radio AL y del ciacuterculo centrado en C con radio CD En caso de ciacuterculostangentes solo se produce el punto E En caso de que los ciacuterculos no se intersequen se genera unerror

10 Altura y Punto El comando tkzDrawAltitude[opciones](AB)(C) tkzGetPointH permite dibu-jar la altura sobre el segmento AB pasando por el punto C Se obtiene de paso el punto H Entrelas opciones se puede dar color grosor flechas y maacutes Por ejemplo las opciones

arrows=triangle 45-triangle 45add=03 and 03

definiriacutea una altura con flechas formadas por triaacutengulos con aacutengulo agudo en la punta de 45grados extendiendo la altura en un 30 (a ambos lados) del segmento HC

12 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

11 Mediana y Punto El comando tkzDrawMedian[opciones](AB)(C) tkzGetPointM permite dibu-jar la mediana sobre el segmento AB pasando por el punto C Se obtiene de paso el punto MEntre las opciones se puede dar color grosor flechas y maacutes

12 Bisectriz y Punto El comando tkzDrawBisector[opciones](ACB) tkzGetPointD permite dibu-jar la recta bisectriz para el angulo ACB con veacutertice en C Se obtiene de paso el punto D Entrelas opciones se puede dar color grosor flechas y maacutes

Un ejemplo ilustrativo donde se usan estos comandos es el siguiente

A

B

C

FG

H

Figura 111 Recta de Euler

En la figura 111 se muestra la recta de Euler la cual pasa por el circuncentro el incentro y el orto-centro El coacutedigo implementado fue el siguiente

begintikzpicture[scale=05]clip(-3-2) rectangle (79)

tkzDefPoint(00)A

tkzDefPoint(62)B

tkzDefPoint(28)C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoints(AB)

tkzLabelPoints[above](C)

tkzDrawPolygon[color=purple](ABC)

Puntos Especiales

tkzCircumCenter(ABC) tkzGetPointG

tkzCentroid(ABC) tkzGetPointF

tkzOrthoCenter(ABC) tkzGetPointH

tkzDrawPoints(FGH)

tkzLabelPoints[above](FGH)

Recta de Euler

tkzDrawLines[arrows=lt-gtadd = 9 and 9](GH)

endtikzpicture

De acuerdo con el ejemplo tenemos los siguientes comandos

1 clip (x1y1) rectangle (x2y2) recorta y solo muestra la figura en el rectaacutengulo de coorde-nadas cartesianas especificadas En tal caso (x1y1) representa la esquina inferior izquierda y(x2y2) representa la esquina superior derecha

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2 tkzCircumCenter(ABC) tkzGetPointG Se define el punto G como el circuncentro para lospuntos AB y C

3 tkzCentroid(ABC) tkzGetPointF Se define el punto F como el baricentro para los puntosAB y C

4 tkzOrthoCenter(ABC) tkzGetPointH Se define el punto H como el ortocentro para los pun-tos AB y C

Uso de compaacutesPuede ser intereacutes del lector hacer hincapieacute en la marcas del compaacutes cuando desea por ejemplo haceruna construccioacuten con regla y compaacutes paso a paso Para ello el comando asociado seraacute

tkzCompass[opciones locales](AB)

Donde A representa el punto inicial y B representa el punto final donde se trazaraacute la marca Es claroque la medida de AB representa el radio del ciacuterculo centrado en A con punto extremo en B pero no sedesea el trazo de todo el ciacuterculo Para entender el funcionamiento del compaacutes se trazaraacute la construccioacutende un triaacutengulo equilaacutetero paso a paso Esto es

1 Trazar un segmento con extremos A y B como se muestra en figura 112

A B

Figura 112 Base Triaacutengulo Equilaacutetero

begintikzpicturetkzDefPoints-30A 30B

tkzDrawPoints[color=black](AB)

tkzDrawSegment[](AB)

tkzLabelPoints[black](AB)

endtikzpicture

2 Trazar las marcas definidas por el ciacuterculo con centro en A y radio AB y de igual forma las marcasdefinidas por el ciacuterculo con centro en B y radio BA (figura 113)

