FUNZIONI IN DUE VARIABILIFUNZIONI IN DUE VARIABILI

I massimi ed i minimiI massimi ed i minimicon le linee di livellocon le linee di livello

Classe 5^Prof. Daniele Attampato

Consideriamo la funzione

di domino R2.Le sue curve di livello hanno equazione

con k>=0

Tale equazione può essere riscritta:

Le curve di livello rappresentano delle ellissi con centro nell’origine ed assi:

Esempio

22 94 yxz +=

kyx =+ 22 94

k3

2 k

194

22

=+k

y

k

x

Osserviamo che per k=0 l’ellisse si riduce ad un punto, il punto O, e che lalunghezza dei suoi assi aumenta al crescere di k: questo vuol dire che le dimensioni dell’ellisse aumentano man mano che ci si allontana dal piano coordinato xy, lungo la direzione positiva dell’asse z (ricordiamo che k rappresenta la quota della curva di livello).Questo significa che, in ogni punto di R2, la funzione f assume valori maggiori che nell’origine, per cui l’origine rappresenta un punto di minimo per la funzione (in tal caso, minimo assoluto).

Regola Generale

Data una qualunque funzione z=f(x,y) di dominio D, se nell’intorno di un punto P (nel nostro esempio, l’origine) le curve di livello, cioè le curve di equazione f(x,y)=k, tendono a restringersi intorno a P al variare del parametro k, allora P è un punto estremante per f.Per decidere se si tratta di un punto di massimo o di minimo occorre analizzare il comportamento delle curve al variare del paramero k:• se le curve tendono ad allontanarsi da P al crescere di k, allora P è un punto di minimo• se le curve tendono ad avvicinarsi a P al crescere di k, allora P è un punto di massimo.