1

Funzioni di trasferimento: esercizi sulla rappresentazione della risposta in frequenza Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento:

2 2

1 42 2

2 2

2 52 2

2

3 2

250( 4 100) 250( 4 100)G ( ) G ( )

(10 1)( 90 2500) (10 1)( 0.9 2500)

250( 4 100) 250( 20 100)G ( ) G ( )

(10 1)( 90 2500) (10 1)( 100 2500)

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 90 25

s s s ss s

s s s s s s

s s s ss s

s s s s s s

s ss

s s s

+ + + += =+ − + + + +

− + + += =+ − + + − +

− +=+ + +

2

6 2

250( 4 100)G ( )

00) (10 1)( 90 2500)s s

ss s s

− +=− + +

1) Per ciascuna di esse, con carta e penna e con i metodi noti, si costruiscano i diagrammi di Bode asintotici (del modulo e della fase) e poi si determini l’andamento dei corrispondenti diagrammi non asintotici. Si confrontino tra loro i vari diagrammi del modulo ottenuti. 2) Per ciascuna di esse, con carta e penna e con i metodi noti, si costruisca il diagramma di Nyquist. Si confrontino tra loro i vari diagrammi di Nyquist ottenuti. Cenni alle soluzioni

Consideriamo la f.d.t. 2

1 2

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 90 2500)s s

ss s s

+ +=+ − +

.

Ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, cominciamo con il determinare gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.:

21,2

2 21,2

3

4 100 0 2 4 100 2 4 6 2 9.7980

90 2500 0 45 45 2500 45 475 45 5 19 45 21.7945

10 1 0 0.1

s s z j j

s s p j j j

s p

+ + = � = − ± − = − ± − ±

− + = � = ± − = ± = ± ±+ = � = −

�

�

Il tipo è, in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ e le costanti di tempo:

2 22

1 22 2

4 1 4 1250 100 1 10 1

250( 4 100) 100 100 100 100G ( )90 1 90 1(10 1)( 90 2500) 2500(1 10 ) 1 (1 10 ) 1

2500 2500 2500 2500

s s s ss s

ss s s s s s s s s

� � � �⋅ + + + +� � � �+ + � � � �= = =+ − + � � � �+ − + + − +� � � �

� � � �

;

pertanto, si ha che µ = 10. Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 100 10 /z z rad sω = = =

,1,2 1,2 2500 50 /p p rad sω = = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = = Riassumendo, si hanno in questo caso, oltre al polo reale –0.1, una coppia di poli complessi coniugati con smorzamento –90/(2⋅50) = –0.9 (dal confronto del suo modulo, 0.9, con il valore “discriminante” 1/ 2 � 0.7071, si deduce che non c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo) ed una coppia di zeri complessi coniugati con smorzamento 4/(2⋅10) = 0.2 (c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo). Riportiamo, nelle due seguenti figure, i diagrammi di Bode, del modulo e della fase, esatti (linee blu) ed asintotici (linee verdi):

2

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

pulsazione

Diagramma di Bode - Modulo

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

Cerchiamo di valutare la differenza fra diagrammi esatti ed asintotici in corrispondenza delle pulsazioni 0.1, 10 e 50 delle varie singolarità: a tal fine, calcoliamo modulo e fase dei diagrammi esatti:

3

1 10 1( 0.1) 7.0704 20log ( 0.1) 16.9889G j G j dB�� �

1( 0.1) 44.5645°G j −� �

1 10 1( 10) 0.0390 20log ( 10) 28.1761G j G j dB� −� �

1( 10) 21.1290°G j� �

1 10 1( 50) 0.2676 20log ( 50) 11.4506G j G j dB� −� �

1( 50) 175.3509°G j� � Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist della f.d.t., invece, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ . Nel caso presente, quindi, si ha

2 2 2

1 22 2

250( 4 100) 250( 4 100) 25( 4 100)G ( )

