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Università degli Studi di Milano

Corso di laurea in Matematicae in Matematica per le applicazioni

Geometria I

appunti del corso tenuto dalla prof.ssa Cristina Turrini

anno accademico 2004/05

2

Questi appunti riportano lo schema delle lezioni del Corso di Geometria I per iCorsi di laurea in Matematica e in Matematica per le applicazioni.tenuto dalla prof.ssa Cristina Turrini nell’anno accademico 2004/2005.Le note sono state redatte e trascritte dai dottori Simone Ferrari e AndreaMolteni al tempo studenti del corso,che gentilmente hanno concesso di metterle in rete ad uso degli altri studenti.

Indice

I Geometria elementare 5

1 La retta 61.1 Sistemi di riferimento sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Cambiamenti del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Affinità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Operazioni su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Fascio di rette proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 La retta proiettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Proiettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Il piano 172.1 Coordinate cartesiane nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Equazioni delle rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Intersezione di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Proiezione di un segmento orientato . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Rette orientate nel piano euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Retta per un punto dati i coseni direttori della normale . . . . . 212.8 Distanza con segno di un punto da una retta orientata . . . . . . 222.9 Cambiamenti del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Affinità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.11 Il piano proiettivo come ampliamento del piano affine . . . . . . 272.12 Il piano proiettivo come quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13 Equazione della retta in P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.14 Proiettività (o omografie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.15 Sul concetto di Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Lo spazio 353.1 Coordinate nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Equazioni delle rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Curve del secondo ordine 414.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Molteplicità di intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Coniche nel piano proiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 INDICE

4.4 Coniche in E2 e in A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Fasci di coniche 505.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Fasci di circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3 Fasci di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.5 Piano proiettivo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.6 Alcuni esempi di fasci di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II Algebra lineare 59

6 Spazi vettoriali 606.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Sistemi di generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Vettori dipendenti e indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Applicazioni lineari 727.1 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Applicazioni lineari assegnate su una base . . . . . . . . . . . . . 757.3 La matrice rappresentativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8 Sistemi lineari 848.1 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3 Teoremi di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.4 La caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Parte I

Geometria elementare

5

Capitolo 1

La retta

1.1 Sistemi di riferimento sulla retta

Assumiamo la retta come ente elementare.

U r

Definizione 1.1 Su una retta r prendiamo un segmento U (unità di misura).∀A segmento su r ∃! numero reale positivo a tale che A = aU . a prende ilnome di misura (assoluta) di A rispetto a U .

Viceversa, dati su r un segmento U e un punto A e dato un numero realepositivo a, esistono esattamente due segmenti aventi A come estremo e conmisura a rispetto U (postulato di continuità).

Proprietà della corrispondenza biunivoca fra i segmenti e le loro misure:

1. additività: A = aU ,B = bU ⇒ A + B = (a + b)U

2. relazione: A > B ⇒ a > b

Consideriamo ora la retta orientata. Ogni segmento A su r individua duesegmenti orientati :

−−→AB e

−−→BA.

U

-A

A B

r

Definizione 1.2 Dicesi misura con segno del segmento orientato−−→AB il numero

reale il cui valore assoluto è la misura di A rispetto all’unità di misura fissataU e il cui segno è “+” se

−−→AB è orientato concordemente al verso di r, “−” se−−→

AB è discorde col verso di r.

Indichiamo con AB la misura di−−→AB.

6

1.2. CAMBIAMENTI DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO 7

Per convenzione si considereranno anche segmenti di tipo−→AA con estremi

coincidenti. Per essi si pone AA = 0

Proprietà della misura con segno (identità segmentarie fondamentali):

1. AB + BA = 0 ∀A,B ∈ r

2. AB + BC + CA = 0 ∀A,B, C ∈ r

DimostrazioneLa prima identità segue dalla definizione. Per la seconda identità, assumiamo che Apreceda B e B preceda C. Abbiamo |AB| = |AC| + |CB|, ma, a causa dell’ordineassunto, AB = AC + CB. Quindi AB − AC − CB = 0, ovvero AB + CA + BC = 0.Il ragionamento è analogo per gli altri possibili ordinamenti di A, B e C. ¤

Definizione 1.3 Dicesi sistema di riferimento cartesiano (o affine) su una ret-ta r una terna R = {O, verso, U }, ove O ∈ r (origine del riferimento), il versoè uno dei due possibili su r, e U è un segmento (unità di misura):

-O U r

R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l’insieme R:

: r → RX 7→ x

∀X ∈ r−−→OX = x

x si dice ascissa di X. Per dire che il punto X ha ascissa x si scrive ancheX ≡ (x).

Una retta r, dotata di un sistema di riferimento affine, verrà chiamata rettaaffine e indicata anche con A1.

1.2 Cambiamenti del sistema di riferimento

Consideriamo la retta r e il sistema di riferimento R = {O, verso, U }, O ∈ r:

∀X ∈ r X 7→ x x = OX

Consideriamo anche il sistema di riferimento R′ = {O′, verso′, U ′}, O′ ∈ r:

∀X ∈ r X 7→ x′ x′ = O′X

Vogliamo trovare la relazione tra x′ e x.

8 CAPITOLO 1. LA RETTA

I caso R e R′ differiscono solo per l’origine: verso′ = verso, U ′ = U .x = OX,x′ = O′Xh = OO′ ⇒ OX = OO′ + O′X ⇒ x = h + x′ ⇒ x′ = x− h

II caso R e R′ differiscono solo per il verso: O′ = O, U ′ = U .x = OX,x′ = O′X ⇒ |x′| = |x|e, poiché cambia solo il segno, x′ = −x

III caso R e R′ differiscono solo per l’unità di misura: O′ = O, verso′ =verso. Sia U = hU ′, con h ∈ Rr {0}.x = OX (in R), x′ = O′X = OX (in R′)|x| = |OX| = |x|U , |x′| = |OX| = |x′|U ′

|x|U = |x′|U ′ = h|x|U ′ ⇒ |x′| = h|x| ⇒ x′ = hx

Il più generale cambiamento di sistema di riferimento si ottiene (combinandopasso passo i tre casi) così:

x′ = ax + b a, b ∈ R, a 6= 0

1.3 AffinitàDefinizione 1.4 Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano R fissato,e la corrispondenza

α : r → r

X 7→ X ′ = α(X)X ≡ (x) X ′ ≡ (x′)

x′ = ax + b (a, b ∈ R, a 6= 0)

α viene detta affinità sulla retta r, e x′ = ax + b viene detta equazione del-l’affinità.

Ogni affinità α è una trasformazione (corrispondenza biunivoca) di r in sé:

x 7→ x′ = ax + b

x =x′ − b

a

Cosa si ottiene componendo due affinità? Siano

α : r → r affinità di equazione x′ = ax + b (a 6= 0),β : r → r affinità di equazione x′ = cx + d (c 6= 0).

Si può considerare la composizione

β ◦ α : r → r.

β ◦ α è un’affinità, infatti, siccome β ◦ α(X) = β(α(X)),

α(X) = (x′) x′ = ax + b

β(X) = (x′′) x′′ = cx′ + d = c(ax + b) + d,

e x′′ = cax + cb + d è l’equazione di un’affinità (ca 6= 0 perché c, a 6= 0).

La definizione di affinità si estende in modo naturale al caso di trasformazionitra rette distinte r ed r′ in ciascuna delle quali sia stato fissato un sistema diriferimento con ascisse rispettivamente x ed x′.

1.4. OPERAZIONI SU UN INSIEME 9

1.4 Operazioni su un insieme

Definizione 1.5 Un’operazione (binaria) su un insieme X è un’applicazione

∗ : X ×X → X

(x, y) 7→ x ∗ y ∈ X.

EsempiIn N “+” è un’operazione: (n, m) 7→ n + m ∈ N.In N “−” non è un’operazione: (3, 5) 7→ 3− 5 /∈ N.In Q “÷” non è un’operazione: (n, 0) 7→ n/0 /∈ Q.

Di (X, ∗) si dice che:

• ∗ è associativa se (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ X.

• ∗ ammette elemento neutro e se ∃e ∈ X : e ∗ x = x ∗ e = x ∀x ∈ X.

• Se ∗ ammette elemento neutro e, dato x ∈ X si dice che x ammette inversox ∈ X se ∃x ∈ X : x ∗ x = x ∗ x = e.

• ∗ è commutativa se x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ X.

Esempi(Z, +): “+” è associativa, ∃ elemento neutro = 0, ∀n ∈ Z ∃ inverso = −n.(Q, media): (∗ : Q×Q→ Q, (x, y) 7→ x+y

2) non è associativa: (2 ∗ 4) ∗ 6 6= 2 ∗ (4 ∗ 6).

Definizione 1.6 Un’insieme X dotato di operazione ∗ si dice gruppo se

1. ∗ è associativa;

2. ∗ ammette elemento neutro;

3. ∀x ∈ X ∃x ∈ X inverso di x.

Se ∗ è anche commutativa, (X, ∗) è detto gruppo abeliano.

Esempi(N, +) non è un gruppo: l’operazione non ammette gli inversi.(Z, +) è un gruppo abeliano.(Qr {0}, ·) è un gruppo abeliano.

Consideriamo sulla retta r con il sistema di riferimento R(O, verso, U ):

β, α : r → r affinità⇒ β ◦ α affinitàA = {affinità : r → r}

◦ : A×A → A

(α, β) 7→ β ◦ α

◦ è un’operazione in A.

Teorema 1.1 (A, ◦) è un gruppo, non abeliano.


Dimostrazione

1) ◦ è associativa: (γ ◦ (β ◦ α))(x) = ((γ ◦ β) ◦ α)(x)γ(β ◦ α(x)) = γ ◦ β(α(x))γ(β(α(x))) = γ(β(α(x)))

2) ∃e ∈ A elemento neutro: identità 1 ∈ A1 : r → r, X 7→ X1 ◦ α = α ◦ 1 = α ∀α ∈ A

3) ∀α ∈ A ∃ inverso α di α: α di equazione x′ = ax + bα di equazione x′ = 1

ax− b

a

4) ◦ non è commutativa: α : r → r di equazione x′ = x + 1β : r → r di equazione x′ = −xα ◦ β(x) 6= β ◦ α(x) ¤

Osservazione Le affinità non conservano le misure dei segmenti:

XY = misura con segno di−−→XY = y − x

X ′ = α(X) Y ′ = α(Y )

X ′Y ′ = y′ − x′ = α(Y )− α(X) = ay + b− (ax + b) = a(y − x)

misura segmento trasformato = a volte misura segmento non trasformato

Le affinità conservano tuttavia i rapporti tra le misure dei segmenti:

X ′Y ′

Z′W ′ =aXY

aZW=

XY

ZW.

Definizione 1.7 Dati A,B, C ∈ r (distinti tra loro), si definisce rapporto sem-plice della terna A, B,C (in quest’ordine) il numero reale

(ABC) =AC

BC

Il rapporto semplice è un’invariante affine, cioè non varia se applico un’affinità.

Esercizio 1.4.1 Dimostrare che, se (ABC) = k, allora (BAC) = 1k, (ACB) = 1− k,

(BCA) = k−1k

, (CAB) = 11−k

, (CBA) = kk−1

.

Definizione 1.8 Un’affinità si dice congruenza se conserva le misure assolutedei segmenti:

α(x) = x′ = ax + b

X ′Y ′ = aXY

α congruenza ⇔ a = ±1

Consideriamo C = {α : r → r congruenza}. C ⊆ A = {α : r → r affinità}.Si dimostra che C è sottogruppo di A, e un gruppo non abeliano.

Inoltre:

• sono traslazioni le affinità di equazione x + b = 0. Esse costituiscono unsottogruppo abeliano di C;

• sono simmetrie le affinità di equazione −x+ b = 0. Esse non costituisconoun gruppo (ad esempio, l’identità non è una simmetria).

1.5. FASCIO DI RETTE PROPRIO 11

1.5 Fascio di rette proprioDefinizione 1.9 Dicesi fascio di semirette proprio l’insieme delle semirette perun fissato punto P .

P

1

o

a

A

B

ρ

ϑ

Tale fascio può essere parametrizzato come segue: scelta una semiretta o (orig-ine), ogni semiretta a può essere individuata dalla misura con segno in radianti(definita a meno di multipli di 2π) dell’angolo con cui o si sovrappone ad a, e

che indichiamo con ϑ =︷︷AB

ρ , dove ρ è il raggio della circonferenza di raggio PA.Estendiamo alle rette. Il fascio di rette per P può essere parametrizzato uti-

lizzando una funzione di ϑ che sia periodica di periodo π. Possiamo considerarela funzione tangente (tg x): essa induce una corrispondenza tra

(−π2 , π

2

)e R.

-P

o

p ⊥ o

p ⊥ o non considerataΛ = fascio di rette per P

Λr {p} → Rl 7→ tg ϑ

Questa corrispondenza si completa affinché diventi biunivoca:

Λ → R ∪ {∞}l( 6= p) 7→ tg ϑ

p 7→ ∞

1.6 La retta proiettivaConsideriamo R2 = {(x0, x1)} e sia X = R2 r {(0, 0)}. Introduciamo in X laseguente relazione di equivalenza: (x0, x1), (y0, y1) ∈ X sono equivalenti (∼) se

∃λ ∈ R∗ = Rr {0} : (y0, y1) = λ(x0, x1),

ovvero un λ tale che y0 = λx0, y1 = λx1.

Esempi (1, 3) ∼ ( 12, 3

2).

(x0, x1) ∼ (y0, y1) ⇔ y1

y0=

x1

x0

∼ identifica tra loro tutti i punti che appartengono ad una stessa retta perl’origine (privata dell’origine)


Esercizio 1.6.1 Verificare che ∼ è una relazione di equivalenza.

Si denota con [(x0, x1)], o con (x0 : x1)1, la classe di equivalenza di (x0, x1).

Definizione 1.10 L’insieme quoziente X/∼, ovvero l’insieme delle classi di equiv-alenza X/∼ = {(x0, x1)}, rappresenta il fascio di rette per (0, 0) (private di (0, 0)).X/∼ viene detto retta proiettiva, e indicato con P1.

l retta per (0, 0) ⇔ l r {(0, 0)} = [(x0, x1)] = (x0 : x1)

(a0, a1) vengono dette coordinate omogenee di l; (x0 : x1) viene detto punto diP1. Le coordinate omogenee non sono mai contemporaneamente nulle e sonodefinite a meno di un fattore λ ∈ R∗ di proporzionalità.

-

6

x0

x1 x0 = 1

(1, a1a0

)

1

r

l ↔ (a0 : a1)

Fissiamo la retta r di equazione x0 = 1 ∀ retta l 3 (0, 0) (diversa dall’asse x1),l taglia la retta r in 1! punto che ha coordinate (1, a1

a0). L’asse x1 ha coordinate

omogenee (0 : 1). Si è così definita una corrispondenza biunivoca:

fascior {asse x1} → r

l 7→(

1,a1

a0

)

ovvero

P1 r {(0 : 1)} → A1

(a0 : a1) 7→ a1

a0

Quando la retta l del fascio “tende” all’asse x1, il punto (a0, a1) “tende” a (0 : 1)e il rapporto a1

a0→∞.

P1 “ = ” A ∪ {∞}

P1 =

{R2r{(0,0)}/∼A1 ∪ {∞}

1L’uso di “:” sottolinea l’importanza del rapporto tra x0 e x1.

1.7. PROIETTIVITÀ 13

P1 r {(0 : 1)} → A1

(a1 : a0) 7→ a1

a0

coord. omogenea coord. affine(1 : a) ←[ a

P1 → A ∪ {∞}

(a0 : a1) →{

a1a0

a0 6= 0∞ a0 = 0

Un modello intuitivo di P1 è la circonferenza2.

r

γ circonferenzaN

Q

Q′

P

P ′

Per proiezione da N si instaura una corrispondenza biunivoca:

γ r {N} → r

P 7→ 〈NP 〉 ∩ r

N ↔ ∞

1.7 ProiettivitàUn’affinità α : A1 → A1 di equazione α(x) = ax + b (a 6= 0) può essereinterpretata come trasformazione

α : P1 = A1 ∪ {∞} → P1 = A1 ∪ {∞}ponendo α(∞) = ∞, α(x) = α(x) altrove. Si può anche esprimere α in coordi-nate omogenee:

α(x) = ax + b x =x1

x0α(x) = x′ =

x′1x′0

x′1x′0

= ax1

x0+ b =

ax1 + bx0

x0

cioè {ρx′0 = x0

ρx′1 = ax1 + bx0ρ 6= 0

In altri termini, si ha

α(x0 : x1) = (x0 : ax1 + bx0),2La retta proiettiva è topologicamente equivalente alla circonferenza.


e ciò vale non solo per punti di A1, ma anche per il punto ∞↔ (0 : 1), infattiα(0 : 1) = (o : a) = 3(0 : 1), cioè α(∞) = ∞. Le affinità sono casi particolari ditrasformazioni dette proiettività.

Definizione 1.11 Una proiettività (o omografia) di P1 in sé è una trasfor-mazione ω che, in coordinate omogenee, si esprime nella forma

{ρx′0 = a00x0 + a01x1

ρx′1 = a10x0 + a11x1ω(x0 : x1) = (x′0 : x′1)

ove aij ∈ R, 0 ≤ i, j ≤ 1 e a00a11−a01a10 6= 0. La condizione a00a11−a01a10 6= 0

si scrive anche∣∣∣∣

a00 a01

a10 a11

∣∣∣∣ 6= 0 e garantisce l’invertibilità della corrispondenza.

In coordinate affini x = x1x0

e x′ = x′1x′0, ω si esprime nella forma

x′ =a10 + a11x

a00 + a01x

∣∣∣∣a00 a01

a10 a11

∣∣∣∣ 6= 0

Osservazione Una proiettività ω definita come sopra è ben definita, ovvero passa alquoziente

P1 = R2r{(0,0)}/∼→ P1 = R2r{(0,0)}/∼.

In altri termini si haω(λx0 : λx1) = ω(x0 : x1),

infatti

ω(x0 : x1) = (a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1)

ω(λx0 : λx1) = (a00λx0 + a01λx1 : a10λx0 + a11λx1) =

= λ(a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) =

= (a00x0 + a01x1 : a10x0 + a11x1) =

= ω(x0 : x1).

Non avrebbe alcun senso, ad esempio, considerare invece una corrispondenza P1 → P1

definita da

ω(x0 : x1) = (x0 : x1 + 1)

ω(1 : 1) = (1 : 2), ω(2 : 2) = (2 : 3)

ma (1 : 2) 6= (2 : 3).

Per semplicità di scrittura poniamo{

ρx′0 = hx0 + kx1

ρx′1 = lx0 + mx1

∣∣∣∣h kl m

∣∣∣∣ 6= 0

ovverox′ =

l + mx

h + kxo kxx′ −mx + hx′ − l = 0.

Se fosse∣∣∣∣

h kl m

∣∣∣∣ = 0, h : l = k : m, ad esempio h = λl, k = λm, si avrebbe

x′ =l + mx

λl + λmx=

l + mx

λ(l + mx)=

1λ

(l + mx 6= 0)

3a 6= 0 per la definizione di affinità.

1.7. PROIETTIVITÀ 15

e l’applicazione non sarebbe biunivoca.

La condizione∣∣∣∣

h kl m

∣∣∣∣ 6= 0 permette di invertire ω. L’inversa di ω è definita

daω−1 : x 7→ l − hx′

−m + kx′.

Esercizio 1.7.1 Verificare l’asserto.

Consideriamo la proiettività ω : P1 → P1 che, in coordinate affini, si esprimenella forma

ω(x) = x′ =l + mx

h + kx

∣∣∣∣h kl m

∣∣∣∣ 6= 0

Il corrispondente, via ω, del punto ∞ di P1 è ω(∞) = mk , infatti, in coordinate

omogenee,

ω(x0 : x1) = (hx0 + kx1 : lx0 + mx1)e quindi ω(0 : 1) = (k : m).

Viceversa il punto di P1 che viene trasformato in ∞ è −hk , cioè ω(−h

k ) = ∞,infatti

ω(k : −h) = (hk − kh : lk −mh) = (0 : 1).

Osservazione Una proiettività è un’affinità se e solo se trasforma ∞ n sé.Un esempio di proiettività che non è un’affinità è l’inversione, ovvero la trasformazionedefinita da

x′ =1

xovvero

{ρx′0 = x1

ρx′1 = x0.

Osservazione Ogni proiettività può essere ottenuta componendo affinità e inversioni:

x′ =1

xx′′ =

m

k+

lk −mh

kx

x 7→ (affinità) h + kx 7→ x′ =1

h + kx7→

x′′ =m

k+

lk −mh

k· 1

h + kx=

mh + mkx + lk −mh

k(h + kx)=

l + mx

h + kx

Definizione 1.12 Dati 4 punti A,B, C, D ∈ P1, distinti a due a due, se A,B, C, D ∈A1 (sono punti al finito) si dice birapporto di A,B, C,D (in quest’ordine) ilnumero

A ≡ (a), B ≡ (b), C ≡ (c), D ≡ (d)

(ABCD) =(ABC)(ABD)

=AC/BC

AD/BD=

AC ·BD

AD ·BC=

=(c− a)(d− b)(d− a)(c− b)

=( c1

c0− a1

a0)(d1

d0− b1

b0)

(d1d0− a1

a0)( c1

c0− b1

b0)

=

=(c1a0 − a1c0)(d1b0 − b1d0)(d1a0 − a1d0)(c1b0 − b1c0)

,

e quest’ultima espressione permette di estendere la definizione di birapportoanche a quaterne di punti non tutti al finito.


Usando le matrici possiamo anche scrivere:

(ABCD) =

∣∣∣∣a0 a1

c0 c1

∣∣∣∣∣∣∣∣b0 b1

d0 d1

∣∣∣∣∣∣∣∣a0 a1

d0 d1

∣∣∣∣∣∣∣∣b0 b1

c0 c1

∣∣∣∣

Osservazione Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti, ovvero

(ω(A)ω(B)ω(C)ω(D)) = (ABCD).

Per provarlo basta verificare che le affinità e l’inversione lo conservano. Per le affinitàè ovvio.

Esercizio 1.7.2 Verificare che l’inversione conserva il birapporto.

Come nel caso delle affinità, anche per le proiettività la definizione si estendein modo naturale al caso di trasformazioni tra rette proiettive distinte.

Da cosa deriva il termine “proiettività”?Prendiamo nel piano due rette r ed r′ distinte.

OQ

A

A′

K

r

r′

ω : P1 → P1

O /∈ r ∪ r′

La proiezione da O induceuna “corrispondenza”

: r → r′

A1 7→ A1 = r′ ∩ 〈OA〉

Se Q ∈ r : 〈OQ〉 ‖ r′, Q non ha corrispondente. Inoltre il punto K ∈ r′ : 〈OK〉 ‖r non proviene da alcun punto di r. Queste eccezioni sarebbero rimosse se r er′ fossero completate con i punti all’infinito.

La corrispondenza data dalla proiezione da O tra r ∪ {∞} e r′ ∪ {∞} è unaproiettività. Anzi, si potrebbe dimostrare che ogni proiettività si può ottenerecomponendo proiezioni da punti (dette prospettività).

Capitolo 2

Il piano

2.1 Coordinate cartesiane nel piano

Assumiamo il piano come ente elementare.

3k

O

rr′II asse I asse

U ′ U

Definizione 2.1 Consideriamo un piano π. Dare un sistema di riferimento suπ vuol dire assegnare:

• due rette incidenti, da cui nasce un punto O detto origine del piano;

• un’orientazione su ciascuna delle due rette;

• un’unità di misura su ciascuna delle due rette.

