Capitolo 11

Genetica di popolazioni

In una larga parte degli organismi l’informazione genetica è contenuta nei cromosomi, cor-puscoli a struttura sequenziale contenuti nel nucleo della cellula.Lungo ciascun cromosoma c’è una progressione di locazioni (= “loci"), ciascuna delle quali èoccupata da un gene, specifico per quel locus e responsabile, da solo o con altri geni presentiin loci diversi, per un carattere elementare dell’organismo (il colore degli occhi, la rugositàdei semi, etc).La variabilità dei caratteri si riconnette al fatto che ogni gene può presentare diverse varian-ti: ciascuna di esse è detta un allele (del gene), e il gene che occupa effettivamente un locuslungo il cromosoma rappresenta quindi una scelta all’interno di un insieme di possibili alleli.

Per gli organismi dei quali ci occuperemo, le cellule (eccettuate quelle deputate alla ri-produzione, i gameti, di cui diremo poi) contengono un corredo cromosomico diploide. Icromosomi della cellula sono presenti in coppie omologhe: ognuno dei due cromosomi dellacoppia contiene una progressione di loci che codifica la stessa sequenza di caratteri, arrangia-ta nel medesimo ordine. Due loci corrispondenti lungo i cromosomi omologhi sono occupatidal medesimo gene, ma è possibile che nei due loci il gene sia presente con alleli diversi,appartenenti alla varietà specifica per quel gene.Il genotipo che caratterizza un individuo diploide può essere visto come l’insieme delle coppiealleliche presenti nel suo corredo cromosomico. Diremo che un individuo è omozigote per illocus i-esimo1 se il locus i-esimo contiene lo stesso allele su entrambi i cromosomi omologhi;in caso contrario l’individuo si dirà eterozigote.

. . .

. . .

�

⇢

⇠

⇡

locus i�� ⇥⇥⇥⇥⇥�

AAUBBBBN

�

⇢

⇠

⇡

locus j

�� ⇥⇥⇥⇥⇥�

AAUBBBBN

cromosomi omologhi

alleli possibili per il alleli possibili per illocus i : a,A, . . . locus j : b,B, . . .

a

A

B

b

PPPi⇣⇣⇣)

figura 11.1.1

La diploidia non è una caratteristica universale del corredo cromosomico delle cellule viventi.Una cellula che contiene una sola copia di ciascun cromosoma viene detta aploide.Vi sono specie viventi, in particolare quelle costituite da organismi dalla struttura menoevoluta (muschi, funghi, etc.), il cui ciclo di vita include stadi di sviluppo in cui tutte lecellule sono aploidi. Tuttavia, anche gli organismi diploidi producono alcune cellule aploidi:i gameti per la riproduzione sessuata.

1quando è ovvio a quale locus si faccia riferimento, si dirà semplicemente che l’individuo è omozigote

183

La riproduzione sessuata comporta una particolare “fusione” del materiale genetico prove-niente da due organismi genitori .Ciascun genitore produce cellule aploidi (i gameti: uova o spermi) mediante un processo didivisione cellulare detto meiosi. La fisiologia della meiosi è alquanto complessa e comprendediversi stadi. Per una prima modellizzazione, possiamo supporre che se una cellula diploidecontiene n coppie di cromosomi omologhi

n

{C 01

, C 001

}, {C 02

, C 002

}, . . . , {C 0n, C

00n}

o

• ogni gamete aploide risultante dalla meiosi abbia un corredo cromosomicon

C1

, C2

, . . . , Cn

o

con Ci 2 {C 0i, C

00i }, i = 1, 2, . . . , n

• la probabilità che in un gamete aploide sia Ci = C 0i è uguale alla probabilità che sia

Ci = C 00i

• la meiosi in ciascun genitore interessa un numero di cellule estremamente elevato ri-spetto al numero n delle coppie cromosomiche contenute in una cellula diploide: comecaso limite, potremo supporre che la popolazione di gameti prodotta da un genito-re comprenda, con eguale frequenza, tutti i 2n gameti aploidi corrispondenti al suocorredo diploide.