14 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

A B

Figura 113 Primera Marca Triaacutengulo Equilaacutetero

begintikzpicturetkzDefPoints-30A 30B

tkzDrawPoints[color=black](AB)

tkzDrawSegment(AB)

tkzLabelPoints[black](AB)

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointC

tkzGetSecondPointD

tkzCompass[color=red](AC)

tkzCompass[color=orange](BC)

tkzCompass[color=green](AD)

tkzCompass[color=blue](BD)

endtikzpicture

3 Definir y dibujar los puntos generados por las interseccioacuten de estas marcas (producto de losciacuterculos definidos) (figura 114)

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A B

C

D

Figura 114 Primera Marca Triaacutengulo Equilaacutetero

begintikzpicturetkzDefPoints-30A 30B

tkzDrawPoints[color=black](AB)

tkzDrawSegment(AB)

tkzLabelPoints[black](AB)

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointC

tkzGetSecondPointD

tkzCompass[color=red](AC)

tkzCompass[color=orange](BC)

tkzCompass[color=green](AD)

tkzCompass[color=blue](BD)

tkzDrawPoints[color=black](CD)

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzLabelPoint[below](D)$D$

endtikzpicture

4 Se trazan los segmentos AC y BC para formar el triaacutengulo equilaacutetero (figura 115)

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A B

C

D

Figura 115 Triaacutengulo Equilaacutetero Listo

begintikzpicturetkzInit[xmax=5 ymax=6 xmin=-5 ymin=-1 ] se define una zona de trabajo

tkzClip se procede al recorte de la zona de trabajo

tkzDefPoints-30A 30B

tkzDrawPoints[color=black](AB)

tkzDrawSegment(AB)

tkzLabelPoints[black](AB)

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointC

tkzGetSecondPointD

tkzCompass[color=red](AC)

tkzCompass[color=orange](BC)

tkzCompass[color=green](AD)

tkzCompass[color=blue](BD)

tkzDrawPoints[color=black](CD)

tkzLabelPoint[above](C)C

tkzLabelPoint[below](D)D

tkzDrawSegment(AC)

tkzDrawSegment(BC)

endtikzpicture

Observe el uso de los comandos

tkzInit[xmax=5 ymax=6 xmin=-5 ymin=-1 ]

y

tkzClip

El primero define la zona de trabajo y el segundo el aplica el recorte sobre dicha zona Esto se ha hechocon el fin de eliminar el punto D de la zona visible de construccioacuten Un comando de importancia estkzSetUpCompass[opciones] el cual define opciones principales para el suo del compaacutes como el color

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 17

grosor y estilo de marca Por ejemplo las opciones color=brownline width=2 ptstyle=dashed indicanque el compaacutes se marque de color cafeacute con un grosor de 2pt y un estilo de liacutenea punteada La siguientefigura muestra el uso de este comando

A

C

B

Z

Figura 116 Biseccioacuten de un aacutengulo

begintikzpicture[scale=07]tkzSetUpCompass[color=brownline width=2 ptstyle=dashed]

tkzDefPoints00A 40B 24C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoints[left](AC)

tkzLabelPoint[below](B)$B$

tkzDefLine[bisector](BAC) tkzGetPointZ

tkzShowLine[bisectorsize=4gap=7length=3](BAC)

tkzDrawLines[arrows=-triangle 45 add=0 and 2](AC AB)

tkzDrawPoint(Z)

tkzLabelPoint[above](Z)$Z$

tkzDrawLines[arrows=-triangle 45 add=0 and 01color=blue](AZ)

endtikzpicture

13 Ejemplos de Construcciones Geomeacutetricas

Con base en la seccioacuten anterior es posible generar diversas construcciones geomeacutetricas Las mismashan sido obtenidas de la informacioacuten brindada en [5] con lo cual algunas se generaran paso a pasootras seraacuten presentadas de manera terminada