Per convenzione, si assume come I asse (asse delle ascisse) quello che sisovrappone sull’altro (asse delle ordinate) nel verso positivo con la minorerotazione antioraria.

Se le due unità di misura sono congruenti, si dice che il sistema di riferimentoè monometrico. Se gli assi sono ortogonali si dice che il sistema è ortogonale. Seun sistema è monometrico e ortogonale si dice ortonormale.

(π, R riferimento) = A2 piano affine(π, R ortonormale) = E2 piano euclideo

In A2 = (π, R) è possibile instaurare una corrispondenza biunivoca

17

18 CAPITOLO 2. IL PIANO

-

±

O X

Y P : A2 → R2 = R×RP 7→ (x, y)

x = OX (ascissa di P )y = OY (ordinata di P )

Tutte le rette parallele ad uno degli assi ereditano un riferimento in modonaturale: lo stesso dell’asse a cui sono parallele. Per segmenti tracciati su unaretta non parallela agli assi, non ha senso parlare di misura.

2.2 Equazioni delle retteConsideriamo un piano affine A2.

• Rette per O escluso l’asse delle ordinate.

-

±

O

r

X X ′

P

P ′

I punti della retta individuanotriangoli simili.

XPOX = const = m

y = mx

(asse ordinate: x = 0)

Ogni retta per O ha un’e-quazione del tipo:

ax + by = 0 (a, b) 6= (0, 0)

Si ricorda che questo vuol dire che tutti e soli i punti della retta hannocoordinate che annullano l’equazione data.Viceversa ogni equazione del tipo ax + by = 0, con (a, b) 6= (0, 0) rap-presenta una retta: la retta passante per O e per il punto di coordinate(−b, a).

• Retta generica non parallela all’asse delle ordinate.

-

±

O

Q

r

r′ ‖ rr′ 3 O

X

P

P ′

XP ′OX = const = m

XP ′ = XP + PP ′ = XP − P ′P= XP −OQ = mOX

q = OQ

y = mx + q

Ogni retta del piano ha un’e-quazione del tipo:

ax + by + c = 0 (a, b) 6= (0, 0)

2.3. INTERSEZIONE DI DUE RETTE 19

Viceversa ogni equazione del tipo ax + by + c = 0, con (a, b) 6= (0, 0)rappresenta una retta: se, ad esempio, è b 6= 0, si tratta della retta passanteper il punto di coordinate (0,−c/b) e parallela alla retta di equazioneax + by + c = 0.

Osservazione La stessa retta è rappresentata da infinite equazioni:

ax + by + c = 0

ρax + ρby + ρc = 0 ρ ∈ Rr {0}

Attenzione In un piano affine, non ha alcun senso parlare del coefficiente m come diun “coefficiente angolare” (nel senso di tangente di un angolo ecc.).

2.3 Intersezione di due retteConsideriamo sempre un piano affine. Individuiamo le coordinate degli eventualipunti comuni a due rette, ovvero dei punti P ∈ r ∩ r′.

r ax + by + c = 0r′ a′x + b′y + c′ = 0

{ax + by + c = 0a′x + b′y + c′ = 0

[a b −ca′ b′ −c′

]

I caso∣∣∣∣

a ba′ b′

∣∣∣∣ = ab′ − a′b 6= 0, ad esempio a 6= 0.[

a b −ca′ b′ −c′

]1a ·I−−→

[1 b

a − ca

a′ b′ −c′

]−−−−→II−a′·I[

1 ba − c

a

0 b′ − ba′a −c′ + ca′

a

]−−−−−−→

ab′a−a′b ·II

[1 b

a . . .0 1 . . .

]ec.

b′a−a′ba 6= 0 Il sistema ha 1! soluzione.

II caso a : a′ = b : b′ a′ = ka b′ = kb[a b −cka kb −c′

]−−−→II−kI

[a b −c0 0 −c′ + kc

]

Se c′ = kc il sistema ha ∞1 soluzioni: r = r′.Se c′ 6= kc il sistema non ha soluzioni: r ‖ r′.

2.4 Retta per due puntiConsideriamo ancora un piano affine.

Dati due punti P1 ≡ (x1, y1) e P2 ≡ (x2, y2), con P1P2 non parallelo all’assey, ricaviamo l’equazione della retta y = mx + q che li congiunge. Per farloimponiamo alla retta di passare sia per P1 che per P2 con le relazioni y1 =mx1 + q e y2 = mx2 + q. A conti fatti si ottiene

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1(x− x1).

Eliminando il denominatore si ha

(x2 − x1)(y − y1)− (y2 − y1)(x− x1) = 0,

e questa equazione è valida anche se x1 = x2.


Facendo uso della simbologia matriciale, l’equazione della retta è data da∣∣∣∣∣∣

1 x y1 x1 y1

1 x2 y2

∣∣∣∣∣∣= 0.

La condizione di allineamento di 3 punti P1, P2, P3 è dunque∣∣∣∣∣∣

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣= 0.

In un piano euclideo E2 nel caso i punti non siano allineati, il determinante dellamatrice mantiene un significato, rappresentando in valore assoluto il doppiodell’area A del triangolo individuato dai tre punti in questione:

A =12

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣.

Esercizio 2.4.1 Verificare la prima formula presentata.

2.5 Proiezione di un segmento orientatoConsideriamo ora un piano euclideo E2 e due rette orientate r ed r′ su di esso.

Proiettiamo ortogonalmente un segmento orientato AB dalla retta orientatar alla retta orientata r′.

-

¼ r′

r•

αA B

A′B′

Senza segno:|A′B′| = |AB| cos(•)

Con segno:A′B′ = AB cosα

(α minore angolo con cui lerette r e r′ si sovrappongono

nello stesso verso.)

La misura con segno della proiezione ortogonale di un segmento orientato è ilprodotto della misura con segno del segmento per il coseno dell’angolo tra ledue rette orientate.

2.6 Rette orientate nel piano euclideoConsideriamo una retta orientata r di E2. Ha senso parlare di misura con segnodei segmenti su r (un sistema di riferimento su r può essere individuato dallaorientazione data, da un segmento unità di misura congruente a quello dei dueassi, e da un’origine da fissarsi arbitrariamente).

Consideriamo gli angoli

2.7. RETTA PER UN PUNTODATI I COSENI DIRETTORI DELLA NORMALE21

-

6

O x

y>r

α

βP0

X0

Y0

P

X

Yα = xr β = yr

α = xr = xy + yr = π2 + β

cosα e cosβ sono detti coseni diret-tori della retta orientata r.

cos2 α + cos2 β = cos2 α + sin2 α = 1

P0 ≡ (x0, y0) ∈ r P ≡ (x, y) ∈ r

t = ascissa di P su r di cui P0 è origine = P0P

X0X = P0P cos αY0Y = P0P cos β

{x− x0 = t cos αy − y0 = t cos β

Siamo così giunti alla rappresentazione parametrica della retta orientata:

{x = x0 + t cos αy = y0 + t cos β

Ponendo

cosα =m√

m2 + n2cosβ =

n√m2 + n2

si ottiene una rappresentazione più generale della forma:

{x = x0 + τmy = y0 + τn

(m,n) 6= (0, 0)

2.7 Retta per un punto dati i coseni direttoridella normale

Sia ancora r una retta orientata di E2 e consideriamo la retta normale norientata come segue.

-

6

O x

y>ro

n

α

β

ξ

η

P0

rn = π2

P0 ≡ (x0, y0) ∈ r ∩ n

ξ = xn η = yn

cos2 ξ + cos2 η = 1


cos ξ e cos η sono i coseni direttori della normale n.

ξ = xn = xr + rn = α +π

2= β + π

η = yn = yx + xn = −π

2+ ξ = −π

2+ α +

π

2= α

r

{x = x0 + t cos αy = y0 + t cos β

⇒ t =x− x0

cosα=

y − y0

cosβ

(x− x0) cos β − (y − y0) cos α = 0 → −(x− x0) cos ξ − (y − y0) cos η = 0

Otteniamo così l’equazione della retta r passante per (x0, y0) e con normale ndi coseni direttori cos ξ e cos η:

(x− x0) cos ξ + (y − y0) cos η = 0x cos ξ + y cos η − x0 cos ξ − y0 cos η = 0

x cos ξ + y cos η − δ = 0

Quest’ultima è detta equazione normale di r.Consideriamo ora una retta generica r non orientata, di equazione ax+ by +

c = 0. Se b 6= 0, y = −ab x− c

b = mx + q.

m = tg α

−a

b=

sinα

cos α=

sin η

cos η=

cos ξ

cos η{a = ρ cos ξb = ρ cos η

a2 + b2 = ρ2(cos2 ξ + cos2 η)

ρ2 = a2 + b2 ⇒ ρ = ±√

a2 + b2

L’equazione della retta in questione sarà quindi esprimibile in forma normalecome

a

±√a2 + b2x +

b

±√a2 + b2y +

c

±√a2 + b2= 0.

I coefficienti delle incognite nella forma normale possono essere interpretaticome coseni direttori della retta normale. L’indecisione del segno è data dal fattoche r (e quindi anche n) non è orientata.

2.8 Distanza con segno di un punto da una rettaorientata

-

6*

K

r

n

H

P1

Pn ⊥ r

P1 ≡ (x1, y1) ∈ n

r di equazione normalex cos ξ + y cos η − δ = 0

2.9. CAMBIAMENTI DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO 23

Definiamo distanza con segno d di P1 da r la misura con segno del segmentoHP1 (sulla retta orientata n). La distanza assoluta sarà allora dist(P1, r) =| d | .

Consideriamo la rappresentazione parametrica di n con origine in P1.{

x = x1 + t cos ξy = y1 + t cos η

t = t(P ) = P1P

d = HP1 = −P1H = −t(H)

Sostituiamo le coordinate di un generico punto di n nell’equazione di r, in mododa ricavare t (che corrisponderà a t(H)).

(x1 + t cos ξ) · cos ξ + (y1 + t cos η) · cos η − δ = 0

t(cos2 ξ + cos2 η) + x1 cos ξ + y1 cos η − δ = 0−t = x1 cos ξ + y1 cos η − δ = d

dist(P1, r) = |x1 cos ξ + y1 cos η − δ|

Se r (non orientata) ha equazione ax+by+c = 0, dalla forma normale evinciamo

dist(P1, r) =|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2.

2.9 Cambiamenti del sistema di riferimento

Consideriamo in E2 i sistemi di riferimento ortonormali R e R′, ed un punto

P ≡ (x, y) in R ≡ (x′, y′) in R′.

Vogliamo trovare la relazione tra (x, y) e (x′, y′).

I caso R e R′ differiscono solo per l’origine: stessa direzione e stessoverso degli assi, U = U ′.

-

6

-

6

x

y

x′

y′

P

X

X ′

YY ′

QO

O′

O′ = (a, b) in R, OQ = aP ≡ (x, y), x = OX, y = OYP ≡ (x′, y′), x′ = O′X ′, y′ = O′Y ′

x = OX = OQ + QX = a + x′, y = · · · = b + y′{x′ = x− ay′ = y − b


II caso R e R′ differiscono solo per le direzioni degli assi: O′ = O, U ′ =U .

-

6

*

K

ϑψ

x

y

x′

y′

O

P

X

Y

X ′Y ′

X ′′

x = OX = OX ′′ + X ′′XOX ′′ = OX ′ cos ϑX ′′X = −XX ′′ = −PX ′ cos ψ = −PX ′ cos(π

2 + ϑ) == y′ cos(π

2 + ϑ) = −y′ sinϑx = x′ cos ϑ− y′ sinϑ{

x = x′ cos ϑ− y′ sinϑy = y′ sin ϑ + y′ cosϑ

⇒{

x′ = x cos ϑ + y sin ϑy′ = −x sinϑ + y cosϑ

III caso R e R′ differiscono solo per l’unità di misura: O′ = O, stessadirezione e stesso verso degli assi.Consideriamo un punto P di ascissa x = OX = xU .U = kU ′ (k > 0)OX = x′U ′ = xU = kxU ′ = x′U ′ ⇒ kx = x′{

x′ = kxy′ = ky

IV caso R e R′ differiscono solo per il verso degli assi.Questo caso ricade sotto il II. Per la convenzione adottata sull’or-dinamento degli assi, infatti, questo cambiamento equivale ad unarotazione di π

2 , −π2 o π.

Riassumendo, il più generale cambiamento di sistema di riferimento R ortonor-male → R′ ortonormale si ottiene con:{

x′ = k(x cosϑ + y sin ϑ) + ay′ = k(−x sin ϑ + y cosϑ) + b

k > 0

Consideriamo ora un cambiamento di sistema di riferimento in A2, da R aR′. Supponiamo R ortonormale. A quanto già discusso per E2, si aggiunge ilcaso in cui l’angolo determinato dagli assi di R′ non è retto ed il caso in cui leunità di misura sugli assi sono differenti. Rifacendo le stesse considerazioni delII caso ad esempio, otteniamo

{x = x′ cos ϑ + y′ cos ϑ′

y = x′ cos η + y′ cos η′,

con angoli ϑ, ϑ′, η, η′ non correlati tra loro. Possiamo quindi scrivere{

x′ = ax + by + cy′ = dx + ey + f

∣∣∣∣a bd e

∣∣∣∣ 6= 0,

formula che esprime il più generale cambiamento tra sistemi di riferimento (nelcaso affine). La condizione sul determinante equivale all’invertibilità.

2.10. AFFINITÀ 25

2.10 AffinitàDefinizione 2.2 In A2(π; R) possiamo pensare

α : A2 → A2

P 7→ P ′ = α(P ){x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ 6= 0

Una trasformazione α del tipo descritto sopra, con a, b, aij ∈ R, si dice affinità.

Adotteremo per i punti la notazione di vettori colonna: P =(

xy

), P ′ =

(x′

y′

), e chiameremo A =

(a11 a12

a21 a22

)matrice dell’affinità. L’affinità avrà quindi

anche una rappresentazione matriciale:(

x′

y′

)= A ·

(xy

)+

(ab

)=

(a11x + a12ya21x + a22y

)+

(ab

)=

(a11x + a12y + aa21x + a22y + b

).

Consideriamo nell’insieme {affinità : A2 → A2} l’operazione di compo-sizione:

α : A2 → A2{x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

β : A2 → A2{x′ = b11x + b12y + cy′ = b21x + b22y + d

Si verifica che α ◦ β è ancora un’affinità. Inoltre la composizione è associativa.Possiamo osservare che l’identità : A2 → A2 è un’affinità:

{x′ = xy′ = y

A =(

1 00 1

) ∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣ 6= 0.

Inoltre, osserviamo che se α : A2 → A2 è un’affinità, allora anche α−1 : A2 →A2 è un’affinità.

Teorema 2.1 ({affinità : A2 → A2}, ◦) è un gruppo non abeliano in cuil’elemento neutro è la trasformazione identica, e l’inverso di un’affinità α è latrasformazione inversa α−1.

Proprietà delle affinità:

1. Le affinità trasformano rette in rette.

α : A2 → A2 affinità, l ⊆ A2 retta

α

{x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

α−1

{x = b11x

′ + b12y′ + c

y = b21x′ + b22y

′ + d

l di equazione px + qy + r = 0 (p, q) 6= (0, 0)

p(b11x′ + b12y

′ + c) + q(b21x′ + b22y

′ + d) + r = 0

(pb11 + qb21)x′ + (pb12 + qb22)y

′ + pc + qd + r = 0 è una retta, perché

(pb11 + qb21, pb12 + qb22) 6= (0, 0) siccome∣∣∣∣b11 b12

b21 b22

∣∣∣∣ 6= 0.


2. Le affinità trasformano rette parallele in rette parallele.

α : A2 → A2 affinità, l, l′ ⊆ A2, l ‖ l′ retteSe per assurdo ∃P ′ ∈ α(l) ∩ α(l′),

α(P ) = P ′ ∈ α(l) ⇒ P ∈ l,

α(P ) = P ′ ∈ α(l′) ⇒ P ∈ l′

P ∈ l ∩ l′. Assurdo, perché l ‖ l′.

3. Le affinità inducono su rette corrispondenti affinità tra rette.

α : A2 → A2 affinità, l ⊆ A2 retta = A1

l

{x = x0 + mty = y0 + nt

(m, n) 6= (0, 0)t coordinata affine su l

α

{x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

α(l)

{x′ = a11(x0 + mt) + a12(y0 + nt) + ay′ = a21(x0 + mt) + a22(y0 + nt) + b

α(l)

{x′ = a11x0 + a12y0 + a + (a11m + a12n)ty′ = a21x0 + a22y0 + b + (a21m + a22n)t

=

{x′ = x′0 + m′ty′ = y′0 + n′t

t è un multiplo della ascissa su α(l),t′ = kt. (k 6= 0)

Come conseguenza, le affinità conservano tra l’altro:

(a) il rapporto semplice delle terne di punti allineati;

(b) i punti medi dei segmenti;

(c) le mediane dei triangoli;

(d) i baricentri;

(e) i centri di simmetria delle figure.

In generale, anche se il sistema di riferimento è ortonormale, le affinità nonconservano né le distanze, né gli angoli, né i rapporti tra le distanze.

Esercizio 2.10.1 Si considerino l’affinità{

x′ = 2x + 1y′ = x− y

e il quadrato di vertici

opposti (0, 0), (1, 1).

Definizione 2.3 Un’affinità α : A2 → A2 si dice similitudine se è della forma{

x′ = k(x cosϑ + y sinϑ) + ay′ = ±k(−x sin ϑ + y cos ϑ) + b

k 6= 0.

In E2, le similitudini conservano i rapporti tra le distanze, cioè

α similitudine, P (x1, y1), Q(x2, y2)P ′ = α(P ) = (x′1, y

′1), Q′ = α(Q) = (x′2, y

′2)

(PQ)2

(P ′Q′)2= cost.

2.11. IL PIANO PROIETTIVO COMEAMPLIAMENTODEL PIANOAFFINE27

Dimostrazione(PQ)2 = (x1 − x2)

2 + (y1 − y2)2, (P ′Q′)2 = (x′1 − x′2)

2 + (y′1 − y′2)2

In y′ considereremo k con segno “+”. Il segno “−” è trattabile analogamente.(P ′Q′)2 = [k(x1 cos ϑ + y1 sin ϑ) + a− k(x2 cos ϑ + y2 sin ϑ)− a]2++[k(−x1 sin ϑ + y1 cos ϑ) + b− k(−x2 sin ϑ + y2 cos ϑ)− b]2 == k2[(x1 − x2) cos ϑ + (y1 − y2) sin ϑ]2 + k2[−(x1 − x2) sin ϑ + (y1 − y2) cos ϑ]2 == k2[(x1 − x2)

2 cos2 ϑ + (y1 − y2)2 sin2 ϑ + 2(x1 − x2)(y1 − y2) cos ϑ sin ϑ+

+(x1 − x2)2 sin2 ϑ + (y1 − y2)

2 cos2 ϑ− 2(x1 − x2)(y1 − y2)2 sin ϑ cos ϑ] =

= k2[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2] = k2(PQ)2

|P ′Q′| = |k||PQ|. ¤

Tra le similitudini, si dicono dirette quelle con “+” in y′, inverse quelle con“−”. Le similitudini dirette in E2 corrispondono esattamente ai cambiamenti disistema di riferimento ortonormale.

Definizione 2.4 Una similitudine si dice congruenza se |k| = 1.

Le congruenze in E2 conservano le distanze.

Si noti come sia

({congruenze}, ◦) gruppo non abeliano ⊆⊆ ({similitudini}, ◦) gruppo non abeliano ⊆⊆ ({affinità}, ◦) gruppo non abeliano.

2.11 Il piano proiettivo come ampliamento delpiano affine

In A2 si ha che

I) ∀P, Q ∈ A2, P 6= Q punti distinti∃! retta l ⊆ A2 : P,Q ∈ l.

II) ∀ l, l′ ⊆ A2, l 6= l′ rette distinteo l ‖ l′ oppure ∃!P ∈ l ∩ l′.

In A2 ci sono due tipi di fasci di rette:

A) fascio propriorette per P0 ≡ (x0, y0)y − y0 = m(x− x0), m ∈ R ∪ {∞};

B) fascio impropriorette parallele a y = m0x + q0

y = m0x + q, q ∈ R.

Per eliminare queste asimmetrie introduciamo nuovi punti rappresentativi delledirezioni delle rette del piano. Questi nuovi punti verranno detti punti improprio punti all’infinito (e gli usuali punti del piano A2 si diranno allora punti proprio al finito).

Definizione 2.5 Definiamo piano esteso o piano ampliato l’insieme

A2= A2 ∪ {direzioni delle rette di A2}.


l ⊆ A2 rettaP∞(l) = direzione di l

l ‖ l′ ⇔ P∞(l) = P∞(l′)

I punti di A2sono quindi

• o punti propri P ∈ A2, poniamo P = P ;

• o punti impropri P = P∞(l).

Ogni retta l ∈ A2 dà luogo inA2a un sottoinsieme l = l∪P∞(l) che chiameremo

ancora retta.Vediamo se ora, con queste nuove nozioni di punto e retta, in A2

si èristabilita la “simmetria” tra le proprietà I e II, ovvero vediamo se valgono:

I′) ∀ P , Q P 6= Q ∃!l 3 P , Q;

II′) ∀ l, l′ l 6= l′ ∃!P ∈ l, l′;

Verifica di I′) in A2

1◦ caso) P , Q propri P = P Q = Q∃!l 3 P, Q in A2

∃!l 3 P , Q : l = l ∪ P∞(l)2◦ caso) P proprio, Q improprio P = P Q = P∞(l)

∃!l′ ⊆ A2 : l′ 3 P l′ ‖ lP∞(l′) = P∞(l) = Q ⇒ ∃!l′ 3 P , Q

3◦ caso) P , Q impropri P = P∞(l) Q = P∞(l′)l ∦ l′ ?retta 3 P , Q?

È necessario che esista (in A2) anche un’altra retta r : r 3 P∞(l), P∞(l′).

Questa retta r

1. non può contenere alcun punto proprio;Se ci fosse un A ∈ A2 con A ∈ r, si avrebbe una retta 〈A, P∞(l)〉 = 〈A, P∞(l′)〉con due direzioni.

2. deve contenere tutti i punti impropri.Sia R = P∞(l′′) un punto improprio. r ∩ l′′ deve essere un punto (perché valgala II′)) che non può essere proprio ⇒ è l’unico punto improprio di l′′, cioè R.

In conclusione, si deve porre

r = r∞ ={punti impropri di A2

},

e le rette di A2sono quindi

• o del tipo l = l ∪ P∞(l)

• o r∞ (retta impropria o all’infinito).

Con questa nuova nozione di “rette” vale la I′) (per quanto visto sopra), e siverifica anche che vale la II′).

Esercizio 2.11.1 Verificare la II′).

2.12. IL PIANO PROIETTIVO COME QUOZIENTE 29

2.12 Il piano proiettivo come quoziente

Sia X = R3 r {0} = {(x0, x1, x2) : (x0, x1, x2) 6= (0, 0, 0)}. Si introduce in X larelazione di equivalenza ∼ così definita:

(x0, x1, x2) ∼ (x′0, x′1, x

′2) ⇔ ∃ρ 6= 0 : x′i = ρxi

(punti equivalenti sono allineati con l’origine)

Definizione 2.6 La classe di equivalenza di (x0, x1, x2) viene denotata con (x0 :x1 : x2) e rappresenta una retta in R3 per O, privata di O. L’insieme quozienteP2 = X/∼ rappresenta quindi la stella di rette per l’origine in R3 (privatedell’origine) e viene detto piano proiettivo reale.Le classi (x0 : x1 : x2) sono i punti di P2 e (x0, x1, x2) (o anche (x0 : x1 :x2)) si dicono coordinate omogenee del punto (x0 : x1 : x2). Le coordinateomogenee non sono mai tutte e tre nulle, e sono definite a meno di un fattoredi proporzionalità.