Osservazione In realtà il processo di meiosi ha come risultato una popolazione di gameti ancora piùcomplessa di quella risultante dalla pura estrazione casuale di un cromosoma da ciascuna coppia di cromosomiomologhi presenti nel genitore.Infatti fra due cromosomi omologhi C0

i

e C00i

del genitore può, in un particolare stadio2 della meiosi, avvenireil crossing over, che porta allo scambio di materiale genetico e quindi alla creazione di un cromosoma la cuiconfigurazione allelica è intermedia fra quella di C0

i

e di C00i

HHHHH

HHHHH������

������

locus i locus j

cromosomi omologhia

A

b

B

PPPi⇣⇣⇣)

figura 11.1.2

Nei primi paragrafi del capitolo ci limiteremo a studiare la dinamica di un singolo locus presente in unacoppia di cromosomi omologhi. Per questo, potremo trascurare sia le n � 1 coppie cromosomiche che noncontengono il locus, sia l’effetto del crossing over sulla coppia cromosomica contenente il locus.

11.1 Popolazioni diploidi: l’equilibrio di Hardy-WeinbergIl concetto di frequenza allelica si riferisce alla abbondanza di un allele in una popolazione.Si noti che in un individuo sono presenti, in un locus, al massimo due alleli distinti e quindiciascuno dei suoi gameti, per quanto numeroso sia il loro insieme, potrà includere soltantouno dei due alleli.Una popolazione, invece, comprende molti individui fra loro diversi e, se gli alleli del lo-cus sono suscettibili di assumere k valori, nella popolazione potranno essere tutti presenti,ciascuno con la sua frequenza caratteristica.Riferendoci ad uno specifico locus, se per esso esiste un solo allele A nella popolazione, tuttigli individui saranno omozigoti (con genotipo AA).

2la “profase 1” della prima divisione meiotica

184

Se nella popolazione esistono due alleli, A1

e A2

, i genotipi possibili saranno tre, ovvero dueomozigoti A

1

A1

, A2

A2

e un eterozigote A1

A2

.Se nella popolazione esistono tre alleli, A

1

, A2

e A3

, i genotipi possibili saranno sei, ovverotre omozigoti A

1

A1

, A2

A2

, A3

A3

e tre eterozigoti A1

A2

, A2

A3

, A3

A1

.Al crescere del numero degli alleli , cresce rapidamente il numero dei genotipi e i genotipipiù rappresentati sono gli eterozigoti.

• Esercizio 11.1.1 In una popolazione diploide con k alleli i genotipi possibili sono�k+1

2

�=

k(k+1)

2

.Quanti sono i genotipi eterozigoti?

Nel seguito di questo paragrafo, supporremo che le generazioni che si succedono nella po-polazione abbiano carattere “discreto”: la generazione k-esima dà origine alla (k + 1)-esima,e da quel momento i genitori non si riproducono più e non sono più contati come membridella popolazione.

11.1.1 Frequenze alleliche e frequenze genotipiche

Una frequenza allelica nella generazione k-esima di una popolazione è il numero di alleli di ununico tipo che nella generazione k-esima sono presenti in un locus, diviso per il numero totaledi alleli, uguali o diversi, che esistono in quel locus in tutti gli individui della generazionek-esima.Una frequenza genotipica nella generazione k-esima di una popolazione è il rapporto fra ilnumero di individui con un particolare genotipo e il numero totale di individui.Per semplicità, d’ora in poi considereremo un locus in cui possono essere presenti due alleli,A e a, e indichieremo con p = pA la frequenza allelica di A, con pa = 1 � p := q quella dia e con PAA, PAa e Paa = 1 � PAA � PAa le frequenze genotipiche (degli individui) dellapopolazione.Le frequenze possono variare al variare della generazione3 e, quando opportuno, specifiche-remo la loro dipendenza da k scrivendo p(k), q(k), PAA(k), .....Osservazione All’interno della stessa generazione le frequenze possono variare nel corso deltempo (ad esempio perché genotipi diversi hanno parametri vitali diversi), quindi, per con-frontarle, dovremo valutare le frequenze delle generazioni successive nel medesimo momento“standard”: ad esempio nel momento in cui la generazione di adulti si riproduce, oppurenel momento in cui ha inizio la popolazione degli embrioni con la formazione degli zigoti, lecellule diploidi derivanti dall’unione dei gameti aploidi materno e paterno.

Le frequenze genotipiche della generazione k-esima individuano univocamentele frequenze alleliche nella medesima generazione.Infatti, se nella k -esima generazione la popolazione è costituita da N individui, gli alleli Acomplessivamente presenti sono 2NPAA +NPAa, gli alleli a sono 2NPaa +NPAa, gli allelitotali sono 2N e le frequenze alleliche risultano

p := pA =

2NPAA +NPAa

2N= PAA +

1

2

PAa (11.1)

q = 1� p =

2NPaa +NPAa

2N= Paa +

1

2

PAa (11.2)

Quindi nell’ambito di una particolare generazione (p.es. la k-esima) le due frequenze degliomozigoti (o quella degli eterozigoti e quella di un tipo di omozigoti) determinano semprele frequenza alleliche. Questo fatto ha una motivazione puramente algebrica e non dipendedalle modalità secondo le quali la k-esima generazione di genotipi è stata determinata dallegenerazioni precedenti.

3e l’obiettivo del capitolo è quello di studiare gli aspetti dinamici di tale variazione

185

Esempio 11.1.1 Generazioni con frequenze genotipiche diverse possono avere le medesime frequenzealleliche. Una popolazione costituita di soli eterozigoti (ad esempio selezionati con qualche proceduraad hoc) ha frequenza allelica p = 1/2, uguale alla frequenza allelica di una popolazione costituita disoli omozigoti in proporzioni uguali P

AA

= Paa

= 1/2 (anch’essi selezionati con qualche proceduraad hoc).

È possibile stabilire come le frequenze alleliche in una generazione determinino quelle ge-notipiche e quelle alleliche nella generazione successiva, quando si esplicitino le modalitàsecondo le quali avviene il passaggio fra le generazioni. Consideriamo due situazioni tipiche.

a) Popolazioni panmittiche

Supponimo che nella generazione k-esima entrambe le popolazioni di gameti maschili e fem-minili abbiano le medesime frequenze alleliche p(k) = pA(k) e q(k) = 1�p(k) e che l’unione diun gamete maschile e di uno femminile in una cellula diploide (lo zigote, che si moltiplicheràe differenzierà in un nuovo organismo della generazione k + 1-esima) avvenga per l’incontrocasuale di due gameti dei due sessi, indipendentemente dagli organismi che li hanno prodottie dal tipo di alleli di cui sono portatori. Ad esempio:- in molte piante i gameti maschili (i granuli pollinici) fecondano quelli femminili dopoessere stati trasportati dal vento. Se i granuli pollinici che trasportano l’allele A hanno lestesse caratteristiche di quelli che trasportano l’allele a ed hanno la medesima capacità difecondare i gameti femminili con cui vengono a contatto, gli zigoti AA della generazione(k+1)-esima si formeranno con frequenza pari a p2(k), quelli aa con frequenza q2(k), quelliAa con frequenza 2p(k)q(k) (essendo gli eterozigoti frutto di un incontro fra un granulopollinico A e un gamete femminile a o fra un granulo pollinico a e uno femminile A).- nelle aringhe, al tempo della riproduzione, i maschi e le femmine si separano in banchi chenuotano a profondità differenti, i maschi più prossimi alla superficie, le femmine più in pro-fondità. Durante il movimento migratorio maschi e femmine rilasciano gameti nell’ambiente:per motivi di peso specifico, le uova, leggermente meno dense dell’acqua, tendono a risalire,gli spermi a discendere e quando il seme incontra le uova si formano gli zigoti che, dotatidi una densità eguale a quella dell’acqua, restano in equilibrio inerte in prossimità dellasuperficie, fino a che non sviluppano le larve. Anche in questo caso l’incontro fra gameti èindipendente dagli organismi che li hanno prodotti, è sostanzialmente casuale e, nell’ipotesiche i due tipi di spermi abbiano la medesima capacità di fecondare i due tipi di uova, lefrequenze genotipiche degli zigoti sono

PAA(k + 1) = p2(k) , Paa(k + 1) = q2(k) , PAa(k + 1) = 2p(k)q(k). (11.3)

Le frequenze alleliche degli zigoti sono

p(k + 1) = PAA(k + 1) +

1

2

PAa(k + 1) = p2(k) + p(k)(1� p(k)) = p(k)

q(k + 1) = q(k)

Il processo di unione casuale dei gameti vien detto panmissia e una popolazione che siriproduce in panmissia vien detta panmittica.Nei due esempi, le grandezze p(k), q(k) relative alla generazione k-esima e PAA(k+1), PAa(k+1) e Paa(k + 1) relative alla generazione (k + 1)-esima si riferiscono a due momenti diversinello sviluppo delle due generazioni: si considerano infatti i gameti prodotti alla fine delciclo k-esimo, e gli zigoti, ossia le cellule diploidi all’inizio del ciclo (k+1)-esimo. Per riferirele grandezze in (11.3) al medesimo stadio vitale delle due generazioni, come è necessario fareper descrivere il comportamento dinamico della popolazione in un numero arbitrariamentegrande di generazioni, possiamo ipotizzare che

- le frequenze alleliche p(k) e q(k) nelle popolazioni dei gameti coincidano con quelledella popolazione adulta che li ha prodotti (ipotizzando che gli adulti dei tre genotipiavviano la medesima “fertilità”, ovvero producano ciascuno lo stesso numero di gameti)

186

- le frequenze genotipiche degli zigoti PAA(k+1), PAa(k+1) e Paa(k+1) si mantenganoinvariate fino all’età adulta (ipotizzando che sia eguale per i tre genotipi il tasso dimortalità fino al momento della riproduzione).

