Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

1

Le funzioni numeriche (in simboli f(x) ), sono delle leggi, in molti casi espresse da equazioni

y=f(x) , che associano dei numeri appartenenti a un certo insieme di partenza (A) , ad altri

numeri appartenenti ad un secondo insieme di arrivo (B) . Il domino (D)è fomato dall'insieme

degli elementi di A che possono essere associati agli elementi di B : l'insieme degli elementi

di B associati agli elementi di A, detti immagini, formano codominio (C).

La lettera x , che sta ad indicare tutti i valori che possono essere sostituiti nella formula f(x),

prende il nome di variabile indipendente , mentre la lettera y indica invece tutti i valori

ottenibili dai rispettivi valori di x e prende il nome di variabile dipendente. Nel linguaggio

matematico si usa dire che un certo elemento By è l'immagine dell'elemento Ax

secondo una data funzione f(x) quando y=f(x) e, in simboli si può scrivere: yx:f .

Pertanto, l'uso delle due lettere sta anche ad indicare dei singoli elementi e non solo degli

insiemi di numeri.

Le funzioni possono essere rappresentate in forma di diagrammi, di tabelle e grafici

cartesiani e di formule matematiche nel caso delle funzioni numeriche. Esistono quattro

tipologie principali di funzioni numeriche elementari, ciascuna dotata di propria formula:

Proporzionalità diretta: xky ; legge lineare: qxky

Proporzionalità quadratica: 2xky ; proporzionalità inversa:x

ky .

Funzione: è una relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A

uno ed un solo elemento di B.

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

2

Gli insiemi numerici di partenza e di arrivo di un funzione numerica, se non specificato

diversamente coincidono con l'insieme ℝ dei numeri reali. I numeri reali si possono

considerare un sovrainsieme dei numeri razionali. I numeri reali, oltre ai numeri razionali che

si possono esprimere come frazioni oppure numeri decimali, includono l'insieme

dei numeri irrazionali: gli irrazionali, come ad esempio le radici numeriche di

numeri razionali che non sono quadrati di altri numeri, come ... 3 ,,2 , sono espressi

in formato decimale con un numero di infinite cifre non periodiche dopo la virgola e

non possono scriversi come frazioni. La radice quadrata numerica y di un numero

positivo x è definita in questo modo: 2yxxy . Alcuni esempi:

23993 , 2

7

10

49

100

7

10

49

100

, 251256251 ,,, ,56 .

Analogalmente, si definisce la radice n -esima positiva di un dato numero quel

numero che elevato all'esponente Nn fornisce il numero di partenza:

nn yxxy . Ad esempio: 33 327273 . Dimostriamo che il

numero 2 è un numero irrazionale, ovvero non si può esprimere come rapporto

tra due numeri interi primi tra loro (cioè senza divisori comuni). Infatti, se per assurdo

supponiamo che esistano due numeri interi q,p primi tra loro, tali che q

p2 :

per la definizione di radice quadrata si ha quindi 22

2

q

p, per cui si sarebbe vera la

relazione 22 2 qp . Il numero 2p dovrebbe essere un numero pari essendo

divisibile per 2 e, di conseguenza, il numero p srebbe necessariamente pari in

quanto i quadrati dei numeri dispari sono dispari. Ma allora tale numero si può

esprimere come np 2 con n numero intero. Da ciò deriva, dopo avere

sostituito nella relazione precedente: 22 24 qn , ovvero 22 2 nq . Quindi, si

può ripetere il ragionamento affermando ora che anche q è un numero pari

essendo pure esso divisibile per 2 ma questa è una contraddizione in quanto i due

numeri p eq sarebbero entrambi pari e quindi con un divisore 2 in comune,

contrariamente all'ipotesi. Ne consegue, pertanto, che 2 è irrazionale.

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

3

Il riquadro seguente mostra la rappresentazione insiemistica dei vari tipi di numeri.

I numeri rrazionali quali, ad esempio, la radice quadrata di 2 o la radice quadrata di 5 si

rappresentano anche essi lungo una retta orientata, collocati tra due interi consecutivi:

222221414213612 21 ....., ,

23535223606825 22 ......,

In generale, i numeri irrazionali si possono approssimare ad un numero prestabilito di cifre

dopo la virgola, arrotondando l'ultima cifra, per eccesso se la cifra successiva è 5

oppure per difetto se l'ultima cifra è 5 . Ad esempio, rappresentiamo la radice di 5:

con 1 cifra dopo la virgola 225 , per difetto, con 2 cifre 2425 , per eccesso.

Ogni numero reale è determinato da due serie di numeri decimali approssimanti,

rispettivamente quelli per difetto e quelli per eccesso che convergono al numero stesso:

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

4

eccesso per Serie

2514214151414312

difetto per Serie

414214141411411 ,,,,................,,,,

Grafici delle funzioni

Grafico di un funzione y=f(x), è 'insieme dei punti del piano cartesiano di coodinate P[x;f(x)].

I grafici si possono ottenere, in pratica, calcolando un certo numero di valori della variabile y in

corrispondenza dei rispettivi valori attribuiti alla variabile x in base alle rispettive formule, da porre

prima in una tabella e poi come punti di un piano cartesiano OXY associati alle coppie di coodinate.

Maggiore è il numero dei punti calcolati e migliore, in generale, è la rappresentazione della funzione

anche se, per talune funzioni come ad esempio la retta, sono sufficienti anche solo 2 o 3 coppie di valori.

Passiamo ora a esaminare i tipi più comuni di funzioni semplici.

Proporzionalità diretta: xky

Si tratta di una retta che passa sempre per

l'origine O(0;0), diretta verso l'alto da sinistra a

destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso da

sinistra a destra nel caso di valori di k<0.

Esempio:

X

Y x y

-4 -6

-2 -3

0 0

2 3

4 6

xy 23

uX

uY

_____________________________________

Esempio:

X

Y

xy 32

x y

-6 4

-3 2

0 0

3 -2

6 -4

uX

uY

Legge lineare: qxky

Si tratta di una retta che passa sempre per il

punto A(0; q), diretta verso l'alto da sinistra a

destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso

da sinistra a destra per valori di k<0.

Esempio:

X

Y

121

xy x y

-4 -3

-2 -2

0 -1

2 0

4 1

uX

uY

__________________________________

Esempio:

X

Y

22 xy x y

-2 6

-1 4

0 2

1 0

2 -2

uX

uY

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

5

Proporzionalità quadratica: 2xky

Il grafico della proporzionalità quadratica è

una curva, la parabola, che passa sempre

per l'origine O(0; 0) ed è rivolta verso l'alto

per k>0 e verso il basso per k<0.

Esempio:

X

Y

x y

�

-4 4

-2 1

0 0

2 1

4 4

241 xy

Esempio

X

Y

�

231 xy

In questo esempio si notino le due diverse

spaziature delle tacche tra i numeri: quella

dell'asse Y, formata da 3 tacche, permette di

rappresentare facilmente i valori di y della

tabella che hanno il denominatore 3 .

Proporzionalità inversa: xky

La curva descritta dalla formula, detta

iperbole, è diviso in due rami simmetrici

rispetto all'origine O(0;0), nel IO e nel IIIO

quadrante se k>0 e nel IIO e IVO se k<0.

Esempio:

-6 6

-6

6

X

Y

xy

6

�

Esempio

X

Y

xy

8

�

x y

-8 1

-4 2

-2 4

-1 8

0

1 8

2 -4

4 -2

8 -1

-4 4

4

-4

Si noti come la curva tende a salire verso l'alto o

scendere verso il basso in prossimità del valore

x=0, avvicininandosi all'asse Y senza però

toccarlo: l'asse Y, in questo caso, è detto

asintoto della curva.

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

6

Dalle tabelle alle formule

Riconoscere una legge a partire dai dati di una tabella è un tipo di esercizio molto importante che ha

delle applicazioni dirette in ogni ambito scentifico. Infatti, la fisica, la biologia e le altre scienze , si

servono di modelli dei fenomeni naturali in forma di leggi matematiche che descrivono il legame tra le

grandezze e, tali leggi, derivano dalla interpretazioni di dati sperimentali raccolti dall'osservazione e

dalla ricerca. Ad ogni tipo di legge è associata una proprietà caratteristica basata su una semplice

operazione di calcolo tra i valori delle variabili.

DI seguito esaminiamo le proprietà e illustriamo gli esempi di riconoscimento delle quattro tipologie di

funzioni elementari considerate:; in genere, a partire dai dati di una tabella, si costruisce una nuova

colonna (o riga se la tabella è orizzontale) nella quale si effettua il calcolo: se il risultato è un valore

costante (k) esso è quello che caratterizza la formula da scrivere. Poi, in base alla formula trovata, si

possono eventualmente aggiungere ulteriori valori alla tabella e, in base ad essi, tracciare il grafico della

funzione. Le caratteristiche delle quattro funzioni consiserate sono esperesse da semplici relazioni che

derivano dalle loro formule:

. :inversa alitàProporzion

. :quadratica alitàProporzion

. :lineare Legge

. :diretta alitàProporzion

22

kyxx

ky

kx

yxky

kx

qyqxky

kx

yxky

Per riconoscere un tipo di funzione a partire dai dati di una tabella, distinguendola dagli altri tre tipi,

spesso non è necessario effettuare calcoli ma basta osservare i dati stessi in relazione alle proprietà:

La proporzionalità diretta include il punto O(0; 0); la legge lineare include invece il punto A(0; q) dove q

è un numero diverso da 0. La proporzionalità quadratica include i punti A(1; k) e B(-1;k) dove k è la

costante della f(x). La proporzionalità inversa non include mai i tipi di punti 0(0;0), A(0; q) e A(k; k3).

Esempi di riconoscimento di funzioni in base alle due prime colonne delle tabelle numeriche

x y y/x

-3 2 -2/3

0 0 ------

3/2 -1 -2/3

-3/5 2/5 -2/3

xy 3

2

x y (y-2)/x

-1/3 3 -3

0 q=2 -------

2/3 0 -3

1 -1 -3

23 xy

x y y/x2

-1 4/3 4/3

0 0 -------

1 4/3 4/3

-1/2 1/3 4/3

2

3

4xy

x y xy

-6 5/3 -10

1 -10 -10

-3/2 20/3 -10

1/4 -40 -10

xy

10

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

7

Determinazione di valori numerici associati da una funzione

Tipici esercizi consistono nel calcolare un valore della variabile y (immagine) associato ad un dato valore

della x o, viceversa, calcolare l'elemento x che associa un dato valore di y. Il calcolo di tali valori, in generale,

si può ottenere risolvendo le equazioni che esprimono le funzioni con incognite una delle due lettere.

Quando l'incognita è x si possono applicare i due principi di equivalenza delle equazioni:

1O: trasportare da un membro all'altro un numero qualsiasi cambiato di segno che equivale a sommare o

sottrarre dai due membri uno stesso numero;

2O: moltiplicare o dividere per uno stesso numero diverso da zero i due membri dell'equazione;

Ricordiamo, preliminarmente, che il valore di y associato ad un dato valore di x si può scrivere, in simboli,

sia come y(x) che come f(x) .

Esempio 1. Data xxf 3

2, calcolare i valori mancanti:

A) .........f 6 ; B) .........f

4

9 ; C) 1.....f ; D)

6

1......f

A) 463

26 f ; B)

2

3

4

9

3

2

4

9

f ;

C) 2

3

2

31

3

2

2

3 1

3

2 xxx ; D)

4

1

2

3

6

1

3

2

2

3

6

1

3

2 xxx .

Esempio 2. Data 32 xxf , calcolare i valori mancanti:

A) ........f

2

3 ; B) ........f 1 ; C) 1.....f ; D)

2

3......f

A) 032

32

2

3

f ; B) 53121 f ;

C) 2

2

4

2

242312132

x

xxxx

;

D) 4

3

2

1

2

32

2

1

2

323

2

32

2

332

xxxx

Funzioni numeriche elementari

© Prof. I. Savoia - 12_2012

8

Nell'esempio che segue, relativo alla funzione di proporzionalità quadratica, per determinare il valore della

x, noto il valore della y (punti C e D) , si ottengono due opposti valori dalla radice quadrata: ax .

Ad esempio, le soluzioni di 1002 x sono 10100 x ; infatti, entrambi i numeri (+10) e

(-10) se elevati al quadrato forniscono il valore iniziale 100.

Esempio 3. Data 2

2

1xxf , calcolare i valori mancanti:

A) ........f 2 ; B) ........f

3

2 ; C) 8.....f ; D)

9

2......f .

A) 242

12

2

12 2

f ; B) 9

2

9

4

2

1

3

2

2

1

3

22

f ;

C) 41616282

128

2

1 222 xxxx ;

D) 3

2

9

4

9

42

9

2

2

12

9

2

2

1 222 xxxx .

Esempio 4. Data x

xf12

, calcolare i valori mancanti:

A) ........f 6 ; B) ........f

3

4 ; C) 8.....f ; D)

4

3......f .

A) 26

126

f ; B) 9

4

312

34

12

3

4

f ;

C) 2

312

8

1

1212

8

1

128

12 x

xx

x ;

D) 16123

4

1212

3

4

124

312 x

xx

x .