Consideriamo ora il sottoinsieme U0 = {(x0 : x1 : x2) ∈ P2 : x0 6= 0} ⊆ P2.U0 è ben definito poiché se (x0, x1, x2) ∼ (x′0, x

′1, x

′2), è x0 6= 0 ⇔ x′0 6= 0.

U0 è in corrispondenza biunivoca con A2:

U0 → A2

(x0 : x1 : x2) 7→ (x, y), con x =x1

x0, y =

x2

x0.

Osservazione L’applicazione è ben definita, poiché, se (x0, x1, x2) ∼ (x′0, x′1, x

′2) e

x0 6= 0, è x1x0

=x′1x′0

e x2x0

=x′2x′0

.

E viceversa1

U0 ← A2

(1 : x : y) ←[ (x, y)

(x0, x1, x2)(

x =x1

x0, y =

x2

x0

)

coord. omogenee coord. affini

1Altre scelte di coordinate molto usate sono:

(x, y, u),(X =

x

u, Y =

y

u

), (x1, x2, x3),

(x =

x1

x3, y =

x2

x3

).


Identifichiamo ora A2 con U0, otterremo un’identificazione del piano estesoA2

con P2.P2 ⊇ A2 = {(1 : x : y)}

Un punto (x0 : x1 : x2) ∈ P2 verrà detto proprio se x0 6= 0, ovvero se ∈ A2,improprio se x0 = 0.

2.13 Equazione della retta in P2

Sia l ⊆ A2 una retta di equazione

a0 + a1x + a2y = 0 (a1, a2) 6= (0, 0).

In coordinate omogenee si ha

a0 + a1x1

x0+ a2

x2

x0= 0,

e giungiamo così alla lineare omogenea

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0,

che è la rappresentazione cartesiana della retta in P2.

Osservazione a0x0 +a1x1 +a2x2 = 0 definisce un luogo in P2, perché è verificata da(x0, x1, x2) se e solo se è verificata da (ρx0, ρx1, ρx2). Ad esempio invece x1+3 = 0 nonha senso in P2, perché (1 : −3 : 1) ∼ (2 : −6 : 2), eppure −3 + 3 = 0 ma −6 + 3 6= 0.

Quali sono i punti P ∈ P2 che appartengono alla retta di equazione carte-siana a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0?

P ≡ (x0 : x1 : x2)

Se P ∈ A2, ovvero x0 6= 0, allora x =x1

x0, y =

x2

x0

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0

a0 + a1x1

x0+ a2

x2

x0= 0

a0 + a1x + a2y = 0

P ∈ “nuova” retta⇔ P ∈ “vecchia” retta l ⊆ A2.

Se P /∈ A2, ovvero x0 = 0, allora P ≡ (0 : a2 : −a1) (è 1! punto)e scriveremo P = P∞(l).

Si noti che, se l′ ‖ l,

l : a0 + a1x + a2y = 0l′ : b0 + ka1x + ka2y = 0

P∞(l′) ≡ (0 : ka2 : −ka1) = P∞(l).

I punti di P2 rA2, ovvero i punti di coordinate (0 : x1 : x2) individuano ledirezioni delle rette di A2.

Abbiamo quindi l’equazione generale della retta:

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 con (a0, a1, a2) 6= (0, 0, 0)

2.14. PROIETTIVITÀ (O OMOGRAFIE) 31

• se (a1, a2) 6= (0, 0), retta di A2 con l’aggiunta di un punto (il suo puntoimproprio);

• se (a1, a2) = (0, 0), l’equazione diventa x0 = 0 e rappresenta la “retta”impropria r∞.

In coordinate omogenee l’equazione cartesiana della retta passante per A ≡(a0 : a1 : a2) e B ≡ (b0 : b1 : b2) diviene

∣∣∣∣∣∣

x0 x1 x2

a0 a1 a2

b0 b1 b2

∣∣∣∣∣∣= 0,

mentre una rappresentazione parametrica per tale retta è della forma

x0 = λa0 + µb0

x1 = λa1 + µb1

x2 = λa2 + µb2

(λ, µ) 6= (0, 0).

2.14 Proiettività (o omografie)Avevamo definito affinità : A2 → A2 una trasformazione di equazioni

{x′ = a11x + a12y + ay′ = a21x + a22y + b

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ 6= 0. (?)

Tali relazioni si possono anche riscrivere così:

1x′

y′

=

1 0 0a a11 a12

b a21 a22

1xy

∣∣∣∣∣∣

1 0 0a a11 a12

b a21 a22

∣∣∣∣∣∣6= 0. (??)

Una proiettività ω : P2 → P2 è, per definizione, una corrispondenza che associaal punto P ≡ (x0 : x1 : x2) il punto P ′ ≡ (x′0 : x′1 : x′2) tale che

ρx′0 = a00x0 + a01x1 + a02x2

ρx′1 = a10x0 + a11x1 + a12x2

ρx′2 = a20x0 + a21x1 + a22x2

∣∣∣∣∣∣

a00 a01 a02

a10 a11 a12

a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣6= 0,

ovvero

ρ

x′0x′1x′2

= A ·

x0

x1

x2

con det A 6= 0,

ove A =

a00 a01 a02

a10 a11 a12

a20 a21 a22

.

Osservazione A è definita a meno di una costante moltiplicativa 6= 0.

Osservazione Se a01 = a02 = 0, ω diviene un’affinità in A2 = U0 = {(x0 : x1 : x2) :x0 6= 0}, infatti risulta necessariamente a00 6= 0 e si può quindi porre a00 = 1, per cuiω assume la forma (??).


La proiettività ω, in coordinate affini x = x1x0

e y = x2x0, si esprime così:

{x′ = a10+a11x+a12y

a00+a01x+a02y

y′ = a20+a21x+a22ya00+a01x+a02y

Proprietà delle proiettività:

1. ({proiettività ω : P2 → P2}, ◦) è un gruppo non abeliano.

2. ω proiettività, l ⊆ P2 retta ⇒ ω(l) retta.Se ω è un’affinità : A2 → A2, ω(r∞) = r∞. In generale invece ω(r∞) 6= r∞.

3. l ⊆ P2 (l = P1)ω|l : l → ω(l)ω|l : P1 → P1 è una proiettività (tra rette proiettive), e pertanto ω con-serva i birapporti delle quaterne di punti allineati.

Ogni proiettività può essere ottenuta componendo un numero finito di prospet-tività.

2.15. SUL CONCETTO DI GEOMETRIA 33

2.15 Sul concetto di GeometriaSeguiamo quanto esposto da Felix Klein nel “Programma di Erlangen” del 1872.

Definizione 2.7 Dicesi geometria ogni coppia G = (S, G) ove S è un insiemedetto spazio, e G è un gruppo di trasformazioni di S, cioè

• ∀g ∈ G g : S → S biunivoca;

• ∀ g1, g2 ∈ G g2 ◦ g1 ∈ G;

• ◦ è associativa;

• idS : S → S identità, idS ∈ G;

• ∀g ∈ G l’inversa g−1 ∈ G.

G permette di introdurre una relazione di equivalenza tra i sottoinsiemi (dettifigure) di S, come segue.

F1, F2 ⊆ S figureF1 ∼G F2 se ∃g ∈ G : g(F1) = F2

(∼G si dice G-equivalenza)

Osservazione La relazione ∼G è di equivalenza, infatti:

i) ∼G è riflessiva.∀F ⊆ S F ∼G F idS ∈ G gruppo F = idS(F )

ii) ∼G è simmetrica.F1, F2 ⊆ S F1 ∼G F2 ⇒ F2 ∼G F1

g(F1) = F2 g−1 ∈ G gruppo g−1(F2) = F1

iii) ∼G è transitiva.F1, F2, F3 ⊆ S F1 ∼G F2, F2 ∼G F3 ⇒ F1 ∼G F3

g(F1) = F2 h(F2) = F3 h ◦ g ∈ G gruppo h ◦ g(F1) = F3

Sia G = (S,G) una geometria. Una proprietà P delle figure F ⊂ S si diceproprietà geometrica (o invariante o G -proprietà) se passa al quoziente modulo∼G, ovvero

P vale per F ⇒ P vale ∀F ′ ∼G F.

Analogamente si parla di G -invarianti numerici (non solo per figure di S, maanche per altri “oggetti’, ad esempio n-uple ordinate di punti. . . ).

Abbiamo:

Ge = (E2, {congruenze}) geometria euclidea

Gs = (E2, {similitudini}) geometria euclidea simile

Ga = (A2, {affinità}) geometria affine

Esempi“essere retta” è una proprietà in Ge, Gs, Ga.“essere segmento di data lunghezza” è una proprietà in Ge, ma non in Gs, né in Ga.“essere un angolo di data ampiezza” è una proprietà in Ge e in Gs, ma non in Ga.


Osservazione Sia G = (S, G). ∼G introduce in G un concetto di uguaglianza.In Ge tutti i segmenti di lunghezza 2 cm sono “uguali”.In Gs tutti i segmenti sono “uguali”.In altri termini, comunque dati due punti A e B e altri due punti A′ e B′, ∃α similitudine :A 7→ A′, B 7→ B′, ma in Ge AB e A′B′ sono “diversi”:in geometria euclidea la lunghezza di un segmento è invariante.

Caso limite di geometria è Gid = (S, {idS}), la geografia.

proprietà Gid Ge Gs Ga

triangolo sì sì sì sìtriangolo equilatero sì sì sì notriangolo rettangolo sì sì sì notriangolo con un lato di 3 cm sì sì no notriangolo di area 9 cm2 sì sì no notriangolo con un vertice in un punto fissato sì no no notriangolo con un lato parallelo a una retta fissata sì no no no

Fissando uno spazio S, consideriamo G1 = (S, G1) e G2 = (S, G2), conG1 ⊆ G2, e siano F, F ′ ⊆ S. Abbiamo

se F ∼G1 F ′ ⇒ F ∼G2 F ′,

infatti ∃g ∈ G1 ⊆ G2 : g(F ) = F ′.

Ogni G2-proprietà è quindi anche una G1-proprietà.G1 si dice geometria subordinata a G2.

Esempi Ge è subordinata a Gs.

Osservazione Se G1 ⊆ G2 ⊆ · · · ⊆ Gn, le Gn-proprietà sono le più “profonde”.

Possiamo infine considerare la geometria proiettiva:

Gp = (P2, Gp = {proiettività})Ga = (A2

, Ga = {affinità})Si ha Ga ⊆ Gp.

Esempi“essere retta” è un concetto anche di geometria proiettiva.“essere segmento” non ha senso in geometria proiettiva. Ad esempio l’immagine delsegmento definito da −1 ≤ x ≤ 1 tramite la proiettività tra rette definita da x 7→ 1/x,non è un segmento“essere triangolo” non ha senso in geometria proiettiva per lo stesso motivo.

Capitolo 3

Lo spazio

3.1 Coordinate nello spazioDefinizione 3.1 Un sistema di riferimento nello spazio è costituito da

• 3 rette non complanari passanti tutte e tre per un punto O che verrà dettoorigine del riferimento;

• un’orientazione su ciascuna retta;

• un’unità di misura su ciascuna retta.

Se le 3 rette sono a due a due ortogonali, il sistema si dice ortogonale; se le 3unità di misura coincidono il sistema si dice monometrico; un sistema ortogonalee monometrico si dice ortonormale.

Per convenzione, si assume che una persona posta in piedi lungo l’asse z vedel’asse x sovrapporsi all’asse y in senso antiorario.

(Spazio, R) = A3 spazio affine

(Spazio, R ortonormale) = E3 spazio euclideo

Un sistema di riferimento R permette di istituire una corrispondenza biuni-voca : Spazio → R3. Dato un punto P , si considerino: il piano per P paralleloal piano(x, y), che interseca l’asse z in Z; il piano per P parallelo al piano(x, z),che interseca l’asse y in Y ; il piano per P parallelo al piano(y, z), che intersecal’asse x in X. Abbiamo così identificato (x, y, z) ∈ R3:

x = OX misura con segno sull’asse x

y = OY misura con segno sull’asse y

z = OZ misura con segno sull’asse z

Spazio → R3

P 7→ (x, y, z) coordinate (ascissa, ordinata, quota) di P in R

Se R è ortonormale, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare ladistanza dall’origine O di un punto P :

sia P ′ ∈ piano(x, y) : PP ′ ⊥ piano(x, y)

OP 2 = PP ′2 + OP ′2 + XP ′2 + OX2 = OX2 + OY 2 + OZ2 = x2 + y2 + z2

35

36 CAPITOLO 3. LO SPAZIO

E analogamente si può dedurre la distanza AB tra due punti A = (xA, yA, zA)e B = (xB , yB , zB):

AB2 = (xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2

Date due rette orientate r e s in E3, possiamo definire l’“angolo” tra r e sanche se r ed s non si intersecano:

fissiamo un punto Q ∈ E3

siano r′ ‖ r per Q, s′ ‖ s per Q : r′ e s′sono complanari.

Possiamo considerare l’angolo ϑ formato da r′ e s′ (0 ≤ ϑ ≤ π), che viene dettoangolo tra le rette orientate r e s, e che è indipendente dalla scelta di Q. Non hapiù senso parlare di misura con segno di angoli perché non è possibile definirein modo univoco il verso di rotazione.

Date due rette orientate r e s in E3 e due punti A e B su r, consideriamo:

(piano per A ⊥ s) ∩ s = A′

(piano per B ⊥ s) ∩ s = B′

A′ = proiezione ortogonale di A su s,

B′ = proiezione ortogonale di B su s,

A′B′ = AB · cos ϑ, con ϑ angolo tra r e s, relazione tra le misure con segno.

3.2 Equazioni delle retteConsideriamo in E3:

r retta orientataα = xr β = yr γ = zr

P0 ≡ (x0, y0, z0) ∈ r P ≡ (x, y, z) ∈ r

X0 proiezione ortogonale di P0 sull’asse x

X proiezione ortogonale di P sull’asse x

t = P0P = ascissa di P su r rispetto a P0

X0X = P0P cos αY0Y = P0P cos βZ0Z = P0P cos γ

⇒

x− x0 = t cosαy − y0 = t cosβz − z0 = t cos γ

t2 = P0P2 = (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = t2(cos2 α + cos2 β + cos2 γ)

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

cos α, cos β, cos γ sono detti coseni direttori di r. I coseni direttori non possonoessere tutti e tre nulli.

Passiamo ora ad A3. Tra i coseni delle formule appena considerate per E3

non vi è più alcun legame, perciò la forma va generalizzata:

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

a, b, c,∈ R(a, b, c) 6= (0, 0, 0)

3.2. EQUAZIONI DELLE RETTE 37

Torniamo in E3.

r

x− x0 = t cosαy − y0 = t cosβz − z0 = t cos γ

Vogliamo eliminare il parametro t per ottenenre equazioni cartesiane per laretta r.

• se cosα · cosβ · cos γ 6= 0:

(x− x0) : cos α = (y − y0) : cos β = (z − z0) : cos γ{cosβ(x− x0)− cosα(y − y0) = 0cos γ(y − y0)− cos β(z − z0) = 0

equazioni cartesianedella retta

• se cosα = 0, cosβ · cos γ 6= 0:{

x− x0 = 0cos γ(y − y0)− cosβ(z − z0) = 0

• se cosα = cos β = 0, cos γ 6= 0:{

x− x0 = 0y − y0 = 0

Scopriamo ora cosa significano nello spazio le seguenti equazioni.

• x = k. Descrive il piano ‖ piano(y, z) passante per P ≡ (k, y, z).

• ax+by+c = 0, (a, b) 6= (0, 0). Nel piano, l = {Q ≡ (x, y) : ax+by+c = 0} èuna retta. Nello spazio, l’equazione rappresenta un piano parallelo all’assez.

Osservazione Faremo vedere tra poco che anche le equazioni del tipo ax+by+cz + d = 0 rappresentano piani. Risulta quindi che sopra si è descritta una rettacome intersezione di due dei piani che la contengono.

• ax + by + cz + d = 0, (a, b, c) 6= (0, 0, 0).

Osservazione Data inE3 una poligonale sghemba A1A2 · · ·AnA1 e le proiezioniortogonali dei suoi punti A′1, . . . , A

′n su una retta r, si ha

A′1A′2 + A′2A

′3 + · · ·+ A′n−1A

′n = A′1A

′n.

La misura con segno della proiezione del lato di chiusura è uguale alla sommadella misura con segno delle proiezioni dei lati della poligonale.

π piano

n normale a π per Ocon orientazione fissata

H = π ∩ n


P ∈ π ⇔ proiezione ortogonale di P su n è H

siano O′ = O, X ′, Q′, P ′ i proiettati di O, X, Q, P su n

OX ′ è la proiezione di OX su n

n ha coseni direttori cos α, cosβ, cos γ

OP ′ = OX ′ + X ′Q′ + Q′P ′

OP ′ = OX cos α + XQ cosβ + QP cos γ

OP ′ = x cos α + y cosβ + z cos γ

P ∈ π ⇔ P ′ = H OP ′ = OH = δ costanteP ∈ π ⇔ x cosα + y cos β + z cos γ = δ

Quindi, π ha equazione cartesiana ax+by+cz+d = 0, e (a, b, c) è una ternaproporzionale alla terna dei coseni direttori di una sua normale orientata.

Con considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso di rette in A2, si ricavaquanto segue.

Ogni piano in A3 ha un’equazione della forma ax + by + cz + d = 0, con(a, b, c) 6= (0, 0, 0). Viceversa ogni equazione della forma ax + by + cz + d = 0,con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), rappresenta un piano in A3.

3.3 Retta per due puntiIn A3 una retta r per B ≡ (xB , yB , zB) ha la forma:

x = xB + aty = yB + btz = zB + ct

con (a, b, c) 6= (0, 0, 0).Imponendo il passaggio per A ≡ (xA, yA, zA) si ha:

xA = xB + atyA = yB + btzA = zB + ct

Notiamo che (xA−xB , yA−yB , zA−zB) sono proporzionali ad (a, b, c) . Possonoquindi essere usati come parametri.

x = xB + t(xA − xB)y = yB + t(yA − yB)z = zB + t(zA − zB)

3.4 AngoliParliamo di angoli in E3. Consideriamo due rette r, s che determinano con gliassi i seguenti angoli:

α = xr β = yr γ = zr

α′ = xs β′ = ys γ′ = zs

ϑ = angolo tra r e s.

3.5. DISTANZE 39

Trasportiamo r e s in modo che passino per l’origine. Chiamiamo Q la proiezioneortogonale di P sul piano(x, y), X la proiezione di P sull’asse x. Considerando laspezzata poligonale OXQP che viene così a formarsi e la proiezione ortogonaledei suoi punti su s, abbiamo:

prOP = pr OX + pr XQ + prQP

OP cos ϑ = x cos α′ + y cos β′ + z cos γ′ == OP cosα · cosα′ + OP cosβ · cosβ′ + OP cos γ · cos γ′

Da cui, dividendo per OP , si ottiene

cos ϑ = cos α cos α′ + cos β cosβ′ + cos γ cos γ′.

Ciò vuol dire che date due rette r, s si ha:

r

x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

s

x = x1 + a′τy = y1 + b′τz = z1 + c′τ

(a, b, c) e (cos α, cos β, cos γ) sono proporzionali

(cosα, cosβ, cos γ) = ± (a, b, c)√a2 + b2 + c2

(cos α′, cos β′, cos γ′) = ± (a′, b′, c′)√a′2 + b′2 + c′2

cos rs = ± aa′ + bb′ + cc′√a2 + b2 + c2

√a′2 + b′2 + c′2

Troviamo ora l’angolo tra due piani π, π′. Esso può essere definito comel’angolo tra le rette normali ai due piani (con un’ambiguità di segno dovuta allascelta di orientazione delle normali).

π ax + by + cz + d = 0π′ a′x + b′y + c′z + d′ = 0

n normale a π ha coseni direttori prop. a (a, b, c)n′ normale a π′ ha coseni direttori prop. a (a′, b′, c′)

cos ππ′ = ± aa′ + bb′ + cc′√a2 + b2 + c2

√a′2 + b′2 + c′2

Condizione di ortogonalità per rette e piani è quindi aa′ + bb′ + cc′ = 0.Condizione di parallelismo per rette e piani è invece a

a′ = bb′ = c

c′ = k.Ricordiamo che una retta è parallela ad un piano se e solo se essa è perpendi-colare alle normali del piano.

3.5 DistanzeParliamo di distanze in E3:

1. tra due punti, A ≡ (xA, yA, zA) e B ≡ (xB , yB , zB).

dist(A, B) =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2


2. tra un punto e una retta, A e r.Si considera il piano π ⊥ r per A, che determina A′ = π ∩ r.

dist(A, r) = dist(A,A′)

3. tra un punto e un piano, A e π.Si considera la retta r ⊥ π per A, che determina A′ = r ∩ π.

dist(A, π) = dist(A,A′)

Con conti analoghi a quelli visti nel calcolare la distanza tra punto e rettanel piano, si ottiene:

A ≡ (xA, yA, zA)π ax + by + cz + d = 0

dist(A, π) =|axA + byA + czA + d|√

a2 + b2 + c2

4. tra due rette, r e s.

(a) r, s incidenti.dist(r, s) = 0

(b) r ‖ s.Si prende un piano π ⊥ r, che determina R = r ∩ π, S = s ∩ π.

dist(r, s) = dist(R,S)

(c) r, s sghembe.Si verifica che dist(r, s) = dist(P , Q), con P ∈ r, Q ∈ s, P Q ⊥ r,P Q ⊥ s. P e Q sono determinati dalla retta l ortogonale e incidentea r e a s. Nella pratica, si prende il piano π ⊃ s, π ‖ r, sicché tutti ipunti di r hanno la stessa distanza da π.

dist(r, s) = dist(P , Q) = dist(P, π) ∀P punto ∈ r

5. tra una retta e un piano, r e π.

(a) r, π incidenti.dist(r, π) = 0

(b) r, π paralleli.Si prende un qualsivoglia punto P ∈ r.

dist(r, π) = dist(P, π)

6. tra due piani, π e σ.

(a) π, σ incidenti.dist(π, σ) = 0

(b) π, σ paralleli.Si prende un qualsivoglia punto P ∈ π.

dist(π, σ) = dist(P, σ)

Capitolo 4

Curve del secondo ordine

4.1 Coniche

Definizione 4.1 Si dice conica il luogo dei punti del piano le cui coordinateverificano un’equazione della forma

f(x, y) = 0f ∈ R[x, y] deg f = 2.

Si noti che

f(x, y) = conica γ

ρf(x, y) = conica γ ρ ∈ Rr {0}.

Osservazione Nonostante la definizione si basi su un luogo di punti, vogliamo tenertraccia anche dell’equazione: ad esempio, la conica x2 = 0 non è la retta x = 0.Più propriamente, quindi, una conica è una coppia (γ, f), dove γ è l’insieme dei puntidel piano individuati.

Esempix2 + y2 + 1 = 0 rappresenta l’insieme vuoto;x2 + y2 = 0 rappresenta un punto;x2 − y2 = 0 rappresenta due rette incidenti;x2 − 1 = 0 rappresenta due rette parallele;x2 = 0 rappresenta una sola retta.

Definizione 4.2 Una conica γ di equazione f(x, y) = 0 si dice riducibile se∃ l1, l2 ∈ C[x, y], deg li = 1 (i = 1, 2) tali che f = l1 · l2. γ si dice irriducibile senon è riducibile.