Quando valgono tali ipotesi, la relazione (11.3) esprime per ogni valore di k a partire da unoiniziale, le frequenze genotipiche nella generazione k + 1-esima in funzione delle frequenzealleliche nella generazione k-esima ed è stata introdotta, agli inizi del secolo scorso, dalmatematico inglese G.H.Hardy e dal medico tedesco W.Weinberg.

b) Unione casuale (= random mating) degli individui

L’unione casuale degli individui per formare i discendenti si verifica quando individui disesso diverso formano coppie senza alcun criterio di scelta del partner che non sia quellodella diversità di sesso. In altre parole, la frequenza dell’unione di un genotipo con un altrodipende soltanto dalle frequenze dei genotipi che concorrono nell’unione.Ad esempio, se PAA(k) è la frequenza dei genotipi AA nella generazione k-esima (sia maschileche femminile), la frequenza delle coppie AA⇥AA sarà pari a P 2

AA(k).Si assume inoltre che

- la fertilità delle coppie, ovvero il numero di zigoti che ciascuna produce per effetto dellafusione di un gamete materno e di uno paterno) sia indipendente dal tipo di coppia;

- le frequenze genotipiche, e quindi le alleliche, siano eguali nei due sessi;

- hanno eguale probabilità di concorrere alla formazione di uno zigote l’uno o l’altrodei gameti materni contenenti uno dei due cromosomi omologhi della madre; lo stessodicasi per i gameti paterni.

Individuate le frequenze delle coppie di genotipi nella generazione k-esima, si determinanoquelle dei genotipi, e quindi degli alleli, negli zigoti della generazione (k + 1)-esima.

Tabella 11.1.1

coppia di frequenze di coppia genotipi prodotti nella generazione k + 1

genotipi nella generazione k e relative frequenzepadre/madre AA Aa aa

AA⇥AA P 2

AA(k) P 2

AA(k)

AA⇥Aa PAA(k)PAa(k)1

2

PAA(k)PAa(k)1

2

PAA(k)PAa(k)

AA⇥ aa PAA(k)Paa(k) PAA(k)Paa(k)

Aa⇥AA PAa(k)PAA(k)1

2

PAA(k)PAa(k)1

2

PAA(k)PAa(k)

Aa⇥Aa P 2

Aa(k)1

4

P 2

Aa(k)1

2

P 2

Aa(k)1

4

P 2

Aa(k)

Aa⇥ aa PAa(k)Paa(k)1

2

PAa(k)Paa(k)1

2

PAa(k)Paa(k)

aa⇥AA Paa(k)PAA(k) Paa(k)PAA(k)

aa⇥Aa Paa(k)PAa(k)1

2

Paa(k)PAa(k)1

2

Paa(k)PAa(k)

aa⇥ aa P 2

aa(k) P 2

aa(k)

187

La seconda colonna ha somma unitaria, essendo⇣

PAA(k) + PAa(k) + Paa(k)⌘

2

= 1 ed èpure, ovviamente, unitaria la somma di tutti i termini delle ultime tre colonne.Dalle ultime tre colonne si ricavano

- le frequenze genotipiche della generazione k + 1 dalle frequenze allelichedella generazione k

PAA

(k + 1) = P 2

AA

(k) + PAA

(k)Paa

(k) +14P 2

Aa

(k) =

✓PAA

(k) +12PAa

(k)

◆2

= p2(k)

PAa

(k + 1) = PAA

(k)PAa

(k) + 2PAA

(k)Paa

(k) +12P 2

Aa

(k) + Paa

(k)PAa

(k) (11.4)

= 2

✓PAA

(k) +12PAa

(k)

◆✓Paa

(k) +12PAa

(k)

◆= 2p(k)q(k)

Paa

(k + 1) = P 2

aa

(k) + PAA

(k)Paa

(k) +14P 2

Aa

(k) =

✓Paa

(k) +12PAa

(k)

◆2

= q2(k)

- tenuto conto di (11.4), le frequenze alleliche della generazione k + 1 dallefrequenze genotipiche o da quelle alleliche della generazione k

p(k + 1) = PAA

(k + 1) +12PAa

(k + 1)

= (PAA

(k) +12PAa

(k))2 + (PAA

(k) +12PAa

(k))(Paa

(k) +12PAa

(k))

= PAA

(k) +12PAa

(k) = p(k) (11.5)

q(k + 1) = Paa

(k) +12PAa

(k) = q(k)

- tenuto conto di (11.4) e di (11.5), le frequenze genotipiche della generazionek + 1 dalle frequenze alleliche della generazione k + 1.