1 1(10 1)( 90 2500) 10 ( 90 2500) ( 90 2500)10 10

s s s s s ss

s s s s s s s s s

+ + + + + += = =+ − + � � � �+ − + + − +� � � �

� � � �

e ρ =25. Per completezza e come esempio, riportiamo nella figura qui sotto la mappa (grafico nel piano complesso) delle singolarità della f.d.t. considerata:

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

Axi

s

0 10 20 30 40-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Tracciamo ora il diagramma di Nyquist di 1( )G jω (ricordiamo che, in generale, lo si può ottenere usando il metodo dei vettori oppure deducendolo dai diagrammi di Bode esatti):

4

-2 0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Ne riportiamo anche uno zoom attorno all’origine del piano complesso:

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Consideriamo ora la f.d.t. 2

2 2

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 90 2500)s s

ss s s

− +=+ − +

.

Ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, cominciamo con il determinare gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.:

5

21,2

2 21,2

3

4 100 0 2 4 100 2 4 6 2 9.7980

90 2500 0 45 45 2500 45 475 45 5 19 45 21.7945

10 1 0 0.1

s s z j j

s s p j j j

s p

− + = � = ± − = ± ±

− + = � = ± − = ± = ± ±+ = � = −

�

�

Il tipo è, anche in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ e le costanti di tempo:

2 22

2 22 2

4 1 4 1250 100 1 10 1

250( 4 100) 100 100 100 100G ( )90 1 90 1(10 1)( 90 2500) 2500(1 10 ) 1 (1 10 ) 1

2500 2500 2500 2500

s s s ss s

ss s s s s s s s s

� � � �⋅ − + − +� � � �− + � � � �= = =+ − + � � � �+ − + + − +� � � �

� � � �

;

pertanto, si ha che µ = 10. Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 100 10 /z z rad sω = = =

,1,2 1,2 2500 50 /p p rad sω = = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = = Riassumendo, si hanno in questo caso, oltre al polo reale –0.1, una coppia di poli complessi coniugati con smorzamento –90/(2⋅50) = –0.9 (non c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo) ed una coppia di zeri complessi coniugati con smorzamento –4/(2⋅10) = –0.2 (c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo). Riportiamo, nelle due seguenti figure, i diagrammi di Bode, del modulo e della fase, esatti (linee blu) ed asintotici (linee verdi):

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

pulsazione

Diagramma di Bode - Modulo

6

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0gr

adi

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

Ovviamente, come ci si attende, il diagramma di Bode del modulo, esatto o approssimato che sia, coincide con quello della f.d.t. G1(s), poiché le due f.d.t. differiscono solo per il segno della parte reale delle singolarità (dei due zeri complessi coniugati, più precisamente). Cerchiamo di valutare la differenza fra diagrammi esatti ed asintotici in corrispondenza delle pulsazioni 0.1, 10 e 50 delle varie singolarità: a tal fine, calcoliamo modulo e fase dei diagrammi esatti:

2 10 2( 0.1) 7.0704 20log ( 0.1) 16.9889G j G j dB�� �

2 ( 0.1) 45.0229°G j −� �

2 10 2( 10) 0.0390 20log ( 10) 28.1761G j G j dB� −� �

2 ( 10) 158.8710°G j −� �

2 10 2( 50) 0.2676 20log ( 50) 11.4506G j G j dB� −� �

2 ( 50) 175.1218°G j −� � Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ . Nel caso presente, quindi, si ha

2 2 2

2 22 2

250( 4 100) 250( 4 100) 25( 4 100)G ( )

1 1(10 1)( 90 2500) 10 ( 90 2500) ( 90 2500)10 10

s s s s s ss

s s s s s s s s s

− + − + − += = =+ − + � � � �+ − + + − +� � � �

� � � �

e ρ =25.

7

Tracciamo, dunque, il diagramma di Nyquist di 2 ( )G jω (ricordiamo che, in generale, lo si può ottenere usando il metodo dei vettori oppure deducendolo dai diagrammi di Bode esatti):

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Ne riportiamo anche uno zoom attorno all’origine del piano complesso:

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Consideriamo ora la f.d.t. 2

3 2

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 90 2500)s s

ss s s

− +=+ + +

.