Esempiy2 − x2 = 0 è riducibile: y2 − x2 = (y − x)(y + x).y2 + x2 = 0 è riducibile: y2 + x2 = (y + ix)(y − ix)

Osservazione Sia f ∈ R[x, y], f = l1 · l2, l1 ∈ C[x, y]. In tal caso, l1 ed l2 sonocomplessi coniugati.

Definizione 4.3 Una matrice A = (aij) si dice simmetrica se aij = aji.

41

42 CAPITOLO 4. CURVE DEL SECONDO ORDINE

Ogni conica γ è esprimibile nella forma

a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 = 0.

Possiamo quindi usare una matrice simmetrica per identificare una conica:

(1 x y

) ·

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

·

1xy

= 0

(1 x y

) ·

a00 + a01x + a02ya01 + a11x + a12ya02 + a12x + a22y

= 0

a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y

2 = 0

Ci accorgiamo quindi che

A =

a b2

c2

b2 d e

2c2

e2 f

.

A è detta matrice rappresentativa di γ. Essa è uno strumento molto agevole perdeterminare informazioni sulla conica.Esercizio 4.1.1 Dimostrare che γ è riducibile⇔ det A = 0.

Teorema 4.1 I concetti di conica, di conica riducibile e di conica irriducibilesono concetti affini, cioè invarianti per affinità:

affinità : conica 7→ conicariducibile 7→ riducibile

irriducibile 7→ irriducibile

DimostrazioneSia α un’affinità, γ una conica di equazione f(x, y) = 0.

α

{x′ = ax + by + cy′ = dx + ey + f

α−1

{x = hx′ + ky′ + ly = mx′ + ny′ + p

f(hx′ + ky′ + l, mx′ + ny′ + p) = 0

La relazione tra x′ e y′ è espressa da un polinomio di grado ≤ 2, perché le affinitànon alzano il grado dei polinomi. Supponiamo ora che f(x, y) = 0, di grado 2, vengatrasformata da α in g(x′, y′) = 0 di grado < 2. Tuttavia, questa deve essere trasformatada α−1 nuovamente in f(x, y) = 0, e siccome un’affinità non può far aumentare il grado,è assurdo richiedere deg g < 2. Deduciamo quindi che il grado deve essere uguale a 2.Si consideri poi una conica riducibile γ di equazione f(x, y) = l1(x, y)·l2(x, y). Vediamoche α−1(γ) è riducibile:

f(hx′ + ky′ + l, mx′ + ny′ + p) == l1(hx′ + ky′ + l, mx′ + ny′ + p) · l2(hx′ + ky′ + l, mx′ + ny′ + p). ¤

4.2. MOLTEPLICITÀ DI INTERSEZIONE 43

4.2 Molteplicità di intersezione

Consideriamo:

γ conica di eq. f(x, y) = 0P0 ∈ γ P0 ≡ (x0, y0) f(x0, y0) = 0

l retta generica per P0 di eq. y = y0 + m(x− x0)l ∩ γ 3 P0

Consideriamo quindi il polinomio

p(x) = f (x, y0 + m(x− x0)) = 0,

le cui radici sono le ascisse dei punti di intersezione tra l e γ.

p(x0) = 0p(x) = (x− x0) · q(x,m)

Definizione 4.4 Se da q(x,m) non si può ulteriormente raccogliere (x− x0) sidice che l e γ hanno in P0 molteplicità di intersezione = 1, e si scrive

moltP0(l ∩ γ) = 1.

Se p(x) = (x−x0)q(x,m) = (x−x0)2 · · · si dice che la molteplicità di intersezioneè > 1, e si scrive

moltP0(l ∩ γ) > 1.

Esempi Consideriamo una conica γ e una retta l per il punto P0.

γ : f(x, y) = y − x2 − 1 = 0

P0 ≡ (x0, y0) ≡ (0, 1) l : y = 1 + mx{

y = x2 + 1y = 1 + mx

p(x) = 1 + mx− x2 − 1 = 0

p(x) = mx− x2 (x− x0) = x

p(x) = x(m− x) = q(x, m)x

l : y = 1 + mx (m 6= 0) ⇒ moltP0(l ∩ γ) = 1.l : y = 1 ⇒ p(x) = −x2 = x2(−1) ⇒ moltP0(l ∩ γ) > 1.

Definizione 4.5 Il punto P0 ∈ γ si dice semplice se, considerando la genericaretta l 3 P0, è moltP0(l ∩ γ) = 1. Se P0 ∈ γ non è semplice si dice singolare.

Ancora, essere semplice o singolare ha significato affine.

Teorema 4.2 Sia γ conica ⊆ A2 e sia P0 ∈ γ un suo punto semplice. Allora,∃! retta l 3 P0 t.che moltP0(l ∩ γ) > 1. l viene detta retta tangente a γ in P0 eindicata con

l = TP0(γ).


DimostrazioneA meno di affinità, si può supporre che P0 = O ≡ (0, 0).Abbia γ equazione f(x, y) = 0, e matrice rappresentativa A, sicché la sua equazionesia

a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y

2 = 0.

Si ha subito O ∈ γ ⇒ a00 = 0.Sia l 3 O una generica retta di equazione y = mx, e moltO(l ∩ γ) = 1.Mettendo a sistema si ha

{2a01x + 2a02y + a11x

2 + 2a12xy + a22y2 = 0

y = mx

da cui si ricava

p(x) = 2a01x + 2a02mx + a11x2 + 2a12mx2 + a22m

2x2 = 0

p(x) = x(2a01 + 2a02m + x(a11 + 2a12m + a22m2)) = 0

Se moltO(l ∩ γ) = 1, per m generici si ha 2a01 + 2a02m 6= 0.Cerchiamo dunque quali l soddisfano moltO(l ∩ γ) > 1.Abbiamo 2a01 + 2a02m = 0.Se a02 = 0: y = mx Ã x = 0;Se a02 6= 0: m = −a01

a02Ã!l : moltO(l ∩ γ) > 1

L’equazione della retta tangente a γ in O è quindi dato dal complesso dei termini digrado 1 di f :

a01x + a02y = 0. ¤

È possibile verificare che se P0 ≡ (x0, y0), P0 ∈ γ semplice, allora l’equazionedella retta tangente a γ in P0 è

(1 x y

) ·

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

·

1x0

y0

= 0.

Definizione 4.6 Siano γ ⊆ A2 una conica e P0 ≡ (x0, y0) un punto nonnecessariamente appartenente a γ. Possiamo dunque considerare l’equazione

(1 x y

) ·A ·

1x0

y0

= 0,

dove A è la matrice di γ. Questa equazione è un’espressione lineare in x, y chegenericamente sarà l’equazione di una retta ax + by + c = 0, con (a, b) 6= (0, 0).Se essa è effettivamente una retta, viene detta polare di P0 rispetto a γ, e vieneindicata con

polP0(γ).

Osservazione Se P0 ∈ γ, P0 semplice, la polare di P0 rispetto a γ è la retta tangente.

4.3 Coniche nel piano proiettivo

Cosa dobbiamo intendere per conica, in P2?

4.3. CONICHE NEL PIANO PROIETTIVO 45

Definizione 4.7 Una conica Γ è il luogo dei punti di P2 le cui coordinate omo-genee verificano un’equazione F (x0, x1, x2) = 0, con F ∈ R[x0, x1, x2] polinomioomogeneo di grado 2.

Essere polinomio omogeneo di grado 2 significa che

F (λx0, λx1, λx2) = λ2F (x0, x1, x2).

La definizione di conica è quindi ben data:

(x0, x1, x2) ∼ (λx0, λx1, λx2) λ 6= 0F (x0, x1, x2) = 0 ⇔ F (λx0, λx1, λx2) = 0

Consideriamo ora P2 = A2.

A2 → P2

(x, y) 7→ (1 : x : y)γ ⊆ A2 conica Ã Γ ⊆ P2 conica

f(x, y) = 0 F (x0, x1, x2) = x20 · f

(x1

x0,x2

x0

)= 0

Data una conica γ ⊆ A2, si ottiene Γ ⊆ P2 detta completamento proiettivo diγ. Γ differisce da γ al più per l’aggiunta di qualche punto improprio.

Viceversa, data una conica Γ ⊆ P2 di equazione F (x0, x1, x2) = 0, è “quasisempre” possibile ottenere γ ⊆ A2 di equazione f(x, y) = 0 nel seguente modo:

f(x, y) = F (1, x, y) = 0 (deg F (1, x, y) ≤ 2)

Però, ad esempio, F (x0, x1, x2) = x20 + x0x1 porta a f(x, y) = 1 + x, di grado

< 2. Si ha che F (1, x, y) ha grado < 2 se e solo se si può raccogliere x0 inF (x0, x1, x2).

In conclusione,

Γ ⊆ P2 : F (x0, x1, x2) = 0 Ã γ ⊆ A2 : f(x, y) = F (1, x, y) = 0

solo se x0 non è fattore di F , mentre è sempre possibile

γ ⊆ A2 : f(x, y) = 0 Ã Γ ⊆ P2 : F (x0, x1, x2) = x20 · f

(x1

x0,x2

x0

).

Osservazione Dal punto di vista geometrico, se x0 è fattore di F allora F è costituitodalla retta impropria e da altre rette al finito.

Consideriamo ora una conica Γ ⊆ P2 di equazione F (x0, x1, x2) = 0, ovvero

(x0 x1 x2

) ·A ·

x0

x1

x2

= 0

a00x20 + 2a01x0x1 + 2a02x0x2 + a11x

21 + 2a12x1x2 + a22x

22 = 0.

Si noti che scrivendo(x0 x1 x2

) · A ·

x0

x1

x2

= 0 otterremmo un’espressione

lineare nelle x e nelle x e simmetrica rispetto alle x e alle x.


Definizione 4.8 Sia P ≡ (x0 : x1 : x2) un punto in P2. Se l’equazione

(x0 x1 x2

) ·A ·

x0

x1

x2

= 0,

lineare omogenea nelle xi, non è identicamente nulla, essa rappresenta una rettain P2 detta polare di P rispetto a Γ, e P0 viene detto polo di tale retta.

Se P ∈ Γ è semplice1, la polare è la retta tangente a Γ in P :

P ∈ Γ =⇒ polP (Γ) = TP (Γ)

La simmetrica dell’equazione della polare (x ↔ x) garantisce il seguenterisultato di reciprocità.

Teorema 4.3 (Legge di reciprocità) Siano in P2 una conica Γ e due puntiP ≡ (x0 : x1 : x2) e Q ≡ (y0 : y1 : y2).

P ∈ polQ(Γ) ⇐⇒ Q ∈ polP (Γ)

DimostrazioneIpotizziamo che Q ∈ polP (Γ). Vale quindi

(y0 y1 y2

) ·A ·

x0

x1

x2

= 0,

ovvero

(x0 x1 x2

) ·A ·

y0

y1

y2

= 0. ¤

Cosa rappresenta la retta polare? Siano Γ una conica, P un punto esternoad essa e T1, T2 i punti di intersezione della conica con le rette ad essa tangentipassanti per P .

P T2 = TT2(Γ) P T1 = TT1(Γ)TT2(Γ) = polT2

(Γ) 3 P TT1(Γ) = polT1(Γ) 3 P

E per le legge di reciprocità otteniamo

T2 ∈ polP (Γ) T1 ∈ polP (Γ).

Quindi, la retta polare è la congiungente i punti di tangenza.Esercizio 4.3.1 Cosa rappresenta la retta polare per un punto interno ad una conica?

1In P2 si danno definizioni analoghe a quelle date in A2 per moltP (l∩Γ) e per P semplicee singolare.

4.4. CONICHE IN E2 E IN A2 47

4.4 Coniche in E2 e in A2

Consideriamo:

γ : f(x, y) =(1 x y

) ·A ·

1xy

= 0

A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

A0 =

(a11 a12

a12 a22

)

Si verifica che le seguenti tre quantità associate a f (ad A) non cambiano percongruenze dirette:

• I1(f) = a11 + a22 (traccia di A0);

• I2(f) = a11a22 − a212 = det A0;

• I3(f) = det A.

Tali valori sono detti invarianti ortogonali lineare, quadratico, cubico di f (diA). Hanno significato geometrico:

• l’annullarsi di un Ik;

• il segno di I2, e del prodotto I1I3, ma non il segno di I1, di I3 o il lorovalore. Infatti, γ è definita anche da pf = 0, con p 6= 0, e si ha2:

I1(pf) = pI1(f)

I2(pf) = p2I2(f)

I3(pf) = p3I3(f)

Teorema 4.4 Sia γ ⊆ E2 una conica. Esiste una congruenza diretta che trasfor-ma γ in una (e una sola) delle seguenti forme canoniche:

irriducibiliI3 6= 0

x2

a2 + y2

b2 − 1 = 0 ellisse I2 > 0, I1I3 < 0(a ≥ b > 0)

x2

a2 + y2

b2 + 1 = 0 ellisse immaginaria I2 > 0, I1I3 > 0(a ≥ b > 0)

x2

a2 − y2

b2 − 1 = 0 iperbole I2 < 0(equilatera se I1 = 0)

y2 − 2px = 0 parabola I2 = 0(p > 0)

riducibiliI3 = 0

m2x2 − y2 = 0 2 rette incidenti I2 < 0(ortogonali se I1 = 0)

m2x2 + y2 = 0 2 fatt. lin. conj. complessi I2 > 0(con 1! punto reale)

a2 − y2 = 0 2 rette parallele I2 = 0a2 + y2 = 0 2 fatt. lin. conj. complessi I2 = 0

(senza punti reali)y2 = 0 1 retta contata 2 volte I2 = 0

2Ci accorgiamo quindi che i nomi non sono presi “a pera”.


Per le coniche irriducibili (I3 6= 0), il segno (o l’annullarsi) di I2 ed eventual-mente il segno di I1I3 bastano per il riconoscimento.

Per determinare la forma canonica, bisogna trovare a2 e b2 nel caso dell’ellisseo dell’iperbole, p nel caso della parabola.

Gli invarianti ortogonali non sono sufficienti, ma si possono usare gli invari-anti assoluti :

se I1 6= 0, U =I3

I31

, V =I2

I21

;

se I1 = 0, K =I2

3

I32

.

Quando sono definiti, U , V e K sono invarianti della conica, e non solo delpolinomio usato per definirla. Si dimostra che essi sono

• U per la parabola;

• K e V per l’ellisse;

• K e U per l’iperbole (solo K se equilatera).

Infine, senza trovare le relative forme canoniche, due ellissi (o due iperboli, o dueparabole) sono equivalenti per congruenze se e solo se hanno gli stessi invariantiassoluti.Esercizio 4.4.1 La classificazione euclidea simile. Il primo passo consiste nel di-mostrare che due parabole sono sempre equivalenti per similitudine. (Suggerimento: siconsideri la parabola come luogo di punti.)

Teorema 4.5 Sia γ ⊆ A2 una conica. Esiste un’affinità tale che trasforma γ inuna delle seguenti coniche (equazioni canoniche):

γ irriducibile

x2 + y2 − 1 = 0 ellissex2 + y2 + 1 = 0 ellisse immaginariax2 − y2 − 1 = 0 iperboley2 − 2x = 0 parabola

γ riducibile

x2 − y2 = 0 2 rette incidentix2 + y2 = 0 2 fattori complessi coniugati (con 1! punto reale)y2 − 1 = 0 2 rette paralleley2 + 1 = 0 2 fattori complessi coniugati (senza punti reali)y2 = 0 1 retta contata 2 volte

Il riconoscimento in A2 equivale a trovare l’equazione canonica. Ciò avvienecome in E2, ma si scrive det A, detA0, TrA0 anziché I3, I2, I1.

Osservazione Se due coniche γ1, γ2 sono equivalenti dal punto di vista euclideo, essesono equivalenti dal punto di vista affine. Non è vero il viceversa.

Partendo da una conica γ ⊆ A2, come possiamo sapere a quale tipo di conicaessa è riconducibile? Osserviamo il comportamento di una conica in P2 = A2

,intersecandola con la retta impropria.

4.4. CONICHE IN E2 E IN A2 49

• γ : x2 + y2 − 1 = 0 ellisse,Γ : x2

1 + x22 − x2

0 = 0 completamento proiettivo di γ.{

x21 + x2

2 − x20 = 0

x0 = 0

x21 + x2

2 = 0 Ã (0 : 0 : 0) punto non accettabile.Siccome affinità: r∞ → r∞, abbiamo per ogni ellisse Γ ∩ r∞ = ∅.Questo implica che l’ellisse sia una figura finita (senza rami infiniti).

• γ : x2 − y2 − 1 = 0 iperbole,Γ : x2

1 − x22 − x2

0 = 0 completamento proiettivo di γ.{

x21 − x2

2 − x20 = 0

x0 = 0

x21 − x2

2 = 0 Ã A∞ ≡ (0 : 1 : 1), B∞ ≡ (0 : 1 : −1).Si verifica che A∞, B∞ sono punti semplici.Inoltre,

TA∞(Γ) → (x0 x1 x2

)−1 0 00 1 00 0 −1

011

= 0 →

→ x1 − x2 = 0 asintoto,e analogamente TB∞(Γ) → x1 + x2 = 0 asintoto.

Quindi, le tangenti in A∞ e B∞ sono gli asintoti della curva. Il centrodell’iperbole sarà dunque

C = TA∞(Γ) ∩ TB∞(Γ) = polA∞(Γ) ∩ polB∞(Γ),

e usando la reciprocità otteniamo

A∞ ∈ polC(Γ), B∞ ∈ polC(Γ) ⇒ polC(Γ) = r∞,

ovvero il centro dell’iperbole corrisponde col polo di r∞.

• γ : y2 − 2px = 0 parabola,Γ : x2

2 − 2px1x0 = 0 completamento proiettivo di γ.{

x22 − 2px1x0 = 0

x0 = 0

x22 = 0 Ã P∞ ≡ (0 : 1 : 0).

TP∞(Γ) → (x0 x1 x2

)

0 −p 0−p 0 00 0 1

010

= 0 → x0 = 0.

Dunque, la retta tangente in P∞ è r∞.

Capitolo 5

Fasci di coniche

5.1 Motivazioni(A) Sistemi di 2 equazioni di II grado in 2 incognite (sistema di IV grado).

Ad esempio, nel sistema{

x2 − 2y2 + y = 0 Ix2 + y2 − 2y = 0 II (∗)

non possiamo esplicitare un’incognita senza introdurre radicali. Possiamo peròcercare un sistema equivalente più semplice:

{III− I →

{x2 − 2y2 + y = 03y2 − 3y = 0

→{

x2 − 2y2 + y = 0y(y − 1) = 0

Questo sistema può essere diviso in due:{

x2 − 2y2 + y = 0y = 0

{x2 − 2y2 + y = 0y − 1 = 0

Unendo le soluzioni, ottengo tutte e sole le soluzioni del sistema iniziale.

Altri sistemi sono risolubili con artifici che per ora possono sembrare pura magia:{

3x2 − 5y2 − 4xy + 7x + 5y = 0 I5x2 − 8y2 − 9xy + 13x + 8y = 0 II (◦)

{x2 − 2y2 + xy + x + 2y = 0 2I− II2x2 − 3y2 − 5xy + 6x + 3y = 0 II− I

{(x + 2y)(x− y + 1) = 0 γ(2x + y)(x− 3y + 3) = 0 γ′

Sicché siamo passati da due coniche irriducibili a delle rette intersecantisi.

Un caso particolare è l’intersezione di due circonferenze:{

x2 + y2 + ax + by + c = 0 Ix2 + y2 + a′x + b′y + c′ = 0 II

{x2 + y2 + ax + by + c = 0 I(a′ − a)x + (b′ − b)y + c′ − c = 0 II− I

dove l’ultima equazione rappresenta una retta se (a′ − a, b′ − b) 6= (0, 0).

50

5.2. FASCI DI CIRCONFERENZE 51

In generale, dato un sistema di due coniche I, II vogliamo passare ad un sistemaequivalente (cioè con le stesse soluzioni)

{αI + βIIγI + δII , con

∣∣∣∣α βγ δ

∣∣∣∣ 6= 0

perché vogliamo poter invertire il processo, e con almeno una conica spezzata.È sempre possibile fare questa operazione? Come?

(B) Equazioni di IV grado in un’incognita,

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.

Ponendo y = x2, otteniamo{

ay2 + bxy + cx2 + dx + e = 0y = x2

e le ascisse dei punti di intersezione delle due coniche sono le radici dell’e-quazione di partenza.

(C) Dati 2 punti nel piano, ∃! retta passante per essi. Dati 3 punti (in posizionegenerica) nel piano, @ retta per essi. Dati 3 punti non allineati nel piano,∃! circonferenza per essi. Dati 4 punti (in posizione generica) nel piano, @circonferenza per essi.

In generale, data una famiglia di curve (per noi saranno le coniche):

1) Fino a quanti punti possono posso scegliere (almeno genericamente)nel piano trovando curve della famiglia che passino per essi?

2) Quante condizioni (di passaggio per punti) determinano univoca-mente una curva della famiglia?

5.2 Fasci di circonferenze

In E2 (deve avere senso la nozione di distanza) consideriamo una circonferenzaC di equazione

x2 + y2 + ax + by + c = 0,

che avrà centro(−a

2 ,− b2

)e raggio ρ : ρ2 = a2+b2

4 − c, ed è

(x +

a

2

)2

+(

y +b

2

)2

= ρ2.

Parleremo di circonferenze in senso lato cioè ρ2 R 0:

ρ2 > 0 Ã ellisse reale;

ρ2 = 0 Ã due rette complesse coniugate che si intersecano in 1! punto reale;

ρ2 < 0 Ã ellisse immaginario.

52 CAPITOLO 5. FASCI DI CONICHE

Definizione 5.1 Consideriamo

C x2 + y2 + ax + by + c = 0C ′ x2 + y2 + a′x + b′y + c′ = 0

Si dice fascio di circonferenze F (C, C ′) generato da C e C ′ l’insieme delle curvedi equazioni

λ(x2 + y2 + ax + by + c) + µ(x2 + y2 + a′x + b′y + c′) = 0 (λ, µ) 6= (0, 0).

Possiamo pensare i coefficienti come un punto (λ : µ) ∈ P1 (sono due coefficientinon contemporaneamente nulli e definiti a meno di un fattore di proporzional-ità). Riordiniamo:

(λ + µ)x2 + (λ + µ)y2 + (λa + µa′)x + (λb + µb′)y + λc + µc′ = 0.

Se λ + µ 6= 0,

x2 + y2 +λa + µa′

λ + µx +

λb + µb′

λ + µy +

λc + µc′

λ + µ= 0

è una circonferenza (in senso lato).Se λ + µ = 0, è λ = −µ (se volete (λ : µ) = (1 : −1)), e resta

(a− a′)x + (b− b′)y + c− c′ = 0.

Ci sono due possibilità:

• centri diversi: (a, b) 6= (a′, b′) Ã retta (asse radicale del fascio);

• stesso centro: (a, b) = (a′, b′) Ã c− c′ = 0, e se C 6= C ′ Ã l’insieme vuoto.

Ricapitolando:

(1) le curve del fascio sono circonferenze o rette (una sola retta: l’asse radicale);

(2) le “curve” del fascio sono circonferenze o l’insieme vuoto.

Osservazione F (C, C′) può essere generato con due qualsiansi curve del fascio, cioè:

C : f = 0 C′ : g = 0

γ ∈ F (C, C′) γ : αf + βg = 0 (α, β) 6= (0, 0).

