Geometria 2 - people.unica.itpeople.unica.it/montaldo/files/2009/01/geometria2.pdf · S. Montaldo -...

A.A.2013-14

Geometria 2

UNICA Stefano Montaldo

ii

S. Montaldo- Geometria Analitica - A.A. 2012/13

Indice

1 Generalità sugli spazi affini 11.1 Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Intersezione di sottospazi affini parallelismo . . . . . . 41.1.3 Coordinate affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Cambiamenti di coordinate affini . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Trasformazioni affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Il gruppo affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Generalità sugli spazi euclidei 132.1 Il prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Il procedimento di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 172.1.3 Applicazioni della proiezione ortogonale . . . . . . . 18

2.2 Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Coordinate ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Trasformazioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Endomorfismi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Trasformazioni euclide ed isometrie . . . . . . . . . . 242.2.5 Il gruppo delle isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


iv INDICE

3 Geometria euclidea del piano e dello spazio 293.1 Riferimento Cartesiano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 La retta affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Geometria piana della retta . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Il piano affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nello spazio .. . . . 483.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio 604.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2. . . 614.2 Classificazione delle isometrie del piano . . . . . . . . . . . .644.3 Classificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione 3 684.4 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Classificazione delle isometrie dello spazio . . . . . . . . .. 724.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Geometria quadratica 1 765.1 Sfere e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.1 Circonferenza per tre punti e sfera per quattro punti .. 785.1.2 Parametrizzazione della circonferenza e della sfera. . 805.1.3 Intersezione di una sfera (circonferenza) con una retta 815.1.4 Potenza di un punto rispetto ad una sfera (circonferenza) 855.1.5 Intersezione di due circonferenze . . . . . . . . . . . 885.1.6 Fasci di circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.7 Circonferenza su un piano qualunque dello spazio . . . 905.1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Cilindri e Coni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.1 Equazione cartesiana del cilindro e del cono . . . . . . 975.2.2 Cono e cilindro circoscritto ad una sfera . . . . . . . . 985.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Coniche come luogo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Parametrizzazioni delle coniche in forma canonica . .105

5.4 Superfici di rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4.1 Equazione parametrica di una superficie di rivoluzione 107


INDICE v

5.5 Quadriche di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5.1 Ellissoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5.2 Iperboloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5.3 Paraboloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini 1166.1 La definizione di quadrica e conica . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2 Intersezione di una quadrica con un piano . . . . . . . . . . . 1216.3 Intersezione di una quadrica con una retta . . . . . . . . . . . 123

6.3.1 Asintoti di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3.2 Asintoti di una quadrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.3.3 Generatori rettilinei di una quadrica . . . . . . . . . . 1296.3.4 Rette tangenti ad una quadrica . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 Centro di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.5 Diametri di una quadrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.6 Classificazione affine delle quadriche . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6.1 Invarianti affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6.2 Classificazione affine delle quadriche . . . . . . . . . 143

7 Geometria quadratica 3: quadriche e coniche euclidee 1487.1 Direzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2 Classificazione euclidea delle coniche e delle quadriche . . . . 151

7.2.1 Invarianti euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3 Riduzione di una conica e di una quadrica in forma canonica . 160

7.3.1 Quadriche a centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.3.2 Quadriche non degeneri senza centro . . . . . . . . . 1617.3.3 Quadriche degeneri conρ = 2 . . . . . . . . . . . . . 1617.3.4 Quadriche degeneri conρ = 1 . . . . . . . . . . . . . 1627.3.5 Forma canonica delle coniche . . . . . . . . . . . . . 163

7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


vi INDICE


1Generalita sugli spaziaffini

1.1 Spazi affini

Definizione 1.1.Unospazio affineè una terna (A,V, η), doveA è un insieme,V è uno spazio vettoriale mentreη è una applicazione

η : A ×A→ V

che ad ogni coppia ordinata (A, B), A, B ∈ A, associa un vettorev = η(A, B)de f====

AB , tale che:

(i) per ogni puntoA ∈ A, l’applicazioneηA : A → V definita, per ogniB ∈ A, daηA(B) = η(A, B) è una biezione;

(ii) per ogniA, B,C ∈ A vale la relazioneAB= AC+CB (regola di Chasles).

L’insiemeA si chiamaspazio dei punti, mentre lo spazio vettorialeV prendeil nome di spazio vettorialeassociatoallo spazio dei puntiA o giacitura dellospazio affine.


2 Generalità sugli spazi affini

La dimensionedi uno spazio affine (A,V, η) è definita come la dimensionedello spazio vettorialeV. Si osservi che quest’ultima potrebbe essere infinita.In ogni caso in questo testo ci occuperemo esclusivamente del caso in cui ladimensione sia finita ed, in particolare, del caso di dimensione 1, 2 o 3.Dalla definizione di spazio affine segue immediatamente che, per ogniA, B ∈A, AA= 0 eAB= −BA.

Esempio 1.2.

(i) L’insieme vuoto è uno spazio affine rispetto a qualsiasi spazio vettorialeassociato. Si conviene che in questo caso lo spazio affine non abbiadimensione.

(ii) L’insieme formato da un unico elemento è uno spazio affine, con spaziovettoriale associatoV = {0}, di dimensione zero.

(iii) Uno spazio vettorialeV si può pensare in modo naturale (canonico) comelo spazio affine (V,V, η) conη(u, v) = v− u, u, v ∈ V.

(iv) Se (A1,V1, η1) e (A2,V2, η2) sono due spazi affini si consideri il prodottocartesianoA1 ×A2. Definendo l’applicazione

η : (A1 ×A2) × (A1 ×A2)→ V1 × V2

comeη((A1,A2), (B1, B2)) = (η1(A1, B1), η2(A2, B2)) è facile verificarecheη soddisfa la Definizione 1.1. Quindi la terna (A1 × A2,V1 × V2, η)definisce uno spazio affine chiamatospazio affine prodotto.

Da ora in poi, quando non vi è pericolo di ambiguità, indicheremo conA unospazio affine intendendo che è chiaro dal contesto lo spazio vettorialeassociato.

Osservazione1.3. Dato uno spazio affineA e fissato un puntoO ∈ A segue,dalla definizione, che ad ogni puntoB ∈ A resta associato un unico vettorev ∈ V. Possiamo quindi introdurre sull’insieme dei puntiA una struttura dispazio vettoriale nel modo seguente. DatiA, B ∈ A definiamoA+ B = Q conOA+OB= OQ, mentre dato un numeroλ ∈ R definiamoλA come quel puntodiA tale cheOλA = λ(OA). Si noti, tuttavia, che la struttura di spazio vettorialeintrodotta suA dipende dal puntoO ∈ A che gioca il ruolo del vettore nullo.


1.1 Spazi affini 3

1.1.1 Sottospazi affini

Definizione 1.4.Un sottoinsiemeF ⊂ A di uno spazio affine (A,V, η) è unsottospazio affine se è vuoto o se contiene un puntoA tale cheηA(F) è unsottospazio vettoriale diV.

La definizione di sottospazio affine non dipende dalla scelta del puntoA, infattisi ha

Proposizione 1.5.SiaF un sottospazio affine diA. Allora esiste un sottospaziovettoriale W di V tale che, per ogni B∈ F, ηB(F) =W.

Dimostrazione.EssendoF un sottospazio affine esisteA ∈ F tale cheηA(F) ={AC : C ∈ F} = W è un sottospazio vettoriale diV. Sia adessoB ∈ F un altropunto e si consideriηB(F) = {BC : C ∈ F}. Dalla regola di Chasles seguecheBC = BA+ AC = −AB+ AC ∈ W. QuindiηB(F) ⊆ W. Dimostriamo cheηB(F) è un sottospazio vettoriale diW. Sianov,w ∈ ηB(F), dalla definizioneesistonoC,C′ ∈ F tali chev = BC e w = BC′. Siccomev + w ∈ V esisteC′′ ∈ A con v + w = BC + BC′ = BC′′. Per dimostrare chev + w ∈ ηB(F)bisogna verificare cheC′′ ∈ F. Da BC′′ = BA+ AC′′ = AC′′ − AB, essendoBC′′,AB ∈ W, segue cheAC′′ ∈ W da cui, per definizione diW, C′′ ∈ F. Allostesso modo si dimostra che sev ∈ ηB(F) e λ ∈ R alloraλv ∈ ηB(F). In fine,AC = AB+ BC = −BC+ BC ∈ ηB(F) da cuiW ⊆ ηB(F). �

Vice versa, si ha la seguente

Proposizione 1.6.Sia W un sottospazio vettoriale di V e sia A∈ A. Alloraesiste un unico sottospazio affineF contenente A con giacitura W.

Dimostrazione.SiaA ∈ A e definiamo

F = {B ∈ A : AB ∈W} = η−1A (W) .

ChiaramenteA ∈ F e ηA(F) = W, quindiF è un sottospazio affine contenenteA il cui spazio vettoriale associato èW. Per l’unicità, supponiamo per assurdoche esistaF′ , F conηA(F′) =W e A ∈ F′. Osserviamo per primo cheF′ nonpuò essere un sottoinsieme proprio diF, essendo entrami in corrispondenzabiunivoca tramiteηA conW. Sia quindiC ∈ F′ conC < F. Segue cheηA(C) ∈W e, per la biettività diηA, si ha cheC = η−1

A (ηA(C)) ∈ F. �

Esempio 1.7.



(i) Tutti i punti di uno spazio affine sono sottospazi di dimensione zero.

(ii) Un sottospazio affine di dimensione uno si chiamaretta affine.

(iii) Un sottospazio affine di dimensione due si dicepiano affine.

Proposizione 1.8.Sia V uno spazio vettoriale visto come spazio affine e siaf : V → W un’applicazione lineare da V in un altro spazio vettorialeW. Perogni w ∈ f (V), l’insieme delle contro immagini f−1(w) ⊂ V è un sottospazioaffine di V con giacituraker(f ).

Dimostrazione.Basta mostrare che, datou ∈ f −1(w), si ha

ηu( f −1(w)) = ker(f ) ,

dove, per definizione,ηu(x) = x−u. Siay ∈ ker(f ), allora f (y+u) = f (u) = w,quindi y + u = x ∈ f −1(w). Segue chey = x − u = ηu(x) ∈ ηu( f −1(w)),cioè ker(f ) ⊆ ηu( f −1(w)). Vice versa, siay ∈ ηu( f −1(w)), allora y = x − uper qualchex ∈ f −1(w). Segue chef (y) = f (x) − f (u) = w − w = 0, quindiηu( f −1(w)) ⊆ ker(f ).

�

Osservazione1.9. La proposizione precedente dice che tutti i punti del sotto-spazio affine f −1(w) si possono scrivere nella formau0 + y doveu0 è un puntofissato dif −1(w) mentrey è un elemento del nucleo. Più in generale, si può mo-strare che i sottospazi affini di uno spazio vettorialeV sono della formaW+v0,doveW è un sottospazio vettoriale ev0 è un vettore diV. Si osservi cheW+ v0

definisce un sottospazio vettoriale solo sev0 ∈ W o, in altri termini,W + v0

definisce un sottospazio vettoriale solo se contiene il vettore nullo.

1.1.2 Intersezione di sottospazi affini parallelismo

Proposizione 1.10.SianoF1 eF2 due sottospazi affini di uno spazio affineA.Allora l’intersezioneF1 ∩ F2 è un sottospazio affine diA.

Dimostrazione.SiaV la giacitura diA. SeF1∩F2 = ∅ allora è un sottospazioaffine. Altrimenti si scelgaA ∈ F1 ∩ F2. Segue cheηA(Fi) = Wi ⊂ V è lagiacitura diFi per ognii = 1, 2. PoniamoW = W1 ∩W2. Allora F1 ∩ F2 èl’unico sottospazio affine passante perA con giacituraW. �


1.1 Spazi affini 5

Definizione 1.11.Due sottospazi affini F1 e F2 di uno spazio affineA sonodettiparalleli (si scriveF1 ∥ F2) se hanno la stessa giacitura.

Osservazione1.12. Si noti che due sottospazi possono essere disgiunti senzaessere paralleli, per esempio una retta affine la cui giacitura è un sottospaziodella giacitura di un piano affine non è parallela al piano. In ogni caso in unospazio affine di dimensione 2 due rette affini sono parallele se e solo se sonodisgiunte.Qualche volta si utilizza una definizione di parallelismo più debole: due sot-tospazi affini F1 e F2 di uno spazio affineA sono dettidebolmente parallelise la giacitura di uno è un sottospazio vettoriale della giacitura dell’altro. Conquesta terminologia ha senso parlare di retta affine parallela ad un piano affine.

Esempio 1.13.Se f : V → W è una applicazione lineare, allora tutti i sotto-spazi f −1(w), w ∈ f (V), sono paralleli avendo la stessa giacitura ker(f ).

1.1.3 Coordinate affini

Sia (A,V, η) uno spazio affine. Fissato un puntoO ∈ A, ad ogni altro puntoA ∈A resta associato un unico vettoreOA ∈ V. Scelta una baseB = {e1, . . . , en}dello spazio vettorialeV il vettore OA ammette un unica decomposizione ri-spetto alla baseB:

OA= a1e1 + · · · + anen =

n∑

i=1

ai ei , ai ∈ R.

Definizione 1.14.Definiamocoordinate affini del puntoA rispetto alla baseB ed al puntoO la n-pla (a1, . . . , an) delle componenti del vettoreOA rispettoalla baseB. La coppia (O,B) prende il nome diriferimento affine.

Al punto O resta associata lan-pla (0, . . . , 0) ed è comunemente chiamatoorigine.Quando l’origineO e la baseB sono fissate useremo la notazione breve

A = (a1, . . . , an)

per indicare un punto di uno spazio affine. Facendo riferimento alla struttura dispazio vettoriale definita su uno spazio affine nellaOsservazione1.3, si vedefacilmente che le operazioni ivi descritte diventano:



A+ B = (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)

λA = λ(a1, . . . , an) = (λa1, . . . , λan)

A, B ∈ A, λ ∈ R.

Osservazione1.15. Se A = (a1, . . . , an) e B = (b1, . . . , bn) rispetto ad un ri-ferimento affine (O,B) suA, allora le componenti del vettoreAB sono (b1 −a1, . . . , bn − an). Infatti, dalla regola di Chasles si ha

AB= AO+OB= OB−OA.

1.1.4 Cambiamenti di coordinate affini

Sia (A,V, η) uno spazio affine. Siano (a1, . . . , an) le coordinate affini di un pun-to A ∈ A rispetto ad un origineO ∈ A ed ad una baseB = {e1, . . . , en} di V.Vediamo come cambiano le coordinate affini se si cambia l’origine e/o la basedella giacitura.

Iniziamo cambiando solo l’origine. SiaO′ ∈ A un altro punto diA di coor-dinate affini (o′1, . . . , o

′n) e siano (a′1, . . . , a

′n) le coordinate affini di A rispetto al

riferimento (O′,B). Dalla regola di Chasles si ha

OA= OO′ +O′A

o, equivalentemente,O′A = OA−OO′

da cui segue che per un cambiamento d’origine le coordinate affini rispettoalla nuova origine sono le vecchie coordinate meno le coordinate della nuovaorigine rispetto alla vecchia. In formula

(a′1, . . . , a′n) = (a1, . . . , an) − (o′1, . . . , o

′n).

Vediamo adesso il caso in cui cambiamo la base dello spazio vettorialeV. SiadunqueB′ = {e′1, . . . , e′n} una nuova base diV. La matriceM = (mi j ) delcambiamento di base è definita da

ei = m1i e′1 + · · · +mni e′n, ∀i = 1, . . .n.


1.1 Spazi affini 7

Se le componenti del vettoreOA rispetto alla baseB sono (a1, . . . , an) allora lecomponenti diOA rispetto alla baseB′ sono date da

a′i =n

∑

j=1

mi j a j. (1.1)

Infatti, da una parte si ha

OA=n

∑

j=1

a j ej =

n∑

j=1

a j

n∑

i=1

mi j e′i

=

n∑

i=1

n∑

j=1

mi j a j

e′i ,

dall’altra, scomponendo il vettoreOA rispetto alla baseB′ si trova

OA=n

∑

i=1

a′i e′i .

Per semplificare le notazioni da ora in poi indicheremo con

AO,B =

a1...

an

il vettore colonna delle componenti del vettoreOA rispetto al riferimento affine(O,B). Con questa notazione la (1.1) diventa

AO,B′ = M AO,B.

Combinando il cambiamento di origine con quello di base si ha:

Proposizione 1.16.Sia(A,V, η) uno spazio affine e siano(O,B) e (O′,B′) dueriferimenti affini. Allora per ogni A∈ A si ha

AO′,B′ = M(AO,B −O′O,B),

dove M rappresenta la matrice del cambiamento di base (la i-esima colonnadi M rappresenta le componenti del i-esimo vettore diB rispetto alla baseB′).



1.2 Trasformazioni affini

Siano (A,V, η) e (A′,V′, η′) due spazi affini di dimensionen. Unatrasforma-zione geometricadaA adA′ è una applicazione biettiva

ϕ : A→ A′.

Le trasformazioni geometriche si possono comporre: seϕ : A → A′ e ψ :

A′ → A

′′ sono due trasformazioni geometriche, la composizione

ψ ◦ ϕ : A→ A′′

è definita daψ ◦ ϕ(A) = ψ(ϕ(A)), A ∈ A. È facile mostrare che l’operazionedi composizione è associativa. Per definizione ogni trasformazione geometricaϕ : A → A

′ è invertibile, cioè esiste la trasformazione inversaϕ−1 : A′ → A

tale cheϕ−1 ◦ ϕ = IdA eϕ ◦ ϕ−1 = IdA′.

Un caso molto speciale si ha quando la trasformazioneϕ è definita dallo spazioaffine in se stesso. Sia

Tras(A) = {ϕ : A→ A : ϕ biettiva}

l’insieme di tutte le trasformazioni geometriche di uno spazio affine in se stes-so. Dotando l’insieme Tras(A) dell’operazione di composizione segue, dal-le proprietà viste sopra, che (Tras(A), ◦) è un gruppo algebrico. Tale gruppoprende il nome digruppo delle trasformazioni geometriche.

Siaϕ : A→ A′ una trasformazione geometrica. Se introduciamo un riferimen-

to affine (O,B) suA ed uno (O′,B′) suA′, e se indichiamo con (x1, . . . , xn) lecoordinate di un puntoP ∈ A e con (x′1, . . . , x

′n) le coordinate diϕ(P) ∈ A

′,segue che l’applicazioneϕ si scrive, in coordinate, come:

x′1 = ϕ1(x1, . . . , xn)...

x′n = ϕn(x1, . . . , xn)

per delle opportune funzioniϕi : Rn → R, i = 1, . . . , n. Quindi per cono-scere una trasformazione geometrica in coordinate è sufficiente conoscere lenfunzioniϕi.


1.2 Trasformazioni affini 9

Dato un puntoO ∈ A una trasformazione geometricaϕ : A → A′ induce

un’applicazione biettivaf : V → V′, chiamataapplicazione indotta, definitanel modo seguente. Siav ∈ V, conv = OA, allora f (v) = ϕ(O)ϕ(A) . Si osserviche la funzionef non è necessariamente lineare.Viceversa, fissati due puntiO ∈ A eO′ ∈ A′, un’applicazione biettivaf : V →V′ (con f (0) = 0) induce una trasformazione geometricaϕ : A → A

′, tale cheϕ(O) = O′, definita nel modo seguente: datoA ∈ A, ϕ(A) = A′ doveA′ ∈ A′ èl’unico punto diA′ tale chef (OA) = O′A′.

Definiamo adesso un sottogruppo notevole del gruppo delle trasformazionigeometriche. Per far questo diamo la seguente

Definizione 1.17.Siano (A,V, η) e (A′,V′, η′) due spazi affini. Una trasforma-zione geometrica

ϕ : A→ A′

è unatrasformazione affinese esistono due riferimenti affini (O,B) e (O′,B′)di A e A

′ rispettivamente, tale che, per ogniA ∈ A, le coordinate del pun-to A rispetto al riferimento (O,B) e le coordinate del puntoϕ(A) rispetto alriferimento (O′,B′) coincidono.

In altre parole, la Definizione 1.17 dice che una trasformazione geometrica è af-fine se esistono due riferimenti affini (O,B) e (O′,B′) diA eA′ rispettivamente,tali che l’espressione diϕ in coordinate diventi:

x′1 = x1...

x′n = xn .

Proposizione 1.18.Una trasformazione affineϕ : A → A′ si scrive, rispetto

a due riferimenti affini qualsiasi(O,B) e (O′,B′) di A e A′ rispettivamente,

come

x′i =n

∑

j=1

mi j xj + βi i = 1, . . . , n

o, usando la notazione matriciale,

X′O′,B′ = M XO,B + β ,

dove M= (mi j ) rappresenta una matrice invertibile n×n eβ un vettore colonnadi componentiβi ∈ R , i = 1, . . . , n.



Dimostrazione.Siano (O, B) e (O, B) i riferimenti affini di A e A′ rispetto

ai quali la trasformazione affine si scrive comeX′O,B = XO,B. Operando gli

opportuni cambiamenti di riferimento affine si ha cheX′O,B = M X′O′,B′ + β

mentreXO,B = M XO,B + β con M e M matrici non singolarin × n (sono lematrici del cambiamento di base). DallaX′

O,B = XO,B, segue che

M X′O′,B′ + β = M XO,B + β

da cuiX′O′,B′ = M−1M XO,B + M−1(β − β) = M XO,B + β

dove abbiamo postoM = M−1M e β = M−1(β − β). �

In particolare, si ha il seguente

Corollario 1.19. Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione n pensaticome spazi affini. Allora una trasformazione geometricaϕ : V → W è affinese e solo se esiste un vettore w0 ∈ W ed un isomorfismo f: V → W tale cheϕ(v) = f (v) + w0 per tutti i v ∈ V.

Si osservi che seϕ : A → A′ è una trasformazione affine, l’applicazione in-

dotta f : V → W è un isomorfismo. La dimostrazione chef è un isomorfismoè lasciata per esercizio.Segue che una definizione alternativa di trasformazione affine è la seguente

Definizione 1.20.Siano (A,V, η) e (A′,V′, η′) due spazi affini. Una trasforma-zione geometrica

ϕ : A→ A′

è unatrasformazione affine se esiste un puntoO ∈ A e un isomorfismof :V →W tale che per ogniA ∈ A

f (OA) = ϕ(O)ϕ(A).

Osservazione1.21. Si noti che seϕ : A → A′ è affine la definizione dell’iso-

morfismo indotto non dipende dal puntoO. Infatti, siaO′ un altro punto, allorasi ha

ϕ(O′)ϕ(A) =ϕ(O′)ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(A)

= − ϕ(O)ϕ(O′) + ϕ(O)ϕ(A)

= − f (OO′) + f (OA)

= f (OA−OO′) (usando la linearità dif )

= f (O′A).


1.3 Esercizi 11

La stessa proprietà non vale seϕ è una trasformazione geometrica qualunquein quanto abbiamo utilizzato la linearità dif .

1.2.1 Il gruppo affine

Dalla Proposizione 1.18 segue immediatamente che la composizione di tra-sformazioni affini è una trasformazione affine ed allo stesso modo che l’inversadi una trasformazione affine è affine. L’insieme delle trasformazioni affini dauno spazio affine in se stesso forma quindi un sottogruppo del gruppo delletrasformazioni geometriche denotato con Aff(A).La geometria affine studia le proprietà delle figure in uno spazio affine cherimangonoinvarianti per trasformazioni affini.

1.3 Esercizi

1. SianoA1,A2, . . . ,An, n punti arbitrari di uno spazio affine. Un puntoG sichiamabaricentrose

GA1 +GA2 + · · · +GAn = 0.

• Dimostrare che seG esiste allora è unico.

• SiaO un qualsiasi punto dello spazio affine. Dimostrare cheOG ècaratterizzato dalla formula

OG=1n

(OA1 +OA2 + · · · +OAn)

Soluzione (1)Supponiamo esistaH con HA1 + HA2 + · · · + HAn = 0.Segue che 0= GA1 + GA2 + · · · + GAn − (HA1 + HA2 + · · · + HAn) =(GA1−HA1)+· · ·+(GAn−HAn) = (GA1+A1H)+· · ·+(GAn+AnH) = nGH,da cui la tesiG = H. (2) OG = OAi + AiG, ∀i = 1, . . . , n. Segue chenOG=

∑

OAi +∑

AiG =∑

OAi.

2. Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma si intersecano nelloro punto medio, cioè seAA′B′B è un parallelogramma e seM soddisfaAB′ = 2AM, alloraA′B = 2A′M.

3. Dati tre puntiA, B eC di un piano affine si consideri il baricentroG.



• Dimostrare cheG è il punto di incontro delle mediane del triangoloA, B,C e che divide ogni mediana in due parti una doppia dell’altra.

• Dimostrare che noti due vertici del triangolo ed il baricentro è notoil rimanente vertice.

4. Dimostrare che esiste un’unica retta affine contenente due dati puntiA, Bdi uno spazio affine.

5. Siaϕ : A → A′ una trasformazione affine. Dimostrare che l’applicazio-

ne indottaf : V → V′ è un isomorfismo.

6. Data una trasformazione affineϕ : A→ A un puntoM ∈ A si dice fissoseϕ(M) = M. Dimostrare cheϕ ha un unico punto fisso se e solo sel’isomorfismo indottof : V → V ha solo il punto fisso 0∈ V.

7. Dimostrare che una trasformazione affineϕ : A → A′ manda tre punti

allineati in tre punti allineati. Allineati significa che appartengono ad unastessa retta affine.

8. Determinare una trasformazione affine di un piano affine che mandi ivertici di un triangoloA, B,C sui loro punti simmetrici rispetto ai puntimedi dei lati opposti. Dove datoP il suo simmetrico rispetto aM è ilpuntoP′ tale cheMP+MP′ = 0. (Aiuto: fissare un sistema di riferimentoaffine utilizzando i puntiA, B,C).

9. Una trasformazione affine ϕ di un piano affine A in se stesso è unaprospettività se ha una retta affineF di punti fissi e se per ogni puntoA, B ∈ A i vettori Aϕ(A) e Bϕ(B) sono paralleli.

• Fissato un riferimento affine (O, e1, e2) sul piano conO ∈ F, e1

parallelo alla giacitura diF e e2 parallelo aAϕ(A), determinare leespressionix′1 = ϕ1(x1, x2), x′2 = ϕ2(x1, x2) della prospettività.

• Se rispetto ad un sistema di riferimento affine del piano una trasfor-mazione è data dax′1 = 4x1+ x2−5, x′2 = 6x1+3x2−10, dimostrareche è una prospettività.


2Generalita sugli spazieuclidei

2.1 Il prodotto scalare

Un prodotto scalaresu uno spazio vettorialeV è una forma bilineare

〈, 〉 : V × V → R

simmetrica e definita positiva, cioè tale che:

(a) 〈v,w〉 = 〈w, v〉 per tutti i v,w ∈ V;

(b) 〈v, v〉 ≥ 0 per tutti iv ∈ V e 〈v, v〉 = 0 se e solo sev = 0.

Definizione 2.1.Unospazio vettoriale euclideoè uno spazio vettoriale dotatodi un prodotto scalare.

Esempio 2.2.Lo spazioRn con il prodotto scalarecanonico

〈v,w〉 =n

∑

i=1

viwi

dovev = (v1, . . . , vn), w = (w1, . . . ,wn), è uno spazio vettoriale euclideo.


14 Generalità sugli spazi euclidei

Ricordiamo alcune definizioni e proprietà.

• Dato uno spazio vettoriale euclideo definiamo lanorma di un vettorev ∈ V come‖v‖ =

√〈v, v〉.

• Due vettoriv,w ∈ V si diconoperpendicolare o ortogonali (si scrivev ⊥ w) se〈v,w〉 = 0.

• Una baseB = {e1, . . . , en} si diceorto-normale se

〈ei , ej〉 = δi j =

1 sei = j

0 sei , j

cioè se i vettori della base hanno tutti norma 1 e sono a due a dueortogonali.

• Un vettorev ∈ V si decompone rispetto ad una base orto-normaleB ={e1, . . . , en} comev =

∑

i〈v, ei〉 ei.

• Rispetto ad una base orto-normale, il prodotto scalare tra due vettoriv =∑

i vi ei ew =∑

i wi ei si scrive, in forma matriciale, come

〈v,w〉 = XTY

doveX eY rappresentano i vettori colonna le cui entrate sono le compo-nenti div ew, rispettivamente.

Proposizione 2.3.Sia V uno spazio vettoriale euclideo e siano v,w ∈ V. Allorasi ha:

(a) la disuguaglianza diCauchy-Schwarz

|〈v,w〉| ≤ ‖v‖ ‖w‖

e l’uguale vale se e solamente se v e w sono linearmente dipendenti;

(b) la disuguaglianzatriangolare

‖v+ w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖;

(c) il teorema diPitagora: se v⊥ w, allora

‖v+ w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2.


2.1 Il prodotto scalare 15

Dimostrazione.(a) Dato un numero realeλ si ha, dalla positività del prodottoscalare, che per ogniv,w ∈ V

〈v+ λw, v+ λw〉 ≥ 0.

Espandendo quest’ultima si trova la disequazione quadratica inλ

〈w,w〉λ2 + 2〈v,w〉λ + 〈v, v〉 ≥ 0. (2.1)

Sew , 0, segue, per le note proprietà delle disequazioni di secondo grado, cheil discriminante dell’equazione associata è non positivo,cioè

〈v,w〉2 − 〈v, v〉〈w,w〉 ≤ 0.

Quest’ultima implica〈v,w〉2 ≤ ‖v‖2 ‖w‖2

da cui, estraendo la radice, si ha la tesi. Sew = 0 la disuguaglianza è banale.Dimostriamo adesso il caso in cui valga l’uguale. Sev e w sono linearmentedipendenti esiste un numeroλ tale chew = λv. Si ha quindi

|〈v,w〉| = |λ|〈v, v〉 = |λ| ‖v‖ ‖v‖ = ‖w‖ ‖v‖.

Viceversa, se|〈v,w〉| = ‖w‖ ‖v‖

il discriminante della (2.1) vale zero, da cui segue che esiste un unicoλ0 con

〈w,w〉λ20 + 2〈v,w〉λ0 + 〈v, v〉 = 0,

ovvero,〈v+ λ0w, v+ λ0w〉 = 0.

L’ultima equazione implica chev + λ0w = 0, quindiv e w sono linearmentedipendenti.(b) Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha

‖v+ w‖2 = 〈v+ w, v+ w〉 = 〈v, v〉 + 2〈v,w〉 + 〈w,w〉≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖ + ‖w‖2 = (‖v‖ + ‖w‖)2.

(c) Segue immediatamente dalla dimostrazione di (b). �



2.1.1 Proiezioni ortogonali

SiaV uno spazio vettoriale euclideo e siaW ⊂ V un suo sottospazio. Definiamoil complemento ortogonaledi W come

W⊥ = {v ∈ V : 〈v,w〉 = 0∀w ∈ W}.

È facile mostrare cheW⊥ è un sottospazio vettoriale. Inoltre lo spazio vettorialeV si decompone come somma diretta (dimostrarlo per esercizio)

V =W⊕W⊥. (2.2)

vW W

v⊥ v

Figura 2.1 – Proiezione div suW.

Sia v ∈ V un vettore e siaW un sottospaziovettoriale diV. Dalla decomposizione (2.2)segue chev si può scrivere come

v = vW + v⊥

con vW ∈ W e v⊥ ∈ W⊥. ChiamiamovW

la proiezione ortogonale di v su W. Sedim(W) = k e seB = {e1, . . . , ek} è una baseorto-normale diW, segue che

vW =

k∑

i=1

〈vW, ei〉 ei =

k∑

i=1

〈v, ei〉 ei.

La proiezione ortogonale di un vettorev su un sottospazioW si puòcaratterizzare come l’unico vettorevW ∈W tale che

〈vW,w〉 = 〈v,w〉 , ∀w ∈W. (2.3)

La dimostrazione dell’equivalenza tra le due definizioni diproiezione ortogo-nale è lasciata per esercizio.

La proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio ha la seguente in-terpretazione geometrica. Dato un vettorev ∈ V ed un sottoinsiemeS ⊂ Vdefiniamo la distanza div daS come

d(v,S) = infs∈S‖v− s‖.

SeS non è uno spazio vettoriale non è detto che l’inf sia raggiunto. Invece, nelcaso in cuiS sia un sottospazio vettoriale diV, si ha la seguente



Proposizione 2.4.Sia V uno spazio vettoriale euclideo, sia W⊂ V un sotto-spazio vettoriale e sia v∈ V. Allora

d(v,W) = ‖v− vW‖.

Dimostrazione.Sia w un vettore diW. Allora v − vW = v⊥ è ortogonale avW − w ∈W. Segue, dal Teorema di Pitagora, l’uguaglianza

‖v− w‖2 = ‖v− vW + (vW − w)‖2 = ‖v− vW‖2 + ‖vW − w‖2

la quale implica, sew , vW,

‖v− w‖2 > ‖v− vW‖2.

�

2.1.2 Il procedimento di Gram-Schmidt

Sia V uno spazio vettoriale euclideo e siaB = {v1, . . . , vn} una sua base. Ilprocedimento diGram-Schmidt permette di costruire, a partire dalla baseB,una base ortonormaleB′ = {e1, . . . , en}. Si procede nel modo seguente.