PAA(k + 1) = p2(k + 1) (11.6)PAa(k + 1) = 2p(k + 1)q(k + 1) (11.7)Paa(k + 1) = q2(k + 1) (11.8)

Se supponiamo infine che gli zigoti dei tre genotipi, una volta formati, abbiano tutti la stessavitalità, ovvero la stessa probabilità di raggiungere lo stadio riproduttivo, possiamo riferireanche le frequenze genotipiche PAA(k + 1), PAa(k + 1), Paa(k + 1) e le frequenze allelichep(k + 1), q(k + 1) agli adulti della generazione (k + 1)-esima.

Conclusioni: equilibri delle frequenze genotipiche e alleliche

In condizioni di panmissia o di unione casuale, quando vitalità e fertilità sono le stesse pertutti i genotipi possiamo concludere (legge di Hardy Weinberg) che:

1 in ogni generazione le frequenze alleliche coincidono con quelle dellagenerazione iniziale:

p(k) = p̄, q(k) = q̄ = 1� p̄, 8k

2 le frequenze genotipiche di ogni generazione (salvo la iniziale) si otten-gono dalle frequenze alleliche e assumono valori

PAA(k + 1) = p̄2, PAa(k + 1) = 2p̄q̄, Paa(k + 1) = q̄2

Si noti che, anche se nella prima generazione le frequenze genotipiche sono “imposte”, sce-gliendo ad hoc i genotipi in modo da non soddisfare le proporzioni della legge di H.W., questesono costantemente soddisfatte dalla seconda generazione in poi.

• Esercizio 11.1.2 Quando vale la legge di Hardy-Weinberg, la frequenza degli eterozigoti, espressa

da PAa

= 2p(1� p), raggiunge il valor massimo, pari a1

2, quando p = q = 1/2.

188

11.1.2 Quali ipotesi per l’equilibrio di Hardy-Weinberg?Per la validità delle conclusioni che abbiamo tratto, devono valere varie condizioni, alcunedelle quali abbiamo assunto soltanto in modo tacito nella discussione precedente e che quimenzioniamo in modo esplicito:

1. casualità dell’unione delle coppie e dei gameti;

2. numerosità infinita della popolazione: le proporzioni dei vari tipi di coppia e le pro-porzioni dei genotipi nella generazione successiva sono espressi esattamente dai valoriprevisti dall’equilibrio di HW;

3. eguali frequenze genotipiche nei due sessi;

4. non esiste fertilità differenziale fra i genotipi: il contributo dei vari tipi di unione allagenerazione successiva sono determinati solo dalla frequenza dei tipi di unione;

5. non c’è vitalità (viability) differenziale fra i genotipi,: la mortalità fra lo stadio dizigote e quello di adulto riproduttivo è la stessa per tutti i genotipi;

6. non c’è immigrazione: tutti i membri di una generazione provengono da quelli dellagenerazione precedente;

7. non c’è emigrazione differenziale: eventuali uscite dalla popolazione non alterano lefrequenze genotipiche;

8. non ci sono mutazioni nel patrimonio genetico.

Nei paragrafi seguenti ci proponiamo di individuare come e in qual misura la mancatavalidità di alcune delle ipotesi comporti una modifica nel tempo del patrimonio geneticodella popolazione.

11.2 Popolazioni diploidi: fitness e selezione

In questo paragrafo otterremo formule che esprimono come variano le frequenze allelicheda una generazione alla successiva (limitandoci ancora una volta ad un locus con due alleliA ed a) quando si lascino cadere le ipotesi 4 e 5 di 11.1.2. Supporremo cioè che individuidi genotipi diversi abbiamo una diversa vitalità ed una diversa fertilità. Per comodità, lefrequenze sono valutate sulle generazioni di zigoti.

11.2.1 Vitalità, fertilità e coefficienti di fitness dei genotipiSi supponga che la generazione k-esima sia formata da N zigoti, che N sia molto grande eche i genotipi degli zigoti abbiano proporzioni4

PAA(k), PAa(k), Paa(k)

così da avere N(2PAA(k) + PAa(k)) alleli di tipo A, N(2Paa(k) + PAa(k)) alleli di tipo a efrequenze alleliche di A e di a pari a

p(k) = PAA(k) +1

2

PAa(k) , q(k) = 1� p(k).

Si supponga inoltre che4nella generazione k-esima, che consideriamo qui come iniziale, non si ipotizza che le proporzioni siano

quelle della legge di Hardy-Weinberg

189

• i genotipi AA abbiano vitalità vAA, i genotipi Aa vitalità vAa, i genotipi aa vitalitàvaa, in modo che al momento della riproduzione siano presenti

NPAA(k)vAA genotipi AA

NPAa(k)vAa genotipi Aa

NPaa(k)vaa genotipi aa

• al momento della riproduzione i genotipi siano caratterizzati da coefficienti di fertilitàfAA, fAa e faa e che la fertilità di una coppia di genotipi sia il prodotto5 delle fertilitàdei due “partner” della coppia. Ad esempio, una coppia AA ⇥ Aa si suppone abbiafertilità fAAfAa, corrispondente (o proporzionale) al numero di zigoti che essa lasciaalla generazione successiva.

Poiché ci sono N zigoti nella generazione k-esima, se scegliamo X,Y, Z, U 2 {A, a},

• nella generazione k-esima gli adulti con genotipi XY e ZU sono rispettivamente

NPXY (k)vXY NPZU (k)vZU ,

• il numero delle coppie XY ⇥ ZU è proporzionale a

N2PXY (k)PZU (k)vXY vZU ,

• gli zigoti della generazione k+1-esima creati da tali coppie sono in numero proporzio-nale a

N2PXY (k)PZU (k)vXY vZUfXY fZU = N2

⇣

PXY (k)vXY fXY

⌘⇣

PZU (k)vZUfZU

⌘

.

Introduciamo i coefficienti di fitness

6

wAA = vAAfAA , wAa = vAafAa , waa = vaafaa (11.9)

e poniamo

w(k) = PAA(k)wAA + PAa(k)wAa + Paa(k)waa

˜PAA(k) =

PAA(k)wAA

w(k), ˜PAa(k) =

PAa(k)wAA

w(k), ˜Paa(k) =

Paa(k)waa

w(k)(11.10)

in modo da avere ˜PAA +

˜PAa +˜Paa = 1.

È chiaro che gli zigoti della generazione k+1 creati dalla coppie XY ⇥ZU della generazionek sono in numero proporzionale a ˜PXY

˜PZU .Ripetendo allora il procedimento della tabella 11.1.1, si conclude che

• le frequenze genotipiche degli zigoti nella generazione k + 1 sono

PAA(k + 1) =

✓

˜PAA(k) +1

2

˜PAa(k)

◆

2

PAa(k + 1) = 2

✓

˜PAA(k) +1

2

˜PAa(k)

◆✓

˜Paa(k) +1

2

˜PAa(k)

◆

Paa(k + 1) =

✓

˜Paa(k) +1

2

˜PAa(k)

◆

2

(11.11)

5l’ipotesi è dettata da motivi di semplicità; se ne possono introdurre altre6il sostantivo di solito non viene tradotto:la locuzione più prossima è “adeguatezza” (piuttosto brutto...)

o, meglio, “ successo riproduttivo”

190

• la frequenza dell’allele A nella generazione (k + 1)-esima di zigoti è espressa da

p(k + 1) =

✓P̃AA

(k) +12P̃Aa

(k)

◆2

+

✓P̃AA

(k) +12P̃Aa

(k)

◆✓P̃aa

(k) +12P̃Aa

(k)

◆

= P̃AA

(k) +12P̃Aa

(k) (11.12)

Tenuto conto di (11.11) e (11.12), le frequenze genotipiche degli zigoti nella generazione k+1

si possono desumere da quelle alleliche nella medesima generazione:

PAA(k + 1) = p2(k + 1), PAa(k + 1) = 2p(k + 1)q(k + 1), Paa(k + 1) = q2(k + 1).

In questo caso il secondo punto della legge di H.W. ha un contenuto più restrittivo:

le frequenze genotipiche PAA(k), PAa(k), Paa(k) degli zigoti di ogni generazio-ne, salvo quella iniziale, si ottengono dalle frequenze alleliche p(k) e q(k)degli zigoti della stessa generazione e assumono valori

PAA(k) = p2(k), PAa(k) = 2p(k)q(k), Paa(k) = q2(k).