Date due curve del fascio

C : λf + µg = 0

C′ : λ′f + µ′g = 0

C 6= C′ (λ : µ) 6= (λ′ : µ′)

∣∣∣∣λ µλ′ µ′

∣∣∣∣ 6= 0

riesco a tornare a C, C ′ con una combinazione lineare{

f = hf + kg

g = lf + mg

5.3. FASCI DI CONICHE 53

Se tutte le equazioni del fascio avevano equazione αf + βg = 0, ora

α(hf + kg) + β(lf + mg) = 0

(αh + βl)f + (αk + βm)g = 0

F (C, C′) = F (C, C′),

ovvero il fascio generato è il medesimo.In particolare: per un fascio di circonferenze (non concentriche) basta una circon-

ferenza e l’asse radicale.

I fatto fondamentale Siano p ∈ E2, C : f(x, y) = 0, C ′ : g(x, y) = 0 coniche.Se p ∈ C ∩C ′ ⇒ p ∈ γ ∀γ ∈ F (C,C ′) (in tal caso p si dice punto base delfascio F (C, C ′)).Ciò è ovvio: sia p ∈ C, p ≡ (x, y).f(x, y) = 0, g(x, y) = 0

⇒ ∀γ ∈ F (C, C′), γ : αf + βg = 0, è αf(x, y) + βg(x, y) = 0 ⇒ p ∈ γ.

II fatto fondamentale Sia p ∈ E2. Se p /∈ C ∩ C ′ ⇒ ∃!γ ∈ F (C, C ′) : p ∈ γ.Infatti: p /∈ C ∩ C′ ⇒ (f(x, y), g(x, y)) 6= (0, 0).Dalla generica retta del fascio γ : αf(x, y) + βg(x, y) = 0 con (α, β) 6= (0, 0),cerco γ t.c. γ 3 p, cioè cerco (α, β) t.c. αf(x, y) + βg(x, y) = 0.Poiché si tratta di un’equazione omogenea di I grado,∃! soluzione (α : β) ∈ P1 Ã ∃!γ ∈ F (C, C ′) : γ 3 p.

Osservazione Dati due punti, le circonferenze passanti per essi sono tutte nel fasciogenerato da due di esse (conseguenza del II fatto fondamentale).

Esempi Scriviamo l’equazione della circonferenza C passante per P (2, 3), Q(5, 2),R(5,−2).Cominciamo individuando le equazioni delle circonferenze per Q, R, o meglio l’e-quazione di un fascio di circonferenze. Possiamo ad esempio prendere

{asse radicale x = 5circonferenza di diametro QR x2 + y2 − 10x + 21 = 0

Ã λ(x− 5) + µ(x2 + y2 − 10x + 21) = 0.

Infine cerco la circonferenza per P , che ∃! per il II fatto fondamentale.

λ(−3) + µ(14) = 0 Ã 3x2 + 3y2 − 16x− 7 = 0.

5.3 Fasci di coniche

Mettiamoci equivalentemente nell’ambiente affine o proiettivo, considerandorispettivamente:

A2 (x, y) P2 (x0 : x1 : x2)γγ′

f(x, y)g(x, y)

}II grado Γ

Γ′F (x0, x1, x2)G(x0, x1, x2)

}II grado

A matrice di γ A matrice di ΓB matrice di γ′ B matrice di Γ′


Definizione 5.2 Il fascio di coniche F (γ, γ′) (F (Γ, Γ′) rispettivamente) gen-erato da γ e γ′ (Γ e Γ′ rispettivamente) è l’insieme delle curve del piano diequazione

λf + µg = 0 (λF + µG = 0),

ove λ, µ ∈ R, (λ, µ) 6= (0, 0). Possiamo pensare (λ : µ) ∈ P1.

Osservazione In P2 un fascio di coniche è costituito da coniche (solamente).

Talora, invece di (λ : µ) ∈ P1 si usa k ∈ R∪ {∞}, sicché il fascio assume forma“f + tg”.

Osservazione F (γ, γ′) (F (Γ, Γ′)) può essere generato da due qualsiansi curve delfascio.

I fatto fondamentale p ∈ A2 , p ∈ γ ∩ γ′ ⇒ ∀γ ∈ F (γ, γ′) p ∈ γ. (idem inP2.) p viene detto punto base del fascio.

II fatto fondamentale p ∈ A2 , p /∈ γ ∩ γ′ ⇒ ∃!γ ∈ F (γ, γ′) p ∈ γ. (idemin P2.)

I fatto fondamentale generalizzato Se γ e γ′ soddisfano una condizionelineare ⇒ tutte le curve del fascio la soddisfano. (idem in P2.)

II fatto fondamentale generalizzato Se una data condizione lineare non èsoddisfatta simultaneamente da γ e γ′ ⇒ ∃!γ ∈ F (γ, γ′) che la soddisfa.(idem in P2.)

Esempi

1. In E2, per circonferenze la condizione di avere centro su una fissata retta ècondizione lineare. Considerando

x2 + y2 + ax + by + c = 0 y = mx + q,

per prendere le circonferenze con centro(−a

2,− b

2

)impongo

− b

2= −m

a

2+ q −ma + b + 2q = 0,

che è un legame lineare. Risulta quindi:

• se due circonferenze hanno centro su una retta, tutte le circonferenze delfascio generato hanno centro su quella retta;

• se r è una retta t.c. il centro di γ e γ′ non sia simultaneamente su r ⇒ ∃!circonferenza del fascio che ha centro su r.

2. In A2, per coniche passanti per O = (0, 0), avere in O una fissata tangente èuna condizione lineare.

{ax2 + bxy + cy2 + dx + ey = 0y = mx retta tangente

ax2 + bmx2 + cm2x2 + dx + emx = 0,

e voglio x = 0 radice (almeno) doppia ⇒ d + em = 0, che è un legame lineare.

5.4. RISPOSTE 55

5.4 Risposte(A)(B) Poniamoci in A2 (anche in P2).

M =

m00 m01 m02

m10 m11 m12

m20 m21 m22

matrice di una conica,

la conica è degenere⇔ detM = I3 = 0.

Nel fascio:

det(λA + µB) =

∣∣∣∣∣∣

λa00 + µb00 λa01 + µb01 λa02 + µb02

λa10 + µb10 λa11 + µb11 λa12 + µb12

λa20 + µb20 λa21 + µb21 λa22 + µb22

∣∣∣∣∣∣=

= polinomio omogeneo di III grado in (λ : µ),

ci serve di eguagliarlo a zero e trovare le radici (λ, µ), che corrispondonoalle coniche degeneri del fascio.

• I caso: det(λA + µB) = 0 è l’identità 0 = 0 ⇒ tutte le coniche delfascio sono degeneri; se ne distinguono due tipi:– tutte le coniche hanno lo stesso punto singolare, ad es. λx2 +

µy2 = 0;– tutte le coniche hanno una fissata retta come componente, ad es.

λxy + µx(y − 1) = 0.• II caso: 3 radici reali: (λ1 : µ1), (λ2 : µ2), (λ3 : µ3), che possono essere:

– distinte Ã 3 coniche degeneri del fascio, è il caso di un fascio con4 punti base;

– una doppia e una semplice Ã 2 coniche degeneri del fascio;– una tripla Ã 1 conica degenere del fascio.

• III caso: 1 radice reale Ã 1 sola conica degenere nel fascio.Ad es.: fascio di circonferenze (asse radicale + retta impropria).

Per rispondere ai problemi (A) e (B): in ogni caso da{

f = 0 II gradog = 0 II grado

è possibile arrivare a un sistema equivalente della forma{

f = 0l1 · l2 = 0 l1, l2 lineari.

Per ottenere lo spezzamento, devo risolvere l’equazione

det(λA + µB) = 0,

cioè trovare le soluzioni (almeno una).

(λ, µ) soluzione l1 · l2 = λA + µB.

L’equazione può essere risolta con la formula risolutiva per le equazioni diIII grado.


(C) Quante condizioni di passaggio per punti determinano una conica?

• Presi 4 punti A,B,C, D in posizione generale, ∃ fascio di coniche peressi (per generarlo uso 4 rette per i punti, costituenti due conichedegeneri);

• preso un altro punto E (in posizione generale), la condizione dipassaggio è lineare sulle coniche del fascio ⇒ ∃!γ;

• se i punti sono presi allineati, avremo infinite coniche.

5.5 Piano proiettivo complessoQuando siamo passati da A2 a P2, il nostro obiettivo era ristabilire una sim-metria. Tuttavia, pensando alle coniche, P2 non è un buon ambito, perché adesempio, considerando una circonferenza e una retta, esse possono non averepunti in comune né in A2 né in P2:

x2 + y2 + ax + by + c = 0 non ha punti reali sulla retta impropria.{x2

1 + x22 + ax0x1 + bx0x2 + cx2

0 = 0x0 = 0{

x21 + x2

2 = 0x0 = 0 Ã (0, 0, 0) non definisce alcun punto di P2.

L’ambito in cui contestualizzare le questioni di intersezioni per coniche e più ingenerale per curve algebriche f(x, y) = 0 è il piano proiettivo complesso. Per ilpiano proiettivo reale avevamo considerato:

A2R ' R2 P2

R

(x, y) ∈ A2 (1 : x : y) ∈ A2, (x0 : x1 : x2) ∈ P2

x, y ∈ R x0, x1, x2 ∈ R, (x0, x1, x2) 6= (0, 0, 0)

Ora pensiamo (x, y) ∈ C2, e A2R ⊂ A2

C (R4):

A2C P2

C(x, y) ∈ A2 (x0 : x1 : x2) ∈ P2

x, y ∈ C x0, x1, x2 ∈ C, (x0, x1, x2) 6= (0, 0, 0)

(x0, x1, x2) ∼ (y0, y1, y2)xi = λyi λ ∈ C∗ = Cr {0}

(1 : 1 : 1) ∼ (i : i : i)

Due circonferenze hanno al più due punti di intersezione perché hanno ugualii coefficienti x2 e y2:

x2 + y2 + ax + by + c = 0 non ha punti reali sulla retta impropria.{x2

1 + x22 + ax0x1 + bx0x2 + cx2

0 = 0x0 = 0{

x21 + x2

2 = 0x0 = 0 Ã P1(0 : 1 : i)

P2(0 : 1 : −i),

detti punti ciclici, per cui tutte le circonferenze passano.

5.6. ALCUNI ESEMPI DI FASCI DI CONICHE 57

5.6 Alcuni esempi di fasci di coniche• Dati 4 punti base, costruisco il fascio a partire dalle coniche spezzate〈AB〉 · 〈CD〉 e 〈AD〉 · 〈BC〉.

• Dato un punto base A con tangente data a (condizione lineare) e due puntibase B e C, costruisco il fascio a partire dalle coniche spezzate a · 〈CD〉 e〈AB〉 · 〈AC〉.

• Dato un punto base A con tangente data a e un punto base B con tangentedata b, costruisco il fascio a partire dalle coniche spezzate 〈AB〉2 e a · b.

Attenzione Non tutte le coniche si spezzano con coppie di coniche degeneri (dalpunto di vista reale).

• Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(0, 0), B(1, 2),C(4, 6), D(4, 2), E(1, 0).Possiamo procedere individuando in primo luogo il fascio di coniche passanteper B, C, D, E. Consideriamo ad esempio:

〈BE〉 · 〈CD〉 (x− 1)(x− 4) = 0〈BC〉 · 〈DE〉 (3y − 4x− 2)(3y − 2x + 2) = 0

Ã (x− 1)(x− 4) + t(3y − 4x− 2)(3y − 2x + 2) = 0.

Imponendo ora il passaggio per A, troviamo la conica richiesta.

• Scrivere l’equazione della circonferenza passante per A(1, 1) con tangentey = x e per B(3, 5).Possiamo procedere individuando in primo luogo il fascio di circonferenze perA con tangente y = x; usiamo l’asse radicale e una qualsiasi circonferenza concentro sulla retta perpendicolare ad esso passante per A:

(x− 1)2 + (y − 1)2 + λ(y − x) = 0.

Tra queste vado infine a cercare quella che soddisfa il passaggio per B.

• Scrivere l’equazione dell’iperbole con asintoti x+2y−3 = 0 e x−2y+1 = 0e passante per P (1, 3).Possiamo procedere individuando in primo luogo il fascio di coniche con gliasintoti dati.

r : x + 2y − 3 = 0 P∞(0 : −2 : 1)s : x− 2y + 1 = 0 Q∞(0 : 2 : 1)

Vogliamo le coniche tangenti in P∞ a x + 2y − 3 = 0 e in Q∞ a x− 2y + 1 = 0;esse sono automaticamente iperboli perché hanno due punti impropri.

(x + 2y − 3)(x− 2y + 1) + λ(u2) = 0.

Infine chiedo il passaggio per P .

• Scrivere l’equazione del fascio di parabole di E2 passanti per l’origine, perA(0,−1), e aventi asse parallelo alla retta di equazione x + y = 0. Leparabole hanno per tangente nel punto all’infinito la retta impropria. Uso laretta data con la sua parallela per A, e la retta impropria con la retta 〈OA〉:

(x + y + 1)(x + y) + tx = 0 t ∈ R ∪ {∞}.


• Dato il fascio di coniche x2 − y2 + 2txy + x + y = 0, individuarne i puntibase e le coniche riducibili.Prendiamo due coniche, ad esempio

{x2 − y2 + x + y = 0xy = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0

{x2 + x = 0y = 0

Ã (0, 0) (−1, 0)

{ −y2 + y = 0x = 0

Ã (0, 0) (0, 1)

e ho trovato i punti base. Per le coniche riducibili, potrei semplicemente porreI3 = 0 e risolvere per t. Una strada alternativa consiste nel cercare la tangentecomune a tutte le coniche del fascio nell’origine:

{x2 − y2 + 2txy + x + y = 0y = mx

x2 −m2x2 + 2tmx2 + x + mx = 0

x(x−m2x + 2tmx + 1 + m) = 0

Ã 1 + m = 0 ⇒ m = −1,

percui la retta tangente comune a tutte le rette del fascio nell’origine è y = −x.Risultano dunque degeneri nel fascio:

xy = 0 (x + y)(y − x + 1) = 0.

Parte II

Algebra lineare

59

Capitolo 6

Spazi vettoriali

6.1 Spazi vettoriali

Definizione 6.1 Dicesi campo un insieme K dotato di due operazioni + e · taleche

(K; +) è gruppo abeliano, con elemento neutro 0K(K∗ = Kr {0K}; ·) è gruppo abeliano, con elemento neutro 1K

a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ K.

Definizione 6.2 Siano K un campo, V un insieme non vuoto. Si dice cheV è uno spazio vettoriale sul campo K (V/K) se V è dotato di due leggi dicomposizione

+ : V × V → V

· : K× V → V

tali che

A) (V, +) è gruppo abeliano;

B) ∀ λ, µ ∈ K, ∀ u, v ∈ V :

b1) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u;b2) (λ · µ) · u = λ · (µ · u);

b3) λ · (u + v) = λ · u + λ · v;b4) 1K · u = u.

Osservazione Nonostante sembri trattarsi di proprietà associative e distributive, inrealtà non lo sono perché le operazioni sono distinte in K e in V .

λ, µ, . . . ∈ K si dicono scalari ; u, v, . . . ∈ V si dicono vettori in (V ; +). Denoti-amo con 0 l’elemento neutro, e con −v il vettore opposto di v.

Osservazione Talora, invece di λ · v, si scrive v · λ.

60

6.1. SPAZI VETTORIALI 61

Definizione 6.3 Dati λ1, . . . , λn ∈ K e v1, . . . , vn ∈ V , si dice combinazionelineare dei vettori v1, . . . , vn secondo gli scalari λ1, . . . , λn il vettore

v = λ1 · v1 + λ2 · v2 + · · ·+ λn · vn.

Esempi1. K = R, V = VectO(E3) = {vettori applicati nell’origine}, v ∈ V vettore

+ : V × V → V usuale somma di vettori (regola del parallelogramma)0 =

−−→OO, −−→OA =

−−→OB vettore di egual modulo e segno opposto

· : R× V → V (λ,−→OA) 7→ λ · −→OA

λ · −→OA =

−−→OO se λ = 0

−−→OA′ |OA′| = |λ||OA|, verso

{stesso se λ > 0

opposto se λ < 0

2. ∀K possiamo considerare V = {0}. V/K è detto spazio vettoriale nullo o banale.

3. ∀K possiamo considerare V = K+ : K×K→ K usuale somma in K· : K×K→ K usuale prodotto in K

4. K = C. Applicando quanto visto al punto precedente, possiamo prendere V = C.C è uno spazio vettoriale su se stesso, ma è anche uno spazio vettoriale su R:K = R, V = C+ : C×C→ C usuale somma di numeri complessi· : R×C→ C, (λ, a + ib) 7→ λa + iλb

5. K qualsiasi, V = Kn = spazio vettoriale delle n-uple di elementi di K

v ∈ Kn v =

x1

x2

...xn

xi ∈ K (i = 1, . . . , n)

+ : Kn ×Kn → Kn (

x1

x2

...xn

,

y1

y2

...yn

) 7→

x1 + y1

x2 + y2

...xn + yn

· : K×Kn → Kn (λ,

x1

x2

...xn

) 7→

λ · x1

λ · x2

...λ · xn

0 =

00...0

−

x1

x2

...xn

=

−x1

−x2

...−xn

6. K qualsiasi, V = Matm,n = Matm,n(K) = insieme delle matrici m× n a coeffi-cienti di K

v ∈ Matm,n v = A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

aij ∈ K

(i = 1, . . . , mj = 1, . . . , n

)

+ : Matm,n×Matm,n → Matm,n (A, B) 7→ C A = (aij), B = (bij), C =(aij + bij)

62 CAPITOLO 6. SPAZI VETTORIALI

· : K×Matm,n → Matm,n (λ, A) 7→ B = λA A = (aij), B = (λaij)

0 = matrice nulla =

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

A = (aij) −A = (−aij)

7. K qualsiasi, V = K[x] = insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti inKv ∈ V v = polinomio = p (= p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn)+ : K[x] × K[x] → K[x] p(x) + q(x) = r(x) il coefficiente di xi in r(x) èsomma dei coefficienti di xi in p(x) e q(x) rispettivamente· : K ×K[x] → K[x] λ ∈ K λp(x) = r(x) il coefficiente di xi in r(x) è λvolte il coefficiente di xi in p(x)

8. K qualsiasi, V = Kd[x] = {polinomi in una variabile a coefficienti in K di grado≤ d}(con le operazioni viste al punto precedente)

9. K = R, V = RR = {f : R→ R}+ : V × V → V (f, g) 7→ f + g f + g : R→ R x 7→ f(x) + g(x)· : R×V → V (λ, f) 7→ λf λf : R→ R x 7→ λf(x) (definizione puntuale)

Siano K un campo e V uno spazio vettoriale su K, con le operazioni + :V × V → V , · : K× V → V , e chiamiamo per semplicità 0K = 0.Proprietà elementari di V :

1) tutte le proprietà dei gruppi abeliani per (V ; +)

2) 0 · v = 0 ∀v ∈ Vinfatti 0 · v = (0 + 0) · v = (b1) 0 · v + 0 · v ⇒ (leggi di cancellazione) 0 = 0 · v

3) 0 ∈ V ∀λ ∈ K⇒ λ · 0 = 0 ∈ Vinfatti λ · 0 = λ · (0 + 0) = (b3) λ · 0 + λ · 0 ⇒ (leggi di cancellazione) 0 = λ0

4) ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V (−λ) · v è opposto di λ · vinfatti (devo verificare che (−λ) · v + λ · v = 0):(−λ) · v + λ · v = (b1) (−λ + λ) · v = 0 · v = 0

5) λ · v = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0infatti, supponiamo λ 6= 0, dimostriamo che v = 0: λ ∈ K∗ = Kr {0};∃λ−1 ∈ K∗; λ−1 · (λ · v) = (b2) (λ−1λ) · v = 1K · v = (b4) v = 0

6.2 Sottospazi vettoriali

Definizione 6.4 Siano K un campo, V uno spazio vettoriale su K, U ⊆ V . Sidice che U è un sottospazio di V se U è uno spazio vettoriale su K rispetto allerestrizioni a U delle operazioni di V , cioè

+ : V × V → V+|U×U : U × U → U (interna)

· : K× V → V·|K×U : K× U → U (a valori in U)

con le proprietà A), B).

Da verificare effettivamente sono soltanto:

6.2. SOTTOSPAZI VETTORIALI 63

• la chiusura di U rispetto a +;

• la chiusura di U rispetto a ·;• (U ; +) gruppo abeliano (∃0, ∃ − v).

Sono invece ovvie perché valide in V :

• l’associatività di +, ·;• la commutatività di +;

• la proprietà B).

Teorema 6.1 SianoK campo, V spazio vettoriale suK e U ⊆ V sottoinsieme 6=∅. U è sottospazio vettoriale di V se e solo se U è chiuso rispetto alle combinazionilineari, ovvero se e solo se

∀ λ, µ ∈ K, ∀ u,w ∈ U si ha λu + µw ∈ U.

Dimostrazione(⇒) u, w ∈ U ⇒ λ · u ∈ U, µ · w ∈ U ⇒ (U è sottospazio) λu + µw ∈ U .(⇐) u, w ∈ U, dobbiamo verificare che u + w ∈ U .u + w = 1 · u + 1 · w ∈ U∀λ, ∀u ∈ U λ · u = λ · u + 0 · u ∈ U0 ∈ U 0 = 0 · u + 0 · u ∈ U (U 6= ∅ ⇒ ∃u ∈ U)− u = (−1) · u + 0 · u ∈ U ⇒ U è sottospazio vettoriale di V . ¤

Osservazione Se U è un sottospazio di V ⇒ 0 ∈ U .

Esempi1. K = R, V = VectO(E3). Fissiamo un piano π 3 O, determinando U =

VectO(π) = {−→OA ∈ V : A ∈ π}. Si vede subito che + : U × U → U e· : R × U → U , quindi U è un sottospazio di V . Fissiamo una retta r 3 O,determinando W = VectO(r) = {−→OA ∈ V : A ∈ r}. W è un sottospazio diV . Abbiamo quindi che VectO(r) è sottospazio di VectO(π) che è sottospazio diVectO(E3).

2. K qualsiasi, V qualsiasi. Diciamo che {0} ⊆ V e V ⊆ V sono sottospazi banali.

3. K qualsiasi, V = K[x] (polinomi), U = Kd[x] (polinomi di grado ≤ d). U ⊆ Vè un sottospazio.

4. K = R, V = Rn

A ∈ Matm,n A =

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

b ∈ Rm b =

b1

...bm

A · x = b

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

·

x1

...xn

=

b1

...bm

S = {x ∈ Rn : Ax = b} = {soluzioni del sistema} S ⊆ RS è un sottospazio di Rn se e solo se b = 0.

Esercizio 6.2.1 Dimostrare l’asserto finale dell’esempio 4.

Analizziamo ora le operazioni tra sottospazi. Siano V uno spazio vettorialesu un campo K, U,W ⊆ V sottospazi.


• U ∩W = {v ∈ V : v ∈ U ∧ v ∈ W} è un sottospazio, infatti

– U ∩W 6= ∅ (0 ∈ U ∧ 0 ∈ W );– U ∩W è chiuso rispetto alle combinazioni lineari. ∀ v1, v2 ∈ U ∩W :

λv1 ∈ U, µv2 ∈ U perché chiuso rispetto a ·;λv1 ∈ W,µv2 ∈ W perché chiuso rispetto a ·;λv1 + µv2 ∈ U, λv1 + µv2 ∈ W perché chiusi rispetto alle comb. lin.⇒ λv1 + µv2 ∈ U ∩W ⇒ U ∩W sottospazio di V .