8

Come prima, ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, determiniamo gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.: 2

1,2

2 21,2

3

4 100 0 2 4 100 2 4 6 2 9.7980

90 2500 0 45 45 2500 45 475 45 5 19 45 21.7945

10 1 0 0.1

s s z j j

s s p j j j

s p

− + = � = ± − = ± ±

+ + = � = − ± − = − ± = − ± − ±+ = � = −

�

�

Il tipo è, in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ e le costanti di tempo:

2 22

3 22 2

4 1 4 1250 100 1 10 1

250( 4 100) 100 100 100 100G ( )90 1 90 1(10 1)( 90 2500) 2500(1 10 ) 1 (1 10 ) 1

2500 2500 2500 2500

s s s ss s

ss s s s s s s s s

� � � �⋅ − + − +� � � �− + � � � �= = =+ + + � � � �+ + + + + +� � � �

� � � �

;

pertanto, si ha che µ = 10. Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 100 10 /z z rad sω = = =

,1,2 1,2 2500 50 /p p rad sω = = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = = Come nel caso di G2(s), rispetto a G1(s) cambiano solo i segni delle (parti reali delle) singolarità, quindi non cambiano le pulsazioni da considerare per costruire i diagrammi di Bode; inoltre, il diagramma di Bode del modulo è identico ai due precedenti. Riportiamo quindi qui sotto solo il diagramma della fase (esatto in blu ed asintotico in verde):

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist della f.d.t., invece, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ , che nel caso presente vale 25:

9

2 2 2

3 22 2

250( 4 100) 250( 4 100) 25( 4 100)G ( )

1 1(10 1)( 90 2500) 10 ( 90 2500) ( 90 2500)10 10

s s s s s ss

s s s s s s s s s

− + − + − += = =+ + + � � � �+ + + + + +� � � �

� � � �

.

Tracciamo, dunque, il diagramma di Nyquist di 3( )G jω (usando il metodo dei vettori oppure deducendolo dai diagrammi di Bode esatti):

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Ne riportiamo anche uno zoom attorno all’origine del piano complesso:

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

10

Consideriamo ora la f.d.t. 2

4 2

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 0.9 2500)s s

ss s s

+ +=+ + +

.

Ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, determiniamo gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.: 2

1,2

2 21,2

3

4 100 0 2 4 100 2 4 6 2 9.7980

0.9 2500 0 0.45 0.45 2500 0.45 49.9980

10 1 0 0.1

s s z j j

s s p j

s p

+ + = � = − ± − = − ± − ±

+ + = � = − ± − − ±+ = � = −

�

�

Il tipo è, in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ , che in questo caso vale 10, e le costanti di tempo:

2 22

4 22 2

4 1 4 1250 100 1 10 1

250( 4 100) 100 100 100 100G ( )0.9 1 0.9 1(10 1)( 0.9 2500) 2500(1 10 ) 1 (1 10 ) 1

2500 2500 2500 2500

s s s ss s

ss s s s s s s s s

� � � �⋅ + + + +� � � �+ + � � � �= = =+ + + � � � �+ + + + + +� � � �

� � � �

.

Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 100 10 /z z rad sω = = =

,1,2 1,2 2500 50 /p p rad sω = = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = = Riassumendo, si hanno, oltre al polo reale –0.1, una coppia di poli complessi coniugati con smorzamento 0.9/(2⋅50) = 0.009 (c’è un forte picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo) ed una coppia di zeri complessi coniugati con smorzamento 4/(2⋅10) = 0.2 (c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo). Riportiamo, nelle due seguenti figure, i diagrammi di Bode, del modulo e della fase, esatti (linee blu) ed asintotici (linee verdi):

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

dB

pulsazione

Diagramma di Bode - Modulo

11

Si noti che la fase scende al di sotto dei –90° attorno ai 60 rad/s, come evidenziato dal circoletto rosso nel grafico precendente. Su questa osservazione ritorneremo più avanti. Cerchiamo di valutare la differenza fra diagrammi esatti ed asintotici in corrispondenza delle pulsazioni 0.1, 10 e 50 delle varie singolarità: a tal fine, valutiamo modulo e fase dei diagrammi esatti:

4 10 4( 0.1) 7.0704 20log ( 0.1) 16.9889G j G j dB�� �

4 ( 0.1) 44.7729°G j −� �

4 10 4( 10) 0.0417 20log ( 10) 27.6047G j G j dB� −� �

4 ( 10) 0.3581°G j� �

4 10 4( 50) 26.7590 20log ( 50) 28.5494G j G j dB�� �

4 ( 50) 4.6491°G j −� � Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist della f.d.t., invece, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ . Nel caso presente, quindi, si ha

2 2 2

4 22 2

250( 4 100) 250( 4 100) 25( 4 100)G ( )

1 1(10 1)( 0.9 2500) 10 ( 0.9 2500) ( 0.9 2500)10 10

s s s s s ss

s s s s s s s s s

+ + + + + += = =+ + + � � � �+ + + + + +� � � �

� � � �

e ρ =25. Tracciamo, dunque, il diagramma di Nyquist di 4 ( )G jω :

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100gr

adi

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

12

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-5 0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10

Facciamone alcuni zoom attorno all’origine del piano complesso:

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 5 10

-6

-4

-2

0

2

4

13

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-3 -2 -1 0 1 2 3-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Infatti, nell’intorno dei 50-60 rad/s (si faccia ancora riferimento al circoletto rosso), si ha

4 ( 40) 1.0467G j �

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

14

4 ( 40) 81.7641°G j� �

4 ( 45) 2.2531G j �

4 ( 45) 79.9119°G j� �

4 ( 55) 2.5284G j � (cioè circa 8 dB)

4 ( 55) 88.8109°G j −� �

4 ( 60) 1.3273G j �

4 ( 60) 91.0168°G j −� �

4 ( 65) 0.9210G j �

4 ( 65) 91.5761°G j −� � .

Consideriamo poi la f.d.t. 2

5 2

250( 20 100)G ( )

(10 1)( 100 2500)s s

ss s s

+ +=+ − +

.

Ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, cominciamo con il determinare gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.:

21,2

21,2

3

20 100 0 10

100 2500 0 50

10 1 0 0.1

s s z

s s p

s p

+ + = � = −

− + = � =+ = � = −

Il tipo è, in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ e le costanti di tempo:

2 22

2 2

5 2 22 22

1 1250 10 1 10 1

250( 20 100) 250( 10) 10 10G ( )(10 1)( 100 2500) (10 1)( 50) 1 1

(1 10 )( 50) 1 (1 10 ) 150 50

s ss s s

ss s s s s

s s s s

� � � �⋅ + +� � � �+ + + � � � �= = = =+ − + + − � � � �+ − − + −� � � �

� � � �

;

pertanto, si ha che µ = 10. Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 10 /z z rad sω = =

,1,2 1,2 50 /p p rad sω = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = = Questa volta, si hanno, oltre al polo reale –0.1, una coppia di poli reali coincidenti di valore 50 ed una coppia di zeri reali coincidenti di valore –10. Le pulsazioni da considerare per i diagrammi di Bode sono ancora 0.1, 10 e 50, ed il diagramma di Bode asintotico del modulo coincide con quelli delle f.d.t. G1(s), G2(s) e G3(s), mentre il diagramma di Bode esatto del modulo è diverso, in quanto non presenta alcun picco di risonanza. Riportiamo, nelle due seguenti figure, i diagrammi di Bode, del modulo e della fase, esatti (linee blu) ed asintotici (linee verdi):

15

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

pulsazione

Diagramma di Bode - Modulo

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

Cerchiamo di valutare la differenza fra diagrammi esatti ed asintotici in corrispondenza delle pulsazioni 0.1, 10 e 50 delle varie singolarità: a tal fine, valutiamo modulo e fase dei diagrammi esatti:

16

5 10 5( 0.1) 7.0717 20log ( 0.1) 16.9905G j G j dB�� �

5 ( 0.1) 43.6249°G j −� �

5 10 5( 10) 0.1923 20log ( 10) 14.3205G j G j dB� −� �

5 ( 10) 23.1928°G j� �

5 10 5( 50) 0.2600 20log ( 50) 11.7006G j G j dB� −� �

5 ( 50) 157.4947°G j� � Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist della f.d.t., invece, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ . Nel caso presente, quindi, si ha