• Si poneu1 = v1.

• A partire dal vettorev2 si costruisce un vettore che sia combinazionelineare diu1 e v2 e sia perpendicolare al primo. Geometricamente bastasottrarre av2 la proiezione ortogonale div2 su u1. Se scriviamou2 =

v2 + λu1 la condizione〈u1, v2〉 = 0 implica cheλ = −〈u1, u2〉/‖u1‖2.Poniamo quindi

u2 = v2 −〈u1, v2〉‖u1‖2

u1 .

• In modo analogo si costruisce un vettoreu3 che sia combinazione linearedi u1, u2 e v3 e che sia perpendicolare ai primi due, Scrivendou3 =

v3 + λ1u1 + λ2u2 si orriene

u3 = v3 −〈u1, v3〉‖u1‖2

u1 −〈u2, v3〉‖u2‖2

u2 .

• Ripetendo il procedimento per tutti i vettori della baseB si ottiene unabase{u1, . . . , un} costituita da vettori a due a due ortogonali. Dividendociascuno degliui per la corrispondente norma, si ottiene la base ortonor-maleB′ = {e1, . . . , en} conei = u1/‖ui‖, i = 1, . . .n.



2.1.3 Applicazioni della proiezione ortogonale

La Proposizione 2.4 si applica in molte situazioni in cui si debba determinare,di una data famiglia di oggetti, quello più vicino ad un altrodato. Vediamoqualche esempio.

Esempio 2.5.Determinare la successione aritmetica i cui primi tre terminimeglio approssimano la terna (3, 4, 6). Una successione aritmetica è data daan = a0 + nd ed i primi tre termini sono

(a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d)

i quali si possono decomporre come

(a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d) = a0(1, 1, 1)+ d(1, 2, 3).

Possiamo quindi pensare la ternav = (3, 4, 6) come un vettore dello spazio vet-torialeR3 dotato del prodotto scalare canonico, mentre i vettorie1 = (1, 1, 1) ee2 = (1, 2, 3) generano un sottospazio vettorialeW = L((1, 1, 1), (1, 2, 3)) ⊂ R3

che coincide con lo spazio dei primi tre termini di una successione aritmeti-ca. Segue dalla Proposizione 2.4 che la terna che meglio approssima la ternav = (3, 4, 6) è la proiezione ortogonale div suW. SiavW = a0e1 + de2 allora,dalla (2.3),a0 ed sono soluzioni del sistema

〈vW, e1〉 = 〈v, e1〉〈vW, e2〉 = 〈v, e2〉

cioè

3a0 + 6d = 13

6a0 + 14d = 29

la cui soluzione èa0 = 4/3 ed = 3/2.

Esempio 2.6.Sullo spazio delle funzioni continueC([a, b],R) si può definireil seguente prodotto scalare. Sianof , g : [a, b] → R due funzioni continue.Definiamo il prodotto scalare traf eg come

( f , g) =∫ b

af (x)g(x)dx. (2.4)

Lasciamo per esercizio la dimostrazione che la (2.4) definisce un prodottoscalare suC([a, b],R)



Si consideri il seguente problema:determinare tra tutti i polinomi di primogrado definiti in[0, 1] quello che meglio approssima il polinomio x2.Per risolvere il problema possiamo pensare lo spazio dei polinomi di primogrado come il sottospazioW delle funzioni continue da [0, 1] in R generatodalle funzionix→ 1 e x→ x, cioè

W = L(1, x) ⊂ C([1, 0],R).

Dalla Proposizione 2.4 il polinomio cercato è dato dalla proiezione ortogonaledella funzionef (x) = x2 suW. Sia fW = ax+ b la proiezione dif suW, allora,dalla (2.3),a eb sono soluzioni del sistema

( fW, 1) = ( f , 1)

( fW, x) = ( f , x)

cioè

a/2+ b = 1/3

a/3+ b/2 = 1/4

le cui soluzioni sonoa = 1 e b = −1/6. Si veda in, Figura 2.2, la rappre-sentazione grafica della funzioney = x2 e della approssimazioney = x −1/6.

1

y=x2

y=x− 16

Figura 2.2 – Approssimazione della funzionex2.



2.2 Spazi euclidei

Definizione 2.7.Uno spazio affine euclideo(o semplicemente spazio eucli-deo) è uno spazio affine (E,V, η) il cui spazio vettoriale associato è uno spaziovettoriale euclideo.

A differenza di uno spazio affine in uno spazio euclideo è possibile definire ilconcetto didistanza tra due punti. Ricordiamo che una distanza suE è unafunzioned : E × E→ R che soddisfa alle seguenti proprietà:

(i) d(A, B) = d(B,A)

(ii) d(A, B) ≥ 0 ed(A, B) = 0 se e solo seA = B

(iii) d(A, B) ≤ d(A,C) + d(C, B) (disuguaglianza triangolare) .

Se adesso definiamo

d(A, B) = ‖AB‖ , A, B ∈ E (2.5)

è facile verificare che la (2.5) soddisfa alle proprietà (i)–(iii): la dimostrazionedelle quali segue dalle proprietà del prodotto scalare (quali la disuguaglianzadi Cauchy-Schwarz) ed è lasciata come esercizio. Si osserviinoltre che l’ugua-glianza nella disuguaglianza triangolare vale se e solo se ipunti A, B,C sonoallineati (nel senso che appartengono ad una stessa retta affine) eC si trova traA e B.

2.2.1 Coordinate ortogonali

Seguendo lo stesso procedimento fatto negli spazi affini dotiamo uno spazioeuclideo di coordinate. Sia (E,V, η) uno spazio euclideo. Fissato un puntoO ∈E ad ogni altro puntoA ∈ E resta associato un unico vettoreOA ∈ V. Sceltauna baseB = {e1, . . . , en} orto-normale dello spazio vettorialeV il vettoreOAammette un unica decomposizione rispettoB:

OA= a1e1 + · · · + anen, ai ∈ R.

Definizione 2.8.Definiamocoordinate ortogonali (o cartesiane) del puntoA rispetto alla base orto-normaleB ed al puntoO la n-pla (a1, . . . , an) dellecomponenti del vettoreOA rispetto alla baseB. La coppia (O,B) prende ilnome diriferimento ortogonale (o cartesiano).


2.2 Spazi euclidei 21

Le coordinate ortogonali sono un caso speciale delle coordinate affini. In par-ticolare, tute le formule valide per le coordinate affini continuano a valere perquelle ortogonali. Naturalmente nel caso delle coordinateortogonali valgonodelle proprietà peculiari. Per esempio, per i cambiamenti di coordinate si ha:

Proposizione 2.9.Sia (E,V, η) uno spazio euclideo e siano(O,B) e (O′,B′)due riferimenti ortogonali. Allora per ogni A∈ E si ha

AO′,B′ = M(AO,B −O′O,B),

dove la matrice M del cambiamento di base soddisfa alla relazione

MT M = MMT = Id .

Dimostrazione.Basta dimostrare che la matrice di passaggio da una base orto-normale ad una base orto-normale soddisfa alla condizioneMT M = MMT =

Id. Per definizione, postoM = (mi j ), si ha

ei =∑

k

mki e′k

Segue che

δi j = 〈ei , ej〉 = 〈∑

k

mki e′k,

∑

ℓ

mℓ j e′ℓ〉 =

∑

k

∑

ℓ

mki mℓ j〈e′k, e′ℓ〉

=∑

k

∑

ℓ

mki mℓ j δkℓ

=∑

k

mki mk j

dalla quale segue, per la definizione di prodotto di matrici,cheMT M = Id. �

Le matrici soddisfacenti alla condizioneMT M = Id sono dette matriciorto-gonali è formano un gruppo, rispetto alla moltiplicazione di matrici, comune-mente denotato conO(n) e chiamatogruppo ortogonale.

2.2.2 Trasformazioni ortogonali

SianoV eW due spazi vettoriali euclidei di dimensionen. Denotiamo con〈, 〉Ve 〈, 〉W i prodotti scalari suV e W rispettivamente.



Definizione 2.10.Un isomorfismof : V → W è detto un’isometria lineare otrasformazione ortogonalese

〈v,w〉V = 〈 f (v), f (w)〉W

per ogniv,w ∈ V.

Osservazione2.11. Per verificare che un isomorfismof : V → W sia un’iso-metria lineare è sufficiente mostrare che

‖v‖V = ‖ f (v)‖W ∀v ∈ V.

Infatti il prodotto scalare si può descrivere in funzione della norma di opportunivettori come mostra la seguente formula:

〈v,w〉 = 14

(

‖v+ w‖2 − ‖v− w‖2)

.

Data una trasformazione ortogonalef : V →W la matrice associata, rispetto adue basi orto-normali diV e W, è una matrice ortogonale. La dimostrazione èsimile a quella della Proposizione 2.9 e viene lasciata per esercizio.

2.2.3 Endomorfismi simmetrici

Diamo la seguente

Definizione 2.12.SiaV uno spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismof :V → V si dicesimmetrico se per ogniv,w ∈ V vale la seguente identità:

〈v, f (w)〉 = 〈 f (v),w〉 .

Gli endomorfismi simmetrici, come avremo modo di vedere nei prossimi capi-toli, hanno un ruolo fondamentale nella descrizione e classificazione di alcunecurve notevoli.

Una proprietà semplice, che in parte giustifica il nome, afferma che la matriceassociata ad un endomorfismo simmetrico rispetto ad una baseortonormale diV è simmetrica. Lasciamo la dimostrazione di questo fatto peresercizio.



La proprietà più importante degli endomorfismi simmetrici èche sono dia-gonalizzabili. Per dimostrarlo verifichiamo per primo che tutti gli autovalorisono reali ed in seguito mostriamo che esiste una base dello spazio vettorialeV costituita da autovettori dell’endomorfismo simmetricof .

Proposizione 2.13.Sia f : V → V un endomorfismo simmetrico di uno spaziovettoriale euclideo. Allora tutti gli autovalori sono reali.

Dimostrazione.Supponiamo cheλ sia un autovalore e scriviamoλ = a + ib,cona, b ∈ R e i l’unità immaginaria. Sia adessov , 0 un autovettore relativoall’autovaloreλ. Rispetto ad una baseB = {e1, . . . , en} di V possiamo scriverev =

∑nj=1(xj + iy j)ej, xi , yj ∈ R. Sia X =

∑nj=1 xjej e Y =

∑nj=1 yjej. Allora

v = X + iY. La condizionef (v) = λv diventa f (X + iY) = (a+ ib)(X + iY) cioè

f (X) + i f (Y) = aX− bY+ i(bX+ aY) ,

la quale implica che

f (X) = aX− bY

f (Y) = bX+ aY .

Segue che〈Y, f (X)〉 = 〈Y, aX− bY〉 = a〈Y,X〉 − b〈Y,Y〉

e〈 f (Y),X〉 = 〈bX+ aY,X〉 = a〈Y,X〉 + b〈X,X〉 .

Usando la simmetria dif si ottiene

b (‖X‖2 + ‖Y‖2) = 0 .

L’ultima equazione, essendo‖X‖2 + ‖Y‖2 , 0, implica cheb = 0 da cui latesi. �

Siamo pronti per enunciare l’importante

Teorema 2.14.Sia f : V → V un endomorfismo simmetrico di uno spaziovettoriale euclideo. Allora f è diagonalizzabile.

Dimostrazione.Dimostriamo il teorema per induzione sulla dimensionen del-lo spazio vettorialeV. Sian = 1 e siaλ un autovalore dif . Per la Proposi-zione 2.13λ ∈ R. Sia adessov un autovettore relativo all’autovaloreλ, allora



B = {v} costituisce una base diV formata da autovettori dif . Supponiamoadesso che la tesi valga quando la dimensione diV è n− 1 e dimostriamo chevale quando la dimensione diV èn. Siaλ un autovalore dif (necessariamentereale) e siau un autovettore relativo aλ. Sia adessou⊥ = {v ∈ V : 〈v, u〉 = 0} ilcomplemento ortogonale diu in V. La dimensione diu⊥ è (n− 1) ed inoltre sev ∈ u⊥, usando la simmetria dif , si ha

〈 f (v), u〉 = 〈v, f (u)〉 = λ〈v, u〉 = λ 0 = 0 ,

dalla quale segue chef è un endomorfismo diu⊥. Siccomeu⊥ è un sottospaziovettoriale diV ed f : V → V è simmetrico,f : u⊥ → u⊥ è un endomorfismosimmetrico. Per ipotesi induttiva, esiste una baseB′ = {u1, . . .un−1} di u⊥

costituita da autovettori dif . In fine, essendou ortogonale a tutti gli elementidella baseB′, l’insieme{u1, . . . , un−1, u} costituisce una base diV formata, percostruzione, da autovettori dif . �

2.2.4 Trasformazioni euclide ed isometrie

SianoE eE′ due spazi euclidei e siaϕ : E→ E′ una trasformazione geometrica.

La trasformazione geometricaϕ è:

(a) un’isometria sed(A, B) = d(ϕ(A), ϕ(B)) per ogniA, B ∈ E;

(b) unatrasformazione euclidease esistono due riferimenti ortogonali (O,B)e (O′,B′) di E eE′ rispettivamente, tali che, per ogniA ∈ E, le coordinatedel puntoA rispetto al riferimento (O,B) e le coordinate del puntoϕ(A)rispetto al riferimento (O′,B′) coincidono.

Usando la notazione matriciale, una trasformazione euclidea, rispetto a dueriferimenti orto-normali qualsiasi diE eE

′, si scrive come

X′O′,B′ = MXO,B + β

doveM = (mi j ) rappresenta una matrice ortogonale eβ un vettore colonna.

Proposizione 2.15.Una trasformazione euclideaϕ : E → E′ induce un’iso-

metria lineare f : V → W. Viceversa, data un’isometria lineare f: V → W edue punti O∈ E e O′ ∈ E′, esiste un unica trasformazione euclideaϕ : E→ E

′

tale cheϕ(O) = O′.



Dimostrazione.Supponiamo cheϕ : E→ E′ sia una trasformazione euclidea e

mostriamo che l’isomorfismo indottof : V →W è un’isometria lineare. Infattisiav ∈ V e sianoA, B ∈ E conv = AB. SianoX,Y e X′,Y′ i vettori colonnadelle componenti diA, B e A′ = ϕ(A), B′ = ϕ(B) rispetto a due riferimentiorto-normali diE eE′ rispettivamente. Allora si ha

X′ = MX + β e Y′ = MY+ β

conM matrice ortogonale eβ ∈ Rn. Segue che

f (v) = ϕ(A)ϕ(B) = A′B′ = Y′ − X′ = MY− MX = M(Y − X)

Infine

‖ f (v)‖2W = 〈 f (v), f (v)〉W= 〈M(Y − X),M(Y − X)〉W = (Y − X)T MT M(Y− X)

= (Y− X)T(Y− X) = 〈(Y − X), (Y − X)〉V= 〈v, v〉V = ‖v‖2V.

Mostriamo il viceversa. Siaf : V → W un’isometria lineare e sianoO ∈ E

e O′ ∈ E′. SiaB = {e1, . . . , en} una base orto-normale diV. Allora (O,B) è

un riferimento ortogonale inE. Siccomef conserva il prodotto scalare seguecheB′ = { f (e1), . . . , f (en)} è una base orto-normale diW. Quindi (O′,B′) è unriferimento ortogonale inE′. Per costruzioneϕ(A) = A′ con f (OA) = O′A′.Siano (a1, . . . , an) le coordinate diA, cioèOA =

∑

i ai ei. Dalla linearità di fsegue che

O′A′ = f (OA) = f (∑

i

ai ei) =∑

i

ai f (ei).

Quindi A ed A′ hanno le stesse coordinate rispetto ai riferimenti ortogonali(O,B) e (O′,B′). �

Mostriamo adesso che i concetti di isometria e trasformazione euclidea coinci-dono.

Teorema 2.16.Una trasformazione geometricaϕ : E → E′ è un’isometria se

e solo se è una trasformazione euclidea.



Dimostrazione.Supponiamo cheϕ : E → E′ sia una trasformazione euclidea

e sia f : V → W l’isometria lineare indotta. Mostriamo cheϕ è un’isometria.SianoA, B ∈ E e sianoA′ = ϕ(A) e B′ = ϕ(B), allora

d(A′, B′) = ‖A′B′‖W = ‖ϕ(A)ϕ(B)‖W = ‖ f (AB)‖W = ‖AB‖V = d(A, B).

Viceversa, supponiamo cheϕ : E → E′ sia un’isometria e sianoO ∈ E e

O′ = ϕ(O) ∈ E′. Mostriamo cheϕ è una trasformazione euclidea. Basta

mostrare cheϕ induce un’isometria linearef : V → W. Mostriamo per primoche f conserva il prodotto scalare. Per ogniv,w ∈ V conv = OA e w = OB,A, B ∈ E, si ha

‖v‖ = ‖OA‖ = d(O,A) = d(ϕ(O), ϕ(A)) = ‖ϕ(O)ϕ(A)‖= ‖ f (v)‖ (2.6)

‖v− w‖ = ‖OA−OB‖ = ‖BO+OA‖ = ‖BA‖ = d(B,A) = d(ϕ(B), ϕ(A))

= ‖ϕ(B)ϕ(A)‖ = ‖ϕ(B)ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(A)‖ = ‖ϕ(O)ϕ(A) − ϕ(O)ϕ(B)‖= ‖ f (v) − f (w)‖ (2.7)

Confrontando le identità, valide per qualunquev,w ∈ V,

‖v− w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2〈v,w〉‖ f (v) − f (w)‖2 = ‖ f (v)‖2 + ‖ f (w)‖2 − 2〈 f (v), f (w)〉

ed utilizzando le (2.6)–(2.7) segue che

〈v,w〉 = 〈 f (v), f (w)〉.

Per terminare la dimostrazione mostriamo chef è lineare. A tal scopo, siaB ={e1, . . . , en} una base orto-normale diV. Siccomef conserva il prodotto scalaresegue cheB′ = { f (e1), . . . , f (en)} è una base orto-normale diW. Adesso, perqualunquev,w ∈ V e per tutti gliei ∈ B, si ha

〈 f (ei), f (v+ w) − f (v) − f (w)〉 = 〈 f (ei), f (v+ w)〉 − 〈 f (ei), f (v)〉−〈 f (ei), f (w)〉

= 〈ei , v+ w〉 − 〈ei , v〉 − 〈ei ,w〉 = 0

dalla quale segue chef (v+w) = f (v)+ f (w). Allo stesso modo si dimostra chef (λv) = λ f (v), λ ∈ R. �


2.3 Esercizi 27

2.2.5 Il gruppo delle isometrie

Si vede immediatamente che la composizione di isometrie è una isometria edallo stesso modo l’inversa di una isometria è una isometria.L’insieme delleisometrie da uno spazio euclideoE in se stesso forma quindi un sottogruppodel gruppo delle trasformazioni geometriche denotato con Iso(E).La geometria euclideastudia le proprietà delle figure in uno spazio euclideoche rimangonoinvarianti per isometrie.

2.3 Esercizi

1. Perchè il metodo delle proiezioni ortogonali non funziona se vogliamotrovare la successione geometrica che meglio approssima (1, 1, 2)?

2. Trovare l’equazione esplicita della retta (y = ax+ b) che meglio appros-sima i punti (0, 0), (1, 1), (2, 1). Si illustri il risultato graficamente.

3. Si trovi una formula che descriva la pendenza di una retta per l’origineche meglio approssima i punti (1, x1), (2, x2), . . . , (n, xn).

4. Trovare la parabolay = ax2 + bx + c che meglio approssima i punti(−2, 0), (−1, 0),(0, 1),(1, 1) e (2, 2).

5. Sianoe1, e2, . . . , er , r vettori di Rn, r < n, diversi da 0 ed a due a dueortogonali. Siav un vettore diRn e sianov1, v2, . . . , vr le proiezioni orto-gonali div sugli spazi generati dae1, e2, . . . , er rispettivamente. Mostrareche la proiezione div suL(e1, e2, . . . , er) èv1 + v2 + · · · + vr .

6. Sianoe1, e2, . . . , ek, k vettori ortogonali diRn. Postoai = 〈v, ei〉, v ∈ Rn,mostrare che

k∑

i=1

a2i

‖ei‖2≤ 〈v, v〉.

7. Considerato lo spazioC([0, 2π],R) con il prodotto scalare standard, mo-strare che le funzioni

1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x, . . . , sinnx, cosnx

sono ortogonali.



8. Mostrare che inC([−1, 1],R) le funzioni 1, x, 3x2 − 1 sono ortogonali.Si trovi quindi la parabolay = ax2 + bx+ c che meglio approssima lafunzioney = x4.

9. SiaV = R2 con il prodotto scalare canonico e si pensiV come uno spazioeuclideo.

• Si considerino le basiB = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} eB′ = {e′1 =(1/√

2, 1/√

2), e′2 = (−1/√

2, 1/√

2)}. Determinare l’espressione,in coordinate, dell’isometriaϕ : V → V tale chef (ei) = e′i , i = 1, 2,eϕ(0, 0) = (2, 3). Qui f denota l’isometria lineare indotta.

• L’applicazioneϕ : R2 → R2 definita daϕ(x1, x2) = (−x2 − 1, x1)è un’isometria. Se si determinare due riferimenti (O,B) e (O′,B′)rispetto ai qualiϕ è l’identità.


3Geometria euclidea delpiano e dello spazio

In questo capitolo analizziamo in dettaglio il caso in cui lospazio euclideo siadi dimensione 2 o 3.

3.1 Riferimento Cartesiano nello spazio

SiaE2 l’insieme dei punti del piano edE3 l’insieme dei punti dello spazio. PerdotareE3 della struttura di spazio affine consideriamo lo spazio vettorialeVdei vettori liberi dello spazio. In questo caso l’applicazioneη : E3 × E

3 → Vassocia a due puntiP eP′ il vettore liberov la cui direzione, lunghezza, e versosono definiti dal segmento orientatoPP′.Dalla definizione di somma dei vettori liberi risulta che

(i) fissato un puntoP ∈ E3, per ogni vettore liberov esiste un unicoP′ ∈ E3

tale chev = PP′;

(ii) per ogniP,P′,P′′ ∈ E3 vale la relazionePP′′ = PP′ + P′P′′.

Segue che la terna (E3,V, η), appena definita, soddisfa la Definizione 1.1 e quin-di costituisce uno spazio affine. In realtà la definizione di spazio affine è stata


30 Geometria euclidea del piano e dello spazio

P′

P

v

(a)

P P′

P′′

(b)

Figura 3.1 – (a) Segmento orientato. (b) Somma di vettori.

formulata imitando e generalizzando lo spazio vettoriale dei vettori liberi asso-ciato all’insieme dei punti dello spazio.

θ

w

v

Figura 3.2 – Angolo tra due vettori.

Inoltre l’usuale formula del prodottoscalare dei vettori liberi dello spazio

〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖ cosθ, (3.1)

doveθ è l’angolo tra i vettori (si vedala Figura 3.2) mentre‖v‖ e ‖w‖ sonole lunghezze dei vettoriv e w, rendeE

3 uno spazio euclideo.Come visto nel capitolo preceden-te, dato un puntoO ∈ E e una base{e1, e2, e3} dello spazio deivettori liberi definiamo le coordinate affini di un punto P ∈ E co-me le componenti del vettoreOP rispetto alla base{e1, e2, e3}. CioèP ha coordinate affini P = (x, y, z) se OP = xe1 + ye2 + ze3.

i j

k

Figura 3.3 – La base canonica orientata po-sitivamente dei vettori dellospazio.

Esiste una base notevole dello spa-zio dei vettori liberi, dettabase ca-nonica, è costituita da tre vettoriorto-normali {i, j , k} orientati positi-vamente. Con orientati positivamen-te intendiamo che, osservato dal vet-tore k, il vettore i ruota, per sovrap-porsi a j seguendo l’angolo più pic-colo, in senso antiorario (si veda laFigura 4.5).


3.1 Riferimento Cartesiano nello spazio 31

Ricordiamo che, rispetto alla base ca-nonica{i, j , k}, il prodotto scalare edil prodotto vettoriale di due vettoriv = v1i + v2j + v3k e w = w1i + w2j + w3k sono dati da

〈v,w〉 = v1w1 + v2w2 + v3w3

v∧ w =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Dalla (3.1) risulta, inoltre, che la lunghezza di un vettoree l’angolo tra duevettori sono dati dalle formule

‖v‖ =√

〈v, v〉 =√

v21 + v2

2 + v23 (3.2)

cosθ =〈v,w〉‖v‖ ‖w‖ =

v1w1 + v2w2 + v3w3√

v21 + v2

2 + v23

√

w21 + w2

2 + w23

. (3.3)

Sev è un versore (cioè ha norma 1) si ha che

v = 〈v, i〉i + 〈v, j 〉j + 〈v, k〉k = cosγ1 i + cosγ2 j + cosγ3 k (3.4)

doveγ1, γ2 e γ3 sono gli angoli che il vettorev forma con i vettori di basei, jek rispettivamente. I numeri (cosγ1, cosγ2, cosγ3) sono detticoseni direttoridella direzione del vettorev e soddisfano la relazione, che segue dal fatto che‖v‖ = 1,

cosγ21 + cosγ2

2 + cosγ23 = 1.

Definizione 3.1.Le coordinate affini di un puntoP0 rispetto alla base canoni-ca {i, j , k} sono chiamatecoordinate cartesiane ortogonali(o semplicementecoordinate cartesiane) (Si veda la Figura 3.4). Le tre retteorientate passantiperO e parallele ai tre vettori{i, j , k} sono chiamateassi cartesiani.

Nel seguito, se non indicato diversamente, considereremo lo spazioE3 dota-to delle coordinate cartesiane. Si deve comunque osservareche molte dellecostruzioni continuano a valere nel caso si considerino coordinate affini dellospazio, cioè coordinate rispetto ad una base qualsiasi dello spazio dei vettoriliberi non necessariamente orto-normale.



x y

z

i j

k

x0 i

y0 j

z0 k

P0b

O

Figura 3.4 – Coordinate cartesiane.

Distanza tra due punti.

Fissato un riferimento cartesiano, sianoP1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2)due punti. Dall’Osservazione 1.15 segue che il vettoreP1P2 ha componentiP1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). La distanza traP1 e P2, definita nella (2.5),diventa

d(P1,P2) = ‖P1P2‖ =√

〈P1P2,P1P2〉 =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Punto medio di un segmento.

Fissato un riferimento affine, sianoP1 = (x1, y1, z1) eP2 = (x2, y2, z2) due punti.Si definiscepunto medio M di P1 e P2 il punto sulla retta passante perP1 e P2

tale cheP1M + P2M = 0.

Segue che le coordinate (Mx,My,Mz) del punto medio soddisfano

0 = P1M + P2M = (x1 + x2 − 2Mx, y1 + y2 − 2My, z1 + z2 − 2Mz)

cioèM =

( x1 + x2

2,y1 + y2

2,z1 + z2

2

)

.


3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio 33

Si osservi che in uno spazio euclideoM è il punto medio seP1M eP2M hannostessa direzione, stessa lunghezza ma verso opposto (si veda la Figura 3.5).

x y

z

O

P1

P2M

b

b

b

Figura 3.5 – Punto medio di un segmento.

3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio

3.2.1 La retta affine

Una retta affine r dello spazio euclideo è un sottospazio affine di dimensione1. Questo vuol dire che dato un sottospazioV1 di dimensione 1 dello spaziovettoriale dei vettori liberi ed un puntoP0 dello spazio, esiste, in accordo conla Proposizione 1.6, un unica retta affine passante perP0 e con giacituraV1 (siveda la Figura 3.6).Lo spazioV1 è generato da un vettoreu , 0. Sia adessoP un punto dellospazio. Dalla definizione il puntoP appartiene alla rettar se e solamente se ilvettoreP0P è parallelo al vettoreu. Vettorialmente si ha cheP ∈ r se e solo seesiste un numerot ∈ R tale che

P0P = tu, equivalentemente P = P0 + tu.

SeP0 ha coordinateP0 = (x0, y0, z0) ed il vettoreu ha componentiu = (l,m, n)allora un puntoP = (x, y, z) appartiene adr se e solo se esistet ∈ R tale che



xy

z

O

u

V1

b

P0

r

b

P

Figura 3.6 – Retta affine.

x = x0 + l t

y = y0 +m t

z= z0 + n t

(3.5)

L’equazioneP = P0+ tu prende il nome diequazione parametrica della rettaed esprime le coordinate dei puntiP, appartenenti alla rettar passante perP0

e parallela al vettoreu, in funzione di un parametro realet. Le componenti delvettoreu si chiamanocoefficienti direttori della rettar.

Osservazione3.2. L’equazione parametrica di una retta ha carattere affine, nelsenso che la sua espressione vale in coordinate affini.

3.2.2 Geometria piana della retta

Nel caso si consideri solamente il piano euclideoE2 tutte le costruzioni vi-

ste sino ad ora sono identiche. Bisognerà esclusivamente utilizzare i vettori{i, j } della base canonica cosí che i punti avranno solamente due coordinate.L’equazione parametrica della retta diventa, in questo caso,

x = x0 + lt

y = y0 +mt.



Eliminando il parametrot dalle equazioni precedenti (supponendo chel e msiano entrambi diversi da 0) si trova

x− x0

l=

y− y0

m. (3.6)

L’equazione (3.6) fornisce un legame tra le coordinate di unpunto genericoP = (x, y) che appartiene alla rettar. Cioè un puntoP = (x, y) appartiene allaretta r se e solo se le sue coordinate soddisfanno alla (3.6). La (3.6) si puòriscrivere nella forma

m(x− x0) − l(y− y0) = 0

o, equivalentemente,mx− ly −mx0 + ly0 = 0.

Se adesso poniamoa = m, b = −l ec = −mx0 + ly0 si ottiene l’equazione

ax+ by+ c = 0, (3.7)

che prende il nome diequazione cartesianadella retta nel piano. Andiamo adanalizzare l’equazione cartesiana della retta nei casi, esclusi in precedenza, incui l = −b o m= a siano uguali a zero:a = 0, b , 0. In questo caso l’equazione diventaby+ c = 0, cioèy = −c/b =costante. Tutti i punti della retta hanno la stessa ordinata, mentre l’ascissa (noncomparendo nell’equazione) può essere qualunque. Si tratta quindi di una rettaorizzontale (si veda la Figura 3.7 (a)). Sec = 0 si ottiene l’equazione dell’assedelle ascisse (dellex) y = 0.a , 0, b = 0. L’equazione diventaax+ c = 0, cioèx = −c/a = costante. Inquesto caso si tratta di una retta verticale (si veda la Figura 3.7 (b)).Si osservi che data una retta di equazione cartesianaax+ by+ c = 0 il vettoren = (a, b) risulta perpendicolare alla retta. Infatti, il vettore direzionale dellaretta èu = (l,m) = (−b, a) da cui segue che〈u, n〉 = 0.

Retta per due punti

Dati due puntiP1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) esiste una ed una sola rettarpassante perP1 e P2. Per determinare l’equazione della rettar usiamo la (3.6).Essendo i puntiP1 eP2 appartenenti alla retta, il vettoreP1P2 = (x2−x1, y2−y1)ha la stessa direzione della retta e possiamo dunque scegliere u = (l,m) =



x

y

y=cost.

(a)

x

y

x=cost.

(b)

Figura 3.7 – (a) Retta orizzontale. (b) Retta verticale.

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1). Infine, scegliendoP0 = P1 e sostituendol = x2 − x1,m= y2 − y1 nella (3.6), si ottiene

x− x1

x2 − x1=

y− y1

y2 − y1. (3.8)

L’equazione (3.8) è equivalente alla∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x1 y− y1

x2 − x1 y2 − y1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

o, equivalentemente, alla∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 . (3.9)

Dalla (3.9) si deduce la

Proposizione 3.3.Tre punti P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) delpiano sono allineati se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.10)

Equazione esplicita della retta

Seb = 0 abbiamo visto che l’equazione cartesianaax+ by+ c = 0 rappresentauna retta verticale. Se escludiamo questo caso, cioè se imponiamo b , 0,



l’equazione cartesiana si può scrivere nella forma

y = −ab

x− cb. (3.11)

Ponendoη = −a/b eq = −c/b, la (3.11) diventa

y = ηx+ q (3.12)

che prende il nome diequazione esplicitadella retta. I coefficientiη eq hannoentrambi un significato geometrico.

Significato diq. Data una retta di equazioney = ηx+q determiniamo le coordi-nate dell’intersezione della retta con l’asse delle ordinate. L’asse delle ordinateha equazionex = 0, quindi per trovare il punto di intersezione dobbiamo porrex = 0 nell’equazione della retta, ottenendo cosi il punto di coordinate (0, q).Dunqueq rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’assedelley ed è chiamataintercetta (si veda la Figura 3.8 (a)).

x

y

q

(a)

x

yP

Oθ

1

η

η

(b)

Figura 3.8 – (a) Significato diq. (b) Significato diη.

Significato di η. Per comprendere il significato diη consideriamo la retta diequazioney = ηx. La retta passa per l’origine e per il puntoP = (1, η) comemostra la Figura 3.8 (b). Mostriamo che il coefficienteη, chiamatocoefficienteangolare, determina l’angoloθ che la retta forma con la direzione positiva del-l’asse dellex. Dalla Figura 3.8 (b), utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli,risulta che:

1 = ||OP|| cosθ e η = ||OP|| sinθ.