Localizar el punto medio de un segmento dado

1 Sea AB un segmento dado

begintikzpicture[scale=1]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints00A 40B

tkzDrawPoints(AB)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzDrawSegment(AB)

endtikzpicture

18 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

A B

Figura 117 Segmento AB

2 Construir un ciacuterculo centrado en A con radio AB y otro centrado en B con radio BA Sean C y Dlos puntos de interseccioacuten de estos ciacuterculos

begintikzpicture[scale=1]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints00A 40B

tkzDrawPoints(AB)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzDrawSegment(AB)

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointC

tkzGetSecondPointD

tkzCompass[](AC)

tkzCompass[](BC)

tkzCompass[](AD)

tkzCompass[](BD)

tkzDrawPoints[color=black](CD)

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzLabelPoint[below](D)$D$

endtikzpicture

A B

C

D

Figura 118 Segmento AB

3 Conectar CD Sea M el punto de interseccioacuten de CD y AB Entonces M es el punto medio delsegmento AB

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 19

begintikzpicture[scale=1]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints00A 40B

tkzDrawPoints(AB)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzDrawSegment(AB)

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointC

tkzGetSecondPointD

tkzCompass[](AC)

tkzCompass[](BC)

tkzCompass[](AD)

tkzCompass[](BD)

tkzDrawPoints[color=black](CD)

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzLabelPoint[below](D)$D$

tkzDrawSegment(CD)

tkzInterLL(AB)(CD)

tkzGetPointM

tkzDrawPoints[color=blue](M)

tkzLabelPoint[color=blue above right](M)$M$

endtikzpicture

A B

C

D

M

Figura 119 Punto Medio M

Localizar el ciacuterculo que pasa por tres puntos dados

1 Sean A B y C tres puntos tales que la recta AB no pase por C

begintikzpicture[scale=06]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints-3-1A 20B 03C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

20 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzLabelPoint[above](C)$C$

endtikzpicture

AB

C

Figura 120 Los puntos A B y C

2 Sabiendo como encontrar el punto medio de un segmento dado (subseccioacuten anterior) se con-struyen las mediatrices PQ y RS de los segmentos AB y BC respectivamente

begintikzpicture[scale=06]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints-3-1A 20B 03C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzDrawSegments(AB BC)

Primera Mediatriz

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointP

tkzGetSecondPointQ

tkzCompass[](AP)

tkzCompass[](BP)

tkzCompass[](AQ)

tkzCompass[](BQ)

tkzDrawPoints[color=black](PQ)

tkzLabelPoint[above](P)$P$

tkzLabelPoint[below](Q)$Q$

tkzDrawSegment[dashed](PQ)

tkzInterLL(AB)(PQ)

tkzGetPointX

tkzDrawPoints[color=blue](X)

tkzLabelPoint[color=blue above right](X)$X$

Segunda Mediatriz

tkzInterCC(CB)(BC)

tkzGetFirstPointR

tkzGetSecondPointS

tkzCompass[](CR)

tkzCompass[](BR)

tkzCompass[](BS)

tkzCompass[](CS)

tkzDrawPoints[color=black](RS)

tkzLabelPoint[above right](R)$R$

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 21

tkzLabelPoint[below left](S)$S$

tkzDrawSegment[dashed](RS)

tkzInterLL(CB)(RS)

tkzGetPointY

tkzDrawPoints[color=blue](Y)

tkzLabelPoint[color=blue above](Y)$Y$

endtikzpicture

AB

CP

Q

R

S

Figura 121 Construccioacuten de las mediatrices

3 Sea O el punto de interseccioacuten de las rectas PQ y RS

begintikzpicture[scale=06]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints-3-1A 20B 03C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzDrawSegments(AB BC)