11.2.2 Dinamica delle frequenze allelicheQuello che non rimane più vero della legge di Hardy-Weinberg è il primo dei punti cheabbiamo enunciato e che riguarda la costanza delle frequenze alleliche (e genotipiche) quandosi passa da una generazione alla successiva.

Aggiornamento delle frequenze alleliche e frequenze di equilibrio

Se attribuiamo indice 0 alla generazione iniziale, per k > 0 frequenze alleliche e genotipichedegli zigoti appartenenti alla medesima generazione k sono legati dalle proporzioni di Hardy-Weinberg e per (11.10) e (11.12) si ha

p(k + 1) =

˜PAA(k) +1

2

˜PAa(k) =

PAA(k)wAA +

1

2

PAa(k)wAa

PAA(k)wAA + PAa(k)wAa + Paa(k)waa

=

p2(k)wAA + p(k)q(k)wAa

p2(k)wAA + 2p(k)q(k)wAa + q2(k)waa(11.13)

La (11.13), ponendo q(k) = 1�p(k) indica come la dinamica di p sia quella di un sistema nonlineare discreto del primo ordine, i cui punti di equilibrio si ottengono risolvendo l’equazionein p

p[p2wAA + 2p(1� p)wAa + (1� p)2waa]� [p2wAA + p(1� p)wAa] = 0 (11.14)

Le soluzioni p = 0 e p = 1 sono ovvie e ciò consente di riscrivere l’equazione nella forma

p(p� 1)

⇣

(2wAa � wAA � waa)p� (wAa � waa)

⌘

= 0

Se 2wAa � wAA � waa = 0 il grado del polinomio a primo membro è 2, e le soluzioni sonosoltanto p = 0 e p = 1, salvo nel caso in cui sia nulla anche la costante wAa � waa, perchéallora il polinomio è nullo ed ogni valore di p risolve l’equazione.Si noti che il simultaneo annullamento di 2wAa � wAA � waa e di wAa � waa corrispondead avere wAA = wAa = waa, quindi alle condizioni per le quali vale l’equilibrio di HardyWeinberg, che vale per ogni frequenza allelica.

191

Se invece si ha 2wAa � wAA � waa 6= 0, l’equazione

(2wAa � wAA � waa)p� (wAa � waa) = 0 (11.15)

ha soluzione

p̄ =

wAa � waa

2wAa � wAA � waa(11.16)

che può essere interpretata come una ulteriore frequenza allelica di equilibrio se

0 <wAa � waa

2wAa � wAA � waa< 1

ovvero se(wAa � wAA) + (wAa � waa)

wAa � waa=

wAa � wAA

wAa � waa+ 1 > 1

e quindi sewAa � wAA

wAa � waa> 0 (11.17)

La diseguaglianza (11.17), che garantisce l’esistenza del terzo equilibrio in p̄, è verificatase la fitness dell’eterozigote Aa è superiore, oppure è inferiore, alle fitness di entrambi gliomozigoti AA e aa.

Fitness media

Il denominatorew(p) = p2wAA + 2p(1� p)wAa + (1� p)2waa

di (11.13) è detto fitness media della popolazione ed è una funzione quadratica della frequen-za allelica p. In generale dipende dalla generazione k che si sta considerando, perché da kdipende la frequenza p.

Per individuare il carattere di stabilità dei punti di equilibrio ci sarà molto utile verificarepreliminarmente che

la fitness media w(p(k)) è una funzione non decrescente di k.

Prova Introdotte le quantità ausiliarie

wA = pwAA + qwAa

wa = pwAa + qwaa,

la fitness media è esprimibile come

w = pwA + qwa ,

e le equazioni di aggiornamento delle frequenze alleliche si riscrivono come

p(k + 1) = p(k)wA(k)

w(k)q(k + 1) = q(k)

wa(k)

w(k). (11.18)

La variazione della frequenza allelica passando dalla generazione k alla k + 1 risulta

�p(k) := p(k + 1)� p(k) = p(k)wA(k)� w(k)

w(k)= p(k)

wA(k)� p(k)wA(k)� q(k)wa(k)

w(k)

= p(k)q(k)wA(k)� wa(k)

w(k)

192

Poichè w è una funzione quadratica di p, la variazione corrispondente della fitness mediaw(p((k + 1))� w(p((k)) è esprimibile come

�w(k) := w(p(k + 1))� w(p(k)) =

dw

dp�p(k) +

1

2

d2w

dp2(�p(k))2 (11.19)

Le derivate di w valgono

dw

dp= 2pwAA + 2wAa � 4pwAa � 2waa + 2pwaa = 2(wA � wa)

d2w

dp2= 2(wAA � 2wAa + waa)

e da (11.19) si ricava infine (tutte le grandezze variabili sono valutate sulla generazione k)