• U ∪W = {v ∈ V : v ∈ U ∨ v ∈ W} in generale non è un sottospazio di V .Ad esempio, consideriamo V = VectO(E3) con i sottospazi U = VectO(r)e W = VectO(s), con r, s rette distinte passanti per O. È evidente cheesistono infiniti u ∈ U , w ∈ W tali che u + w /∈ U ∪W .

Definizione 6.5 Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, e U,W ⊆ Vsottospazi di V . Dicesi sottospazio somma di U e W il sottoinsieme di V cosìdefinito:

U + W = {v ∈ V : ∃u ∈ U, ∃w ∈ W con v = u + w}Notiamo che

U ⊆ U + W W sottospazio, 0 ∈ W ∀u ∈ U u = u + 0W ⊆ U + W U sottospazio, 0 ∈ U ∀w ∈ W w = 0 + w

⇒ U ∪W ⊆ U + W

Infatti,

• U + W 6= ∅ 0 ∈ U + W 0 = 0 + 0;

• U + W è chiuso rispetto alle combinazioni lineari.v ∈ U + W v = u1 + w1 con u1 ∈ U,w1 ∈ Wz ∈ U + W z = u2 + w2 con u2 ∈ U,w2 ∈ Wλ,µ ∈ Kλv + µz = λ(u1 + w1) + µ(u2 + w2) = (λu1 + µu2) + (λw1 + µw2)λu1 +µu2 ∈ U, λw1 +µw2 ∈ W ⇒ λv+µz ∈ U +W ⇒ U +W sottospaziovettoriale di V .

Definizione 6.6 Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, e U,W ⊆ Vsottospazi di V . Se U ∩W = {0}, si dice che la somma U + W è una sommadiretta e si scrive

U ⊕W = U + W.

Teorema 6.2 U +W è una somma diretta se e solo se ogni v ∈ U +W si scrivein un unico modo come somma di un vettore u ∈ U e un vettore w ∈ W .

Dimostrazione(⇒) U + W = U ⊕W , cioè U ∩W = {0}. Sia v ∈ U + W. Supponiamo che sia

v = u1 + w1 u1 ∈ U w1 ∈ W

v = u2 + w2 u2 ∈ U w2 ∈ W

u1 + w1 = u2 + w2

u1 − u2 = w2 − w1 ∈ U ∩W

⇒{

u1 − u2 = 0 ⇒ u1 = u2

w2 − w1 = 0 ⇒ w2 = w1

6.3. SISTEMI DI GENERATORI 65

(⇐) Per assurdo, supponiamo che ∃v ∈ U ∩ W, v 6= 0. Si ha v = v + 0 = 0 + v.Assurdo. ¤

6.3 Sistemi di generatoriDefinizione 6.7 Siano V uno spazio vettoriale su un campoK, S = {sα}α∈A ⊆V, S 6= ∅ un sottoinsieme qualsiasi. Dicesi sottospazio generato da S (span di S),indicato con 〈S〉, il sottoinsieme di V costituito dai vettori che possono essereespressi come combinazione lineare di elementi di S.

Consideriamo tutti i vettori

v = λ1sα1+ λ2sα2

+ · · ·+ λnsαnλi ∈ K sαi

∈ S n variabile.

Abbiamo:

〈S〉 = {v ∈ V : ∃λ1, . . . , λn ∈ K, ∃sαn∈ S, v = λ1sα1

+ · · ·+ λnsαn}

Osservazione 〈S〉 è un sottospazio, infatti

• 〈S〉 6= ∅ ∃s ∈ S 0 · s = 0 ∈ 〈S〉;• è chiuso rispetto alle combinazioni lineari.

v = λ1sα1+ · · ·+ λnsαn

λi ∈ K sαi∈ S

z = µ1sβ1+ · · ·+ µksβk

µi ∈ K sβi∈ S

pur di aggiungere tanto a v quanto a z nella combinazione lineare degli addendicon coefficiente 0, si può supporre chev = a1sγ1

+ · · ·+ ahsγh

z = b1sγ1+ · · ·+ bhsγh

λv + µz = (λa1 + µb1)sγ1+ · · ·+ (λah + µbh)sγh

∈ 〈S〉 (λ, µ ∈ K)

Osservazione S ⊆ 〈S〉, infatti s = 1 · s ∀s ∈ S.

Osservazione Tutti i sottospazi di V sono span di un qualche sottoinsieme di V .

U ⊆ V U sottospazio U = 〈U〉Infatti,

• U ⊆ 〈U〉 già visto (vero anche se sottoinsieme);

• U ⊇ 〈U〉 perché U è chiuso rispetto alle combinazioni lineari (vero solo se U èsottospazio).

Esempi1. V = VectO(E3), ad esempio S =

{i, j, k

}= {vettori unitari staccati sugli assi}.

V = 〈S〉, v = ai + bj + ck.

2. V = R2 =

{(ab

)}, S =

{(10

),

(01

)}. 〈S〉 = V , {

(ab

)= a

(10

)+ b

(10

)}.

3. Kn = {

x1

...xn

} /K, e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

S = {e1, . . . , en} 〈S〉 = Kn

x1

...xn

= x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen


4. Matm,n(K), Eij = (ehk), ehk =

{0 (h, k) 6= (i, j)

1 (h, k) = (i, j)

S = {Eij : i, j ∈ N} 〈S〉 = Matm,n

5. Kd[x] polinomi di grado ≤ dS = {1, x, x2, . . . , xd} ∀p ∈ Kd[x] p = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ adxd

〈S〉 = Kd[x]

6. K[x], S = {xn : n ∈ N0}

Definizione 6.8 Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, ∅ 6= S ⊆ V ,U = 〈S〉. I vettori di S sono detti generatori di U . S è detto sistema di generatoriper U .

Esempi Sia V = K[x]. S = {1, x, x2, . . .} è sistema (infinito) di generatori per V .K[x] non ammette alcun insieme finito di generatori.

6.4 Vettori dipendenti e indipendentiDefinizione 6.9 Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, ∅ 6= S ⊆ V ,S arbitrario, S = {sα}α∈A. Si dice che S è un insieme linearmente dipendente(l.d.) se esiste una combinazione lineare di elementi di S con coefficienti nontutti nulli che dia il vettore nullo, cioè

∃sα1, . . . , sαn

∈ S

∃λ1, . . . , λn ∈ K ∃λi 6= 0tali che λ1sα1

+ · · ·+ λnsαn= 0.

S si dice linearmente indipendente (l.i.) se non è linearmente dipendente, cioè

sα1, . . . , sαn

∈ S λ1, . . . , λn ∈ Kλ1sα1

+ · · ·+ λnsαn= 0 ⇒ (λ1, . . . , λn) = (0, . . . , 0).

Esempi1. R2 = {(a

b

)}. S ={(

10

),(11

),(01

)}è l.d.?

λ(10

)+ µ

(11

)+ ν

(01

)=

(00

) {λ + µ = 0µ + ν = 0

⇒{

λ = −µν = −µ

Sistema omogeneo con soluzioni non solo banali,ad esempio λ = −1, µ = 1, ν = −1 ⇒ S è l.d.

2. R2. S ={(

10

),(−1

1

)}è l.d.?

λ(10

)+ µ

(−11

)=

(00

) {λ− µ = 0µ = 0

⇒ (λ, µ) = (0, 0) ⇒ S è l.i.

3. R2. S ={(

21

),(−4−2

)}è l.d. perché 2

(21

)+

(−4−2

)=

(00

).

4. Kn = {

x1

...x1

: xi ∈ K}, ei =

0...1...0

. S = {e1, . . . , en} è l.d.?

λ1e1 + · · ·+ λnen =

λ1

...λn

= 0 ⇒

λ1

...λn

=

0...0

⇒ S è l.i.

6.4. VETTORI DIPENDENTI E INDIPENDENTI 67

5. Matm,n(K). Eij =

0 · · · 0 · · · 0...

. . ....

. . ....

0 · · · 1 · · · 0...

. . ....

. . ....

0 · · · 0 · · · 0

∑λijEij =

λ11 · · · λ1n

.... . .

...λm1 · · · λmn

=

0 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0

⇒ λij = 0 ∀i, j

S = {Eij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} è l.i.

6. Kd[x]. S = {1, x, x2, . . . , xa} è l.i.

7. K[x]. S = {1, x, x2, . . . , xn, . . . : n ∈ N0 è l.i.Siano xa1 , . . . , xan ∈ S. λ1x

a1 + · · ·+ λnxan = 0 = 0⇒ (principio di identità dei polinomi) (λ1, . . . , λn) = (0, . . . , 0)

Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, ∅ 6= S ⊆ V , ∅ 6= T ⊆ S.Proprietà della dipendenza e dell’indipendenza lineare:

1) T l.d. ⇒ S l.d.∃tα1

, . . . , tαn∈ T ∃λ1, . . . , λn ∈ K (λ1, . . . , λn) 6= (0, . . . , 0)

tali che λ1tα1+ · · ·+ λntαn

= 0 tα1, . . . , tαn

∈ T ⊆ S.Abbiamo una combinazione lineare di elementi di S, con coefficienti non tuttinulli, che genera 0 ⇒ S è l.d.

1′) S l.i. ⇒ T l.i. (contronominale di 1)).

2) v ∈ V {v} l.d. ⇔ v = 0(⇒) ∃λ ∈ K, λ 6= 0 : λv = 0 ⇒ v = 0

(⇐) 1 · 0 = 0, 1 6= 0 ⇒ {v} l.d.

1+2) 0 ∈ S ⇒ S l.d.T = {0} ⊆ S T l.d. ⇒ S l.d.

3) v, w ∈ V {v, w} l.d. ⇔ (almeno) uno dei due è multiplo dell’altro.(⇒) ∃λ, µ ∈ K, (λ, µ) 6= (0, 0) : λv + µw = 0

supponiamo λ 6= 0 ⇒ ∃λ−1 ∈ Kλ−1λv + λ−1µw = λ−10 = 0

v = −λ−1µw v = (−λ−1µ)w ⇒ v è multiplo di w.(⇐) v, w = kv k ∈ K1 · w − k · v = 0, 1 6= 0 ⇒ {v, w} l.d.

4) v1, . . . , vn ∈ V {v1, . . . , vn} l.d. ⇔ almeno uno tra i vi è combinazionelineare degli altri.(⇒) ∃λ1, . . . , λn ∈ K (λ1, . . . , λn) 6= (0, . . . , 0)

tali che λ1v1 + · · ·+ λnvn = 0

supponiamo λi 6= 0 ⇒ ∃λ−1i ∈ K

λivi = −λ1v1 · · · (manca i-esimo) · · · − λnvn

λ−1i λivi = −λ−1

i λ1v1 · · · − λ−1i λi−1vi−1 − λ−1

i λi+1vi+1 · · · − λ−1i λnvn

⇒ vi è combinazione lineare degli altri.(⇐) v1 = λ2v2 + · · ·+ λnvn

1 · v1 − λ2v2 · · · − λnvn = 0 ⇒ {v1, . . . , vn} è l.d.


6.5 Basi

Definizione 6.10 Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dicesi base diuno spazio vettoriale un sottoinsieme S di V che sia linearmente indipendentee costituito da generatori di V .

Esempi

1. V = Rn. {e1, . . . , en} costituisce una base di V .

2. V = Matm,n(K). {Eij}i=1,...,m;j=1,...,n è base di V .

3. V = Kd[x]. {1, x, x2, . . . , xd} è base di V .

4. V = K[x]. {1, x, x2, . . . , xn, . . .} è base di V .

5. V = R2.{e1 =

(10

), e2 =

(01

)}è base di V , ma è base di V anche

{(11

),(

1−1

)},

infatti:

• sono generatori;

∀(ab

) ∈ R2(

ab

)= λ

(11

)+ µ

(1−1

) {λ + µ = aλ− µ = b

⇒{

λ = a+b2

µ = a−b2(

ab

)= a+b

2

(11

)+ a−b

2

(1−1

)

• sono l.i.

λ(11

)+ µ

(1−1

)=

(00

) {λ + µ = 0λ− µ = 0

⇒ λ = µ = 0

Osservazione V = {0} non ha base. Infatti, V non contiene alcun sottoinsieme l.i.

Teorema 6.3 S ⊆ V è base di V ⇔ ogni vettore di V si può scrivere in 1!modo come combinazione lineare dei vettori di S.

Dimostrazione(⇒) S base, 〈S〉 = V , S = {st}t∈T . L’unica cosa da verificare è l’unicità di scrittura.Supponiamo v ∈ V , v = α1st1

+ · · ·+ αkstk= β1st1

+ · · ·+ βkstk

(usiamo gli stessi st, eventualmente aggiungendo dei coefficienti 0)

(α1 − β1)st1+ · · ·+ (αk − βk)stk

= 0 ma S è l.i. ⇒

α1 − β1 = 0...

αk − βk = 0

⇒ 1! scrittura.

(⇐) I vettori di V si scrivono in 1! modo come combinazione lineare di vettori di S ⇒〈S〉 = V . Basta verificare la lineare indipendenza. Consideriamo α1st1

+· · ·+αkstk= 0,

ma anche 0 · st1+ · · ·+ 0 · stk

= 0 ⇒ α1 = 0, . . . , αk = 0. ¤

Definizione 6.11 Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se am-mette un sistema di generatori finito.

Esempi

1. Kn è f.g.

2. Matm,n è f.g.

3. Kd[x] è f.g.

4. K[x] non è f.g.

Lemma Sia V uno spazio vettoriale su un campoK, V 6= {0}. V = 〈v1, . . . , vn〉 ⇒{v1, . . . , vn} contiene una base di V .

6.5. BASI 69

DimostrazioneV = 〈v1, . . . , vn〉. Se {v1, . . . , vn} è l.i. ⇒ {v1, . . . , vn} è base.Se {v1, . . . , vn} è l.d., almeno uno di essi, diciamo vn, è combinazione lineare deglialtri: vn = α1v1 + · · ·+ αn−1vn−1.Dobbiamo verificare che 〈v1, . . . , vn〉 = 〈v1, . . . , vn−1〉. (⊇) ovvio, per definizione dispazio vettoriale. (⊆) v ∈ 〈v1, . . . , vn〉, v = λ1v1 + · · · + λn−1vn−1 + λnvn = λ1v1 +· · ·+λn−1vn−1+λn(α1v1+· · ·+αn−1vn−1) = (λ1+λnα1)v1+· · ·+(λn−1+λnαn−1)vn−1,quindi V = 〈v1, . . . , vn〉 = 〈v1, . . . , vn−1〉.Se 〈v1, . . . , vn−1〉 è l.i. ⇒ è base.Se 〈v1, . . . , vn−1〉 è l.d., si itera il procedimento. Se il procedimento non si è arrestatoprima, si arriva a V = 〈v1〉; in tal caso {v1} è l.i. e quindi base. Altrimenti, {v1} l.d.⇒ v1 = 0 e V = {0}, contro l’ipotesi. ¤

Teorema 6.4 (Teorema della base incompleta o di Steinitz) Sia V unospazio vettoriale su un campoK. SiaA = {a1, . . . , an} una base di V . ∀v1, . . . , vp ∈V l.i. ∃ n−p opportuni vettori ai1

, . . . , ain−p∈ A t.che {v1, . . . , vp, ai1

, . . . , ain−p}

sia base di V .

DimostrazionePer induzione su p.

(p = 1) A = {a1, . . . , an} v1 ∈ V, v1 l.i., cioè v1 6= 0v1 ∈ V = 〈a1, . . . , an〉 ⇒ v1 = λ1a1 + · · ·+ λnan

∃λi 6= 0 (perché v1 6= 0)pur di riordinare gli indici, posso supporre λ1 6= 0 ⇒ λ−1

1 ∈ Kλ1a1 = v1 − λ2a2 · · · − λnan

a1 = λ−11 v1 − λ−1

1 λ2a2 · · · − λ−11 λnan

a1 ∈ 〈v1, a2, . . . , an〉V = 〈a1, . . . , an〉 = 〈v1, a2, . . . , an〉 verifichiamo:

(⊇) ovvio (entro V );

(⊆) α1a1 +α2a2 + · · ·+αnan = α1(· · · )+α2a2 + · · ·+αnan ⇒ {v1, a2, . . . , an}è un sistema di generatori per V .

Per completare il passo 1 dell’induzione (ovvero che {v1, a2, . . . , an} è base diV ) devo dimostrare che sono l.i.k1v1 + k2a2 + · · ·+ knan = 0k1 = 0 perché se fosse k1 6= 0 potrei scrivere v1 = −k−1

1 k2a2 · · · − k−11 knan e

avremmo due scritture di v1 diverse tramite vettori di una base (qui a1 noncompare, lì sì).k2a2 + · · ·+ knan = 0A base ⇒ k2 = · · · = kn = 0 ⇒ {v1, a2, . . . , an} base.

(p− 1 Ã p) Ipotesi: dati comunque p−1 vettori l.i. v1, . . . , vp−1 si riesce a completarlia una base con n− p + 1 vettori presi da A.v1, . . . , vp ∈ V l.i.⇒ v1, . . . , vp−1 l.i.⇒ (ip. di induzione) ∃ ap, ap+1, . . . , an ∈ At.che B = {v1, . . . , vp−1, ap, ap+1, . . . , an} sia una base di V (voglio rimpiazzareap con vp come nel I passo dell’induzione avevo fatto con a1 e v1).vp ∈ V = 〈B〉vp = α1v1 + · · ·+ αp−1vp−1 + αpap + αp+1ap+1 + · · ·+ αnan

∃αi 6= 0, p ≤ i ≤ n, altrimenti vp ∈ 〈v1, . . . , vp−1〉 mentre v1, . . . , vp−1, vp l.i.Supponendo αp 6= 0, ap = α−1

p vp − α−1p α1v1 · · · − α−1

p αnan

ap ∈ 〈v1, . . . , vp−1, vp, ap+1, . . . , an〉Allo stesso modo del passo 1, si conclude che {v1, . . . , vp−1, vp, ap+1, . . . , an} èbase di V . ¤


Corollario (1) Sia V uno spazio vettoriale con base costituita da n vettori.Comunque presi n vettori di V l.i., essi costituiscono una base.

DimostrazioneSi tratta del teorema di Steinitz nel caso n = p. v1, . . . , vn l.i. ⇒ base. ¤

Corollario (2) Sia V uno spazio vettoriale con base costituita da n vettori. mvettori di V , con m > n, sono sempre l.d.

DimostrazioneSe v1, . . . , vm fossero l.i., anche v1, . . . , vn lo sarebbero ⇒ vn+1 ∈ 〈v1, . . . , vn〉, perché{v1, . . . , vn} sarebbe base secondo il corollario 1. Ciò contrasta con l’indipendenzalineare di v1, . . . , vm. ¤

Corollario (3 – Equicardinalità delle basi) Sia V uno spazio vettoriale. SianoA = {a1, . . . , an},B = {b1, . . . , bk} basi di V ⇒ n = k.

DimostrazioneA base costituita da n vettori ⇒ (corollario precedente) più di n vettori sono l.d.B = {b1, . . . , bk} l.i. (perché base) ⇒ k ≤ nScambiando il ruolo di A e di B nell’argomentazione precedente si ha n ≤ k ⇒ n = k.¤

Teorema 6.5 (Teorema della base) Sia V uno spazio vettoriale su un cam-po K, V 6= {0}. Se V è f.g., allora:

I) (esistenza) V ha base (finita);

II) (equicardinalità) tutte le basi di V sono costituite dallo stesso numero divettori (e tale numero viene detto dimensione di V ).

DimostrazioneSegue dal precedente lemma e dal corollario 3. ¤

Definizione 6.12 Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Si dice di-mensione di V , e si scrive dim V (o dimK V se bisogna tenere memoria delcampo):

dim V =

0 V = {0}n V f.g. ed ha base con n vettori∞ V non f.g.

Corollario Sia V uno spazio vettoriale f.g., dim V = n, U ⊆ V sottospazio⇒ dim U = k ≤ n. Inoltre, k = n ⇔ U = V .

DimostrazioneIn V (e quindi in U) non possono esserci più di n vettori l.i.Prendiamo un insieme di vettori u1, . . . , uk ∈ U l.i. massimale (cioè anche aggiungendoun solo vettore di U si ottiene un insieme l.d.) ⇒ k ≤ n.{u1, . . . , uk} è base di U ⇒ tutti i vettori di U sono combinazioni lineare di questielementi, perché aggiungendone a questi si forma un insieme l.d. ⇒ dim U ≤ dim V .Se inoltre k = n, {u1, . . . , uk} base di U è anche base di V , perché V ha dimensione ne k = n vettori l.i. sono una base. U = 〈u1, . . . , uk〉 = V .Il viceversa, U = V ⇒ k = n, è ovvio. ¤

Teorema 6.6 (Formula di Grassmann) Sia V uno spazio vettoriale f.g. suun campo K, e siano X, Y ⊆ V .

dim X + dim Y = dim(X ∩ Y ) + dim(X + Y ).

6.5. BASI 71

DimostrazioneSia dim(X ∩ Y ) = i. {v1, . . . , vi} è base di X ∩ Y ⇒ v1, . . . , vi sono sicuramente l.i.v1, . . . , vi ∈ X ∩ Y .v1, . . . , vi l.i. in X ⇒ (base incompleta) ∃xi+1, . . . , xr tali che {v1, . . . , vi, xi+1, . . . , xr}sia base di X.v1, . . . , vi l.i. in Y ⇒ (base incompleta) ∃y

i+1, . . . , y

stali che {v1, . . . , vi, yi+1

, . . . , ys}

sia base di Y .(Se X ∩ Y = {0} ⇒ {x1, . . . xr} base di X, {y

1, . . . , y

s} base di Y .)

dim X = r, dim Y = s, dim X ∩ Y = i. Dimostriamo che dim(X + Y ) = r + s − i.Voglio dimostrare che B = {v1, . . . , vi, xi+1, . . . , xr, yi+1

, . . . , ys} è base di X + Y .

• B è insieme di generatori per X + Y : X + Y = {v = x + y}, x ∈ X =〈v1, . . . , vi, xi+1, . . . , xr〉, y ∈ Y = 〈v1, . . . , vi, yi+1

, . . . , ys〉

⇒ x + y ∈ 〈v1, . . . , vi, xi+1, . . . , xr, yi+1, . . . , y

s〉.

• B è l.i.: α1v1 + · · · + αivi + βi+1xi+1 + · · · + βrxr + γi+1yi+1

+ · · · + γsys

=

0 ⇒ α1v1 + · · · + αivi + βi+1xi+1 + · · · + βrxr = −γi+1yi+1

· · · − γsys. Si nota

che il I membro ∈ X, mentre il II membro ∈ Y , quindi entrambi ∈ X ∩ Y . Inparticolare, il II membro ∈ X ∩ Y , e può essere espresso come combinazionelineare di elementi della sua base:−γi+1y

i+1· · · − γsy

s= δ1v1 + · · ·+ δivi

⇒ δ1v1 + · · ·+ δivi + γi+1yi+1

+ · · ·+ γsys

= 0

v1, . . . , vi, yi+1, . . . , y

sbase di Y ⇒ l.i.

⇒ δ1 = · · · = δi = 0, γi+1 = · · · = γs = 0e analogamente per X:α1v1 + · · ·+ αivi + βi+1xi+1 + · · ·+ βrxr = 0v1, . . . , vi, xi+1, . . . , xr base di X ⇒ l.i.⇒ α1 = · · · = αi = 0, βi+1 = · · · = βs = 0⇒ tutti i coefficienti 0 ⇒ B l.i. ¤

Esempi Siano V = VectO(E3) e r, s rette per O. Sia X = VectO(r), Y = VectO(s). Ilsottospazio somma X + Y corrisponde ad uno spazio di vettori su un piano: X + Y =VectO(π). Si ha: dim X + dim Y = dim(X ∩ Y ) + dim(X + Y ), ovvero 1 + 1 = 0 + 2.