Primera Mediatriz

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointP

tkzGetSecondPointQ

tkzCompass[](AP)

tkzCompass[](BP)

tkzCompass[](AQ)

tkzCompass[](BQ)

tkzDrawPoints[color=black](PQ)

tkzLabelPoint[above](P)$P$

tkzLabelPoint[below](Q)$Q$

tkzDrawSegment[dashed](PQ)

tkzInterLL(AB)(PQ)

tkzGetPointX

tkzDrawPoints[color=blue](X)

tkzLabelPoint[color=blue above right](X)$X$

Segunda Mediatriz

22 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

tkzInterCC(CB)(BC)

tkzGetFirstPointR

tkzGetSecondPointS

tkzCompass[](CR)

tkzCompass[](BR)

tkzCompass[](BS)

tkzCompass[](CS)

tkzDrawPoints[color=black](RS)

tkzLabelPoint[above right](R)$R$

tkzLabelPoint[below left](S)$S$

tkzDrawSegment[dashed](RS)

tkzInterLL(CB)(RS)

tkzGetPointY

tkzDrawPoints[color=blue](Y)

tkzLabelPoint[color=blue above](Y)$Y$

Centro

tkzInterLL(RS)(PQ)

tkzGetPointO

tkzDrawPoints[color=red](O)

tkzLabelPoint[color=red above left](O)$O$

endtikzpicture

AB

CP

Q

R

S

O

Figura 122 Definicioacuten del punto O

4 Describa el ciacuterculo con centro en O de radio OA Este ciacuterculo pasa por A y tambieacuten por B y C

begintikzpicture[scale=06]tkzSetUpCompass[color=red line width=1 ptstyle=solid]

tkzDefPoints-3-1A 20B 03C

tkzDrawPoints(ABC)

tkzLabelPoint[left](A)$A$

tkzLabelPoint[right](B)$B$

tkzLabelPoint[above](C)$C$

tkzDrawSegments(AB BC)

Primera Mediatriz

tkzInterCC(AB)(BA)

tkzGetFirstPointP

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 23

tkzGetSecondPointQ

tkzCompass[](AP)

tkzCompass[](BP)

tkzCompass[](AQ)

tkzCompass[](BQ)

tkzDrawPoints[color=black](PQ)

tkzLabelPoint[above](P)$P$

tkzLabelPoint[below](Q)$Q$

tkzDrawSegment[dashed](PQ)

tkzInterLL(AB)(PQ)

tkzGetPointX

tkzDrawPoints[color=blue](X)

tkzLabelPoint[color=blue above right](X)$X$

Segunda Mediatriz

tkzInterCC(CB)(BC)

tkzGetFirstPointR

tkzGetSecondPointS

tkzCompass[](CR)

tkzCompass[](BR)

tkzCompass[](BS)

tkzCompass[](CS)

tkzDrawPoints[color=black](RS)

tkzLabelPoint[above right](R)$R$

tkzLabelPoint[below left](S)$S$

tkzDrawSegment[dashed](RS)

tkzInterLL(CB)(RS)

tkzGetPointY

tkzDrawPoints[color=blue](Y)

tkzLabelPoint[color=blue above](Y)$Y$

Centro

tkzInterLL(RS)(PQ)

tkzGetPointO

tkzDrawPoints[color=red](O)

tkzLabelPoint[color=red above left](O)$O$

Ciacuterculo

tkzDrawCircle[thick](OA)

endtikzpicture

AB

CP

Q

R

S

O

24 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

Figura 123 Ciacuterculo que pasa por A B y C

Rectas Notables de un triaacutenguloLa altura de un triaacutengulo es la recta perpendicular a un lado (o a su prolongacioacuten) por el veacuterticeopuesto La mediana es el segmento que va desde un veacutertice hasta el punto medio del lado opuestoLa bisectriz de un aacutengulo es la semirrecta que divide al aacutengulo en dos partes iguales Tambieacuten es ellugar geomeacutetrico de los puntos que equidistan de los lados del aacutengulo Las tres rectas se presentan enla figura 124

