GRAVIMETRIA

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton nel 1666 e pubblicata nel 1684, afferma che l'attrazione gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

F rappresenta la forza gravitazionale, m1 e m2 le masse dei due corpi, r la loro mutua distanza, e G la costante di gravitazione universale. La legge di Newton vale per tutti i corpi dotati di massa, dai corpi di dimensioni macroscopiche alle particelle subatomiche; spiega quindi anche il moto orbitale dei Pianeti e le dinamiche di tutti i corpi celesti. Quando fu pubblicata, alla fine del XVII secolo, fornì una spiegazione teorica definitiva alle leggi di Keplero sul moto dei pianeti, che erano state formulate soltanto sulla base di dati sperimentali.

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E’ l’esperimento con cui Henry Cavendish calcolò la densità media della Terra. È ricordato però come la misura della costante di gravitazione universale G.

L’esperimento si basa su uno strumento chiamato bilancia di torsione, composto da un’asta rigida di legno con alle estremità due piccole sfere di piombo. Questo manubrio è appeso in posizione orizzontale tramite un filo sottile. Per impedire che le correnti d’aria muovessero l’asta, Cavendish chiuse la sua bilancia in una cassa di legno. Dall’esterno avvicinò alle estremità del manubrio due sfere piùgrandi e pesanti, ponendole da parti opposte rispetto all’asta.

Come aveva stabilito Newton, due corpi qualsiasi si attraggono con una forza che aumenta in proporzione alle loro masse e quanto più essi sono vicini. Le sfere grandi, fissate, attiravano quindi le sfere piccole e facevano ruotare leggermente il manubrio.

Ripetendo varie volte questo procedimento con altre sfere, e misurando i diversi angoli di cui l’asta ruotava spostando le sfere da un lato all’altro, Cavendish fu in grado di calcolare G.

Da questo valore ricavò la massa della Terra e dividendola per il suo volume ne ottenne la densità media. Questa risultò 5,448 volte quella dell’acqua, un valore che è solo dell’1,3% più basso di quello oggi accettato.

Da questa osservazione fu possibile ipotizzare che la densità della Terra era crescente verso l’interno, in quanto la densità media delle rocce della crosta terrestre è inferiore a 3 g/cm3.

LA BILANCIA DI TORSIONE

L’ACCELERAZIONE DI GRAVITÀLa forza di gravità è diretta verso il centro della Terra, dove si concentra la maggior parte

della sua massa e si può esprimere con la formula:

F = mgdove m è la massa del corpo che viene attratto, mentre la grandezza indicata con g è chiamata intensità del campo gravitazionale o accelerazione di gravità.

Nell’effettuare le misure della gravità della Terra, non si fa riferimento alla forza di gravitàma all’accelerazione g.

L’accelerazione gravitazionale esercitata su un corpo è direttamente proporzionale alla massa della Terra M e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra il centro delle due masse, r .

g = GM dove G è la costante di Cavendish

L’accelerazione di gravità non dipende quindi dalla massa del corpo che viene attratto.

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LE VARIAZIONI DI g

Essendo la Terra leggermente schiacciata ai poli, il valore di g varia con la latitudine. All’equatore il valore di g è 9,78 m al secondo ogni secondo, mentre ai poli è di 9,83 m al secondo ogni secondo. Il valore universalmente utilizzato nei calcoli è di 9,81 m al secondo ogni secondo

oppure 981 cm/sec2 o 981 gal (1 gal = 1 cm/sec2)

Si chiama gravimetria il settore della geofisica che studia la gravità terrestre, i valori del campo gravitazionale e le sue variazioni.

LE MISURE DI g: IL PENDOLOJean Richter, astronomo francese, nel ‘600, dirigendosi verso l’Equatore a bordo di una nave, osservò che il suo orologio a pendolo perdeva 2 minuti al giorno avvicinandosi all’Equatore. Questo perché il periodo di oscillazione T del pendolo dipende dal valore di g.

E’ dimostrato che esiste la seguente relazione fra accelerazione di gravità g e periodo T :

Con l’aumento di g diminuisce T e con la diminuzione di g (verso l’Equatore) aumenta T, il periodo di oscillazione è più lungo perché il pendolo scende più lentamente verso la verticale.

LE MISURE DI g: IL GRAVIMETRO

Il gravimetro è lo strumento che permette di eseguire misure dell’accelerazione g con precisioni delle misure dell’ordine del milligal (un millesimo di Gal).

E’ composto da una molla sensibilissima alla quale viene appesa una massa: a seconda dell’allungamento differenziale della molla, varia il valore di g.

Qui vediamo 3 casi di utilizzo del gravimetro, che dà valori diversi a seconda delle strutture presenti nel sottosuolo all’interno di una formazione calcarea.

IL VALORE DI g TEORICO E gMISURATO

In ogni punto della sfera terreste, il valore di g teorico dipende solo dalla latitudine e viene espresso da questa formula:

g (in m/s2) = 9,7803 (1 + 0,005302 sen2φ − 0,0000058 sen2 φ)

Il valore di g che noi misuriamo con il gravimetro può discostarsi dal valore teorico derivante dalla formula, in quanto g è influenzata anche dalla distribuzione delle masse nel sottosuolo.

LE CORREZIONI ALLE MISURE CON IL GRAVIMETRO

Una volta misurato il valore di g con gli strumenti a disposizione, si può effettuare il confronto fra il valore teorico derivante dalla formula e il valore ricavato attraverso le misure.

Prima di effettuare questo confronto, è necessario apportare delle correzioni al valore di g misurato:

Correzione in Aria libera (di Faye)

Correzione di Bouguer

LA CORREZIONE IN ARIA LIBERA

Se ci si trova in un punto sopraelevato rispetto al livello del mare, l’accelerazione di gravità è minore di quella che si avrebbe in riva al mare, in quanto ci si trova piùlontani dal centro della Terra e, aumentando r, diminuisce g.

Al valore misurato con lo strumento dovrò aggiungere un valore pari a circa 0,30 mGal per ogni metro di altezza sopra il livello del mare.

Il segno della correzione in aria libera èsempre positivo.

LA CORREZIONE DI BOUGUER

La gravità misurata in B risente della massa di una piastra avente spessore h, che esercita la sua attrazione aggiuntiva (diretta verso il basso) su B.

Dobbiamo dunque togliere dalla nostra misura con il gravimetro, effettuata in B, un valore pari a circa 0,11 mGal/metro. Il segno della correzione di Bouguer è dunque sempre negativo.

ANOMALIE DI GRAVITA’

Una volta fatte le correzioni, la differenza fra g misurata e g teorica può essere di segno positivo (anomalia positiva), negativo (anomalia negativa) o nullo (g misurata = g teorica).

ANOMALIA POSITIVA ANOMALIA NEGATIVA