Capitolo 7

Applicazioni lineari

7.1 Applicazioni lineari

Definizione 7.1 Siano V, W spazi vettoriali sullo stesso campo K. Consideri-amo un’applicazione f : V → W . Si dice che f è lineare se ∀ u, v ∈ V, ∀ λ, µ ∈ Kè:

1) f(u + v) = f(u) + f(v), cioè f conserva la somma o f è additiva;

2) f(λu) = λ · f(u), cioè f è omogenea di I grado;

1)+2)=3) f(λu + µv) = λ · f(u) + µ · f(v), cioè f conserva le combinazioni lineari;

3)=3′) f (∑n

i=1 λiui) =∑n

i=1 λi · f(ui) ∀ u1, . . . , un, ∀ λ1, . . . , λn ∈ K.

Esempi

1. ∀V spazio vettoriale/K, si può considerare idV : V → V , v 7→ vidV (λu + µv) = λ idV (u) + µ idV (v) ⇒ l’applicazione identica è lineare.

2. ∀V, W/K, si può considerare 0 : V → W , v 7→ 0W .L’applicazione nulla è lineare.

3. K = R, V = R3, W = R2, A ∈ Mat2,3(R), A =

(a11 a12 a13

a21 a22 a32

)

LA : R3 → R2,

x1

x2

x3

7→

(y1

y2

)= A ·

x1

x2

x3

x1

x2

x3

7→

(∑3i=1 a1ixi∑3i=1 a2ixi

)

Verifichiamo che LA è lineare (verifichiamo 1) e 2)):

1) u =

x1

x2

x3

, v =

t1t2t3

. LA(u + v) = LA

x1 + t1x2 + t2x3 + t3

=

=

(∑3i=1 a1i(xi + ti)∑3i=1 a2i(xi + ti)

)=

(∑3i=1 a1ixi +

∑3i=1 a1iti∑3

i=1 a2ixi +∑3

i=1 a2iti

)=

=

(∑3i=1 a1ixi∑3i=1 a2ixi

)+

(∑3i=1 a1iti∑3i=1 a2iti

)= LA(u) + LA(v)

2) LA(λu) = LA

λx1

λx2

λx3

=

(∑3i=1 a1iλxi∑3i=1 a2iλxi

)= λLA(u)

72

7.1. APPLICAZIONI LINEARI 73

4. V = Kn, W = Km, A ∈ Matm,n(K), LA : Kn → Km, x 7→ A · x

x =

x1

...xn

, A =

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

. A · x =

y1

...ym

=

∑ni=1 a1ixi

...∑ni=1 amixi

Con le stesse verifiche effettuate nell’esempio precedente, si vede che LA è lineare.LA si dice applicazione associata alla matrice.

Sia f : V → W applicazione lineare suK. Proprietà delle applicazioni lineari:

1) f(0V ) = 0W

0V = 0 · v per v ∈ V . f(0V ) = f(0 · v) = 0 · f(v) = 0W .

2) g : W → Z, Z spazio vettoriale/K. Se f, g sono lineari ⇒ g ◦ f : V → Z èlineare.λ, µ ∈ K, ∀ u, v ∈ V . g ◦ f(λu + µv) = g(f(λu + µv)) = g(λf(u) + µf(v)) =

= λg(f(u) + µg(f(v)) = λ · g ◦ f(u) + µ · g ◦ f(v).

3) Se f è biunivoca, ∃f−1 : W → V lineare.f(λu + µv) = λf(u) + µf(v), chiamiamo u′ = f(u), v′ = f(v).λf−1(u′) + µf−1(v′) = f−1(λu′ + µv′).

Definizione 7.2

• Un’applicazione lineare biunivoca si dice isomorfismo.

• Un’applicazione lineare da uno spazio in se stesso si dice endomorfismo.

• Un’applicazione isomorfismo ed endomorfismo si dice automorfismo.

Esempi1. idV : V → V è un automorfismo.2. LA, con A matrice quadrata m×m, LA : Km → Km è un endomorfismo.

Definizione 7.3 Siano V, W spazi vettoriali su un campo K. Si dice che V eW sono isomorfi, e si scrive V ' W , se esiste un isomorfismo f : V → W .

Osservazione La relazione di isomorfismo è di equivalenza, infatti:i) è riflessiva;∀V/K idV : V → V è un isomorfismo ⇒ V ' V .

ii) è simmetrica;∀ V, W/K V isomorfo a W ⇒ ∃f : V → W isomorfismo ⇒ ∃f−1 : W → Visomorfismo ⇒ W isomorfo a V .

iii) è transitiva.∀ V, W, Z/K V isomorfo a W , W isomorfo a Z ⇒ ∃f : V → W isomorfismo,∃g : W → Z isomorfismo ⇒ g ◦ f : V → Z è lineare e biunivoca, quindiisomorfismo ⇒ V isomorfo a Z.

Definizione 7.4 Siano V, W spazi vettoriali su un campo K, f : V → Wlineare. Si dice nucleo di f e si indica con ker(f) l’insieme dei vettori di V chehanno per immagine il vettore nullo.

ker(f) = {v ∈ V : f(v) = 0W }Si dice immagine di f e si indica con Im(f) l’usuale immagine dell’applicazione.

Im(f) = {w ∈ W : ∃v ∈ V : f(v) = w}

74 CAPITOLO 7. APPLICAZIONI LINEARI

Risulta che:

a) ker(f) ⊆ V è un sottospazio;ker(f) 6= ∅ perché f(0V ) = 0W ⇒ 0V ∈ ker(f)

Prendiamo λ, µ ∈ K, u, v ∈ ker(f). Deve essere f(u) = f(v) = 0W .f(λu + µv) = λf(u) + µf(v) = λ · 0W + µ · 0W = 0W ⇒ λu + µv ∈ ker(f).

b) Im(f) ⊆ W è un sottospazio.

Esercizio 7.1.1 Verificare la b).

Teorema 7.1 Siano V, W spazi vettoriali f.g.1 su un campo K, f : V → Wlineare. Sono equivalenti:

i) f è iniettiva;

ii) ker(f) = {0V };

iii) v1, . . . , vn l.i. ⇒ f(v1), . . . , f(vn) l.i.

Dimostrazionei) ⇒ ii) Dobbiamo dimostrare che @v 6= 0, v ∈ ker(f).

Se 0 6= vf−→ 0W , viene contraddetta l’iniettività di f .

ii) ⇒ iii) v1, . . . , vn ∈ V l.i. Dobbiamo dimostrare f(v1), . . . , f(vn) l.i.λ1f(v1) + · · ·+ λnf(vn) = 0W ⇒ f(λ1v1 + · · ·+ λnvn) = 0W

λ1v1 + · · ·+ λnvn ∈ ker(f) = {0V }⇒ (v1, . . . , vn l.i.) λ1 = · · · = λn = 0 ⇒ f(v1), . . . , f(vn) l.i.

iii) ⇒ i) Dobbiamo dimostrare che v1 → w, v2 → w ⇒ v1 = v2.f(v1 − v2) = f(v1)− f(v2) = w − w = 0W .Se fosse v1 − v2 6= 0V , sarebbe v1 − v2 l.i. f−→ 0W l.d.⇒ v1 − v2 = 0V ⇒ v1 = v2. ¤

Teorema 7.2 Siano V,W spazi vettoriali f.g. su un campo K, f : V → Wlineare. Sono equivalenti:

j) f suriettiva;

jj) Im(f) = W ;

jjj) 〈v1, . . . , vn〉 = V ⇒ 〈f(v1), . . . , f(vn)〉 = W .

Esercizio 7.1.2 Dimostrare il teorema. La parte j) ⇔ jj) è ovvia.

Osservazione Sia f : V → W lineare. Si ha:

f iniettiva :l.i.→ l.i.f suriettiva :generatori→ generatori

f isomorfismo :l.i.→ l.i.generatori→ generatoribasi→ basi

1In realtà non è necessario richiedere gli spazi f.g., ma ciò rende più semplice l’enunciato.

7.2. APPLICAZIONI LINEARI ASSEGNATE SU UNA BASE 75

7.2 Applicazioni lineari assegnate su una baseCorollario Siano V, W spazi vettoriali f.g. su un campo K. Allora:

V ' W ⇔ dim V = dim W.

Dimostrazione(⇒) V ' W ⇒ ∃f : V → W isomorfismo.B = {b1, . . . , bn} base di V ⇒ B′ = {f(b1), . . . , f(bn)} base di W .(⇐) dim V = n, ∃B = {b1, . . . , bn} base di V .∀v ∈ V si scrive in un unico modo come v = x1b1 + · · ·+ xnbn.

Si può definire ψB : V → Kn, v 7→

x1

...xn

, ben definita per l’unicità di scrittura.

ψB è evidentemente biunivoca e lineare, quindi è un isomorfismo. ¤

Esempi V = Mat2,2(R), B = {Eij}.(a bc d

)= a

(1 00 0

)+ b

(0 10 0

)+ c

(0 01 0

)+ d

(0 00 1

)

ψB : Mat2,2(R) → R4,

(a bc d

)7→

abcd

.

Teorema 7.3 (Teorema della nullità + rango) Siano V, W spazi vettorialif.g. su un campo K, f : V → W lineare. Allora:

dim V = dim ker(f) + dim Im(f).

dimker(f) viene detta nullità; dim Im(f) viene detta rango.

DimostrazioneSia dimker(f) = k, dim V = n. Dobbiamo dimostrare che dim Im(f) = n− k.B = {e1, . . . , ek} base di ker(f) (Se ker(f) = {0V } non si prende B).e1, . . . , ek l.i. in V ⇒ (base incompleta) ∃ak+1, . . . , an ∈ V tali cheB′ = {e1, . . . , ek, ak+1, . . . , an} sia base di V .Voglio dimostrare che B′′ = {f(ak+1), . . . , f(an)} è base di Im(f).

• B′′ è l.i.: λk+1f(ak+1) + · · ·+ λnf(an) = 0W

⇒ (f lineare) f(λk+1ak+1 + · · ·+ λnan) = 0W

⇒ λk+1ak+1 + · · ·+ λnan ∈ ker(f) = 〈B〉λk+1ak+1 + · · ·+ λnan = µ1e1 + · · ·+ µkek

µ1e1 + · · ·+ µkek − λk+1ak+1 · · · − λnan = 0V

B′ base ⇒ λk+1 = · · · = λn = 0.

• B′′ genera Im(f): w ∈ Im(f) ⇒ ∃v ∈ V : w = f(v).v ∈ V = 〈B′〉 ⇒ v = α1e1 + · · ·+ αkek + αk+1ak+1 + · · ·+ αnan

w = f(v) = (f lineare) α1f(e1) + · · ·+ αkf(ek) + αk+1f(ak+1) + · · ·+ αnf(an)Ma α1f(e1) + · · ·+ αkf(ek) = 0. ¤

Esercizio 7.2.1 Siano V, W spazi vettoriali su un campo K, dim V = dim W , f :V → W lineare. Allora, sono equivalenti:

a) f è iniettiva;

b) f è suriettiva;

c) f è un isomorfismo.


Teorema 7.4 (Teorema di esistenza e unicità) Sia V uno spazio vettori-ale f.g. su un campo K, e sia A = {a1, . . . , an} una base di V . Sia W uno spaziovettoriale su K. Comunque scelti n vettori b1, . . . , bn ∈ W , ∃! applicazione lin-eare f : V → W tale che f(a1) = b1, . . . , f(an) = bn. (Cioè, un’applicazionelineare è completamente descritta dai corrispondenti dei vettori di una base.)2

Dimostrazione• Unicità.

v ∈ V = 〈A〉, v = α1a1 + · · ·+ αnan (A base⇒ la scrittura è unica).Dobbiamo costruire f : V → W .3

f(v) = f(α1a1 + · · ·+ αnan) = α1f(a1) + · · ·+ αnf(an) == (siccome f(ai) = bi) α1b1 + · · ·+ αnbn.Questa è l’unica scrittura possibile per definire f con le proprietà richieste.

• Esistenza.v = α1a1 + · · ·+ αnan

Si verifica che l’applicazione richiesta è f : V → W , v 7→ α1b1 + · · ·+ αnbn:

– f è lineare: v = α1a1 + · · ·+ αnan

u = β1a1 + · · ·+ βnan

Verifichiamo che f(λv + µu) = λf(v) + µf(u) (λ, µ ∈ K).λv + µu = λ(α1a1 + · · ·+ αnan) + µ(β1a1 + · · ·+ βnan) == (λα1 + µβ1)a1 + · · ·+ (λαn + µβn)an.f(λv + µu) = (λα1 + µβ1)b1 + · · ·+ (λαn + µβn)bn

λf(v) + µf(u) = λ(α1b1 + · · ·+ αnbn) + µ(β1b1 + · · ·+ βnbn) == (λα1 + µβ1)b1 + · · ·+ (λαn + µβn)bn ⇒ f lineare.

– f(ai) = bi: ai = 0 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 1 · ai + · · ·+ 0 · an

f(ai) = 0 · b1 + · · ·+ 1 · bi + · · ·+ 0 · bn = bi. ¤

Siano sempre V/K, V f.g., dim V = n, W/K. Consideriamo v1, . . . , vk ∈ V ,w1, . . . , wk ∈ W . Un’applicazione lineare f : V → W tale che vi 7→ wi ∀i =1, . . . , k esiste? È unica?

• Se {v1, . . . , vk} è l.i.Per la base incompleta, ∃ v′k+1, . . . , v

′n t.c. {v1, . . . , vk, v′k+1, . . . , v

′n} sia

base di V

v1 7→ w1...vk 7→ wk

v′k+1 7→ w′k+1...v′n 7→ w′n

⇒ ∃! applicazione lineare con le richieste fatte.

Quest’applicazione soddisfa le nostre richieste, ma i vettori w′k+1, . . . w′n

possono essere scelti arbitrariamente in W ⇒ ∃ in generale ∞ f lineari:vi 7→ wi.

• Se {v1, . . . , vk} è l.d.In generale, @f : V → W lineare tale che f(vi) = wi.Le relazioni di dipendenza lineare tra i vi devono sussistere con gli stessicoefficienti tra i wi.

2Si parla anche di proprietà universale delle basi.3E abbiamo le mani legate.

7.3. LA MATRICE RAPPRESENTATIVA 77

Ad esempio, v3 = v1 + v2 ⇒ f(v3) = f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2), cioèw3 = w1 + w2. Se dunque non si verifica questa condizione, @f lineare.Se tutte le relazioni di dipendenza lineare tra i vi sono conservate trai wi, allora f esiste. Diciamo che io abbia v1, . . . , vk e w1, . . . , wk. Necancello un po’, ottenendo v1, . . . , vr l.i. e w1, . . . , wr, con r < k. Per ilpunto precedente, ∃f : V → W, v1 7→ w1, . . . , vr 7→ wr. Automaticamenteabbiamo vr+1 7→ wr+1, . . . , vk 7→ wk.Ad esempio,

vr+1 = α1v1 + · · ·+ αrvr

wr+1 = α1w1 + · · ·+ αrwr

(la stessa relazione di dipendenza lineare)f(vr+1) = f(α1v1 + · · ·+ αrvr) =

= α1f(v1) + · · ·+ αrf(vr) == α1w1 + · · ·+ αrwr = wr+1.

7.3 La matrice rappresentativa

Sia A ∈ Matm,n(K), siano Kn,Km spazi vettoriali. Si può costruire LA : Kn →Km lineare, x 7→ A · x = y.

a11 · · · a1n

.... . .

...am1 · · · amn

x1

...xn

=

y1

...yn

• kerLA = {x ∈ Kn : LA(u) = 0 ∈ Km} = {x ∈ Kn : A · x = 0} ={soluzioni del sistema omogeneo A · x = 0}.

α11x1 + · · ·+ α1nxn = 0...αm1x1 + · · ·+ αmnxn = 0

• ImLA = {y ∈ Km : ∃x ∈ Kn : y = LA(x)} = {y ∈ Km : ∃x : A · x = y} ={vettori che possono essere presi come termini noti del sistema seguente,in modo tale che il sistema sia risolubile}.

α11x1 + · · ·+ α1nxn = y1

...αm1x1 + · · ·+ αmnxn = ym

• Base standard {e1, . . . , en} di Kn. LA(ei) =?

Per esempio, e1 =

10...0

, LA(e1) =

α11 · · · α1n

α21 · · · α2n

.... . .

...αm1 · · · αmn

10...0

=

α11

α21

...αm1

=

A(1) = I colonna di A.


Analogamente, LA(ei) = A ·

0...1...0

=

α1i

α2i

...αmi

= i-esima colonna di A.

〈e1, . . . , en〉 = Kn ⇒ 〈LA(e1), . . . , LA(en)〉 = Im LA perché LA : Kn →Km in generale non è suriettiva. È però suriettiva LA : Kn → LA(Kn) ⇒generatori → generatori ⇒ i vettori colonna di A (ovvero gli LA(ei)) sonogeneratori di ImLA.

Siano V,W/K, dim V = n, dim W = m, A = {a1, . . . , an} base di V , B ={b1, . . . , bm} base di W . Sia f : V → W lineare; f è univocamente determinatada f(a1), . . . , f(an) (per il teorema di ∃!).Se io conosco f(a1), . . . , f(an) posso ricostruire la f :

f(a1) = α11b1 + α21b2 + · · ·+ αm1bm

f(a2) = α12b1 + α22b2 + · · ·+ αm2bm

...f(an) = α1nb1 + α2nb2 + · · ·+ αmnbm

Gli αij sono univocamente determinati da f e determinano univocamente. Devocostruire la matrice A ∈ Matm,n(K):

A =

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

......

. . ....

αm1 αm2 · · · αmn

Voglio dimostrare che f = LA.

Vf−→ W

ψB−−−→isom.

Km

VψA−−−→isom.

Kn LA−−→ Km

Questo “quadrato” commuta

LA ◦ ψA = ψB ◦ f. (?)

A si dia associata ad f con la scelta di basi A e B. Trattandosi di applicazionilineari, (per il teorema di ∃!) basta verificare l’uguaglianza (?) su vettori di unabase. Verifichiamo (?) sulla base A.

A = {a1, . . . , an}


LA ◦ ψA(a1)?= ψB ◦ f(a1)

VψA−−→ Kn LA−−→ Km

a1 7→

10...0

ψA : V → Kn, v 7→ x =

x1

...xn

Se v = x1a1 + · · ·+ xnan,

a1 = 1 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 0 · an.

LA(ψA(a1)) = LA

10...0

= LA(a1) = I colonna di A = A(1) =

α11

α21

...αm1

a1 ∈ Vf−→ W

ψB−−→ Km

f(a1) = α11b1 + α21b2 + · · ·+ αm1bm

ψB(f(a1)) = ψB(α11b1 + α21b2 + · · ·+ αm1bn) =

α11

α21

...αm1

= A(1),

per come è definita ψB. In generale,{

LA(ψA(ai)) = A(i)

ψB(f(ai)) = A(i)⇒ LA ◦ ψA = ψB ◦ f.

Ricapitolando:

• tutti gli spazi vettoriali f.g. sono del tipo Kn;

• tutte le applicazioni lineari tra spazi vettoriali f.g. sono del tipo LA.

Definizione 7.5 Siano V, W spazi vettoriali su un campo K. Indichiamo conHom(V, W ) o HomK(V, W ) (se dobbiamo ricordare che tutto sta avvenendo inK) l’insieme delle applicazioni lineari f : V → W .

Hom(V,W ) = {f : V → W lineare}

Anche Hom(V,W ) è uno spazio vettoriale su K:

+ : Hom(V,W )×Hom(V, W ) → Hom(V, W )(f, g) 7→ f + g

f + g : V → W definizione puntuale(f + g)(v) = f(v) + g(v)

· : K×Hom(V, W ) → Hom(V, W )(λ, f) 7→ λ · f

(λf)(v) = λ · f(v)


Con queste operazioni, Hom(V, W ) è uno spazio vettoriale.Possiamo allora definire

µAB : Hom(V, W ) → Matm,n

f 7→ A matrice rappresentativa di f rispetto alle basi A e B

Diremo che A = µAB(f). µAB è biunivoca e lineare, pertanto è un isomorfismo.Abbiamo dunque

µAB(λf + µg) = λA + µB,

dove A e B sono rispettivamente le matrici rappresentative di f e g.Vediamo ora come si comporta questo isomorfismo con la composizione.

Siano V, W,Z spazi vettoriali sul campo K, di dimensioni rispettive n,m, l ebasi rispettive A,B, C.

µAB(f) = A matrice m× n

µBC(g) = B matrice l ×m

µAC(g ◦ f) = C matrice l × n

Quali relazioni intercorrono tra A,B, C? Seguiamo passo passo quanto fatto perle matrici rappresentative.

µAB(f) = A = (αij)

f(aj) =m∑

i=1

αijbi (1)

µBC(g) = B = (βhk)

g(bk) =l∑

h=1

βhkch (2)

µAC(g ◦ f) = C = (γrs)

g ◦ f(as) =l∑

r=1

γrscr (3)

Calcoliamo ora ripartendo dalla (3).

g ◦ f(as) = g(f(as)) = g

(m∑

i=1

αisbi

)=

m∑

i=1

αisg(bi) =m∑

i=1

αis

l∑

h=1

βhich =

=l∑

h=1

(m∑

i=1

αisβhi

)ch =

l∑

h=1

(m∑

i=1

βhiαis

)ch

Dalla (3) però conosciamo già l’espressione di g◦f(as) nella base C. Per l’unicitàdi scrittura abbiamo dunque

g ◦ f(as) =l∑

h=1

γhsch =⇒ γhs =m∑

i=1

βhiαis.


Consideriamo dunque le matrici:

B =

βh1 βh2 · · · βhm

A =

α1s

α2s

...αms

γhs si ottiene moltiplicando con il prodotto riga×colonna la riga h-esima di Bper la colonna s-esima di A.

Matl,m×Matm,n → Matl,m

(B,A) 7→ C = B ·A

C = (γhk), γhk =m∑

i=1

βhiαik

Questa operazione viene chiamata prodotto riga×colonna tra matrici. Affinchétale operazione sia possibile, le matrici devono essere conformabili, ovvero ilnumero di colonne di B e il numero di righe di A devono essere uguali.

Dove ha senso, valgono le seguenti proprietà:

(A ·B) · C = A · (B · C)A · (B + C) = A ·B + A · C(A + B) · C = A · C + B · C

I identità, I ·A = A, A · I = A

In generale, il prodotto riga×colonna non è commutativo.

Esempi(

1 20 1

)(1 −10 0

)=

(1 −10 0

), mentre

(1 −10 0

)(1 20 1

)=

(1 10 0

).

Esempi Sono dati gli spazi vettoriali V, W, Z sul campo K e le applicazioni f, g:

V = K2[x] base A = {1, x, x2}

W = K2 base B = {(

1

0

),

(0

1

)}

Z = Mat2,2(K) base C = {(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}

f : V → W f(a + bx + cx2) =

(a

c

)

g : W → Z g

(α

β

)=

(α αβ β

)

Troviamo µAB, µBC , µAC.

µAB(f) =

(1 0 00 0 1

)= A µBC(g) =

1 01 00 10 1

= B

µAC(g ◦ f) =

1 0 01 0 00 0 10 0 1

= C

Risulta B ·A = C.