Esplicitando||OP|| dalla prima si ottiene:

||OP|| = 1cosθ

che sostituita nella seconda fornisce il legame desiderato:

η =sinθcosθ

= tanθ.

Posizione di due rette e coefficiente angolare

Sia r una retta nel piano di equazione esplicitay = ηx + q. Dati due puntiPe P′ appartenenti alla retta il vettorePP′ è un vettore direzionale per la rettar. Una verifica diretta (sostituendo le coordinate e verificando che soddisfa-no all’equazione della retta) mostra che i puntiP = (0, q) e P′ = (1, η + q)appartengono alla rettar, quindi possiamo scegliere come vettore direzionaleu = PP′ = (1, η).Se adesso consideriamo due retter e r ′ di equazione

r : y = ηx+ q, r ′ : y = η′x+ q′

i corrispondenti vettori direzionali sono

u = (1, η), u′ = (1, η′).

Se le retter edr ′ sono parallele, allora i vettori direzionali sono proporzionali,cioè esisteλ ∈ R, λ , 0, tale cheu = λu′ o equivalentemente (1, η) = (λ, λη′).Segue cheλ = 1 eη = η′. Abbiamo così dimostrato che

r è parallele ar ′ se e solo se η′ = η

Se le retter ed r ′ sono perpendicolari, allora i vettori direzionali sono perpen-dicolare, cioè〈u, u′〉 = 〈(1, η), (1, η′)〉 = 1+ ηη′ = 0. Si ha quindi

r è perpendicolare ar ′ se e solo se η′η = −1

Fascio di rette

Date due retter e r ′ di equazione cartesianaax+ by+ c = 0 ea′x+ b′y+ c′ =si consideri l’equazione

Fλ,µ = λ(ax+ by+ c) + µ(a′x+ b′y+ c′) = 0



conλ, µ ∈ R e (λ, µ) , (0, 0). ChiaramenteFλ,µ = 0 rappresenta l’equazionedi una retta per ogni valore diλ e µ. L’equazioneFλ,µ = 0 prende il nome diequazione omogenea del fascio di rettementre le retter ed r ′ rappresentanole rette basedel fascio. I fasci si dividono in due tipi:

• Fasci propri. In questo caso le rette base del fascio si intersecano inun punto, dettocentro del fascio e tutte le rette del fascio passano per ilcentro.

• Fasci impropri . In questo caso le rette base del fascio sono parallele, etutte le rette del fascio sono parallele alle rette base. Come caso parti-colare si trova quello in cui le rette base coincidono e quindi coincidonotutte le rette del fascio.

Tutte le rette di un fascio proprio di centroP0 = (x0, y0), tranne quella verticale,si possono descrivere dall’equazione

y− y0 = η(x− x0) (3.13)

che rappresenta la generica retta passante perP0 e con coefficiente angolareη.Noto il coefficiente angolare, comune alle rette base di un fascio improprio,quest’ultimo ha equazione del tipo

y = ηx+ k ,

doveη è fissato mentrek varia.

Osservazione3.4. I fasci di rette sono utili per risolvere alcuni problemi geo-metrici. Mostriamo come utilizzare il fascio proprio per determinare, assegnatauna rettar di equazioney = ηx+q, una rettar ′ ortogonale adr e passante per ilpuntoP0 = (x0, y0). Le rette passanti perP0 = (x0, y0) sono descritte dal fascioproprioy− y0 = η

′(x − x0) conη′ che varia. Essendo la rettar ′ ortogonale arrisulta cheη′ = −1

η, da cui l’equazione della retta cercata è

y− y0 = −1η

(x− x0).

Distanza di un punto da una retta

SiaP0 = (x0, y0) un punto del piano e siar la retta di equazioneax+by+c = 0,allora la distanza diP0 dalla rettar è data da

d(P0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.



Per dimostrare la formula si procede nel modo seguente. Si determina la rettar ′ perP0 ortogonale alla rettar. Chiamata conH l’intersezione dir e r ′, si hached(P0, r) = d(P0,H) (si veda la Figura 3.9).

x

y

bH

bP0

r

r ′

Figura 3.9 – La distanza diP0 dar.

Sia u = (a, b). Allora la rettar haequazione cartesiana〈P, u〉 + c = 0mentrer ′ ha equazione parametricaP = P0 + tu. Intersecandor con r ′

si ottiene

0 = 〈P0+tu, u〉+c = 〈P0, u〉+c+‖u‖2t

da cui

tH = −〈P0, u〉 + c‖u‖2 .

Segue che

H = P0 − tHu .

Infine

d(P0,H) = ‖H − P0‖ = |tH | ‖u‖ =|〈P0, u〉 + c|‖u‖ =

|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

3.2.3 Esercizi

1. Dati i puntiA = (1, 2), B = (2,−2), C = (−3,−4) del piano euclideo siconsideri il triangoloABC. Determinare:

• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti i latidel triangolo;

• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti le me-diane del triangolo;

• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per unvertice e parallele al lato opposto;

• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per unvertice ed ortogonali al lato opposto.



2. Si consideri il fascio di rette individuato dalle retter : x − y + 1 = 0 e

s :

x = 1− t

y = −1+ t

• Determinare la retta del fascio passante per il puntoP(0,−1).

• Determinare due rette del fascio ortogonali tra di loro.

• Determinare una retta del fascio che formi un angolo diπ/3 con larettar.

• Determinare la retta del fascio parallela alla retta 2x− y− 1 = 0.

3. Date le retter : x − ky+ 2k = 0 e s : kx− y + k = 0, determinare perquali valori dik ∈ R

• le rette sono parallele;

• le rette sono ortogonali;

• il loro punto comune appartiene alla rettax+ y− 2 = 0.

4. Date le retter : x+ 2y+ 1 = 0 es :

x = 1+ t

y = −1− 2t

• Determinare le bisettrici degli angoli individuati dalle due rette.

• Determinare un punto sur che abbia distanza 2 das.

• DettoC è il punto di intersezione trar ed s, determinare un puntoA su r ed un puntoB su s tali che il triangoloABC sia isoscele edabbia baseBC pari a 2.

5. Determinare il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti daipunti A = (−1, 2) eB = (3,−4).

6. Dati i puntiA = (1, 0), B = (2, 0) ed il fascio di rettey = k, determinareper quali valori dik ∈ R esiste un puntoC sulla retta del fascio tale cheil triangolo ABCsia equilatero.

7. Si consideri il fascio di rette generato dar : x+2y+3 = 0 es : x−y = 0.

• Determinare per quali valori dik ∈ R la rettakx − ky + 1 = 0appartiene al fascio



• Determinare due rette del fascio perpendicolari le cui intercettedistano 2.

• Determinare le rette del fascio perpendicolari alle bisettrici delleretter eds.

8. Si definisceincentrodi un poligono il punto equidistante da tutti i suoilati.

• Dimostrare che l’incentro è il punto comune di tutte le bisettricidegli angoli interni.

• Dimostrare che l’incentro di un triangolo di verticiP1 = (x1, y1),P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) ha coordinate

(

a1x1 + a2x2 + a3x3

(a1 + a2 + a3),a1y1 + a2y2 + a3y3

(a1 + a2 + a3)

)

doveai, i = 1, 2, 3, rappresenta la misura del lato opposto al verticePi.

9. Date le retter : x+ 2y+ 3 = 0, r ′ : x− y+ 1 = 0 er ′′ : x+ y+ 3 = 0.

• Determinare l’area del triangolo individuato dalle tre rette.

3.2.4 Il piano affine

Per definizione un piano affineα dello spazio euclideoE3 è un sottospazio affi-ne di dimensione 2. In virtù della Proposizione 1.6, un pianoα è univocamentedeterminato da un sottospazio vettorialeV2 di dimensione 2, dello spazio vet-toriale dei vettori liberi, e da un puntoP0 dello spazio. Sianou = (u1, u2, u3) ev = (v1, v2, v3) due vettori linearmente indipendenti della giacituraV2 (quindi{u, v} è una base diV2) e siaP0 = (x0, y0, z0). Un puntoP = (x, y, z) dellospazio appartiene al pianoα se e solo se il vettoreP0P appartiene alla giacituraV2, ovvero se e solo seP0P è una combinazione lineare diu e v (si veda laFigura 3.10). Segue cheP = (x, y, z) appartiene al pianoα se e solo se esistonodue numeri realit, s ∈ R tali che

P0P = tu+ sv

o, equivalentemente,P = P0 + tu+ sv. (3.14)



La (3.14) rappresental’equazione parametricadel pianoα passante perP0 eparallelo ai vettori linearmente indipendentiu, v. Inserendo le coordinate nella(3.14) si ottiene

x = x0 + u1t + v1s

y = y0 + u2t + v2s

z= z0 + u3t + v3s

Eliminiamo i parametrit edsdall’equazione parametrica si ottiene l’equazionein x, y ez:

(u2v3 − u3v2)(x− x0) + (u3v1 − u1v3)(y− y0) + (u1v2 − u2v1)(z− z0) = 0

che, ponendoa = u2v3 − u3v2, b = u3v1 − u1v3, c = u1v2 − u2v1 e d = −ax0 −by0 − cz0, diventa

ax+ by+ cz+ d = 0. (3.15)

La (3.15) prende il nome diequazione cartesianadel piano.

Osservazione3.5. I parametrit eds dell’equazione parametrica (3.14) rappre-sentano le coordinate affini nel pianoα rispetto al riferimento affine con originein P0 e base{u, v}. In particolare, se{u, v} sono orto-normali, allora (t, s) sonocoordinate cartesianei del piano affineα.

Equazione del piano nota la normale ed un punto

In coordinate cartesiane per descrivere un piano affineα è sufficiente fornire unun vettoren = (a, b, c), ortogonale al pianoα ed un puntoP0 = (x0, y0, z0) ap-partenente al piano. Infatti, il complemento ortogonale del vettoren individuala giacitura diα. In questo caso un puntoP = (x, y, z) dello spazio appartieneal pianoα se e solo se il vettoreP0P è ortogonale adn, cioè se〈P0P, n〉 = 0. Siottiene cheP = (x, y, z) appartiene al pianoα se e solo se

a(x− x0) + b(y− y0) + c(z− z0) = 0.

Svolgendo i calcoli e ponendod = −ax0 − by0 − cz0 si ottiene

ax+ by+ cz+ d = 0. (3.16)

Si osservi che i coefficienti a, b, c nella (3.15) sono le componenti del prodottovettorialeu∧ v il quale risulta ortogonale al pianoα in accordo con la (3.16).



xy

z

O

uv

V2

α

bP

b

P0

Figura 3.10– Piano affine passante perP0 e parallelo ai vettoriu e v.

Osservazione3.6. L’equazione parametrica (3.14) del piano e l’equazione car-tesiana (3.15) hanno carattere affine, mentre il significato geometrico dei coef-ficienti a, b, c nella (3.15) come le componenti di un vettore normale al pianoha carattere euclideo.

Equazione del piano per tre punti

Per determinare un piano nello spazio sono necessari tre punti non allineatiP1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) e P3 = (x3, y3, z3). Infatti si possono scegliereu = P1P2, v = P1P3 e P0 = P1 i quali rappresentano due vettori paralleli alpiano linearmente indipendenti ed un punto appartenente alpiano. Volendoscrivere l’equazione cartesiana si può calcolaren come il prodotto vettorialetra u e v. Risulta quindi che il piano contenente tre punti non allineati P1 =

(x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) e P3 = (x3, y3, z3) ha equazione cartesiana

〈P− P1,P1P2 ∧ P1P3〉 = 0



che, inserendo le coordinate e scrivendo il prodotto misto come un determinan-te, diventa

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x1 y− y1 z− z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (3.17)

o, equivalentemente,∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.18)

Dalla (3.18) segue immediatamente la

Proposizione 3.7.Quattro punti P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2), P3 =

(x3, y3, z3) e P4 = (x4, y4, z4) dello spazio sono complanari se e solo se∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.19)

Osservazione3.8. Si noti che l’equazione (3.18) rappresenta l’equazione car-tesiana del piano affine contenente i tre puntiP1, P2 e P3 anche rispetto acoordinate affini qualsiasi. Il lettore dovrebbe fare, individualmente, tutto ilragionamento per convincersi di questo fatto.

Equazione normale del piano

Sia n un vettore unitario, alloran = (cosγ1, cosγ2, cosγ3), dove (γ1, γ2, γ3)sono i coseni direttori din (si veda la (3.4)). L’equazione del piano (3.14)diventa

cosγ1 x+ cosγ2 y+ cosγ3 z− p = 0 (3.20)

dovep rappresenta il termine noto. Per convenzione si orientan in modo taleche il termine notop sia positivo. L’equazione (3.20), con l’orientazione dinsopra descritta, prende il nome diequazione normaledel piano.

Osservazione3.9. Nel piano un’equazione del tipo

cosγ1 x+ cosγ2 y− p = 0 (3.21)

rappresenta l’equazione normale di una retta.



Equazione cartesiana della retta nello spazio

Un’equazione di primo grado inx, y e z rappresenta un piano nello spazio,cosí come un’equazione di primo grado inx, y nel piano rappresenta una retta.Attenzione che un’equazione di primo grado inx, y nello spazio rappresentasempre un piano. Per esempio, l’equazionex− y = 0 rappresenta una retta nelpiano mentre rappresenta un piano nello spazio.Per rappresentare una retta nello spazio o si utilizza l’equazione parametrica(3.5) o si pensa la retta come intersezione di due piani. Infatti, da una partela Proposizione 1.10 garantisce che l’intersezione di due piani affini non coin-cidenti e non paralleli è una retta affine. D’altra parte, data una rettar dellospazio, individuata da un puntoP0 ed un vettoreu, per ogni vettorev linear-mente indipendente conu il pianoα passante perP0 e giacitura generata dauev contiene la rettar.Segue che l’equazione cartesiana di una retta dello spazio èdata come interse-zione di due piani incidentiα eα′, cioè

ax+ by+ cz+ d = 0

a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0.(3.22)

Dal punto di vista algebrico il fatto che i due piani siano incidenti vuol dire chela matrice dei coefficienti del sistema (3.22)

(

a b ca′ b′ c′

)

ha rango 2, cosí che il sistema ammetta∞3−2=1 soluzioni, cioè infiniti puntiche formano una retta affine. Le soluzioni del sistema forniranno le coordinatedei punti della retta in funzione di un parametro, cioè l’equazione parametricadella retta (questa costruzione ha valore affine).Dal punto di vista geometrico (cioè considerando coordinate cartesiane), datal’equazione cartesiana (3.22) di una retta, per trovare l’equazione parametricaservono un puntoP0 = (x0, y0, z0) ed un vettoreu = (l,m, n) parallelo alla retta.Per determinare un puntoP0 basta trovare una soluzione particolare del sistema(3.22) mentre la direzione della retta è data dau = n∧ n′ doven = (a, b, c) edn′ = (a′, b′, c′) sono i vettori normali ai pianiα edα′ rispettivamente (si vedala Figura 3.11).



b

b

r

nn′

n∧n′

α

α′

Figura 3.11– Retta affine come intersezione di due piani.

Viceversa, per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana basta elimi-nare il parametrot dalla (3.5). Sel,m, n sono tutti diversi da zero si ottiene

x− x0

l=

y− y0

m=

z− z0

n

che può essere riscritta, per esempio, nella forma

m(x− x0) = l(y− y0)

n(y− y0) = m(z− z0)

dove ciascuna equazione rappresenta un piano dello spazio.Se uno dei coef-ficienti direttori della retta è zero, per esempiol = 0, allora la retta appartieneal pianox = x0 e l’altro piano si ottiene eliminando il parametro dalle restantidue equazioni. Se due coefficienti direttori della retta sono zero, per esempiol = m= 0, allora la retta è intersezione dei due pianix = x0 ey = y0.

Terminiamo la sezione con la seguente

Proposizione 3.10. (a) Un piano affineα nello spazio ha un’equazione del-la forma(3.16)dove almeno uno dei coefficienti a, b, c è diverso da zero.Viceversa, un’equazione del tipo(3.16), dove non tutti i coefficienti a, b, csono uguali a zero, è l’equazione di un piano.



(b) Nello spazio una qualunque retta r è rappresentata da un sistema del tipo(3.22)dove la matrice dei coefficienti ha rango2. Viceversa, ogni siste-ma del tipo(3.22), con matrice dei coefficienti di rango2, rappresentauna retta dello spazio.

(c) Nel piano, una retta ha un’equazione generale del tipo(3.7)con a, b nonentrambi nulli. Viceversa un’equazione del tipo(3.7) rappresenta unaretta nel piano.

Dimostrazione.Dimostriamo solo (a) e lasciamo come esercizio (b) e (c). Ab-biamo già visto che un piano ha un’equazione cartesiana del tipo (3.16). Di-mostriamo adesso che un’equazione del tipo (3.16), dove nontutti i coefficientia, b, csono uguali a zero, rappresenta l’equazione di un piano. Supponiamo chesiac , 0, allora, risolvendo inz, si trova

z= −(a/c)x− (b/c)y− (d/c) = mx+ ny+ p (3.23)

Segue che i tre punti

A = (0, 0, p), B = (1, 0,m+ p), C = (0, 1, n+ p)

soddisfano la (3.23). Inoltre, essendoAB = (1, 0,m) e AC = (0, 1, n) linear-mente indipendenti, segue che i tre punti non sono allineati. Calcolando, tra-mite la (3.18), l’equazione del piano contenenteA, B e C si trova la (3.23) equindi la (3.16). �

3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nellospazio

In questa sezione risolviamo una serie di problemi geometrici, che trovanosvariate applicazioni, riguardanti le rette ed i piani nello spazio.

Diastanza di un punto da un piano

Con un calcolo analogo a quello visto nel Pargrafo 3.2.2, si ottiene che la di-stanza di un puntoP0 = (x0, y0, z0) dal pianoα di equazioneax+by+cz+d = 0è

d(P0, α) =|ax0 + by0 + cz0 + c|√

a2 + b2 + c2.


3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nello spazio 49

Posizione reciproca di una retta ed un piano

Sianor ed α una retta ed un piano dello spazio. Siau = (l,m, n) il vettoredirezionale della rettar e sian = (a, b, c) il vettore normale al pianoα. Sipresentano le seguenti situazioni (si veda la Figura 3.12).

r

n

u

α

b

(a)

r

n

u

α

b

b

(b)

Figura 3.12– Retta incidente (a). Retta parallela (b).

• La rettar è incidente il piano. In questo caso il vettoreu forma conn unangolo diverso daπ/2 da cui〈u, n〉 , 0;

• La rettar è parallela al piano. In questo caso il vettoreu è perpendicolareadn, da cui〈u, n〉 = 0. Si hanno i seguenti sottocasi:

– r è contenuta nel pianoα, basta verificare che un punto della retta,e quindi tutti, appartenga al piano;

– r non ha punti in comune con il pianoα, basta verificare che unpunto qualsiasi della retta non appartenga al piano.

Dal punto di vista algebrico, seax+ by+ cz+ d = 0 è l’equazione cartesianadel pianoα, mentre

a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0

a′′x+ b′′y+ c′′z+ d′′ = 0

rappresenta l’equazione cartesiana della rettar, discutendo il sistema

ax+ by+ cz+ d = 0

a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0

a′′x+ b′′y+ c′′z+ d′′ = 0,

(3.24)

si trova:



• la rettar è incidente il pianoα se e solo se il sistema (3.24) ammetteun’unica soluzione, cioè se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b ca′ b′ c′

a′′ b′′ c′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, 0

• la rettar è contenuta nel pianoα se e solo se il sistema (3.24) ammetteinfinite soluzioni, cioè

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b ca′ b′ c′

a′′ b′′ c′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

ed il rango della matrice completa è 2;

• la rettar non ha punti in comune con il pianoα se e solo se il sistema(3.24) non è compatibile.

Osservazione3.11. Si tenga conto che il rango della matrice dei coefficienti delsistema (3.24) è sempre maggiore di o uguale a 2 in quanto le ultime due righesono le componenti dei vettori normali ai piani la cui intersezione determina larettar.

Fasci di Piani

Dati due pianiα eα′ di equazione cartesianaax+ by+ cz+ d = 0 ea′x+ b′y+c′z+ d′ = si consideri l’equazione

Fλ,µ = λ(ax+ by+ cz+ d) + µ(a′x+ b′y+ c′z+ d′) = 0

conλ, µ ∈ R. ChiaramenteFλ,µ = 0 rappresenta l’equazione di un piano perogni valore diλ eµ. L’equazioneFλ,µ = 0 prende il nome diequazione omo-genea del fascio di pianimentre i pianiα edα′ rappresentano ipiani basedelfascio. I fasci si dividono in due tipi (si veda la Figura 3.13):

• Fasci propri. In questo caso i piani base del fascio si intersecano in unaretta, dettaasse del fascioe tutti i piani del fascio contengono l’asse.

• Fasci impropri . In questo caso i piani base del fascio sono paralleli, etutti i piani del fascio sono paralleli ai piani base. Come caso particolaresi trova quello in cui piani base coincidono e quindi coincidono tutti ipiani del fascio.



Si osservi che un piano del fascio è determinato da una coppia(λ, µ) a meno diun fattore di proporzionalità. Segue che tutti i piani del fascio, tranne il pianoα′, possono essere descritti dall’equazione non omogenea

Fµ = (ax+ by+ cz+ d) + µ(a′x+ b′y+ c′z+ d′) = 0.

(a) (b)

Figura 3.13– Fascio proprio (a). Fascio improprio (b).

Il procedimento appena visto si può generalizzare considerando combinazionidi tre piani. Sianoα, α′ eα′′ tre piani di equazione cartesianaax+by+cz+d = 0,a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0 ea′′x+ b′′y+ c′′z+ d′′ = 0 e si si consideri l’equazione

Fλ,µ,ν = λ(ax+by+cz+d)+µ(a′x+b′y+c′z+d′)+ν(a′′x+b′′y+c′′z+d′′) = 0

conλ, µ, ν ∈ R. L’equazioneFλ,µ,ν = 0 prende il nome diequazione della stelladi piani . Le stelle di piani si dividono in quattro tipi (si veda la Figura 3.14):

• Stella propria. I tre piani base del fascio si intersecano in un punto,dettocentro della stellae tutti i piani del fascio passano per il centro.

• Stella impropria . I tre piani del fascio sono paralleli ad una stessa rettama non contengono una retta comune. In questo caso tutti i piani dellastella sono paralleli alla stessa retta.

• Fascio proprio. I tre piani contengono una stessa retta. In questo casouno dei piani base appartine al fascio generato dai restantidue e la stellasi riduce al fascio proprio di due piani.

• Fascio improprio. I tre piani sono paralleli, e tutti i piani della stellasono paralleli ai piani base.



(a) (b)

Figura 3.14– Stella propria (a). Stella impropria (b).

Posizione reciproca di due rette

Sianor ed r ′ due rette nello spazio euclideo tridimensionale. Le due rette sipossono trovare in una delle seguenti posizioni reciproche:

• r edr ′ sono complanari. In questo caso si hanno i seguenti sottocasi:

– r è parallela adr ′;

– r è incidente adr ′.

• r edr ′ non sono complanari. In questo caso si dice che le due rette sonosghembe.

Se le rette sono date come intersezione di due piani per determinare la loroposizione reciproca si può utilizzare la seguente

Proposizione 3.12.Siano

r :

ax+ by+ cz+ d = 0

a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0r ′ :

a′′x+ b′′y+ c′′z+ d′′ = 0

a′′′x+ b′′′y+ c′′′z+ d′′′ = 0.

le equazioni cartesiane delle rette r= α ∩ α′ e r′ = α′′ ∩ α′′′ . Allora r ed r′

sono complanari se e solo se∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c da′ b′ c′ d′

a′′ b′′ c′′ d′′

a′′′ b′′′ c′′′ d′′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.25)



Dimostrazione.Se le rette sono complanari esiste un pianoβ che le contieneentrambe. Segue cheβ appartiene sia al fascio generato daα eα′ che al fasciogenerato daα′′ eα′′′. Sostituendo nella (3.25) alla seconda riga la combinazio-ne lineare delle prime due righe che fornisce i coefficienti diβ e alla terza rigala combinazione lineare delle ultime due righe che forniscei coefficienti di β,si trova una matrice con due righe uguali il cui determinanteè necessariamentezero. Supponiamo adesso che valga la (3.25) e mostriamo che le rette sonocomplanari. Dalla (3.25), segue che una delle righe, per esempio la prima, ècombinazione lineare delle restanti tre. Esistono quindiλ′, λ′′, λ′′′ ∈ R tali che

α = λ′α′ + λ′′α′′ + λ′′′α′′′,

o, equivalentementeα − λ′α′ = λ′′α′′ + λ′′′α′′′.

Quest’ultima condizione implica che esiste un piano appartenente sia al fasciogenerato daα eα′ che al fascio generato daα′′ eα′′′ contenente le due rette.�

r

r ′

P0

P′0

u

u′

b

b

Figura 3.15– Retta sghembe.

Se le rette sono descritte in forma parametri-ca

r : P = P0 + tu , r ′ : P = P′0 + tu′

con P0 = (x0, y0, z0), P′0 = (x′0, y′0, z′0), u =

(l,m, n) e u′ = (l′,m′, n′) è immediato verifi-care, si veda la Figura 3.15, che le rette sonocomplanari se e solo se i vettoriu, u′ eP′0−P0

sono complanari, ovvero, se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

l m nl′ m′ n′

x′0 − x0 y′0 − y0 y′0 − y0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 . (3.26)



Distanza di un punto da una retta

rP0

P

u

b

b

Figura 3.16– Distanza di un puntoda una retta.

Sia P = (x, y, z) un punto dello spazio esia r una retta data in forma parametrica daP = P0 + tu. Per calcolare la distanza diPdalla rettar si procede nel modo seguente.Si considerano i vettoriu e P0P. Essendo lanorma del prodotto vettoriale trau e P0P pa-ri all’area del parallelogramma generato daivettori u e P0P, segue che la distanza traP ela rettar è l’altezza del parallelogramma (siveda la Figura 3.16), da cui

d(P, r) =‖u∧ P0P‖‖u‖ (3.27)

Distanza tra due rette

r

r ′

r ′′

b

b

Figura 3.17– Retta perpendicolareadr e r ′.

Date due retter ed r ′ la distanza trar ed r ′ èdefinita come la minima distanza tra un puntodi r ed uno dir ′. Se le rette sono complanarila loro distanza vale zero nel caso siano inci-denti mentre è data dalla distanza di un puntoqualsiasi della rettar dalla rettar ′ nel caso ledue rette siano parallele. Se le due rette sonosghembe non è difficile convincersi che la di-stanza tra le due rette è la distanza tra i puntidi intersezione della rettar ′′, perpendicolaresia adr che adr ′, con le retter edr ′ (si vedala Figura 3.17).Per calcolare tale distanza si può procederein due modi. Il primo metodo consiste nel calcolare la distanza di un puntoqualsiasi della rettar ′ dal piano passante perr e parallelo alla rettar ′ (si vedala Figura 3.18 (b)). Il secondo metodo si basa sul seguente ragionamento. Ladistanza tra le due rette è pari alla lunghezza del vettorew congiungente i puntidi intersezione delle retter edr ′ con la perpendicolare comuner ′′. Tale vettoreè parallelo al vettoreu∧ u′, doveu edu′ sono i vettori direzionali delle retteredr ′ rispettivamente. Presi due puntiP0 eP′0 sulle retter edr ′ rispettivamente,



per costruzione, la proiezione ortogonale diP0P′0 suu∧u′ è il vettorew cercatola cui lunghezza è pari alla distanza tra le due retter edr ′ (si veda la Figura 3.18(a)). Segue che

d(r, r ′) =|〈P0P′0, u∧ u′〉|‖u∧ u′‖ (3.28)

u∧u′

r

r ′

P0

P′0

u

u′

b

b

b

b

(a)

rα

r ′

b

b

(b)

Figura 3.18– Distanza tra due retta sghembe.

Distanza di due punti su una retta

Sia r una retta di equazione parametricaP(t) = P0 + tu. SianoP1 = P(t1) eP2 = P(t2) due punti sulla rettar corrispondenti ai valori del parametrot1 e t2.Un calcolo diretto mostra che

d(P1,P2) = ‖P0 + t2u− (P0 + t1u)‖ = ‖(t2 − t1)u‖ = |t2 − t1| ‖u‖. (3.29)

In particolare, se si sceglie il vettore direzionale della retta unitario, cioè‖u‖ =1, si ha

d(P1,P2) = |t2 − t1|.

Simmetrico di un punto rispetto ad una retta o ad un piano

Data una rettar del piano euclideo ed un puntoP < r diciamo cheP′ è ilsimmetrico di P rispetto alla rettar sePP′ ⊥ r ed il loro punto medioM ∈ r.Fissato un sistema cartesiano sul piano siaax+by+c = 0 l’equazione cartesianadella rettar. SiaP0 = (x0, y0) un punto del piano. Il simmetricoP′0 giace sullaretta perP0, perpendicolare adr, e soddisfa alla condizioned(P0, r) = d(P′0, r).La rettar ′ perP0 perpendicolare adr ha equazione parametricaP(t) = P0 + tn



doven = (a, b). Siat1 il valore del parametro per il quale la rettar ′ interseca larettar, cioèP(t1) ∈ r. Allora dalla (3.29) segue che il simmetricoP′0 del puntoP0 è dato da

P′0 = P(2t1).

Allo stesso modo si definisce e si calcola il simmetrico di un punto dello spazioeuclideo rispetto ad un piano di equazione cartesianaax+ by+ cz+ d = 0.

Problemi di separazione relativi a rette e piani

Proposizione 3.13.Siano P1 e P2 due punti del piano o dello spazio. Un puntoP appartiene al segmento di estremi P1 e P2 se e solo se

P = τP1 + (1− τ)P2

con0 ≤ τ ≤ 1.

Dimostrazione.L’equazione parametrica della retta passante perP1 eP2 è datada

P = P2 + t(P1 − P2) = tP1 + (1− t)P2.

Per concludere la dimostrazione bisogna verificare cheP appartiene al segmen-to se e solo se 0≤ t ≤ 1. Se 0≤ t ≤ 1 segue ched(P(t),P2) = t‖P1 − P2‖ ≤‖P1 − P2‖. Allo stesso modo si dimostra ched(P(t),P1) ≤ ‖P1 − P2‖. QuindiP(t) appartiene al segmento. Viceversa seP(t) appartiene al segmento si hache |t|‖P1 − P2‖ = d(P(t),P2) ≤ ‖P1 − P2‖ da cui |t| ≤ 1. EssendoP(0) = P2

e P(1) = P1 segue immediatamente che i puntiP(t) per valori dit negativi nonappartengono al segmentoP1,P2, da cui 0≤ t ≤ 1. �

In generale si dice che un puntoP è combinazione convessadei puntiP1 e P2

seP = λ1P1 + λ2P2

con 0≤ λ1, λ2 ≤ 1 eλ1 + λ2 = 1. Generalizzando, datin punti P1, . . . ,Pn sidefinisce combinazione convessa deglin punti una combinazione

P =n

∑

i=1

λiPi

con 0≤ λ1, . . . , λn ≤ 1 e∑n

i=1 λi = 1.



Un fatto geometrico interessante è che una rettar divide un piano in due parti,chiamatisemi-piani, in modo che due puntiP1 e P2 appartengono a due semi-piani distinti se la rettar interseca il segmentoP1P2 in un suo punto interno.Allo stesso modo un pianoα divide lo spazio in duesemi-spazi. Per determi-nare se due punti dati appartengono allo stesso semi-spazio(o semi-piano nelcaso della retta) si può utilizzare il seguente criterio

Proposizione 3.14.Siano P1 e P2 due punti dello spazio (del piano) e sia

F(x, y, z) := ax+ by+ cz+ d = 0

l’equazione affine di un pianoα (F(x, y) := ax+ by+ c = 0 nel caso dellaretta). Allora i due punti P1 e P2 appartengono a due semi-spazi (semi-piani)differenti se e solo se

F(P1) F(P2) < 0.

Dimostrazione.Un puntoP appartenente alla retta perP1 e P2 se esistet ∈ Rtale che

P = tP1 + (1− t)P2.

La funzioneF si può scrivere comeF(x, y, z) = A(x, y, z) + d con A(x, y, z) =ax+ by+ cz. Si osservi cheA : R3→ R è lineare. Segue che

F(P) = A(P) + d = A[tP1 + (1− t)P2] + d = tA(P1) + (1− t)A(P2) + d

= t[A(P1) + d] + (1− t)[A(P2) + d]

= tF(P1) + (1− t)F(P2).

Un puntoP della retta perP1 e P2 appartiene al pianoα se e solo solo seF(P) = 0, cioè se e solo seP = P(t) cont soluzione dell’equazione

tF(P1) + (1− t)F(P2) = 0. (3.30)

Con un calcolo diretto si può mostre che la soluzionet della (3.30) soddisfa0 < t < 1 se e solo seF(P1) F(P2) < 0. �

3.3.1 Esercizi

1. Siar la retta dello spazio euclideoE3 passante per due puntiP1 e P2 esiaP0 un terzo punto dello spazio. Dimostrare che



• la rettar ha equazione parametricaP = P1 + t(P2 − P1);

• la distanza diP0 dalla rettar è pari alla distanza diP0 dal puntodella rettar ottenuto per

t =< P0 − P1,P2 − P1 >

< P2 − P1,P2 − P1 >

•

d(P0, r)2 =‖P2 − P1‖2‖P0 − P1‖2− < P2 − P1,P0 − P1 >

2

|P2 − P1|2

2. SiaP un punto interno al triangolo di verticiA, B,C ∈ E3. Dimostrare

cheP = rA + sB+ tC

dover + s+ t = 1, r, s, t > 0, r, s, t ∈ R.

3. Dati i puntiP1 = (2, 1, 4), P2 = (1, k, 2) eP3 = (3, 3, 6), k ∈ R:

• determinare per quali valori dik i punti sono allineati;

• nel caso non siano allineati si trovi l’equazione del piano che licontiene;

• si trovi l’equazione cartesiana e parametrica delle retter i j passantiperPi eP j, i < j, e si determini al variare dik il coseno dell’angoloformato dar12 e r13.

4. SeA = (2, 3, 1) eB = (3, 7, 4), trovare un puntoP sulla retta perAB taleche|PA|/|PB| = 2/5.

5. Siar la retta perA = (1, 2, 3) parallela alla retta perB = (2, 2, 0) eC =(4, 1, 7) e siar ′ la retta perE = (1, 1, 8) edF = (10, 1, 11). Dimostrarecher e r ′ si intersecano e trovare il punto di intersezione.

6. Date le rete,k ∈ R,

rk =

x+ y+ z+ k = 0

x+ 2 = 0

r ′k =

x+ kz+ 1 = 0

kx+ z+ 1 = 0



• determinare l’insiemeS ⊂ R dei valori dik per i qualirk e r ′k sianorealmente due rette;

• determinare per quali valori dik ∈ S le rette sono complanari;

• determinare al variare dik ∈ S la distanza tra le due rette;

• nel caso in cui siano complanari determinare l’equazione del pianoche le contiene, questo piano è sempre unico?

7. Lo stesso esercizio del punto precedente ma con

rk =

x+ y+ k = 0

y− kz− 1 = 0

r ′k =

x+ kz+ 2 = 0

ky− kz− 1 = 0

8. Data la rettar passante per i puntiP1 = (1, 2, 3) e P2 = (0, 1, 4). Sidetermini:

• l’equazione cartesiana e parametrica del pianoα perpendicolarealla rettar e passante perP1;

• l’equazione cartesiana e parametrica del pianoα contenente la rettar e tale cheα tagli il pianox− y = 0 sotto un angolo di 30o.

9. Dato il pianoα di equazionex− y− z+ 1 = 0 e la retta

r =

x = −1+ t

y = 2t

z= −t

Dimostrare cher ⊂ α e scrivere l’equazione dir rispetto a delle coordi-nate cartesiane suα.


4Classificazione delleisometrie del piano edello spazio

In questo capitolo daremo una classificazione completa di tutte le isometrie(trasformazioni euclidee) del piano e dello spazio. Siaϕ : E → E una trasfor-mazione euclidea da uno spazio euclideo in se stesso. Fissato un riferimento,cartesiano abbiamo visto nel paragrafo 2.2.4 che la trasformazione euclidea siscrive, in coordinate, come

X′ = MX + β

doveM = (mi j ) rappresenta una matrice ortogonale eβ un vettore colonna. Inpiù la trasformazione euclidea induce una trasformazione ortogonale

f : V → V,

doveV indica la giacitura diE.Per comprendere le trasformazioni euclidee iniziamo dandola classificazionedelle trasformazioni ortogonali.


4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2 61

4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di di-mensione 2

Sia V2 lo spazio vettoriale dei vettori liberi del piano e siaf : V2 → V2 unatrasformazione ortogonale, cioè tale che〈 f (v), f (w)〉 = 〈v,w〉, per ogniv,w ∈V2. SiaB = {i, j } la base canonica orientata positivamente diV2 ed andiamo adeterminare la matrice associata adf rispetto alla baseB. Si hanno le seguentipossibilità:

• la base{ f (i), f (j )} è orientata positivamente (si veda la Figura 4.1 (a));

• la base{ f (i), f (j )} è orientata negativamente (si veda la Figura 4.1 (b)).

i

jf(i)f(j )

θ

(a)

i

jf(i)

f(j )

θ

(b)

Figura 4.1 – La base{ f (i), f (j )}.

Nel primo caso, chiamato conθ l’angolo trai e f (i), si ha:

f (i) = 〈 f (i), i〉 i + 〈 f (i), j 〉 j = cosθ i + cos(π/2− θ) j = cosθ i + sinθ j ,

mentre

f (j ) = 〈 f (j ), i〉 i + 〈 f (j ), j 〉 j = cos(π/2+ θ) i + cos(θ) j = − sinθ i + cosθ j .

Segue che la matrice associata ad una trasformazione ortogonale che conserval’orientazione della base è

M+ =

(

cosθ − sinθsinθ cosθ

)

.


62 Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio

Nel secondo caso, cioè quando l’orientazione non è conservata, un calcolodiretto (si utilizzi la Figura 4.1 (b)) mostra che

f (i) = cosθ i + sinθ j

f (j ) = sinθ i − cosθ j.

Segue che la matrice associata ad una trasformazione ortogonale che non con-serva l’orientazione della base è

M− =

(

cosθ sinθsinθ − cosθ

)

.

Osservazione4.1. Si osservi che det(M+) = 1 mentre det(M−) = −1. Talerisultato non è sorprendente visto che, dalla regola di Binet, il determinante diuna matrice ortogonale è sempre uguale a±1.

Le matrici ortogonali con determinante uguale a 1 formano unsottogruppodel gruppo ortogonale, chiamato gruppoortogonale specialee denotato conSO(n). Lasciamo per esercizio la verifica che formano un sottogruppo. Di-versamente le matrici ortogonali con determinante uguale a−1 non formanoun sottogruppo, basti pensare che il prodotto di due matricicon determinantenegativo ha determinante positivo.

Definizione 4.2.Un vettoreu ∈ V2 si diceinvariante per f se f (u) = u.

Sia adessoU l’insieme dei vettori invarianti. È facile verificare cheU definisceun sottospazio vettoriale diV2 (U è l’autospazio corrispondente all’autovalore1).Sia adessof una trasformazione ortogonale la cui matrice associata siaM+. Seθ , 0, cioè sef , Id, un calcolo diretto mostra che lo spazioU = {0}. Infatti,l’equazione caratteristica diventa, in questo caso,

λ2 − 2 cosθλ + 1 = 0,

le cui soluzioni sono reali se e solo seθ = 0. Quindi non esiste l’autovalore1. Per comprendere la geometria della trasformazionef con matrice associataM+ calcoliamo l’angolo trav e f (v). Sev = v1i + v2j , si ha

cosv f(v) =〈v, f (v)〉‖v‖2 =

〈v1i + v2j , (v1 cosθ − v2 sinθ)i + (v1 sinθ + v2 cosθ)j 〉‖v‖2

=‖v‖2 cosθ‖v‖2 = cosθ.


4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2 63

Segue che la trasformazionef ruota il vettorev di un angoloθ. Si osservi chela rotazione avviene, in questo caso, in senso antiorario. Se si cambiaθ con−θla matriceM+ diventa

M+ =

(

cosθ sinθ− sinθ cosθ

)

che rappresenta una rotazione in senso orario.

Vediamo adesso il caso delle trasformazioni ortogonali conmatrice associataM−. In questo caso il polinomio caratteristico è

λ2 − 1 = 0,

le cui soluzioni sonoλ = ±1. L’autospazio corrispondente all’autovalore 1 èil sottospazioU dei vettori invarianti. Un calcolo diretto mostra che una basedi U è data dal vettoreu = cosθ/2 i + sinθ/2 j . Sia adessov un versore del-l’autospazio relativo all’autovalore−1. Si osservi che, essendo la matriceM−

simmetrica,v ⊥ u (qui stiamo utilizzando il fatto che autospazi relativi ad auto-valori diversi di una matrice simmetrica sono perpendicolari, la dimostrazioneè lasciata per esercizio). I vettori{u, v} formano una nuova base orto-normaledi V2 (si veda la Figura 4.2 (a)). Se adesso scriviamo la matrice associata adfrispetto alla base{u, v} si trova

S =

(

1 00 −1

)

.

Sia adessow = w1u+ w2v un altro vettore diV2, si trova f (w) = w1u− w2v dacui segue immediatamente chef (w) è il simmetrico ortogonale diw rispetto adu (si veda la Figura 4.2 (b)).

i

j f(i)

u

v

θ/2

(a)

f(w)

w

u

v

(b)

Figura 4.2 – La base{u, v}.

Abbiamo così dimostrato il seguente



Teorema 4.3.Sia f una trasformazione ortogonale di V2. Allora f è una delleseguenti:

(a) la trasformazione identica;

(b) una rotazione di un angoloθ la cui matrice associata rispetto alla base{i, j } è:

Rθ =

(


)

;

(c) una simmetria ortogonale rispetto ad un vettore u∈ V2 con f(u) = u, lacui matrice associata rispetto alla base{i, j } è:

(

cosθ sinθsinθ − cosθ

)

;

mentre la matrice associata rispetto alla base{u, v} con v ⊥ u (‖u‖ =‖v‖ = 1) è:

S0 =

(

1 00 −1

)

.

4.2 Classificazione delle isometrie del piano

SiaE2 il piano euclideo. Rispetto ad un riferimento cartesiano (O, {i, j }) un’i-sometriaϕ : E2→ E

2 si scrive, in coordinate, come

(

x′

y′

)

=

(

m11 m12

m21 m22

) (

xy

)

+

(

β1

β2

)

(4.1)

dove la matriceM = (mi j ) è una matrice ortogonale mentreβ = (β1, β2) è unvettore del piano.Chiamiamomovimento diretto del piano un’isometria la cui matrice ortogo-nale associata ha determinante uguale a 1.Un punto del pianoP si dicefisso, rispetto all’isometriaϕ, seϕ(P) = P.Dal Teorema 4.3 ci sono tre tipi di isometrie.


4.2 Classificazione delle isometrie del piano 65

Traslazioni

Se M = I l’isometria è unatraslazione in direzione del vettoreβ = (β1, β2)ed è un movimento diretto (si veda la Figura 4.3 (a)). In questo caso la (4.1)diventa

x′ = x+ β1

y′ = y+ β2.

o, in forma matriciale,P′ = Tβ(P),

dove conTβ : E2 → E

2 indichiamo la traslazione in direzioneβ. È facileverificare che una traslazione non ha punti fissi tranne nel caso in cuiβ = 0 el’isometria diventa l’applicazione identità.

Rotazioni

Supponiamo che la matriceM sia

Rθ =

(


)

conθ , 0. La (4.1) diventa

x′ = xcosθ − ysinθ + β1

y′ = xsinθ + ycosθ + β2.(4.2)

Cerchiamo i punti fissi. Questi sono soluzione del sistema

x = xcosθ − ysinθ + β1

y = xsinθ + ycosθ + β2,

che è equivalente al sistema

(1− cosθ)x+ sinθ y = β1

− sinθ x+ (1− cosθ) y = β2.(4.3)

Essendo il determinante della matrice dei coefficienti 2(1−cosθ) segue che perθ , 0 esiste un’unica soluzione. Sia quindiP0 = (x0, y0) l’unico punto fisso.Dalla (4.3) si ottiene

β1 = (1− cosθ)x0 + sinθ y0

β2 = − sinθ x0 + (1− cosθ) y0.



Tenendo conto di queste ultime la (4.2) diventa, in forma matriciale,

P′ = P0 + Rθ(P− P0)

che rappresenta una rotazione di un angoloθ attorno al puntoP0 (si veda laFigura 4.3 (b)).La rotazione attorno ad un puntoP0 si può scomporre come: una traslazione indirezione di−P0, in modo cheP0 coincida con l’origine, seguita da una rota-zione di un angoloθ attorno all’origine, seguita da una traslazione in direzionedi P0. In formula, indicata conRP0

θla rotazione attorno ad un puntoP0, si ha

P′ = RP0θ

(P) = TP0 ◦ Rθ ◦ T−P0(P)

β

�

�

�

�

�

�

(a)

�

�

�

�

�

�

P0

θb

(b)

Figura 4.3 – Una traslazione (a). Una rotazione (b).

Simmetrie e glissosimmetrie

Supponiamo che la matrice ortogonaleM corrisponda ad una simmetria or-togonale. In questo caso conviene fissare il riferimento cartesiano (O, {u, v})doveO è un punto del piano,u è il versore invariante perM ev un versore per-pendicolare adu. Rispetto al riferimento (O, {u, v}) l’isometria (4.1) si scrivecome

(

x′

y′

)

=

(

1 00 −1

) (

xy

)

+

(

β1

β2

)

da cui

x′ = x+ β1

y′ = −y+ β2.


4.2 Classificazione delle isometrie del piano 67

L’immagine del punto di coordinate (x, β2/2) è (x+β1, β2/2). Segue che i puntidella rettar di equazioney = β2/2 sono trasformati in punti della stessa retta.Si presentano due sottocasi.Seβ1 = 0 tutti i punti della rettar sono fissi e l’isometria è una simmetriaortogonale rispetto alla rettar, Figura 4.4 (a).Seβ1 , 0, nessun punto è fisso e l’isometria si può pensare come la compo-sizione di una simmetriaS, rispetto alla rettar, seguita da una traslazioneTparallela alla retta stessa, si veda la Figura 4.4 (b). Tale isometria è chiamataglissosimmetria. In formula

(x, y)S7−→ (x,−y+ β2)

T7−→ (x+ β1,−y+ β2)

�

�

�

�

�

�

(a)

�

�

�

�

�

�

β

(b)

Figura 4.4 – Una simmetria (a). Una glissosimmetria (b).

Esempio 4.4.Da un punto di vista operativo se si vuole determinare la sim-metria rispetto ad una rettar la cui equazione cartesiana, rispetto al sistema diriferimento cartesiano (O, {i, j }), èax+ by+ c = 0 si opera nel modo seguen-te. Si sceglie un puntoP0 ∈ r e si applica la traslazioneT−P0 in modo che laretta passi per l’origine. Si cambiano le coordinate rispetto al riferimento{u, v}doveu è un versore parallelo alla rettar mentrev un versore perpendicolare au. Si opera la simmetriaS0. Si ricambiano le coordinate rispetto al riferimentooriginale (O, {i, j }) ed infine si trasla conTP0. I vettori u, v sono dati da

u =1

√a2 + b2

(−b, a)

v =1

√a2 + b2

(a, b).



Segue che la matrice del cambiamento di base è

A =

− b√a2+b2

a√a2+b2

a√a2+b2

b√a2+b2

SeP0 = (x0, y0) allora la simmetria rispetto alla rettar è

P′ = TP0 ◦ A ◦ S0 ◦ AT ◦ T−P0(P)

che in coordinate diventa:

x′ =a2(2x0 − x) + 2ab(y0 − y) + b2x

a2 + b2

y′ =a2y+ 2ab(x0 − x) + b2(2y0 − y)

a2 + b2.

4.3 Classificazione delle trasformazioni ortogona-li in dimensione3

Sia f : V3 → V3 una trasformazione ortogonale. Classifichiamof a secondadella dimensione dello spazio dei vettori invarinati

U = {u ∈ V3 : f (u) = u}.

Il caso: dim(U) = 3

In questo caso tutti i vettori sono invarianti e quindi la trasformazione è l’iden-tità.

Il caso: dim(U) = 2

Siav un vettore perpendicolare aU. Dalla

〈 f (v), u〉 = 〈 f (v), f (u)〉 = 〈v, u〉 = 0, ∀u ∈ U (4.4)

segue chef (v) ⊥ U da cui f (v) = λv. Siccome gli autovalori di una trasfor-mazione ortogonale1 sono±1 segue chef (v) = ±v. Di fatto non si può avere

1Se f è ortogonale ef (v) = λv, v , 0, allora 〈v, v〉 = 〈 f (v), f (v)〉 = λ2〈v, v〉, da cui seguecheλ2 = 1.


4.3 Classificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione3 69

f (v) = v, altrimenti la dimensione diU sarebbe 3. Si ha quindif (v) = −v.Rispetto alla base{v, u1, u2}, dove {u1, u2} è una base orto-normale diU, lamatrice associata adf diventa

S0 =

−1 0 00 1 00 0 1

.

La trasformazione è unasimmetria ortogonalerispetto aU.

Il caso: dim(U) = 1

Sia u ∈ U un versore e siaV = u⊥. Dalla (4.4) segue chef|V : V → V èuna trasformazione ortogonale di uno spazio di dimensione 2. Quindi, dallaclassificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione 2, f|V può essere:l’identità, una rotazione propria o una simmetria. Sef|V fosse l’identità o unasimmetria ameterebbe vettori invarianti, così che la dimensione diU sarebbemaggiore di 1. Segue chef|V è una rotazione propria. La matrice associata adf rispetto ad una base{u, v1, v2}, con{v1, v2} base orto-normale diV, è

Rθ =

1 0 00 cosθ − sinθ0 sinθ cosθ

.

La trasformazione ortogonale rappresenta unarotazione antioraria di un an-goloθ attorno alla direzioneu invariante.

Osservazione4.5. Fissata la base canonica{i, j , k} le tre rotazioni antiorarieattorno ai vettori di base sono (si veda la Figura 4.5)

Riθ =


, Rjθ=

cosθ 0 − sinθ0 1 0

sinθ 0 cosθ

, Rkθ =

cosθ − sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

Il caso: dim(U) = 0

In questo caso non esistono vettori invarianti. Il polinomio caratteristico asso-ciato alla trasformazionef è, rispetto ad una base qualsiasi, un polinomio digrado 3. Quindi esiste sempre una soluzione reale, cioèf ammette un autova-lore reale. Siccomef non ha vettori invarianti diversi dal vettore nullo, segue



i j

k

(a) Riθ

i j

k

(b) Rjθ

i j

k

(c) Rkθ

Figura 4.5 – Le tre rotazioni attorno ai vettori della base canonica.

che esiste un vettorev con f (v) = −v. SiaW = v⊥. In modo analogo al casoprecedente si dimostra chef|W è una rotazione propria. La matrice associata adf , rispetto ad una base{v,w1,w2}, dove{w1,w2} è una base orto-normale diW,diventa

S Rθ =

−1 0 00 cosθ − sinθ0 sinθ cosθ

.

La trasformazione è quindi una simmetria ortogonale rispetto a W seguita dauna rotazione attorno av che chiamiamorotosimmetria. Infatti si ha


=


−1 0 00 1 00 0 1

.

4.4 Angoli di Eulero

Nel paragrafo precedente abbiamo descritto la matrice associata ad una trasfor-mazione ortogonale in dimensione 3 rispetto ad una base orto-normale oppor-tuna. Ci si chiede se si può descrivere una matrice ortogonale rispetto ad unaqualsiasi base orto-normale. Una risposta positiva si può dare per il caso incui il determinante della matrice sia 1, cioè nel caso in cui la trasformazioneortogonale rappresenti una rotazione. In questo caso è facile verificare chefmanda la base canonica{i, j , k} in una nuova base orto-normale{i′, j ′, k′} ancoradefinita positiva, nel senso chei′ ∧ j ′ = k′, si veda la Figura 4.6.


4.4 Angoli di Eulero 71

Per descrivere la trasformazione che porta la base{i, j , k} nella base{i′, j ′, k′}introduciamo tre angoli noti col nome diangoli di Eulero. SiaN = k ∧ k′. Gliangoli di Eulero sono così definiti:

• l’angoloψ da i a N visto dal semispazio individuato dak si diceangolodi precessioneed è compreso tra 0 e 2π.

• l’angoloθ dak ak′ visto dal semispazio individuato daN si diceangolodi nutazione ed è compreso tra 0 eπ.

• l’angoloϕ daN a i′ visto dal semispazio individuato dak′ si diceangolodi rotazione propria ed è compreso tra 0 e 2π.

i

j

k

i′

j ′

k′

N

ψϕ

θ

Figura 4.6 – Definizione degli angoli di Eulero.

La rotazionef si può realizzare attraverso tre rotazioni successiveRψ, Rθ, Rϕ,così individuate:

• Rψ è la rotazione di un angoloψ attorno al vettorek:

Rkψ =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0

0 0 1

che manda la terna{i, j , k} nella terna{N, j1, k}.



• Rθ è la rotazione di un angoloθ attorno al vettoreN:

RNθ =


che manda la terna{N, j1, k} nella terna{N, j2, k′}.

• Rϕ è la rotazione di un angoloϕ attorno al vettorek′:

Rk′ϕ =

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 0

0 0 1

che manda la terna{N, j2, k′} nella terna{i′, j3, k′}. Infine, essendo{i′, j3, k′}una base positiva si deve averej3 = j ′.

Quindi la matrice associata alla trasformazione ortogonale che manda la base{i, j , k} nella base{i′, j ′, k′} è:

Rk′ϕ ◦RN

θ ◦Rkψ =

cosϕ cosψ − cos(θ) sinϕ sinψ − cosθ cosψ sinϕ − cosϕ sinψ sinθ sinϕcosψ sinϕ + cosθ cosϕ sinψ cosθ cosϕ cosψ − sinϕ sinψ − cosϕ sinθ

sinθ sinψ cosψ sinθ cosθ

che rappresenta una generica matrice ortogonale del terzo ordine con determi-nante 1.

4.5 Classificazione delle isometrie dello spazio

Sia E3 il piano euclideo. Rispetto ad un riferimento cartesiano (O, {i, j , k})

un’isometriaϕ : E3→ E3 si scrive, in coordinate, come

x′

y′

z′

=

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

xyz

+

β1

β2

β3

(4.5)

dove la matriceM = (mi j ) è una matrice ortogonale mentreβ = (β1, β2, β3) èun vettore dello spazio.Per classificare le isometrie, in virtù della classificazione delle trasformazioniortogonali in dimensione 3 vista nel paragrafo precedente,utilizzeremo voltaper volta un riferimento adattato piuttosto che quello canonico.


4.5 Classificazione delle isometrie dello spazio 73

Traslazioni

Se la matrice associata af rispetto ad un riferimento è la matrice identitàl’isometria è unatraslazione in direzione del vettoreβ.

Simmetrie e glissosimmetrie

Se la matrice associata adf , rispetto ad una base{v, u1, u2}, conu1, u2 invariantie f (v) = −v, è

S0 =

−1 0 00 1 00 0 1

l’isometria diventa

x′ = −x+ β1

y′ = y+ β2

z′ = z+ β3.

I punti del pianoα di equazionex = β1/2 sono trasformati in punti dello stessopiano. Si presentano due sottocasi.

Se β2 = β3 = 0, i punti di α sono uniti e l’isometria rappresenta lasimmetria ortogonalerispetto al pianoα.

Seβ2 e β3 non sono entrambi nulli la simmetria si può scomporre nellasimmetria rispetto adα seguita da una traslazione parallela al pianoα.L’isometria prende il nome diglissosimmetria.

Rotazioni e rototraslazioni

Se la matrice ortogonale associata adf , rispetto ad una base{u, v1, v2} con uunica direzione invariante e{v1, v2} base ortonormale diu⊥, è

Rθ =


, θ , 0,


x′ = x+ β1

y′ = ycosθ − zsinθ + β2

z′ = ysinθ + zcosθ + β3 ,



che rappresenta un movimento diretto. Si distinguono, in relazione ai puntiuniti, i seguenti sottocasi.

Se β1 = 0, esiste una rettar di punti uniti parallela all’asse dellex(verificare) e l’isometria è unarotazioneattorno alla rettar.

Seβ1 , 0, non ci sono punti uniti e l’isometria si ottiene componendouna rotazione attorno alla rettar seguita da una traslazione parallela allarettar. Questo tipo di isometria prende il nome dirototraslazione.

Rotosimmetrie

Se la matrice ortogonale associata adf , rispetto ad una base{v, v1, v2} conf (v) = −v e {v1, v2} base ortonormale div⊥, è

S Rθ =


, θ , 0,


x′ = −x+ β1

y′ = ycosθ − zsinθ + β2

z′ = ysinθ + zcosθ + β3.

In questo caso l’isometria presenta un solo punto unito (verificare). L’isometriasi può scomporre nella simmetria rispetto al pianoα di equazionex = β1/2 se-guita da una rotazione attorno ad una retta perpendicolare ad α. Tale isometriaprende il nome dirotosimmetria.

4.6 Esercizi

1. Dimostare che la composizione di due rotazioni nel piano èancora unarotazione.

2. Dimostrare che una rotazione piana qualunque può essere scritta comecomposizione di due simmetrie assiali piane.

3. Fissato un sistema di riferimento cartesiano. Scrivere la simmetria pianarispetto alla rettar : x− y = 0.


4.6 Esercizi 75

4. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni della rotazione intorno alla rettax− y = z= 0.

5. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Scrivere leequazioni della simmetria rispetto al pianox− y+ z= 0.

6. Scrivere le equazioni della glissosimmetria ottenuta come composizionedella simmetria rispetto al pianox−y+1 = 0 e della traslazione di vettore(1, 1, 1).

7. Scrivere le equazioni della rototraslazione ottenuta come composizionedella rotazione di angoloπ/4 intorno allÕasse dellez e delle traslazionedi vettore (0, 0, 2).

8. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Scrivere larotosimmetria ottenuta come composizione della simmetriarispetto alpianoz+ 1 = 0 e della rotazione di angoloπ/3 intorno all’asse dellez.

9. Sias la simmetria di un pianoα rispetto ad una rettar ⊂ α. Descriverela simmetrias in termini di una rotazioneR dello spazio. Scrivere leequazioni dise Rnel casoα : z= 0, er : x− y = z= 0.

10. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni di un cambiamento di riferimento rispetto al quale il pianox− y+ z= 0 coincide col pianoz= 0.

11. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni di un cambiamento di riferimento rispetto al quale la rettax− y = z= 0 coincide con l’asse dellex.


5Geometria quadratica 1

In questo capitolo iniziamo lo studio della geometria quadratica, cioè dellageometria dei luoghi di punti del piano o dello spazio le cui coordinate soddi-sfano ad un polinomio di secondo grado. Chiameremo questi luoghi conicheo quadriche a seconda che siano nel piano o nello spazio rispettivamente. Inquesto primo capitolo analizzeremo alcune situazioni particolari per procedere,nel capitolo seguente, ad uno studio generale.

5.1 Sfere e circonferenze

SiaE3 (E2) uno spazio (piano) euclideo, siaC ∈ E3 (C ∈ E2) un suo punto e siaR ∈ R un numero reale positivo. Chiamiamosfera (circonferenza) di centroC e raggioR il luogo dei puntiP dello spazio (piano) tali che

‖P−C‖2 = R2 . (5.1)

In altri termini, una sfera è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanzaRdal puntoC.Rispetto a delle coordinate cartesiane diE

3 la condizione (5.1) diventa

(x− α)2 + (y− β)2 + (z− γ)2 = R2, (5.2)


5.1 Sfere e circonferenze 77

o, equivalentemente,

x2 + y2 + z2 − 2αx− 2βy− 2γz+ α2 + β2 + γ2 − R2 = 0 (5.3)

doveC = (α, β, γ) e P = (x, y, z). Nel caso della circonferenza si ottengono lestesse equazioni mancanti dei termini inz.Se adesso poniamo

a = −2α, b = −2β, c = −2γ, d = α2 + β2 + γ2 − R2

la (5.3) diventax2 + y2 + z2 + ax+ by+ cz+ d = 0 (5.4)

che rappresenta una equazione polinomiale di secondo grado. Dato un poli-nomio della forma (5.4), ci si chiede se questo rappresenti una sfera per ogniquaternaa, b, c, d di numeri reali non tutti nulli. La risposta merita qualcheriflessione. Sea2 + b2 + c2 − 4d > 0 allora la (5.4) può essere riscritta nellaforma (5.2), mentre sea2 + b2 + c2 − 4d < 0 ciò non è possibile. Per esempio,x2 + y2 + z2 − 2z+ 2 = 0 diventax2 + y2 + (z− 1)2 = −1 che chiaramente nonammette soluzioni reali.

Per ovviare a questo problema, da ora in poi, invece di limitarci a considera-re punti dello spazio le cui coordinate sono numeri reali considereremo ancheil caso in cui le coordinate dei punti possano assumere valori complessi. Dalpunto di vista della definizione di spazio affine questo si traduce nella richie-sta che la giacitura dello spazio affine sia uno spazio vettoriale suC inveceche suR. Tutto quello che abbiamo fatto sugli spazi affini continua a valeresenza bisogno di modificare la teoria. Possiamo, per esempio, considerare lerette immaginarie del piano come i puntiP le cui coordinate soddisfano ad unaequazione di primo gradoax+ by+ c = 0 con coefficienti a, b, c ∈ C e tali che(a, b) , (0, 0). Allo stesso modo si possono definire i piani immaginari nellospazio.

Fatta questa osservazione possiamo pensare che un polinomio della forma (5.4)cona2+b2+c2−4d < 0 descriva una sfera i cui punti hanno coordinate imma-ginarie che chiameremosfera immaginaria. Allo stesso modo definiamo unacirconferenza immaginaria.


78 Geometria quadratica 1

In conclusione, sianoa, b, c, d ∈ R (a, b, c ∈ R) quattro (tre) numeri reali nontutti nulli, allora il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano all’e-quazione (5.4) descrive una sfera (circonferenza) reale o immaginaria di centroC = (−a/2,−b/2,−c/2) e raggioR=

√a2 + b2 + c2 − 4d/2.

5.1.1 Circonferenza per tre punti e sfera per quattro punti

L’equazione (5.4) di una circonferenza dipende da tre parametri a, b, c ∈ Rci si aspetta quindi che siano necessarie tre condizioni “indipendenti” per de-terminare l’equazione di una circonferenza in modo unico. In fatti si ha laseguente

Proposizione 5.1.Siano A, B e C tre punti non allineati di un piano euclideo.Allora esiste un unica circonferenza che li contiene.

Dimostrazione.Dimostriamo questo fatto in due modi.

Primo metodo. Con riferimento alla Figura 5.1, tracciamo gli assi dei seg-menti AB e BC (ricordiamo che, per definizione, l’asse di un segmentoABè il luogo di punti del piano equidistanti daA e B; esso coincide con la ret-ta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio). Dato che itre puntiA, B e C non sono allineati, gli assi dei due segmenti non sono pa-ralleli e quindi si incontrano in un punto che chiamiamoO. Osserviamo ched(O,A) = d(O, B) in quantoO appartiene all’asse del segmentoAB. Analo-gamente,d(O, B) = d(O,C) . DunqueO è equidistante daA, B e C, per cui lacirconferenza di centroO e raggioR = d(O,A) contiene i tre punti dati, comerichiesto. L’unicità della circonferenza con questa proprietà segue dal fatto cheO è l’unico punto equidistante daA, B eC.

Secondo metodo. Rispetto ad un sistema di coordinate cartesiano del piano,sianoA = (x1, y1), B = (x2, y2) eC = (x3, y3) le coordinate dei tre punti. I puntiA, B,C appartengono ad una circonferenza se le loro coordinate soddisfanol’equazionex2+y2+ax+by+c = 0 per qualchea, b, c ∈ R cona, b, c non tuttinulli. Sostituendo si perviene al sistema

x21 + y2

1 + ax1 + by1 + c = 0

x22 + y2

2 + ax2 + by2 + c = 0

x23 + y2

3 + ax3 + by3 + c = 0

(5.5)



nelle incognitea, b, c. La matrice del sistema è

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

e dalla Proposizione 3.3 segue che se i puntiA, B,C non sono allineati ilsistema (5.5) ha rango massimo e quindi ammette un unica soluzione. �

b

b

b

bO

A

BC

asse diAB

asse diBC

Figura 5.1 – Costruzione della circonferenza passante per tre punti non allineati.

In modo analogo si dimostra la

Proposizione 5.2.Siano A, B, C e D quattro punti non complanari di unospazio euclideo. Allora esiste un unica sfera che li contiene.

Osservazione5.3. Usando la teoria dei sistemi lineari è un semplice esercizioverificare che l’equazione della circonferenza per tre punti non allineatiA =(x1, y1), B = (x2, y2) eC = (x3, y3) è

∣

∣

∣

∣

∣

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∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 x y 1x2

1 + y21 x1 y1 1

x22 + y2

2 x2 y2 1x2

3 + y23 x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 .



Allo stesso modo l’equazione della sfera per quattro punti non complanariA =(x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4, z4) è

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 + z2 x y z 1x2

1 + y21 + z2

1 x1 y1 z1 1x2

2 + y22 + z2

2 x2 y2 z2 1x2

3 + y23 + z2

3 x3 y3 z3 1x2

4 + y24 + z2

4 x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 .

5.1.2 Parametrizzazione della circonferenza e della sfera

Sia (O, {i, j }) un riferimento ortogonale del piano euclideo e siaC una circonfe-renza di centroC = (α, β) e raggioR. Per parametrizzare la circonferenza, siaPun punto diC e denotiamo conθ l’angolo che il vettoreCP forma con lai comemostrato nella Figura 5.2. Si ha immediatamente cheCP = R(cosθi + sinθj )da cui

OP= OC+CP= (αi + βj ) + R(cosθi + sinθj ) .

Segue che la circonferenzaC può essere parametrizzata da

γ(θ) = P(θ) = (Rcosθ + α,Rsinθ + β) .

Sia adesso (O, {i, j , k}) un riferimento ortogonale dello spazio euclideo e sia

x

y

b

Ob

b

C

P

i

j

θ

Figura 5.2 – Parametrizzazione della circonferenza.

S una sfera di centroC = (α, β, γ) e raggioR. Operiamo la traslazioneT−C



in modo che il centro coincida con l’origine, parametrizziamo la sfera centratanell’origine e di seguito operiamo la traslazioneTC per riportare il centro del-la sfera nella sua posizione originale. Per parametrizzareuna sfera di raggioR con centro nell’origine si opera nel modo seguente. Il vettore OP si puòdecomporre nella somma della sua proiezione ortogonaleOPi,j sullo spaziovettoriale generato da{i, j } e della sua proiezioneOPk lungok. Siaϕ l’angolocheOP forma conk e siaθ l’angolo cheOPi,j forma coni (si veda la Figu-ra 5.3). Ovviamente seOP ha normaR allora OPi,j ha normaRsinϕ, da cuiOPi,j = R(sinϕ cosθi + sinϕ sinθi). Allo stesso modoOPk = Rcosϕk. Segueche una parametrizzazione della sfera di centro l’origine eraggioR è

X(θ, ϕ) = OPi,j +OPk = (Rsinϕ cosθ,Rsinϕ sinθ,Rcosϕ) .

Operando, in fine, la taslazioneTC si ottiene che una parametrizzazione di unasfera di raggioRe centroC = (α, β, γ) è

X(θ, ϕ) = OC+OPi,j +OPk = (Rsinϕ cosθ + α,Rsinϕ sinθ + β,Rcosϕ + γ) .

x y

z

i j

k

θ

ϕ

Pb

O

Figura 5.3 – Parametrizzazione della sfera con centro nell’origine.

5.1.3 Intersezione di una sfera (circonferenza) con una retta

Sia r una retta parametrizzata daP = P0 + tu e siaS una sfera di equazione‖P−C‖2−R2 = 0. I punti di intersezione trar eS si ottengono determinato per



quali valori di t i corrispondenti punti della retta appartengono alla sfera, cioèsoddisfano all’equazione della sfera. Per determinare tali punti basta sostituireil generico puntoP della retta nell’equazione della sfera ed imporre che lasoddisfi. Si ottiene la condizione

‖(P0 −C) + tu‖2 − R2 = 0 ,

che è equivalente alla

‖u‖2t2 + 2〈(P0 −C), u〉t + ‖P0 −C‖2 − R2 = 0 . (5.6)

La (5.6) rappresenta un’equazione di secondo grado int la quale ammette duesoluzioni reali distinte, due soluzioni reali coincidentio due soluzioni comples-se coniugate a seconda che il discriminante∆ sia maggiore, uguale o minoredi zero. Un calcolo diretto, utilizzando l’identità di Lagrange1 e tenendo inconsiderazione la (3.27), mostra che

∆/4 = 〈(P0 −C), u〉2 − ‖u‖2(‖P0 −C‖2 − R2) (5.7)

= −‖(P0 −C) ∧ u‖2 + ‖u‖2R2

= ‖u‖2(

R2 − ‖(P0 −C) ∧ u‖2‖u‖2

)

= ‖u‖2[R2 − d(C, r)2] .

Abbiamo quindi dimostrato che una rettar ha due soluzioni reali distinte, duesoluzioni reali coincidenti o due soluzioni complesse coniugate con una sferaSa seconda che la distanza della retta con il centro della sfera sia minore, ugualeo maggiore del raggio della sfera.

Le stesse considerazioni fatte sino ad ora e che faremo nel seguito valgono nelcaso di una retta ed una circonferenza in un piano euclideo.

Chiameremosecanteuna retta che interseca una sfera in due punti reali distin-ti, esternauna che incontra la sfera in due punti immaginari. Nel caso incui la

1Seu, v ∈ V3 l’identità di Lagrange è

‖u∧ v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − 〈u, v〉2.



retta incontra la sfera in due punti reali coincidenti diremo che la retta ètangen-te alla sfera nel punto di contatto (il punto doppio ottenuto dall’intersezione).Si osservi che tale definizione di retta tangente è puramentealgebrica.In ogni caso una rettar tangente ad una sfera in un suo puntoP risulta perpen-dicolare al vettore posizioneCP, doveC è il centro della sfera. Tale proprietàdiscente direttamente dal fatto che la distanza diP daC è pari al raggioR del-la sfera e che ogni altro punto della retta ha distanza maggiore diRdal centroC.

Consideriamo adesso, fissato un puntoP0 dello spazio, il luogo delle rette perP0 tangenti ad una data sfera dello spazio. SiaP un punto appartenente aduna delle rette perP0 tangenti alla sferaS di centroC e raggioR. Allora ilvettoreP−P0 ha la direzione della retta tangente. Segue che la retta perP0 condirezioneP − P0 interseca la sfera in due punti reali coincidenti. Dalla (5.7),sostituendou conP− P0, si ottiene

〈(P0 −C), (P− P0)〉2 − ‖P− P0‖2(‖P0 −C‖2 − R2) = 0 .

Adesso, sostituendo nell’ultima equazioneP− P0 = P−C +C− P0, si ottiene(dopo qualche conto)

[〈(P−C), (P0 −C)〉 − R2]2 − (‖P−C‖2 − R2)(‖P0 −C‖2 − R2) = 0 . (5.8)

La (5.8) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette perP0 tan-genti alla sfera di centroC e raggioR. Geometricamente, se il puntoP0 nonappartiene alla sfera, questo luogo rappresenta un cono di verticeP0 tangente(circoscritto) alla sfera (per una definizione generale di cono si veda la sezio-ne 5.2). Nel caso di una circonferenza il luogo delle rette per un puntoP0

tangenti ad una circonferenza è formato da due rette. Si notiche se il puntoP0 è interno alla sfera si ottiene un cono immaginario, nel senso che è un conocostituito da rette immaginarie. Analogamente, nel caso della circonferenza,se il puntoP0 è interno si ottengono due rette immaginarie.

Un caso notevole e di grande interesse è quando il puntoP0 appartiene allasfera. In questo caso la (5.8) diventa

〈(P−C), (P0 −C)〉 − R2 = 0 , (5.9)

che rappresenta l’insieme di tutte le rette tangenti alla sfera nel puntoP0, cioèil piano tangente alla sfera nel puntoP0. Nel caso della circonferenza nel piano



la (5.9) rappresenta la retta tangente alla circonferenza nel puntoP0.

Riscrivendo l’equazione cartesiana di una sfera nella forma

〈(P−C), (P−C)〉 − R2 = 0

si nota che, formalmente, l’equazione del piano tangente alla sfera in un suopuntoP0 si ottiene sostituendo ad uno degli argomenti il punto generico P conil punto P0. Da un punto di vista operativo, se l’equazione della sfera è

x2 + y2 + z2 + ax+ by+ cz+ d = 0

e P0 = (x0, y0, z0), l’equazione del piano tangente (5.9) diventa

xx0 + yy0 + zz0 +a2

(x+ x0) +b2

(y+ y0) +c2

(z+ z0) + d = 0 .

Questa operazione prende il nome dipolarizzazione. Si osservi, inoltre, che da-to un puntoP0, non necessariamente appartenente alla sfera, i punti di contattodelle rette perP0 tangenti alla sfera soddisfano sia la (5.1) che la (5.8) e quindisoddisfano la (5.9). Questo fatto mostra che il piano descritto dall’equazione(5.9) ha un ruolo importante anche quando il punto non appartiene alla sfera.In particolare, data una sferaS ed un puntoP0 dello spazio definiamopianopolare del puntoP0 rispetto alla sferaS il piano di equazione (5.9). Ovvia-mente seP0 ∈ S, allora il piano polare diP0 coincide con il piano tangente allasfera inP0. Inoltre, dalla simmetria della (5.9), discende il seguente fatto cheprende il nome diTeorema di Reciprocità: Se Q0 appartiene al piano polaredi P0, allora P0 appartiene al piano polare di Q0.

Nel caso della circonferenza nel piano la polare di un puntoP0 è una rettaed utilizzando il Teorema di Reciprocità si può dare una costruzione graficaesplicita di tale retta come mostra il seguente esempio.

Esempio 5.4.Data una circonferenzaC ed un puntoP0 esterno determinaregraficamente la retta polare. Il problema ha una soluzione immediata, bastaconsiderare le due rette perP0 tangenti alla circonferenza. Infatti, come os-servato in precedenza, i punti di contatto appartengono alla retta polare diP0.Quest’ultima proprietà si può anche verificare utilizzandoil Teorema di Re-ciprocità: siaP1 un punto di tangenza, allora la polare diP1, essendo la retta



tangente alla circonferenza inP1, passa per il puntoP0; dalla reciprocità la pol-lare diP0 passa perP1. Si veda la Figura 5.4 (a). Se adesso supponiamo che ilpuntoP0 sia interno alla circonferenza si può procedere nel modo seguente. Siprenda una qualsiasi rettar1 perP0. La rettar1 intersecherà la circonferenza indue puntiQ1 e Q2. Per il Teorema di Reciprocità il punto di incontroP1 delledue rette tangenti alla circonferenza nei puntiQ1 e Q2 appartiene alla polare diP0. Prendendo una seconda retta perP0 e ripetendo lo stesso procedimento siottiene un secondo punto appartenente alla polare diP0. Si veda la Figura 5.4(b).

b

b

b

P1

P2

P0

(a) P0 esterno

b

b

b

b

b

b

b

Q1

Q2

P1

P2

P0

(b) P0 interno

Figura 5.4 – Costruzione della polare per un punto esterno (a) e per un punto interno (b).

Il procedimento descritto sopra per tracciare la polare di un punto interno aduna circonferenza fallisce quandoP0 coincide con il centro della circonferenza.In questa situazione le rette tangenti alla circonferenza nei puntiQ1 e Q2 sonoparallele. Si verifichi, per esercizio, che seP0 coincide con il centro di unacirconferenza la (5.9) è una relazione impossibile.

5.1.4 Potenza di un punto rispetto ad una sfera (circonferen-za)

SiaS una sfera nello spazio e siaP0 un punto diE3. Siar una qualsiasi retta perP0, che interseca la sfera in due punti reali distintiP1 e P2. Definiamopotenza



del puntoP0 rispetto alla sferaS il numero

P(P0) = 〈P0P1,P0P2〉 . (5.10)

Mostriamo che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta perP0.Sia quindir una generica retta perP0 che possiamo parametrizzare comeP(t) =P0 + tu conu vettore unitario. I punti di intersezione trar e la sfera si trovanorisolvendo l’equazione quadratica (5.6) con‖u‖ = 1, cioè

t2 + 2〈(P0 −C), u〉t + d2 − R2 = 0 , (5.11)

dove abbiamo indicato cond = d(P0,C). Sianot1 e t2 le due soluzioni della(5.11) e siano

P1 = P0 + t1u e P2 = P0 + t2u

i corrispondenti punti di intersezione della rettar con la circonferenza. Allora

P0P1 = P1−P0 = P0+ t1u−P0 = t1u e P0P2 = P2−P0 = P0+ t2u−P0 = t2u

da cui segue che

P(P0) = 〈P0P1,P0P2〉 = t1t2〈u, u〉 = t1t2 = d2 − R2 , (5.12)

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo utilizzato le note proprietà dei polinomidi secondo grado, cioè che il prodotto delle radici di un polinomio monico disecondo grado è pari al termine noto. La (5.12), non dipendendo dal vettoreu,mostra che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta.La (5.12) fornisce un metodo pratico per calcolare la potenza di un punto edinoltre mostra che la potenza di un punto interno è negativa,quella di un puntoesterno è positiva, mentre tutti i punti sulla sfera hanno potenza zero.

Il concetto di potenza permette di introdurre il seguente luogo geometrico.

Definizione 5.5.Date due sfere (circonferenze)S1 e S2 non concentriche sidefiniscepiano radicale (asse radicalenel caso delle circonferenze) il luogodei punti dello spazio cha hanno stessa potenza rispetto alle due sfere.

Nel caso di due circonferenzeC1 eC2 del piano l’asse radicale può essere trac-ciato graficamente nel modo seguente. Se le due circonferenze si intersecanoin due puntiP1 e P2, essendo questi appartenenti alle due circonferenze han-no potenza zero rispetto ad entrambe e quindi appartengono all’asse radicale.



Segue che l’asse radicale è la retta perP1 e P2 (Si veda la Figura 5.5 (a)). Seinvece le due circonferenze non si intersecano si può considerare una terza cir-conferenzaC che intersechi siaC1 cheC2 in due punti distinti ed abbia centronon appartenente alla retta congiungenti i centri delle duecirconferenzeC1 eC2. Denotato conr1 l’asse radicale traC e C1 e conr2 l’asse radicale traC eC2 il puntoP12 di intersezione trar1 e r2 ha chiaramente stessa potenza rispettoalle tre circonferenzeC, C1 e C2 e quindi appartiene all’asse radicale diC1 eC2 (Si veda la Figura 5.5 (b)). Scegliendo un’altra circonferenza e ripetendo ilprocedimento si trova un altro punto dell’asse radicale.

b

b

C1 C2

(a) Circonferenze secanti

b

bb

b

b

r2

r1

P12

C2C1 C2

C

(b) Circonferenze esterne

Figura 5.5 – Costruzione dell’asse radicale per due circonferenze secanti (a) e per dueesterne (b).

Se l’equazione di una circonferenzaC è x2 + y2 + ax+ by+ c = 0, dalla (5.12)segue immediatamente che la potenza di un puntoP0 = (x0, y0) rispetto aC è

P(P0) = x20 + y2

0 + ax0 + by0 + c.

Si dimostri che l’equazione dell’asse radicale di due circonferenze di equazionex2 + y2 + ax+ by+ c = 0 e x2 + y2 + a′x+ b′y+ c′ = 0 è

(a− a′)x+ (b− b′)y+ c− c′ = 0. (5.13)

Si dimostri, inoltre, che la retta congiungente i due centridi due circonferenzeè perpendicolare al corrispondente asse radicale.



5.1.5 Intersezione di due circonferenze

Sianox2 + y2 + ax+ by+ c = 0 e x2 + y2 + a′x+ b′y+ c′ = 0 le equazioni didue circonferenzeC1 eC2. Per determinare i punti di intersezione traC1 eC2

si risolve il sistema

x2 + y2 + ax+ by+ c = 0

x2 + y2 + a′x+ b′y+ c′ = 0

il quale è equivalente al sistema

x2 + y2 + ax+ by+ c = 0

(a− a′)x+ (b− b′)y+ (c− c′) = 0 .(5.14)

Se le circonferenze sono concentriche, cioè sea = a′ eb = b′, la seconda equa-zione del sistema (5.14) implica che non esistono soluzioni(reali o complesse)sec− c′ , 0 o che le circonferenze sono coincidenti sec− c′ = 0.

Se le circonferenze non sono concentriche, allora uno traa−a′ eb−b′ è diversoda zero. Esplicitando, nella seconda equazione del sistema(5.14), la variabilecon coefficiente diverso da zero e sostituendo nella prima equazione si ottieneun’equazione quadratica con coefficiente del termine di secondo grado semprediverso da zero (verificare) la quale, quindi, ammeterà due soluzioni reali di-stinte, complesse coniugate o coincidenti. La Figura 5.6 mostra la posizionereciproca delle due circonferenze e i corrispondenti puntidi intersezione.

(a) Concentriche (b) Secanti (c) Esterne (d) Tangenti

Figura 5.6 – Posizione reciproca di due circonferenze.



5.1.6 Fasci di circonferenze

SianoC1 eC2 due circonferenze non concentriche di equazionex2 + y2 + ax+by+c = 0 ex2+y2+a′x+b′y+c′ = 0. Si consideri per ogni coppia (λ, µ) ∈ R2,(λ, µ) , (0, 0), l’equazione

Fλ,µ = λC1+µC2 = λ(x2+y2+ax+by+c)+µ(x2+y2+a′x+b′y+c′) = 0 . (5.15)

La (5.15) prende il nome diequazione omogenea del fascio di circonferen-ze generato dalle due circonferenze baseC1 e C2. Il nome è giustificato dalfatto che per quasi tutti i (λ, µ) ∈ R2, (λ, µ) , (0, 0), Fλ,µ = 0 è l’equa-zione di una circonferenza. Esistono infatti due possibilità dove l’equazioneFλ,µ cessa di essere l’equazione di una circonferenza. Il primo caso si ottienequandoλ + µ = 0 e discuteremo di questa situazione più avanti. Il secon-do caso si trova quando esisteλ , 0, 1, tale che (a′, b′, c′) = λ(a, b, c) (seλ = 1 le circonferenze base coinciderebbero). Segue che l’elemento del fascioFλ,−1 = (λ − 1)(x2 + y2) = (λ − 1)(x − iy)(x + iy) = 0 non rappresenta più unacirconferenza ma bensì due rette immaginarie incidenti. Inquesto caso, se ledue circonferenze base del fascio si intersecano in due punti reali, verificareche necessariamente devono, entrambi, coincidere con l’origine.

I punti P1 e P2 di intersezione diC1 eC2 sono chiamatipunti baseed è imme-diato verificare che tutte le circonferenze del fascio passano per i punti base. Sinoti che i punti base possono avere coordinate complesse od essere coincidenti.

Dimostriamo adesso che, nel caso i punti base siano reali e distinti, una qua-lunque circonferenza per i punti base appartiene al fascio.Sia quindiC unacirconferenza passante perP1 e P2 e siaP un altro punto diC che non ap-partiene alle circonferenzeC1 eC2. Se non fosse possibile trovare tale puntosignifica cheC coincide conC1 o conC2, da cui la tesi. SiccomeP1, P2 eP nonsono allineati, dalla Proposizione 5.1, esiste un’unica circonferenza che li con-tiene la quale deve coincidere con la circonferenzaC. Ma, essendoC1(P) , 0eC2(P) , 0 (P non appartiene aC1 eC2), la coppia (λ, µ) = (−C2(P),C1(P))definisce una circonferenzaC′ del fascio che contiene i puntiP1, P2 e P. Perl’unicità della circonferenza per tre punti non allineati segue cheC′ = C.

Se nell’equazione (5.15) si sceglieµ = −λ, si ottiene l’equazione

(a− a′)x+ (b− b′)y+ c− c′ = 0 (5.16)



la quale rappresenta una retta. Si osservi che l’equazione del fascio (5.15)si riduce all’equazione di una retta se e solo seµ = −λ. Dal confronto conla (5.13) si evince che la retta (5.16) coincide con l’asse radicale delle duecirconferenze baseC1 eC2.Chiaramente se nella (5.15) si sostituisce una delle due circonferenze basecon una loro combinazione lineare si ottiene lo stesso fascio di circonferen-ze. Quindi l’equazione del fascio (5.15), con circonferenze baseC1 eC2, puòessere sostituita con l’equazione

λC1 + µr = 0,

dover = 0 è l’equazione dell’asse radicale.

Se le due circonferenze baseC1 eC2 si scelgono concentriche, allora la (5.15)rappresenta una circonferenza concentrica per ogni coppia(λ, µ) ∈ R2, (λ, µ) ,(0, 0). Anche in questo caso si può definire il fascio di circonferenze ma nonesistono sia i punti base che l’asse radicale.

Allo stesso modo si possono considerare i fasci di sfere generati dalla combi-nazione lineare dell’equazione di due sfere non concentriche, chiamate sferebase. Il lettore dovrebbe ripercorrere quanto fatto in questo paragrafo per ilcaso dei fasci di sfere.

Esempio 5.6.Mostriamo, con un esempio, l’utilizzo della nozione di fasciodi circonferenze per determinare la circonferenza passante per tre punti nonallineati del piano. SianoP1, P2 e P3 tre punti del piano non allineati. Perdeterminare la circonferenza passante per i tre punti si puòconsiderare il fasciodi circonferenze con punti baseP1 eP2 è determinare l’unica circonferenza delfascio che passa perP3. Per determinare il fascio di circonferenze possiamoconsiderare la retta passante perP1 e P2, che rappresenta l’asse radicale di duedate circonferenze del fascio, e una qualsiasi altra circonferenza passante perP1 e P2, per esempio si può considerare la circonferenza con centronel puntomedio traP1 e P2 e raggioR= d(P1,P2)/2.

5.1.7 Circonferenza su un piano qualunque dello spazio

Sia (O, {i, j , k}) un riferimento ortogonale dello spazio euclideo e siaax+ by+cz+ d = 0 l’equazione di un pianoα. SiaC ∈ α un punto del piano e siaR un



numero reale. Possiamo considerare la circonferenza del pianoα di centroCe raggioR. Vogliamo determinare l’equazione cartesiana e parametrica di talecirconferenza.

Per risolvere il problema analizziamo da prima l’intersezione di un piano conuna sfera. Sia quindi‖P − C‖2 − R2 = 0 l’equazione di una sferaS e siaP = P0+su+tvuna parametrizzazione di un pianoα con{u, v} base ortonormaledella giacitura diα. In questo modo (s, t) sono coordinate cartesiano del piano.Risolvendo il sistema

‖P−C‖2 − R2 = 0

P = P0 + su+ tv

si perviene all’equazione inse t

‖(P0 −C) + su+ tv‖2 − R2 = 0 ,

che è equivalente alla

s2 + t2 + 2〈(P0 −C), u〉s+ 2〈(P0 −C), v〉t + ‖P0 −C‖2 − R2 = 0

la quale rappresenta, tranne in un caso, una circonferenza del pianoα (even-tualmente immaginaria). Il caso singolare si verifica quando l’equazione del-l’intersezione divienes2+ t2 = 0. Questo succede quandoP0 è tale che (P0−C)è perpendicolare siau che av ed inoltre la distanza diP0 daC è pari al rag-gio della sfera, cioèP0 è un punto della sfera. Non è difficile convincersi chesotto queste condizioni il pianoα risulti tangente alla sfera nel puntoP0. L’in-tersezione del piano con la sfera contiene il solo puntoP0 di coordinate reali(s, t) = (0, 0). Ciò nonostante, il polinomios2 + t2 può essere decomposto inC nella forma (t + is)(t − is) è quindi l’equaziones2 + t2 = (t + is)(t − is) = 0rappresenta due rete immaginarie incidenti in un punto reale.

Questo fatto suggerisce che l’equazione di una circonferenza di un pianoαpossa essere data come intersezione del pianoα con una opportuna sfera. Bi-sogna verificare che datiα e una circonferenzaC di α con centro inC esista unasferaS la cui intersezione conα siaC. La verifica di questo fatto è immediata,infatti basta prendere un qualsiasi puntoC′ sulla retta perC perpendicolare alpianoα e considerare la sfera di centroC′ e raggio pari alla distanza diC′ daun qualsiasi punto diC.



Esercizio costruttivo è il viceversa: data una circonferenza C ottenuta comeintersezione di una sfera di centroC e raggioR con un pianoα di equazioneax+ by+ cz+ d = 0, determinare il centro ed il raggio. L’equazione cartesianadella circonferenza è

‖(P−C)‖2 − R2 = 0

ax+ by+ cz+ d = 0 .

Per determinare il centroC′ della circonferenza basta considerare la rettarperpendicolare adα e passante perC, per ovvie ragioni geometricheC′ èil punto di intersezione della rettar con il pianoα. Per determinare il rag-gio R′ della circonferenza basta applicare il teorema di Pitagoraal triangolodi vertici CC′P doveP è un qualsiasi punto della circonferenza. Segue ched(C,P)2 = d(C,C′)2 + (C′,P)2, ovvero,R2 = d(C,C′)2 + R′2, da cui segue cheR′ =

√

R2 − d(C,C′)2.

Se invece si vuole determinare l’equazione parametrica della circonferenzaα∩S si procede nel modo seguente. SiaC′ il centro della circonferenza e siaP un suo punto. Sia{u, v} una base ortonormale della giacitura del pianoα.Denotiamo conθ l’angolo cheC′P forma con il vettoreu, segue cheOP =OC′ + C′P = OC′ + R′ cosθu + R′ sinθv. Sostituendo, in quest’ultima, lecomponenti diOC′, u ev rispetto ad una base ortonormale{i, j , k} dello spazioeuclideo si ottiene la parametrizzazione della circonferenza.

5.1.8 Esercizi

1. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel punto diintersezione delle rettey = x e x+y+2 = 0 e passante per l’origine degliassi .

2. Determinare l’equazione della circonferenza avente perdiametro il seg-mentoOA conA = (−6,−4).

3. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel puntoC =(−3,−2) e tangente all’assex.

4. Determinare l’equazione della circonferenza di centroC = (−4,−1) etangente alla retta di equazionex+ y+ 1 = 0.



5. Dal centro della circonferenzax2 + y2 = 2ax, a ∈ R, è tracciata la rettaparallela alla rettax + 2y = 0. Detti A e B i punti di intersezione tra laretta e la circonferenza, determinare l’area del triangoloAOB.

6. Data la circonferenzax2 + y2 − 4y = 0 determinare le rette tangenti allacirconferenza (se ve ne sono), e passanti per il puntoA = (0, 6).

7. Dato il fascio di circonferenze (1+k)x2+ (1+k)y2−12x−4(1+k)y = 0,k ∈ R, determinare il valore dik per cui si ottiene:

• la circonferenza passante per (−1,−1);

• la circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x+ 2y = 0;

• la circonferenza che ha il centro sulla rettax+ y+ 4 = 0;

• la circonferenza che ha il raggio pari a√

5.

8. Tra le circonferenze passanti perA = (1, 0) ed ivi tangenti alla retta diequazionex− y− 1 = 0 si trovino quelle di raggio 1

2√

2

9. Data la circonferenza di equazionex2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 ed il suopuntoA = (0, 3) determinare:

• centro e raggio;

• l’equazione della retta tangente alla circonferenza inA;

• gli altri vertici del quadrato inscritto nella circonferenza ed aventeun vertice inA;

10. Dati tre puntiA = (1, 0), B = (3, 4) eC = (2, 3) determinare:

• l’area del triangolo di verticiABC;

• l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

11. Date le circonferenzex2+y2 = R21 e (x−α)2+y2 = R2

2 conα−R2 > R1,α >0, determinare le equazioni delle rette tangenti alle due circonferenze.

12. Dimostrare che l’asse radicale di due circonferenze coincide con il luogogeometrico dei punti del piano aventi la stessa potenza rispetto alle duecirconferenze.



13. Dato il fascio di rette generato dalle rettey − x = 0 e y + 2x − 1 = 0,determinare l’equazione della circonferenza con centro inC = (2, 0) etangente a due rette perpendicolari del fascio.

14. Determinare la circonferenza del fasciox2+ y2− kx= 0, k ∈ R, tangentealla rettay− x− 4 = 0.

15. SiaC una circonferenza di centroC e raggioR. Si definisceinversioneper raggi reciproci l’applicazione Inv :R2 \ {C} :→ R2 \ {C} definitanel modo seguente: per un dato puntoP del piano Inv(P) = P′ è il puntodi intersezione della rettar per C e P con la polare del puntoP. LacirconferenzaC è dettacirconferenza di inversione.

• SeP = (x, y), dimostrare che

Inv(P) =R2(P−C)‖P−C‖2 +C

• Dimostrare che Inv◦ Inv(P) = P, cioè Inv◦ Inv è la applicazioneidentità. Un’applicazione con tale proprietà si diceinvoluzione.

• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione non passante per l’origine èuna circonferenza.

• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione passante per l’origine è unaretta.

• Cosa si può dire dell’immagine di una circonferenza secantelacirconferenza di inversione?

• Studiare l’immagine di una retta nei tre casi: passante per l’origine,secante la circonferenza di inversione e tangente alla circonferenzadi inversione.

16. SiaS2(1) = {P ∈ E3 : d(O,P) = 1} la sfera centrata nell’origine di

raggio 1 e siaN = (0, 0, 1) il polo nord. Si definisca l’applicazioneprN : S2(1) \ {N} → R2 nel modo seguente: prN(P) = (x, y), con (x, y)coordinate del punto di intersezione della rettar, passante perN e P,con il piano equatorialez = 0. L’applicazione prN si chiamaproiezionestereograficadal polo nord.


5.2 Cilindri e Coni 95

• Dimostrare che seP = (x0, y0, z0), allora

prN(P) =

(

x0

1− z0,

y0

1− z0

)

• Dimostrare che l’inversa di prN è data da

pr−1N (x, y) =

(

2x1+ x2 + y2

,2y

1+ x2 + y2,

x2 + y2 − 11+ x2 + y2

)

• Calcolare in modo analogo l’applicazione prS : S2(1) \ {S} → R2

doveS = (0, 0,−1) è il polo sud.

• Dimostrare che l’applicazione prN ◦ pr−1S : R2 \ {O} :→ R2 \ {O} è

l’inversione per raggi reciproci rispetto alla circonferenza del pianocentrata nell’origine di raggio 1.

5.2 Cilindri e Coni

Sia L una curva dello spazio euclideoE3 dove abbiamo fissato un riferimentocartesiano. Si pensi, per esempio, ad una retta o ad una circonferenza di unpianoα. Come abbiamo visto in precedenza sia la retta che la circonferenza sipossono parametrizzare. Pensiamo adesso ad una qualsiasi curva dello spazioLche si possa parametrizzare, nel senso che si possano indicare in modo esplicitole coordinate dei punti appartenenti alla curvaL in funzione di un parametrot.Quindi le coordinate dei punti della curvaL si possono scrivere nella forma

L(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t ∈ (a, b) ⊂ R .

Con riferimento alla Figura 5.7 diamo le seguenti definizioni.

Definizione 5.7.Siav un vettore della giacitura dello spazio euclideoE3 e sia

L una curva parametrizzata. Definiamocilindro di direttrice L l’insieme dellerette (generatrici) dello spazio con direzionev ed incidenti la curvaL.

Definizione 5.8.SiaV un punto dello spazio euclideoE3 e siaL una curva para-metrizzata. Definiamoconodi direttrice L l’insieme delle rette (generatrici)dello spazio passanti perV ed incidenti la curvaL.



bV

L(a)

L

v

(b)

Figura 5.7 – Il cono(a) ed il cilindro (b).

Determiniamo le parametrizzazioni del cilindro e del cono.SiaL(t) = (x(t), y(t), z(t))e siav = (v1, v2, v3), allora un puntoP appartiene al cilindro con direttriceL egeneratrici parallele av se e solo se, per qualchet ∈ (a, b), il vettoreP− L(t) èparallelo av, cioè se esistes ∈ R tale cheP− L(t) = sv. Segue che i punti delcilindro sono dati da

P(s, t) = L(t) + sv= (x(t) + sv1, y(t) + sv2, z(t) + sv3) .

Per determinare la parametrizzazione del cono con vertice in V = (x0, y0, z0)e direttriceL(t) = (x(t), y(t), z(t)) basta osservare che un puntoP appartiene alcono se e solo se, per qualchet ∈ (a, b), il vettoreP− V è parallelo al vettoreL(t) − V, cioè se esistes ∈ R tale cheP − V = s(L(t) − V). In questo caso ilcono risulta parametrizzato dalla

P(s, t) = V + s(L(t) − V) = (x0 + s(x(t) − x0), y0 + s(y(t) − y0), z0 + s(z(t) − z0) .

Un conoC si dicerotondo se la direttrice è una circonferenza di un pianoα edil vertice appartiene alla retta per il centro della circonferenza e perpendicolareal pianoα.

Un cilindroC si dicerotondo se la direttrice è una circonferenza di un pianoα

e le generatrici sono perpendicolari adα.


5.2 Cilindri e Coni 97

5.2.1 Equazione cartesiana del cilindro e del cono

Per equazione cartesiana del cono (o del cilindro) si intende un’equazione deltipo F(x, y, z) = 0, conF funzione delle tre variabilix, y, z, le cui soluzionideterminano le coordinate di tutti i punti del cono (o del cilindro). Determina-re l’equazione cartesiana di un cono o di un cilindro dipendedall’espressionedella parametrizzazione della direttriceL. Non esiste una procedura standard.In via teorica il metodo consiste nell’eliminare i parametri s, t dalla parame-trizzazione. Vediamo alcuni esempi.

SiaC il cilindro con direttrice la circonferenza di raggio R e centro nell’originedel pianoz= 0 e siav = (0, 0, 1). La parametrizzazione del cilindroC è

x = Rcost

y = Rsint

z= s

da cui segue immediatamente chex2 + y2 = R2, che rappresenta l’equazionecartesiana del cilindro nel senso che un puntoP = (x, y, z) appartiene al cilindrose e solo se le sue coordinate soddisfano alla condizionex2 + y2 = R2. Si vedequindi che fissate le prime due coordinate il valore dellaz, non comparendonell’equazione, può assume turi i valori reali. È bene osservare che, come nelcaso dell’equazione di un piano nello spazio, l’equazionex2 + y2 = R2 rappre-senta un cilindro nello spazio ma nel piano rappresenta una circonferenza.

Sia adessoC il cono con vertice nell’origine e direttrice la circonferenza dicentroC = (0, 0, 1) e raggioR = 1 del pianoα di equazionez = 1. Lacirconferenza può essere parametrizzata da

L(t) = (cost, sint, 1) .

Segue che una parametrizzazione del cono è

x = scost

y = ssint

z= s.

Eliminando i parametris e t si ottiene l’equazione cartesiana

x2 + y2 − z2 = 0 .



Il lettore più attento avrà subito osservato che il polinomio sopra è un polino-mio omogeneo di secondo grado. Questo fatto non è una coincidenza ed infattiisi può dimostrare la seguente affermazione (la cui dimostrazione è lasciata peresercizio):il luogo geometrico dei punti dello spazio le cui coordinatesoddi-sfano una equazione polinomiale omogenea rappresenta un cono con verticenell’origine.

Se adesso operiamo una traslazioneTP0, conP0 = (x0, y0, z0), si conclude im-mediatamente che un polinomio omogeneo nelle variabilix′ = x−x0, y′ = y−y0

e z′ = z− z0 rappresenta un cono con vertice inP0. A titolo di esempio, l’e-quazione (x − 1)2 + (y+ 2)2 − (z− 3)2 = 0 rappresenta un cono con vertice inP0 = (1,−2, 3).

5.2.2 Cono e cilindro circoscritto ad una sfera

Come già osservato in precedenza il luogo geometrico di tutte le rette per unpuntoP0 dello spazio e tangenti ad una data sferaS di centroC e raggioRforma un cono con vertice inP0 circoscritto alla sfera. In questo caso la (5.8)fornisce l’equazione cartesiana del cono, cioè

[〈(P−C), (P0 −C)〉 − R2]2 − (‖P−C‖2 − R2)(‖P0 −C‖2 − R2) = 0 .

Se adesso consideriamo il luogo geometrico delle rette con una data direzionev tangenti alla sferaS troviamo un cilindro circoscritto alla sfera. Per determi-nare l’equazione di tale cilindro basta considerare la (5.7) dove si consideraP0

come un punto arbitrario del cilindro mentrev è la direzione delle generatricidel cilindro. Si ottiene l’equazione

〈(P−C), v〉2 − ‖v‖2(‖P−C‖2 − R2) = 0 .

5.2.3 Esercizi

1. Date le rette

r =

2x+ y+ z= 1

x+ 2y = −1, r ′ =

−2x− z+ 1 = 0

3x+ y+ z= 0

• Trovare l’equazione cartesiana della sferaS passante per l’originee centro nel punto di intersezione trar e r ′.


5.3 Coniche come luogo geometrico 99

• Scrivere l’equazione cartesiana del cono tangente alla sfera S convertice inV = (2,−1, 1).

• Determinare l’equazione parametrica di una direttriceL del conoche appartenga alla sferaS.

• Scrivere l’equazione parametrica e cartesiana del cilindro con di-rettricer e generatrici parallele alla rettar ′.

• Scrivere l’equazione del cilindro con direttriceL e generatrici pa-rallele alla rettar.

5.3 Coniche come luogo geometrico

In questo paragrafo risolveremo alcuni problemi classici che ci porteranno adintrodurre alcune curve e superfici definite da una equazionepolinomiale di 2◦

grado.

Iniziamo con il seguente problema:nel piano euclideo determinare il luogo deipunti P tali che la somma delle distanze da due dati punti del piano F1 e F2

(chiamatifuochi) è una data costante positiva, denotata con2a.

Questo luogo di punti si chiamaellissee, rispetto ad un opportuno riferimentocartesiano del piano (detto riferimento canonico dell’ellisse), la sua equazionecartesiana è un’equazione polinomiale di secondo grado. Dimostriamo questofatto.Con riferimento alla Figura 5.8, scegliamo come origine delriferimento il pun-to medio tra i due fuochiF1 e F2, come vettorei quello con direzione e versoconcorde conF2F1 e j in modo tale che la base{i, j } sia orientata positivamen-te. Segue che seF1 = (c, 0), c > 0, alloraF2 = (−c, 0). La condizione checaratterizza i punti appartenenti all’ellisse si scrive quindi:

d(P, F1) + d(P, F2) =√

(x− c)2 + y2 +√

(x+ c)2 + y2 = 2a .

Ora, muovendo la seconda radice a destra dell’uguale, quadrando l’equazio-ne una prima volta, isolando l’unica radice rimasta, quadrando nuovamente efacendo le dovute semplificazioni si perviene all’equazione

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) .



Adesso, essendo per costruzionea > c, possiamo porreb2 = a2 − c2, da cuil’equazione precedente può essere messa nella forma

x2

a2+

y2

b2= 1 , (5.17)

che prende il nome diequazione canonicadell’ellisse.

x

y

b

b

b bbb

b

b

−b

a−a

F1F2

P

γ

Figura 5.8 – L’ellisse in forma canonica.

È istruttivo mostrare che ogni puntoP0 = (x0, y0) le cui coordinate soddisfanola (5.17) è un punto dell’ellisse. Infatti, supponiamo ched(P0, F1)+d(P0, F2) =2a′. Dobbiamo dimostrare chea′ = a. Seguendo i calcoli appena visti si trova

x20

(a′)2+

y20

(b′)2= 1 , (b′)2 = (a′)2 − c2 (5.18)

che, confrontata con la (5.17), implica che

x20

(

1a2− 1

(a′)2

)

+ y20

(

1b2− 1

(b′)2

)

= 0 .

Siccome (x0, y0) sono soluzioni della (5.17) non possono essere entrambi nulli.Segue dalla (5.18) che oa2 = (a′)2 o b2 = (b′)2 ed in ogni caso, per come sonodefiniti b eb′, si conclude chea = a′.



I numeriaeb sono chiamatisemi assidell’ellisse mentre i punti di intersezionedell’ellisse con gli assi coordinati sono dettivertici . La parte dell’ellisse delprimo quadrante si può descrivere tramite la funzione

y = b

√

1− x2

a2, x ∈ [0, a]

la quale indica che il grafico dell’ellisse nel primo quadrante è quello indicatoin Figura (5.8). Le restanti parti dell’ellisse si possono tracciare per simmetria(il lettore dovrebbe scrivere esplicitamente le funzioni che descrivono il graficodell’ellisse nei restanti tre quadranti e convincersi che la Figura (5.8) è corret-ta).

In modo simile definiamo l’iperbole come: il luogo dei punti P del piano taliche il valore assoluto della differenza delle distanze da due dati punti del pianoF1 e F2 (chiamati fuochi) è una data costante positiva, denotata con 2a.

Introducendo un riferimento cartesiano come nel caso dell’ellisse, un puntoP = (x, y) appartiene all’iperbole se

|d(P, F1) − d(P, F2)| = |√

(x− c)2 + y2 −√

(x+ c)2 + y2| = 2a .

Con calcoli simili a quelli svolti nel caso dell’ellisse si perviene all’equazione

x2

a2− y2

b2= 1 , b2 = c2 − a2, (5.19)

che prende il nome diequazione canonicadell’iperbole. Per tracciare l’iper-bole in forma canonica procediamo nel modo seguente. In questo caso la partedell’iperbole del primo quadrante si può descrivere tramite la funzione

y = b

√

x2

a2− 1 , x ∈ [a,+∞) , (5.20)

la quale, utilizzando i metodi dell’analisi matematica, hacome grafico quellomostrato in Figura 5.9. In particolare, la funzione (5.20) presenta un asintotoobliquo di equazioney = (b/a)x. In fine, descrivendo la parte dell’iperbole neirestanti tre quadranti come grafico di opportune funzioni edevidenziando lesimmetrie tra queste funzioni, si perviene al grafico dell’iperbole mostrato in



x

y

b b bb

b

y= ba xy=− b

a x

a−a F1F2

P

Figura 5.9 – L’iperbole in forma canonica.

Figura 5.9.

Descriviamo adesso l’ellisse e l’iperbole utilizzando un’altra costruzione geo-metrica la quale ci permeterà di definire una terza curva. Il problema geometri-co si può formulare nel modo seguente:fissati un punto F, dettofuoco, ed unaretta r nel piano, dettadirettrice , (con F< r), determinare il luogo di punti Pdel piano tali che

d(P, F)d(P, r)

= e

dove e è una costante reale positive chiamataeccentricità. Si veda la Figu-ra 5.10.Rispetto ad un qualsiasi riferimento cartesiano dove l’asse dellex è la retta perF perpendicolare adr, le coordinate del fuoco sonoF = (c, 0), c ∈ R, mentrela direttrice ha equazionex = d, d ∈ R. La condizione

dist(P, F)dist(P, r)

= e

diventa√

(x− c)2 + y2 = e|x− d| .Elevando al quadrato si ottiene

(1− e2)x2 + y2 + 2(de2 − c)x+ (c2 − e2d2) = 0 . (5.21)



bF

r

Pb

x

Figura 5.10– Definizione di eccentricità.

See , 1, possiamo scegliere l’origine in modo chede2 − c = 0. L’equazionediventa

x2

d2e2+

y2

d2e2(1− e2)= 1 (5.22)

e si presentano due casi

e< 1 In questo caso i denominatori sono entrambi positivi e si tratta di unellisse.

e> 1 In questo caso i denominatori hanno segni opposti e si tratta di un iper-bole.

Dal confronto delle equazioni (5.22), (5.17) e (5.19), tenendo conto chede2 =

c, si ottiene

d =a2

c, e=

ca.

Vediamo adesso il caso in cuie= 1. La (5.21) diventa

y2 + 2(d − c)x+ (c2 − d2) = 0 .

Scegliendo l’origine in modo ched = −c, come mostra la Figura 5.11, l’equa-zione diventa

y2 = 2px, p = 2c , (5.23)

che prende il nome diequazione canonicadellaparabola. La geometria dellaparabola è, in questo caso, molto semplice da comprendere visto che la (5.23) sipuò pensare come il grafico di una funzione dipendente day cony ∈ (−∞,+∞).



bF

r

Pb

x

y

Figura 5.11– La parabola in forma canonica.

5.3.1 Esercizi

1. Trovare due puntiP e Q dell’ellisse x2

36 +y2

9 = 1 tali che assieme aA =(6, 0) formino un triangolo equilatero.

2. SiaR un rettangolo con vertici nell’ellissex2

49 +y2

24 = 1 e con due latiperpendicolari all’asse delle ascisse e passanti per i fuochi. Calcolarel’area diR.

3. Gli estremiA, B di un segmento rettilineo di lunghezzaℓ si muovonolungo gli assi coordinati. Determinare il luogo geometricodei puntiMdel segmento tali che

d(A,M)d(B,M)

= k ∈ R

4. Trovare l’equazione canonica dell’iperbole con asintoti y = (±1/2)x epassante perP = (12,

√3).

5. SianoF1 e d1 un fuoco e una direttrice di un’iperbole e siar un suoasintoto. SeF1P ⊥ r, P ∈ r, dimostrare cheP ∈ d1.

6. SiaP un punto vincolato a muoversi lungo una circonferenza centratanell’origine e raggioR. SiaM un punto del segmentoOP le cui coordi-



nate dividono quelle diP in segmenti di rapportoλ ∈ R. Determinare illuogo geometrico individuato daM.

7. Trovare il luogo geometrico descritto dai centri di tuttele circonferenzetangenti a due date circonferenze.

8. Scrivere l’equazione canonica di un’iperbole per la quale il puntoP =(16/5, 12/5) è l’itersezione di un asintoto con una direttrice.

9. Calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo equilatero i cui verticiappartengono alla parabolay2 − 2px= 0.

5.3.2 Parametrizzazioni delle coniche in forma canonica

Ricordando l’identità fondamentale della goniometria, l’ellisse di equazione

x2

a2+

y2

b2= 1

si può parametrizzare nel modo seguente:

P(θ) = (acosθ, bsinθ) .

Per l’iperbole è necessario ricorrere alle funzioni iperboliche (come lo stessonome avrebbe dovuto suggerire). Si verifica immediatamenteche l’iperbole diequazione

x2

a2− y2

b2= 1

ammette una parametrizzazione data da

P(θ) = (acoshθ, bsinhθ) .

Il caso della parabola risulta immediato. Normalmente per una parabola diequazione

y2 = 2px

si sceglie la parametrizzazione

P(t) = (2pt2, 2pt) .



5.4 Superfici di rivoluzione

Siar una retta dello spazio euclideoE3 e siaγ una curva arbitraria dello spazio.Se ruotiamoγ attorno alla rettar (asse di rotazione) ogni puntoP ∈ γ, ruotan-do attorno alla alla rettar, descrive una circonferenza appartenente al piano perP ortogonale alla rettar e con il centro sulla rettar. L’insieme di tutte questecirconferenze forma una superficie chiamatasuperficie di rivoluzione (si vedala Figura 5.12).

Le circonferenze descritte dalla rotazione dei puntiP ∈ γ sono chiamatiparal-leli mentre le curve ottenute dall’intersezione della superficie con piani conte-nenti l’asse di rotazione sono dettimeridiani . Chiaramente se invece di ruo-tare la curvaγ si ruota uno dei suoi meridiani si ottiene la stessa superficie dirivoluzione.Per descrivere l’equazione di una superficie di rotazione supponiamo cheγsia un meridiano e scegliamo un riferimento cartesiano dello spazio in modoche il meridianoγ appartenga al pianoy = 0, come mostrato in Figura 5.12.Supponiamo inoltre che la curvaγ sia descritta dall’equazione

F(x, z) = 0

y = 0 .(5.24)

Si osservi che se un puntoP0 ∈ γ ha coordinate (x0, 0, z0) allora la distanzadel puntoP0 dall’asse di rotazione (l’assez) è d = |x0|. Se per un momentosupponiamo che i punti diγ abbiano ascissa non negativa, allorad = x0. SiaadessoP = (x, y, z) un punto generico della superficie di rotazione. Siccome ilpuntoP appartiene ad uno dei paralleli della superficie, esiste un punto P0 ∈γ appartenente allo stesso parallelo, si veda ancora la Figura 5.12. Siad ilraggio del parallelo, allora le coordinate del puntoP0 sonoP0 = (d, 0, z) conF(d, z) = 0. Adesso, dal fatto che la distanza del puntoP dall’asse di rotazioneè pari ad, si ottiened =

√

x2 + y2. Sostituendod =√

x2 + y2 nella condizioneF(d, z) = 0 si ottiene, essendoP un punto generico della superficie, il seguentefatto: l’equazione di una superficie di rivoluzione ottenuta ruotando una curvaγ di equazione F(x, z) = 0, y = 0 attorno all’asse z è

F(√

x2 + y2, z) = 0 . (5.25)


5.5 Quadriche di rotazione 107

x

y

z

γ

dd

b

b

P = (x, y, z)

P0 = (d, 0, z)

Figura 5.12– Superficie di rivoluzione.

5.4.1 Equazione parametrica di una superficie di rivoluzione

Se il meridianoγ è descritto in forma parametrica dalla

γ(t) = (x(t), 0, z(t))

la parametrizzazione della superficie di rivoluzione ottenuta dalla rotazionedella curvaγ attorno all’assez si ottiene facendo agire le rotazioni antiora-rie attorno all’assezdi angoloθ ad un generico puntoP della curvaγ. Tenendoconto dell’Osservazione 4.5, si ottiene la parametrizzazione

X(θ, t) = Rkθ γ⊤ =

cosθ − sinθ 0sinθ cosθ 0

0 0 1

x(t)0

z(t)

=(

x(t) cosθ, x(t) sinθ, z(t))

. (5.26)

5.5 Quadriche di rotazione

In questo paragrafo consideriamo le superfici di rotazione ottenute facendoruotare le conica descritte nel paragrafo 5.3 attorno ad unodegli assi coordinati.



5.5.1 Ellissoidi

Si consideri nel pianoy = 0 l’ellisse di equazione

x2

a2+

z2

b2= 1 .

Ruotando l’ellisse attorno all’assezsi ottiene una superficie di rotazione, chia-mataellissoide di rotazione, la cui equazione, tenendo conto della (5.25),è

x2 + y2

a2+

z2

b2= 1 . (5.27)

L’aspetto della superficie, a seconda chea sia maggiore o minore dib, è mo-strato nelle Figura 5.13 e Figura 5.14. È un esercizio utile descrivere le curveottenute intersecando l’ellissoide di rotazione con pianiperpendicolari agli assicoordinati. Per esempio, le intersezioni con piani perpendicolari all’asse dellez di equazionez = c, c ∈ R, sono circonferenze (eventualmente immaginarie)di equazione

z= c

x2 + y2 = a2(

1− c2

b2

)

,

in accordo con il fatto che la superficie è di rotazione attorno all’assez. Il let-tore dovrebbe descrivere i rimanenti casi.

In teoria si potrebbe considerare la superficie ottenuta dalla rotazione dell’el-lisse attorno all’asse dellex invece che attorno all’asse dellez. Non è dif-ficile convincersi che il risultato di tale operazione genera una superficie diequazione

x2

a2+

y2 + z2

b2= 1

la quale, dopo il cambiamento di coordinate cartesianox = z′, y = y′ e z = x′,si trasforma nella (5.27).

Generalizzando quanto visto in questo paragrafo definiamoellissoidela super-ficie dello spazio che, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento cartesia-no, ha equazione

x2

a2+

y2

a2+

z2

c2= 1 . (5.28)



La (5.28) rappresenta una superficie il cui aspetto è simile aquello delle Figu-re 5.13 e 5.14. L’unica differenza è che nel caso in cuia, b, c siano distinti lasuperficie non è di rotazione rispetto ad alcun asse.

x

y

z

Figura 5.13– Ellissoide di rotazione cona > b.

5.5.2 Iperboloidi

Procedendo allo stesso modo del paragrafo precedente si consideri, nel pianoy = 0, l’iperbole di equazione

x2

a2− z2

b2= 1 .

Ruotando l’iperbole attorno all’assez si ottiene una superficie di rotazione,chiamataiperboloide di rotazione ad una falda, la cui equazione, tenendoconto della (5.25), è

x2 + y2

a2− z2

b2= 1 . (5.29)

L’aspetto della superficie, è mostrato nella Figura 5.15. Anche in questo casoil lettore dovrebbe studiare le intersezioni dell’iperboloide ad una falda con ipiani perpendicolari agli assi coordinati.



x

y

z

Figura 5.14– Ellissoide di rotazione cona < b.

Anche in questo caso l’equazione (5.29) si può generalizzare nella

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 , (5.30)

la cui superficie corrispondente prende il nome diiperboloide ad una falda.

Diversamente dal caso dell’ellisse se ruotiamo l’iperboleattorno all’asse dellex la superficie ottenuta è sostanzialmente differente da quella ottenuta ruotandol’iperbole attorno all’asse dellez. Basti osservare, come mostra la Figura 5.16,che ruotando l’iperbole attorno all’asse dellex si ottiene una superficie formatada due componenti (falde). In questo caso la superficie ha equazione

x2

a2− y2 + z2

b2= 1 , (5.31)



x

y

z

Figura 5.15– Iperboloide ad una falda.

è prende il nome diiperboloide di rotazione a due falde.

Come negli altri casi la (5.31) si generalizza nella

x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 , (5.32)

la cui superficie corrispondente prende il nome diiperboloide a due falde.

5.5.3 Paraboloidi

In questo paragrafo consideriamo il caso in cui si ruota una parabola attorno aduno degli assi coordinati. Si consideri quindi, nel pianoy = 0, la parabola diequazione

x2 = 2pz.



x

y

z

Figura 5.16– Iperboloide a due falde.

Se ruotiamo la parabola attorno all’asse dellex si ottiene una superficie diequazione

x2 = 2p√

y2 + z2

che, quadrando, diventax4 = 4p2(y2 + z2)

la quale rappresenta una superficie la cui equazione è data daun polinomio diquarto grado. Siccome il nostro interesse è nelle superficiela cui equazioneè data da un polinomio di secondo grado, questo esempio esuladalla nostratrattazione e non verrà considerato.

Se invece ruotiamo la parabola attorno all’asse dellezsi ottiene la superficie diequazione

x2 + y2 = 2pz, (5.33)

chiamataparaboloide di rotazione. Una rappresentazione del paraboloide dirotazione è mostrata in Figura 5.17.



x

y

z

Figura 5.17– Paraboloide di rotazione.

In fine anche in questo caso si può generalizzare la (5.33) nella

x2

a2+

y2

b2= 2z, (5.34)

la cui superficie corrispondente prende il nome diparaboloide ellittico.

Una ulteriore generalizzazione della (5.34) consiste nella

x2

a2− y2

b2= 2z. (5.35)

Questa equazione rappresenta una superficie che non ha un corrispondente dirotazione come nei casi precedenti, cioè se nella (5.35) si ponea = b la cor-rispondente superficie non è di rotazione rispetto a nessunodegli assi coor-dinati. Il lettore può verificare questo fatto analizzando le intersezioni con ipiani perpendicolari agli assi coordinati e mostrando che non si ottengono maicirconferenze.La superficie rappresentata dalla (5.35) prende il nome diparaboloide iperbo-lico o paraboloide a sella. Il nome a sella trova giustificazione nella sua formache assomiglia, per l’appunto, ad una sella, come mostra la Figura 5.18.



x

y

z

Figura 5.18– Paraboloide iperbolico.

Come mostreremo nel prossimo capitolo le equazioni delle coniche e delle qua-driche viste in questo paragrafo e riassunte nella Tabella 5.1 sono, in qualchemodo, fondamentali per la comprensione dell’equazione generale di una conicao di una quadrica e, per questo motivo sono chiamateequazioni canoniche.

5.5.4 Esercizi

1. Dato l’ellissoideQ di equazionex2 + y2 + 4z2 = 1

• Scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine e direttriceLdata come intersezione diQ con il pianoz= k.

• Scrivere l’equazione del cono con verticeV = (2, 0, 0) e direttriceL data come intersezione diQ con il pianox = k.

• Scrivere l’equazione del cilindro con generatrici parallele a k etangenti all’ellissoide.



Nome Equazione Di rotazione

Ellissoidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 se due traa, b, c sono uguali

Iperboloide ad una faldax2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 sea = b

Iperboloide a due faldex2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 seb = c

Paraboloide ellitticox2

a2+

y2

b2= 2z sea = b

Paraboloide iperbolicox2

a2− y2

b2= 2z mai

Tabella 5.1– Equazioni canoniche delle cinque quadriche incontrate inquesto paragrafo.

2. Dimostrare che le ellissi ottenute intersecando l’ellissoide

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

con i pianix = k = costante hanno la stessa eccentricità.

3. Mostrare che il piano 2x+ 3y− 6z− 6 = 0 interseca l’iperboloide

x2

9+

y2

4− z2 = 1

lungo due rette.

4. Determinare il fuoco della parabola ottenuta come intersezione del para-boloide

x2

16− y2

4= z

con il pianoy = 2.


6Geometria quadratica2: quadriche e conicheaffiniLa geometria quadratica studia i luoghi dei punti del piano edello spazio le cuicoordinate, rispetto ad un riferimento affine, soddisfano ad un’equazione qua-dratica di secondo grado. Nel piano tali luoghi sono chiamati conichee nellospazioquadriche. Nel capitolo precedente abbiamo studiato diversi esempi diconiche e di quadriche. Il presente capitolo si occupa dellatrattazione gene-rale di questi luoghi di punti. In particolare, ci occuperemo dello studio dellequadriche e delle coniche dal punto di vista affine.

6.1 La definizione di quadrica e conica

Iniziamo, anche per fissare le notazioni, con la seguente

Definizione 6.1.

(a) Fissato un sistema di riferimento affine nello spazio unaquadrica Qè il luogo dei puntiP le cui coordinate (x, y, z), rispetto al sistema di


6.1 La definizione di quadrica e conica 117

riferimento affine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + a33z

2+2a12xy+ 2a13xz+ +2a23yz

+2a10x+ 2a20y+ 2a30z+ a00 = 0 , (6.1)

cona11, a22, a33, a12, a13, a23 non tutti nulli.

(b) Fissato un sistema di riferimento affine nel piano unaconicaQ è il luo-go dei puntiP le cui coordinate (x, y), rispetto al sistema di riferimentoaffine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 , (6.2)

cona11, a12, a22 non tutti nulli.

Osservazione6.2. Per semplicità espositiva, quando non vi è necessità di spe-cificare, denoteremo conQ sia la quadrica che il polinomio di secondo gradoche la descrive.

Se denotiamo con

P =

xyz

il vettore colonna delle coordinate di un puntoP dello spazio e introduciamole matrici

A =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

, a =

a10

a20

a30

una verifica diretta mostra che l’equazione di una quadrica (6.1) si può scriverenella forma matriciale

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0. (6.3)

Nel caso di una conica nel piano, introducendo le matrici

A =

(

a11 a12

a12 a22

)

, a =

(

a10

a20

)

,

l’equazione di una conica (6.2) si può scrivere nella stessaforma matriciale(6.3).


118 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini

Questo fatto ci permette di trattare la teoria delle conichee delle quadriche sen-za distinzione, basterà tener conto che la matriceA nel caso di una quadrica èdi ordine 3 mentre è di ordine 2 per una conica. Le stesse osservazioni valgonoper il vettore colonnaa.La matriceA prende il nome dimatrice dei termini quadratici mentre il vet-tore a rappresenta i coefficienti dei termini di primo grado. È bene osservaresin da adesso che la matriceA è simmetrica.

Se adesso denotiamo con

P =

xyz1

, e con A =

a11 a12 a13 a10

a12 a22 a23 a20

a13 a23 a33 a30

a10 a20 a30 a00

l’equazione di una quadrica diventa

P⊤AP = 0. (6.4)

Un’equazione analoga vale per una conica con

A =

a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

e P =

xy1

.

Proposizione 6.3.La definizione di quadica (conica) non dipende dal riferi-mento affine scelto.

Dimostrazione.SiaP⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

l’equazione di una quadricaQ rispetto ad un riferimento affine (O,B). Sia(O′,B′) un altro riferimento affine allora, tenendo conto della Proposizione 1.16,

P = MP′ + β ,

doveM è una matrice non singolare eβ un vettore colonna. Segue che l’equa-zione della quadrica rispetto al riferimento (O′,B′) è

(MP′ + β)⊤A(MP′ + β) + 2a⊤(MP′ + β) + a00 = 0 .


6.1 La definizione di quadrica e conica 119

Svolgendo i conti l’ultima equazione diventa

(P′)⊤M⊤AMP′+(P′)⊤M⊤Aβ+β⊤AMP′+2a⊤MP′+β⊤Aβ+2a⊤β+a00 = 0 . (6.5)

Osserviamo che, da un lato (β⊤AMP′)⊤ = β⊤AMP′ (sono matrici di ordine 1),dall’altro, usando cheA è simmetrica, si ha (β⊤AMP′)⊤ = (P′)⊤M⊤Aβ. La (6.5)diventa

(P′)⊤M⊤AMP′ + 2(β⊤AM + a⊤M)P′ + Q(β) = 0,

la quale, ponendo

A′ = M⊤AM , (a′)⊤ = β⊤AM + a⊤M , a′00 = Q(β),

assume l’espressione

(P′)⊤A′(P′) + 2(a′)⊤(P′) + a′00 = 0 ,

che, essendoA′ = M⊤AM una matrice simmetrica, rappresenta un’equazionequadratica nel riferimento (O′,B′). �

Un’ispezione attenta della dimostrazione della Proposizione 6.3 ci permette diprovare la seguente

Proposizione 6.4.Siano A eA le matrici associate ad una quadricaQ rispettoad un riferimento affine dello spazio(O,B) e siano A′ e A′ le matrici associa-te alla stessa quadricaQ rispetto ad un altro riferimento affine dello spazio(O′,B′). Allora,

rank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = λ det(A′) , det(A) = λ det(A′) , conλ > 0 .

Dimostrazione.Dalla dimostrazione della Proposizione 6.3 si ha

A′ = M⊤AM

conM matrice non singolare. Segue cheA e A′ hanno lo stesso rango. Inoltre

detA′ = det(M⊤AM) = det(M⊤) det(A) det(M) = det(M)2 det(A) .



Sia adesso

P =

xyz1

=

(

P1

)

dove (x, y, z) rappresentano le coordinate rispetto al riferimento (O,B) . Uncalcolo diretto mostra che, rispetto al cambiamento di coordinate affini

P = MP′ + β ,

doveM è una matrice non singolare eβ un vettore colonna,

P =

(

P1

)

=

(

M β

0 1

) (

P′

1

)

= MβP′ ,

doveMβ è una matrice di ordine 4 con lo stesso determinante della matrice M.L’equazione (6.4) della quadrica diventa, dopo il cambiamento di riferimento,

(MβP′)⊤A(MβP

′) = (P′)⊤(M⊤β AMβ)(P′) = 0 .

Segue cheA′ = M⊤β AMβ

da cuiA e A′ hanno lo stesso rango e

det(A′) = det(M⊤β AMβ) = det(Mβ)2 det(A) .

�

La Proposizione 6.4 mostra che i due numeri det(A) e det(A) hanno un impor-tanza nello studio affine delle quadriche. Da ora in poi indicheremo questi duenumeri con le seguenti lettere

δ = det(A) , ∆ = det(A) .

Vediamo adesso quanti punti sono necessari per determinareuna conica o unaquadrica. Si ha la seguente

Proposizione 6.5.Dati cinque punti nel piano in posizione qualunque esisteuna conica che li contiene. Dati nove punti nello spazio in posizione qualunqueesiste una quadrica che li contiene.


6.2 Intersezione di una quadrica con un piano 121

Dimostrazione.La dimostrazione è immediata considerando l’equazione (6.2)di una conica in un dato riferimento affine nel piano. Infatti, i coefficientidell’equazione della conica passante per cinque puntiPi = (xi , yi), i = 1, . . . , 5,si ottengono risolvendo il sistema

a11x21 + a22y2

1 + 2a12x1y1 + 2a10x1 + 2a20y1 + a00 = 0

a11x22 + a22y2

2 + 2a12x2y2 + 2a10x2 + 2a20y2 + a00 = 0

a11x23 + a22y2

3 + 2a12x3y3 + 2a10x3 + 2a20y3 + a00 = 0

a11x24 + a22y2

4 + 2a12x4y4 + 2a10x4 + 2a20y4 + a00 = 0

a11x25 + a22y2

5 + 2a12x5y5 + 2a10x5 + 2a20y5 + a00 = 0

(6.6)

il quale, essendo un sistema omogeneo di cinque equazioni nelle sei variabi-li a11, a22, a12, a10, a20, a00, ammette∞(6−ρ) soluzioni (doveρ è il rango dellamatrice dei coefficienti). Siccomeρ è al massimo 5 esiste una soluzione nonbanale. Se tale soluzione avessea11 = a22 = a12 = 0, la (6.2) diventerebbel’equazione 2a10x + 2a20y + a00 = 0 di un piano ed, in ogni caso, la conica(2a10x+ 2a20y+ a00)2 = 0 passerebbe per i cinque punti dati.

La dimostrazione per la quadrica è analogo e quindi lasciatacome esercizio.�

Osservazione6.6. La conica passante per i cinque punti non è unica. L’uni-cità si ha quando il rango della matrice dei coefficienti del sistema (6.6) è 5,infatti, in questo caso, si avrebbero∞1 soluzioni ed, essendo i coefficienti del-l’equazione di una conica univocamente determinati a meno di un fattore diproporzionalità non nullo, si deduce che si ottiene un’unica conica. La stessadiscussione vale nel caso delle quadriche.

6.2 Intersezione di una quadrica con un piano

Andiamo a considerare adesso l’intersezione di una data quadrica con un pianodello spazio. Sia

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

l’equazione di una quadricaQ in un dato riferimento affine e sia

P = P0 + sv+ tw



l’equazione parametrica di un pianoα nello stesso riferimento affine. Il luogodei punti di intersezione traQ eα si ottiene risolvendo il sistema

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

P = P0 + sv+ tw ,

dal quale si ottiene la condizione

(P0 + sv+ tw)⊤A(P0 + sv+ tw) + 2a⊤(P0 + sv+ tw) + a00 = 0.

Con semplici calcoli e tenendo conto che, per esempio,v⊤a = a⊤v o v⊤Aw =w⊤Av, l’ultima equazione diviene

(v⊤Av)s2+ (w⊤Aw)t2+2(v⊤Aw)st+2v⊤(AP0+a)s+2w⊤(AP0+a)t+Q(P0) = 0.(6.7)

Se (v⊤Av), (w⊤Aw) e (v⊤Aw) non sono tutti nulli la (6.7) rappresenta l’equazio-ne di una conica nelle coordinate affini (s, t) del piano rispetto al riferimentoaffine (P0,B = {v,w}) del piano.

Non discutiamo adesso tutti i casi in cui (v⊤Av) = (w⊤Aw) = (v⊤Aw) = 0 iquali saranno trattati più agevolmente una volta nota la classificazione dellequadriche. A titolo di esercizio, se (v⊤Av) = (w⊤Aw) = (v⊤Aw) = 0 definiamola forma bilineare simmetricaϕ : R3 × R3 → R comeϕ(u1, u2) = u⊤1Au2.Rispetto ad una base diR3 con primi due vettoriv ew, cioè{v,w, e3}, la matriceassociata alla forma bilineareϕ è

M =

0 0 m13

0 0 m23

m13 m23 m33

,

la quale ha rangoρ ≤ 2. Segue che anche la matriceA ha rango al massimo 2.Tenendo conto della Proposizione 6.4 possiamo concludere che se una quadricaha matrice dei termini di secondo grado non singolare, allora l’intersezione diQ con un qualsiasi pianoα è una conica del pianoα.

Osservazione6.7. Il lettore dovrebbe, per esercizio, scrivere le matriciA e Adi tutti gli esempi di quadriche visti nel Capitolo 5. Inoltre, nei casi descrittidovrebbe cercare di capire se l’intersezione con un piano è sempre una conica.Esiste anche la possibilità che l’intersezione di un piano con una quadrica sial’insieme vuoto, come vedremo più avanti. Infine, risulta molto utile rivederela discussione fatta nella sezione 5.1.7 sull’intersezione di un piano con unasfera.


6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 123

6.3 Intersezione di una quadrica con una retta

In questo paragrafo discuteremo l’intersezione di una quadrica (conica) conuna retta. Da questa discussione scaturiranno la maggior parte delle nozioniche ci permetteranno di comprendere la geometria delle quadriche (coniche) edi classificarle.Sia quindiQ una quadrica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

e siar una retta parametrizzata da

P = P0 + tu .

Per semplicità espositiva supporremo inizialmente che la rettar non sia conte-nuta nella quadrica.Per determinare i punti di intersezione della retta con la quadrica dobbiamorisolvere il sistema

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

P = P0 + tu .

Sostituendo la seconda equazione nella prima, svolgendo i calcoli e raccoglien-do i termini, si perviene all’equazione int:

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AP0 + u⊤a) t + Q(P0) = 0 . (6.8)

Gli eventuali punti di intersezione della quadrica con la retta si ottengono ri-solvendo la (6.8) ed andando a sostituire le eventuali soluzioni nella parame-trizzazione della retta.

La (6.8) può presentare una delle seguenti tipologie:

(a) esistono due soluzioni reali o due soluzioni complesse coniugate;

(b) esistono due soluzioni reali coincidenti;

(c) esiste al massimo una soluzione (quindi reale);

(d) non esiste nessuna soluzione (reale o complessa);



Analizziamo per primo i casi (c). Se esiste al massimo una soluzione vuol direche il coefficiente del termine di secondo grado della (6.8) vale zero. Inquestocaso diamo la seguente

Definizione 6.8.Una direzioneu si diceasintotica per la quadricaQ se tuttele rette con direzioneu (non contenute nella quadrica) intersecano la quadricain al massimo un punto, cioè seu soddisfa alla condizione

u⊤Au= 0 .

Se u = (l,m, n) l’insieme delle direzioni asintotiche di una data quadrica ècaratterizzato dall’equazione

u⊤Au= a11l2 + a22m

2 + a33n2 + 2a12lm+ 2a13ln + 2a23mn= 0 . (6.9)

La (6.10), essendo definita da un polinomio omogeneo nelle variabili (l,m, n)rappresenta un cono di direzioni asintotiche.

Nel caso di una conica la definizione di direzione asintoticaè del tutto analogama, in questo caso, la (6.10) si riduce alla

a11l2 + a22m

2 + 2a12lm = 0 , (6.10)

che rappresenta una coppia di direzioni reali distinte, complesse coniugate ocoincidenti a seconda che il discriminantea2

12− a11a22 = −δ sia maggiore, mi-nore o uguale a zero.

Con riferimento alla situazione (d) diamo la seguente

Definizione 6.9.Una rettar è unasintotoper una quadrica (conica) se l’inter-sezione tra la retta e la quadrica (conica) è l’insieme vuoto. Con riferimentoalla (6.8) una retta è un asintoto se e solo se

u⊤Au= 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) , 0 .

Nella definizione precedente dire che l’intersezione di unaretta con una qua-drica è l’insieme vuoto significa che non ci sono punti di intersezione sia concoordinate reali che complesse.Osservazione6.10. La rettar è completamente contenuta in una quadrica se la(6.8) è soddisfatta per ogni valore dit, cioè se

u⊤Au= 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) = 0 .

Quindi le rette contenute in una quadrica hanno, formalmente, direzione asin-totica, nel senso cheu⊤Au= 0.



6.3.1 Asintoti di una conica

SiaQ una conica nel piano con equazione, rispetto ad un riferimento affine,

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0 .

Dalla Definizione 6.9 una rettar : P = P0 + tu, non contenuta nella conica,è un asintoto seu è una direzione asintotica ed inoltre, essendoP0 un puntogenerico della retta, se ogni punto della retta soddisfa alla condizione

u⊤AP+ u⊤a = 0 . (6.11)

La ricerca degli asintoti di una conica si può quindi schematizzare nel modoseguente.

• Si cercano le soluzioniu⊤ = (l,m) dell’equazione

u⊤Au= a11l2 + a22m

2 + 2a12lm = 0 .

• Per ogni soluzioneu tale cheu⊤A , 0, si considera la rettar di equazione

u⊤AP+ u⊤a = 0 .

Se esiste un puntoP0 di r contenuto nella conica, allorar è tutta conte-nuta nella conica, altrimenti, se esiste un puntoP0 non contenuto nellaconica, la rettar è un asintoto.

Applichiamo la procedura appena descritta per determinaregli asintoti delleconiche descritte nel Capitolo 5.Consideriamo assieme il caso dell’ellisse e dell’iperbolela cui equazione puòessere scritta come (si vedano le (5.17)–(5.19)):

x2

a2± y2

b2− 1 = 0 ,

con+ nel caso dell’ellisse e− in quello dell’iperbole. Le matriciA, a ed Asono

A =

1a2

0

0 ± 1b2

, a =

(

00

)

, A =

1a2

0 0

0 ± 1b2

0

0 0 −1

.



Si osservi cheδ = det(A) = ±1/(a2b2), mentre∆ = det(A) = ∓1/(a2b2). Ledirezioni asintoticheu⊤ = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

l2

a2± m2

b2= 0 ,

la quale si può riscrivere come(

la− m

b

) (

la+

mb

)

= 0 , nel caso dell’iperbole

o(

la− i

mb

) (

la+ i

mb

)

= 0 , nel caso dell’ellisse.

Si conclude che, nel caso dell’iperbole, esistono due direzioni asintotiche reali

u⊤1 = (a, b) , u⊤2 = (a,−b)

ed i corrispondenti asintoti hanno equazione

u⊤1AP+ u⊤1a = (a, b)

1a2

0

0 − 1b2

(

xy

)

=xa− y

b= 0

e

u⊤2AP+ u⊤2a = (a,−b)

1a2

0

0 − 1b2

(

xy

)

=xa+

yb= 0 ,

in accordo con quanto trovato nella sezione 5.3, si veda anche la Figura 5.9.

Nel caso dell’ellisse si trovano le due direzioni immaginarie

u⊤1 = (a, ib) , u⊤2 = (a,−ib)

ed i corrispondenti asintoti sono le rette immaginarie di equazione

xa+ i

yb= 0 ,

xa− i

yb= 0 .

Vediamo adesso il caso della parabola di equazione (si veda la (5.23)):

y2 − 2px= 0 .



Le matriciA, a ed A sono

A =

(

0 00 1

)

, a =

(

−p0

)

, A =

0 0 −p0 1 0−p 0 0

.

In questo casoδ = det(A) = 0, mentre∆ = det(A) = −p2. Le direzioniasintoticheu⊤ = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

m2 = 0 ,

la quale ha l’unica soluzione doppiau⊤ = (1, 0). Le rette con tale direzionesono le rette orizzontali che, dall’osservazione della Figura 5.11, hanno unasola intersezione con la parabola. In questo caso

u⊤A = (1, 0)

(

0 00 1

)

=

(

00

)

,

quindi, per la parabola, non esiste alcun asintoto.

6.3.2 Asintoti di una quadrica

La discussione degli asintoti di una quadrica è più complessa. Anche per unaquadrica un asintoto è caratterizzato dal fatto che ogni suopunto soddisfa lacondizione (6.11) la quale, nel caso in cuiu sia una direzione asintotica conu⊤A , 0, rappresenta l’equazione di un piano. Tale piano associato alla dire-zione asintoticau è chiamatopiano asintotico della quadrica. In generale sipuò solo concludere che un asintoto di una quadrica appartiene a qualche pianoasintotico associato ad una direzione asintotica della quadrica.

Sia adessoα un piano asintotico che intersechi la quadricaQ lungo una conicaC = Q ∩ α. Sia adessor un asintoto della conicaC. Siccomer non ha punti incomune conC e r ⊂ α segue cher non ha punti in comune con la quadricaQ,cioèr è un asintoto della quadrica. Viceversa, ser è un asintoto della quadrica,allorar appartiene a qualche piano asintoticoα e, di conseguenza,r è un asin-toto della conicaC = Q ∩ α.

Questo ragionamento mostra che, per determinare gli asintoti di una quadri-ca, bisognerebbe studiare gli asintoti delle coniche intersezione di tutti i piani



asintotici della quadrica con la quadrica stessa.

Nel caso delle quadriche descritte nella sezione 5.5, le direzioni asintoticheu⊤ = (l,m, n) sono soluzione delle equazioni:

l2

a2+

m2

b2+

n2

c2= 0 , Ellisoidi;

l2

a2± m2

b2− n2

c2= 0 , Iperboloidi;

l2

a2± m2

b2= 0 , Paraboloidi.

A questo punto non è difficile convincersi (il lettore deve però convincersi)che le rette generatrici dei seguenti coni con vertice nell’origine (chiamaticoniasintotici) sono asintoti delle corrispondenti quadriche.

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Ellisoidi;

x2

a2± y2

b2− z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Iperboloidi;

x2

a2± y2

b2= 0 , Cono asintotico per i Paraboloidi.

Nel caso dell’ellissoide il cono asintotico è immaginario,nel caso degli iperbo-loidi si trova un cono reale, mentre nel caso dei paraboloidiil cono asintoticodegenera in due piani incidenti reali (paraboloide iperbolico) o incidenti imma-ginari (paraboloide ellittico).

Si osservi infine che i coni asintotici sopra descritti non esauriscono tutti ipossibili asintoti di una quadrica. Per esempio se prendiamo il paraboloideiperbolico di equazionez = x2 − y2, ogni pianoz = costante interseca il para-boloide lungo un’iperbole i cui asintoti sono anche asintoti dell’iperboloide enon passando per l’origine non appartengono al cono.



6.3.3 Generatori rettilinei di una quadrica

Definizione 6.11.Una rettar contenuta in una quadrica (conica) si chiama ungeneratore rettilineo della quadrica (conica).

La nozione di generatore rettilineo è interessante solo nelcaso di una quadrica.Infatti, se una rettar di equazioneax+by+c = 0 è completamente contenuta inuna conica, necessariamente il polinomio che definisce la conica si scomponenel prodotto (ax+ by+ c)(a′x+ b′y+ c′) per qualche polinomio di primo gradoa′x+ b′y+ c′ e la conica si spezza in una coppia di rette.

Come indicato nell’Osservazione 6.10, una rettar di equazione parametricaP = P0 + tu è completamente contenuta in una quadrica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

seu⊤Au= 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) = 0 .

In questo testo non faremo un analisi teorica partendo dallecondizioni indicatesopra ma ci limiteremo a dimostrare la seguente

Proposizione 6.12.Il paraboloide iperbolico e l’iperboloide ad una faldapossiedono due famiglie ad un parametro di generatori rettilinei.

Dimostrazione.L’equazione (5.30) di un iperboloide ad una falda si può scri-vere come

(xa− z

c

) ( xa+

zc

)

=

(

1− yb

) (

1+yb

)

.

Segue che, per ognit ∈ R, t , 0, le rette di equazione

r t :

xa− z

c= t

(

1− yb

)

xa+

zc=

1t

(

1+yb

)

, r ′t :

xa− z

c= t

(

1+yb

)

xa+

zc=

1t

(

1− yb

)

appartengono all’iperboloide ad una falda. Si veda la Figura 6.1 per una rap-presentazione grafica della famigliar t.Allo stesso modo si fa vedere che, per ognit ∈ R, t , 0, le rette

r t :

xa− z

c= 2t

xa+

zc=

zt

, r ′t :

xa+

zc= 2t

xa− z

c=

zt



appartengono al paraboloide iperbolico. �

Figura 6.1 – Una delle famiglie di generatori rettilinei dell’Iperboloide ad una falda.

Il lettore dovrebbe dimostrare adesso che le altre tre quadriche descritte nellasezione 5.5 e riassunte nella Tabella 5.1 non contengono generatori rettilinei.

6.3.4 Rette tangenti ad una quadrica

Torniamo adesso all’equazione (6.8) e diamo la seguente

Definizione 6.13.Se una retta interseca una quadrica (conica) in due punti realicoincidentiP = P1 = P2, la retta si dicetangentealla quadrica (conica) nelpunto di contattoP.

Ricordando l’equazione quadratica int dell’intersezione tra una retta ed unaquadrica,

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AP0 + u⊤a) t + Q(P0) = 0 ,

si ricava immediatamente che una retta perP0 è tangente alla quadrica se e solose il vettore direttoreu soddisfa alla condizione

(u⊤AP0 + u⊤a)2 − (u⊤Au)Q(P0) = 0 . (6.12)



Cerchiamo adesso il luogo geometrico delle rette perP0 tangenti alla quadri-caQ. Se un puntoP appartiene al luogo cercato, alloraP appartiene ad unadelle rette del luogo e, di conseguenza, il vettoreP − P0 ha la direzione dellaretta tangente. Segue che l’equazione del luogo delle retteperP0 tangenti allaquadrica si ottiene sostituendou = P− P0 nella (6.12). Si ottiene

[(P− P0)⊤AP0 + (P− P0)

⊤a]2 − [(P− P0)⊤A(P− P0)] Q(P0) = 0 . (6.13)

Con un semplice calcolo il termine al primo addendo si può scrivere come

(P− P0)⊤AP0 + (P− P0)

⊤a =P⊤AP0 − P⊤0AP0 + a⊤P− a⊤P0

=P⊤AP0 + a⊤P+ a⊤P0 + a00

− (P⊤0AP0 + 2a⊤P0 + a00)

=Q(P,P0) − Q(P0) ,

dove abbiamo posto

Q(P,P0) = P⊤AP0 + a⊤P+ a⊤P0 + a00 . (6.14)

La (6.13) diventa

Q(P,P0)2−2Q(P0)Q(P,P0)+Q(P0)

2− [(P−P0)⊤A(P−P0)] Q(P0) = 0 . (6.15)

Metendo in evidenzaQ(P0) negli ultimi tre addendi della (6.15) e svolgendo icalcoli si perviene alla condizione

Q(P,P0)2 − Q(P0)Q(P) = 0 . (6.16)

La condizione (6.16) è del tutto analoga alla (5.8) trovata nel caso in cui laquadrica fosse una sfera. L’espressione diQ(P,P0) si ottiene per polarizzazionedel polinomio di secondo grado che definisce la quadrica. OperativamenteQ(P,P0) si ottiene tramite le seguenti sostituzioni

x2 7→ xx0

y2 7→ yy0

z2 7→ zz0xy 7→ (xy0 + x0y)/2xz 7→ (xz0 + x0z)/2yz 7→ (yz0 + y0z)/2x 7→ (x0 + x)/2y 7→ (y0 + y)/2z 7→ (z0 + z)/2 .



Un altro modo per calcolareQ(P,P0) è utilizzare la matriceA. Infatti è imme-diato verificare che

Q(P,P0) = P⊤AP0 . (6.17)

La (6.16) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette perP0 tan-genti alla quadrica.

SeQ è una conica nel piano eP0 non appartiene aQ, allora (6.16) rappresentadue rette reali o immaginarie distinte. SeP0 appartiene alla conica la (6.16) siriduce alla

Q(P,P0) = 0 (6.18)

che rappresenta l’equazione della retta tangente alla conica inP0.

SeQ è una quadrica eP0 non appartiene aQ, la (6.16) rappresenta un cono rea-le o immaginario, con vertice inP0, tangente alla quadrica. SeP0 appartienealla quadrica la (6.18) rappresenta l’equazione del piano tangente alla quadricain P0.

In modo completamente analogo a quanto visto nel caso della sfera, definiamopiano (retta) polare di un puntoP0 rispetto ad una quadrica (conica)Q il piano(la retta) di equazione

Q(P,P0) = 0 .

Anche in questo caso vale il teorema di reciprocità.

Il lettore dovrebbe ripercorrere le costruzioni grafiche della polare, viste nel-l’Esempio 5.4 per il caso della circonferenza, ed addatarleal caso di una conicaqualunque.

Terminiamo questo paragrafo descrivendo l’equazione del luogo delle rette pa-rallele ad una data direzioneu e tangenti ad una quadrica. Se consideriamo la(6.12) conu fissato eP0 generico, si ottiene l’equazione del luogo cercato, cioè

(u⊤AP+ u⊤a)2 − (u⊤Au)Q(P) = 0 . (6.19)

Nel caso di una conica la (6.19) rappresenta due rette parallele, mentre nel casodi una quadrica la (6.19) è un cilindro con generatrici parallele au.


6.4 Centro di simmetria 133

6.4 Centro di simmetria

Diamo la seguente

Definizione 6.14.Un puntoC è un centro di simmetria per una quadrica(conica)Q se per ogni retta perC che interseca la quadrica in due punti distintiP1, P2, C è il punto medio traP1 e P2.

Il cento di simmetria, se esiste, è caratterizzato dalla segunete

Proposizione 6.15.SiaQ una conica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0.

Allora un punto C è un centro di simmetria se e solo se C è soluzione delsistema

AP+ a = 0 . (6.20)

Dimostrazione.Supponiamo cheC sia un centro di simmetria e siar una rettaperC con direzioneu non asintotica, cioè tale cheu⊤Au , 0. SianoP1 e P2 idue punti di intersezione diQ conr. Allora, per definizione di centro,

C =P1 + P2

2.

Se parametrizziamo la rettar comeP = C+ tu i due punti di intersezione sonoP1 = C + t1u e P2 = C + t2u dovet1 e t2 sono le soluzioni dell’equazione

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AC+ u⊤a) t + Q(C) = 0 .

Segue che, da un lato,

C =P1 + P2

2=

C + t1u+C + t2u2

= C +t1 + t2

2u,

quindi t1 + t2 = 0, dall’altro lato

−(t1 + t2) =2(u⊤AC+ u⊤a)

u⊤Auda cui

u⊤AC+ u⊤a = 0 .

Infine, siccome esiste sempre una base dello spazio formata da direzioni nonasintotiche, l’ultima equazione implica cheAC+ a = 0 come richiesto.Ripercorrendo i passaggi al contrario si ottiene immediatamente il viceversa.

�



Osservazione6.16. Dato un puntoC si definisceriflessione centralecon cen-tro in C la trasformazione affine ϕ : E

3 → E3 definita daϕ(P) = 2C − P.

Una definizione alternativa di centro di simmetria è la seguente: C è un cen-tro di simmetria per una quadricaQ se il polinomioF(x, y, z) che definisce laquadrica soddisfa alla condizione

∀P ∈ Q , F(P) = λ F(2C − P) , λ ∈ R, λ , 0, (6.21)

cioè se la riflessione centrale con centro inC trasforma la quadrica in se stessa.Il lettore dovrebbe provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti.Per questo basta dimostrare che un puntoC soddisfa la (6.21) se e solo se èsoluzione del sistema (6.20).

Essendo gli eventuali centri di simmetria di una quadrica soluzioni di un si-stema lineare la cui matrice dei coefficienti è la matriceA della quadrica,un discussione attenta del sistema, utilizzando il Teoremadi Rouché-Capelli,conduce alla seguente

Proposizione 6.17.SiaQ una quadrica (conica).

(a) Seδ = det(A) , 0, allora esiste un unico centro di simmetria.

(b) Seδ = det(A) = 0 e ∆ = det(A) , 0, allora non esiste alcun centro disimmetria.

(c) Seδ = det(A) = 0 e∆ = det(A) = 0 eQ è una conica allora esiste unaretta di centri di simmetria. SeQ è una quadrica esistono tre possibilità:non esiste alcun centro; esiste una retta di centri; esiste un piano dicentri.

Dimostrazione.Un eventuale centro di simmetria è soluzione del sistema (6.20).

(a) – Seδ = det(A) , 0 la matrice del sistema ha rango massimo e quindi ilsistema ammette un unica soluzione.

(b) – Supponiamo adesso cheδ = det(A) = 0 e∆ = det(A) , 0. La matrice deicoefficienti del sistemaAP+ a = 0 èA mentre la matrice completa del sistema(a meno del segno dell’ultima colonna che in ogni caso non altera il rango) è

a11 a12 a13 a10

a12 a22 a23 a20

a13 a23 a33 a30

. (6.22)


6.4 Centro di simmetria 135

Essendo det(A) = 0 la matrice dei coefficienti del sistema ha rango minore di3 mentre la matrice completa del sistema, essendo una sottomatrice della ma-trice A ed avendo quest’ultima rango massimo, ha rango 3. Dal Teorema diRouche-Capelli segue che il sistema è incompatibile e quindi non esiste alcuncentro di simmetria.

(c) – Supponiamo cheδ = det(A) = 0 e∆ = det(A) = 0 e cheQ sia una conica.Il rango della matriceA è 1. Dimostriamo che anche il rango della matricecompleta

(

a11 a12 a10

a12 a22 a20

)

(6.23)

vale 1. Siccome det(A) = 0 una delle colonne diA è combinazione linearedelle altre. Se fosse la terza colonna allora anche la terza colonna della (6.23)sarebbe combinazione lineare delle altre ed il sistema risulterebbe compatibile.Supponiamo adesso che la terza colonna non sia combinazionelineare dellealtre e che il rango della (6.23) sia, per assurdo, 2. Dalla simmetria diA lerighe della matrice (6.23) corrispondono alle prime due colonne della matriceA. Siccome per ipotesi la (6.23) ha rango 2 le prime due colonnedi A sonolinearmente indipendenti ed essendo la terza colonna linearmente indipendentecon le prime due segue che il rango diA è uguale a 3 in contraddizione col fattoche det(A) = 0. Il sistema risulta quindi compatibile ed ammette∞1 soluzioniche formano una retta.Nel caso in cuiQ sia una quadrica la situazione è più complessa. Infatti il rangodi A può essere sia 2 che 1. Se il rango diA fosse 2 un ragionamento analogoa quello visto sopra dimostrerebbe che il sistemaAP+ a = 0 è compatibile edammette∞1 soluzioni che formano una retta. Se il rango diA è 1 ci sono duepossibilità: il rango di (6.22) è due, ed in questo caso il sistema è incompatibile;il rango di (6.22) vale 1 e il sistemaAP+ a = 0 è compatibile ed ammette∞2

soluzioni che formano un piano. �

L’importanze del centro in geometria affine risiede nella sua invarianza pertrasformazioni geometriche come illustrato nella seguente

Proposizione 6.18.Fissato un riferimento affine nello spazio (piano) sia C ilcentro di una quadrica (conica)Q definita dall’equazione F(x, y, z) = 0 e siaϕ : E

3 → E3 una trasformazione affine. Allora C′ = ϕ(C) è il centro della

quadricaQ′, immagine diQ tramiteϕ, definita dall’equazione F′(x′, y′, z,′ ) =F ◦ ϕ−1(x′, y′, z′) = 0.



Dimostrazione.Usiamo la definizione di centro data nella Osservazione 6.16.Quindi C è un centro per la quadricaQ se esisteλ ∈ R, λ , 0 tale cheF(P −2C) = λF(P) per ogniP ∈ Q. Sia quindiP′ = ϕ(P), conP ∈ Q. Allora

F′(P′) = F ◦ ϕ−1(P′) = F(P) = λ F(2C − P)

= λ F(2ϕ−1ϕ(C) − ϕ−1(P′))

= λ F ◦ ϕ−1(2C′ − P′)

= λF′(2C′ − P′) . (6.24)

La (6.24) dice esattamente cheC′ = ϕ(C) è un centro per la quadricaQ′. Il let-tore dovrebbe però fare attenzione che la trasformazione affineϕ non è lineare,quindi l’uguaglianza tra la seconda e la terza riga della (6.24) non discende perlinearità e, di conseguenza, va dimostrata (per esercizio)esplicitamente. �

Se una quadrica (conica) ha un centro di simmetriaC possiamo scegliere unriferimento affine con origine inC. Rispetto a tale riferimento l’equazione chedefinisce la quadrica (conica) è di tipo speciale, come mostra la seguente

Proposizione 6.19.Rispetto ad un riferimento affine con origine in un centrodi una quadrica (conica)Q il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica(conica) non presenta i termini di primo grado. Viceversa, se il polinomioF(x, y, z) che definisce la quadrica (conica) non presenta i termini di primogrado l’origine è un centro di simmetria.

Dimostrazione.Supponiamo che il centro di una quadricaQ di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

sia l’origine. SiaP un punto della quadrica, allora, essendo l’origine il puntomedio traP e P′ = −P, segue cheP′ = −P ∈ Q. Si ottiene quindi

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 − [(−P)⊤A(−P) + 2a⊤(−P) + a00] = 0− 0 = 0 ,

la quale, dopo le ovvie semplificazioni, implica che

4a⊤P = 0 , ∀P ∈ Q.

Viceversa, sea = 0 allora il sistema (6.20) che caratterizza i centri di unaquadrica è omogeneo di conseguenza l’origine è un centro di simmetria. �


6.5 Diametri di una quadrica 137

6.5 Diametri di una quadrica

Sia u una direzione non asintotica per una quadricaQ. Allora tutte le rettacon direzioneu intersecano la quadrica in due puntiP1 e P2, eventualmenteimmaginari. In ogni caso il punto medio traP1 e P2 è un punto di coordinatereali. Diamo quindi la seguente

Definizione 6.20.SiaQ una quadrica (conica) e siau una direzione non asin-totica. Il luogo dei punti medi dei punti di intersezione delle rette con direzioneu con la quadricaQ si chiamadiametro della quadrica (conica) coniugato alladirezioneu.

Il diametro di una quadrica (conica) è caratterizzato dallaseguente

Proposizione 6.21.Sia u una direzione non asintotica per una quadrica (co-nica) di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

allora il diametro coniugato è un piano (una retta nel caso diuna conica) diequazione

u⊤AP+ a⊤u = 0 . (6.25)

Dimostrazione.Sia u una direzione non asintotica e siar una retta con dire-zioneu. SianoP1 e P2 i punti di intersezione dir conQ e siaM il loro puntomedio. Se parametrizziamo la rettar comeP = M + tu i punti di intersezionedi Q conr sono dati daP1 = M + t1u eP2 = M+ t2u dovet1 e t2 sono soluzionidella (6.8) conM = P0:

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AM + u⊤a) t + Q(M) = 0 . (6.26)

SiccomeM è il punto medio traP1 e P2 segue che 2M = P1 + P2 = 2M +(t1 + t2)u, da cuit1 + t2 = 0. Essendot1 e t2 soluzione dell’equazione (6.26), siottiene

0 = t1 + t2 = −2(u⊤AM + u⊤a)

(u⊤Au).

Quindi i punti mediM soddisfano alla condizioneu⊤AM + u⊤a = 0 la qualerappresenta l’equazione di una retta nel caso di una conica el’equazione di unpiano nel caso di una quadrica. �



Da ora in poi chiameremodiametro il diametro coniugato ad una direzioneu rispetto ad una conica mentre chiameremopiano diametrale il diametroconiugato au.Il nome diametro, ricordando la nomenclatura classica per una circonferenza,è stato scelto poiché se una quadrica (conica) ha un centro allora un qualsiasidiametro contiene il centro. Tale proprietà è di immediata verifica, infatti uneventuale centro soddisfa la condizioneAC+ a = 0 da cui segue cheu⊤AC+u⊤a = u⊤(AC+ a) = 0.

Definizione 6.22.Una direzionev si diceconiugata alla direzioneu sev èparallela al diametro coniugato au.

Proposizione 6.23.Una direzione v è coniugata ad una direzione u se e solose

u⊤Av= 0. (6.27)

In particolare, se v è coniugata a u se e solo se u è coniugata a v.

Dimostrazione.Sev è coniugata adu allora ogni rettar con direzionev nonha punti di intersezione con il diametro coniugato adu o è contenuta nel dia-metro coniugato. Parametrizzandor comeP = P0 + tv gli eventuali punti diintersezione con il diametro coniugato alla direzioneu si ottengono risolvendoil sistema

u⊤AP+ u⊤a = 0

P = P0 + tv ,

il quale conduce alla equazione di primo grado int

(utAv)t + u⊤AP0 + u⊤a = 0.

Per ipotesi l’ultima equazione o non ammette soluzioni o ammette infinitesoluzioni ed in entrambi i casi si deve avereutAv= 0. �

6.6 Classificazione affine delle quadriche

Due quadrice (coniche)Q eQ′ si diconoaffinemente equivalentise esiste unatrasformazione affineϕ tale cheϕ(Q) = Q′. Se, rispetto ad un riferimento affi-ne,F(x, y, z) = 0 eG(x, y, z) = 0 sono le equazioni diQ eQ′ rispettivamente,alloraQ e Q′ sono affinemente equivalenti seF(ϕ−1(P)) = G(P). In modo


6.6 Classificazione affine delle quadriche 139

equivalente, due quadricheQ eQ′ sono equivalenti dal punto di vista affine seesiste un cambiamento di coordinate affini rispetto al quale l’equazione diQnel primo riferimento coincide con quella diQ′ nel nuovo.

Con classificazione affine delle quadriche (coniche) si intende determinare tuttii tipi di quadriche (coniche) a meno di trasformazioni affini.

Iniziamo con la classificazione affine delle coniche. Un primo risultato è chetramite una trasformazione affine l’equazione di una conica si può ricondurread una forma pre-canonica come mostra la seguente

Proposizione 6.24.SiaQ una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 . (6.28)

Allora esiste una trasformazione affine rispetto alla quale la conica ha equa-zione

y2 = Ax2 + 2Bx+C , A, B,C ∈ R . (6.29)

Dimostrazione.Possiamo supporre chea22 , 0. Infatti, se fosseroa22 = 0 ea11 , 0, basterebbe considerare la trasformazione affine che mandax in y e yin x per ricondursi al casoa22 , 0. Se invece fosseroa22 = 0 ea11 = 0, allora,necessariamente,a12 , 0 e la trasformazione affine

x 7→ (x− y)

y 7→ (x+ y)

trasformerebbe il terminexy in x2 − y2 riconducendoci al caso precedente.Sia quindia22 , 0. Moltiplicando la (6.28) per il reciproco dia22 possiamoassumere chea22 = 1. Completando il quadrato dei termini iny si ottiene

(y+ a12x+ a20)2 + (a11 − a2

12)x2 + 2(a10 − a12a20)x+ a00 − a2

20 = 0 .

PonendoA = a12− a11, B = (a12a20− a10) eC = a220− a00, si ottiene

(y+ a12x+ a20)2 = Ax2 + 2Bx+C .

In fine, tramite la trasformazione affine

x 7→ x

y+ a12x+ a20 7→ y

si ottiene la (6.35). �



Siamo pronti per enunciare il seguente

Teorema 6.25.SiaQ una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 . (6.30)

Allora esiste una trasformazione affine rispetto alla quale la conica assumeuna delle seguenti forme canoniche:

(i) y2 = −x2 − 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = −x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole)(iv) y2 = x (Parabola)(v) y2 = −x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti)(vii) y2 = −1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele)(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti).

Dimostrazione.Dalla Proposizione 6.24 possiamo assumere che l’equazionedella conica sia

y2 = Ax2 + 2Bx+C , A, B,C ∈ R . (6.31)

Dividiamo inizialmente nei due casiA , 0 eA = 0.

SiaA , 0. Allora tramite la trasformazione affine

x 7→ λx

y 7→ y

il coefficiente del termine inx2 diventaAλ2 e possiamo determinareλ tale cheAλ2 = ±1 (+1 quandoA > 0 e −1 quandoA < 0). L’equazione diventay2 = ±x2 + 2λBx+ C. Completando il quadrato dei termini inx si trovano, aseconda del segno del coefficiente dix2, le seguenti possibilità

y2 = (x+ λB)2 +C − λ2B2

y2 = −(x− λB)2 +C + λ2B2 .

In entrambi i casi esiste una trasformazione affine che trasforma l’equazionenella

y2 = ±x2 + D , D = C ∓ λ2B2 . (6.32)



Operando ora la trasformazione affine

x 7→ µx

y 7→ µy

la (6.32) diventa

y2 = ±x2 +Dµ2. (6.33)

Si presentano due sotto casi.

SeD , 0 allora esiteµ tale cheD2/µ2 ± 1 e la (6.33) diventay2 = ±x2 ± 1. Sihanno quindi i seguenti quattro casi

(i) y2 = −x2 − 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = −x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole) .

Il casoy2 = −x2 − 1 non compare poiché tramite la trasformazione affine chescambiax cony si riconduce al caso (iii).

SeD = 0 la (6.33) diventay2 = ±x2 e si presentano gli ulteriori due coniche

(v) y2 = −x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti) .

Vediamo adesso il caso in cuiA = 0. La (6.31) diventa

y2 = 2Bx+C . (6.34)

SeB , 0 tramite la trasformazione affine

(2Bx+C) 7→ x

y 7→ y

la (6.34) diventa il tipo

(iv) y2 = x (Parabola) .

SeB = 0 eC , 0, tramite il la trasformazione affine che manday in ξy, per unopportunoξ, la (6.34) diventay2 = ±1 e si trovano i casi

(vii) y2 = −1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele) .



In fine, seB = 0 eC = 0 la (6.34) conduce all’ultimo tipo

(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti) .

�

6.6.1 Invarianti affini

A questo punto la domanda importante è se i nove tipi di equazione canonicadel Teorema 6.25 sono tutti distinti dal punto di vista affine, nel senso che nonesiste una trasformazione affine (o un cambiamento di coordinate affini) cheporti uno dei tipi in un qualunque altro tipo.Per dimostrare che non sono affinemente equivalenti utilizziamo la Proposizio-ne 6.4 dalla quale si ricava che seP = MP′ + β è una trasformazione affine eQè una conica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

allorarank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = λ det(A′) , det(A) = λ det(A′) , conλ > 0 ,

dove conA′ e A′ abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata. Quindi i due ranghi e i due determinanti sono degliinvarianti affini,anche se va osservato che mentre il rango rimane numericamente uguale i duedeterminanti vengono moltiplicati per una costante positiva. In ogni caso seuno dei determinanti è zero rimane zero. Bisogna però osservare che il segnodi ∆ non è un invariante. Infatti, sebbene tramite una trasformazione affine∆viene moltiplicato per una costante positiva, il segno di∆ per una data conicanon è univocamente determinato: se moltiplichiamo l’equazione di una conicaper−1 si ottiene la stessa conica ma il determinante della matrice A, essendodi ordine 3, viene moltiplicato per (−1)3 = −1 e quindi cambia segno. Al con-trario, il segno diδ è un invariante affine poiché la matriceA è di ordine 2.

Con un calcolo diretto degli invarianti sopra descritti peri nove tipi di equa-zioni canoniche determinati nel Teorema 6.25 si ottiene la Tabella 6.1. DallaTabella 6.1 rimane da verificare che non sono affinemente equivalenti (i) con(ii) e gli ultimi tre tipi (vii), (viii) e (ix). La conica (i) ha solo punti immaginari



Tipo Equazione ∆ δ Nome

(i) y2 = −x2 − 1 , 0 > 0 (Ellisse immaginaria)

(ii) y2 = −x2 + 1 , 0 > 0 (Ellisse reale)

(iii) y2 = x2 + 1 , 0 < 0 (Iperbole)

(iv) y2 = x , 0 = 0 (Parabola)

(v) y2 = −x2 = 0 > 0 (Rette immaginarie incidenti)

(vi) y2 = x2 = 0 < 0 (Rette reali incidenti)

(vii) y2 = −1 = 0 = 0 (Rette immaginarie parallele)

(viii) y2 = 1 = 0 = 0 (Rette reali parallele)

(ix) y2 = 0 = 0 = 0 (Rette reali coincidenti).

Tabella 6.1– Gli invarianti affini per i nove tipi di coniche

mentre (ii) è reale quindi non possono essere affinementi equivalenti. Per lostesso motivo (vii) non può essere affinemente equivalente con (viii) o con (ix).In fine, la matriceA del tipo (ix) è l’unica con rango uno.

La Tabella 6.1 mostra che le coniche affini si dividono in quelle con∆ , 0e quelle con∆ = 0. Chiamiamo conichenon degeneriquelle con∆ , 0e conichedegeneriquelle con∆ = 0. Un osservazione attenta della Tabel-la 6.1 mostra che una conica è non degenere se non contiene nessuna retta edi conseguenza il polinomio che la descrive è irriducibile,nel senso che nonsi può scrivere come prodotto di due polinomi (eventualmente con coefficienticomplessi) di primo grado.

6.6.2 Classificazione affine delle quadriche

Con una dimostrazione simile a quella della Proposizione 6.24 si dimostra laseguente.

Proposizione 6.26.SiaQ una quadrica di equazione(6.1). Allora esiste unatrasformazione affine rispetto alla quale la quadrica assume l’equazione

z2 = F(x, y) , (6.35)



dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y.

Possiamo adesso enunciare il seguente

Teorema 6.27.SiaQ una quadrica di equazione(6.1). Allora esiste una tra-sformazione affine rispetto alla quale la conica assume una delle seguentiforme canoniche:

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = −y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = −x2 − y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = −x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = −y2 − 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = −y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 − 1 (Cilindro iperbolico)(xii) z2 = y (Cilindro parabolico)(xiii) z2 = −y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti)(xv) z2 = −1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti)

Dimostrazione.Dalla Proposizione 6.26 esiste una trasformazione affine ri-spetto alla quale la quadrica assume la forma

z2 = F(x, y) ,

doveF(x, y) è un polinomio di secondo grado inx e y. SeF(x, y) = 0 descriveuna conica esiste una trasformazione affine

x 7→ x′ = ϕ1(x, y)

y 7→ y′ = ϕ2(x, y) ,

del pianoz= 0, rispetto alla quale la conicaF(x, y) = 0 assume una delle noveforme canoniche descritte nel Teorema 6.25. Quindi rispetto alla trasformazio-



ne affine

x 7→ x′ = ϕ1(x, y)

y 7→ y′ = ϕ2(x, y)

z 7→ z

l’equazionez2 = F(x, y) assume una delle seguenti forme canoniche (tenendoin conto che l’opposto di una forma canonica perF(x, y) è ancora una formacanonica):

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = −y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = −x2 − y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = −x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = −y2 − 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = −y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 − 1 (Cilindro iperbolico)(xiii) z2 = −y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti).

Rimangono da studiare i casi in cui il polinomioF(x, y) è di grado uno o digrado zero. Nel primo caso, supponendo che il coefficiente iny sia diversoda zero (altrimenti si effettua la trasformazione affine che scambiax cony) siottiene, tramite l’ovvia trasformazione affine, l’unica forma canonica

(xii) z2 = y (Cilindro parabolico),

Nel secondo casoF(y, x) = c, conc costante, e, a seconda che il valore dic siamaggiore, minore o uguale a zero, si trovano le ultime tre forme canoniche:

(xv) z2 = −1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti).

�

Anche in questo caso un calcolo esplicito degli invariantiδ e ∆ restituisce laTabella 6.2. Si osservi che nel caso delle quadriche il segnodi δ non può



essere un invariante affine, infatti in questo caso la matriceA ha ordine dispari,mentre è un invariante il segno di∆. Dall’osservazione della Tabella 6.2 ci sirende conto che i soli due invariantiδ e∆ non sono sufficienti per distinguerei vari tipi di quadriche affini. Abbiamo in questo caso aggiunto nella tabellaanche i relativi valori dei ranghi delle matriciA e A.

Tipo Equazione ∆ δ (ρ(A), ρ(A)) Nome

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 > 0 , 0 (4, 3) (Ellissoide immaginario)

(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 < 0 , 0 (4, 3) (Ellissoide reale)

(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 > 0 , 0 (4, 3) (Iperboloide ad una falda)

(iv) z2 = x2 + y2 + 1 < 0 , 0 (4, 3) (Iperboloide a due falde)

(v) z2 = −y2 + x < 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide ellittico)

(vi) z2 = y2 + x > 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide iperbolico)

(vii) z2 = −x2 − y2 = 0 , 0 (3, 3) (Cono immaginario)

(viii) z2 = −x2 + y2 = 0 , 0 (3, 3) (Cono reale)

(ix) z2 = −y2 − 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro immaginario)

(x) z2 = −y2 + 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro ellittico)

(xi) z2 = y2 − 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro iperbolico)

(xii) z2 = y = 0 = 0 (3, 1) (Cilindro parabolico)

(xiii) z2 = −y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani immaginari incidenti)

(xiv) z2 = y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani reali incidenti)

(xv) z2 = −1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani immaginari paralleli)

(xvi) z2 = 1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani reali paralleli)

(xvii) z2 = 0 = 0 = 0 (1, 1) (Piani reali coincidenti)

Tabella 6.2– Gli invarianti affini per i 17 tipi di quadriche

Per terminare dobbiamo verificare che i diciassette tipi di quadrica nella Ta-bella 6.2 non sono a due a due affinementi equivalenti. Tramite l’uso degliinvarianti, rimangono ancora alcuni casi irrisolti dei quali discutiamo adesso.



Il tipo (i) non è equivalente al tipo (iii) in quanto in un casola quadrica è imma-ginaria e nell’altro caso è reale. Il tipo (ii) non è equivalente al tipo (iv) poichéil cono asintotico di (ii) è immaginario mentre quello di (iv) è reale. Il tipo (vii)essendo immaginario non è equivalente al tipo (viii). Il tipo (ix) essendo im-maginario non può essere equivalente al tipo (x) o al tipo (xi), mentre i due tipi(x) e (xi) avendo coni asintotici rispettivamente immaginari e reali non sonoequivalenti. Il tipo (xiii) è una quadrica immaginaria e quindi non equivalenteal tipo (xiv). In fine il tipo (xv), poiché immaginario, non è equivalente al tipo(xvi).


7Geometria quadratica3: quadriche e conicheeuclideeQuesto capitolo è dedicato allo studio delle quadriche e delle coniche dal pun-to di vista euclideo. In particolare, daremo la classificazione euclidea dellequadriche e delle coniche.

7.1 Direzioni principali

Sia Q una quadrica (conica) in uno spazio (piano) euclideo e sia (O,B) unriferimento cartesiano dello spazio (piano). Rispetto al riferimento (O,B), es-sendo un particolare riferimento affine, la quadrica ha un equazione del tipo(6.3), cioè

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0 .

Ricordando che il prodotto scalare tra due vettoriv e w, rispetto ad una baseortonormale, è dato da〈v,w〉 = v⊤w, si ottiene che la (6.3) può essere riscritta


7.1 Direzioni principali 149

nella forma〈P,AP〉 + 2〈a,P〉 + a00 = 0.

Diamo adesso l’importante

Definizione 7.1.Una direzioneu è unadirezione principale per una quadrica(conica) se è perpendicolare a tutte le direzioni ad essa coniugate.

In pratica una direzioneu è principale se〈u, v〉 = 0 per ogni direzionev taleche〈u,Av〉 = 0. Segue immediatamente che il piano diametrale (il diametro)coniugato ad una direzione principaleu è perpendicolare adu.

Geometricamente, dalla definizione di diametro coniugato,si ottiene imme-diatamente che se un puntoP appartiene ad una quadrica (conica), allora ilsuo simmetrico rispetto ad un piano diametrale coniugato (diametro coniuga-to) ad una direzione principale appartiene ancora alla stessa quadrica (conica).Questa proprietà implica che un diametro coniugato ad una direzione princi-pale divide la quadrica (conica) in due parti simmetriche rispetto al diametro.Questo fatto suggerisce la seguente

Definizione 7.2. Il diametro coniugato ad una direzione principale prende ilnome dipiano di simmetria nel caso di una quadrica easse di simmetrianelcaso di una conica.

Diamo adesso un criterio per determinare le direzioni principali.

Proposizione 7.3.SiaQ una quadrica (conica) di equazione

〈P,AP〉 + 2〈a,P〉 + a00 = 0.

Una direzione u è principale se e solo se è un autovettore della matrice Arelativo ad un autovalore diverso da zero.

Dimostrazione.Sia u una direzione principale, per ogni direzionev tale che〈Au, v〉 = 0 si ha〈u, v〉 = 0. Segue che siaAu cheu sono perpendicolari allagiacitura del piano coniugato adu la quale ha dimensione 2. QuindiAu e uappartengono ad un sottospazio vettoriale di dimensione 1 equindi sono pro-porzionali, cioè esiste unλ , 0 tale cheAu= λu.


150 Geometria quadratica 3: quadriche e coniche euclidee

Viceversa, siau tale cheAu = λu, conλ , 0. Siav una direzione coniugata au, allora

0 = 〈Au, v〉 = 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉

dalla quale, essendoλ , 0, segue che〈u, v〉 = 0. �

Ricordando che un endomorfismo simmetrico è sempre diagonalizzabile e cheuna matrice simmetrica si può pensare come la matrice associata ad un endo-morfismo simmetrico, rispetto ad una base ortonormale, segue che la matriceA di una quadrica (conica) è sempre diagonalizzabile. Inoltre, siccome la ma-trice A non può essere la matrice nulla esiste almeno un autovaloreλ , 0 i cuiautovettori corrispondenti sono direzioni principale. Questo ragionamento cipermette di enunciare la seguente

Proposizione 7.4.Ogni quadrica (conica) ammette almeno un piano (asse) disimmetria.

Se il piano di simmetria di una quadrica coincide con uno dei piano cartesianiallora l’equazione della quadrica nella forma mostrata dalla seguente

Proposizione 7.5.Se, per esempio, x= 0 è un piano (asse) di simmetria peruna quadrica (conica)Q, allora oQ contiene il piano (l’asse) o l’equazione diQ non contiene i termini dove la variabile x compare di primo grado.

Dimostrazione.Dimostriamo il risultato per una conica. Sia

a11x2 + a22y

2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 (7.1)

l’equazione di una conica. Se la rettax = 0 è un asse di simmetria e (x, y)soddisfa la (7.1) allora anche (−x, y) soddisfa la (7.1). Segue che, per ogniP = (x, y) ∈ Q, si ha

a11x2 + a22y2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0

a11x2 + a22y2 − 2a12xy− 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0

o, equivalentemente,

a11x2 + a22y2 + 2a20y+ a00 = 0

a12xy+ a10x = 0.(7.2)


7.2 Classificazione euclidea delle coniche e delle quadriche 151

Siccome le equazioni in (7.2) devono essere soddisfate entrambe dalle coordi-nate di tutti i punti della conica si perviene, dopo un attenta analisi, alla conclu-sione che l’equazione della conica deve essere una delle duedi (7.2) mentre icoefficienti dell’altra devono essere nulli (cioè la condizione èun’identità). Ladimostrazione per le quadriche è analoga e viene lasciata come esercizio. �

A questo punto il lettore dovrebbe ripercorrere gli esempi di coniche e qua-driche visti nel Capitolo 5 e determinare per ognuno le direzioni principali e icorrispondenti piani o assi di simmetria.

7.2 Classificazione euclidea delle coniche e dellequadriche

Due quadriche (coniche)Q eQ′ si dicono isometriche (o equivalenti per isome-trie) se esiste una isometriaϕ tale cheϕ(Q) = Q′. Se, rispetto ad un riferimentocartesiano,F(x, y, z) = 0 eG(x, y, z) = 0 sono le equazioni diQ eQ′ rispet-tivamente, alloraQ e Q′ sono isometriche seF(ϕ−1(P)) = G(P). In modoequivalente, due quadricheQ eQ′ sono isometriche se esiste un cambiamentodi coordinate cartesiane rispetto al quale l’equazione diQ nel primo riferimen-to coincide con quella diQ′ nel nuovo.

Con classificazione euclidea delle quadriche (coniche) si intende determinaretutti i tipi di quadriche (coniche) a meno di isometrie.

Diamo inizialmente la classificazione delle coniche

Teorema 7.6.SiaQ una conica che, rispetto ad un riferimento cartesiano delpiano, ha equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 . (7.3)

Allora esiste un opportuno riferimento cartesiano e delle opportune costanti(denotate, a seconda dei casi, con a, b o p), rispetto ai qualila conica assumeuna delle seguenti forme canoniche:



(i)x2

a2+

y2

b2= −1 (Ellisse immaginaria)

(ii)x2

a2+

y2

b2= 1 (Ellisse reale)

(iii)x2

a2− y2

b2= 1 (Iperbole)

(iv) y2 = 2px (Parabola)

(v) x2 + b2 y2 = 0 (Rette immaginarie incidenti)

(vi) x2 − b2 y2 = 0 (Rette reali incidenti)

(vii) x2 = −a2 (Rette immaginarie parallele)

(viii) x2 = a2 (Rette reali parallele)

(ix) x2 = 0 (Rette reali coincidenti).

Dimostrazione.SiaQ una conica di equazione (7.3). Dalla Proposizione 7.4esiste un asse di simmetria e se scegliamo un riferimento cartesiano con l’assex coincidente con l’asse di simmetria l’equazione della conica, tenendo contodella Proposizione 7.5, diventa:

a11x2 + a22y2 + 2a10x+ a00 = 0 . (7.4)

Le intersezioni dell’asse dellex con la conica sono date risolvendo l’equazione

a11x2 + 2a10x+ a00 = 0 . (7.5)

Sea11 , 0 possiamo sempre assumere chea11 = 1 (altrimenti dividiamo la(7.4) pera11) e la (7.5) ha le due soluzioni

−a10 ±√

a210 − a00 .

Se scegliamo l’origine coincidente con il punto medio tra ledue intersezionidell’asse dellex con la conica alloraa10 = 0 e si presentano i seguenti tre casi.



1) L’asse x ha due intersezioni immaginarie con la conica. In questo casoa00 > 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 +m2 = 0 , (m ∈ R)

la quale, a seconda del segno dia22, rappresenta:

(i)x2

a2+

x2

b2= −1 Ellisse imm. (a2 = m2, b2 = m2/a22, a22 > 0)

(iii)x2

a2− x2

b2= −1 Iperbole (a2 = m2, b2 = −m2/a22, a22 < 0)

(vii) x2 = −a2 Rette imm. paral. (a2 = m2, a22 = 0).

2) L’asse x ha due intersezioni reali distinte con la conica. In questo casoa00 < 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 −m2 = 0 , (m ∈ R)


(ii)x2

a2+

x2

b2= 1 Ellisse reale (a2 = m2, b2 = m2/a22, a22 > 0)

(iii)x2

a2− x2

b2= 1 Iperbole (a2 = m2, b2 = −m2/a22, a22 < 0)

(viii) x2 = a2 Rette reali paral. (a2 = m2, a22 = 0).

3) L’asse x ha due intersezioni reali coincidenti con la conica. In questo casoa00 = 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 = 0 ,


(v) x2 + b2 y2 = 0 Rette imm. incid. (b2 = a22, a22 > 0)

(vi) x2 − b2 y2 = 0 Rette resali incid. (b2 = −a22, a22 < 0)

(ix) x2 = 0 Rette reali coinc. (a22 = 0).



Sea11 = 0 la (7.5) si riduce alla

2a10x+ a00 = 0

e si presentano i seguenti casi4) L’asse x ha direzione asintotica ma non è un asintoto.In questo casoa10 , 0e scegliendo l’origine coincidente con l’unico punto di intersezione dell’assexcon la conica si deve averea00 = 0 e la (7.4) si si riduce al caso

(iv) y2 = 2px Parabola (p = −a10/a22).

5) L’asse x è un asintoto.In questo casoa10 = 0 ea00 , 0 e la (7.4) si riducealla

a22y2 + 1 = 0

che presenta i seguenti due casi

(vii) x2 = −a2 Rette imm. paral. (a2 = −1/a22, a22 > 0).(viii) x2 = a2 Rette reali paral. (a2 = −1/a22, a22 < 0).

6) L’asse x è contenuto nella conica.In questo casoa10 = a00 = 0 e la (7.4) siriduce all’unico caso

(ix) y2 = 0 Rette coincidenti.

�

Per le quadriche si ottiene la seguente classificazione euclidea.

Teorema 7.7.SiaQ una quadrica che, rispetto ad un riferimento cartesianodello spazio, ha equazione(6.1). Allora esiste un opportuno riferimento carte-siano e delle opportune costanti (denotate, a seconda dei casi, con a, b, c o p),rispetto ai quali la quadrica assume una delle seguenti forme canoniche:



(i)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= −1 (Ellissoide immaginario)

(ii)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 (Ellissoide reale)

(iii)x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 (Iperboloide ad una falda)

(iv)x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 (Iperboloide a due falde)

(v)x2

a2+

y2

b2= 2z (Paraboloide ellittico)

(vi)x2

a2− y2

b2= 2z (Paraboloide ipererbolico)

(vii)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0 (Cono immaginario)

(viii)x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0 (Cono reale)

(ix)x2

a2+

y2

b2= −1 (Cilindro immaginario)

(x)x2

a2+

y2

b2= 1 (Cilindro ellitico)

(xi)x2

a2− y2

b2= 1 (Cilindro iperbolico)

(xii) y2 = 2px (Cilindro parabolico)

(xiii) x2 + b2y2 = 0 (Piani immaginari incidenti)

(xiv) x2 − b2y2 = 0 (Piani reali incidenti)

(xv) x2 = −a2 (Piani immaginari paralleli)

(xvi) x2 = a2 (Piani reali paralleli)

(xvii) x2 = 0 (Piani reali coincidenti)

Dimostrazione.SiaQ una quadrica di equazione (6.1). Dalla Proposizione 7.4esiste un piano di simmetria e se scegliamo un riferimento cartesiano con ilpianoz = 0 coincidente con l’asse di simmetria l’equazione della quadrica,



tenendo conto della Proposizione 7.5, diventa:

a11x2 + a22y2 + a33z

2 + 2a12xy+ 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0 . (7.6)

Se adesso intersechiamo la quadrica con il piano di simmetriaz= 0 otteniamouna conica la quale, rispetto ad un opportuno riferimento cartesiano del pia-no z = 0, assume una delle nove forme canoniche indicate nel Teorema 7.6.Per ognuna delle nove forme canoniche della conica sul pianoz = 0 si ottienela corrispondente equazione della quadrica aggiungendo ilterminea33z2 all’e-quazione della conica. Un analisi attenta di tutti i casi e tenendo conto che ilcoefficientea33 può essere positivo, negativo o zero, si ottiene la classificazionecercata. �

7.2.1 Invarianti euclidei

Seguendo quanto fatto nel caso affine determiniamo gli invarianti euclidei diuna quadrica (conica) al fine di distinguere i tipi di quadriche (coniche) utiliz-zando questi invarianti.Naturalmente, essendo una trasformazione euclidea una trasformazione affine,gli invarianti affini sono anche invarianti euclidei, quindi seP = MP′ + β è unatrasformazione euclidea (M è ortogonale), e seQ è una quadrica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

allorarank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = det(A′) , det(A) = det(A′) ,

dove conA′ e A′ abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata.In più al caso affine per una trasformazione euclida si trovano i seguenti ulte-riori invarianti. Tenendo conto che la matriceM è ortogonale la matriceA′ siottiene come

A′ = M⊤AM = M−1AM .

Quindi le matriciA edA′ sono simili il che implica che hanno gli stessi autova-lori. In conclusione gli autovalori della matriceA sono invarianti euclidei peruna quadrica (conica).



Con un calcolo diretto degli invarianti euclidei per i nove tipi di equazioni cano-niche di coniche, come descritte nel Teorema 7.6, si ottienela Tabella 7.1 doveper gli autovalori della matriceA usiamo la notazione che++ indica autovaloridello stesso segno (non necessariamente positivi),+− indica due autovalori disegno opposto e+ 0 indica che un autovalore è zero.

Tipo Equazione ∆ δ Autov. (ρ, ρ) Nome

(i)x2

a2+

y2

b2= −1 , 0 > 0 ++ (3, 2) (Ell. imm.)

(ii)x2

a2+

y2

b2= 1 , 0 > 0 ++ (3, 2) (Ell. reale)

(iii)x2

a2− y2

b2= 1 , 0 < 0 +− (3, 2) (Iperbole)

(iv) y2 = 2px , 0 = 0 + 0 (3, 1) (Parabolga)

(v) x2 + b2y2 = 0 = 0 > 0 +− (2, 2) (Rette imm. inc.)

(vi) x2 − b2y2 = 0 = 0 < 0 +− (2, 2) (Rette reali inc.)

(vii) x2 = −a2 = 0 = 0 + 0 (2, 1) (Rette imm. parall.)

(viii) x2 = a2 = 0 = 0 + 0 (2, 1) (Rette reali parall.)

(ix) x2 = 0 = 0 = 0 + 0 (1, 1) (Rette reali coinc.).

Tabella 7.1– Gli invarianti euclidei per i nove tipi di coniche

Utilizzando la Tabella 7.1 si verifica immediatamente che i nove tipi di conichedescritti nel Teorema 7.6 non sono a due a due equivalenti perisometrie, nelsenso che non esiste una isometria del piano che trasformi l’equazione di un ti-po di conica in un altro tipo. Inoltre è bene osservare che dato uno dei nove tipidi conica i valori delle costantia, b o, eventualmente,p determinano conichenon equivalenti per isometrie. Quindi anche se la classificazione euclidea delleconiche presenta 9 tipi come nel caso della classificazione affine delle coniche,



nella classificazione euclidea ogni tipo presenta infinite coniche che non sonoequivalenti per isometrie e quindi distinte dal punto di vista euclideo.

Nel caso delle quadriche il calcolo degli invarianti euclidei per i 17 tipi di equa-zioni canoniche, come descritte nel Teorema 7.7, conduce alla Tabella 7.2.

Anche in questo caso l’uso degli invarianti ci permette di affermare che i 17tipi di quadrica non sono a due a due equivalenti per isometrie. Inoltre, comenel caso delle coniche, le costantia, b, c e p determinano quadriche (anche sedello stesso tipo) non isometriche.



Tipo Equazione ∆ δ Autov. (ρ, ρ) Nome

(i)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= −1 > 0 , 0 + + + (4, 3) (Elliss. imm.)

(ii)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 < 0 , 0 + + + (4, 3) (Elliss. reale)

(iii)x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 > 0 , 0 + + − (4, 3) (Iperb. una falda)

(iv)x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 < 0 , 0 + + − (4, 3) (Iperb. due falde)

(v)x2

a2+

y2

b2= 2z < 0 = 0 + + 0 (4, 2) (Parab. ellittico)

(vi)x2

a2− y2

b2= 2z > 0 = 0 + − 0 (4, 2) (Parab. iper.)

(vii)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0 = 0 , 0 + + + (3, 3) (Cono imm.)

(viii)x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0 = 0 , 0 + + − (3, 3) (Cono reale)

(ix)x2

a2+

y2

b2= −1 = 0 = 0 + + 0 (3, 2) (Cilindro imm.)

(x)x2

a2+

y2

b2= 1 = 0 = 0 + + 0 (3, 2) (Cilindro ell.)

(xi)x2

a2− y2

b2= 1 = 0 = 0 + − 0 (3, 2) (Cilindro iper.)

(xii) y2 = 2px = 0 = 0 + 0 0 (3, 1) (Cilindro parab.)

(xiii) x2 + b2y2 = 0 = 0 = 0 + + 0 (2, 2) (Piani imm. inc.)

(xiv) x2 − b2y2=0 = 0 = 0 + − 0 (2, 2) (Piani reali inc.)

(xv) x2 = −a2 = 0 = 0 + 0 0 (2, 1) (Piani imm. parall.)

(xvi) x2 = a2 = 0 = 0 + 0 0 (2, 1) (Piani reali parall.)

(xvii) x2 = 0 = 0 = 0 + 0 0 (1, 1) (Piani reali coinc.)

Tabella 7.2– Gli invarianti euclidei per i 17 tipi di quadriche



7.3 Riduzione di una conica e di una quadrica informa canonica

Nel caso affine la riduzione di una quadrica (conica) in forma canonica è unaoperazione semplice. Infatti, una volta riconosciuto il tipo affine di una qua-drica (conica), rispetto ad un opportuno cambiamento di coordinate affini laquadrica (conica) assume l’unica forma canonica associataa quel tipo. Nelcaso euclideo la situazione è differente poiché, anche se dello stesso tipo, a se-conda del valore delle costantia, b, c e p si ottengono quadriche (coniche) nonisometriche. Questo vuol dire che una data quadrica (conica) si può ricondurretramite un opportuno cambiamento cartesiano delle coordinate e per opportunecostantia, b, c e p ad uno dei 17 (9) tipi con i relativi valori delle costanti.

Il tipo di una data quadrica (conica) si ottiene con l’utilizzo degli invariantieuclidei. Quindi determinare la forma canonica di una data quadrica (conica)si riduce al calcolo delle costantia, b, c ed eventualmentep.

7.3.1 Quadriche a centro

Se una quadrica possiede un unico centro, cioè seδ , 0, per determinare la suaforma canonica si procede nel modo seguente.Un analisi della Tabella 7.2 mostra che tutte le quadriche con δ , 0 hanno unaforma canonica del tipo

Lx2 + My2 + Nz2 + µ = 0 . (7.7)

Sia adessoQ una quadrica di equazione

P⊤AP+ 2a⊤P+ a00 = 0

conδ = det(A) , 0 e sianoλ1, λ2, λ3 gli autovalori diA. Siccome gli autovaloridi A sono degli invarianti euclidei e la matrice dei termini quadratici della (7.7)ha autovaloriL,M,N si deve avere che

L = λ1 , M = λ2 , N = λ3 .

Si osservi che l’ordine con cui gli autovaloriλi si associano aL,M,N puòcambiare e che questo comporta solamente un eventuale scambio tra le cori-spondenti coordinate (x, y, z) nella forma canonica.


7.3 Riduzione di una conica e di una quadrica in forma canonica 161

Per determinare la forma canonica resta da determinare il coefficienteµ della(7.7). Utilizzando che∆ = det(A) è un invariante euclideo si ottiene

∆ = LMNµ = λ1λ2λ3µ

da cui

µ =∆

λ1λ2λ3.

7.3.2 Quadriche non degeneri senza centro

Per le due quadriche non degeneri senza centro, cioè per i dueparaboloidi, siprocede nel modo seguente. L’equazione canonica è del tipo

Lx2 + My2 + 2µz= 0 . (7.8)

I coefficienti L e M sono come nel caso delle coniche a centro i due autovaloriλ1 eλ2 della matriceA diversi da zero, quindi

L = λ1 , M = λ2 .

Per determinareP si utilizza come nel caso delle coniche a centro l’invariante∆. Si ottiene

∆ = −LMP2

da cui

µ2 = − ∆λ1λ2

.

Si osservi che il segno di∆ e degli autovaloriλ1 eλ2, nel caso dei due parabo-loidi, assicurano che−∆/(λ1λ2) sia una quantità positiva.

7.3.3 Quadriche degeneri conρ = 2

La forma canonica delle quadriche degeneri conρ = rank(A) = 2 è del tipo

Lx2 + My2 + µ = 0 . (7.9)

Come negli altri casi si ha

L = λ1 , M = λ2 ,



ma non possiamo utilizzare l’invariante∆ poiché vale zero. Per determinare laforma canonica procediamo nel modo seguente. Siccomeρ = 2 esistono duedirezioni principaliu1, u2 (che scegliamo ortonormali) e il sistemaAP+ a = 0ha∞1 soluzioni, cioè esiste una rettar di centri. Si osservi cher = du1 ∩ du2,dovedu1 e du2 sono i piani di simmetria corrispondenti alle direzioniu1 e u2

rispettivamente. Siaα un qualsiasi piano perpendicolare alla rettar. Alloraα interseca la quadricaQ in una conica che, a seconda del tipo, è: un ellisseimmaginaria (ix); un ellisse reale (x); un iperbole (xi); due rette immaginarieincidenti (xiii); due rette reali incidenti (xiv). Se adesso parametrizziamo ilpianoα come

P = P0 + su1 + tu2 ,

con P0 ∈ r, la curva di intersezioneQ ∩ α ha equazione, tenendo conto della(6.7),

λ1s2 + λ2t2 + Q(P0) = 0 , (7.10)

e rappresenta la forma canonica della quadricaQ.

7.3.4 Quadriche degeneri conρ = 1

In questo caso esiste un’unica direzione principaleu ed il corrispondente pianodi simmetriadu interseca la quadrica, a seconda del tipo, in: una rettar (xii);nessun punto (xv e xvi); se stesso (xvii). Nel caso la quadricaQ sia un cilindroparabolico (tipo xii) un qualunque pianoα perpendicolare ar intersecaQ lungouna parabola. Se parametrizziamo il pianoα come

P = P0 + su+ tv ,

conP0 ∈ r e v vettore unitario ortogonale adu, la curva di intersezioneQ ∩ αha un equazione del tipo

Ls2 + 2µt = 0 ,

e rappresenta la forma canonica della quadricaQ.Nel caso la quadrica sia uno dei restanti tre casi (xv, xvi e xvii) un pianoαparallelo adu e perpendicolare al piano di simmetriadu interseca la quadrica,a seconda del tipo, in: du rette parallele immaginarie (xv);due rette paralleleincidenti (xvi); due rette reali coincidenti (xvii). Parametrizzando il pianoαcome

P = P0 + su+ tv ,


7.4 Esercizi 163

conP0 ∈ du ev vettore unitario ortogonale adu, la curva di intersezioneQ ∩ αha un equazione del tipo

Ls2 + µ = 0 ,

e rappresenta la forma canonica della quadricaQ.

7.3.5 Forma canonica delle coniche

Per le coniche ha centro (tipi (i), (ii), (iii), (v), (vi)) e per la parabola (iv) siprocede in modo analogo al caso delle quadriche a centro e deiparaboloidi.Per gli ultimi tre casi si procede in modo geometrico. Il rango di A è 1, quindiesiste un unica direzione principaleu ed un unico asse di simmetriadu. Unaqualsiasi rettar con direzioneu incontra la conica in due punti che, a secon-da del tipo, sono: immaginari (vii), reali distinti (viii),reali coincidenti (ix).Parametrizzando la rettar come

P = P0 + tu

conP0 ∈ du, l’equazione di intersezioner ∩ Q è del tipo

t2 = µ

che rappresenta la corrispondente forma canonica della conicaQ il cui tipo èdeterminato a seconda cheµ sia minore, maggiore o uguale a zero.

7.4 Esercizi

Delle quadriche seguenti determinare: l’eventuale centro, gli eventuali coniasintotici, le direzioni principali e i piani di simmetria;il tipo. Determinare poiun cambiamento di riferimento rispetto al quale l’equazione della quadrica siriduce ad una delle forme canoniche euclidee e determinare la forma canonica.

1. z− xy= 0

2. 6xz+ 8yz− 5x = 0

3. 6xz+ 8yz− 5 = 0

4. 3x2 + 2y2 + 2xz+ 3z2 − 4 = 0



5. 3x2 + 2y2 + 2xz+ 3z2 = 0

6. 3x2 + 2y2 + 2xz+ 3z2 + 4 = 0

7. x2 + 2xy+ y2 + 2z2 − 4x = 0

8. x2 + 2xy+ y2 + 2z2 − 4 = 0

9. 2x2 − 2y2 − 2yz− 2z2 − 3 = 0

10. 2x2 − 2y2 − 2yz− 2z2 + 3 = 0

11. 2x2 − 2y2 − 2yz− 2z2 = 0

12. x2 − 2xy+ y2− 4x− 4y− 4z+ 4 = 0

13. x2 + 2xy+ y2 − z2 + 2x+ 2y+ 2z= 0


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