A BH

C

A BM

C

A BD

C

(a) Altura (b) Mediana (c) Bisectriz

Figura 124 Rectas Notables

El coacutedigo utilizado ha sido el siguiente

begintabularcccbegintikzpictureclip (-06-09) rectangle (4639)

tkzDefPoint(00)A tkzDefPoint(40)B tkzDefPoint(33)C

tkzDrawPolygon(ABC)

tkzSetUpLine[color=blue] tkzDrawAltitude[arrows=triangle 45-triangle 45add=03 and 03](AB)(C)

tkzGetPointH

tkzMarkRightAngle(AHC) tkzLabelPoints[below right](ABH) tkzLabelPoints[above right](C)

endtikzpictureamp

begintikzpictureclip (-06-09) rectangle (4639)

tkzDefPoint(00)A tkzDefPoint(40)B tkzDefPoint(33)C tkzDrawPolygon(ABC)

tkzSetUpLine[color=red] tkzDrawMedian[arrows=triangle 45-triangle 45add=03 and 03](AB)(C)

tkzGetPointM

tkzMarkSegments[mark=||](AM MB)

tkzLabelPoints[below right](ABM) tkzLabelPoints[above right](C)

endtikzpictureamp

begintikzpictureclip (-06-09) rectangle (4639)

tkzDefPoint(00)A tkzDefPoint(40)B tkzDefPoint(33)C

tkzDrawPolygon(ABC) tkzSetUpLine[color=green] tkzDrawBisector[arrows=triangle 45-triangle 45add

=03 and 03](ACB)

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 25

tkzGetPointD

tkzMarkAngles[size=05cm color=redfill=purple fill opacity=01 mark=|](ACD DCB)

tkzLabelPoints[below right](ABD) tkzLabelPoints[above right](C)

endtikzpicture[2mm]

(a) textitAltura amp (b) textitMediana amp (c) textitBisectrizendtabular

Dos rectas tangentes a un ciacuterculo dado desde un punto exterior

1 Sea K un ciacuterculo con centro O y sea P alguacuten punto exterior a K

begintikzpicture[scale=1]tkzDefPoints00O 40P 150L

tkzDrawPoints(OP)

tkzLabelPoint[left](O)$O$

tkzLabelPoint[above right](P)$P$

tkzDrawCircle(OL)

endtikzpicture

OP

Figura 125 Ciacuterculo K y punto exterior P

2 Coneacutectese OP y localice su punto medio C

begintikzpicture[scale=1]tkzDefPoints00O 40P 150L

tkzDrawPoints(OP)

tkzLabelPoint[left](O)$O$

tkzLabelPoint[above right](P)$P$

tkzDrawCircle(OL)

tkzDrawSegment(OP)

tkzDefMidPoint(OP)

tkzGetPointC

tkzDrawPoint(C)

tkzLabelPoint[below](C)$C$

endtikzpicture

OP

C

26 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

Figura 126 Definicioacuten del Punto medio C

3 Describa el ciacuterculo con centro en C y radio CO Sean A y B sus intersecciones con K

begintikzpicture[scale=1]tkzDefPoints00O 40P 150L

tkzDrawPoints(OP)

tkzLabelPoint[left](O)$O$

tkzLabelPoint[above right](P)$P$

tkzDrawCircle(OL)

tkzDrawSegment(OP)

tkzDefMidPoint(OP)

tkzGetPointC

tkzDrawPoint(C)

tkzLabelPoint[below](C)$C$

tkzDrawCircle[dashed](CO)

tkzInterCC(OL)(CO)

tkzGetPointsAB

tkzDrawPoints[color=red](AB)

tkzLabelPoint[color=red above](A)$A$

tkzLabelPoint[color=red below](B)$B$

endtikzpicture

OP

C

A

B

Figura 127 Rectas Tangentes a un ciacuterculo desde un punto exterior

4 Trace la rectas PA PB estas son las tangentes desde P a K

begintikzpicture[scale=1]tkzDefPoints00O 40P 150L

tkzDrawPoints(OP)

tkzLabelPoint[left](O)$O$

tkzLabelPoint[above right](P)$P$

tkzDrawCircle(OL)

tkzDrawSegment(OP)

tkzDefMidPoint(OP)

tkzGetPointC

tkzDrawPoint(C)

tkzLabelPoint[below](C)$C$

tkzDrawCircle[dashed](CO)

tkzInterCC(OL)(CO)

tkzGetPointsAB

tkzDrawPoints[color=red](AB)

Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020 27

tkzLabelPoint[color=red above](A)$A$

tkzLabelPoint[color=red below](B)$B$

tkzDrawLines[add = 13 and 13](AP BP)

endtikzpicture

OP

C

A

B

Figura 128 Rectas Tangentes a un ciacuterculo desde un punto exterior

Caracol con hoyueloPodemos hacer dibujos complejos como el de un caracol con hoyuelo mostrado en la figura 129

Figura 129 Caracol con hoyueloEl coacutedigo utilizado ha sido el siguiente

begintikzpicture[scale=08]tkzDefPoint(00)O

tkzDefPoint(20)A

foreach ang in 51015360

tkzDefPoint(ang1)M

tkzDrawCircle[](MA)

endtikzpicture

En este caso la definicioacuten del punto M y el punto A definen al caracol como el lugar geomeacutetrico delos ciacuterculos centrados en M con radio A En tal caso el punto M es una reacuteplica sostenida de un aacutengulo

que variacutea cada cinco grados en su abscisa y una ordenada constante de uno Es importante aclararque la toma de los valores del aacutengulo debe ser continuo no obstante el coacutemputo de caacutelculos que TEX

realiza no lo permite

14 Conclusioacuten

28 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) Vol 20 No 1 Setiembre minus Febrero 2020

El paquete tkz-euclide es una herramienta en siacute misma disentildeada para la creacioacuten de figurasgeomeacutetricas sin un conocimiento completo del paquete TikZ lo cual lo vuelve innecesario si el lectortiene un conocimiento avanzado de las libreriacuteas de dicho paquete No obstante el uso se encuentra

dentro de una curva aprendizaje baja y se vuelve adecuado dentro de la experiencia de los y lasestudiantes Podemos resumir con ello las siguientes conclusiones

1 Los caacutelculos internos dependen de TEX lo cual lo hace lento para muchas acciones o precisionesen un documento extenso

2 El manejo de sintaxis diferentes es posible pero puede conducir al error por la diferencias mismasque existen por ejemplo usar punto y coma al final o colocar un nombre diferente a los nodos

3 El manejo simulado de reglas y compaacutes se vuelve maacutes apropiado y faacutecil que en TikZ

4 El paquete ofrece un proceso de construccioacuten y desarrollo muy similar al que se hariacutea en papelarticulando y estimulando la loacutegica en los y las estudiantes

5 El paquete no viene a sustituir el proceso de construccioacuten como tal sino que se enfoca en eldisentildeo editorial de las construcciones

Bibliografiacutea

[1] Matthes A (2010) tkz-euclide Descargado de httpwwwaltermundusfrdownloadsdocumentsSangakupdf

[2] Matthes A (2011) tkz-euclide Descargado de httpmirrorsucraccrCTANmacroslatexcontribtkztkz-euclidedoctkz-euclide-screenpdf

[3] Montesdeoca A (2017) Geometriacutea meacutetrica y proyectiva en el plano con coordenadas bariceacutentricas Algunostoacutepicos Descargado de httpsamonteswebsullespdfgeobapdf

[4] Tantau T (2015) The TikZ and PGF Packages Descargado de httpmirrorsucraccrCTANgraphicspgfbasedocpgfmanualpdf

[5] Varilly J (2014) Elementos de Geometriacutea Plana (Segunda Edicioacuten) San Joseacute Editorial de la Universi-dad de Costa Rica

Construcciones geomeacutetricas con el paquete tkz-euclide Reiman Acuntildea et alDerechos Reservados copy 2019 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica)