Fuzziness” é independente da capacidade de...

1

SISTEMAS NEBULOSOSSISTEMAS NEBULOSOS• A maioria dos fenômenos com os quais

nos deparamos são imprecisos imprecisos Exemplo: dia QUENTEQUENTE (40°, 35°, 30°, 29,5°?)

•• Imprecisão Intrínseca Imprecisão Intrínseca ajuda na compreensão do problema.

• “FuzzinessFuzziness” é independenteindependente da capacidade de medição.

SISTEMAS NEBULOSOSSISTEMAS NEBULOSOSSistemas Artificiais Sistemas Artificiais

ConvencionaisConvencionaisSistema HumanoSistema HumanoXX

Frases como:A A TemperaturaTemperatura do motor está do motor está QUENTEQUENTEAA Inflação Inflação anual está anual está SUBINDO RAPIDAMENTESUBINDO RAPIDAMENTEO O ColesterolColesterol está está ALTOALTO

A Lógica Nebulosa é uma técnica que A Lógica Nebulosa é uma técnica que aproxima os aproxima os Sistemas ArtificiaisSistemas Artificiais do do Sistema HumanoSistema Humano

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CONTEÚDOCONTEÚDO• Introdução

– Introdução, Objetivo e Histórico• Conceitos Básicos

– Definição, Características e Formas de Imprecisão

•• Conjuntos Conjuntos FuzzyFuzzy– Propriedades, Formas de Representação e Operações

• Lógica Fuzzy– Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado

• Fuzzy Engineering– Quando e Como se utilizar Lógica Nebulosa

CONJUNTOS NEBULOSOSCONJUNTOS NEBULOSOS•• Conjuntos Conjuntos CrispCrisp x Nebulososx Nebulosos• Definição• Representação• Propriedades• Formatos• Operações• Hedges

3

Conjuntos Conjuntos Crisp Crisp x x FuzzyFuzzy•• Conjuntos Conjuntos CrispCrisp :

Conjunto onde os indivíduos de um dado universo são divididos em 2 grupos distintos: MEMBROSMEMBROS aqueles que certamente pertencem ao conjunto, eNÃONÃO--MEMBROSMEMBROS aqueles que certamente não pertencem ao conjunto.

Exemplo: conjunto dos nnúúmeros naturaismeros naturais

Conjuntos Conjuntos Crisp Crisp x x FuzzyFuzzy

• conjunto de pessoas altas• conjunto de carros caros• números muito maiores que 1

• conjunto de pessoas altaspessoas altas• conjunto de carros caroscarros caros• números muito maiores que 1muito maiores que 1

••Entretanto:Entretanto: Existem conjuntos cujo limitelimiteentre membro e não-membro é é vagovago, com transição gradualtransição gradualentre esses dois grupos

Exemplos:Exemplos:

4

CONJUNTOS NEBULOSOSCONJUNTOS NEBULOSOS• Conjuntos Crisp x Nebulosos•• DefiniçãoDefinição• Representação• Propriedades• Formatos• Operações• Hedges

Conjuntos Conjuntos NebulososNebulosos

5

•• Conjuntos Nebulosos:Conjuntos Nebulosos:– Atribui-se a cada indivíduo no universo

um valorum valor que representa o Grau de Grau de PertinênciaPertinência deste indivíduo ao conjunto nebuloso.

– É a ponte que liga o conceito imprecisoconceito imprecisoà sua modelagemmodelagem numérica



•• Exemplos:Exemplos: Pessoas AltasPessoas Altasµ (x) µ (x)

Altura (m)1.301.40 1.50 2.001.60 1.80 1.901.70 1.301.40 1.50 1.60 1.80 1.901.70

Altura (m)2.00

Função CaracterísticaFunção Característica Função de PertinênciaFunção de Pertinência

CRISPCRISP FUZZYFUZZY

6


•• Exemplos:Exemplos: Carros CarosCarros Carosµ (x) µ (x)

Preço (R$)5.000 10.000 20.00015.000

Preço (R$)



5.000 10.000 20.00015.000


•• Exemplos:Exemplos: Números Maiores que 1Números Maiores que 1µ (x) µ (x)

1 2 3 84 6 75



109 1412 1 2 3 84 6 75 109 1412

7

Conjuntos Conjuntos CrispCrisp

• Conjunto AA no Universo de Discurso UU é definido através da lista de TODOS os seus membros ou pela identificação dos elementos x ⊂ A

U = conjunto dos valores possíveis para a variávelA = { x / x satisfaça uma certa condição}µ(x) = 1 se x ∈ A

0 se x ∉ A

Conjuntos Conjuntos CrispCrisp•• Exemplos:Exemplos:

U = todos os automóveis do Rio de Janeiro

SubSub--Conjuntos de U:Conjuntos de U:

azul

azul

marrom

marrom

cinzacinzavermelhovermelho

verdeverde

outraoutraNac

ional

Nacion

al

Importado

Importado

4 cilindros4 cilindros



outrosoutros

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Conjuntos Conjuntos FuzzyFuzzy• Conjunto FF no Universo de Discurso UU

com µ(x) ∈ [0,1]

medida do grau de similaridade de um elemento elemento xx em em UU com o subconjunto subconjunto FF

% de peças nacionais

µ (x)

25 50 75 100

1.00.9

0.5

0.25

importadoimportado nacionalnacional

CONJUNTOS NEBULOSOSCONJUNTOS NEBULOSOS• Conjuntos Crisp x Nebulosos• Definição•• RepresentaçãoRepresentação• Propriedades• Formatos• Operações• Hedges

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Conjuntos NebulososConjuntos Nebulosos•• Representação:Representação:

– Um conjunto fuzzy FF em UU pode ser representado como um conjunto de conjunto de pares ordenadospares ordenados de um elemento genérico xx e seu grau de pertinênciagrau de pertinência

F = { (x, F = { (x, µµ FF (x) ) / x (x) ) / x ∈∈ U }U }

– Geralmente só são representados os valores de x com µ (x) > 0

Conjuntos NebulososConjuntos Nebulosos

•• U Contínuo:U Contínuo: ∫∫UU µµFF (x) / x(x) / x

–– ∫∫ denota coleção de todos os pontos x x ∈∈ UU com função de pertinência µµ (x)(x)

•• U Discreto:U Discreto: ΣΣUU µµFF (x) / x(x) / x

–– ΣΣ denota a operação de UniãoUnião

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•• 3 Componentes:3 Componentes:Eixo xx (n° reais crescentes) que

constituem o DomDomíínionio do conjunto fuzzyEixo yy, com valores entre 00 e 11

grau de pertinência ao conjuntoFunção de PertinênciaFunção de Pertinência (superfície) do

conjunto, que conecta um elemento do domínio com o seu grau de pertinência


µ A(x)

1.0

0.0 x

µA (x) = f (x ∈ A)µµAA (x) = f (x (x) = f (x ∈∈ A)A)Função verdade Função verdade

ou de pertinênciaou de pertinênciaElemento Elemento do conjuntodo conjunto

DomínioDomínio

Grau de Grau de PertinênciaPertinência

11


µ A(x)

1.0

0.0 x

µA (x) = f (x ∈ A)µµAA (x) = f (x (x) = f (x ∈∈ A)A)Função verdade Função verdade

ou de pertinênciaou de pertinênciaElemento Elemento do conjuntodo conjunto

DomínioDomínio

Grau de Grau de PertinênciaPertinência

Conjuntos NebulososConjuntos NebulososExemplo:Exemplo: seja F = inteiros próximos de 10

U = {n° inteiros de 1 a 20}

F = 0.1/7 + 0.5/8 + 0.8/9 + 1/10 + 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13

Observações: Observações: Os inteirosinteiros não especificadosnão especificados possuem µµAA (x) = 0(x) = 0Os valores de µµAA (x) são escolhidos(x) são escolhidos exceto para µA(x)=1.0, todos os outros valores podem ser modificados.A FunFunçção de Pertinênciaão de Pertinência, neste caso específico, deve ser simsiméétricatrica.

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CONJUNTOS NEBULOSOSCONJUNTOS NEBULOSOS• Conjuntos Crisp x Nebulosos• Definição• Representação•• PropriedadesPropriedades• Formatos• Operações• Hedges

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

•• Altura:Altura:

É o maio grau de pertinência permitido pela função de pertinência (“membership function”)

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PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Normalização:Normalização:

Um certo conjunto fuzzy é normalnormalse a sua alturaaltura for igual a 1igual a 1Forma normal mínimaForma normal mínimase pelo menos um se pelo menos um elemento tem elemento tem µ (x) =1

Forma normal máximaForma normal máximase pelo menos um se pelo menos um elemento tem elemento tem µ(x) = 1e outro elemento tem e outro elemento tem µ(x) = 0

••Para um bom desempenho, os conjunto Para um bom desempenho, os conjunto fuzzy fuzzy devem ser devem ser normalizadosnormalizados


•• Domínio do Conjunto Domínio do Conjunto FuzzyFuzzy::– É o universo total de valores possíveis

para os elementos de um conjuntodepende do contexto

Domínio AbertoDomínio Aberto Domínio FechadoDomínio Fechado

MeiaMeia--IdadeIdadeAltasAltas

1.80m45

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PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Universo de Discurso:Universo de Discurso:

– É o espaço fuzzy completo de variação de uma variáveluma variável do modelo.

120 160140 180 220200 360340320300280260240100

Frio Média Quente Muito QuenteTemperatura

PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Universo de Discurso:Universo de Discurso:

– É o espaço fuzzy completo de variação de uma variáveluma variável do modelo.

120 160140 180 220200 360340320300280260240100

Frio Média Quente Muito Quente

Universo de DiscursoUniverso de Discurso para a variável do para a variável do modelo modelo TEMPERATURATEMPERATURA é de é de 100100°° a a 360360°°

Temperatura

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PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Support Support do Conjunto:do Conjunto:

– É a área efetiva do domínio de um conjunto fuzzy que apresenta valores de µ (x) > 0

PesadoPesadoµ (x)

SuporteSuporteDomínioDomínio

60 8070 90 110100 15014013012050kg

PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Observação:Observação:

– O conjunto Fuzzy cujo support é um único ponto em U, com valor de µ (x) = 1, é chamado de Conjunto Conjunto SingletonSingleton

Igual a 10Igual a 10µ (x)

10

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•• Conjunto Conjunto αα --cutcut::– É uma restrição (limite) imposta ao

domínio, baseada no valor de αα– Contém todos os elementos do domínio

que possuam µµ(x)(x) acima de um certo acima de um certo valor de valor de αα

µµ(x) (x) ≥≥ αα αα--cut cut fracofraco

µµ(x) (x) >> αα αα--cut cut forteforte

PROPRIEDADESPROPRIEDADES•• Conjunto Conjunto αα --cutcut::

– É útil para as funções com longos “tails”, que tendem a possuir valores muito baixos de muito baixos de µµ(x)(x) porpor um domínio um domínio extensoextenso ajuda a reduzir ruídoajuda a reduzir ruído

85 9590 100 110105 14013513012512512011580

µ (x)

kg

pesadopesado

αα --cut cut = 0.2= 0.2

0.20.2--cut cut do conjunto pesado do conjunto pesado é, então, de 100 a 140 kg.é, então, de 100 a 140 kg.

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Idade Criança Jovem Adulto Velho5 1 .1 0 010 .8 .3 0 020 .1 .8 .7 .130 0 .5 1 .240 0 .2 1 .450 0 .1 1 .660 0 0 1 .870 0 0 1 180 0 0 1 1

•• Conjunto Conjunto αα --cutcut::

Conjuntos Conjuntos αα --cut cut do conjunto do conjunto VELHO:VELHO:•• velhovelho.2.2 = = {30,40,50,60,70,80}{30,40,50,60,70,80}

•• velhovelho.8.8 = = {60,70,80}{60,70,80}•• velhovelho1.01.0 = = {70,80}{70,80}

SISTEMA FUZZYSISTEMA FUZZY

REGRASREGRAS

INFERÊNCIAINFERÊNCIA

FUZZIFICADORFUZZIFICADOR DEFUZZIFICADORDEFUZZIFICADORXX yy

• Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets• Determina como as regras são ativadas e combinadas

Conjuntos nebulosos de entrada

Conjunto nebuloso de saída

Fornecidas por especialistas ou extraídas de dados numéricos

Para ativar as regras

Para fornecer a saída precisa

Entradas precisas

Saídaprecisa

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Exemplo do GuindasteExemplo do Guindaste

FUZZIFICADORFUZZIFICADOR

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•• Variáveis de Entrada:Variáveis de Entrada:– distância– ângulo

•• Variável de Saída:Variável de Saída:– Potência

Variáveis de EntradaVariáveis de EntradaÂnguloÂngulo

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ÂnguloÂngulo

Variáveis de EntradaVariáveis de EntradaDistânciaDistância

Variável de SaídaVariável de SaídaPotênciaPotência

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MÓDULO DE REGRASMÓDULO DE REGRAS

REGRAS FUZZYREGRAS FUZZY•• Exemplos:Exemplos:

Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = ZeroZeroEntão POTÊNCIA = PosPos__MediumMedium

Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = NegNeg__SmallSmallEntão POTÊNCIA = PosPos__HighHigh

Se DISTÂNCIA = MediumMedium e ÂNGULO = NegNeg__SmallSmallEntão POTÊNCIA = PosPos__HighHigh

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Dados de Entrada:Dados de Entrada:distânciadistância 12 jardasânguloângulo -4°

REGRA NÚMERO 1REGRA NÚMERO 1Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = ZeroZero

Então POTÊNCIA = PosPos__MediumMedium

12

.15

23

REGRA NÚMERO 1REGRA NÚMERO 1Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = ZeroZero


-4

0.7

INFERÊNCIA INFERÊNCIA -- AntecedenteAntecedente

•• Portanto:Portanto:– Cálculo do antecendente da regra 1:

Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = ZeroZeroEntão POTÊNCIA = PosPos__MediumMedium

µµLONGELONGE (x) = 0.15(x) = 0.15 ∩ µµZEROZERO (x) = 0.7(x) = 0.7

µµ longe longe ∩∩ zerozero = 0.15= 0.15

24

INFERÊNCIA INFERÊNCIA -- ConsequenteConsequente

Como o antecedenteantecedente é verdadeiroverdadeiro com grau de pertinência 0.150.15, o consequenteconsequentedeve ter no máximono máximo um grau de veracidade de 0.150.15.

INFERÊNCIA INFERÊNCIA -- ConsequenteConsequenteSe DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = ZeroZero


0.150.15

25

REGRA NÚMERO 2REGRA NÚMERO 2

12

.15


REGRA NÚMERO 2REGRA NÚMERO 2Se DISTÂNCIA = FarFar e ÂNGULO = NegNeg__SmallSmall

Então POTÊNCIA = PosPos__HighHigh

-4

0.25

26




µµ longe longe ∩∩ smallsmall = 0.15= 0.15



0.150.15


27

REGRA NÚMERO 3REGRA NÚMERO 3

12

.85


REGRA NÚMERO 3REGRA NÚMERO 3Se DISTÂNCIA = MediumMedium e ÂNGULO = NegNeg__SmallSmall

Então POTÊNCIA = PosPos__HighHigh

-4

0.25

28




µµ longe longe ∩∩ smallsmall = 0.25= 0.25



0.250.25


29


0.250.25

Composição Composição União de TODASTODAS as regras comGrau de ativaGrau de ativaççãoão diferente de ZEROZERO

0.150.15


0.250.25

Como Como éé a a UNIÃOUNIÃO, utiliza, utiliza--se, geralmente o se, geralmente o MMÁÁXIMOXIMO

0.150.15

30

DEFUZZIFICADORDEFUZZIFICADOR

Transforma o conjunto nebulosoconjunto nebulosoobtido pela InferênciaInferência e

transforma em um valor precisovalor preciso

DEFFUZIFICADORDEFFUZIFICADORUm MUm Méétodo posstodo possíível:vel: Avalia-se os valores

TTÍÍPICOS PICOS de cada conjunto

31


0.250.25

PonderaPondera--se o se o valor tvalor tíípicopico com o seu com o seu grau de pertinênciagrau de pertinência

0.150.15

18.118.1

Média dos MáximosMédia dos MáximosMédia dos MáximosMM = (.15x10 + .25x24) = 18.1

(.15 + .25)MM = (.15x10 + .25x24) = 18.1MM = (.15x10 + .25x24) = 18.1

(.15 + .25)(.15 + .25)

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Fuzziness” é independente da capacidade de...

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