2 2 2

5 22 2

250( 20 100) 250( 10) 25( 10)G ( )

1 1(10 1)( 100 2500) 10 ( 50) ( 50)10 10

s s s ss

s s s s s s s

+ + + += = =+ − + � � � �+ − + −� � � �

� � � �

e ρ =25. Tracciamo, dunque, il diagramma di Nyquist di 5 ( )G jω :

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Facciamone uno zoom attorno all’origine del piano complesso:

17

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Confrontiamo i diagrammi di Nyquist delle f.d.t. G1(s) e G5(s):

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 2 4 6 8 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

con gli zoom attorno all’origine

18

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0

0.5

1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

19

Consideriamo, infine, la f.d.t. 2

6 2

250( 4 100)G ( )

(10 1)( 90 2500)s s

ss s s

− +=− + +

.

Come prima, ai fini del tracciamento dei diagrammi di Bode, determiniamo gli zeri zi ed i poli pk della f.d.t.: 2

1,2

2 21,2

3

4 100 0 2 4 100 2 4 6 2 9.7980

90 2500 0 45 45 2500 45 475 45 5 19 45 21.7945

10 1 0 0.1

s s z j j

s s p j j j

s p

− + = � = ± − = ± ±

+ + = � = − ± − = − ± = − ± − ±− = � =

�

�

Il tipo è, in questo caso, g = 0, poiché la f.d.t. non ha singolarità nell’origine. Scriviamo ora la f.d.t. nella forma in cui si evidenziano il guadagno µ , che in questo caso vale –10, e le costanti di tempo:

2 22

6 22 2

4 1 4 1250 100 1 10 1

250( 4 100) 100 100 100 100G ( )90 1 90 1(10 1)( 90 2500) 2500(1 10 ) 1 (1 10 ) 1

2500 2500 2500 2500

s s s ss s

ss s s s s s s s s

� � � �⋅ − + − − +� � � �− + � � � �= = =− + + � � � �− − + + − + +� � � �

� � � �

.

Calcoliamo ora le pulsazioni ,z iω ,p kω , relative agli zeri ed ai poli rispettivamente:

,1,2 1,2 100 10 /z z rad sω = = =

,1,2 1,2 2500 50 /p p rad sω = = =

,3 3 0.1 /p p rad sω = =

Si hanno dunque, oltre al polo reale 0.1, una coppia di poli complessi coniugati con smorzamento 90/(2⋅50) = 0.9 (non c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo) ed una coppia di zeri complessi coniugati con smorzamento –4/(2⋅10) = –0.2 (c’è picco di risonanza nel diagramma di Bode esatto del modulo). Riportiamo nelle due figure seguenti i diagrammi di Bode, del modulo e della fase, esatti (linee blu) ed asintotici (linee verdi):

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

pulsazione

Diagramma di Bode - Modulo

20

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

grad

i

pulsazione

Diagramma di Bode - Fase

Come ci si attende, sia il diagramma del modulo asintotico sia il diagramma del modulo esatto coincidono con quelli di G1(s), G2(s) e G3(s). Al fine del tracciamento del diagramma di Nyquist della f.d.t., invece, occorre scrivere la f.d.t. stessa nella forma in cui si evidenziano i poli, gli zeri e la costante di trasferimento ρ , che nel caso presente vale 25:

2 2 2

6 22 2

250( 4 100) 250( 4 100) 25( 4 100)G ( )

1 1(10 1)( 90 2500) 10 ( 90 2500) ( 90 2500)10 10

s s s s s ss

s s s s s s s s s

− + − + − += = =− + + � � � �− + + − + +� � � �

� � � �

e ρ =25. Tracciamo, dunque, il diagramma di Nyquist di 6 ( )G jω :

21

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-10 -8 -6 -4 -2 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Facciamone uno zoom attorno all’origine del piano complesso:

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8