Definizione 7.6 Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Definiamo

End(V ) = Hom(V, V ) = {f : V → V lineare}.Sia f ∈ End(V ), dim V = n, A base di V , µAA ∈ Matn,n. End(V ) e Matn,n

sono spazi vettoriali su K. µAA : End(V ) → Matn,n è un isomorfismo di spazivettoriali. In End(V ) inoltre la composizione è un’operazione interna:

◦ : End(V )× End(V ) → End(V )f, g ∈ End(V ) g ◦ f ∈ End(V )

Osserviamo che End(V ) è un’algebra:

(End(V );+, ◦) è un anello(End(V );+, ·) è uno spazio vettoriale

(λf) ◦ g = f ◦ (λg) = λ(f ◦ g).

Definizione 7.7 Chiamiamo algebra (o K-algebra) un insieme X in cui sonodefinite due operazioni interne +, ∗ e un’operazione · : K×X → X, (X; +, ∗, ·),tale che

(X; +, ∗) è un anello (con unità)(X; +, ·) è uno spazio vettoriale su K(λ · x) ∗ y = x ∗ (λ · y) = λ · (x ∗ y)

Anche Matn,n è una K-algebra:

(Matn,n; +, •) è un anello (prodotto riga×colonna)(Matn,n; +, ·) è uno spazio vettoriale su K (prodotto scalare)

(λ ·A) •B = A • (λ ·B) = λ · (A •B).

µAA : End(V ) → Matn,n è un isomorfismo di K-algebre.Inoltre:

(End(V ); ◦) ha elemento neutro: id : V → V, v 7→ v

(Matn,n; •) ha elemento neutro: I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

µAA(id) = I, infatti, se lo spazio vettoriale V ha base {a1, . . . , an}:id(a1) = a1 = 1 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 0 · an

id(a2) = a2 = 0 · a1 + 1 · a2 + · · ·+ 0 · an

...id(an) = an = 0 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 1 · an

µAA(id) =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

= I.


Attenzione Considerando due basi A,B, se A 6= B allora µAB(id) 6= I.

Definizione 7.8 Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Definiamo

Aut(V ) = {f ∈ End(V ) : f biunivoca}.

Si ha quindi Aut(V ) ⊆ End(V ), e che se f ∈ Aut(V ) allora ∃f−1 ∈ Aut(V ).Presa una base A di V (la stessa in tutti i V considerati), si ha

I = µAA(id) = µAA(f−1 ◦ f) = µAA(f−1) · µAA(f)

I = µAA(id) = µAA(f ◦ f−1) = µAA(f) · µAA(f−1)

percui, chiamati A = µAA(f), B = µAA(f−1)B ·A = I A ·B = I A,B ∈ Matn,n .

A e B sono una inversa dell’altra rispetto al prodotto riga×colonna.

B = A−1

µAA(f−1) = (µAA(f))−1

(Aut(V ), ◦) è un gruppof ∈ Aut(V ) µAA(f) = A A ha un’inversa

GL(n,K) = GL(n) ⊆ Matn,n,

detto gruppo generale lineare di ordine n,

GL(n,K) = {A ∈ Matn,n : A ha un’inversa}.

Se una matrice A ha un’inversa rispetto al prodotto riga×colonna, si dice cheA è non singolare.

GL(n,K) = {A ∈ Matn,n non singolare}.

Come si caratterizzano le matrici di GL(n)? Lo scopriremo nel prossimo capitolo.

Capitolo 8

Sistemi lineari

8.1 PermutazioniIntroduciamo le permutazioni su n elementi. Sia

Jn = {1, 2, 3, . . . , n}.

Chiamiamo permutazione su n elementi un’applicazione biunivoca σ : Jn → Jn,rappresentata come segue:

σ

(1 2 3 · · · n

σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)

).

Si dice che σ è di classe pari (dispari) se si passa da (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) a(1, 2, . . . , n) con un numero pari (dispari) di scambi.

Esempi(

1 2 32 3 1

)è di classe pari,

(1 2 32 1 3

)è di classe dispari.

Chiamiamo gruppo simmetrico su n elementi l’insieme

Sn = {permutazioni su n elementi}= {σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} biunivoca}.

Data σ ∈ Sn, definiamo

ε(σ) =

{+1 se σ è pari,−1 se σ è dispari.

8.2 Il determinanteDefinizione 8.1 Sia A ∈ Matn,n(K), A = (αij)i=1,...,n

j=1,...,n. Si definisce determi-

nante di A:detA =

∑

σ∈Sn

ε(σ)α1σ(1)α2σ(2) · · ·αnσ(n).

Esso è composto da n! addendi.

84

8.2. IL DETERMINANTE 85

Ciascun addendo contiene uno ed un solo fattore preso da ciascuna riga eciascuna colonna (σ è biunivoca).Esempi(n = 1)

A = (α11) S1 = {σ = id} ε(σ) = +1 σ =

(11

)

det A = +α11.

(n = 2)

A =

(α11 α12

α21 α22

)S2 = {σ1 = id, σ2 =

(1 22 1

)}

ε(σ1) = 1 ε(σ2) = −1

det A = +α1σ1(1) · α2σ1(2) − α1σ2(1) · α2σ2(2) = α11α22 − α12α21.

(n = 3)

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

#S3 = 3! = 6

σ1 = id σ2 =

(1 2 32 3 1

)σ3 =

(1 2 33 1 2

)

σ4 =

(1 2 32 1 3

)σ5 =

(1 2 33 2 1

)σ6 =

(1 2 31 3 2

)

ε(σ1) = ε(σ2) = ε(σ3) = +1 ε(σ4) = ε(σ5) = ε(σ6) = −1

det A = α11α22α33 + α12α23α31 + α13α21α32

−α12α21α33 − α13α22α31 − α11α23α32.

Pensiamo ora A ∈ Matn,n(K) in questo modo:

A(1), . . . , A(n) colonne di A

A(1), . . . , A(n) righe di A

A =(A(1), . . . , A(n)

)=

A(1)

...A(n)

det : Matn,n(K) → KA 7→ detA

oppure

det : Kn ×Kn × · · · ×Kn

︸︷︷︸n volte

→ K(A(1), A(2), . . . , A(n)

) 7→ detA

oppure ancora

det : Kn ×Kn × · · · ×Kn

︸︷︷︸n volte

→ K

A(1)

A(2)

...A(n)

7→ detA

86 CAPITOLO 8. SISTEMI LINEARI

Sia K un campo con caratteristica 6= 2 (noi considereremo K = Q,R,C; unesempio non valido è Z2). Siano A,B ∈ Matn,n(K). Proprietà del determinante:

1) det AT = det A (AT = trasposta di A: se A = (αij), AT = (αji));

2) scambiando tra loro due righe, il determinante cambia solo il segno (idemper le colonne);

3) il determinante è lineare in ogni riga, fissate le altre n− 1 righe (idem perle colonne);Penso una matrice in cui la II, III, n-esima riga sono fissate, e la I riga ècombinazione lineare:

det

λB + µC

A(2)

...A(n)

= λ det

B

A(2)

...A(n)

+ µ det

C

A(2)

...A(n)

.

Ancora:(

α11 α12

α21 α22

)

(α11, α12

)= λ

(b1, b2

)+ µ

(c1, c2

)

A =

(λb1 + µc1 λb2 + µc2

α21 α22

)

det A = λ det

(b1 b2

α21 α22

)+ µ det

(c1 c2

α21 α22

)

ogni fattore di A è del tipo ± α1σ(1)α2σ(2) · · ·αnσ(n),

dove α1σ(1) = λbσ(1) + µcσ(1).

2+3) det : Kn × · · · ×Kn → K è un’applicazione multilineare e alternante;

4) se A ha due righe uguali ⇒ det A = 0 (idem per le colonne);

A =

A(1)

A(2)

A(3)

...A(n)

=

BB

A(3)

...A(n)

det A = det

A(1)

A(2)

...A(n)

= − det

A(2)

A(1)

...A(n)

.

5) I matrice identica, det I = 1;

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

ε(σ)α1σ(1) · · ·αnσ(n)

1 da ciascuna riga e da ciascuna colonna.L’unico addendo non nullo è quello relativo alla σ = id,

e tale addendo è + 1 · 1 · · · 1 = 1.

6) (teorema di Binet) det(A ·B) = det A · det B;

8.3. TEOREMI DI LAPLACE 87

7) le righe di A sono l.d. ⇔ detA = 0 (idem per le colonne);

det

ab

2a− b

= 2det

aba

− det

abb

= 0 + 0 = 0.

3+7) se B è ottenuta sommando ad una riga (o colonna) una combinazionelineare delle altre ⇒ det B = det A;

8) det(λA) = λn detA (λ ∈ K);

A =

(a bc d

)λA =

(λa λbλc λd

)det(λA) = λ det

(a bλc λd

)= λ2

(a bc d

).

5+6) se A ammette inversa A−1 ⇒ detA−1 = 1det A (det A 6= 0).

A ∈ Matn,n ∃A−1 A ·A−1 = I

det(A ·A−1) = det I = 1 = det A · det A−1 ⇒ det A 6= 0 ⇒ det A−1 =1

det A.

È anche possibile definire il determinante come segue:

det : Kn × · · · ×Kn → K

è l’unica funzione multilineare e alternante t.c. det I = 1.

8.3 Teoremi di Laplace

Definizione 8.2 Data A ∈ Matm,n(K), si dice sottomatrice di A una qualsiasimatrice che si ottenga cancellando da A qualche riga e qualche colonna.

Esempi(

2 0 10 3 2

)è sottomatrice di

1 2 1 0 42 2 0 1 10 1 3 2 1

.

Definizione 8.3 Data A ∈ Matm,n(K), si dice minore di A il determinante diuna sua qualsiasi sottomatrice quadrata.

Esempi det

(1 40 1

)= 1 è un minore di

1 2 1 0 42 2 0 1 10 1 3 2 1

.

Definizione 8.4 Data A ∈ Matn,n(K), A = (αij), fissati i e j si dice minorecomplementare Mij di αij il minore che si ottiene cancellando da A la rigai-esima e la colonna j-esima.

Esempi Data A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

, è M12 = det

(α21 α23

α31 α33

).

Definizione 8.5 Aij = (−1)i+jMij viene detto cofattore o complemento alge-brico di αij .


Teorema 8.1 (I teorema di Laplace) Data A ∈ Matn,n(K), è per la i-esimariga:

det A = αi1Ai1 + αi2Ai2 + · · ·+ αinAin;

per la j-esima colonna:

detA = α1jA1j + α2jA2j + · · ·+ αnjAnj .

Teorema 8.2 (II teorema di Laplace) Data A ∈ Matn,n(K), è per le righe:

se i 6= j, αi1Aj1 + αi2Aj2 + · · ·+ αinAjn = 0;

per le colonne:

se i 6= j, α1iA1j + α2iA2j + · · ·+ αniAnj = 0.

Ad esempio:

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

detA = α11 ·∣∣∣∣α22 α23

α32 α33

∣∣∣∣− α12 ·∣∣∣∣α21 α23

α31 α33

∣∣∣∣ + α13 ·∣∣∣∣α21 α22

α31 α32

∣∣∣∣ =

= α11A11 + α12A12 + α13A13.

α11A21 + α12A22 + α13A23 = 0.

Definizione 8.6 Data A ∈ Matn,n(K), si dicematrice cofattore di A (omatricedei complementi algebrici di A) la matrice

cof(A) = (Aij).

Esempi Se A =

(a bc d

), allora cof(A) =

(d −c−b a

).

Lemma A · (cof(A))T = det A · I.Dimostrazione

cof(A) = (Ahk) (cof(A))T = (cij) cij = Aji

A · (cof(A))T = (γij)

γij =

n∑

k=1

αikckj =

n∑

k=1

αikAjk =

{det A se i = j (I Laplace)0 se i 6= j (II Laplace)

A · (cof(A))T =

det A 0 · · · 00 det A · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · det A

= det A · I. ¤

Teorema 8.3 Sia A ∈ Matn,n(K). A ammette inversa A−1 se e solo se det A 6=0. Inoltre, (se detA 6= 0)

A−1 =1

detA(cof(A))T .

8.3. TEOREMI DI LAPLACE 89

Dimostrazione(⇒) Già visto.(⇐) Prendiamo A t.che det A 6= 0. Per il lemma, A · (cof(A))T = det A · I. Quindi,

A · (cof(A))T

det A= I ⇒ (cof(A))T

det A= A−1. ¤

Quindi, per A ∈ Matn,n(K), è A ∈ GL(n) ⇔ det A 6= 0.

Esempi Se A =

(a bc d

)e det A 6= 0, allora (cof(A))T =

(d −b−c a

)e

A−1 =

(d

det A− b

det A

− cdet A

adet A

).

Teorema 8.4 (Formula di Cramer) Sia A ∈ Matn,n(K), e denotiamo

A =(A(1), A(2), . . . , A(n)

).

Se det A 6= 0 e A · x = y, allora il sistema ha 1! soluzione x =

x1

...xn

con

xi =det A(y, i)

det A,

dove A(y, i) indica A con la i-esima colonna sostituita da y:

A(y, i) =(A(1), A(2), . . . y, . . . , A(n)

).

Dimostrazionedet A 6= 0 ⇒ ∃A−1.A−1 ·A ·x = A−1 ·y ⇒ I ·x = A−1 ·y ⇒ x = A−1 ·y è l’unica soluzione (tutti i passaggisono invertibili).

A−1 =1

det A(cof(A))T (cof(A))T = (cij) cij = Aji

A−1 · y =1

det A· (cof(A))T · y

(cof(A))T · y = (λi) =

λ1

...λn

λi =

n∑

k=1

cikyk = (∗)

A =

α11 α12 · · · α1i · · · α1n

α21 α22 · · · α2i · · · α2n

......

. . ....

. . ....

αn1 αn2 · · · αni · · · αnn

A(y, i) =

α11 α12 · · · y1 · · · α1n

α21 α22 · · · y2 · · · α2n

......

. . ....

. . ....

αn1 αn2 · · · yi · · · αnn

(∗) = det A(y, i).


I complementi algebrici di A e di A(y, i) rispetto ad elementi della colonna i-esimasono uguali (la colonna si cancella).

x = A−1 · y =1

det A· (cof(A))T · y =

1

det A·

det A(y, 1)

det A(y, 2)...

det A(y, n)

xi =det A(y, i)

det A. ¤

8.4 La caratteristicaLemma Date

A =(

P QR S

)e A′ =

(P ′ Q′

R′ S′

),

se P e P ′, Q e Q′, R e R′, S e S′ sono conformabili, allora

A ·A′ =(

PP ′ + QR′ PQ′ + QS′

RP ′ + SR′ RQ′ + SS′

).

DimostrazioneElemento di posto (1, 1) di AA′ == (I riga di A) · (I colonna di A′) = (I riga di P , I riga di Q).(I colonna di P ′

I colonna di R′

)=

= (I riga di P ) · (I colonna di P ′) + (I riga di Q) · (I colonna di R′) == elemento di posto (1, 1) di PP ′+ elemento di posto (1, 1) di QR′.(Analogo per gli altri elementi.) ¤

Lemma Date A ∈ Matm,n, X ∈ Matr,n, V ∈ Matm−r,r tali che

X =

X(1)

...X(r)

A =

(X

V ·X︸︷︷︸n colonne

) } r righe} m− r righe

vale

V ·X =

v11X(1) + v12X

(2) + · · ·+ v1rX(r)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vm−r,1X

(1) + vm−r,2X(2) + · · ·+ vm−r,rX

(r)

,

quindi le righe di V ·X sono combinazioni lineari delle righe di X.

DimostrazioneLasciata come esercizio. ¤

Definizione 8.7 Data M ∈ Matm,n(K), si dice che M ha caratteristica o rangor, e si scrive car M = rk M = r, se

i) ∃ un minore non nullo di ordine r in M (cioè ∃ sottomatrice quadratar × r con det 6= 0);

8.4. LA CARATTERISTICA 91

ii) tutti i minori s× s con s > r sono nulli.

Esempi(

1 2 01 2 0

)ha caratteristica 1,

(1 2 02 2 0

)ha caratteristica 2.

La condizione ii) è equivalente alla condizione

ii′) tutti i minori (r + 1)× (r + 1) sono nulli.

Dimostrazioneii)⇒ii′) Ovvio.ii)⇐ii′) Con il metodo di Laplace si calcola il determinante di una matrice di ordines attraverso determinanti di matrice di ordine s − 1, e così via quelli di ordine s − 1si ottengono da quelli di ordine s − 2 ec. Se tutti quelli di ordine r + 1 sono nulli, losono anche quelli di ordine r + 2 e così via. ¤

Osservazione car M = massimo ordine di minore non nullo estraibile da M .

car M ≤ min(m, n).

Supponiamo ora M ∈ Matm,n con car M = r. A meno di scambi di righe edi scambi di colonne, si può supporre che M sia della forma

M =(

A BC D

)A ∈ Matr,r

det A 6= 0.

Mostreremo che in tale ipotesi

∃U ∈ Matr,n−r ∃V ∈ Matm−r,r tali cheB = A · U C = V ·A D = V ·A · U,

ovvero M =(

A AUV A V AU

).

Teorema 8.5 (Teorema di Kronecker) Sia M ∈ Matm,n, con

M =(

A BC D

)A ∈ Matr,r

det A 6= 0,

e tale che tutti i minori di M che si ottengono “orlando”1 A con una riga e unacolonna siano nulli. Allora,

∃U ∈ Matr,n−r ∃V ∈ Matm−r,r tali cheB = A · U C = V ·A D = V ·A · U.

Si nota che l’ipotesi è più debole rispetto a quella della proposizione precedente;in realtà, tuttavia, esse si equivalgono.

Dimostrazione(Solo nel caso m = n = r + 1.)

M =

(A b

cT d

)

1Dicesi sottomatrice che “orla” A una sottomatrice (r + 1)× (r + 1) che contiene A comesottomatrice.


Devo dimostrare che

∃u =

u1

...ur

, ∃vT =

(v1, . . . , vr

)tali che M =

(A A · u

vT ·A vT ·A · u)

.

Si ricava facilmente che u = A−1 · b, vT = cT · A−1. Devo verificare vT · A · u = d.Abbiamo dalle ipotesi che det M = 0. Consideriamo la matrice ausiliaria

∆ =

(I −u

0T 1

)M, ∆ ∈ Matr+1,r+1

M ′ = M ·∆ =

(A A · u

vT ·A d

)·(

I −u

0T 1

)=

=

(A · I + A · u · 0T −A · u + A · uvT ·A · I + d · 0T −vT ·A · u + d

)=

(A 0

vT ·A −vT ·A · u + d

)

det M ′ = (sviluppo di Laplace secondo l’ultima colonna) = (d− vT ·A · u) · det A,

ma M ′ = M ·∆, quindi det M ′ = det M · det∆ = 0

(d− vT ·A · u) · det A = 0 ⇒ d = vT ·A · u. ¤

Conseguenze del teorema di Kronecker:

1) Nelle ipotesi

M =(

A AUV A V AU

), X =

(A AU

), M =

(X

V X

),

le ultime m− r righe sono combinazioni lineari delle prime r.

2) Nelle ipotesi

M =(

A AUV A V AU

), Y =

(A

V A

), M =

(Y Y U

),

le ultime n− r colonne sono combinazioni lineari delle prime r.

1)+2)=3) Vale r = dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe di M =dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne di M .Ad esempio, per le righe è: det A 6= 0 ⇒ le righe di A sono l.i. ⇒ le righe di X

sono l.i. (una combinazione lineare delle righe di X che dia 0, dà anche 0 per lerighe di A) ⇒ dimensione dello spazio delle righe = r.

4) Nelle ipotesi del teorema si ha car M = r, perché se fosse s = car M > rci sarebbero s righe di M l.i. (con ragionamento analogo a quanto fatto in3)).

Osservazione Per verificare che car M = r, è sufficiente vedere che si annullano iminori (r + 1)× (r + 1) che orlano M .

Metodo di Kronecker per il calcolo della caratteristica Data M ∈Matm,n, si cerca una sottomatrice quadrata k× k con det 6= 0, e si consideranotutte le matrici (k +1)× (k +1) che si ottengono orlando quella. Se tutte hannodet = 0, allora car M = k. Se invece ne esiste una con det 6= 0, allora si proseguea partire da quest’ultima (cioè la si orla, . . . ).

8.4. LA CARATTERISTICA 93

Esempi

• Sia

M =

2 1 0 −1 10 1 1 0 12 2 1 −1 22 0 −1 −1 0

.

Si nota che il calcolo della caratteristica richiederebbe normalmente il computo di40 minori, mentre con il metodo di Kronecker ne bastano 6. Si ottiene car M = 2.

• Sia

M =

1 k 0 k2

k 4 0 4k1 k k(k − 2) 4

.

In certi casi come questo, conviene procedere alla rovescia, partendo dalle matricipiù grandi:

N =

1 k 0k 4 01 k k(k − 2)

det N = −k(k − 2)2(k + 2).

Per k 6= 0,±2 è car M = 3; i casi particolari vanno esaminati a parte, e si ottieneper k = 0, 2,−2 rispettivamente car M = 3, 1, 2.

• Sia

M =

1 k −1 2k 1 −1 k + 10 k2 − 1 −k + 1 k − 1

.

In questi casi particolari in cui tutti i minori sono nulli, è necessario fare i conti.Si giunge a car M = 2 per k 6= 1, e car M = 1 per k = 1.

Osservazione Siano V, W spazi vettoriali f.g., f : V → W lineare. Perché dim Im fviene detto “rango”? Possiamo interpretare f come LA (A matrice rappresentativa dif), e vale dim Im f = dim Im LA.

Im LA = 〈colonne di A〉 ⇒ car A = rk A (rango)dim Im f = rango della matrice rappresentativa di f (rispetto a basi scelte).

Teorema 8.6 (Teorema di Rouché – Capelli) Sia

M · x = y (∗)

un sistema lineare di m equazioni in n incognite. (∗) ha soluzione se e solose carM = car(M |y) (dette rispettivamente matrice dei coefficienti e matricecompleta coefficienti/termini noti). Inoltre, se (∗) ha soluzione, detto r = car M ,le soluzioni sono ∞n−r.

DimostrazioneM · x = y ⇔ y ∈ Im LM

⇔ y ∈ 〈M(1), . . . , M(n)〉 spazio generato dalle colonne di M⇔ 〈M(1), . . . , M(n)〉 = 〈M(1), . . . , M(n), y〉

(perché y è combinazione delle colonne)⇔ dim〈M(1), . . . , M(n)〉 = dim〈M(1), . . . , M(n), y〉

(perché se V ⊆ W allora V = W se e solo se dim V = dim W )⇔ car M = car(M |y).


Mettiamoci nell’ipotesi che il sistema sia risolubile, e sia car M = r. A meno di scambitra righe e tra colonne, è

M =

(A AU

V A V AU

)(anche per M |y),

allora:

α11x1 + · · ·+ α1rxr + β1,r+1xr+1 + · · ·+ β1nxn = y1

...αr1x1 + · · ·+ αrrxr + βr,r+1xr+1 + · · ·+ βrnxn = yr

Ho cancellato m− r equazioni (perché comb. lin. delle precedenti).

α11x1 + · · ·+ α1rxr = y1 − β1,r+1xr+1 − · · · − β1nxn

...αr1x1 + · · ·+ αrrxr = yr − βr,r+1xr+1 − · · · − βrnxn

Abbiamo dunque un sistema crameriano (quadrato, con det 6= 0) ⇒ ∃! soluzione. Maxr+1, . . . , xn sono n−r parametri lineari, percui il sistema ammette∞n−r soluzioni.¤

GeometriaI - unimi.it...1.2. CAMBIAMENTIDELSISTEMADIRIFERIMENTO 7 Per convenzione si considereranno...

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