�w(k) = 2(wA � wa)�p(k) + (wAA � 2wAa + waa)(�p)2

= 2pq(wA � wa)

2

w+ (wAA � 2wAa + waa)p

2q2(wA � wa)

2

w2

= pq(wA � wa)

2

w2

[2w + (wAA � 2wAa + waa)pq]

= pq(wA � wa)

2

w2

[w + wAAp2

+ 2wAapq + waaq2

+ (wAA � 2wAa + waa)pq]

= pq(wA � wa)

2

w2

[w + wAAp+ waaq]

che è certamente non negativa, e si annulla solo se la frequenza allelica p soddisfa una delletre condizioni

p = 0, (11.20)p = 1, (11.21)

pwAA + (1� p)wAa = pwAa + (1� p)waa (11.22)

La (11.22) coincide con l’equazione (11.15), che fornisce la terza frequenza allelica di equi-librio p̄: quindi per ogni valore di p la fitness media cresce con k, salvo nei tre punti diequilibrio che abbiamo determinato.

Carattere dei punti di equilibrio

A seconda dei valori delle fitness wAA, wAa e waa e della frequenza allelica iniziale (= lostato iniziale) la frequenza allelica p(k) può convergere verso uno dei punti di equilibrio.

Nel caso in cui si hanno tre frequenze di equilibrio, ossia 0 < p̄ < 1 (nel caso cioè in cui lafitness dell’eterozigote supera quella di entrambi gli omozigoti o ne è superata) la funzionew(p) ha nulla in p̄ la derivata prima

2(wA � wa) = 2

wAa � waa

wAa � wAA � waa(wAA � wAa) +

wAa � wAA

wAa � wAA � waa(wAa � waa)

�

= 0.

mentre la derivata seconda è la costante (wAA�2wAa+waa). Quando essa è negativa, ossiaquando la fitness dell’eterozigote Aa supera quella di entrambi gli omozigoti AA e aa, lafitness media w(p) ha un massimo in p̄: il suo grafico è una parabola con la concavità versoil basso e vertice in p̄.

193

-

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q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

Figura 11.2.1

p

w(p)

p̄10

In questa condizione, tenuto conto che la fitness aumenta da una generazione alla successiva,la frequenza p̄ è l’unico punto di equilibrio asintoticamente stabile del sistema.Nel caso in cui la fitness media abbia un minimo in p̄, se p(0) > p̄ la frequenza allelica di Aconverge a p(1) = 1, mentre converge a p(1) = 0 se p(0) < p̄.

• Esercizio 11.2.1 Si verifichi che, se la la fitness media ha un minimo in p̄ con p̄ 2 (0, 1), allorap(0) > p̄ implica p(k) > p̄, 8k � 0.

] Soluzione. Basterà verificare che

p(k) > p̄ =w

aa

� wAa

(wAA

� wAa

) + (waa

� wAa

)) p(k + 1) > p(k) (11.23)

L’esistenza di p̄ 2 (0, 1) implica la (11.17), mentre l’ipotesi che in p̄ la fitness media abbia un minimo

implica la positività di entrambe le differenze waa

� wAa

e wAA

� wAa

.

Da (11.18), ponendo p(k) := p e q(k) = 1� p(k) = q, si ricava

p(k + 1) = pw

a

(k)

w(k)= p

pwAA

+ qwAa

pwAa

+ qwaa

,

e la verifica di (11.23) si riduce a considerare la catena di diseguaglianze equivalenti:

ppw

AA

+ qwAa

pwAa

+ qwaa

> p

p(wAA

� wAa

) > q(waa

� wAa

)

p(wAA

� wAa

) + p(waa

� wAa

) > waa

� wAa

p(wAA

+ pwaa

� 2wAa

) > waa

� wAa

p >w

aa

� wAa

wAA

+ pwaa

� 2wAa

= p̄

Infine, se p̄ non appartiene all’intervallo (0, 1), il grafico di w(p) è una curva strettamentemonotona in (0, 1) e la frequenza allelica p(k), quando p(0) non si trovi già all’equilibrio,converge a p(1) = 0 oppure a p(1) = 1, a seconda che w(p) assuma il suo massimo in p = 0

o in p = 1.

Da ciò possiamo trarre la conclusione che, affinchè in una popolazione si abbia una distri-buzione asintoticamente stabile comprendente più genotipi, è necessario che la fitness delgenotipo eterozigote superi quelle di entrambi gli omozigoti.

194